LÍMITES DE FUNCIONES

• Edwin Alberto Salcedo Cristiano.

• Adriana Carolina Bernal Garzón.

• Luz Angélica Ríos Garzón.

DEFINICIÓN DE LÍMITE

La definición de limite es muy compleja para la interpretación en la matemática y especialmente en el área del cálculo, por lo que hay qué hacer una consulta objetiva y subjetiva para poder entender de manera clara y concisa la definición del límite.

LIMITES FINITOS• Un número real l es el límite finito de una función f en un punto y se escribe

si para los valores de la variable x cercanos al punto la función f, que no tiene por qué estar definida en , toma valores f(x) que se van aproximando al valor de l. Es decir, l es el límite de f en si se puede hacer que |f(x)-l| sea "tan pequeño como se quiera" (menor que un dado) sin más que hacer "suficientemente pequeño".

LÍMITES LATERALESSON PUNTOS CERCANOS A LIMITE POR IZQUIERDA:Es el limite para valores de x cercanos al punto pero anteriores a .LIMITE POR DERECHA:Es el limite para valores de x cercanos al punto pero posteriores a .

LÍMITES INFINITOSINFINITO POSITIVO :Es el limite de una función en el punto , que se da a que cada que se acerca a los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera.

LÍMITES INFINITOS

INFINITO NEGATIVO -: Es el limite de una función en el punto , que se da a que cada que se acerca a los valores de la función se hacen tan pequeños como se quiera.

ASÍNTOTAS

ASÍNTOTA VERTICAL

ASÍNTOTA HORIZONTAL

LÍMITES INFINITOS

Una función tiene limite infinito en el punto si los valores absolutos de la función se hacen tan grandes como se quiera.

cuando presenta en un punto un límite infinito, se dirá que la recta de ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

LIMITE EN EL INFINITO

LIMITE EN EL INFINITO POSITIVO :• Se dirá que el es límite de una función en y se escribirá si se puede hacer

que los valores de la función se acerquen a para valores de x suficientemente grandes, es decir:

LIMITE EN EL INFINITOLIMITE EN EL INFINITO NEGATIVO :• Se dirá que el es límite de una función en y se escribirá si se puede hacer que

los valores de la función se acerquen a para valores de x suficientemente pequeños, es decir:

• Cuando presenta en un limite en el infinito, se dirá que la recta de la ecuación es una asíntota horizontal de la grafica de la función.• Las asíntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la función

cuando la variable independiente x se hace muy grande o muy pequeña.

LIMITES INFINITOS EN EL INFINITO

• Se dice que si para cualquier k positivo, se puede encontrar un positivo tal que .

LIMITES INFINITOS EN EL INFINITO

• Se dice que si para cualquier k positivo, se puede encontrar un H positivo tal que .

LIMITES INFINITOS EN EL INFINITO

• Se dice que si para cualquier k positivo, se puede encontrar un H positivo tal que ..

LIMITES INFINITOS EN EL INFINITO

• Se dice que si para cualquier k positivo, se puede encontrar un H positivo tal que .

PROPIEDADES DE LOS LIMITES• Si existe entonces es único.• Si una función tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno de ese

punto. Es decir, si , entonces > 0 tal que está acotada en (x -, x + ).

• Si una función tiene límite distinto de cero en un punto, entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite.• Una función comprendida entre otras dos funciones con el mismo límite, también

tiene ese límite. Es decir, sí son tres funciones tales que y , entonces existe el .

OPERACIONES CON LÍMITES

• Si existe el y existe el , entonces:• - existe el y vale • - existe el y vale • - existe el y vale siempre que • - existe el y vale • - existe el y vale .

INFINITÉSIMOS

• Se dirá que una función f es un Infinitésimo en un punto si . • Un infinitésimo es una función que se aproxima a cero tanto como se quiera,

sin más que aproximar x al punto .

INFINITO

• Se dirá que una función f es un Infinito en un punto si • Un infinito es una función que crece (decrece) tanto como se quiera, sin más

que aproximar x al punto .

PROPIEDADES

• Si f es un infinitésimo en un punto y g está acotada en un entorno de , entonces su producto es un infinitésimo en .• Si f es un infinito en y g está acotada en un entorno de , entonces su suma

es un infinito en .• La función f es un infinito en si y sólo si es un infinitésimo en .

CÁLCULO DE LÍMITES SENCILLOS E INDETERMINACIONES

• Para seguir en el proceso se necesitan de dos limites para operar:

INDETERMINACIÓN

• En este caso a veces tan solo basta con reemplazar ya hacer las operaciones, pero también en otros fundamentalmente cuando hay radicales se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

INDETERMINACIÓN

INDETERMINACIÓN

• Si se trata de funciones racionales, esta indeterminación desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando.

INDETERMINACIÓN

INDETERMINACIÓN