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Lınea de transmision periodicamentemodulada en tiempo de manera abrupta

s

Ing. Jose Gabriel Gaxiola Luna

Tesis sometida como requisito parcialpara obtener el grado de

Maestro en Ciencias con Especialidaden Electronica

Supervisada porDr. Peter Halevi

Instituto Nacional de Astrofısica, Optica yElectronica

Santa Maria de Tonanzintla, Puebla, MexicoDiciembre de 2017

Resumen

Esta tesis comprende el estudio de una lınea de transmision discreta cuya capa-

citancia e inductancia varıan periodicamente en tiempo de manera abrupta, es decir, la

funcion de tiempo que caracteriza estos parametros tiene forma de onda cuadrada.

Se cimientan las bases para la resolucion de la ecuacion de onda que caracteriza

este sistema, empleando una metodologıa de solucion similar al modelo Kronig-Penney

usada en fısica de estado solido. Esta solucion involucra invariablemente el determi-

nante de una matriz finita de cuarto orden mientras que para otras modulaciones se

obtiene un determinante infinito. Anteriormente no se ha utilizado este modelo en el

estudio de lıneas de transmision con modulacion en tiempo de capacitancia y/o induc-

tancia. Tambien es la primera vez que se consideran efectos de absorcion en el modelo

Kronig-Penney.

Se presenta un analisis de la relacion de dispersion a traves de los parametros de

modulacion de capacitancia y/o inductancia, como tambien de la frecuencia de modu-

lacion normalizada con respecto a la frecuencia natural de una celda unitaria. Desde el

punto de vista cualitativo, se muestra que la modulacion cuadrada da lugar a efectos

similares a la modulacion armonica, como bandas permitidas de la constante de propa-

gacion separadas por bandas prohibidas y periodicidad de las bandas con la frecuencia

angular. Sin embargo, la modulacion cuadrada de capacitancia e inductancia provoca

multiples bandas prohibidas de la constante de propagacion incluso para modulaciones

pequenas. Si la modulacion es lo suficientemente fuerte, las bandas prohibidas tienen

mayor ancho que las bandas permitidas. Este comportamiento es muy diferente al mos-

trado por la modulacion armonica donde solo la primera banda prohibida es apreciable.

Tambien se muestra que se puede obtener un vector de onda puramente real en

una lınea de transmision que incluya resistencias cuando la modulacion de la capaci-

tancia y/o inductancia sea lo suficientemente grande.

II

Agradecimientos

Al apoyo incondicional de mis madres Luz Elena Gaxiola Luna y Marıa de Jesus

Luna Valdez, todo lo que soy siempre se los debere a ustedes. Estamos a punto de

lograrlo. Tambien al carino, apoyo y palabras de aliento de Michelle Paola Rosales

Nieblas, gracias mi picesa. Y en general de toda mi familia por cuidar de mi desde la

distancia.

A mi director de tesis Dr. Peter Halevi por sus ensenanzas, apoyo y paciencia que

me brindo para realizar este trabajo de investigacion.

A los profesores de los cuales aprendı bastante y lograr desarrollarme academi-

camente.

A las amistades que me hicieron sentir como en casa, muchas gracias.

A la institucion del INAOE por abrirme la puerta para poder estudiar y seguir

preparandome en uno de los mejores centros de investigacion del paıs.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia (CONACYT) por otorgarme apoyo

economico en forma de beca a lo largo de mis estudios de posgrado.

III

Dedicatoria

Para mi familia.

IV

Contenido

Resumen II

Agradecimientos III

Dedicatoria IV

Figuras VI

1. Introduccion 11.1. Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Descripcion de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Lınea de transmision periodicamente modulada 62.1. Lınea de transmision distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Modelo discreto y ecuacion de onda con periodicidad espacial . . . . . 8

2.3. Modulacion cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5. Teorema de Bloch-Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Relacion de dispersion:Modelo ideal 203.1. Estructura de bandas y modelo de red vacıa temporal . . . . . . . . . . 22

3.2. Modulacion de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Modulacion de inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Modulaciones de igual magnitud en fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

V

CONTENIDO

3.5. Modulaciones de igual magnitud con desfase de 180 . . . . . . . . . . 31

3.6. Relacion de dispersion en funcion del parametro Ω . . . . . . . . . . . 35

3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Relacion de dispersion con resistencias 424.1. Modulacion de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Modulacion de inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3. Modulacion con desfase de 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4. Modulaciones iguales en fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Conclusiones 595.1. Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bibliografıa 63

VI

Lista de Figuras

2.1. Circuito de parametros distribuidos que representa una linea de trans-

mision pasabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Linea de transmision discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Funcion de capacitancia variable en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Funcion de inductancia variable en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Lınea de transmision discreta ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2. Relacion de dispersion con parametros normalizados. Las primeras dos

bandas (p = 1 y p = 2) y la zona de Brillouin (Region sombreada) estan

resaltadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Relacion de dispersion para modulacion debil de capacitancia. mC =

0.1 ,Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Relacion de dispersion para una modulacion media de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5. Relacion de dispersion para una modulacion fuerte de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6. Modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y en fase. . 28

3.7. Relacion de dispersion para modulaciones debiles de capacitancia e

inductancia en fase. mC = mL = 0.1, Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8. Relacion de dispersion para modulaciones medias de capacitancia e

inductancia en fase. mC = mL = 0.5, Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.9. Relacion de dispersion para modulaciones fuertes de capacitancia e in-

ductancia en fase. mC = mL = 0.9, Ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10. Modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y desfa-

sadas 180. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VII

LISTA DE FIGURAS

3.11. Relacion de dispersion para modulaciones debiles de capacitancia e

inductancia desfasadas 180. mC =−0.1,mL = 0.1, Ω = 1 . . . . . . . 32

3.12. Relacion de dispersion para modulaciones medias de capacitancia e

inductancia desfasadas 180 .mC =−0.5,mL = 0.5, Ω = 1 . . . . . . . 33

3.13. Relacion de dispersion para modulaciones fuertes de capacitancia e in-

ductancia desfasadas 180. mC =−0.9,mL = 0.9, Ω = 1. . . . . . . . . 34

3.14. Modulacion de capacitancia (inductancia), mC(mL) = 0.3. . . . . . . . . 36

3.15. Modulacion de capacitancia (inductancia), mC(mL) = 0.9. . . . . . . . . 37

3.16. Modulacion de capacitancia e indutancia en fase, mC = mL = 0.9 . . . . 38

3.17. Modulacion de capacitancia e indutancia con desfase de 180. mC =

−0.3, mL = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.18. Modulacion de capacitancia e indutancia con desfase de 180. mC =

−0.9, mL = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1. Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia.

mC = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Bandas permitidas en la cercania del lımite de a zona reducida. mC =

0.1, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia.

mC = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6. Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.7. Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 2.5, R = 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.8. Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de inductancia.

mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.9. Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de inductancia.

mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion en inductancia.

mL = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

VIII

LISTA DE FIGURAS

4.11. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion en inductancia.

mL = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.12. Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion en inductancia.

mL = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.13. Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion en inductancia.

mL = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.14. Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia e

inductancia con desfase de 180. mC =−0.1,mL = 0.1, Ω= 2.5, R= 0.05. 52


inductancia con desfase de 180. mC = −0.1,mL = 0.1, Ω = 2.5, R =

0.164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.16. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia e


0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.17. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia e


0.76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.18. Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia e

inductancia con desfase de 180. mC =−0.9,mL = 0.9, Ω= 2.5, R= 0.05 54



1.65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


inductancia en fase. mC = mL = 0.1 ,Ω = 2.5, R = 0.15 . . . . . . . . . 55

4.21. Lınea de transmision con nivel medio de modulacion capacitancia e

inductancia en fase. mC = mL = 0.5 Ω = 2.5 R = 0.15 . . . . . . . . . . 56


inductancia en fase. mC = mL = 0.9 ,Ω = 2.5, R = 0.15 . . . . . . . . . 56

4.23. Coeficiente de atenuacion en funcion de las perdidas resistivas R. . . . . 58

5.1. Coeficiente de atenuacion en funcion del parametro R. . . . . . . . . . 61

IX

LISTA DE FIGURAS

X

1Introduccion

El estudio en sistemas cuyas propiedades varıan periodicamente en espacio y/o

tiempo ha arrojado resultados interesantes a lo largo del ultimo siglo. El trabajo publi-

cado por Kronig-Penney en el ano 1931 sugirio la naturaleza periodica del potencial

experimentado por los electrones de conduccion en un cristal como una funcion rec-

tangular [1]. Al dıa de hoy, este es considerado un modelo juguete. Sin embargo, fue

muy importante para el entendimiento sobre la propagacion en sistemas periodicos y

establecer el estudio de estructura de bandas.

Yablonovitch estudio estructuras periodicas espaciales formadas a partir de dife-

rentes constantes dielectricas [2]. El descubrio la existencia de frecuencias angulares

ω en las cuales las ondas de luz no pueden propagarse. Estas frecuencias conforman

bandas prohibidas en la relacion de dispersion que las caracteriza.

En el estudio de medios con periodicidad temporal se ha demostrado que un

pulso de laser moderadamente intenso puede modular la constante dielectrica de una

monocapa molecular sobre un sustrato metalico hasta un 10 %, regresando al estado

inicial despues de que se le retira el pulso [3]. Interesantes resultados se han obtenido al

considerar modulaciones de permitividad como son: creacion de fotones en cavidades

resonantes a traves del efecto Casimir [4], aislamiento optico completo [5] y el efecto

fotonico Aharinov-Bohm [6]. Gorkunov y Lapine [7], estudiaron una placa metamate-

rial compuesta por un arreglo de anillos resonadores sintonizados mediante un campo

magnetico externo con frecuencias del rango de microondas.

1

1. Introduccion

En el area de la ingenierıa electrica los primeros sistemas variantes en tiempo fue-

ron los amplificadores de onda viajera (Traveling Wave Parametric Amplifier,TWPA).

Cullen estudio ampliamente estos sistemas y probo que una oscilacion parametrica es

posible cuando se emplea una modulacion periodica de capacitancia o inductancia [8].

La relacion de dispersion de estos amplificadores fue caracterizada en los trabajos de

Cassedy [9] quien encontro bandas prohibidas en la constante de propagacion (Re[β])

y argumento acerca de la presencia de los armonicos de la frecuencia de modulacion.

Kozyrev et. al [10] alcanzaron amplificacion parametrica en una linea de transmision

pasa altos distribuida exhibiendo comportamiento metamaterial.

En anos recientes el grupo de investigacion de P. Halevi ha desarrollado una serie

de trabajos para medios con permitividad y/o permeabilidad periodicamente modula-

dos en tiempo de manera armonica [11–15].J.R. Zurita-Sanchez y P.Halevi [12, 13]

mostraron la existencia de bandas prohibidas del vector de onda para un medio cuya

permitividad varia periodicamente en tiempo de manera armonica. El ancho de estas

bandas prohibidas dependen de la magnitud de la modulacion y generalmente solo hay

una banda prohibida significativa. Estos trabajos tambien incluyeron el calculo de re-

flexion y transmision en una placa finita caracterizada por este medio modulado y las

resonancias parametricas que se presentan. Estas resonancias dependen del grosor de

la placa modulada y que la frecuencia sea algun multiplo impar de la mitad de la fre-

cuencia de modulacion. En una publicacion posterior, los mismos autores junto con J.H

Abundis-Patino [16,17] estudiaron la propagacion de pulsos electromagneticos a traves

de un medio con modulacion armonica de la permitividad. J.S. Martınez-Romero, O.M.

Becerra-Fuentes y P. Halevi [18, 19] contribuyeron al entendimiento sobre medios que

presentan modulacion de permitividad electrica y permeabilidad magnetica demostran-

do una relacion entre modulaciones que dan o no, lugar a bandas prohibidas del vector

de onda. A estos medios se les ha entitulado cristales fotonicos temporales.

Con la investigacion doctoral de U.Algredo-Badillo comenzo el estudio de lıneas

de transmision dinamicas-periodicas y su relacion con el medio efectivo [20]. J.S.

Martınez y O.M. Becerra-Fuentes incluyeron en su tesis de maestrıa el estudio de

lıneas de transmision pasabajo con modulacion armonica de capacitancia y/o inductan-

cia [18, 19] y encontraron que tambien se producen bandas prohibidas de la constante

de propagacion, debido a la periodicidad espacial de una lınea de transmision discre-

ta. Tambien encontraron bandas prohibidas de la frecuencia angular; sin embargo no

2

1. Introduccion

se presentan ambas bandas prohibidas a la vez. Estos trabajos tambien relacionaron

la propagacion en un medio con modulacion de permitividad y/o permeabilidad con

la lınea de transmision pasabajo en el lımite de longitud de onda larga. A. Gomez-

Rojas [21] trabajo en una lınea de transmision pasabanda con modulacion armonica

de capacitancia en la cual se pueden presentar bandas prohibidas de la constante de

propagacion y frecuencia angular al mismo tiempo. Recientemente, J.R. Reyes-Ayona

y P.Halevi [22–24] realizaron una investigacion experimental empleando diodos varac-

tores como capacitancias moduladas en tiempo de manera armonica a traves de una

fuente de modulacion externa. Los resultados de este trabajo lograron comprobar los

calculos teoricos para las lıneas de transmision pasabajo con capacitancia modulada

de manera armonica y tambien para los medios efectivos con permitividad modulada

armonicamente.

Por su parte, Xiao et. al [25] presento un calculo de los coeficientes de transmision

y reflexion en un medio modulado en tiempo bajo la consideracion de acoplamiento y

desacoplamiento de la impedancia caracterıstica del medio. Caloz y Salem realizaron

un analisis exploratorio sobre los efectos de causalidad debido a discontinuidades tem-

porales en las propiedades fundamentales de un cristal fotonico temporal [26]. Lurie

y Yakovlev reportaron un estudio numerico sobre la acumulacion de energıa en una

lınea de transmision discreta con periodicidad espacial y temporal de la capacitancia

e inductancia [27]. En ese trabajo consideraron continuidad de carga electrica y flujo

magnetico en la discontinuidad temporal.

1.1. Motivaciones

Se decidio una modulacion periodica abrupta de capacitancia e inductancia con

el deseo de investigar una forma de modulacion diferente a la armonica y que se pueda

estudiar mediante un enfoque muy diferente; presentar por primera vez el metodo de

Kronig-Penney aplicado a una linea de transmision y por primera vez a un sistema con

perdidas.

El metodo de Kronig-Penney es relativamente mas simple que la solucion me-

diante series de fourier utilizada para una modulacion armonica en los trabajos del

grupo de investigacion de P. Halevi previamente mencionados, pues se centra unica-

mente en la solucion de la ecuacion diferencial para carga electrica de un solo perıodo

3

1. Introduccion

temporal. El metodo Kronig-Penney genera un sistema de ecuaciones con cuatro des-

conocidos el cual es mas sencillo de calcular comparado con el sistema de ecuaciones

infinito que resulta para la modulacion armonica.

A causa de los buenos resultados obtenidos de la investigacion experimental rea-

lizada por R. Reyes-Ayona y P.Halevi [22] esta investigacion teorica busca ser el inicio

para realizar experimentalmente la lınea de transmision con capacitancia y/o inductan-

cia variables en tiempo de manera abrupta.

1.2. Objetivos

a) Desarrollar la teorıa para una lınea de transmision con modulaciones periodicas

abruptas de capacitancia y/o inductancia.

b) Describir las relaciones de dispersion para una lınea de transmision ideal con

este tipo de modulacion, ası como con la incorporacion de resistencias.

c) Indagar en la posibilidad de obtener valores de la constante de propagacion

puramente reales a pesar de considerar resistencias en la lınea de transmision.

d) Analizar el comportamiento de las ondas en funcion de los parametros del

sistema.

1.3. Descripcion de la tesis

El capıtulo 2 se enfocara principalmente en cimentar las bases del estudio de una

lınea de transmision con modulaciones abruptas. Se expondran las ecuaciones necesa-

rias para obtener una la solucion exacta a las ondas de carga electrica que existen en la

linea de transmision.

En el capıtulo 3 se analiza la relacion de dispersion para el modelo ideal (cero

resistencia) de lınea de transmision modulada a traves de la variacion de los parametros

de modulacion de capacitancia y/o inductancia y del valor de la frecuencia de modula-

cion. El analisis solo considera cuatro casos especiales de modulacion: modulacion de

capacitancia; modulacion de inductancia; modulacion de capacitancia e inductancia de

igual magnitud en fase y modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud

con desfase de 180

4

1. Introduccion

En el capıtulo 4 se describe el comportamiento de la relacion de dispersion cuan-

do se involucran resistencias finitas en la lınea de transmision modulada para los mis-

mos casos de modulacion de la lınea de transmision ideal. Se hace enfasis en la posibi-

lidad de presenciar ondas de carga electrica sin atenuacion.

Por ultimo en el capıtulo 5 se muestran las conclusiones con base a lo expuesto

en los capıtulos anteriores y se anade el trabajo a futuro producto de los resultados de

esta tesis.

5

2Lınea de transmision periodicamente

modulada

En este capıtulo se presenta la teorıa basica de lıneas de transmision pasabajos

ası como las ecuaciones de onda que describen la propagacion de voltaje y corriente

electrica; sin embargo, se dejaran expresadas para carga electrica. Estas ecuaciones

de onda corresponden a una linea de transmision discreta no modulada. En la segunda

parte se aborda la modulacion periodica cuadrada de la capacitancia e inductancia.

Por ultimo se cimientan las condiciones de contorno para encontrar la solucion de la

ecuacion diferencial para carga electrica que se propaga en la lınea de transmision.

2.1. Lınea de transmision distribuida

Un medio que permita la propagacion guiada de ondas electromagneticas, prin-

cipalmente el modo transversal electromagnetico (TEM) o Quasi-Transversal electro-

magnetico (donde se incorporan perdidas debido al conductor) se le denomina lınea de

transmision. Ejemplos de ellas son desde un simple par de alambres conductores hasta

complejos arreglos multiconductores en diferentes estructuras geometricas (microcinta,

cinta empotrada, cables coaxiales).

Un analisis extensivo de la propagacion de energıa a traves de lıneas de transmi-

sion involucra aplicar la teorıa de campos electromagneticos entre los materiales que

confinan la energıa electrica y el medio que los rodea; sin embargo, en la practica se

suelen relacionar estas magnitudes a elementos de la teorıa de circuitos para simplificar

el analisis del sistema.

6

2. Lınea de transmision periodicamente modulada

Figura 2.1: Circuito de parametros distribuidos que representa una linea de transmision

pasabajos

Un segmento infinitesimal de la linea de transmision se representa a traves de elemen-

tos diferenciales donde la capacitancia e inductancia estan relacionados con el campo

electrico y magnetico almacenado en la linea de transmision, como lo muestra la figura

2.1. La resistencia en serie con la inductancia se debe a perdidas ohmicas en los con-

ductores mientras que la conductancia en paralelo con la capacitancia son las perdidas

de energıa a traves del diectrico [28]. Los valores l, c, r y g son parametros por unidad

de longitud conocidos como elementos distribuidos.

Aplicando las leyes de Kirchoff para corrientes y voltajes en el circuito de la lınea

de transmision se obtienen las ecuaciones 2.1 - 2.2 [28].

∂v(x, t)∂x

=−l∂i(x, t)

∂t− ri(x, t) (2.1)

∂i(x, t)∂x

=−c∂v(x, t)

∂t−gv(x, t) (2.2)

Estas son conocidas como ”ecuaciones del telegrafista” y sirven para obtener la

ecuacion de onda que describe la propagacion de voltaje y corriente a traves de la linea

de transmision.

Si se forma un circuito electrico con la misma topologıa de una lınea de transmi-

sion pero con elementos concentrados se anade periodicidad espacial al sistema. Este

7


modelo aproxima su comportamiento a una lınea de transmision distribuida en el lımite

de longitud de onda grande, es decir, el tamano de la celda unitaria es suficientemente

pequena en comparacion con la longitud de la onda que se propaga a traves del siste-

ma [28].

2.2. Modelo discreto y ecuacion de onda con periodici-dad espacial

La figura 2.2 muestra una lınea de transmision discreta infinita cuyos parametros

de capacitancia, inductancia y resistencia son concentrados. En este modelo la onda de

voltaje que se propaga se manifiesta solo en los nodos del circuito mientras el sistema

distribuido permite que el voltaje pueda variar en magnitud y fase a todo lo largo de la

linea de transmision [28].

Figura 2.2: Linea de transmision discreta

Se considero una linea de transmision que no posee conductancia en paralelo con

la capacitancia y sirve para representar un sistema sin perdidas de energıa a traves del

medio en el que se sumerge la estructura que forma la linea de transmision.

Para comenzar, se toma un nodo arbitrario N (=...,-1,0,1,...) como referencia y

mediante la ley de voltajes de Kirchoff se encuentra la relacion de voltajes en las celdas

N y N+1 como se muestra en las ecuaciones 2.3 - 2.4.

VN−1(t)−VN(t) = RIN(t)+L∂IN(t)

∂t(2.3)

VN(t)−VN+1(t) = RIN+1(t)+L∂IN+1(t)

∂t(2.4)

8


Como consecuencia de la ley de corrientes de Kirchoff se obtiene la ecuacion 2.5

IN(t)− IN+1(t) =C∂VN(t)

∂t(2.5)

El resultante es un sistema de ecuaciones que puede reducirse a una ecuacion de

onda tanto para el voltaje para la como corriente electrica en la lınea de transmision. A

continuacion el interes se enfoca a la deduccion de la ecuacion de onda de voltaje.

La ecuacion diferencial 2.4 es restada de 2.3 para tener una nueva expresion don-

de pueda ser incluida la igualdad 2.5.

VN−1(t)+VN+1(t)−2VN(t) = R(IN(t)− IN+1(t))+L∂

∂t(IN(t)− IN+1(t)) (2.6)

VN−1(t)+VN+1(t)−2VN(t) = RC∂V (t)

∂t+LC

∂2VN(t)∂t2 (2.7)

Para nuestro estudio es conveniente expresar la ecuacion 2.7 como una funcion

de la carga electrica, para ello se utiliza la relacion de voltaje y carga con respecto a un

valor de capacitancia. Mas adelante se hace evidente esta decision.

VN(t) =QN(t)

C(2.8)

VN+1(t) =QN+1(t)

C(2.9)

VN−1(t) =QN−1(t)

C(2.10)

Cada uno de estos valores sustituidos en 2.7 da como resultado la ecuacion de

onda mostrada en 2.11.

QN−1(t)+QN+1(t)−2QN(t) = RC∂QN(t)

∂t+LC

∂2QN(t)∂t2 (2.11)

9


La carga electrica en los nodos del circuito oscila a la misma frecuencia. Esta

difiere con respecto a un nodo ulterior o posterior en un factor que involucra un avance

de fase espacial.

QN(t) = Q(t)e jNβa (2.12)

Donde ”a” es el tamano de una celda unitaria de la linea de transmision y Q(t) la carga

en la celda N = 0.

La sustitucion la ecuacion 2.11 la reduce a.

Q(t)(

e− jβa + e jβa−2)= RC

dQ(t)dt

+LCd2Q(t)

dt2 (2.13)

A traves de la formula de Euler y relaciones trigonometricas se obtiene la forma

definitiva de la ecuacion diferencial homogenea para la carga electrica en una lınea de

transmision discreta.

RCdQ(t)

dt+LC

d2Q(t)dt2 +4sin2

(βa2

)Q(t) = 0 (2.14)

La solucion a la ecuacion anterior tiene una forma armonica, expresada de manera

compleja como:

Q(t) = Q0e− jωt (2.15)

Una vez introducida en la ecuacion diferencial se define el valor ω de acuerdo a

los parametros de capacitancia, inductancia y resistencia.

ω =±

√√√√4sin2(

βa2

)LC

− R2

4L2 − jR2L

(2.16)

El parametro anterior puede tener dos valores distintos de acuerdo al signo que

tenga la raız cuadrada. Considerando que β > 0, la raız de signo positivo representa una

onda de carga electrica que se propaga hacia adelante en la lınea de transmision mien-

tras el signo negativo es para propagacion en direccion contraria. La solucion completa

10


a la ecuacion 2.14 es la superposicion de ambas ondas sobre la linea de transmision.

Q(N, t) = Q+e j(βaN−ω+t)+Q−e j(βaN−ω−t) (2.17)

Aquı Q+ y Q− son constantes que dependen de las condiciones iniciales del sistema.

2.3. Modulacion cuadrada

Anteriormente se han estudiado medios cuya variacion de permitividad electri-

ca y permeabilidad magnetica son periodicos en tiempo [11, 13] y tambien lıneas de

transmision con capacitancia e inductancia variables en tiempo [18], incluso se ha rea-

lizado una investigacion experimental sobre una lınea de transmision con capacitancia

modulada en tiempo utilizando un diodo varactor modulado a traves de una fuente de

voltaje externa [22]. Sin embargo todos estas investigaciones emplean una forma de

modulacion armonica.

En esta tesis se propone una linea de transmision modulada con capacitancia e

inductancia variando de manera abrupta entre dos valores constantes cuya duracion

tiene un intervalo de tiempo definido. Las funciones de estos parametros con respecto

al tiempo tienen la forma de una onda cuadrada.

Figura 2.3: Funcion de capacitancia variable en tiempo

11


Figura 2.4: Funcion de inductancia variable en tiempo

En las figuras 2.3 y 2.4 se muestra que un perıodo temporal (T) es igual la suma

de los dos intervalos de tiempo en los cuales permanecen constantes los valores de

capacitancia e inductancia. Es importante resaltar que ambas modulaciones C(t) y L(t)

poseen un mismo periodo y asumimos que las transiciones ocurren simultaneamente

en los mismos instantes de tiempo para ambos parametros.

Fue conveniente definir un coeficiente que indicase la magnitud de las variaciones

de los parametros. Para ello se denotaron un valores promedios (C para capacitancia y

L para la inductancia) y a partir de estos, un coeficiente mC o mL (para capacitancia el

primero, inductancia el segundo) que relacionase la cota superior e inferior de la fun-

cion de modulacion como explıcitamente indican las ecuaciones 2.19 a 2.23.

L =L2 +L1

2(2.18)

L1 = L(1−mL) (2.19)

L2 = L(1+mL) (2.20)

C =C2 +C1

2(2.21)

C1 = C(1−mC) (2.22)

C2 = C(1+mC) (2.23)

Estas ecuaciones solo son validas si t1 = t2 = T/2. Los resultados numericos de

esta tesis siempre consideran t1 = t2. La constitucion de las ecuaciones anteriormente

mencionadas se basa en la figura 2.3 y figura 2.4, sin embargo no significa que el valor

C2 sea siempre mayor a C2, puede que el valor de modulacion mC sea negativo y en

tal circunstancia el valor C2 sera menor a C1. Con los valores de inductancia L2 y L1

sucede lo mismo, para un valor negativo de la modulacion mL el valor L1 es mayor a

12


L2. De las ecuaciones arriba obtenemos que:

si t1 = t2 mL =L2−L1

L2 +L1mC =

C2−C1

C2 +C1(2.24)

Las ecuaciones anteriores muestran las modulaciones mC y mL en funcion de los

valores de capacitancia e inductancia respectivamente.

Tomando el caso lımite cuando uno de los valores de capacitancia o inductancia

es muy grande con respecto al otro la modulacion es igual a uno. Entonces el valor

absoluto de las modulaciones definidas por la ecuacion 2.24 esta entre cero y uno.

2.4. Condiciones de contorno

La modulacion cuadrada de capacitancia e inductancia aplicada a la lınea de

transmision involucra satisfacer condiciones de contorno en la interfaz temporal creada

durante cada transicion. Estas condiciones de contorno surgen de las leyes de Kirchoff

para corriente electrica y voltaje considerando la capacitancia e inductancia como fun-

ciones variables en tiempo.

La ley de corrientes de Kirchoff establece:

IN(t)− IN+1(t) =ddt

(C(t)VN(t)) (2.25)

Considerando que el producto C(t)VN(t) equivale a la carga electrica y ademas la co-

rriente IN+1(t) se relaciona con IN(t) a traves de un avance de fase espacial, la ecuacion

anterior se reescribe de la siguiente manera:

IN+1(t) = IN(t)e jβa (2.26)(1− e jβa

)IN(t) =

ddt

(QN(t)) (2.27)

Si la variacion de capacitancia (o inductancia) ocurre de manera abrupta en t0,

se integra la ecuacion 2.27 entre un tiempo ∆t antes y despues de la interfaz temporal.

La corriente electrica dentro de este intervalo temporal sufre un cambio subito; sin

embargo siempre tienen un valor finito bien definido:

(1− e jβa

)lım

∆t→0

∫ t0+∆t

t0−∆tIN(t)dt = lım

∆t→0

∫ t0+∆t

t0−∆t

ddt

(QN(t))dt (2.28)

13


Cuando el lımite de ∆t tiende a cero en la ecuacion 2.28 la integral de corriente

electrica tiene valor cero, pues I(t0) no puede ser infinita. La integral del lado derecho

de la igualdad indica que en la interfaz temporal t0 la funcion de carga se mantiene

constante.

0 = Q(t>0 )−Q(t<0 ) (2.29)

Q(t<0 ) = Q(t>0 ) (2.30)

Los superindices > y <, indican aproximacion al punto t0 por el lado derecho e iz-

quierdo respectivamente. Ahora se emplea la ley de voltajes de Kirchoff para obtener

la siguiente condicion de contorno.

VN−1(t)−VN(t) =ddt

[L(t)IN ]+RIN (2.31)

Se realiza el mismo proceso de integracion alrededor de la interfaz temporal t0 anadien-

do el avance de fase espacial para el voltaje VN−1.

VN−1(t) =VN(t)e− jβa (2.32)

(e− jβa−1

)VN(t) =

ddt

[L(t)IN ]+RIN (2.33)

(e− jβa−1

)lım

∆t→0

∫ t0+∆t

t0−∆tVN(t)dt = lım

∆t→0

∫ t0+∆t

t0−∆t

ddt

[L(t)IN(t)+RQN(t)]dt (2.34)

(e− jβa−1

)lım

∆t→0

∫ t0+∆t

t0−∆tVN(t)dt =

lım∆t→0

[L(t +∆t)IN(t +∆t)+RQN(t +∆t)−L(t−∆t)IN(t−∆t)−RQN(t−∆t)] (2.35)

La integral de voltaje tiene valor cero cuando ∆t tiende a cero tal como sucede con

la corriente electrica en la ecuacion 2.28, pues V (t0) 6= ∞. Debido a la continuidad de

carga electrica (ecuacion 2.30) la siguiente resta involucrada en la ecuacion 2.35 es

cero:

RQN(t<0 )−RQN(t>0 ) = 0. (2.36)

14


Eso significa que el producto L(t)IN(t) es continuo a traves de la interfaz temporal t0.

0 = L(t<0 )IN(t<0 )−L(t>0 )IN(t>0 ) (2.37)

L(t<0 )IN(t<0 ) = L(t>0 )IN(t>0 ) (2.38)

La condicion de contorno anterior se puede representar como en la ecuacion 2.39

considerando la corriente como la derivada de la carga electrica.

L(t>0 )dQ(t>0 )

dt= L(t<0 )

dQ(t<0 )

dt(2.39)

Estas mismas condiciones de contorno han sido utilizadas previamente para estu-

diar la acumulacion de energıa en lıneas de transmision con capacitancia e inductancia

variables en tiempo [27].

Concluimos que la carga electrica Q(t) y el flujo magnetico φ(t) = L(t)I(t) son

continuos en una interfaz temporal abrupta.

2.5. Teorema de Bloch-Floquet

Este teorema establece que para un sistema periodico la solucion de la ecuacion

diferencial que lo caracteriza es el producto entre una onda plana y una funcion periodi-

ca establecida por el sistema. Ademas solo es necesario conocer el comportamiento de

un perıodo, pues los demas estan relacionados con este a traves de un avance de fa-

se [31].

La carga electrica a traves de la lınea de transmision modulada propuesta tiene

una forma de onda de Bloch; sin embargo, para obtener la solucion explıcita del siste-

ma, primeramente se calcula la carga electrica durante los intervalos de tiempo donde la

capacitancia e inductancia tienen valores constantes. Esto corresponde, precisamente,

a la esencia del metodo Kronig-Penney.

La lınea de transmision desde el tiempo igual 0 hasta t<1 posee los valores cons-

tantes L1 y C1 segun las figuras 2.3- 2.4. La carga electrica es:

Q1(N, t) = Q+1 e j(βaN−ω

+1 t)+Q−1 e j(βaN−ω

−1 t) (2.40)

definiendo a ω1 como:

ω1 =±

√√√√4sin2(

βa2

)L1C1

− R2

4L21− j

R2L1

(2.41)

15


Similarmente durante el lapso de tiempo entre−t>2 y 0 la capacitancia e inductan-

cia toman los valores constantes C2 y L2 respectivamente. La solucion de carga electrica

y su valor de frecuencia angular caracterıstica son:

Q2(N, t) = Q+2 e j(βaN−ω

+1 t)+Q−2 e j(βaN−ω

−1 t) (2.42)

ω2 =±

√√√√4sin2(

βa2

)L2C2

− R2

4L22− j

R2L2

(2.43)

Estas dos soluciones han de ser continuas a traves de todas las interfaces tempo-

rales creadas por la capacitancia e inductancia variable en tiempo. El teorema de Bloch

permite enfocarse unicamente en las interfaces localizadas en los tiempos -t2, t = 0 y t1que limitan un solo periodo temporal.

La carga electrica y el flujo magnetico han de ser continuos en la interfaz temporal

ubicada en t = 0 como lo indican las ecuaciones 2.30 y 2.38:

Q1(N,0<

)= Q2

(N,0>

)(2.44a)

L1

(dQ1(N,0<)dt

)= L2

dQ2(N,0>)dt

(2.44b)

La continuidad a traves de la interfaz ubicada en t = −t2 esta relacionada con

la interfaz en t = t1 mediante un avance de fase temporal. La carga electrica (y flujo

magnetico) aproximandose por la derecha al tiempo −t1 es proporcional a un avance

de fase temporal de la carga electrica (y flujo magnetico) cuando el tiempo tiende a t2por el lado derecho. La continuidad de carga electrica y flujo magnetico en la interfaz

temporal situada en t2 se puede expresar con las siguientes expresiones:

Q2(N, t>2 ) = Q1(N,−t>1 )e− jωT = Q2(N, t<2 ) (2.45a)

L2dQ2(N, t>2 )

dt= L1

(dQ1(N,−t>1 )

dt

)e− jωT = L2

dQ2(N, t<2 )

dt(2.45b)

16


Aquı e− jωT es el avance de fase temporal. A diferencia de una onda de Bloch

espacial, el avance de fase temporal se caracteriza por tener exponente de argumento

negativo segun a la definicion de la onda. El parametro ω del avance de fase temporal

esta relacionado con la frecuencia angular de la onda que se propaga y se denomina

frecuencia de Bloch.

A continuacion se enlistan las condiciones de contorno necesarias para determi-

nar la carga electrica en la lınea de transmision con parametros modulados.

Q1(N,0<) = Q2(N,0>) (2.46)

Q1(N,−t>1 )e− jωT = Q2(N, t<2 ) (2.47)

L1dQ1(N,0<)

dt= L2

dQ2(N, t>0 )

dt(2.48)

L1

(dQ1(N,−t>1 )

dt

)e− jωT = L2

dQ2(N, t<2 )

dt(2.49)

Estas relaciones forman un sistema homogeneo de cuatro ecuaciones con las am-

plitudes de carga electrica como incognitas. Usando las ecuaciones 2.40 y 2.42 obtene-

mos:

Q+1 +Q−1 −Q+

2 −Q−2 = 0 (2.50)

Q+1 e j(ω+

1 t1−ωT )+Q−1 e j(ω−1 t1−ωT )−Q+2 e− jω+

2 t2−Q−2 e− jω−2 t2

= 0 (2.51)

−L1ω+1 Q+

1 −L1ω−1 Q−1 +L2ω

+2 Q+

2 +L2ω−2 Q−2 = 0 (2.52)

−L1ω+1 Q+

1 e j(ω+1 t1−ωT )−L1ω

−1 Q−1 e j(ω−1 t1−ωT )

+L2ω+2 Q+

2 e− jω+2 t2 +L2ω

−2 Q−2 e− jω−2 t2 = 0 (2.53)

17


La manera de obtener valores no triviales para los cuatro desconocidos es que el

sistema sea linealmente dependiente. En notacion matricial, seria el equivalente a que

el valor del determinante de la matriz de coeficientes sea nulo.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1 −1

e jω+1 t1− jωT e jω−1 t1− jωT −e− jω+

2 t2 −e− jω−2 t2

−L1ω+1 −L1ω

−1 L2ω

+2 L2ω

−2

−L1ω+1 e jω+

1 t1− jωT −L1ω−1 e jω−1 t1− jωT L2ω

+2 e− jω+

2 t2 L2ω−2 e jω−2 t2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (2.54)

La solucion para una lınea de transmision con modulacion armonica de capaci-

tancia y/o inductancia tiene un determinante infito. La solucion de los sistemas armoni-

cos no se considera estrictamente exacta por que se requiere truncar este determinante

infinito para obtener simulaciones numericas [18,19,22]. Sin embargo, el determinante

de la ecuacion 2.54 es finito y operarlo resulta en una expresion trascendental, con gran

simplificacion a comparacion con el caso de modulacion armonica. En los capıtulos

siguientes se muestra esta expresion.

18


2.6. Conclusion

Una lınea de transmision con capacitancia e inductancia caracterizada como

una funcion de tiempo con forma de onda cuadrada crea interfaces temporales don-

de la carga electrica y flujo magnetico permanecen constantes a traves de estas. Con

las condiciones de contorno y el teorema de Bloch-Floquet se conforma un sistema de

ecuaciones homogeneo con el fin de conocer el comportamiento de la carga electrica

en la lınea de transmision. Este sistema de ecuaciones involucra las amplitudes de la

onda de carga en los intervalos de tiempo t1 y t2 que conforma un periodo de modula-

cion. Las soluciones no triviales del sistema de ecuaciones 2.54 se obtienen cuando el

determinante de la ecuacion es cero. En los capıtulos siguientes se obtiene el calculo

de este deterinante.

19

3Relacion de dispersion:

Modelo ideal

En este capıtulo se soluciona el determinante de la ecuacion 2.54 para una lınea

de transmision ideal periodicamente modulada. El resultado obtenido nos permite co-

nocer la relacion de dispersion que caracteriza a este sistema.

El analisis de la relacion de dispersion en funcion de las modulaciones se centra prin-

cipalmente en cuatro casos particulares: modulacion de capacitancia; modulacion de

inductancia; modulaciones presentes con magnitudes iguales y en fase; por ultimo,

ambas modulaciones con magnitudes iguales pero C(t) y L(t) con un desfase de 180

entre ellas.

El modelo ideal de la linea de transmision modulada omite resistencias, como lo

muestra la figura 3.1.

Figura 3.1: Lınea de transmision discreta ideal

Desarrollando el determinante de la ecuacion 2.54 para el sistema ideal e igualado

20

3. Relacion de dispersion:Modelo ideal

a cero se obtiene la siguiente ecuacion despues de algebra sustancial:

−12

(√L1C2

L2C1+

√L2C1

L1C2

)sin(ω1t1)sin(ω2t2)+ cos(ω1t1)cos(ω2t2) = cos(ωT ) (3.1)

Los valores ω1 y ω2 sin un termino resistivo son reales debido a la reduccion que sufren

las ecuaciones 2.40 y 2.42, tal como muestran las ecuaciones 3.2 y 3.3.

ω1 =2√

L1C1sin(

βa2

)(3.2)

ω2 =2√

L2C2sin(

βa2

)(3.3)

En el lımite de onda muy larga (βa/2 << 1) desaparece la periodicidad espacial. La

ecuacion 3.1 junto con la representacion de los valores de capacitancia e inductancia

en funcion de sus modulaciones establece una importante relacion entre la frecuencia

de bloch y la constante de propagacion β llamada relacion de dispersion. Esta depende

del valor de los coeficientes de modulacion mC, mL y el periodo de modulacion T. La

frecuencia angular de modulacion es definida a partir del perıodo de modulacion como:

T =2π

Ω(3.4)

Como ya se ha mencionado, la suma de los intervalos t1 y t2 es igual al periodo de

modulacion de capacitancia e inductancia. Por lo tanto, t1 y t2 al ser iguales equivalen

a:

t1 = t2 =π

Ω(3.5)

En este momento se definen dos parametros normalizados donde esta involucrada la

frecuencia de modulacion. El primero de ellos es la frecuencia de modulacion Ω nor-

malizada con la frecuencia de resonancia de una sola celda unitaria:

Ω = Ω

√LC =

Ω

ω0(3.6)

El segundo parametro es el cociente de la frecuencia de Bloch y la frecuencia de

modulacion. Un tercer parametro normalizado es βa.

ω =ω

Ω(3.7)

21


3.1. Estructura de bandas y modelo de red vacıa tem-poral

La ecuacion 3.1 da informacion acerca de la relacion entre la constante de pro-

pagacion β y la frecuencia angular de propagacion ω (frecuencia de Bloch), la cual es

muy importante para describir el tipo de ondas que puedan existir en la linea de trans-

mision.

Un analisis introductorio considera las modulaciones sumamente pequenas, tanto

que los valores de capacitancia C1 y C2 como de inductancia L1 y L2 tienden a su valor

promedio L y C. En otras palabras, mC y mL tienden a cero.

Una grafica que incorpore la familia de soluciones de la ecuacion 3.1 muestra que

para un valor de frecuencia de Bloch existen infinitos valores de β. Identificando cada

uno a traves de un subındice p se forma una estructura de bandas con periodicidad del

vector de onda β con respecto a la frecuencia de Bloch ω. Las lıneas color amarillo y

rojo corresponden a las primeras dos bandas permitidas, p = 1 y p = 2 respectivamente.

Figura 3.2: Relacion de dispersion con parametros normalizados. Las primeras dos

bandas (p = 1 y p = 2) y la zona de Brillouin (Region sombreada) estan resaltadas.

22


La region sombreada en la figura 3.2 representa la primer zona de Brillouin en

la relacion de dispersion. Es posible reproducir toda la estructura de bandas a partir

de traslaciones de esta region sobre el eje de la frecuencia de Bloch y la constante de

propagacion β. Esto establece la siguiente condicion de periodicidad :

β(ω) = β(ω+nΩ),n = 0,±1,±2.... (3.8)

A pesar de tener modulacion nula en los parametros de capacitancia e inductancia

el sistema se comporta de manera periodica. En analogıa con el modelo de red vacıa

estudiado en fisıca de estado solido [31], a esta condicion se le ha llamado ”red vacıa

temporal”.

3.2. Modulacion de capacitancia

Si existe una modulacion de capacitancia, la ecuacion 3.1 construye una estruc-

tura de bandas que da lugar a regiones donde la constante de propagacion es indefinida.

Esta region se conoce como banda prohibida de β.

Para analizar la relacion de dispersion se establecen de manera representativa 3

niveles de modulacion: Debil, intermedia y fuerte. El mC = 0.1 representa al primer

nivel, mC = 0.5 y mC = 0.9 los dos siguientes.

En la figura 3.3 se muestra la zona de Brillouin temporal de la relacion de dis-

persion que se forma para modulacion debil de acuerdo a la ecuacion 3.1. Las franjas

de color rosado resaltan las bandas prohibidas creadas a partir de la modulacion de

capacitancia.

23


Figura 3.3: Relacion de dispersion para modulacion debil de capacitancia.

mC = 0.1 ,Ω = 1

Un cristal fotonico ordinario presenta bandas prohibidas de frecuencia angular y

se caracteriza por ser una estructura con periodicidad espacial [30]. Bajo esta premisa,

no es sorpresa que se presenten bandas prohibidas de la constante de propagacion si el

sistema posee periodicidad temporal.

Para caracterizar la magnitud de las bandas prohibidas se define la diferencia

relativa entre bandas permitidas conocida como ”Gap/MidGap Ratio”(GMGR). Esta

relaciona la diferencia entre los valores de βp+1 y βp con su valor promedio.

∆βaβa

= 2(βp+1−βp)

βp+1 +βp(3.9)

Este parametro es al que se hace referencia cuando se menciona tamano o magni-

tud de una banda prohibida. Corresponde a la mınima separacion ∆β entre las bandas p

y se realiza para los valores de frecuencia ω = 12Ωn, siendo n un numero entero impar.

β−a β+a βa ∆βa ∆β

β

β(1−2)a 0.4871 0.5198 0.5035 0.0327 0.0649

β(3−4)a 1.6645 1.7110 1.6878 0.0465 0.0276

Tabla 3.1: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion debil.

mC = 0.1, Ω = 1

24


En la tabla 3.1 se muestran los valores de las bandas prohibidas existentes. Los

subindices de βa en los renglones denotan entre cuales bandas permitidas se forma la

region prohibida. La diferencia normalizada (gap/midgap ratio) indica que la segun-

da banda prohibida tiene un tamano relativo menor que la primera a pesar de ser en

apariencia igual a la primer banda prohibida como se ve en la figura 3.3; sin embar-

go, ambas bandas prohibidas son significativas. Existe una diferencia importante con

el sistema de modulacion armonico pues generalmente la primer banda prohibida es la

unica que aparece para un valores de modulacion debil. [12, 18, 22].

Para una modulacion mC = 0.5 aparecen cuatro bandas prohibidas y una banda

permitida peculiar. La banda permitida p = 5 tiene valores de ω no permitidos cuando

βa es π. Este efecto se debe a la periodicidad espacial de la linea de transmision discreta

y no se considera una banda prohibida de frecuencia angular porque estos valores si son

permitidos en otras bandas de la constante de propagacion.

Figura 3.4: Relacion de dispersion para una modulacion media de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 1

Este par nuevo de bandas prohibidas de la constante de propagacion (resaltadas

por la region color azul) aparecen cuando los valores mas proximos de las bandas per-

mitidas involucradas estan sobre el valor ω = nΩ, n = 0,±1,±2... Aquı la frecuencia

de Bloch es multiplo de la frecuencia de modulacion.

25


βa− βa+ βa ∆βa ∆β

β

βa1−2 0.3780 0.5225 0.4503 0.1445 0.3209

βa3−4 0.8690 0.9977 0.9334 0.1287 0.1378

βa3−4 1.4416 1.5045 1.4731 0.0629 0.0427

βa4−5 2.0623 2.4143 2.2383 0.3520 0.1572

Tabla 3.2: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion media.

mC = 0.5, Ω = 1

Un aumento en la modulacion de capacitancia no solo representa la aparicion de

bandas prohibidas en β. Las bandas prohibidas ya existentes aumentaron de tamano de

acuerdo a la tabla 3.2. La primera de ellas aumento su valor GMGR de 0.0649 a 0.3209,

siendo un aumento del 395% con respecto a la magnitud que tenia para una modulacion

mC = 0.1. De igual manera la segunda banda prohibida tuvo un incremento del 54%.

El cambio en la relacion de dispersion ha sido muy notorio, tanto en cantidad

como tamano de las bandas prohibidas. En este punto ya dista bastante de la lınea

de transmision con modulacion armonica de capacitancia o inductancia [18], donde la

primer banda prohibida es la unica que cambia significativamente de tamano.

En presencia de una modulacion fuerte, la lınea de transmision presenta una ma-

yor cantidad de bandas prohibidas y las bandas prohibidas mostraron de nuevo un in-

cremento en su tamano. Esto tambien sucedio con un incremento de la modulacion de

debil a media.

26


Figura 3.5: Relacion de dispersion para una modulacion fuerte de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 1


β

βa1−2 0.1726 0.3010 0.2368 0.1284 0.5422

βa2−3 0.4092 0.6048 0.5070 0.1956 0.3858

βa3−4 0.6927 0.9104 0.8016 0.2178 0.2717

βa4−5 1.0146 1.2013 1.1079 0.1868 0.1686

βa5−6 1.3768 1.4429 1.4098 0.0662 0.0469

βa6−7 1.6717 1.8068 1.7393 0.1352 0.0778

βa7−8 2.0170 2.4128 2.2149 0.3958 0.1787

βa8−9 2.7189 3.1416 2.9303 0.4227 0.1442

Tabla 3.3: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion fuerte.

mC = 0.9, Ω = 1

La banda prohibida que tuvo un mayor crecimiento con respecto a la modulacion

media fue la que se localiza entre p = 3 y p = 4; esta crecio un 536%. La banda prohi-

bida entre p = 2 y p = 3 aumento 179%. La primer banda prohibida aumento un 68%

y por ultimo la banda entre p = 4 y p = 5 tuvo solamente un incremento del 7%. Es

interesante destacar que las bandas prohibidas de menor tamano se encuentran posicio-

27


nadas cerca del centro de la zona de Brillouin segun los valores desplegados en la tabla

3.3.

3.3. Modulacion de inductancia

La ecuacion 3.1 es similar cuando la lınea de transmision se caracteriza por tener

solo variacion de inductancia. Esos significa que las relaciones de dispersion para mC =

m y mL = 0 y para mL = m y mC = 0 son indistinguibles una de la otra. Es por esto que

no se presentan graficas para la modulacion de inductancia.

3.4. Modulaciones de igual magnitud en fase

Cuando la modulacion de capacitancia e inductancia tiene el mismo valor y estan

en fase, es decir, el valor maximo de capacitancia e inductancia conviven en el mismo

intervalo temporal, ambas modulaciones se pueden representar a traves de un valor

unico de modulacion. En este caso m = mL = mC.

Figura 3.6: Modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y en fase.

28


La estructura de bandas puede obtenerse analıticamente mediante la siguiente

expresion cuando t1 = t2:

ω =2sin

(βa2

)√

LC(1−m2)−nΩ (3.10)

Aquı n es un numero entero. La estructura de bandas se construye graficando toda la

familia de soluciones. El producto nΩ muestra la periodicidad de β con respecto a la

frecuencia de Bloch.

En las graficas siguientes se muestran las estructuras de bandas para los tres ni-

veles de modulacion analizados anteriormente.

Figura 3.7: Relacion de dispersion para modulaciones debiles de capacitancia e

inductancia en fase. mC = mL = 0.1, Ω = 1

29


Figura 3.8: Relacion de dispersion para modulaciones medias de capacitancia e


Figura 3.9: Relacion de dispersion para modulaciones fuertes de capacitancia e


Sin importar el nivel de modulacion que exista, no se presentan bandas prohibidas

de la constante de propagacion β. Aun ası la modulacion tiene otro efecto visible en la

30


relacion de dispersion. Entre mas grande sea la modulacion una mayor cantidad de

bandas permitidas aparecen.

3.5. Modulaciones de igual magnitud con desfase de 180

Ahora se considera un caso donde la relacion entre modulaciones es diametral-

mente opuesto. En el intervalo de tiempo cuando la capacitancia esta a su maximo

valor, la inductancia se encuentra en su mınimo y viceversa. Ambas modulaciones tie-

nen la misma magnitud pero signos opuesto. Empleando de nuevo un unico valor de

modulacion m, este se relaciona con mC y mL como a continuacion:

−mC = m (3.11)

mL = m (3.12)

Figura 3.10: Modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y desfasadas

180.

31


La lınea de transmision tiene el mismo comportamiento sin importar cual de las

dos magnitudes sea caracterizada por el signo negativo.

Figura 3.11: Relacion de dispersion para modulaciones debiles de capacitancia e

inductancia desfasadas 180. mC =−0.1,mL = 0.1, Ω = 1


β

βa1−2 0.4701 0.5356 0.5029 0.0655 0.1302

βa3−4 1.6378 1.7331 1.6855 0.0953 0.0565

Tabla 3.4: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion debil de la

figura 3.11.

La relacion de dispersion para modulaciones debiles de ambos parametros sı pre-

senta bandas prohibidas de la constante de propagacion β. En la tabla 3.4 se muestra

que la primer banda prohibida tiene un tamano mayor. Ademas, si se comparan con

los resultados de los valores de la tabla 3.1 se aprecia que las bandas prohibidas tienen

aproximadamente el doble de tamano cuando la modulacion debil se presenta en ambas

modulaciones de capacitancia e inductancia con respecto a una sola modulacion.

Para una modulacion media −mC = mL = 0.5 no aparecen bandas prohibidas

nuevas con respecto a las existentes en la modulacion debil.

32


Figura 3.12: Relacion de dispersion para modulaciones medias de capacitancia e

inductancia desfasadas 180 .mC =−0.5,mL = 0.5, Ω = 1

.

La modulacion media de un solo parametro mostro bandas prohibidas entre ban-

das par e impar cuando la frecuencia de Bloch y la frecuencia de modulacion son igua-

les; sin embargo, la figura 3.12 muestra que aumentar el nivel de modulacion no provo-

ca la aparicion de esas bandas prohibidas cuando ambas modulaciones estan presentes.


β

βa1−2 0.2897 0.5857 0.4377 0.2960 0.6763

βa3−4 1.2310 1.6125 1.4218 0.3815 0.2683

Tabla 3.5: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion media de la

figura 3.12.

El incremento de la primer banda prohibida al pasar de una modulacion debil a

media fue del 419%, mientras el incremento para la segunda fue de 375%. Los incre-

mentos son mayores comparados con el sistema con una sola modulacion.

33


Figura 3.13: Relacion de dispersion para modulaciones fuertes de capacitancia e

inductancia desfasadas 180. mC =−0.9,mL = 0.9, Ω = 1.

La modulacion fuerte introduce nuevas bandas permitidas; sin embargo lo que

mas resalta de la figura 3.13 son las bandas prohibidas de β. De acuerdo a los valores

de la tabla 3.6, las bandas prohibidas representan el 76% de la zona de Brillouin. Esto

limita bastante la cantidad de valores de β que pueden existir en la lınea de transmision.


β

βa1−2 0.0626 0.3755 0.2191 0.3130 1.4285

βa3−4 0.5038 0.8331 0.6685 0.3294 0.4927

βa5−6 0.9722 1.3440 1.1581 0.3718 0.3210

βa7−8 1.5095 1.9964 1.7530 0.4870 0.2778

βa9−10 2.2537 3.1416 2.6977 0.8879 0.3291

Tabla 3.6: Valores de βa que forman bandas prohibidas para modulacion fuerte de la

figura 3.13.

La primer banda prohibida es la que mayor cambio presenta al incrementar la

modulacion, esta crecio un 111% con respecto a la modulacion media. La segunda

banda prohibida aumento un 84%.

34


3.6. Relacion de dispersion en funcion del parametro Ω

Las bandas permitidas de β se acercan al lımite de la zona de Brillouin si el

parametro Ω aumenta su valor. Cuando una banda permitida alcanza el borde de la

zona de Brillouin su pendiente se anula.

Las bandas prohibidas experimentan un aumento de tamano cuando el parametro

Ω incrementa; sin embargo, el parametro GMGR crece significativamente mas debido

a aumentos de las modulaciones mC y mL. Anteriormente se observo que las bandas

prohibidas pueden crecer hasta un 400% al pasar de modulacion debil a modulacion

media, mientras el cambio provocado por subir el parametro Ω difıcilmente superara el

100 %.

A partir de un valor Ω comenzaran a surgir bandas prohibidas de la frecuencia

normalizada ω; sin embargo, las bandas prohibidas de la constante de propagacion β

desaparecen. En la relacion de dispersion de una lınea de transmision discreta periodi-

camente modulada en tiempo pueden existir bandas prohibidas de la frecuencia norma-

lizada ω y del vector de onda β, pero nunca coinciden. En una lınea de transmision con

modulacion armonica tambien se presenta este comportamiento [18].

A continuacion se muestra un compendio de imagenes que muestran un cambio

cualitativo de la relacion de dispersion en funcion del parametro Ω para dos niveles de

modulacion. Se escogieron valores de Ω hasta que provoquen la aparicion de las bandas

prohibidas de ω. Cuando las bandas prohibidas de ω aparecen, ya no se presenta bandas

prohibidas de la constante de propagacion.

35


(1) Ω = 0.3110 (2) Ω = 0.4587

(3) Ω = 0.6578 (4) Ω = 0.9210

(5) Ω = 1.2105 (6) Ω = 1.4210

(7) Ω = 2.6026 (8) Ω = 4.0873

(9) Ω = 4.5800 (10) Ω = 5.0200

Figura 3.14: Modulacion de capacitancia (inductancia), mC(mL) = 0.3.

36


(1) Ω = 0.5210 (2) Ω = 0.6789

(3) Ω = 0.8000 (4) Ω = 0.9000

(5) Ω = 1.2000 (6) Ω = 2.7763

(7) Ω = 4.9552 (8) Ω = 10.9868

(9) Ω = 11.6025 (10) Ω = 11.8500

Figura 3.15: Modulacion de capacitancia (inductancia), mC(mL) = 0.9.

37


(1) Ω = 0.6030 (2) Ω = 0.6766

(3) Ω = 0.7977 (4) Ω = 0.1.3679

(5) Ω = 1.7181 (6) Ω = 2.8563

(7) Ω = 5.2805 (8) Ω = 13.1000

(9) Ω = 21.5000 (10) Ω = 27.3000

Figura 3.16: Modulacion de capacitancia e indutancia en fase, mC = mL = 0.9

38


(1) Ω = 0.1650 (2) Ω = 0.1818

(3) Ω = 0.2228 (4) Ω = 0.2947

(5) Ω = 0.3760 (6) Ω = 0.6578

(7) Ω = 1.0557 (8) Ω = 4.0009

(9) Ω = 5.2025 (10) Ω = 5.6100

Figura 3.17: Modulacion de capacitancia e indutancia con desfase de 180.

mC =−0.3, mL = 0.3

39


(1) Ω = 0.3813 (2) Ω = 0.5655

(3) Ω = 0.6593 (4) Ω = 0.7531

(5) Ω = 0.9221 (6) Ω = 1.4452

(7) Ω = 4.1972 (8) Ω = 27.3589

(9) Ω = 31.9600 (10) Ω = 33.8000

Figura 3.18: Modulacion de capacitancia e indutancia con desfase de 180.

mC =−0.9, mL = 0.9

40


3.7. Conclusion

La relacion de dispersion de la lınea de transmision modulada se obtiene al calcu-

lar el determinante de la ecuacion 2.54 e igualandolo a cero. Los multiples valores de la

constante de propagacion β para un frecuencia de Bloch dan forma a una estructura de

bandas. En presencia de modulacion de capacitancia y/o inductancia existen multiples

regiones en las cuales no existe solucion real para la costante de propagacion y la fre-

cuencia de Bloch. Estas son llamadas bandas prohibidas de la constante de propagacion.

Conforme las modulaciones sean mayores, las bandas prohibidas aumentan de

tamano. Incluso pueden ocupar mas espacio dentro de la zona Brillouin que las bandas

permitidas. Sin embargo, para el interesante escenario donde ambas modulaciones sean

iguales y esten en fase no se presentan bandas prohibidas a pesar de tener altos niveles

de modulacion. La distribucion de las bandas prohibidas depende si se presenta una o

ambas modulaciones y tambien del valor del parametro Ω.

En la linea de transmision discreta con modulacion de capacitancia e inductancia

pueden existir bandas prohibidas de la frecuencia normalizada ω y el vector de onda β,

pero no pueden existir ambas a la vez.

41

4Relacion de dispersion con resistencias

En este capıtulo se analiza la relacion de dispersion para una lınea de transmi-

sion modulada considerando resistencias. Al igual que para el modelo ideal, se consi-

deran los cuatro casos especiales de modulacion: modulacion de capacitancia; modu-

lacion de inductancia; modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud en

fase y desfase de 180. Principalmente nos enfocaremos en el comportamiento de las

bandas prohibidas en presencia de resistencias en la lınea de transmision modulada.

Para una lınea de transmision con resistencias como la mostrada por la figura 2.2,

el determinante de la ecucion 2.54 se reduce a la siguiente ecuacion cuando es igualado

a cero.

−

(L2

1(ω2

1r +ω21i)+L2

2(ω2

2r +ω22i)

2L1L2ω1rω2r− ω1iω2i

ω1rω2r

)sin(ω1rt1)sin(ω2rt2)

+cos(ω1rt1)cos(ω2rt2) = cos(ωT − j (ω1it1 +ω2it2)) (4.1)

Aquı:

ωk =

√√√√4sin2(

βa2

)LkCk

− R2

4L2k− j

R2Lk

k = 1,2. (4.2)

Los indices “r” e “i” se refieren a la parte real e imaginaria del valor de ωk.

La ecuacion 4.1 es compleja debido a las resistencias, por tanto, el valor de β

tambien debe ser complejo. La parte real de β se le conoce como constante de propaga-

cion pues esta relacionada con la frecuencia espacial de la onda. La parte imaginaria de

β representa la atenuacion de la onda en su avance a traves de la lınea de transmision.

Por eso se le conoce como coeficiente de atenuacion.

42

4. Relacion de dispersion con resistencias

Para modelar la presencia de resistencias en la lınea de transmision se utiliza el

parametro normalizado R. Este es el cociente entre el valor resistivo R y la impedancia

caracterıstica de una celda unitaria ideal no modulada Z0.

R =RZ0

= R

√CL

(4.3)

A continuacion se analiza la estructura de bandas obtenida de la ecuacion 4.1 pa-

ra los niveles de modulacion debil, medio y fuerte en los 4 casos especiales estudiados

el capıtulo anterior: modulacion de capacitancia; modulacion de inductancia; modula-

cion de capacitancia e inductancia de igual magnitud en fase y desfase de 180. Cabe

mencionar que, para longitudes de onda suficientemente grandes, la ecuacion 4.2 se

simplifica pues sin2(

βa2

)≈(

βa2

)

4.1. Modulacion de capacitancia

En la figura 4.1(1) se muestra la relacion de dispersion de una lınea de transmision

con un nivel debil de modulacion de capacitancia y valor del parametro de resistencia

R = 0.05. En ella se observa la existencia de una banda prohibida entre las bandas p = 1

y p = 2. El tamano de esta banda prohibida es 0.0587 de acuerdo al parametro GMGR.

(1) Relacion de dispersion (2) Coeficiente de atenuacion

Figura 4.1: Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia.

mC = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05

43


En la grafica 4.1(2) se observa el comportamiento del coeficiente de atenuacion

de las bandas p = 1 y p = 2. Interesantemente, el coeficiente de atenuacion para estas

bandas tiene valor cero cuando la frecuencia normalizada es ω = 0.5. En esta situacion,

tanto el vector de onda como la frecuencia de Bloch son reales. Eso significa que la

onda de carga electrica no se atenua en la lınea de transmision a pesar de considerar

resistencias.

La primer banda permitida tiene un coeficiente de atenuacion cero cuando la

frecuencia normalizada tiene algun valor entero. Sin embargo, no representa una onda

debido a que la constante de propagacion tambien es cero.

La relacion de dispersion para una la lınea de transmision con resistencias tiene

un comportamiento muy diferente en el lımite de la zona de Brillouin en comparacion

del modelo ideal. Las bandas permitidas en la cercanıa del lımite de esta zona presentan

atenuacion muy fuerte, incluso para parametros de resistencia pequenos.


Figura 4.2: Bandas permitidas en la cercania del lımite de a zona reducida.

mC = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05

Estas bandas permitidas caracterizadas por tener el coeficiente de atenuacion

elevado y comparable a su constante de propagacion, corresponden a ondas de carga

electrica que se atenuan rapidamente a traves de la lınea de transmision.

El estudio de estas bandas permitidas esta considerado para un trabajo posterior.

Por tanto, las bandas permitidas que se consideran en este trabajo de tesis se encuen-

tran lejos del lımite del borde de la zona de Brillouin y tienen coeficientes de atenuacion

mucho mas pequenos que la constante de propagacion.

Regresando a las bandas prohibidas en la relacion de dispersion, estas tienden

a estrecharse cuando se aumenta el parametro de resistencia. Si las resistencias son

44


suficientemente grandes, las bandas prohibidas pueden llegar a cerrarse por completo.

Por ejemplo, el cierre de la banda prohibida para un modulacion debil mC = 0.1 sucede

cuando R = 0.1 (figura 4.3(1)). Por su parte, el coeficiente de atenuacion en cada banda

permitida aumenta su valor. Resalta que para la frecuencia normalizada ω = 0.5, el

coeficiente de atenuacion ya no es cero y la onda de carga se atenua a traves de la lınea

de transmision.


Figura 4.3: Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia.

mC = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.1

Si para un parametro de resistencia R = 0.05 se considera una modulacion de

capacitancia de nivel medio mC = 0.5, la relacion de dispersion de nuevo muestra una

banda prohibida para la frecuencia normalizada ω = 0.5. Esta es 503% mayor a com-

paracion con la modulacion debil mC = 0.1 y tambien los coeficientes de atenuacion

que la acompana son iguales a cero.


Figura 4.4: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.05

El parametro de resistencia necesario para el cierre de la banda prohibida produc-

45


to de una modulacion media es aproximadamente R = 0.42. Esto es un poco mas de 4

veces el valor necesario para que suceda lo mismo en la relacion de dispersion con una

modulacion debil mC = 0.1. Ahora los coeficientes de atenuacion de las bandas p = 1 y

p = 2 poseen un valor aproximado de 0.5 para una frecuencia normalizada ω= 0.05. De

acuerdo a esos valores ya no es posible obtener ondas de carga electrica sin atenuacion.


Figura 4.5: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia.

mC = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.42

Para una modulacion de capacitancia mC = 0.9, aparece una banda permitida

p = 3 alejada del lımite de la zona de Brillouin y formando una banda prohibida con

p = 2.


Figura 4.6: Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.05

Esta modulacion fuerte disminuye considerablemente el coeficiente de atenua-

cion de las bandas permitidas lejanas al lımite de la zona de Brillouin. Para un parame-

tro de resistencia R = 0.05, la banda p = 1 tiene un coeficiente de atenuacion menor a

46


la banda p = 2 para cualquier frecuencia normalizada cuando la modulacion de capa-

citancia es de nivel debil y nivel medio (figuras 4.1(2) y 4.4(2)). Es una excepcion la

frecuencia normalizada ω = 0.5 donde ambas bandas tienen valor cero. Sin embargo,

para una modulacion fuerte mC = 0.9, la situacion es contraria. Incluso para algunos

valores de la frecuencia normalizada, la banda p=3 tiene un coeficiente de atenuacion

menor a la banda p = 1.

Como se nota en la figura 4.6 para ω = 1 tambien se anula el coeficiente de

atenuacion para las bandas p = 1, p = 2 y p = 3, por tanto, es posible obtener ondas de

carga electrica sin atenuacion para una modulacion mC = 0.9 cuando la frecuencia de

Bloch sea multiplo de la frecuencia de modulacion.


Figura 4.7: Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia.

mC = 0.9, Ω = 2.5, R = 1.28

Aumentando el un parametro de resistencia a R = 1.28, en la figura 4.7(1) ya no

se aprecian bandas prohibidas. Dado que este comportamiento se ha repetido en todos

los niveles de modulacion, queda demostrado que para que exista una onda de carga

electrica sin atenuacion en la lınea de transmision, el nivel de modulacion necesita

ser suficiente para que existan bandas prohibidas en multiplos enteros de la frecuencia

normalizada ω = 0.5. Este nivel de modulacion esta determinado por el parametro de

perdidas R.

4.2. Modulacion de inductancia

Para una lınea de transmision ideal, la relacion de dispersion se comporta igual si

se considera una modulacion de capacitancia o de inductancia. Sin embargo, para una

lınea de transmision con resistencias existen diferencias entre una y otra modulacion.

47


En la figura 4.8(1) se muestra la relacion de dispersion con parametro de resistencia

R = 0.05 y modulacion de inductancia mL = 0.1.


Figura 4.8: Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de inductancia.

mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05

Comparando la relacion de dispersion en funcion la modulacion de capacitancia

(grafica 4.1(1)) y la de inductancia (4.8(1)), se observa que no existe gran diferencia

cualitativa entre ambas. Incluso los tamanos de las bandas prohibidas difieren sola-

mente en un 2%(GMGR de 0.0587 para capacitancia y 0.0579 para inductancia); Sin

embargo, los coeficientes de atenuacion para una modulacion de inductancia son mayo-

res, salvo en la frecuencia normalizada Ω = 0.5 donde Im(β) = 0 segun la figura 4.8(2).

En la grafica 4.9(1), se observa el cierre de la banda prohibida para un valor de

perdida R = 0.085. Este es 15% menor al necesario para una modulacion de capacitan-

cia del mismo nivel. Para una modulacion de inductancia, la desaparicion de la banda

prohibida tambien esta relacionada con un coeficiente de atenuacion mayor a cero, de

acuerdo a la figura 4.9(2).

48



Figura 4.9: Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de inductancia.

mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.085

Cuando la modulacion de inductancia tiene un nivel medio mL = 0.5, el tamano

de la banda prohibida aumenta 508% con respecto al nivel debil y se consigue una onda

de carga electrica sin atenuacion cuando ω = 0.5. Sin embargo, esta ligeramente por

debajo de la banda prohibida que se obtiene para una modulacion de capacitancia de

igual nivel (aproximadamente 1%).


Figura 4.10: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion en inductancia.

mL = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.005

No existe diferencia significativa en la relacion de dispersion para las modula-

ciones de capacitancia e inductancia cuando se considera un parametro de resistencia

pequeno. Sin embargo, para que ocurra el cierre de la banda prohibida debido a mo-

dulacion media de inductancia se requiere un parametro de resistencia R = 0.32 . Este

valor es 28% menor al necesario para que ocurra el cierre de la banda prohibida debido

a una modulacion de capacitancia de igual valor.

49


Las figuras 4.11 y 4.5 se parecen bastante. Sin embargo, tienen parametros de

resistencia diferentes, R = 0.32 para la primer imagen y R = 0.42 para la segunda.


Figura 4.11: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion en inductancia.

mL = 0.5, Ω = 2.5, R = 0.32

Pasando al caso de modulacion fuerte (figura 4.12), la relacion de dispersion para

un parametro de resistencia bajo R = 0.05, sigue sin mostrar un cambio significativo

con respecto al comportamiento de una modulacion de capacitancia (alrededor del 4%).

Sin embargo, los coeficientes de atenuacion de las bandas permitidas lejos del lımite de

la zona de Brillouin aumentaron aproximadamente 5 veces.


Figura 4.12: Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion en inductancia.

mL = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.05

Sorprendentemente, el parametro de resistencia necesario para que las bandas

prohibidas se cierren por completo es R = 0.225 (figura 4.13). Este se redujo aproxima-

damente un 30% con respecto al valor requerido para modulacion media de inductan-

cia. Por tanto, una modulacion fuerte de inductancia provoca un cierre de bandas. Este

es un comportamiento completamente opuesto a la modulacion fuerte de capacitancia.

50



Figura 4.13: Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion en inductancia.

mL = 0.9, Ω = 2.5, R = 0.225

El comportamiento de todos los casos de estudios para la lınea de transmision con

resistencias habıan tenido la misma tonica: permitir un parametro de resistencia mayor

sin que exista atenuacion de la carga electrica siempre que el valor de la modulacion

se aumente lo suficiente; sin embargo, para una modulacion fuerte de inductancia esto

no se cumple, pues ocurre una reduccion del valor R necesario para el cierre de bandas

prohibidas.

4.3. Modulacion con desfase de 180

Al igual que en el modelo ideal, no importa cual de las dos modulaciones tome

el valor negativo. Para una modulacion debil −mC = mL = 0.1, la relacion de disper-

sion muestra una banda prohibida de tamano 0.1435. Esta es aproximadamente 50%

mayor comparada con el tamano de la banda prohibida debido solo a modulacion de

capacitancia o inductancia.

51



Figura 4.14: Lınea de transmision con nivel debil de modulacion de capacitancia e

inductancia con desfase de 180. mC =−0.1,mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.05.

Para una frecuencia normalizada ω = 0.5 se obtiene una onda de carga electrica

sin atenuacion en las bandas p = 1 y p = 2. Al considerar el parametro de resistencia de

valor R= 0.164 se produce el cierre de la banda prohibida y el coeficiente de atenuacion

aumenta significativamente, como muestra la figura 4.15(1).



inductancia con desfase de 180. mC =−0.1,mL = 0.1, Ω = 2.5, R = 0.164

Cuando las modulaciones de capacitancia e inductancia cambian de nivel debil

a un nivel medio (−mC = mL = 0.5), la banda prohibida incrementa un 416% . El

coeficiente de atenuacion disminuye un poco, sobre todo en la cercanıa de la frecuencia

normalizada ω = 0.5.

52



Figura 4.16: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia e



Figura 4.17: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion de capacitancia e


El cierre de la banda prohibida comienza a partir de un parametro de resisten-

cia R = 0.76. Este valor es aproximadamente la suma de los valores necesarios pa-

ra que suceda lo mismo cuando solo existe modulacion de capacitancia (R = 0.42) o

inductancia(R = 0.32). Para tal valor, el coeficiente de atenuacion de las bandas p = 1

y p = 2 para la frecuencia normalizada ω = 0.5 incrementa sustancialmente.

En una lınea de transmision con bajo parametro de resistencia, la modulacion

fuerte de capacitancia mC = −0.9 e inductancia mL = 0.9 logra apartar la banda per-

mitida p = 3 del lımite de la zona de Brillouin. A diferencia de las modulaciones de

capacitancia e inductancia actuando por separado, no existe banda prohibida entre la

banda p = 2 y p = 3. Por otro lado, la banda prohibida entre las bandas p=1,2 incre-

menta un 93% con respecto a la modulacion media. Los valores de β en las tres bandas

53


permitidas lejos del lımite de la zona reducida son puramente reales para una frecuencia

normalizada ω = 0.5.


Figura 4.18: Lınea de transmision con nivel fuerte de modulacion de capacitancia e





La figura 4.19 muestra que el valor de la resistencia normalizada requerido para

el cierre de la banda prohibida en la relacion de dispersion es R = 1.65. De todos

los casos especiales de modulacion estudiados en esta tesis, la modulacion de igual

magnitud y desfase de 180 tiene el valor lımite de R mas alto. Esto significa obtener

una onda de carga electrica sin atenuacion para un valor de resistencias mayor en la

lınea de transmision. A partir de la banda permitida p = 4, el coeficiente de atenuacion

se compara con la constante de propagacion, por tanto, son ondas con una atenuacion

fuerte. A diferencia de otros niveles de modulacion, estas bandas no se encuentran tan

cercanas al borde de la zona de Brillouin.

54


4.4. Modulaciones iguales en fase

La existencia de bandas prohibidas para una frecuencia normalizada de valor

ω= 0.5(y multiplos enteros de este valor) a la par con la presencia de una onda de carga

electrica sin atenuacion a traves de la lınea de transmision ha sido constante en todos

los casos analizados anteriormente. Dado que no se presentan bandas prohibidas para

una modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y en fase, cualquier

onda de carga que se propague en la lınea de transmision se atenuara sin importar el

nivel de modulacion que exista. A continuacion se muestran la relacion de dispersion y

coeficiente de atenuacion, para tres niveles de modulacion y un parametro de resistencia

R = 0.15



inductancia en fase. mC = mL = 0.1 ,Ω = 2.5, R = 0.15

55



Figura 4.21: Lınea de transmision con nivel medio de modulacion capacitancia e

inductancia en fase. mC = mL = 0.5 Ω = 2.5 R = 0.15

(1) Relacion de dispersion (2) Coefiente de atenuacion


inductancia en fase. mC = mL = 0.9 ,Ω = 2.5, R = 0.15

Para una modulacion mC = mL = 0.1, la banda p = 1 tiene el coeficiente de ate-

nuacion de mayor valor cuando la frecuencia normalizada es ω = 0.5; Sin embargo,

disminuye conforme la modulacion aumenta, aunque sin llegar a ser cero. Este aumen-

to en el nivel de modulacion, coloca un mayor numero de bandas permitidas lejos del

lımite de la zona de Brillouin y los coeficientes de atenuacion para las bandas sucesivas

a p = 2 disminuyen considerablemente conforme se aumenta la modulacion.

En una lınea de transmision ideal, las modulaciones de capacitancia e inductan-

cia con igual magnitud provocan dos casos extremos referentes al comportamiento de

las bandas prohibidas en la relacion de dispersion. Cuando se encuentran en fase, las

bandas prohibidas no se manifiestan. Por otro lado, si el desfase entre ellas es 180, las

bandas prohibidas alcanzan su maximo tamano. Ese comportamiento tambien se pre-

senta cuando se hay resistencias.

56


4.5. Conclusion

En una lınea de transmision con resistencias, el vector de onda β es de naturaleza

compleja. La parte real esta relacionada con la propagacion de la onda de carga a traves

de la lınea de transmision, por eso se le conoce como constante de propagacion. El

grado de atenuacion esta caracterizado a traves de la componente imaginaria, razon por

la cual se denomina coeficiente de atenuacion.

Para que se presenten bandas prohibidas en la relacion de dispersion , el nivel de

modulacion debe superar un valor mınimo impuesto por el parametro de resistencia R.

La existencia de estas bandas prohibidas esta relacionada con un coeficiente de atenua-

cion cero, es decir, una onda de carga electrica sin atenuacion a lo largo de la lınea de

transmision a pesar de la presencia de resistencias.

Con base en los resultados numericos que hemos obtenido podemos definir el

siguiente enunciado:

Si para dos bandas sucesivas p y (p+1)

Im[

βp+1

(ω =

Ωn2

)]= Im

[βp

(ω =

Ωn2

)]= 0 (4.4)

Entonces

δβ = Re[

βp+1

(ω =

Ωn2

)]−Re

[βp

(ω =

Ωn2

)]> 0 (4.5)

Aquı :

n =±1,±2, ... (4.6)

Contrario a la lınea de transmision ideal, existe una distincion entre la modula-

cion de capacitancia e inductancia. A mayor nivel de modulacion, las diferencias son

mas significativas, siendo la mas importante el hecho de que una modulacion fuerte

de inductancia provoca una disminucion del parametro R necesario para que ocurra el

cierre de bandas prohibidas.

De todos los casos especiales de modulacion estudiados, la modulacion de ca-

pacitancia e inductancia de igual magnitud y desfase de 180 le permite a la lınea de

transmision tener un parametro de resistencia R mayor sin que exista atenuacion de la

onda de carga electrica.

En la figure 5.1 se muestra el valor del coeficiente de atenuacion en funcion del

valor de perdida R. Se consideran los 4 casos especiales estudiados anteriormente.

57


Figura 4.23: Coeficiente de atenuacion en funcion de las perdidas resistivas R.

La modulacion de capacitancia e inductancia de igual magnitud y desfase de 180

es el caso especial que tolera un mayor nivel de resistencia antes de que la onda de carga

electrica comience a atenuarse. Tambien se refleja la diferencia entre la modulacion de

capacitancia e inductancia cuando tienen el mismo nivel de modulacion pero actuando

de manera aislada. Como ya se habıa descrito, la modulacion de capacitancia permite a

la onda de carga electrica no atenuarse en presencia de un nivel de perdidas mayor en

comparacion a una modulacion de inductancia.

La modulacion de capacitancia e inductancia en fase tiene un incremento casi

lineal del coeficiente de modulacion con respecto a R. Este comportamiento es similar

al de una lınea de transmision no modulada; sin embargo, la modulacion en fase tiene

una pendiente menor.

58

5Conclusiones

La lınea de transmision con capacitancias e inductancias caracterizadas por fun-

ciones cuadradas tiene interfaces temporales donde la carga electrica y el flujo

magnetico permanecen constantes, siendo estas las condiciones de contorno.

Existen las siguientes similitudes con la lınea de transmision con modulaciones

armonicas estudiada previamente por el grupo de investigacion de Halevi [18,19,

22]:

• Periodicidad de las bandas permitidas con la frecuencia de Bloch

β(ω) = β(ω+Ω)

• La relacion de dispersion tiene bandas permitidas de la constante de propa-

gacion separadas por bandas prohibidas.

• La relacion de dispersion puede presentar bandas prohibidas de la constante

de propagacion o de la frecuencia de Bloch; sin embargo, ambas bandas

prohibidas no coexisten.

• Cuando se consideran resistencias el valor de β es complejo en general la

parte real se llama constante de propagacion porque representa la frecuencia

espacial de la onda de carga electrica y la componente imaginaria llamado

coeficiente de atenuacion indica el grado de atenuacion de la onda a traves

de la lınea de transmision.

• Modulaciones de capacitancia e inductancia iguales y en fase no producen

bandas prohibidas de la constante de propagacion sin importar el nivel de

modulacion.

59

5. Conclusiones

• Modulaciones de capacitancia e inductancia iguales y con desfase de 180

provocan bandas prohibidas mas grandes en comparacion a los demas casos

de modulacion.

• Valores relativamente grandes del parametro Ω pueden dar lugar a bandas

prohibidas de frecuencia.

La modulacion abrupta difiere de la modulacion armonica en lo siguiente:

• La modulacion abrupta forma un sistema de ecuaciones de cuatro incognitas

mientras para una modulacion armonica se consideran idealmente infinitos

desconocidos.

• Todas la bandas prohibidas en la relacion de dispersion son significativas.

Esto, a diferencia de la modulacion armonica donde la banda prohibida exis-

tente esta entre p = 1 y p = 2 es la unica significativa.

• Para modulaciones fuertes las bandas prohibidas tienen mayor ancho que

las bandas permitidas.

• Numericamente la metodologıa de solucion tipo Kronig-Penney temporal

obtiene la solucion exacta de la onda de carga electrica en la lınea de trans-

mision mientras que para una modulacion armonica es aproximada debido

a imprecisiones numericas.

Las siguientes conclusiones estan relacionadas con la inclusion de resistencias en

la lınea de transmision modulada de manera abrupta.

El parametro de resistencia R provoca un estrechamiento de las bandas prohibi-

das, cerrandolas por completo si es lo suficientemente grande.

Existe una diferencia entre modulacion de capacitancia e inductancia. A mayor

nivel de modulacion, la distincion es mayor.

Para una modulacion fuerte de inductancia, el valor del parametro de resistencia

para cerrar las bandas prohibidas es menor con respecto a una modulacion media.

Aparecen bandas permitidas pegadas al lımite de la zona de Brillouin que tienen

coeficiente de atenuacion del mismo orden de magnitud o superior a la constante

de propagacion.

60

5. Conclusiones

La relacion de dispersion de una lınea de transmision con resistencias contem-

plada en esta tesis dan lugar a la siguiente conjetura:

Si para dos bandas sucesivas p y (p+1)

Im[

βp+1

(ω =

Ωn2

)]= Im

[βp

(Ωn2

)]= 0 (5.1)

Entonces

δβ = Re[

βp+1

(ω =

Ωn2

)]−Re

[βp

(ω =

Ωn2

)]> 0 (5.2)

Aquı :

n =±1,±2, ... (5.3)

Es posible obtener una onda de carga electrica sin atenuacion a pesar de la exis-

tencia de resistencias en la linea e transmision cuando el nivel de modulacion supera

cierto valor impuesto por el valor de la resistencia normalizada R

Figura 5.1: Coeficiente de atenuacion en funcion del parametro R.

61

5. Conclusiones

5.1. Trabajo a futuro

El tema principal de esta tesis se baso principalmente en describir una lınea de

transmision con modulacion de capacitancia e inductancia a traves de su relacion de

dispersion. El siguiente paso es calcular y estudiar el tipo de ondas que existen en la

lınea de transmision. Ello implica el calculo de las amplitudes de las ondas de carga

electrica. Previo a una investigacion experimental se requiere estudiar el sistema fini-

to. J.R. Zurita-Sanchez y P. Halevi [13] demostraron que la respuesta optica de una

placa dinamica periodicamente modulada exhibe resonancias, mientras J.S. Martınez-

Romero [19]obtuvo simulaciones numericas que demuestran resonancias parametricas

en una lınea de transmision con periodicidad armonica. Motivados por esos resultados,

se propone estudiar estas resonancia para la modulacion abrupta de capacitancia y/o

inductancia.

Tambien se considera estudiar un medio caracterizado por una permitividad y

permeabilidad con modulacion temporal abrupta para realizar una comparacion de la

lınea de transmision con el medio efectivo como lo realizo M.O. Becerra en su tesis de

maestrıa para la modulacion armonica [18].

Los buenos resultados obtenidos por el trabajo experimental de R. Reyes-Ayona y

P. Halevi [22] sobre una lınea de transmision pasabajo utilizando un diodo varactor co-

mo capacitancia variable en tiempo, dan la motivacion suficiente para contemplar llevar

a cabo un experimento sobre una lınea de transmision con capacitancia y/o inductan-

cia con periodicidad abrupta. Con este experimento se espera corroborar los estudios

teoricos de esta tesis.

62

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L´ınea de transmisi on peri´ odicamente´ modulada en ... · lograrlo. Tambien al cari´ no,...

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