Lógica proposicional Parte I

5/14/2018 Lógica proposicional Parte I - slidepdf.com

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LógicaProposicionalAsignatura: Matemática

Prof. Lloret Viviana



[LÓGICA PROPOSICIONAL] Parte I

Lógica proposicional

La Matemática exige en cualquiera de sus ramas, un lenguaje claro y

preciso. Estas virtudes las proporciona la Lógica, que da a cada expresión

un significado exacto y a cada símbolo una interpretación sin

ambigüedades.

Una manera sencilla de introducir el lenguaje lógico la proporciona el

cálculo de proposiciones.

Lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación

de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y

la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en

cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más

simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas,

llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones,

capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

La lógica proposicional es una rama de la lógica que permite representarhechos y/o expresiones del mundo real en un lenguaje representativo del

conocimiento mediante propiedades elementales para estudiar a través de

proposiciones o sentencias lógicas sus posibles evaluaciones de verdad.

La lógica proposicional toma un rol muy importante en el desarrollo de la

inteligencia artificial, y en otros aspectos de la informática.

Proposiciones lógicas

Son aquellas expresiones u oraciones declarativas que pueden ser

calificadas o bien como verdaderas o bien como falsas, sin ambigüedades.

Las proposiciones lógicas serán designadas con letras minúsculas

generalmente:

2 Prof. Lloret Viviana




p, q, r,…

A la veracidad o falsedad de un enunciado (proposición) se lo denomina

Valor de verdad.

Ejemplos de proposiciones lógicas:

Proposición Valor de verdad

p: Buenos Aires es la capital de Argentina. Verdadero

q: 3 es divisor de 15 Verdadero

r: 3 es menor que 1 Falso

s: 3 * 4 + 1=20 Falso

Ejemplo de expresiones que no son proposiciones lógicas:

Buenos días

¡Qué frío aquel amanecer!

Borra el pizarrón.

¿Podrías cerrar la puerta?

x > 3

3*4 + 1

x+ 3 = 8

En resumen las proposiciones lógicas son expresiones de las que tiene

sentido decir que son verdaderas o que son falsas.

Clases de proposiciones lógicas:





Proposiciones simples o atómicas: Son las que no contienen en su

interior otras proposiciones. Ejemplos:

p: Llueve

q: Hace frío

r: 3 es un número primo

s: 3 es divisor de 15

t: abc es un triángulo equilátero

u: abc es un triángulo isósceles

Proposiciones compuestas o moleculares: Son aquellas

proposiciones que contiene en su interior otras proposiciones.

Ejemplos:

v: Llueve y hace frío

w: 3 es un número primo y es divisor de 15.

y: Hace frío o 3 es divisor de 15.

z: Si abc es un triángulo equilátero entonces abc es un triángulo

isósceles.

t: No es cierto que 3 es un número primo.

Estas nuevas proposiciones se obtienen vinculando las iniciales mediante

las palabras no, y, o, si- entonces. En lógica, esta conexión se hace

definiendo operaciones entre proposiciones. En la siguiente tabla se

muestra cómo se representa estas palabras:





Palabra No y oo bien po bien q

Implica,entonces

Por lotanto

Si y solosi

Símbolo ~∧ ∨ ∨ ⇒ ⇔

Ejemplo:

No es cierto que 3 es un número primo

~ r

Llueve y hace frío

p ∧ q

Hace frío o 3 es divisor de 15

q ∨ s

Si abc es un triángulo equilátero entonces abc es un triángulo isósceles

t ⇒ u

Como la cuestión fundamental es saber si la proporción resultante es

verdadera o falsa para cada valor de verdad de las proposiciones

componentes se dan tablas que proporcional la información necesaria.

Estas tablas se llaman tablas de verdad e indican si el resultado de la

operación es una proposición verdadera o falsa.

Ejercicios:

1-Dadas las siguientes sentencias se pide:

a) Señalar cuáles de ellas son proposiciones.

b) Indicar el valor lógico correspondiente a cada proposición (V o F)





1. Rojo y negro.

2. Argentina e Inglaterra lucharon por la posesión de las Islas

malvinas.

3. El avance de las aguas.

4. La mitad de tus bienes.

5. Hoy es día laborable.

6. ¡Callate!

7. Nosotros tenemos 4 horas semanales de Matemática.

8. ¿Qué sabes de Juan?

9. Ayer llovió.

10.El sol brilla en el firmamento.

2- Dadas las proposiciones:

p: Hoy es viernes. q: Mañana es feriado.

Expresa en lenguaje coloquial, las proposiciones que a continuación se

presentan en lenguaje simbólico.

a) ~ p

b) ~ q

c) p ∨q

d) p ∧~ q

e) ~p ∨q

f) ~( p ∨q)





g) ~ p ∧~ q

h) ~( ~p)

i) ~ (p ∧q)

3- Dadas las proposiciones:

P: Juan es rubio q: Juan tiene ojos azules.

Expresa en lenguaje simbólico, las proposiciones que a continuación se

presentan en lenguaje coloquial:

a) Juan no es rubio.

b) Juan no tiene ojos azules.

c) No es verdad que Juan no es rubio.

d) No es verdad que Juan no tiene ojos azules.

e) Juan es rubio y tiene los ojos azules.

f) Juan no es rubio y tiene los ojos azules.

g) Juan es rubio y no tiene los ojos azules.

h) No es verdad que Juan no es rubio y no tiene los ojos azules.

i) Juan es rubio o no tiene los ojos azules.

j) No es verdad que Juan es rubio y tiene los ojos azules.


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