L­mites unilaterales

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Lmites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estn definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un nmero determinado, por lo que el lmite de la funcin cuandoxtiende a dicho nmero, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nmero, no tiene sentido.Ejemplo:

Lmite unilateral por la derecha:Seafuna funcin definida en todos los nmeros del intervalo abierto (a, c). Entonces, el lmite def(x), cuandoxse aproxima aapor la derecha esL, y se escribe

Lmite unilateral por la izquierda:Seafuna funcin definida en todos los nmeros de (d, a). Entonces, el lmite def(x), cuandoxse aproxima aapor la izquierda esL, y se escribe

Lmite bilateral:Teorema de lmite12:

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4, trace la grfica y determine el lmite indicado si existe; si no existe, d la razn:

S o l u c io ne s1.Solucin:

2.Solucin:

3.Solucin:

4.Solucin:

Continuidad de una funcin

Criterios de continuidad de una funcin en un nmero

Se dice que una funcin fescontinuaen el nmeroasi y slo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Una funcin que no es continua en un nmero, se dice que esdiscontinuaen dicho nmero. En la grfica de una funcin que es discontinua en el nmeroase puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente dondex = a. La discontinuidad puede sereliminableoesencial.

Las discontinuidadeseliminablesse denominan tambin discontinuidad de "hueco": en la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f(a)).Las discontinuidadesesencialestambin reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los lmites unilaterales existen pero son diferentes; y, ladiscontinuidad infinitasucede cuando el lmite defcuandoxtiende aaes infinito.

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

Ejercicios resueltos En los ejercicios1a7trace la grfica de la funcin; luego observando dnde hay saltos en la grfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcin es discontinua y muestre cul condicin no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una funcin en nmero". En los ejercicios8a14demuestre que la funcin es discontinua en el nmeroa. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a)de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios15a21, determine los nmeros en los cuales es continua la funcin dada.

S o l u c i o n e s

1.Solucin:

x-402

f(x)-6-20

f(-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusin:fes discontinua en -3.

2.Solucin:x-6-1023569

h(x)-0.5-1-1.25-2.5-552.51

f(4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusn:fes discontinua en 4.

3.Solucin:x-4-3-2-108

y-0.5-1010.50.1

4.Solucin:

x-6-2-10126

y0.0250.1250.20.250.20.1250.025

5.Solucin

Por lo tanto, fes discontinua en 0.

6.Solucin:

Miscelnea1

S o l u c i o n e s

Miscelnea3

S o l u c i o n e s