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Guía MatemáticaECUACIONES NO ALGEBRAICAS

profesor: Nicolas Melgarejo

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1. Ecuaciones no algebraicas

Se le denomina a aquellas igualdades con incognitas que no estan descritas mediante polinomios. Porejemplo las ecuaciones ax2 + bx+ c = 0 y ax+ b = 0 son ecuaciones polinomicas o algebraicas, pero unaecuacion del tipo

32x+1 = 2

no es algebraica, a este tipo de igualdades les denominamos ecuaciones exponenciales porque la incogni-ta esta en el exponente. Otro ejemplo de ecuacion no algebraica son las del tipo

log(10x− 3) = log(x) + 1

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones logarıtmicas y tambien las estudiaremos en este capıtulo.

1.1. Ecuacion exponencial

Son las igualdades donde la incognita esta en el exponente. Para resolver este tipo de ecuacionesdebemos considerar dos propiedades:

Y xa = xb ⇐⇒ a = b

Y xa = ya ⇐⇒ x = y

Para aplicar estas propiedades en una ecuacion exponencial nuestro objetivo sera igualar las bases, detal modo que el problema se reduzca a resolver una ecuacion algebraica. Para entender como procederveamos el siguiente ejemplo.

. Ejemplo

Halla el valor de la incognita para que la igualdad sea cierta.

1. 52x+3 = 625

Solucion: Recordar que el objetivo es igualar las bases, para ello podemos escribir 625 como 54

52x+3 = 625

52x+3 = 54

Aplicando la primera propiedad, como tenemos la igualdad entre dos potencias con la misma base,entonces sus exponentes tambien tienen que ser iguales.

2x+ 3 = 4

2x = 4− 3

x =1

2

2. 3a+2 = 1

Solucion: Como queremos igualar las bases podemos escribir 1 como 30

3a+2 = 1

3a+2 = 30

Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes.

a+ 2 = 0

a = −2

2

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3. 24x−5 + 5 = 69

Solucion:

24x−5 + 5 = 69

24x−5 = 69− 5

24x−5 = 64

24x−5 = 26

4x− 5 = 6

4x = 11

x =11

4

4. 41−x − 3

64= − 1

32Solucion:

41−x − 3

64= − 1

32

41−x =3

64− 1

32

41−x =3

64− 2

64

41−x =1

64

41−x =1

43

41−x = 4−3

1− x = −3

1 + 3 = x

x = 4

Desafıo I

¿Es cierto que si ax + ay = az entonces x + y = z para cualquier a, x, y, z ∈ R?

Respuesta

3

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- Ejercicios 1

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

1. 3x − 243 = 0

2.1

128= 21−x

3. 2x+1 + 2x+1 = 1

4.√

3x =√

9x+1

5. 728 = 92x−3 − 1

6. 11x(x−1) = 100

7. Si 5a+3 = 1, entonces 5a+5 =

8. 12 · 2x + 2x+2 = 1

V32x+3

4x−5=

1

16

V 3x+2 + 3x+3 = 4

2. Logaritmo

Podemos entenderlo como el exponente al cual debe elevarse una base para obtener como resultadoun numero dado. Por ejemplo:

El logaritmo en base 3 de 9 es 2

Es decir, el exponente al que debemos elevar la base 3 para obtener 9 es 2. Lo anterior se escribematematicamente como:

log3 9 = 2

La relacion entre una potencia y la simbologıa del logaritmo de manera general es:

loga b = c⇐⇒ ac = b

Dicha relacion nos permite pasar de una simbologıa a la otra. Cabe destacar que cuando no se explicitala base, se asume que esta es 10.

log b = log10 b

- Ejercicios 2

Hallar el valor de cada logatimo

1. El logaritmo en base 3 de 1

2. El logaritmo en base π de 1

3. El logaritmo en base 2 de 16

4. El logaritmo en base 100 de 100

5. El logaritmo en base π de π

6. El logaritmo en base 25 de1

5

7. El logaritmo en base 2 de1

2

8. El logaritmo en base 10 de1

100

9. El logatirmo en base 8 de 2√

2

10. El logatirmo en base 8 de 2

11. El logarimo en base 12 de 2√

3

4

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2.1. Propiedades

Algunas de las propiedades mas importantes de los logaritmos son:

3 El logaritmo loga b, esta definido solo para a > 0

3 Para loga b, no existe el logaritmo si b ≤ 0

Por ejemplo log−3 no existe, ya que no hay numero c ∈ R tal que 10c = −3 porque la base espositiva.

3 Para cualquier a > 0 se cumple que

loga a = 1

Es facil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:

loga a = c⇐⇒ ac = a

∴ c = 1

3 Para cualquier a > 0 se cumple que

loga 1 = 0

Es facil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:

loga 1 = c⇐⇒ ac = 1

∴ c = 0

3 El logaritmo del producto de a por b es igual a la suma de los logaritmos de a y b

logc (a · b) = logc a+ logc b

3 El logaritmo del cociente de a con b es igual a la diferencia de los logaritmos de a y b

logc

(ab

)= logc a− logc b

3 El logaritmo de an es igual n veces el logaritmo de a

logc an = n · logc a

3 Podemos cambiar la base de un logaritmo cualquiera mediante la siguiente igualdad:

logc a =logb a

logb c

5

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2.2. Ecuacion logarıtmica

Para resolver ecuaciones logarıtmicas debemos tener en cuenta la siguiente propiedad que nos permitepasar de una ecuacion logarıtmica a una ecuacion algebraica.

logc a = logc b⇐⇒ a = b

Es decir, si dos logaritmos con igual base son iguales, entonces sus argumentos tambien deben serlo.

. Ejemplo

¿Para que valor de x se cumple la igualdad?

1. log 3 = log (2x+ 5)

Solucion: Como ambos logaritmos son iguales y tienen la misma base, entonces sus argumentosdeben ser iguales tambien.

log 3 = log (2x+ 5)

3 = 2x+ 5

3− 5 = 2x

−2 = 2x

x = −1

Ahora debemos comprobar que la solucion sea valida. Ya que los logaritmos estan definidos solopara argumentos positivos. Reemplazamos x = −1 en el enunciado:

log 3 = log (2(−1) + 5)

log 3 = log 3

Como los argumentos son positivos, la solucion x = −1 es valida.

2. log 5 + log(2x+ 3) = log x

Solucion: Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:

log 5 + log(2x+ 3) = log x

log 5(2x+ 3) = log x

5(2x+ 3) = x

10x+ 15 = x

15 = −9x

−15

9= x

−5

3= x

Ahora debemos comprobar que la solucion sea valida. Reemplazamos x = −5

3en la ecuacion lo-

garıtmica:

log 5 + log(2x+ 3) = log x

log 5 + log

(2

(−5

3

)+ 3

)= log

(−5

3

)

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Como el logaritmo de un numero negativo no existe, log

(−5

3

)no existe. Entonces x = −5

3no es

solucion valida y la ecuacion logarıtmica no tiene solucion en los reales.

3. log x2 − log 9 = 2

Solucion: Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos

log x2 − log 9 = 2

2 log x− log 32 = 2

2 log x− 2 log 3 = 2

2(log x− log 3) = 2 Simplificamos por 2

log x− log 3 = 1 Recordar que log10 10 = 1

log x− log 3 = log 10

log(x

3

)= log 10

x

3= 10

x = 30

Ahora debemos comprobar que la solucion sea valida. Reemplazamos x = 30 en la ecuacion lo-garıtmica:

log(x

3

)= log 10

log

(30

3

)= log 10

log (10) = log 10

No hay problemas con logaritmos de numeros negativos, entonces x = 30 es solucion de la ecuacionlogarıtmica.

Recuerda que SIEMPRE debes comprobar las solu-ciones que obtienes en una ecuacion logarıtmica. Sial reemplazar los valores te queda algun logaritmo deun numero negativo, dicho valor no es solucion.

2.3. Aplicacion de logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales

Anteriormente vimos un metodo para resolver ecuaciones exponenciales, el cual consistıa en igualar lasbases. Pero no siempre es posible igualar las bases, en tal caso podemos aplicar la relacion entre logaritmoy potencia para resolverlos. Veamos un ejemplo.

7

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. Ejemplo

1. Resolver la ecuacion exponencial 7x+1 = 2x

Solucion: No podemos igualar bases, en tal caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de laigualdad.

7(x−1) = 2x

log(

7(x−1))

= log (2x)

(x− 1) log 7 = x log 2

x log 7− log 7 = x log 2

x log 7− x log 2 = log 7

x(log 7− log 2) = log 7

x =log 7

log 7− log 2

x =log 7

log 72

Si aplicamos el cambio de base obtenemos

x = log 72

7

Desafıo II

Si log 3√a = 0, 1234 ¿cual es el valor de log a3? Respuesta

- Ejercicios 1

Determina y verifica las soluciones de cada ecuacion logarıtmica y exponencial

1. log2 (x+ 1) = log2 2

2. log (3x+ π) = 0

3. log (2x+ 1) + log 7 = 1

4. log√x+ log 2 = log (3x+ 3)

5. log (x+ 2)− log 2 = logπ π

6. log (x2 + 2x+ 1) = log 19

7. 3x+5 = 10

8. 5x = 9

9. 22x+13x = 12

10. 2x+1 ÷ 3x = 0, 25

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: Es falso que si ax + ay = az, entonces z = x+ y. Por ejemplo si a = 2, x = 1 e y = 2

ax + ay = az

ax + ay = a(x+y)

21 + 22 = 21+2

2 + 4 = 23

6 = 8

Como el resultado es falso, lo que asumimos como cierto es falso. Volver

3 Desafıo II: Podemos reescribir la expresion que conocemos:

log 3√a = 0, 1234

log a13 = 0, 1234

1

3log a = 0, 1234

log a = 3 · 0, 1234

log a = 0, 3702

Necesitamos saber log a2 que es equivalente a 2 log a y conocemos el valor de log a, entonces:

log a2 = 2 log a

= 2(0, 3702)

= 0, 7404

Volver

Bibliografıa

[1 ] Apuntes de Algebra I, Tomo I, Segunda edicion 1993, Facultad de Ciencias, USACHAntonio Orellana Lobos.

[2 ] Apuntes Algebra, Edicion 2003, Facultad de Ciencias, USACHRicardo Santander Baeza.

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