LGICA ILGICA FORMAL

2015

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Presentacin

Este apunte est destinado exclusivamente a su uso en las materias LgicaI y Lgica Formal de la Escuela de Filosofa de la Facultad de Filosofa yHumanidades de la U.N.C. Constituye el material de estudio preparado pordocentes de la Ctedra de Lgica I y Lgica Formal, con la finalidad de quelos estudiantes cuenten con un texto de apoyo para el curso impartido en laEscuela de Filosofa.

El texto cubre los puntos del programa de las asignaturas arriba referidase incluye algunos ejercicios para afianzar los conocimientos expuestos en cadaparte.

El material sobre el que se basa este apunte procede fundamentalmentedel texto de J. Barwise y J. Etchemendy, The Language of First Order Logic,cuya traduccin tambin para uso en la Ctedra de Lgica I de la Escuela deFilosofa, El Lenguaje de la Lgica de Primer Orden, fuera realizada por elDr. Horacio Faas y un grupo de colaboradores, aos atrs. Los dos primeroscaptulos proceden de una traduccin con algunas modificaciones del captu-lo 1 del libro de N. Smith, Logic: The laws of Truth. As mismo, en el textoprocedente del libro El Lenguaje de la Lgica de Primer Orden, se introdu-jeron diversos cambios, con el fin de adaptarlo al contenido del programa dela asignatura y a la perspectiva del curso.

En la preparacin de este material han intervenido los docentes de laCtedra de Lgica I / Lgica Formal: Dra. Alba Massolo y Lic. SebastinFerrando (Profesores Asistentes), el Dr. Diego Letzen (Profesor Adjunto),Sara Gismondi y Andrs Ilcic (Ayudantes Alumnos) y el Dr. Luis A. Urtubey(Profesor Titular). La preparacin de la versin LATEX-PDF, estuvo a cargoespecialmente de Andrs Ilcic.

Una advertencia final respecto al carcter preliminar de este texto. La ver-sin que se entrega aqu como apunte ha pasado por las primeras correccionesy se ha ido ajustando de acuerdo con experiencias previas y sugerencias del

equipo de la Ctedra. No obstante, debe tenerse en cuenta que algunos ajus-tes an deben realizarse sobre este material. Es de esperar que tales mejorasse irn produciendo en adelante.

Crdoba, marzo de 2015.

ndice general

I Lgica Proposicional 1

1. Lgica y argumentos 21.1. Qu es la Lgica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Consecuencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. La lgica de primer orden 212.1. Buenos argumentos y argumentos vlidos . . . . . . . . . . . . 212.2. Solidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Lenguajes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. El rol especial de la lgica en la indagacin racional . . . . . . 292.5. Por qu aprender un lenguaje artificial? . . . . . . . . . . . . 31

3. Elementos de LPO 353.1. Constantes individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Smbolos de Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Oraciones atmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. La isla de los caballeros y bribones . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. El lenguaje de primer orden de la

aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6. Lenguajes generales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Conectivas lgicas 504.1. Smbolo de Negacin () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1. Semntica y la regla de juego para la negacin . . . . . 514.2. Smbolo de conjuncin () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Smbolo de Disyuncin () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4. Smbolo del Condicional Material () . . . . . . . . . . . . . 564.4.1. Semntica y regla de juego para el condicional . . . . . 564.4.2. Formas espaolas del condicional material . . . . . . . 57

4.5. Smbolo del Bicondicional () . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1. La semntica para . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6. Uso de las tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7. Ambigedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8. Traduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9. Implicatura conversacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Otros usos de las tablas de verdad 735.1. Satisfactibilidad y verdad lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Consecuencia lgica y tautolgica . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1. Premisas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.2. Condicional material y consecuencia lgica . . . . . . . 79

5.3. Equivalencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Mtodos de demostracin 866.1. Mtodos de demostracin que involucran conectivas . . . . . . 87

Cuestiones de estilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Mtodo de demostracin por casos . . . . . . . . . . . . . . . 916.3. Mtodo de demostracin por contradiccin . . . . . . . . . . . 95

6.3.1. Premisas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4. Mtodo de demostracin condicional . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.1. Probar bicondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. Demostraciones Formales 1097.1. Reglas para la conjuncin y reiteracin . . . . . . . . . . . . . 1107.2. Reglas para la disyuncin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3. Reglas para la negacin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. El uso adecuado de las subdemostraciones. . . . . . . . . . . . 1207.5. Un ejemplo trabajado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.6. Demostraciones sin premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.6.1. Cita de teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.7. Reglas para el condicional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.8. Reglas para el bicondiconal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

II Cuantificadores 137

8. Introduccin a la cuantificacin 1388.1. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2. Fbfs atmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4. Fbfs y oraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.5. Las cuatro formas aristotlicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.6. El cuadrado de oposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.7. Traduccin de frases nominales complejas . . . . . . . . . . . . 1538.8. Implicatura conversacional y cuantificacin . . . . . . . . . . . 1558.9. Cuantificadores y smbolos de funcin . . . . . . . . . . . . . . 159

9. Verdad y falsedad de oraciones con cuantificadores 1629.1. Semntica para los cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.2. Equivalencias lgicas que involucran negacin y cuantificado-

res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.3. Oraciones con ms de un cuantificador . . . . . . . . . . . . . 170

9.3.1. Usos mltiples de un nico smbolo decuantificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9.3.2. Cuantificadores mezclados . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.3.3. Traduccin de oraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3.4. Parafraseando el espaol . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.3.5. Ambigedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.3.6. Traducciones usando smbolos de funcin . . . . . . . 179

10.Demostraciones con cuantificadores 18210.1. Mtodos de demostracin que involucran y . . . . . . . . . 18210.2. Demostraciones Formales y

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.3. Demostraciones con cuantificadores mezclados . . . . . . . . . 201

Parte I

Lgica Proposicional

1

Captulo 1

Lgica y argumentos

1.1. Qu es la Lgica?

Supongamos que usted tiene que hacer algunas compras y cuenta con xxcantidad de dinero, digamos $ 50. Ente otras cosas, tiene que comprar pan,carne, papas, huevos, queso y jugo de naranjas. Hace una lista con estas cosasy se dirige adonde pueda adquirirlas. Al llegar comienza a buscar los produc-tos y va registrando los precios. Ve que el pan cuesta $11 el kg, la carne 40el Kg., el queso $38, la papa $15, los huevos $12 la docena y el jugo $13.Luego decide qu cantidad comprar de cada uno de los productos y final-mente constata si el dinero que tiene le alcanzar o no para pagar la compra.A travs de todo este proceso, usted tuvo que realizar una serie de opera-ciones aritmticas elementales, que seguramente maneja desde que era nio.Bsicamente, tuvo que realizar algunas sumas y restas con nmeros enterosy tambin usar algunas fracciones y decimales, como por ejemplo si decidicomprar Kg. de pan, kg. de carne, etc. Para manejarnos cotidianamentecon este tipo de cosas, como comprar los alimentos que necesitamos a diario,precisamos realizar clculos usando medidas y valores. De modo que resultatil contar con un conocimiento de las reglas o leyes de la matemtica espe-cficas para operar con estas medidas y calcular valores, cuando necesitamosefectuar este tipo de tareas. No obstante, nadie dira que la matemtica esla ciencia que se ocupa de este tipo de quehaceres, como la compra del pan,la carne, etc.1 Aunque nos sea de mucha utilidad en nuestra vida cotidiana,

1Entendemos aqu ciencia en un sentido bastante amplio, haciendo referencia a la bs-queda sistemtica de conocimiento

2

Captulo 1 3

la matemtica no puede considerarse como la ciencia que se ocupa de estascosas. La matemtica es una ciencia abstracta, que bien puede aplicarse acuestiones como nuestras compras diarias y a muchas otras ms. Desde laperspectiva de la matemtica, lo que importa en el caso que consideramosson los nmeros, cantidades, medidas y las operaciones que se realizan conellos, consideradas en forma abstracta, sin importar que se trate de panes,carne, huevos, etc.

Con frecuencia la lgica se define como el estudio del razonamiento. Co-nocer los aspectos bsicos de la lgica, es en verdad esencial para razonarbien, sin embargo sera inexacto decir que el razonamiento humano es el te-ma principal de la lgica. Antes bien, habra que decir que la lgica mantienecon el razonamiento una relacin similar a la que la matemtica tiene conla compra de los alimentos en ejemplo anterior. Supongamos que est bus-cando su celular y sabe que est en el bolsillo de la campera, sobre la mesa,en el escritorio o sobre la cama. Ya comprob que no est ni el bolsillo dela campera ni en los otros dos sitios, razona entonces que debe estar sobrela cama. Este es un buen modo de razonar. Cabe preguntarse por qu. Laexplicacin es que razonar de este modo no puede conducir de un punto departida o premisas verdaderas a un punto de llegada o conclusin falsa. Comolo expres el lgico y matemtico norteamericano Charles Peirce en el sigloXIX, cuando comenzaba a desarrollarse la lgica actual:

El propsito del razonamiento es encontrar, a partir de la consideracinde lo que ya conocemos, algo ms que no sabemos. En consecuencia, razonares algo bueno siempre que esto nos proporcione una conclusin verdadera apartir de premisas verdaderas y no sea de otro modo. 2

Aqu es donde interviene la lgica. La lgica trata con proposiciones algoque es verdadero o falso- y sus componentes, y busca descubrir las leyes querigen las relaciones entre la verdad y la falsedad de diversas proposiciones.Una ley de este tipo enuncia que si una proposicin presenta un nmerofijo de alternativas (por ejemplo, el celular est o bien en el bolsillo de lacampera, sobre la mesa, sobre el escritorio o sobre la cama) y todas exceptouna resultan ser falsas, entonces la proposicin en su conjunto no puedeser verdadera a menos que la alternativa restante sea verdadera. Esta leygeneral sobre la verdad se puede aplicar convenientemente al razonamiento:justamente el caso particular de razonamiento que consideramos en el ejemploanterior, resulta ser bueno a causa de la vigencia de esta ley general. Esta

2Peirce, Charles Sanders. La fijacin de la creencia, 1877.

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nos dice que si el celular realmente est en uno de los cuatro sitios, y no esten ninguno de los tres primeros, entonces debe estar en el cuarto. De all queel razonamiento no puede conducirnos de un comienzo verdadero a un finalfalso.

Por eso mismo, sera inexacto definir la lgica slo como la ciencia delrazonamiento. Antes bien, algunos autores han considerado ms acertadodecir que la lgica es la ciencia de la verdad (entendiendo por ciencia comoya dijimos- el estudio sistemtico de algo en particular). Como lo sealGottlob Frege, uno de los pioneros de la lgica moderna:

As como bello refiere a la esttica y bueno a la tica, delmismo modo una expresin como verdadero, refiere a la lgica.Todas las ciencias tienen la verdad como objetivo; pero la lgicase interesa por esta de un modo bastante diferente: la lgica tienecon la verdad la relacin que la fsica tiene con el calor o el peso.Descubrir la verdad es la tarea de todas las ciencias, le toca a lalgica discernir las leyes de la verdad. 3

Un ingeniero puede tener como uno de sus objetivos la construccin de buenosedificios. No es su objetivo, no obstante, desarrollar una plena comprensinde las leyes de la mecnica. Este es el objetivo de la fsica. De igual modo,en el campo de la fsica, los cientficos tratan de encontrar verdades (teorasverdaderas) sobre el mundo, pero no constituye el propsito de la fsica eldesarrollo de una comprensin acabada de las leyes de la verdad. Este serade acuerdo con autores como Frege- el objetivo de la lgica. El trabajo enlgica consiste entonces en desarrollar un marco en el cual se pueda dar unarepresentacin detallada completamente general- de las proposiciones (esdecir, aquello que es verdadero o falso) y sus componentes, e identificar lasleyes generales que gobiernan el modo en que la verdad se propaga a travsde ellas.

Visto de este modo, el primer inters de la lgica est en la verdad y nonicamente en el razonamiento. No obstante, la lgica es muy til cuando seaplica al razonamiento dado que queremos evitar aquellos modos de razonarque podran conducirnos desde premisas verdaderas a una conclusin falsa.As como la matemtica se aplica a muchas cosas adems de las comprascotidianas, la lgica se aplica tambin a otras cosas adems del razonamientohumano. Por ejemplo, la lgica tiene un papel fundamental en las ciencias

3Gottlob Frege. El Pensamiento. 191819.

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de la computacin, tiene aplicaciones importantes en el estudio del lenguajehumano y de los lenguajes artificiales y tiene tambin un rol central en losfundamentos tericos de la matemtica misma.

Seguiremos aqu un enfoque ms afn a esta lnea de pensamiento. Ellonos permitir tambin tener en cuenta no slo la utilidad de la lgica parael razonamiento en general, sino tambin su aplicacin en diversas reas deconocimiento y en otras disciplinas.

Recordar

Sera inexacto definir la lgica slo como la ciencia del razonamien-to. El inters de la lgica est en la verdad y no nicamente en elrazonamiento. No obstante, la lgica es muy til cuando se aplica alrazonamiento dado que queremos evitar aquellos modos de razonarque podran conducirnos desde premisas verdaderas a una conclusinfalsa.

1.2. Proposiciones

Aceptamos entonces que la lgica se ocupa de las leyes de la verdad. Elobjeto de estudio central en lgica lo constituye entonces aquello que puedeser verdadero o falso. Por ello ser conveniente contar con un nombre paraestas entidades. Usaremos el trmino proposicin con este propsito. Esdecir, que una proposicin es algo que puede ser verdadero o falso. Ahora bien,qu clase de cosas son las proposiciones? Y qu hace que una proposicinsea verdadera o falsa? La idea fundamental resulta ser esta: una proposicines una afirmacin sobre cmo son las cosas. Representa alguna forma en quees el mundo; y es verdadera si el mundo es de este modo, en caso contrarioes falsa. Esta idea se remonta al menos a Platn (360 a.c.) y a Aristteles(350 a.c). En el dilogo de Platn Cratilo (o del lenguaje), se encuentra elsiguiente pasaje:

SOCRATES: Pero qu hay sobre la verdad, entonces? Debesreconocer que hay palabras para la verdad y la falsedad.

HERMOGENES: Efectivamente.

SOCRATES: Y hay proposiciones verdaderas y falsas?

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HERMOGENES: Seguro.

SOCRATES: Y una proposicin verdadera afirma aquello quees, y una falsa lo que no es?

HERMOGENES: S, qu otra respuesta sera posible?

En un clebre pasaje de la Metafsica de Aristteles leemos:Definimos lo que es verdadero y lo que es falso. Decir de lo que es que

no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es quees, y de lo que no es que no es, es verdadero.(Libro IV (), 7)

Contrastando con esto, lo que no es una proposicin no representa que elmundo sea de un modo u otro. No son afirmaciones sobre cmo son las cosas.De all que no puede ser verdadero o falso. No puede decirse que el mundoes (o no es) del modo en que lo representa algo que no es una proposicin,precisamente porque no se trata de una afirmacin sobre el modo en que seael mundo.

Veamos algunos ejemplos de proposiciones:

1. La nieve es blanca.

2. El piano es un instrumento de mltiples cuerdas.

3. La nieve es verde.

4. Las naranjas son naranja.

5. La mxima distancia recorrida el 13 de marzo de 2002 por un peatnen el centro de Crdoba fue de 3 Km.

6. Tengo hambre.

Observe que no es necesario que una proposicin sea verdadera (3); queuna proposicin puede ser obviamente verdadera, de modo que nunca nospreocuparemos en decir que lo sea (4); y que puede ser que no tengamosmodo de saber si una proposicin es verdadera o falsa (5). Lo que estosejemplos tienen en comn, es que en ellos se hacen afirmaciones sobre elmodo en que son las cosas: representan un modo en que es el mundo. Por lotanto, tiene sentido decir de cada una de ellas, que es verdadera (es decir,que el mundo es de la forma que lo representa) o falsa (las cosas no son deeste modo) incluso si no tenemos modo de saber cmo son realmente.

Ejemplos en los que no tenemos proposiciones, son los siguientes:

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7. Ouch!

8. Dnde ests?

9. Detnte!

10. Abre la puerta!

11. Hola.

12. Est abierto?

Puede ser algo apropiado o inapropiado decir Hola (o abre la puerta!,etc.) en diversas ocasiones, pero no puede decirse que sea algo verdadero ofalso. Es as, porque cuando digo hola, no estoy haciendo una afirmacinacerca del modo en que es el mundo: no represento una forma en que lascosas son. Estos casos en que no tenemos proposiciones, se pueden clasificara su vez en preguntas (10, 12), rdenes (8, 11), exclamaciones (7, 9), etc. Anuestros fines, esta clasificacin carece ya de importancia, puesto que lo queno sea una proposicin est ms all de nuestra rea de inters. En cuantono pueden ser verdaderas o falsas, se hallan ms all del dominio de las leyesde la verdad.

No analizaremos con ms detalle qu son las proposiciones. Si bien pro-posiciones y oraciones se hallan muy relacionadas, es mejor distinguirlas yquizs en ltima instancia podra admitirse que las proposiciones fueran al-gn tipo de oraciones. Simplemente hemos preferido continuar sin asumirque las proposiciones que ubicamos como el objeto de estudio de la lgicapudieran reducirse a entidades que nos resultan ms familiares, como lasoraciones. A raz de los problemas que presenta la identificacin de las pro-posiciones con las oraciones como se puede ver en los ejercicios anteriores-la decisin de distinguirlos tiene suficientes motivaciones.

Ahora bien, cabe preguntarse, si las proposiciones no son meras oracio-nes, qu son? Podran comenzar a parecernos entidades misteriosas. Podradescribir la afirmacin puntual de la oracin Yo tengo hambre, y tal vezen cierto sentido, puedo inclusive describir la oracin como entidad gramati-cal abstracta. Pero cmo describir la proposicin que expresa esta oracin(cuando un hablante la emite en una situacin particular)? Sera un errormetodolgico tratar de responder a esta pregunta detalladamente en estemomento. Una de las tareas de la lgica es justamente proporcionarnos una

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comprensin de las proposiciones aquello que es verdadero o falso. Lo quenecesitamos para iniciar el estudio de la lgica lo que necesitamos en estepunto de nuestro estudio es slo una idea general o aproximada sobre loque intentamos dar cuenta con ms precisin. (La necesitamos para orientarnuestra bsqueda). Sin duda ya contamos con un concepto aproximado delo que es una proposicin: es una afirmacin sobre el mundo; es verdaderacuando el mundo es tal como se afirma y en otro caso es falsa; es expresadapor una oracin emitida en un contexto particular, pero no es idntica conla emisin de la oracin ni con esta considerada en su forma gramatical abs-tracta (como oracin que pertenece a una lengua particular). Para nuestrosfines, ser suficiente con esto.4

Recordar

Usaremos el trmino proposicin con el propsito de designar algoque puede ser verdadero o falso. La idea fundamental resulta ser esta:una proposicin es una afirmacin sobre cmo son las cosas. Repre-senta alguna forma en que es el mundo; y es verdadera si el mundoes de este modo, en caso contrario es falsa

Ejercicios y Problemas

Atendiendo a lo visto hasta ahora, responda a los siguientes problemas.En todos los casos procure justificar la respuesta.

Problema 1.1. En el siguiente dilogo, expresan lvaro y Carolina la mis-ma proposicin?

-Ivn: Est lista la comida, quin tiene hambre?-lvaro: Tengo hambre.-Carolina: Yo tambin.-David: Yo no.

Problema 1.2. Expresan Ivn y John la misma proposicin?:

-Ivn: lvaro est famlico.4 Se puede ampliar la informacin relativa a este punto en Haack, S. Filosofa de las

Lgicas, cap. 6.

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-lvaro: Cmo es eso en ingls?-John: Alvaro is starving.

Problema 1.3. Expresan lvaro y Carolina proposiciones distintas?:

-lvaro: Ivn dijo que tena hambre.-Carolina: No.

1.3. Argumentos

Como vimos antes, se puede decir que las leyes de la verdad sustentanlos principios del buen razonamiento. Ahora bien, el razonamiento se pre-senta bajo distintas formas en el habla cotidiana, en la lengua escrita, y enel pensamiento. A fin de facilitar la discusin del razonamiento, resulta tilintroducir una manera estndar en la cual representarlo. Con este propsitonos valdremos aqu del concepto de argumento. Como es el caso con el usodel trmino proposicin, este uso del trmino argumento es de carctertcnico, lo que constituye una abstraccin del significado usual de este tr-mino.5 En este sentido, un argumento ser una secuencia de proposiciones. Ala ltima proposicin del argumento, la denominaremos conclusin. Intuiti-vamente la consideramos como la afirmacin, cuya verdad se est tratando deestablecer a travs del proceso de razonamiento. Las restantes proposiciones,son las premisas. Intuitivamente las pensamos formando la base sobre la cualse intenta establecer la conclusin. El nmero de premisas es finito (puedeser cero). Los argumentos pueden representarse de la siguiente forma:

Premisa 1Premisa 2Conclusin

En este caso usamos una lnea horizontal para separar la conclusin de laspremisas.

5Debemos advertir que no todos los autores siguen esta distincin. El uso del trminoargumento es por ello diferente y algunas veces inclusive se denomina argumento a loaqu estamos llamando razonamiento. La distincin que seguimos es a los fines de facilitarel anlisis lgico.

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La conclusin puede indicarse tambin por medio de la expresin por lotanto (a veces abreviada por medio de ).

Premisa 1Premisa 2Premisa 3 Conclusin

Se puede tambin presentar un argumento en forma lineal, con las premisasseparadas por comas y la conclusin separada por la barra y los tres puntos(el smbolo de por lo tanto):

Premisa 1, Premisa 2, Premisa 3, , Premisa 4 / Conclusin

Consideremos por ejemplo un razonamiento cotidiano. No tengo reloj y quie-ro saber qu hora es. Observo que el negocio de la esquina est cerrando, yyo s dado mi conocimiento de los horarios comerciales, que este comerciocierra a las 20 hs. Concluyo entonces que es esa hora. Podemos representareste razonamiento mediante el siguiente argumento:

Si el negocio de la esquina est cerrando, son las 20hs.El negocio de la esquina est cerrando. Son las20hs.

Cuando consideramos un razonamiento en el lenguaje comn con la inten-cin de representarlo como un argumento, identificamos la conclusin como laproposicin que el hablante trata de establecer para la cual da sus razones-y las premisas como las razones que da para apoyar la conclusin. Hay frasesque se usan frecuentemente para indicar la conclusin, como por ejemplo,

Captulo 1 11

por lo tanto, de ah o de all, se sigue que, de este modo. Entre lasfrases que indican las premisas se encuentran: dado que, ya que, pues-to que. Sin embargo, no siempre encontramos estas expresiones, e inclusocuando aparecen no siempre indican premisas o conclusiones, respectivamen-te. De all que no haya una receta que podamos seguir en forma mecnicacuando representamos razonamientos del lenguaje comn como argumentos.Debemos considerar cuidadosamente el razonamiento expresado en el lengua-je corriente, lo que el hablante trata de establecer (esta ser la conclusin) yqu razones da para apoyar su conclusin (estas sern las premisas).

Algo que debemos observar es que cuando representamos un razonamientocomo un argumento en el sentido tcnico es decir, como una secuencia deproposiciones siempre pondremos la conclusin al final. No obstante, en ellenguaje comn la conclusin de un razonamiento no siempre se ubica alfinal.

En el ejemplo siguiente, la conclusin no se encuentra al final: Platn eraateniense, puesto que todos los discpulos de Scrates eran atenienses y Pla-tn era discpulo de Scrates. De modo que representamos este razonamientocon el siguiente argumento:

Todos los discpulos de Scrates eran ateniensesPlatn era discpulo de ScratesPor lo tanto, Platn era ateniense

Hay que observar que si bien a todo razonamiento corresponder un argu-mento, no es el caso contrario. Dada la manera en que definimos lo que esun argumento, es decir como cualquier secuencia de una o ms proposicio-nes, hemos permitido que haya argumentos que no corresponderan a ningnrazonamiento. Este es el caso del siguiente ejemplo:

La nieve es verdeEl invierno fue hmedo

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Esta generosidad al considerar argumentos, que puede sorprender al prin-cipio, resulta a la postre algo conveniente. La razn es la siguiente. Comoveremos ms adelante con ms detalle, uno de los objetivos principales dela lgica es dar cuenta de la validez de cualquier razonamiento, sin importarde qu trate. Ms adelante precisaremos tambin qu significa validez y cules su importancia. De modo que, cuanto ms cosas se consideren argumen-tos, ms amplia ser la nocin de validez y su aplicacin. Si restringiramosla nocin de argumento, entonces correramos el riesgo de dejar fuera algnrazonamiento que pudiera considerarse un argumento y que no podra re-presentarse como tal por haber restringido de esta nocin. El enfoque quepresentamos evita este problema al darle un sentido tcnico al trmino argu-mento, distinto de cualquier otro que usualmente se le da a esta expresin,en virtud del cual no importa ya que no todo argumento corresponda a unrazonamiento del lenguaje comn.

Recordar

A fin de facilitar la discusin del razonamiento, resulta til introduciruna manera estndar en la cual representarlo. Con este propsito nosvaldremos del concepto de argumento. Como es el caso con el usodel trmino proposicin, este uso del trmino argumento es de ca-rcter tcnico, lo que constituye una abstraccin del significado usualde este trmino. En este sentido, un argumento ser una secuencia deproposiciones. A la ltima proposicin del argumento, la denomina-remos conclusin. Las restantes proposiciones, son las premisas.

Ejercicios y Problemas

Problema 1.4. Represente como argumentos los siguientes razonamientos.

1. Si la bolsa cae, miles de inversores perderan todas sus inversiones. Porello, la bolsa no caer.

2. Cuando un poltico se mete en negocios sucios, termina en la crcel.Ningn poltico termin en la crcel. As es que ningn poltico estuvometido en negocios sucios.

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1.4. Consecuencia lgica

Se ha dicho que hasta un perro puede efectuar ciertos razonamientos, porlo cual entendera algo de lgica:

Segn Crisipo, quien, sin embargo tanto denuesta a los ani-males irracionales, tambin el perro participa de la famosa dia-lctica, pues afirma utiliza el quinto de los varios silogismosindemostrables, cuando al llegar a una encrucijada de tres ca-minos, tras haber seguido la pista por los dos caminos que notransit la presa, de inmediato se dirige decididamente al tercercamino sin detenerse a husmear. Por lo tanto afirma el antiguo,el perro razona virtualmente as: la presa fue por este camino,por ese o por aquel otro. No fue por este ni por ese, luego fue poraquel. 6

La situacin a la que se refiere Sexto podra ser la siguiente. Supongamosque un perro est persiguiendo a una liebre a travs del bosque y llega auna bifurcacin en un sendero. El perro no ve a la liebre y no sabe qudireccin tom, pero sabe (dado que la maleza a ambos lados del senderoes impenetrable) que fue por la derecha, por el centro, o por la izquierda(primera premisa). El perro olfatea dos de los senderos tratando de sentirel olor. Si no siente el olor, entonces sabe que la liebre no fue por estos dossenderos (segunda premisa). En este caso el perro inmediatamente sale a lacarrera por el sendero que queda, sin detenerse ya a olfatearlo. Dado queel perro sabe, por pura lgica, es decir, sin detenerse ya a olfatearlo, que laliebre se fue por tercer sendero: debe ser as, puesto que debi irse por elprimero o por el segundo, o por el tercero, y no fue por ninguno de aquellosdos, de modo que slo cabe la alternativa de que se fue por el tercero.

El argumento tendra esta forma:

La presa tom el sendero de la izquierda o del centro, o el dela derecha.

La presa no tom el sendero de la izquierda.La presa no tom el sendero del centro. La presa tom el sendero de la derecha.

6Sexto Emprico. Hiptesis pirrnicas.

Captulo 1 14

Se trata de un buen argumento. Pero, qu lo hace bueno? Qu tiene debueno? Podemos decir que dos cosas. Lo primero es que dado que las premisasson verdaderas, no hay posibilidad de que la conclusin no lo sea. Se puedeexpresar esto de diversos modos:

La verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusin.

Es imposible que las premisas sean todas verdaderas y la conclusin nolo sea.

No hay modo de que las premisas sean verdaderas sin que lo sea laconclusin.

A esta propiedad la denominaremos Preservacin Necesaria de la Verdad(PNV) y de un argumento que tenga esta propiedad, diremos que preservanecesariamente la verdad (PNV).

Consideremos otro ejemplo.

(1)Todos los collies son perrosSnoopy es un perro. Snoopy es un collie.

Podemos imaginar una situacin en que las premisas sean verdaderas, peroque la conclusin sea falsa? S: supongamos que (como es de hecho) todos loscollies son perros (de modo que la primera premisa es verdadera) y supon-gamos que Snoopy es un beagle (y por ello un perro, o sea que la segundapremisa es verdadera), pero en este caso, la conclusin es falsa. Por lo tanto,el argumento no es un argumento-PNV (un argumento que preserva necesa-riamente la verdad). Consideremos ahora un tercer ejemplo:

(2)Todos los beagles son perros.Snoopy es un Beagle. Snoopy es un perro.

Podemos imaginar una situacin en la cual las premisas sean verdaderasy la conclusin falsa? Ciertamente no. Suponer que la primera premisa esverdadera, significa suponer que (representando la situacin visualmente) lalnea que encierra a todos los beagles, no atraviesa la lnea que delimita a

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todos los perros (Figura 1.1). Suponer que la segunda premisa sea verdadera,significa suponer que Snoopy se halla dentro de la lnea trazada alrededor detodos los beagles. Pero entonces es imposible que Snoopy se encuentre fuerade la lnea trazada alrededor de los perros es decir que es imposible que laconclusin sea falsa. Por lo tanto el argumento (2) es un argumento-PNV.

PERROSBeagles

Snoopy

Figura 1.1: El argumento es vlido

Hay algo ms respecto al primer argumento, adems de que sea PNV.Consideremos la siguiente serie de argumentos:

(3)Snoopy es pequeo y Lassie tiene pelo largo Lassie tiene pelo largo.

(4)La Filosofa es interesante, y la lgica es gratificante. La lgica es gratificante.

(5)Ernesto es hermano de Susana. Susana es hermana de Ernesto.

(6)El vaso que est sobre la mesa tiene agua. El vaso que est sobre la mesa contiene H2O.

Todos estos argumentos son argumentos-PNV, pero consideremos por qucada argumento tiene esta propiedad: qu es lo que en cada caso subyace alhecho de que no puedan ser verdaderas las premisas y la conclusin falsa.

En el caso del argumento (4), es la forma o estructura del argumentoque hace que sea un argumento-PNV. Este argumento tiene una estructuracompleja, est construido a partir de proposiciones que constan a su vez

Captulo 1 16

de partes. Es justamente el modo particular en que se disponen las partespara formar el argumento es decir, la forma o estructura del argumento loque asegura que sea un argumento-PNV. Para que la premisa sea verdadera,deben ocurrir dos cosas: que Snoopy sea pequeo y que Lassie tenga pelolargo. La conclusin afirma que ocurre lo segundo: que Lassie tiene el pelolargo. Est claro, que no hay manera de que la premisa sea verdadera sinque lo sea la conclusin. Podemos verlo sin saber qu sean Snoopy y Lassie(gatos, perros, caricaturas), eso no importa. Inclusive no necesitamos saberqu significa pequeo ni pelo largo. Podemos ver que, fueran lo que fuesenSnoopy y Lassie, y cualesquiera fuesen las propiedades que les atribuyramosmediante las expresiones pequeo y pelo largo, si es verdad que Lassietiene el pelo largo y Snoopy es pequeo, entonces debe ser verdad que Lassietiene el pelo largo.

Lo mismo puede decirse con respecto al argumento (5). No necesitamossaber lo que sea la filosofa y la lgica o lo que signifique que algo seainteresante o gratificante para ver que si la premisa es verdadera, entoncesla conclusin debe ser verdadera tambin. En realidad, est bastante claroque cualquier argumento que tenga la forma siguiente ser vlido,

p y qq(Aqu las letras p y q representan proposiciones).

No importa qu proposiciones pongamos en lugar de p y de q : podemos ra-zonar como arriba lo hicimos y convencernos de que el argumento es vlido.Contrasta con esto el caso de los argumentos (5) y (6). En el caso de (5),para ver que la premisa no puede ser verdadera y la conclusin falsa, necesi-tamos conocer el significado de los trminos que aparecen en el argumento.Tenemos que saber en este caso que Susana es un nombre de mujer, quelos significados de hermana y hermano se relacionan de algn modo: siuna persona x es la hermana de una persona de sexo masculino y, entoncesy es hermano de x. Segn esto, si reemplazramos estos trminos con otrosde significado diferente, el argumento podra no ser vlido. Por ejemplo:

(7)Susana es amiga de Ernesto Susana es ta de Ernesto

Captulo 1 17

(8)Ernesto es hermano de AlfonsoAlfonso es hermana de Ernesto

Se aprecia la diferencia con lo que suceda en el caso del argumento (4),en donde podamos reemplazar los trminos como quisiramos y el argumen-to que resultaba segua siendo un argumento-PNV. En el caso de (6), paraver que no puede ser la premisa verdadera y la conclusin falsa, necesitamostener cierto conocimiento cientfico: necesitamos saber que la composicinqumica del agua es H2O. De modo que si reemplazramos el trmino aguapor otra sustancia con otras propiedades qumicas o el trmino H2O conel trmino que corresponda a otro compuesto entonces el argumento puedeque ya no sea un argumento-PNV. Por ejemplo:

(9)El vaso que est sobre la mesa tiene arena El vaso que est sobre la mesa contiene H2O

(10)El vaso que est sobre la mesa tiene agua. El vaso que est sobre la mesa contiene N2O

Puede verse entonces que algunos argumentos-PNV lo son en virtud de suforma o estructura: simplemente por la manera en que est construido el ar-gumento, no puede suceder que la conclusin sea falsa, siendo verdaderas laspremisas. Otros argumentos-PNV no lo son en virtud de su forma o estruc-tura: el modo en que est construido no garantiza que sea imposible que laspremisas sean verdaderas y la conclusin sea falsa. Antes bien, que no puedapasar esto depende de otros hechos especficos, ya sea relativos al significadode los trminos del argumento (por ejemplo, que Susana sea un nombrefemenino) o bien hechos relativos a los objetos con los que estos trminos sehallan relacionados en el mundo. O inclusive de ambas cuestiones. Si un ar-gumento es un argumento-PNV en virtud de su forma o estructura, entoncesdecimos que es vlido, y decimos que la conclusin es una consecuencia lgicade las premisas. Tenemos entonces dos aspectos de la validez/consecuencialgica:

1. Las premisas no pueden ser verdaderas y la conclusin falsa.

Captulo 1 18

2. La forma del argumento garantiza que es un argumento-PNV.

De un argumento que no es vlido, se dice que es invlido. Un argumentopuede ser invlido porque no es un argumento-PNV o porque, aunque lofuera, este hecho no resulta de la estructura del argumento. Obsrvese que laanterior no es una definicin precisa de validez: es slo el enunciado de unaidea intuitiva fundamental. Uno de los objetivos de la lgica es proporcionarun anlisis preciso de la validez o consecuencia lgica. Esta idea directrizque hemos establecido segn la cual validez es poseer la propiedad PNVen virtud de la forma se puede encontrar, por ejemplo, en la discusin delconcepto de consecuencia lgica introducida por el lgico polaco Alfred Tarskien la dcada de 1930, en donde se la presenta como la concepcin tradicionale intuitiva:

Destaco [...] que el tratamiento del concepto de consecuenciaque he propuesto, no pretende tener ninguna originalidad. Lasideas de las que hace uso, seguramente resultarn muy conocidas[...] Nuestro punto de partida son ciertas consideraciones de tipointuitivo. Consideremos una clase K de oraciones y una oracin Xque se sigue de las oraciones de esta clase. Desde un punto de vis-ta intuitivo nunca puede suceder que la clase K conste solamentede oraciones verdaderas y la oracin X sea falsa. As mismo, dadoque aqu nos interesa el concepto de consecuencia lgica, es decir,formal, y por ello nos interesa una relacin que slo est deter-minada por la forma de las oraciones entre las cuales se sostienedicha relacin, esta no puede estar influenciada de ningn modopor el conocimiento emprico, y en particular por el conocimientorelativo a los objetos a los cuales refiere la oracin X o las ora-ciones de la clase K [...] Las dos circunstancias indicadas parecenser caractersticas esenciales del concepto de consecuencia. 7

En verdad, la idea se remonta a Aristteles, quien comienza afirmando: Unadeduccin es un discurso en el cual, habiendo establecido ciertas cosas, algo

7Alfred Tarski, On the concept of logical consequence. La verdad puede decirse opredicarse de las oraciones de un lenguaje, aunque son las proposiciones expresadas porlas oraciones lo que resulta ser verdadero o falso, como ya vimos. En este sentido elpticopodra decirse debe entenderse el texto cuando dice que una oracin es verdadera o falsa,eludiendo la referencia explcita a las proposiciones expresadas por ellas.

Captulo 1 19

diferente se sigue de ellas de forma necesaria por el hecho de que sean lo queson.8 Esta es la idea de preservar necesariamente la verdad (PNV). Luego,cuando discute los argumentos, Aristteles presenta primero la forma de unargumento de modo abstracto, usando letras en lugar de los trminos paraformar esquemas, por ejemplo:

Todo C es BNingn B es APor lo tanto, ningn C es A.

Deriva entonces argumentos especficos poniendo trminos especficos en lu-gar de las letras, por ejemplo:

Todo cisne es blanco.Ninguna cosa blanca es un cuervo.Por lo tanto, ningn cisne es un cuervo.

El razonamiento que pone de manifiesto que el argumento es PNV, se desa-rrolla al nivel de las formas de argumentos (es decir, con las letras A, By C; no con cuervos, cosas blancas y cisnes). Resulta entonces claro que aAristteles le interesaban aquellos argumentos-PNV en virtud de su forma.

8Primeros Analticos, -b. 1

Captulo 1 20

Recordar

Cuando en un argumento no hay modo de que las premisas seanverdaderas sin que lo sea la conclusin, se dice que preservanecesariamente la verdad (o que es un Argumento-PNV).

Algunos argumentos-PNV lo son en virtud de una forma o es-tructura: simplemente por la manera en que est construido elargumento, no puede suceder que la conclusin sea falsa, siendoverdaderas las premisas

Otros argumentos-PNV no lo son en virtud de una forma oestructura: el modo en que est construido no garantiza quesea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusinsea falsa.

Si un argumento es un argumento-PNV en virtud de una formao estructura, entonces decimos que es vlido, y decimos que laconclusin es una consecuencia lgica de las premisas.

Ejercicios y Problemas:

Problema 1.5. Relea la cita de Tarski y considere si en alguna parte de lamisma se alude a la idea de que un argumento vlido debe tener la propiedadPNV y si debe tener esta propiedad en virtud de su forma. Considere siTarski asigna alguna importancia a estas ideas con respecto al concepto deconsecuencia.

Captulo 2

La lgica de primer orden

2.1. Buenos argumentos y argumentos vlidos

En el captulo anterior hemos considerado varios ejemplos de argumentosy hemos considerado si son vlidos. Trabajamos a un nivel intuitivo, viendo sipodemos imaginar situaciones en las cuales las premisas son verdaderas y laconclusin falsa. Este enfoque dista de ser el ideal. Supongamos que alguienafirmara que no puede imaginar una situacin en la cual las premisas del ar-gumento (1) sean verdaderas y la conclusin falsa o que alguien sostuvieraalgo anlogo respecto al argumento (5). Qu le responderamos? Podra-mos mostrarle que est equivocado? Lo que deberamos tener para eso esun mtodo de prueba exhaustivo para determinar si un argumento dado esvlido: un mtodo que estableciera ms all de toda duda si el argumento esvlido y que pudiera aplicarse de manera directa y rutinaria sin hacer uso dela intuicin o la imaginacin. Piense en el modo en que convence a alguienque 1.257+2.874 = 4.131. No necesita recurrir a su imaginacin o intuicin:simplemente efecta la suma de manera mecnica hasta llegar al resultado.Este proceso se divide en partes (se ubican los nmeros apropiadamente, sesuman los menores que 10 y se lleva 1 dgito), cada una de estas partes esbastante elemental y rutinaria. Lo que sera bueno tener en el caso de lavalidez es algo similar: un conjunto de reglas simples que se puedan apli-car a un argumento siguiendo un orden determinado y que eventualmentenos lleve al veredicto correcto: vlido o invlido. Dicho con ms precisin, loque queremos es un procedimiento efectivo para determinar la validez quesiempre proporcione el resultado correcto. Se dice que un procedimiento es

21

Captulo 2 22

efectivo si puede formularse mediante un nmero finito de instrucciones,que deben aplicarse en un orden establecido, en el cual cada instruccin es(1) mecnica (no requiere de ningn tipo de ingenio o habilidad intelectualpara ser ejecutada una computadora podra programarse para hacerlo); (2)determinista (no requiere de procesos aleatorios, como por ejemplo, el resul-tado de arrojar una moneda); y (3) termina en un tiempo finito (slo requierede una cantidad de tiempo finito para ser completada). Como veremos, talesprocedimientos existen para cierto tipo de argumentos.1

Recordemos la cita anterior de Peirce, que termina diciendo el razona-miento es bueno si es tal que proporciona una conclusin verdadera a partirde premisas verdaderas, y no de otro modo. La propiedad del razonamientoa la que Peirce alude aqu, es la que denominamos PNV. En ese pasaje, Peirceequipara PNV con buen razonamiento. Esta equiparacin parece ser excesi-va si buen razonamiento se entiende en la forma usual del sentido comn.Por ejemplo, supongamos que alguien cree que hay agua en el vaso que estsobre la mesa, pero no concluye que en el vaso hay H2O. Esto no quiere decirnecesariamente que algo funcione mal en su capacidad de razonar: puede tra-tarse de alguien completamente racional, pero que simplemente no sabe quela composicin qumica del agua es H2O. Podramos criticar a esta personaporque no sabe qumica bsica pero slo si suponemos que debe conocerla(porque fue al colegio, por ejemplo) pero en todo caso no podramos decirque no razon bien. Por esta razn no podramos equiparar el buen razona-miento con PNV simpliciter. Podramos equipararlo con la validez (es decir,PNV en virtud de la forma)? Esta idea parece plausible a primera vista. Porejemplo, si alguien cree que Alfonso est aburrido y Sebastin est dormido,pero no cree que Sebastin est dormido, entonces ciertamente parece quealgo est mal con respecto a su capacidad de razonar. Sin embargo, inclu-sive la tesis que el razonamiento es bueno si y slo si es vlido (opuesta ala que slo toma en cuenta PNV),tambin asumira una posicin demasiadoexigente. Un argumento bien puede ser vlido sin ser un buen argumento (enun sentido intuitivo). En el otro sentido, muchos buenos razonamientos (enun sentido intuitivo) no son vlidos, dado que la verdad de las premisas no

1La mecanizacin del razonamiento tuvo un largo desarrollo en la historia de la filosofa.Un importante precedente es el Ars Magna de Ramn Llul (1232-1315), cuyo objetivo erademostrar, con esta mquina, la veracidad de las doctrinas cristianas, trabajo que fuecontinuado en el siglo XVI por Giordano Bruno , y por Leibniz en el XVII que perfeccionla mquina en su obra De Ars Combinatoria. Estos intentos alcanzan su punto culminanteen la obra de Gdel y Turing, en la primera mitad del siglo pasado.

Captulo 2 23

garantiza la verdad de la conclusin, sino que solo la hace muy probable.Los razonamientos cuya validez es un requisito previo para considerarlos

buenos, se denominan usualmente razonamientos deductivos. Tipos impor-tantes de razonamientos no deductivos son los razonamientos inductivos enlos cuales se extrae una conclusin sobre eventos futuros basndose en ob-servaciones anteriores (por ejemplo, hemos visto la salida del sol todos losdas por mucho tiempo, por lo tanto tambin saldr maana), o se obtienenconclusiones generales basndose en observaciones de instancias especficas(por ejemplo, todo trozo de sal que pusimos en el agua se disolvi, por lotanto la sal es soluble) y los razonamientos abductivos tambin conocidoscomo inferencia a la mejor explicacin en los cuales se razona a partir delos datos obtenidos hacia la mejor explicacin disponible para estos datos(por ejemplo, se concluye que lo hizo el mayordomo, porque esta hiptesisencaja mejor con las pistas). As como la validez es un criterio para calificarun argumento deductivo como bueno, el criterio anlogo para el caso de losargumentos no deductivos recibe a veces la denominacin de fuerza induc-tiva: un argumento es inductivamente fuerte en caso de que sea improbablelo que se opone a imposible, en el caso de la validez- que sus premisas seanverdaderas y su conclusin falsa.

Como se puede apreciar la relacin entre validez y buenos razonamientoses bastante compleja. No nos ocuparemos de ella aqu con ms detalle, dadoque nuestro asunto es la lgica, y hemos optado por considerar ms bien a lalgica como la ciencia de la verdad, y no como la ciencia del razonamiento. Sinembargo, hay algo que s parece ser cierto: si nos interesa el razonamiento yla clasificacin de los razonamientos en buenos o malos entonces siempre serimportante la pregunta sobre la validez del razonamiento. Esto es verdad sintomar en cuenta qu razonamiento estemos considerando, ya sea deductivo oinductivo. La respuesta a la pregunta es vlido el razonamiento? no cerrardel todo el problema sobre si el razonamiento es bueno pero nunca carecerde relevancia para esta cuestin. Por lo tanto, si vamos a aplicar la lgicalas leyes de la verdad al estudio del razonamiento, resultar til poderdeterminar respecto a cualquier argumento sin importar el asunto de quetrate si este es vlido.

De este modo, cuando se trata de la validez, tenemos dos objetivos ala vista: Uno es encontrar un anlisis preciso de la misma. (Hasta ahoracontamos con una idea imprecisa, que nos puede servir de gua, sobre lo quees la validez: la hemos sintetizado como PNV garantizada por la forma. Como

Captulo 2 24

ya vimos esto no equivale a contar con un anlisis preciso). El otro objetivoes encontrar un mtodo para evaluar la validez de los argumentos que renalos requisitos de ser:

1. Infalible: puede seguirse de manera directa, rutinaria, sin recurrir a laintuicin o la imaginacin y siempre nos da la respuesta correcta;

2. general: puede aplicarse a cualquier argumento.

Ntese que existe una ntima conexin entre el rol que tiene la nocin de formaen la definicin de validez (un argumento es vlido si es PNV en virtud de suforma) y el objetivo de encontrar un mtodo mecnico para evaluar la validez,que pueda aplicarse a todo argumento, sin importar de qu asunto trate enparticular. Es precisamente el hecho de que la validez pueda evaluarse en basea la forma, haciendo abstraccin del contenido especfico de las proposicionesde que consta el argumento (es decir, del modo en que las proposiciones queforman el argumento representan el mundo), lo que hace posible que esteobjetivo est a nuestro alcance.

Recordar

Cuando se trata de la validez, tenemos dos objetivos a la vista:

Uno es encontrar un anlisis preciso de la misma.

El otro objetivo es encontrar un mtodo para evaluar la validezde los argumentos.

Ejercicios y Problemas:

Problema 2.1. Considere cules argumentos son vlidos y cules no.

(1)Todos los perros son mamferos.Todos los mamferos son animales. Todos los perros son animales

(2)Todos los perros son mamferos.Todos los perros son animales Todos los mamferos son animales.

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(3)Todos los perros son mamferos.Ningn pez es mamfero. Ningn pez es un perro.

(4)Todos los peces son mamferos.Todos los mamferos son robots. Todos los peces son robots.

2.2. Solidez

Considere el argumento (4) del ejercicio anterior. Este argumento es v-lido, pero hay algo incorrecto en este argumento: no establece la verdad dela conclusin, dado que las premisas no son verdaderas. Tiene la propiedadde que si las premisas fuesen verdaderas, entonces la conclusin debera serloes decir, es PNV pero las premisas no son de hecho verdaderas, y por elloel argumento no establece la verdad de la conclusin.

Decimos que un argumento es slido si es vlido y adems tiene premisasque son de hecho verdaderas:

Slido = Vlido + Premisas Verdaderas

Un argumento vlido puede tener cualquier combinacin de premisas y con-clusiones verdaderas y falsas, excepto premisas verdaderas y conclusin falsa.Un argumento slido tiene premisas verdaderas y por lo tanto porque esvlido- una conclusin verdadera.

La lgica tiene poco que decir respecto a la solidez de los argumentos -porque tiene poco que decir sobre la verdad o falsedad de las proposiciones enla realidad. A la lgica, como hemos dicho, le interesan las leyes de la verdady las leyes generales de la verdad son muy diferentes de las verdades sobrehechos particulares, es decir, de los hechos respecto a los cuales las propo-siciones son realmente verdaderas o falsas. Hay innumerables proposicionesrelativas a diferentes cosas. No esperaramos que ninguna ciencia nos diga decada una si es verdadera o falsa. Est en la naturaleza de la ciencia, no el serun catlogo de cuestiones de hecho sino buscar generalizaciones o estructurasque ofrezcan algn inters. Especialmente, buscar leyes. Consideremos el casode la Fsica, que en parte se ocupa del movimiento. Los fsicos buscaron las

Captulo 2 26

leyes generales que rigen el movimiento, no trataron de establecer todos loshechos particulares relativos a lo que se mueve, cmo, cundo, dnde y a quvelocidad. Por supuesto, dadas las leyes generales del movimiento y algunoshechos particulares, se pueden deducir otros hechos sobre el movimiento deun objeto.

Lo mismo pasa en la lgica. Dadas las leyes generales de la verdad yalgunos hechos particulares (por ejemplo que una proposicin es verdaderay otra falsa) se pueden deducir otros hechos (que una tercera proposicines verdadera). Pero as como no es asunto de la fsica establecer dnde estcada cosa en cada momento y cun rpido se mueve, as tampoco es tareade la lgica decirnos de cada proposicin si es verdadera o falsa. Por ello, lascuestiones que tienen que ver con la solidez, que requieren el conocimientoacerca de la verdad de las premisas, se hallan fuera del alcance de la lgica.

Del mismo modo, en lgica no interesa si sabemos que las premisas deun argumento son verdaderas. Podemos encontrarnos con un argumento queincluya la premisa la mayor distancia recorrida por un peatn en el centrode Crdoba el 1 de diciembre de 2002 fue de 4 km. El argumento puedeser slido, no obstante no sera un argumento convincente para establecer suconclusin, ya que nunca sabramos si todas sus premisas son verdaderas.

De modo que hace falta algo ms que la validez para que un argumentodeductivo sea convincente. Un argumento realmente convincente ser no slovlido sino tambin slido, y adems deberamos poder saber si las premisasson verdaderas. Muchos se han quejado de que la lgica que nos habla slode la validez no nos proporciona una explicacin completa de los buenosrazonamientos. Esto es cierto, pero la queja slo tiene sentido si considera-mos a la lgica como la ciencia del razonamiento. Desde otra perspectiva, nohay un problema aqu: no es del todo acertado considerar a la lgica comola ciencia del razonamiento; ante el problema, es mejor considerarla como laciencia de la verdad. La lgica tiene aplicaciones importantes relacionadascon el razonamiento ms que todo en lo que tiene que ver con la validez.Sin embargo no alcanza con la validez para dar cuenta de los buenos razo-namientos (los argumentos vlidos no son siempre buenos y los argumentosbuenos no son siempre vlidos) y por ello, se puede decir mucho ms sobreel razonamiento de lo que se puede deducir de las leyes de la verdad.

Captulo 2 27

Recordar

La lgica tiene poco que decir respecto a la solidez de los argu-mentos -porque tiene poco que decir sobre la verdad o falsedadde las proposiciones en la realidad.

La Lgica se interesa por las leyes de la verdad y las leyesgenerales de la verdad son muy diferentes de las verdades sobrehechos particulares.

Ejercicios y Problemas

Problema 2.2.

1. Establezca cules argumentos del ejercicio anterior son slidos.

2. Indique un argumento en el ejercicio anterior que tenga todas las pre-misas verdaderas y conclusin verdadera, pero que no es vlido y porlo tanto no es slido.

3. Indique un argumento en el ejercicio anterior que tenga premisas yconclusin falsas, pero que sea vlido.

2.3. Lenguajes de primer orden

Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

(11) Todo caballo es un animal, por lo tanto la cabeza de uncaballo es la cabeza de un animal.

Se trata de un razonamiento en apariencia simple, directo y todo hace pen-sar que encierra un argumento vlido. Su forma se parece a la de algunosargumentos de los ejercicios anteriores. No obstante, este argumento se re-siste ms a exhibir su validez. El nexo lgico por el cual siendo la premisaverdadera, la conclusin no podra dejar de serlo, debe buscarse con msperspicacia. Es que el argumento esconde en su estructura una relacin entreobjetos, que a primera vista no parece obvia. Si intentamos representarlo dela forma del argumento (2) del captulo anterior, sentimos que no logramosencontrar el diagramaa que muestre su validez. No sabramos bien cmo re-presentarlo para ver esto. Sin embargo, el argumento parece similar tambin

Captulo 2 28

al argumento (5) del primer captulo. Podra verse como una combinacin en-tre los dos. Podramos formularlo a travs de un argumento como el siguiente:

(12)Todo caballo es un animal.Todo objeto que tiene una relacin R con un caballo, tiene esa relacinR con un animal.La cabeza de un caballo tiene la relacin ser_cabeza_de con uncaballo.Por lo tanto, la cabeza de un caballo tiene la relacinser_cabeza_de con un animal.

De hecho, la segunda premisa no se halla para nada explcita en (11).Pero, sin duda, de su aceptacin depende la validez del argumento.

Recin a comienzos del siglo pasado, la lgica alcanz a formular unateora general que pudo dar cuenta de la validez intuitiva de este tipo deargumentos. Fue a travs del desarrollo y estudio sistemtico de los llamadosLenguajes de Primer Orden (LPO) y de su lgica, que esto fue posible. Loslenguajes de primer orden permitieron no slo abarcar la lgica de los argu-mentos que involucran objetos y propiedades, sino tambin los argumentoscuya validez dependa de las relaciones entre esos objetos, como en el casode (12). A lo largo de este curso, veremos con ms detenimiento los aspectosfundamentales de este lenguaje y los mtodos formales que permiten estudiarlos argumentos vlidos que se pueden expresar en el mismo.

Recordar

El desarrollo de los Lenguajes de Primer Orden (LPO) permiti abar-car la lgica de los argumentos que involucran objetos y propiedades,as como de aquellos cuya validez depende de las relaciones entre esosobjetos.

Ejercicios y Problemas

Problema 2.3.

1. Considere el siguiente razonamiento de manera semejante al anlisisque hicimos en (12): Todo filsofo es un pensador. Por lo tanto, la obrade un filsofo es la obra de un pensador.

Captulo 2 29

2. Considere si puede darse un anlisis similar para el argumento (7) delpunto 1.4 del cap 1.

2.4. El rol especial de la lgica en la indagacinracional

Despus de haber visto desde cierta perspectiva en qu consiste la l-gica, consideremos ahora brevemente cules pueden ser las razones para es-tudiarla. En particular por qu estudiar el lenguaje de primer orden. Si nospreguntamos qu tienen en comn los campos de la astronoma, la economa,el derecho, la matemtica, la fsica y la sociologa, podramos responder queno mucho en cuanto al tema. Y quizs menos en cuanto a metodologa. Por loque vimos antes, la lgica nos indica una respuesta a esta pregunta. Algunavez Bertrand Russell dijo que la lgica trata del mundo real, lo mismo quela zoologa, aunque de sus rasgos ms abstractos y generales.2 Otra formade considerar la cuestin es sostener que lo que tienen en comn, todas es-tas disciplinas es su dependencia de un cierto estndar de racionalidad. Encada uno de estos campos se asume que quienes participan en ellos puedendiferenciar entre la argumentacin racional basada en principios aceptadosy especulaciones salvajes o absolutos nonsequiturs. En otras palabras, estoscampos presuponen todos ellos una aceptacin tcita de los principios b-sicos de la lgica. En cuanto a eso, toda indagacin racional depende de lalgica, de la capacidad de las personas para razonar correctamente la mayorparte del tiempo. As como de su confianza en la capacidad de otros parasealar las lagunas en sus razonamientos, cuando se equivocan. Mientras lagente puede disentir en gran cantidad de cosas, parece que puede ponerse deacuerdo respecto de lo que constituye una conclusin legtima a partir de pre-misas dadas. La aceptacin de estos principios de racionalidad compartidoses lo que diferencia a la indagacin racional de otros mbitos de la actividadhumana. Cules son entonces los principios de racionalidad que subyacena esas disciplinas? Cules son los medios por los que podemos distinguirargumentacin vlida de argumentacin invlida? Ms bsicamente, qu eslo que hace que una informacin se siga de premisas aceptadas, mientras otrainformacin, no? Como venimos viendo, se han explorado muchas respuestasa estas preguntas. Una sugerencia que an conserva adherentes es que las

2Bertand Russell, Introduccin a la Filosofa Matemtica.

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leyes de la lgica son una cuestin de convencin. Si esto es as, presumible-mente podramos decidir cambiar las convenciones, y adoptar as diferentesprincipios de lgica, de la misma manera en que decidimos en qu carril de laruta tenemos que conducir los automviles. Pero hay una acendrada intuicinde que las leyes de la lgica son ms irrefutables que las leyes que rigen unpas, incluso que las leyes de la fsica.

La importancia de la lgica ha sido reconocida desde la antigedad. Des-pus de todo, ninguna ciencia puede tener una certeza mayor que el msdbil de sus eslabones. Si hay algo arbitrario acerca de lo lgica, entonces lomismo debe ocurrir con toda la indagacin racional. Por eso se vuelve crucialentender qu son las leyes de la lgica (las leyes de la verdad) y an msimportante, por qu son estas sus leyes. stas son las preguntas que uno sehace cuando estudia la lgica misma. Estudiar lgica es usar los mtodosde indagacin racional en la racionalidad misma. Durante el siglo XIX elestudio de la lgica desarroll avances rpidos e importantes. Espoleada porproblemas lgicos en la ms deductiva de las disciplinas, la matemtica, sedesarroll como disciplina por propio derecho, con sus conceptos, mtodos,tcnicas y lenguaje propios. La Enciclopedia Britnica, al dividir el conoci-miento, nombra a la lgica como una de las siete ramas del conocimiento.Ms recientemente, el estudio de la lgica ha jugado un rol destacado enel desarrollo de las modernas computadoras y lenguajes de programacin.Como ya sealamos, la lgica tiene un rol importante en las ciencias de lacomputacin; en verdad, se ha dicho que la ciencia de la computacin eslgica ms electrnica.

Este texto pretende introducirlo en algunos de los ms importantes con-ceptos y herramientas de la lgica moderna. El principal objetivo es propor-cionar respuestas detalladas y sistemticas a las preguntas que se plantearonarriba. Procuraremos que comprenda de qu manera las leyes de la lgica(las leyes de la verdad) se siguen inevitablemente de los significados queasociamos con el lenguaje que usamos para hacer afirmaciones. Las conven-ciones son cruciales para establecer el significado de un lenguaje, no obstante,una vez que se ha establecido el significado, las leyes de la lgica se sigueninevitablemente. De modo ms particular, el texto se propone dos objetivosprincipales. El primero es ayudarlo a aprender el lenguaje de la lgica deprimer orden. El segundo objetivo es ayudarlo a aprender algo acerca de lanocin de consecuencia lgica, y acerca de cmo se determina si alguna pro-posicin es, o no, una consecuencia lgica de otras premisas aceptadas. Ya

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que hay mucho ms en lgica de lo que se puede referir en este texto, o de loque una persona puede aprender en toda su vida, se trata al menos de cubrirestas cuestiones ms bsicas.

2.5. Por qu aprender un lenguaje artificial?

El lenguaje LPO que acabamos de mencionar es muy importante. Co-mo el latn, este no es un lenguaje hablado, pero, a diferencia del latn, esutilizado cotidianamente por matemticos, filsofos, cientficos de la compu-tacin, lingistas y quienes actualmente trabajan en inteligencia artificial.En verdad, en cierto sentido es la lingua franca de los ciencias simblicas.Este lenguaje recibi varios nombres: clculo inferior de predicados, clculofuncional, lenguaje de la lgica de primer orden, y LPO. Usaremos este lti-mo. Ciertos elementos de LPO se remontan a Aristteles, pero el lenguaje, talcomo hoy se conoce, surgi en siglo pasado. Los nombres eminentemente aso-ciados con su desarrollo son los de Gottlob Frege, Giuseppe Peano y CharlesSanders Peirce. A finales del siglo XIX estos tres lgicos, independientemen-te, ofrecieron los elementos ms importantes del lenguaje, conocidos comocuantificadores. Desde entonces ha habido un proceso de estandarizacin ysimplificacin que termin en el lenguaje en su forma actual. Aun as, sub-sisten ciertos dialectos de LPO, que difieren principalmente en la eleccin delos smbolos para las conectivas y los cuantificadores. Usaremos el dialectoms comn en matemticas.

LPO se usa de maneras diferentes en campos diferentes. En matemticas,se usa muchsimo de manera informal. Las distintas conectivas y los cuantifi-cadores se emplean en gran parte del discurso matemtico, formal e informal,as como en las exposiciones en clase. Seguramente encontrar elementosdeLPO entremezclados con el espaol o con la lengua nativa del matemtico.A menudo un estudiante de clculo encuentra frmulas como:

> 0 > 0...Aqu las letras extraas, invertidas, estn tomadas directamente del len-

guaje LPO y representan cuantificadores.En filosofa, LPO y algunas de sus presentaciones enriquecidas se usan

de dos maneras diferentes. Como en matemticas, la notacin de LPO seusa cuando se busca claridad, rigor y evitar la ambigedad. Pero tambin

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para expresar con precisin y rigor nociones informales (como gramaticalidad,significado, verdad y demostracin). Los usos en lingstica surgen de esteltimo caso, ya que la lingstica se ocupa en gran medida de la comprensinde algunas de esas mismas nociones informales.

En inteligencia artificial, LPO se usa tambin de dos maneras. Algunosinvestigadores aprovechan la estructura simple de los enunciados en LPO pa-ra codificar el conocimiento a fin de que lo almacene y use una computadora.Modelizan el pensamiento a travs de una manipulacin simblica, que sevale de oraciones de LPO. Otra utilizacin consiste en un lenguaje de repre-sentacin preciso, para establecer axiomas y demostrar resultados acerca desimulaciones con robots.

En la ciencia de la computacin, LPO ha tenido un efecto an ms profun-do. La idea misma de un lenguaje artificial que sea preciso y suficientementerico para programar computadoras, fue inspirada por LPO. Adems, todoslos lenguajes de programacin subsistentes toman prestadas algunas nocionesde uno u otro dialecto de LPO. Finalmente, estn los as llamados lengua-jes de programacin lgica, como Prolog, cuyos programas son secuencias deoraciones de un determinado dialecto de LPO.

LPO sirve como ejemplo prototpico de lo que se conoce como un lenguajeartificial. Estos lenguajes fueron diseados para propsitos especiales, y seoponen a los as llamados lenguajes naturales, lenguajes como el espaol y elgriego, que la gente habla actualmente. El diseo de lenguajes artificiales enlas ciencias simblicas es una actividad importante, que se basa en el xitode LPO y sus descendientes.

An si alguien no contina con el estudio de la lgica u otra disciplinasimblica, el estudio de LPO puede serle beneficioso. Por eso se lo enseatanto. Por una parte aprender LPO constituye una manera fcil de desmiti-ficar el trabajo formal. Pero, ms importante an, le ensear mucho acercade su propio lenguaje y de las leyes de la lgica que este sostiene. Primero,aunque es muy simple, LPO incorpora en forma transparente, algunos delos rasgos ms importantes de los lenguajes humanos. Esto ayuda a hacermucho ms transparentes aun tales rasgos. Uno de los ms destacados esla relacin entre el lenguaje y el mundo. Pero, segundo, cuando intentemostraducir oraciones espaolas a LPO apreciaremos la gran sutileza que resideen el espaol, sutileza que no puede ser capturada por LPO o lenguajes si-milares, por lo menos hasta ahora. Finalmente, tomaremos conciencia de laenorme ambigedad presente en casi toda oracin espaola, ambigedad que

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no impide, de algn modo, que nos entendamos unos a otros en la mayorade las situaciones.

Nos habamos preguntado antes qu hace que una afirmacin se siga deotras: convencin, o alguna otra cosa? Una parte significativa de este textose ocupa de dar una respuesta a esta pregunta para LPO. Pero puede darseaqu una respuesta breve. Como ya vimos, la lgica moderna nos ensea queuna afirmacin es una consecuencia lgica de otra si no hay manera de queesta ltima sea verdadera sin que lo sea tambin la primera. sta es la nocinde consecuencia lgica implcita en toda indagacin racional. Todas las dis-ciplinas racionales presuponen implcitamente que esta nocin tiene sentido,y que podemos usarla para extraer consecuencias de lo que sabemos que esde tal y cual modo, o que creemos que es de tal y cual modo. Tambin se usapara refutar una teora. Pues si una afirmacin S es una consecuencia lgi-ca de la teora, y descubrimos que S es falsa, entonces sabemos que la teoramisma debe ser falsa. Uno de los propsitos este texto, es el de examinar estanocin de consecuencia lgica tal como se aplica especficamente al lenguajeLPO. A tal fin, veremos diversos mtodos de demostracin cmo podemosdemostrar que un enunciado de LPO es una consecuencia lgica de otro ytambin mtodos para mostrar que una proposicin no es una consecuencialgica de otras proposiciones.

Recordar

Aunque es muy simple, LPO incorpora en forma transparente, algu-nos de los rasgos ms importantes de los lenguajes humanos. Uno delos ms destacados es la relacin entre el lenguaje y el mundo. Asmismo, cuando intentemos traducir oraciones espaolas a LPO apre-ciamos la gran sutileza que reside en el espaol, y que no puede sercapturada por LPO o lenguajes similares.

Ejercicios y Problemas

Problema 2.4. Un argumento algo desopilante.

Bertand Russell fue uno de los ms influyentes lgicos y filsofos del siglopasado. Su fama se debe a sus numerosas contribuciones, ensayos, libros, ysu monumental obra con Alfred North Witehead, Principia Mathematica. La

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historia cuenta que Russell estaba cenando con un grupo de gente y discu-tiendo los principios de la lgica. Explicaba que a partir de una proposicincontradictoria se poda demostrar cualquier cosa. Uno de los comensales pen-s que eso era extravagante y puso la idea en tela de juicio, aunque dijo quese convencera si Russell tomaba la proposicin 0=1 y a partir de ella demos-traba que l, Russell, era el Papa. Russell pens un momento y entonces dijo:Si 0=1, entonces sumando 1 a cada lado de esta igualdad tenemos que 1=2.El Papa y yo somos 2, por lo tanto, el Papa y yo somos 1. Ser posiblereconstruir el argumento de Russell?

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Elementos de LPO

Los lenguajes de primer orden pueden emplearse para referirse a domi-nios de objetos diferentes pero comparten una gramtica y sobre todo ciertostems importantes de su vocabulario conocidos como conectivas y cuantifica-dores. Se diferencian entonces en los nombres y predicados que utilizan, quecorresponden a los nombres de los objetos en el dominio de referencia, comoPedro, Juan, Mara si el lenguaje se refiere a personas o tal vez Cosa1, Cosa2si se refiere a objetos de determinacin un tanto ms imprecisa. Los predi-cados que a dichos nombres pueden aplicarse pueden ser tambin diversoscomo quiere en Pedro quiere a Juan o llora en Mara llora o cubo en Cosa1es un cubo. Que puedan diferir estos lenguajes en el vocabulario especficousado para formar sus oraciones ms bsicas, las oraciones atmicas, permiteque se formen distintas oraciones complejas utilizando las mismas operacio-nes lgicas. Un lenguaje de primer orden es un tipo de lenguaje formal. Enoposicin a los lenguajes llamados naturales que son productos sociales, his-tricos, estos lenguajes son artificiales y como tales son construidos sobreelementos bien definidos de manera rigurosa y explcita.

Estos lenguajes son construidos principalmente por comodidad, pues elproceso de formalizacin, aquel que consiste en escribir mediante smbolosespeciales las expresiones con las que queremos trabajar, tiene por finalidadasistir nuestro trabajo, hacindolo ms riguroso o transparente, pero no dejade ser un recurso.

Una vez que tenemos una idea del dominio sobre el que versar nuestrateora (de que cosas queremos hablar) hay ciertas reglas de cmo construirnuestro lenguaje, llamadas reglas de formacin. Estas reglas nos dicen exac-

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tamente cmo combinar determinados elementos del vocabulario con otros afin de construir expresiones ms complejas, como es el caso de la regla quenos deca que de la combinacin de un nombre y un predicado se obtiene unaoracin.

Las oraciones atmicas corresponden a las oraciones ms simples del espa-ol, oraciones que consisten de algunos nombres conectados por un predicado.

Imaginemos un tablero cuadriculado en el que es posible disponer cuerposgeomtricos: cubos, tetraedros y dodecaedros. Para poder describir algunascosas simples en ese tablero podemos construir un lenguaje formal, al quellamaremos leguaje de bloques, para hablar de esos objetos. Para la construc-cin de nuestro lenguaje reservaremos las primeras letras del abecedario enminscula para usarlas como nombre de los objetos que se coloquen en dichotablero (en el caso que queramos darles un nombre, algo que no es nece-sario hacer pues podemos tener objetos sin nombres). Para los predicadospodemos utilizar otro conjunto de letras (generalmente los autores que hacenesto reservan para este fin letras maysculas) pero en este curso optaremosen general por utilizar palabras como predicados. Estas palabras sern to-madas al menos parcialmente de las correspondientes palabras en espaol loque servir para fijar su interpretacin. As y tal como ya se ilustr, usare-mos entonces la palabra Cubo para el predicado que expresa la propiedad deser un cubo, Tet para tetraedro y Dodec para dodecaedro. Podemos cons-truir con ellos las expresiones que afirman por ejemplo que el objeto a es uncubo: Cubo(a). Para los predicados, el lenguaje de bloques usa Tet, Cubo,Dodec, Chico, Median, Grand, MenorQu, MayorQ, IzqdDe, DerecDe, DetrDe,DelanDe y EsEntre. Algunos ejemplos de oraciones atmicas en este lenguajeson Cubo(b), MayorQ(c, f) y EsEntre(b, c, d). Estas oraciones dicen, respec-tivamente, que b es un cubo, que c es mayor que f y que b est entre c yd. Posteriormente en este captulo, veremos oraciones atmicas usadas enotras versiones de LPO, como el lenguaje de primer orden de la aritmtica,y en el prximo captulo comenzamos nuestra discusin de las conectivas ycuantificadores comunes a todos los lenguajes de primer orden.

3.1. Constantes individuales

Las constantes individuales son simplemente smbolos que se usan parareferir a algn objeto individual fijo. Son anlogas en el lenguaje formal de losnombres en espaol y en nuestros lenguajes nos limitaremos a los nombres

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propios. Por ejemplo, podramos usar Max como una constante individualpara denotar una persona particular, o 1 como una constante individual paradenotar un nmero particular. En ambos casos, funcionan exactamente comolos nombres funcionan en espaol.

La principal diferencia entre los nombres en espaol y las constantes in-dividuales en LPO es que se exige que las constantes individuales haganreferencia exactamente a un objeto particular. Obviamente, el nombre Maxen espaol puede ser usado para hacer referencia a personas diferentes, y po-dra ser usado dos veces en una oracin para hacer referencia a dos personasdiferentes. Tal conducta aviesa es desaprobada en LPO.

Hay tambin nombres en espaol que tampoco hacen referencia a nin-gn objeto existente. Por ejemplo Pegaso, Zeus y Santa Claus son nombresperfectamente claros en espaol, slo que no refieren a algo o a alguien. Nopermitimos tales nombres en LPO.1 Lo que permitimos, no obstante, es queun objeto tenga ms que un nombre, por ejemplo los nombres Matas y Matipodran hacer referencia al mismo objeto individual. Tambin permitimosobjetos sin nombres, objetos que no tienen ningn nombre.

RecordarEn LPO,Todo nombre debe nombrar un objeto.Ningn nombre puede nombrar ms que un objeto.Un objeto puede tener ms de un nombre, o ningn nombre.

3.2. Smbolos de Predicado

Los smbolos de predicado son smbolos usados para denotar alguna pro-piedad de objetos o alguna relacin entre objetos. Como en espaol, sonexpresiones que combinadas con nombres forman oraciones atmicas. Perono corresponden exactamente a los predicados de la gramtica espaola.

Consideremos en espaol la oracin Max gusta de Clara. En la gramticaespaola se analiza esto como una oracin sujeto-predicado. Consiste del

1Hay, sin embargo, una variante de la lgica de primer orden llamada lgica libre (freelogic) en la que esta suposicin es dejada de lado. En la lgica libre, puede haber constantesindividuales sin referentes. Esto produce un lenguaje ms apropiado para la mitologa yla ficcin.

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sujeto Max seguido por el predicado gusta de Clara. En el lenguaje de primerorden, por contraste, vemos a esto como una afirmacin que involucra dossujetos lgicos, los nombres Max y Clara, y un predicado, gusta de, queexpresa una relacin entre los referentes de los nombres. De este modo lasoraciones del lenguaje de primer orden tienen a veces dos o ms sujetoslgicos, y el predicado es, por as decirlo, lo dems. Los sujetos lgicos sonllamados los argumentos del predicado. En este caso, el predicado se diceque es binario, puesto que toma dos argumentos.

En LPO, cada predicado tiene un nmero fijo de argumentos, una aridadfija. La aridad es un nmero que indica cuntas constantes individuales ne-cesita el smbolo de predicado para formar una oracin. El trmino aridadderiva del hecho de que los predicados que toman un argumento son llamadosunarios, los que toman dos binarios, as sucesivamente.

Si la aridad de un smbolo de predicado es 1, entonces ese predicado seutilizar para denotar alguna propiedad de objetos, y requerir por consi-guiente exactamente un argumento (un nombre) para hacer una afirmacin.Por ejemplo, podramos usar el smbolo de predicado unario EnCasa paradenotar la propiedad de estar en casa. Podramos posteriormente combinaresto con el nombre Max para lograr la expresin EnCasa(Max), que expresala afirmacin que Max est en su casa. Si la aridad de un predicado es 2,entonces ser usado para representar una relacin entre dos objetos. De es-te modo, podramos usar la expresin IzqdDe(Clara,Max) para expresar unaafirmacin acerca de Max y Clara, por ejemplo la afirmacin de que Claraest a la izquierda de Max. En LPO, podemos tener smbolos de predicadocon cualquier aridad. En el lenguaje de bloques nos limitaremos a predicadoscon aridades 1, 2 y 3. Listamos abajo los predicados de este lenguaje con suaridad:

Lenguaje de bloques

Aridad 1: Cubo, Tet, Dodec, Chico, Median, Grand.

Aridad 2: MenorQu, MayorQ, IzqdDe, DerecDe, DetrDe, DelanDe,MismoTam.

Aridad 3: EsEntre.

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Asignamos a cada uno de estos predicados una interpretacin fija, quecorresponde, de manera razonablemente consistente, a una frase verbal delespaol. Por ejemplo, Cubo corresponde a es un cubo. DetrDe corresponde aest detrs de, y as sucesivamente. Podemos adiestrarnos en su uso traba-jando en el primer conjunto de ejercicios dados abajo.

En espaol, los predicados son algunas veces vagos. No es siempre claro siun individuo tiene o no la propiedad en cuestin. Por ejemplo, Clara, quientiene seis aos, es joven. No ser joven cuando tenga 96. Pero no hay unaedad determinada en la que la persona deja de ser joven: este tipo de cosas esgradual. En LPO, sin embargo, asumimos que todo predicado es interpretadopor una propiedad o relacin determinada. Por una propiedad determinada,significamos una propiedad para la cual, dado cualquier objeto, hay un mododefinido de saber si el objeto dado tiene o no la propiedad.

RecordarEn LPO,Todo smbolo de predicado viene con una aridad nica fija, un n-mero que le dice cuntos nombres necesita para formar una oracinatmica.Todo predicado es interpretado por una propiedad o relacin deter-minadas de la misma aridad que el predicado.

3.3. Oraciones atmicas

En LPO, las clases ms simples de afirmaciones son las que son realizadascon un predicado nico y el nmero apropiado de constantes individuales.Una oracin formada por un predicado seguido por el nmero correcto denombres es llamada una oracin atmica. Por ejemplo MasAlt(Clara,Max)y Cubo(a) son oraciones atmicas, siempre que los nombres y smbolos depredicados en cuestin sean parte del vocabulario de nuestro lenguaje.

Con estos predicados usamos una notacin llamada prefija: el predicadoprecede a los argumentos. El orden de los nombres en una oracin atmica esimportante. As como Clara es ms alta que Max significa algo diferente deMax es ms alto que Clara, tambin MasAlt(Clara,Max) tiene un significadodiferente que MasAlt(Max, Clara). As IzqdDe(b, c) significa ms o menos lo

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mismo que la oracin en espaol b est a la izquierda de c, y EsEntre(b, c, d)significa a grandes rasgos lo mismo que en espaol b est entre c y d.

Predicados y nombres refieren respectivamente a propiedades y objetos.Lo que hace especiales a las oraciones es que hacen afirmaciones (o expresanproposiciones). Una afirmacin es algo que es verdadero o falso, a lo quesea de uno de estos dos casos, lo denominamos su valor de verdad. En estesentido, si MasAlt(Clara,Max) expresa una afirmacin cuyo valor de verdad esVERDADERO, MasAlt(Max, Clara) expresa una afirmacin cuyo valor deverdad es FALSO. Dada nuestra suposicin de que los predicados expresanpropiedades determinadas y que los nombres denotan individuos definidos,se sigue que cada oracin atmica de LPO debe expresar una afirmacin quees verdadera o falsa. Esto es, una proposicin.

RecordarEn LPO,Las oraciones atmicas se forman colocando un predicado de aridadn al frente de n nombres (encerrados entre parntesis y separados porcomas)El orden de los nombres es relevante cuando se forman oracionesatmicas.

Ejercicios y Problemas

Problema 3.1 (Construccin de mundos) Construya un mundo en el quetodas las proposiciones sean simultneamente verdaderas.

1. Tet(a)

2. Median(a)

3. Dodec(b)

4. Cubo(c)

5. DelanDe(a, b)

6. EsEntre(a, b, c)

7. MayorQ(a, b)

8. MenorQu(a, c)

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9. lzqdDe(b, c)

Problema 3.2 (Traduciendo a oraciones atmicas) A partir de estas oracio-nes en espaol realice una lista de oraciones en el lenguaje de bloques querepresenten lo que cada una afirma y construya un mundo en el que todaslas proposiciones correspondientes sean verdaderas.

1. a es un cubo.

2. b es menor que a.

3. c est entre a y d.

4. d es grande.

5. e es mayor que a.

6. b es un tetraedro.

7. e es un dodecaedro.

8. e est a la derecha de b.

9. a es menor que e.

10. d est detrs de a.

3.4. La isla de los caballeros y bribones

Un contexto alternativo en el que podemos aplicar un lenguaje de primerorden es para resolver enigmas en la llamada isla de los caballeros y bribones,lugar donde suelen desarrollarse muchos de los problemas planteados por ellgico y mago Raymond Smullyan.2 Los nativos de dicha isla suelen dividirse,adems de en hombres y mujeres, en caballeros y bribones. Asumiendo queel uso de los predicados hombre y mujer es ms o menos claro (es decir quesu aplicacin no tiene ms dificultades que las que puede tener en espaol)podemos aclarar el empleo de los otros dos de la siguiente forma: Decimosque un nativo de la isla es un caballero si y slo si, lo que dice es verdad,

2Si bien lo hace en varios libros, uno muy conocido es This Book Needs No Title: ABudget of Living Paradoxes

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y esto con prescindencia si se trata de un hombre o una mujer. Alternativa-mente diremos que es un bribn si y slo si lo que dice es mentira, de nuevo,dejando de lado si se trata de un hombre o una mujer. Este es el conjuntode predicados bsicos para usar en la isla. A ellos les podemos agregar otrosrelacionales como Progenitor, Pareja y otros. Presentamos a continuacin unatabla con los predicados ms usuales, su anlogo en espaol y los nombresde algunos nativos de la isla, es decir los nombres de individuos a los que seaplicaran los predicados:

Tabla 3.1LPO Espaol ComentarioNombres:Og Og

Nombres de nativos dela isla

Bog BogArk ArkSnark SnarkTak TakBark BarkJal Jal...

...

Predicados:Caballero(x) es un caballero Todos estos predicados

son mondicos o de ari-dad 1 y forman pa-res excluyentes. Nin-gn individuo en la is-la puede ser al mismotiempo caballero y bri-bn, ni mujer y hombrey tampoco soltero y ca-sado.

Bribon(x) es un bribnMujer(x) es mujerHombre(x) es hombreSoltero(x) es solteroCasado(x) es casado...

...

Progenitor(x, y) es el progenitor de Estos predicados sonde aridad 2 o relaciona-les. Si a es progenitorde b, b es hijo de a.Ser pareja es una rela-cin simtrica. Si a espareja de b, b es parejade a.

Hijo(x, y) es hijo dePareja(x, y) son pareja...

...

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Los puntos suspensivos en las columnas indican que la lista no es exhaustiva:es posible definir nuevo predicados e individuos ms adelante. Por otra parte,tal como se observ en la columna de comentario, varios de estos predicadospodran omitirse siendo que se pueden definir a partir de otros. Por ejemplo,sabemos que todo habitante de la isla es caballero o bribn, por lo que si noes bribn, debe ser caballero (si no lo fuera, no sera ni caballero ni bribncontra lo que este principio afirma) y que ambos predicados son excluyen-tes, entonces si alguien es un caballero, no es un bribn (porque si no seracaballero y bribn lo que tampoco es posible en esta isla)

Esto no significa que alguien no pueda decir, por ejemplo, que es caballeroy bribn. Algn habitante podra decir esto, lo que no puede ser es que esosea verdad. Si un habitante dijera eso, sabramos inmediatamente que mientey por lo tanto sabramos si es bribn o caballero.

Ejercicios y Problemas

Problema 3.3: Si un nativo de la isla afirma que es caballero y bribn, setrata de un bribn o un caballero?

Problema 3.4: Podra un nativo de la isla afirmar de si mismo que escaballero? Y Bribn? En caso afirmativo, quines podran hacer tales afir-maciones?

3.5. El lenguaje de primer orden de laaritmtica

Este es un ejemplo de otro lenguaje de primer orden que nos permiteexpresar en este caso oraciones acerca de los nmeros naturales 0,1,2,3,..., ylas operaciones de aritmtica de suma y multiplicacin. Hay distintos mo-dos ms o menos equivalentes de establecer este lenguaje. Uno de los queusaremos tiene dos nombres 0 y 1, dos smbolos de relaciones binarias, = y< y dos smbolos de funciones binarias, + y . Las oraciones atmicas sonaqullas que pueden ser construidas a partir de estos smbolos. Usaremos lanotacin infija tanto para los smbolos de relacin como para los smbolos defunciones.3

3Recordemos que una funcin se difine como una relacin R para la cual se cumpleadems la siguiente propiedad: Para cualesquiera x, y, z si R(x, y) y R(x, z), entonces y = z.

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Los smbolos de funcin permiten formar trminos que se parecen a nom-bres, a partir de nombres y otros trminos que se parecen a nombres. Algunosejemplos en espaol pueden ayudar a clarificar esto. En espaol tenemos mu-chas clases de frases nominales, expresiones que pueden ser combinadas conuna frase verbal para formar una oracin. Adems de nombres como Max yClara, otras frases nominales incluyen expresiones como el padre de Max,la madre de Clara, toda joven que conozca a Max, Nadie que conozcaa Clara, Alguien y as sucesivamente. Cada una de estas expresiones secombina con una frase verbal singular como gusta del purur sin manteca,para formar una oracin. Pero advierta que las oraciones resultantes tendrnpropiedades lgicas muy diferentes. Por ejemplo, de

La madre de Clara gusta del purur sin manteca.

se sigue que hay alguien que gusta del purur sin manteca, mientras que

Nadie que conoce a Clara gusta del purur sin manteca,

no se sigue de esto.Los que intuitivamente se refieren a un individuo, son llamados trmi-

nos y se comportan como las constantes individuales que ya hemos discuti-do. De hecho, las constantes individuales son los trminos ms simples y lostrminos ms complejos se construyen a partir de ellos usando smbolos defuncin. Frases nominales como Nadie que conoce a Clara son tratadas conmecanismos muy diferentes, conocidos como cuantifica