Universidad Del ValleDepartamento De Física

LÍNEAS EQUIPOTENCIALES

INTRODUCCION

En el siguiente informe queremos mostrar como de forma experimental a partir de la medición de voltajes es posible encontrar el comportamiento del campo eléctrico entre dos puntos con signos diferentes de carga y densidades distintas.

1. OBJETIVO

Encontrar la dependencia espacial del potencial eléctrico con la distribución de carga en electrodos con geometrías diferentes.

Modelar la situación experimental en dos formas alternativas, determinando el mejor modelo por comparación con los valores experimentales.

Encontrar la forma de las equipotenciales y las líneas de campo eléctrico para distintas configuraciones de electrodos.

2. MODELO TEÓRICO

Toda carga puntual crea en el espacio que la rodea un campo vectorial eléctrico E que depende de la magnitud de la carga q y de la distancia r del punto en consideración a la carga. Según la ley de Coulomb, E (q, r) está dado por la expresión:

E( r⃗ )= q

4 πε0 r2r̂

εo es la permitividad eléctrica del vació, 8.85 x 10-12 C2/Nm2. Existe un campo escalar llamado potencial eléctrico, definido como el trabajo, por unidad de carga, necesario para traer una carga de prueba qo desde el infinito hasta el punto donde se calcula el campo. Para una carga puntual está dado por la expresión:

V ( r⃗ )≡W x→ r

q0

= q4 πε0 r

Si tenemos más de tina carga puntual, el potencial eléctrico en un punto es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga en tal punto:

v ( r⃗ )= 14 πεo

∑f

q i

|⃗r− r⃗ i|Si las cargas se distribuyen de manera continua, con una densidad volumétrica de carga p(r'), reemplazamos la sumatoria de la ecuación (3) por la siguiente integral de volumen:

v ( r⃗ )= 14 πεo

∫ 1

|⃗r− r⃗ '|ρ(r )d3 r⃗ ´

A partir de esta expresión se puede calcular el potencial en cualquier punto r para diferentes configuraciones de carga.Una conclusión importante sobre el campo electrostático es que la componente del campo eléctrico a lo largo de una superficie equipotencial (el lugar geométrico formado por todos los puntos de igual potencial) es cero. En otras palabras, las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales en todo punto. La superficie de un material muy buen conductor es siempre una superficie equipotencial. Una lámina conductora puede ser cargada positiva o negativamente según la conectemos al borne positivo o negativo de una fuente de poder. El conductor así cargado es un electrodo. Entre dos electrodos con carga de signos opuestos se establece entonces una diferencia de potencial y se crea un campo eléctrico entre ellos. La forma y distribución espacial de las líneas de campo eléctrico depende de la forma y posición relativa de los electrodos.

3. DISEÑO EXPERIMENTAL

3.1 Materiales y Equipo1. Fuente de potencial DC marca LINCO. Se trabajará en la salida de 6V, hasta 10 A.2. Voltímetro digital DC. Escala O →10 V3. Cables de Conexión, dos de ellos con caimán en un extremo, uno de ellos conectado a un lápiz.4. Cubeta electrolítica: puede constar de un papel conductor ó de un líquido salino, con sus respectivos juegos de pares de electrodos de diferentes formas: Placas paralelas, cilindros, aro. Si se emplea papel conductor, los electrodos estarán pintados sobre el papel con pintura metalizada.4. Computador con programa grafico (opcional)

3.2 Método ExperimentalLa figura 1 es un esquema del sistema experimental. La cubeta electrolítica permite observar la distribución de potencial eléctrico entre dos electrodos, producida cuando éstos se conectan a los terminales positivo y negativo de una fuente. Se conecta el terminal positivo del voltímetro a la punta de grafito (que hace las veces de sensor del potencial eléctrico), y el terminal COM al electrodo negativo. La lectura del voltímetro indica la diferencia de potencia/entre el punto sobre la cubeta que explora el sensor y el electrodo negativo, el cual tomarnos como potencial de referencia cuyo valor por convención es cero.

1. Líneas equipotencialesSe midió el potencial eléctrico para diferentes posiciones en la región entre dos electrodos cargados, y en su alrededor. Con estos datos se realizó un esbozo gráfico de las líneas equipotenciales. Se obtuvo los valores de potencial para un suficiente número de puntos, tal que permitieron dibujar un esquema semicuantitativo del patrón de líneas equipotenciales. Se dibujo un número de líneas equipotenciales suficiente para poder dibujar unas cuantas líneas de campo eléctrico. 2. Potencial eléctrico entre electrodos:También se estudió la dependencia cuantitativa de la variable dependiente potencial eléctrico contra la variable independiente posición a lo largo del eje de simetría (la línea perpendicular a ambos electrodos y que los une). El objetivo fue investigar, entre varios posibles modelos teóricos que podrían representar sus datos, cuál de ellos presenta un mejor ajuste. En nuestra situación experimental tenemos al menos dos maneras posibles

de interpretar cada una de las configuraciones de electrodos, y por lo tanto construir modelos teóricos para ajustar a los datos.

Fig. 1. Montaje experimental, para la configuración A (electrodos simples).

La configuración A (figura 1) se puede modelar, o bien como dos cargas puntuales, o bien como dos líneas de carga que se prolongan indefinidamente en dirección ortogonal al plano de la cubeta. Bajo la primera forma de interpretar la situación imaginamos a los electrodos como si fueran elementos puntuales que contienen cargas de igual valor absoluto y signo opuesto. La segunda nos los hace ver como si fueran elementos de sección transversal circular que cortan ortogonalmente la superficie de la cubeta electrolítica.

3.3 Montaje1. Existen dos montajes: Un líquido conductor o electrolito, que es agua con sal. El otro es un papel de conductividad eléctrica moderada, en donde se han dibujado los electrodos con una tintura de un material metálico, normalmente plata, que es muy buen conductor.2. Pida a su profesor Ia(s) configuración (es) de electrodos que Ud. debe investigar. Conecte los electrodos a la fuente de potencial, salida de 6V.3. Conecte el borne negativo del voltímetro al borne negativo de la fuente de poder ó al electrodo negativo.4. El borne positivo del voltímetro o punta de prueba, se lleva a los diferentes puntos marcados en la región entre sus electrodos y mide el valor del potencial con respecto al borne negativo, el cual se asume por convención a potencial cero.3.4 Precauciones (para cuando se utiliza el papel conductor)1. Es muy Importante no tocar con sus dedos o su mano el papel conductor, pues la grasa crea una capa ligeramente aislante y altera los resultados.2. Asegúrese que la presión ejercida por la punta de grafito sobre el papel conductor sea lo más uniforme posible al ir barriendo el campo. También trate de que el lápiz se encuentre lo más vertical posible.3. Compruebe antes de lomar sus medidas que iodos los puntos de cada electrodo están al mismo potencial.4. Evite perforar o rayar el papel conductor.

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

4. 1. Líneas equipotencialesCon la fuente de poder conectada a la configuración de electrodos indicada por el profesor y el voltímetro preparado para medir, se conectó el sensor en el electrodo positivo y registramos el valor del potencial leído. Después con la punta de prueba medimos el potencial para todas las marcas indicadas en la región entre y alrededor de los electrodos en estudio. Dibujamos a escala en la hoja de papel adjunta los electrodos y llevamos allí los datos.4. 2. Potencial eléctrico entre electrodos:Medimos cuidadosamente el valor del potencial V para diferentes posiciones a lo largo de la línea geométrica perpendicular que une los electrodos; tomamos los datos cada media división de las marcas dadas. Llevamos los datos (r, V(r)) a la tabla 1, siendo r la distancia a un origen de coordenadas escogido nosotros.

5. ANALISIS Y CALCULOS

5.1 Líneas equipotenciales5.1.1De la configuración de electrodos en investigación, encuentre las líneas equipotenciales (por lo menos 5). A partir de las líneas equipotenciales encontradas por Ud., dibuje las líneas de campo eléctrico. ¿Están de acuerdo con lo esperado teóricamente? Analice el acuerdo o desacuerdo de acuerdo con el método de medida y con las suposiciones del modelo teórico.De acuerdo con las suposiciones del modelo teórico, el potencial eléctrico es inversamente proporcional a la distancia entre la carga de prueba y el punto donde se calcula el campo; es decir, a una mayor distancia del electrodo el potencial debe ser menor. Esto concuerda con los resultados obtenidos a partir de la medición de voltaje, aunque no todos los puntos concuerdan con lo esperado teóricamente debido quizás al uso prolongado del papel.5.1.2 ¿En este experimento se detectaron líneas o superficies equipotenciales?;¿Por qué?Teóricamente se esperaba que las mediciones de voltaje sobre el papel conductor comprobara la existencia de líneas equipotenciales alrededor de los electrodos. A pesar de que estas líneas no son tan exactas como se quisiera, sí aparecen puntos equidistantes a los electrodos a lo ancho del papel conductor, que se encuentran a un mismo potencial; este resultado nos conduce a concluir la existencia de líneas equipotenciales alrededor de los electrodos.5.1.3 ¿Podremos determinar experimentalmente las líneas equipotenciales de las placas plano paralelas en el espacio vacío? Enfoque su respuesta a explicar la necesidad de un medio conductor sobre el cual se encuentren los electrodos.Si se considera cada electrodo como el corte de una placa infinita ortogonal al plano del papel con este mismo plano, las líneas perpendiculares a la línea recta que une los dos electrodos representarían las líneas equipotenciales, ya que estas son perpendiculares a las líneas de campo.Realizando las mediciones sobre el papel conductor podemos comprobar su existencia, aunque en realidad están dispersas en el espacio vacío, sólo se pueden medir en el papel.

5.2 Potencial eléctrico entre electrodos.

5.2.1 Para la configuración del paso 4.2., y para cada uno de los dos modelos teóricos apropiados (ver 3.2.2), escriba la ecuación funcional que expresa la dependencia del potencial V con la posición r. Como Usted no conoce la constante carga eléctrica

(sobre los electrodos), esta magnitud debe figurar como un parámetro de su ecuación. Substituya en ésta los valores de r que aparecen en la primera columna de la tabla 1 y escriba los resultados en las columnas 4 y 6. En todas las entradas a estas columnas (excepto las indeterminadas) figura como magnitud desconocida la carga (o la densidad de carga, cuando el electrodo no esté modelizado como una carga puntual).Para cancelar este parámetro desconocido normalize a la unidad ambas funciones V teórico(r). A tal efecto, divida los valores del potencial en las columnas 4 y 6 por el respectivo valor máximo (en valor absoluto), y anote los resultados en las columnas 5 y 7.5.2.2 Observe que sus datos experimentales varían entre cero y aproximadamente 6 voltios, mientras sus datos teóricos normalizados varían entre -1 y +1. Con el fin de poder comparar sus cálculos teóricos con los experimentales, es necesario normalizar también sus datos experimentales para que varíen entre -1 y +1. Primero redefina el valor de referencia del potencial experimental, haciéndolo coincidir con el de los potenciales teóricos. Es decir, reste a todas las entradas de la segunda columna, tabla 1, el valor numérico de V para la coordenada r cuyo Vteórico es cero. En segundo lugar, divida estos nuevos valores por su máximo (en valor absoluto) y lleve los resultados a la tercera columna.Tabla1. Datos experimentales y valores predichos teóricamente para el modelo de las cargas puntuales y las líneas de carga (papel conductor con dos electrodos en forma de puntos).Se utilizo las ecuaciones:

V ( r⃗ )=kq (1r− 1

d−r )Para el modelo de cargas puntuales

V ( r⃗ )=− λ2 πε0

( lnr−ln ( d−r ))Para el modelo de dos líneas de carga

Tabla 1. Datos experimentales en el modelo de las dos líneas de carga y los dos planos infinitos de carga (papel conductor con dos electrodos en forma de líneas).

CONFIGURACIONR (Cm)

± ΔRVM1.(V)

VM2.(V)

VM3.(V)

1,5 0,67 1 0,412,5 0,4 0,6 0,92

CONFIGURACIONR (Cm)

± ΔRVexp. (V)

± ΔvVexp. (V)

± Δv1,5 3,79 12,5 3,4 0,896,6 3,18 0,837 2,13 0,50

8,8 1,52 0,4011 1,66 0,43

12,2 0,65 0,17

6,6 0,15 0,22 1,897 0,14 0,21 1,95

8,8 0,11 0,16 2,1711 0,09 0,13 2,39

12,2 0,08 0,12 2,50

Tabla 2. Datos experimentales y valores predichos teóricamente para el modelo de las dos líneas de carga y los dos planos infinitos de carga (papel conductor con dos electrodos en forma de líneas). Se utilizo las ecuaciones:

V ( r⃗ )=− λ2 πε0

( lnr−ln ( d−r ))Para el modelo de líneas de carga.

V ( r⃗ )=(d−2 r ) Para el modelo de dos planos infinitos de carga.

Gráficos para el papel conductor de las líneas de carga (tabla 2).

Gráfica como función de R, sobre un mismo plano cartesiano VM1, VM2 y VM3 teóricos. (Tabla 2)

5.2.3 Compare visualmente las dos curvas teóricas obtenidas en el paso anterior con la experimental, y elabore una conjetura razonada sobre cuál de los dos modelos teóricos

representa más apropiadamente sus datos. Tenga en cuenta para ello los márgenes de incertidumbre experimental.Ninguno de los modelos teóricos se acerca al experimental debido a errores humanos que tuvimos al tomar mediciones del voltaje como la oscilación de los datos.

5.2.4 Repase sus conocimientos de electrostática, y proponga alguna hipótesis cualitativa que explique teóricamente lo obtenido en la instrucción anterior.Las líneas de campo creadas por un alambre infinitamente largo con densidad de carga lineal λ, son líneas radiales ubicadas sobre planos perpendiculares al eje del alambre, como el plano del papel; mientras que las líneas de campo alrededor de dos cargas puntuales son también radiales pero localizadas sobre un infinito número de planos; esto podría explicar la mayor aproximación del modelo 2 a los datos experimentales.

Conclusiones:

- Las líneas equipotenciales obtenidas en cada una de los experimentos presentaban geometría diferente a la esperada pero se pudo demostrar que existían.

- Con los datos obtenidos al medir el potencial sobre el papel observamos que el modelo teórico concuerda con lo obtenido.

- Las graficas obtenidas fueron muy útiles al informarnos de los datos obtenidos y de los datos teóricos para así poder comparar y escoger un modelo teórico.

- Aunque solo un modelo teórico nos funciona, deberían funcionar todos pero esto no es así debido a los errores en la toma de datos, en los instrumentos, en el papel conductor, que no permite que los datos sean exactos.