UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE BOGOTA

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Logica de haces de estructuras y G-estructurasTıtulo inicial: Familias de estructuras gobernadas por espacios topologicos

Autor:Walter Andres PAEZ GAVIRIA

Director:Dr. Gabriel PADILLA LEON

24 de junio del 2013

Dedicado a mi mama, mi papa y Maria.

I

Agradecimientos

Fueron fundamentales para la realizacion de este trabajo los comentarios y la orientacion de G. Padilla, y lasperspectivas adquiridas en el Seminario de Geometrıa y Teorıa de Modelos 2013-I en La Universidad Nacional deColombia, se agradece tambien a todos sus integrantes.

Tambien deseo agradecer a Lina Maria y a mi familia. A Lina por haberme llevado a un mundo del cualcitando a Fernando Zalamea “el incauto difıcilmente podra volver a salir de el”, a la vida, a la Filosofıa. A mimama, mi papa y mi hermana, por aun estar ahı despues de tantos momentos difıciles y ensenarme tantas cosas,por haberme sumergido, queriendolo o no, en la naturaleza innegable de la vida que se replica una y otra vez, queno es consistente, donde puedo decir que he sentido amor y el mas profundo dolor, y a la final ganas de sentir masy mas. Gracias madre por ser la fuente inagotable de mi vida.

II

Introduccion

“Si el rigor logico-matematico puede seducirle, no es ciertamente porque permite establecer un sistema deproposiciones tautologicas, sino porque ilumina excelentemente el enlace de las reglas y de sus dominios.”

Albert Lautman

Este trabajo esta inspirado en el artıculo de Caicedo sobre haces topologicos de estructuras [1] y en el intentode hallar conexiones fructıferas entre la geometrıa y teorıa de modelos. Tambien parte de el se podrıa considerarcomo una traduccion del artıculo mencionado al contexto de los haces categoricos, con miras a poder desarrollaren un futuro una teorıa de modelos para haces que pueda iluminar y aclarar situaciones de la teorıa de modelosactual y de mundos como la topologıa algebraica.

En esta busqueda se introduce la nocion de G-estructura, queriendo rescatar los modos y los fines de la geo-metrıa de los grupos compactos de trasformaciones [4] y conjugarlos con la logica para poder atacar problemasgeometricos y modelo teoricos.

Se desarrolla la semantica puntual y local de prehaces y haces estructuras, con sus cualidades particulares y sunaturaleza intuicionista. Al final de este trabajo logramos llegar a una version del Teorema del modelo genericopara haces categoricos de estructuras. Se espera como proyecto inmediato hallar consecuencias distintas a lasencontradas por Caicedo en [1] y extender este trabajo a la categorıa de las G-estructuras, algo que en gran parteya fue realizado en [2] por G. Padilla y A. Villaveces.

III

Indice general

Agradecimientos IIResumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

1. G-estructuras 11.1. Definiciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Co-lımites en ML

G−F y MLG−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. La estructura de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Un isomorfismo interesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Semantica puntual y local de (Pre)Haces de L -estructuras 62.1. Prehaces y haces de L -estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Semantica puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Semantica local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Teorema del modelo generico 143.1. Filtros Genericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. El Gran Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IV

Capıtulo 1

G-estructuras

En este capıtulo introduciremos uno de los objetos principales de este trabajo, las G-estructuras junto consus morfismos. Se investigaran algunos ejemplos y construcciones relacionadas con estas (estructura de orbitas,co-lımites).

A traves de este capitulo G sera un grupo y L un lenguaje de primer orden, ambos fijos.

1.1. Definiciones BasicasDefinicion 1.1.1. Una G-estructura fuerte es una dupla 〈M ,φ〉, donde M es una L -estructura y φ : G×M→Mes una accion, tales que:

i. Si R es un sımbolo de relacion de aridad n, y ai,bi ∈ M para i = 1, . . . ,n, con ai = bi para i = 1, . . . ,n.Entonces, RM (a1, . . . ,an) ssi RM (b1, . . . ,bn).

ii. Si f es un sımbolo de funcion de aridad n y ai ∈M,gi ∈G para i = 1, . . . ,n. Entonces f M (g1a1, . . . ,gnan) =g1 · · ·gn f M (a1, . . . ,an).

Si cambiamos ii. por la siguiente condicion (mas debil), obtenemos la nocion de G-estructura debil

iii. Si f es un sımbolo de funcion de aridad n, y ai,bi ∈ M para i = 1, . . . ,n, con ai = bi para i = 1, . . . ,n.Entonces f M (a1, . . . ,an) = f M (b1, . . . ,bn).

En adelante mencionaremos a una G-estructura 〈M ,φ〉, simplemente como M y daremos por entendida la accion.

Una labor a futuro es investigar la necesidad de incluir en la definicion la siguiente condicion: GC M = C M .Es claro a partir de la anterior definicion, que toda G-estructura fuerte es tambien una G-estructura debil. Mas

adelante veremos que el recıproco no es cierto.Ahora se precisara cuales seran los morfismos entre los objetos anteriormente definidos. Estos, equivariantes,

permitiran hacer de las G-estructuras (fuertes o debiles) una categorıa.

Definicion 1.1.2. Un morfismo de G-estructuras (fuertes o debiles) η : M →N es un homomorfismo entre lasL -estructuras subyacentes, tal que η(ga)= gη(a) para todo a∈M y g∈G. Una sumersion(inmersion,embebimiento)de G-estructuras es un morfismo de G-estructuras que es a la vez una sumersion(inmersion,embebimiento) de L -estructuras.

Es facil ver que la composicion de morfismos de G-estructuras es nuevamente uno de ellos. De esta forma lasG-estructuras junto con sus morfismos conforman una categorıa, la cual sera denotada por ML

G−F , en el caso delas estructuras fuertes y ML

G−D, en el caso de las debiles.

1

Figura 1.1: Caso particular del ejemplo 1.1.1.

Ejemplo 1.1.1. El siguiente ejemplo se ha extraıdo de [2]. En [3] p.8. se muestra como todo poliedro abstrac-to contable M se puede ver como una estructura en lenguaje Lord = {<}, cuyo universo S es una familia desubconjuntos finitos de ω que es hereditaria para subconjuntos e.d. Si u⊂ v ∈S, entonces u ∈S. La realizaciongeometrica K de M se puede obtener al hacer cada v ∈S, el conjunto de vertices de una cara en K . Para cadapoliedro M dado, se propone como un ejercicio sencillo hallar el subgrupo mas grande G de Sω tal que M esuna G-estructura.

Un caso particular del anterior ejemplo es el poliedro de la anterior figura, para este caso se tiene.S = {{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}G = 〈(1,2)〉 ≤ S4

1.2. Co-lımites en MLG−F y ML

G−D

El siguiente teorema muestra que MLG−F y ML

G−D son cerradas por colımites sobre conjuntos dirigidos.

TEOREMA 1.2.1. Si 〈D,≤〉 es un conjunto dirigido y {Mi,ρi j | i, j ∈ D} es un sistema inverso de G-estructuras(fuertes o debiles), entonces el colımite de este sistema de L -estructuras al ser dotado de la accion g[a] = [ga],se convierte tambien en una G-estructura (fuerte o debil) y esta corresponde a colımite del sistema en la categorıade las G-estructuras (fuertes o debiles).

Demostracion. Primero veamos que esta accion esta bien definida. En efecto, sean a,b ∈ M j tales que [a] = [b],entonces existe i ≤ j tal que ρi j(a) = ρi j(b), por lo tanto ρi j(ga) = gρi j(a) = gρi j(b) = ρi j(gb), de donde [ga] =[gb].

Ahora queremos ver que esta accion hace de la L -estructura co-limi∈D Mi una G-estructura fuerte o debil,dependiendo de la naturaleza del sistema inverso.

Sea R un sımbolo de relacion de aridad n del lenguaje L y ak,bk ∈M j, gk ∈ G tales que [bk] = gk[ak] = [gkak]para k = 1, . . . ,n. Vamos a ver que Rco-limMi([a1], . . . , [an]) si y solo si Rco-limMi([b1], . . . , [bn]). Demostraremosuna direccion, la otra es igual. Supongamos que Rco-limMi([a1], . . . , [an]), entonces por definicion de la inter-pretacion de las relaciones en el colımite se tiene que existe i ≤ j tal que RMi(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an). Como Mi

es una G-estructura y ρi j(gkak) = ρi j(ak) para k = 1, . . . ,n. Entonces RMi(ρi j(g1a1), . . . ,ρi j(gnan), de dondeRco-limMi([g1a1], . . . , [gnan]) y se obtiene lo deseado.

Sea f un sımbolo de funcion de aridad n del lenguaje L y ak,bk ∈M j, gk ∈ G para k = 1, . . . ,n.Primero verifiquemos el caso de G-estructuras debiles. Supongamos que [bk] = gk[ak] = [gkak] para k = 1, . . . ,n.

Entonces f co-limMi([b1], . . . , [bn]) = f co-limMi([g1a1], . . . , [gnan]) = [ f M j(g1a1, . . . ,gnan)] = [g f M j(a1, . . . ,an)] =g[ f M j(a1, . . . ,an)] = g f co-limMi([a1], . . . , [an]) para algun g ∈ G. Por lo tanto co-limi∈D Mi es una G-estructuradebil.

Ahora veamos el caso de G-estructuras fuertes. Para este caso tenemos f co-limMi(g1[a1], . . . ,gn[an])= f co-limMi([g1a1], . . . , [gnan]) = [ f M j(g1a1, . . . ,gnan)] = [g1 · · ·gn f M j(a1, . . . ,an)] = g1 · · ·gn[ f M j(a1, . . . ,an)] =g1 · · ·gn f co-limMi([a1], . . . , [an]), y ası co-limi∈D Mi resulta ser una G-estructura fuerte.

2

Es claro que las proyecciones de co-limi∈D Mi son equivariantes e.d. son morfismos de G-estructuras, por lotanto este resulta siento el colımite de {Mi,ρi j | i, j ∈ D} en la categorıa ML

G−F o MLG−D.

1.3. La estructura de orbitasEn esta seccion mostraremos que dada una G-estructura, se puede definir sobre el espacio de orbitas una nueva

G-estructura, de tal forma que la proyeccion sea una sumersion entre ellas.

Definicion 1.3.1. Suponga que 〈M ,φ〉 es una G-estructura (fuerte o debil), se define la G-estructura (fuerte odebil) de orbitas 〈M /G,φ/G〉 de la siguiente forma:

El universo de la L -estructura M /G sera el espacio de orbitas M/G.

Si c es un sımbolo de constante entonces cM /G := cM .

Si f es un sımbolo de funcion de aridad n y a1, . . . ,an ∈M, entonces f M /G(a1, . . . ,an) := f M (a1, . . . ,an).

Si R es un sımbolo de relacion de aridad n y a1, . . . ,an ∈M, entonces RM /G(a1, . . . ,an) ssi RM (a1, . . . ,an).

Se define φ/G : G×M/G :→M/G por (φ/G)(g,a) = ga := φ(g,a) = ga, para todo g ∈ G y a ∈M.

La interpretacion de los sımbolos de constantes, funciones y relaciones en la estructura M /G esta bien definidaen el caso de que M sea una G-estructura fuerte o debil. Esto se sigue inmediatamente de la definicion de G-estructura.

Podemos ver que la aplicacion φ/G esta bien definida y que es una accion. En efecto, Si a,b ∈ M, g ∈ G ya = b, entonces existe algun h ∈ G tal que a = hb, multiplicando por g a ambos lados de la ecuacion anterior seobtiene ga = ghb = ghg−1gb, por lo tanto ga = gb. Que φ/G es una accion, se sigue inmediatamente de que φ loes.

Ahora se debe verificar que la dupla 〈M /G,φ/G〉 satisface las condiciones i. y ii. de la definicion de G-estructura (Definicion 1.1.1), para el caso en que M sea una G-estructura fuerte y i. y iii. para el caso en el quesea una G-estructura debil. Para ver esto necesitaremos el siguiente hecho respecto a las orbitas.

Lema 1.3.1. Si a,b ∈M, entonces a = b ssi a = b.

Demostracion. (⇒) Si a = b, entonces existe algun g ∈ G tal que a = gb = gb, por lo tanto existe algun h ∈ G talque a = hgb, de donde a = b. (⇐) Es obvio.

Procedemos a verificar la propiedad i..Sean R un sımbolo de relacion de aridad n y ai,bi ∈M/G para i = 1, . . . ,n, con ai = bi para i = 1, . . . ,n, por el

Lema 1.3.1 se tiene que ai = bi para i = 1, . . . ,n. Entonces

RM /G(a1, . . . ,an)⇔ RM (a1, . . . ,an)⇔ RM (b1, . . . ,bn)⇔ RM /G(b1, . . . ,bn)

Donde la equivalencia central se debe a que M es una G-estructura (fuerte o debil) y las externas son pordefinicion de la interpretacion de R en M /G.

Ahora se verificara la propiedad ii. suponiendo que M es una G-estructura fuerte. Sean f un sımbolo defuncion de aridad n y gi ∈ G,ai ∈M/G para i = 1, . . . ,n. Entonces

f M /G(g1a1, . . . ,gnan) = f M /G(g1a1, . . . ,gnan) = f M (g1a1, . . . ,gnan)

= g1 · · ·gn f M (a1, . . . ,an) = g1 · · ·gn f M (a1, . . . ,an) = g1 · · ·gn f M /G(a1, . . . ,an)

En donde en la tercera igualdad se usa el hecho de M es una G-estructura fuerte.Por ultimo se vera que si M es una G-estructura debil, entonces M /G satisface la propiedad iii..

3

Sean f un sımbolo de funcion de aridad n y ai,bi ∈M/G para i= 1, . . . ,n, con ai = bi para i= 1, . . . ,n. Entonces

f M /G(a1, . . . ,an) = f M (a1, . . . ,an) = f M (b1, . . . ,bn) = f M /G(b1, . . . ,bn)

En donde la igualdad central se debe a que M es una G-estructura debil. De lo anterior se sigue que f M /G(a1, . . . ,an)=

f M /G(b1, . . . ,bn).

Por todo lo anterior se tiene que si M es una G-estructura (fuerte o debil), entonces M /G es tambien unaG-estructura (fuerte o debil) y la Definicion 1.3.1 es una buena definicion.

Lema 1.3.2. La proyeccion π : M →M /G es una sumersion de G-estructuras.

Demostracion. Primero se vera que π es un homomorfismo fuerte de L -estructuras.Sea c un sımbolo de constante, entonces π(cM ) = cM = cM /G.Sean f un sımbolo de funcion de aridad n y ai ∈M para i= 1, . . . ,n. Entonces π( f M (a1, . . . ,an))= f M (a1, . . . ,an)=

f M /G(a1, . . . ,an) = f M /G(π(a1), . . . ,π(an)).Sean R un sımbolo de relacion de aridad n y ai ∈M para i= 1, . . . ,n. Entonces RM (a1, . . . ,an)⇔RM /G(a1, . . . ,an)⇔

RM /G(π(a1), . . . ,π(an)).Por lo tanto π es un homomorfismo fuerte de L -estructuras y claramente sobreyectivo. Solo resta ver que es

equivariante.Sean g ∈ G y a ∈M, entonces π(ga) = ga = ga = gπ(a).Por lo tanto π es equivariante y es claramente sobreyectiva, lo cual concluye la demostracion.

1.4. Un isomorfismo interesanteEn la seccion 1.2. se vio que para cada sistema inverso de G-estructuras (fuertes o debiles) sobre un conjunto

dirigido se puede construir la G-estructura (fuerte o debil) co-lımite de este. A continuacion veremos que la es-tructura de orbitas de este co-lımite resulta ser el co-lımite del sistema inverso de estructuras de orbitas, inducidonaturalmente.

TEOREMA 1.4.1. Si 〈D,≤〉 es un conjunto dirigido y {Mi,ρi j | i, j ∈ D} es un sistema inverso de G-estructuras(fuertes o debiles), entonces

a) Para cada i, j ∈ D, con i ≤ j, la aplicacion ρi j : M j/G →Mi/G dada por ρi j(x) = ρi j(x), para todox ∈M j/G, es un homomorfismo de G-estructuras y el siguiente diagrama conmuta

M j Mi

M j/G Mi/G

ρi j

π π

ρi j

b) co-limi∈D(Mi/G)∼=(co-limi∈D Mi)/G, el primer co-lımite es tomado sobre el sistema inverso de G-estructurasdescrito en la parte a).

Demostracion.

a) Dividimos esta parte de la siguiente forma

• ρi j esta bien definida. En efecto, si a= b, entonces existe g∈G tal que a= gb, como ρi j es equivariantese tiene que ρi j(a) = ρi j(gb) = bρi j(b), de donde ρi j(a) = ρi j(a) = ρi j(b) = ρi j(b).

4

• ρi j es un homomorfismo de L -estructuras. Sea c un sımbolo de constante, entonces ρi j(cM j/G) =

ρi j(cM j) = ρi j(cM j) = cMi = cMi/G.

Sean f un sımbolo de funcion de aridad n y ak ∈M j para k= 1, . . . ,n. Entonces ρi j( f M j/G(a1, . . . ,an))=

ρi j( f M j(a1, . . . ,an))= ρi j( f M j(a1, . . . ,an))= f Mi(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an)))= f Mi/G(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an))=

f Mi/G(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an)).

Sean R un sımbolo de relacion de aridad n y ak ∈M j para k = 1, . . . ,n. Entonces RM j/G(a1, . . . ,an)⇔RM j(a1, . . . ,an)⇒ RMi(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an))⇔ RMi/G(ρi j(a1), . . . ,ρi j(an)).

• ρi j es equivariante. ρi j(ga) = ρi j(ga) = ρi j(ga) = gρi j(a) = gρi j(a) = gρi j(a).

• Claramente el diagrama conmuta.

b) El isomorfismo de G-estructuras deseado es [a] 7→ [a].

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Capıtulo 2

Semantica puntual y local de (Pre)Hacesde L -estructuras

En este capitulo definiremos una semantica puntual y local para (Pre)Haces de L -estructuras, mostraremosque la verdad puntual satisface el paradigma de continuidad veritativa, e.d. si algo es valido en un punto entonceslo es en un entorno abierto de este. Se vera que que la nocion semantica aquı definida, es equivalente a la deCaicedo en (colocar referencia) , en un sentido que sera precisado mas adelante.

Daremos una definicion de semantica local a partir de la semantica puntual y veremos que en el caso de losHaces categoricos esta definicion se puede construir de forma sintetica sin recurrir a la semantica puntual mediantelo que se llama la semantica de Kripke-Joyal, y finalmente, con la ayuda del Axioma de eleccion, demostraremosel principio del maximo, el cual nos garantizara la existencia de filtros genericos en el siguiente capitulo.

2.1. Prehaces y haces de L -estructurasPrimero recordamos las definiciones basicas para el caso de prehaces con valores en la categorıa ML de las

L -estructuras con los homomorfismos de L -estructuras como morfismos de la categorıa.

Definicion 2.1.1. Un prehaz de L -estructuras sobre un espacio topologico 〈X ,T 〉 es un funtor contravarianteM : 〈T ,⊂〉 −→ML . Si U ⊂ V , denotamos por ρUV : MV −→MU a la restriccion dada por el prehaz, dondeMU es la L -estructura imagen de U por el prehaz. En algunos casos tambien se usara la notacion Ui, j :=Ui∩U j.

Un haz de L -estructuras sobre un espacio topologico 〈X ,T 〉 es un prehaz tal que para cualquier familia deabiertos {Ui} ⊂T y su union U se cumplen las siguientes condiciones:

Coherencia: Dados a,b ∈MU . Si ρUiU (a) = ρUiU (b) para todo i, entonces a = b.

Exactitud: Para cualquier familia {ai}, con ai ∈ Mi, tal que ρUi, jUi(ai) = ρUi, jU j(a j) para todo i, j, existea ∈MU tal que ρUiU (a) = ai para todo i.

Coherencia y exactitud para el prehaz asociado a las relaciones: Para cada sımbolo de relacion R dellenguaje L , el prehaz RM : 〈T ,⊂〉 −→Set, definido por RM (U) := RMU y con las restricciones obvias,debe satisfacer tambien las condiciones de coherencia y exactitud.

Veamos algunos ejemplos de prehaces y haces.

Ejemplo 2.1.1. Si X es un espacio topologico se define el siguiente haz de anillos de funciones continuas definidasen abiertos de X, MU := 〈C (U,R),+, ·,0,1〉. Cuando X es conexo veremos que en la logica de este haz, en generalno vale el tercio excluso.

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2.2. Semantica puntualDefinicion 2.2.1. Sea M un (Pre)Haz de L -estructuras sobre un espacio topologico X, sean x ∈ X ,Ui ∈ V (x),ai ∈MUi , para i = 1, . . . ,n y U =

⋂i Ui. Dada una L -formula ϕ(v1, . . . ,vn), definimos recursivamente la relacion

M fuerza ϕ(a1, . . . ,an) en x; lo cual sera notado como:

M x ϕ(a1, . . . ,an)

1. Si ϕ es atomica: M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ Mx |= ϕ([a1]x, . . . , [an]x).

2. M x (ϕ ∧ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ M x ϕ(a1, . . . ,an) y M x ψ(a1, . . . ,an).

3. M x (ϕ ∨ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ M x ϕ(a1, . . . ,an) o M x ψ(a1, . . . ,an).

4. M x ¬ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto V de x, V ⊂U, tal que para todo y ∈ V , se tieneque M 1y ϕ(a1, . . . ,an).

5. M x (ϕ → ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto V de x, V ⊂ U, tal que para todo y ∈ V ,M x ϕ(a1, . . . ,an) implica M x ψ(a1, . . . ,an).

6. M x ∃wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto V de x y b∈MV , tal que M x ϕ(b;a1, . . . ,an).

7. M x ∀wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto V de x, V ⊂ U, tal que para todo y ∈ V yb ∈MW , con W ∈ V (y), se tiene que M x ϕ(b;a1, . . . ,an).

El siguiente lema (u observacion) muestra que si dos (o mas) secciones tienen el mismo germen en un punto,entonces las secciones son semanticamente indistinguibles en el punto.

Lema 2.2.1. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre X, x∈X, Ui,Vi ∈V (x), ai ∈MUi , bi ∈MVi y [ai]x = [bi]x,para i = 1, . . . ,n. Entonces

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ M x ϕ(b1, . . . ,bn)

para cualquier L -formula ϕ .

Demostracion. Induccion trivial en ϕ .

Lema 2.2.2. Si 〈D,≤〉 es un conjunto dirigido, {Mi,ρi j | i, j ∈ D} es un sistema inverso de L -estructuras yai ∈M ji , para i = 1, . . . ,n. Entonces

co-limi∈D

Mi |= ϕ([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ existe k ≤ j1, . . . , jn tal que Mk |= ϕ(ρk j1(a j1), . . . ,ρk jn(a jn))

para cualquier L -formula ϕ , positiva, sin cuantificador universal.

Demostracion. Ver [10].

El anterior lema nos brinda una forma de verificar el forzamiento puntual de formulas atomicas en terminos dela validez en en el (Pre)Haz.

Corolario 2.2.1. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre X, x ∈ X, Ui ∈ V (x), ai ∈MUi , para i = 1, . . . ,n. yU =

⋂i Ui. Entonces

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto V de x, con V ⊂U, tal que MV |=ϕ(ρVU1(a1), . . . ,ρVUn(an))

para cualquier L -formula ϕ , atomica.

El paradigma de continuidad veritativa es satisfecho en nuestra logica, como lo muestra el siguiente teorema.

TEOREMA 2.2.1. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre un espacio topologico X, x ∈ X ,Ui ∈ V (x),ai ∈MUi , para i = 1, . . . ,n y U =

⋂i Ui. Entonces, M x ϕ(a1, . . . ,an) ssi existe algun entorno abierto V de x, con

V ⊂U, tal que para todo y ∈V se tiene que M y ϕ(a1, . . . ,an).

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Demostracion. El caso atomico se sigue del Corolario anterior y de la observacion de que un abierto es un entornoabierto de todos sus puntos, para la conjuncion se toma la interseccion de los entornos dados por la hipotesis deinduccion y para la disyuncion es inmediato. La negacion, la implicacion y los casos de los cuantificadores, serealizan con la misma observacion que para el caso atomico.

El siguiente ejemplo tomado de [9] muestra que en general tercio excluso no vale en los haces y prehaces.

Ejemplo 2.2.1. En el ejemplo 2.1.1. tomemos X conexo, sean f ,g : X −→R funciones continuas tales que f (x) = 0para todo x∈X y g−1(0) 6= /0, g−1(1) 6= /0 . En este caso los conjuntos {x∈X ‖M x f = g} y {x∈X ‖M x f 6= g}son disyuntos y abiertos por el teorema 2.2.2. como X es conexo existe x /∈ {x ∈ X ‖M x f = g}∪{x ∈ X ‖M xf 6= g}. Por lo tanto M 1x f = g∨ f 6= g.

El siguiente teorema muestra la equivalencia entre la semantica de haces topologicos y haces categoricos deestructuras.

TEOREMA 2.2.2. Si M es un Haz (Categorico) de L -estructuras sobre X, x∈ X y ξM denota su haz topologicoasociado, entonces

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ ξM x ϕ(a1, . . . , an)

para cualquier L -formula ϕ .

Demostracion. Mediante induccion en ϕ .

ϕ atomica

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ Mx |=ϕ([a1]x, . . . , [an]x) ⇐⇒ Mx |=ϕ(a1(x), . . . , an(x)) ⇐⇒ ξM x ϕ(a1, . . . , an)

Los casos ϕ ∧ψ,ϕ ∨ψ,¬ϕ y ϕ → ψ son triviales.

∃wϕ

M x ∃wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∃V ∈ V (x)∃b ∈ MV : M x ϕ(b;a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∃V ∈ V (x)∃b ∈ MV :ξM x ϕ(b; a1, . . . , an) ⇐⇒ existe alguna seccion σ , definida en x tal que ξM x ϕ(σ ; a1, . . . , an) ⇐⇒ξM x ∃wϕ(w; a1, . . . , an).

En la segunda equivalencia se uso la hipotesis de induccion y procedemos a demostrar ⇐⇒ .

(=⇒)Inmediato.

(⇐=) Supongamos que existe una seccion σ : V → E, con v ∈ V (x), tal que ξM x ϕ(σ ; a1, . . . , an). Porel Teorema de la Representacion Canonica existe un unico b ∈ MV tal que b = σ , por lo tanto ξM xϕ(b; a1, . . . , an).

∀wϕ

M x ∀wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∃V ∈ V (x) V ⊂U ∀y ∈V ∀W ∈ V (y) ∀b ∈MW : M x ϕ(b;a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ V (x) V ⊂U ∀y ∈V ∀W ∈ V (y) ∀b ∈MW : ξM x ϕ(b; a1, . . . , an)⇐⇒ ∃V ∈ V (x) V ⊂U ∀y ∈V ∀σ seccion definida en y : ξM x ϕ(σ ; a1, . . . , an)⇐⇒ ξM x ∀wϕ(w; a1, . . . , an)

En la segunda equivalencia se uso la hipotesis de induccion y procedemos a demostrar ⇐⇒ .

(=⇒) Sea y ∈ V y σ : W → E una seccion con W ∈ V (y), por el Teorema de la Representacion Canonicaexiste un unico b ∈ MW con b = σ , por hipotesis se tiene que ξM x ϕ(b; a1, . . . , an), por lo tanto ξM xϕ(σ ; a1, . . . , an).

(⇐=)Inmediato.

Corolario 2.2.2 (De la demostracion). Si M es un Prehaz de L -estructuras sobre X, x ∈ X y ξM denota su haztopologico asociado, entonces

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ ξM x ϕ(a1, . . . , an)

para cualquier L -formula ϕ sin cuantificadores.

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Figura 2.1: Semantica local del existencial.

2.3. Semantica localDefinicion 2.3.1. Sea M un (Pre)Haz de L -estructuras sobre un espacio topologico X, U un abierto en X yai ∈MU , para i = 1, . . . ,n. Dada una L -formula ϕ(v1, . . . ,vn), definimos la relacion M fuerza ϕ(a1, . . . ,an) enU mediante

M U ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ para todo x ∈U se tiene que M x ϕ(a1, . . . ,an)

Observe que por el Lema 1.1.1., esta definicion tambien cubre el caso en que las secciones esten definidas enun abierto que contiene a U, posiblemente mas grande.

A continuacion reformulamos el Teorema 1.1.1. en terminos del forzamiento entre abiertos.

Lema 2.3.1. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre un espacio topologico X, x ∈ X ,Ui ∈ V (x), ai ∈MUi ,para i = 1, . . . ,n y U =

⋂i Ui. Entonces, M x ϕ(a1, . . . ,an) ssi existe algun entorno abierto V de x, con V ⊂U,

tal que M V ϕ(a1, . . . ,an).

Lema 2.3.2. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre X, U es un abierto y a1, . . . ,an ∈ MU , entonces severifican las siguientes propiedades

a) Si V ⊂U y M U ϕ(a1, . . . ,an), entonces M V ϕ(a1, . . . ,an).

b) Si {Ui} es un cubrimiento abierto de U y M Ui ϕ(ρU1U (a1), . . . ,ρUnU (an)) para todo i, entonces M Uϕ(a1, . . . ,an).

c) M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an) ssi existe un cubrimiento abierto {Ui} de U y secciones bi ∈MUi tal que M Ui

ϕ(bi;a1, . . . ,an), para todo i.

Demostracion. a) Inmediato.

b) Inmediato a partir de la definicion del forzamiento en abiertos y el Lema 1.1.1.

c) Si M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an), entonces M x ∃wϕ(w;a1, . . . ,an) para todo x ∈U . Por lo tanto, dado x ∈Uexiste bx ∈MVx con Vx ∈V (x) tal que M x ϕ(bx;a1, . . . ,an), por el Teorema 1.1.1. existe Ux entorno abiertode x tal que M Ux ϕ(bx;a1, . . . ,an), la familia {Ux}x∈U es un cubrimiento abierto de U . La otra direcciones inmediata.

La figura 2.1 ilustra la semantica local del existencial evidenciada en la parte c) del anterior lema.

TEOREMA 2.3.1 (Principio del maximo). Si M es un prehaz exacto de L -estructuras sobre X y M U∃wϕ(w;a1, . . . ,an), entonces existe b ∈MW , con W denso en U, tal que M W ϕ(b;a1, . . . ,an).

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Figura 2.2: El principio del maximo.

Demostracion. Si M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an), por el Lema 1.2.2. parte c), existe un cubrimiento abierto {Uα} deU y secciones bα ∈MUα

, tales que M Uαϕ(bα ;a1, . . . ,an) para todo α . Por lo tanto el conjunto

Σ := {b | b ∈MV , V ⊂U, M V ϕ(b;a1, . . . ,an)}

es no vacıo. Procedemos a definir un orden parcial ≤ en Σ de la siguiente forma

b ∈MV , b′ ∈MW , b≤ b′ ⇐⇒ V ⊂W y ρVW (b′) = b.

Es facil ver que 〈Σ,≤〉 es un un conjunto parcialmente ordenado. Se usara el Lema de Zorn para ver que el poseeun elemento maximal.

Sea {bi}i∈I una cadena de en 〈Σ,≤〉, con bi ∈MVi , hagamos V =⋃

i∈I Vi. Sean i, j ∈ I, supongamos sin perdidade generalidad que bi ≤ b j, entonces Vi ⊂ Vj y bi = ρViV j(b j), por lo tanto ρVi∩V j ,Vi(bi) = ρVi∩V j ,Vi(ρViV j(b j)) =ρVi∩V j ,V j(b j). Por exactitud de M existe b ∈MV talque ρViV (b) = bi para todo i ∈ I, entonces b es cota superior de{bi}i∈I , por el Lema de Zorn, existe b maximal en 〈Σ,≤〉.

Si b ∈ MW , veamos que W es denso en U . Si W no es denso en U , existe V ⊂ U abierto no vacıo tal queV ∩W = /0; como los Uα cubren a U , existe β tal que V ∩Uβ 6= /0, considerese el abierto (V ∩Uβ )∪W , entonces {V ∩Uβ ,W} es un cubrimiento abierto de este, ademas ρ(V∩Uβ )∩W,V∩Uβ

(ρV∩Uβ ,Uβ(bβ )) = ρ /0,V∩Uβ

(ρV∩Uβ ,Uβ(bβ )) =

η = ρ /0,W (b) = ρ(V∩Uβ )∩W,W (b), donde η es el unico elemento de M/0 (Recordemos que de la definicion deprehaz de L -estructuras se sigue que M /0 es el objeto final de la categorıa de L -estructuras, e.d. la estructu-ra de un elemento con las relaciones interpretadas maximalmente), por exactitud de M , existe b ∈ M(V∩Uβ )∪W

tal que ρV∩Uβ ,(V∩Uβ )∪W (b) = ρV∩Uβ ,Uβ(bβ ) y ρW,(V∩Uβ )∪W (b) = b, como M Uβ

ϕ(bβ ;a1, . . . ,an), por el Lema1.1.1. se tiene que M V∩Uβ

ϕ(ρV∩Uβ ,Uβ(bβ );a1, . . . ,an) y por la parte b) del Lema 1.2.2. podemos concluir que

M (V∩Uβ )∪W ϕ(b;a1, . . . ,an), entonces b ∈ Σ y ademas W ( (V ∩Uβ )∪W , por lo tanto b≤ b y b 6= b, contradi-

ciendo la maximalidad de b.

Lema 2.3.3. Si M es un Haz de L -estructuras sobre X, U es un abierto y a1, . . . ,an ∈MU , entonces

M U ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ MU |= ϕ(a1, . . . ,an)

para cualquier L -formula ϕ , atomica.

Demostracion. Consideramos los dos casos posibles para ϕ .

t1 = t2M U (t1 = t2)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∀x ∈U : Mx |= (t1 = t2)([a1], . . . , [an])⇐⇒ ∀x ∈U∃Vx ∈ V (x) Vx ⊂U : MVx |= (t1 = t2)(ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))

⇐⇒ ∀x ∈U∃Vx ∈ V (x) Vx ⊂U : tMVx1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)) = tMVx

2 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))

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⇐⇒ tMU1 (a1, . . . ,an) = tMU

2 (a1, . . . ,an)⇐⇒ MU |= (t1 = t2)(a1, . . . ,an)

Se demostrara la equivalencia ⇐⇒ , las demas se siguen del lema y de las definiciones.

(=⇒) Como U =⋃

x∈U Vx y

ρVxU (tMU1 (a1, . . . ,an)) = tMVx

1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))

= tMVx2 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)) = ρVxU (t

MU2 (a1, . . . ,an))

para todo x ∈U , entonces, por coherencia de M se debe tener quetMU1 (a1, . . . ,an) = tMU

2 (a1, . . . ,an).

(⇐=) Inmediato.

Rt1 . . . tmM U (Rt1 . . . tnm)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∀x ∈U : Mx |= (Rt1 . . . tm)([a1], . . . , [an])⇐⇒ ∀x ∈U∃Vx ∈ V (x) Vx ⊂U : MVx |= (Rt1 . . . tm)(ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))⇐⇒ ∀x ∈U∃Vx ∈ V (x) Vx ⊂U :(tMVx

1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)), . . . , tMVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))) ∈ RMVx

⇐⇒ (tMU1 (a1, . . . ,an), . . . , t

MUm (a1, . . . ,an)) ∈ RMU

⇐⇒ MU |= (Rt1 . . . tm)(a1, . . . ,an)

Se demuestra ⇐⇒ .

(=⇒) Es claro que U =⋃

x∈U Vx, consideremos la familia de secciones en el prehaz asociado a las relaciones

{(tMVx1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)), . . . , t

MVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)))}x∈U

Sean x,y ∈U , entonces

ρRVx,yVx

((tMVx1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)), . . . , t

MVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))))

= (ρVx,yVx(tMVx1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))), . . . ,ρVx,yVx(t

MVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an))))

= (tMVx,y1 (ρVx,yVx ρVxU (a1), . . . ,ρVx,yVx ρVxU (an)), . . . , t

MVx,ym (ρVx,yVx ρVxU (a1), . . . ,ρVx,yVx ρVxU (an)))

= (tMVx,y1 (ρVx,yU (a1), . . . ,ρVx,yU (an)), . . . , t

MVx,ym (ρVx,yU (a1), . . . ,ρVx,yU (an)))

De forma analoga se obtiene que

ρRVx,yVy

((tMVy1 (ρVyU (a1), . . . ,ρVyU (an)), . . . , t

MVym (ρVyU (a1), . . . ,ρVyU (an))))

= (tMVx,y1 (ρVx,yU (a1), . . . ,ρVx,yU (an)), . . . , t

MVx,ym (ρVx,yU (a1), . . . ,ρVx,yU (an)))

Por exactitud de M existe (s1, . . . ,sn) ∈ RMU , tal que

ρRVxU ((s1, . . . ,sn)) = (tMVx

1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)), . . . , tMVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)))

para todo x ∈U .

Se tiene que

ρRVxU ((t

MU1 (a1, . . . ,an), . . . , tMU

m (a1, . . . ,an)))

= (ρVxU (tMU1 (a1, . . . ,an)), . . . ,ρVxU (tMU

m (a1, . . . ,an)))

= (tMVx1 (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)), . . . , t

MVxm (ρVxU (a1), . . . ,ρVxU (an)))

Por coherencia de M se tiene que(tMU

1 (a1, . . . ,an), . . . , tMUm (a1, . . . ,an)) = (s1, . . . ,sn) ∈ RMU .

(⇐=) Inmediato.

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TEOREMA 2.3.2 (Semantica de Kripke-Joyal). Si M es un Haz de L -estructuras sobre X, la relacion M Uϕ(a1, . . . ,an) esta completamente determinada por las siguientes propiedades:

1. Si ϕ es atomica

M U ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ MU |= ϕ(a1, . . . ,an).

2. M U (ϕ ∧ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ M U ϕ(a1, . . . ,an) y M U ψ(a1, . . . ,an).

3. M U (ϕ ∨ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ existen abiertos V y W tales que U = V ∪W, M V ϕ(a1, . . . ,an) yM W ψ(a1, . . . ,an).

4. M U ¬ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ para todo W ⊂U, W 6= /0, se tiene que M 1W ϕ(a1, . . . ,an).

5. M U (ϕ→ψ)(a1, . . . ,an) ⇐⇒ para todo W ⊂U, si M W ϕ(a1, . . . ,an), entonces M W ψ(a1, . . . ,an).

6. M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe un cubrimiento abierto {Ui} de U y secciones bi ∈ MUi tal queM Ui ϕ(bi;a1, . . . ,an), para todo i.

7. M U ∀wϕ(w;a1, . . . ,an) ⇐⇒ para todo W ⊂U y b ∈MW , se tiene que M W ϕ(b;a1, . . . ,an).

Demostracion. Es claro que los numerales 1. a 7. conforman una definicion inductiva sobre el conjunto de las L -formulas que puede ser satisfecha por una unica relacion. Procedemos a verificar que la relacion de forzamientoen abiertos la satisface, solo se probaran las direcciones no triviales de cada equivalencia.

1. Esto es el Lema 1.2.3.

2. Inmediato.

3. (=⇒) Haganse V := {x ∈ U |M x ϕ(a1, . . . ,an)} y W := {x ∈ U |M x ψ(a1, . . . ,an)}, por el Lema1.2.1. los anteriores conjuntos son abiertos, ademas es claro que U =V ∪W , M V ϕ(a1, . . . ,an) y M Wψ(a1, . . . ,an).

4. (⇐=) Supongamos que M 1U ¬ϕ(a1, . . . ,an), entonces existe x ∈U tal que M 1x ¬ϕ(a1, . . . ,an), por lotanto, todo entorno abierto de x, en particular U , posee y tal que M y ϕ(a1, . . . ,an). Por el Lema 1.2.1existe W entorno abierto de y tal que M W ϕ(a1, . . . ,an), tome W ⊂U .

5. (⇐=) Supongamos que M 1U (ϕ→ψ)(a1, . . . ,an), entonces existe x∈U tal que M 1x (ϕ→ψ)(a1, . . . ,an),por lo tanto existe y ∈U tal que M y ϕ(a1, . . . ,an) y M 1y ψ(a1, . . . ,an). Por el Lema 1.2.1. existe Wentorno abierto de y tal que M W ϕ(a1, . . . ,an) y claramente M 1W ψ(a1, . . . ,an), tome W ⊂U .

6. Lema 1.2.2. parte c).

7. (⇐=) Supongamos que M 1U ∀wϕ(w;a1, . . . ,an), entonces existe x∈U para el cual M 1x ∀wϕ(w;a1, . . . ,an),por lo tanto existen y ∈ U , V entorno abierto de y y b ∈ MV tales que M 1y ϕ(b;a1, . . . ,an), hagaseW :=U ∩V , entonces M 1W ϕ(ρWV (b);a1, . . . ,an).

Corolario 2.3.1 (De la demostracion). Si M es un Prehaz de L -estructuras sobre X, la relacion M U ϕ(a1, . . . ,an)satisface los numerales 2. a 7. del Teorema 1.2.2. y la implicacion (⇐=) del numeral 1.

El siguiente lema muestra como la doble negacion local de una formula se atestigua como el forzamiento localde la formula en un denso, este lema sera util en el proximo capıtulo.

Lema 2.3.4. Si M es un (Pre)Haz de L -estructuras sobre X, U es un abierto, a1, . . . ,an ∈ MU y V ⊂U es unabierto, entonces

M V ¬¬ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ M W ϕ(a1, . . . ,an) para algun abierto y denso en V.

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Figura 2.3: Naturaleza de la doble negacion local.

Demostracion. M V ¬¬ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ ∀W ⊂V W 6= /0 ∃W ′ ⊂W W ′ 6= /0 : M W ′ ϕ(a1, . . . ,an)⇐⇒ {y ∈V |M y ϕ(a1, . . . ,an)}=U .

Demostremos ⇐⇒ , la otra equivalencia se sigue del corolario anterior.(=⇒) Sea W ⊂ U , W 6= /0, entonces existe W ′ ⊂W , con W ′ 6= /0 tal que M W ϕ(a1, . . . ,an) por lo tanto

{y ∈V |M y ϕ(a1, . . . ,an)}∩W 6= /0.(⇐=) Sea W ⊂V , W 6= /0, entonces por densidad se debe tener que W ′ := {y∈V |M y ϕ(a1, . . . ,an)}∩W 6= /0

, como {y ∈ V |M y ϕ(a1, . . . ,an)} es abierto por el Lema 1.2.1., entonces W ′ es abierto y claramente M W ′

ϕ(a1, . . . ,an).

Observacion: Cabe resaltar que para el caso de los haces de L -estructuras pudimos haber tomado otro caminoque nos hubiese llevado a la misma semantica puntual y local.

Se podrıa haber tomado al Teorema de la semantica de Kripke-Joyal como definicion de la semantica local yhaber definido la semantica local de la siguiente forma:

M x ϕ(a1, . . . ,an) ⇐⇒ existe algun entorno abierto U de x tal que M U ϕ(a1, . . . ,an).

Sin embargo, esta ruta nos hubiera desprovisto de una semantica bien definida para prehaces de L -estructuras.

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Capıtulo 3

Teorema del modelo generico

En este capitulo daremos las definicion de filtro generico para un prehaz, probaremos la existencia de filtrosgenericos como consecuencia del principio del maximo del anterior capıtulo, se construiran los modelos genericoscomo colımites sobre un filtro generico y se probara el teorema del modelo generico para haces de estructuras,el cual muestra que en el colımite el forzamiento en haces, el cual es intuicionista, converge en algun modo quesera precisado mas adelante, a la validez clasica en el modelo generico, el intuicionismo real tiende al mundoclasico ideal.

3.1. Filtros GenericosPrimero recordamos la definicion clasica de filtro de abiertos.

Definicion 3.1.1. Sea 〈X ,T 〉 un espacio topologico, una familia de abiertos F⊂T es un filtro de abiertos sobreX si satisface las siguientes condiciones:

i. X ∈ F.

ii. Si U,V ∈ F, entonces U ∩V ∈ F. (cerrado para intersecciones finitas)

iii. Si V ∈ F y U ⊃V , entonces U ∈ F. (cerrado para superconjuntos)

Si adicionalmente F 6= T o equivalentemente /0 /∈ F, se dira que F es no trivial. Es maximal si lo es respectoa la contenencia entre todos los filtros de abiertos no triviales sobre X. En lo que sigue todos los filtros seran deabiertos.

Se tienen las siguientes propiedades de los filtros maximales.

Lema 3.1.1. Si F es un filtro maximal de abiertos sobre X, entonces

a) Si U ∈ F y W es un abierto denso en U, entonces W ∈ F.

b) Si U es un abierto de X, entonces U ∈ F o −U := Int(X−U) ∈ F.

Demostracion.

a) Sea V ∈F, entonces U∩V es un abierto no vacıo contenido en U (pues U∩V ∈F), por lo tanto W ∩(U∩V ) 6=/0, de donde W ∩V 6= /0; luego existe un filtro no trivial que contiene a F y a W , como F es maximal se debetener que W ∈ F.

b) Si U /∈ F, por maximalidad de F debe existir V ∈ F disyunto de U , como Int(X−U)⊃W , entonces Int(X−U) ∈ F.

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A continuacion damos la definicion de filtro generico, el objeto adecuado para suprimir de forma ideal el ruidoen el forzamiento, de tal manera que en el modelo generico, este se transforme en la validez clasica.

Definicion 3.1.2. Sea M un prehaz de L -estructuras sobre un espacio topologico X. Un filtro F no trivial sobreX es generico para M si Dada ϕ(v1, . . . ,vn) L -formula, U ∈ F y a1, . . . ,an ∈MU se tiene que

i. Existe V ∈ F con V ⊂U tal que M V ϕ(a1, . . . ,an) o M V ¬ϕ(a1, . . . ,an).

ii. Si M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an), entonces existe V ∈ F con V ⊂U y b ∈MU tales que M V ϕ(b;a1, . . . ,an).

TEOREMA 3.1.1. Si M es un prehaz exacto de L -estructuras sobre X, entonces todo filtro maximal sobre X esgenerico para M .

Demostracion. Sean F un filtro maximal sobre X , ϕ(v1, . . . ,vn) una L -formula, U ∈ F y a1, . . . ,an ∈MU . Si A :={x ∈U |M x ϕ(a1, . . . ,an)} /∈ F, entonces B := Int(X−A) = Int({x ∈U |M 1x ϕ(a1, . . . ,an)}∪ (X−U)) ∈ F,por lo tanto C := B∩U = Int({x ∈U |M 1x ϕ(a1, . . . ,an)}) ∈ F y claramente M C ¬ϕ(a1, . . . ,an), con lo cualse cumple la primera condicion. Ahora supongamos que M U ∃wϕ(w;a1, . . . ,an), por el Principio del maximoexisten V denso en U y b ∈MU tales que M V ϕ(b;a1, . . . ,an), por el Lema 2.1.1. parte a) se tiene que V ∈ F, yse cumple la segunda condicion.

3.2. El Gran TeoremaA continuacion damos la definicion fundamental de modelo generico, el cual se puede ver como una elimina-

cion del ruido que puede ser captado por el filtro al pasar al co-lımite.

Definicion 3.2.1. Sean M un prehaz de L -estructuras sobre un espacio topologico X y F un filtro sobre X.Definimos M [F] := co-limU∈FMU , cuando F es generico para M se dice que M [F] es un modelo generico.

Ahora presentamos el teorema principal de este trabajo, el cual es llamado por Caicedo en (colocar referencia)como El Teorema fundamental de la teorıa de modelos, pues de el se desprenden como corolarios los teoremasbasicos de la teorıa de modelos clasica.

En el enunciado de este teorema intervendra la traduccion de Godel, la cual a traves de un filtro genericopermite el puente entre la realidad intuicionista del reino de los haces y el mundo ideal clasico sobre el quetrabajan la mayorıa de los matematicos.

Definicion 3.2.2. Dada una L -formula ϕ se define recursivamente la traduccion de Godel de ϕ , notada comoϕG, de la siguiente forma:

1. ϕG = ¬¬ϕ si ϕ es atomica.

2. (ϕ ∧ψ)G = ϕG∧ψG.

3. (ϕ ∨ψ)G = ¬(¬ϕG∧¬ψG).

4. (ϕ → ψ)G = ϕG→ ψG.

5. (¬ϕ)G = ¬ϕG

6. (∀wϕ)G = ∀wϕG.

7. (∃wϕ)G = ¬∀w¬ϕG.

TEOREMA 3.2.1 (Teorema del modelo generico). Si M es un haz de L -estructuras sobre un espacio topologicoX, F es un filtro sobre X, generico para M , U ∈ F, a1 . . . ,an ∈MU y ϕ(v1, . . . ,vn) es una L -formula, entonceslas siguientes afirmaciones son equivalentes:

i. M [F] |= ϕ([a1], . . . , [an])

ii. existe V ∈ F, con V ⊂U, tal que M V ϕG(a1, . . . ,an)

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iii. {x ∈ X |M x ϕG(a1, . . . ,an)} ∈ F

Demostracion. La demostracion se realiza por induccion en la complejidad de ϕ .

ϕ atomica

M [F] |= ϕ([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : MV |= ϕ(ρVU (a1), . . . ,ρVU (an))⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ϕ(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ¬¬ϕ(a1, . . . ,an).

La primera equivalencia se debe al Lema 2.1.2, la segunda, al Teorema de la semantica de Kripke-Joyal.Demostraremos la equivalencia ⇐⇒ .

(=⇒) Se sigue del Lema 2.2.5. con U :=V .

(⇐=) Si existe V ∈ F, con V ⊂U , tal que M V ¬¬ϕ(a1, . . . ,an), entonces por el Lema 2.2.5. existe Wdenso en V tal que M W ϕ(a1, . . . ,an); Como F es generico para M , entonces existe V ′ ∈ F, con V ′ ⊂V ,tal que M V ′ ϕ(a1, . . . ,an) o M V ′ ¬ϕ(a1, . . . ,an). Si se tuviera que M V ′ ¬ϕ(a1, . . . ,an), entoncesM V ′∩W ¬ϕ(a1, . . . ,an) y M V ′∩W ϕ(a1, . . . ,an), con V ′∩W 6= /0, pues W es denso en V , lo cual es unacontradiccıon y se debe tener la opcion deseada.

φ ∧ψ

M [F] |= (ϕ ∧ψ)([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ M [F] |= ϕ([a1], . . . , [an]) y M [F] |= ψ([a1], . . . , [an])⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ϕG(a1, . . . ,an) y ∃W ∈ F W ⊂U : M W ψG(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V (ϕG∧ψG)(a1, . . . ,an).

En la segunda equivalencia se uso la hipotesis de induccion y en la tercera simplemente se tomo la intersec-cion en la direccion menos trivial.

φ ∨ψ

M [F] |= (ϕ ∨ψ)([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ M [F] |= ϕ([a1], . . . , [an]) o M [F] |= ψ([a1], . . . , [an])⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ϕG(a1, . . . ,an) o ∃W ∈ F W ⊂U : M W ψG(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ¬(¬ϕG∧¬ψG)(a1, . . . ,an).

En la segunda equivalencia se uso la hipotesis de induccion y vamos a demostrar ⇐⇒ .

(=⇒) Sın perdida de generalidad supongamos que existe V ∈ F, con V ⊂U , tal que M V ϕG(a1, . . . ,an).Observemos primero la siguiente cadena de equivalencias la cual se obtiene completamente por aplicacionesdel Teorema de la Semantica de Kripke-Joyal.

∃V ∈ F V ⊂U : M V ¬(¬ϕG∧¬ψG)(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U ∀W ⊂V W 6= /0 : M 1W (¬ϕG∧¬ψG)(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U ∀W ⊂V W 6= /0 : M 1W ¬ϕG(a1, . . . ,an) o M 1W ¬ψG(a1, . . . ,an).

Ahora verificamos que V satisface el ultimo miembro de esta cadena. Sea W ⊂ V , W 6= /0, como M WϕG(a1, . . . ,an), entonces M 1W ¬ϕG(a1, . . . ,an) y se tiene lo deseado.

(⇐=) Supongamos que que existe V ∈ F, con V ⊂U , tal que M V ¬(¬ϕG∧¬ψG)(a1, . . . ,an) y en buscade una contradiccion, supongamos que para todo V ∈ F, con V ⊂ U , se tiene que M 1W ϕG(a1, . . . ,an)y M 1W ψG(a1, . . . ,an). Como F es generico para M , existen V,W ∈ F, con V,W ⊂U , tales que M VϕG(a1, . . . ,an) o M V ¬ϕG(a1, . . . ,an), y M W ψG(a1, . . . ,an) o M W ¬ψG(a1, . . . ,an). Por la su-posicion hecha al inicio se debe tener que M V ¬ϕG(a1, . . . ,an) y M W ¬ψG(a1, . . . ,an), por lo tantoM V∩W (¬ϕG ∧¬ψG)(a1, . . . ,an), como U ∩V ∩W ⊂ U y U ∩V ∩W ⊂ V ∩W , entonces se tiene queM U∩V∩W (¬ϕG ∧¬ψG)(a1, . . . ,an) y M U∩V∩W ¬(¬ϕG ∧¬ψG)(a1, . . . ,an), ademas U ∩V ∩W 6= /0pues esta en F, obteniendo ası una contradiccion.

¬ϕ

M [F] |= ¬ϕ([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ M [F] 6|= ϕ([a1], . . . , [an])⇐⇒ ∀V ∈ F V ⊂U : M 1V ϕG(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U ∀W ⊂V W 6= /0 : M 1V ϕG(a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ¬ϕG(a1, . . . ,an).

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Demostraremos ⇐⇒ , las demas equivalencias se siguen de las definiciones, hipotesis de induccion y elTeorema de la Semantica de Kripke-Joyal.

(=⇒) Supongamos que para todo V ∈ F, con V ⊂ U , se tiene que M 1V ϕG(a1, . . . ,an), y en busca deuna contradiccion supongamos que para todo V ∈ F, con V ⊂ U , existe W ⊂ V , W 6= /0, tal que M WϕG(a1, . . . ,an). Como F es generico para M , entonces existe V ∈ F, V ⊂U , tal que M V ϕG(a1, . . . ,an) oM V ¬ϕG(a1, . . . ,an), por las suposiciones hechas se debe tener M V ¬ϕG(a1, . . . ,an) y ademas existeW ⊂V , W 6= /0, tal que M W ϕG(a1, . . . ,an), como tambien se tiene que M W ¬ϕG(a1, . . . ,an), llegamosa una contradiccion.

(⇐=) Supongamos que existe V ∈ F, con V ⊂ U , tal que para todo W ⊂ V , W 6= /0, se tiene que M 1WϕG(a1, . . . ,an); Sea W ∈F, W ⊂U , entonces V ∩W 6= /0, pues V ∩W ∈F, por lo tanto M 1V∩W ϕG(a1, . . . ,an),de donde M 1W ϕG(a1, . . . ,an).

ϕ → ψ

M [F] |= (ϕ → ψ)([a1], . . . , [an]) ⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V (ϕG→ ψG)(a1, . . . ,an).

(=⇒) Supongamos que M [F] |= (ϕ → ψ)([a1], . . . , [an]), entonces M [F] |= (¬ϕ ∨ψ)([a1], . . . , [an]). Tene-mos los siguientes casos

Caso 1: Si M [F] |= ψ([a1], . . . , [an]), por hipotesis de induccion existe V ∈ F, V ⊂ U , tal que M VψG(a1, . . . ,an), entonces se tiene trivialmente M V (ϕG→ ψG)(a1, . . . ,an).

Caso 2: Si M [F] 6|= ϕ([a1], . . . , [an]), por hipotesis de induccion, para todo V ∈ F, con V ⊂U , se tiene queM 1V ϕG(a1, . . . ,an). Supongamos en busca de un contradiccion, que para todo V ∈ F, con V ⊂U , existeW ⊂V tal que M W ϕG(a1, . . . ,an) y M 1W ψG(a1, . . . ,an). Como F es generico para M , existe V ∈ F,V ⊂U , tal que M V ϕG(a1, . . . ,an) o M V ¬ϕG(a1, . . . ,an), por las suposiciones hechas se debe tenerque M V ¬ϕG(a1, . . . ,an) y debe existir W ⊂V tal que M W ϕG(a1, . . . ,an) y M 1W ψG(a1, . . . ,an), dedonde W 6= /0; como M V ¬ϕG(a1, . . . ,an), entonces M W ¬ϕG(a1, . . . ,an), lo cual es una contradicciony se obtiene lo deseado.

(⇐=) Supongamos que existe V ∈ F, V ⊂ U , tal que M V (ϕG → ψG)(a1, . . . ,an). Por el Teoremade la Semantica de Kripke-Joyal se tiene que para todo W ⊂ V , M W ϕG(a1, . . . ,an) implica M WψG(a1, . . . ,an). Vamos a demostrar que si existe V ∈ F, con V ⊂U , tal que M V ϕG(a1, . . . ,an), entoncesexiste W ∈ F, con W ⊂U , tal que M W ϕG(a1, . . . ,an). Y al aplicar la hipotesis de induccion, esto nosdara que M [F] |= ϕ([a1], . . . , [an]) implica M [F] |= ψ([a1], . . . , [an]), que es lo que se querıa ver.

En efecto, supongamos que existe W ∈ F, con W ⊂U , tal que M W ϕG(a1, . . . ,an), como V ∩W ⊂ V yM V∩W ϕG(a1, . . . ,an), entonces M V∩W ψG(a1, . . . ,an), ademas V ∩W ∈ F y V ∩W ⊂U .

∃wϕ

M [F] |= ∃wϕ(w; [a1], . . . , [an]) ⇐⇒ ∃V ∈ F ∃b ∈MV : M [F] |= ϕ([b]; [a1], . . . , [an])⇐⇒ ∃V ∈ F ∃b ∈MV ∃W ∈ F W ⊂U ∩V : M W ϕG(b;a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ¬∀w¬ϕG(w;a1, . . . ,an).

Procedemos a demostrar ⇐⇒ , en la segunda equivalencia se uso la hipotesis de induccion.

(=⇒) Supongamos que existen V ∈ F, b ∈ MV y W ∈ F, W ⊂U ∩V , tales que M W ϕG(b;a1, . . . ,an).Como F es generico para M , existe V ′ ∈ F, V ′ ⊂ W , tal que M V ′ ∀w¬ϕG(w;a1, . . . ,an) o M V ′

¬∀w¬ϕG(w;a1, . . . ,an). Si se tuviera la primera opcion, se tendrıa en particular M V ′∩V ¬ϕG(b;a1, . . . ,an)y por lo tanto M 1V ′∩V ϕG(b;a1, . . . ,an). Ademas, como V ′∩V ⊂V , entonces M V ′∩V ϕG(b;a1, . . . ,an),lo cual nos lleva a una contradiccion.

(⇐=) Supongamos que existe V ∈ F, V ⊂ U , tal que M V ¬∀w¬ϕG(w;a1, . . . ,an), usando el Teoremade la Semantica de Kripke-Joyal obtenemos que para todo W ⊂ V , W 6= /0, existen W ′ ⊂W , W ′ 6= /0 yb ∈ MW ′ , tales que M W ′ ϕG(b;a1, . . . ,an). Como F es generico para M , existe W ∈ F, W ⊂ V tal queM W ¬∃wϕG(w;a1, . . . ,an) o M W ∃wϕG(w;a1, . . . ,an). Si se tuviera la primera opcion, entonces paratodo W ′⊂W , W ′ 6= /0, se tendrıa que M 1W ′ ∃wϕG(w;a1, . . . ,an). Por lo observado al inicio existen W ′⊂W ,con W ′ 6= /0 y b ∈MW ′ , tales que M W ′ ϕG(b;a1, . . . ,an), de donde M W ′ ∃wϕG(w;a1, . . . ,an), lo cual

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es una contradiccion, por lo tanto se debe tener queM W ∃wϕG(w;a1, . . . ,an). Nuevamente, debido a queF es generico para M , entonces existen W ′ ∈ F, W ′ ⊂W y b ∈ MW ′ tales que M W ′ ϕG(b;a1, . . . ,an),obteniendo ası lo deseado.

∀wϕ

M [F] |= ∀wϕ(w; [a1], . . . , [an]) ⇐⇒ ∀V ∈ F ∀b ∈MV : M [F] |= ∃wϕ([b]; [a1], . . . , [an])⇐⇒ ∀V ∈ F ∀b ∈MV ∃W ∈ F W ⊂U ∩V : M W ϕG(b;a1, . . . ,an)⇐⇒ ∃V ∈ F V ⊂U : M V ∀wϕG(w;a1, . . . ,an).

Procedemos a demostrar ⇐⇒ , las demas equivalencias se siguen igual que en los casos anteriores

(⇐=) Supongamos que existe V ∈ F, V ⊂U , tal que M V ∀wϕG(w;a1, . . . ,an). Sean W ∈ F y b ∈ MW ,por el Teorema de la Semantica de Kripke-Joyal se tiene que M V∩W ϕG(ρV∩W,W (b);a1, . . . ,an), puesV ∩W ⊂V , ρV∩W,W (b) ∈MV ∩W y M V ∀wϕG(w;a1, . . . ,an). Es claro que V ∩W ∈ F y que V ∩W ⊂W .

(=⇒) Similar a la anterior direccion.

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