LÍMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRÍAS. UN MANIZALES..pdf

8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE MANIZALES

FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

L I M I T E S Y

D E R I V A D A S

Bernardo Acevedo Fras

Omar Evelio Ospina A

Manizales, Abril 1994


2/212

I.S.B.N. 95 8 - 9322 - 11 - 5

Au to res :

Ornar Evel io Os p ina Ar teaga

Ma tem t i co ,

Ms

Se.

P ro feso r Asoc iado

Berna rdo Acevedo F r as

Ma tem t i co

Pro feso r Asoc iado

Un i ve rs i dad Nac iona l de Co lomb ia

Sede Man i za i es

Rev i sado po r

Profesor Luis A lvaro Sal azar Sal azar , Ms. Se.

P ro feso r Jos A lonso Sa laza r Ca i cedo L i c . en Ma tem t i cas

Impreso po r

Cen t ro de Pub l i cac i ones

Un i ve rs i dad Nac iona l de Co lomb ia

Sede Man za les.

Abr i l de 1994

Pr imera Ed i c i n


3/212

C o n t e n i d o p g i n a

Presentac in

Cap tu lo I

Lmi tes de Fun cione s 2

1.1 C on ce pto s intui t ivos de l mite y con t inuid ad 3

1.2 De f inic ione s de l mite y con t inuida d 10

1.3 Lm ites inf initos y lmites al inf inito 19

1.4 Prop iedad es y clculo de algun os l mi tes 32

1 4 1 Prop iedad es 32

1 4.2 Lmi tes de func ion es t rascen den tes 45

A) Con t inu idad de func iones t rascendentes 45

B ) Lira

e

4 7

x X

C) De f in ic in de func in exp one ncial y logar tmica 51

D) Co nt inuida d de la func in exp on enc ial y logar tmica 54

Cap tu lo I I

Derivadas 68

2.1 Int roducc in al conce pto de der ivada 69

A) Ve loc idad Instantnea 69

B) Pe ndien te de la recta tang en te a una curva en un pun to 71

2.2 De f in ic in de Der ivada 81

2.3 Prop iedad es y clculo de der ivad as 94

2.4 De r ivada de func ion es en forma param tr ica 127

A) Para me tr izac in de curvas 127

B) De r ivadas 133


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C o n t e n i d o p g i n a

2.5 De rivadas de orden supe rior 139

A) Ac elera cin de una partcula 139

B) De finiciones 140

2.6 De rivacin Implcita 149

2.7 La diferen cial de una funcin en un punto 157

2.8 Alg un as carac terst icas de las grf icas en una func in 161

2.9 La derivada de una func in en la cons truccin de sus

grf icas 166

a) Propieda des de funciones cont inuas en intervalos cerrados 166

b) Puntos don de se puede n presentar m ximos y mnim os 168

c) Propieda des de funciones der ivables en intervalos

cerrados 175

d) Criter io para determ inar los intervalos don de una func in es

creciente o dec reciente 174

e) Criter io para dete rmin ar los intervalos don de una funci n es

cncav a o convexa 176

f) Criter io de la pr imera derivada para determinar mximos y

mn imo s relat ivos 179

g) Criter io de la segunda derivada para determinar mximos y

mnim os relat ivos 182

2.10 Prob lem as de apl icac in de la derivad a 186

A) Rectas tang ente s y rectas norm ales 186

B) Velocida d y aceleracin 188

C) Raz n de camb io 190

D) Apl icac iones de m ximos u mnim os 194

E) Re gla de L'Ho pital 198

Bibliografa 208


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Presen tac in

A ma nera de con t inuac in del l ibro t itu lado " N U M E R O S V E C T O R E S

F U N C I ON E S " publ icado por la Univers idad Nacional de Colombia secc ional

Manizales, los autores pretendemos presentar los temas, re lac ionados con

l mi tes y der ivadas de func iones con una presentac in anloga, es dec i r , en

la cual se tratan de introducir los temas de una manera intui t iva y

const ruct iva, buscando con el lo hacer que el estudiante se involucre en el

aspecto conceptual , fundamental para su formacin como futuro ingeniero.

Estos conceptos son i lus t rados con ejerc ic ios completamente desarrol lados

que serv i rn de base, junto con la parte conceptual , para resolver los

ejerc ic ios propuestos los cuales pretendemos no sean repet i t ivos.

Esperamos que este mater ia l sea de ut i l idad para los estudiantes de clculo

di ferenc ial y fundamentalmente esperamos que a t ravs de la lectura de

este texto se cambie el concepto mecanic is ta de la matemt ica con que

muchos estudiantes l legan a la univers idad.

Agradecemos las sugerenc ias que nos hagan l legar, las cuales permi t i rn

mejores edic iones.

Orna r E v e l i o Os p i na A .

B e r n a r d o A c e v e d o F .


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CAPITULO I

LIMITES DE FUNCIONES

La dis t r ibuc in cont inua de los nmeros reales en una recta, hace que al

t ratar de ace rca r sob re esa recta una variab le a un n m ero f ijo, no se

pueda dec i r de una manera inmediata cual es el comportamiento de una

func in real def in ida en las prox imidades de ese punto, pues es pos ible que

al l la funcin tome un valor f i jo o su grf ica est interrumpida o se aleje a

ms inf ini to o a menos inf ini to.

El estudio de este aspecto conceptual fundamental en la formacin de

cualquier estudio de la matemt ica y esencial en las apl icac iones de la

matemt ica a aspectos f s icos en var iables cont inuas es lo que se pretende

en este captulo.

2


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1.1 CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITE Y CONTINUIDAD

Suponga que se t iene una funcin y = f(x) de reales en reales con dominio

D. Sea a e R; saber cul es el comportamiento de la func in en a es muy

senci l lo, s implemente calcule

f

en a y observe que so lamente pueden

suceder dos cosas: o existe un nmero real

f(a),

o sea a e D

f

, o no existe

f(a),

lo cual ind ica que a ? D

f

. Pero saber cul es el com portam iento de

la funcin muy cerca de a sin referirnos a un punto especf ico y s in

refer irnos a "a " , es un problem a bastante del icado pero de gran

importanc ia, ya que conociendo este comportamiento se t iene una ampl ia

informacin sobre la grf ica de la funcin, informacin que no se puede

tener s i solamente se conoce la funcin en el punto.

In ic ia lmente se presentar n diversas s i tuac iones en las cuales se mo strar

a part i r de las grf icas de unas funciones, que' sucede con las ima'genes de

una variable x a medida que esta variable se acerca a un punto f i jo a, s in

l legar a ser a, pero ace rcn do sele tanto com o se quiera .

Ejemplo 1 .

Considere la func in

f(x) =

x

2

(f igura 1) y tom e a = 2.

3


8/212

Figura

Co noc er el com portam iento de la func in en x = 2, es s implem ente calcular

f(2), que en este caso es f(2) = 2

2

= 4 o sea 2 e D

f

.

Pero para conoce r e l com portam iento de la func in cuand o la var iable x

se est acercando a 2, es prec iso aprec iar que :

1) En la f igura 1 (a) a medida que x se acerca a 2 por su derecha, sus

img ene s se van acerca ndo a 4, lo que se suele expresar d ic iendo, que el

lmite de

f ( x )

cuando

x

t iende a 2 por la derecha es 4 y se nota por:

Lim f [ x ) =4

x - 2*

2) En forma anloga de la f igura 1 (b) a medida que x se acerca a 2 por su

izquierda, sus imgenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el

lmite de f(x) cuando x t iende a 2 por su izquierda es 4 y se nota por:

Lim f ( x ) =

4

x-*2~

Observe que en este caso la grf ica de la funcin no presenta ningn

agujero, ni interrupcin en x = 2 ( lo que signif ica que la funcin es cont inua

4


9/212

en x = 2) y tambin que la func in t iende al mismo valor cuando x se

acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda. Estas si tuaciones no

siempre se presentan en la grf ica de una funcin, como se i lustrar en el

s iguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Sea

f [ x )

* + 3 s i * , i

2 - x

si x >

1

De la f igura 2(a), se t iene que cuando x se acerca a 1 por la derecha

f(x)

se acerca a 1, lo cual se nota por,

= 1

pero cuando

x

se

acerca a 1 por la izquierda ( f ig 2(b)) f(x) se acerca a 4, que se nota com o:

5


10/212

Lim f { x )

= 4

Esto muestra que no necesar iamente los l mi tes laterales

Lim f{x) , y L im f ( x ) de be n ser guales; pue s aqu a di ferenc ia del

x - a* x - a'

ejemplo 1, la grf ica s presenta una interrupcin en el punto x = 1 (Lo que

signif ica que la funcin es discont inua en x = 1). Esta caracterst ica de la

grf ica est determ inada por e l com portam iento de la func in cerca de

x = 1,

tanto a derecha como a izquierda y no por e l comportamiento de la

func in en x = 1, pues s i solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo

nico que podramos af i rmar es que f 1 ) = 4 y por tanto x = 1 e D

f

.

En los ejemplos anter iores el punto x = a, era un punto en el dominio de la

func in, hecho que no es necesar io para conocer e l comportamiento de la

func in cerca de a, como se i lustra en los s iguientes ejemplos.

E j e m p l o 3

Observe que

f(2)

no existe, ya que al calcular

f(2)

habra que div idir por

cero, lo cual no es posible en nmeros reales, o sea 2


11/212

X

- 4

=

(x - 2) (x + 2)

x

- 2

X + 2

'

o sea qu e la grf ica de la

funcin f ( x ) = c u a n d o x es di ferente de 2, es la m isma de

y = x + 2 y por tanto la de

f ( x ) =

e s

,

a d e e s t a r e c t a y = x + 2

A ' - 2

con un agujero en x = 2 (figura 3).

F igu r a 3

P'

/

/

/ I

f(x) =

X

2

- 4

x - 2

->


12/212

Aqu en ningn momento se tuvo en cuenta que la func in no estaba

def in ida en x = 2, pero es prec iso ac larar que en los dos ejemplos

anteriores, cuando se hizo referencia a los l mites, tampoco inf luy en nada

el que la funcin estuviera def inida en " a " , lo que signif ica que en el clculo

de l mi tes cuando x t iende a " a " , no incide el hecho de que a per tenezca

o no al dominio de la funcin, pero si inf luye parcialmente para af i rmar s i la

grf ica es cont inua o no en ese punto, pues observe que aqu no lo es, ya

que se presenta un agujero.

Cuando se dice que el hecho de que a e D

f

inf luye parc ia lmente para

af irmar s i la funcin es cont inua en a, se trata de decir que para que f sea

cont inua en

a

es necesar io que

a e

D

f

com o se i lustr en este ejem plo,

pero no es suf ic iente, como se i lustrar en el s iguiente

E j em p l o 4

Sea

2 _

f ( x ) =

x - 2

7

si x * 2

si x =

2

La di ferencia de esta funcin, con la del ejemplo anterior radica, en que aqu

se ha def inido en una forma especial la funcin en x = 2 ( f(2) = 7 ) o sea

que 2 g D

f

, su grf ica es muy simi lar a la anterior excepto que el punto (2,7)

pertenece a la grfica de la funcin (f igura 4).

8


13/212

Figu ra

A

I

i

/

b)

P

/ i

x 2

En este caso

Lim f(x) =4

f igura 4 (a) y

X - 2 *

Lim f ( x )

= 4

x - 2 '

f igura 4 (b); existe

f(2),

pero la grf ica de la funcin no es cont inua, pues

presenta una interrupcin en x = 2.

Del ejemplo 2 se puede observar que si los l mites por la derecha y por la

izquierda en un punto a son di ferentes, la funcin no puede ser cont inua en

este punto y del ejemplo 3, que si la funcin no est def inida en x = a

tampoco puede ser cont inua en

x =

a

En el presente ejemplo los l mites laterales en a son iguales, la funcin est

def inida en a = 2 (

f(a)

= 4); y f no es cont inua en a; pero s i observamos

la grf ica de esta funcin vemos que si en lugar del punto (2,7) se hubiera

tenido el punto (2 ,4) = (2 , f(2)), ste rel lenara el agujero que aparece en la

grf ica y la funcin sera cont inua, es decir, que adic ionalmente a las dos

cond ic iones dad as anter iormen te se debe aa dir una tercera para garan t izar

la cont inuidad de la funcin en el punto: los l mites laterales deben coincidir

9


14/212

con el valor de la funcin en el punto.

Cuando se dice que un nmero A t iende a un nmero B, lo que realmente

se esta' af i rmando, es que A se esta' pegando a B, es de cir, qu e la

dis tanc ia en t re A y B est tendiend o a cero o se est acercan do a cero, qu e

se notar por A - B - 0.

Con esta notacin, y teniendo en cuenta las ideas intui t ivas que se

t rabajaron en los ejemplos anter iores, se darn las s iguientes def in ic iones

que no son completamente r igurosas, pero que permi ten t rabajar estos

conceptos .

1.2 DEFINICIONES DE LMITES Y CONTINUIDAD

1. Se dice que el l mite de una funcin f(x) cuando x t iende a " a" por la

derecha es un nmero real L, y se nota por

Lim f(x) =

L

si y solo

x - a '

si f est de finid a en un interva lo de la form a (a, a + ), con 5 > 0 y

f(x) -

L 0 cua nd o x - a 0 para x > a.

2. Se dice qu e el l mite de una funcin f(xJ, cuand o x t iende a " a" por la

izquierda es un nmero real L, y se nota por

Lim f(x) =L

si y solo

x - a

si f(x) est de finida en un interva lo de la form a (a - , a) con 5 > 0 y

f(x) - L -> 0 cua nd o x - a 0 para x < a.

3. Se dice que el l mite de una funcin f , cuando x t iende " a" es un nmero

real L y se nota, Lim f(x) =

l

, si y solo si f est def inida en un

x - a

10


15/212

con junto de la forma (a - 8, a) w (a, a + 5) para alg n 5 ma yor que 0 y

f(x)

- L -> 0 cua ndo x - a 0.

Esta def inic in de l mite equivale a af i rmar que existe

Lim f

(x) y

x - a '

L i m { x ) y que adem s

x - a'

Lim f [ x ) = Lim f { x )

4 Una funcin

f(x)

se dice que es c o n t i n u a e n x = a si y solo si satisface

las siguientes condiciones:

a) a

e

D

f

(existe f(a)).

b) existe Lim f{x)

x - a

c)

L im f ( x ) = f (a)

x - a

Ejemplo 1

Demostrar que Lim I = i es equ ivalente a dem ostrar que

x 2* X 2

f(x)

- L -> 0 cu an do x - a 0, es decir, ( |x -2 | / x-2) - 1 0 s i

x - 2 0 con x > 2.

Para el lo observe que:

f

( x )

- L = j i ^ - f i - 1

X - 2

2 - ( x - 2 )

11


16/212

Ah or a pu esto qu e x > 2 en tonc es Jx - 2 I = x - 2 por lo tanto

f ( X ) - L

\x - 21 - ( x - 2

x - 2

x - 2 - x + 2

x - 2 I x - 2

= 0

Observe este resul tado grf icamente (Ejerc ic io) .

E j em p l o 2

De mo strar que Lim Jx = j a s i a > 0, es equ ivalente a dem ostrar que

x a*

%

\ 'x - -4a -^Q cu an do x - a 0 con x > a.

Para el lo:

yx -

v/a|

=

{y/X ~ y/a) (y/X +

y/ I )

s[x + Ja

x

- a I x - a

v'x + v 'ai y/x +

v

/a

c uando x - > a . P ues x - a - 0 c u an do x -> a y ^J a + V a V o

Observe este resul tado grf icamente (Ejerc ic io) .

E j e m p l o 3

Demost rar que

L i m

v'

1

- * = v^ , es equivalente a dem ostrar que

x - - 2

y/i - x

- yfs

- o cua ndo x - - 2 . Para el lo.

12


17/212

|

y / T ^ - x

-

- y/3") + / 3 )

V'I - A + 3

1

- x

- 3

- x - 2

V'I - x

+

\ / 3 y/1 - x + v 3

cuando x -> -2 Pu es -x - 2 - 0 cua nd o x -2 y \ 3 + V3

1

* 0

Observe este resultado grf icamente (Ejercic io).

Ejemplo 4

Demostrar que

L i m

^ ^ =

4

^ x -2 X -

es

equ ivalente a dem ostrar que

X

2

- 4

X - 2

0

cuando x - 2

0.

Para ello:

x - 2

- 4

J ( x - 2 ) ( x + 2 )

x - 2

- 4

= x + 2 - 4 |= x - 2

cuando x


Ejemplo 5

En el ejem plo anterior se mo str que Lim

4

= 4 , pero obse rve que

aqux = 2, no pertenece al dominio de la funcin, es decir no existe

f(2),

por

tanto la funcin no puede ser cont inua en x = 2, ya que no sat isface la

primera condicin de cont inuidad en este punto.


13


18/212

E j e m p l o 6

Sea f (x) =

x

2

- 4

SI X * 2

X - 2

8 si x = 2

E n f o r m a s i m i l a r al e j e m p l o a n t e r i o r s e m u e s t r a q u e

(Ejercic io), aqu x = 2 s perten ece al do m inio de la func in

im f ( x ) = 4

x - 2

f(x),

pues

f(2) = 8,

pero como

f(2)

es di ferente al valor del

Lim f{x)

e n

tonces no se sat is face la tercera condic in de cont inuidad, por

tanto f no es cont inua en x = 2.

E j em p l o 7

\x - 2\

En el e jem plo 1 se dem ostr que Lim i

1

= i , en form a an loga

x - - 2 *

X

se puede demost rar que Lim _ ^ = -i (Ejercic io). Pue sto qu e los

x

_

2

- X A

\x - 2

dos l mi tes laterales son di ferentes entonce s no ex is te Lim -

l

,

x 2 X A

por tanto no sat isface la segunda condicin de cont inuidad; luego esta

funcin no es cont inua en x = 2.

14


19/212


Ejemp lo 8

Observe que Jf existe y es igual a 4, pue s

I

f ( x ) - 4 | = | x

2

- 4 | = | ( x +2 ) ( x - 2) | = |x + 2 | Ix - 2 | - 0

cuando x - 2 -> 0, pu es x + 2 ^ 4 y x - 2 0 cua nd o x- > 2.

Adems

f(2) =

2

2

= 4, existe, y su valor coincid e con el valor de l lmite, por

tanto

f(x)

= x

2

es cont inua en x = 2.

Def in ic in

Una funcin y =

f(x)

es continua en un intervalo abierto (a, b) si y solo si f

es cont inua en cada punto del intervalo

Ejemplo

La func in f(x) = x

2

es cont inua en cualquier intervalo abierto (c, d), pues en

forma anloga al e jemplo anter ior se puede demostrar que

Lim f (x) = f(a) para cad a a e (c,d).

Def in ic in

Una funcin

f(x)

se dice continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si

a) fes cont inua en el intervalo abierto (a,b) y

b) Lim f(x ) = f i a ) y Lim f ( x ) = f(b)

x -

a '

x - b~

Ejemplo 1

La fun cin

f(x)

= Vx" es cont inua en intervalo cerrado [1,5] , como se puede

15


20/212

deducir de los ejercic ios vistos anteriormente.

E j e m p l o 2

f U) =

x si 0 < x ^ 5

2 si x 0

Es evide nte que f es con t inua en (0, 5) (Ejercic io), ad em s

Lim f(x) = f( 5) (Ejercic io), pero Lim f(x) = 0 * / (O) = 2

* - 5" x - 0*

luego f no es cont inua en el intervalo cerrado [0,5] ,

EJERCIC IOS

I ) Trazar las grf icas de las funciones siguientes y apoyado en el las hal lar

los l mites indicados.

1 f { x ) = x

3

; Lim f ( x ) , Lim f { x ) , Lim f ( x )

x

"

2

x - 3* x~ 0"

f { x ) = v/1 + x ; Lim f ( x ) ; L i / t f L ( x ) ; L i m f ( x )

*^

1

x - x- 2"

3.

f ( x ) =

X

2

Si

Si

x s 5

x < 3

Lim f { x )

x 3 ~

Lim f ( x )

x -

3

Lim f { x )

x -5

, ( x ) = ,

3

_ * ; L i m ( x ) ; Lim f ( x ) ; Lim f {x)

| X 3

|

x

_ 3-

X

-3" x-4

16


21/212

5 f ( x ) = i ; L i m f ( x ) ; L i m f ( x )

X ~ v - 1 V - - J

- 1

x -

1

x -

3

e.

f

< x )

- 1

- V A o

s

S

i * > 5

;

a

m

>

u )

a i

{ x ) :

a i

t [ x )

7

f x )

1

; L i m f { x )

:

L i m f

( x )

X 2 -

n

--

-2 X -4

f { x ) = [ y f x ] ; L i m f ( x )

x -9

I I ) Determinar s i las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. D

un intervalo cerrado donde cada una de el las sea continua.

III) Defina c on tinu ida d d e u na fu nc in en los inte rva los (a,b), (a,b], (-a>, +oc)

y d ejemplos.

IV) Determinar s i las funciones siguientes son continuas en el intervalo

dado.

1 . f ( x ) = ~

2

8

; e n [ - 2 , 2 ] c

2 .

f ( x )

= y

/ 1

-

x e n

[ - 5 , 4 ) Mo

3 f ( x ) = x

2

+ x e n [ 2 ,

1 0

17


22/212

4 f { x )

= [ x - 1 ]

(Parte entera) en

[ - 5 , 6 ) s,

5 .

f (x) = y/x - 4 e n [ 4 , 5 ,

g

f ( x )

= x

4

er (-oo ,+o o) cj;

V) Hal lar el valor de m y n tal que la funcin dada sea cont inua

/72X S X > 4

x

si x

3

3.

. f ( x ) =

/rcx + 1 s i x 3

2 - mx si x > 3

4

/ ( x ) =

- 1 s i

X

0

mx + n

s i

0

< x


23/212

1.3 L mi tes In f in i tos y L mi tes a l in f in i to

Siguiendo el mismo esquema ut i l izado para int roduci r los conceptos de

lmites y con t inuidad , se estu diar n intu i t ivam ente a travs de uno s eje m plo s

los casos en los cuales cuando x se acerca a un nmero real a por la

derecha o izquierda, f(x) se aleja hacia arr iba (f(x) -> +00) o se aleja hacia

abajo (/fxJ->-00 y tam bin se estudiar en forma intui tiva el com portam iento

de la funcin f(x) cuando en lugar de acercarse x a un nmero real a, se

aleja sobre el eje x hacia la derecha (x->

+00

o se aleja sobre el mismo eje

hacia la izquierda (x^--0 0 .

Ejemplo 1

Sea f(

X

) =

si X < 1

x - 1

2 - x si x 1

19


24/212

En la f igura 5 se observa su grf ica y en el la se puede apreciar que a

medida que x se acerca a 1 por la izquierda (x-> 1"), sus imgenes se van

alejando cada vez ma's hacia abajo s in ninguna cota, lo que se representa

con la expresin :

Lim f( x) -

x - 1

En forma anloga de la grf ica de la funcin

2 x si x 1

( f igura 6) se puede visual izar el sent ido de la expresin

Lim f ( x ) = +

X - 1"

y

2 0


25/212

I lustre el signif icado de

L i m f ( x )= + L i n t f ( x ) =

- o o ,

L i m f ( x )= +

L i m f { x ) =

x

'

a

x ~ a* x - a X - a

con las grficas de

a)

f i x ) = 1

b )

f W = - 1

c) W -

d )

- - - L

Ejemplo 2

De la grfica de

f ( x )

=1 (f igura 7) se pu ed e ap rec iar qu e a


26/212

medida que x se hace ms grande su imagen estar cada vez ms prx ima

a cero, confundindose con cero cuando x t iende a ms inf in i to, esta

s i tuac in se descr ibe af i rmando que el l mi te de

f(x)

cuando x t iende a ms

inf ini to es cero y se nota por:

Lim f { x ) =0

X - +


27/212


28/212

y

\ Figura 9

\

Demost rar que, L W = + eq uiv ale a ve rifica r que dad o M > 0,

x - 0 *

X

existe un 8 > 0 tal que si 0 < x < 5 entonces 1/x > M.

Para hal lar este 8, ob serv e que 1/x > M => 1/M > x y as S= 1 /M. A si' si

0 < x < 8 = 1/M => x < 1/M => 1/x > M es de cir, f(x) > M.

2.

Lm f ( x ) =

, equ ivale a dec i r , que para cualqu ier nm ero

M > 0, da do , existe 8 > 0 tal que si a - 8 < x < a en ton ces

f(x)

< -M.

E j e m p l o

2 4


29/212

Sea f ( x ) = (f igura 10)

x + 3

Demostrar que

Lim

= eq uiva le a verif icar qu e da do

x - - 3"

M>0, existe 8 > 0, tal qu e si -3 - 5 < x < -3 en ton ce s 1/(x+3) < -M.

Para hallar este 5 (que de pe nd e de M), ob serv e que si 1/(x+3) < -M =>

M + 1/(x+3) < 0 => (Mx + 3M + 1)/(x+3) < 0 => Mx + 3M + 1 > 0 (Pues

como x < - 3 en ton ce s x + 3 < 0) =>

Mx > - 1 - 3M => x > (-1 - 3M )/M = -1/M - 3 = -3 - 1/M (5 = 1/M)

As, si -3 - 5 = -3 - 1/M = (-3 M - 1) / M < x < -3 => 1 /(x+3) < -M

(Ejercicio).

2 5


30/212

3. En forma anloga def ina e i lus t re con ejemplos s imi lares los conceptos

s iguientes:

L i m f { x ) = ^ L i m f { x ) =

x - a

4. En todos los cuatro casos anteriores, la funcin

f(x)

en las cercanas de

a se aleja hacia arr iba o hacia abajo pegndose a la recta x = a. En

cualquier s i tuacin de stas, se dice que la recta x = a es una asntota

vert ical de

f(x).

D e f i n i c i o n e s 2

1 f [ x ) = a

Eq uivale a dec i r , que dado e > 0 ex is te un N > 0

tal que si x > N entonces f(x) - a < e, es dec ir, si x > N entonces la

dis tanc ia ent re

f(x)

y a es me nor que el nm ero e > 0 dado .

E j e m p l o

Demost rar que Lim - L = o equ ivale a ver i ficar que para un

x ~ +> X

2

e > 0 dad o, existe un N > 0 tal que si x > N en tonc es 1/x

2

- 0 < c.

Para hal lar este N (que depende de c) observe que:

1/x

2

- 0 < e 1/x

2

< 8 1/e < x

2

1/8 < x

2

1/Ve"< x

X > 1/Vs~= N ( Pu es x = x por qu ? ).

As si x > N => x > 1/Vs => 1/x

2

< s => 1/x

2

- 0 < 8 (Ejercic io)

2. An log am en te def ina e i lus t re el concep to de:

L i m f ( x ) = a

x - -OO

2 6


31/212

3. En los dos casos anteriores la funcin

f(x)

se aleja hacia la derecha o

izquierda pegndose a la recta y = a. Si adic ionalmente a esto se t iene que

a part ir de un punto x

1f

la curva no corta a la recta, se dice que la recta

y = a es una asntota horizontal de la grf ica de la funcin

f(x).

Ejemplo

La recta y = 2 es una asntota horizontal de f ( x ) = (f igura 11).

/

/

2

[ Figura 11

- 1

/

2x

M =

x t l

4.

Lim f ( x ) =

Equ ivale a decir, que para cua lquier M > 0,

x

existe N > 0, tal qu e si x > N, en ton ce s

f(x) >

M.

Ejemplo

Demostrar que Lim x

2

+ i = , eq uivale a veri f icar que

\


32/212

dado M > 0 cualquiera, ex is te N > 0 ta l que s i x > N entonces x

2

+ 1 > M.

Para hal lar este N (que depende de M), observe que:

x

2

+ 1 > M x

2

> M - 1 x

2

> M - 1 x > M -1)

x > V( M - 1) = N (pu es x > 0).

A s s i x > N enton ces x

2

+ 1 > M (Ejercicio).

5. En forma simi lar def ina e i lustre los con cep tos :

L m f{x) = L i m f (x) = Lm f(x) = Q

0

n las grf icas de las

x - +oo X -

00

func iones f (

x

> = -2 x

2

, f ( x ) = x

4

+ 8 , f ( x ) = - x

2

EJERCICIOS

1) Anal izando las grf icas de las funciones dadas hal lar los l mites que se

indican :

a ) f { x ) = Se n x ; L i m f { x ) ; L i m f ( x ) ; L i m f {

x

)

l \ f ( x ) = L n x ; L i m f ( x ) ; L i m f ( x ) ; L i m f { x )

D) X-+ x-0*

c)

= - X -

L i m

x-+


33/212

e

\ f ( x ) = -|)

X

>

Lim

;Lim f ( x ) ;Lim f ( x )

' ' 3

' x-+

x - - x - 0

2) En cada l i teral bosqueje la grf ica de una funcin que sat isfaga todas las

condiciones dadas

a

L im f { x ) = 2 L im f ( x ) = ;L im f (x) = 3 ; L i m f { x ) =

X - X - +

k\ Lim f ( x ) =

+


34/212

j ) L i m x

6

= +< *> ;k ) L i m - 3 x + 5 =

x ~ - x

4) a) Cuntas asntotas hor izontales puede tener una func in? Cuntas

vert icales ?

b)S i

L i m f ( x ) =

cu ntas asntotas hor izontales pue de

X - + 0 0

tener f(x)7 C un tas vert icales?

c) Si L i m f { x ) = y L i m f ( x ) = C untas as n to tas

hor izontales puede tener

f(x) ?

d) Si D

f

= R y

f(x)

es cont inua cuntas asntotas hor izontales y cuntas

vert icales puede tener f(x) ?

e) Si D

f

= (3,20) y fes cont inua cun tas asntotas hor izontales y cunta s

vert icales puede tener

f(x) ?

5) En las grf icas que aparecen a cont inuac in determine asntotas

horizontales, vert icales y anal ice su cont inuidad.

30


35/212

6) Hal le asntotas hor izontales, vert icales y bosqueje su grf ica s i :

a) f i x ) -

b] f i x ) m

_ x f _

) f { x ) m

_ x

x*-9 X

d) fix) /^ .y ^ -y .

U - 5 ) ( 2 x - 3 )

31


36/212

1 .4 P r o p i e d a d e s y C lc u l o d e a l g u n o s L m i t e s

El clculo de l mites de funciones ut i l izando las def inic iones presenta dos

prob lema s: Uno de el los es que se debe cono cer cul es el pos ible valor

del l mite y no existe ningn mtodo prct ico que nos indique cual es ese

valor y el otro, que as se conozca ese valor, la demostracin de que ste

es o no el valor busca do, ut il izando la def in ic in ad ecua da es b astante

engorroso.

Afortunadamente a part i r de propiedades de los l mi tes que se desprenden

de sus def in ic iones se pued en calcular stos en forma m s o m eno s se nci l la

ut i l i zndolas adecuadamente.

Se presentarn estas propiedades junto con ejemplos que i lus t ren su

uti l idad.

1.4.1

P r o p i e d a d e s

1. El l mite de una func in f(x) en un punto, cuando existe, es nico.

D e m o s t r a c i n

Supngase que en x = a el lmite de

f(x)

no es nico, es dec i r , supngase

que Lim f(x) =A y Lim f(x) =B ; se ver qu e A = B.

x - a x - a

C o m o Lim f{x) =A entonces

f(x)

- A -> 0 cua nd o x - a 0 .

x - a

C o m o Lim f ( x ) =B entonces

f(x)

- B 0 cua nd o x - a - > 0 .

x - a

Ah ora : A - B = A -

f(x) + f(x) -

B < A -

f(x) + f(x) -

B =

f(x) -

A +

f(x)

- B - > 0 + 0 = 0 cuando x - a 0 .

32


37/212

Asi", O O, pero como A y B son nm eros f i jos en tonces

A - B = 0 y as A = B.

2. La func in con stante

f(x)

= k es cont inua.

En efecto :

L i m f { x ) = f (a ) ,ya qu e \f(x)-f(a)\ = i k - k | = 0 , lo qu e imp l ica que

x - a

f(x) - f(a) i

-> 0 cu ando x - a i - 0.

3. La func in idnt ica es cont inu a.

Demost rac in (E jerc ic io) .

Segn esto Lim x = a

x - a

4. Si Lim f x ) = A y L im g x ) = B con A y B nm eros reales

i) Lim

f x) g x))

= Lim f(x) Lim g

x )

= A B

ii) Lim (

f x ) . g x ) )

= Lim

f(x) .

Lim

g(x)

= A . B

iii) Lim f x) lg x)) = Lim

f(x)

L im

g(x) =

A/B, s i B * 0.

Aqui la expres in L im, donde aparezca en es ta prop iedad, representa una

sola de las s iguientes s i tuac iones:

Lim ; Lim , Lim , Lim , Lim

X

- a' X - a

x

- a * -

+

" x - -


Se demostrar i ) a manera de i lus t rac in, las ot ras se hacen en forma

anloga.

De las hiptes is se t iene que:

Lim f{x) =A , es decir,

f(x)

- A -> 0 cuando x - a >0 y

x - a

33


38/212

Lim g{x) - B , es dec ir |

g(x)

- B ' -> Ocuando x - a

j

-> 0, se ver qu e

x - a

j f(x) + g(x)

- (A + B)

-> 0 cua nd o x - a -> 0.

En efecto:

f(x) + g(x)

- (A + B)

1

=

(f(x)

- A) + (

g(x

) - B) i < I

f(x)

- A +

g(x) -

B \ 0 + 0 = 0 cu an do

x - a I> 0.

5. S i

f(x)

y

g(x)

son cont inuas en un punto a en tonces

f(x) g(xf(x)

. g(x)\

son cont inuas en a y s i

g(a) *

0 entonces

f(x)/g(x)

es cont inua en a.


Se desprende inmediatamente de la propiedad anter ior (Ejerc ic io) .

E j e m p l o s

a) Como f(x) = k es con t inua en a y g(x) = x es cont inua en a, entonces

H(x) = f(x).g(x) = kx es cont inua en a.

b) Como

f(x)

= x es con t inua en a, entonces

g(x)

= x

2

es cont inua en a, y

en forma anloga x

3

, x

4

, x

10 0

, son cont inuas en a para cualquier

a e R.

c) En general f(x) = a

0

+ a ^ + + a ^ " . n c N es cont inua en a para todo

a en R (Ejercic io), por tanto :

Lim ( 1 + + 2x

2

+ x

3

) = 1 + 2 * 5 + 2 * 5

2

+ 12 5 = 1 1 + 50 + 12 5 = 18 6

X - * 5

d) Si P(x) y Q(x) son pol inomios:

Lim = si q(a) ^ 0, por tanto

x - a g ( x ) g{a)

, . x

2

- x - 4 2

2

- 2 +4 6

Lim = = -

x-2 x

2

+ 9 2

2

+ 9 13

34


39/212

e) Anteriormente se vio que

l w j x

=

j a

s i a > 0 , esto indica qu e

x-a

la funcin Vx"es cont inua en todo a > 0.

Tambin se puede demo st rar qu e en genera l es cont inua en a, para

todo a > 0 s i n es par y para todo a s i n es im par.

6. Si

f(x)

es cont inua en a y

g(x)

es cont inua en

f(a)

en tonces

g(f(x))

es

cont inua en a es decir,

l w g ( f ( x ) ) - g

[

l w

f

( x ) ) = g ( f ( a ) )

x-a ' x-a '

Ejemplos

a

b)

Lm y / x

2

+ 2x + 3

x-2

/

m ( x

2

+ + 3 )

X 2

L w

x-3

x

2

+ 3 x + 5

x

Lw

x-3

x + 3 x + 5

t

+ 4

+ 3

4

2 3 1

4

6

Lw 3x

2

= [ l w ( 3 x

2

+ v / x ^ J

4

= ( 1 2 + / F )

7. Con el mism o s igni f icado dado a Lim f(x) en la prop iedad 4:

Si Lim

f(x)

= L y Lim

g(x)

= L y

f(x) < h(x) < g(x)

(Para todo x cerca de a,

o en ms o m enos in f in ito segn sea e l caso) enton ces L im

h(x)

= L.

Es te resu l t ado conoc ido con e l nombre de Teorema de l emparedado se

puede visual izar con la i lustracin siguiente para l w (f igura 12).

35


40/212

F i gu ra 12

E j e m p l o 1

L i m

Sen* sx* + 1

= 0

En efecto:

puesto que - 1 Sen

3

sjx

2

+ l 1 entonces

- 1 ^ x

2

j l

y

com o-1 /x y 1/x t ienden a 0 cuando x -^ + co

X X X

en tonces

S e n 3 + 1

tam bin t iende a 0 cua nd o x +oc

X

36


41/212


42/212

En la pr imera s i tuac in se procede in ic ia lmente a real izar operac iones

algebraicas correctamente, hasta conseguir que el reemplazo de x por a en

el de no m inad or no lo anule. Estas ope rac ion es se real izan s iemp re tenien do

en cuenta que x * a.

E j e m p l o 1

Hal lar

Lim

2

c

5

x - 5 X -

5

Si se reemplaza x por 5, e l numerador y denominador se anulan, mas s in

embargo :

x

2

- 25 _ (x - 5 ) (x + 5 ) _ . c

c

.

x

_

5

=

"

x + 5

, p u es x * 5 , lu eg o

Lim x

2

~

25

= Lim x +

5 = 10

x - 5 X - 5 x - 5

E j e m p l o 2

Hal lar Lim

{x + h

\

2

~

h - o n

{x + h)

2

- x

2

x

2

+ 2xh + h

2

- x

2

=

2xh + h

2

=

_

+

.

aq u y, h

pues h * 0, luego

Lim

(x + h)

.

2

= Lim 2x + h

= 2x

a-o n A-.o

E j e m p l o 3

38


43/212

Hallar Lim ^

+

* ~ ^

h ~ O h

sfnnti - sf2

=

( j y - m - / 3 ) (yr^r + y p

=

h

h (\/3 + h + y j )

3 +

h -

3

h 1

h (JJ~T + /3 ) h ( v/3~n + ^3 ) + ^3

pues h en tonce s

Lim ST^l - v^ = Lim i -

h

a- o 73 +h +J3 2^/3

Ejemplo 4

Lim ^

Hallar

27

x - 2 1

1 1 1 1

3

- 3 ( x

3

- 3 ) (x

3

+ 3 x

3

+ 9 )

X

- 27

(X -

2 7 )

(X -

2 7 )

1 1

( x - 2 7 ) ( x

3

+ 3 x

3

+ 9 )

1 1 1 1

( x

3

+ 3 x

3

+ 9 ) x

3

+ 3 x

3

+ 9

pues x * 27, luego

39


44/212

Lim V * - 3 ,

L i m

1

=

1 . _ L

x - 27 X - 27 x - 2 1

2

1 9 + 9 + 9 2 7

x

3

+ 3 x

3

+ 9

E j e m p l o 5

Hal lar L i m

x

\

3 x + 2

x - i x

4

- 4 x + 3

x

3 x + 2 _ x l )

2

( x + 2)

4 _

4 x + 3 ( x - l )

2

( x

2

+ 2 x + 3 )

x + 2

+ 2x + 3

pues x * 1, luego

r

x

3

- 3 x + 2

r

x + 2 _ 3 _ 1

L i m = L i m = =

x- i

x

4

- 4 x + 3 x - i x

2

+ 2 x + 3 6 2

En el caso en que al calcular

L

j > Y [x )

s e

tenga que g(a) = 0,

pero f(a) * 0, con f(a) real, la funcin f(x)lg(x) t iende a +coo a -oo cuando x

t iende a a, segn que f(a) sea posit ivo o negat ivo y que g(x) t ienda a

0

por

valores posit ivos o negat ivos de la forma siguiente:

si

f(a)

> 0 y

g(x)

-> 0 por valores pos i t ivos, entonces

f(x)/g(x)

- +oo

si

f(a)

> 0 y

g(x)

- 0 por valores negat ivos, entonces

f(x)/g(x)

- > -oo

s i

f(a)

< 0 y

g(x)

- 0 por valores pos i t ivos, entonces

f(x)/g(x)

- > -oo

s i

f(a)

< 0 y

g(x)

0 por valores negat ivos, enton ces

f(x)/g(x)

-> +oo

Resul tados anlogos se t ienen s i se calculan l mi tes laterales.

E j e m p l o 1

40


45/212


46/212

x

3

+ 3 x 8

en tonces L im = -

X- 1 (x - 1)

2

Los resu l tados an ter iores se ut i lizan tam bin e n el clculo de l mi tes cuan do

x +oo o x -oo en func ion es de la form a

f(x)Jg(x)

despus de real izar

algunos cambios en esta func in

E j em p l o 1

T

x

4

+ x

2

+ 3

Lim -

Hallar

v

2

+ X

Div id iendo ent re x

4

numerador y denominador, la expres in se conv ier te en:

i

+

J _

+

J l

Lim ^ = pues

x

2

x

3

X - +" >

Lim 1 + JL + J L = i > o y _L + _L _ o po r va lo res

X

2

X

4

X

2

X

3

posi t ivos, cuando x -> +co.

E j em p l o 2

42


47/212

_5 _3

Hallar Lim

x 2 + x

\

+ 1

X - + 0 0 J T

2 x

2

+ x

2

+ 2

Si se div ide numerador y denominador ent re x

5/ 2

se t iene :

i

+

1

+

X 1

r

- X

2

+ X

2

+ 1

T

. X

2

1

LI M

=

LIM - =

_ O . 1 . 2 2

2 x

2

+ x

2

+ 2 I ~ 1

v 2 2

Ejemplo 3

3

1

Hallar L im * ^

+ + 3

2

7 x

3

+ x

2

+ x

s i se div ide numerador y denominador por x

3

se t iene :

Lm

X-

+ <

+ X

7 x + x

+ 3

Lim

X - +

X

X

+

_

3

-

X

3

+ X

7 +

J3

7

x

Ejemplo 4

43


48/212


49/212

Ejemplo 6

3x + 1

Hallar

L i r n

x

-

sjx

2

+ x + 2

Li m

3

*

+ 1

x

- sjx

2

+ X + 2

= Lim

3x + 1

x

= Lim

x -

(1 + - +

3x + 1

1 + . i +

X '

= Lim

3x + 1

= -3

= - x, ya que x < 0 )

- x 1 +

X

1.4.2 Lmites

d e

Fu n c i o n e s T r as c e n d e n t e s

A ) C o n t i n u i d a d d e l as f u n c i o n e s t r i gonomt r i cas

La funcin f(x) = sen x es cont inua para todo a e R.

Para ver el lo, basta con mostrar que

^im sen x = sen a

e s

deci r , de

acuerdo a la def in ic in , hay qu e dem ostra r que sen x - sen a '

O

cuando

x -> a.

En efecto :

Ozlsen x-sen a\ = \2cos ) Sen (-2^)1

2 2

= 2 Ie o s ( i ^ ) ISen k 2 . l | Se n k = | x - a |

i 2 " 2

1 1

2 2

1 1

es decir O< Se n x - Se n a < x - a

t ienden a cero cuando x - a , entonces

4 5

y co m o h(x) = x - a ; y g(x) = O

se n x - se n a ~>

O

cuando x-> a .


50/212

Nota .

Esta desig ua lda d se t iene , ya que para todo x real : sen xI < x

En efecto : cons iderando in ic ia lmente el caso 0 < x

< rea sector c ircular OP R 5 e / 7 T a n x = >

2

2 2

v 1

Cos X <

Senjc

>

C o s x

Cos X

Por la con t inuida d de la funci n Cos x, se t iene que cu an do x- > o

+

Cos x - > 1 y 1/Cos x ->

1

; por tanto apl icando el teorem a de l em pa reda do se

concluye que :

L i w

S e n x

= i

48


53/212

Usando el hecho de qu e la funci n Sen x es impar se con side ra el caso

-71

/2

< x < 0 ( 0 < - x +oc k -> +oo (pa ra x > 0) y

1/n = x/k

Obs e rv ac i n

En forma m s gene ra se puede d ef in ir e l nm ero e como

53


58/212

e = Lim ( 1 + g{x)) ?

{x)

Si Lim g{x) =O

x - a x - a

cr

e = .Lim (1 +

r

x - a

g{x)

Si Lim g{x) =

D ) C o n t i n u i d a d d e la f u n c i n e x p o n e n c i a l y l o g a r t m i c a

1. In ic ia lmen te se dem ostrar que la func in f(x) = e

x

es cont inua en "0", es

decir,

Lim e

x

= e

= i lo qu e signif ica que e

x

- 1 - 0 cuand o x 0 .

x - 0

Se trata rso la m en te, e l l mite p or la de rec ha , o s ea se co ns ide rar x > 0, lo

cual impl ica que, por ser creciente la funcin, e

x

> e = 1, y asi

e

x

- 1 = e

x

- 1.

Para ello se requiere pr imero demo strar la des igu aldad e

x

>1+x Vx > 0

/

e* = Lim { i + =

\ nj

Limil+n (*) + 1 n(n-l) + U Lim l l + n - Z ) = l + x

\ n 2 n I

n- \

n

y (1 + x) < e

x

para x > 0.

Para demostrar que e

x

-1 0 cuan do x 0 se mostrar que e

x

-1 > 0, puede

ser tan peq ue o com o se quiera, acercan do suf ic ienteme nte x a cero. Para

el lo sea e>0 tan peq ue o com o se quiera. To m em os x = In (1 + e).

Ob serve que, puesto que 1 + 8 < e

E

=> x = In (1 + e) < In (e

) = s (por

ser e

x

c rec iente) y as cuand o s 0 , x -> 0 (pue s 0 < x < s) y adem s.

54


59/212


60/212

Lim e

5x

+

4

= e

5

*

2 + 4

= e

1 4

x - 2

2 . Lim e

3x + 3

= e

3

x - 0

3 . Lim Log^{2x + 5) = Lo g

3

(9 )

X 2

4.

Lim Ln{x + 1 0 ) = Ln 10

x - 0

5. Lim Ln [x

2

+ 5 x + 1 ) = Ln( 1 + 5 + 1 ) = L n 7

E. L i m

L l 7 ( 1 +

= a y

Lim ^ L l A =

i

x - 0 A x - 0 X

- 4

Lim

Ln

= Lim Ln ( 1 + ax )

x

= Ln (Lim ( 1 + ax )

x

) = Ln(e

a

) = a

x - 0 -A x - 0 x - O

(Por la cont inuidad del logart imo)

Ahora hac iendo el cambio de var iable p = e

x

- 1 (x = ln ( p+1)) se puede

aprec iar que cuan do x -> 0 enton ces p -> e - 1 = 0 , (por la cont inuidad de

la func in expo nen cial ) , luego

56


61/212

Lim

eX 1

= Lim , ^ = Lim ,

1

= - = 1

x - o X n - o X r z ( n + 1 ) ^o Ln ( 1 + j ) 1

Ejemplos

1. Lim - =Ln a

x-0 X

Puesto que '

1

= ' = ' Lna

x x x Ln a

entonces

^

x

-

1

(

L n

a

-

11

Lim - i = Lim Ln a = 1. Ln a = Ln a

x - o x x - o x Ln a

(haciendo p = x ln a)

2. Lim-^

0

^

3 ( 1 +

^ ~ *

x- o x Li ? a

Haciendo el cam bio de base se t iene que

Log( i + x) =

( 1 +

bx )

y entonce s

Ln a

3

Lim

L

g

*

{ 1 + h x )

- Lim

Ln

=

x - 0

x

x Ln a Ln a

x

x Ln a

o n . l n x - 1

l im =

x - e x-e

Ha ciendo p = x - e; cu an do x -> e, m 0 y as:

57


62/212

. Ln x - 1 , Ln x - Ln e _

T

Ln (\x + e) ~ Ln e

L

im = Lim - Lim

x-


63/212

e

x

* - Cos x _ , . e - 1 + l - Cos x

Lim = Lim

x - 0 X

2

x - 0 X

2

Lim

eX

~

1

+

Lim

1

~

CoS X

- 1 + 1 = 2

x-o

x

2

x-o

x

2

2 2

F. Lim f ( x ) ^

x )

x - a

En los casos e n q ue tenga sen t ido, para calcu lar l mi tes de este t ipo, se

ut i l iza la propiedad de cambio de base en exponencia l :

a

b

_

e

bm a

p a r a a

=

f(

x

)

> o y para b =

g(x),

es decir ;

f(xf

x)

= e

9(x)ln f(x)

y la

cont inu idad de la funcin exponencia l .

Ejemplo 1

Si Lim f (x) = a > o y Lim g{x) =B en tonces

Lim g[x) Lnf (x)

L i / n

f{x)Z'

x)

=

Lim e

g{X>

L

V

U )

= e = e

S L 2 ;

=

Ejemp lo 2 L im ( *

1

J

= 1

l i m = l i m i = 2 y l / t ?

x + i = 2

y apl ic an do e l

x - 1 X

2

- 1 x - 1 x 1

2

x - 1

J

resul tado del e jemplo anter ior se t iene que:

59


64/212

Lim

x - 1

X ~ 1

IX + 1

X

2 _

1

1

4

E j e m p l o 3 Lim (1 + Sen x)

x

= e

En efecto :

2 Ln {1 + Sen x)

Lim (1 + Sen x)

x

= Lim e

x

ya que

L l m

SSLS

L i m

M L l l - L ^ L

. m

X x - 0 *

b e n X

x - 0

E j e m p l o 4 Lim x

n x

= i

t

Ln x

Ln x

x

- o

Lim

x

Ln x

=

Lim e

1J1X

= e

x - O *

I x

2

+ 5 \

x

E j e m p l o 5

=

I i T T T )

=

60


65/212

Como

Lim (

X + 5

\ x 't- 1 ,

1 +

Lim

X - >

X'

1

+

y Lim x =

Entonces

Li/??I

x + 5

1 =+oo

X-

+

o

\ X + 1

;

Ejemplo

6

Li/7?

j | = 0\ 2x + 5

ya que

x + 3

Lim ^

X -

X

+

3

y Lim x'

2

4-00

Ejemplo

7

Lim

1

= e

6

, o \

2 x

2 x Ln :

Lim

1 - =

Lim e

- 1)

X

Li m 2 x i / 7 i l - )

= e*

Lim 2 .

e*

-6 lim

'1

x

Ln >1 - ^

j>

x

= e

(haciendo

p = 3/x)

61


66/212

E j e m p l o 8 Lim (eos x)

Senx

= i

x-0

Lim

(Cos x)

sen

*

= Lim (

1 + Cos x-1)

Sen x

x-0

1 Cosx - 1 i

Lim (1 + [Cos x -1 '

1

)

Cos X

~

1

x-0

L m

| ( l + (Cos x - 1

x - 0

(Tosx-1

> \Cos x-1 \ Senx _

g

0 _

puesto que

Se n x

- Cos x - 1

Lim (1 + (Cos x -1) )

C o s x

"

1

= e y Lim

x-0

x

=

>0

Cos X - 1

X _ 0 _

n

Lim - - u

; , ; - o Sen X l

62


67/212

Ejerc ic ios

I) Sea

f ( x ) _ ax

D

+. . . +a

0

g(x) bx

m

+...+b

rt

demustre e i lustre con ejemplos que :

L i . i l

4 = m

II) Las s iguientes a f i rmacione s son toda s verda deras , i ls t re las con ejem plos

a

) Si Lim f { x )= +y Lim g(x) =c

=>

L im f { x ) + g{x)

= +

' V V - ^

M Si Lim f ( x )

= -

y

Lim g{x) =c

= L im f (x)

+g(x)

' jr-^?

q) Si

Lim f{x)

=+ y

Lim g{x) =c, c*

0

entonces

' vA

y

i ) S i c>0, Lim f (x) g{x)

i i ) S i c0

si c


68/212

e

i Si Lim f ( x )=- y Lim g(x) = c

t

O =

>

l i m f { x ) . g ( x ) =

-00 sic> 0

+ s i C < 0

f ) S i

Lim f ( x )

=+ y

Lim g{x)

= + = L i m f ( x ) g ( x ) =+oo

' V - + 0 0 X - O

I I I) Hallar el valor de los siguientes lmites :

1

. Lim W ) '

3

- *

1

{R i

3 ^ ) 2 .

Lim

x2

~

{a + 1

\

x

+

a

(R:

x-o h x~a x

3

- a

J

3 a

3 . LimJlll. (R: i ) 4 . Lim

x

"

y

" {R-.ny"'

1

)

x - 1 X

2

+ l x - y X

- y

1 1 1

T

. x

m

-l

t o

mi ,

r

, x

m

- a

m

5 .

Lim \R: )

6 .

Lim

(i?: )

x-i

x

n

- l

n x-a x - a m a

7 .

Lim

^ ( i? : 1 ) 8 .

Lim **

1

( i ? : - 2 )

X - -1 x + 3 x + 2

-+

VX+y/x + V^

9 . Lim^JKJ. (R:- ) 1 0 . Lim ( + ) ( f ?

:

i )

x-7

X

2

- 4 9 X - i

X

- 1 1 -

X

3

11. L i m ^ l (22:1) 12. L i m ^ ^ . ( * = 4 )

x- 1 2 x4 x + 1 5

y v i _L

1 3 . Lim (x*h)-Senx

{ R : C o s x ) 1 4

.

Lim

Cos x-Cos a

{ R :

.

S e n a

h-0 h x-a x a

64


69/212

1 5 . Lim

Sen x

~

Cos x

1-Tan x

X - *

4

16

L i m ( l - x ) Tan -M

2 0 >

Lim

Tan x-Sen x

x

2

2

x - 0

X

3

2 1 . L i m A r c S e n _ x

{ R

,

2 2

.

L i w

A r c T a n 2 x

{ R :

2

}

x~o x x-o Sen 3x 3

2 3 . Lim

1 x 2

{Ri ) 2 4 . L i m

1

^

Co s

_J (

R

:

1

x - i Ser? n x 7t x-o x

2

4

2 5 . L i m - ( : 1 ) 2 6 .

Limx(e

x

~l )

( i ? : l ]

x-o Sen ax-Sen x x-

2 7 . Lim 1-^1

+

| 4 x - l [ + [x+4 j

{ R : 6 )

2 g < L i / n

Senh x

(J?;1)

X - + 0 X X - O

X

2 9 . L i m

C o s h x 1

( / ? : ) 3 0 .

Lim (R:a~b)

x-o x

2

2 x-o x

3 1 . Lim

2x 2

+

3 x

4

(R: 2) 3 2 . Lim (i?: +~)

v / x

4

+ x

2

+

l 1 0 + x / x

3 3 . L i m ( S e W ^ + l - S e r i v ' x ( i? : 0 ) 3 4 . Lim

x+Sen x

(Ril)

x-+

x+Cos x

65


70/212

x + 1

a, Sen 2x_

0

Sen x -i

s

3 5 .

Lim-C (R : 1) 36. Lim (1+- )

X

{R:l)

X X

-C

3 7 . Lim

x

-o x Y 1 - X

(?:1)

Lim x+

(R: 0)

3 9 . Lim

eX e X

(R: 2}

x~o Sen x

IV) Demostrar que:

1. 2 . Lim{ l + -I-)

x

=l

L + X E X - + X

2

3 . L I M (

J Y + 1

)

2 X

'

1

= E

6

4 .

Lim (1+Ta n

2

sjx)

2 X

= / E

X~2

x - 0

Sen x

5

. Lim

Sen

6 . L i m (S e i 1 * ) ^ =55^=1

X

x - 0

X ?

1

7 . L I M ( C O S X )

X

= 8 . Lim x Sen 1 = 0

X-0 y/e

x - C X

9. Lim X Sen-=1

1 0 .

Lim^+Sen x=+ y

Lim g(x) =0 (R:No) h) Lim f [x) = 1 y Lim g(x) =+> [R:N0]

x - a x - a x - a x - a

Vi) Se pueden concluir las af i rmaciones siguientes? just i f icar sus

respuestas.

a ) S i Lim f (x) = + y L i m g ( x ) =0 = L i m f ( x ) g{x) =0 {R:No)

X - + o o X - " X

00

>) S i L i m f ( x ) = + y L i m g ( x ) = + >= >Lim [ f ( x ) - g ( x ) ] = 0

{R:No)

f i

c ) S i

Lim f ( x )= +

y L i m g ( x ) =-=>Lim

'

= -

(R:No)

x - + x - ' < x - + > g ( x )

67


72/212

CA PITUL O I I

DERIVADAS

Si bien es cierto que a part i r del concepto de l mite se ha podido obtener

informacin sobre el comportamiento de una func in en un punto y en una

vecindad de l , esta informacin resulta incompleta si se pretende indagar

algo ms sobre la curva en dicha vecindad, por ejemplo si se requiere saber

cul es su ndice de variacin, s i sta sube o baja, s i es cncava o convexa,

dnde presenta puntos ext remos, y ot ros aspectos los cuales se pueden

estudiar a part i r del conocimiento de un l mite especial l lamado la derivada

de una func in. Este concep to se conv ier te en una val iosa herram ienta

para descr ib i r fenmenos y para anal izar resul tados que se presentan a

t ravs de ecuaciones que representan curvas, s iendo impresc indible en cas i

todo t rabajo de matemt ica apl icada.

68


73/212

2.1. I N TR O D U C C I O N AL C O N C EPTO D E D ER I VAD A

A) Ve l o c i d a d I n s t a n t n e a :

Suponga que una part cula se desplaza a lo largo de una recta con una

velocidad que no es con stante , es decir, que vara con el t iemp o. Se a S(t)

la posic in de la part cula t segundos despus de haber inic iado el

mo vimiento. En el t iemp o t

Q

la part cula se en cue ntra en el pun to

S ( t

0

) so bre la recta y para h en R, en el t iem po

t

0

+

h

se encu entra

en el punto S ( t

Q

+ h ) (fig. 15).

Como la veloc idad no es constante entonces en los puntos comprendidos

entre

S ( t

0

) y S

(

t

0

+ h )

la part cula va a di fere ntes velo cida de s.

Recordando que cuando la veloc idad es constante, sta es igual a l espacio

recorrido div idido entre el t iempo que demora la part cula al recorrerlo, al

Figura 15

to

s(to

+h]

69


74/212

tomar e l espac io S ( t

0

+ h ) - S ( t

Q

) y div idir lo entre el t iem po que

demora la part cula en recorrerlo

{t

0

+ h ) - t

Q

= h

: se ob t iene no la

velocidad con que la part cula recorre este tramo, pues esta no es

constante, s ino la veloc ida d m e d ia que l leva la part cula cuan do lo

recorre.

S ( t

Q

+ h ) -S ( t

0

)

V E L O C I D A D M E D I A =

Ahora la pregunta es: A qu veloc idad pas la part cula en el t iempo

t

0

?

o dicho de otra forma, cul es la velocidad instantnea en el punto

S

(

0

) ?

An cuando la veloc idad en el ins tante

t

0

es cons tante, no es posible

apl icar la frmula de veloc idad constante para calcular la, pues no se

dispone de un t ramo de espacio (pues se calcula en un punto) n i de un

intervalo de t iemp o (pue s se calcula en un instante da do ). Esta si tuacin

s e p u e d e o b v i a r c o n s i d e r a n d o e l t r a m o d e e s p a c i o

5

( h + h ) - S ( t

0

)

y e l t iempo h que se dem ora en recorrer lo.

70


75/212

Asi el cociente

s

( h

+

h ) - S (t

Q

)

aunque representa la veloc idad

h

le dia en ese intervalo de t iem po, a med ida que h se haga m s

jueo, e l punto

S ( t

0

) y

S ( t

Q

+ h

) estarn m s cerca nos y esta

veloc idad m e d ia se aprox im ar cada vez ms a la veloc ida d instantne a

buscada, l legando a ser exactamente el la, en el caso ideal en que h -> 0, es

decir:

B) Pend ien t e de la rec ta tang en t e a una cu rva en un pu n to

Se parte de la idea intui t iva que se tiene de lo que signif ica recta tan ge nte

a una curva en un pun to y lo que signif ica recta seca nte a una curva

Velocidad instantanea en el tiempo t

Q

= lim

A-0

S

(


76/212

Ahora sea y = f(x) una funcin y

P

0

= ( *

0

/ ( ) ) y

=

(

x

o

+ h

> f(

x

o

+

h ) )

d o s

puntos sobre la

curva que repre senta f(x). Co nsid ere la recta M sec an te a esta curva en los

puntos P

0

y

P

1

(fig. 17).

Como se t ienen dos puntos sobre la recta, se puede calcular su pendiente

(di ferenc ia de ordenadas sobre di ferenc ia de absc isas):

M

_ f (

x

o

+ h

) f (

x

o ) _ f ( x o

+

h ) - f ( x

0

)

Xq +

H

-

Xq

h

De la misma forma se puede calcular la pendiente de cualquier recta

sec ante , s i sta corta la curva en dos puntos. La si tuac in pro blem tica

para hal lar la pendiente de una recta se presenta cuando solamente se

72


77/212

conoce un punto de el la, pues no es posible hal larla de esta forma como es

el caso qu e se pre tend e trabajar: Ha l lar la pe ndie nte de la recta L tang en te

a esa curva en el punto

P

Q

Para resolve r este pro blem a cons idre nse las rectas sec an tes jL, , L

2>

Ig. . .

que pasan por los puntos

= K

+ h

1 >/(* 0

+,

*l))>

P

2

=

( *Q

+

K o

+

^2))

P

3

=(x

Q

+ h

3

,f(x

Q

+h

3

)),...

respect ivamente y que adems pasan por e l punto

P

0

= ( x

Q

, f ( x

0

) ),

siendo

h

i

un nm ero muy cercano a cero para todo i, e l cual estar m s

prximo a cero a medida que el subndice i sea ms grande (f ig. 18).

73


78/212

f i g u r a 1 8

V

L

L3

s l2

L1

7Z5 XfrAj XbUSXM

O bs er ve de la f igura 18 que a m edid a que se ac erc a m s a ce ro,

el punto ( x

Q

*

h

i

>

f

-0 es decir ,

Pendiente de la Recta Tan gente en p

0

- im Pendiente L

b

-

E J E M P L O 1

Un objeto recorre 5 ( t ) - t

2

+ 2me t ros en los p r ime ros t se gun dos .

I im

4-o

( *

0

+ h) - f u

0

;

5

74


79/212


80/212


81/212

, ,

m

S ( 4

+

A ) - S ( 4 2

= | m

( 4

+

/i )

2

-* 2 - ( 1 6 + 2 )

=

A-o h h-o h

| m

1 6 + 8 / , + A * , 2 - 1 8 - i b n

A- O

h

h-

O h

I i m 8 + / j = 8

A-O ^

e

)

=

+ -|

m

(t

+

h)

2

+

2-(t

2

+2)

h-

o h

h-

o

l im _

| j m =

/ /-O /z

l im 2r

+

=2r ,

luego la velocidad es 0 si 2t = 0, es decir , t = 0 seg.

77


82/212

E J E M P L O 2

Una pelota se lanza ver t ica lmente hacia ar r iba desde e l p iso, con una

ve loc ida d in ic ia l de 6 m/seg . Si e l sen t ido posi t ivo de la d istanc ia, d esd e

el punto de par t ida es hacia ar r iba, e l espacio recorr ido es:

s ( t ) -

3

t

a

+ 61, s iend o S la d istanc ia reco rr ida por la pelota d es de

el punto de par t ida de sp u s de t se gu nd os . Hal lar :

a) La velocidad de la pelota t ranscurr idos 2 segundos

b) El t iempo que tarda la pelota en a lcanzar e l punto ms a l to

c) La a l tura mxima que a lcanza la pelota

d) El t iempo que tarda la pelota en l legar al piso

e) La velocidad de la pelota al l legar al piso

Ten iendo en cuenta que e l mov imiento s igue s iendo rec t i l neo en tonces:

a) La velocidad de la pelota en t = 2 seg es:

lim

9(2+h)1-5(2) - i im -3(2+)

a

+6 (2+A) -


83/212

l i m - 6 - 3 A = - 6

A- 0

S E

S

b) La pelota a lcanza e l punto ms a l to cuando su velocidad es cero, es

decir:

0

=

|im

s

(

t + h

) s ( f )

=

,

m

~3(t+h)

2

+6(t+h) +3t

2

-6 t

=

A- O h A- 0 h

l im ~

3

(

t 2 + 2 t h + 6 t + Q h +

3

2

- 6 r

= | m

-3 t

2

-6th-3h

2

+6h+3t

2

=

A~Q

h

A- 0

h

l im - 6 ^ - 3 / ^ 6 h

= | m

_

3 h + 6 =

_

& + 6 i

A- Q

h

h-o

luego -6t + 6 = 0 6 = 6t t = 1 s e g y as la ve loc ida d es ce ro

t ranscurr ido 1 seg.

c) La a l tura m xim a de la pelota ocu rre cu an do t = 1 seg. , es decir ,

S (1) = - 3 + 6 = 3 m, y as la al tura m x im a a lca nz ad a por la pelo ta es d e

3 metros.

d ) La pe lo ta l lega a l p i so cuando S = 0 , o sea , cuando - 3 + 6 = 0

>

e s

dec ir , t ( -3 t+6) = 0 < = > t = 0 6 = 3 t , y as , t = 2 se g , luego la pe lo ta l lega

79


84/212

al piso al cabo de 2 seg.

Segn lo calculado en b):

La velocidad de la pelota en el instante t es: - 6t + 6, luego la velocidad de

la pelota cuando l lega al piso es - 6 (2) + 6 = - 6 m/seg .

EJ EMPL O 3

Ha llar la pe nd iente de la recta tang en te a la curva y (

x

) _ y -jq _

x

en

( 1,3). De la pa rte B se t iene q ue :

La pendiente de la recta tangente en (1,3) es:

,

i m

/ ( 1 + * ) - / ( 1 )

=

,

i m

\ /10 ~(1

+

h) - y/ 9

=

h-o h h-o h

l im +3

=

h

-0

h h-o h 3

,

i m

Q - * ) - 9 __,

m

- 1

9 ^ +3 ) +3

6

EJ EMPL O 4

Ha llar la pe ndie nte de la curva / ( x ) - en el pu nto ( 2 , )

* + 1 3

80


85/212

En forma anloga al ejemplo 3 se t iene que:

Pendiente de la recta tangente a la curva

f { x )

en el punto

* + 1

1

1

- 1

(

2

' 3 >

e s :

| m

/ ( 2 ^ ) - / ( 2 )

= | j m

2+t+ 1 3

=

h-o h h-Q h

lim 3 - < A ^ 3 )

= | m

- 1

h 3 (A + 3 ) f t A-O 3 ( / i + 3 ) 9

2.2. DEFINICION DE DERIVADA

Los pro blem as A y B del num eral anter ior l levaron a resul tados an log os en

su presentac in: El incremento de una func in S(t

Q

+/ i ) - S ( Q p a r a e l

p rob lem a A y f(x

Q

+ h ) - f (Xo)para e l pro blem a B) div idido entre el

increm ento de la variab le (h) y hac iend o que ste t ienda a cero. Los

l mi tes de coc ientes de este mism o t ipo apa recen tamb in en much os

problemas relac ionados con di ferentes reas del conocimiento como la

f s ica, matemtica, economa, etc, razn por la cual se just i f ica un estudio

detal lado de el los que es prec isamente lo que se conoce con el nombre de

der ivadas de func iones.

81


86/212

DEFINIC IONES

1) Sea y = f (x) una funcin y sea a un punto en el dominio de f(x), s i existe

el l mite:

l

m

/ (

Q +

f t ) f (

a

)

en ton ces al valor num rico de ste, se llama la

A - 0

h ;

S . V

J

de r iva da de f en e l p un to a y se nota p or f ' (a ) o f ( a )

{x)\

dx dx

2) Dada una func in y = f (x ) , se l lama func in der ivada de f (x ) , o

s implemente la der ivada de f (x) , a ot ra func in notada por f (x) o

dx

def in ida como:

f'{x) = lim

+

f (

x

) en los puntos x del dom inio de f don de ex is ta este

A-o h

l mite.

N O T A S :

a) Note que la def inic in 1) es una def inic in local, que corresponde a la

derivada de la funcin en un punto, y su resultado es un nmero real, y la

def in ic in 2) corresponde a una def in ic in global , que es la der ivada de una

funcin (ya no en un punto especf ico) y su resultado es una funcin.

82


87/212

b) En la de f inic in 1) si se hac e x = a + h es ev idente que cuando

h -> 0, x t iende a a y a d e m s h = x - a luego la der iv ad a de f en e l punto

x = a

se puede tambin de f in i r como:

h-Q h

x

-a X-

E J E M P L O 1

Hallar la der ivada de f (

x

) = x

2

+ x + 1 en el pu nto x = 2.

f ' ( a ) = / ' ( 2 )

=

l i m & L A ? 1

=

|

m

+a: +

1 ) - ( 4

+

2

+

1 )

x-2 X-2 x-2 x-2

l l m .

| m

(x

+

3Hx-2)

= H m

,

+ 3

.

5

x-2 X-2 x-2 (X-2) x-2

Desde e l punto de v ista del problema B) del numeral anter ior , este resul tado

indica que la pendiente de la recta tangente a la curva

y

= + ^ + -j en

el punto (2,7) es 5.

E J E M P L O 2

8 3


88/212


89/212

/ ( O )

=

l i m /


90/212

E J E M P L O 4

H alle, si existe , la de riva da de j ^

x

^

=

en x = 0.

3 - 3

/ ' ( O ) - l i m ^ i A W M .

| i m =

h~Q

h h-0 h

l i m - ^ 5 = l i m - = + es decir, e l l i m ^

0

^ *

A-0 A k~ Q

h

-Q h

no existe y por tanto j - (

x

)

=

^ no es de rivab le en x = 0.

86


91/212

Como se puede apreciar en la f igura 20 la recta "tangente" a la curva

/ ( * ) = Vx

e n e l

P

u n t 0

(0-0) (v ista como l mites de rectas

secantes) t iene pendiente inf ini ta (que no es un nmero).

EJEMPLO 5

Hallar la derivada de

2 si x

1

a) Si x


92/212

/ ( 1 )

,

l i m

/ ( l A M l )

c ) X ( ' )

=

'

, m

el cua l no existe ya qu e los l mites

A - 0 h

la tera les son d i ferentes, pues

l i m - ^

1 1

~

2

= |im - =1

h-0

+

A 0 *

h

- 0

/ - O ^ A- 0 ^ A- 0 ^ A- 0~

asi:

0 s i ; t1

N O T A :

En los puntos donde no hay der ivada no s iempre se presentan las

s i tuac iones de los casos de l e jemplo 3 (p icos) o de l e jemplo 4 , ( tangentes

ver t ica les) s ino que puede suceder tambin que la func in no sea cont inua

en esos puntos como se puede conc lu i r de l s igu ien te resu l tado:

T E O R E M A

Si y = f (x) es una funcin der ivable en x = a entonces f es cont inua en este

punto .

D e m o s t r a c i n :

88


93/212

Por hiptesis f es derivable en x = a entonces el lmite:

l im

M z M =f (a)e E

x-a

x-a

Para ver que f es continua en x = a, basta ver que:

lim M =Aa) es decir , que ' '

m

A

x

) A

a

)~0

x-a x-a

En efecto:

im fa) ~f(a) =l im =

x-a x-a X~CL

lim ^ *\\mx-a =f(a) *0 = 0

x-a X ~ Q x-a

Del ejemplo 3 se puede concluir que el recproco de este teorema no

siempre es cierto, pues all f(x) es continua en "cero" pero no es derivable

en "cero".

Grf icamente, si una funcin no es derivable en un punto x = a, entonces

en este punto se puede presentar un salto o hueco (discontinuidad), o un

pico (ejemplo 3) o la recta tangente en ese punto tiene pendiente infinita

(ejemplo 4). La existenc ia garantiza en ese punto suavida d de la curva y

pendiente numrica de la recta tangente en ese punto.

EJEMPLO 6

89


94/212

J W =

x

2

+1 si x*0

30 si x=0

no es derivable en x - 0. pues f no es cont inua en este punto, observe que

esta funcin es derivable en cualquier otro punto.

EJERCICIOS

1) Si una piedra se arroja desde el piso hacia arr iba en forma vert ical con

una ve locida d inic ial de 10 m/se g, y s i $ ^ = - + 10r do nd e s es

la distancia recorrida por la piedra desde el punto de part ida a los t

se gu nd os y e sen t ido posit ivo es hacia arr iba. Ha l lar:

a) La velocidad media de la piedra durante el intervalo de t iempo

3 , 5

< t <

4 4

3

b) La velo cida d instant nea a la piedra a los seg un do s.

4

c) Cunto t iempo tardar para l legar a l punto ms elevado?.

d) Cul es la al tura mxima que alcanzar la piedra?

e) Cul es la velocidad de la piedra cuando l lega al piso?

9


95/212

2) Un objeto recorre

t

3

+ t + 2

me tros en los pr imeros t segu ndo s.

a) Cunto recorre entre t = 2 y t = 3 segundos?

b) Cul es su veloc ida d m edia en ese intervalo?

c) Cul es su veloc idad en t = 4 segundos?

3) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) = 2x

3

+ 3

e n

el punto (1,2).

4) Hal lar la ecu aci n de la recta tang ente a la curva y =

x

2

+ -j qu e pasa

por el origen.

5) Hallar sobre a grfica de

y =

x

2

+ 2x +

5

e

punto donde la recta

tangente es paralela a y = x - 1

6) Ha llar la ec ua ci n de la recta tan ge nte a la curva y - -

x

2 e n e l

punto (0,1).

7) Hal lar la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y es normal a la curva

y = x -

2

8) Ha l le la ecu aci n de la recta que tiene pend iente - y que es

91


96/212

tangente a la parbola

x

2

+ 4

V

= 20

9) Usando la def inic in de derivada, hal le las derivadas de las funciones:

a ) f { x )

y c alc ule / ( O ) v / ( 1 )

b

) / ( jc ) = \x~+~2~ Y ca lcu le / ( 2 )

y

f\Q)

c) / ( * ) - ai-

2

+

a r y

c a lc u le / ( 4 )

v

/ ( )

d

) e N

6 )

/ ( * )

10)

a) Es deriva ble en x = 0?

b) Es

f[

x

)

= |jc| (jc - 2) de riva ble en x = 0?

c) E s / ( * ) = |;c| jjc

1: deriva ble en x = 0? en x = 1?

d) Es ^ deriva ble en x = 0?

e) Es

=

| 4 - j c

2

| deriva ble en x = 0? x =

1

? x =

-1

?

9 2


97/212

11) El l mi te dado es una der ivada . De qu funci n y en qu p un to?

a) lim 2 ( 5 ^ A )

3

- 2 5

3

h-o h

b) lim ( 3 ^ ) ^ 2 ( 3 ^ ) - 1 5

h-Q h

c) l im

x-2 X - 2

X

3

+ X - 30

d) lim

x - 3 * ~ 3

e) lim

h-

0

COS(x+h) -CQSx

h

12) Hal lar los valores de a y b tales que f(2) exista si :

/=

ax+b si x2

13) Ha l lar los va lore s de a y b tal qu e f( 1 ) exista si :

A*) =

x

2

si

JC1

9 3


98/212

14) Su po ne r que f (a ) ex is te y con un camb io de var iable adecu ado , just i ficar

las af i rmaciones s iguientes:

a)

f'{a)

=lim

M l M

*-a x-a

b) / ( ) . l i m ^ l M ^ M

f-0 t

y

c ) f(a)= \\m f < f i + k ) - m

h-o h

d)

f'(a)

=lim L l M z f c L -

t-0 t

e) / ( ) = lim M z M z .

h-Q h

15) demuest re que:

La der ivada de una func in par es impar; de una func in impar es par y de

una func in per idica es per idica.

2 .3 P r o p i e d a d e s y c l c u l o d e d e r i v a d a s

Hasta ahora para calcular la der ivada de una func in es necesar io calcular

un l mi te, lo cual no s iempre resul ta inmediato. Afortunadamente, a lgunas

propiedades de la der ivada, que se t ratarn a cont inuac in, fac i l i tarn este

94


99/212

clculo, s in necesidad de recurr i r , en la mayor a de los casos, a l uso de

lmites . Las exp res ion es y resu l tados que aparec en en es tas prop iedad es

se supone que son v l idas donde e l las tengan sent ido en e l campo de los

nmeros reales.

1. Si

f(x)

= K (constan te) en tonces

f(x) =

0

En efecto:

f'(x) - Lim fcihtl .

Li m

k

Um

0 . o

h- o h h - o h h - o h

E j e m p l o 1

Si f(x) = 5 en tonce s f(x) = 0

E j e m p l o 2

S i f

(

x

)

=

y f en to nce s f(x) = 0

2. Si f(x) = x en tonce s f(x) = 1

En efecto:

f'(x) = Lim fi^'h)-M

= Um

W t * - Lim- - 1

a - o h h - o h h - oh

3. La der ivada de una suma de func iones es la suma de sus der ivadas, es

decir ,

95


100/212

En e fec to :

(f

+ g) ' (x) =

f(x) + g (x)

A- 0 /I A- 0 /I

= U m

+

* ( * + * ) - * ( * )

=

A - o

h

Um

+ m

g ^ t m - _

m +

/

W

A - O h A - O h

E j e m p l o

S i f(x) = a + x en tonces f(x) = 0 + 1 = 1.

4. La der ivada de d i fe renc ia de func iones es la d i fe renc ia de sus der ivadas,

es decir ;

(f - g ) ' ( x ) = f ( x ) - g ' ( x )

D e m o s t r a c i n ( E j e r c i c i o )

5 . ( f g ) ' ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )g ' ( x ) .

En efecto:

A - 0

h

A - O

h

Li m

Ax+h)g(x+h) -Ax)g(x)

+

f{x)g(x+h) -AxMx+h)

=

A - 0 /I

96


101/212

Lim AxMx+h)-g(x))

+

g(x+h)(f{x

+

h)-M)

=

A - o h h

Um M*Lim S^h)-g(x)

+ m m

ftx+h)-flx)

A - O A - O A A >O A - O A

Nota

Como un caso par t icu la r .s i

g(x) =

k ,en tonces (k

f)\x) =

k

f ( x )

E j e m p l o 1

S i f(x) = a + bx + 2 en tonces f(x) = 0 + b + 0 = b

E j e m p l o 2

S i f(x) = x

2

e n t o n c e s f(x) = 1. x + x . 1 = 2 x

E j e m p l o 3

Si f(x) = 5 + 4x + 8x

2

en tonces f(x) = 4 + 16x

1 ^

_ . 8\x)

\g(x)]

2

En efecto:

1 1

8(x)

= Lim 8


102/212


103/212

E j e m p l o 1

Hallar

f(x)

si

J{x) =

3+2x

/ / ( t )

_ (3+2x)(3-2x)'-(3-2x)(3+2x)'

=

(3+2x)(-2)-(3-2x)*2

(3 +2x)

2

( 3+2x)

2

=

12

( 3+2x)

2

E j e m p l o 2

Si =

e n t Q n c e s

x

3

- 6 b t

2

+ 2 2

=

( ^

3

- a

y

2

+ 2 2 ) ( 4 x

7

- 2 a

y

3

+

v

/

2

y

)

/

- ( %

7

- 2 a c

3

+ v

/

2

y

) ( ^

3

- 6 c

2

+ 2 2 )

/

( x

3

- 6 ; c

2

+ 2 2 )

2

~ ~

= (x

3

-te

2

+22)(20x

6

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