Límite finito en el infinito

Euler - Matemáticas ITema:

13 1Tendencia y continuidad de funciones

Final

Límite finito en el infinito

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-1000 2000 5000 8000 11000 14000

X

Y

Se considera la función f(x) = 5000x / (x + 1000), x 0. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente:

x 102 103 104 105 106 107 108 109

f(x) 454,5454 2500,0000 4545,5455 4950,4959 4995,0050 4999,5001 4999,9500 4999,9950

El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente grande.



-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-1 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

X

Y

Final

Límite infinito en el infinito

Se considera la función f(x) = x2. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente:

x 102 103 104 105 106 107 108 109

f(x) 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente grande.

Dado un número L, por grande que sea, siempre

podemos conseguir que la función se coloque por

encima de la recta horizontal y = L

y = L



FinalAlgunas definiciones de límite de una función en el infinito

El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) - L| < si x > K, donde K debe ser elegido en función de .

x lim f(x) = L

El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número L se tiene f(x) > L si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.

El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) - L| < e si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.

El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si para todo número L se tiene f(x) < L si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.

x -lim f(x) = -

x lim f(x) =

x lim f(x) = L



Final

Aproximación a un punto. Concepto de límiteSe considera la función f(x) = (x2 – 1)/(x – 1). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 es el siguiente:

El límite de una función cuando x tiende a p por la derecha es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores mayores que p.

x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,0000001x – 1x2–1

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,0000001

El comportamiento de la función anterior cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 es el siguiente:

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999x – 1x2–1

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

El límite de una función cuando x tiende a p por la izquierda es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores menores que p.



Final

Definición de límite de una función en un punto

El límite de f(x) cuando x tiende a p por la izquierda es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) – L| < si p – < x < p , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p

x p–lim f(x) = L

El límite de f(x) cuando x tiende a p por la derecha es L si para todo > 0 se tiene |f(x) – L| < si p < x < p + , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p

El límite de f(x) cuando x tiende a p es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) – L| < si |x - p| < , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que una función tiene límite en un punto p si tiene límites por la izquierda y por la derecha en p y ambos coinciden.

x plim f(x) = L

x p+lim f(x) = L



Final

Ejemplos de límites laterales en un punto de una función

1 2 3 4 5 6

Y

X

3

2

1

0

-1

-2

a) x 0

+lim f(x) = 0; f(0) = 2 b)

x 6–

lim f(x) = 2; f(6) = 0

c) x 3

+lim f(x) = 1; f(3) = 1 d)

x 3–

lim f(x) = 2; f(3) = 1



Final

Límite infinito en un puntoSe considera la función A(x) = -3/(x - 3). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 3 por la derecha y por izquierda es :

x 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999–3x–3

6 30 300 3000 30000 300000

x 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001–3x–3

-6 -30 -300 -3000 -30000 -300000

El límite de una función cuando x tiende a p por la (izquierda) derecha es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, pero menor (mayor) que p.

X

Y

x –lim f(x) =

x +lim f(x) = –



Final

Técnicas para el cálculo de límites de funciones

Sean f y g dos funciones tales que x plim f(x) = L y

x plim g(x) = M existen y son finitos:

x plim [f(x)+g(x)] =

x plim f(x) +

x plim g(x) = L + M

x plim [f(x)–g(x)] =

x plim f(x) –

x plim g(x) = L – M

x plim [f(x) . g(x)] = [

x plim f(x) ] . [

x plim g(x) ] = L . M

x plim [cf(x)] = c .

x plim f(x) = c . L, siendo c una constante.

x plim |f(x)| = |L|

x p

lim f(x)g(x) =

x plim f(x)

x plim g(x) =

LM si

x plim g(x) = M 0

x plim [f(x)]b/n = [

x plim f(x) ]

b/n = L b/n si

x plim f(x) = L > 0 y n par y L 0 si b < 0

Estos resultados valen también cuando p es o – , y para límites laterales



Final

Expresiones determinadas e indeterminadas

Cuando se manejan límites cuyo valor es infinito es necesario tener en cuenta que:

L + = L – = – L . = si L > 0 L . = – si L < 0 L / = 0 + = . = L

= si L > 1 L

= 0 si 0 < L < 1

• Los teoremas anteriores nos permiten el cálculo del límite de la operación de dos funciones, aun sin conocerlas: en este caso se dice que el límite es determinado.

• Cuando no podemos determinar el límite de la operación de dos funciones a priori, siendo necesario conocer las funciones para poder calcularlo, decimos que el límite es indeterminado. Entonces no es posible aplicar ninguno de los teoremas anteriores.

Algunos casos de indeterminación: ,

00 , – , 0 . , 1



x lim

3 + 3x –

1x3

2 + 8x3

=

Final

Algunos límites indeterminados

x – lim

x2 – 9x + 3 =

x – lim

(x + 3)(x – 3)x + 3 =

x – lim (x – 3) = - 6

x lim

3x3 + 2x2 – 12x3 + 8 =

x lim

3x3 + 2x2 – 1x3

2x3 + 8x3

= 32

x 3lim

x + 6 – 3x – 3 =

x 3lim

( x + 6 – 3)( x + 6 + 3)(x – 3)( x + 6 + 3)

=

= x 3lim

x – 3(x – 3)( x + 6 + 3)

= 16



Final

Continuidad. Puntos de discontinuidad

Una función f es continua en un punto p de su dominio si se cumple que x plim f(x) = f(p)

Si no existe el límite o es diferente de f(p) se dice que f es discontinua

• (p, f(p))

p

f(p)

p p

Discontinua en p:

x plim f(x) f(p)

Continua en p:

x plim f(x) = f(p)

Discontinua en p:

No existe x plim f(x)

Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I



Final

Asíntotas verticales

La recta x = p es una asíntota vertical de la función f(x) si el límite de la función cuando x tiende a p, por la derecha o por la izquierda, es infinito o menos infinito

La recta x = 1 es asíntota vertical de la función y = x + 1x – 1

x = 1



Final

Comportamiento en torno a la asíntota vertical

x p–lim f(x) = – 1

x p+lim f(x) = –

x p–lim f(x) = +

x p+lim f(x) = –

x p–lim f(x) = +

x p+lim f(x) = 3

p

x p–lim f(x) = –

x p+lim f(x) = +

p

x p–lim f(x) = +

x p+lim f(x) = +

p

x p–lim f(x) = –

x p+lim f(x) = –

p p p



FinalAsíntotas horizontales

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

x – lim

1x = 0

x + lim

1x = 0

x – lim

1x2 = 0

x + lim

1x2 = 0

x – lim

1x3 = 0

x + lim

1x3 = 0

x – lim

1x4 = 0

x + lim

1x4 = 0

f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x si xlim f(x) = c

f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x – si xlim f(x) = c

Las siguientes funciones tienen como asíntota horizontal el eje y (x = 0)



Final

Asíntotas oblicuas

La recta y = ax + b es una asíntota oblicua si: a = x lim

f(x)x 0; b =

x lim ( f(x) – ax)

De igual manera es para x –

f(x) = tiene como asíntota oblicua

y = x + 1 para x y para x –

x2 + x – 1x g(x) = no tiene asíntotas oblicuas

x3 + 2 x



Final

El número e

x 1 10 102 103 104 105

1 + 1x

x2 2,593742460 2,704813829 2,716923932 2,718145927 2,718268237

1 + 1x

xf(x) = tiene una asíntota horizontal

El número e es el límite xlim

1 + 1x

x.

Su valor es:2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762724076630353547594571382178525166427

...

X

Y

y = e



Final

Límites en los que aparece el número e

Se cumple que: f(x)lim

1 + 1

f(x)f(x)

= e

Se tienen entonces los siguientes resultados:

I. xlim

1 + ax

x =

xlim

1 + 1

ax

x/a a = ea siendo a R y no nulo.

II. xlim

1 + -1x

x =

xlim

1 – 1x

x = e–1 =

1e

III. xlim

1 + 1 x

bx=

xlim

1 + 1

xx b

= eb siendo b R cualquiera.

IV. xlim

1 + ax

bx= eab siendo a R y no nulo, b R cualquiera.

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