Localizacion de Raices-II

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  • ECUACIONES NO LINEALES

    LOCALIZACION DE RAICES

    Para iniciar la solucin de ecuaciones no lineales por los mtodos que se describirn es

    indispensable, conocer el intervalo de localizacin de las races ba, , o punto inicial a,

    este es un requisito para poder dar solucin a la ecuacin, pero previamente hay que

    verificar la existencia de la raz en este intervalo mediante la proposicin:

    0)(*)( bfaf

    Consideremos una funcin:

    )(xfy

    La cual es continua en un intervalo ba, dentro del cual si se encuentra por lo menos una

    raz o cero para 0)( xfy

    Para la localizacin se procede de la siguiente forma:

    a) La funcin considerada 0)( xfy se descompone en otras dos, de modo que

    puede expresarse )()( 21 xfxf

    La eleccin de esta descomposicin de funciones depender de la convergencia del

    usuario ya sea por su rapidez de clculo o por su similitud con las formas geomtricas

    ms populares conocidas, recta, circulo, parbola, exponencial, logartmica, etc.

    b) Haciendo una tabulacin y empleando una escala sencilla graficar cada una de las

    funciones halladas.

    c) Teniendo en cuenta la exactitud que tenga el grafico y las escalas utilizadas, sera

    posible ubicar un cierto intervalo ba, en la proyeccin del eje X, dentro del cual se

    interceptan las graficas de las funciones halladas.

    d) Es evidente que el valor de x para el cual ambas curvas se interceptan ser una raz de

    0)( xfy

  • Ejemplo: localizacin de las races de la ecuacin:

    a) 02 xe x , entonces

    xexf )( , xxg 2)(

    b) 1arctan)( xxxf entonces xxf arctan)( , xxg 1)(

    c) )ln()( xexf x , entonces xexf )( )ln()( xxg

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    -2.5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

  • ECUACIONES NO LINEALES

    Cuando se estudia una parte del mundo real a travs de un sistema fsico, es comn que se

    obtenga una ecuacin no lineal cuya solucin analtica es difcil o imposible de obtener.

    Tales ecuaciones se clasifican como algebraicas o trascendentes y su solucin o raz

    buscada se puede estimar por medio de mtodos numricos.

    En el diseo en ingeniera se utilizan un conjunto de principios fundamentales (balances o

    conservacin del calor, masa, fuerza y energa, as como las leyes del movimiento y de

    Kirchhoff) de cuya aplicacin a un sistema en particular se deducen ecuaciones

    matemticas o modelos predictivos de ciertas variables dependientes, en funcin de

    variables independientes y de parmetros o caractersticas constantes del sistema.

    La solucin a tal problema est a travs de los mtodos numricos, dando a la ecuacin la

    forma f(x)=0, de manera que el valor de x que hace que se cumpla es la raz buscada. Tales

    races pueden ser reales o complejas.

    Por ejemplo las vibraciones en sistemas mecnicos (el tono que puede hacer que un

    determinado objeto de vidrio se rompa, las condiciones del viento que hacen que un avin

    pueda volar o que hacen vibrar un puente suspendido en el aire), la variacin con respecto

    al tiempo de la carga o la intensidad en sistemas elctricos, el movimiento de una partcula

    de mas sobre la que actan una o varias fuerzas, etc. Pueden determinarse resolviendo la

    ecuacin diferencial de orden n

    0... 0|

    1

    ||

    2

    1

    1

    ayayayayan

    n

    n

    n

    Se trata de hallar los valores de x que satisfacen la ecuacin. Esto es los valores se llaman

    ceros de la funcin f o races de la ecuacin f(x)=0 y se denotan x*. Grficamente los

    ceros de una funcin son los puntos de interseccin de la grafica y=f(x) con el eje X.

    El clculo de las races de una ecuacin es uno de los problemas matemticos que ha

    recibido un tratamiento ms preferente a lo largo de la historia- de hecho a motivado la

    aparicin de diferentes tipos de nmeros.- pero su importancia escapa del puro inters

    matemtico. Muchos problemas de la ingeniera de la tcnica y, en general, de la ciencia

    pueden ser formuladas en forma de ecuacin. Problemas de optimizacin, de construccin

    de cuadraturas o de lados mediante ecuaciones diferenciales llevan frecuentemente a la

    necesidad de resolver ecuaciones. De hecho si resolver una ecuacin fuera fcil, muchos

    otros problemas serian tambin fciles de resolver.

    Nuestro inters se centra en las races reales. Desde luego no queremos decir que no es de

    inters el clculo de races complejas, pero esto es comparativamente un problema raro.

    Numerosos modelos matemticos provenientes del planteamiento de los fenmenos fsicos

    y qumicos, resultan en una ecuacin algebraica no lineal, normalmente de grado 2 o de

    mayor grado, y en muchos casos con exponentes fraccionarios.

  • La raz de una ecuacin es el valor de x que hace 0)( xfy

    Existen muchas funciones donde las races no se pueden determinar tan fcilmente.

    I. METODO DE LA BISECCION O METODO DE BOLZANO, DE CORTE

    BINARIO O DE PARTICION EN DOS INTERVALOS IGUALES.

    Es un mtodo de convergencia lento, pero aplicable en muchos problemas.

    Una desventaja de este mtodo es el requerimiento de dos puntos iniciales para iniciar

    el proceso iterativo.

    Es un mtodo que usa un intervalo para buscar la raz, donde la funcin cambia de

    signo.

    En este mtodo solo se requiere evaluar la funcin en diversos puntos.

    Suponga una funcin, 0)( xf se debe conocer un intervalo 21, xx tal que )( 1xf y

    )( 2xf deben tener signos contrarios.

    Si la funcin es continua en ese intervalo entonces existe una raz )(xf entre 1x y 2x

    Una vez determinado el intervalo 21, xx y asegurada la continuidad de la funcin en

    dicho intervalo, se evala esta en el punto medio mx del intervalo como la figura

    221 xxxm

    Si )( mxf y )( 1xf tienen signos contrarios, se reducir el intervalo de 1x a mx ,

    luego se hace 2xxm

    Se procede del mismo modo hasta satisfacer los criterios de convergencia que se

    establecen previamente.

    El requisito bsico para que sea aplicable el mtodo es que la funcin sea continua

    entre los lmites inferior y superior, y que nicamente tenga una sola raz.

    CRITERIOS DE CONVERGENCIA

    Primeramente se establece una tolerancia ya sea para la variable x o para la funcin

    )(xf , dependiendo de los valores de las propiedades fsicas motivo de estudio, esto

    es Tol (1) y Tol (2)

    CRITERIO 1:

    ERROR 1= )1()( 1 TolXXAbs kk

  • CRITERIO 2:

    ERROR 2= )2())(( TolxfAbs

    Si se cumple alguno de estos criterios se habr encontrado la solucin, de lo

    contrario, se continuara iterando.

    El problema de la bsqueda de races, consiste en obtener una raz o solucin de una

    ecuacin de la forma 0)( xf para una funcin dada f

    El mtodo de biseccin o bsqueda binaria se basa en el teorema del valor

    intermedio.

    El mtodo termina cuando se alcanza la precisin )1()( 1 TolXXAbs kk

    La tolerancia comn es 0.0001

    Otra manera de concluir la iteraciones es cuando la funcin f(x) es ya muy cercana a

    cero.

  • 1. Determinar la raz de Lnxexfx )( , con 6 cifras significativas, hasta un

    %1a en 5.1,1

  • 2. Determinar la raz de 1tan)( xxArcxf , con 8 decimales, hasta un

    %50,1a en 1,0

  • 3. Determinar la raz de 104)(23 xxxf , con 8 decimales, hasta un %1a

    en 2,1

  • 4. Encuentre la raz real positiva de 2)( xLnxxf , con 8 decimales, hasta un

    %1a en 4,2

  • II. METODO DEL PUNTO FIJO, MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS,

    ITERACIN SIMPLE E ITERACIN DE PUNTO FIJO.

    Es un mtodo de fcil implementacin y tiene la ventaja adicional de requerir un solo

    punto inicial para el proceso iterativo

    A la funcin 0)( xf se le adiciona x

    )(

    )(

    )(

    xgx

    xxg

    xxxf

    Se encuentra una solucin aproximada, es decir se asume un valor tal Xo que permite

    calcular

    )( 01 xgx

    Esta ecuacin puede generalizarse como:

    ....2,1,0);(1 kxgx kk

    INTERPRETACION GEOMETRICA Y CRITERIOS DE CONVERGENCIA

    Supongamos que los valores obtenidos pueden disponerse del siguiente modo:

    Un modo prctico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la

    distancia entre ellos.

    iii xxd 1 Si la sucesin ni dddd ....,, 32 tiende a cero, la solucin va convergiendo a la raz x*,

    debe continuarse hasta que id

    COMPORTAMIENTO GEOMETRICO DEL METODO

    Cuando 1)( 0| xg el mtodo converge a la raz.

    Cuando 1)( 0| xg el mtodo diverge.

    Xo X1 X2 X*

  • CONVERGENCIA MONOTONA

    DIVERGENCIA MONOTOMA

    1)(0 | xg

    0)(1 | xg

    1)(| xg

  • 1. Se parte de la inicial 0x , de donde se levanta una lnea perpendicular al eje X hasta

    tocar la curva )(xgy de aqu se traza una paralela al eje X hasta interceptar la

    recta xy , una vez en este punto se traza otra perpendicular al eje X, hasta tocar

    a este, en cuyo punto ubicamos nuestra nueva aproximacin 1x , y as sucesivamente

    hasta llegar a la solucin de la ecuacin que ser aquel punto donde se interceptan la

    recta xy y la curva )(xgy .

    2. El sistema converge ms rpidamente si los valores de )(| xg estn