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Lógica Borrosa o Difusa

Introducción

Ingenierías del ConocimientoEIE

2

Contenido

Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones con conjuntos borrosos Razonamiento borroso

Representación del conocimiento Métodos de inferencia Fuzzificadores-Defuzzificadores

3

Funciones de pertenencia

Relaciones en Conjuntos borrosos

Métodos de inferencia

Conjuntos borrosos

Operaciones borrosas

Representación del

conocimiento

Razonamiento borroso

Orígen

Introducción a la Lógica Difusa

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Fundamentos de FL

Lofty Zadeh es el padre del término “fuzzy”, en 1965 publica “Fuzzy Sets” en la revista Information and Control. La intención de Zadeh era crear un formalismo para manejar de forma más eficiente la imprecisión del razonamiento humano.

Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento

5

FL

Es una rama de AI que permite trabajar con razonamiento imprecisos partiendo de conocimiento impreciso que se representan mediante conjuntos borrosos (fuzzy sets).


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Conjuntos borrosos

By Zadeh 1965, “A fuzzy set is a class of objects with a

continuum of grades of membership. Such a set is characterized by a membership function which assigns to each object a grade of membership ranging between zero and one.”

Fuzzy Sets = Elements + Membership Functions


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Conjuntos borrosos

Definición Formal: Sea X un espacio de puntos (objetos), con un elemento genérico denotado por x. Así, X = {x}.Un conjunto borroso A en X se caracteriza por una función de pertenencia fA(x) que asocia a cada elemento de X un número

real en [0; 1], donde el valor fA(x) representa el "grado de

pertenencia de x en A".

A={x, fA(x)}

Ej: A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn ) considerando el conjunto difuso alta asociado a la variable lingüística estatura:

ALTA = (0/1.65, 0.8/1.75, 0.9/1.85, 1/1.95)


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Tipos de conjuntos

Clásico Borrosos

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


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Ej. de conjuntos borrosos

Conjunto de hombres jóvenes Conjunto de hombres de edad media Conjunto de hombres viejos

Cómo se definen los conjuntos?Cuáles son los límites? Son estrictos?


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Ej. de conjuntos clásicos


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Ej. de conjuntos borrososDefinición de las funciones de pertenencia


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Funciones de Pertenencia

La “membership function” mapea cada elemento del conjunto borroso a un valor de pertenencia

fA: X -> [0,1]; X es el espacio de entrada o universo del discurso


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Tipos de fs de pertenencia

Triangular Trapezoidal


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Tipos de fs de pertenencia

Sigmoides

Gaussiana


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Fs de pertenencia: obtención

1. Evaluación subjetiva: individuos asignan un grado de pertenencia subjetivo a cada elemento

2. Frecuencias o probabilidades: estadísticas basadas en histogramas o el porcentaje de respuestas afirmativas y negativas sobre la pertenencia de un elemento al conjunto.

3. Funciones ad-hoc: en los sistemas borrosos de control se suele utilizar funciones de pertenencia sencillas (triangulares o trapezoidales).


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Propiedades en conjuntos borrosos Normality, A is called normal if its supreme is one:

Sup fA(x) = 1, for every x in X

Igualdad,

Inclusión,

A=B⇔ f A( x )=f B( x );∀ x∈X

A⊆B⇔ f A( x )≤f B( x ) ;∀ x∈X


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Operaciones en conjuntos borrosos

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Operaciones básicas con conjuntos borrosos

Unión,

Intersección,

Complemento,

f A∪B( x )=max {f A( x ) ,f B( x ) }

f A∩B( x )=min {f A( x ) ,f B( x )}

f A( x )=1−f A( x )

A B∪A B∩ A


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Complementos, T-normas y T-conormas

Las operaciones básicas no son únicas. Hay distintas formas de complementos (C), intersecciones (T-normas) y uniones (T-conormas) borrosas


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Operadores genéricos: Complemento

Dado un conjunto borroso A={x, fA(x)}, el N(A) se

interpreta como el grado en que x no pertenece a A

Comp = N : [0,1] → [0,1]

Frontera N(0)=1 y N(1)=0 Monotonía N(a) ≥ N(b) if a ≤ b Involución N[N(a)] = a

1

x4 5 80

f A( x )=1− f A( x )


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Operadores genéricos:T-norm

Intersection of fuzzy sets A and B:

fA∩B(x) = T(fA(x), fB(x))

Commutativity: T(a, b) = T(b, a) Associativity: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) Boundary: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a Monotonicity: T(a, b) ≤ T(a, c) if b ≤ c

f A∩B( x )=min { f A( x ) ,f B( x )}1

fA∩B

x4 5 80


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Ej. T-norm

Intersección estándar: Min(a,b) = min(a,b)

Producto algebraico: Prod(a,b) = a · b

Diferencia acotada: W(a,b) = max (0, a+b-1)Lukasiewicz

Intersección drástica: a, si b=1; Z(a,b) b, si a=1;

0 en otro caso.

Z ≤ W ≤ Prod ≤ Min


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Operadores genéricos:T-conorm

Union of fuzzy sets A and B fAUB(x) = S(fA(x), fB(x)); T-conorm or S-norm

Commutativity: S(a, b) = S(b, a) Associativity: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) Boundary: S(a, 1) = 1, S(a, 0) = a Monotonicity: S(a, b) ≤ S(a, c) if b ≤ c

{ })(),(max)( xfxfxf BABA =∪1

fAUB

x4 5 80


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Ej. T-conorm

Unión estándar: Max(a; b) = max(a; b) Suma algebraica: Prod*(a; b) = a + b – a.b Suma acotada: W*(a; b) = min(1;a + b)

dual de Lukasiewicz Unión drástica: a, si b=0;

Z*(a,b) = b, si a=0; 1 en otro caso.

Max ≤ Prod* ≤ W*≤ Z*


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Prop. de operaciones borrosas

A A=Involución

A B B A∪ = ∪Commutativa A B B A∩ = ∩

( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪Asociativa ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩Distributiva ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

A A A∪ =Idempotencia A A A∩ =

( )A A B A∪ ∩ =Absorción ( )A A B A∩ ∪ =

A B A B∪ = ∩Leyes de De Morgan A B A B∩ = ∪


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Prop. de operaciones borrosas

Prop. en gral inválidas por abandonar el concepto de pertenencia: un elemento puede pertenecer a un conjunto y a su complemento.

Ley de la contradicción

Ley de exclusión media

A A∩ = ∅

A A U∪ =


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Ejemplo- Supongamos que:

Una persona desea ir a tomar una cerveza que sea barata,

en un local tradicional, y que el local quede cerca de su casaEl dispone de 4 lugares conocidos

Podemos distinguir tres conjuntos difusos1) Cerveza barata2) Local tradicional3) Cercanía a su hogar


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Una cerveza barata es una que cueste alrededor de $1000 o menos

Un local tradicional es un local que al menos tenga 5 años funcionando.

Que quede cerca de su casa es que no quede a más de 10 cuadras

Conjunto: cerveza barata Conjunto: local tradicional Conjunto: cercanía de su hogar

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Características de los localesPrecio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras

Local 1 1400 3 3Local 2 800 7 12Local 3 1000 4 9Local 4 1250 5 10

Precio Cerveza ($) Años de servicio CuadrasSolución clásica

Local 1 0 0 1Local 2Local 3Local 4

Precio Cerveza ($) Años de servicio Cuadras Solución difusa

Local 1 0,2 0,5 1Local 2Local 3Local 4 T-norm


Características de los locales

30

Precio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras


Características de los locales


Local 1 0,2 0,5 1Local 2 1 1 0,6667Local 3 1 0,875 1Local 4 0,5 1 1




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Características de los localesPrecio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras



Local 1 0 0 1 0Local 2 1 1 0 0Local 3 1 0 1 0Local 4 0 1 1 0


Local 1 0,2 0,5 1 0,2Local 2 1 1 0,6667 0,6667Local 3 1 0,875 1 0,875Local 4 0,5 1 1 0,5 T-norm


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Ejemplo

Mediante la solución clásica el individuo no encuentra un local

Mediante la solución difusa deducimos que el individuo posiblemente iría al Local 3.


33

Razonamiento borroso

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Razonamiento

La lógica borrosa trata con proposiciones borrosas que asignan un valor a una variable lingüística, p. ej.“estatura”, el valor “estatura es alta”, mediante un conjunto difuso A definido sobre el universo de discurso X de la variable lingüística. Analogamente, para la variable lingüística “peso”, el valor “peso elevado”,se define en el universo de discurso Y de dicha variable lingüística.


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Variable lingüística Una variable linguística es caracterizada por una

quíntupla

Dondex: Variable base (nombre de la variable)T(x): Conjunto de términos linguísticos de x que

refieren a la variable baseX: Conjunto universoG: Es una regla sintáctica (gramática) para

generar términos linguísticosM: Es una regla semántica que asigna a cada

término un significado

( x,T ( x ) ,X,G,M )


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Ej. De variable lingüística La velocidad puede ser interpretada como una variable

lingüística T(velocidad) podría serT(velocidad)={lento, moderado, rápido, muy lento, mas o

menos rápido, ...} Cada término es caracterizado por un conjunto difuso

definido sobre un conjunto universal X=[0,100] Podemos interpretar las etiquetas Lento como “una velocidad menor a 40 Km/h”Moderado como “una velocidad cercana a 55 Km/h”Rápido como “una velocidad alrededor de 70 Km/h”


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Ej. De variable lingüística


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Ej. De variable lingüística

( muyLento )( x )=( Lento )p ( x ) p>1

(mas o menosLento )( x )=( Lento )p ( x ) 0<p<1

Podemos encontrar el número difuso “muy lento” o “mas o menos lento” a partir de “lento”


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Implicaciones

Definir una implicación es asignar una función de pertenencia a una agrupación antecedente-consecuente del tipo P→Q

Nos permite razonar con afirmaciones tales como:

SI “la velocidad es normal” ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”


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Conocimiento: representación en reglas borrosas

.

Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO

Premisa ConclusiónVariables de entrada

Variable de salida

Términos lingüísticos

Operador lógico borroso

(Normas)


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Implicaciones

Modus Ponens Clásico

Modus Ponens Generalizado (GMP)

Premisa Si P entonces QHecho P

Consecuencia Q


Premisa Si P entonces QHecho P*

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Implicaciones

Opciones para definir:

Teórica: Darle el mismo significado de lógica clásica.

P→Q ≡ ¬P∨Q mp→q(u,v) = max(1-mp(u), mq(v))

P→Q ≡ ¬(P∧(¬Q)) mp→q(u,v) = 1 – min[mp(u), 1-mq(v)]

Práctica: Darle un significado causa-efecto.

Implicación de Mamdani

P→Q ≡ P∧Q mp→q(u,v) = min( mp(u), mq(v))


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Implicaciones Implicaciones usuales:

Luckasiewicz, que se deduce de la regla: P Q = ¬ P v Q

Gracias a estos modelos podemos determinar el conjunto borroso de la regla

Luckasiewicz y Zadeh son compatibles con la lógica clásica. Los de Mamdani y de Larse no son compatibles con la lógica clásica:

Nombre FórmulaZadeh Max(1-p, Min(p,q))Min (de Mamdani) Min(p,q)Luckasiewicz Min(1, 1-p+q)Larsen p x q

a b Zadeh Mamdani Luckas. Larsen1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 00 1 1 0 1 00 0 1 0 1 0


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Implicaciones

Los operadores de Mamdani y de Larsen no son compatibles con la lógica clásica. ¿Por qué se usan? Supongamos un modelo causal donde las

consecuencias sólo se dan por la aparición de las causas especificadas en la KB => es falsa la relación de implicación en la que el antecedente es falso y el consecuente verdadero. Esto es, es falso que no se produzca la causa pero si la consecuencia.

Por tanto, los operadores de Mamdani y Larsen son útiles para hacer un modelo de implicador como relación de causa-efecto. Son ampliamente utilizados en ingeniería, en donde es falso que “falso verdadero”.


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Razonamiento aproximado Con lo visto podemos determinar las distribuciones de

posibilidad de la regla según el hecho: Regla: µ (PQ)(x,y)

Hecho: µP*(x)

Pero todavía no podemos definir la conclusión, µQ*(x), ya que para ello necesitamos componer Regla y Hecho.


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Teoría del Razonamiento aproximado

Razonamiento con información imprecisa o incierta

Nuevamente: Modus Ponens clásico dice

Interpretación:Si P es verdadero y P→Q es verdadero, entonces

Q es verdadero

Premisa Si P entonces QHecho P


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La inferencia difusa de la implicación está basada en la regla composicional de inferencia

Regla composicional de inferencia

Premisa: Si u está en P entonces v está en Q

Hecho: u está P*

Consecuencia: v está Q*

Donde Q* está determinado por la composición Q* = P* ◦ (P→Q)

matriz asociativa M


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Composición

Disponiendo de la matriz M[nxq] obtenida a partir de PQ, el proceso de inferencia difusa permite a partir de la información P* (subconjunto de P), inducir un subconjunto Q* de Q.

Siendo P=(p1, …, pn) y Q=(q1,…,qq)

p1→q1 p1→q2 … p1→qq

p2→q1 … p2→qj

M = μPxQ= si usamos →=min, mij=min(pi,qj)

pi→q1

pn→q1 p1→q2 … p1→qq


49

Regla composicional

En casos prácticos se utiliza la composición max-T-norma

Q* = P* ◦ (P→Q)

{T [ P∗(u ) , ( P→Q )(u,v ) ] } ,v∈V

Sean dos conjuntos P y Q definidos en U y V resp.

T: si existe un solo camino de conexión entre Pi* y (P→Q)ij, tomamos “el menor” de los grados de pertenecia asociados de cada tramo. Carece de sentido que la intensidad de la relación fuese mayor al tramo más débil.max: si existe más de un camino de conexión, tomamos “el mayor” (en relaciones binarias, es análogo a “si existe al menos un camino”)


50

Ej. de implicaciones (INTELIGENCIA ARTIFICIAL, M. ALFONSO et al)

REGLA: Si ddest es lejana entonces v debe ser rápida

250 300 350 400 450

flejana= [ 0,25 0,5 0,75 1 1 ] (P)

40 50 60 70

frapida= [ 0 0,2 0,6 1 ] (Q)


51

Ej. Mandani (max-min), INTELIGENCIA ARTIFICIAL, M. ALFONSO et al

REGLA: Si ddest es lejana entonces v debe ser rápida

250 300 350 400 450 Q

flejana= [ 0,25 0,5 0,75 1 1 ] 40 50 60 70

0 0,2 0,25 0.25 250

40 50 60 70 flejana→rapida= 0 0,2 0,5 0,5 300 = Mfrapida= [ 0 0,2 0,6 1 ] 0 0,2 0,6 0,75 350

P 0 0,2 0,6 1 400

0 0,2 0,6 1 450

Para un hecho borroso (vector de ajuste) 250 300 350 400 450

ddest= [ 0,75 1 0,75 0 0 ]


52

Inferencia borrosa: Mamdani

1. Entrada: valores crisp; una regla2. Entrada: valores crisp, varias reglas3. Entrada: una lectura borrosa


53

1. Inferencia borrosa: max-min

REGLA: IF A THEN B

Cuando A* tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, p. ej., xk

se puede utilizar solo µA (xk) directamente con la representación

de Q, µQ (y) para inducir B* como

B* = µ A (xk) ∧ µ B (y)


125º

55

A

B

A ’ r e p r e s e n t a u n a e n t r a d a d e t = 1 2 5 º

56

E l s u b c o n j u n t o A ’ ( l e c t u r a ú n i c a )

i n d u c e u n c o n j u n t o d i f u s o B ’ u t i l i z a n d o l a c o m p o s i c i ó n m a x - m i n :

5 2

I n fe r e n c ia m a x - m in - E j e m p lo

58

Regla 1: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es medio entonces nivel en 3 es medioRegla 2: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es alto entonces nivel en 3 es alto

Bajo Medio Alto

C1 Caudal en 1

Bajo Medio Alto

C2 Caudal en 2

.49

.56

.2

Valores de entrada: C1, C2

Grados de pertenencia

2. Inferencia borrosa

Se aplica cuando las reglas tienen el mismo consecuente


59

.


Bajo Medio Alto

C1 Caudal en 1

Bajo Medio Alto

C2 Caudal en 2

.49

.56

.2

Regla Ant. 1 Ant. 2 (A_1∧A_2)

Regla 1

0.49 0.2 0.2

Regla 2

0.49 0.56 0.49

Norma T: MIN

Grado de veracidad de la regla

Fuzzyficador

2. Inferencia borrosaOrígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento

60

Bajo Medio Alto

Nivel en 3

.49.2

Regla 1Bajo Medio Alto

C1 Caudal 1

Bajo Medio Alto

C2 Caudal 2

.49.56

.2

Bajo Medio Alto

Nivel en 3

.49.2

Regla 2

Bajo Medio Alto

C2 Caudal 2

.56

.2


Bajo Medio Alto

C1 Caudal 1

.49

MIN

Bajo Medio Alto

Nivel en 3

.49.2

Regla 1

Regla 2


61

ReglaGrado de

veracidad de la regla

Regla 1

0.2

Regla 2

0.49

Bajo Medio Alto

Nivel en 3

.49.2

Regla 1

Regla 2

2. Inferencia borrosa

Nivel en el punto 3

C3=u=∑i=1

l

ui μU (u i)

∑i=1

l

μU (u i ) C3 Caudal en el punto 3

.49.2

DefuzificaciónCentro de área o Centro promedio


62

2. Inferencia borrosa: max-T

Resumiendo…


63

3. Inferencia borrosa: max-T

En el caso que la entrada a la regla sea una lectura difusa, nosotros podemos considerar la intersección de A y A*, es decir: min (ai, a*i) para inducir el B*


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Métodos de Defuzificación

La salida de un proceso de inferencia es un conjunto difuso, en procesos en línea se requieren valores crisp

Reglas

Inferencia

Codificador Decodificador

u U p

Conjuntos difusos entrada

v VConjuntos

difusos salida

Entrada crisp

x U p y=f(x) V

Salidacrisp


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La salida de un proceso de inferencia es un conjunto difuso, en procesos en línea se requieren valores crisp


Reglas

Inferencia

Codificador Decodificador

u ∈Up

Conjuntos difusos entrada

v ∈VConjuntos

difusos salida

Entrada crisp

x ∈Up y=f(x) ∈V

Salidacrisp

66


Por ej.:

Centro de Gravedad

•Valor máximo

•Promedio de max.


∑∑

∈

∈=

XxA

XxA

c e n t r o i d ex

xx

y)(

)(

µ

µ

67


Por ej.:

Centro de Gravedad

•Valor máximo

•Promedio de max.


∑∑

∈

∈=

XxA

XxA

c e n t r o i d ex

xx

y)(

)(

µ

µ

68

Resumen de tareas: Modelando un Fuzzy System Definir las variables de entradas y salidas Definir el universo de discurso Determinar el número de funciones de

pertenencia Distribuir las funciones de pertenencia Definir el método de borrosificación Definir el método de inferencia Definir el método de desborrosificación Examinar la conducta del modelo y la

superficie de salida: Redefinir reglas Ejemplo


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En resumen: Cuándo usar lógica borrosa

En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo

Cuando haya que introducir la experiencia de un operador “experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia

Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable

En general cuando se desea representar y operar con conceptos que tengan imprecisión


70

En resumen: Desventajas

Estabilidad: No hay garantía teórica que un sistema difuso no tenga un comportamiento caótico y no siga siendo estable, aunque tal posibilidad parece ser baja debido a los resultados obtenidos hasta ahora

La determinación de las funciones de pertenencia y las reglas no siempre son sencillas

La verificación de los modelos y sistemas borrosos expertos requiere de gran cantidad de pruebas


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