ENSEÑANZA REVISTA t\.lEXICANA DE FíSICA 47 (4) 386-391 AGOSTO 2001

Cálculo de los modos electromagnéticos en \lna fibra óptica mediante soportecomputacional analíticoA. Luis-Ramos. y E. Maní-Panameño

Facultad de Ciencias F(sico-Matemáticas, Benemérita Universidad Awónoma de PueblaApartada postal 1152, 72000 Puebla, Pue., Mexico

e-mail: aluis@fcfm.buap.I1Lt

H. Ramírez DíazEscuela de Ciencias Físico Matemáticas, Unil'ersidl1d AwónomQ de Sino/va

Ciudad Unh'ersitaria, Culiacán, Sil1., Mexico

Recibido el7 de diciembre de 2()(X);aceptado c125 de abril de 2001

En este trabajo. con base en la teoría electromagnética y empicando herramienta computacional simbólica, se determina la constante dc pro-pagación de los modos c1cctromágncticos sop0rludos por una flbra óptica. El empIco de cómputo simbólico (r..1APLE), permilirá mostrar deuna mancra más accesible el estudio de los modos elcctromagnéticos, a diferencia de la forma tradicional de obtcnerlos. donde gcneralmentese utilizan técnicas númericas. Se presenta la comparación de los resultados obtenidos con la ayuda de este sopone computacional y olrosampliamente conocidos.

Descriptores: Enseñanza en fotónica; tlbras óptica; modos clectromagnéticos

We present. bascd on elcctromagnetic theory and with tbe aid 01' symbolic computational tools (MAPLE), Ihe analysis al' the modal slructure01' an aptical fiber. By these mean s, we can reduce (hc lahoriolls work that implics the abtaining of the electro-magnetic fields of 'ln apticalfiber. To demonstrate our purpose, we analyze the \vidcly known case of step profile, and compare our resuhs with Olhers abtaincd withdiffcrcnt mcthods. Our results are obtained in analytical and graphic formo

KeYlI'ords: Photonics tcaching; oplical fiber; clectromagnclic modes

PAes: 01.40.Fk; 02.70.-c; 42.81.Dp

1. Introducción

La fabricación de fibras ópticas capaces de transmitir luz so-bre distancias de cientos de kilómetros. estimuló el desarrollodel análisis teórico de sus características de propagación [1].Actualmente, debido al estado de continuo desarrollo de sis-temas fotónicos basados en óptica integrada y en especial enfibras ópticas, existe una creciente necesidad de analizar di-seños con novedosas geometrías y perfiles de índice de re-fracción arbitrarios, con el fin de facilitar el diseño y optimi-zación de dispositivos ópticos, tales como láseres, compuer-tas, acopladores, moduladores, cte., para su aplicación ensistemas de generación y conmutación de señales ultrarrá-pidas [2,3].

Por ejemplo, durante las últimas tres décadas se han reali-zado numerosos esfuerzos para obtener: primero, la ecuaciónde dispersión y, posteriormente, la separación de los modosde propagación (HE y EH) para una guía de ondas cilíndricade doble recubrilllicnlo [~].

Aun cuando en principio, las ecuaciones de rv1axwell, yen particular la ecuación de Helmholtz, conjuntamente conlas ecuaciones materiales y las condiciones de frontera, deter-minan las propiedades generales de propagación del campoelectromagnético, es a través de la obtención de la constantede propagación como podemos determinar las característicasde la n¡diación propagada; generalmente esta constante es de-terminada por técnicas numéricas [5-8].

En este trabajo se presenta el análisis de la obtención delos modos electromagnéticos en una fibra óptica apoyados de

soporte computacional simbólico (MAPLE). El uso de éstenos permitirá mostrar de manera más clara el estudio de losmodos electromagnéticos propagados en una guía de onda.aspecto fundamental en el proceso de comprensión de uno delos problemas básicos en el campo de la fotónica. Tambiénpodremos valorar las potencialidades de este apoyo para fu-turos desarrollos de fibras ópticas con perfiles de índices derefracción más complejos, como pueden ser las fibras multi-capa [9J.

En la siguiente sección se presenta una breve explicaciónsobre las bases de la teoría de la propagación de la luz enuna fibra óptica: posteriormente presentamos una definiciónde los modos electromagnéticos, se determina la forma deobtenerlos y se analizan algunas de sus características. Porúltimo, se presentan los resultados obtenidos con el uso deMAPLE y la comparación de éstos con otros ya conocidos.

2. Elementos teóricos de la propagación de luz

Un campo electromagnético se describe por dos vectores decampo relacionados entre sí: el campo eléctrico E(r, t) yelcampo magnético H(r, t). ambos son funciones vectorialesde la posición y el tiempo. En general, requerimos de seisfunciones escalares de la posición y el tiempo [componentesde los vectores E(r, t) y H(r, t)] para describir el com-portamiento de la luz en un medio; sin embargo, estas seisfunciones se relacionan a través de las ecuaciones de Max-well, las cuales, en un medio lineal, homogéneo, isotrópo,

-

CÁLCULO DE LOS MODOS ELECTROMAGNÉTICOS EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE .. 387

2.1. Fibra óptica y modos electromagnéticos

dispersiyo y libre de fuentes son representadas de la siguien-le forma [10]:

donde D(r, t) es el vector de desplazamiento eléctricoy ll(r, t) es el vector de inducción magnética. A menosque sea necesario, en lo sucesivo omitiremos la escritura delas dependencias de los campos. A estas cuatro ecuacioneses necesario agregar las relaciones constitutivas:

ra

~-+-~n,

de que su distribución espacial no cambia con la propaga-ción y donde los valores propios son los factores de fa-se exp(-jt'mz), donde 13m es la constante de propagaciónde modorn.

Los modos de una fibra pueden ser clasificados principal-mente en dos grupos. como modos guiados o confinados ymodos de radiación [8, 12]. En los sistemas de comunicaciónde fibra óptica la transmisión de señales se lleva a cabo sola-mente a través de los modos guiados. Es por esta razón quenuestra discusión se centrará exclusivamente en los modosguiados en una fibra óptica de índice escalonado. Las carac-terísticas de esta última son presentadas en la siguiente sec-ción.

n

FIGURA l. Perfil del índice de refracción de la fibra óptica de índiceescalonado.

2.2. La fibra óptica de índice escalonado

La geometría del perfi I de índice de refracción escalonadode una fibra óptica es mostrado en la Fig. 1. Consiste de unnúcleo con índice de refracción nI de radio a y un recubri-miento con índice de refracción H2 de radio b. El radio b delrecubrimiento se escoge usualmente lo suficientemente gran-de tal que el campo de los modos confinados sea virtualmentecero en r = b.

Debido a que el perfil del índice de refracción de la ma-yoría de las fibras es cilíndricamente simétrico, es convenien.te representar la Ec. (6) en el sistema coordenado cilíndrico;ahora las componentes de campo son representadas comoEr, E., E,. Hp' H. YH,. La ecuación de HelmholtZ paralas componentes z de los vectores de campo es entonces

B'E, 1BE, 1 B'E, B'E, 'k'E-Bp' + p Bp + p2 B¡jJ2+ Bz' + no, - O. (7)

(5)

(3 )

(4)

(2)

(1)

(6)

o,

B = I,H,y

BD(r, t)Y' x H(r, t) = Bt '

BH(r,t)Y' x D(r, t) = - Bt '

Y'. B(r,t) = 0,

Y' . D(r, t) = 0,

D =EE

donde las constantes t y Jl (unidades MKS) son la permiti.vidad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio, res-pectivamente. Para un medio óptico 11 = 1. Una condiciónnecesaria para que E y H satisfagan las ecuaciones de !\'1ax-well es que cada una de sus componentes satisfaga la ecua-ción de onda [11]

~'E( ) _ 1 B'E(r, t)v r, t 2 B 'c t

donde la velocidad de la luz en el vaCÍo se define usualmentepor e = 1/ VltoEo. Si aplicamos la transformada de Fouriera E(r, t), la ecuación de onda puede escribirse en el dominiode las frecuencias como

esta ecuación es conocida como la ecuación de Helmholtz,donde kZ = (2rr / .\)' es el número de onda en el vacío y nes el índice de refracción del medio. La importancia de éstaradica en que sus soluciones. en conjunto con las condicionesde frontera, representan los modos electromagnéticos propa-gados en la guía de onda, que en el caso de nuestro estudio esla fibra óptica, que es un medio dispersivo.

En este punto es importante introducir algunas definicio-nes que son básicas para el estudio de la estructura modal dela fibra.

Un sistema lineal es completamente caracterizado por me-dio de entradas especiales que son invariantes al sistema; i.e.•entradas que no son alteradas excepto por una constante mul-tiplicativa al pasar a través del sistema. Estas entradas sonllamadas modos o funciones propias del sistema y las cons-tantes multiplicativas son los valores propios; ellas son losfactores de atenuación o amplificación de los modos (10).

Con base en lo anterior, en el caso de la propagación enfibras ópticas podemos definir un modo óptico como una so-lución específica estable de la ecuación de onda o de Helm-holtz (6) con características propias. que satisface las condi-ciones de frontera adecuadas, que además posee la propiedad

Por simplicidad de escritura, se ha removido la tilde sobrela componente del campo eléctrico y está implícita la depen.dencia tanto de la frecuencia como de los parámetros espacia-les (p, ¡jJ y z) de todas las componentes. La Ec. (7) está es-crita para las componentes axiales Ez del vector de campoeléctrico, se pueden escribir ecuaciones similares para lasotras cinco componentes Ep• Er/J'Hz, Hp• R.p. Sin embargo,no es necesario resolver las seis ecuaciones debido a que sólodos componentes de las seis son independientes. En el casode la propagación de ondas en estructuras cilíndricas usual-mente se resuelve primero para las componentes de cam-po Ez y Hz, posteriormente se expresa Ep• E4J' Hp Y H1J

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388 A. LUIS.RAMOS, H. RAMiREZ DíAZ y E. MARTí.PANAMEÑO

Usando las Ecs. (7) y (8) obtenemos tres ecuaciones di.ferenciales ordinarias:

Las otras cuatro componentes Ep' EcP• Hp Y HcP puedenser expresadas en función de Ez y Hz usando las ecuaciones

en función de ellas. La Ec. (7) es fácilmente resuelta usandoel método de separación de variables escribiendo Ez como

( 17)

( 18)

(19)

(20)

E = _-_¡_{J_(~E + w_' I'_O_H)p W21'E - {J' 01" {J pO</> ' ,

E = -i{J (~E _ WI' ~H )<1 w' ¡tE - {J2 pOq,' {J 01' , ,

H = -i{J (~H _WE ~E )P W'llE - {J' O,.' (J pO</> ' ,

H = _-_,_{J_(_O_H + W_ll~E )o W21lE - {J' 1'Oq,' {J 01' , .

de MaxweII. En la región del núcleo, obtenemos

donde la prima indica la diferenciación con respecto al argu-mento.

La ecuación anterior llamada ecuación característica o re-lación de dispersión, es una función trascendental de f3 pa-ra cada Tn. Para cada índice azimutal m, la ecuación carac-terística tiene soluciones múltiples que producen constantesde propagación discretas f3mn, con Tt = 1,2, ... ; cada una deestas soluciones representa un modo. Los correspondientesvalores de U y lV, los cuales gobiernan la distribución espa-cial en el núcleo y recubrimiento, respectivamente, son de-terminados y denotados como Umn y IVmn- Por lo tanto, unmodo se describe por los índices m y n caracterizando sudistribución azimutal y radial, respectivamente.

2.3. Obtención de modos

En este punto, introducimos los así llamados parámetrosmodales adimensionales, para el núcleo y el recubrimiento Uy lV, respectivamente. Estos están definidos por

U = 1'h Y IV = rq. (21)

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores, en la si-guiente sección presentamos la forma de obtener los valorespara dichos parámetros modales.

Para obtener los modos, hacemos uso de las componentesaxiales de las amplitudes complejas de los campos eléctricoy magnético E:;, Hz, E¡j)' Hq;' Er Y Hr. La condición deque las componentes Ez' Hz, Erj) YHf/J deben ser continuasen la frontera núcleo-recubrimiento, establece una relaciónentre los coeficientes de proporcionalidad de las componen-tes. Esta formulación proporciona un sistema de ecuaciones,el cual nos permite obtener una condición consistente paradeterminar la constante modal de propagación {3; i.e., unaecuación de eigenvalores, a la cual después de aplicarle al-gunos procedimientos algebraicos se expresa de la siguienteforma:

[J' (U) ]{' (IV) ] [n' J' (U) n2](' (IV)]m +TH lm+mm =U J",(U) IV](m(lV) U.Jm(U) IV ](",(IV)

(8)

(13)

( 16)

(14)q' = (J' - k2

h2 = k' - {J',

E,(p, q" z) = F(p)<p(q,)Z(z).

{c.Jm(h1') exp(imq,) exp(i{Jz) : l' < a,

H. =- c7]{m(hr)exp(imq,)cxp(i{Jz): l' > a,

De la misma forma podemos obtener Hz. la cual satisface laEc. (11). De hecho, la solución es la misma, pero con dife-rentes constantes:

Una considerable simplificación ocurre cuando usamoslas condiciones de frontera, la cual dice que un modo guiadodebe ser finito en p = OY tiende a cero en p = oo. Debidoa que Y",(kp) tiene una singularidad en l' = O, F(O) pue-de permanecer finita sólo si C2 = O. Similarmente, F(p) sedesvanece en infinito si C4 = O. La solución general de laEc. (1 1) es entonces de la forma

E - {c,J",(hr)CXP(imq,)CXP(i{JZ): l' < a, (15),- c3]{m(h1') cxp(imq,) cxp(i{Jz) : l' > a.

y

O'zOZ2 + {J' Z = O, (9)

O',~ ,Oq,' + '" ,~= O, (ID)

O., O '--F 1 F 2 22m-0"+--0 +(nko-{J -,)F=O. (11)1'- l' l' l'

donde CI' c2' C3 Y C4 son constantes reales, Jm, Ym, sonfunciones Bessel de primera clase y Km' 1m son funcionesBessel de segunda clase. Los parámetros h y q están defini-dos por

La Ec. (9) tiene una solución de la forma Z = cxp(i{Jz),donde j3 tiene el significado físico de la constante de pro-pagación. Similarmente. la Ec. (lO) tiene una solución de laforma ~ = cxp(irrup); aquí la constante 1/1 es restringida atomar sólo valores enteros puesto que el campo debe ser pe-riódico en 4> con un período de 21r.

La Ec. (11) es la ecuación diferencial de Bessel y sussoluciones son llamadas funciones Bessel de orden m, por loque para el caso de la fibra óptica de índice escalonado la so-lución general en el núcleo y el recubrimiento estará dada por

F(p) = {c,J",(h1') +c,}~,,(h1'): l' < a, (12)c3Jm(qr) + c,Y",(qr): l' > (L,

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CÁLCULO DE LOS MODOS ELECTROMAGNÉTICOS EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE ... 389

2.4. Características de los modos estas dos ecuaciones nos proporcionan dos clases de solucio-nes que son designadas convencionalmente como modos EH

Existen dos clases de soluciones que pueden ser obtenidas y HE, dependiendo de si H:; ó Ez predomina. Estos tiposde la Ec. (22), nótese que es una ecuación cuadrática en de modos son modos híbridos, los cuales para m = O sonJ:n(U)jUJ",(U). y cuando resolvemos para esla relación, análogos al modo Iransversal eléctrico (TE) con E, = Oobtenemos dos diferentes ecuaciones correspondientes a las y al modo transversal magnético (TM) con E:; = O en lasdos raíces de la ecuación. Los valores propios resultantes de guías planares. Podemos obtener las relaciones anteriores rc-

__________ ~I solviendo la Ec. (22) para J;"(U)jU J",(U). entonces

J' (U) (n; + n;) f{' (1\') [(ni - fl~)' (f{:,,(IV»)' m' ({3)' (1 1 )'] '/' (23)UJ:n(U)=- 2"¡- IV/{'",(1V):l: 2,,; + IV f{", (IV) +,,; ko IV'+U' •

usando las relaciones de recurrencia para las funciones deBessel [8]

(24 )

(25)

Iaquí V es un parámetro que juega un papel importante enla determinación de las condiciones de corte, definido pormedio de la relación

(30)

3. Resultados

que son las relaciones para los modos en la fibra óptica deíndice escalonado y donde

R- (,,¡+n~)'[ K:n(1V) ]' (!.!!!!...)'(_1 _1)- 2n; IVf{",(IV) + n,ko IV'+U"

Modos HE:

J",_, (U) __ (";+fl~)K:n(1V) _1 _11 (27)UJ (U) 2n' IVK (IV) + U' 'm 1 m

el cual es llamado frecuencia normalizada o simplemente pa-rámetro V, Yko es el vector de propagación en el vacío. Paraun valor deleflninado de \', la Ec. (26) determina el valorde U para cada modo HE

l1llque puede propagarse. El valor

más pequeño dc U corresponde al modo fundamental HE11referido anteriormente y los valores mayores de U correspon-den a valores más grandes de 11l. Debido a que la Ec. (26) estrascendental, usualmente se resuelve por medio de técnicasnuméricas. En los marcos del presente trabajo, esto se reali-za de manera alternativa haciendo uso de la ayuda computa-cional inicialmente mencionada. Puesto que pretendemos tra-bajar con un ambiente amigable para la solución de nuestroproblema, buscarnos un paquete de fácil acceso que nos pro-porcione un adecuado ambiente para el rápido desarrollo deprogramas usando funcioncs especiales (cilíndricas), opera-ción simbólica que nos permita realizar cambios en nuestrasvariables sin tener que cambiar la estructura básica de nuestroprograma; MAPLE ofrece una buena opción además de quepodcmos tener información detallada de lo que el proceso ocomando empleado esté realizando.

En el programa realizado en MAPLE Ver. 6 (ejecutadobajo sistema operativo Linux en una máquina con procesadordual Pentium 111Xeon a 550 Mhz) para obtener los valoresnuméricos de los parámetros. se introducen las fórmulas devarios de éstos, que son de interés en el análisis de la estruc-tura modal y la propagación de la luz en la fibra, como sonla fracción de potencia en el núcleo n, el parámetro de dis-torsión Di .••y la corrección de polarización y, obviamente, laecuación de eigenvalores (28), con la cual se determinará elvalor númerico de los parámetros modales U y iJ'. Con el ob-jeto de lener un fácil acceso a los parámetros que se manejan,éstos son presentados en la Tabla I. Es importante mencionarque aunque estos parámetros juegan un papel importante den-tro del estudio de la estructura modal y de la propagación dela luz dentro de la fibra, el análisis del comportamiento de losdatos obtenidos están fuera de los objetivos de este trabajo.Los resultados obtenidos se presentan a continuación.

(28)

(29)

(,,;-n~) f{:,,(IV) _1__ R. (26)2n' IVK (IV) +U'1 111

J",+, (U)UJ",(U)

la Ec. (23) es ahora

Modos EH:

Una vez concluido este procedimiento de separación de losmodos estamos listos para obtener los valores numéricos delos diferentes parámetros de interés en el análisis de la estruc-tura modal de la guía de onda.

Dado que la gran mayoría de los sistemas de telecomunica-ciones ópticas están basados en fibras ópticas can perfiles deíndices de refracción escalonados y que además son mono-modales, es decir propagan sólo el modo fundamental HEII•hemos escogido éstos para ejemplificar la eficacia de nuestrotrabajo. Este modo se obtiene a partir de la Ec. (22) hacien-do m = O, que luego de realizar algunas simplificacionesalgebraicas toma la forma

U J¡{U) = IV /(, (IV)Jo(U) /(0(11')'

donde U y 1J' están relacionados por

¡r' = IV' + U',

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TABI.A 1. Parámetros úlilizudos para la obtención de U, lV por medio de la ecuación de valores propios, así como la l'Orrccci6n de polari-zación. fracción de potencia en el nuclco. derivada del parámetro modal. parámetro de di~(orsión y parámetro de corte lOmados de Ref. 8.

ECU¡lCión de valores propios

Corn:cción de polarización

Fracrión de potencia en el núcleo

Derivada del parámetro modal

Parámetro de distorsión

Parámetro de corle

(/n(U) K;"(lV) ) (nIJ:,,(U) 1I;'..K:"(1V)) ,[( 1)' (1)']'(f3)'

UJ",(U) + 11' K", (11") UJ",(U) + 11' K", (11') =111 IV + U ko

UlV K¡(lV)JU = 6V Ko(ll')

U[lV' KI(lV)]'/ = V Ti'+ KJ(lV)

dU U [ KI(lV)]di"' = V I - KJ(lV)

U2H" [U .1 U2 - U:2 3 Uf2 - U2 1. 3(1 ]D=2~a'i"V'2a+ lF3 0+ Uf2 0+211"-1

v2 = IV2 + U2

TABLA Ir. Resuhados obtenidos por Snydcr 18]. para los paráme- TAIiI.A (Ir. Resultados obtenidos porSnydcr (8], parala correcciónIros modales Ü. W y la derivada del parámetromodal Ü dU. defi- de polarización d. fracción de potencia en el núcleo ;¡. parámetronidos en la Tabla 1.Las columnas marcadas con (-) representan los de di~torsión Dis. definido en la Tabla 1. Las columnas marcadasrcsullados obtenidos con nucstra técnica. con. representan los resullados obtenidos con nuestra técnica.

\' U U" IV lV. dU dUo \ " '/ 17- Dis Di."- d d"

4.00 1.907 1.9069 3.516 3.5163 0.370 03695 .1.00 0.949 0.9494 -0.0123 -00123 0.106 0.1063.9[) 1.902 1.9015 3.462 3.4622 0.372 0.3713 3.95 0.9.18 0.9477 -0.0122 -0.0122 0.108 0.1083.90 1.896 1.8961 3.408 3.4081 0.374 0.3732 3.90 0.946 0.9460 -0.0120 -0.0120 0.110 0.1103.85 1.890 1.8905 3.354 3.35.10 0.376 0.3751 3.8,) 0.9.14 0.9443 -0.0119 -0.0119 0.113 0.1133.80 1.885 1.8847 3.300 32997 0.378 0.3767 3.80 0.9.13 0.9424 -0.0117 -00117 0.116 0.116370 1.873 1.8728 3.191 3.1911 0.380 0.3805 3.70 0939 0.9385 -0.0112 -0.0112 0.122 0.1213.60 1.860 1.8604 3.082 3.0820 0.384 0.38.10 3.60 0.934 0.9341 -0.0106 -0.0105 0.127 0.127350 1.847 1.8473 2.973 2.9728 0.388 0.3873 3.[)0 0.929 0.9293 -0.0097 -0.0096 0.134 0.1343.-10 1.834 1.8336 3.863 2.8632 0.390 0.3905 3.40 0.924 0.9242 0.0085 -0.0084 0.141 0.1403.30 1.819 1.8192 2.753 2.7533 0.394 0.3934 3.30 0.918 0.9184 0.0070 -0.0069 0.148 0.147

3.10 1.788 1.7880 3.532 2.5324 0.398 0.3983 3.10 0.905 0.9050 0.0027 -0.0027 0.165 0.1642.90 1.753 1.7532 2.310 2.3100 0.402 0.4015 2.90 0.889 0.8885 0.0039 00039 0.184 0.1842.70 1.714 1.7140 2.086 2.0862 0.402 0.4022 2.70 0.868 0.8680 0.0142 0.01.\1 0.208 0.2072.50 1.670 1.6697 1.860 1.8607 0.400 0.3996 2.50 0.842 0.8422 0.0300 0.0298 0.236 0.2362.30 1.619 1.6191 1.634 1.6336 0.392 0.3921 2.30 0.809 0.8093 0.0539 0.0538 0271 0.2702.00 1.528 1.5282 1.290 1.2902 0368 0.3675 2.00 0.741 0.7407 0.1160 0.1155 0.339 0.3391.75 l.434 l.4340 1.003 1.0030 0.328 0.3287 1.75 0.658 0.6575 0.2070 0.2065 0.418 0.4171.50 1.317 1.3168 0.718 0.7181 0.266 0.2665 1.50 0.632 0.5392 0.3540 0.3543 0.525 0.5241.25 1.168 1.1684 0..145 0.4441 0.1776 0.1769 1.25 0.539 0.3742 0.5580 0.5593 0669 0.6691.05 1.021 1.0207 0.22,) 0.2.163 0.0924 0.0931 1.05 0.375 02126 0.6780 06768 0811 0.809

Unu de las primerus cuestiones a responder es lo relativo a d~corte F. rura ilustrar lu precisión de nuestra técnica. losla precisión de los valores de los parámetros modales obteni- resultados se muestran hasta en cuatro cifras significativas.dos de la ecuación de eigenvalorcs por medio de computación Hay que notar la extremadamcnte alta precisión de nuestrossimbólica y otros previamcnte obtenidos. La Tabla 1I presenta resultados tanto para los coeficicntes de propagación U, n.',la comparación entre los resultados obtenidos por Snyder [8} así como para la derivada de U. De la misma manera. la Ta-para los coeficientes de propagación normalizados U, H' Y la bla 111prescnta la comparación para la fracción de potenciaderivada de U. definidos en la Tabla 1, variando el parámetro en el núcleo fl. el parámetro de distorsión Di", y la corrección

Re¡: Mex. Fís. 47 (4) (2001) 386-391

CÁLCULO DE LOS MODOS ELEcrRO~lAGNÉTICOS EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE ... 391

FIGURA 2. Valores numéncos de las eCU:lClOncs de valores propiosde la Tabla 1de los seis primeros modos de la fibra óptica de índiceescalonado, pam el parámetro modal U. ('on valores dClcrminadm.de los índices de refracción 1lw = 2.5 del núcleo y llcl = 1.5 deln.'l:uhrimicnlo.

de polarización d. Entre los resultados obtenidos por Snydery por nosotros se observa también una gran precisión para losvalores de la fracción de potencia en el núcleo; la aproxima-ción de Snydcr coincide con lo proporcionado por la compu-tación simbólica. Para el parámetro de distorsión observamosuna diferencia de a lo sumo ::i::: 0.1 unidades, la misma dife-rencia con respecto a la corrección de polarización.

Una cuestión importante en el estudio de los modos elec-tomagnéticos es lo referente a la frecuencia de corte, esto es,una frecuencia para la cual por debajo de ella sólo existe unmodo de propagación (lIE11 l, eslo lo podemos observarela-ramente en la gráfica presentada en la Fig. 2, obtenida por

u

8

6

4

1'klo-2.SOd-l.5

4v 6 6 10

HE 11

medio de nuestro programa. En ésta se encuentran grafica-dos los valores numéricos obtenidos de los parámetros de laTabla 1, para los modos TEOl, TAfo I, TE02' TAf02' l/ElI,JIE12 , para valores determinados de los índices de refracción1leo = 2.5 del núcleo y Hel = 1.5 del recubrimiento. Aquípodemos observar como para valores de 'V menores a apro-ximadamente 2.405. sólo puede propagarse el modo HElI.

4. Conclusiones

Se presentó una forma alternativa de dar solución a las ecua-ciones de eigenvalorcs, así como diferentes parámetros útilesen el análisis modal de una fibra óptica de índice escalonadocon la ayuda de soporte computacional simbólico sin utilizartécnicas numéricas. lo cual representa una ventaja en los pro-cesos tanto de diseño como de enseñanza-aprendizaje en elcampo de la fotónica.

Es evidente que la simplificación del trabajo que se lo-gra empleando el paquete computacional es muy importante.además que nos permite manipular los valores de los pará-metros de las fibras, para así determinar cuales son los óp-timos, ante distintas exigencias. Debemos resaltar la impor-tancia de este trabajo dada la potencialidad que tiene cuandotratamos de encontrar los modos para perfiles de índices derefracción mucho más complejos.

El desarrollo de la tecnología de fibras. en su geometría ycaracterísticas físicas, aún está en su etapa intermedia. cadadía se presentan nuevos diseños de fibras que mejoran las ca-racterísticas de propagación así C0l110 de aplicación en los sis-temas de generación y procesamiento de señales ópticas. Poresto es importante la instrumentación de métodos teóricos deestudio empIcando recursos actuales.

Agradecimientos

Los autores agradecen a L.e. Gómez-Pavón y R. Pa.ada.Alfonso por la lectura y sus valiosos comentarios en la re-visión final del manuscrito.

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