LÍMITE

1Lmite de

funciones devariable real

Captulo 1

Presentacin

Los temas tratados hasta ahora en el curso de lgebra y Trigonometra de estamisma serie constituyen lo que se conoce como preclculo; es decir, proporcionanlas herramientas bsicas para el clculo, pero no son clculo. Nuestro propsitoahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, yposteriormente mediante la definicin precisa, el concepto ms importante del cl-culo, como es el lmite. Algunos autores definen el clculo como el estudio de loslmites. La nocin de lmite no solamente aparece en los temas siguientes del clculoque se presentan en este curso (continuidad, derivacin e integracin), sino tam-bin en los temas de prximos cursos de clculo (series, funciones de varias varia-bles, integrales mltiples y clculo vectorial). El mapa conceptual que se adjuntatiene la palabra lmite en el centro, y se ve cmo los temas principales del clculoemanan de l.

Contenido breveContenido breveContenido breveContenido breveContenido breve

Mdulo 1Nocin intuitiva del lmite

Mdulo 2Definicin de Cauchy (rigurosa) dellmite de una funcin

Mdulo 3Escogencia del delta () dado elpsilon ()Mdulo 4Teoremas sobre lmites

Mdulo 5Lmites laterales

EjerciciosCaptulo 1, mdulos 1 al 5

La velocidad en cada libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por 1 - .v

k e

kt4

64 pies= 1seg

El =64pieslim

segtv

k se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posicin de guila extendida; k

= 1: posicin plegada) y es la que debe controlar el paracaidista al llegar al suelo.

21Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

Introduccin

Entre todos los conceptos del clculo infinitesimal, el de lmite es sin duda el msimportante y quizs tambin el ms difcil. Por esta razn iniciamos su estudio deuna manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra lmite sino la nocinde funcin que tiende hacia un lmite.

Objetivos del mdulo

1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del clculo y hacer verla necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus reas.

2. Establecer de una manera intuitiva el concepto ms importante del clculo: el l-mite de una funcin.

Preguntas bsicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, entonces

( )limx a

f x no existe?

2. Considere la funcin ( ) 2 2 .2x xf x

x =

a. Existe f (2)? b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1,

2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del lmite 2lim ( ).x f x

Contenidos del mdulo

1.1 Nocin intuitiva del lmite

1Nocin intuitiva del lmite

Maria Gaetana Agnesi

Maria Agnesi naci en Miln el 16 de mayo de 1718 y murien esa misma ciudad el 9 de enero de 1799.

Una cada con altura

Para ver los enlaces relacionados con este tema,visite la seccin Sitios de Inters del cursoElementos Bsicos de Clculo Diferencial en laplataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/

22 U de @ - Educacin no presencial

1.1 Nocin intuitiva del lmite

Nuestro propsito ahora es acercarnos intuitivamente a la definicin rigurosa dellmite de una funcin.

Considrese la funcin definida por 22 1( ) , con 1

1x xy f x x

x = = . El nico va-

lor para el cual f (x) no est definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 comose quiera la funcin se encuentra definida. Esta situacin da lugar a la siguientepregunta: se aproxima f (x) a algn valor especfico, cuando x se aproxima a 1?

En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda(valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1).

Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha

La observacin atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formuladaantes. Ntese que a medida que los valores de x se acercan a 1, sin tomar el valorde 1, los valores de f (x) se acercan a 3. Dndole a la palabra lmite un significadointuitivo, se dice que:

El lmite de la funcin f (x) es 3 cuando x tiende a 1.

La afirmacin anterior frecuentemente se expresa simblicamente por cualquiera delas formas

( ) 3f x cuando 1x (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O tambin,

1lim ( ) 3x

f x = (se lee: el lmite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3).

De una manera ms general, pero conservando el significado intuitivo de la palabralmite, se dice que:

lim ( )x a

f x L = , si se puede hacer que f (x) est tan cerca de L como se quiera,haciendo que x est suficientemente cerca de a, pero siendo distinta de a.

Volviendo al ejemplo inicial, supngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valorabsoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

Vea el mdulo 1 del programa detelevisin Elementos Bsicos de ClculoDiferencial.

Acercarse a 1 por la izquierda

52x 0

f (x)0.3 0.75 0.90.5 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1 1.00011.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.71.6 2.5 2.82 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.41

Acercarse a 1 por la derecha* *

****

joernhinkelRechteck

joernhinkelRechteck

joernhinkelRechteck

joernhinkelRechteck


( ) 3 1.f x < (1)

Pregunta

Cmo elegir los valores de x para que se cumpla (1)?

En primer lugar, ntese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equi-valentes:

( ) 3 1 1 ( ) 3 1,2 ( ) 4.

f x f xf x

< < < < < (2)

En la tabla 1 se sealaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, ntese que se pueden elegir losvalores de x de tal modo que

0.5 1.5, 1,x x< < (3)

o equivalentemente,

0.5 1.5, 1x x< < 0.5 1 1 1.5 1, 1,x x < < 0.5 1 0.5, 1,x x < <

1 0.5, 1,x x < 0 1 0.5.x < < (4)

El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2)basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es,

si 0 1 0.5,x< < entonces ( ) 3 1.f x < (5)

Supngase ahora que se quiere que ( ) 3 0.01.f x < (6)

La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: cmo elegir los valores de xpara que se cumpla (6)?

Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en laforma equivalente

( ) 3 0.01 2.99 ( ) 3.01.f x f x < < < (7)

En la tabla se sealaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cualesf (x) = 2.99 y f (x) = 3.01.

Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de talmanera que:

0.995 1.005, 1x x< < 0.995 1 1 1.005 1, 1,x x < <

Mdulo 1: Nocin intuitiva del lmite

Maria Gaetana Agnesi

Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue lamayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos).En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, queabordaba los problemas de filosofa natural quehabitualmente se discutan en los salones. Despus escribiel libro Instituciones analticas al uso de la juventud italiana,en el que explicaba una parte novedosa de las matemticas:el clculo analtico. El libro tuvo muy buena crtica. Se dedicen profundidad al estudio del lgebra y la geometra ynueve aos ms tarde aparecieron publicadas las Instituzionianalitiche, sin duda la obra ms importante de toda sucarrera como matemtica. Fue editado en varios idiomasy se utiliz como manual universitario en las universidadesde distintos pases, siendo an cincuenta aos ms tarde eltexto matemtico ms completo. Se encarg en Italia delos cursos de su padre, convirtindose as en la primeramujer de la historia que haba dado clase de matemticasen una institucin de este nivel.

El primer texto que incluy el clculo diferencial e integral,junto a la geometra analtica, las series infinitas y lasecuaciones diferenciales, fue escrito en la dcada de 1740por la matemtica italiana Maria Gaetana Agnesi.


0.005 1 0.005, 1,x x < < 0 1 0.005.x < < (8)

Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficienteque se cumpla la desigualdad (8). Esto es,

si 0 1 0.005,x< < entonces ( ) 3 0.01.f x < (9)

De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podra preguntar cmo elegir

los valores de x de tal forma que la diferencia ( ) 3f x sea menor que cualquiernmero positivo, tan pequeo como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega (psilon) para denotar tales nmeros positivos.La pregunta entonces formulada de manera general sera la siguiente: para cules

valores de x, 1x , se cumple que ( ) 3f x < ?

Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verifi-

car que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia 1x seamenor que cierto nmero positivo, corrientemente denotado por la letra griega (delta).

Resumiendo:

Si 0 1 ,x < < entonces ( ) 3 .f x <

La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeos dados de es innumerable y no se demostrara nada con respecto a la existencia del lmite def (x). Slo servira para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3cuando x tiende a 1. nicamente cuando se logre demostrar que para cualquiernmero positivo dado, existe al menos otro nmero positivo tal que si0 1 ,x < < entonces ( ) 3 ,f x < se le dar a nuestra intuicin una formula-cin exenta de ambigedades.

Observacin

Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la nocin intuitiva dellmite de una funcin. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientar-nos, as como tambin nuestra propia intuicin.

As por ejemplo, si deseamos calcular 2

0

coslim10.000x

xx , y usamos la calculadora,

se puede construir la tabla 2 que aparece a continuacin:


Escuche el audio Historia del clculo en lasculturas antiguas en su multimedia deElementos Bsicos de Clculo Diferencial.


Tabla 2. Valores de la funcin, cuando x se aproxima a 0

Mdulo 1: Nocin intuitiva del lmite

2 cos10.000

xx x

0.1

0.01

0.5 1

0

0.99995

0.249910.00990

0.000000005

?

Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuicin nos llevar a concluir que

2

0

coslim 0.10.000x

xx

=

Pero dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la funcin coseno toma elvalor 1. As que:

2 2

0

cos 1lim 0 0.0001.10.000 10.000x

xx = =


Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmitede una funcin

2

Introduccin

En este mdulo se precisan matemticamente las ideas expuestas en forma intuitivaen el mdulo 1. Es conveniente tener en cuenta que en un primer curso de clculono es muy importante familiarizarse con la definicin rigurosa ya que a la mismamatemtica le cost ms de 100 aos precisarla como se conoce actualmente. Sinembargo, el trabajo intuitivo del mdulo anterior nos permitir, al menos, entendersu contenido.

Objetivos del mdulo

1. Establecer la definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin y su sig-nificado geomtrico en el plano cartesiano.

Preguntas bsicas

Diga si los dos enunciados siguientes son verdaderos o falsos:

1. ( )0 3 2 1.5x x< < ?2. 1 5 y 2 0 2 3x x x < < < < ?

Contenidos del mdulo

2.1 Definicin de lmite

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy naci el 21 de agosto 1789 en Pars y muriel 24 de mayo de 1857 cerca de esa misma ciudad, en Sceaux.

Escuche el audio Newton, el clculo, la luna y lasmanzanas en su multimedia de ElementosBsicos de Clculo Diferencial.


2.1 Definicin de lmite

Sea a un punto de un intervalo abierto I, y sea f (x) una funcin definida en I exceptoposiblemente en el punto a. El lmite de f(x) cuando x tiende al punto a es un real L

y se escribe lim ( )x a f x L = , si y solamente si para cada 0 > existe un 0 > talque para todo ,x I ( )f x L


2. El lmite de una funcin no depende del valor de la funcin en el punto, aun-que algunas veces coincide, sino del valor de la funcin en las cercanasdel punto.

As por ejemplo, considrese la funcin f definida por:

22 1 si 1( ) 1 5 si 1

x x xf x xx

= =

Vimos intuitivamente en la seccin 1.1 que 1lim ( ) 3x f x = ; sin embargo, f (1) = 5.

Ntese que ( )( )

( )2 2 1 12 1( ) 2 1si 1.

1 1x xx xf x x x

x x+ = = = +

De esta forma la funcin f (x), despus de simplificarla, se puede escribir as:

2 1 si 1( )

5 si 1x x

f xx

+ = =

Su grfica aparece en la figura 2.2. Ntese que los valores de f (x) estn cerca de 3,cuando los valores de x estn prximos a 1.

Figura 2.2

3. La definicin de lmite no establece la manera de determinar el para un dado. En las demostraciones sobre lmites el procedimiento est orientado adejar en claro cmo se puede determinar dicho . Algunas veces, como en losdos ejemplos de la seccin siguiente, se puede establecer una relacin entre y que satisface la definicin y esto es suficiente para dar por terminadala demostracin.

Mdulo 2: Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin

.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy no slo fue uno de los impulsores delanlisis en el siglo XIX, sino que tambin investig laconvergencia y la divergencia de las series infinitas,ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad yfsica matemtica. En 1814 public la memoria de laintegral definida que lleg a ser la base de la teora de lasfunciones complejas. Cauchy precis los conceptos defuncin, de lmite y de continuidad en la forma casi actual,tomando el concepto de lmite como punto de partida delanlisis y eliminando de la idea de funcin toda referenciaa una expresin formal, algebraica o no, para fundarla sobrela nocin de correspondencia. Los conceptos aritmticosotorgan ahora rigor a los fundamentos del anlisis, hastaentonces apoyados en una intuicin geomtrica que quedareliminada, en especial cuando ms tarde sufre un rudo golpeal demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas,es decir, curvas sin tangentes.

Numerosos trminos matemticos llevan su nombre:el teorema integral de Cauchy, la teora de las funcionescomplejas, las secuencias de Cauchy y las ecuacionesde Cauchy-Riemann. Cauchy produjo 789 escritos, perofue desaprobado por la mayora de sus colegas. Mostruna obstinada rectitud a s mismo y un agresivo fanatismoreligioso.


Introduccin

En este mdulo se incluyen dos ejemplos que le ensean al estudiante a encontrarel apropiado con el dado. No se pretende con ellos dar un esquema general dedemostracin, sino, ms bien, ilustrar el mtodo directo de demostracin.

Objetivos del mdulo

1. Ilustrar la definicin rigurosa de lmite por medio de ejemplos, en los cualesdado el , se pide encontrar el correspondiente en concordancia con ladefinicin.

Preguntas bsicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso (antes de responder, conside-re algunas propiedades del valor absoluto):

Si 2 1, y 2 5 <


3.1 Ejemplo 1

Usando la definicin del lmite de una funcin, demuestre que2

1

2 1lim 3.1x

x xx =

Solucin/Anlisis preliminar

Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0 > tal que

si 0 1 ,x < < entonces 22 1 3 .

1x x

x tal que:

0 1x < < 1 1,x x <

1 1,2

x x <

2 2 1,x x


El significado de la dependencia entre el y el es la siguiente: si una persona Arodea al valor y = 3 con una banda de ancho , entonces B rodea el valor x = 1 conuna banda de ancho = /2.

En particular, si en este ejemplo A escoge un = 0.01, entonces B responder conun = 0.005. Si A propone = 0.0002, B escoger = 0.0001 (cualquier valor menortambin cumple).

La grfica de la funcin 22 1( )

1x xy f x

x = = es la misma que corresponde a la

recta de ecuacin 2 1, con 1.y x x= +

En la figura 3.1 aparece la grfica de la funcin dada. Ntese que si el ancho de labanda alrededor del punto y = 3 es , entonces el ancho de la banda alrededor delpunto x = 1 es = /2.

Figura 3.1

3.2 Ejemplo 2

Usando la definicin del lmite de una funcin, demuestre que

2

2lim ( 4 7) 5.x

x x =

Solucin/Anlisis preliminar

Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0 > tal que si0 ( 2)x < < , entonces 2( 4 7) 5 .x x < (1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). Esto es,

2( 4 7) 5x x < 2 4 12 ( 6)( 2) ,x x x x = + < 6 2 .x x + < (2)

Mdulo 3: Escogencia del delta ( ) dado el psilon ( )


Para poder establecer una relacin entre el de (1) y el de (2) debemos acotar elfactor 6x .

Para ello, podemos asumir inicialmente que 2 1x+ < .

As que 6 ( 2) 8 2 8 1 8.x x x = + + + < +

Esto es, 6 9 2 6 2 9 .x x x x < + < + 0, existe mnimo 1, 9 tal que:

0 2 2 1 2 ,9

x x x < + < + < +

As que:

e. ( )3 3

lim ( ) lim 1 4,x x

f x x = + = (3)

( )23 3

lim ( ) lim 4 5.x x

f x x+ + = = (4)

En general, denotamos por x a+ para expresar que x se aproxima al valor a porla derecha. Esto es, por valores de x > a. Y denotamos por x a para expresarque x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es, por valores de x, x < a.

Lo anterior nos permite dar una definicin informal de los lmites laterales.

Sonia (o Sofa) Kowalewski

A los 15 aos de edad, Sonia Kowaleski comenz el estudiode la matemtica y luego se matricul en la Universidad deHeidelberg. De extraordinario talento, no slo fue la mujermatemtica ms conocida de los tiempos modernos, sinoque tambin consigui una reputacin como directora delmovimiento para la emancipacin de las mujeres,particularmente por lo que se refiere a su supuestaincapacidad en el campo de la educacin superior. Ademsfue una brillante escritora. Despus de haber compuestosu trabajo matemtico ms importante (La memoriapremiada), se dedic a la literatura como un descanso yescribi los recuerdos de su infancia en Rusia en forma denovela, que fue publicada primero en sueco y en dans.Esta obra dio lugar al siguiente comentario: La crticaliteraria de Rusia y de los pases escandinavos fue unnimeal declarar que Sonja Kowalewski estaba a igual altura, enestilo y pensamiento, que los mejores escritores de laliteratura rusa.


5.2 Definiciones intuitivas de los lmites laterales

5.2.1 Lmite por la derecha

Decir que lim ( )x a f x L+ = significa que cuando x est cerca, pero a la derecha de a,entonces f (x) est cerca de L.

5.2.2 Lmite por la izquierda

Decir que lim ( )x a f x L = significa que cuando x est cerca, pero a la izquierda de a,entonces f (x) est cerca de L.

Observacin

Decir que x a es diferente a decir que .x a

El siguiente teorema, cuya demostracin se deja para el lector, establece la relacinque existe entre el lmite de una funcin en un punto y los lmites laterales.

5.3 Teorema: relacin entre lmite y lmites laterales

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x ax a

f x L f x L f x L+ = = =

Observaciones

1. Otra forma equivalente de enunciar el teorema 5.3 es la siguiente: lim ( )x a f x noexiste si y slo si no existe alguno de los lmites laterales, o, si existen, sondiferentes.

2. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no dellmite de una funcin; en particular, para la funcin inicial de estudio en estemdulo se deduce de (1) y (2) que:

1lim ( )x

f x existe y 1lim ( ) 2,x f x = puesto que 1 1lim ( ) lim ( ) 2x xf x f x+ = = .

De igual forma, de (3) y (4) se deduce que:

3lim ( )x

f x no existe, ya que 3 3lim ( ) 5 lim ( ) 4.x xf x f x+ = =



Ejercicios resueltos

1. Usando la definicin rigurosa de lmite de una funcin, pruebe que ( )5

lim 9 3 6.x

x =

Solucin

Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un 0 > tal que

0 5 (9 3 ) ( 6) .x x< < < (1)

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(9 3 ) ( 6)x < 9 3 6 ,x +


Figura 1

2. Considere la funcin definida por ( ) nf x x= con n` . Evale el siguiente lmite: 0(2 ) (2)lim .

h

f h fh

+

Solucin

0 0

(2 ) (2) (2 ) 2lim lim .n n

h h

f h f hh h

+ + = (1)

Si evaluamos directamente el ltimo lmite se tendra (2 0) 2 0

0 0

n n+ = (indeterminado).

Se puede eliminar la indeterminacin factorizando el numerador de la fraccin (1), as:

0

(2 ) 2limn n

h

hh

+ [ ] 1 2 3 2 10

(2 ) 2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2lim ,

n n n n

h

h h h hh

+ + + + + + + + =

1 2 3 2 1

0

(2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2lim ,

n n n n

h

h h h hh

+ + + + + + + =1 2 3 2 1lim (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2 ,n n n n

hn-trminos

h h h = + + + + + + +

1 1 1 12 2 2 .... 2 ,n n n n

n-trminos

= + + + +

12 .nn =



3. Evale el siguiente lmite: 44lim .2x

xx

Solucin

Si se aplica directamente el lmite de un cociente, se llega a la forma indeterminada 00 . Se puede eliminar la indeter-

minacin racionalizando el denominador y simplificando, as:

44lim2x

xx 4

( 4)( 2)lim ,( 2)( 2)x

x xx x += +

2 24

( 4)( 2)lim ,( ) 2x

x xx

+=

4

( 4)( 2)lim ,4x

x xx

+=

4lim( 2) 4 2 4.x

x

= + = + =

4. Evale el siguiente lmite: 4

2 1 3lim .2 2x

xx

+

Solucin

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada 0.0 Para tratar de eliminar la indeterminacin, se mul-

tiplican el numerador y el denominador de la fraccin por la expresin conjugada del denominador, as:

4

2 1 3lim2 2x

xx

+ 4

( 2 1 3)( 2 2)lim ,( 2 2)( 2 2)x

x xx x

+ += +

4

( 2 1 3)( 2 2)lim ,( 2) 2x

x xx

+ +=

4

( 2 1 3)( 2 2)lim .4x

x xx

+ +=

Al sustituir nuevamente x por 4, en la ltima expresin, contina la indeterminacin 00 . Para eliminarla, se multiplican

el numerador y el denominador de la ltima fraccin por ( 2 1 3),x + + que es el conjugado de ( 2 1 3)x + y queest produciendo nuevamente la indeterminacin. Por tanto,

Ejercicios de los mdulos 1 al 5


4

2 1 3lim2 2x

xx

+ 4

( 2 1 3)( 2 2)( 2 1 3)lim ,( 4)( 2 1 3)x

x x xx x

+ + + += + +

4

(2 1 9)( 2 2)lim ,( 4)( 2 1 3)xx x

x x+ += + +

4

2( 4)( 2 2)lim ,( 4)( 2 1 3)xx xx x += + +

4

2( 2 2) 4 2 2 2lim .6 3( 2 1 3)x

xx += = =+ +

5. a. Use el teorema del snduche para demostrar que si t est expresado en radianes, entonces 0

senlim 1t

tt

= .

b. Demuestre que 0

1 coslim 0.t

tt

=

Solucin

a. Considere el crculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 2 y en el cual se han trazado elsector circular OAP, el tringulo OAP y el tringulo rectngulo OAQ.

La ecuacin de la recta que pasa por O y P viene dada por sencos

ty xt

= .En particular, cuando x = 1, se obtiene el punto Q sobre la recta y cuyas coordenadas aparecen en la figura 2.

Figura 2



Consideremos inicialmente 0 / 2.t < <


Ahora, si 0, 0 ,2 2

t t < < < < es decir ( )t verifica la desigualdad (8). Esto es,

2 21 sen ( ) 1 sen1 ( ) 1 1 1.2 2

t tt tt t < < <


c.0

sen 5 sen 3lim .x

x xx

d.0

sen senlim .x

x ax a

Solucin

a. Antes de evaluar el lmite, el cociente sensen

xx

puede transformarse as:

sen sen 1 sen 1 .sensen sen

x x xxxx x x xx

x x

= =

De esta forma,

0 0

sen sen 1lim lim ,sen senx x

x xx x x

x

=

0sen 1lim (lgebra de lmites).

senxx

x xx

=

Ahora, decir que 0 0 y 0.x x x Por tanto,

0 0

sen senlim lim 1.x x

x xx x

= =

Tambin,

0 0

sen senlim lim 1.x x

x xx x

= =

Por tanto,

0

sen 1lim 1 .sen 1x

xx= =

b. El lmite es indeterminado 00 . Pero,

tan 2 sen 2 2sen cos 2cos .sen cos 2 sen cos 2 sen cos 2

x x x x xx x x x x x= = =

Ejercicios de los mdulos 1 al 5


Por tanto,

0 0

tan 2 2cos 2cos0 2 1lim lim 2.sen cos 2 cos0 1x x

x xx x

= = = =

c. Antes de evaluar el lmite, se simplifica la fraccin

sen5 sen3 .x xx

Esto es,

sen 5 sen 3x xx sen(3 2 ) sen 3 ,x x x

x+ =

sen 3 cos 2 sen 2 cos3 sen 3 (factorizando),x x x x x

x + =

sen 2 cos3 sen 3 (1 cos 2 ) ,x x x x

x x =

sen 2 1 cos22 cos3 2sen3 .

2 2x xx x

x x =

As que:

0 0

sen 5 sen 3 sen 2 1 cos 2lim lim 2 cos3 2sen 3 .2 2x x

x x x xx xx x x =

Pero,

0 0 0 0

sen 2 1 cos 2lim 1, lim cos3 1, lim sen 3 0, y lim 0.2 2x x x x

x xx xx x

= = = =

Por tanto,

0

sen 5 sen 3lim 2 1 1 2 0 0 2.x

x xx = =

El objetivo del procedimiento anterior es usar los dos lmites fundamentales del ejercicio 5. Un procedimientoms sencillo se da al reemplazar (sen 5x sen 3x) por (2 sen x cos 4x).

d. Ntese que al sustituir directamente x por a resulta la indeterminacin 00 . Para eliminar la indeterminacin,

se hace un cambio de variable y luego se simplifica la fraccin resultante. Esto es, sea y = x a (x a y 0).



Tambin,

sen sen sen( ) sen ,x a y a ax a y + =

sen cos sen cos sen ,y a a y ay

+ =

sen cos sen (1 cos ) (factorizando),y a a yy

=

sen cos sen (1 cos ) ,y a a yy y =

sen 1 coscos sen .y ya ay y

=

Por tanto,

sen senlimx a

x ax a 0

sen 1 coslim cos sen ,y

y ya ay y

= (cos ) 1 (sen ) 0 cos .a a a= =

7. Encuentre el valor del siguiente lmite o establezca que no existe: 1

1lim , 1.

1xx

xx

Solucin

De acuerdo con la definicin del valor absoluto, se tiene que

( ) ( )1 si 1 0 1 si 1

1 11 si 1 0 1 si 1

x x x xx x

x x x x = = <

( )( )

1 11, si 1.

1 1x x

xx x = =


1 1 si 1( )

1 si 11x x

f xxx

>= =


y adems

2 2lim ( ) lim ( ).

x xf x f x+ =

Pero

2 2lim ( ) lim ( ) 2 ,

x xf x ax b a b+ + = + = + (1)

2

2 2lim ( ) lim ( ) 4.

x xf x x = = (2)

De (1) y de (2) se sigue que 2 4.a b + = (3)

Igualmente,

2 2 2lim ( ) existe lim ( ) y lim ( ) existen, y ademsx x x

f x f x f x+

2 2lim ( ) lim ( ),x x

f x f x+ = (4)

Pero

2 2lim ( ) lim (2 5) 1,x x

f x x+ + = =

2 2lim ( ) lim ( ) 2 .x x

f x ax b a b = + = + (5)

De (4) y (5) se sigue que 2 1.a b+ = (6)

Resolviendo simultneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene que

5 3y .4 2

a b= =

Con estos valores obtenidos, la funcin f se transforma en:

2 si 25 3( ) si 2 24 22 5 si 2

x x

f x x x

x x

= + <


Figura 5

Ejercicios propuestos

1. Use la definicin ( ) del lmite de una funcin para probar que:

a. 4lim(3 7) 5.x x = b. 2

2

2 3 2lim 5.2x

x xx = c. lim( ) .x a mx b ma b + = +

d. lim , 0.x c

x c c

= > e. 23

lim( 5) 7.x

x x + = f. 1 1lim , 0.

x cc

x c=

2. Evale los siguientes lmites:

a. 2

3

4 36lim .3x

xx b. 1

3 10lim .1x

xx

c.

3

41

3 2lim .4 3x

x xx x + +

d. 43

lim (2 3 ).x

x x e. 4 5

1lim .

1xx x

x f.

2

22

5 6lim .12 20x

x xx x

+ +

g. 3

3

27lim .3x

xx+ h.

3 3

0

( )lim .h

x h xh

+ i.

4

2 1 3lim .2 2x

xx

+

j. 3 2

22

2 7lim .7x

x xx ++ k. 0

1 1 1lim .2 2x x x

+ l. 01 1lim .

x

xx+

m. 2

331

2 1lim .1x

x xx + n.

( )3 20

1 1lim .h

hh

+ o.

3

1

1lim .1x

xx



p. 222lim .

4xxx q. lim .

n n

x y

x yx y r.

2 2

2 20lim .x

x p p

x q q+ +

3. Encuentre el valor de cada uno de los siguientes lmites o establezca que no existen:

a. 1

1lim .

1xxx b. 1

1lim .

1xxx

c. 2

1

1 1lim .

1xx x

x

d. 11 1lim .

1 1x x x

4. Bosqueje la grfica de las siguientes funciones y encuentre luego los lmites dados o establezca que no existen.

a. ( )2

2

si 0si 0 1

1 si 1

x xf x x x

x x

= <

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