UNIVERSIDAD DE CONCEPCINFACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICASDEPARTAMENTO DE INGENIERA MATEMTICAListado 1Mtodos Cuantitativos I (523240)Profesor: Jos Luis Sanchez.Ayudante: Laura Fierro.Problemas a resolver en prcticaPlantee los siguientes problemas como un problema de Programacin Lineal.a) Una empresa fabrica dos tipos de cinturones: A y B. El Tipo A es de mejor calidad que el Tipo B. Lautilidad neta es de $2.000 para el Tipo A y $1.500 para el Tipo B.El tiempo de fabricacin del Tipo A es dos veces el Tipo B, y si todos los cinturones fuesen de TipoB, la empresa podra fabricar 1.000 por da.La disponibilidad de cuero es suciente para 800 cinturones por da (Tipo A o B). Por ltimo, 400hebillas de Tipo A y 700 de Tipo B estn disponibles cada da.Se desea maximizar la utilidad.b) Un fabricante de muebles desea determinar cuantas mesas y escritorios debe hacer con el objetode optimizar el uso de sus recursos disponibles. Estos productos usan dos tipos de madera (pino yroble).Se piden 1.500 pies de madera de pino y 1.000 pies de madera de roble. Adems se tiene 800 H-Hdisponibles para todo el trabajo y 2.000 clavos.Cada mesa y escritorio requiere respectivamente de 5 y 9 pies de madera de pino, 2 y 3 pies demadera de roble, 3 y 5 H-H y, por ltimo, 10 y 40 clavos.Se desea maximizar el benecio sabiendo que el benecio unitario es de $1.200 por mesa y $1.500por escritorio.c) Una fbrica produce tres tipos de vigas: pequeas, medianas y grandes. Estas vigas se pueden pro-ducir en cualquiera de las mquinas A, B y C, las cuales producen las siguientes cantidades en unahora:MquinasA B CViga pequea 300 600 800Viga mediana 250 400 700Viga grande 200 350 600Cuadro 1: Produccin de cada mquina por hora.Asuma que cada mquina puede operar a lo ms 50 horas por semana, y que los costos de operacinde cada mquina, por hora, son $30.000, $50.000 y $80.000 respectivamente. Adems suponga quepor semana se requiere a lo menos 10.000, 8.000 y 6.000 vigas de cada tipo respectivamente.1d) Una aerolnea debe decidir acerca de las cantidades de combustible que se comprarn a tres posiblesproveedores. Los aviones de las aerolneas se reabastecen regularmente en los cuatro aeropuertos quese sirven.Los proveedores han indicado que se pueden poporcionar las siguientes cantidades, en cualquieraeropuerto, durante el prximo mes: 250.000 litros el proveedor 1, 500.000 el proveedor 2 y 600.000el proveedor 3. La cantidad de combustible que se requiere en los diferentes aeropuertos es: 100.000litros en el aeropuerto 1, 300.000 en el aeropuerto 2, 200.000 en el aeropuerto 3 y 400.000 en elaeropuerto 4.El costo total de cada litro, incluyendo costos de transporte, ha sido cotizado por cada proveedor paracada aeropuerto de acuero a los datos que muestran en la tabla siguiente:Aeropuerto Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 31 12 9 102 10 11 143 8 11 134 11 13 9Cuadro 2: Cotizacin de cada proveedor por aeropuerto.Nuestro problema es determinar las cantidades de combustible que se comprarn a cada proveedoren cada aeropuerto, de tal manera que se minimicen los costos.e) La dietista del hospital general es responsable de la planeacin y administracin de los requerimien-tos alimenticios de los pacientes. La dietista examina un caso de un paciente que se ha restringidoa una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se la ha restringido lacantidad de los alimentos que puede consumir, sin embargo, se deben satisfacer los siguientes reque-rimientos nutritivos mnimos por da: 1.000 unidades del nutriente A, 2.000 unidades del nutriente By 1.500 unidades del nutriente C.Cada onza de la fuente alimenticia 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nu-triente B y 200 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia 2 contiene 200 unidadesdel nutriente A, 250 unidades del nutreiente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes sonalgo costosas, la fuete 1 cuesta US$6 por libra, y la fuente 2 cuesta US$8 por libra, por tanto, ladietista desea determinar la combinacin de fuente alimenticia que arroje el menor costo y satisfagatodos los requerimientos nutritivos. (Nota: 1 libra = 16 onzas)2Problemas propuestos para el estudiantePlantee los siguientes problemas como un problema de Programacin Lineal.a) Una cooperativa cra vacas y ovejas. La cooperativa tiene 50 casillas del establo para vacas y 200para ovejas, adems de 72 acres de pasto.Para mantener una vaca se necesita un acre de pasto, mientras que la oveja necesita 0,2 acres. Lacooperativa dispone hasta 10.000 horas de trabajo por ao para el cuidado de animales. Una vacarequiere de 150 horas anuales de trabajo y una oveja de 25 horas. La utilidad anual es de $250.000por vaca y $45.000 por oveja.Se desea determinar el nmero de vacas y ovejas para hacer mxima la utilidad.b) Un dietista recomienda a un paciente una dieta que apunta a los requerimientos diario de protenas yvitamina C. La dieta est restringida al consumo de manzanas, pltanos y dtiles.Una manzana cuesta 3 dlares y aporta 1 gr de protena y 2 mg de vitamina C. Un pltano cuesta 4dlares y aporta 2 gr de protena y 2 mg de vitamina C. Un dtil cuesta 5 dlares y aporta 3 gr deprotena y 1 mg de vitamina C.Si la dieta diaria requiere al menos 5 gr de protenas y al menos 6 mg de vitamina C, determine elnmero de unidades diarias a consumir de cada fruta de modo que el costo sea mnimo.c) Se requiere maximizar las utilidades de una industria que podra producir lavadoras, cocinas y/orefrigeradores.Cada producto debe pasar por una seccin elctrica y una seccin de chassis. Las limitaciones encuanto a las H-H disponibles son 44 y 30 respectivamente. La utilidad que rinde cada artefacto es de$360, $220 y $240 respectivamente.Los requerimientos de mano de obra se resumen a continuacin:Taller Lavadoras Cocinas RefrigeradoresElctrico 2,6 1,2 1,0Chassis 1,0 1,0 1.5Cuadro 3: H-H por actividad.d) Una empresa nanciera pretende hacer inversiones en el cultivo de naranjas, limones, papayas ymanzanas. Se persiguen dos objetivos: reducir el desempleo rural y aumentar las exportaciones paraequilibrar la balanza de pagos de la nacin.Se sabe que la produccin promedio de cada rbol est dada por la siguiente tabla:Tipo rbol Produccin Promedio Anual(en unidades) (en kilogramos)Naranjo 180 30Limonero 190 30Papayo 300 50Manzano 80 20Cuadro 4: Produccin promedio por rbol.El precio promedio en el mercado mundial es de $30, $28, $100 y $40 por kg de naranja, limn,papaya y manzana respectivamente.3Existe una extensin de 250.000 m2de tierra propicia par esos cultivos. Tcnicos de agricultura handeterminado que las siguientes extensiones mnimas son necesarias para el cultivo de esos productos:Tipo de rbol Naranjo Limonero Papayo ManzanoExtensin 4 m25 m23 m26 m2Cuadro 5: Requerimientos de terreno por rbol.Noexistenproblemasdeaguapushayvariosmanantialesdentrodelapropiedad.Elcostoporsembrar un rbol es de $250, $300, $500 y $200 por rbol de naranjo, limonero, papayo y manzanorespectivamente, estos costos incluyen compra del rbol ms su mantencin.Cada rbol requiere de cuidados equivalentes a 3.6, 7.2, 5.0 y 1.0 hombres por ao por cada rbol denaranjo, limonero, papayo y manzano respectivamente.La empresa nanciera pretende hacer una inversin de 20 millones de pesos, pensando exportar todasu produccin. El gobierno ha delineado que este proyecto emplee a lo menos 200 personas en formacontinua.Cuntos rboles de cada especie debern sembrarse con el objeto de maximizar el valor de la futuraexportacin anual?e) Una mueblera fabrica tres tipos de mesas: A, B y C. Las condiciones y caractersticas son las si-guientes:Departamento H-H requerido H-H disponiblesA B CCarpintera 4 7 10 6Barnizado 1 3 40 4Utilidad por Unidad 12 18 40 -Cuadro 6: Condiciones y caractersticas de trabajo por modelo.Plantee el problema.f) Una empresa tiene facultad de fabricar en una mquina dada, trabajando 45 horas por semana, tresproductos diferentes P1, P2 y P3. El artculo P1 deja una utilidad neta de 4 U.M., P2 una utilidad de12 U.M. y P3 una utilidad de 3 U.M.Los rendimientos por hora de trabajo de la mquina, para cada uno de los tres prodcutos son respec-tivamente 50, 25 y 75 unidades.Las posibles ventas estn limitadas a 1.000 unidades de P1, 500 de P2 y 1.500 de P3. Cmo repartirla produccin de modo de maximizar la utilidad de la empresa?14 de Agosto de 20154