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LOLA MORALES 4ºE IES Clara Campoamor (Móstoles) 1 Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor, x, del primer conjunto un único valor, y, del segundo conjunto. A x se le llama variable independiente y a y se le llama variable dependiente. El dominio de una función es el conjunto de puntos donde está definida la función. Se miran siempre en el eje X. Polinomios: su dominio es todo . Fracciones algebraicas: su dominio es todo salvo los valores que anulan el denominador. Radicales: su dominio son aquellos valores para los que lo de dentro de la raíz es positivo o cero. Exponenciales: su dominio es todo . Logarítmicas: su dominio son aquellos valores para los que lo de dentro del logaritmo es positivo. Una función es continua en un punto “si se puede dibujar ahí sin levantar el lápiz”. Al representar una función en unos ejes cartesianos, podemos analizar sus puntos de corte con los ejes, la monotonía de ésta. Consiste es estudiar cuándo “sube” la función (es decir, cuándo es creciente) y cuándo “baja” (es decir, cuándo es decreciente). También podemos estudiar los extremos de la función: se llamarán máximos y mínimos. Veamos un ejemplo: A la vista de la gráfica, vemos que los puntos de corte con el eje OX son dos, el (-1,0) y el (2,0). Además, el punto de corte con el eje OY es el (0,-2). En cuanto a la monotonía, tenemos que esta función es creciente en el intervalo (, 1) y en (1, +) . Además, es decreciente en el intervalo (1,1). Vemos en la gráfica que la función alcanza un máximo en = 1 y tal valor máximo es 0 (podemos escribir esto como que alcanza un máximo en el punto (-1,0), siempre y cuando no confundamos esta nomenclatura con la de los intervalos). Vemos también que alcanza un mínimo en = 1 y tal mínimo es -4 (o bien, tiene un mínimo en (1,-4)). Una función es periódica de periodo T si = ( + ) (se repite cada T unidades). V^{ æÎ KØˇ } &ã[ } ^•Ë Definición. Dominio. Continuidad. Monotonía y extremos. Periodicidad. Funciones elementales (rectas, parábolas, valor absoluto, radicales, de proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas y a trozos).

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Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada

valor, x, del primer conjunto un único valor, y, del segundo conjunto. A x se le llama variable independiente y a y se le llama variable dependiente.

El dominio de una función es el conjunto de puntos donde está definida la función. Se

miran siempre en el eje X. • Polinomios: su dominio es todo ℝ. • Fracciones algebraicas: su dominio es todo ℝ salvo los valores que anulan el

denominador. • Radicales: su dominio son aquellos valores para los que lo de dentro de la raíz es

positivo o cero. • Exponenciales: su dominio es todo ℝ. • Logarítmicas: su dominio son aquellos valores para los que lo de dentro del

logaritmo es positivo.

Una función es continua en un punto “si se puede dibujar ahí sin levantar el lápiz”. Al representar una función en unos ejes cartesianos, podemos analizar sus puntos de

corte con los ejes, la monotonía de ésta. Consiste es estudiar cuándo “sube” la función (es decir, cuándo es creciente) y cuándo “baja” (es decir, cuándo es decreciente). También podemos estudiar los extremos de la función: se llamarán máximos y mínimos. Veamos un ejemplo:

A la vista de la gráfica, vemos que los puntos de corte con el

eje OX son dos, el (-1,0) y el (2,0). Además, el punto de corte con el eje OY es el (0,-2). En cuanto a la monotonía, tenemos que esta función es creciente en el intervalo (−∞,−1) y en (1,+∞) . Además, es decreciente en el intervalo (−1,1).

Vemos en la gráfica que la función alcanza un máximo en 𝑥 = −1 y tal valor máximo es 0 (podemos escribir esto como que

alcanza un máximo en el punto (-1,0), siempre y cuando no confundamos esta nomenclatura con la de los intervalos). Vemos también que alcanza un mínimo en 𝑥 = 1 y tal mínimo es -4 (o bien, tiene un mínimo en (1,-4)).

Una función es periódica de periodo T si 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑇) (se repite cada T unidades).

V {̂ æ! Î K! Ø̌ } &ã[ } •̂Ë! ! • Definición. • Dominio. • Continuidad. • Monotonía y extremos. • Periodicidad. • Funciones elementales (rectas, parábolas, valor absoluto, radicales, de

proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas y a trozos).

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-La función afín: Se trata de una función de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛 , o bien, la expresión, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Si representamos una función afín, veremos que es una recta. El valor m se denomina pendiente de la recta y a n se le llama ordenada en el origen.

Para calcular el punto de corte con el eje OX, igualamos la función a 0 y despejamos el valor de x. Por el contrario, para calcular el punto de corte con el eje OY, sustituimos la x por 0 y calculamos el valor de y (sale (0,n)).

Ejemplo: En la recta 𝑦 = 2𝑥 − 1 , la pendiente es 2 y la

ordenada en el origen es -1. Vemos que el punto de corte con el eje

OX está en 2𝑥 − 1 = 0, es decir, 𝑥 = !!, con lo que el punto de corte

es el !!, 0 . En el eje OY tenemos que el punto de corte se alcanza

en 2 · 0 − 1, es decir, en -1 , con lo que tan punto de corte es el 0,−1 (si te fijas, coincide con la ordenada en el origen, por eso se

llama así ese valor). Con estos dos puntos tenemos toda la información necesaria para dibujar la recta (ver dibujo).

• La pendiente de una recta indica la inclinación de ésta. Si la pendiente es positiva, la

inclinación es /. Si es negativa, la inclinación es \. Si la pendiente es nula, la recta es horizontal.

• Cuando dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente. • Recuerda que en un punto (a,b), a se llama abscisa del punto (horizontal) y b se llama

ordenada del punto (vertical). • Si un punto pertenece a una recta, verifica su ecuación (es decir, si sustituimos las

coordenadas del punto en la ecuación de la recta, se cumple la ecuación). Por ejemplo, el punto (2,1) pertenece a la recta 𝑦 = 3𝑥 − 5 porque es cierto que 1=3·2-5.

• Para calcular la recta que pasa por dos puntos, sustituimos los puntos en la ecuación de la recta y obtenemos los valores de m y n resolviendo el sistema que sale (m y n son las incógnitas del sistema).

• Un sistema de dos ecuaciones de grado 1 no es más que dos rectas. La solución del sistema por tanto es un punto que pertenece a las dos rectas, es decir, el punto en el que se cortan ambas (si son secantes).

• Cuando la ordenada en el origen es 0, tenemos que la recta pasa por el origen del coordenadas y en ese caso diremos que la función no sólo es afín sino que es lineal.

-La función cuadrática: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐. Se trata de una parábola. La abscisa de su

vértice es 𝑥 = − !!!

(y la ordenada se calcula sustituyendo en la función). Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0, es decir, de 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (puede haber 0, 1 o 2 puntos de corte). El punto de corte con el eje OY es (0,c). La curvatura de la parábola dependerá del signo de 𝑎:

𝑎 > 0 𝑎 < 0

𝑓 𝑥 = 𝑥! − 5𝑥 + 6

𝑓 𝑥 = −𝑥! + 4𝑥