Límites (una introducción)

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada) Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente...

... pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando?

¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debe de estar"!

Probemos por el otro lado: x (x2-1)/(x-1)

1.5 2.500001.1 2.10000

1.01 2.010001.001 2.00100

1.0001 2.000101.00001 2.00001

... ...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... !

No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias:

3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales:

el límite por la izquierda (-) es 3.8

el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

 

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x1 1.000002 0.500004 0.25000

10 0.10000100 0.01000

1,000 0.0010010,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

 

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Lee más en límites en el infinito.

Resolviendo

Hemos sido un poco vagos, sólo hemos dicho que el límite es un cierto valor porque parece que vamos hacia él.

¡Con eso no basta!

Límites (definición formal)Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

 

Calculando "cerca"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01 Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x2 - 1) / (x-1)

cuando x se acerca a a=1, f(x) se acerca a L=2

Así que

|f(x)-2| es pequeño

cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero "pequeño" es español, no "matemático".

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él

para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelenusar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")

Y tenemos:

"|f(x)-L|< cuando |x-a|< "

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)

se cumple para todos los >0 existe y es >0x no es exactamente igual

que a significa 0<|x-a|

Y así queda:

"para cada >0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De: A:

0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

1. Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar2. Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:(Nota: a=3, y L=10) 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

Empieza con: |(2x+4)-10|<

Simplifica: |2x-6|<

Saca el 2: 2|x-3|<

Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< /2

Aquí podemos adivinar que = /2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.

Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< ? A ver...

Empieza con: 0<|x-3|<

Sustituye : 0<|x-3|< /2

Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<

Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<

Saca un "10" 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo = /2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

"para cada , existe un que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Y así hemos demostrado que

Conclusión

Esta demostración ha sido bastante simple, espero que explique esas palabras tan extrañas "existe un... ", y que hayas aprendido una buena manera de intentar este tipo de demostraciones.

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html