LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN …

LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN

DOMINANTE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO

Lady Estefania Murcia Lozano

Universidad Nacional De Colombia

Facultad De Ciencias

Departamento De Matemáticas

Bogotá D.C., Colombia

2018

LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN

DOMINANTE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO

Lady Estefania Murcia Lozano

Trabajo de Grado presentado para optar al título de Magíster en Ciencias Matemáticas

Director

Juan Carlos Hernández Rincón

Doctor en Matemáticas

Universidad Nacional De Colombia

Facultad De Ciencias

Departamento De Matemáticas

Bogotá D.C., Colombia

2018

Resumen: En este trabajo se presenta en detalle algunos resultados del artículo CONSERVATION

LAWS III:relaxation limit (ver [17]), en relación al estudio del límite singular de relajación rígida y

difusión dominante para el problema de Cauchy de un sistema de Flujo Cuadrático. Se realizaron

algunas modicaciones respecto al artículo, particularmente en el estudio de la región invariante,

ya que no usamos el principio del máximo para establecer dicha región. Además se comprueba en

detalle la última observación del artículo, la cual se reere a la inclusión de una función α(v, u)

Lipchitz continua positiva en el término de relajación del sistema, vericando la adecuada inclusión

de este término mediante la demostración de los resultados del artículo bajo esta nueva condición.

Palabras Claves: Sistema de Flujo Cuadrático, Región Invariante, Límite de Relajación, Difusión

Dominante.

Abstract: In this work, it has been presented in detail some results of the article CONSERVA-

TION LAWS III: relaxation limit (see [17]), in relation to the study of the singular limits of sti

relaxation and dominant diusion for the Cauchy problem of the System of Quadratic Flux. Some

modications were made from the article, particularly in the study of the invariant region, beacuse

we didn't use the maximum principle to construct this region. In addition, the last observation of

the article is developed in detail, which refers to the inclusion of a positive α(v, u) Lipchitz function

in the term of relaxation of the system, verifying the adequate inclusion of this term through the

demonstration of the results of the article under this new condition.

Key Words: System of Quadratic Flux, Invariant Region, Relaxation Limit, Dominant Diusion.

Nota de Aceptación 4

Bogotá, 2018

Nota de aceptación

Firma

Nombre:

Jurado

Firma

Juan Carlos Hernández Rincón

Director

Índice general

1. INTRODUCCIÓN 3

2. PRELIMINARES 7

2.1. Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Problema de Cauchy de un sistema de leyes de conservación con relajación y difusión 8

2.2.1. Regiones Invariantes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Compacidad Compensada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN DOMINAN-

TE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO 13

3.1. Acotación a priori de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Estudio de los pares de entropía-ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Convergencia débil de la solución viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. COMENTARIOS FINALES 37

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

Introducción 2

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales

Ut + F (U)x +1

τR(U) = 0 , (1.0.1)

donde U = U(x, t) es un N−vector de cantidades físicas, F (U) es el vector ujo y R(U) es un

término de relajación que representa la fuerza que impulsa el sistema perturbado hacia el estado

de equilibrio. τ , el cual es pequeño en muchas aplicaciones, es el tiempo de relajación y puede verse

como un tiempo escala característico en el proceso de relajación. Un sistema de la forma (1.0.1) es

un sistema de leyes de balance con relajación.

Los sistemas de relajación (1.0.1) surgen en el modelamiento físico de diferentes fenómenos como la

teoría de combustión [21,22,26], cromatografía [33,39], viscoelasticidad [5,29], teoría cinética [24],

ujo en ríos [12,39] y ujo de tráco [19,20,32,35,39].

El correspondiente sistema disipativo asociado a (1.0.1)

Ut + F (U)x +1

τR(U) = εUxx , (1.0.2)

donde ε es el coeciente de difusión o parámetro articial de viscosidad. El comportamiento de

las soluciones U τ,ε(x, t) del sistema (1.0.2) cuando el tiempo de relajación τ y el coeciente de

viscosidad ε tienden a 0 es un hecho interesante tanto en física como en matemáticas, este tipo de

límite singular ha sido estudiado por ejemplo en [6, 13,23].

El fenómeno de relajación se presenta en muchas situaciones físicas, la primera aproximación a este

tipo de problemas fue hecha por Whitham en su libro Linear and Nonlinear Waves [39], quien in-

troduce la llamada condición subcaracterística en el caso lineal, condición validada posteriormente

para sistemas no lineales 2× 2 por Tai-Ping Liu en [18].

En 1993, con [6], Chen y Liu despertaron el interés sobre el problema del límite de relajación

y disipación cero para sistemas de leyes de conservación con relajación y disipación, es decir, el

3

Introducción 4

estudio cuando el tiempo de relajación y la viscosidad tienden a cero. En su artículo, Chen y Liu

consideran los modelos viscosos de elasticidad y de transición de fase y estudian su límite de re-

lajación y disipación, para este n aplican el método de la región invariante [7] y la teoría de la

compacidad compensada, originalmente introducida en [28,38].

Los dos autores de [6] junto con David Levermore publicaron el artículo [5] en 1994, cuya principal

contribución es el desarrollo de resultados para tratar con n×n sistemas hiperbólicos con relajación.

En [16] Shi Jin y Zhouping Xin proponen una nueva clase de esquema numérico para una elección

especíca del sistema de relajación, el cual es dado porut + vx = 0

vt + aux = 1τ

(v∗(u)− v

), (a, τ > 0) .

(1.0.3)

En [29], Roberto Natalini mostró que el modelo de relajación (1.0.3) bajo la condición subcaracte-

rística

−√a < v′∗(u) <

√a ,

goza de una serie de propiedades.

Para las soluciones viscosas del sistema del gas dinámico isentrópico en coordenadas Eulerianas

con término de relajación ρt +mx = ερxx

mt +(m2

ρ + p(ρ))x

+ m−h(ρ)τ = εmxx ,

(1.0.4)

con valor inicial acotado (ρ(x, 0),m(x, 0)

)=(ρ0(x) + ε,m0(x)

), (1.0.5)

Lattanzio y Marcati [27] obtienen una estimativa a priori en L∞ para h(ρ) = cρ(1 − ρ), c > 0

y consideran el límite cuando el término de relajación τ → 0. Lu [23] obtiene la convergencia

de las soluciones del problema de Cauchy (1.0.4)-(1.0.5) para casos más generales que el conside-

rado en [27] cuando el término de relajación τ tiende a cero más rápido que el parámetro de difusión.

El estudio cuando τ → 0 para el modelo extendido de ujo de trácoρt + (ρu)x = 0

ut +(u2

2 + g(ρ))x

+ u−h(ρ)τ = 0 ,

(1.0.6)

fue iniciado por Schochet [35]. Esta clase de modelo fue introducido en [39] con el n de estudiar

el ujo de tráco de vehículos.

En [23] se estudia el límite singular de relajación rígida y difusión dominante, esto es, τ = o(ε)

cuando ε→ 0 para el problema de Cauchy de un sistema 2× 2 de leyes de balance con relajación

Introducción 5

y difusión: vt + f(v, u)x = εvxx

ut + g(v, u)x + 1τ α(v, u)

(u− h(v)

)= εuxx ,

(1.0.7)

con valor inicial acotado y medible(v(x, 0), u(x, 0)

)=(v0(x), u0(x)

), (1.0.8)

donde τ es el término de relajación, α(v, u) > 0 y ε es el coeciente de difusión. En [23] se

establece que si τ = o(ε) cuando ε → 0 y existe una cota a priori en L∞ para las soluciones(vε, uε

)≡(vε,τ(ε), uε,τ(ε)

)del problema (1.0.7)-(1.0.8) entonces existe una subsucesión

(vεk , uεk

)convergente a la solución de estado de equilibrio del sistema, mostrando la aplicación de este resul-

tado al sistema de elasticidad, al sistema del gas dinámico isentrópico en coordenadas Eulerianas

y al modelo extendido de ujo de tráco. También se considera el límite de relajación rígida y

difusión dominante sin el uso de una estimativa a priori en L∞ para los problemas de Cauchy del

sistema de uído dinámico en coordenadas Lagrangianas y el modelo de ujo de tráco.

El límite de relajación rígida y difusión dominante para el problema de Cauchy de las ecuaciones

no homogéneas del sistema de elasticidad con relajación y difusiónvt − ux + g(v, u) = εvxx

ut − s(v)x + f(v, u)u−h(v)τ = εuxx ,

(1.0.9)

con valor inicial acotado (v(x, 0), u(x, 0)

)=(v0(x), u0(x)

), (1.0.10)

es estudiado en [25] usando el esquema dado en [23] o [24].

Teniendo ya referencias sobre el estudio de estos Sistemas de Cauchy con relajación y difusión

dominante, seguiremos el esquema dado en [17]. Se estudiará el límite singular de relajación rígida

y difusión dominante para el problema de Cauchy con relajación y difusión, asociado al sistema de

ujo cuadrático (1.0.11) y (1.0.12):

vt + (uv)x = εvxx

ut + 12

(3u2 + v2

)x

+ 1τ α(v, u)

(u− h(v)

)= εuxx ,

(1.0.11)


)=(v0(x), u0(x)

), (1.0.12)

donde α(v, u) es positiva y Lipchitz continua.

En la primera parte, mediante algunos lemas se muestra la región invariante que existe para las

soluciones viscosas, dando estimaciones a priori de las mismas. Seguido de la acotación sobre

Introducción 6

compactos para las derivadas de las soluciones viscosas y el término de relajación α(v, u)u− h(v)

τ.

En la siguiente subsección, utilizamos esto para aplicar el lema de Murat a la expresión η(v)t+q(v)xque involucra al par de entoropía (η, q) con η de clase C2 y obtener en la siguiente sección un

estudio más detallado que involucra cierto par de entropía-ujo. Siguiendo esto, en la tercera

parte, utilizamos el lema del Divergente Rotacional para demostrar la convergencia fuerte de las

soluciones viscosas, nalizando con la demostración de que v es además solución entrópica en el

sentido de Lax del problema de Cauchy

vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x).

Para el problema de Cauchy (1.0.11), (1.0.12), el límite de relajación rígida y difusión dominante

es tratado en [17] cuando α(v, u) = 1.

Capítulo 2

PRELIMINARES

2.1. Análisis Funcional

Las siguientes deniciones y resultados se tomaron principalmente de [37]. Además, se utilizan

algunos resultados sobre espacios Lp que no fueron citados, los cuales pueden revisarse en la teoría

general sobre estos espacios en Brezis [1].

Denición 1 (Pré-compacto). Sea X un espacio métrico. Un subconjuntoM se dice pré-compacto

o totalmente acotado si para todo ε > 0, existe un subconjunto nito J de M tal que

M ⊂⋃α∈J

B(a, ε).

Teorema 2.1.1. Sea A un subconjunto de un espacio métrico X. Entonces los siguientes enuncia-

dos son equivalentes:

a.) A es compacto.

b.) A es completo y pré-compacto.

Demostración:

La demostración de este resultado puede verse en [37, pág 28].

Denición 2 (Convergencia Débil-Estrella (Débil*)). Sea E un espacio normado y un una

sucesión en el espacio dual E′. La sucesión un se dice convergente débil-estrella al límite débil

estrella v ∈ E′ si para todo x ∈ E, se tiene un(x)→ v(x).

Para los espacios Lp, se tomará en cuenta la denición que da Smoller en [36, pág 570]. Si fn es

una sucesión en Lp(Ω), y 1 < p < ∞, entonces fn converge débilmente a f , si

∫Ωfmφ →

∫Ωfφ,

para todo φ ∈ Lp′(Ω), con 1/p+ 1/p′ = 1. Para p =∞, se toma φ ∈ L1.

El siguiente teorema es una importante consecuencia del teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki.

Puede revisarse este resultado en [34, pág 7], sin embargo se presenta un esbozo de la demostración.

Teorema 2.1.2. En un espacio de Banach X∗ con predual X separable, toda sucesión acotada

contiene una subsucesión convergente débil*.

7

Preliminares 8

Demostración:

Consideremos los siguientes hechos:

1. Banach-Alaoglu-Bourbaki: la bola unitaria BX∗ es débil* compacta para todo espacio nor-

mado X.

2. Si X es un espacio separable, la bola unitaria BX∗ es débil* metrizable.

En efecto, si (xn)∞n=0 es una sucesión acotada en X∗, entonces existe M > 0 tal que la sucesión

(xn/M)∞n=0 está en BX∗ . Por la compacidad y metrización de BX∗ con respecto a la topología

débil*, se tiene la compacidad secuencial. Esto es, existe una subsucesión (xnk/M)∞k=0 tal que

xnk/M → x débil*, para algún x ∈ BX∗ . Luego xnk

→Mx.

2.2. Problema de Cauchy de un sistema de leyes de conservación

con relajación y difusión

Considerando la ecuación

Ut + F (U)x +1

τR(U) = εUxx , (2.2.1)

y su sistema asociado, discriminando la relajación y disipación, se obtiene

Ut + dF (U)Ux = 0, (2.2.2)

donde dF (U) es la Matriz Jacobiana de F . Se tienen las siguientes deniciones.

Denición 3 (Sistema Hiperbólico y Estrictamente Hiperbólico). Decimos que el sistema (2.2.2)

es Hiperbólico si dF tiene dos autovalores reales λ1 y λ2. Se dice Estrictamente Hiperbólico si λ1

y λ2 son distintos, es decir λ1 < λ2. Si λ1 y λ2 coinciden en algunos puntos del dominio, el sistema

es llamado Hiperbólicamente Degenerado.

La demostración del siguiente teorema se puede encontrar en el artículo [40].

Teorema 2.2.1 (Existencia de las soluciones viscosas). Consideremos el siguiente problema de

Cauchy para el sistema parabólico:ut

1 + f1

(u1, u2, . . . , un

)x

+ g1(u1, u2, . . . , un) = εu1xx

...

utn + fn

(u1, u2, . . . , un

)x

+ gn(u1, u2, . . . , un) = εunxx

(2.2.3)

con dato inicial

u1(x, 0) = u01(x), . . . , un(x, 0) = u0

n(x), (2.2.4)

acotado y medible: ∣∣u01(x)

∣∣ ≤M, . . . , |u0n(x)| ≤M.

Preliminares 9

i) Suponga que fi ∈ C1(Rn) y gi son funciones localmente Lipchitz, para i = 1, 2, . . . , n. Entonces

el problema de Cauchy (2.2.3)-(2.2.4) tiene una única solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)

)∈ C∞ (R× (0, τ0)) para τ0 > 0 el cual depende únicamente de la

norma en L∞ del dato inicial, y∣∣u1ε(x, t)∣∣ ≤ 2M, . . . , |unε(x, t)| ≤ 2M, ∀(x, t) ∈ R× [0, τ0) .

ii) Más aún, si la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)

)tiene una estimativa a priori∣∣u1ε(x, t)

∣∣ ≤M(T ), . . . , |unε(x, t)| ≤M(T ), ∀t ∈ [0, T ] ,

entonces la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)

)existe en R× [0, T ].

Particularmente, si existe N > 0 tal que∥∥u1ε(x, t)∥∥L∞(R×[0,+∞])

≤ N, . . . , ‖unε(x, t)‖L∞(R×[0,+∞]) ≤ N

entonces la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)

)∈ C∞(R× (0,+∞)).

Denición 4 (Invariantes de Riemann). Las funciones W = W (u, v), Z = Z(u, v) son llama-

das Invariantes de Riemann del sistema (2.2.2) correspondiente a λ1 y λ2, si ellas satisfacen las

ecuaciones

∇W · rλ1 = 0 , ∇Z · rλ2 = 0.

Donde rλ1 y rλ2 , denotan los autovectores derechos.

Denición 5 (Par de entropía). Un par de funciones (η(u), q(u)) es llamado un par de

entropía-ujo del sistema (2.2.2), si (η(u), q(u)) satisfacen

∇q(u) = ∇η(u)∇f(u).

Denición 6 (Solución entrópica en sentido de Lax). Sean (η(u), q(u)) el par de funciones de clase

C2 que satisface q′ = η′f ′, η′′ ≥ 0, y φ ∈ C∞0 (R×R+) una función positiva, v es solución entrópica

en el sentido de Lax, si ∫∫R×R+

η(v)φt + q(u)φxdxdt ≥ 0.

2.2.1. Regiones Invariantes Positivas

El estudio de las regiones invariantes es muy importante, en el sentido que permite resultados sobre

el comportamiento de las soluciones en tiempos largos. Estos resultados fueron tomados del texto

de Smoller en [36].

Consideremos el sistema con valor inicial;

∂ϑ

∂t= εDϑxx +Mϑx + f(ϑ, t) (x, t) ∈ Ω× R+, (2.2.5)

ϑ(x, 0) = ϑ0(x), x ∈ Ω.

Preliminares 10

Aquí, ε > 0, Ω es un intervalo abierto en R, D = D(ϑ, x) y M = M(ϑ, x), son funciones de valor

matricial denidas en un subconjunto abierto U × V ⊂ Rn × Ω, D ≥ 0, ϑ = (ϑ1, ϑ2, ..., ϑn) y si f

es una función suave de U × R+ en Rn.

Denición 7. (Región Invariante) Un subconjunto cerrado Σ ⊂ Rn es llamado una Región Positiva

Invariante para la solución local denida por (2.2.5), si cualquier solución ϑ(x, t) teniendo todos

su valores frontera e iniciales en Σ, satisface ϑ(x, t) ∈ Σ para todo x ∈ Ω y para todo t ∈ [0, δ).

Estas regiones pueden ser descritas en términos de una colección nita G1, G2, ..., Gn de funciones

suaves denidas en U , como se sigue:

Σ =n⋂i=1

ϑ ∈ V : Gi(ϑ) ≤ 0, i = 1, ..., n . (2.2.6)

Denición 8. (Función Quasi-Convexa) La función suave G : Rn −→ R es llamada Quasi-Convexa

en ϑ si siempre que dGϑ(η) = 0, entonces d2Gϑ(η, η) ≥ 0.

A continuación, el principal resultado de esta sección, que permitirá determinar que condiciones

sobre las funciones Gi son necesarias, para establecer la región invariante.

Teorema 2.2.2. [Región Invariante] Sea Σ, como se dene en (2.2.6), y suponga que para todo

t ∈ R+ y para todo ϑ ∈ ∂Σ, las siguientes condiciones se tienen:

1. dGi en ϑ es un autovalor izquierdo de D(ϑ, x) y M(ϑ, x), para todo x ∈ Ω.

2. Gi es quasi-convexo en ϑ.

3. dGi(f) < 0 en ϑ, para todo t ∈ R+.

Entonces Σ es invariante para el sistema (2.2.5), y todo ε > 0.

2.3. Compacidad Compensada

En esta sección se presentan algunos resultados sobre compacidad compensada, tomados del texto

de Hermano Frid [30].

Lema 1 (Murat). Si fk∞k=1 una sucesión acotada en W−1,rloc (Ω) para alguna r, con 2 < r ≤ ∞,

tal que fk = gk +hk (k = 1, 2, ...) donde gk es una sucesión pre-compacta en Wloc−1,2(Ω), y hk

es una sucesión acotada en M(Ω) (espacio de medidas de Radón) entonces fk es pre-compacta

en Wloc−1,2(Ω).

Preliminares 11

Demostración:

Se puede ver la demostración en [30, pág 33].

Como ya se mencionó, el siguiente resultado debido a Tartar y Murat constituye el núcleo de la

teoría de la compacidad compensada y será de especial utilidad para demostrar la convergencia

de las soluciones asociadas al sistema con relajación rígida y difusión dominante. Su demostración

puede verse en [30, pág 21].

Teorema 2.3.1 (Divergente Rotacional). Sean Ω ⊂ Rn abierto y acotado y las sucesiones vεε,wεε acotadas en L2(Ω;Rn) tales que;

i.) div vε es pré-compacto en W−1,2(Ω)

ii.) rot wε es pré-compacto en W−1,2(Ω;Mn×n),

donde Mn×n es el espacio de las matrices n× n y denotamos

(rot)ij =∂

∂xjwi − ∂

∂xiwj ,

1 ≤ i, j ≤ n.Supongamos además que vε v y wε w en L2(Ω;Rn).

Entonces

vε · wε v · w

en el sentido de las distribuciones.

Preliminares 12

Capítulo 3

LÍMITE SINGULAR DERELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓNDOMINANTE PARA EL SISTEMA DEFLUJO CUADRÁTICO

Dado el sistema de Flujo Cuadrático con relajación rígida y difusión dominantevt + (uv)x = εvxx,

ut + 12

(3u2 + v2

)x

+ 1τ α(v, u)

(u− h(v)

)= εuxx

(3.0.1)


)=(v0(x), u0(x)

). (3.0.2)

En aplicación del Teorema 2.2.1, sabemos que las soluciones existen localmente en el tiempo. Ade-

más, si encontraramos estimativas a priori para estas soluciones, podremos extenderlas globalmente,

siendo este el propósito de la siguiente sección.

Observación 1 (Notación de las soluciones del sistema). Para mayor precisión, u y v, en el sistema

anterior, debiesen ser reemplazadas por uε y vε. Sin embargo, se utilizarán u y v, para indicar estas

soluciones en tanto no hayan confusiones.

3.1. Acotación a priori de las soluciones

Para demostrar el siguiente Lema sobre la acotación de las soluciones, debemos establecer primero

los Invariantes de Riemann. Ciertas curvas de nivel de estas funciones nos ayudaran a delimitar la

región de acotación.

Escribimos el sistema hiperbólico asociado:

13

Acotación a priori de las soluciones 14

vt + (uv)x = 0.

ut + 12

(3u2 + v2

)x

= 0(3.1.1)

de la forma

Ut + dF (U)Ux = 0,

donde U =

(v

u

)y F (U) =

(uv

12

(3u2 + v2

)).La matriz Jacobiana asociada a F (U) está dada por

dF (U) =

(u v

v 3u

)cuyos autovalores son

λ1 = 2u+ s1/2 y λ2 = 2u− s1/2,

con s = u2 + v2, y autovectores respectivos

r1 =

(s1/2 − u−v

)y r2 =

(s1/2 + u

v

).

A este sistema hiperbólico, se calculan los Invariantes de Riemann asociados a los autovalores, es

decir, las funciones W (v, u) y Z(v, u) que satisfacen,

Wu(s1/2 − u)−Wvv = 0

Zu(s1/2 + u) + Zvv = 0.

Solucionando el sistema, se obtiene

W (u, v) = s1/2 + u

Z(u, v) = s1/2 − u.

Lema 2. (Acotación de las soluciones uε y vε) Sea h(v) ∈ C(R). Si N y L son constantes positivas,

tal que la curva u = h(v) y los datos iniciales (v0(x), u0(x)) están dentro de la región

Σ = (v, u) : W (v, u) ≤ N ∩ (v, u) : Z(v, u) ≥ −L

y u = h(v) pasa por las dos intersecciones (v1, u1) y (v2, u2) de las curvas W (v, u) = N y

Z(v, u) = −L, entonces las soluciones (ϑε) =(vε,τ(ε), uε,τ(ε)

)del problema de Cauchy (3.0.1)-

(3.0.2) satisfacen

|uε(x, t)| ≤M, |vε(x, t)| ≤M, (x, t) ∈ R× R+,

donde M es independiente de ε.


Demostración:

Tomando los invariantes de Riemann del sistema, se obtienen las siguientes expresiones

Wu = 1 +u√s, Wv =

v√s, Wuu =

v2

s32

, Wuv = −uvs

32

, Wvv =u2

s32

;

Zu = 1− u√s, Zv = − v√

s, Zuu = − v

2

s32

, Zuv =uv

s32

, Zvv = −u2

s32

.

Consideremos las curvas W (v, u) = u+ s1/2 = N , donde N > 0, esto es

u =N

2− v2

2N,

en este sentido, estamos hablando de parábolas que abren hacia abajo con vértice en

(0,N

2

).

Similarmente las curvas Z(v, u) = u− s1/2 = −L, donde L > 0, esto es

u =v2

2L− L

2,

en este sentido, estamos hablando de parábolas que abren hacia arriba con vértice en

(0,−L

2

).

Ya que el dato inicial ϑo(x) = (v0(x), u0(x)) es acotado y h(v) ∈ C(R), escogemos las constantes

N y L, de tal manera que ϑo y u = h(v), esten en la región Σ, dada por:

Σ = (v, u) : W (v, u) ≤ N ∩ (v, u) : Z(v, u) ≥ −L

= (v, u) : W (v, u)−N ≤ 0 ∩ (v, u) : −Z(v, u)− L ≤ 0 .

Si la curva u = h(v) pasa los dos puntos de intersección (v1, u1), (v2, u2) de las curvas

W = N,Z = −L y está por encima de la curva Z = −L y debajo de la curva W = N cuan-

do v1 ≤ v ≤ v2, como se muestra en la gura 3.1:


Figura 3.1: Región Invariante Σ.

Veamos que en efecto, Σ es una región invariante en aplicación del Teorema 2.2.2, tomando

ϑ = (v, u), D =

(1 0

0 1

), M =

(−u −v−v −3u

)y f =

(0

−α(v, u)(u−h(v)

τ

))En términos del teorema, tenemos las funciones suaves:

G1(v, u) = W (v, u)−N G2(v, u) = −Z(u, v)− L.

Con primeras y segundas derivadas como sigue:

dG1(v, u) = Wv(v, u)ı+Wu(v, u) =v√sı+

(1 +

u√s

)

dG2(v, u) = −Zv(v, u)ı− Zu(v, u) =v√sı+

(u√s− 1

),

d2G1 =

∂2

∂v2G1

∂2

∂v∂uG1

∂2

∂u∂vG1∂2

∂u2G1

=

Wvv(v, u) Wvu(v, u)

Wuv(v, u) Wuu(v, u)

=

u2

s3/2− uvs3/2

− uvs3/2

v2

s3/2

d2G2 =

∂2

∂v2G2

∂2

∂v∂uG2

∂2

∂u∂vG2∂2

∂u2G2

=

−Zvv(v, u) −Zvu(v, u)

−Zuv(v, u) −Zuu(v, u)

=

u2

s3/2− uvs3/2

− uvs3/2

v2

s3/2

Veamos que en efecto verican las hipótesis, para todo t ∈ R+ y ϑ = (v, u) ∈ ∂Σ.


1. dG1 y dG2 en ϑ, son vectores propios a izquierda de D(ϑ, x) y M(ϑ, x).

Dado que D((v, u), x) =

(1 0

0 1

), trivialmente dG1 y dG2 son autovectores propios.

Solucionando la ecuación Det (M − µI) = 0, para µ se obtienen los siguientes valores propios:

µ1 = −2u−√s, µ2 = −2u+

√s.

Para abreviar la notación, denimos s = u2 + v2.

dG1(v, u) es autovector izquierdo de M((v, u), x) =

(−u −v−v −3u

).

dG1(v, u)M((v, u), x) =(Wv(v, u) Wu(v, u)

)(−u −v−v −3u

)

=(v√s

1 + u√s

)(−u −v−v −3u

)

=([−u(v√s

)+(

1 + u√s

)(−v)

] [−v(v√s

)+(

1 + u√s

)(−3u)

])

=([− uv√

s− v − vu√

s

] [(− v2√

s

)− 3u− 3u2√

s

])

=([−2uv√

s− v] [

−√s− 3u− 2u2√

s

])

=([−2uv√

s− v] [(

−2u−√s)

+ 2u2√s− u])

=([(−2u−

√s)

v√s

] [(−2u−

√s) (

1 + u√s

)])

=(−2u−

√s)(

v√s

1 + u√s

)= µ1 (dG1)

dG2(v, u) es autovector izquierdo de M((v, u), x) =

(−u −v−v −3u

).


dG2(v, u)M((v, u), x) =(−Zv(v, u) −Zu(v, u)

)(−u −v−v −3u

)

=(v√s

u√s− 1)(−u −v−v −3u

)

=([−u(v√s

)+(u√s− 1)

(−v)] [

−v(v√s

)+(u√s− 1)

(−3u)])

=([− uv√

s+ v − vu√

s

] [−(v2√s

)+ 3u− 3u2√

s

])

=([−2uv√

s+ v] [

−√s+ 3u− 2u2√

s

])

=([−2uv√

s+ v] [

−(−2u+

√s)− 2u2√

s+ u])

=([(−2u+

√s) (

v√s

)] [(−2u+

√s) (

u√s− 1)])

=(−2u+

√s)(

v√s

u√s− 1)

= µ2 (dG2) .

G1 y G2 son cuasi-convexas en ϑ. Según la Denición 8, tomamos η = (η1, η2).

Caso G1: La conclusión se sigue pues;

d2G1ϑ(η) =(η1 η2

) u2

s3/2− uvs3/2

− uvs3/2

v2

s3/2

η1

η2

=

(u2

s3/2

)(η2

1

)− 2

uv

s3/2(η1η2) +

(v2

s3/2

)(η2

2

)=

(1

s3/2

)(u2η1

2 − 2uv(η1η2) + v2η22)

=

(1

s3/2

)(uη1 − vη2)2 ≥ 0


Caso G2: La conclusión se sigue pues;

d2G2ϑ(η) =(η1 η2

) u2

s3/2− uvs3/2

− uvs3/2

v2

s3/2

η1

η2

=

(u2

s3/2

)(η2

1

)− 2

uv

s3/2(η1η2) +

(v2

s3/2

)(η2

2

)

=

(1

s3/2

)(u2η1

2 − 2uv(η1η2) + v2η22)

=

(1

s3/2

)(uη1 − vη2)2 ≥ 0

dG1(f) < 0 y dG2(f) < 0 en ϑ, para todo t ∈ R+.

•

dG1 (f) = (Wv (v, u) ,Wu(v, u)) ·(

0,−α(v, u)

(u− h(v)

τ

))= Wu(v, u)

(−α(v, u)

(u− h(v)

τ

)).

Ya que α(v,u)τ > 0, nos concentraremos en el signo de la expresión Wu(v, u) (u− h(v)):

Si ϑ ∈ ∂Σ ∩W (v, u) = N , entonces (u− h(v)) > 0. Además, Wu(v, u) > 0, para todo

(v, u) ∈ R2, entonces la expresión tomada inicialmente es positiva.

Así, puede concluirse que

dG1(f) = Wu(v, u)

(−α(v, u)

(u− h(v)

τ

))< 0.

•

dG2 (f) = (−Zv (v, u) ,−Zu(v, u)) ·(

0,−α(v, u)

(u− h(v)

τ

))= −Zu(v, u)

(−α(v, u)

(u− h(v)

τ

)).

Análogamente, si ϑ ∈ ∂Σ ∩ Z(v, u) = −L, entonces (u− h(v)) < 0. Además,

Zu(v, u) > 0, para todo (v, u) ∈ R2, luego −Zu(v, u) (u− h(v)) > 0. Luego, puede

concluirse


dG2(f) = −Zu(v, u)

(−α(v, u)

(u− h(v)

τ

))< 0.

Ya que el dato inicial ϑo(x) = (v0(x), u0(x)) y la curva u = h(v) ∈ C(R) están en Σ, en aplicación

del Teorema 2.2.2, está región es invariante positiva, y por lo tanto las soluciones ϑε = (vε, uε)

están en Σ. Así, obtenemos una estimación a priori para las soluciones:

|uε(x, t)| ≤M, |vε(x, t)| ≤M

donde M es independiente de ε.

Luego las soluciones uε(x, t) y vε(x, t) son uniformemente acotadas en L∞ respecto a ε. Además,

en aplicación del Teorema 2.1.2 existe una subsucesión (uε, vε) convergente débil*, notado

W ∗ − lım(uε(x, t), vε(x, t)) = (u(x, t), v(x, t)). (3.1.2)

Lema 3. Para el sistema de Flujo Cuadático (3.0.1) si 0 < α0 ≤ α(v, u) y h(v) ∈ C2(R) entonces

ε(uεx)2, ε(vεx)2 y (uε−h(vε))2

τ son acotados en L1loc(R× R+).

Demostración:

Por simplicidad, omitiremos el superíndice ε en la demostración.

Consideremos la función p(u, v) = u2

2 − h(v)u + C1v2

2 . Para esta función p(v, u), se tienen las

siguientes expresiones:

pu(v, u) = u− h(v) pv(v, u) = −uh′(v) + C1v puu(v, u) = 1 pvv(v, u) = −uh′′(v) + C1

puv(v, u) = −h′(v).

Consideremos la expresión

puuu2x + 2puvuxvx + pvvv

2x = 1 · (u2

x) + 2(−h′(v))uxvx + (−uh′′(v) + C1)v2x. (3.1.3)


Ya que h(v) ∈ C2(R), y v es acotada. Entonces h′(v), y h′′(v) son acotadas, luego satisface

puuu2x + 2puvuxvx + pvvv

2x ≥ C2(u2

x + v2x) (3.1.4)

para alguna constante C2 > 0.

Multiplicando el sistema (3.0.1) por (pv, pu), tenemos

pv(v, u)vt(x, t) + pv(v, u)(uv)x = pv(v, u)εvxx (3.1.5)

pu(v, u)ut(x, t) +pu(v, u)

2(3u2 + v2) + pu(v, u)α(v, u)

(u− h(v))

τ= pu(v, u)εuxx. (3.1.6)

Adicionamos las ecuaciones (3.1.5) y (3.1.6)

(pv(v, u)vt(x, t) + pu(v, u)ut(x, t)) +pu(v, u)

2(3u2 + v2) + pv(v, u)(uv)x + pu(v, u)α(v, u)

(u− h(v))

τ

= pv(v, u)εvxx + pu(v, u)εuxx. (3.1.7)

Ya que

pxx(v, u) = puuux2 + 2puvuxvx + puuxx + pvvvx

2 + pvvxx,

de esta ecuación en (3.1.7) y usando la desigualdad (3.1.4), se obtiene;

p(v, u)t + pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

+ pv(v, u)(uv)x + pu(v, u)α(v, u)(u− h(v))2

τ(3.1.8)

= ε[pxx(v, u)−

(puuux

2 + 2puvuxvx + pvvvx2)]

≤ ε[pxx(v, u)− C2(u2x + v2

x)]. (3.1.9)

Analizando el segundo sumando de la expresión (3.1.8), se obtiene:


pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

= pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

+ pu(v, h(v))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)− pu(v, h(v))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)+ pu(v, u)

(3

2h2(v) +

1

2v2

)− pu(v, u)

(3

2h2(v) +

1

2v2

)+

3

2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))− 3

2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))

=

[pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

− pu(v, u)

(3

2h2(v) +

1

2v2

)]+

[pu(v, u)

(3

2h2(v) +

1

2v2

)− pu(v, h(v))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)]+

[3

2

(pux(v, u)(u2 − h2(v))

)− 3

2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))

]+ pu(v, h(v))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)x

=3

2(pu(v, u)(u2 − h2(v))) + pu(v, h(v))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)x

− 3

2pux(v, u)(u2 − h2(v)) + (pu(v, u)− pu(v, h(v)))

(3

2h2(v) +

1

2v2

)x

.

Aplicamos el Teorema del Valor Medio para pu(v, u), luego existe β1 ∈ (h(v), u), tal que

puu(v, β1) =pu(v, u)− pu(v, h(v))

u− h(v),

pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

=

(3

2pu(v, u)(u2 − h2(v))

)x

+

(∫ v

pu(s, h(s))(3h(s)h′(s) + s)ds

)x

− 3

2(puuux + puvvx)(u+ h(v))(u− h(v))

+ puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx

pu(v, u)

(3

2u2 +

1

2v2

)x

=

[3

2pu(u, v)(u2 − h2(v)) +

∫ v


]x

+

[−3


](3.1.10)

+[puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx

].


En la expresión (3.1.10), asignamos la siguiente notación:

T1 =

[3

2pu(u, v)(u2 − h2(v)) +

∫ v


]x

. (3.1.11)

T2 =

[−3


]. (3.1.12)

T3 =[puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx

]. (3.1.13)

Por otro lado, para el tercer término de la expresión (3.1.8), obtenemos

pv(v, u)(uv)x = pv(v, u)(uv)x + pv(v, u)(vh(v))x − pv(v, u)(vh(v))x

+ pv(v, h(v))(vh(v))x − pv(v, h(v))(vh(v))x

+ pvx(v, u)v(u− h(v))− pvx(v, u)v(u− h(v))

= pv(v, u) [(uv)x − (vh(v))x] + pv(v, h(v))(vh(v))x

+ (pv(v, u)− pv(v, h(v))) (vh(v))x

+ pvx(v, u)v(u− h(v))− pvx(v, u)v(u− h(v)) .

Aplicamos el Teorema del Valor Medio para pv(v, u), luego existe β2 ∈ (h(v), u), tal que

pvu(v, β2) =pv(v, u)− pv(v, h(v))

u− h(v).

pv(v, u)(uv)x =

(pv(v, u)v(u− h(v)) +

∫ v

pv(s, h(s))(h(s) + h′(s)s)ds

)x

+ [−pvx(v, u)v(u− h(v))] (3.1.14)

+ puv(β2, v)(u− h(v))(h(v) + h′(v)v)vx.

En la expresión (3.1.14), asignamos la siguiente notación:

T1 =

(pv(v, u)v(u− h(v)) +

∫ v

pv(s, h(s))(h(s) + h′(s)s)ds

)x

. (3.1.15)

T2 = [−pvx(v, u)v(u− h(v))] . (3.1.16)

T3 = puv(β2, v)(u− h(v))(h(v) + h′(v)v)vx. (3.1.17)

Ya que puu, puv y (u+ h(v)) son acotadas, podemos tomar max(|puu| , |puv| , |u+ h(v)|) = C. Así,

de (3.1.12)

|T2| ≤ C√

2√τ (|ux|+ |vx|)

|u− h(v)|√2√τ

= C√

2√τ |ux|

|u− h(v)|√2√τ

+ C√

2√τ |vx|

|u− h(v)|√2√τ

. (3.1.18)


Consideremos la desigualdad

δa2 +b2

4δ≥ |ab| con δ > 0, (3.1.19)

Tomamos el primer sumando de la expresión (3.1.18), y la desigualdad anterior (3.1.19), sea

a =|u− h(v)|√

2√τ

y b = C√

2√τ |ux| .

Obtenemos

C√

2√τ |ux|

|u− h(v)|√2√τ≤ δ |u− h(v)|2

2τ+K2τ |ux|2

4δ. (3.1.20)

Similarmente, tomamos el segundo sumando de la expresión (3.1.18), y la desigualdad (3.1.19),

asignamos

a =|u− h(v)|√

2√τ

y b = C√

2√τ |vx| .

Obtenemos

C√

2√τ |vx|

|u− h(v)|√2√τ≤ δ |u− h(v)|2

2τ+K2τ |vx|2

4δ. (3.1.21)

Tomando las desigualdades (3.1.20) y (3.1.21) en (3.1.18), resulta:

|T2| ≤ δ(u− h(v))2

τ+ C1(δ)τ(u2

x + v2x), C1(δ) es una constante que depende de δ.

(3.1.22)

Análogamente, de (3.1.16), se obtiene

|T2| ≤ δ(u− h(v))2

τ+ C2(δ)τ(u2

x + v2x), C2(δ) es una constante que depende de δ.

(3.1.23)

Ahora, consideremos el caso T3. Teniendo en cuenta que puu = 1 y el término (3h(v)h′(v) + v) es

acotado.

|T3| =∣∣puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx

∣∣ ≤ ∣∣∣∣(u− h(v))√τ

C4

√τvx

∣∣∣∣ (3.1.24)

Con C4 que depende de la expresión (3h(v)h′(v) + v).

Tomamos la expresión anterior (3.1.24), y la desigualdad (3.1.19), asignamos

a =|u− h(v)|√

τy b = C4

√τ |vx| .

Para obtener:

Estudio de los pares de entropía-ujo 25

|T3| ≤ δ(u− h(v))2

τ+ C5

τv2x

4δ, con C5 constante. (3.1.25)

Análogamente, de (3.1.27), se obtiene

|T3| ≤ δ(u− h(v))2

τ+ C6

τv2x

4δ, con C6 constante. (3.1.26)

Denase q(u, v)x = T1 + T1. En (3.1.8), se obtiene.

p(u, v)t + T1 + T2 + T3 + T1 + T2 + T3 + α(v, u)(u− h(v))2

τ= p(u, v)t + q(u, v)x

+ T2 + T3 + T2 + T3 (3.1.27)

+ α(v, u)(u− h(v))2

τ

≤ ε[pxx(u, v)− C2(u2x + v2

x)].

Además, reemplazando (3.1.22),(3.1.23),(3.1.25),(3.1.26) en (3.1.27) resulta

p(u, v)t + q(u, v)x − 4δ(u− h(v))2

τ+ α(v, u)

(u− h(v))2

2τ+ (εC2 − τC3)(u2

x + v2x) (3.1.28)

≤ εpxx(u, v)− α(v, u)(u− h(v))2

2τ. (3.1.29)

Si tomamos δ =α0

8en la desigualdad (3.1.28), obtenemos

p(u, v)t + q(u, v)x +(−(α0

2

)+ α0

) (u− h(v))2

2τ+ (εC2 − τC3)(u2

x + v2x) ≤ εpxx(u, v), (3.1.30)

para una constante positiva C3 dependiendo de las cotas de las segundas derivadas de p(u, v).

Además τ = o(ε) cuando ε → 0, luego 2τC3 ≤ εC2 si ε es sucientemente pequeño. Luego, de la

desigualdad (3.1.30), resulta

α0(u− h(v))2

2τ+(C2ε

2

)(u2x + v2

x) ≤ εpxx(u, v)− p(u, v)t − q(u, v)x. (3.1.31)

Sea K ⊂ R × R+ un conjunto compacto arbitrario. Escojamos φ ∈ C∞0 (R × R+) tal que φK = 1,

0 ≤ φ ≤ 1 y escribamos S = sopφ. Entonces, multiplicando (3.1.31) por φ e integrando por partes

sobre R× R+, tenemos∫∫K

(C2

2ε(u2

x + v2x)φ+ α0

(u− h(v))2

τφ

)dxdt

≤∫∫

S

(C2

2ε(u2

x + v2x)φ+ α0

(u− h(v))2

τφ

)dxdt

≤∫ ∞−∞

∫ ∞0

(C2

2ε(u2

x + v2x)φ+ α0

(u− h(v))2

τφ

)dxdt

≤∫ ∞−∞

∫ ∞0

(pφt + qφx + εpφxx) dxdt ≤M(φ),


es decir, εu2x, εv

2x y (u−h(v))2

τ son acotadas en L1loc(R× R+).

3.2. Estudio de los pares de entropía-ujo

Para ver la existencia de los pares de entropía ujo de nuestro sistema, se requiere escribir la

condición de entropía ujo ∇q(U) = ∇η(U)∇F (U), comoqu = 3uηu + vηv

qv = vηu + uηv.

Eliminando q se obtiene

v(ηvv − ηuu) + 2uηuv = 0.

Mediante la sustitución η(v, u) = η(s, u) y q(v, u) = q(s, u) se tiene las siguiente ecuación diferencial

parcial

ηss =1

4sηuu,

cuya solución está dada por η(s, u) = h(s)eku para k constante y h(s) que satisface

h′′(s)− k2

4sh(s) = 0.

Además si en esta última ecuación hacemos a(s) = s1/4, r = ks1/2, h(s) = a(s)φ(r), se puede

transformar en

φ′′(r)−(

1 +3

4r2

)φ(r) = 0,

cuya solución en serie existe y nos conduce a la existencia de los pares de entropía-ujo.

A continuación se estudiará la compacidad de un par arbitrario de entropía-ujo asociado a la

ecuación escalar

vt + (h(v)v)x = 0. (3.2.1)

Teorema 3.2.1. Si (η(v), q(v)) es un par de entropía-ujo de la ecuación escalar

vt + (h(v)v)x = 0, (3.2.2)

con η de clase C2 entonces η(v)t + q(v)x es compacto H−1loc .

Demostración:

Reescribimos la primera ecuación en (3.0.1) como sigue:

vt + (h(v)v)x = εvxx + ((h(v)v)− (uv))x. (3.2.3)

Sea (η(v), q(v)) cualquier par de ujo-entropía de entropía de (3.2.2). Entonces multiplicando

(3.2.3) por η′(v), tenemos


η(v)t + q(v)x = −η′(v)((uv)− (h(v)v))x + εη′(v)vxx

= −(η′(v)v(u− h(v)))x + εη(v)xx (3.2.4)

+ vη′′(v)(u− h(v))vx − η′′(v)v2x.

En sentido de la aplicación del Lema de Murat 1, debemos dar los siguientes pasos, para Ω conjunto

abierto y acotado de R× R+:

a) η(vε)t + q(vε)xε es acotada en W−1,rloc (Ω), para algún r, con 2 < r ≤ ∞.

b) −(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + εη(vε)xxε es una sucesión precompacta en W−1,2loc (Ω).

c)vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2

εes una sucesión acotada en M(Ω), donde M(Ω) son las

medidas acotadas de Radon.

Procedemos a estas demostraciones, con ayuda del hecho de que una sucesión uniformemente

acotada en L∞(Ω), lo es también en W−1,∞.

a) Ya que η y q están en C2(Ω), y vε es acotada, entonces η(vε)t + q(vε)xε es uniformemente

acotada en L∞(K), para K compacto arbitrario en Ω, luego lo es en W−1,∞loc (Ω).

b) Podemos ver que −(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + εη(vε)xxε es convergente enW−1,2loc (Ω) = H−1

loc (Ω),

luego precompacta en H−1loc(Ω).

Sea φ ∈ H10 (R× R+).

∣∣∣∣∫Ω

[(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + (εη(vε)xx)

]φdxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫Ω

(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφdxdt+

∫Ω

(εη(vε)xx)φdxdt

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫

Ω(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφdxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫Ω

(εη(vε)xx)φdxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫Ωη′(vε)vε(uε − h(vε))φxdxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫Ω

(ε

12 η′(vε)vεx

)(ε

12φx

)dxdt

∣∣∣∣ ,ya que η′(vε) es acotada. Si c es esta constante de acotación, resulta∣∣∣∣∫

Ω


]φdxdt

∣∣∣∣≤∣∣∣∣c∫

Ωvε(uε − h(vε))φxdxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣c∫Ω

(ε12 vεx)(ε

12φx)dxdt

∣∣∣∣


Aplicando la desigualdad de Hölder,∣∣∣∣∫Ω


]φdxdt

∣∣∣∣≤ c

(∫Ωτφ2

xdxdt

) 12(∫

Ω

(uε − h(vε))2

τdxdt

) 12

+ c

(∫Ωεvεx

2

) 12(∫

Ωεφx

2dxdt

) 12

y como (uε−h(vε))2

τ , vεx2 ∈ L1

loc(Ω)∣∣∣∣∫Ω


]φdxdt

∣∣∣∣≤ cK

(∫Ωτφ2

xdxdt

) 12

+ cK1

(∫Ωεφx

2dxdt

) 12

→ 0 cuando ε→ 0.

Donde K y K1 son constantes.

Como la sucesión es convergente, resulta compacta en W−1,2loc (Ω).

c) Para ver quevεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2

εes una sucesión acotada en M(Ω), basta

ver que es uniformemente acotada en L1loc(Ω).

Sea K un compacto arbitrario en R× R+.

∫K

∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt (3.2.5)

≤∫K

[∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε)vεx)∣∣+∣∣η′′(v)vεx

2∣∣] dxdt (3.2.6)

=

∫K

∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx∣∣ dxdt+

∫K

∣∣η′′(v)vεx2∣∣ dxdt, (3.2.7)

como η′′(vε) es acotada, digamos por una constante K2, resulta∫K


≤ K2

∫K|vε(uε − h(vε))vεx| dxdt+K2

∫K

∣∣vεx2∣∣ dxdt, (3.2.9)

aplicando la desigualdad de Hölder, y el hecho de que ε (vεx)2 es acotado∫K


≤ K2

(∫K

(uε − h(vε))2

τdxdt

) 12((τ

ε

)∫Kεvεx

2dxdt

) 12

+K3 (3.2.11)

Convergencia débil de la solución viscosa 29

y como (uε−h(vε))2

τ , εvεx2 ∈ L1

loc(Ω)∫K

∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt ≤ K4

(τε

) 12

+K3 → K3 cuando ε→ 0.

(3.2.12)

K3 y K4 son constantes.

3.3. Convergencia débil de la solución viscosa

Finalizamos el estudio del Sistema de Flujo Cuadrático, con el siguiente Teorema sobre la conver-

gencia de las soluciones viscosas.

Teorema 3.3.1. Para el problema de Cauchy (1.0.11)-(1.0.12), si g(v) = vh(v), con

µv : g′′(v) = 0

= 0, (µ medida de Lebesgue) entonces existe una subsucesión (vε, uε) que con-

verge a las funciones (v, u) cuando ε→ 0, las cuales son los estados de equilibrio determinados de

manera única por (E1)− (E2):

(E1) u(x, t) = h(v(x, t)), para casi todo (x, t) ∈ Ω un conjunto abierto y acotado;

(E2) v(x, t) es la L∞ solución entrópica de el problema de Cauchy

vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x).

Demostración:

Consideremos los pares de entropía-ujo de la ecuación escalar

vt + (h(v)v)x = 0, (3.3.1)

como se sigue:

(η1(θ), q1(θ)) = (θ − k, g(θ)− g(k)) (3.3.2)

(η2(θ), q2(θ)) =

(g(θ)− g(k),

∫ θ

k(g′(s))2ds

)(3.3.3)

donde k es una constante arbitraria y g(θ) = θh(θ).

Notemos además los límites débil* de los pares de ujo-entropía evaluados en las subsucesiones de

soluciones viscosas halladas en (3.1.2):

ηi(vε) = w∗ − lım ηi(vε) qi(vε) = w∗ − lım qi(v

ε) para i = 1, 2.

Veamos convenientemente el producto η1q2 − q1η2:


η1q2 − q1η2 = (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds− (g(vε)− g(k))2

+ (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds

+ (g(vε)− g(v))2 − (g(vε)− g(v))2

+ k

∫ k

v(g′(s))2ds− k

∫ k

v(g′(s))2ds

+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2

= (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− g(vε)2 + 2g(vε)g(k)− g(k)2

+ g(vε)2 − 2g(vε)g(v) + g(v)2 − (g(vε)− g(v))2

+ v

∫ vε

v(g′(s))2ds− k

∫ vε

k(g′(s))2ds− k

∫ k

v(g′(s))2ds

+ vε∫ v

k(g′(s))2ds− k

∫ v

k(g′(s))2ds

+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2

= (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds

− (g(v)− g(k))2 − g(vε)2 + 2g(vε)g(k)− g(k)2

+ g(v)2 − 2g(v)g(k) + g(k)2 + g(vε)2 − 2g(vε)g(v) + g(v)2

= (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds

− (g(v)− g(k))2

+ 2g(vε)g(k) + 2g(v)2 − 2g(v)g(k)− 2g(vε)g(v)

= (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds (3.3.4)

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)).


Aplicando el límite débil* a η1q2 − q1η2, se obtiene de (3.3.4):

η1q2 − q1η2 = (vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds (3.3.5)

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v))

por Teorema del Divergente Rotacional 2.3.1

(vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds (3.3.6)

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)) = η1 q2 − q1 η2. (3.3.7)

Analicemos ahora la expresión (3.3.7):

η1 q2 − q1 η2 = (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds−

(g(vε)− g(k)

)2

= (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds−

(g(vε)

)2+ 2g(vε)g(k)− g(k)2

+(g(vε)− g(v)

)2−(g(vε)− g(v)

)2

+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2

= (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds−

(g(vε)− g(v)

)2

− (g(v)− g(k))2 + 2g(vε)g(k)− 2g(vε)g(v) + 2g(v)2 − 2g(v)g(k).

= (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds−

(g(vε)− g(v)

)2

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)

). (3.3.8)

De las ecuaciones (3.3.6),(3.3.7) y (3.3.8), se tiene:


(vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

+ (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v))

= (vε − k)

∫ vε

k(g′(s))2ds−

(g(vε)− g(v)

)2

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)

).

Estudiamos el primer sumando para obtener

= (vε − v)

∫ vε

k(g′(s))2ds

+(v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds

−(g(vε)− g(v)

)2

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)

).

= (v − k)

∫ vε

v(g′(s))2ds+ (vε − k)

∫ v

k(g′(s))2ds

−(g(vε)− g(v)

)2(3.3.9)

− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)

).

Conjugando las expresiones (3.3.6) y (3.3.9), se obtiene:

(vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 = −

(g(vε)− g(v)

)2

equivalente a:

(vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 +

(g(vε)− g(v)

)2= 0. (3.3.10)

Veamos que el primer sumando de esta expresión es positivo:


d

dθ

((θ − v)

∫ θ

v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2

)=

∫ θ

v(g′(s))2ds+ (θ − v)(g′(θ))2 − 2(g(θ)− g(v))g′(θ)

=

∫ θ

v(g′(s))2ds+

∫ θ

vg′(θ)ds− 2g′(θ)

∫ θ

vg′(s)ds

=

∫ θ

v

(g′(θ)− g′(s)

)2ds > 0, para todo θ.

ya que g′′(v) 6= 0 en casi toda parte.

Así, la función

(θ − v)

∫ θ

v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2

es convexa, y como en v esta se anula, entonces la función debe ser positiva. Esto es

(θ − v)

∫ θ

v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2 > 0. (3.3.11)

De este resultado en (3.3.10), se tiene que

(vε − v)

∫ vε

v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 = 0 (3.3.12)(g(vε)− g(v)

)2= 0 (3.3.13)

Consideremos un conjunto Ω, cualquier abierto y acotado de R × R+. De la ecuación 3.3.12, se

tiene que

lımε→0

∫Ω

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)dxdt = 0. (3.3.14)

Por otro lado, de (3.3.11) en el conjunto Ω1 = Ω ∩ (x, y) : (vε(x, t)− v(x, t)) > α, es decir para(vε(x, t)− v(x, t)) > α > 0,

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)> Cα, (3.3.15)

sobre Ω1, con Cα > 0 independiente de ε, luego∫Ω1

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)dxdt ≥ Cαµ (Ω1) . (3.3.16)


y análogamente si Ω2 = Ω∩(x, y) : (vε(x, t)− v(x, t)) < −α = Ω∩(x, y) : (v(x, t)− vε(x, t)) > α,el mismo razonamiento conducente a (3.3.15), llevaría a que

(v − vε)∫ v

vε

((g′(s))2ds− (g(v)− g(vε))2

)> Cα, (3.3.17)

de aquí, que

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)> Cα, (3.3.18)

sobre Ω2. Así, nuevamente se obtiene∫Ω2

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)dxdt ≥ Cαµ (Ω2) . (3.3.19)

Así, tomando el conjunto Ω3 = Ω1 ∩ Ω2 = (x, y) : |vε(x, t)− v(x, t)| > α,∫Ω3

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)dxdt ≥ Cαµ (Ω3) > 0, (3.3.20)

lo que implica que de (3.3.14),

lımε→0

∫Ω3

(vε − v)

∫ vε

v

((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2

)dxdt = 0, (3.3.21)

así, para toda constante α, de (3.3.20) y (3.3.21):

lımε→0

µ (Ω ∩ (x, t) : |vε − v| > α) = 0,

es decir vε converge en medida a v, luego existe una subsucesión vεε que converge en casi toda

parte a v.

Veamos ahora que uε converge a u = h(v) en casí toda parte sobre Ω.

Ya que(uε − h(vε))2

τ∈ L1

loc(R× R+), para todo K compacto se tiene∫∫K

(uε − h(vε))2 dxdt −→ 0,

luego, si tomamos el compacto K de tal manera que Ω ⊆ K, entonces, :∫∫Ω

(uε − h(vε))2 φdxdt −→ 0,

de lo que se concluye

uε −→ h(v) casi toda parte en Ω. (3.3.22)


Por otra parte uε∗ u. Luego, para φ de soporte compacto S, tal que φK = 1, se tiene

∫∫Ω|uε − u| dxdt ≤

∫∫K|uε − u| dxdt ≤

∫∫S|uε − u|φdxdt→ 0 (3.3.23)

cuando ε→ 0.

Conjugando (3.3.22) y (3.3.23), se obtiene

∫∫Ω|u− h(v)| dxdt =

∫∫Ω|u− uε + uε − h(v)| dxdt (3.3.24)

≤∫∫

Ω|u− uε| dxdt+

∫∫Ω|uε − h(v)| dxdt −→ 0,

demostrandóse que u = h(v) en casi toda parte sobre Ω.

Veamos a continuación la propiedad E2, utilizando la Denición 6, para ver que v(x, t) es una

solución entrópica en el sentido de Lax del problema de Cauchy

vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x). (3.3.25)

Tomando la expresión (3.2.4) y el hecho de que η′′(vε) > 0, para φ ∈ C∞0 (R× R+), se tiene

∫∫R×R+

η(vε)tφ+ q(vε)xφdxdt ≤∫∫

R×R+

−(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφ+ εη(vε)xxφ

+ vη′′(v)(u− h(v))vxφ

=

∫∫R×R+

(η′(vε)vε(uε − h(vε)))φx + εη(vε)φxx

+ vη′′(v)(u− h(v))vxφdxdt.

≤∫∫

R×R+

(η′(vε)vε(uε − h(vε)))φx + εη(vε)φxx (3.3.26)

+K

(∫R×R+

(uε − h(vε))2

τdxdt

) 12((τ

ε

)∫R×R+

εvεx2dxdt

) 12

.

(3.3.27)

Si hacemos ε→ 0 en (3.3.26) y (3.3.27), se obtiene:

∫∫R×R+

η(v)tφ+ q(v)xφdxdt ≤ 0,


de donde ∫∫R×R+

η(v)φt + q(v)φxdxdt ≥ 0.

En general la condición de solución entrópica en el sentido de Lax puede llevar a la unicidad de

soluciones o conducir a soluciones físicamente realistas. Para ver en detalle esta condición de Lax,

se puede ver su artículo orginal [14] o consultar [8, pág 220], [10, pág 341], [11, pág 508] para mayor

detalle sobre su signicado físico.

Capítulo 4

COMENTARIOS FINALES

El estudio de este trabajo pretendia ver la última conclusión de Liu y Cheng en el artícu-

lo [17], sobre la inclusión en el término de relajación, de una función Lipchitz continua positiva

α(v, u), de la que además se asumió la existencia de su mínimo. Así, el desarrollo del trabajo

concluye la aceptación de este término, bajo las hipótesis ya mencionadas que resultan nece-

sarias tanto para la existencia de las soluciones viscosas, como para la acotación del término

de mecanismo de relajación en L2loc.

En el artículo [17] estudiado, se hallan las estimativas a priori en L∞ debido al principio del

máximo. Este no se aplicó en el trabajo debido a la falta de acotación de los autovalores

asociados a los Invariantes de Riemann del sistema. En este caso, debemos asegurar inicial-

mente que la función u = h(v) esta en cierta región limitada por las curvas W (v, u) = N y

Z(v, u) = −L. Esto conociendo que la naturaleza de las mismas son parabólas (convexas).

Es interesante preguntarse para que otro tipo de sistemas se puede aplicar el razonamiento del

trabajo, es decir adicionar al término fuente, una función α(v, u) Lipchitz continua positiva.

Esto en sentido de ampliar aplicaciones del método aquí utilizado. Para responder este tipo de

interrogantes, podríamos empezar mirando el límite del sistema AW-Rascle, estudiado por De

La Cruz, Rendón y Juajibioy en el artículo RELAXATION LIMIT FOR AW- RASCLE, [9].

Consideramos el problema de Cauchy para el sistema Aw-Rascle:

pt + (m− ρP (ρ))x = ερxx

mt +(m2

ρ +mP (ρ))x

+ α(p,m)m−h(p)τ = εmxx .

(4.0.1)

este queda como una pregunta abierta de este trabajo, con posible indagación en estudios

posteriores.

37

Bibliografía

[1] Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial dierential equations. Springer

Science & Business Media, 2010.

[2] J. E. Broadwell, Shock structure in a simple discrete velocity gas, Phys. Fluids, 7 (1964),

1243-1247.

[3] R. E. Caish, Navier-Stokes and Boltzmann shock for a model of gas dynamics, Comm. Pure

Appl. Math., 32 (1979), 521-554.

[4] C. Cercignani, The Boltzmann equations and its application, Springer-Verlag, New York,

(1988).

[5] G.-Q. Chen, C. D. Levermore and T.-P. Liu, Hyperbolic conservation laws with sti relaxation

terms and entropy, Comm. Pure Appl. Math., 47 (1994), 787-830.

[6] G.-Q. Chen and T.-P. Liu, Zero relaxation and dissipation limits for hyperbolic conservation

laws, Comm. Pure Appl. Math., 46 (1993), 755-781.

[7] K. N. Chueh, C. C. Conley and J. A. Smoller, Positive invariant regions for systems of non-

linear equations, Indiana. Univ. Math. J., 26 (1977), 373-392.

[8] Constantine, Dafermos. Hyperbolic conservation laws in continuum physics. (2005).

[9] De La Cruz, Richard Alexander, Juajibioy Juan Carlos, and Leonardo Rendón. Relaxation

limit for Aw-Rascle system..arXiv:1310.1305. (2013).

[10] Debnath, Lokenath. Nonlinear partial dierential equations for scientists and engineers. Sprin-

ger Science Business Media, 2011.

[11] Friedlander, Susan, and Denis Serre, eds. Handbook of mathematical uid dynamics. Elsevier,

2002.

[12] C. Klingenberg and Y.-G. Lu, Existence of solutions to hyperbolic conservation laws with a

source, Comm. Pure Appl. Math. Phys., 187 (1997), 327-340.

[13] C. Klingenberg and Y.-G. Lu, Singular limits for inhomogeneous equations of elasticity, Acta

Math. Scientia, 29B(3) (2009), 645-649.

39

Bibliografía 40

[14] Lax, Peter D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock

waves. Vol. 11. SIAM, 1973.

[15] M. Liu and Zhixin Cheng, Conservation laws III: relaxation limit, Revista Colombiana de

Matemáticas, 41 (2007), 107-115.

[16] S. Jin and Z. Xin, The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary space

dimensions, Comm. Pure Appl. Math., 48(3) (2007), 235-277.

[17] M. Liu and Zhixin Cheng, Conservation laws III: relaxation limit, Revista Colombiana de

Matemáticas, 41 (2007), 107-115.

[18] T-P. Liu, Hyperbolic conservation laws with relaxation, Comm Math Phys, 108(1) (1987),

153-175.

[19] T. Li, Global solutions and zero relaxation limit for a trac ow model, SIAM J. Appl. Math,

61(3) (2000), 1042-1065 (electronic).

[20] T. Li, Global solutions of nonconcave hyperbolic conservation laws with relaxation arising from

trac ow, J. Dierential Equations, 190(1) (2003), 131-149.

[21] Y.-G. Lu, Cauchy problem for an extended model of combustion, Proc. Royal Soc. Edinburgh,

Vol. 120A (1992), 349-360.

[22] Y.-G. Lu, Cauchy problem for a hyperbolic model, Nonlinear Anal., TMA, 23 (1994), 1135-

1144.

[23] Y.-G. Lu, Singular limits of sti relaxation and dominant diusion for nonlinear systems, J.

Di. Eqs., 179 (2002), 687-713.

[24] Y. G. Lu, Hyperbolic conservations laws and the compensated compactness method, Vol 128,

Chapman and Hall, New York, (2002).

[25] Y. G. Lu and C. Klingenberg, Singular limits for inhomogeneous equations of elasticity, Acta

Mathematica Scientia, 29B(3) (2009), 645-649.

[26] A. Majda, A qualitative model for dynamic combustion, SIAM J. Appl. Math., 41 (1981),

70-93.

[27] C. Lattanzio and P. Marcati, The zero relaxation limit for the hydrodynamic Whitham trac

ow model, J. Di. Eqs., 141 (1997), 150-178.

[28] F. Murat, L'injection du cône positif de H−1 dans W−1,q est compacte pour tout q < 2, J.

Math. Pures Appl., Vol. 60 (1981), 309-322.

[29] H. R. Natalini, Convergence to equilibrium for the relaxation approximations of conservation

laws, Comm. Pure Appl. Math., 49 (1996), 795-823.

Bibliografía 41

[30] Hermano Frid Neto, Compacidade compensada aplicada às leis de conservação, 19 colóquio

Brasileiro de Matemática, Instituto De Matemática Pura E Aplicada.

[31] B. Perthame, Kinetic formulation of conservation laws, Oxford University Press, (2002).

[32] M. Rascle, An improved macroscopic model of tracc ow: Derivation and links with the

Lighthill-Whitham model, Math. Comput., 35(5-6) (2002), 581-590. Trac ow Modelling

and simulation.

[33] H. K. Rhee, R. Aris and N. R. Amundsen, On the theory of multicomponent chromatography,

Phil. Trans. Royal Soc. London, 267A (1970), 419-455.

[34] Roubícek, Tomás. Nonlinear partial dierential equations with applications.Vol. 153. Springer

Science & Business Media, 2013.

[35] S. Schochet, The instant-response limit in Whitham's nonlinear trac-ow model: uniform

well-poseness and global existence, Asymptotic Analysis, 1 (1988), 263-282.

[36] J. Smoller, Shock waves and reaction-diusion equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg,

New York (1983).

[37] Ma, Tsoy-Wo. Classical analysis on normed spaces. World Scientic, 1995.

[38] L. Tartar, Compensated compactness and applications to partial dierential equations, Re-

search notes in mathematics, nonlinear analysis and mechanics, Heriot-Watt symposium, Vol.

4, ed. R. J. Knops, New York: Pitman Press, (1979), 136-212.

[39] G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley and Sons, New York (1973).

[40] Yan, Jin, Zhixin Cheng, and Ming Tao. Çonservation laws I: viscosity solutions.Revista Co-

lombiana de Matemáticas 41.1 (2007): 81-90.

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