UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Listado 1-2 Reglas de Derivación

1. Demuestre usando la definicion de derivada que:

a)d

dx[cosx] = − sinx. b)

d

dx[tanx] = sec2 x. c)

d

dx[secx] = secx tanx

2. Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =x3

1− xb) f(x) =

6− 1/xx− 2

c) f(x) =µ1 +

1

x

¶µ1 +

1

x2

¶d) f(x) =

5x

x2 + 1

e) f(x) =2(5 + x)

3(1 + x3)f) f(x) = sec2(x) cot(1− x)

g) f(x) = (5x−√x) h) f(x) =2

(1 + x)− cos(x)

i) f(x) =x (x2 + 1)

x+ 1j) f(x) =

1 + 5x

1− 5x −1

x5

k) f(x) =cos(x)

(x+ tanx)2l) f(x) = sin(2x) + sin2 x.

3. Hallar la derivada segunda de cada una de las siguientes funciones

a) f(x) =x2 − 3x

b) f(x) = x2 − 1

x2

c) f(x) = (x2 − 2) (x−2 + 2) d) f(x) = (2x− 3)µ2x+ 3

x

¶e) f(x) = (5x−√x) f) f(x) =

2

(1 + x)− sin(x)

h) f(x) =√x2 + 1 i) f(x) = (

x

1− x)3

4. Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones

a) f(x) = (x2 − x)5 ·√1− x b) f(x) =

2(5 + x)4

3(1 + x3)2

c) f(x) =x√x2 + 1

x+ 1d) f(x) = sec(x2) cot(1− x)

e) f(x) = cos(tan(1− x

x2)) f) f(x) = sin(cos(x2))!· tan( 3

√1− x)

g) f(x) = arctan(sin

r1

x2) h) f(x) =

2

(1 + x)2− cos(x4)

i) f(x) =cos(√x)

(x+ tanx)4j) f(x) = sin3(5x−

√2x2 + 1)

5. Hallar las derivadas indicadas

a)d

dx

∙xd

dx(x− x2)

¸b)

d2

dx2

∙(x2 − 3x) d

dx(x+ x−1)

¸6. Sea f una funcion tal que : f(2) = −3 y f 0(x) =

√x2 + 5

si g(x) = x2f

µx

x− 1

¶, calcule g0(2).

7. Sea h(x) =

½x2 si x ≥ 00 si x < 0

a. Demostrar que f es derivable en x = 0 y dar f 0 (0)b. Determinar f 0 (x) para todo x

c. Probar que f 00 (0) no existed. Dibujar las gráficas de f y f 0.

8. Suponga que g(1) = 4, g0(1) = 3 y g00(1) = −2. Suponga ademas que f(4) = 6,f 0(4) = −1 y f 00(4) = 5.¿Cual es el valor de la primera y segunda derivada de(f ◦ g)(x) en x = 1?

9. Sea f : R→ R definida por:

f(x) =

(1 + x+ (x− a)2 + (x− a)3 sin(

1

x− a) si x 6= a

1 + a si x = a

donde a es un numero real fijo.a) Pruebe que f es derivable en R e indique el valor de f 0(a).

b) Pruebe que f 0 es derivable en R− {a} y que f 00(a) no existe.

10. Dada:

h(x) =

⎧⎨⎩|x3 + 1| si x ≤ 1cos¡π2x¢

1−√x si x > 1

Calcule la derivada de h en cada punto donde exista.

11. Sean f y g dos funciones derivables en todo su dominio y sus valores en ciertos puntosse muestran en la siguiente tabla. Notar por ejemplo, el valor 1 en la primera fila y cuartacolumna significa g0(0) = 4. Se pide encontrar H 0(x) en cada caso:

x f(x) f 0(x) g(x) g0(x)0 2 1 5 41 7 3 6 22 5 4 1 73 1 2 6 84 3 3 2 55 6 4 1 46 0 5 4 67 4 1 5 1

a) Si la funcion H se define por H(x) = f(g(x)), Calcular H 0(2).

b) Si la funcion H se define por H(x) = f(x)g(x), Calcular H 0(3).

c) Si la funcion H se define por H(x) =x+ f(x)

g(x), Calcular H 0(4).

d) Si la funcion H se define por H(x) =∙f(

x2

4)

¸2+ g(√x),Calcular H 0(2).

e) Si la funcion H se define por H(x) =[g(x)]4 + f(x)

g(x) + 1, Calcular H 0(1).

12. Sea f : R→ R definida por : f(x) = 3px2(1− x),

a) Muestre que f no tiene derivada en el punto x0 = 0.

b) Determine la derivada de f para x 6= 0 y x 6= 1.