LÓGICA PROPOSICIONAL

FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL

RESOLUCIÓN DE TABLAS DE VERDAD

LÓGICA PROPOSICIONAL

• Proposiciones: “Marta C. es feliz”• Conectores o juntores:

– Negador: “Marta no es feliz”– Implicador “Si Marta es feliz, entonces Rebeca se ríe”– Conjuntor “Marta es feliz y Rebeca se ríe”– Disyuntor “Marta es feliz o Rebeca se ríe”Otros:Coimplicador, disyuntor exclusivo.

PARTIMOS DEL EJEMPLO…

En el caso que Lola estudie mucho, entonces aprobará el examen; solo en el caso que lo apruebe, su compañera Bea se pondrá contenta. Bea sin embargo no está contenta, y por lo tanto sabemos que Lola no ha aprobado

1. FORMALIZAMOS LAS PROPOSICIONES….

En el caso que Lola estudie mucho (P), entonces aprobará el examen (q); solo en el caso que lo apruebe (q), su compañera Bea se pondrá contenta (r). Bea sin embargo no está contenta, y por lo tanto sabemos que Lola no ha aprobado

2. IDENTIFICAMOS LOS JUNTORES

.En el caso que Lola estudie mucho (P) entonces aprobará el examen (q); solo en el caso que lo apruebe (q), su compañera Bea se pondrá contenta (r). Bea sin embargo no está contenta(no-r), y por lo tanto sabemos que Lola no ha aprobado (no-q)

.En el caso que Lola estudie mucho (P), entonces aprobará el examen (q); solo en el caso que lo apruebe (q), su compañera Bea se pondrá contenta (r). Bea sin embargo no está contenta(no-r), y por lo tanto sabemos que Lola no ha aprobado (no-q)

.En el caso que Lola estudie mucho (P), entonces aprobará el examen (q); solo en el caso que lo apruebe (q), su compañera Bea se pondrá contenta (r). Bea sin embargo no está contenta(no-r), y por lo tanto sabemos que Lola no ha aprobado (no-q)

• Ana dinamita está nerviosa. Si no aprovecha el tiempo, no puede ir a judo por la tarde y tampoco puede quedarse estudiando. Pero Ana va aprovecharlo y por lo tanto decide ir a judo y estudiar después. Como Ana ha ido a judo entonces ya no está nerviosa.

EJERCICIO

• Ana dinamita está nerviosa (p). Si no aprovecha el tiempo (q), no puede ir a judo por la tarde (r) y tampoco puede quedarse estudiando (s). Pero Ana va aprovecharlo (q) y por lo tanto decide ir a judo (r) y estudiar después (s). Como Ana ha ido a judo (r) entonces ya no está nerviosa (p).

• P ^(noq no r ^no s) ^ q (r ^s) ^r nop

TABLA DE VERDAD

p q r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F V F F F

Las tablas de verdad nos permiten reconocerSi un razonamiento está bien formulado (es Universal y tautológico) o no.

En primer lugar, tenemos que saber todos los Posibles valores de verdad de un conjunto de Proposiciones.

Vamos a imaginar que tenemos tres: p, q y r.El número total de combinaciones será el resultadode dos (los dos valores de verdad) elevado al número de proposiciones (aquí p,q y r): ocho en total.

WITTGENSTEIN

TABLA DE VERDAD

p q r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F V F F F

Las tablas de verdad nos permiten reconocerSi un razonamiento está bien formulado (es Universal y tautológico) o no.

En segundo lugar, conviene seguir un método para colocarlas todas sin repeticiones. En la primera línea ponemos la mitad con valores de verdad (cuatro de ocho), en la segunda la mitad de la mitad (dos de cuatro) Y por último, en la última proposición alternamos V y F.

REGLAS A APLICAR

Vamos a ver ahora un conjunto de reglas que se aplican a los juntores lógicos: negación, conjunción, disyunción e implicaciónp p

V FF V

«Celia no es pianista»

NEGACIÓN

• CONJUNTOR: “Celia es pianista (p) y Natalia cantante (q)”: p ^ q

Todos los valoresson falsos exceptocuando ambos sonverdaderos.

• DISYUNTOR: “Celia es pianista (p) o Natalia cantante (q)”: p V q

Todos los valoresson verdaderos exceptocuando ambos sonfalsos.

IMPLICADOR: p q

Si Celia es pianista (p), entonces Natalia es cantante (q)

Los valores son siempre verdaderos excepto cuando de una verdadera pasamos a otra falsa.

COIMPLICADOR: p q

Solo si Celia es pianista (p), entonces Natalia es cantante (q)

Los valores son siempre verdaderos excepto cuando de una verdadera pasamos a otra falsa.

F

EJERCICIO (explicao pa’tontos)• “Si la demanda aumenta por encima de la

oferta, eso implicará que habrá una tendencia inflacionista. Hay inflación. Luego esto implica que la demanda de un bien está muy por encima de las posibilidades de la oferta.”

Esta es una falacia conocida como ignorancia del consecuente. ¿Cómo demostrar

matemáticamente esta falacia?

EJERCICIO

• Empezamos identificando proposiciones: “Si la demanda aumenta por encima de la oferta

(p), eso implicará que habrá una tendencia inflacionista (q). Hay inflación (q). Luego esto implica que la demanda de un bien está muy por encima de las posibilidades de la oferta (p).”

(el lenguaje natural es más complejo que el formal, no esperemos que se repitan todas las palabras)

EJERCICIO

• A continuación, los juntores: “Si la demanda aumenta por encima de la

oferta (p), eso implicará que habrá una tendencia inflacionista (q) . Hay inflación (q) . Luego esto implica que la demanda de un bien está muy por encima de las posibilidades de la oferta (p).”

(Tenemos conjuntores e implicadores)

EJERCICIO • Formalizamos: “Si la demanda aumenta por encima de la

oferta (p), eso implicará que habrá una tendencia inflacionista (q) . Hay inflación (q) . Luego esto implica que la demanda de un bien está muy por encima de las posibilidades de la oferta (p).”

[ (p q) ^ q ] p

EJERCICIOHacemos la tabla de verdad:

[ (p q) ^ q ] pPrimero ponemos Todos los valores de verdad.

Como son dos proposiciones,elevamos 2 al cuadrado y nos sale cuatro.

EJERCICIOHacemos la tabla de verdad:

[ (p q) ^ q ] p

Seguimos el orden de losCorchetes y paréntesis.Hacemos el primerJuntor entre paréntesis:el implicador.

EJERCICIOHacemos la tabla de verdad:

[ (p q) ^ q ] p

Hacemos la Segunda operación:La conjunción

Trabajamos con la columna de la implicación y los valores de q

EJERCICIOHacemos la tabla de verdad:

[ (p q) ^ q ] p

Hacemos ya la ultima implicaciónQue resuelve la Tabla de verdad.

Comparamos la última columna que hemos hecho con los valores de p¡CUIDADOOO! En la implicación es MUY IMPORTANTE EL ORDEN!

EJERCICIOHacemos la tabla de verdad:

[ (p q) ^ q ] p

No todos los valores son Verdaderos. Esto quiere Decir que no es universalY es solo una probabilidad.

Cuando todos los valores son verdaderos,es una tautología. Aquí hemos demostrado que este pensamientoQue pasa por ser universal, es en el fondo una FALACIA

Ahora vamos a comprobar los valores de verdad de una regla aritmética básica: la propiedad distributiva

A(B+C) = (AB)+(BC)

Un ejemplo podría ser:2(4+3) = (2*4)+(2*3)

Si esta regla es verdad, debería ser universal, una tautología.

Una variante de la regla podría ser:

Pv(q^ no-r) (pvq) ^ (p v no-r)

Hacemos en primer lugar todos los valoresDe verdad de p, q y r. Son ocho líneas en total(dos valores V y F, elevado al número de proposiciones).

A continuación hacemos la negación de r (negar todos los valores originales de r)

Siguiendo el orden del paréntesis,Hacemos primero la conjunción(solo son verdaderos cuando ambas son VV)

Luego hacemos la disyunción(todos verdad excepto FF)

A continuación,Pasamos a la otraParte de la implicación yHacemos primero las Disyunciones de los Paréntesis…

p v (q ^ no-r) (p v q) ^ (p v no-r)

A continuación,Pasamos a la otraParte de la implicación yHacemos primero las Disyunciones de los Paréntesis…

p v (q ^ no-r) (p v q) ^ (p v no-r)

Hacemos la última conjunción que nosPide el enunciado… y ya estamosListos para el último paso.

p v (q ^ no-r) (p v q) ^ (p v no-r)

Hacemos ya la última implicación, que esLa conclusión del ejercicio. RecordadQue la implicación siempre es la última enhacerse y cuidad el orden...

TAUTOLOGÍA!!!

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

POR DEDUCCIÓN

Empecemos por unaFormalización de un argumentoExtraído del lenguaje natural…

Si los continentes no se mueven, la corteza terrestre es estática. Si la

corteza terrestre es estática, entonces el núcleo se ha enfriado.

El núcleo no está frío. Luego los continentes se mueven.

Esto tiene que ser una tautología también…

Si los continentes no se mueven (no-p), la corteza terrestre es

estática (q). Si la corteza terrestre es estática (q) , entonces el núcleo se ha enfriado (r). El núcleo no está

frío (no-r). Luego los continentes se mueven (p).

(no-p q) ^ (q r) ^ no-r p

-1. p q-2. q r-3. r- p

Hay una forma mucho másSencilla de comprobar la veracidad de una argumentación.

En lugar de hacer una tabla de verdad, vamos a hacer una DEDUCCIÓN, usando reglas lógicas que ya conocemos y que son tautológicas.

EN PRIMER LUGAR,FORMALIZAMOS ELARGUMENTO EN VARIASLÍNEAS. 1, 2, y 3 ACTÚAN COMO CONJUNCIONES.LA ÚLTIMA LÍNEA ES IMPLICADOR.

Nuestro objetivo último es deducir p. Esta proposición aparece en la línea 1 (y cuidado, no vale no-p) para el resultadoFinal.

OBJETIVO:DEDUCIR LACONCLUSIÓN: P.

-1. p q-2. q r-3. r- p

Tenemos que buscar el modo de romper la implicación enla que esta proposición aparece, y necesariamentetendremos que utilizar las otras líneas del enunciado.

PARA SACAR PHAY QUE ROMPERLA IMPLICACIÓN.SIN EMBARGO,NECESITAMOS TENERLA Q AISLADA PRIMEROPARA PODER APLICAR LAS REGLAS LÓGICAS.

-1. p q-2. q r-3. r- p

Tenemos que buscar el modo de romper la implicación enla que esta proposición aparece, y necesariamentetendremos que utilizar las otras líneas del enunciado.

LA Q ESTÁ TAMBIÉNEN OTRA IMPLICACIÓN:Q implica R.TENDREMOS QUEEMPEZAR POR AQUÍ…

-1. p q-2. q r-3. r- p

La regla que vamos a aplicar sobre el enunciado (líneas 1,2 y 3) Será una regla llamada MODUS TOLLENS (p implica q, yNo-q, luego no-p)

Esto se lee: si p implica qY tenemos no qEntonces no-p

P y Q en la regla pueden ser R, S,T, W… Cualquier proposición en el ejercicio…

-1. p q-2. q r-3. r

- 4. q (MT.2,3)

De la línea 2 y de la línea 3,podemos deducir, aplicando la modus tollens, no-q. Asíque escribimos

MT = modus tollens2,3: líneas sobre lasque operamos la Modus tollens.

-1. p q-2. q r-3. r-4. q (MT,2,3)

- 5. p(MT.1,4)

De la línea 1 y de la línea 4,podemos volver a aplicar la modus tollens, sacandoahora p, y resolviendo el ejercicio

Si os dais cuenta, el carácter negativoo afirmativo cambia ligeramente la regla:(no p implica q) y no p, luego no(no-p).No(no-p) es igual a p (EDN)

-1. p q-2. q r-3. r-4. q (MT,2,3)

-5. p (MT.1,4)Con la línea 5 ya hemos alcanzado la conclusión que nos pedía el ejercicio, usando la Modus tollens.

Algunas reglas de deducción

EJERCICIO

-1. q r -2. p v q-3. p ^ s r

PASEMOS A LA ACCIÓN…

Para este ejercicio necesitamos aplicarAhora tres reglas que hemos analizado:Silogismo disyuntivo, modus ponens y Eliminación del conjuntor.¡Buena suerte!

-1. q r r Primero, aplicamos la-2. p v q regla de eliminación del-3. p ^ s conjuntor: p ^ q-4. p (EC,3) p

EJERCICIO

EJERCICIO

-1. q r r -2. p v q-3. p ^ s-4. p (EC,3)

-5. q (SD,2,4)

Ahora tenemos que extraer qAplicando el silogismo disyuntivo en 2 y en 4.

p v qNo p

q

EJERCICIO

-1. q r -2. p v q-3. p ^ s-4. p (EC,3) r

-5. q (SD,2,4)

-6. r (MP.1,5)

Y por último, aplicamos el MODUS PONENS en 1 y 5

p qp

q

YUJU!!!

GRACIAS A JAKE, SHIKAMARUY WITTGENSTEIN POR SU

COLABORACIÓN…

So long, folks!!

Freak out!! Such a drag…!

Y GRACIAS A VOSOTROS POR ESTE SIMPÁTICO Y FABULOSO

CURSO DE LÓGICA…

¿P implica q y noqLuego nop?

pssee