Lógica teorica claseII

8/2/2019 Lógica teorica claseII

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Lógica Proposicional Asignatura: Matemática

Prof. Lloret Viviana



[LÓGICA PROPOSICIONAL] Parte II

1 Prof. Lloret Viviana

Operaciones lógicas o Proposicionales

Cuando tenemos que determinar si una proposición compuesta es ver-

dadera o falsa para cada valor de verdad de las proposiciones compo-

nentes se dan tablas que proporcionan la información necesaria. Estas

tablas se llaman Tablas de verdad e indican si el resultado de la ope-

ración es una proposición verdadera o falsa.

Dada una proposición compuesta, de la que se conoce el valor de ver-

dad de cada proposición que la compone, trataremos de determinar o

calcular el valor de verdad de la proposición resultante, para ello estu-

diaremos a continuación el uso y significado de cada operación o conec-

tivo lógico.

Negación (~) Dada una proposición p, llamamos la negación de p a otra proposición

denotada ~p (se lee “no p”) que le asigna el valor de verdad contrario

al de p.

Por ejemplo:

p: Hoy es jueves

~p: Hoy no es jueves

Su tabla de verdad es:

p ~p

V F

F V





La negación de p la podríamos haber expresado del siguiente modo:

~p: No es cierto que hoy es jueves.

Antes de continuar es preciso aclarar como considerar todas las posibili-

dades, con respecto al valor de verdad, que pueden presentarse si rela-

cionamos dos proposiciones, por ejemplo p y q:

Q

puede ser:

p q

P

Puede ser

V

V V V

F V F

FV F V

F F F

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, llamamos conjunción de estas proposi-

ciones a la proposición p q (Se lee p y q), cuya tabla de verdad es:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F





La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones

son verdaderas.

Ejemplos:

Dada la proposición

6 es un número par y 9 es múltiplo de 3

Como tanto el valor de verdad de p y el de q son verdaderos, la conjun-

ción resulta verdadera. En cambio si consideramos:

Hoy es 12 de marzo y mañana es 18 de octubre

La conjunción es falsa ya que ambas no pueden ser simultáneamente

verdaderas.

DisyunciónDadas dos proposiciones p y q, llamamos disyunción de estas proposi-

ciones a la proposición p q (Se lee p o q), cuya tabla de verdad es:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q





La disyunción solo es Falsa cuando las dos proposiciones son fal-

sas.

Ejemplos:

Dada la proposición

6 es un número par o La capital de Argentina es Bogotá.

La disyunción p q resultará Verdadera ya que si bien q es Falsa, p es

Verdadera.

Resumiendo la verdad de la disyunción se da en el caso de que almenos una de las proposiciones que componen la proposicióncompuesta es Verdadera.

Implicación o condicional

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q, p recibe

el nombre de antecedente y q de consecuente, su tabla de verdad es:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q





Como podemos observar la implicación solo es Falsa cuando el antece-

dente es Verdadero y su consecuente es Falso.

Para recordarlo citaremos el siguiente ejemplo: Supongamos que a Ma-

ría su mamá le dice: Si ordenas tu cuarto te llevo a la plaza, si María

arregla su cuarto y finalmente su mamá no la lleva a la plaza no estaría

cumpliendo el pacto, por lo tanto su promesa sería Falsa.

Otro ejemplo:

Supongamos la implicación:

Si apruebo, entonces te presto el libro.

La implicación está compuesta por las siguientes proposiciones:

p: apruebo.

q: te presto el libro.

En este caso si p es verdadera, es decir si apruebo y no presto el libro,

el compromiso no se cumple y por lo tanto la proposición p q es Fal-

sa.

Doble implicación o Bicondicional

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se

lee “p si y sólo si q” ), su tabla de verdad es:

p q





p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Más adelante probaremos que p q es equivalente a: (p q) (q p)

Ejemplo:

a=b a2=b 2

El enunciado está compuesto por:

p: a=b

q: a2=b 2

Esta doble implicación es Falsa si p y q no tienen el mismo valor de

verdad, es decir si una es Verdadera y la otra Falsa.

Diferencia simétrica u “o excluyente”

Diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p q

(se lee “o bien p, o bien q”), su tabla de verdad es:





p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Como podemos observar en la diferencia simétrica la proposición resul-tante sólo es verdadera cuando las proposiciones p y q tienen distinto

valor de verdad, es decir cuando una es verdadera la otra necesaria-

mente debe ser falsa.

Utilizando estas tablas determinaremos el valor de verdad de las si-

guientes proposiciones compuestas:

Dadas las siguientes proposiciones:

p: “Las estrellas emiten luz”; q: “Los planetas reflejan la luz”;

r: “ Los planetas giran alrededor de las estrellas”

Determinar la validez de las siguientes proposiciones compuestas:

1. “Si las estrellas emiten luz entonces los planetas no reflejan su luz “

En lenguaje simbólico:

p ~q





a. Hallamos los valores de ~q (Recuerden que serán contrarios a los

de q).

b. Hallamos p ~q (Recuerden que sólo será Falsa en el caso que p

sea Verdadera y ~q Falsa)

p q ~q p ~q

V V F F

V F V V

F V F V

F F V V

Observando la tabla (cuarta columna) podemos deducir que la proposi-

ción compuesta dada sólo será Falsa en el caso de que p y q sean Ver-

daderas.

2. “O bien las estrellas emiten luz y los planetas la reflejan o las estre-

llas no emiten luz”

(p q) ~p

Para confeccionar la tabla de verdad debemos tener en cuenta:

a. En la tercera columna hacemos p q, recuerden que sólo dará

Verdadero si tanto p como q son Verdaderas, y Falso en caso con-

trario.

b. En la cuarta columna calculamos los posibles valores de ~p, te-

niendo en cuenta los valores de p (ingresados en la primera co-

lumna)





c. Por último calculamos, en la quinta columna, (p q) ~p, te-

niendo en cuenta las columnas tercera y cuarta. Dicho resultado

se encuentra sombreado.

p q p q ~p (p q) ~p

V V V F V

V F F F F

F V F V V

F F F V V

Observando la tabla (quinta columna) podemos deducir que la proposi-

ción compuesta dada sólo será Falsa (Recuerden la tabla de verdad de la

disyunción exclusiva) en el caso de que las proposiciones tengan el

mismo valor de verdad, tal es el caso de la segunda fila.

3. “Si las estrellas emiten luz y los planetas giran alrededor de las estre-

llas entones los planetas reflejan la luz”

(p r) q

En este caso son tres las proposiciones que relacionaremos, por tal mo-

tivo es preciso aclarar cuántas posibilidades tenemos en este caso:





q puede ser: r puede ser p q r

p Puede ser

V

V V V V V

F V V F

FV V F V

F V F F

FV

V F V V

F F V F

F V F F V

F F F F

Este esquema se lo conoce con el nombre de Diagrama de Árbol.

p r p r q (p r) q

V V V V V

V V V F F

V F F V V

V F F F V

F V F V V

F V F F VF F F V V

F F F F V





Otro modo de hacer la tabla de verdad:

p r q

V V V V V

V V V F F

V F F V V

V F F V F

F F V V V

F F V V F

F F F V V

F F F V F

Prioridad de las operaciones

Cuando en una proposición compuesta encontramos varias operaciones

es preciso conocer qué operación realizamos primero. Para explicarlo

haremos un paralelo con las operaciones aritméticas.

Orden dePrioridad

Operaciones aritméticas Operaciones lógicas

1 Potenciación o radicación Negación (~)

2 Producto o cociente

Conjunción, Disyunción

o disyunción exclusiva(, , )

3 Sumas o restas Implicación





4 - Doble implicación

Si en un ejercicio encontramos paréntesis es preciso primero resolver

las operaciones encerradas en el mismo. Si encontramos dos o más ope-

raciones con la misma prioridad las resolvemos de izquierda a derecha.

Probaremos mediante Tablas de verdad que p q es equivalente a:

(p q) (q p)

En este caso como p q y q p se encuentran encerradas entre pa-

réntesis primero resolveremos dicha operación.

p q q p

V V V V V V V

V F F F F V V

F V V F V F F

F v F V F V F

p q

V V V

V F F

F F V

F v F

Resultado Final

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