Lógica de Clases II

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LÓGICA DE CLASES, DIAGRAMAS DE VENN Y VALIDEZ DE INFERENCIAS INMEDIATAS 1. LÓGICA DE CLASES: Es la teoría que permite establecer el análisis interno de una proposición. En este acápite sólo abordaremos cuestiones básicas. 1.1. Conceptualización de Clase: Es un conjunto o agrupación de objetos que se pueden contar y que además tienen una característica común. Estos objetos se denominan MIEMBROS o ELEMENTOS de la clase. Ejemplo: La clase de los trujillanos. a) Notación: - Las clases se simbolizan con letras mayúsculas (A, B, C...) - Los elementos se simbolizan con letras minúsculas (a, b, c..) - La notación de las clases se hace por enumeración y por comprensión. Ejemplo: 1) A = (a, e, i, o, u) ENUMERACIÓN Clase: Elementos: Vocales c/u de las vocales 2) A = (x/x es una vocal) COMPRENSIÓN Clase. Elementos: Vocales intrínsecos 1.2. Tipos de Clases: a) Clase Universal:

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LGICA DE CLASES, DIAGRAMAS DE VENN Y VALIDEZ DE INFERENCIAS INMEDIATAS1. LGICA DE CLASES:Es la teora que permite establecer el anlisis interno de una proposicin. En este acpite slo abordaremos cuestiones bsicas.1.1. Conceptualizacin de Clase:Es un conjunto o agrupacin de objetos que se pueden contar y que adems tienen una caracterstica comn. Estos objetos se denominan MIEMBROS o ELEMENTOS de la clase. Ejemplo:La clase de los trujillanos.a) Notacin:- Las clases se simbolizan con letras maysculas (A, B, C...)- Los elementos se simbolizan con letras minsculas (a, b, c..)- La notacin de las clases se hace por enumeracin y por comprensin. Ejemplo:1) A = (a, e, i, o, u)ENUMERACIN

Clase:Elementos:Vocalesc/u de las vocales

2) A=(x/x es una vocal)COMPRENSIN

Clase.Elementos:Vocalesintrnsecos

1.2. Tipos de Clases:

a) Clase Universal:Llamada tambin universo del discurso. Es la clase que incluye o enmarca a todos los objetos posibles. Se grfica:

U

b) Clase Vaca:Es la que carece de elementos, se denomina tambin, clase nula. Se denota por o tambin por 0 (cero). Se grfica con sombreado.

US

c) Complemento:El complemento de una clase es una operacin consistente en el conjunto de elementos que no pertenecen a esa clase. Ejemplo:

Si se trata de la clase S; el complemento son los elementos que no pertenecen a la clase S. Se denota con una barra encima de la clase: se grfica as:

US

d) Sub ClaseEs la clase cuyos elementos estn incluidos en otra clase. Ejemplo:La clase S = (a, b, c) est incluida en la clase P = (a, b, c, d, e). Se grfica as:USPS P

e) InterseccinOperacin en la que los elementos pertenecen a la vez a 2 clases. Se denota. S P. Grfico:USPx

f) Diferencia:Es la clase cuyos elementos que son de S no pertenecen a P. Se denota: S P. Grfico:USPx

1. Complemento: : Elemento que no pertenecen al conjunto A.2. Interseccin: A B: Elementos comunes que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.3. Reunin: A B: Totalidad de elementos tanto del conjunto A como del conjunto B.4. Inclusin: A B: Todos los elementos del conjunto A estn incluidos en el conjunto B.5. Exclusin: A B: Entre el conjunto A y el conjunto B no hay relacin de elementos.6. Diferencia: A B: Elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.7. Conjunto Universal: V, U, 1: Conjunto total de elementos finitos o infinitos. NOTA: Semnticamente la y es una suma (se recomienda usar y a la vez para que sea interseccin) y la o es una exclusin (se recomienda usar o a la vez para que sea una suma)

2. DIAGRAMAS DE VENN EULER Y EL LENGUAJE BOOLEANO:Los diagramas de Venn son representaciones circulares, de tal modo que una clase es representada por un CRCULO as como la LETRA que designa esa clase. Adems es bsico conocer que un trmino (sujeto o predicado) puede ser entendido como un conjunto o clase.A. Representacin de un Trmino o Clase:Si: S = hombres, luego tiene elementos. En consecuencia S , y se representa:USX

Nota: La X significa que hay elementos

Si: S = inmortales, no tiene elementos. Por tanto S = , y se representa:

US

Nota: El sombreado significa que no hay elementos

B. Diagramacin de las proposiciones categricas tpicas:

-Las proposiciones categricas tpicas relacionan 2 trminos que a la vez son clases (la clase del sujeto y la clase del predicado). En tal sentido, la diagramacin debe hacerse mediante la INTERSECCIN de 2 crculos.-Para mayor operatividad, se debe hacer uso de las siguientes frmulas booleanas:

NOTACIN CLSICAPROP. CAT. TPICASESTRUCTURA LINGSTICAFORMULAS BOOLEANAS

AUniversal afirmativaTodo S es PS =

EUniversal negativaNingn S es PS P =

IParticular afirmativaAlgn S es PS P

OParticular negativaAlgn S no es PS

B.1.La Universal afirmativa: Significa que todo elemento de S est incluido o pertenece a P. Se grfica as:

S =

NOTA: Para mayor diagramacin, la frmula S = , se lee:Todo lo que queda de S sin afectar para nada a P es igual al conjunto vaco.

B.2.La Universal Negativa: significa que ningn elemento de S pertenece a P. Se grfica as:

S P =

B.3.La Particular Afirmativa: significa que algunos (no todos) elementos de S pertenecen a P, se grfica as:

S P

B.4.La Particular Negativa: Significa que hay algunos elementos de S que no pertenecen a P. Se grfica.

S =

NOTA: La frmula S , se puede leer: Lo que queda de S sin afectar para nada a P, es diferente del conjunto vaco.

3. VALIDEZ DE INFERENCIAS INMEDIATAS CON DIAGRAMAS DE VENN:

Para esto hay que tener en cuenta:a. Las frmulas booleanas (que ya lo vimos anteladamente)

b. Ley del contenido existencial: Se usa cuando la premisa o premisas, son proposiciones universales (A, E) y la conclusin es proposicin particular (I, O). Para ello se usa el trmino que es igual en las premisas y la conclusin (S, P, M), y se agrega la desigualdad de la conclusin ( )

c. Caso especial: La frmula , se lee: Todo P y todo lo que est fuera de S y P es igual al conjunto vaco.

d. Regla de Validez: Para que una inferencia o silogismo sea VLIDO, la conclusin debe leerse en el grfico.

e.

Las Inferencias Biimplicativas () o Implicativas (): Son vlidas si su premisa y conclusin son iguales. Slo en las implicativas es vlido: ; , con la ley del contenido existencial.

NOTA: Estos aspectos son funcionales tanto para demostrar la validez de inferencias inmediatas (equivalencias) cuanto para la demostracin de las inferencias mediatas (silogismos). Ejemplos:Diagramar las siguientes inferencias y demostrar si son vlidas.

1. Todo comerciante es rentista.

Es falso que, algn comerciante no es rentista.

Paso 1: Representacin en proposiciones categricas tpicas:C(A) R

-(C(O) R)

Paso 2: Uso de frmulas booleanas.

C = C = (Premisa)=

(C ) C = (Conclusin)

Paso 3: Diagramacin:

ES VLIDA (la conclusin se lee en el grfico)

2. Es mentira que, todo aculturado es autctono

Ningn autctono es aculturado

Paso 1: Representacin en proposiciones categricas tpicas:

- (S(A)P)------------ P(E)S

Paso 2: Uso de frmulas booleanas:

-(S = )S (Premisa)=P S = P S = (Conclusin)

Paso 3: Diagramacin:

NO ES VLIDA

3. Cualquier yoga es naturista

Varios naturistas son yogas

Paso 1: Representacin en proposiciones categricas tpicas:

Paso 2: Uso de frmulas booleanas:

Y = (Premisa)

N Y (Conclusin)

Paso 3: Diagramacin

OJO: La conclusin no se lee en el grfico, pero la premisa es universal y la conclusin es particular; por tanto se puede aplicar ley del contenido existencial. As: Y es igual en la premisa y conclusin. Le agrego por ello el signo de diferencia de la conclusin; resultando; en la nueva diagramacin:Y

Ahora, si se puede leer en el diagrama, luego N Y es VLIDA.

OBJETIVOS

Al finalizar el presente captulo, el lector estar en la capacidad de: Definir y diagramar clases. Establecer las frmulas booleanas y diagramas de Venn de las proposiciones categricas. Determinar proposiciones equivalentes en funcin a las frmulas booleanas

INTRODUCCIN

La idea bsica de los diagramas se debe al matemtico suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) quien represent grficamente las relaciones entre clases o conjuntos. Euler us la relacin de inclusin para la universal afirmativa, la exclusin para la universal negativa, y la interseccin para ambas particulares. En base a estas representaciones, el lgico ingls Johhn Venn (1834 - 19223) propuso representaciones grficas a las proposiciones categricas tpicas A, E, I y O, grficos que van a interpretar las ecuaciones booleanas, dado que Boole interpret algebraicamente las proposiciones categricas de la lgica tradicional.

En primer lugar representaremos el universo mediante un rectngulo y una clase por un crculo. Por ejemplo en la representacin de la clase S se tiene:SU

Representacin: Grfica de clasesCLASE NO VACIA(Tiene por lo menosun elemento)CLASE VACIA(No tiene elementos)

x

Dos clases intersectadas dentro de un determinado universo generan cuatro zonas que son:

Donde:

SP: Zona que pertenece a S y a P.

: Zona que no pertenece a S pero s a P.

: Zona que pertenece a S pero no a P.

: Zona que no pertenece a S ni a P.

Cada proposicin categrica tiene su respectiva frmula Booleana y una representacin diagrama,

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