FISICA – UNIDAD II - P.S.U. – MECANICA

LEYES DE KEPLER – LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

Movimiento Retrógrado de los Planetas: Se define retrógrado o también horario (porque se realiza en el sentido de marcha de las agujas del reloj) al movimiento de algunos cuerpos celestes a lo largo de su órbita alrededor del Sol o de un planeta; o bien el movimiento de algunos cuerpos celestes alrededor de su propio eje de rotación. En el sistema solar el sentido de marcha vigente es el directo o antihorario. El planeta Venus o Urano gira alrededor de su propio eje en sentido retrógrado; muchos cometas, como el Halley, giran alrededor del Sol en sentido retrógrado, etc. Leyes de Kepler Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler (1571- 1630) para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Kepler concluyó que las órbitas circunferenciales planteadas por Copérnico no se ajustaban a la realidad. Él propuso que las órbitas planetarias eran elípticas. Este descubrimiento derribó la creencia en donde la circularidad y perfección era atribuida al movimiento de los astros. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue:

Primera Ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.

La distancia de la Tierra al Sol en el punto más próximo (perihelio) es de 147 100 000 km. La distancia de la Tierra al Sol en el punto más alejado (afelio) es de 152 100 000 km.

Segunda Ley (1609): El radio vector que une el planeta y el Sol, barre áreas (A) iguales en tiempos (t) iguales. La ley de las áreas es equivalente a la conservación del momento angular.

Tercera Ley (1618): Analizando en profundidad los datos dejados por Tycho Brahe, Kepler pudo proponer de forma empírica su tercera ley.

Liceo Santa Marta Física – 4° Medio

Profesor: Juan Carlos Ponce Pérez juancarlos.ponce@gmail.com

Kepler observó que la rapidez del movimiento de cada planeta variaba en el transcurso de la órbita. Es así como los planetas se mueven más lentamente a medida que están más lejos del Sol (Afelio), y más rápido cuando se encuentran más cerca de él (Perihelio). La segunda ley señala que: El radio vector que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo del radio medio (o semieje mayor) con el Sol.

k = 3.10-19 s2/m3 (S.Solar)

a = radio medio

; K, para un planeta

Elipse: Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

6. Semi Distancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. 7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. 8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud

es b y cumple b = a2 – c2 9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radios vectores que son los segmentos que

unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x, y) se cumple que d (P, F) = a -e·x y d (P, F') = a+e·x

Ley de Gravitación Universal de Newton La ley formulada por Newton y que recibe el nombre de ley de la gravitación universal, afirma que la fuerza de atracción que experimentan entre sí dos cuerpos en el universo, dotados de masa es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La ley incluye una constante de proporcionalidad (G) que recibe el nombre de constante

de gravitación universal y cuyo valor, determinado mediante experimentos muy precisos, es de: 6,670x10-11 Nm²/kg². En lenguaje matemático, esto se expresa como:

La ley de gravitación universal de Newton tuvo enormes implicancias, ya que a partir de ella fue posible aclarar una diversidad de fenómenos. Por ejemplo, Newton explicó las mareas relacionándolas con la fuerza de atracción gravitacional que ejercen la Luna y el Sol sobre los océanos terrestres. Esto se muestra mediante el siguiente esquema:

Movimientos de la Tierra

a) Movimiento de rotación: La Tierra da vueltas sobre sí misma alrededor de un eje de rotación imaginario que pasa por los polos. La rotación terrestre es de oeste a este y tarda 24 horas -el llamado día sideral- en dar una vuelta completa. Este movimiento de rotación es el responsable de la repetición regular del día y la noche.

b) Movimiento de traslación: En este movimiento la Tierra sigue un recorrido (órbita) en forma de elipse, casi circular. Cerca del centro de la elipse se encuentra el Sol. Al plano que contiene las órbitas de los planetas se le llama eclíptica. Dar una vuelta completa alrededor del Sol le toma a la Tierra 365,2422 días.

EJERCICIOS

Ejemplo 1: La Tierra orbita alrededor del Sol con un periodo de 365,25 días. Calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol.

Datos: La constante de Kepler para el Sistema Solar vale: k = 3 x 10-19 (s2/m3) Solución: Partimos de la tercera ley de Kepler: T2 = k r3 y despejamos la incógnita (r):

NOTA: La distancia media entre el Sol y la Tierra es de unos 150 millones de km (149 597 870 km) y es usada en astronomía como unidad para medir distancias. Se le da el nombre de unidad astronómica (ua).

1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.

2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.

3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une los focos.

4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.

5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.

r3 = T2 ; K

Ejemplo 2: Marte se encuentra situado a una distancia media del Sol de 1,52 ua. ¿Cuál es el periodo orbital de Marte alrededor del Sol?

Datos: 1 ua = 150 x106 km; k = 3 x 10-19 (s2/m3)

NOTA: El periodo orbital para Marte ("año marciano") es de 686,98 días.

Ejemplo 3:

De acuerdo con la expression de la Ley de gravitacion universal, dos masas de 100 y 1000 kg, situadas a 20 m de distancia se atraerán con una fuerza de:

Ejemplo 4:

De acuerdo con la expression de la Ley de gravitacion universal, la fuerza con que la Tierra (6,0 x 1024 kg) atrae a un cuerpo de 50 kg situado en su superficie (distancia al centro de la Tierra 6,4 x106 m) valdrá:

Ejemplo 5: Ío es una de las sesenta y tres lunas de Júpiter (la más próxima al planeta) y tiene un periodo orbital de 1 día 18 h y 28 min. ¿Cuál es la distancia media entre Ío y Júpiter? Datos: Masa de Júpiter: 1,90x1027 kg

Solución: Expresamos el periodo orbital en segundos: 1 día 18 h y 28 min = 152.880 (s) Partimos de la tercera ley de Kepler: T2 = k r3 y despejamos la incógnita (r):

Hay que tener en cuenta que el astro central alrededor del cual orbita Ío es Júpiter, no el Sol. Por tanto deberemos determinar el valor de k para este caso sustituyendo la masa de Júpiter en la expresión que nos da la constante de Kepler.

Ejemplo 6:

Calcular la fuerza de Gravitación Universal entre la Tierra y la Luna. Considera que la distancia desde el centro de la Tierra hasta la Luna es de 3,84 x 105 Km.

Masa Tierra = 5,98x1024 Kg , Masa Luna = 7,34 × 1022 kg

La fuerza de gravitación universal entre dos cuerpos cualesquiera, se determina de acuerdo a la siguiente expresión:

Sustituyendo por los datos y resolviendo las operaciones planteadas, queda:

Reemplazando: F = 6,67 x 10-11 (Nm2) x (5,98x10

24 Kg x 7,34 × 10

22 kg)

Kg2 (3,84 x 105 Km)

2

F = 6,67 x 10-11 (Nm2) x ( 4,38 x 1047 kg) Kg2 (1,47 x 1011) Km2

F = 6,67 x 10-11 (Nm2) x ( 2,97 x 1036 kg) ; F = 1,98 X 1026 (N) Kg2 Km

2

PREGUNTAS

PREGUNTA 1 El movimiento de los astros ha sido un tema de estudio desde la Antigüedad. Aristóteles describió un sistema geocéntrico, y esta teoría perduró varios siglos hasta que Copérnico formuló una teoría heliocéntrica. La obra de Copérnico sirvió de base para que Kepler formulara sus leyes a partir de observaciones hechas por Tycho Brahe, pero los recursos científicos de su época y el desacuerdo que los datos de Brahe tenían con el modelo copernicano no le permitieron probar sus afirmaciones. Fue Newton quien lo hizo después de haber desarrollado un modelo matemático y de proponer la Teoría de Gravitación Universal, ofreciendo así una explicación coherente con las leyes de Kepler. ¿Cuál fue el impacto del modelo propuesto por Kepler? A) Reafirmó el modelo de gravitación de Newton.

B) Reafirmó como correcto el pensamiento de Aristóteles.

C) Sirvió como apoyo a la ley de gravitación universal de Newton.

D) Sirvió para invalidar los datos recopilados por Tycho Brahe.

E) Sirvió para validar las ideas de Tycho Brahe.

PREGUNTA 2 Anthe y Suttungr son satélites naturales de Saturno, cuyas órbitas se pueden modelar como circunferenciales. Si Anthe tiene un período orbital de 1 día y un radio orbital de 2x105 km, mientras que Suttungr tiene un radio orbital de 2x107 km, ¿cuántos días corresponden al período orbital de Suttungr?

A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104

PREGUNTA 3 Dos asteroides de igual masa viajan en rumbo de colisión. Cuando sus centros están separados 1 km, se atraen con una fuerza gravitatoria de magnitud F. Al colisionar ambos asteroides, a uno de ellos se le adhiere 1/3 de la masa del otro. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellos si vuelven a estar separados 1 km? A) 1/9 F

B) 1/3 F

C) 2/3 F

D) 8/9 F

E) F PREGUNTA 4 La ley general de gravitación establecida por Newton indica que la Fuerza de atracción entre dos cuerpos celestes es:

A) Inversamente proporcional a las masas. B) Directamente proporcional a la distancia. C) Dependiente de las órbitas. D) Inversamente proporcional a la distancia. E) Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. PREGUNTA 5 Inicialmente, la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos de masas m1 y m2 es F. Si la distancia entre los cuerpos disminuye a la mitad, ahora la fuerza de atracción entre ellos es: A) 4F B) F/2 C) 2F D) F/4 E) F

PREGUNTA 6 Según el modelo de Kepler, el Sol se encuentra:

A) Orbitando en una órbita elíptica en torno a la Tierra. B) En el punto central de la órbita descrita por la Tierra. C) En uno de los puntos focales de la órbita descrita por la Tierra. D) Oscilando en torno al punto focal de la órbita descrita por la Tierra. E) Oscilando en torno al punto central de la órbita descrita PREGUNTA 7 La ley de Kepler que plantea que los planetas del Sistema Solar describen órbitas elípticas, contribuyó a que se: A) Abandonara la idea de que los planetas poseen rapidez variable en torno al Sol. B) Abandonara la idea de que los planetas mantienen una distancia constante al Sol. C) Comprobara que existe un sentido de rotación común para los planetas del Sistema Solar. D) Comprobara que los satélites naturales mantienen una distancia constante a su respectivo planeta. E) Comprobara que el Sol se encuentra rotando en el centro de las órbitas de los planetas del Sistema

Solar.

PREGUNTA 8 La fuerza gravitatoria entre dos esferas de masas m1 y m2 , cuando sus centros están separados a una distancia R, tiene magnitud F. Si se reemplazan las esferas por otras de masas 2m1 y 8m2 , ¿a qué distancia deben colocarse sus centros para que la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas sea 4F? A) R/4 B) R/2 C) 2R D) 5R/2 E) 4R

Link asignatura de Física 4° Medio: Carpeta Unidad II - P.S.U- Mecánica Archivo N°17 - Leyes de Kepler – Gravitación Universal ; Archivo N° 18 - PPT Clase; Archivo N° 19 – Video Clase

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