UNIDAD I I.- LINEAS DE TRANSMISION CORTAS Y MEDIANAS Y LARGAS LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD CORTA En esta unidad se presentan modelos aproximados de lneas de transmisin de longitud corta y mediana, como un medio de introducir los parmetros ABCD. Conviene representar una lnea de transmisin con la red de dos puertos que se muestra en la figura II.I en

donde Vs e s son las tensin y la corriente en el extremo emisor, y VR e IR son la tensin y la corriente en el

extremo receptor. La relacin entre las cantidades en el extremo emisor y el receptor se puede escribir como: Vs = AVR + BR volts Ecuacin (1)

IS = CVR + DR A Ecuacin (2)

O bien, en el formato matricial, Vs A B VR Ecuacin (3)

s C D IR

en donde A, B, C, y D son parmetros que dependen de las constantes R, L, C, y G de la lnea de transmisin. En general, los parmetros ABCD son numero complejos, A y D no tiene dimensiones. B tiene las unidades de ohm y C, en siemens. En los textos de teoras de redes [5], se demuestra que los parmetros ABCD se aplican en redes lineales, pasivas, bilaterales de dos puertos, con la relacin general siguiente: AD BC =1 Ecuacin (4)

El circuito de la Figura (II.2) representa una lnea de transmisin corta, por lo comn aplicada a lneas elevadas de 60 Hz con menos de 80 km de largo. Solo se incluyen la resistencia y la reactancia en serie. La admitancia en derivacin se desprecia. El circuito se aplica a lneas monofsicas o a trifsicas completamente transpuestas que operen en condiciones balanceadas. Para una lnea trifsica completamente transpuesta, Z es la

impedancia en serie Vs y VR son las tensiones lnea a neutro en secuencia positiva IS e IR son las corrientes en

secuencia positiva.

Con el fin de evitar confusin entre la impedancia total en serie y la impedancia en serie por unidad de longitud, se usar la notacin siguiente:

Figura II.1 Representacin de una red de dos puertos

EMISOR Is IR RECEPTOR Red de Vs Dos puertos VR Figura (II.2) Lnea corta de transmisin Is Z = z = (R + JL) IR + + Vs VR - -

Lnea corta < (menos) de 80 km = 50 millas z = R + jL /m, impedancia en serie por unidad de longitud y = G + JC S/m, admitancia en derivacin por unidad de longitud Z = zt , impedancia total en serie Y = yl S, admitancia total en derivacin l = longitud de la lnea m

Hay que recordad que, para las lneas de transmisin areas, suele despreciarse la conductancia en derivacin, G. Los parmetros ABCD para la lnea corta de la Figura (II.2) se obtienen con facilidad si se escribe una ecuacin de la LKV y una de la LKC, como sigue: Vs = VR + ZIR Ecuacin (5)

Is = IR Ecuacin (6)

O, en forma matricial, Vs 1 Z VR Ecuacin (7)

Is 0 1 IR

Comparando las ecuaciones 7 y 3, los parmetros ABCD para la lnea corta son A = D = 1 por unidad Ecuacin (8) B = Z Ecuacin (9) C = 0 S Ecuacin (10) LINEAS DE TRNSMISION DE LONGITUD MEDIA Para las lneas de longitud media, que por lo general varan de 80 a 250 km a 60 Hz, es comn concentrar la capacitancia total en derivacin y ubicar la mitad en cada extremo de la lnea. En la Figura (II.3) se muestra un circuito de este tipo, conocido como circuito nominal. Para obtener los parmetros ABCD del circuito nominal, en primer lugar se puede observar que la

corriente en la rama en serie de la figura II.3 es igual a IR + . En seguida, escribiendo una ecuacin de la

LKV,

VS = VR + Z (IR + )

VS = (1 + )VR + ZIR Ecuacin (11) Del mismo modo, escribiendo una ecuacin de la LKV en el extremo emisor, FIGURA (II.3) Lnea de transmisin de longitud mediana; circuito nominal. Is Z = zl IR

+ + VS VR - -

VRY 2

VRY 2

Yz 2

Y = Yl 2 2

Y 2

IS = IR + + Ecuacin (12)

Usando la ecuacin (.11) en la (.12)

S = IR + + 1+ VR + ZIR

= Y 1+ VR + 1+ IR Ecuacin (13)

Si se escriben las ecuaciones (.11)y (.13) en forma matricial, Vs VR

= Ecuacin (14)

IS R

Por lo tanto, al comparar las ecuaciones (.14) y (.13)

A = D = 1 + [por unidad] Ecuacin (15)

B = Z [] Ecuacin (16)

C = Y 1 + [S] Ecuacin (17)

Note que tanto para la lnea corta como para la de longitud media se verifica la relacin AD BD = 1. Se puede notar que la lnea es la misma cuando se ve desde cualquier de los dos extremos, A = D.

En la Figura (II.4)se dan los parmetros ABCD para algunas redes comunes, incluyendo una red con impedancia en serie que constituye una aproximacin a una lnea corta y un circuito que es una aproximacin de una lnea de longitud media. Tambin se podra tener una aproximacin de una lnea de longitud media a travs del circuito T que se muestra en la Figura (II.4), concentrando la mitad de la impedancia en serie en cada extremo de la lnea. Tambin se dan los parmetros ABCD para las redes en serie, los cuales se obtienen convenientemente al multiplicar las matrices ABCD de las redes individuales.

Los parmetros ABCD se pueden usar para describir la variacin de la tensin en la lnea con la carga en esta. La regulacin de la tensin es el cambio en la tensin en el extremo receptor de la lnea cuando la carga varia de en vacio hasta una carga plena especificada, con un factor de potencia especificado, mientras la tensin en el extremo emisor se mantiene constante. Expresada como un porcentaje de la tensin a plena carga,

%RT = X 100 Ecuacin (18)

En donde RT en porciento es la regulacin de la tensin en porcentaje |VREV| es la magnitud de la tensin en el extremo receptor en vacio y |VRPC |es la magnitud de la tensin en ese mismo extremo a plena carga.

VRY 2

VSY 2

VRY 2

YZ 2

Y 2

YZ 4

YZ 2

YZ 2

1 + Z

Y ( 1 + YZ 4

1 + YZ 2

YZ 2

YZ 4

|VREV | - |VRPC | |VRPC |

Is IR + + Vs VR - -

Impedancia en serie

1 Z

0 1

Is IR + + Vs Y VR - -

Admitancia en derivacin

1 0

Y 1

Is Z1 Z2 IR + + Vs Y VR - -

Circuito T

(1 + YZ1) (Z1 + Z2 + YZ1Z2)

Y (1 + Y1Z)

Is Z IR + + Vs Y1 Y2 VR - -

Circuito II

(1 + Y2Z) Z

(Y1 + Y2 + Y1Y2Z) (1 + Y1Z)

+ Is IR + Vs VR - -

Redes en serie

A1 B1 A2 B2 (A1A2 + B1C2) (A1B2 + B1D2)

C1 D1 C2 D2 (C1A2 + D1C2) (C1B2 + D1D2)

FIGURA (II.4) PARAMETROS ABCD DE REDES COMUNES

En la Figura (II.5) se ilustra, por medio de diagramas fasoriales, el efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulacin de la tensin, para lneas cortas. Los diagramas fasoriales son representaciones graficas de la ecuacin (5) para cargas con factor de potencia atrasado y adelantado. Observe que, a partir de la ecuacin (.5), en vacio, RPC = 0 y VS = VREV, para una lnea corta. Como se muestra se tiene la regulacin ms alta (la peor) de la tensin para la carga con f.p. atrasado en donde VREV sobrepasa a VRPC en la cantidad ms grande. Se tiene una menor, o incluso regulacin de la tensin negativa, para la carga con f.p. adelantado. En general, por la ecuacin (II.1), la tensin en vaco, con REV = 0,

VREV = Ecuacin (II.19)

La cual se puede usar en la ecuacin (II.18) para determinar la regulacin de la tensin.

Vs = VREV

jXIRPC IRPC jXiRPC

RIRPC

VRPC RIRPC VRPC IRPC

(a) Carga con f.p. atrasado (b) Carga con f.p. adelantado

A1B1C1D1 A2B2C2D2

VS A

VS = VREV

Ejemplo (II.1) Parmetros ABCD y el circuito nominal: lnea de longitud media. Una lnea trifsica de 60 Hz, completamente transpuesta, de 345 kV y de 200 km de longitud tiene dos

conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz y las siguientes constantes de secuencia positiva: Z = 0.032 + j0.35 /km y = j4.2 X 10-6 S/km la plena carga en el extremo receptor de la lnea es de 700MW, con un f.p. de 0.99 adelantado y a 95

% de la tensin nominal. Suponiendo una lnea de longitud media, determine lo siguiente: a. Los parmetros ABCD del circuito nominal.

b. La tensin Vs la corriente s y la potencia real Ps en el extremo emisor.

c. La regulacin de la tensin en porcentaje.

d. El limite trmico con base en la capacidad aproximada de transmisin de corriente dada

en la tabla A.4.

e. La eficiencia de la lnea a plena carga.

SOLUCION:

a. Los valores de la impedancia en serie y la admitancia en derivacin totales son: Z = zl = (0.032 + j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29/84.78

Y = yl = (j4.2 X 10-6)(200) = 8.4 X 10-4 /90 S

Con base en las ecuaciones (II.15) a la (II.17),

A = D = 1 + (8.4 X 10-4 /90 )(70.29 /84.78 )()

= 1 + 0.02952 /174.78

= 0.9706 + J0.00269 = 0.9706/0.159 por unidad

B = Z = 70.29/84.78

C = (8.4 X 10-4 /90)(1 + 0.01476/174.78)

= (8.4 X 10-4 /90)( 0.9853 + j0.00134)

= 8.277 X 10-4/90.08 S

b. Las cantidades de tensin y de corriente en el extremo receptor son;

VR = (0.95)(345) = 327.8 kVLL

VR = /0 = 189.2 /0 kVLN

R = = 1.246/8.11 kA

De las ecuaciones (II.1) y (II.2) las cantidades quedan as:

Vs = AVR + B R

= ( 0.97060.159O ) ( 189.2 00 ) + ( 70.29 84.780 ) ( 1.246 8.110 ) =183.6 0.1590 + 87.5592.890 =179.2 + j87.95 = 199.626.140 KVLN

VS =199.6 3 = 345.8 KVLL 1.00 Para calcular tenemos dos formas alternativas :

327.8 3

700 /cos-1 0.99 ( 3) (0.95 X 345)(0.99)

= +

2 Y +

2

Y ( una forma )

= C + A ( otra forma ) = ( 8.277x10

490.080 ) ( 189.200) + (0.97060.1590) (1.2468.110 ) =0.156690.08

0 + 1.2098.270 = 1.196 + J0.331 = 1.241 15.5

0 KA Y la potencia real entregada al extremo emisor es :

PS = 3 VS cos ; = VS IS por lo tanto = 26.140- 15.50

PS = 3 (345.8) ( 1.241 ) cos ( 26.140 15.50 ) =730.5 MW Ahora por la ecuacin (II.19) la tensin en vacio en el extremo receptor es:

VREV =

; VREV = 345.8

0.9706 = 356.3 KVLL

Y ahora de la ecuacion ( II.18 ) el porciento de regulacin

% RT =

X 100

% RT = 356.3327.8

327.8 x 100 = 8.7%

d).- De la tabla A.4, la capacidad aproximada de conduccin de corriente de dos conductores ACSR 26/2 de 765000 cmil es de 2X 0.9= 1,8KA e).- Las prdidas de la lnea a plena carga son PS PR = 730.5 700= 30.5 MW y la eficiencia de la lnea de transmisin a plena carga es:

%EF =

x 100 cambiando valores reales tenemos:

%EF = 700

730.5 x 100 = 95.8%

Dado que VS=1.00 por unidad, la tensin a plena carga en el extremo receptor de 0.95 por unidad corresponde a VR/VS= 0.95, lo que en la prctica se considera que es alrededor de la tensin ms baja de operacin posible sin encontrar problemas operativos. Por lo tanto, para esta lnea sin compensar de 345 KV y de 200 Km de longitud, la cada de tensin limita la corriente a plena carga de 1.246 KA. Con un factor de potencia de 0.99 adelantado, muy por debajo del limite trmico de 1.8 KA.

(II.2) LINEAS DE TRANSMISION LARGAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA LINEA DETRANSMISION

Considere el circuito como se muestra en la figura (II.6). El cual representa una seccin de lnea de

longitud x. V(x) (x) denotan la tensin y la corriente en la posicin x. la cual se mide en metros desde la

derecha, o extremo receptor de la lnea. De modo semejante. V (x + x) (x + x) denotan la tensin y la

corriente en la posicin (x + x).

Las constantes del circuito son:

Z = R + jWL [/m] Ecuacin (II.2.1)

Y = G + jWC [S/m] Ecuacin (II.2.2)

En donde G suele despreciarse para las lneas areas de 60 Hz

I(x + x) Zx I(X) + + V(x + x) V(X) G - -

FIGURA (II.6) SECCION DE LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD X

Aplicamos la LKV al circuito tenemos:

V(x + x ) = V(X) + (X) (Zx) Ecuacin (II.2.3)

V(x + x ) - V(X) = (X) (Zx) Reacomodamos

V(x + x ) - V(X) = (X) (Zx) Despejamos Z(X) Z

= (x)Z Ecuacin (II.2.4)

NOTA PARA RESOLVER ESTA ECUACION EXISTEN DOS METODOS.

f(x) = = (X)Z

1er METODO

f(x) limx 0

f(x) limx 0

f(x) limx 0 = V(x)

por lo tanto

f(x) = V(x) entonces de acuerdo a la derivada de la funcin nos queda

= V(x)

f(x) = limx 0 = V(x)

= V(x)

2do METODO

= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= limx0 [- V(x) ] por lo tanto

= V(x)

V(x + x ) - V(X) x

(x + x)

Yx Yx

Y = G + jWE

V(x + x ) - V(X) x

V(x + x ) + V(x + x ) - V(x + x ) x

d dx

V(x) + Vx + V(x) + Vx - Vx - Vx x

d dx

V(x) 0

d dx

d dx

UV(x + x) V x

d dx

V(x) U

x V

X V(x + x) - V(x + x) X x2

d dx

d dx X V(x) - V(x) X

x2

d dx

d dx

d dx

X V(x) + X - V(x) - VX X x2

d dx X V(x) - V(x) X

x2

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

Por lo tanto V(x)= Z (x) Ecuacin (II.2.5)

De igual manera aplicando la LKC al circuito de la Figura (5.6) tenemos:

(x + x) = (x) + Y(x) V(x)[A] Ecuacin (II.2.6)

(x + x) - (x) = Y(x) V(x) (despus Y V(x)), tenemos;

= Y V(x) Resolvemos esta ecuacin que hay dos mtodos.

1er METODO

f(x) = limx0

f(x) = limx0

f(x) = limx0

f(x) = limx0

f(x) = limx0 =(x)

por lo tanto la ecuacin queda:

(x) = Y V(x) Ecuacin (II.2.8)

2do METODO

= = Y V(x)

= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= limx0 = (x) por lo tanto

(x) = Y V(x)

Las ecuaciones (II.2.5) y (II.2.8) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogneas y de primer orden con

dos incgnitas, V(x) (x). Se puede eliminar (x) al derivar en la ecuacin (II.2.5)

V(x) = Z (x) Ecuacin (II.2.5)

(x) = Y V(x) Ecuacin (II.2.8)

[ V(x) ] = [Z (x)

Z = cte

V(x) = Z (x)

Pero: ecuacin (II.2.8) dice (x) = Y V(x) , entonces

V(x) = ZY (x) o bien puede ser: Ecuacin (II.2.9)

V(x) - ZY (x) = 0 Ecuacin (II.2.10)

La ecuacin (II.2.10) es una ecuacin diferencial homognea y de segundo orden en una incgnita, V(x), por

conocimiento de las matemticas, por inspeccin, su solucin es:

V(x) = A,YX + A2 -YX [volts] Ecuacin (II.2.11)

d dx

(x + x) - (x)

x

(x + x) - (x)

x

(x + x) + (x + x) - (x+ x)

x

x + x + x + x - x x

x

(x) + x

x

d dx

(x + x) - (x)

x

d dx

(x + x)u

x v (x)u

xv d dx

x (x + x) - (x + x) x x

d dx x (x) - (x) x

x2

d dx

d dx

x (x) + x - (x) - x x

x2 x (x) - (x) x

x2

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d2

dx2

d2

dx2

Donde:

A1 y A2 = son constantes de integracin y

Y = Zy [m-1] Ecuacin (II.2.12)

Y =se llama constante de propagacin sus unidades son [ m-1]

Enseguida usamos la ecuacin (II.2.11) en la ecuacin (II.2.5) tenemos:

V(x) = Z (x)

[A1 YX + A2 -YX] = Z (x) Ecuacin (II.2.13)

[A1 YX YX + A2 -YX]= Z (x)

A1 YX YX + A2 -YX (-YX) = Z (x)

A1 YX (Y) + A2 -YX (-Y) = Z (x)

YA1 YX - YA2 -YX = Z (x) (despejamos (x))

(x) = =

(x) a esta ecuacin lo multiplico a ambos miembros por

(x) =

(x) = Ecuacin (II.2.14)

(x) = Ecuacin (II.2.15)

Zc = Impedancia caracterstica

De la ecuacin V(x) = A1 YX A2 -YX [volts]

Zc = [] = 1 Ecuacin (II.2.16)

Para X= 0, tenemos;

V(x) = A1 y(0) + A2 -Y(0)

VR = V(0) Ecuacin (II.2.17)

VR = A1 +A2 Ecuacin (II.2.19)

(x) =

Para X = 0, tenemos:

R = (0) Ecuacin (II.2.18)

(x) =

R = Ecuacin (II.2.20)

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

d dx

YA1 YX - YA2 -YX

Z Y(A1 YX - A2 -YX)

Z

Y(A1 YX - A2 -YX)

Z 1 Y

Y[A1 YX - A2 -YX] * [1/Y]

Z*[1/Y]

A1 YX - A2 -YX Z/Y

A1 YX - A2 -YX

Zc

Z Y

A1 YX - A2 -YX

Zc

A1 Y(0X - A2 -Y(0)

Zc

A1 - A2

Zc

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.19)

VR = A1 +A2 B A1 = VR - A2

A1 = VR [ - R Zc + A1 ]

A1 = VR + R Zc A1

A1 + A1 = VR + R ZC

2 A1 = VR + R ZC

A1 = Ecuacin (II.2.21)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.20)

R = R ZC = A1 + A2

-A2 =R ZC - A1 A2 = R Zc + A1

A2 = - R ZC + A1

A2 = - R ZC +

A2 = + =

A2 =

A2 = Ecuacin (II.2.22)

V(x) = A1 YX + A2 YX [volts]

La ecuacin (II.2.11) se integran las ecuaciones (II.2.21) y la ecuacin (II.2.22) cual queda de la siguiente forma:

V(x) = [ + ]YX Ecuacin (II2.23)

V(x) = + sacamos el comn denominador el 2

V(x) =

V(x) =

V(x) = + factorizamos

V(x) = + Ecuacin (II.2.25)

(x) = Ecuacin (II.2.15)

Pero A1 = ; A2 =

Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuacin (II.2.15) queda de la siguiente forma:

(x) = Ecuacin (II2.24)

(x) =

(x) =

(x) =

(x) = -

(x) =

(x) =

(x) = +

VR + R ZC 2

A1 - A2

Zc

VR + R ZC 2

R ZC 1

VR + R ZC 2

2(R ZC )+VR + R ZC 2

2R ZC +VR + R ZC 2

VR - R ZC 2

VR + R ZC 2

VR - R ZC 2

[VR + R ZC ] YX

2 [VR - R ZC ]-YX

2

YX VR + R ZC YX +[VR-YX - R ZC -YX] 2

VR YX + R ZC YX +VR-YX - R ZC -YX 2

VR +VR-YX 2

R ZC YX - R ZC -YX 2

+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC 2

A1 YX - A2 -YX

Zc

VR + R ZC 2

VR - R ZC 2

-

ZC

VR YX + R ZC YX 2

VR -YX - R ZC -YX 2

-

ZC

[VR + R ZC YX] 2

[VR - R ZC ] -YX 2

YX - -YX

ZC

VR + R ZC 2

VR - R ZC 2

-

VR YX + R ZC YX 2

VR -YX - R ZC -YX 2

ZC 1

ZC 1

[VR YX + R ZC YX] 2ZC

[VR -YX - R ZC -YX] 2ZC

VR YX + R ZC YX - [VR -YX - R ZC -YX] 2ZC

VR YX + R ZC YX - VR -YX + R ZC -YX 2ZC

VR YX - VR -YX 2ZC

R ZC YX + R ZC -YX 2ZC

(x) = VR + +

(x) = + +

(x) = + +

(x) = +

(x) = VR + R Ecuacin (II.2.26)

Ahora concluimos que las ecuaciones, ecuacin (II.2.25) y ecuacin (II2.26) se transforman en las

siguientes ecuaciones:

V(x) = + Ecuacin (II.2.25)

(x) = VR + R Ecuacin (II.2.26)

Ahora reconocerlas ecuaciones (II2.25) y (II.2.26) nos dice que son funciones hiperblicas de Cos h

y Sen h, es decir;

V(x) = Cos h (YX)VR + ZC (YX)R Ecuacin (II.2.27)

(x) = Sen h (YX)VR + Cos h (YX)R Ecuacin (II.2.28)

Las ecuaciones (II.2.27) y (II.2.28) dan los parmetros ABCD de la lnea distribuida. En forma

matricial nos queda

V(x) VR Ecuacin (II.2.29) (x) R Donde:

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuacin (II.2.30) B(x) = ZC Sen h (YX) [] Ecuacin (II.2.31) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuacin (II.2.32) S = siemens

1 ZC

YX - VR -YX 2

R ZC YX 2ZC

R ZC -YX 2ZC

1 ZC

R ZC YX 2

1 ZC

R ZC -YX 2

R YX 2

R -YX 2

R YX + R -YX 2

1 ZC

YX - VR -YX 2

YX + R -YX 2

+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC 2

YX + R -YX 2

1 ZC

YX - VR -YX 2

C(x)

A(x) B(x)

D(x)

La ecuacin (II.2.29) de la corriente y la tensin en cualquier punto x a lo largo de la lnea, en

trminos de la tensin y la corriente en el extremo receptor.

Para el extremo emisor en donde x = l , V (l) = Vs, (l) = s.

Es decir ;

Vs VR Ecuacin (II.2.33) s R Donde :

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuacin (II.2.34) B(x) = ZC Sen h (YX) [] Ecuacin (II.2.35) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuacin (II.2.36)

Las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.35) dan los parmetros ABCD de la lnea distribuidas. En estas

ecuaciones, la constante de propagacin, y, es una cantidad compleja con partes reales e imaginaria denotadas

por y . Es decir,

= + j m-1 Ecuacin (II.2.37)

La cantidad l no tiene dimensiones. Del mismo modo,

l = (l=jl) = ljl = l /l Ecuacin (II.2.38)

Usando la ecuacin (II.2.38), la funciones hiperblicas cosh y senh se pueden evaluar como sigue:

Cosh(l) = = (l /l + -l / - l) Ecuacin (II.2.39)

Y

Senh(l) = = (l /l - -l / - l) Ecuacin (II.2.40)

En forma alterna, se pueden usar las identidades siguientes:

Cosh(l + jl) = cosh (l) cos(l) + j senh(l) sen (l) Ecuacin (II.2.41)

Senh(l + jl) = senh (l) cos(l) + j cosh(l) sen (l) Ecuacin (II.2.42)

Observe que las ecuaciones (II.2.39) a (II.2.42), la cantidad a dimensional l se expresa en radiantes, no grados.

Los parmetros ABCD dados por las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.36) son exactos y validos para cualquier longitud

de lnea, para clculos precisos, se deben utilizar estas ecuaciones para lneas areas de 60 Hz con una longitud

mayor que 250 km. Los parmetros ABCD deducidos en la seccin 5.1 son aproximados que se usan mejor para

clculos manuales que comprenden lneas cortas o de longitud media. En la tabla 5.1 se resumen los

parmetros ABCD para lneas cortas, medias, larga y sin perdidas.

EJEMPLO DE APLICACIN

PARMETROS ABCD EXACTOS: LINEA LARGA

C

A B

D

1 ZC

yl + -yl 2

1 2

yl - -yl 2

1 2

Una lnea larga trifsica de 765 kv, 60 Hz y 300 km de longitud completamente transpuesta, tiene

la impedancia y admitancia, en sec (+) y tiene los siguientes valores:

Z = 0.0165 + j0.03306 = 0.3310 /87.114 [/ Km]

Y = 0 + j4.674 X -6 [ s/ km] = 4.674 /90 X 10-6

Suponiendo la operacin en secuencia positiva, clculos los parmetros ABCD exactos de la lnea. Comprar el

parmetros exactos B en el circuito nominal ( ver tabla 5.1 pg. 220)

SOLUCION

Zc = = Ecuacin (II.2.16)

Y = Zy [m-1] Ecuacin (II.2.12)

Zc = [] Ecuacin (II.2.16)

ZC = 0.70817 X 10 +6 |-2.86 = 7.08 X 104 |2.86

ZC = 266.12 |- 1.43

Y = Z y = 0.3310 |87.14 [4.674 X 10-6|90] = 1.547094 X 10-6|177.14

Y = 12.438 X 10-4 |88.57

Yl = 12.438 X 10-4|88.57 X 300 km

Yl = 0.37314|88.57 = 0.00931 + j0.3730 [en por unidad]

l = (l=jl) = ljl = l /l Ecuacin (II.2.38)

yl = 0.00931 + j0.3730 = 0.00931 |0.3730

yl = 0.00931 |0.3730 [rad]

yl = 1.00935 |0.3730 [rad]

Yl = 0.00931 + j0.3730 [P.v.]

yl = 0.00931 + j0.3730

ljl = l /l

ljl = 0.00931 |0.3730 [Rad]

ljl = 0.00931 |0.3730

Ahora se convierte en forma cartesiana.

yl = 0.9400 + j0.3678

Ahora para encontrar -yl

-yl = -0.00931 - j0.3730 = -0.00931 |-0.3730 radianes.

-yl = -0.00931 - j0.3730 = 0.99073 |-0.3730 = 0.9226 j0.3610

Ahora sustituyendo en la ecuacin (II.2.39) Y (II.2.40) tenemos

Cosh(l) = = = = = 0.91313|0.20917 = + j0.0034

Senh(l) = = = = = 0.36455|88.63

= 0.0087 + j0.3644

Z Y

0.3310 |87.14 4.674 X 10-6 |90

Z Y

yl - -yl 2

yl + -yl 2

[0.9400 + j0.3678] + [0.9226 j0.3610] 2

1.8626 + j6.8 X10-3

2 1.8626 |0.209173

2 |0

[0.9400 + j0.3678] - [0.9226 j0.3610] 2

0.0174 + j0.7289 2

0.7291 + |88.63 2

Por ltimo las ecuaciones (II.2.34), (II.2.35) y (II.2.36) se sustituyen los valores calculados.

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuacin (II.2.34) B(x) = ZC Sen h (YX) [] Ecuacin (II.2.35) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuacin (II.2.36)

A = D = 0.93.139 |0.20917[por unidad]

B = [266.12 |1.43] [0.36455 |88.63 ] = 97.014 |87.2 []

C = [0.36455|88.63 ] = [3.757 X 10-3 |1.43 ] [ 0.36455|88.63] = 1.37 X 10-3 |90.06 [siemens]

Usando la ecuacin (II.16) B= Z[], tenemos

B nominal = Zl

B nominal = 0.3310|87.14(300km)

B nominal = 99.3 |87.14 () el cual es el 2% mayor que el exacto.

LINEAS DE LONGITUD MEDIA pagina 8 ( repaso del ejemplo anterior de la lnea media )

APLICAMOS LA LKV

VS = s Z + R Z + VR

= ; = ; = VY

Y = admitancia [Siemens]

VS = Z + R Z + VR

VS = (VR ) Z + R Z + VR

Factorizar Z; tenemos:

VS = ( VR + R )Z + VR

REORDENAMOS

VS = VR + Z (R + ) ecuacin 1

Aplicamos ahora para las corrientes LKC

s = VS + VR + R ecuacin 2

Corriente corriente corriente En el circuito en el circuito de general externo receptor rama

1 ZC

1 266.12 |-1.43

V Z

V 1/ Y

Y 2

Y 2

VR Y 2

Y 2

Y 2

VR Y 2

Y 2

Y 2

sustituyendo en ecuacin 1 en ecuacin 2, tenemos: s = [VR + Z (R + )] + VR + R s Z = zl R

+ + VS VR - -

De la ecuacin 1 tenemos otra forma

VS = VR +Z (R + ) VS = VR + Z R + VS = VR + + ZR VS = (1 + )VR + ZR ecuacin 1 s = [ VR + Z (R + ) + VR + R s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )( )+ VR ( ) + R s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )+ VR ( ) + R s = 2VR ( ) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( ) s = VR(Y) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( ) s = VR (Y) + Z ( ) + 1)R + R = VRY [ 1 + ] + (Z ( )+ 1) R Resumiendo en forma general tenemos: VS = VR ( (Z) + 1 ) +R Z

A B

VS = A VR + B R s = VR Y [ + 1] + ( + 1) R

C D

A = Z( ) + 1

B = Z

C = Y [ + 1]

D = Z( ) + 1

VS VR

Y = Yl 2 2

Y 2

VR Y 2

ZVR Y 2

ZVR Y

2

ZY

2

VR Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

Y 2

YY 4

Y 2

Y 2

Y 2

YY 4

Y 2

YY 4

Y 2

Z VR YY 4

ZY 4

Y 2

Y 2

ZY 2

ZY 4

Y 2

ZY 4

Y 2

C

A B

D

s s Vs VR =

VR R

Condicin AD-BC = 1

T = ( 1 + )( 1 + ) Z [ Y (1 + )] T = ( )( ) Z [ Y + )] T = ( ) [Z Y + ] T = ( + + ) ( ZY + ) T = (1 + YZ + ) ZY- T = 1 + YZ + ZY- T = 1 por lo tanto AD - BC = 1

DEMOSTRADO

PARAMETROS ABCD

DATOS DATOS

Lnea = 3 V = 345 Kv

f = 60 ciclos l = 200Km

Completamente

transpuesta

2 conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz, secuencia positiva.

Z = 0.032 + j0.35 [ /Km]

Y = 0 + j4.2 X 10-6 [S/Km]

A plena carga de la lnea en el extremo receptor = 700 MW, con un factor de potencia de 0.99 adelantado y a

95% de la tensin nominal. Suponiendo una lnea de longitud media determine lo siguiente:

a) Los parmetros ABCD del circuito nominal.

b) La tensin VS, la corriente s y la potencial real Ps en el extremo emisor.

c) La regulacin de la tensin en porcentaje.

d) La eficiencia de la lnea a plena carga.

SOLUCION

a) Los valores de la impedancia SERIE y la admitancia en DERIVACION totales son:

Z = Zl = (0.032 +j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29|84.78 []

Y = Yl = (0+ j4.2 X 10-6)( 200) =0 + j840 X 10-6 = 0 + j8.40 X 10-4 = 8.4 X 10-4 |90 |S

YZ 2

1 + Z

Y 1 + YZ 4

1 + YZ 2

YZ 2

YZ 2

YZ 4

2 + YZ 2

YYZ 4

2 + YZ 2

YYZZ 4

4 + 4YZ + YYZZ 4

4 4 4 4

4YZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

Con base a las ecuaciones :

A = D = 1 + [P. U.]

B = Z [ ]

C = Y [1 + ] [ siemens]

A = D = 1 + = 1 +

A = D = 1 + = 1 + 0.02952|174.78

A = D = 1 +(-0.02939 + j2.685 X 10-3)

A = D = 1 0.02939 + j 2.685 X 10-3 = 0.97061 + 2.685 X 10-3

A = D = 0.970613 |0.15849[Por unidades (P.U.)]

B = Z =70.29 |84.78 [ ]

C = Y [1 + ]

C = 8.4 X 10-4 |90 [1 + ]

C = 8.4 X 10-4 |90 [1 + ]

C = 8.4 X 10-4 |90 [1 + 0.01476 |174.78 ] ]

C = 8.4 X 10-4 |90 +1.23984 X 10-5 |264.78

C = 0+ j8.4 X 10-4 + (-1.128 X 10-6 j1.2346 X 10-5)

C = 1.128 X 10-6 + j8.276 X 10-4 = 8.276 X 10-4 |90.08 [siemens] 89.92 + 180 = 90.08

C= 8.276 X 10-4 |90.08 [S]

b) Las cantidades de tensin y corriente en el extremo receptor es:

VR = 0.95 (345 Kv) = 327.8 KvLL

VR = |0 = 189.2|0 KvLN

R =

R = = =

R = 1.245 |8.11 [KA]

Las cantidades de tensin y corriente en el extremo EMISOR son:

VS = (1 + ) VR + Z R

Pero A = D= [ 1 + ] por lo tanto

VS = A VR + Z R

VS = 0.970613 |0.15849 * 189.2 |0 + 70.29|84.78 * [1.245 |8.11]

VS = 183.64 |0.15844 + 87.511 |92.89

VS = 183.64 + j0.5679 + [-4.412 + j 87.4]

VS = 183.64 + j0.5079 4.412 + j87.4 = 179.228 j87.90

VS = 199.622 |26.125 [ volts][KVLN] voltaje de lnea a neutro

VS = 199.622 |26.125 [KVLN] lnea a neutro

VS = 3 * 199.622 |26.125 = 345.755 KVLN 1.00 P.U.

[NOTA: VER DATOS DEL PROBLEMA (INICIO) = 345 KV]

YZ 2

YZ 4

YZ 2

8.4 X 10-4 |90 * 70.29 |84.78 2

0.05904 |174.78 2

YZ 4

8.4 X 10-4 |90 * 70.29 |84.78 4

0.05904 |174.78 4

327.8 Kv 3

700 Kw |8.11 3 (327.8) + P

P 3 KLL Cos Y

700 |8.11 3 (327.8)(0.99)

700 |8.11 562.088

YZ 2

YZ 2

UNA FORMA

s = R + +

s = 1.245|8.11 + +

s = 1.245 |8.11 + +

s = 1.245 |8.11 + 0.079464 |90 + 0.08384 |116.125

s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 + [-0.0369 +j0.07527]

s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 0.0369 + j0.07527

s = 1.1951 + j0.330 = 1.239 |15.43 [KA]

OTRA FORMA

s = Y ( 1 + ) VR + (1 + ) R

C A = D

s = C VR + A R

s = [8.276 X 10-4 |90.08 ][189.2 |0 ] + 0.970613 |0.15849 [1.245|8.11]

s = 0.15358 |90.08 + 1.208 |8.26

s = -2.186 X 10-4 + j0.15658 + 1.195 + j0.1735 =1.194 +j0.330

s = 1.238 |15.44 [KA]

Y LA OTRA POTENCIA REAL ENTREGADA AL EXTREMO EMISOR ES:

PS = 3 VS s cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 741.99 cos 26.125 15.93

Ps = 741.99 cos 10.71

Ps = 729.068 Mw

Ahora para calcular la tensin en vacio en el extremo receptor tenemos:

A partir de la Ecuacin (II.5), VS = VR + Z R : donde :

VR = VREV

VS = Voltaje Emisor

VREV = Voltaje Receptor en Vacio

NOTA: COMO LA TENSION ES EN VACIO R = 0, POR LO TANTO

VS = VREV ; pero VS = A VR + B R [volts] para R = 0 Ecuacin (II.1)

VS = A VR VR = VR = VREV

VREV = = = = 356.223 KVLL

VREV = Voltaje en el extremo Receptor en Vacio es: 356.223 KVLL

Ahora para calcular la regulacin de transformacin a partir de la ecuacin (II.118)

VR Y 2

VS Y 2

189.2 |0 8.4 X 10-4 |90 2

199.622 |26.125 2

0.158928|90 2

0.167.68|116.125 2

YZ 4

YZ 2

VS

s

VS A

VS

s 26.125

15.43

VS A

345.755 0.970613

%RT = X 100

%RT = X 100 =

FORMULA

|356.233| - |327.8| |327.8|

|VRECEPTOR EN VACIO| - |VRECEPTOR A PLENA CARGA| | VRECEPTOR A PLENA CARGA |

|VREV| - |VRPC| |VRPC|