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Análisis Matemático I - Página 1

LLLIIIMMMIIITTTEEE DDDEEE FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS

LLLIIIMMMIIITTTEEE FFFIIINNNIIITTTOOO

Existe un concepto que está íntimamente ligado a la noción de límite. Este concepto es el de Entorno y se define a continuación. Luego, cuando abordemos el concepto de límite veremos la conexión entre ambas nociones.

Entorno

Definición: Sean a un punto cualquiera de la recta real y r un número real positivo (r >0). Definimos

entorno de centro a y radio r al intervalo abierto ( a – r , a + r ) y lo simbolizamos con E( a , r ).

Observación: Los x que están en el entorno E( a , r ) son los x cuya distancia a a es menor que r.

Podemos notar un entorno con centro en a y radio r de tres maneras:

1) rararaE ,,

2) raxraxraE /,

3) raxxraE /,

Ejemplo 1: Graficar el E(2,1) y expresarlo de las tres maneras.

12/31/3,11,2 xxxxE

Entorno reducido

Si al entorno ( a – r , a + r ) le quitamos el centro a , ya no tenemos un intervalo abierto sino la

unión de dos intervalos abiertos ( a – r , a ) ( a , a + r ). Este nuevo conjunto se llama entorno

reducido de centro a y radio r y se puede denotar de las siguientes maneras:

raaaraarararaE ,,,.´

axraxxraxxraE ,/0/,'

Al fijar que la distancia entre x y a sea mayor que cero, estamos exigiendo que x no sea igual a a ,

pues si fuera x = a tendríamos 00 aaax


Ejemplo 2: El entorno reducido 100/1,0' xxE tiene por gráfica:

Ejemplo 3: El conjunto

2

120/ xxB , es un entorno donde a = -2 y r =

2

1

Ahora sí vayamos al concepto que es objeto de esta unidad. En la Unidad de Funciones hemos tra-

tado con funciones reales de una variable real, : D , donde D, el mayor dominio de es

un subconjunto de números reales o el mismo conjunto . También sabemos que si x0 pertenece

al dominio de , esta función toma en él, el valor (x0).

Ahora no nos interesará saber cuánto vale la función en x0 sino cerca de x0 y esto último lo expre-

saremos diciendo: en un entorno reducido de x0 . En particular queremos ver en qué condiciones

los valores de una función de variable real se aproximan a un número real determinado, cuando los valores de x pertenecientes a cierto entorno reducido de x0, se acercan a x0 .Este x

0 puede o no

pertenecer al dominio de la función.

Si x0 D , es lógico pensar que cuando x se acerca a x

0 entonces (x) se acerca a (x0).

Pero en general, esto no es así. Podemos ver esto si consideramos la función:

definida por f (x) = 2x + 1 si x 1

5 si x=1

e investigamos su comportamiento cuando se toman valores de x cercanos a x

0 = 1,

mediante la observación de su gráfica y complementando con una tabla:

x f(x)=2x+1 x f(x)=2x+1

0,5 2 1,5 4

0,9 2.8 1,1 3.2

0,99 2.98 1,01 3.02

0,999 2.998 1,001 3.002

0,9999 2.9998 1,0001 3.0002


De la gráfica y la tabla se concluye que cuando x se acerca a x0 = 1, tanto por izquierda como por

derecha, pero x ≠ x0 (x) se acerca a = 3 . Este hecho lo expresaremos diciendo que “el límite

de la función f (x) = 2x + 1 si x 1

5 si x=1

, cuando x tiende a 1, es igual a 3 ” y lo simbolizaremos

con 3=f(x) lím1x

.

La mención de que x ≠ x0 significa que al hallar el límite de cuando x se acerca a x0 nunca

consideramos 𝑥 = 𝑥0 . En realidad no importa que la función esté definida en x0 , lo que importa es

que esté definida cerca o en las proximidades o alrededor de x0 . Las funciones dadas en los gráficos

que siguen muestran que, en cada caso, no importa lo que suceda en x0 = 1 es cierto que

3=(x) lím1x

g

y 3=(x) lím1x

h

:

𝑔: ℜ → ℜ/𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1

𝑕: ℜ − 1 → ℜ/𝑕 𝑥 = 2𝑥 + 1

Para dar una definición precisa del significado de la frase " 𝑓 𝑥 se acerca a cuando x se acerca

a x0 ", haremos previamente dos observaciones:

1) Para que 𝑓 𝑥 se acerque a cuando x se acerca a x0 no importa cuánto vale la función en

x0 ( puede o no estar definida en este punto ), sino cuánto vale cerca de x0 .

2) Que (x) se acerque a es lo mismo que decir que (x) - se acerca a cero y esto signi-

fica que 𝑓 𝑥 - se puede hacer tan pequeño como se quiera. Luego, la frase “(x) se acer-

ca a cuando x se acerca a x0" puede ponerse en la siguiente forma " (x) - puede hacer-

se tan pequeño como se quiera con tal de tomar x - x0 suficientemente pequeño , pero distin-

to de cero ”. En términos de distancia y en lenguaje común, se puede decir que la distancia entre

(x) y puede hacerse tan pequeña como se quiera si es que la distancia entre x y x0 es sufi-

cientemente pequeña.

Ahora bien, que (x) - se pueda hacer tan pequeño como se quiera significa que dado cualquier

número positivo (épsilon) se puede conseguir que (x) - sea menor que . Esto se va a


conseguir si x - x0 es suficientemente pequeño, es decir con tal de que x - x0 sea menor que

un cierto número positivo (delta) que dependerá de cuál sea .

Volvamos a la función inicial para visualizar estas ideas. De acuerdo a 1) no importa que (1) = 5,

sino que importa cuánto vale cerca de x0 = 1 .

Según 2) que (x) - = (2x + 1) - 3 se pueda hacer tan pequeño como se quiera, significa que

dado cualquier > 0 la distancia entre (x) = 2x + 1 y = 3 se puede hacer menor que

con tal que sea x - x0 = x - 1 menor que un cierto > 0, el cual habrá que obtenerlo una

vez elegido > 0 . En símbolos: (x) - < , si 0 < x - x0< . Este será el radio del entorno

centrado en = 3 y será el radio del entorno reducido centrado en x0 = 1 como se ilustra en la

figura:

En la página web de la asignatura se proporciona una visualización de los gráficos con mo-

vimiento de las funciones f(x) , g(x) y h(x) , mediante el uso del software Geogebra. La utilización

de este programa ( como otros similares ) son muy útiles para observar la dependencia de res-

pecto de y, en particular, que si se toma cada vez más pequeño, el obtenido es cada vez

más pequeño.

Damos ahora la definición precisa de límite de una función:

Definición 1 : Sea una función definida en todos los puntos del intervalo abierto (a , b), salvo

quizás en x0 (a , b) . Decimos que (x) tiende a cuando x tiende a x0 , o que (x) tiene

límite cuando x tiende a x0 , y escribimos l=f(x) lím0xx

, si tiene la siguiente propiedad:

"Cualquiera sea > 0, existe > 0 ( = ()) tal que si 0 < x - x0 < entonces (x) - < "

En símbolos, la definición es:

l=f(x) lím0xx

> 0 , > 0 ( = ()) / 0 < x - x0 < (x) - <


Por lo tanto, para probar en un caso particular que tiene un cierto límite cuando x x0 ,

lo que hay que hacer es dar un > 0 arbitrario "suficientemente pequeño" y encontrar un > 0

que dependa de ese > 0 , tal que se cumpla la implicación 0< x - x0 < (x) - <

La desigualdad (x) - < equivale a la desigualdad - < (x) < + , y la desigual-

dad 0 < x - x0 < equivale a x0 - < x < x0 + , con x x0 . Entonces el

l=f(x) lim0xx

significa que, cualquiera sea > 0 existe un > 0 (dependiente de , en ge-

neral, más chico cuanto más chico sea ) tal que si x está en el intervalo (x0 - , x0 + )

con x x0 (entorno reducido centrado en x0 y de radio ), entonces (x) está en el intervalo

( - , + ) (entorno centrado en y de radio ).

En símbolos: x E ' ( x0 , ) se verifica que (x) E ( , ) .

Desde el punto de vista del límite, no interesa que (x0 ) esté en ( - , + ) (si es que está

definido), puede o no estar en él. Podemos reafirmar el concepto de límite finito observando los siguientes gráficos , en los que las tres

funciones verifican 4=f(x) límx 2

, 4=g(x) límx 2

y 4=h(x) límx 2

:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 4, 𝑥 ≠ −26, 𝑥 = 2

𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 4 𝑕 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 4, 𝑥 ≠ 2


En la página web de la asignatura se proporciona una visualización de los gráficos dinámicos de estas tres funciones usando el software Geogebra. Esto es útil para reafirmar la idea de que, para la existencia del límite, no importa lo que sucede con la función en x0 , sino en un entorno de él.

En la figura de arriba, en cualquier entorno de 𝒙𝟎 = −𝟐 las tres funciones están definidas de igual

manera. Entonces en cualquiera de los tres gráficos se puede notar que, al fijar no surge

“automáticamente” el entorno reducido de centro x0 y radio . Esto también va a suceder si se

realiza el trabajo analítico para hallar . Entonces, ¿cuál es el que se tomará aquí ?.

La situación de las tres funciones se puede representar en el gráfico siguiente:

Al fijar se han obtenido ´ y ´´ . Lo que se

hace es elegir como el buscado, al menor de

ambos. En este caso tomamos a ´ como el que va a “servir” . Y así, si x pertenece al

entorno E ' ( x0 , ' ) su imagen caerá dentro

del entorno E ( , ) . En cambio, Si tomára-

mos como a ´´, habría valores de x pertene-

cientes al E' ( x0 , ´´ ) cuya imagen no caería

dentro del entorno E ( , ) . En el gráfico se

muestra esto con x1 .

Gráficamente, al fijar las medidas de ´ y de ´´ se obtienen de las proyecciones, sobre el eje x,

de las intersecciones del gráfico de con las rectas + y - . Esto se puede hace para

cualquier . Además, para cualquier par de rectas horizontales + y - , el punto (x0 , ) está

ubicado entre las dos y a igual distancia de cada una de ellas. Luego de elegir el apropiado, exis

ten dos rectas verticales, por x0 - y por x0 + , con el punto (x0 , ) entre ambas y a igual dis

tancia de cada una de ellas. De manera tal que todo punto del gráfico de con abscisa distinta de

x0 y ubicada entre x0 - y x0 + también está entre - y + .

Veamos ahora con un ejemplo, qué mecanismos hay que utilizar para probar que una función dada tiene un cierto límite al acercarse x a un cierto x0 . Es lógico pensar que la herramienta que debe

utilizarse para probarlo es la definición de límite.

Ejemplo 1: Retomemos la función : dada por f (x) = 2x + 1 si x 1

5 si x=1

y probemos que

x 1lim (x) = 3

f .

Según la definición de límite debemos ver que cualquiera sea > 0, > 0 / 0< x - 1 <

2x+1-3< . Es decir, dado > 0 arbitrario debemos encontrar un () > 0 tal que para

cualquier x perteneciente al entorno reducido de x0 = 1 y de radio , se verifica que la distan-

cia entre el transformado de x ( (x) ) , y se puede hacer más pequeña que el dado.


Sea > 0 arbitrario. Que sea (x) - < significa en este caso que :

(2x + 1) - 3 = 2x - 2 = 2 (x - 1) = 2 x - 1 <

Aquí, como hacíamos en sucesiones con el n , despejamos x - 1 con lo cual obtenemos

x - 1 < (el objetivo es encontrar ( ) ). Una vez despejado x - 1 (en general: una vez

despejado x - x0 ) de la desigualdad (x) - < , ya se puede estar seguro de que todo

va andar bien, de la siguiente manera: sea () = (habiendo fijado antes el > 0 , ya hemos

"pescado" el () = ) , ahora probemos la implicación 0 <x - 1< = (2x + 1) - 3 <

Como ( 2 . x +1) - 3 = 2 x - 1 y x - 1 < entonces tenemos que 2 x - 1 < 2 . .

Por lo tanto probamos que

x E' 1 , x0

2

se verifica que f (x) E 3 ,

En el Apéndice que se encuentra al final de esta Unidad, se brinda otra prueba o demostración de un límite finito usando la definición.

Propiedades de Límites Finitos

1) Unicidad del límite : Sea definida en (a , b) salvo quizás en x0 (a , b) . Si 1 y 2

tienen las propiedades: 1xx

=(x) lim0

lf

y 2xx

=(x) lim0

lf

entonces debe ser 1 = 2 .

2) Supongamos que l=(x) lim0xx

f

. Entonces:

a) Si < b , existe > 0 tal que para 0 < x - x0 < es (x) < b

b) Si > b , existe > 0 tal que para 0 < x - x0 < es (x) > b

3) Sea definida en un intervalo (a , b) salvo quizás en x0 (a,b). Si c < (x) < d , x (a , b),

x x0 y si x x0

lim (x) =

f , entonces c d .

4) Sean , g , y h tres funciones definidas en un intervalo (a , b) salvo quizás en x0 (a,b)

y tales que:

i) l = (x) lim = (x) lim00 xxxx

hg

.

ii) (x) (x) (x) para todo x (a , b) . Entonces l=(x) lim0xx

f

.

5) Si f es una función tal que L=(x) lim0xx

f

para cierto x0 , entonces L=(x) lim0xx

f

.

2

2

2

2

2

2


6) Sean f y g dos funciones tales que, para un cierto x0 R : 1xx

=(x) lim0

lf

y

2xx

= lim0

l(x)g

entonces 21xx

+ = lim 0

ll) (x) + f(x) ( g

.

La demostración de esta propiedad se brinda en el Apéndice.

7) Sean f y g dos funciones tales que para un cierto x0 se verifican 1xx

=(x) lim0

lf

y

2xx

= lim0

l(x)g

, entonces es = lim 21xx

. 0

ll) (x) f(x) ( g.

8) Sean f y g dos funciones tales que para un cierto x0 se verifican 1xx

=(x) lim0

lf

y

2xx

= lim0

l(x)g

, 2 0 , entonces es

= lim

2

1

xx

0 l

l

(x)

f(x)

g

9) Si f es tal que fDomxkxf ,)( entonces kkf

lim=(x) lim00 xxxx

.


f

para cierto x0 y si k , entonces

k.L f(x) limk.=(x)k. lim00 xxxx

f .


f

para cierto x0 y si k N , entonces

kk

xx

k

xx

L f(x)) lim(=(x))( lim00

f .

12) Si n N, n0

n

xx

x=x lim0

( Si n es par , x0 debe ser un número no negativo ) .

13) Si n N , nxx

n f(x) lim=f(x)0

lim0xx

. Si n es par , debe ser f(x) lim0xx

0 ) y se supone que

f es mayor que cero en algún entorno reducido de x0 .

14) Sean y g funciones definidas en (a , b) salvo quizás en x0 (a , b) . Si es

1xx

=(x) lim0

lf

> 0 y 2xx

= lim0

l(x)g

, entonces es:

a) ) (ln =) (x)ln ( lim 1xx 0

lf

b) = (x) lim 2

1xx 0

ll f

(x)g

15) Sea g una función definida en (a , b) salvo quizás en x0 (a , b) tal que

x x0

0

lim (x) = y

con (x) y0 para x x0 , sea una función definida en un intervalo

abierto (c , d) que contiene a y0 , salvo quizás en y0 , tal que: l=(y) lim0

yy

f

entonces

l= lim(x)xx

o

0

gf

(límite de la función compuesta).


16) 0 ] L- (x) [ lim L=(x) lim00 xxxx

ff .

Recordemos que el símbolo significa que las dos afirmaciones que se encuentran ligadas por él, son equivalentes. Observación : Aunque no se ha especificado, debe tomarse en las propiedades correspondientes,

que las funciones (x) + g (x) , (x) . g (x) , (x) / g (x) , ln (x) y (x) g(x) están defi-

nidas en algún entorno reducido de x0 .

NNNooo EEExxxiiisssttteeennnccciiiaaa dddeeelll LLLííímmmiiittteee

La definición de límite finito dice que l=(x) lim0xx

f

, si se cumple la siguiente propiedad:

> 0 > 0 tal que 0 < x - x0 < (x) - < .

Veamos qué significa que no sea cierto que el l=(x) lim0xx

f

, es decir que l

(x) lim0xx

f .

Esto es lo mismo que decir "cualquiera sea el , no es cierto que para todo > 0 exista

> 0 tal que 0 < x - x0 < implique (x) - < " . Esto es equivalente a la siguiente

frase:

"Existe > 0 tal que para todo > 0, existe x que cumple 0 < x - x0 <

y (x) - ".

O sea: que existe al menos un x perteneciente al entorno reducido de x0 y de radio (esto es

para todo ) tal que (x) (el transformado o imagen de ese x ) no pertenece al entorno centrado

en y de radio . Veamos esto gráficamente, cuando suponemos que el límite de la función,

cuando x tiende a x0 , es :


Ejemplo 1: Negando la existencia del límite se puede demostrar por ejemplo que .

En realidad este límite no existe cuando x 0 , es decir ≠ , sea cual sea el número

que se nos ocurra.

Supongamos que = 1 , y veamos graficamente la fal-

sedad de este supuesto.

Tomando = 1/2 (radio del entorno centrado en 1 ) se

verifica que en cualquier entorno reducido de centro 0 ,

incluido en el eje x, hay puntos x D a la izquierda de

0 para los cuales (x) = -1 , es decir (x) E(1 , 1/2).

Ejemplo 2: Lo mismo ocurre con x

1sen lím

0x

. Este límite no existe. Por el hecho de que la fun-

ción seno esta acotada entre -1 y 1, se podría suponer por ejemplo, que = 1 . Pero

se puede demostrar que este límite no es 1. Es decir, se puede probar que 1 . En

realidad, esta prueba se puede hacer con cualquier otro valor , donde -1 1 ( pero no lo

haremos ).

El gráfico de (x) = sen es :

LLLííímmmiiittteeesss LLLaaattteeerrraaallleeesss

Hasta ahora. al hablar de límite, hemos considerado la variable real x en un entorno reducido de centro x0 ( a derecha ya izquierda de este punto ). En algunos casos interesa el comportamiento de

la función, cuando los puntos x del dominio están a un solo lado de x0 . Esto es, en un semientorno a

la derecha o en un semientorno a la izquierda del punto x0 .

Volvamos a la función : - {0} dada por f (x) = x

x de la cual ya sabemos que no

tiene límite en el origen. Pero podemos pensar en el límite de la función cuando x tiende a cero con valores positivos exclusivamente.

x 0lim

x

x 1

x 0lim

x

x

x 0lim sen

1

x

x 0lim sen

1

x

1

x


Dicho en lenguaje común o cotidiano, cuando x se aproxima a cero por la derecha, los valores f(x) se acercan a 1 tanto como se quiera . Y, en parte, se satisface la definición de límite con el número 1 ya que x se acerca a 1 sólo por derecha. Expresamos esto diciendo que el límite lateral derecho de f(x) en 0 es 1 y lo

indicamos con .

Con un razonamiento similar se indica con , el lími-

te lateral izquierdo de esta función en 0. Con más precisión:

Definición 2: Sea x0 y sea una función definida en todos los puntos de un intervalo

abierto ( x0 , a ) . Decimos que tiene límite cuando x se acerca a x0 por la derecha o

que es el límite lateral derecho de en x0 y escribimos l = (x) lím+0xx

f

si dado cualquier

> 0 , existe > 0 tal que vale la siguiente implicación 0 < x - x0 < (x) - < .

Definición 3: Sea x0 y sea una función definida en todos los puntos de un intervalo

abierto ( a , x0 ) . Decimos que tiene límite cuando x se acerca a x0 por la izquierda o

que es el límite lateral izquierdo de en x0 y escribimos l = (x) lím-0xx

f

si dado cualquier

> 0 , existe > 0 tal que vale la siguiente implicación 0 < x0 - x < (x) - < .

Ya podemos intuir que el estudio de la existencia del límite puede reducirse al estudio de la existen-cia de límites laterales de acuerdo a la siguiente proposición:

Proposición: Sea una función definida en un intervalo (a , b) , salvo quizás en x0 (a,b) .

Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) l = (x) lím0xx

f

b) l = (x) lím+0xx

f

= l = (x) lím-0xx

f

De esta equivalencia surge otra: si no se cumple b) equivale a que no se cumpla a). Esto es, si los

límites laterales son distintos equivale a que el límite (x) lím0xx

f

no existe. Y esto justifica lo que

habíamos intuido antes en la función anterior: como los límites laterales son distintos (uno es -1 y el otro es 1) entonces esta función no tiene límite en 0. La prueba de esta proposición se puede ver en el Apéndice. Ahora vamos a ampliar el concepto de límite, considerando la posibilidad de que la variable x

crezca indefinidamente, ó (x) lo haga, ó lo hagan ambas:

x 0+

lím (x) = 1

f

x 0-

lím (x) = -1

f


LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOOSSS

Estudiaremos aquí el caso en que (x) crece indefinidamente. Para ello, consideremos la función

f (x) =

3

x- 22

Si investigamos los valores de en las cercanías de x0 = 2 ( luego, vamos a hacer tender x a 2 ),

utilizando lenguaje común, podemos decir que cuando x se acerca más y más a 2 ( ya sea por

izquierda o por derecha), (x) crece indefinidamente. También podemos decir que en cualquier en-

torno de x0 = 2 la función no está acotada: si se retoma la definición de función acotada, se ve que

no existe ningún número ).

Dicho esto de otro modo: podemos hacer (x) mayor que cualquier número k > 0 , con sólo tomar

x suficientemente próximo a 2. El "cuán próximo tenga que estar x de 2" dependerá del número k fijado de antemano. Veamos la definición precisa de este concepto:

Definición : Sea definida en un (a , b) , salvo quizás en x0 (a , b) . Decimos que (x) tiende

a infinito positivo cuando x tiende a x0 , y escribimos

x x0

lím (x) =

f si cumple la si-

guiente propiedad: k > 0 , (k) > 0 / 0 < x - x0 < (x) > k

La recta de ecuación x = x0 , se denomina

asíntota vertical al gráfico de la función.

En la gráfica se ha fijado k y en consecuencia, se obtiene un entorno reducido de centro x0 y

de radio . Se ve que si los x se encuentran en este entorno, sus imágenes (x) serán ma-

yores que este k . Si fijáramos un k' mayor que k , obviamente el nuevo entorno reducido

tendrá un radio ' menor que .

k se fija de antemano y depende de k .


Debemos recordar siempre que decir "existe un (k) " significa en realidad " existe por lo menos

uno". En la gráfica, para que (x) supere el k , las x deberán estar en el E ' ( x0 , ) ó en cual-

quier entorno reducido incluído en éste.

Otra vez consideramos entorno reducido y escribimos 0 < x - x0 < ya que no nos inter

esa el comportamiento de en x0 sino en las cercanías de x0 . En x0 , puede estar defi-

nida ó no, y esto no altera el comportamiento de la función alrededor de x0 .

Comparando con una situación en que existe límite : mientras que " (x) - < " expresa

el hecho de que (x) está cerca de , " (x) > k " expresa que (x) es grande. Por esto, si an-

tes interesaba " tan pequeño como se quiera", ahora interesa "k tan grande como se quiera".

La notación + se usa para expresar que aumenta o crece indefinidamente a medida que

x se acerca a x0 . Pero que quede bien claro que no simboliza a un número real determinado.

Por cuanto no debe ser tomado como el de la definición anterior. En consecuencia, las reglas

vistas allí no son aplicables a este ni a los casos de límite que siguen. En el Apéndice se da un ejemplo de cómo demostrar un límite infinito, usando la definición.

♣ El símbolo

-= (x) lím0

xx

f

Significa que los valores f(x) decrecen indefinidamente

cuando x se acerca a x0 tanto por izquierda como por

derecha, como ilustra la figura con el gráfico de

0

2

1)( 02

xyx

xf

𝑓𝑓

♣ El símbolo

= (x) lím0

xx

f

Significa que los valores f(x) crecen indefinidamente en

valor absoluto. Si bien esto ocurre en los dos casos

anteriores, reservamos este nuevo símbolo para cuando

los valores f(x) crecen indefinidamente cuando x se

acerca a x0 por la derecha y decrecen indefinidamente

cuando x se acerca a x0 por la izquierda, o viceversa.

La figura ilustra el primer caso con

0

1)( 0 xy

xxf


De aquí en más trataremos los restantes casos de límites de una manera intuitiva y menos formal. El alumno interesado puede ver estos conceptos, con más detalle, en el Apéndice. Ya que el hecho de acercarse a x0 por derecha ó por izquierda aporta información importante so-

bre el comportamiento de una función, se pueden considerar los siguientes casos:

♣ El símbolo

= (x) lím

0x

f

x

Significa que los valores f(x) crecen indefinida-

mente cuando x se acerca a x0 por la dere-

cha, como lo ilustra la figura.

♣ El símbolo

= (x) lím

0x

f

x

significa que los valores f(x) crecen indefinida-

mente cuando x se acerca a x0 por la izquier-

da, como lo ilustra la figura.

♣ El símbolo

= (x) lím

0x

f

x

significa que los valores f(x) decrecen

indefinidamente cuando x se acerca a

x0 por la izquierda, como lo ilustra la

figura.

𝑓𝑓

♣ Ejercicio: Realizar un gráfico y expresar con palabras el significado del símbolo

= (x) lím

0x

f

x


LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS EEENNN EEELLL IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOO

Aquí consideramos el caso en que la variable x tiende a . Para ello, investiguemos la función

cuya gráfica es:

Vemos que, tanto cuando x crece como cuando decrece, los valores (x) se van acercando a ce-

ro. Esto es, a medida que x crece en valor absoluto, la distancia entre (x) y el número

= 0 se va haciendo cada vez más pequeña. Expresaremos este hecho diciendo que el límite de

(x) cuando x tiende a infinito, es el número y lo simbolizaremos con = (x) límx

f

Otras funciones conocidas verifican este tipo de límite:

0= x

1 lím

x

0= 2-x

1 lím

x

Para las tres funciones consideradas, al cumplirse que 0= (x) límx

f

, la recta y = , en

este caso y= 0, se denomina asíntota horizontal de .

f (x) = 1

x +12


Puede ocurrir que una función tenga límite sólo cuando x crece o sólo cuando x decrece. Así

tenemos casos particulares del límite anterior:

♣ El símbolo l= (x) límx

f

significa que los valores f(x) se acercan tanto

como se quiera al número l cuando x decrece

indefinidamente (x→ - ∞).

Esto ocurre con

0)( lyexf x . Claramente esta función

no tiene este límite cuando x crece indefinida-mente (x→ + ∞).

La recta y= 0, es asíntota horizontal de f .

Ejercicio: Investigar (x) = e - x para observar que cuando x crece (x + ) , (x) 0 y escribir el

símbolo del límite correspondiente. Observar que cuando x decrece ( x - ) la función no tien-

de a 0.

Por último, puede pasar que una función (x) tengan un límite cuando x + y un límite

cuando x - , como se ve en el siguiente gráfico:

LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOOSSS EEENNN EEELLL IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOO

Finalmente, consideraremos aquí el caso en que tanto la variable independiente x como la depen-diente f(x) crecen indefinidamente: Analicemos el comportamiento de la función f(x) = x 3 :


Cuando x crece en valor absoluto (x + y

x - ) sucede que f(x) crece en valor absoluto.

Este comportamiento lo expresaremos diciendo que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito y lo sim-bolizaremos con

= (x) lím x

f

En el Apéndice se brinda la prueba, usando la definición, del límite

= x 3

lím x

De este caso general surgen los siguientes tipos particulares de límites:

♣ El símbolo

= (x) límx

f

significa que f(x) crece indefinidamente

cuando x crece en valor absoluto

(x→ ∞).

Esto ocurre con la función 2x= (x)f

♣ El símbolo

-= (x) límx

f

significa que f(x) decrece indefinidamente

cuando x crece en valor absoluto (x→ ∞).

Esto ocurre con la función 2x -= (x)f

♣ El símbolo

= (x) límx

f

significa que f(x) crece (f(x)→ + ∞) cuando

x crece (x→ + ∞).

Esto ocurre con

xe= (x) f

.


♣ El símbolo

= (x) límx

f

significa que cuando x decrece (x→ - ∞)

f(x) crece (f(x)→ + ∞).

Esto ocurre con la x-e= (x) f función

♣ Se deja como ejercicio que el alumno grafique y exprese con sus palabras, el comportamiento de

funciones que verifiquen los límites

= (x)f lím x

y

-= (x)f lím x -

.

PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS IIIMMMPPPOOORRRTTTAAANNNTTTEEESSS DDDEEE LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS FFFIIINNNIIITTTOOOSSS EEE IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOOSSS

Aunque las siguientes propiedades se refieren a límites de funciones cuando la variable independien-

te x tiende a infinito ( , - ó ), las mismas son válidas también cuando x tiende a x0

(

000 , xóxx ) .

1) Sean f una función acotada (puede tener límite o no) y g una función tal que

=g(x) limx

. Entonces:

i)

=) g(x) f(x) ( limx

( , - ó ) ii) 0=g(x)

f(x) lim

x

Ej: Si xsenxf )( y xxg )( entonces

i)

=)x (sen x limx

ii) 0=x

sen x lim

x

2) Sean f una función tal que 0L ,L=f(x) limx

y g una función tal que

=g(x) limx

. Entonces:

i)

=) g(x) . f(x) ( limx

( , - ó ) (regla mnemotécnica: L . = L≠0)

ii) 0=g(x)

f(x) lim

x ( r.m. :

L = 0 )

iii)

=f(x)

g(x) lim

x ( , - ó ) ( r.m.:

L

= )

Ej: Si 0,,)( kkkxf y xxxg ,)( entonces

i)

=x . k limx

ii) 0=x

k lim

x iii)

=

k

x lim

x


Ej: Si xxf )( y 1,1

1)(

x

xxg entonces

i)

=1-x

1 . x lim

x 1 ii) 0=

1-x

1

x lim

x 1

iv)

=) g(x) f(x) ( limx

( , - ó ) ( r.m.: L = )

Ej: Si 0,,)( kkkxf y xxxg ,)( entonces

=) x k ( limx

v) Si, en particular, L > 1 y

=g(x) limx

, entonces:

=f(x) limg(x)

x

Si, en particular, 0 < L < 1 y

=g(x) limx

, entonces:

0=f(x) limg(x)

x

Ej: si kkxf ,)( y

=x limx

entonces

x

x

g(x)

x) k ( lim=f(x) lim , si k>1 y 0

x

x

g(x)

x) k ( lim=f(x) lim , si 0<k<1 .

3) Sean f una función tal que 0=f(x) limx


=g(x) limx

.

Entonces:

i) 0=g(x)

f(x) lim

x ( r.m. :

0 = 0 )

ii)

=f(x)

g(x) lim

x ( , - ó ) ( r.m.:

0

= )

iii) Si, en particular, )(xf > 0 para todo x en cierto dominio, entonces:

-=f(x) ln limx

Ej: Si 0,1

)( xx

xf y xxg )( entonces

i) 0=x

1/x lim

x ii)

=

1/x

x lim

x iii) En particular

-=

x

1ln lim

x

Ej: Si xsenxf )( y 0,1

)( xx

xg entonces

i) 0=

x

1

x sen lim

x 0 ii)

=

x sen

1/x lim

x

4) Sean f una función tal que 0L ,L=f(x) limx


0=g(x) limx

. Entonces:

i)

=g(x)

f(x) lim

x = ( , - ó ) ( r.m.:

0

L = )

ii) 0=f(x)

g(x) lim

x (

L

0 = 0 , obvio )


Ej: Si xthxf )( para la cual se verifica que 1=x th limx

y x

xf1

)( entonces

i)

=1/x

xth lim

x ii) 0=

xth

1/x lim

x

Ej: Si 2)( xxf y xxg )( entonces

i)

=

x

2x lim

x 0

5) Sean f y g dos funciones tales que

=f(x) limx

y

=g(x) limx

. Entonces:

i) ) g(x) f(x) ( limx

=

- a tienden sumandos ambos si ,

+ a tienden sumandos ambos si ,

ii)

=) g(x) . f(x) ( limx

( , - ó ) ( r.m.: . = )

Ej: Si 2)( xxf y

4)( xxg entonces

i)

)x x ( lim42

x ii)

)x . x ( lim

42

x

Ej: Si 0,1

)( xx

xf y 0,1

)(2

xx

xg entonces

i)

=xx

1 lim

x

2

1

0

ii)

=

xx

1 lim

x2

1.

0

6) Sean f una función tal que a=f(x) limx


=g(x) limx

. Enton-

ces:

-1=r siexiste, no

1=r si ,1

0=r si ,0

=r lim

:tenemos entonces ,x ,r = f(x) es Si-

-1<a si ,

1>a si ,+

1<a si ,0

= f(x) lim

g(x)

g(x)

n

x

Aclaración : Se debe tener sumo cuidado en recordar lo que en realidad significan “ reglas mne-motécnicas ” : ellas son sólo expresiones fáciles de recordar. Por ejemplo, la expresión

L . = ( L≠0 ) significa que si una función tiene límite L no nulo y otra función tiene límite infi-

nito, el producto de ambas funciones tiene límite infinito. Entonces nunca entenderemos ni escri-

biremos esta expresión como un producto de números reales, ya que no lo es. Vale la misma consideración para el resto de las reglas mnemotécnicas.


LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS IIINNNDDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAADDDOOOSSS

Todo límite que no se encuentre dentro de las propiedades vistas hasta ahora, recibe el nombre de límite indeterminado o indeterminación. Es decir, si estamos calculando un límite y ninguna de las propiedades vistas permite afirmar o predecir cuál es el resultado, dependerá del caso particular si el límite es finito, infinito o bien no existe. Por otro lado, los enunciados que siguen consideran límites donde la variable independiente x tiende

a , pero todas sus afirmaciones valen si x tiende a x0 . Veamos las indeterminaciones que se pueden presentar:

I) Sean f una función tal que 0=f(x) limx


=g(x) limx

. En-

tonces:

i) g(x) . f(x) limx

= 0 . , es una INDETERMINACIÓN .

ii) Si, en particular,

=g(x) limx

, entonces

g(x)

xf(x) lim

= ( )0 . INDETERMINACIÓN .

II) Sean f y g dos funciones tales que 0=f(x) limx

y 0=g(x) limx

.

Entonces:

i) g(x)

f(x) lim

x =

0

0 . INDETERMINACIÓN.

ii) g(x)

xf(x) lim

=

00 . INDETERMINACIÓN.

III) Sean f y g dos funciones tales que

=f(x) limx

y

=g(x) limx

. Entonces:

i) g(x)

f(x) lim

x =

. INDETERMINACIÓN

ii) Si ambos infinitos son de igual signo, ó son infinitos sin signo :

) g(x) - f(x) ( limx

= - . INDETERMINACIÓN.

IV) Sean f una función tal que 1=f(x) limx


=g(x) limx

. Enton-

ces:

g(x)

xf(x) lim

= 1∞ . INDETERMINACION

Caso Importante: Se puede demostrar que si esta indeterminación proviene de


x

xf1

1)( ( que tiende a 1 cuando x tiende a ) y xxg )( ( que tiende a ), es

g(x)

xf(x) lim

= e

x

11 lim

x

x

( e = 2,71828...)

Más adelante volveremos a hablar de este límite.

Excepción: En el caso en que )(xf = 1 para todo x , no hay indeterminación puesto que

g(x)

xf(x) lim

=

g(x)

x1 lim 1

1 lim

x

En resumen, existen siete indeterminaciones y ellas son:

1 , , - , . , , 000 00

0y

CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS DDDEEE FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS

Luego de la definición de límite finito hemos visto un ejemplo en el que se demostró que cierto número es el límite de cierta función. Una demostración así, sólo se puede hacer si uno intuye que cierto número es el límite de la función. Lo mismo vale para cada caso de límite. Ahora lo que que-remos es hallar el límite de cierta función ( si este existe ) sin tener que recurrir a la definición. Para ello tenemos nuevas herramientas que son precisamente, las propiedades mencionadas anterior-mente. Hallando límites con ellas también estaremos demostrando los resultados obtenidos. Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar estas propiedades y cómo operaremos si se presenta alguna indeterminación, lo que comúnmente se expresa “ salvar la indeterminación ”, para así obte-ner un resultado.

Ejemplo 1: Si 1)( xf y 1)( 2 xxg , entonces g(x)

f(x) lim

x 0

1x

1 lim 2

x Se ve claramente

que este límite no es indeterminado y que se halla fácilmente utilizando la propiedad (2 ii) . Por lo

tanto hemos demostrado que la función 1

1

)(

)()(

2

xxg

xfxh tiende a cero cuando x tiende a

. En los ejemplos que siguen, obviaremos esta desagregación de h(x) como cociente entre f(x) y g(x) y aplicaremos la propiedad que corresponda , una vez “ salvada ” la indeterminación.

Ejemplo 2: 1-x

1-x lim

0

0

21x

, en este caso, la indeterminación

0

0 se “ salva ” factoreando el de-

nominador:

1x1-x

1-x lim

x

1

1x

1 lim

x 2

1

1

Ejercicio: Calcular 1-x

1-x lim

21x para observar que no se presenta alguna indeterminación.


Ejemplo 3: *x+x

x+2x lim

4

23

x

, en este caso la indeterminación

se “ salva ” dividiendo

numerador y denominador por xn , donde n es la mayor potencia de todas las que afectan a x en la expresión . Aquì dividimos por x4 :

=

x

x

x

x

x

x

x

2x

4

3

lím x

44

4

4

2

*

= 1

1

12

1

0

00

x3

lím

atiende

atiende

atiendeatiende

x

xx

Usando las propiedades 2ii) y 4ii) , concluímos que este límite es 0.

Ejemplo 4: *x+2x

x+x lim

0

0

23

4

0x

, aquí la indeterminación

0

0 se “salva” dividiendo numerador y

denominador por xn , donde n es la menor potencia de todas las que afectan a x en la expresión. En este ejemplo lo hacemos por x :

=

x

x

x

x

x

x

x

x

4

lím0 x

232*

00

22

1

1

0

3

lím0 x

atiende

x

atiende

x

atiende

atiende

x

usando la propiedad 4i) concluimos que el límite de arriba es + .

Ejemplo 5 : *2

4 0

0

4

x

xlïmx

, en este caso para “levantar” la indeterminación 0

0 es conveniente

multiplicar tanto numerador como denominador de la función por )2x( , es decir por el conju-

gado del denominador :

2

2

2

4*

4

x

x

x

xlímx

= 224x 2)x(

)2x).(4x(lím

=

4x

)2x)(4x(lím

4x

= 4)2x(lim

4x

Ejemplo 6 : Dada )(xf =

1xsi

1xsi3x2 calcular )(

1xflím

x

Esta función está definida en x0 = 1 y )1(f , pero sabemos que el valor del límite de una fun-

ción cuando 0xx no depende del valor que asume dicha función en x 0 .

Como 32)( xxf en cualquier entorno reducido de 1 , calculamos 13-2x 1

xlím


Ejemplo 7 :

2

1

1-x

1

21 xx

límx

Aquí, la indeterminación está generada por una resta de funciones racionales. Haciendo común denominador pasamos a tener otra indeterminación :

2

1

1

1

21 xx-x

límx

=

0

0

2

2

1 21

12

xx-x

xxxlímx

21

11

21

xx-x

xxlímx

Como x está en un entorno reducido de 0 , entonces es 1x y podemos cancelar (x – 1) de

numerador y denominador . Con lo cual tenemos:

0 quemayores valores

con 0 a tiende 2-x xsuma la

,1 xcomo

2

2 a tiende

1

2

2

1

xx

xlím

x = + ó

0

2 a tiende

1 )2)(1(

1

xx

xlím

x

= + , usando la propiedad 4i) .

DDDOOOSSS LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS IIIMMMPPPOOORRRTTTAAANNNTTTEEESSS

AAA))) EEElll nnnúúúmmmeeerrrooo eee

Dentro de los límites indeterminados se mencionó un límite, que por ser muy importante destacamos aquí:

donde “ e ” es el número irracional 2,718281….

Este límite significa que son válidos los siguientes límites:

x

x xlím

11 = e y

x

x xlím

11 = e

Ejemplo : Calcular

x

x xlím

2

3

11

x

x xlím

11 = e (1)


Para llevar la expresión a la forma del número e hacemos un cambio de variable: u

1

3

1

x u = 3 x

3

u = x . Vemos que cuando x + , u + . Reemplazando, tenemos:

x

x xlím

2

3

11

=

3

u2

u u

11

lím =

3

2u

u u

11

lím = e2/3

Afirmamos ahora que

Demostración:

Sea el cambio de variable

u , 0 cuandou

1 ,

1u

x

xx tenemos x

xxlím

/1

01

=

u

u u

11

lím = e

(por lo afirmado anteriormente).

Observación : El límite demostrado es un límite único. Es decir se considera a la variable real x en un entorno reducido de cero. Lo cual implica que el resultado es válido si se consideran límites por

izquierda o por derecha (es decir si x 0+ o si x 0- ).

El límite (1) se puede generalizar:

BBB)))

Se puede intuir este resultado, observando el gráfico de la derecha. Recordemos que

C arco long1

C arco long

radio

C arco longrad x

y que la longitud del segmento A es la medida de sen x . Entonces, si el ángulo x tiende a 0, las longitudes de A y C van aproximándose entre sí y su cociende se aproxima a 1.

Recordando también que el segmento B mide la tangente del ángulo x, un análisis similar permite intuir que las medidas de B y C se aproximan entres sí cuando x tiende a 0 y el cociente de ambas

se aproxima a 1.Es decir, también es válido el límite:

x

xxlím

/1

01

= e 2)

Definición:

)(

)(

11

xf

x xflím

= e donde f es

una función real que cumple f(x)límx

=

x

xlímx

sen

0= 1


En el Apéndice se dan las demostraciones de los dos últimos límites.

Generalización : Sea n - {0} , entonces

x

xlímx n

nsen

0= 1 •

x

xlímx nsen

n

0 = 1 , pues

1 a tiende

0

n

nsen

1

x

xlímx

= 1

x

xlímx n

n tg

0 = 1 •

x

xlímx n tg

n

0 = 1

IIINNNFFFIIINNNIIITTTÉÉÉSSSIIIMMMOOOSSS

Tienen especial importancia en Matemática aquellas funciones que tienen límite cero, en un punto. Las mismas se denominan infinitésimos.

Definición: La función = (x) se denomina infinitésimo en x = a si, y sólo

si, xlímx

a

= 0

De la definición se deduce que = (x) se denomina infinitésimo en x = a > 0 , () > 0:

si 0 < x - a < (x) < .

Ejemplo 1 : (x) = (1 – x)2 es infinitésimo en x = 1 , pues 21

1 xlímx

= 0

Ejemplo 2 : (x) = (x – 1)(x + 2) es infinitésimo en x = 1 y x = -2 pues )2(1 1

xxlímx

= 0

y )2(1 -2

xxlímx

= 0

Ejemplo 3 : (x) = sen x es infinitésimo para x = k , k

Ejemplo 4 : (x) = 10-10 no es infinitésimo para algún valor de x

Observación: No hay números infinitésimos sino funciones infinitésimas en un punto. Además las

funciones no son infinitésimas en general, sino en ciertos puntos o valores de x . Por ejemplo (x)

x

xlímx

tg

0= 1


no es infinitésimo en x = 2 pues 22

1 xlímx

= 1 0 . O sea que cada vez que se dice que cierta

función (x) es infinitésimo, hay que especificar en qué punto lo es.

Operaciones con Infinitésimos

Propiedad 1: a) La suma algebraica y el producto de un número finito de infinitésimos en un mismo punto x = a

es un infinitésimo en x = a .

Es decir: si (x) , (x) , (x) , … , (x) son infinitésimos en x = a , entonces:

1) xxxxlímx

... a

= 0

2) xxxxlímx

. ... . . . a

= 0

b) El producto entre una constante y un infinitésimo es x = a es infinitésimo en x = a , es decir:

xlímx

.k a

= 0 donde k .

Este teorema se demuestra facilmente utilizando las propiedades sobre límite.

Propiedad 2: El producto de una función acotada y un infinitésimo en x = a es un infinitésimo en x = a .

Es decir: si (x) es tal xlímx

a

= 0 y si f(x) es tal que f(x) M entonces xfxlímx

a

= 0

Ejemplo 5 : x

xlímx

1sen

0 = 0 porque xlím

x

0 = 0 y

x

1sen 1

Propiedad 3: El cociente de un infinitésimo en x = a y una función acotada es un infinitésimo en x = a.

Es decir: si xlímx

a

= 0 y f(x) M entonces xf

xlímx

a = 0 ( f(x) 0 en un entorno de x = a)

Comparación de Infinitésimos

A diferencia de lo que sucede con la suma algebraica y producto de infinitésimos, no podemos ase-gurar nada sobre el límite del cociente de infinitésimos.

Tratándose de cantidades finitas A y B, si se establece la relación B

A , ésta expresa la medida de A

en unidades de magnitud B.

Cuando se trata de infinitésimos y en x = a , para compararlos se calcula el límite del cociente

entre ambos: x

xlímx

a . Este límite puede resultar :

Que no exista, en este caso diremos que los infinitésimos no son comparables.


Que exista, en este caso los infinitésimos son comparables y puede suceder que el resultado del límite sea:

a. Cero: Es decir (x) tiende a cero “más rápidamente” que (x) . Esta idea se indica mediante

la expresión: “ (x) es de mayor orden que (x) ”.

b. Constante (k): Es decir (x) y (x) tienden a cero “con igual rapidez” o bien “ (x) y (x) son infinitésimos de igual orden ”.

En particular, si la constante es k = 1, se dice que “ (x) y (x) son infinitésimos equiva-lentes ”.

Que sea infinito: Es decir (x) tiende a cero “más rápidamente” que (x) , o bien “ (x) es de

menor orden que (x) ”.

Esto último permite reemplazar un infinitésimo por su equivalente, cuando se calculan límites.

Recientemente hemos demostrado que x

xlímx

sen

0 = 1 y

x

xlímx

tg

0 = 1 entonces, según la de-

finición anterior podemos decir que sen x , x y tg x son infinitésimos equivalentes en el origen

(o lo que es lo mismo en x = 0 ). Esto quiere decir que si tenemos 0x

lím de alguna expresión donde

figuren x , sen x y/o tg x se pueden reemplazar entre ellos indistintamente y así obtener otra ex-presión más fácil de calcular su límite.

Análogamente, por las generalizaciones vistas, se pueden reemplazar indistintamente nx , sen nx y

tg nx entre sí, siempre que figuren en un límite cuando x 0 .

Veamos en algunos ejemplos, cómo lo estudiado hasta aquí nos da una herramienta importante para el cálculo.

Ejemplo 6 : Dadas (x) = x y (x) = sen 2 x . Indicar para qué valores son infinitésimos y compa-rar.

(x) es infinitésimo en x = 0

(x) es infinitésimo en x = 0 , , 2 , …, n donde n Z - 0

Entonces podemos comparar (x) y (x) en x = 0 , haciendo x

xlímx

2sen

0 . Para resolver este

límite podemos proceder de dos formas distintas:

a) Por límites notables: Hemos probado que x

xlímx n

n sen

0 = 1 , entonces teniendo esto en cuenta,

multiplicamos y dividimos el cociente del límite original por 2:

1 a tiende

0 2

2sen . 2

x

xlímx

= 2 . 1 = 2. Con-

cluimos que (x) y (x) son infinitésimos de igual orden.

b) Por infinitésimos equivalentes: Como x

xlímx n

n sen

0 = 1, se deduce que sen nx y nx son infi-

nitésimos equivalentes en el origen. Podemos entonces, reemplazar uno por otro pues

estamos calculando un límite donde x 0 . Así es que: 2sen

0 x

xlímx

= x

xlímx

2

0 = 2

reemplazando sen 2x por 2x


Ejemplo 7 : Sean f(x) = x2 + 2x y g(x) = sen3 (x + 2)

f(x) es infinitésimo para x = 0 y x = -2

g(x) es infinitésimo para x = -2 , ( - 2) , (2 - 2), …, (k - 2) con k Z

Podemos comparar a f y g en x = -2 haciendo )2(

)2( sen

3

2

xx

xlím

x

Realicemos el cambio de variable

0 u

2-

2 -u u 2

x

xx

, entonces tenemos que:

)2(

)2( sen

3

2

xx

xlím

x =

u )2-u(

u sen

3

0ulím

a) Por límites notables: u )2-u(

u sen

3

0ulím =

1 a tiende2- a tiende

0 a tiende

2

0u u

usen .

2-u

u sen

lím =

2

0

. 1 = 0 . Luego g(x) es de

mayor orden que f(x) .

b) Por infinitésimos equivalentes: u )2-u(

u sen

3

0ulím =

u )2-u(

u

2 3

0u

lím =

2

0

= 0

reemplazamos sen

3 u por u

3 , puesto que sen u y u

son infinitésimos equivalentes cuando u 0

Está claro que, cualquiera sea el procedimiento que se utilice, el resultado del límite y la conclusión que de ahí obtengamos deben ser iguales.

Ejemplo 8 : Calcular x

xlímx

sen arc

0 =

0

0

En este caso resulta interesante estudiar la fun-ción

y = arc sen x , y : [-1 , 1]

2

π ,

2

π

El gráfico nos permite intuir el resultado del lími-te. Es decir, nos permite ver la equivalencia en-tre las funciones arc sen x y x que son infi-nitésimos en x = 0 , puesto que allí “se ve” que en un entorno reducido de cero, la diferencia (en valor absoluto) entre los valores de las ordena-das de la recta y de la curva, se hace cada vez

más pequeña conforme x0.

Para calcular el valor del límite hagamos el cambio de variables:

)/2 , /2- al pertenecer debe ( 0 , 0

sen sen arc

yyx

yxxy


entonces: x

xlímx

sen arc

0 =

y

ylímy sen

0

= 1

SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCAAASSS IIINNNFFFIIINNNIIITTTAAASSS

La palabra sucesión o secuencia se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano y tiene el mismo significado que en matemática, el de un conjunto ordenado de elementos. Por ello, se habla de la sucesión de los días de la semana o de la sucesión de los números naturales con la misma interpretación intuitiva. Aunque una sucesión puede ser finita o infinita y si bien los términos de la misma pueden ser dados en forma arbitraria, adquieren más interés las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de una ley generadora. Por ello, diremos que : Una sucesión de números reales consiste en asignar a cada número natural n , por medio de una ley generadora, un número real que simbolizaremos an . O sea, al número natural 1 se le asigna el número real a1 , al número natural 2 se le asigna el número real a2 , etc. Una sucesión queda indicada de la siguiente forma:

a1 , a2 , a3 , . . . an , . . .

y puede simbolizarse con an n 1 , 1nna o nna indistintamente.

a la expresión na , la llamaremos término general de la sucesión y es la que da la ley generado-

ra de la misma.

,1a 2a , 3a , … son los términos de la sucesión

los términos de la sucesión están ordenados en correspondencia con los números naturales

cada término na tiene uno que le sigue 1na . Por lo tanto no existe último término de la suce-

sión. De ahí el nombre de “ sucesión infinita “

cada término de la sucesión es un número real. De ahí el nombre de “ sucesión numérica “ Ejemplo 1: Si a cada número natural n se le asigna su cuadrado ( n2 ), tenemos la sucesión

1n2n que es

1 , 4 , 9 , 16 , . . . , n2 , . . .

Ejemplo 2: Si a cada número natural n se le asigna su inverso multiplicativo ( n

1 ), tenemos la

sucesión 1n

1

n que es 1 ,

2

1 ,

3

1 ,

4

1 , . . . ,

n

1 , . . .


Ejemplo 3: Si a cada número natural n se le asigna su idéntico ( n ), tenemos la sucesión 1nn

que es 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … . O sea, la sucesión de los números naturales. Una sucesión también puede estar definida por recurrencia. Es decir, mediante reglas que permiten obtener cada término de la misma, a partir del anterior:

Ejemplo 4: Sea la sucesión 1nnd en la que, para todo n es:

22

1 n 4

1 nsidd

sid

nn

n

,

,

Esta sucesión es 4 , 2 , 0 , -2 , -4 , . . . ,dn , . . .

Hay que distinguir entre la sucesión misma y el conjunto de valores que ella toma. La definición dice claramente que ella es infinita, pero el conjunto de valores que toma, bien puede ser finito. Por ejem-plo:

la sucesión 1n1 n es la sucesión -1 , 1 , -1 , 1 , ,1 , . . . , n1 , . . . Sin embargo, el

conjunto de valores que ella toma es el conjunto 1,1 que está formado sólo por dos valores.

Por otro lado, dos sucesiones diferentes pueden tener iguales elementos. Veamos esto con la suce-sión cuyo término general es

paresnsi

n

imsi

dn,

2

2

paresn ,1

Tenemos la sucesión ...,4

1,1,

3

1,1,

2

1,1 , la cual tiene los mismos

elementos que la sucesión 1n

1

n , sin embargo ambas sucesiones son diferentes.

Usando la terminología de funciones, se puede definir una sucesión como un caso particular de fun-

ción cuyo dominio es :

Definición: Una sucesión de números reales, es una función nanfNf )(/:

Ejemplo : La sucesión 1

)(/:

n

nnfNf es

...,5

4)4(,

4

3)3(,

3

2)2(,

2

1)1( 4321 afafafaf

RRREEEPPPRRREEESSSEEENNNTTTAAACCCIIIÓÓÓNNN GGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAA DDDEEE SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS

Podemos representar gráficamente una sucesión 1nna de dos maneras:

I) Puesto que una sucesión es una función, podemos graficarla usando ejes cartesianos ortogonales,

representando en el eje de las abscisas a los números naturales (ya que Nn es la variable inde-


pendiente) y en el eje de las ordenadas a los números na (ya que an es la variable dependien-

te).

Ejemplo 1: La sucesión2)(/: nnfNf .

Observación: Toda sucesión siempre estará representada por puntos aislados, ya que su dominio es N .

Ejemplo 2: La sucesión 1n1 n, para la cual sabemos que an =

impar esn si 1-

par esn si 1

Ejemplo 3: La sucesión 1n

1

n que es 1 ,

2

1 ,

3

1 ,

4

1 , . . . , an , . . .


Se puede observar en el gráfico que los términos an son menores o iguales que 1 , mayores que 0

y que van disminuyendo a medida que avanzamos con los naturales.

II ) La otra forma de representar gráficamente una sucesión es marcando sobre la recta real los pun-tos correspondientes a los términos a1 , a2 , a3 , . . . . Es posible que este tipo de diagrama muestre más claramente “ hacia dónde va ” la sucesión. Veamos esto con las tres sucesiones que anterio-res:

Ejemplo 4: La sucesión 1n2

n “crece indefinidamente” a medida que avanzamos con los natura-

les:

Ejemplo 5: La sucesión 1n1 n “va dando saltos” entre -1 y 1:

Ejemplo 6: Para la sucesión 1n

1

n , los términos “ pueden estar tan cerca como se quiera de 0 ”,

conforme avancemos con los naturales:

cn = n

1

LLLÍÍÍMMMIIITTTEEE FFFIIINNNIIITTTOOO

De las tres frases entre comillas, la última constituye el concepto crucial asociado con las sucesio-

nes. Como los términos de la sucesión 1n

1

n

se acercan tanto como se quiera a 0 conforme n

se toma suficientemente grande, se dice que esta sucesión tiene límite L = 0 cuando n tiende a

infinito y esto se indica con n

lim n

1 = 0. En general:

El símbolo alím nn

= L

indica que los términos na se acercan tanto como se quiera al número L conforme n es suficiente-

mente grande. La figura siguiente muestra las gráficas de dos sucesiones que tienen límite L:


Cuando una sucesión 1nna

tiene límite finito L diremos que esta sucesión es convergente o que

converge a L.

Observación importante: Si comparamos el límite alím nn

= L con el límite Lf = (x) límx

dado en Límite de Funciones vemos que la única diferencia entre ellos es que n es variable natural.

El siguiente teorema formaliza la idea de que si una función (x)f tiene cierto límite L cuando

𝑥 → +∞ y la fórmula que define a (x)f y a (n)f = 𝑎𝑛 es la misma, entonces la sucesión 1nna

tiene el mismo límite L :

Teorema: Si L (x)f = límx

y nanf )( donde n es natural, entonces limn

an = L.

En consecuencia, todas las propiedades de límites vistas en este caso de límite funcional, son apli-cables en el cálculo de límite de sucesiones. Antes de ver ejemplos, veamos otros conceptos.

SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS AAACCCOOOTTTAAADDDAAASSS

El concepto de sucesión acotada se deduce automáticamente de la definición de función acotada.

Como una sucesión 1nna

es una función real de variable natural n , bastará ver si su conjunto

Imagen, Nna f Im n : es acotado. En este caso diremos que la sucesión 1nna

es acota-

da.

Ejemplo 1: Si tomamos la sucesión 1n

n

1 vemos que, para todo Nn es 1

10

n.

Es decir que las imágenes se encuentran entre 0 y 1 y si recordamos su gráfica acordaremos que la misma se puede encerrar entre dos rectas horizontales. Por lo tanto esta es una sucesión acotada. Ejemplo 2: Consideremos la sucesión 1 ,4 ,9 , . . . ,n2 , . . .

Como Nnn ,02 pero no existe algún número real M de manera que todo n2 sea menor o igual

que M, entonces esta sucesión no es acotada. Avanzando en nuestro estudio de las sucesiones, unos pocos ejemplos bastan para mostrar que una sucesión acotada puede o no ser convergente ( puede o no tener límite L ). En el caso de la su-

cesión 1n

n

1 vimos que es acotada y converge a 0. Pero la sucesión 1n1 n

es acotada, ya


que sus términos permanecen (por ejemplo), entre -1 y 1 pero no es convergente a algún número L puesto que sus términos no se aproximan tanto como se quiera a algún L cuando n aumenta.

Entonces el hecho de que una sucesión sea acotada, no implica que sea convergente. Lo que sí se cumple es :

Teorema1) : Si la sucesión 1nna

es convergente 1nna

es acotada.

Obsérvese que este teorema es de la forma p q , donde significa implica, p es la hipótesis y q

es la tesis. Para todo teorema de esta forma vale su contrarrecíproca , que es q p ( el símbo-

lo significa no ) y que viene enunciada en el teorema que sigue:

Teorema2) (Corolario de Teorema1 ) : Si la sucesión 1nna

no es acotada 1nna

no es

convergente. Aquí la hipótesis es la frase que está antes de la flecha y la tesis es la frase que está después de la flecha. Recordando los ejemplos que se dieron para introducir los dos teoremas, podemos afirmar que la

recíproca del Teorema 1 , que es “ Si la sucesión 1nna

es acotada 1nna

es convergente ”

y tiene la forma q p , no es cierta. ¿ Cuáles son la hipótesis y la tesis de esta última implicación?.

SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS MMMOOONNNÓÓÓTTTOOONNNAAASSS

Una sucesión numérica 1nna

es creciente si, y sólo si, para todo Nn se cumple que

1 nn aa . Y es estrictamente creciente si, para todo Nn se cumple que 1 nn aa . La suce-

siones estrictamente crecientes, también son crecientes.

Ejemplo 1: Consideremos la sucesión 1n

2n

Como Nnnn ,1 y por ser ambos miembros positivos , es Nnn ,1n22

. O sea que

se verifica 1 nn aa , para todo Nn , entonces esta sucesión es estrictamente creciente.

Una sucesión numérica 1nna

es decreciente si, y sólo si, para todo Nn se cumple que

1 nn aa . Y es estrictamente creciente si, para todo Nn se cumple que 1 nn aa . La suce-

siones estrictamente decrecientes, también son decrecientes. Tanto a las sucesiones crecientes como a las decrecientes las llamaremos sucesiones monótonas. Ahora vincularemos este concepto con el de convergencia. Si bien hemos visto que una sucesión

acotada puede o no ser convergente, el siguiente teorema enuncia que si la sucesión 1nna

,

además de acotada es monótona, será convergente:

Teorema3) : Si la sucesión 1nna

es acotada y monótona 1nna

es convergente.

La gráfica siguiente ilustra lo afirmado por este teorema: la sucesión es acotada y es monótona ( es-

trictamente creciente). Se puede observar que ella converge a c ya que los términos na se van

acercando tanto como se quiera a este valor, a medida que n aumenta.


Observación: Es oportuno este momento para reafirmar algunas nociones. Debe diferenciarse una definición de lo que es un teorema, o una proposición o una propiedad ( que no sea básica ). Ca-da definición ha de aceptarse tal cual se expresa y no necesita probarse. En cambio cada teorema o proposición o propiedad no básica tiene su demostración ( aunque no sean desarrolladas en estos apuntes ). Por ejemplo: a la pregunta de ¿cuál es la definición de sucesión acotada ? , la respuesta correcta es todo lo desarrollado en Sucesiones Acotadas y es erróneo contestar “ una sucesión es acotada, si ella es convergente ” puesto que se está citando un teorema.

LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS IIINNNFFFIIINNNIIITTTOOOSSS

Consideremos la sucesión 1nna dada por na = n , es decir la sucesión: 1, 2, 3, ..., n , ...

En base a una propiedad ya vista podemos decir que no es convergente porque no es acotada (no existe algún número M de manera que todos los términos de la sucesión sean menores o iguales que

M). Igual pasa con la sucesión 1n

2n que es la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... puesto que

tampoco es acotada.

Observemos que, en ambos casos, los términos na aumentan indefinidamente a medida que n au-

menta. Este comportamiento lo expresaremos matemáticamente diciendo que estas sucesiones

tienden a infinito positivo (+) cuando n tiende a infinito y lo simbolizaremos con n = y

n2 = respectivamenteEn el caso general:

El símbolo an =

significa en lenguaje común que los términos de

la sucesión 1nna

crecen indefinidamente cuan-

do n aumenta.

La figura ilustra este comportamiento con la gráfica

de la sucesión 1n

2n

lim n

lim n

lim n


Análogamente, el símbolo

an = -

expresa que los términos de la

sucesión 1nna

decrecen inde-

finidamente cuando n aumenta.

La figura ilustra este comporta-miento con los gráficos de la su-

cesión 1n

n2-

El siguiente tratamiento es para las sucesiones 1nna en las que na crece indefinidamente en

valor absoluto . Si bien es cierto que esto último también ocurre con las sucesiones 1n

2n y

1n

n2-

, veamos el caso de la sucesión:

1nna = { (-1 ) n . n 2 }n

Observando los términos -1,4,-9,16,-25,36,…y su gráfico, se puede apreciar que su límite no es

+ ni - quí conforme n crece, los términos se van alternando en sus signo y en valor absoluto

crecen. Diremos que esta sucesión 1nna tiende a

y simbolizaremoseste comportamiento con

an =

A las sucesiones que tienden a , a - ó a las llamaremos sucesiones divergentes. Si una sucesión no es convergente ni divergente, la llamaremos sucesión oscilante. O sea, una

sucesión oscilante es aquella que no tiende a un número L , pero tampoco tiende a , ni a - ,

ni a . Estas sucesiones no tienen límite.

Ejemplo: La sucesión {( - 1 )n }n cuyos términos son -1, 1, -1, 1, ..., (-1)n ,... es oscilante y

(-1)n no existe . Otros ejemplos: la sucesión 0 , 2 , 3 , 0 , 2 , 3 , ....; la sucesión 0 , 1 , 0 ,

2 , 0 , 1 , 0 , 2 , ... Observación: Si el alumno desea profundizar en los conceptos correspondientes a límite de suce-siones, en el Apéndice se brindan definiciones formales y algunos ejemplos de demostraciones de límites usando la definición correspondiente

CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE LLLÍÍÍMMMIIITTTEEE DDDEEE SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS

La siguiente idea se sustentó mediante un teorema dado en límite finito de sucesiones y ahora la generalizaremos sin formalidad: como una sucesión es una función real sólo que de variable natural, todas las propiedades vistas en Límite de Funciones, particularmente aquéllas donde x tiende a , son válidas para los límites de sucesiones, ya que los mismos se buscan cuando n tiende a

infinito. También recordemos que las propiedades de límites justifican los pasos efectuados en el

lim n

lim n

lim n


cálculo de límites y que es posible que en este proceso se presente alguna de las siete indetermina-

ciones conocidas :

1 , , - , . , , 000 00

0y

Ejemplo 1 : Estudiar el carácter de la sucesión:

1

2 13

)1(

n

n

n

Para investigar el carácter de la sucesión dada debemos estudiar 13

)1(2

nlím

n

n . Podemos considerar

que n

na )1( y 13 2 nbn donde 1nna es una sucesión acotada y 1nnb es una suce-

sión divergente ( tiende a ). Teniendo en cuenta la propiedad 1 ii) vista en límite de funciones

Pág 23, concluimos que 013

)1(2

nlím

n

n .

Ejemplo 2 : Calcular el 1

12 n

límn

. Este límite se halla fácilmente utilizando la propiedad 2 ii) ,

Pág. 23, la cual afirma que = 0 . Por lo tanto hemos demostrado que la suce-

sión dada por converge a cero.

Ejemplo 3 : Hallar el . En esta sucesión, el numerador y el denominador tienden

a infinito. Entonces estamos frente a la indeterminación . Dividiendo numerador y denomina-

dor por n3 se "salva" la indeterminación: Aquí se utilizaron las propiedades 2ii) de pág. 23, 4 i) de pág. 24 y propiedad 6 de límites finitos de pág. 6 .

lim 1

n +1

n 2

a = 1

n +1 n 2

lim n + n

n + n

n

3 2

2

lim

n

n+

n

n

n

n+

n

n

= lim

1 + 1

n1

n +

1

n

= +n

3

3

2

3

2

3 3

n

2


APÉNDICE Esta parte de los apuntes está destinada a aquellos alumnos que desean comprender más detalla-damente los conceptos de límite finito, límite infinito, límite en el infinito y límite infinito en el infinito, de funciones. Así como el límite finito se definió formalmente utilizando los parámetros épsilon y del-ta, ahora se dan las definiciones formales del resto de los límites utilizando los parámetros corres-pondientes. Además se brindan otras pruebas de límite, usando las definiciones correspondientes.

LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE FINITO Aquí se muestra otra demostración de límite finito, usando la definición.

Ejemplo : Sea la función : R R dada por (x) = (x - 3)² , consideremos x0 = 3 y pro-

bemos que x

2lim (x - 3) = 03

.

Demostramos esta afirmación usando la definición de límite:

> 0 , > 0 / 0 < x - 3 < (x - 3)² - 0 <

Dado > 0 , que sea (x - 3)² - 0 < significa que x - 3² < (por propiedad del valor

absoluto); como el objetivo es despejar x - 3 para encontrar (), entonces es x - 3 < .

Sea = . Ahora probamos la implicación:

0 < x - 3 < = (x - 3)² - 0 <

Como (x - 3)² - 0 = x - 3² y x - 3 < entonces es (x - 3)² - 0 = x - 3² <

< ( )² = (por ser > 0). Como queríamos demostrar.

Propiedad: Sean f y g dos funciones tales que, para un cierto x0 R : 1xx

=(x) lim0

lf

y 2xx

= lim0

l(x)g

entonces 21xx

+ = lim 0

ll) (x) + f(x) ( g

.

Demostración: Debemos probar que: dado > 0, () > 0 / si 0 < x - x0 <

( (x) + (x) ) - ( 1 + 2 ) < . Sea > 0 arbitrario, como es también un número po-

sitivo, por definición de límite de una función tenemos para y que, dado este > 0 existen

1 y 2 positivos tales que:

(x) - 1 < para 0 < x - x0 < 1

(x) - 2 < para 0 < x - x0 < 2

Entonces, si = mín ( 1 , 2 ) , para 0 < x - x0 < resulta:

2

2

2


((x) + (x)) - ( 1 + 2 ) = (x) + (x) - 1 - 2 = ( (x) - 1 ) + ( (x) - 2 ) (x) - 1+

(por prop del valor absoluto)

+ (x) - 2 < + =

Como >0 es arbitrario, queda probada la propiedad.

LÍMITES INFINITOS

Definición : Sea una función definida en todos los puntos de cierto ( x0 , b) . Decimos que

(x) tiende a + cuando x tiende a x0 por derecha, y escribimos :

si k > 0 , (k) > 0 / 0 < x - x0 < (x) > k

Definición : Sea una función definida en todos los puntos de cierto ( a , x0 ) . Decimos que

(x) tiende a + cuando x tiende a x0 por izquierda, y escribimos:

si k > 0 , (k) > 0 / 0 < x0 - x < (x) > k

LÍMITES EN EL INFINITO

Definición : Sea definida en todos los puntos de cierto conjunto (- ,a) (b,+) ( puede

estar definida en un conjunto ( - , a) (a , + ) ó directamente en ( - , + ). Igual seguirá

estando definida en cierto ( - , a ) ( b , + ) , que es lo que exige la definición). Se dice que:

2

2

x x0+

lím (x) =

f

x x0-

lím (x) =

f


si > 0 , k() > 0 / x > k (x) - <

la recta y = se denomina asíntota

horizontal de .

Mirando la gráfica se puede entender la propiedad dada: fijando > 0 , obtenemos en función de

él, cierto k > 0 . De manera tal que si x > k ( recordemos que esto significa x > k ó x

< -k ) se cumple que (x) ( - , + )

Otra vez hagamos una comparación : así como 0 < x - x0 < expresa que "x esta cer-

ca de x0 " , ahora x > k expresa que "x es grande en valor absoluto"

Si escogiéramos un ' > 0 más chico que el del gráfico, obtendríamos un k' más grande

que k . Y debe quedar bien claro que > 0 es un número real arbitrario y se fija de antemano, en

cambio k depende de .

La función se comporta de la misma manera con = 0 . La única particulari-

dad es que las imágenes caen en la parte derecha del entorno E ( 0 , ) .

Consideremos la función . También pasa que si x crece, los valores

de (x) se acercan indefinidamente a = 0. Observemos en el gráfico que si fijamos un > 0,

pasa que para x > k' y para x < k'' se verifica (x) - <

x lím (x) =

f

f (x) = 1

x +12

f (x) = 1

x - 2


Para conseguir el número k de la definición ( x > k ) bastará tomar k = Máx { k' , k" }

(k es el más grande entre k' y k" ), en el ejemplo k = Máx { k' , k" } = k'.

Así tomado ó "pescado" el número k , se verificará la implicación x > k (x) - <

(Tomar algún x en el gráfico y observar esto ).

Definición : Sea una función definida en todos los puntos de cierto intervalo ( b , + ) ( obvia-

mente que si está definida en , se cumple esta exigencia ) . Se dice que:

l = (x) lím x

f

si > 0 , k() > 0 / x > k (x) - <

Por ejemplo x

xf1

)( , que está definida en el intervalo ( 0 , + ) , tiende a = 0 cuando x tiende

a + . LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

Definición 1: Sea una función definida en todos los puntos de cierto conjunto

(- ,a) (b,+) . Se dice que:

= (x)f lím x

si M > 0 , k(M) > 0 / x > k (x) > M (1)


Recordemos que x > k significa x > k ó x < -k .

Análogamente (x) > k equivale a (x) > M o (x) < - M

Como la función f(x) = x3 verifica este límite, podemos interpretar en su gráfico, la propiedad (1). Cuando x crece en valor absoluto, f(x) también crece en valor absoluto. Fijando un número real M > 0 en el gráfico, automáti-camente queda fijado el número -M < 0. Si bien M es arbitrario, el límite que estudia-mos tiene sentido si pensamos a M tan grande como se quiera. En función de M, encontramos otro número positivo, k. De manera que, si es x > k ó

x < -k se verifica que (x) > M o (x) <

- M.

Observación: Si la función no tiene alguna simetría, la obtención de k en función del M fijado es

un poco más trabajosa, ya sea analíticamente o gráficamente. Tomemos, por ejemplo, la función

(x) = ( x-3 )3 , la cual tiende a cuando x tiende a .

Ejemplo: Demostremos que

= x 3

xlím .

Debemos demostrar que M > 0 , k(M) > 0 / x > k x3 > M

De x3 > M se tiene que 33

MxMx . Tomemos k = 3 M .

( ahora probemos la implicación x > k x3 > M )

Si x > k = 3 M entonces x3 = x 3 > ( k )3 = (

3 M )3 = M. Que es lo afirmado.

Fijando M > 0, se obtienen gráfi-camente los números k1 y k2 .

Vemos que, si x > k1 es (x) > M

y si x < k2 es (x) < - M. Pero k1 y

k2 no equidistan del origen. Para obtener el número k de la defini-ción basta con tomar

k = máx 21 , kk que aquí es

k = 11 kk

Señale en el gráfico un x tal

1kx para observar que se veri-

fica Mxf )(


Definición 2: Sea una función definida en todos los puntos de cierto conjunto

(- ,a) (b,+) . Se dice que:

= (x)f lím x

si M > 0 , k(M) > 0 / x > k (x) > M (2)

Con la práctica, escribir esta propiedad como cualquier otra de límite, debe resultar cada vez más

fácil. En este caso, la variable x , o sea que crece en valor absoluto y esto induce a escribir x

> k . por otro lado, f( x ) + , o sea que f( x ) supera cualquier número positivo, por más grande

que sea. Esto induce a escribir (x) > M .

Definición 3: Sea una función definida en todos los puntos de cierto intervalo (b,+) . Se dice

que:

= (x)f lím x

si M > 0 , k(M) > 0 / x > k (x) > M

Por ejemplo f( x ) = e x , restringiendo su dominio al intervalo ( 0 , + ), tiene este comportamiento:

Ejercicio: Dar las propiedades conrrespondientes a los límites

= (x)f lím x

,

= (x)f lím x -

y

-= (x)f lím x -

, acompañando cada uno con un gráfico adecuado. Describir con palabras pro-

pias el comportamiento de la función, en los tres casos. Observación: De la definición 2 en adelante, son casos particulares de la definición 1 .

-----------------------------

Fijado el número M > 0, se obtiene k(M), y por supuesto –k(M) . De manera que si x > k ó x < - k , se verifica que

(x) > M


Demostración del límite x

xlímx

sen

0= 1:

i) Probemos primero que x

xlím

x

sen

0

= 1

Consideremos en la circunferencia trigonométrica (de radio 1), valo-

res de ángulos de medida x radianes, tales que x

2

π , 0 . Por

ejemplo el ángulo x del gráfico.

Puesto que sen x está representado por el segmento A, que tg x está representado por el segmento B y que x rad está representando

por el arco C,

C arco long

1

C arco long

radio

C arco longradx en-

tonces es posible escribir la doble desigualdad:

sen x < x < tg x (1)

Nótese que sen x > 0 , tg x > 0 , x 0 pues x

2

π , 0 .

Dividamos (1) por sen x > 0 : x

xsen <

x

x

sen <

x

x

sen

tg por ser tg x =

x

x

cos

sen obtenemos:

1 < x

x

sen <

x cos

1 .

Elevando a la (-1), se tiene: 1 > x

xsen > cos x o bien cos x <

x

xsen < 1

Considerando que: xlímx

cos 0

= 1 ; y el teorema de las funciones encajadas, deducimos que

x

xlím

x

sen

0= 1.

ii) Debemos probar ahora que x

xlím

x

sen

0= 1 (*)

Sea x

0,

2

π- , entonces es x < 0 . En consecuencia -x > 0 y, por el caso demostrado re-

cién, vale lo siguiente: x

xlímx

)(-sen

0= 1 (2)

Ahora, cuando -x 0+ pasa que x 0- . Entonces podemos escribir (2) así:

x

xlím

x

)(-sen

0= 1

A su vez, como sen x es impar (sen (-x) = - sen x ) x

xlím

x

sen -

0= 1 . O sea:

x

xlím

x

sen

0

= 1

Finalmente de i) e ii), queda demostrada la validez de B).


Demostración del límite x

xlímx

tg

0= 1:

Utilizando lo demostrado antes: x

xlímx

tg

0 =

xx

xlímx

1 .

cos

sen

0 =

1 a tiende

(7)por 1 a tiende

0 cos

1 .

sen

xx

xlímx

= 1

SUCESIONES NUMÉRICAS INFINITAS LÍMITE FINITO

Para definir con precisión el limn

a = L , primero vamos a examinar más detenidamente a la

sucesión 1n

1

n . Geométricamente parece claro que, a medida que n crece, los an se van acer-

cando a cero: por ejemplo a2 está más cerca de cero que a1 , a3 está más cerca de cero que a2 , a4 está más cerca de cero que a3 , etc.

Ahora bien, esta afirmación no lo dice todo sobre este acercamiento. Notemos que también sucede que a2 está más cerca de -1 que a1 , a3 está más cerca de -1 que a2 , a4 está más cerca de -1 que a3 , etc.

Sin embargo, el acercamiento de los an a 0 tiene una característica que no tiene el acercamiento de los an al -1. ¿Cuál es esa característica?.

Es que esta sucesión (es decir, sus términos) puede estar tan cerca como se quiera de 0 . Lo cual no ocurre con -1, ya que la distancia de los an a -1 siempre es mayor que 1.

Vamos a poner en términos precisos la afirmación “Una sucesión {an}n1 puede estar tan cerca co-

mo se quiera del número L”.

Como la distancia entre an y L está medida por an – L , lo que queremos decir es que el valor

absoluto an – L puede ser tan chico como se quiera.

Ahora bien, esto significa que si tomamos un número positivo “” (no importa cuán chico sea), po-

demos conseguir que an – L sea menor que con tal de avanzar lo suficiente en la sucesión, es decir con tal de tomar n suficientemente grande. Cuán grande ha de ser n , depende del valor

que le demos a > 0.

Por ejemplo: fijemos = 2

1 para la sucesión

1n

n

1donde el número L es 0 y observemos los

gráficos:

n


Vemos que se debe tomar )3(2 nón para que sea

LnaL

Lan2

1 = .

En otras palabras, si n > 2 , los términos na “ caen “ dentro del entorno de centro L = 0 y radio . El cual sabemos que se simboliza con E ( L, ). En el ejemplo que nos ocupa, como los términos son positivos, éstos caen en el semientorno derecho.

Observación: Notemos que 21 aya no caen dentro del entorno E ( L, ). Entonces diremos que

caen dentro del entorno E ( L, ) todos los na salvo un número finito.

Veamos qué sucede si tomamos otro valor de , más pèqueño que el anterior. Fijemos

= 1 / 4:

Ahora debe ser )5(4 nón para que se cumpla que

LnaL

Lan4

1 =

Dejamos para el alumno que verifique que, si se fija = 10-2 , deberá ser n > 100 para que 210 Lan . ¿Cuáles son los términos que quedan fuera del entorno E (0, 10-2 )?.

Intuimos que si fijamos un valor de más pequeño que 1/4 , entonces deberíamos tomar n mayor

que cierto número natural 0n mayor que 2 y que 4.

Y así, para cada > 0 ( o para todo ) que fijemos , se puede encontrar un número natural 0n

tal que si 0nn entonces se cumple que Lan .

En esta sucesión , para = 2

1 el 0n es 2 y para el = 1 / 4 el 0n es 4.

Observaciones:

> o se fija arbitrariamente y 0n depende de


cuanto más chico sea , más grande será 0n para que se cumpla la implicación 0nn

Lan

cumplen Lan todos los na tales que 0nn (o sea ...,,, 3

02

01

0 nnn aaa que son

infinitos) salvo un número finito ( 0

10

321 ,,...,,, nn aaaaa )

Según los autores, hay convenciones distintas para tomar el 0n . Hay algunos que

usan 0nn sin que ello contradiga a los que usan 0nn . Si tomamos como

referencia el caso en que se fija = 2

1 , para los primeros el 0n es 3, mientras

que para los segundos el 0n es 2. Pero para ambas convenciones se cumple la

desigualdad 2

1 Lan para todos los términos de la sucesión, salvo para el mismo

número finito ( 21 aya ).

Pongamos toda esta charla en términos precisos:

Definición: Se dice que una sucesión 1nna

tiene límite L , o converge a L , o tiende a L, y se

simboliza limn

a = L , si tiene la siguiente propiedad:

“Cualquiera sea el número real > 0 , existe un número natural 0n tal que, si 0nn entonces se

verifica que Lan ” (1)

En símbolos, la definición se puede escribir de la siguiente forma:

limn

a = L > 0 , 0n N / 0nn Lan

Ya que hemos introducido el concepto de límite L de una sucesión a través de la sucesión 1n

n

1,

demostremos que la misma se ajusta a la definición dada.

Demostración de que limn

n

1 = 0.

Lo que hay que probar es que la sucesión 1n

n

1tiene la propiedad (1).

Sea > o arbitrario. Tenemos que encontrar 0n N / 0nn

(2)

01

n.

Aquí hacemos lo que será punto clave en los ejercicios, despejar n de la desigualdad (2). Esto es porque vamos a averiguar a partir de qué valor hay que tomar n para que se cumpla (2):

1110

1

0

n

nnn npues

n

n


Interpretamos que debe ser

1n para que se cumpla la desigualdad (2). Entonces

1 podría ser

el 0n buscado si este valor fuera siempre natural, lo cual no siempre sucede. Pues bien, pensemos

lo siguiente: si la desigualdad (2) se va a cumplir para los naturales n que sean mayores que el

número real

1, entonces esa desigualdad se va a cumplir también para los naturales n mayores

que algún número natural que sea mayor que

1. Entonces tomemos como 0n a un número natu-

ral cualquiera que cumpla 0n >

1 (este 0n existe por la propiedad de Arquimedianidad ). Se

resaltó la palabra “cualquiera” porque uno suele pensar en el natural inmediato mayor que

1 , pero

éste no es el único que “sirve”:

naturales mayores que 1/𝜀

0n puede ser cualquiera de éstos

Por otro lado, como > 0 fue fijado de antemano ( recordemos que pusimos “sea > 0 arbitrario”),

para cada valor de hemos encontrado un 0n >

1 y es aquí donde se ve que 0n depende de

1.

Si releemos la propiedad (1) , vemos que aún no hemos terminado de probarla. Falta aún ver que

este 0n “sirve”. Es decir, falta probar que se cumple la implicación 0nn 01

n. Hagá-

moslo entonces:

Si 0nn .

1

11110

1

10

00 npues

nnpues nnnn.

Ahora sí hemos demostrado que limn

n

1 = 0.

LÍMITE INFINITOS

Al observar el comportamiento de las sucesiones 1nn y 1n

2n se puede decir que los térmi-

nos na van superando todos los números K , reales, positivos y tan grandes como a uno se le ocu-

rran, si se toma n suficientemente grande.

Analicemos la sucesión 1n

2n :


Si fijamos k = 15 , deberemos tomar n

> 3 para que se cumpla que na = n 2 >

15 = k. Notemos que serán mayores que 15 todos

los na salvo un número finito (a1 , a2 , a3 ).

Si fijamos k = 25 , deberá ser n > 5 pa-

ra que se cumpla que na > 25 ( y serán

mayores que 25 todos los na salvo un

número finito : a , a , a3 , a4 . y a5 ) .

Pongamos esto en términos más precisos:

Definición: Se dice que una sucesión 1nna tiende a , y se escribe na = si cual-

quiera sea el número k > 0 , existe un número n N ( n depende de k ) tal que si n > n

entonces na > k . La definición en símbolos es:

na = k > 0, n N : n > n na > k

Observación: Análogamente a la definición de límite finito, notemos que n depende del k fijado

de antemano. Además cuanto más grande se fije k , mayor deberá ser el n para que na > k .

En el ejemplo dado: para k = 15 se debió tomar por lo menos n = 3 (el “por lo menos” es por-

que se podría haber tomado como n a cualquier natural mayor que 3), para k = 25 se debió

tomar (por lo menos) n 0 = 5 .

Ejemplo : Sea 1nna dada por na = n 2 . Probemos que n 2 = . Debemos probar

que K > 0 , n N / n > n (2)

2 Kn

Sea K > 0 , K , arbitrario. Igual que hicimos en la demostración de un límite finito, debemos despejar n de la desigualdad (2):

KnKnKnKn 22

y otra vez estamos en una situación conocida: puede no ser natural, entonces no lo podemos

tomar como el n :

Entonces tomamos n > . Ya encontrado n , probemos la implicación.

Si n > n : n 2 > n 2 > ( )2 = K .

Observemos nuevamente que la gran dificultad de la demostración del límite estriba en despejar el n de la expresión (2) para encontrar el n

0 ya que para completar la demostración (ver si el n

0

"sirve") en los pasos se utilizan acotaciones hechas en la primer parte.

1 2

lim n

0 0

0

lim n

0 0

0

0

0

0

lim n

0 0

K

0

0 K 0

0 0 K


Podemos dar una definición análoga para las sucesiones del tipo: -2 , -4 , -6 , -8 , ..., -2n , ... que tampoco son convergentes porque tampoco son acotadas ( la del ejemplo no es acotada inferiormen-te ). Observando los dos tipos de gráficas de esta sucesión:

vemos que cualquiera sea el número real K > 0 que fijemos, siempre vamos a encontrar un natural

n tal que a partir de él, los na van a ser menores que - K.

Por ejemplo si fijamos K = 5,8 queda fijado - K = - 5,8 y tenemos que tomar n > 2 = n para que

na < -K = -5,8.

Definición: Se dice que una sucesión 1nna tiende a infinito negativo, y se escribe na = -

si la sucesión 1 nna tiende a . En símbolos:

na = K > 0, n N : n > n

osutilizarem que expresión la es ésta

K

K

na

na

Ejemplo : Sea la sucesión 1nna dada por na = - n 2 . La sucesión 1 nna es

1n

2n--

o sea 1n

2n y ya sabemos que ésta tiende a .

Entonces: ( - n 2 ) = - y por definición deberá cumplirse que K > 0, n N / n > n

k - < n -

na

2

La siguiente definición se refiere a aquellas sucesiones 1nna para las cuales na crece indefini-

damente en valor absoluto. Tal es el caso de { (-1)n . n 2 }n.

Definición: Se dice que una sucesión 1nna tiende a infinito ( ) , y se escribe na =

si la sucesión 1nna

tiende a . En símbolos:

na = K > 0, n N: n > n na > K

En el caso de la sucesión { (-1)n . n 2 }n se tiene que { na }n = {(-1)n . n ² }n = = { n ² }n

y ésta tiende a según sabemos. Por lo tanto la sucesión

{ (-1)n . n ² }n tiende a .

Bibliografía sugerida para esta Unidad: Cálculo Diferencial e Integral de Ricardo J.Noriega, Cálcu-lo-Conceptos y Contextos de James Stewart, Introducción al Análisis Matemático de Hebe Rabuffetti y Cálculo Infinitesimal I y II de Michael Spivak.

0

0

lim n

lim n

0 0

lim n

0 0

lim n

lim n

0 0

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