Universidad Catolica de la Santsima ConcepcionFacultad de IngenieraDepartamento de Matematica y Fsica aplicadas

Estadstica (MAT2203)Listado 1 de Ejercicios

1. En un experimento binomial se observan x exitos en n ensayos independientes. Se pro-ponen las siguientes dos estadsticas como estimadores del parametro de proporcion p:T1 =

Xn y T2 =

X+1n+2 .

a) Obtener y comparar los errores cuadraticos medios para T1 y T2.b) Obtener y comparar la esperanza y la varianza de T1 y T2.c) T1 y T2 son consistentes?.d) Cual de los dos estimadores es mejor?.

2. Sea X1, X2, X3, X4 y X5 una muestra aleatoria de una poblacion cuya distribu-

cion es normal con media y varianza 2. Considere las estadsticas: T1 =5

i=1Xi5 y

T2 =X1+X2+2X3+X4+X5

6 como estimadores de . Identificar la estadstica que poseela varianza mas pequena.

3. Durante los 12 meses pasados el volumen diario de ventas de un restaurante fue de$2000. El gerente piensa que los proximos 25 das seran tpicos con respecto al volumende ventas normal. Al finalizar los 25 das, el volumen de ventas y su desviacion estandarpromedio fueron de 1800 y 200 respectivamente. Suponga que el volumen de ventasdiarios es una variable aleatoria normal. Si usted fuese el gerente, tendra algunarazon para creer, con base a este resultado, que hubo una disminucion en el volumende ventas promedio diario?.

4. En una tombola de lotera tenemos 10 bolas identicas numeradas del 0 al 9. Cada vezque hacemos la extraccion de una bola despues la devolvemos a la tombola.

a) Si tomamos 3 bolas, calcule la probabilidad de que el 0 salga una vez.b) Si hacemos 100 extracciones, calcule la probabilidad de que el 0 salga mas de 12

veces.c) Cual es la probabilidad de que salga 22 veces el 0?.

5. En un experimento de laboratorio se mide el tiempo de una reaccion qumica. Se harepetido el experimento 98 veces y se obtiene que la media de los 98 experimentos esde 5 segundos con una desviacion de 0,05 segundos. Cual es la probabilidad de quela media poblacional difiera de la media de la muestra en menos de 0,01 segundos?

6. Una organizacion independiente esta interesada en probar las distancia de frenado auna velocidad de 50 km/h para dos marcas distintas de automoviles. Para la primeramarca se seleccionaron 9 maquinas. La media muestral y la desviacion estandar de lamuestra fueron 145cm y 8cm respectivamente. Para la segunda marca se seleccionaron12 automoviles y al distancia promedio muestral resulto ser de 132cm con una desvia-cion estandar de la muestra de 10cm. Con base a esta evidencia, existe alguna razonpara creer que la distancia de frenado para ambas marcas es la misma?. Suponga quelas distancias de frenado son variables aleatorias independientes normalmente distri-buidas con varianza iguales.

7. Las puntuaciones obtenidas en su examen de ingreso por todos los candidatos a entraren cierta facultad de derecho sigue una distribucion normal con una media de 420 yuna desviacion estandar de 100. Se extrae una m.a. de 25 puntuaciones.

a) Hallar la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayorque 450.

1

2b) Hallar la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones tome un valorque este entre 400 y 450.

c) 0,10 es la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayorque que numero?.

d) 0,10 es la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea menorque que numero?.

e) Hallar la probabilidad de que la desviacion estandar muestral sea menor que 22.f) 0,05 es la probabilidad de que la desviacion estandar muestral sea mayor que

que numero?.

8. Un fabricante de folletos los empaqueta en cajas de 100 unidades. El sabe que, enpromedio, los folletos pesan 1 gramo, con una desviacion estandar de 0,05 gramos. Elfabricante esta interesado en calcular P (100 folletos pesen mas de 100,4 gramos) unnumero que debera ayudar a detectar si se estan poniendo muchos folletos en la caja.Realice el calculo correspondiente.

9. Si X1 y X2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamano n deuna poblacion con varianza 2, encuentre el valor de n de modo que:

P (|X1 X2| < 5

) 0,99.Justifique sus calculos.

10. Un vendedor se contacta telefonicamente con potenciales clientes para estudiar si me-rece una visita a domicilio. Su experiencia le indica que el 40 % de sus contactos portelefono vienen seguidos de una visita a domicilio. Si se contacta con 100 personaspor telefono, cual es la probabilidad de que se realicen entre 45 y 50 visitas comoresultado?

11. Una compana recibe en promedio 22 ordenes de reemplazamiento de una pieza enparticular a la semana. Si comienza la semana con un stock de 25 repuestos de estapieza, cual es la probabilidad de que se agote el stock esta semana. Utilice el teoremacentral del lmite.

12. Un instrumento electronico tiene una duracion de T horas que esta distribuida ex-ponencialmente con parametro ? = 0,001. Supongase que se prueban 100 de talesinstrumentos.

a) Cual es la probabilidad de que la duracion promedio del instrumento este entre950 y 1100 horas?;

b) Cual es la probabilidad de que el mayor valor observado sobrepase 7200 horas?;c) Cual es la probabilidad de que el tiempo mas corto para fallar sea menor que 10

horas?.

INDICACION: Sea K = mn{X1, X2, , Xn} . Entonces K tambien se distribuyeexponencialmente con parametro n. Sea H la fda de K. Luego H(k) = P (K k) =1 P (K > k) = 1 (1 F (k))n.

13. Sea la variable aleatoria discreta con funcion de probabilidad dada por:

p(x; ) = (2)x(1 2)1x, x = {0, 1}Encuentre la Cota de Cramer-Rao para

314. Dada una poblacion N(, 7), y los estimadores de la media poblacional , para mues-tras aleatorias simples de tamano n = 3

1 =1

3(X1 +X2 +X3)

2 =1

2X1 +

1

3X2 +

1

4X3

Se pide:

a) Comprobar que los estimadores 1 y 2 son o no sesgados.b) Calcular la varianza de ambos estimadores.c) Son ambos estimadores eficientes?.

15. Suponga que el numero de minutos que necesita un estudiante para responder una eva-luacion de estadstica, tiene distribucion exponencial de 80 minutos. Si en una muestrade 49 estudiantes del curso de MAT2203 rinden el Certamen N1. Determine la pro-babilidad de que el tiempo promedio requerido por estos estudiantes sea superior a110 minutos.

16. El tiempo que un cajero tarda con cada cliente tienen una media poblacional = 3,1minutos y una desviacion estandar = 3,1 minutos. Si se selecciona una muestraaleatoria de 16 clientes.

a) Cual es la probabilidad de que el tiempo promedio que pasa con cada cliente seade al menos de 3 minutos?

b) Existe una posibilidad de 85 % de que la media muestral sea menor que, cuantosminutos?.

c) Si se obtiene una muestra aleatoria de 64 clientes, existe una probabilidad de 0,85de que la media muestral sea menos de, cuantos minutos?.

17. Suponga que la cantidad de cereal X, que se coloca en cada caja es una v. a. nor-malmente distribuida con media 500 gramos y desviacion estandar igual a 20 gramos.Para verificar que el peso promedio de cada caja se mantiene en 500 gramos se tomauna muestra aleatoria de 25 de estas en forma periodica y se pesa el contenido de cadacaja. El gerente de la planta ha decidido detener el proceso y encontrar la falla cadavez que el valor promedio de la muestra sea mayor que 510 gramos o menor de 490gramos. Se pide:

a) Obtener la probabilidad de detener el proceso.b) Obtener la probabilidad que la varianza de la muestra aleatoria supere a 1,42.c) Si la varianza poblacional es desconocida y se estima mediante S2 = 3825, calcule

P (X 506,66).

18. Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de tamano 2 proveniente de una poblacion X conmedia y varianza 2.

a) Si disponemos de dos estimadores para 1 =X1+X2

2 y 2 =X1+2X2

3 . Cual de losdos es el mejor?.

b) Para un estimador de la forma = X1 + (1 )X2 con 0 < < 1 . Determineel valor de que conduce al mejor estimador de esta forma.

c) Consideremos el estimador = X1+3X25 Es insesgado?. Si no lo fuera encuentreuno a partir de este estimador.

CC/KT/JP/jp, Primer Semestre, 2013