LOGARITMOSPara poder entender este tema explicaremos un simple problema."En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses que paren si contamos a la cría de una sola pareja, indica cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría:Suponiendo que cada período consta de 5 conejos tendremos:

1er período 2do. período 3er período 4to. período 5to. período5 5+5=10 10+5=15 15+5=20 20+5=15

¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en cada período?, sencillamente a la cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco.Si llevamos estos datos a un sistema cartesiano, de manera que los períodos se ubiquen sobre las “X” y la cantidad de crías en las “Y”, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período.

¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del tiempo (períodos)?Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del período por cinco.C(x) = 5 xHagamos lo mismo pero ahora con un cultivo de bacterias. Qué se reproducen cada0.2 s (se dividen por la mitad) es decir:

1er período 2do. período 3er período 4to. período 5to. período2 2.2=4 4.2=8 8.2=16 16.2=32

¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del período anterior, sólo que esta vez lo multiplicamos por 2.Si llevamos estos datos a un sistema cartesiano, de manera que los períodos se ubiquen sobre las “X” y la cantidad de bacterias en las “Y”, a partir del gráfico, a partirDel gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos).

En

este caso la ecuación matemática a la que responde la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período.

En el primer período tenemos 2, en el segundo 2. 2 = 22 , en el tercero 2. 2 . 2 = 23, si generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n.

Así que la función es: C(x) = 2x

Volvamos al problema de los conejos. Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado? Utilizando la ecuación que encontramos: 5x = 125, despejemos x es decir x = 125 / 5 = 25. Así que necesitamos 25 períodos.Ahora bien, Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han pasado?Utilicemos la ecuación: 2x = 512Evidentemente el problema se complica un poco. Para encontrar la respuesta a esta cuestión debemos hallar el exponente al que está elevadoEn este caso deberemos utilizar leyes de los exponentes que viste en Matemáticas 1 Que son las siguientes

LEYES DE EXPONENTES.

Si x es un número real. Si se multiplica por sí mismo se obtiene x. x Si a este resultado se multiplica nuevamente por x resulta x . x . x. De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, se obtiene: x . x . x . ×. X

n vecesPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:

x.x=x2

x.x.x=x3

x.x.x.x=x4

x.x.x.x.x =x5

y en general : x . x . x . ×. x =xn

n vecesDonde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES

Si x un número real diferente o distinto de cero y dos números naturales n y m también son diferentes de cero. Entonces, se cumple lo siguiente:

Primera ley

Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes

EJEMPLOS

1¿ (x3) (x2 )=x3+2=x5 2¿ (4 a2 ) (5a6 )=20a8 3¿ (2k4 ) (−k2 ) (5k7 )=−10k13

4 ¿ (8ab3 ) ( 34a2b)=6 a3b4 5¿( 6

5p3q5)(−8

4p6q4)( 1

12q)=−48

240p9q10=−1

5p9q10

SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES

Xn.xm =xn+m

Si x un número real diferente o distinto de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero. Entonces, se cumple que:

Segunda ley

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes

EJEMPLOS

1¿ X7

X 4 =X7−4=X 3 2¿ 10a8

−5a3=−2a5 3¿−28k7m3

−7k5m=4k2m2

4 ¿

23a6

14a4

=83a2

TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES

Si X es número real diferente o distinto de cero. Si en la ley anterior, se hace que n = m, se tiene que:

Tercera ley

Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:

Xº=1Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.

EJEMPLOS

1¿ x2

x2 =x2−2=x0=1 2¿5a0=5 (1 )=5 3¿ ( xyz )0=1

CUARTA LEY DE LOS EXPONENTESSi X es número real diferente o distinto de cero. y dos números naturales n y m también diferentes de cero. Entonces, se cumple que:

Cuarta ley

Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

EJEMPLOS1) (X3)2=X3(2)=X6 2) (a3)4=a3 (4)=a12 3) (e5 ) (e3 )=e5+3=e8

QUINTA LEY DE LOS EXPONENTESSi X y Y son dos números reales diferentes o distintos de cero y un número natural n también diferente de cero. Entonces, se cumple que:

Quinta ley

El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de cada factor elevado al exponente

xn

xm=xn−m

xn

xn=xn−n=xº

(xn ) xm=xn∗m

(X .Y )n=xn yn

EJEMPLOS:1) (2a2)5= 25.a10=32a10 2) (-3k4)3= (-3)3(k12)=-27k12

3) (5ab3)4= 54.a4b12 =625a4b12 4) (4xy2)2=42.x2.y6=16x2y6

5) (10m5n2p3)6= 106.m30.n12p18=1, 000,000 m30.n12p18

SEXTA LEY DE LOS EXPONENTES

Si X y Y son dos números reales diferentes o distintos de cero y un número natural n también diferente de cero. Entonces, se cumple que:

Sexta ley

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente de cada factor elevado al exponente.EJEMPLOS:

1¿( xy )¿2= x2

y2 2¿( abcd )3

=(ab )3

(cd )3=a

3b3

c3d3 3¿( 5 p3

3 )4

=( 5 p3 )4

34 =54 ( p3 )4

34 =625 p12

81

4 ¿( 8k3

4m2 )¿4=(2 k3

m2 )4

=24 (k3 )4

(m2 )4=16

k12

m8 5¿(−4 x3 y5

3w4 z2 )6

=(−4 )6 (x3 )6 ( y5 )6

(3 )6 (w4 )6 ( z2 )12 =4096 x18 y18

796w24 z12

SEPTIMA LEY DE LOS EXPONENTES

Si X es un número real diferente o distinto de cero. si n es un número entero diferente de cero. Por las leyes anteriores, se cumple que:

1) x-1=1x

2) 6a-3=6

a3 3) 24 p3q5

−3 p7q10 =−8 p−4q−5= 8p4q5

4 ¿ 27 a5b3 c4

18a11bc5 = 3∗32∗a5b3 c4

2¿32a5∗a6bc4 c= 3b2

2a6 c 5¿ (2 x3 )−4=2−4 x−12=

1

24∗1

x12 = 116 x12

LOGARITMOS

Si tenemos la expresión matemática:ab=x observaremos que es una expresión que nos es común. A esta expresión le llamaremos logaritmo base a de un numero cualquiera x elevada al exponente b. La base a deberá ser mayor que cero(a>0) Y también deberá ser distinta de cero (a≠0); es decir:

Que se lee como "el logaritmo base a del número x es b” y como se puede apreciar, un logaritmo representa un exponente.La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0

Ejemplos.

( xy)n

= xn

yn, y ≠0

x−n= 1

xn

Logax=b

1¿5¿2=25⟹ log5 25=2 2¿34=81⟹ log381=4

3¿8¿3=512⟹ log8 512=3 4 ¿( 12 )

6

= 164

⟹ log 12

64=6

5¿4−5= 1

45= 1

1024⟹ log 4

11024

=−5

Volvamos al problema de las bacterias. Con la ecuación: 2x = 512. Tenemos que conocer el número de periodos es decir; Para encontrar la respuesta a esta pregunta debemos hallar el exponente al que está elevado.De allí que para calcular el período en que tenemos 512 bacterias necesitamos conocer el exponente al que hemos elevado a "2". Entonces:

Esto significa que el número de períodos es 9Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las cuatro propiedades que deberemos aplicar de ahora en adelante en logaritmos.El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se transformará en este se trasformará en suma. Es decir:

En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta.

En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base.

En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo.

El logaritmo de la unidad (1) es cero

1) Loga (u v)= loga u +loga v

2¿ log ¿a( ub )= logau−loga v

3¿ logaun=n∗logau

4 ¿ log ¿an√u=n∗log au

El logaritmo de un número a cualquiera que tiene la misma base a es la unidad

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de Que base se trata, se toma (por convención o acuerdo) que la base es diez.En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice log. Esta tecla Halla automáticamente el logaritmo de base diez.Log 2 =....................En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla log. El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a 10 para que te de 2.

10..... = 2

Si tenemos el valor del logaritmo y queremos saber el valor del número al que Le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:Log.............. = 0.301029996Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas (suele aparecer con otro color ), después la tecla log.

Ejemplos. Comprobar las propiedades de los logaritmos.

1) Log 100 = 12) Log 10= 13) log (100*1000)=Log 100,000=5; es equivalente a calcular:Log 100+Log1000 de acuerdo a la primera propiedad es igual a2+3 =5

4 ¿ log( 1,000,000100 )=log 10,000=4

Que equivale a calcular según la propiedad 2: log1,000,000 - log 100=6 - 2= 4

5) Log 102 = Log 100= 2 que equivale a calcular: 2 * log 10 = 2(1) = 2

6¿ log√10,000=log100=2 Que equivale a calcular:12∗log 10,000=1

2∗4=2

Ejemplo.Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión:

log 6[ (5a ) (3b )2c ]

4

=4 log6

(5a ) (3b )2c

=4 [ log6 (5a ) (3c )−log6 2c ]=4 ( log6 5a+log6 4 b−log6 2c)

Ejemplo.Sabiendo que log 100 = 2 y que log 4 ≈ 0.6020, aplicando las propiedades de los logaritmos y sin usar la calculadora, determinar los valores aproximados de: Log 400, log 25, log 16 , log 2 .

Log 400 = log (100) (4) = log 100 + log 4 ≈ 2 + 0.6020 ≈ 2.6020

Log 25 = log100

4= log100- log4 ≈ 2-0 0620 ≈1. 398

5¿ log ¿a1=0

6¿ logaa=1

Log 16=log 42=2log 4≈2 (0. 0620) ≈1.204

Log 2 = log√4 = 12 log 4≈

0.06202

≈0.3010

Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número. Esto es:

Es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.Log10 4.527≈ 3.655810⇔antilog10 3.655810≈4.527⇔ 103.655810 ≈4.527

CAMBIO DE BASE: El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo. Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento.x = log2 32 (por definición de logaritmo) 2x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia)

X. Log 2 = log 32 (despejamos x)

x= log 32log 2

=1.505150.30103

=5

Generalizando:

Logaritmo Neperiano o Natural.

Los logaritmos son operaciones matemáticas ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base encontramos dos que son los más difundidos:

a) Log (que ya lo hemos visto)

b) La otra base es un valor constante denominado e (2,718281828) cuyo logaritmo, para diferenciarlo del anterior, se denomina logaritmo natural o neperiano. Se escribe ln. Por supuesto que para calcularlo también podemos utilizar la calculadora, basta con teclear el número y luego la tecla ln.

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma (por convención o acuerdo) que la base es diez.

En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice ln. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base e.Log 2 =...... (En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla ln)El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2.e ..... = 2Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:ln ........ = 0,301029996 Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas ( suele aparecer con otro color ), después la tecla ln.

log a x= y⇔ antiloga y =x⇔ ay=x

log ba=logna

lognb

Por supuesto no vamos a obtener los mismos resultados ya que la base cambió pero el manejo de la calculadora es el mismo.Antiguamente los logaritmos eran utilizados para resolver cuentas extremadamente grandes, con el advenimiento de la calculadora hoy se los utiliza para resolver ecuaciones solamente. Pero eso no quiere decir que se los utilice menos sino que se han agilizado los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.

FUNCION LOGARITMICA

Son funciones donde el dominio debe ser mayor que cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero. Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación con la función afectada por el logaritmo (u(x) > 0) y despejar x. La solución de dicha inecuación será el dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable x por fuera del logaritmo).

La imagen de la función abarca a todo el conjunto de los números reales.

F(X) = ln ( u(x))Dominio: u(x) > 0

Imagen: R. (reales)

Función Exponencial:    Aquí x es la potencia.  F(X) = ax

FUNCIÓN EXPONENCIAL

El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, cualquier real puede ser potencia. El problema lo encontramos en las bases, estas deben ser positivas, mayores que uno y distintas de cero. ¿Por qué sólo positivas? Para hallar la respuesta toma un valor negativo para a e intenta graficarlo, encontrarás varios problemas:

a) todas las potencias pares darán resultados positivos, las potencias negativas conservarán el signo de la base, por lo que tendremos una sucesión de números positivos y negativos pero ningún cero de la función en medio.

b) las potencias fraccionarias cuyo denominador sea par (raíces pares) no tendrán imagen. Como la base debe ser positiva, la imagen de la función está dada en los reales positivos, incluidos el cero.Así como la función logarítmica más utilizada es la del logaritmo neperiano (en base e), la función exponencial más usada será la de base e: f(x) = ex