INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE

  NOMBRE DE LA CARRERA:

INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIASTERCER SEMESTRE

  NOMBRE DE LA ASIGNATURA

MATEMÁTICAS IV

NOMBRE DEL PROFESOR DE LA ASIGNATURAING. RICARDOGÓMEZ KÚ  

TÍTULO DEL TRABAJOUNIDAD II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 

NOMBRES DE ALUMNOS:EDWIN ADRIÁN HUCHIN KÚ

ALEJANDRA ABIGAIL KOYOC CHIJOSEPH AARON ESPADAS UC

ESTEFANÍA DE LOS ÁNGELES CASTILLO DZULJULIO CÉSAR KU CHAN

YATZIRI BERENICE CRUZ MILLÁN

GRUPO:3° “A”

2.1. DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

Llamamos solución de una ecuación con dos

incógnitas a todo par de valores que hacen cierta

la igualdad. Las ecuaciones lineales

se representan mediante rectas.

Para obtener las soluciones de dos

incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra.

Pueden escribirse en la forma canónica o normal. El conjunto de todas las soluciones particulares

se llama conjunto solución.

El punto donde se cortan dichas rectas es la solución al sistema.

Una ecuación lineal con variables es lineal si puede escribirse en la

forma:

Las son los coeficientes, y es el termino constante de la ecuación

las variables también se llaman incógnitas o indeterminadas. Si ,

la ecuación se denomina homogénea.

bxaxaxa nn

2211

ai b

0b

Ejemplo:

La ecuación es lineal porque puede escribirse en la forma canónica o normal:

2164214321 xxxxxx

364243210 xxxx

Si la variables se ordenan de es la variable delantera y , y son libres. Los coeficientes son 0, 2,4 y

-6, el término constante es 3.Las ecuaciones siguientes no son lineales o no lineales:

El conjunto de todas las soluciones particulares se llama conjunto solución.

xxx a 241, xx 31

, x4

Con esto se llega a un elemento genérico del conjunto solución, al cual

se le llama solución general.

Determine la solución general de la ecuación:

- Solución:Despejaremos la variable delantera, , para obtener las variables libres y

pueden tomar cualquier valor, por ejemplo .Por consiguiente la ecuación general se expresa como:

Las letras y utilizadas para representar las variables libres se llaman parámetros.

3923 zyx

2632

3432

zyx

zyx

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales, por ejemplo:

xx n,,

1

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

Un sistema lineal de m ecuaciones con n variables (o incógnita)

es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma:

Los números son los coeficientes del sistema, y de son dos términos constantes. Si todos los términos contantes son 0, el

sistema se llama homogéneo. Cuando esto último tiene los mismos coeficientes que el sistema anterior se dice que esta asociado con:

aaaaaaa mnmnn,,,,,,,,,

122111211

bnbb ,,,21

Considérese el sistema:

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

9

10

3

6232

2

31

321

21

xxxxx

xx

Sus coeficientes son en orden, 1, 2, 0, 2, 3,-2,-1, 0,6. Los términos constantes son -3,-10,9. El sistema

asociado homogéneo es:

0

0

0

6232

2

31

321

21

xxxxx

xx

Se puede abreviar la escritura de un sistema lineal anotando solo sus coeficientes y términos constantes,

siempre que estén especificando sus nombres y el orden de las variables. El arreglo rectangular de los

coeficientes y términos constantes de un sistema es su matriz aumentada. Por ejemplo, la matriz aumentada de

las ecuaciones anteriores es:[ 1 2 0 −32 3 −2 −10−1 0 6 9 ]𝑜[ 1 2 0 : −3

2 3 −2 : −10−1 0 6 : 9 ]

La segunda forma implica el uso de un separador para indicar donde está, la columna de los términos constantes. En general una matriz es un arreglo rectangular de números. La matriz

de coeficientes esta formado por los coeficientes de un sistema. La matriz de una columna que muestra los términos

constantes es el vector constante la matriz de coeficientes y el vector de constantes del sistema anterior son

respectivamente:[ 1 2 02 3 −2−1 0 6 ]𝑦 [ −3−109 ]

Escriba un sistema a partir de la siguiente matriz aumentada:

Como la matriz aumentada tiene 4 columnas, el sistema tiene tres variables . Si asignamos a

las variables xxx 321,,

entonces se forman 2 ecuaciones lineales que conforman el sistema:

4221

xx123

32 xx

2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN

Los sistemas de ecuaciones se clasifican en 3

tipos:

Tienen soluciones infinitas cuando las rectas

del sistema de ecuaciones son paralelas.

Tienen una solución cuando las rectas del

sistema de ecuaciones se intersectan.

No tienen solución cuando están una sobre otra

en las rectas del sistema de ecuaciones.

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

rxrx nn ,,

11

Una sucesión de escalares es una solución (particular) del sistema:

Si todas las ecuaciones se satisfacen al sustituir . El conjunto de todas las soluciones posibles es el conjunto solución. Cualquier elemento genérico del conjunto solución se llama solución general.

rrr n,,,

21

2.3 . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES

En términos geométricos es el estudio de las

posiciones relativas de dos planos, casos que

se presentan:

Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el

sistema sea incompatible.

Planos que se cortan en una recta. Si el sistema

es compatible pero indeterminado, con un grado de

libertad.

Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos

ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible

indeterminado con dos grados de libertad.

Sabemos que la grafica de la ecuación es una recta

(excepto en los casos extremos y ). Entonces,

en general, la gráfica del conjunto solución de un sistema de

dos variables es la intersección de varias líneas rectas.

Debemos mencionar que la grafica de la ecuación es un plano

(excepto en los casos extremos y ). Por consiguiente, la grafica

del conjunto solución de un sistema de tres variables es, por lo

común, la intersección de varios planos.

Observe que siempre es una solución de un sistema

homogéneo. Se le llama solución trivial o solución cero. A

cualquier otra solución se le llama solución no trivial.

cbyax

000 yx 000 cyx

2.4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES (GAUSS-JORDAN, ELIMINACIÓN

GAUSSIANA)

• MÉTODO GAUSS-JORDAN

Cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las

ecuaciones restantes.

• MÉTODO DE INVERSIÓN DE MATRICES

Es muy útil cuando se desea resolver 20 conjuntos de 10

ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos

independientes.

ELIMINACIÓN DE GAUSS

Para convertir cualquier matriz a la forma de escalón reducida, proceda con

los pasos siguientes:

Paso 1: Vaya a la columna no cero extrema izquierda.

Paso 2. Si el primer renglón tiene un cero en la columna del paso 1,

intercámbielo con uno que tenga un elemento no cero en la misma columna.

Paso 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero, sumando múltiplos

adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.

Paso 4. Cubra el renglón superior y repita el mismo proceso comenzando

con el paso 1, aplicando a la submatriz restante. Repita este proceso con el

resto de los renglones. (En este punto la matriz ya está en forma de escalón.)

Paso 5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba: para

cada renglón obtenga un 1 delantero e introduzca ceros arriba de él,

sumando múltiplos adecuados a los renglones correspondientes.R E S O L U C I Ó N D E E J E M P L O S E N L A P I Z A R R A

Dos cosas que deben evitarse

El cambio del orden de los pasos del algoritmo (porque se puede terminar

con la matriz inicial). Observe que el siguiente paso en la reducción de es y

no es . En otras palabras, primero es preciso reducir a la forma de escalón

y después aplicar el paso 5. La única libertad permitida es al obtener los 1

delanteros.

Combinar varias operaciones elementales en una es una mala práctica, y

puede originar errores. Por ejemplo, operaciones de la forma y con son no

elementales, y deben evitarse. La operación correcta es . En otras palabras,

el renglón que se sustituye no debe multiplicarse por un escalar .

UNIDAD DE LA FORMA DE ESCALÓN REDUCIDA:

PIVOTES

TEOREMA 1

(Unicidad de la forma de escalón reducida)

Toda matriz es equivalente a una, y solo a una matriz en forma de

escalón reducida.

Sean y en la forma de escalón reducida. Se dice que es una forma

de escalón de . De acuerdo don el Teorema 1, se dice que es la forma

de escalón reducida de

Observe que en cualquier forma de escalón de una matriz , los

elementos delanteros se encuentran en las mismas columnas. Esto es

consecuencia de la unicidad de la forma de escalón reducida, y del

hecho que después del paso 4 no se modifican las posiciones de los

delanteros. Se llaman posiciones pivote, o de pivoteo, de . Un pivote

es cualquier elemento no cero de una posición pivote.

R E S O L U C I Ó N D E E J E M P L O S E N L A P I Z A R R A

SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES:

El proceso se aplica a la matriz aumentada del sistema. Produce una

matriz en forma de escalón reducida, cuyo sistema correspondiente

es equivalente al sistema dado y además fácil de resolver: Primero

se separan las variables en delanteras y libres. Las variables

delanteras son las que corresponden a las posiciones pivote. Las

variables restantes, si las hay, son libres. A continuación se escriben

las variables delanteras en función de las variables libres, de las

constantes o de ambas. Se acostumbra a asignar nuevos nombres a

las variables libres y llamarlas parámetros. Los parámetros pueden

asumir cualquier valor escalar.

EJEMPLO (Soluciones infinitas)Resolución de problema en la pizarra:

ALGORITMO 2

(Solución de un sistema lineal)

PARA RESOLVER CUALQUIER SISTEMA LINEAL

Paso 1. Aplica la eliminación de Gauss a la matriz aumentada del

sistema 8 paso directo). Si durante cualquier etapa de este proceso

nota que la ultima columna es de pivote, deténgase. En este caso, el

sistema es inconsistente. En caso contrario, continúe con el caso 2.

Paso 2. Termine la eliminación de Gauss. Escriba el sistema que

corresponde a la forma de escalón reducida de la matriz

aumentada, sin tener en cuenta las ecuaciones con ceros.

Paso 3. Separe las variables del sistema reducido en delanteras y

libres (si las hay). Escriba las delanteras en función de las variables

libres o de constantes.

Ahora sacaremos algunas conclusiones importantes del estudio del

algoritmo 2.

TEOREMA 2

(Existencia de soluciones)

Un sistema lineal es consistente si y solo si la ultima columna de una

matriz aumentada no es columna pivote, o bien si cualquier forma de

escalón de la matriz no tiene un renglón de la forma

En la que

El paso 1 no solo nos indica si el sistema es consistente o no, si no

también la cantidad de soluciones. Si un sistema consistente tiene

variables libres, entonces el paso 3 señala que hay soluciones infinitas

(dejando que los parámetros asuman cualquier valor). Si no hay variables

libres, entonces las variables delanteras serán constantes, y únicamente

obtendremos una solución. Como dichas variables corresponden a

columnas pivote, vemos que un sistema consistente tiene solo una

solución si todas las columnas, con excepción de la ultima, son pivote.

Todo lo anterior se resume como sigue:

Teorema 3

Un sistema lineal consistente tiene solamente una

solución siempre y cuando cada columna de la

matriz aumentada, excepto la ultima, sea de pivote, y

la ultima no sea columna pivote.

T E O R E M A 4

TEOREMA 4

Para cualquier sistema lineal, solo es valida una de

las propiedades siguientes:

1.- El sistema tiene solamente.

2.- El sistema posee soluciones infinitas.

3.- El sistema no tiene soluciones.

EJEMPLO

Demuestre que el sistema tiene soluciones no

triviales

SOLUCIÓN. Como es un sistema homogéneo con

más incógnitas que ecuaciones, entonces muestra

soluciones infinitas: por consiguiente, el sistema

tiene un número infinito de soluciones no triviales.

TEOREMA 5

Un sistema lineal homogéneo tiene solo la solución

trivial, o bien un numero infinito de soluciones.

Un sistema lineal homogéneo tiene una gran

cantidad de soluciones, siempre y cuando posea

variables libres.

2.5 Aplicaciones

En este tema se describen algunas aplicaciones de

sistemas lineales a problemas antiguos y modernos

Ejemplo: (Manufactura) R.S.C.L.S y asociados fabrica tres tipos de

computadora personal: ciclón, ciclope y cicloide. Para armar un ciclón se

necesita 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más

para instalar sus programas. El tiempo requerido para la cíclope es de 12

horas en su ensamble, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla.

La cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5

horas de prueba u 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa

dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para

probar y 320 horas para instalar ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir

en un mes?

Solución: Sea las cantidades de

ciclones, cíclopes y cicloides

producidas cada mes. Entonces se

necesitan horas para armar las

computadoras. Por consiguiente . En

esta misma forma se obtienen

ecuaciones para la prueba y la

instalación. El sistema que resulta es:

.

Solución: Sea las cantidades de ciclones, cíclopes

y cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan

horas para armar las computadoras. Por

consiguiente En esta misma forma

se obtienen ecuaciones para la prueba y la instalación. El

sistema que resulta es:

Cuya solución es por lo consiguiente cada mes puede fabricar 60 ciclones, 40 ciclopes y 80 cicloides.

TEOREMA 6

Ley de corriente de Kirchhoff

La suma algebraica de todas las corrientes en

cualquier nodo es cero.

TEOREMA 7

Ley de voltaje de Kirchhoff

La suma algebraica de todos los cambios de voltaje en

cualquier bucle (ciclo cerrado) es cero.

Una aplicación frecuente de esas leyes es cuando es

especifica el voltaje de la fuerza electromotriz (por lo

general es una batería o un generador) y las resistencias

de los resistores, y se pide calcular las corrientes.

Ejemplo (Circuitos eléctricos) Calcule las corrientes

en el circuito eléctrico de la figura 1.6 (a), si el voltaje de la

batería es y las resistencias son .

Circuito Eléctrico Transmisión de calor

Solución: de acuerdo con la primera ley, para

el nodo A. aplicando la segunda ley al bucle se obtiene

por lo tanto, . Del mismo modo, el

bucle da como resultado = 0, es decir .

Así,

Y mediante la eliminación de Gauss puede obtenerse con facilidad

TEOREMA 8

Propiedad promedio para la conducción de calor

La temperatura en cualquier punto del interior es

el promedio de las temperaturas de sus puntos

adyacentes.

Para simplificar supongamos que solo se tienen cuatro puntos en

el interior, cuyas temperaturas se desconocen y

que en la frontera están 12 puntos (sin designación).

Ejemplo (Conducción de calor) Calcular

Solución: Según el teorema de la propiedad promedio

ESTÁTICA Y EQUILIBRIO DE PESO

Ahora estudiaremos un problema característico de

palancas en estática. El balanceo de pesos para ello

emplearemos el siguiente teorema.

TEOREMA 9

Ley de la palanca de Arquímedes.

Dos masas en una palanca se equilibran cuando

sus pesos son inversamente proporcionales a sus

distancias al punto de apoyo.

Ejemplo; calcula los pesos para balancear las placas de la figura

) Equilibrio de pesos b) La ley de los cosenos

Solución: Para balancear las dos palancas pequeñas, apegándose a

la ley de Arquímedes. Tenemos que para la palanca

que la izquierda. Y para la derecha. Para

___________________________

Aunque esta ley también se encuentra con anterioridad en los

trabajos de Aristóteles parece que Arquímedes fue el primero en

basarla en la estática y no en la cinética. Es un caso especial del

axioma de la simetría en un sistema en equilibrio debido a

Arquímedes.

Equilibrar la placa principal se necesita que .

De este modo llegamos al siguiente sistema homogéneo de tres

ecuaciones con cuatro incógnitas:

En el conjunto soluciones es monoparamétrico infinito, descrito por

. Y así hay una cantidad

infinita de pesos que pueden equilibrarse este sistema, cosa que

confirma neutras experiencias, siempre y cuando los pesos, en el

orden acostumbrado sean múltiplos de los números .

FIN D

E LA

PRESENTACIÓN