LIMITES Y CONTINUIDAD

TEOREMAS DE LÍMITES

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:

El límite de una constante es la constante:

El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

El límite de un producto es igual al producto de los límites:

El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.

, siempre y cuando

El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

Teorema de Bolzano

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (a) y f (b) tienen signos opuestos.

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que: f (c)=0

Teorema de los Valores Intermedios o Darboux

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si k es un número comprendido entre f (a) y f (b). Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo cerrado [a, b] tal que: f (c)=k O También: Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f (x) toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).

Teorema de Bolzano – Weierstrass

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces. 1) Existe al menos un punto c del intervalo cerrado [a, b] donde f

alcanza su valor máximo, es decir:

f (c) ≥ f (x) para todo x de [a, b]

2) Existe al menos un punto d del intervalo cerrado [a, b] donde f alcanza su valor mínimo, es decir:

f (d) ≤ f (x) para todo x de [a, b]

Teorema de Rolle

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (x) es una función derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f (a)=f (b). Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que: f'(c)=0

Teorema de Lagrange o del Valor Medio o de los Incrementos Finitos

Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f(x) es una función derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:

f ' (c )=f (b )−f (a)b−a

Teorema de Cauchy

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Si f(x) y g(x) son funciones derivables en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:

f ' (c )g '(c)

=f (b )−f (a)g (b)−g (a)

Regla de L’Hôpital

Si el límite L=lim f (x )g(x )

es indeterminado del tipo 00

o bien ∞∞

entonces dicho

límite se puede hallar como: L=lim f '(x )g ' (x)

Teorema 1: límite de una función constante.

Sea f(x)=k(constante), entonces:Lim f(x)=Limk=k x— A.....x— A

Teorema 2: límite de f(x)=x cuando x— A

Sea f(x)=x, entonces

Lim f(x)=Limx=A

x— A.....x— A

Teorema 3: límite de una función multiplicada por una constante

Sea k una constante y f(x) una función dada, entonces:

Lim kf(x)=kLimf(x)=A

x— A.....x— A

Teorema 4: límite de una suma, resta, producto y cociente de funciones

Supongamos que.. Lim f(x)=L1 y Lim g(x)=L2 x— A.... ........x— A

Entonces:

Lim (f(x)+g(x))=L1 +L2 x— A...

Lim (f(x)-g(x))=L1-L2 X— A.

........ .Lim (f(x)*g(x))=L1*L2

..x— A.

..........Lim (f(x)÷g(x))=L1÷L2

...x— A

Teorema 5: límite de una potencia

Sea n un número entero positivo, entonces:

Lim x^n=a^n x— A 

Teorema 6: límite de un polinomio

Sea f(x) una función polinominal, entonces:Lim f(x)=f(A) x— A

Teorema 7: límite de una función racional

Sea f(x)= p(x)÷q(x) un cociente de polinomios, entonces:Lim f(x)=p(A)÷q(A) (si q(A) no es cero) x— A

Teorema 8: límite de una función que contiene un radical

Sea A 0 y n es cualquier entero positivo, o bien, si A 0 y n es un entero positivo impar, entonces:Lim x^1÷n=A^1÷n x— A

Teorema 9: límite de una función compuesta

Supongamos que.. Lim g(x)=L y Lim f(x)= f(L) x— A.... ......x— L Entonces:Lim f (g(x))= f(L) x— A

1.1. Límites indeterminados

El cálculo infinitesimal se denomina ya que utiliza cantidades iinfinitesimales. Esto abraca la teoría de los límites, con el cálculo integral y diferencial. Se trabajará con sucesiones de números, considerando una cantidad infinita de términos.

Limites indeterminadas

En esta forma se puede representar los límites indeterminados:

Con lo que se puede pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, da como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esa misma razón se les nombra límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Como se que ya se han estudiado e investigado varios casos de indeterminaciones de la

-¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.

Como en este límite es de la forma ¥ - ¥. Indeterminado.  

En este límite su forma de resolverlo es con base multiplicando y dividiendo como

por ejemplo:

√n+1+√n (el conjugado de a+b es a-b)

En el momento de resolver un límite indeterminado en si no existe una regla general que podamos aplicarlas en estos casos, por ejemplo es diferente el trato que se debe dar a un límite con indeterminación 0/0, infinito sobre infinito etc.Como por ejemplo en el caso del límite ya mencionado, lim x tiende infinito ( x+5 ) / ( x+3 ), como se dijo, es de una forma indeterminada infinito sobre el infinito.

También además un cociente de polinomios, la forma usual de resolución es la división, tanto numerador como denominador por el término de mayor grado...en este caso es "x". Una vez hecho esto, el límite se verá así:

lim x tiende a infinito(1+5/ x ) / (1+3/ x )Puedes notar que al tener x a infinito entonces 5/x y 3/x tienden a cero, luego

lim x tiende a infinito 1/1=1.

1.2. Límites al infinito

LIMITES AL INFINITODEFINICIÓN

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de

valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si

decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Límite infinito

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*

a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a “a”. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Definición 

Se dice quef (x) crece sin límite cuando tiende ac, que se denota

, si para todo número realN>0, (sin importar su magnitud),

existe tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:

Esto quiere decir, que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .

Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por ,

si para todo número real , existe una tal que

 Gráficamente se tiene que:  

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número negativo , tomando suficientemente cerca de .

EJERCICIO:

Probar que

Hay que demostrar que para existe tal que si

Se tiene que

Si x>−2 entonces por lo que:

Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si

, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique que

siempre que .

Por ejemplo, si entonces por lo que:

La representación gráfica de la función es la siguiente:

1.3. Algunos límites trigonométricos

Límites

Los limites, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería. A éste valor se le conoce como c.

Límites directos

Por ejemplo, para encontrar el límite de 2 X−8 Cuando x tiende a 3: Se sustituye el valor al que tiende x en la función: ¿−2

El resultado es igual al valor del límite.

Cálculo de Límites mediante factorización

Cuando se sustituye el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a la función, se tiene que factorizar, para que encontrar el valor del límite.

(3+1)=4Cálculo de Límites mediante tablas

Existen otras formas de encontrar el límite de una función y esto es mediante tablas. Al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y no hay manera de factorizar la función.Por esta razón se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, y estos a su vez se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.

t.3 0.058.1 0.1745.001 17.450 - - - -> 18-.001 17.45-1 0.1745-3 0.058

Comprobando la existencia de límites

Como regla general, un límite existe si cumple con la siguiente regla:En ella, el valor de (x - c) debe de ser igual al valor de (f (x)−L)Por ejemplo, comprobar que el límite de la función (3 x−7) es igual a 5 cuando x tiende a 4

El límite no existente

Puede darse el caso de que el límite no exista, por ejemplo, comprobar que el límite cuando x tiende a 3 de la función (x 2−2 x) es igual a 3En éste caso, el límite no existe ya que el valor que corresponde a (x−c) es diferente al de (f (x)−L). Se puede observar que dichos valores serían iguales si se pasara el término ¿) dividiendo a, sin embargo, no puede haber variables dividiendo a, sólo números.

Teoremas de Límites:

Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:

Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:

Cada vez que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.

LÍMITES LATERALES

lim¿+¿n→b

f ( x )❑ Se llama límite lateral por la derecha.

lim¿−¿ n→b

f ( x )❑ Se llama límite lateral por la izquierda

TEOREMA

Sea f una función, sean b y L números reales, entonces:

limx→b

f ( x )❑=L Si y solamente si: lim¿+¿ x→b

f ( x )❑ = lim¿−¿ n→b

f ( x )❑

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:

lim¿ x→0

sen (x )x

La demostración de este límite se encuentra en la página 105 del Cálculo de Thomas (Una Variable, undécima edición).A partir de este resultado podemos resolver límites como:

1. limx→0

1−cos(x )x

=0 2. limx→0

xsen(x )

=1 3. limx→0

sen(kx)x

=k

Continuidad

Una función es continua cuando, al graficarla, ésta no se corta en ninguno de sus puntos. También se dice que es continua si no se da el caso de que con algún valor se indetermine.

Continua Discontinua

También tiene que cumplir con la característica de ser existente

1.4. Continuidad