Lógica (concepto) La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-

Lógica (concepto)La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-

Lógica Proposicional

Aporte de la Lógica a la MatemáticaDe acuerdo al concepto anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

PROPOSICIÓN

Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.

Por ejemplo:

Hoy es lunes

Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:

p, q, r, s, t, u


V

F

LOS CONECTIVOS LOGICOS

Ó -: “NO”: “Y” : “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA : SI Y SOLO SI : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:


PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.

PROPOSICION

SIMPLE: p

COMPUESTA: p q


TABLA DE VALORES DE VERDAD

Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.-Cantidad de valores de verdad debe llevar una tabla

O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

3225 valoresnº

sproposionennesproposicionAvaloresn º2

º 2'º


OPERACIONES PROPOSICIONALES

La Negación

La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

p ~ p

V

F

F

V


La disyunción o suma lógicaLa disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F


p: estudioq: veo TV

p v q: estudio o veo TV

La conjunción o producto lógicoLa conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F


p: estudioq: veo TV

p q: estudio y veo TV

El condicional o la implicaciónEl condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


p: aprueboq: te presto el libro

p q: apruebo, entonces te presto el libro

Condiciones necesarias y suficientes

p condición SUFICIENTE para q (q si p)q condición NECESARIA para p (p sólo si q)

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

El bicondicional o la doble implicación

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V


p: aprueboq: te presto el libro

p q: solamente si apruebo, te presto el libro

La diferencia simétricaLa diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F


p: estudioq: veo TV

p q: estudio o bien veo TV

TautologíaDefiniciónSe dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-Por ejemplo: p q (pq) [(pq) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

1 1 23


ContradicciónDefiniciónUna proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen

Por ejemplo: p q (p q) - [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

F

V

V

F

4

F

F

F

F


ContingenciaDefiniciónUna proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componenPor ejemplo: p q (p q) v [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

F

F

V


LEYES LOGICAS

Una ley lógica es una proposición verdadera.-

1º) InvoluciónLa negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición

p -(-p) p

V

F

F

V

1

V

F

2

V

V


2º) Idempotencia de la conjunciónLa conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V


3º) Idempotencia de la disyunción

La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V


4º) Conmutatividad de la conjunción

La conjunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

1

V

V

V

V


5º) Conmutatividad de la disyunción

La disyunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

F

1

V

V

V

V


6º) Asociatividad de la conjunciónLa conjunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V


7º) Asociatividad de la disyunciónLa disyunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V


8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

F

V

V

V

3

V

V

V

V

F

V

V

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

F

F

F

V

3

V

V

V

V

F

F

F

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2


10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunciónLa conjunción es distributiva con respecto a la

disyunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

F

V

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

F

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V


11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunciónLa disyunción es distributiva con respecto a la

conjunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

V

V

F

V

F

V

F

2

V

V

V

V

V

F

V

F

1

V

V

V

F

V

V

V

F

2

V

V

V

F

V

F

V

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V


10º) Las implicaciones asociadas

p q Directa q p Recíproca

-p -q Contraria -q -p Contra - recíproca

p q q pRecíprocas

-p -q -q -pRecíprocas

Con

traria

s

Con

traria

s

Contra - r

ecíproca

sContra - recíprocas


PropiedadLas implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes.O sea que:

p q p q -q -p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

F

V

V

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V


11º) Negación de una implicaciónLa siguiente proposición es una tautología, o sea:

p q (p q) -(p -q)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

V

F

F

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V

-(pq) -[-(p -q) -(-p q)

-(pq) -[-(p -q) p -q Ahora:

Pero:

(pq) -(p -q) -p qAhora:


12º) La doble implicación y la implicación

La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.

p q (p q) [(pq) (qp)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

V

V

V


13º) La diferencia simétrica y la doble implicación

La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.

p q (p q) - (p q)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

1

V

F

F

V

1

F

V

V

F

2

V

V

V

V


Lógica (concepto) La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-

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