LINEAS , SEGMENTOS , RECTAS , ÁNGULOS 6TO.pdf

8/16/2019 LINEAS , SEGMENTOS , RECTAS , ÁNGULOS 6TO.pdf

1/35

L L ÍNE RECT

Conjunto de puntos que tienen una mIsma dIreccIón, y se extIende en

los dos sentIdos

•

•

Segmento : Es una porción de recta lim itada por dos puntos extremos)

• •

B

Seg mento : A B

longi tud de Segmento : Distancia que hay entre los pun tos extremos

d

• •

B

Segmento AB mide : d

Punto Medio de un Segmento : Es el punto que divide l segmento en

dos segmentos de igual long itud

•

•

•

•

•

A

M

B

M

es

p

un

to

medio de: A B : A M =

MB


2/35

OPER CIONES CON SEGMENTOS

Se tiene

m

• •

A P

Entonces :

• A l = Al PQ QB

AB = 3 6 12

S = m

• AQ = Al PQ

AQ = 3 6

AQ = 9m

• Al = AQ PQ

Al = 9 6

= m

6m

•

Q

2m

•

B

AB AP BD

¿ ,?


3/35

_EJERCICIOS DE APL ICACiÓN

1 .En el gráfico: AD = 26 m

C a lcu la r «x »

f - -X i

•

X <

. .

A P

Q

B

1--10-- - -1

RESO L UC iÓN

:

26

• • • • • I

A P Q B

> X ~ l Q X <

Del gráfico :

X + IO + X = 26

2X = 26 - 10

2X = 16

X = 8

02.En el gráfico : AD = SOmo

Hallar «X»

f -2 \ 20m

,

-<

•

• • •

A

B C

RESOL

UCi

ÓN

:

SQm

•

•

•

B

C

1--: : \ 20m

,

Del gráfico

2:\ 20 :\ 50

3:\=50- 20

•

O

•

D

X-I

•

•

3X = 30

X = 30

3

X = 10

03 . En una recta se ubica n los

puntos consecutivos : A . B Y e,

tal que . AS = 5 m , AD = 33 m ,

•

A

e

es

e l

punto

med Io

de BD .

Halla r AC

RESOLUCiÓ N :

33m

•

9

,

•

B C O

~ 5 m

a ~ a

Del gráfico :

5 + a a=33

la=33 5

2a == 28

a

=

14

Luego AC = 5 14

AC = 19 m


4/35

04

En una

recta

se

ubican los

puntos consecutivos: AB = BC

, AC = OC , AO = 40 m

Calcular

BO

RESOLUCiÓN,

AC=

DC

Om

• 8 • 8

A a B a e D

2a - - 2

Del grá fi

co .

2a

+

2a =40

4a = 40

a

=

10

8 D = 3 2a = 3a

:. BO = 30


5/35

Á N U L O S

Ángulo , figura formada por dos rectas que tienen el mismo origen

A

•

Lados

:

OA

;

08

O

Vértice O

Notación: 1. AOB . AOB

•

B

Bisec t riz Rayo que parte del vértice del ángu lo , formando con los la-

dos ángulos de igual medida ,

O

CLASIFICA CiÓN

Á NGU

LO

A G

UD

O

a

0

u

M

B

OM bisectnz del o AUe

ó

m c AOM =m


6/35

ÁNGULO OBTUSO

a

ÁNGULO RECTO

ÁNGULO LL NO

a

ÁNGULOS DYACENTES.

Dos ángulos son dy centes si tienen el mismo vértice y un l do en

común

ado comun

C----

b

o

a

y

b

son ángu

los

adyacentes


7/35

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VERTlCE .

Dos ángulos son opuestos por el vértice si uno está formado por la pro-

longación ce los lados del otro .

A

B

C

o

U

O

y f\o son ángulos opuestos

por el vértice

ÁNGULOS COMPLEMENT RIOS C)

Dos áng Jl os son complementarios, S la suma

de

sus medidas es 90°

A

T B I ~ N

M C 20) = 70°

C 40)

=

50°

aO

C 30) = 60°

1 po

C 80) = 10°

O

B

C aO) =90 ao

a

O

p 9

C bO) =90 - bo

C a) Complemento de l


8/35

ANGULOS SUPLEMENTARIOS e)

Dos ángu los son suplementarios . si la suma de sus medidas es 180

0

.

e

S a): Suplemento de (1.

PROPIEDADES

Sea

«x»

un ángulo

·

~

A

*ccc. C(X) = { X Si n es par

' - - . - - , - - ' C X) : Si 11 es impar

n \c


9/35

OPERACIONES CON ÁNGULOS

A

D

O

Entonces

• n { AOO In l

B+ 111 BO

C + m { CO

D

t 4 ° +

r { AOD ::: 80°

' ll 1 AOR = m < ¡\O - { I3U l

t A013

m

<

OB

lOo


10/35

_EJERCICIOS DE P iÓN

01.001 gráfico : m c AOD = IOO

Calcular: m léAOC

02 Calcular «X»

B e

C

A o o

o

RESOLUCiÓN

:

A

C

o

Del gráfico:

20° 0. + a = 1000

20 = 100°- 20°

20.

=

80°

a =4

m - :.. AOC == 2 °

+ a

m { AOC == 20° + 40°

m 1: AOC =60°

RESO

LUCiÓN :

B

e

A

o

Del gráfico :

3X 5 50

o

X 2X 5 = 180

0

6X = 180°- 60

6X = 120°

X = 20°

03 Calcu lar «x»


11/35

RESOLUCION:

J . ¡ ~ / ,. a l .'i

2(1 I

()

Del gráfico:

3a + 5 + 2a + JO + a + 15 + 90 == 360

0

6 + 120

0

= 360

0

a = 240

0

a=40

04.Se t ie nen lo s ángu los conse -

cuti vos: AOB : BQC y COD , ta l

que :

m * OB = 2m * OD

BOC

=

50

0

Y

AOD

=

1

10

0

Ca lcu la r m 1 BOO

RESO LUCiÓN :

Del dato

AOD = I

IO

O

Del gráfico

:

2ao+ 50°+ aO == 110°

3ao+ 50° = 11 0

0

3a = 60

0

a = 20

0

05 .Se tienen los ángulos conse-

cu tivos: ADB ; BOC y COD tal

que: 08 es bisectriz de AOC ;

n 1. BOe = 45, además :

m COD = 2m

AO

B

Ca lcula r: 111 1: AOB

RESOLUCiÓN

De l dato :

o

Del g ráfico :

aO 2ao :::: 45

3ao

=

45

a = IS°

: m 1: AOB :::: 150

D


12/35

RECT S P R LEL S

Dos rectas que se encuentran en un mismo plano y no se intersecan

. . L

Notación : L I

••

__

_________________

~

ÁNGULOS ENTRE RECT S P R LEL S

ANGULOS CORRESPOND IENTES : L , L

1\

NGULOS LTERNOS INTERNOS : L, L,

c >

JI

-- w - - -- - . L2

0 1

:: r o .

/ 0 0 ...

1 }


13/35

ANGULOS ALTERNOS INTERNOS L L

_

~ r

U

PROPIEDADES

. Si Ll Ll

n

c _ m }>


14/35

• Si :

II L

.'

. S .

L II L

•

,

.

c

b

•

OTRA S PROP IE ES

. Si L I L

L

e cumple :

b ¿ d O e

T

amb

ién:

......----.

Z

L ,

e cumple :

Lz

0 ° b ~ O ~ 6 f )

- - . . - - - - - . . L

1

e cumple:


15/35

adosPe rpendiculares

, ,

• L i l L ,

b'

a'

L

,

•

a'

b'

X'

c


16/35

_EJERCICIOS DE PLIC CiÓN .

1 .Si L , L ,. Hallar «x» 02 S,· L IIL Hallar ~ »

• I 2 . «

4) +90°

-

f

L

R SOLU iÓN :

50

- ~ ~ L 2

En el gráfico:

4x 90° 50°= 180

0

4x + 140°= 180

0

4x = 180 _ 140

4x = 40°

x = 1

60

--_ - = _ L

- - ~ - - - L2

R SOLUCIÓN :

-

6u

-

~ ____ ~ ~ ~ 8 0 ~ O O ~ __- .L 2

Del gráfico:

60° + 180° 6a = 90°

240

0

-

90°

=

6a

ISO =6a


17/35

03. Calcular «x», Si L

1

L

2

.

____ 4 ~ O ~ ________ L2

/

R SOLUC iÓN

0 40 -

~ - - - ' - l ; > c > . = - - - - - L

2

Del gráfico:

:x - 1 7:x 5 =50 40

11, - 6 = 90

12, = 90 6

2:\ = 96

, =8

. Calcular «a Si LJ Ll '

60

R SO UCiÓN

60

Pro p

ieda

d

6a + + 60 + 4 = 360

6a + 2 10 = 360

6a = 360 - 2 0

a = 15


18/35

TR I ÁN ULOS

T r áng u lo e s la figu ra geomé tric a fo rmada a l un ir tres puntos no

co linea les .

B

n

e

m

A

b

PROPIEDADES

1 .

2 .

a

p

Vértices : A ; B

;C

Lados

: a b c

1: ternos: mO , nOy p

Perímetro = p = a b e

C

P : semipenmetro

1: internos:

;: externos: € y Z = } 6 ~

y

1: exterior:

x


19/35

3

Pro piedad de la Exis tencia:

4 S i:

~

5 : formado p or dos b ise c t r ice s te r io res

x

CJ

X = 90

2

6

1:

fo r

ma

do po

r

dos

bi

sec

tr

ic

es

ex

ter iores

x

o

~

2


20/35

7.

.

fo rmad o p o r un a b isec t riz in terio r y u n a exte r ior

x

_EJERCICIOS DE APL A iÓN

En la figura Calcul ar «x»

RESOLUC iÓN ,

>

50 40-t3:-..

=

18

3 ~ 9

, = 9

x = 3


21/35

02 .Hallar « »

RESOLUCiÓN:

B

'.

L 5 2 W ~ ____ A L 2 0 ~ · ~ __ ~ W ~ C

M\I3C : 20 x

+20+

x

+50 ~

180

2x ~ 1 8 0 9 0

x = 45

03.Hallar «x

x

RESOLUCIÓN

60 x ~ 2x 20

60 - 20 ~

2x-x

40 ~ x

04.Calcular «2x» de l grá fico ·

70

RESO

LU

CiÓN:

:>

7

B 30 70

. y

x

óABC:x

+3

0

70+5

0

~

ISO

os.Hallar «x

x 18 - 30 - 70 0

x = 30 Rpta : 60 2x)

3,


22/35

PROBLEM A 0 1

Sobre una recta se ubica n los

puntos: A , B , e y o si:

Be =2A Bcm BO = 26cm y

AD = 32 cm

¿Cuánto mide AC

7

A 16 cm

O 19

B 17

E 20

PROBLEMA 02

C 18

Los puntos A , B,C, D se encuen·

tran

sobre una

l

inea recta

,

de

modo que Be = 5 , AC + SO = 20

Ha llar AD .

A 14

O 12

B 10

E 13

PROBLEMA

03

C 15

Dados los puntos colineales A ; N

. G ; E ; L Tal que :

AG+NE+G L ='?'AL

3

NE = 24cl11; calcule AL

A 24 cm B 36

O 60 E 12

C 4 8

PR O B L E M A 04

En una recta se ubican los pun

tos consecutivos A , B , e y o tal

queAC =

18 , SO = 21 , AS = BC .

HAllar CD

A

12

O 18

B

15

E 16

PRO I: lLEMA 05

C)

10

Un ángulo es igual a 8 veces su

complemento . Hallar el sup le

mento de dicho ángulo .

A 70°

O 100

B 80°

E 11 0°

PROBLEMA 06

C 90

Hallar el complemento del dob le

del ángulo 40

A 10

0

O 30

B 100

0

E 140

0

C) 50


23/35

PROBL EMA 07

La diferencia de los ángulos con-

secut

ivoS

AOB y BOC es 26° Ha-

llar la medida del ángu lo que for-

ma la bisectriz del . :. AOC con el

rayo OH

A 13

D 16

B 14

E 17

PROB L EMA 08

Hallar e l valor de «x»

A 50

8 6,

8 40

C 10

D 20

E 30

A

60

PROBLEMA 09

Hallar el va lo r de «Xl en :

e

8

A

E

A 54 B 36

O 15 E 18

C 15

e

3,

G

C 20

PROBLEMA 10

Calcule U + P+O+E+1\l+W

e

A =+-' . : --- D D

F

A)

1

80·

O 2 10

0

B 270

0

E 240·

PRO B LE M A 11

e

36

0

En la figura AS = Be y TQ = aL

Ca

lcule

«X» ,

SI

U

+

-;l

=

1

00°

B

A

L

e

A 3 °

B 40· C 45·

O 50° E 55°


24/35

PROBLEMA 12

En la figura 11 m y p q

Ind icar el valor de « ( O )

p

2)(+45

u

. - : - t - f - - - -+ - - - m

3)(-15

A) 72

D) 75

B) 73

E) 76

PROBLEMA 3

q

C) 74

El perimetro de un rectángul o

mide 88m SI la altura tiene 10m

menos que la base ,Cuanto mide

el área del rectángul o?

, , ,

A) 170m B) 457 - C)4S9m-

, ,

O) 450m - E) 480m -

PROB L EMA 14

SI el perimetro del trapecio mide

21 metros . Calcula el perime tro

del

cu a

dr

a

do_

X

A 22m

D) 28m

B) 24m

E) 30m

X

+

3

C) 26m

PROBLEMA 15

En un triángulo su altura mide h

su altura tres veces más que ella

Si el área del triángulo es 32cm

2

.

Halle «h)l

A) 3cm

O) Bcm

B) 4cm

E) 5cm

e) 6cm

PROBLEMA 16

Si el cuadriláterio trene un área de

20m

2

, hallar el área del tr iángulo

AED.

BI.------JiD;:- . e

. .. F

A) 10m

2

O) 150m

2

B) 20m

2

E) 60m

2

e) 30m

2

P RO BL E M A 17

Calcular el área sombreada , S 8F

=

20p ; DE =6p Y AC = 5 ~ t

B

~ C

E

A)

1

5 ~

O) 120p2

B

6 ~

el

5 ~

E) 150p2


25/35

PROBLEMA 1 8

Hallar el perímetro de la re g lón

sombreada .

B e

4

4

A

4

4

D

Al Sil Bl 6 t Cl71t

O 8 t

E 9

PROB LEMA 19

Hallar el

área de la región

sombreada , si AS = 20cm .

Al

3,4

cm

2

Cl 158 cm

2

E 150 cm

2

A

B

B

310 cm

2

O 157 cm

2

PROBLEM 2

Hallar el área de la reg ión

sombreada .

B,r-_ _ - - - - ~ C

r=5cm

r=5cm

A D

- - 10cm

Al

20,S cm

2

el 21 ,S cm

2

El 22 ,5 cm

2

Bl

21

cm

2

O 22 cm

2


26/35

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS SE L E CT O S

PROBLEMA 01

RESOLUCiÓN

1---8

•

A B

• •

e O

26

> - - - - - 3 2 - - - ~

Del gréfico. AH = 32 16

AR = 6 = a

Luego

A , =3 = 36

A( = IScm

ICLAVE cl

PROBLEMA 02

RESOLUCiÓN

>---a

A

B

5

e o

~ x ~

N

os

piden :

x =a b 5

Del gráfico.

AC = n }

SD = b 5

AC + BO = a+b+5+

20 = x +5

20

-5

=

X

15 = x

ICLAVE C I

PROBLEMA 03

RESOLUCiÓN·

•

a

•

b

A

N

e

G

,

AG NE+ iL = ': 'A I,

3

Nb =24

Del gáfico ACi

=

a b

d

E

1)

NE = b + c

GL = c d

AL = a b c d

L

Reemplazando en 1)

5

a b b c e d = . l>,


27/35

PRO BLE MA 04

RESOLUCiÓN :

8

A 9 9 C

D

2 1 ~

Del gráfico CD := 2 - 9

el) =12

PROBLEMA 05

RESOLUCiÓN

I CLAVE A l

Sea «a» el ángulo entonces:

( (11)=90 U

Luego:

= 8 90 - u )

u:=

720 -80..

90. = 720

a = 80°

PROB

L EMA 06

El doble de 4 = 8

Luego: C (80) = 10

I CLAVE B I

I CLAV E A l

PROBLEMA

07

RESOLUC iÓ N ·

Del dato

A

/ ' l - -Y , _,0 B"U(; ll¿

.

1: AOC - 2u + 26

Pero PO Bisectriz

=> 1.AOP =o.. 13

: 1: BOl =13

PROBLEMA 8

RESOLUC iÓN :

6

A

P

e

IC LAVE A l

3,

e J .

6x = 3x + 60·

6x - 3: .: = 60°

3x = 60°

x := 20

0

CLAVE D


28/35

PROBLEMA 09

RESOLUCION :

8 + 20 + 20 =180

58 = 180

e= 36°

Luego en LABC:

36+. \ = 90

x = 54°

PROBLEMA 1

RESOLUCION :

Luego

B

ICLAVE l

0)° e

o

; 0 a

O

BO ~ o 360

0

ICLA

VE

C I

PROBLEMA 11

RESO LUCIO N:

B

En t> A :

En t> 13 :

X b = a + e} +

x + a = a b

2x + a + b ::: a +G+a + b

2, = 100

x =50

PROBLEM 2

RESO LUC IO N :

p

3x- 15 2x 45

Del grá fico :

ICLAVE D I

3x - 15+2 x + 45 = 180

5, + 30 = 180


29/35

5'\

= 150

\ 0

Luego 1: .: 15

l t=3 JO)- 15

11 :::: 75°

PRO BLEMA 13

RESOLUCIO N

Del dato:

b 10

b

b

ICLAVE DI

b 10

=> b - IO+ b+b - IO+ b = SS

4b - 20 = 88

4b = 10 8

b = 27

Luego, los lados: 27 y 17

:. A =27x I7

A = 459m

2

ICLAVE C I

PROBLEMA 4

RESOLUC ION

X

x

x + 1

X • 4

=> :-.: 1+ x + = :21

: , x+3

=7

4 x

= 16

x = 4

7m

P = 7x4

P = 2Sm

7rn D 7m

PROB

L

EMA

5

R ESOLU C IO N

7m

ICLAVE DI

o base: h + 3h = 4h

Luego:

4h-- - - - l

Reemp laza ndo:

32 = h ,4h

2

16 = h

2

=> h =

4c

ll

bxh

A

=

2

CLAVE B


30/35

PROBLEMA 16

RESOLUCiÓN ·

1

A ,..\LJ) = -::;A

A IU = ~ 2 0 )

,

A \ , \ j . ) = 10m-

PROBLEMA 17

RESOLUC iÓ N

B

I CLAVE A l

A ,mI> = A \ \I l l - A \.\DC

1

5) 20

1\ ""11111 =

t i .=150- 45

,,,m,,

,

A L= 105l1-

'111 '

PROB

L E

MA

18

RESOLUC IÓ N

6 x 15

ICLAV E c l

El penmetro del área

sombreada será la

longi tud de

circunferencia: (Lo)

> Lo = 27tR

R = 4

Luego : Lo = ]rr 4)

L o = 8rr

PROBLEMA 19

RESOLUCiÓN :

CLAVE D

SiAB=2Ocrn A =.. ..A

- - _ R l c m II)mb .., o

1 2

t i h

=

- · . 1

0)

,.,

2

t i ~ 3 4

,(\ml> 2 '

,

A L= 157cm -

om

PR

O L

MA

2

RESOLUCiÓN

B

5

ICLAVE D I

r = 5 I = 10

O .

t i = 100 -3 14 ·25

somb '

t i • = 100 - n,5

0 111

A

=

215

oltlll

ICLAVE C I


31/35

. .

P R O B L E M S P R O P U E S T O S

PROBLE MA 01

Si AD = 80

2x

~

3,

•

•

•

•

A B e o

Calcular BD

A) 48

B 56 e) 50

D) 60

E) 62

PROBLEM 2

En la figura hallar «X

............-e • e

•

A B e

D

Si AD + CD

=

40

A) 10

D) 20

B) 18

E 3D

PROBLEMA 3

e) 12

Se tiene los puntos col ineales y

consecut ivos A , B, e y D tal que

«en es punto medio de BO, y AO

+ AS = 18 . Hallar AC

A) 8

D)

B 9

E)

12

C) 10

PROB LEM 4

En una re cta se ubican los pun-

tos consecutivos A , B, e y D tal

que AC

=

24 ,

AD

=

40 Y

SO

=

20

.

Ha llar Be

A) 2 B 4 e 6

D 8

E 10

PROBLEM A 05

Se tienen los puntos colineales y

consecutivos A , B, e y o de ma-

nera que AS = SD = 6 Y Be = CD

Hallar AC

A 7

D 6

B) 8

E 10

PROBLEM A 06

e 9

Dos rectas paralelas son

intersecadas por una secante,

dos ángulos seme jente s internos

entre si como 7 es a 11 . Hallar la

med ida del menor de ellos_

A) 30

0

D) 60

B) 40

0

E 70

C) 50

0


32/35

PROBLEMA 07

Si AD lBEIICF : Ae = 12: Be = 8

; DF = 18 _ Ha llar DE

A 3

O) 6

B 4

E 7

PROBLEMA 8

e 5

La diagonal m a yor de un rom bo

mide 12cm y la diagonal menor 1/

3 de la diagonal mayor. Calcu la

el ~ ; ¡ del rnmhn

A 20cm

2

O 22cm

2

B 16cm

2

E 24cm

2

PRO B LEMA 09

C )28cm

2

¿Cuál es el períme tro de to d as la s

regiones sombread as sabiend o

que

los

cuadrados tienen 6cm de

lado?

/

/

> 6 <

A 45cm

D 48cm

B 46cm

E 49cm

PROB LEM 1

C}47cm

¿Q ué parte de l tota l rep resen ta la

región pi ntada?

I §

1

A 1/3 B 1/4

e ) 1 /2

O)

2/3

E

3/5

PROBLEMA 11

H a ll ;=,r el valor de «x» en el s ~

guiente triángulo:

8

Z:S

A e

2+3x)

A

2

0 6

B) 3

E 1

e

4


33/35

PROBLEMA 12

En la figura las regiones son equI

valentes Q dé fracción represen-

ta la reglón sombreada

A 1 8

D) 1 2

B) 1 6

E 1 4

PROBL EM A 13

e ) 1 3

Dos lados de un triángulo miden

6cm y 15cm. Hallar la suma del

mlnimo y máximo valor del terce r

lado para que el triángulo exis ta

A 31cm

D 21

B 28

E 40

PROBLEM 4

e ) 3

En la figura la reg lón P es un cua-

drado de 32cm de perímetro

El

área de la reglón Q es·

•

p

- - 12m

A ) 8m

2

D) 32m

2

Q

16m

B) 12m

2

E 64m

2

•

C 40m

2

PRO BLEM A 15

Calc u le el área de la reglón

sombreada

A 20m

2

O)

32m

2

8m

16m

Bl 1 m

2

E)

30m

2

PROBLEMA 6

Calcule a en la figura

D

A 18°

D 19

A

B 20°

E 12°

P ROB L E MA 17

Si L L , Ha llar «x»

, -

I

5m

I

C 40m

2

B

e

e 25

- - - ;=c -

l

,


34/35

A) S

O 2 °

B 1 °

E 25°

PROBLEMA 18

Hallar «x» en

150

0

A) 4

0

D) 25

8

50°

E 35°

PROBLEMA 19

C 15°

,

1

0

C) 30

¿Qué polígono tiene 17

diagona les?

A Nonadecágono

B Dodecágono

e Exadecágono

O Pentadecágono

E Icoságono

PROBLEMA 20

Calcular «X», si Be A D

B1k ; ;C

Ai- ''-'X, --- - D

A) 25

D)

10

B) 15

E)

18

e) 30


35/35

O

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