Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial

SM)

Límites y continuidad2º Bachillerato

1.- Dado un nº real “a” y un nº real positivo , se llama entorno de centro a y radio , al intervalo abierto de extremos a - , a + :

E(a, ) = (a - , a + ) = {xR/a - < x < a + }

2.- 2.1El conjunto A es el dominio de definición.

Dom f = {x/ f(x) es un número real}

2.2. El conjunto de las imágenes de A es el recorrido de la función.

Rec f = {y / y = f(x) con x del conjunto A}

Funciones. Primeras definiciones

Función real de variable real: ejemplo I

R

Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones:• Todo elemento de D ha de tener imagen.• Esta imagen ha de ser única.

La fórmula f(x)=x2 relaciona dos variables reales

R

• 4• 5,29• 25

RecorridoDominio

• 2• 2,3• 5

f(x) = x2

f(2) = 4

f(2,3) = 5,29

f(5) = 25

Función real de variable real: ejemplo II

– 1 1

Variable independiente Ley de asociación Variable dependiente

x f y = f(x) Dominio

D = [–1, 1] f(x) = 1 – x2 Recorrido f([–1, 1]) = [0, 1]

Dominio

Recorrido

x

f(x) • (x, f(x))

Límite de una función en un punto: definición intuitiva

Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además único.

• Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2• Cuando x se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2

x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333

Se escribe x 1lim

x2 – 1x2 – 3x + 2 = – 2

Si a y b son dos números, la expresión ax

f(x)

lim

=b

quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b

Ejemplo: La función f(x) = x2 – 1

x2 – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta

cuando x toma valores cada vez más próximos a 1?

Límite de una función en un punto: definición formal

Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si para todo número real > 0 existe otro número real > 0, tal que si

0 < |x – a | < |f(x) – L | <

Para cada > 0 Hay un > 0 0 < |x – a | < |f(x) – L | <

La condición 0 < | x – a | < prohibe que x tome el valor a. No es necesario que la función esté definida en a.

Límites laterales de una función

Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como la siguiente. Se observa que:

x 3+lim Ent(x) = 3

x 3–lim Ent(x) = 2

Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x3.

3

Se dice que el número b es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la dere-cha (izquierda) , si al tomar valores x estrictamente mayores (menores) próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b. Se designa

x a+lim f (x) = b (

x a–(lim f (x)= b).

Una función se dice que tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites laterales y ambos son iguales.

Teorema de la unicidad del límite

Enunciado: Si una función tiene límite en un punto, es único.

Demostración: La demostración se hace por reducción al absurdoSuponemos que f(x) tiene 2 límites distintos b y c, si x tiende a “a”. Y b > c. limx->af(x)=b => (por def. de límite) E(b, ) 1 x E*(a,1) f(x) E(b, ) limx->af(x)=c => (por def. de límite) E(c, ) 2 x E*(a, 2) f(x) E(c, ) Consideremos un ε tal que E(b, )∩ E(c, ) = Ø. Por ej. c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 y sea δ = min {1 , 2}

Para todo x perteneciente al E*(a, δ ) se cumple f(x) pertenece a E(b, ) f(x) pertenece a E(c, )Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. El absurdo

procede de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.

Propiedades de los límites de funciones

2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p

Propiedades de los límites. Demostración

Enunciado: El límite de una suma es igual a la suma de los límites (si son finitos)

Demostración: Queremos probar que, dado ε > 0, δ > 0 x E(a, δ) f(x)+g(x) E(b+c, ε ). Es decir |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.

Sea ε' = ε/2 f(x)=b => (def. de lím.) ε'>0 δ1>0 x E(a,δ1) |f(x) - b| < ε'. g(x)=c => (def. de lím.) ε'>0 δ2>0 x E(a,δ2) |g(x) - c| < ε'.

Sea δ = min {δ1,δ2}. x E(a,δ) se cumple:|f(x) - b| < ε‘, |g(x) - c|< ε‘ => |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε

|(f(x) + g(x)) - (b+c)|=|(f(x) - b) + (g(x) - c)| |f(x) - b|+|g(x) - c| < ε (*) Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|

=> (por def. de límite) [f(x) + g(x)] = b + c

axlim

axlim

axlim

• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa :

•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa:

Límites infinitos de una función en un punto: definición

x 0+lim

1| x | =

x 0–lim

1| x | =

x 0lim

1| x | =

Ejemplo: observando la gráfica de la

función f(x) = 1

| x | se ve que:

)(lim xfax

)(lim xfax

Límite infinito en un punto: definición formal

Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

x +lim

x + 1x = +

x 1 0,1 0,01 0,01 0+

f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 +

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d es función del K elegido .

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde d debe ser función de K.

De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:x –lim

x + 1x = –

Límites finitos en el infinito: Definición

x 10 102 103 104 +

f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1

Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

Lxfx

)(lim

x +lim

x + 1x = 1

Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota

Lxfx

)(lim

Límites infinitos en el infinito: Definición

x + lim x2 = +

En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = x2?

x 10 102 103 104 +

f(x) = x2 102 104 106 108 +

Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser función de M.

Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite

Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1. Ambos límites no existen.

Cálculo de límites

Límites simples

Algunos límites típicos

x

xlim

1 + ax = ea, para todo a

Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamentepor el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el de a hacia el que tiende.

)()(lim afxfax

sen x

x 0lim x = 1

x

xlim exp = , para todo p

ln x

xlim

xp = 0, para todo p > 0

Cálculo de límites simples: ejemplos

x 0lim

x2 cos x + e2x

ln (x + 1) + x3 + 1 = 0 . 1 + e0

ln 1 + 0 + 1 = 1

x 1lim

3 2x3 – 2x + 1

x3 –x + 1

(x2 – 2x + 1)

=

3 2 . 13–2 . 1 + 1

13 – 1 + 1

(12–2.1+1)

= 10 = 1

x 3lim

–2x2 + 3x3 – 2x + 5 =

–2 . 32 + 333 – 2 . 3 + 5 = –

1516

x 0lim

x2 – 100 + x3 + x – 1

x2 – 1 = –100 + 1 = – 99

Indeterminaciones: tipos

Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando las propiedades de los límites podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedad que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.

Este resultado no depende de las funciones f y g. El límite es

determinado.

Este límite depende de las funciones f y g. El límite es indeterminado.

x alim f(x) = 2

x alim g(x) = 3

Entonces x alim

f(x)g(x) =

23

x alim f(x) = 0

x alim g(x) = 0

No es posible obtener x alim

f(x)g(x) . Para

poder salvar la indeterminación hemosde conocer f y g.

Tipos de

indeterminaciones

L0 / L 0 0

0 0 . – 0 00 1

•En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales•En las del tipo 0/0 Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con raíces y luego se factoriza y simplifica

• Si no hay raíces, se factoriza y simplifica•En las del tipo Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia

•En las del tipo Se transforman, mediante operaciones, en uno de los anteriores•En las del tipo

•Si no hay radicales se hacen operaciones y se transforma en uno de los anteriores•Si hay radicales, se multiplica y se divide por el conjugado y se transforma en uno del tipo

•En las de los tipos Se aplican logaritmos o la expresión correspondiente

Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas Tipos de

indeterminaciones

L0 / L 0 0

0 0 . – 0 00 1

0

10, 00 y

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L 0

En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.

x 2–lim

1x – 2 = –

x 2+lim

1x – 2 = +

x 2lim

1x – 2 no existe

x 2–lim

1(x – 2)2 = +

x 2+lim

1(x – 2)2 = +

x 2lim

1(x – 2)2 = +

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0

Cuando el xalim

P(x)Q(x) es indeterminado

00 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pode-

mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)

x 3lim

–18 + 21x – 8x2 + x3

x2 – 9 =x 3lim

(x – 3)2(x – 2)(x – 3)(x + 3) =

x 3lim

(x – 3)(x – 2)(x + 3) = 06 = 0

Indet 00

x3

2

lim –18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3 9 – 12 x + 4 x2 =

x 32

lim (x – 2)(2x – 3)2(2x – 3)2 =

x32

lim (x – 2) = –12

Indet 00

Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .

= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0

1/x = y

Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente paraobtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo

00 o

Recordando que x lim xpe–x = 0

xlim (x3 + 5x2 + 7x)e–x =

Indet 0 .

Recordando que xx

X

lnlim = 0

x0+lim x . ln x =

x0+lim ln x

1x

= 0ylim

– ln yy =

5 xlim x2e–x +

xlim x3e–x + 7

xlim xe–x =

Indet 0 .

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /

En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.

ln x = y

xlim

–2x3 + 3x – 5–x3 – 2x + 5 =

Indet

xlim

–2 + 3x2 –

5x3

–1 – 2x2 +

5x3

= –2–1 = 2

x lim

ln (ln x)ln x =

y lim

ln yy = 0

Indet

Cuando el xlim

P(x)Q(x) es indeterminado

siendo P(x) y Q(x) polinomios,

podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más alta de x que aparezca en ambos.

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo – En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, la

expresión antes de tomar el límite.

Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi-plicar y dividir por la expresión conjugada.

x lim (x3 – x2) =

Indet – xlim x2(x – 1) = . =

xlim [ x2 + 1 – x2 – 1] =

Indet –

x lim

[ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1][ x2 + 1+ x2 – 1]

=

= x lim

(x2 + 1) – (x2 – 1)[ x2 + 1 + x2 – 1]

=x lim

2x2 + 1 + x2 – 1

= 2 = 0

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00

Indet 0

e0 = 1

ln0lim 1

xx

xe e

Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».

x 0+lim xx =

Indet 0 0x0+lim eln (xx ) =

x0+lim ex ln x =

1

lim xx

x

1

lnlimxx

xe

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1

Indet 1

Indet 1

12x2 + x4 = y

e8

Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión

de ea como límite, combinada con un cambio de variable.

x lim

1 + 1x

2x

= x lim

1+ 1x

x 2

=

x lim

1+ 1x

x 2

= e2

x0lim (1 + 2x2 + x4)

4x2

= x 0lim

1 +

11

2x2 + x4

4x2

=x0lim

1 +

11

2x2 + x4

1

2x2 + x4 (2x2 + x4) 4x2

=

= ylim

1 + 1y

y

x0lim

4(2x2 + x4)x2

= y lim

1 + 1y

y

x0lim (8 + 4x2)

=

Continuidad en un punto: primera aproximación

Estatura medida cada 5 años: hay grandes saltos

entre cada punto y el siguiente.

Estatura medida cada año: el incremento entre cada punto

y el siguiente será menor, como lo es también el incremento de tiempo.

Una función es continua cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente le corresponden pequeñas variaciones de la

variable dependiente.

Continuidad en un punto: definición

Desglosando la definición de límite

Al hacer a + h = x, si h0 entonces xa

Al llamar f(a + h) – f(a) = Dy, si Dx = h0 entonces Dy 0

Una función f(x), definida en x = a, es continuaen dicho punto cuando:

h 0lim [f(a + h) – f(a)] = 0

Una función f(x), definida en x = a, es continua en dicho punto cuando:

x alim f(x) = f(a)

Una función f(x), definida en x = a, es continua en dicho punto cuando:

x 0lim y =0

Una función f(x), definida en x = a, es continua endicho punto cuando:

Existe x alim f(x)

Existe f(a) Los dos valores anteriores son iguales

Continuidad en un punto: definición formal

Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si (real) >0 >0, si:

0 < |x – a | < |f(x) – L | <

Definición formal continuidadUna función f(x), definida en x=a, es continua en dicho punto si (real) >0 >0, si:

|x – a | < |f(x) – f(a) | <

Usando la definición de continuidad Usando la

definición formal de límite

Una función f(x), definida en x = a, es continuaen dicho punto cuando:

x alim f(x) = f(a)

Continuidad en un intervalo: definición

• Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos.

• Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de los puntos del intervalo (a, b), y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda.

Una función f(x) es continua en a por la derecha si y sólo si

x a +lim f (x ) = f(a)

Una función f(x) es continua en a por la izquierda si y sólo si

x a –lim f(x) = f(a)

f(x) = 1 – x2 es continua en [–1, 1], pero no es continua ni

en 1 ni en –1 porque no lo es por la derecha o por la izquierda.

f(x) = 1x no es continua en

[–1, 1], porque no está definida en 0.

f(x) = x 2 si x < 1

2 si x 1 no es

continua en [–1, 1], porque no es continua por la izquierda

en 1.

3

Función discontinua en un puntoCuando una función no cumple la definición de función continua en un

punto se dice que es discontinua.

Estas funciones no son continuas en el punto 1

Esta función no es continua en los puntos 1

y – 1

Función discontinua en 0

4

Discontinuidad evitableUna función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

f(x) = x2 – 1

x – 1 si x 1

3 si x = 1

Por tanto f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.

Estudiamos el comportamiento de f(x) en el punto 1:

Evitando una discontinuidad evitable

El valor que deberíamos dar a una función en un punto (en el que la función presenta discontinuidad evitable) para que dicha función sea continua es el verdadero valor de la función en el punto.

La siguiente función g(x), evita la discontinuidad que presenta f(x) en el punto 1:

• El verdadero valor de f(x) en el punto 1 es 2.

• La función g(x) es continua en el punto 1.

g(x) = x2 – 1

x – 1 si x 1

2 si x = 1 =

(x – 1)( x + 1)

x – 1 si x 1

2 si x = 1 = x + 1

Discontinuidad inevitable

y = sig(x) presenta discontinuidad inevitable en el

punto 0 de salto 2.

y = x + 1

x si x 0

0 si x = 0

y = sig(x)

Esta función presenta discontinuidad inevitable de salto infinito en el punto 0.

• Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable cuando existen los límites laterales en él y son distintos.

• Si f(x) es discontinua en el punto x = a, la diferencia entre los dos límites se llama salto de la función en dicho punto.

• Si alguno de los límites laterales en el punto a son infinito, se dice que el salto es infinito

Funciones acotadas superiormente

• Una función está acotada superiormente cuando existe un número real K' tal que todos los valores que toma la función son menores o iguales que K'.

• El número real K' se llama cota superior.

y = 1y = 2

1, 1.5, 2, p, ... son cotas superiores de la función y = – x2 + 1

y = 3

Función acotada inferiormente

• Una función está acotada inferiormente cuando existe un número real K tal que todos los valores que toma la función son mayores o iguales que K.

• El número real K se llama cota inferior.

y = 0y = – 1

0, –1, –1.5, –p, .... son cotas inferiores de la función y = e– x

y = – 2

Extremo superior. Máximo absoluto

• Se llama extremo superior de una función a la menor de las cotas superiores. • Si ese valor lo alcanza la función, el extremo superior recibe entonces el

nombre de máximo absoluto.

• La menor de las cotas superiores es 1.

• 1 es el extremo superior de esta función.

• Como f(0) = 1, 1 es máximo absoluto de esta función.

• La menor de las cotas superiores es 0.

• 0 es el extremo superior de esta función.

• Como no existe ningún valor de la función tal que f(a) = 0, esta función no tiene máximo absoluto.

y = 1y = 2y = 3

y = 0y = 1y = 2

Extremo inferior. Mínimo absoluto

• Se llama extremo inferior de una función a la mayor de las cotas inferiores. • Si ese valor lo alcanza la función, el extremo inferior recibe entonces el

nombre de mínimo absoluto.

• La menor de las cotas superiores es 3.

• 3 es el extremo superior de esta función.

• Como no existe ningún valor de la función tal que f(a) = 3, esta función no tiene máximo absoluto.

• La mayor de las cotas inferiores es 0.

• 0 es el extremo inferior de esta función.

• Como además f(0) = 0, 0 es el mínimo absoluto de esta función.

y = 3y = 4y = 5

y = 0y = – 1y = – 2

Teorema de acotación

Enunciado: Si una función tiene límite finito en un punto “a”, está acotada en un entorno reducido de “a”

Demostración: (por def. de límite)

>0 existe δ>0 x E*(a, δ) f(x) E( b, ) lo que indica b - ε < f(x) < b + ε

--^-- --^--

h k cota inferior cota superior

Nota: también podemos expresar la tesis como>0 δ>0 y h y k reales positivos x E*(a, δ)

h < |f(x)| < k.

Luego la función f(x) está acotada

bxfax

)(lim

Teorema de Bolzano: Enunciado e interpretación geométrica

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que toma en a y b valores de signo opuesto (es decir f(a) · f(b) < 0), entonces al menos un punto c interior al intervalo en el que f(c) = 0.

c

f(x) continua en [a, b]f(a) < 0f(b) > 0

Entonces c (a, b) f(c) = 0

f(x) continua en [a, b]f(a) > 0f(b) < 0

Entonces c (a, b) f(c) = 0

c

Teorema de Bolzano: Demostración (I)

Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.)

Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2. Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Si no, f será positiva o negativa en (a+b)/2.

Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad.

Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2.

Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que

a a1 a2 ... an y b b1 b2 ... bn.

Es decir,1) Los aI forman una sucesión creciente y los bI forman una sucesión decreciente.

2) Los aI son siempre menores que los bI.

Teorema de Bolzano: Demostración (II)Veamos cuál es el La long. del intervalo [a1,b1] es,(b-a)/2 , la mitad de la long. de [a,b] que es b - a. La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2. Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.

3) De modo que,

1), 2) y 3) son las condiciones que permiten obtener un único número frontera entre ambas sucesiones y que esté en todos los intervalos.

c n an c bn,

Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.

Es decir, para todo δ>0 n1 / para todo n >= n1 c-δ < [an,bn] < c+δ.

)(lim nnnab

02

lim)(lim

nnnnn

abab

Teorema de Bolzano: Demostración (III)

Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, f(x)=f(c).

Vamos a proceder por reducción al absurdoSupongamos que f(c)<0, por teo. de conservación del signo un entorno de c donde f(x) es negativa. Dentro de este entorno, un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.

Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo un entorno de c donde f(x) es positiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser positivo.

Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.

cxlim

Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass

Enunciado e interpretación geométrica

Enunciado: Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en dicho intervalo al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

x1

M

x2

m

Esta función, continua en [a, b], presenta en x1 un máximo absoluto de valor M y en x2 un mínimo absoluto de valor m.

x1

M

x2

m

Esta función, continua en [a, b], presenta en x1 un máximo absoluto de valor M y en x2 un mínimo absoluto de valor m.

Teorema del máximo – mínimo. Teorema de WeierstrassDemostración (I)

Se hace la demostración en dos partesA) La función está acotada en [a,b]. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que f no está

acotada, Si tomamos x0 el punto intermedio del intervalo, la función no estará acotada en [a,x0] o en [x0,b].

Elegimos de los dos aquel en el que no está acotada y reiteramos el

proceso obteniendo así un sucesión de intervalos cerrados encajados y tales que la amplitud tiende a cero. Luego existe un nº real c del intervalo (a,b) que pertenece a todos ellos y por tanto f( c ) no está acotada.

Sin embargo, f es continua en todo el intervalo y c está en él, luego es continua en c y por el teorema de acotación f( c ) está acotada, lo que lleva a una contradicción.

Por tanto la suposición que hemos hecho no es válida y por ello la función f está acotada en todo el intervalo

Teorema del máximo – mínimo. Teorema de WeierstrassDemostración (II)

B) Por el apartado A) existen un éxtremo inferior m y un extremo superior M. Si M es un valor de la función ya estaría demostrado.

En caso contrario M-f(x) es distinto de cero.

Construimos la función que está definida y es continua en [a,b].

Por el apartado A) esta función está acotada, luego existe un nº K tal que

Y esto es cierto para todo x del dominio. Por lo que hemos encontrado una cota menor que el extremo superior lo que indica una contradicción.

Esta procede de suponer que M – f (x) es no nulo luego M = f(x) por lo que M es máximo.

)(1)(

xfMxg

KMxfK

xfMxg 1 )(

)(1)(

Teorema de los valores intermedios o de DarbouxEnunciado e interpretación geométrica

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y K un número real tal que:

f(a)< K <f(b) o f(b)< K <f(a),entonces existe al menos un punto c en el intervalo tal que f(c) =

K.

f(x) continua en [a, b]f(a) < K< f(b) Entonces c (a, b) / f(c) = M

f(x) continua en [a, b]f(b) < K< f(a)Entonces c (a, b) / f(c) = M

c

K

c

K

La demostración se hace comprobando que la función g(x) = f(x) – K cumple el teorema de Bolzano luego g(c) = 0 por lo que f( c) = K