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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRAMARACAY-EDO ARAGUA

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Prof. Yerikson Suárez H.

Abril, 2013 P.A 2013-113/04/2023

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1. Proposición. Definición y ejemplos.

Veamos las definiciones dadas por algunos autores

“Una proposición es una expresión de la cual se puede decir siempre si es verdadera o es falsa” (Zegarra, s/f)

“Una proposición es una oración gramatical que es verdadera o es falsa, pero no ambas cosas a la vez” (González, 2005)

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Una proposición es una afirmación de la que podemos decir, sin ambigüedad, si es verdadera o falsa. Las proposiciones corresponden a las oraciones declarativas del lenguaje español. (Uzcategui, 2006)

Una proposición es cualquier expresión declarativa sobre la cual se puede establecer si es verdadera o falsa, pero nunca ambas cosas a la vez.

Nota: existen, además de las expresiones declarativas o enunciativas; expresiones de tipo imperativas, dubitativas, desiderativas, exclamativas, entre otras.

Entonces podemos decir que:

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Veamos algunos ejemplos de proposiciones:

(a) García Márquez escribió Cien años de soledad.

(b) 6 es un número primo.

(c) 3+2=6

(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es.

(e) Mérida es el nombre de una ciudad andina.

(f) Mozart fue un reconocido músico colombiano

(g) Es falso que 17 no es un número primo

(h) La solución de 2x - 3 = 1 es 213/04/2023

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Las siguientes oraciones NO son proposiciones:

(a) El que persevera vence.

(b) Que interesante el libro que me prestaste.

(c) La película fue muy divertida

(d) ¿Qué hora es?.

(e) ¡ Despiértense ¡.

(f) Buenas tardes

(g) Los hombres son fieles

(h) El que a buen árbol se arrima buena sombra lo cobija 13/04/2023

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Notación. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante las letras: p, q, r, s,….

Valor de verdad de una proposición. Si la proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es VERDADERO y se utiliza el símbolo V o 1. En cambio, si la proposición es falsa se dice que su valor de verdad es FALSO y se utiliza el símbolo F o 0Ejemplos: Consideremos las siguientes proposiciones y su valores de verdad

p: 360 es divisible por 5 V(p)= V ó V(p)= 1

q: e es un número racional V(q)= F ó V(q)= 0

r: 150 es cuadrado perfecto V(r)= F ó V(r)= 013/04/2023

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Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que no contienen otra(s) proposición(es) como parte constitutiva o componente y por tanto no intervienen “conectivos lógicos”

2. Proposiciones atómicas y moleculares. Definición y

ejemplos.

p: Andrés Bello nació en Caracas

q: 7 divide al 49

r: 160 = 0

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Proposiciones compuestas o moleculares: Está formada por dos o más proposiciones simples que están entrelazadas por los conectivos lógicos.

r: 10 es un número par y 6 + 4 = 10

s: Un triángulo es un cuadrilátero o el tiburón es un mamífero

t: si llego tarde a la parada entonces voy a perder el autobús

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Conectivos lógicos. Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí.

3. Conectivos lógicos. Definición. Tablas de verdad de un conectivo

Se llama conectivo lógico a un símbolo que actúa en una o varias proposiciones para producir nuevas proposiciones.

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ConectivoLógico

Nombre Efecto o comportamiento sobre las proposiciones

Negación p

No es cierto pNo es verdad p

Es falso p

^ Conjunción p^q

p y q Tanto p como q

Disyunción Inclusiva pq

p o q (o ambas)

Disyunción excluyente

pq

p o q (pero no ambas)O p ó q

Condicionalpq

Si p Entonces qq, si p

q, siempre que p

Bicondicionalpq

p si y sólo si q

Tabla de Conectivos lógicos

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3.1) Negación (~)

p ~ p V F F V

Para entender el comportamiento de los conectivos lógicos procedemos a construir las tablas de verdad; a través de las cuales podremos describirlos

Si una proposición p es verdadera, la proposición ~p (la negación de p) es una proposición falsa.

Si una proposición p es falsa, la proposición ~p (la negación de p) es una proposición verdadera.

Ejemplos: Considere las siguientes proposiciones:p: 2 es un número par q: el pico Bolívar es el más alto del mundor: 5 es una solución de la ecuación x2 -25=0

Escriba las negaciones de tales proposiciones

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3.2) Conjunción ()

Ejemplo: Considere las siguientes proposiciones:p: En Mérida hay un teleférico q: En Barquisimeto está la represa del Guri.

p q p^qV V VV F FF V FF F F

p^q: En Mérida hay un teleférico Y en Barquisimeto está la represa del Guri

Otro ejemplo: Dadas las proposiciones r: 15 ≥ 10, s: 10 es un número par. La conjunción de r y s es r^s: “15 ≥ 10 y 10 es un número par

¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?

p^q es una proposición verdadera siempre que tanto p como q sean

proposiciones verdaderas

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3.3) Disyunción Inclusiva()

Otro ejemplo: Sean t: 25 es un cuadrado perfecto, r: 5 es un múltiplo de 30. La disyunción inclusiva es la proposición t r: “25 es un cuadrado perfecto O 5 es un múltiplo de 30”

Para entender mejor como funciona este conectivo veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuándo es verdadera la proposición “Te invito una pizza o una ensalada”?

p q es una proposición verdadera siempre que al menos una de las

proposiciones sea verdadera

p q pqV V VV F VF V VF F F

Obviamente será cierta si es verdadera una de las dos opciones ofrecidas o incluso si se cumplen ambas.

Además será falsa si no son ciertas ninguna de las dos opciones ofrecidas

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3.4) Disyunción Exclusiva ()

Para entender mejor como funciona este conectivo veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuándo es verdadera la proposición “Te busco en el carro o en la moto”

p q es una proposición verdadera siempre que exactamente una de las

proposiciones sea verdadera

p q pqV V FV F VF V VF F F

Obviamente será cierta si es verdadera solo una de las dos opciones.

Es claro que no es posible usar los dos medios de transporte al mismo tiempo, por lo que la disyunción es falsa si ambas proposiciones son verdaderas. Además si no se cumple con el compromiso de buscar a la persona, entonces la disyunción es igualmente falsa.

Otro ejemplo: Sean p: El director renunciará, q: El director se quedará. La disyunción exclusiva es p q: “El director renunciará o se quedará” (nótese que no puede hacer ambas cosas, o si?)

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3.5) Condicional (→)

Para entender mejor como funciona este conectivo veamos el siguiente ejemplo: Analicemos la proposición “Si apruebo el examen, entonces vamos al cine”

p → q es una proposición Falsa cuando p es verdadera y q es falsa. En todos los

demás casos es verdadera

p q p→qV V VV F FF V VF F V

La proposición p recibe el nombre de Antecedente; mientras que q recibe el nombre de Consecuente.

Veamos otro ejemplo y analicemos la proposición Si hago la reservación entonces ,vamos al restaurante”.

Antecedente: Hago la reservaciónConsecuente: vamos al restaurante.

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Algo importante es que los condicionales y su valor de verdad son independientes de si

la expresión tiene o no sentido.

Por ejemplo la expresión Si las vacas vuelan entonces voy a la playa es un condicional verdadero puesto que su antecedente es falso (3ra fila de la tabla de verdad), independientemente de si tiene sentido para nosotros

Los condicionales son fundamentales en Matemática. En particular aquellos

condicionales que son verdaderos (siendo verdaderos sus antecedente y consecuente)

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Antecedente falso y consecuente verdadero.

Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condición expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa.

Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, p → q es lo mismo que afirmar que es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo, “Si estudio mucho, entonces me canso” ¿Qué ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería inválida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.

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3.6) Bicondicional (↔)

p ↔ q es una proposición Verdadero siempre y cuando p y q tenga los mismos

valores de verdad.

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

Ejemplo: x es número par si y sólo si x2 también es par.

Ejemplo: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo.

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Cuadro resumen de los conectivos lógicos.

p q p^q pq pq p→q p↔qV V V V F V VV F F V V F FF V F V V V FF F F F F V V

Pregunta: Si una forma proposicional tiene n variables proposicionales ¿Cuántas combinaciones de V y F es posible hacer?

Respuesta: Es posible obtener 2n combinaciones de V y F.13/04/2023

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4. Construcción de Tablas de Verdad.

Llamaremos forma proposicional ( f.p) al enlace de varias proposiciones (variables proposicionales) a través de conectivos lógicos. Ejemplo: [ (p q) (rq) ] [ (p r) q ]

[ p (q p) ] ( q p )

Es importante resaltar que no toda combinación de proposiciones y conectivos lógicos genera una forma proposicional. Por ejemplo, las siguientes no son formas proposicionales válidas:

[ (p ) (rq) ] r q p ( q r)

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{ [ (p (q r) ) p ] q } (q r)

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Para determinar el comportamiento de una forma proposicional, se construye la tabla de verdad asociada a dicha f.p

Veamos como construir tablas de verdad para una f.p dada:

1) Construir la tabla de verdad de la f.p: (p q ) q

Utilizaremos un método que se suele conocer como “método acumulativo”

p q q p q (pq)q

V V F F F

V F V V F

F V F F F

F F V F V

Nótese que tenemos dos variables proposicionales. Cada una puede ser verdadera o falsa. Por lo tanto tenemos 4 posibles combinaciones de V y F

p q q p q (pq)q

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2) Construir la tabla de verdad de la f.p: p (qr) (pr)

p q r p ( q r ) ( p r ) V V V V V F F F V

V V F V V V V V F

V F V F F F F F V

V F F V V V V V F

F V V V V F V V F

F V F V V V F F V

F F V V F F V V F

F F F V V V F F V

Utilizaremos ahora lo que se conoce como método abreviado

(1)(2)(3) (4)(5)(6)

p q r p ( q r ) ( p r )

Nótese que hay 3 variables proposicionales, por lo tanto hay 23 = 8 combinaciones de resultados

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4.1) TAUTOLOGÍA: Forma proposicional que siempre es verdadera independientemente de los valores de verdad de las variables proposicionales que la componen

5. Tautología, Contradicción y Contingencia.

4.2) CONTRADICCIÓN: Forma proposicional que siempre es falsa independientemente de los valores de verdad de las variables proposicionales que la componen

4.3) CONTINGENCIA: Forma proposicional que tiene al menos un valor de verdad verdadero y al menos un valor de verdad falso.

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Para establecer si una forma proposicional es una Tautología, Contradicción o Contingencia, se procede a la construcción de su Tabla de Verdad y a la revisión de los resultados de la misma para su clasificación.

Ejemplos: Clasifique las siguientes formas proposicionales.

(1) (p q) ( p q) (q p)

(2) (p r) (p q) (q r)

(3) [ (p q) ^ ( p ^ q)] [r (p r)]

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p q (p q) ( p q) (q p)

V VV FF VF F

(1) (p q) ( p q) (q p)

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p q r (p r) (p q) (q r) V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

(2) (p r) (p q) (q r)

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p q r [ (p q) ^ ( p ^ q)] [r (p r)]

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

(3) [ (p q) ^ ( p ^ q)] [r (p r)]

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6. Equivalencia lógica. Implicación lógica. Condicionales

asociados6.1) Se dice que dos formas proposicionales A y B son lógicamente equivalentes siempre que la proposición A B es una Tautología.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Como consecuencia inmediata de la definición y del comportamiento del conectivo bicondicional; dos f.p son lógicamente equivalentes (o simplemente equivalentes) si tienen idénticas tablas de verdad.

NOTACIÓN: Para denotar que dos f.p son equivalentes se suele escribir A B o A B

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Ejemplo 1: Determinar si la f.p A: p q y B: p q son lógicamente equivalentes

Veamos entonces si A B es una tautología

p q ( p q ) ( p q )

V V V V F V

V F F V F F

F V V V V V

F F V V V V

Para lo cual procedemos a construir la tabla de verdad correspondiente

(1) (2) (3) (4)

Como AB es un Tautología entonces se concluye que A B

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Ejemplo 2: Determinar si la f.p A: p ( q r) y la f.p B: (p q) (p r ) son lógicamente equivalentes

Procedamos a través de la observación y construyamos las tablas de verdad de cada f.p (por separado)p q r p ( q r) (p q) (p r ) V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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Como los resultados de ambas tablas de verdad son idénticos entonces las formas proposicionales A y B son equivalentes

Ejemplo 3: Determinar si la f.p A: ( p q ) y la f.p B: p q son equivalentes

p qV VV FF VF F

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6.2) Se dice que la forma proposicional A implica lógicamente a la forma proposicional B que la proposición A B sea una Tautología.

NOTACIÓN: Para denotar que la f.p A implica lógicamente (o simplemente implica) a la f.p B se suele escribir A B

Ejemplos: En cada caso determine si la f.p A implica lógicamente la f.p B

a) A: ( p q) q B: pp q ( p q) q pV VV FF VF F

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b) A: (p q) p B: q (p q)

p q (p q) p q (p q)V VV FF VF F

Como A B es una Tautología, entonces la f.p A implica lógicamente a B

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c) A: (p q ) r B: p r

p q r (p q ) r ( p r )

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Como A B es una Contingencia, entonces la f.p A no implica la f.p B

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6.3) Condicionales asociados a un condicional dado

Sean p y q dos formas proposicionales cualesquiera

A la proposición p q se le denomina condicional DIRECTO

Relacionados con el condicional directo hay tres condicionales más, llamados condicionales asociados; y son los siguientes:

RECÍPROCO: q p

CONTRARIO: p q

CONTRA-RECÍPROCO: q p

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Veamos el siguiente ejemplo:

Construir los condicionales asociados al condicional: SI un triángulo es equilátero ENTONCES es equisángulo

SI un triángulo es equilátero ENTONCES es equisángulo

p: El triángulo es equilátero q: El triángulo es equisángulo

RECÍPROCO q p SI el triángulo es equisángulo ENTONCES es equilátero

CONTRARIO pqSI el triángulo NO es equilátero ENTONCES NO es equisángulo

CONTRA-RECÍPROCO qp

SI el triángulo NO es equisángulo ENTONCES NO es equilátero

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Se puede demostrar sin ninguna dificultad que un condicional y su contra-recíproco son EQUIVALENTES

Esto es p q q p

Lo mismo sucede entre el recíproco y el contrario

Esto es q p p q

Se recomienda al estudiante verificar tales afirmaciones. Basta con utilizar la definición de equivalencia

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7. Leyes del Algebra Proposicional. Simplificación de formas

proposicionales

Existen un conjunto de equivalencias lógicas que constituyen las leyes del álgebra proposicional o leyes de la lógica. A continuación se enuncia c/u de ellas:

1) Conmutativas p q q p p q q p

2) Asociativas (p q) r p (q r) (p q) r p (q r)

3) Distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

4) Idempotencia p p p p p p

6) Bicondicional p q (p q) (q p)

5) Ley Condicional p q p q

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7) Leyes de De Morgan (p q) p q (p q) p q

8) Identidad p F p p V V p F F p V p

9) Leyes de Absorción p (p q) p p (p q) p

10) Leyes de complementación p p V (ley del tercer excluido) p p F (ley de contradicción) ~V F F V

11) Involución (doble negación) (P) P

Las leyes del Álgebra proposicional tienen como propósito ayudarnos a la simplificación de formas proposicionales complejas tal y como veremos a continuación.

Esta lista no es exhaustiva. Por ejemplo las equivalencias (antes probadas) entre los condicionales asociados también constituyen leyes lógicas

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Simplificación de formas proposicionales: Muchas veces será necesario simplificar una forma proposicional de tal manera que se conserve su “estructura” y “comportamiento” pero se reduzca al máximo su representación

Simplificar las siguientes formas proposicionales:

a) ( p q ) ( p q )

b) q ( p q ) r

c) ( p q) (p q) ( p q)

Para entender mejor la importancia de la simplificación de formas proposicionales, veamos la siguiente situación:

Sean p: 2 es un número par y q: 16 es múltiplo de 3. Escriba al lenguaje natural la siguiente proposición p (q) (p)

Lo más conveniente en este caso es proceder primero a simplificar la proposición dada y después hacer la traducción

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(a) ( p q ) q ( p q)

(b) ( q p ) p ( t p)

(c) p ( p q ) ( r p)

(d) ( p q ) ( p q ) ( q p)

(e) ( p q ) ( p q ) q

Después de hacer la simplificación nos queda p q (verifíquelo)

Lo cual se puede traducir al lenguaje natural de manera sencilla como:

El 2 es un número par y el 16 no es múltiplo de 3.

Obviamente esta proposición es verdadera; por lo que también lo es la original, por ser equivalente a la obtenida mediante las leyes

Ejercicios: Simplificar las siguientes formas proposicionales