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Lógica Matemática

M.C. Mireya Tovar Vidal

Contenido

Proposicional

Definición

Sintaxis

Proposición

Conectivos lógicos

Semántica

Primer orden

cuantificadores

Finalidad de la unidad

Traducir enunciados sencillos a expresiones

lógicas.

Construir tablas de verdad de proposiones

compuestas

Averiguar si dos proposiciones son

lógicamente equivalentes.

Verificar si un razonamiento es correcto.

Definición

Lógica

Es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento.

Proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no

válido un argumento dado.

Razonamiento lógico

Matemáticas: demostrar teoremas

Ciencias de la computación: verificar si son o no correctos los

programas y demostrar teoremas

Ciencias físicas y naturales: sacar conclusiones de

experimentos

Ciencias sociales: para resolver una multitud de problemas.

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Lógica

Ciencia formal y rama de la Filosofía que estudia los principios de la

demostración e inferencia válida.

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones de un

planteamiento dado.

Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas

son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una

conclusión.

La palabra deriva del griego antiguo λόγος (logos), "palabra,

pensamiento, idea, argumento, razón o principio".

Lenguaje

Sintaxis

Alfabeto

Formulas bien formadas

Semántica

Tablas de verdad

Sintaxis

Proposiciones Una proposición o enunciado es una oración que

declara que algo es verdadero o falso pero no ambas cosas.

Ejemplos: La tierra es redonda

2+3 = 5

¿Habla inglés?

3-x=5

Tome dos aspirinas

El sol saldrá mañana

Si

Si

No, es una pregunta

No, porque depende del valor de x

No, es una orden

Si

Ejercicio

Son proposiciones las siguientes sentencias:1. ¿A donde estas?

2. Y te acabas la sopa!

3. Esta oración es falsa

4. Victoria es alta.

5. El helado es delicioso.

6. X > 5.

3

No son Proposiciones!!!

La primera sentencia es una pregunta.

La segunda es una orden.

La tercera hay que analizarla a profundidad, es una sentencia que hace

referencia a si misma.

Dificultad para determinar su valor de verdad (paradoja)

Si asumimos que es verdadera y la sentencia dice que es falsa se

contradice.

Si asumimos que es falsa y la sentencia dice que es falsa entonces

la sentencia es verdadera.

La cuarta se refiere a una persona y que es alta pero no define la altura

específica.

La quinta es una opinión.

La sexta es un predicado (sentencia que contiene una o más variables que

no se le puede asignar un valor de verdad hasta que se les asigne valores

a sus variables).

Sintaxis Alfabeto

Variables p, q, r, …

p: El sol esta brillando hoy

q: Hace frío

Conectivos

Proposiciones compuestas Son la combinación de conectivos y proposiciones

Una fórmula sintácticamente correcta se define de acuerdo a las siguientes reglas. Las proposiciones p, q, r, s, .... son fórmulas correctamente formadas.

Si A y B son fórmulas correctas, también son fórmulas correctas: ~A, ~B

(A B)

(A v B)

(A B)

(A B)

Sólo son fórmulas correctas las que cumplen las condiciones anteriores.

)(),(,,(~),

Cómo formalizar el lenguaje natural

I. Identificar los enunciados simples

II. Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional

III. Identificar los conectivos lógicos: negación, disyunción, condicional, etc.

IV. Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y los conectivos lógicos

Formalización de proposiciones

compuestas Negación: ~p.

No p.

Es falso que p.

No es cierto que p.

Conjunción: p ^ q. p y q.

p pero q.

p no obstante q

p sin embargo q

p a pesar de q

p, q

p, pero q

p, aunque q

Aunque p, q

Mientras p, q

A pesar de que p, q

Disyunción: p v q. p o q ó ambos.

p ó q.

Al menos p ó q.

Como mínimo p ó q

p a menos que q

Condicional: Causa – Efecto.

p q. Si p entonces q.

Si p, q

p sólo si q

q si p

q necesario para p

p suficiente para q.

No p a menos que q.

p implica q

q se sigue de p

q siempre que p

Cuando p, entonces q

q con tal que p

Bicondicional o equivalencia:

p q. p suficiente y necesario para q

p si y sólo si q.

Una condición suficiente y necesaria para p es q

p es equivalente a q

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Ejemplos

Negación p: Hay vida en la luna

¬p: No hay vida en la luna

p: Los elefantes temen a los ratones

¬p Los elefantes no temen a los ratones

Conjunción

p: Aquiles corre velozmente.

q: La tortuga corre velozmente.

p ¬ q: Aquiles corre velozmente, pero la tortuga no.

Disyunción Sea

p: "El mayordomo cometió el crimen",

q: "El pintor cometió el crimen"

r: "La sirvienta cometió el crimen"

p v q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen"

(pvq) ¬r: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta".

Condicional o implicación Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben

álgebra p: los burros vuelan

q: las tortugas saben álgebra

p q

Bicondicional

La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta“ p: "La Tierra es cúbica": F

q: "El Sol es un planeta": F

Ejemplo:

Programa:i:=1

j:=1

while (i < 2 and j<5) or i+j = 5 do

begin

i:=i+2

j:=j+1

end

p: i < 2 q: j<5 r: i+j = 5

(p q) v r

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Semántica

Tablas de verdad

A ~A

V F

F V

A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F

A B A v B

V V V

V F V

F V V

F F F

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Tablas de verdad en proposiciones

compuestas

Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento que a

través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas,

permite definir la validez o invalidez de las inferencias.

Consiste en aplicar valores de verdad en cada expresión

atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma,

cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le

denomina interpretación de p.

Jerarquía de Conectivos Lógicos

Menor Prioridad

…

Negación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Equivalencia

Mayor Prioridad

Algoritmo para construir una tabla de

verdad1. Generar una tabla donde las columnas correspondan a cada

proposición simple, además de cada una de las proposiciones compuestas considerando las prioridades.

2. El número de filas es el resultado de aplicar la formula 2n, donde n es el número de proposiciones simples.

3. Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado.

4. La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.

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Ejemplo

p q p q (p q) p q ( p q) (p q) ( p q)

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

Definiciones

Tautología La proposición compuesta P es una tautología si P es verdadera

para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p1,…, pn que forman a P.

Contradicción La proposición compuesta P es una contradicción si P es falsa

para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p1,…, pn que forman a P.

Incongruencia Una proposición incongruente (llamada también contingente) es

una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otros. Su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples.

Ejemplo de Tautología

Si Isis y Osiris no son felices, entonces o Isis no es feliz o

Osiris no es feliz.

p= Isis es feliz

q= Osiris es feliz

(p q) ( p q)

p q p q (p q) p q ( p q) (p q) ( p q)

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

Demuestre que son tautologías:

(p q) v [(¬p)v(¬q)]

[(¬p) q] v [p (¬q)]

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Ejemplo de Contradicción

Osiris ama a Isis y Set ama a Isis, Osiris no ama a

Isis

p= Osiris ama a Isis

q= Set ama a Isis

p q p q p (p q) p

V V V F F

V F F F F

F V F V F

F F F V F

(p q) p

Demuestre que son contradicciones:

[(¬p) q] [p (¬q)]

[(¬p) p]

[(¬p) q] [p (¬q)]

Definición

La proposición compuesta P implica lógicamente la proposición compuesta Q.

P => Q

p1, p2, p3, … pn => q1, q2, … qm

Esto se cumple cuando

p1, p2, p3, … pn → q1, q2, … qm es una tautología

Ejemplo:

~(p v q) => ~ p ~(p v q) es T, p v q es F, p es F, q es F. Luego ~p es T

Definición

Las proposiciones compuestas P y Q son

lógicamente equivalentes

P ≡ Q

p1, p2, p3, …, pn ↔ q1, q2, …, qm

Esto se cumple cuando

p1, p2, p3, …, pn ↔ q1, q2, …, qm es una tautología

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Leyes de De Morgan

¬(p q) ≡ ¬p v ¬q

¬(p v q) ≡ ¬p ¬q

Tautologías

0.- p q p v q Ley de la implicación

Tautologías

Reglas de Inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan

métodos de razonamiento universalmente correctos.

Su validez depende solamente de la forma de las

proposiciones que intervienen y no de los valores de

verdad de las variables que contienen.

A esos argumentos se les llama reglas de inferencia.

Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o

más tautologías o hipótesis en una demostración.

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Reglas de inferencia MP Modus ponens

A → B

A

- - - - -

B

MT Modus tollens

A → B

¬B

- - - - -

¬A

SD Silogismo Disyuntivo

A ∨ B

¬A

- - - - -

B

• SH Silogismo hipotético

A → B

B → C

- - - - -

A → C

• LS Ley de simplificación

A ∧ B

- - - - -

A

• LA Ley de adición

A

- - - - -

A ∨ B

• CONTRAPOSITIVA

A → B

- - - - -

¬B → ¬A

Ejemplo de inferencia

Juan invierte en el mercado de valores.

Si Juan invierte en el mercado de valores entonces se

hace rico.

_________________________________

Juan es rico

Sea:

p: Juan invierte en el mercado de valores.

q: Juan es rico

[p (p q) q

Primera Solución

Tablas de verdad

p q p q p (p q) [p (p q)] q

v v v v v

v f f f v

f v v f v

f f v f v

Segunda solución

Mediante reducciones con tautologías.

[p (p q) q

p (p q q

p ( p q q

p ( p q q

( p p) ( p q q

T ( p q q

( p q q

( p) ( q q)

( p) T

T

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Ejercicio

1. Deduce la conclusión (primero formalizar)

Sí es un perro entonces es carnívoro.

Es un perro.

2. Deduce la conclusión (primero formalizar)

Una de dos: pera o manzana.

No quiero la pera.

3. Para el primer inciso demuestra con tabla de

verdad y con reducción de expresiones (vía

tautologías que es válido)

Razonamientos y demostraciones

Sistema axiomático, formado: Axiomas: se suponen ciertos.

Definiciones: se usan para crear nuevos conceptos en términos de otros ya existentes.

Términos no definidos: pero si lo están implícitamente por los axiomas.

Ejemplo: Sistema axiomático: Geometría euclidiana

Axiomas: Dados dos puntos distintos, existe una recta única que los contiene.

Términos no definidos: Punto, recta, pero están implícitamente definidos por los axiomas

que describen sus propiedades.

Definiciones: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º.

Teoremas

Es un resultado que se puede deducir de los axiomas, de las definiciones y de los teoremas establecidos previamente.

Demostración

El razonamiento que establece la veracidad de un teorema.

Lema

Es un teorema que no tiene especial interés en sí mismo pero que es útil para probar otro teorema.

Si los lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a ellos también son iguales.

Corolario

Es un teorema que se deduce inmediatamente de un teorema.

Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus ángulos iguales.

Demostración directa

Los teoremas son de la forma:

Si p, entonces q (1)

Una demostración directa supone que p es verdadera y después, usando tanto p como axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad, prueba directamente que q es verdadera.

Ejemplo:

Si d = min {d1, d2} y x<d, entonces x < d1 y x < d2.

Dem: De la definición de mín, se deduce que d ≤ d1 y d ≤ d2 . Como x < d y d ≤ d1, se puede deducir que x < d1. Ya que x < d y d ≤ d2 , puede deducirse que x < d2 . Por lo tanto, x < d1 y x < d2

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Demostración por contradicción o

indirecta Se establece mediante la demostración de la proposición

lógicamente equivalente

(p ~q) → (r ~r) (2)

Cuya conclusión es una contradicción. Se prueba (2) y se concluye que (1) es verdadera.

Ejemplo:

Si x + y ≥ 2, entonces x ≥ 1 o bien y ≥ 1.

Dem: Considere la hipótesis verdadera y la conclusión falsa. Entonces, x<1 y y<1. Sumando estas dos desigualdades obtenemos:

x + y < 1 + 1 = 2

Con esto llegamos a la contradicción p ~p, en donde

p: x + y ≥ 2. Por lo tanto, se concluye que la proposición es verdadera.

Razonamientos

Definición Un razonamiento es una sucesión de proposiciones escritas de

la siguiente manera:p1

p2

.

.

.

_pn_

q

El razonamiento es válido si

p1 p2 … pn => q

se cumple; en caso contrario, no es válido (se dice que es una falacia).

El razonamiento tiene validez cuando

p1 p2 … pn → q es una tautología

Reglas de inferencia

Modus Ponens (MP)A B

A

B

Regla de Prueba por CasosA C

B C

A v B

C

ContrapositivaA B

~B ~A

SimplificaciónA B A B

A B

Amplificación disyuntivaA

A v B

Modus TollensA B

~B

~ A

Regla de la conjunciónA

B

A B

Regla del silogismo disyuntivoA v B

~ A

B

Regla del dilema constructivoA B

C D

A v C

B v D

Reglas de inferencia

Introducción al antecedente (IA)A

B A

Regla del silogismo (Sil)A B

B C

A C

Mutación (Mut)A (B C)

B (A C)

Importación (Imp)A (B C)

A B C

Exportación (Exp)A B C

A (B C)

Conmutativa (Conm)A B B A

B A A B

Asociativa (As)A (B C)

(A B) C)

Distributiva (Distr)A (B v C) (A B) v (A C)

(A B) v (A C) A (B v C)

Idempotencia (Idem)A A A

A A A

Absorción (Absr)A (A v B) A

A A (A v B)

Conmutativa (Conm)A v B B v A

B v A A v B

Asociativa (As)A v (B v C)

(A v B) v C)

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Reglas de inferencia

Distributiva (Distr)A v (B C) (A v B) (A v C)

(A v B) (A v C) A v (B C)

Idempotencia (Idem)A v A A

A A v A

Absorción (Absr)A v (A B) A

A A v (A B)

Doble negación (DN)A ~ ~ A

~ ~ A A

Definición de implicación (DI1)A B A v B

~ A v B ~ A B

Definición de implicación (DI2)A B A B

~(A ~B) ~ (A ~ B)

Ley de De Morgan (DM1)~(A v B) ~ A ~ B

~A ~B ~ (A v B)

Ley de De Morgan (DM2)~(A B) ~ A v ~ B

~A v ~B ~ (A B)

z:=4;

for i:=1 to 10 do

begin

x:=z-i;

y:=z+3*i;

if ((x>0) and (y>0)) then

writeln(‘The value of the sum x+y is’, x+y)

end

Ejemplo

.

.

.

if x>0 then

if y>0 then

…

Exportación (Exp)

A B C

es lógicamente equivalente a A (B C)

p q r

p q r

p q r

p q r

p q r

p q r

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Ejemplo

Comprobar si es correcta la deducción:

p q, ~(q v r) ~ p

Solución:

1. p q Premisa

2. ~(q v r) Premisa

3. ~q ~ r DM a 2

4. ~q Simpl. a 3

5. ~q ~p CP a 1

6. ~p MP 4,5

Ejercicio

Comprobar si es correcta la deducción:

p q, ~(q v r) ~ p

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Ejercicio

p q

q r s

r t u

p t

u

( )

( )

p, t

q

r, s

t u

u

EjemploDemostrar que el siguiente argumento es válido

Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de Año Nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiesta se cancelaran, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto la banda pudo tocar rock.

Forma simbólica: p: la banda pudo tocar rock q: las bebidas se entregaron a tiempo

r: la fiesta de año nuevo se canceló s: Alicia estaba enojada

t: Hubo que devolver el dinero

1. r → t Premisa

2. ~t Premisa

3. ~r Modus Tollens de 1, 2

4. ~r v ~s Amplificación disyuntiva a 3

5. ~(r s) De Morgan a 4

6. (~p v ~q) → (r s) Premisa

7. ~(~p v ~q) Modus tollens 6,5

8. p q De Morgan y doble negación a 7

9. p simplificación a 8

(~p v ~q) → (r s)

r → t

~t

p

Ejercicio

p r

p q

q s

r s

r p

r q

r s

Regla por casos

Ejemplo:

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Ejercicio

Demostrar que el siguiente argumento es válido

Si voy a mi primera clase mañana tendré que madrugar y si voy al

baile esta noche me acostaré tarde.

Si me acuesto tarde y madrugo tendré que vivir con sólo cinco

horas de sueño.

No puedo vivir con sólo cinco horas de sueño.

Por lo tanto:

O no voy a mi primera clase mañana o no voy al baile esta noche.

Solución

Demostrar que el siguiente argumento es válido

Si voy a mi primera clase mañana tendré que madrugar y si voy al

baile esta noche me acostaré tarde.

Si me acuesto tarde y madrugo tendré que vivir con sólo cinco

horas de sueño.

No puedo vivir con sólo cinco horas de sueño.

Por lo tanto:

O no voy a mi primera clase mañana o no voy al baile esta noche.

pq

r s (p →q) (r → s)

(s q) → tt

~ t

~p v ~r

Solución

Premisa

Premisa

Premisa

CP 2

MP 3,4

De Morgan 5

Casos 6

Simpl 1.

MT 7,8

Ad 9

Casos 6

Simpl 1

MT 11, 12

Ad 13

Prueba por casos 6,7, 11

1. (p →q) (r → s)

2. q s → t

3. ~t

4. ~t → ~(q s)

5. ~(q s)

6. ~q v ~s

7. ~q

8. p →q

9. ~p

10. ~p v ~r

11. ~ s

12. r → s

13. ~ r

14. ~p v ~r

15. ~p v ~r

(p →q) (r → s)

(s q) → t

~ t

~p v ~r

Supuestos, A B

A B

Ejemplo:A (B C) A ^ B C

1. A (B C) Premisa

2. A ^ B Supuesto

3. A Simplificación 2

4. B C MP 3,1

5. B Simplificación 2

6. C MP 5,4

7. A ^ B C Cancelación del supuesto 2,6

p

p

p

q r

n

1

2

p

p

p

q

r

n

1

2

15

Ejercicio

u r

r s p t

q u s

t

q p

( ) ( )

( )

u r

r s p t

q u s

t

q

p

( ) ( )

( )u, s

p t

p

u s

r

Ejercicios

Comprobar si es correcta la deducción:p (q r), r s t, (s t) w p (q w)

Comprobar si es correcta la deducción:

p (r q), ~ s v p, r s q,

Bibliografía

Grimaldi Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria. Una introducción con aplicaciones. Addison Wesley Longman. 3ª.edición.

Johnsonbaugh Richard. Matemáticas Discretas. Iberoamericano.

Kolman Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Prentice Hall.

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/