LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Universidad …
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1 LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Formación Docente Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología TESIS DE LICENCIATURA “Modelo Praxeológico de Referencia en torno al análisis de una situación vinculada con la construcción” Prof. Florencia Araceli Caviglia Tandil, Febrero de 2016 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Formación Docente
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
TESIS DE LICENCIATURA
“Modelo Praxeológico de Referencia en torno al análisis de una situación vinculada con la construcción”
Prof. Florencia Araceli Caviglia Tandil, Febrero de 2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES
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Modelo Praxeológico de Referencia en torno al análisis de una situación vinculada con la construcción
Florencia Araceli Caviglia
Tesis realizada bajo la dirección de la Dra. Ana Rosa Corica, presentada como requisito parcial para la obtención del título de Licenciado en Educación Matemática.
Tandil, Febrero de 2016
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
TESIS DE LICENCIATURA
“Modelo Praxeológico de Referencia en torno al análisis de una situación vinculada con la construcción”
Florencia Araceli Caviglia
Director: Dra. Ana Rosa Corica
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Agradecimientos
Quiero expresar mi agradecimiento a:
A la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia
de Buenos Aires, por apoyar la formación de los docentes.
A mi Directora de Tesis, Dra. Ana Rosa Corica, porque sin ella nada de esto hubiese sido
posible. Gracias porque desde el comienzo me ayudaste y guiaste, confiando en mí aún
cuando ni yo misma lo hice.
Al Director del Instituto Provincial de Educación Técnica Nº 372, Hernán Urquiza (Arias-
Córdoba), y a todos mis compañeros que me han ayudado de una u otra forma,
acompañándome y colaborando con el proyecto siempre que lo he requerido.
A mis padres, porque ellos fueron los primeros que me enseñaron a valorar la educación.
Gracias por los esfuerzos que hicieron porque mi formación no encontrase barreras. Gracias
al resto de la familia, por sus ánimos y compañías.
A mis amigos, a los que están a mi lado y a los que están lejos. En especial a Ivana Díaz
quien me acompañó con el estudio a lo largo de toda la licenciatura y que sin esa compañía
hoy no estaría escribiendo esta tesis.
A mis profesores de la Licenciatura en Educación Matemática, porque sus enseñanzas me
sirven cada día, en cada clase que imparto.
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Índice
Resumen................................................................................................................... Pág. 6
Abstract…………………………………..……………………………………… Pág. 6
CAPÍTULO 1: Problema de investigación……….………………………………
Pág. 7
Problema de investigación........................................................................................ Pág. 8
Objetivos generales.................................................................................................. Pág. 11
Objetivos específicos................................................................................................ Pág. 11
Pregunta de la investigación..................................................................................... Pág. 12
CAPÍTULO 2: Marco Teórico................................................................................
Pág. 13
Introducción……………………………………….……………………………… Pág. 14
Organización didáctica y momentos de estudio…………………………………. Pág. 14
Pedagogía de la investigación y el cuestionamiento del mundo………………… Pág. 15
La modelización en el ámbito de la TAD…………………………….………….. Pág. 21
Modelo Praxeológico de Referencia……………………………….….…………. Pág. 24
CAPÍTULO 3: Modelo Praxeológico de Referencia............................................
Pág. 27
Introducción………………………………………………………………………. Pág. 28
Análisis de la cuestión Q inicial y las cuestiones derivadas…………………….. Pág. 30
CAPÍTULO 4: Reflexiones Finales.....................................................................
Pág. 86
CAPÍTULO 5: Referencia Bibliográfica..............................................................
Pág. 88
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Resumen:
En este trabajo se presenta el diseño de un Modelo Praxeológico de Referencia en torno al
análisis de una situación vinculada con la construcción. Para el desarrollo del estudio, se
adoptó como referencial teórico a la Teoría Antropológica de lo Didáctico.
El Modelo Praxeológico de Referencia es desarrollado en correspondencia con el diseño
curricular para el estudio de la matemática en la escuela secundaria de la Provincia de
Córdoba. Tiene como propósito contribuir en una propuesta que nace de un proyecto
institucional y cuyo estudio permite articular y dar sentido a la matemática escolar. En
particular, esta propuesta integra praxeologías relativas a proporcionalidad, geometría y
estimación de errores.
Abstract:
This work presents the design of a Model Reference Praxeológico around the analysis of a
situation related to the construction. For the development the study, it was adopted as a
theoretical reference to the Anthropological Theory of Didactic.
The Model Reference Praxeológico is developed in correspondence with the curriculum
design for the study of mathematics at secondary school in Cordoba Province. Its purpose is to
contribute in a proposal that was born of an institutional project and its study allows to
articulate and give the meaning to school mathematics. In particular, this proposal integrates
praxeologías relating to proportionality, geometry and estimation of errors.
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CAPÍTULO 1
Problema de investigación
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Problema de investigación
Este trabajo retoma una problemática enunciada por Barquero (2009), que se sintetiza
en la siguiente pregunta: ¿Cómo conseguir que las matemáticas se enseñen como una
herramienta de modelización de situaciones, de tal forma que la enseñanza no se organice
únicamente en función de los contenidos matemáticos, sino de los problemas o proyectos que
los estudiantes deben realizar? Nuestro estudio retoma la pregunta propuesta por Barquero y
aportamos respuesta a partir del estudio de una cuestión generatriz que nace de un proyecto
institucional: Q0: ¿Cómo elaborar un presupuesto para una construcción?
En el capítulo 3 presentamos el diseño matemático de un Modelo Praxeológico de
Referencia (MPR) que es descrito en términos de una arborescencia de pares de preguntas y
respuestas. En este trabajo explicitamos algunos tipos de cuestiones que podrían generar las
sucesivas praxeologías y en particular, sugerimos algunas de las técnicas útiles para estudiar
dichas cuestiones, pero no describimos en detalle todos los componentes de las praxeologías
porque esto requeriría explicitar las respuesta provisionales a dichas cuestiones, el desarrollo
de las técnicas que se utilizan (incluyendo las relaciones entre ellas), la correspondiente
ampliación de los tipos de cuestiones que van apareciendo, los sucesivos discursos
tecnológicos que permiten interpretar, justificar y construir estas técnicas y la teoría que
articula y unifica dichos discursos.
El estudio de Q0 y de sus cuestiones derivadas conduce a la construcción de un gran
número de saberes que delimitarán el mapa de los posibles recorridos y sus límites. En
particular, el estudio de esta cuestión permite recorrer praxeologías matemáticas que
involucran nociones de proporcionalidad, estimación y geometría.
En particular, en esta propuesta cobra vital importancia el estudio de la
proporcionalidad. Las nociones de razones, proporciones y proporcionalidad han sido
ampliamente problematizados desde los procesos de aprendizaje y de enseñanza. Desde los
años sesenta con los trabajos de Piaget sobre el razonamiento formal de los adolescentes hasta
nuestros días, con una gran diversidad de líneas de investigación de carácter cognitivo,
didáctico, curricular, epistemológico, etc. (Obando, Vasco, Arboleda, 2014).
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La noción de proporcionalidad se encuentra presente en todos los niveles de las
matemáticas escolares y es fundamental en la estructura descriptiva de la física y otras
ciencias. La mayoría de las actividades matemáticas de nuestra vida cotidiana están basadas
en este concepto. Sin embargo, las ideas de proporcionalidad son en general mal entendidas,
debido a que es común que en el aula se enseñe de manera mecánica utilizando la regla de tres
(Ramírez y Block, 2009).
El razonamiento proporcional juega un papel primordial en el desarrollo de las ideas
matemáticas del estudiante. De acuerdo con Inhelder y Piaget (1958), este razonamiento
revela un progreso al nivel de las operaciones formales del individuo. Existen cuantiosos
estudios sobre el razonamiento proporcional. Citamos a continuación dos estudios que son
precursores de esta línea de investigación. Karplus (1983) concluyó que los estudiantes
deciden o no utilizar el razonamiento proporcional de acuerdo con la facilidad o dificultad que
encuentran en relacionar los números involucrados. Hart (1984), por otro lado, mostró
estrategias y errores comunes de los estudiantes entre los que se encuentra la ‘estrategia
aditiva’, esto es, los estudiantes utilizan un razonamiento aditivo erróneo dentro de una
situación de proporcionalidad.
Durante varias décadas algunas investigaciones se han centrado en el desarrollo del
razonamiento multiplicativo y, en particular, en la transición del pensamiento aditivo al
pensamiento multiplicativo en los estudiantes de educación primaria. Las estructuras
multiplicativas tienen algunos aspectos en común con la estructura aditiva, por ejemplo la
multiplicación como suma repetida, pero también tienen su propia especificidad que no es
reducible a aspectos aditivos (Clark y Kamii, 1996). La construcción del significado de la idea
de razón requiere un cambio cualitativo en los esquemas cognitivos de los estudiantes de
educación primaria en la transición del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo
para manejar estas nuevas situaciones (Fischbein, Deri, Sainati-nello, y Sciolis-marino, 1985;
Greer, 1994; Nunes y Bryant, 1996). Un hecho que muestra las dificultades de los estudiantes
en desarrollar este cambio cualitativo es la dificultad en diferenciar situaciones de estructura
multiplicativa de situaciones con estructura aditiva puesta de manifiesto por el uso de métodos
aditivos erróneos para resolver situaciones proporcionales (Hart, 1981; Tourniaire y Pulos,
1985) y, al mismo tiempo, por el uso de métodos multiplicativos erróneos para resolver
situaciones aditivas (Fernandez y Llinares, 2009; Fernandez, Llinares y Valls, 2008;
Fernandez, et al 2009). La diferencia entre estos dos tipos de situaciones y el comportamiento
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de los estudiantes al intentar resolverlas constituyen un contexto idóneo para el estudio del
proceso de construcción del significado de razón como un aspecto característico de la
transición al pensamiento multiplicativo.
Otra de las paxeologías fundamentales que requiere recorrer la propuesta, es la
estimación de medidas experimentales. Pues, estas se encuentran afectadas de cierta
imprecisión en sus valores debido a las imperfecciones del aparato de medida o a las
limitaciones de nuestros sentidos en el caso de que sean ellos los que deben registrar la
información. El valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente efectuando una
medida; así pues, resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya
que los medios experimentales de comparación con el patrón correspondiente en las medidas
directas vienen siempre afectados de imprecisiones inevitables. El problema es establecer los
límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor. Porque sabemos que medir, directa o
indirectamente, consiste siempre en comparar dos magnitudes, la que queremos medir y la
que hemos adoptado convencionalmente como patrón de medida. El caso es que cualquier
medida es indefectiblemente una medida inexacta.
Por otro lado, en el estudio que proponemos en el Capítulo 3 se considera la
incorporación del software GeoGebra®. En este caso, el uso de un software dinámico para la
enseñanza de la matemática y, en particular, de geometría, permite desarrollar diferentes
representaciones y el hacer conjeturas (Román, 2006).Geogebra® es un software de geometría
dinámica que permite construir, modificar y cambiar algunos aspectos para lograr una
adecuada visualización de las construcciones realizadas. Es básicamente un procesador
geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software
interactivo que reúne geometría, algebra y calculo, por lo que puede ser usado también en
física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas. Con
Geogebra® pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas,
segmentos, vectores, cónicas, etc., en las que los trazos pueden ser modificados de manera
dinámica. (Costa y Vacchino, 2009)
La exploración de relaciones geométricas por construcción y medición con lápiz y
papel, consumen demasiado tiempo, no permiten visualizar cómo podrían cambiar de forma.
El dinamismo de las figuras que se construyen con el software Geogebra®, facilita la mirada
global de un problema, el desarrollo de conceptos, pues en la visualización se pueden
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experimentar y descubrir regularidades que, con el trabajo manual, requeriría mucho más
tiempo y esfuerzo. Con éste tipo de programa las figuras geométricas pueden construirse por
medio de acciones y técnicas muy próximas a las que se emplean en el universo del lápiz y
papel, con la ventaja de poder realizar construcciones complejas para luego modificarlas. Una
vez creadas, estas figuras pueden redibujarse moviendo sus elementos básicos directamente
mientras se mantienen las propiedades que se les han dado explícitamente (Madama y
Curbelo, 2012).
En la actualidad se están implementando nuevas tendencias didácticas, y una de ellas
es el uso de la computadora para hacer una geometría dinámica aplicando software educativo,
lo cual lleva a obtener mejores resultados en el aprendizaje de los alumnos. El uso de la
tecnología ha generado cambios sustanciales en la forma cómo los estudiantes aprenden
matemática. Cada uno de los ambientes computacionales que pueden emplear, proporcionan
condiciones para que los estudiantes identifiquen, examinen y comuniquen distintas ideas
matemáticas. La tecnología puede llegar a ser una poderosa herramienta para que los
estudiantes logren crear diferentes representaciones de ciertas tareas y sirve como medio para
que formulen sus propias preguntas o problemas, lo que constituye un importante aspecto en
el aprendizaje de la matemática (Gamboa, 2007).
Objetivos generales
• Examinar el carácter instrumental de la matemática escolar en proyectos
institucionales.
• Recuperar el sentido y las razones de ser de las nociones matemáticas que se estudian
en los sistemas escolares.
Objetivos específicos
• Describir las características esenciales de un Modelo Praxeológico de Referencia en
torno al estudio de un proyecto institucional escolar.
• Analizar la potencialidad del estudio de Q0 y describir las praxeologías que permitiría
recorrer su estudio.
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Pregunta de la investigación
• ¿Cómo conseguir que la matemática adquiera carácter instrumental de tal manera que
el estudio no se organice siguiendo únicamente la lógica de los diseños curriculares sino en
función a los problemas que emergen para su estudio y a los proyectos que los estudiantes
deben realizar?
Como se indicó en un principio, en este trabajo aportamos respuesta a esta pregunta de
manera parcial, a partir del estudio de una situación que constituye un proyecto institucional
de la escuela que me desempeño como docente de matemática.
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CAPÍTULO 2
Marco Teórico
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Introducción
En este trabajo adoptamos como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo
Didáctico (TAD) (Chevallard, 1999, 2007, 2013aª, 2013b). Uno de los postulados básicos de
esta teoría consiste en considerar la actividad matemática como una actividad humana más.
Con la noción de praxeología u organización matemática (OM) Chevallard modeliza la
actividad matemática. Se parte del principio que el saber matemático se construye como
respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, apareciendo así como el resultado (o
producto) de un proceso de estudio.
La noción de praxeología permite considerar al mismo tiempo y, con la misma
relevancia la dimensión teórica como la dimensión práctica del saber. Las OMsson el
resultado final de una actividad matemática, en la cual es posible distinguir dos aspectos
inseparables:
• El nivel de la praxis o del saber hacer, que engloba, por un lado, un cierto tipo de
tareas y cuestiones que se estudian, y por otro, las técnicas para resolverlos.
• El nivel del logos o del saber, se encuentran los discursos que describen, explican y
justifican las técnicas que se utilizan, esto es, la tecnología. Un segundo nivel de
descripción, explicación, justificación (esto es, el nivel tecnología de la tecnología) se
denomina teoría.
Organización didáctica y momentos de estudio
En la TAD las formas de organizar la enseñanza escolar de la matemática, se describe
en términos de praxeologías didácticas. En particular, en los diversos procesos de
construcción matemática se pueden identificar aspectos invariantes. Así, el proceso de estudio
se sitúa en un espacio determinado por seis momentos didácticos:
1° Momento del Estudio: es el primer encuentro con la organización, tal encuentro
puede tener lugar de varias maneras, pero un modo de encuentro inevitable, consiste en
encontrar la organización a través de al menos uno de los tipos de tareas.
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2° Momento del Estudio: es el de la exploración del tipo de tareas, de la elaboración
de una técnica relativa al tipo de tareas. El estudio y la resolución de un problema de un tipo
determinado va a la par con la construcción de al menos un embrión de técnica, a partir del
cual una técnica más desarrollada podrá emerger.
3° Momento del Estudio: Es el de la construcción del entorno tecnológico – teórico
relativo a la técnica. En este momento se debe constituir de manera que permita justificar,
explicar y producir las técnicas iniciales, las nuevas técnicas y las relaciones entre ambas.
Este momento está en interrelación con cada uno de los otros momentos.
4° Momento del Estudio: Es el del trabajo de la técnica, que debe mejorar la técnica
volviéndola más eficaz y más fiable.
5° Momento del Estudio: Es el de la institucionalización que tiene por objeto precisar
lo que es exactamente la organización matemática, distinguiendo los elementos que, habiendo
concurrido a su construcción, no le hayan sido integrados y, por otra parte, los elementos que
entrarán de manera definitiva en la organización matemática.
6° Momento del Estudio: Es el de la evaluación que se articula con el momento de la
institucionalización, se examina lo que se ha aprendido, momento de verificación. En este
momento debe ponerse el acento en la evaluación de la eficacia, la pertinencia y la fecundidad
de la modelización utilizada.
Pedagogía de la investigación y el cuestionamiento del mundo
La TAD proporciona un conjunto de instrumentos teóricos para analizar la actividad
matemática escolar y para modificarla en el sentido de una pedagogía completamente
diferente, llamada Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento del mundo, que
permite enfrentar el fenómeno de la monumentalización, se trata de un trabajo y de un
proceso de largo aliento. Lo cual, no inhibe las investigaciones que intentan analizar la
ecología del nuevo paradigma en la escuela secundaria, ni los intentos seguramente parciales
e incompletos, de al menos llevar a cabo algunos gestos de la Pedagogía de la investigación y
del cuestionamiento del mundo.
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Las Actividades de Estudio e Investigación (AEI) y los Recorridos de Estudio e
Investigación (REI) son dispositivos didácticos propuestos en los últimos desarrollos de la
TAD que se generan a partir del estudio de respuestas a cuestiones “vivas” y “fecundas”,
cuestiones que para ser respondidas, requieren la construcción de toda una secuencia de
organizaciones completas y articuladas. (Llanos, Otero y Bilbao, 2011)
Las AEI tienen una estructura cuaternaria y están integrados por: las cuestiones vivas,
una síntesis, que a su vez genera nuevas cuestiones y los controles, que operan tanto en el
análisis a priori como durante su implementación. Una AEI es, en principio, una organización
didáctica donde la clase, bajo la dirección de un profesor, va a hacer estudiar, reconstruir y
hacer accesible a los alumnos una cierta Organización matemática local (OML)1. Para esto es
necesario partir de una cuestión generatriz Q cuyo estudio produzca la elaboración de una
respuesta R, y esta contenga los elementos esenciales de la OML inicial. De esta manera, las
AEI constituyen un proceso de estudio praxeológicamente finalizado, pues se impone la
condición de que R contenga los principales componentes de una OML previamente
determinada y conocida de antemano por la institución escolar.
Dada una OML a enseñar, el diseño de una AEI se inicia buscando una “situación del
mundo” que parezca una cuestión problemática cuya resolución permita o incluso requiera la
reconstrucción de la OML en cuestión.
Una vez que la situación ha sido presentada a la comunidad, se inicia un proceso de
estudio que, como todos, puede describirse funcionalmente mediante los momentos o
dimensiones de dicho proceso. En el caso de las AEI es importante subrayar que el momento
del primer encuentro se retrotrae a una cuestión generatriz, en lugar de iniciarse con una tarea
1Con el fin de tener herramientas más precisas para analizar los procesos didácticos institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción de diferentes tipos de organizaciones: Organizaciones Puntuales: Si están generadas por lo que se considera en la institución como único tipo de tareas. Esta noción es relativa a la institución considerada y está definida, en principio, a partir del bloque práctico – teórico. Organizaciones Locales: Resultado de la integración de diversas organizaciones puntuales. Cada organización local está caracterizada por una tecnología, que sirve para justificar, explicar entre si y producir las técnicas de todas las organizaciones puntuales que la integran. Organizaciones Regionales: Se obtienen mediante la coordinación, articulación y posterior integración, alrededor de una teoría matemática común, de diversas organizaciones locales. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las diferentes tecnologías locales que integran a la organización regional. Organizaciones Globales: Que surgen agregando varias organizaciones regionales a partir de la integración de diferentes teorías. Bosch, Fonseca, Gascón (2004).
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escolar ya depurada. Esto significa que la cuestión generatriz de una AEI, aunque sea sugerida
por el profesor, no está perfectamente formulada sino que deberá evolucionar y “refinarse” a
medida que es abordada por la comunidad de estudio. Tampoco es una cuestión que pueda
resolverse llevando a cabo una tarea escolar previamente establecida y con una respuesta
predeterminada. De hecho, las respuestas tentativas que vayan surgiendo deberán poder ser
contrastadas por la propia comunidad de estudio, en lugar de delegar al profesor la
responsabilidad de dicha evaluación. Este carácter adidáctico de la situación se refleja
especialmente a lo largo del momento exploratorio que, a pesar de estar más o menos dirigido
por el profesor, debe estar “guiado”, en todo caso, por la propia construcción de las respuestas
tentativas y por la interacción con un medio adidáctico capaz de contrastar la validez de éstas.
Dado que las AEI constituyen un tipo de modelo didáctico que pretende posibilitar la
construcción escolar de OMs relativamente completas, es imprescindible que se apoye en
otros dispositivos a fin de integrar de manera funcional todos los momentos o dimensiones del
proceso de estudio. Así, a lo largo del desarrollo de una AEI aparecerán momentos en los que
deberán llevarse a cabo un repertorio de ejercicios de manera sistemática, de tal forma que
pondrán en marcha el momento del trabajo de la técnica, provocando así el desarrollo de la
Organización Matemática Puntual (OMP) considerada. En este punto se cuestionará el
alcance de las diversas técnicas, se utilizarán variaciones de las mismas y se elaborarán
técnicas compuestas. Surgirá de esta manera el germen de un taller de prácticas matemáticas
integrado como componente de la AEI.
Una enseñanza por AEI permite comenzar a enfrentar el problema de la
monumentalización de los saberes. Supone un cuestionamiento fuerte del contrato didáctico
tradicional de la secundaria y cambios en las funciones didácticas2 o niveles de mesogénesis,
topogénesis y cronogénesis (Chevallard, 1985, 2009b). Implica básicamente el estudio de
cuestiones suficientemente ricas, vivas y fecundas que provoquen en los estudiantes la
necesidad de seguir aprendiendo, y que facilite abrir un proceso de investigación, que permita
explorar, conjeturar y validar.
2 La distribución de las responsabilidades entre los agentes de una clase (topogénesis); el “dominio” del
tiempo reloj requerido, respecto del establecido en las instituciones (cronogénesis); así como también, cómo se constituye y gestiona el medio didáctico (mesogénesis); aspectos que no pueden entenderse unos sin los otros, y que determinan los alcances del recorrido en cada ejecución.
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Las AEI son una alternativa incompleta y limitada, pero permite instalar elementos de
la pedagogía del cuestionamiento del mundo. Las AEI son dispositivos que producen un
encuentro arreglado con una cierta OML a partir del estudio de una situación o de un
conjunto de ellas, a las que la OML da una respuesta funcional. El encuentro es arreglado, en
mayor medida para el profesor que para los alumnos. El problema que se plantea el profesor
es el de cómo enseñar, es decir cómo establecer, construir o “poner en marcha” en la clase, la
OML considerada de tal forma que ésta aparezca como la respuesta a una cuestión
problemática que le aporta una razón de ser.
Chevallard (2006), introduce por primera vez un nuevo dispositivo didáctico,
denominado REI. En esa propuesta inicial, un REI viene generado por el estudio de una
cuestión viva Q0con fuerte poder generador capaz de imponer un gran número de cuestiones
derivadas. El estudio de Q0 y de sus cuestiones derivadas conduce a la construcción de un
gran número de saberes que delimitarán el mapa de los posibles recorridos y sus límites. Para
poder dar respuesta a dichas cuestiones, se requiere la reconstrucción de un número
considerable de herramientas matemáticas (técnicas, nociones, propiedades, etc.), que
aparecen así como una consecuencia (y no como el origen) del estudio de las cuestiones. La
propuesta de los REI pretende recuperar la relación genuina entre cuestiones y respuestas que
está en el origen de la construcción del conocimiento científico en general y de la actividad
matemática en particular. Uno de los objetivos principales de la propuesta de los REI es el de
introducir en la escuela una nueva epistemología que permita reemplazar el paradigma escolar
del “inventario” de saberes por un paradigma del cuestionamiento del mundo, para dar sentido
al estudio escolar de las matemáticas en su conjunto, transportando a la escuela una actividad
de estudio más cercana al ámbito de la investigación.
Dentro de este paradigma, los REI aparecen como un dispositivo didáctico
privilegiado para dar cabida a la actividad de modelización en la enseñanza actual de las
matemáticas. En efecto, siguiendo a Chevallard (2005 y 2006), el punto de partida de un REI
debe ser, como ya hemos dicho, una cuestión de interés real para la comunidad de estudio,
que denotaremos por Q0 y a la que llamaremos cuestión generatriz del proceso de estudio. A
lo largo del REI, el estudio de la cuestión generatriz Q0 evoluciona y da lugar al planteo de
muchas nuevas “cuestiones derivadas”: Q1, Q2,…, Qn. El estudio de Q0 y de sus cuestiones
derivadas conduce a la búsqueda de respuestas y, con ello, a la construcción de un gran
número de saberes que delimitan el mapa y los límites provisionales del “territorio” a recorrer
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durante el proceso de estudio. Este proceso, que podremos sintetizar como una red de
cuestiones y respuestas (Qi, Ri), contiene las posibles trayectorias a “recorrer” generadas a
partir del estudio de Q0.
Durante la evolución de un REI el cuestionamiento de estas respuestas provisionales
que se van obteniendo se incorpora en todo momento a la actividad de modelización. Este
cuestionamiento es el motor del proceso de modelización y, por lo tanto, de la estructura
arborescente y articulada de los REI. En segundo lugar, los REI permiten explicitar,
institucionalizar y evaluar el proceso global de modelización.
Esto es posible dado que el proceso de estudio generado por los REI tiene cierta
continuidad en el tiempo, logrando superar la atomización tradicional del estudio escolar de
las matemáticas. Por último, dado que el objetivo de un REI es dar respuesta a ciertas
cuestiones y no aprender (o enseñar) ciertos conceptos, el proceso de modelización puede
considerarse como un objetivo de la enseñanza en sí mismo y no como un medio para
construir nuevos conocimientos. El desarrollo de un REI supone dar importancia tanto al
proceso de estudio; la actividad de modelización como a la respuesta que este genera.
Los REI permiten y potencian una forma de incorporar a los procesos de estudio los
momentos de la actividad matemática que indica Chevallard (1999) que suelen tener poca
presencia en la cultura pedagógica tradicional, lo que facilita la integración de la
modelización matemática en los actuales sistemas de enseñanza. Con los REI se plantea la
posibilidad de redefinir los programas de estudio a partir de un conjunto de cuestiones
“cruciales” o “generatrices”. Se plantea necesariamente también una redefinición del modelo
de enseñanza tradicional y de la pedagogía dominante. La enseñanza de los REI requiere
ingresar en un modelo denominado “del cuestionamiento del mundo”, característico de una
pedagogía conocida como “pedagogía de la investigación”.
Una enseñanza por REI consiste en pilotear el REI regulando dialécticas
fundamentales. (Chevallard, 2007, 2009). Estas dialécticas son saberes o saber hacer,
considerados “gestos del estudio y de la investigación”. A continuación se describen las
dialécticas de la investigación:
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Dialéctica del estudio y de la investigación: una investigación supone una “buena
combinación” de estudio y de investigaciones para pasar de obras precedentes a la respuesta
deseada R♥.
La segunda dialéctica es la del individuo y del colectivo (o de la autonomía y de la
sinonimia), según la cual ningún miembro x de X sabría considerarse libre de perseguir
estudio e investigar relativamente a Q tanto que una respuesta R♥ no ha producido y validada
por X bajo la dirección (o la supervisión) de Y.
Dialéctica del análisis (y la síntesis) praxeológica y del análisis (y la síntesis)
didáctica: si todo análisis didáctico supone un análisis praxeológico (de juegos didácticos), la
recíproca es igualmente cierta: para comprender una realidad praxeológica (de cualquier
naturaleza: práctica, técnica, tecnológica, teórica) es a menudo útil, incluso indispensable
realizar un análisis didáctico.
Dialéctica del tema y fuera de tema: contra el postulado escolar del camino más corto,
que no conduce más que a un objetivo conocido y determinado de antemano, crece, en una
investigación en principio abierta, el riesgo del fuera de tema tanto en materia de
investigación documental.
Dialéctica del paracaidista y de las trufas: contra el doble hábito escolar de la rareza
documental y de la investigación de la adecuación inmediata del documento al proyecto de
estudio y de investigación, conduce a “rastrillar” vastas zonas, donde se cree saber a priori
que no se encontrará gran cosa, pero donde podrá ocurrir lo inesperado, y donde se aprenderá
a reparar en las raras “pepitas” -las “trufas”-a menudo poco visibles, que harán progresar la
investigación.
Dialéctica de las cajas negras y cajas claras: contra la primacía dada al conocimiento
ya disponible (retrocognición), esta dialéctica invita a dar primacía al conocimiento
pertinente, por descubrir (procognición), cualquiera que sea a priori su estatus según las
disciplinas enseñadas, a limitar a lo estrictamente necesario el trabajo de clarificación (las
cajas renombradas “claras” son siempre cajas grises), a tomar entonces el riesgo,
puntualmente: a) de clarificar las cajas negras situadas fuera del currículo oficial, b) de dejar
en la oscuridad lo que, en el currículo familiar tal disciplina enseñada, lo pretendemos
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clarificar por otro lado, c) de acorralar las cajas “invisibles” porque “transparentes”, para
deconstruir las evidencias de la cultura de la institución cada vez que esta es útil.
Dialéctica de la conjetura y de la prueba, pero que, desde una perspectiva más amplia,
denominamos de los médias y de los medios: contra la puesta a prueba más o menos
organizada de antemano por aserciones consideradas seguras en virtud sobre todo de la
autoridad de la institución enseñante, esta dialéctica se compromete a someter las aserciones
obtenidas a la crítica de diversas dialécticas y a evaluar el grado de incertidumbre de una
aserción dada, cualquiera sea la institución o la persona que la emite.
Dialéctica de la lectura (de la “excripción”) y de la escritura (de la inscripción): contra
la transcripción (la copia) formal de textos donde se han encontrado inscriptas las respuestas
que su inclusión en el texto ha “desvitalizado”, esta dialéctica invita a entrar en la dialéctica
de la lectura “excriptrice”, que le devuelve vida a las respuestas depositadas en los
documentos disponibles, y de la escritura “inscriptrice” de una respuesta propia que toma
forma poco a poco por el crecimiento de diversos niveles de escritura.
Dialéctica de la difusión y de la recepción: contra la tentación de no defender su
respuesta R♥, supuesta de antemano conocida y reconocida por la institución donde ha sido
producida, contra el oportunismo respecto a R♥ con el objetivo de complacer a quién se dirige,
esta dialéctica invita a defender R♥ sin infidelidad en el trabajo realizado, pero con atención en
lo que otro puede recibir.
La modelización en el ámbito de la TAD
El problema de situar adecuadamente el papel que juega (y el que podría jugar) la
modelización en la enseñanza de las matemáticas constituye actualmente una de las
cuestiones más acuciantes en todos los niveles educativos y, también, en el universo de
investigación en Educación Matemática. Dicho problema podría plantearse en los términos
siguientes:
“Una vez enseñados los contenidos matemáticos básicos, ¿cómo conseguir que las
matemáticas se enseñen como una herramienta de modelización de situaciones, de tal forma
que la enseñanza no se organice únicamente en función de los contenidos matemáticos sino de
22
los problemas o proyectos que los estudiantes deben realizar?” (Barquero, 2009, p. 30). En
esta investigación retomaremos la pregunta antes menciona, y aportamos respuesta a partir del
estudio de una cuestión generatriz.
La integración de la modelización matemática en cualquiera de los niveles del sistema
educativo choca con restricciones institucionales que van mucho más allá de la voluntad y la
formación de los sujetos de las instituciones (Barquero, Bosch & Gascón, 2014). Se empieza
así a tomar conciencia de lo que desde la TAD denominamos “dimensión ecológica” del
problema de la modelización matemática (Gascón, 2011).
Tal como indica Barquero nos situamos en una problemática de gran interés para la
comunidad investigadora en Educación Matemática denominada “Modelización y
aplicaciones”. El estudio de dicha problemática y las acciones que se han llevado a cabo en
las últimas décadas con el objetivo de integrar la modelización matemática en el ámbito de la
matemática escolar han tenido un importante impacto.
La TAD considera que toda actividad matemática puede ser interpretada como una
actividad de modelización (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997), aunque su forma de
interpretarla difiera en ciertos aspectos de las formas más habituales (Blum, 2002; Blum y
Leiß, 2007). En concreto Fonseca (2014), propone tres modificaciones importantes en la
forma de interpretar la noción de “modelización matemática”:
(a) Se incluye la modelización intramatemática en la noción de “modelización”. Se
considera la modelización matemática de sistemas matemáticos (esto es, la modelización
intramatemática como, por ejemplo, la modelización algebraica de un sistema numérico o
geométrico) como una parte esencial de la actividad de modelización que es inseparable de la
modelización de sistemas extramatemáticos.
Se considera la modelización como un proceso de matematización progresiva de un
sistema en el cual el primer modelo pasa a jugar el papel de sistema (matemático) y así
sucesivamente, lo que conduce a trabajar con “modelos de modelos” del sistema inicial.
Aparece así claramente el carácter recursivo de la actividad de modelización matemática.
23
(b) Se postula que los modelos que se construyen en la modelización matemática
tienen estructura praxeológica y que la función de los modelos no tiene nada que ver con la
de ser una imagen fidedigna del sistema modelizado. El análisis de la actividad de
modelización nos conduce a considerar los sistemas y modelos como entidades con estructura
necesariamente praxeológica. En efecto, el modelo epistemológico de la TAD no permite
considerar la modelización de conceptos, ni de técnicas, ni de problemas aislados. Dada la
naturaleza dinámica de las praxeologías y la profunda interrelación entre sus componentes, no
podemos hablar de modelización de un componente de la praxeología independientemente del
resto de sus elementos. Se postula, en consecuencia, que toda modelización matemática
presupone la modelización de una praxeología en su totalidad mediante otra praxeología
matemática.
En cuanto a la naturaleza de los modelos y su relación con el sistema modelizado, no
se debe caer en la ingenuidad de pensar que un modelo es una copia o reproducción
fotográfica del sistema que modeliza, sino que es un añadido a dicho sistema, una
construcción artificial. Se enfatiza así que la principal función del modelo no es la de
parecerse al sistema que modeliza, sino la de aportar conocimientos sobre él y hacerlo de la
forma más económica y eficaz posible.
(c) Se interpreta la modelización matemática como un instrumento capaz de articular
y dar funcionalidad a la actividad matemática escolar. La TAD describe los procesos de
modelización como procesos de reconstrucción y articulación de organizaciones
matemáticas de complejidad creciente (Barquero, 2009) que necesariamente tienen que partir
de cuestiones problemáticas que se plantea una comunidad de estudio y que constituyen la
“razón de ser” de las organizaciones matemáticas. La forma como se conceptualiza la
complejidad creciente de las OMs es la siguiente: las organizaciones (o praxeologías)
matemáticas más elementales se llaman puntuales y están constituidas alrededor de lo que en
determinada institución es considerado como un único tipo de tareas. Cuando una OM se
obtiene por integración de cierto conjunto de OMs puntuales, tales que todas ellas aceptan un
mismo discurso tecnológico θ, diremos que tenemos una OM local caracterizada por dicha
tecnología θ. Análogamente se habla de OM regional cuando se obtiene por integración de
OMs locales y está caracterizada por una teoría Θ y hasta de OM global cuando incluye toda
una disciplina.
24
La actividad de modelización matemática, tal como se conceptualiza en el ámbito de la
TAD, puede considerarse como un instrumento que permite articular y dar sentido a la
matemática escolar debido a su propia lógica interna de desarrollo. En efecto, la modelización
matemática parte de una praxeología (que puede ser puntual) como respuesta provisional a
una cuestión problemática.
En esta praxeología surgen nuevas cuestiones problemáticas cuya respuesta requerirá
considerarla como sistema a estudiar y construir para ello un modelo de la misma (carácter
recursivo de la actividad de modelización) que será más amplio y complejo que el anterior y
que puede englobar más de una praxeología puntual. Si este proceso continúa se puede
extender a las praxeologías locales y articular así la actividad matemática escolar.
La TAD propone introducir en los sistemas de enseñanza procesos de estudios
funcionales, donde los saberes no constituyan monumentos que el profesor enseña a los
estudiantes, sino herramientas materiales y conceptuales, útiles para estudiar y resolver
situaciones problemáticas.
La modelización matemática tiene un papel esencial en este proceso por varios
motivos. En primer lugar, la producción de “respuestas provisionales” a la cuestión inicial Q0
requiere la construcción de modelos, su utilización y el cuestionamiento de su ámbito de
validez, generando así nuevas cuestiones que, a su vez, requieren un nuevo proceso de
modelización.
Modelo Praxeológico de Referencia
La formulación de un problema didáctico (en el sentido de problema de investigación
en didáctica de las matemáticas) involucra siempre, de manera más o menos explícita, una
interpretación del ámbito de la actividad matemática que está en juego. Así, cuando en el
enunciado de un problema didáctico se habla de la enseñanza o el aprendizaje del cualquier
concepto se está sustentando inevitablemente una interpretación (un modelo, aunque sea muy
impreciso) de la actividad matemática que acompaña a dicha noción o ámbito de la
matemática escolar en la institución en cuestión.
25
En la TAD postulamos que la explicitación de dicho modelo es imprescindible para
poder formular el problema didáctico como un auténtico problema científico. La citada
explicitación constituye el núcleo de la respuesta que proponemos en cada caso a una
dimensión básica del problema didáctico que denominamos “dimensión epistemológica del
problema” (Gascón, 2011) y se materializa en un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR).
La formulación de los otros aspectos o dimensiones del problema didáctico, así como las
posibles respuestas a los mismos, se sustentan forzosamente en el MPR del ámbito de la
actividad matemática que está en juego.
En general, la estructura de los MPR que construye la TAD es una red de praxeologías
matemáticas cuya dinámica comporta ampliaciones y completaciones progresivas en el
sentido que explicitaremos en el próximo capítulo. En cuanto a la manera concreta de
describir un MPR, suele hacerse mediante una red de cuestiones y respuestas donde éstas
tienen estructura praxeológica.
Es importante subrayar que un MPR debe considerarse como una hipótesis provisional
a contrastar experimentalmente y, por lo tanto, susceptible de ser modificado y revisado
constantemente. En otras palabras, un MPR es una hipótesis científica que debemos poner a
prueba de la contingencia.
Dado que la TAD interpreta la actividad matemática como una actividad humana
institucionalizada, un MPR (y la cuestión generatriz que viene a responder) se elabora en
relación a una institución. Pero las instituciones no son compartimentos estancos y las
cuestiones problemáticas se desarrollan a medida que se van estudiando, de manera que es
posible concebir un MPR que, potencialmente, pueda sustentar procesos de estudio situados
parcialmente en dos o más instituciones.
Por otra parte, es importante señalar que en los MPR elaborados hasta la fecha en el
ámbito de la TAD, la modelización matemática juega un papel esencial. En efecto, las
praxeologías matemáticas que estructuran el MPR suelen cumplir la siguiente condición: cada
nueva praxeología no sólo amplía y completa relativamente a la praxeología anterior, sino que
además puede considerarse como un modelo matemático de ésta (Bolea, 2003; Sierra, 2006;
Barquero, Bosch & Gascón, 2011; Ruiz-Munzón et al., 2011). Esta relación estructural y
dinámica entre las praxeologías que constituyen un MPR es coherente con el postulado de la
26
TAD según el cual toda actividad matemática puede interpretarse como una actividad de
modelización (Chevallard, Bosch & Gascón, 1997).
En el siguiente capítulo, presentamos el desarrollo de un Modelo Praxeológico de
Referencia en torno al estudio de la cuestión Q0: ¿Cómo elaborar un presupuesto para una
construcción?
27
CAPÍTULO 3
Modelo Praxeológico de Referencia
28
Introducción
En este capítulo presentamos el análisis de una situación que se inicia con el estudio
de una cuestión que es comprendida en sentido fuerte, con alto poder generador. El estudio se
origina a partir del análisis de una situación que emerge como necesidad de la institución en la
que se proyecta la implementación. El objetivo de la propuesta es la elaboración de un
presupuesto para la ampliación del taller del Instituto Provincial de Educación Técnica Nº
372, en la localidad de Arias, provincia de Córdoba, donde me desempeño como docente de
matemática. Esta institución es una escuela técnica, con pocos años de formación. El proyecto
de ampliación del taller resulta ser de suma importancia para la institución. Pues, se trata de
una institución de educación técnica que tiene la necesidad de ampliar su taller,
fundamentalmente por el aumento de la matricula durante los últimos años.
La mayoría de los estudiantes que asisten a esta institución pertenecen a una clase
social media baja. Se estima que el dispositivo didáctico se podría implementar en tercer año
de la escuela secundaria, con estudiantes cuyas edades oscilan entre los 13 y 15 años.
La situación que se presentará a los estudiantes la indicamos a continuación. Se
propone que el estudio pueda ser realizado en pequeños grupos compuestos por 2 o 3
estudiantes. De esta manera, cada pequeño grupo comenzará a gestar su propio medio de
estudio, cuyas diferencias y similitudes con el resto, serán compartidas con toda la comunidad
de estudio. En particular, esto permitirá hacer vivir en el seno de la comunidad de estudio la
dialéctica del individuo y del colectivo.
Para cada sesión que contemplará el estudio de la situación, se propone que los
estudiantes elaboren un informe que contenga los elementos de la situación que han
considerado como relevantes. Será necesario que dejen por escrito todos los detalles de su
estudio y establecer un plan para proseguir con el mismo.
El dispositivo didáctico tiene como propósito que se gestionen algunos gestos propios
de la pedagogía de la investigación y el cuestionamiento del mundo. Se involucran tareas que
requieren el empleo de Geogebra® y actividades con lápiz y papel.
29
Para incorporar algunos gestos propios de la pedagogía de la investigación y el
cuestionamiento del mundo es necesario introducir algunos cambios en el contrato didáctico
imperante en la institución. Pues, se trata de una institución caracterizada por una enseñanza
tradicional donde los estudiantes se encuentran habituados a que el profesor diga todo lo que
deben hacer. Así, algunas de las pautas de trabajo que contemplará el contrato didáctico son:
• El profesor evitará explicar como se hace tradicionalmente; son los estudiantes
quienes tendrán que formular sus preguntas y buscar maneras de responderlas.
• Al finalizar cada clase los grupos deberán elaborar una síntesis de la actividad
realizada y establecer algunas líneas generales de cómo van a proseguir con el
estudio. Esto debe quedar escrito en la hoja de los estudiantes. El profesor
recogerá en todas las clases un trabajo por grupo con el propósito de evaluar el
proceso de estudio. Aquí la evaluación no es comprendida en el sentido
tradicional.
• Al comenzar cada clase, cada grupo deberá exponer de manera sintética qué
hizo la clase anterior y cómo va a continuar con su trabajo.
Para la gestión de la primera clase se estima que los estudiantes formularán varias
preguntas. Tal vez esto requiera de la intervención del profesor, puesto que los estudiantes al
que se proyecta destinar el dispositivo didáctico, durante toda su escolaridad fueron formados
en una enseñanza tradicional. Así, de la primera clase se procura obtener varias preguntas, que
deberán ser comunicadas al finalizar la clase, junto al plan para proseguir con el estudio en las
sucesivas clases. Esta primera clase es de vital importancia, pues quedará conformado el
medio de estudio primario del que la comunidad estudiará en las clases siguientes.
En el siguiente apartado analizamos las posibles cuestiones que podrían ser estudiadas
por los alumnos. En particular una de las praxeologías que se destaca del estudio es la de la
proporcionalidad. Según el Diseño Curricular de la Provincia de Córdoba esta praxeología se
propone estudiar en el primer año de la Escuela Secundaria Obligatoria (ESO). La noción de
proporcionalidad reviste gran importancia no sólo en el dominio de las actividades
matemáticas de la escolaridad obligatoria, sino también en numerosas aplicaciones de la
ciencia y la técnica, como por ejemplo en Física (permite estudiar y explicar las relaciones
entre magnitudes), en Química (se emplea al equilibrar las mezclas), en Geografía (se utiliza
en el control de ciertas situaciones a estudiar, utilizando escalas).
30
En particular, con relación a las investigaciones acerca de la enseñanza – aprendizaje
de la proporcionalidad, destacamos los aportes de Gascón (2010), quien afirma que el
fenómeno de desarticulación de las organizaciones matemáticas, y particularmente el
aislamiento escolar de la proporcionalidad, ha estado latente desde mediados de los años
noventa. A partir de esta consideración, se hace un llamado para cuestionar el modelo
epistemológico de la proporcionalidad, presente en los libros de texto y en los diseños
curriculares y que se ha vuelto dominante en la institución escolar. En este cuestionamiento se
pone en duda hasta qué punto es conveniente aislar la proporcionalidad como objeto de
investigación y como objeto de conocimiento matemático para ser enseñado. Por otro lado,
García (2005) destaca la excesiva aritmetización en los libros escolares para la ESO.
Por otra parte la proporcionalidad aritmética es uno de los temas más relevantes para
la formación de los ciudadanos, porque pone en juego los aprendizajes aritméticos escolares
(medida, fracciones, operaciones elementales, etc.), y porque resuelve muchos de los
problemas de los adultos (beneficios del capital, trueques o cambios de moneda, mezclas o
aleaciones, descuentos comerciales, llenado y vaciado de recipientes, etc.). Sin embargo,
muchas investigaciones han puesto de manifiesto que adolescentes y adultos tienen grandes
dificultades en resolver problemas que exigen del razonamiento proporcional (Behr, 1987;
Hart, 1981, Vergnaud, 1983). Estas dificultades se deben, en buena medida, al bajo grado de
comprensión de los estudiantes de los conceptos implicados en este tópico matemático
(Heller, et al., 1989).
Análisis de la cuestión generatriz inicial y las cuestiones derivadas
A continuación describimos la arborescencia de cuestiones y respuestas que conducen
a recorrer diferentes praxeologías, a partir del estudio de la cuestión inicial Q0: ¿Cómo
elaborar un presupuesto para una construcción? Aquí la matemática es vivida como un
instrumento para articular y dar funcionalidad a la actividad matemática escolar.
En la descripción que proponemos, se indican las organizaciones matemáticas que se
recorren, las técnicas que se utilizan (incluyendo las relaciones entre ellas), la correspondiente
ampliación de los tipos de cuestiones que van apareciendo, así como los sucesivos discursos
tecnológicos que permiten interpretar, justificar y construir las técnicas que se emplean.
31
El estudio tendrá origen con el análisis de la cuestión generatriz inicial: Q0: ¿Cómo
elaborar un presupuesto para una construcción? El estudio de esta cuestión engendra la
formulación y estudio de otras cuestiones que detallaremos a continuación. Este estudio
conduce a recorrer OMs como son: OM1: Operaciones con números racionales, OM2:
Estimación de medidas, OM3: Redondeo y truncamiento de números, OM4: Figuras planas,
OM5: Rectas y segmentos, OM6: Ángulos, OM7: Circunferencia, OM8: Simetría, OM9:
Cuerpos, OM10: Proporcionalidad y OM11: Función de Proporcionalidad Directa.
En particular, la propuesta requiere estudiar la OM2: Estimación de medidas. Esta OM
resulta ser de vital importancia para la formación del grupo de estudiantes que se encuentra
dirigida la propuesta. La estimación es una noción que abarca los primeros tres años de la
Escuela Secundaria Obligatoria (ESO). En el Diseño Curricular de la Provincia de Córdoba
para los primeros tres años de la ESO se vislumbra en el Eje “Geometría y Medidas” en
particular en problemas donde se requiere la “Exploración de situaciones en las que hay que
estimar y calcular medidas” y “Reconocimiento de la inexactitud de la medida” que
atraviesan de manera transversal a los tres primeros años.
Según Segovia (1989) la enseñanza de la estimación es necesaria por diversas razones,
en principio por su utilidad práctica y porque permite complementar la formación de los
estudiantes. El autor sostiene que “la estimación es un juicio sobre el valor del resultado de
una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de circunstancias
individuales del que lo emite”. (Segovia, Castro, Rico y Castro, 1989, p. 18).
A continuación se presenta la situación inicial con la que se estima iniciar el estudio.
Situación inicial
En la escuela se está gestionando un proyecto para la ampliación del taller y nos proponen que
elaboremos un presupuesto para poder realizar la ampliación. Este deberá incluir todos los
materiales y costos necesarios para poder realizar la ampliación.
En el Esquema 1 detallamos el conjunto de preguntas que emergerían del estudio de la
situación inicial. Considerando el grupo de estudiantes con el que se estima desarrollar el
estudio, derivamos 22 preguntas que consideramos fundamentales. El estudio de estas
cuestiones, conducen a recorrer 11 OM y una organización relacionada con el estudio de
32
unidades de medición (OU1). En el Esquema 1 indicamos las OMs que se recorrerán con el
estudio de la situación inicial, junto al tipo de tareas (Ti) que presumimos que deberán
resolver los estudiantes. Destacamos que todas estas organizaciones serán recorridas más de
una vez. En particular, en el esquema se señala la pregunta que origina recorrer cada OM. Así,
por ejemplo el estudio de la OM3 en profundidad tendría lugar a partir deOM2: Estimación de
medidas, pero también se requiere para dar respuesta a cuestiones tales como Q1,2,1,Q1,2,2,
Q1,2,3, Q1,2,4, Q1,2,5, Q1,2,7, Q1,2,8. En particular, la OM10reúne a varias cuestiones (Q1,2,1, Q1,2,1,1,
Q1,2,1,2, Q1,2,2, Q1,2,3, Q1,2,4, Q1,2,5, Q1,2,7, Q1,2,8), pues para dar respuesta es necesario recorrer en
todas ellas la OM relativa a proporcionalidad y en particular estudiar el tipo de tareas:
���� :Calcular magnitudes directamente proporcionales. Como así también la OM11: Función
de Proporcionalidad Directa que reúne las siguientes cuestiones Q1,2,1, Q1,2,2, Q1,2,3, Q1,2,4,
Q1,2,5, Q1,2,7, Q1,2,8 y permite el estudio del tipo de tareas ���� :Determinar la expresión de la
Función de Proporcionalidad Directa. Este estudio da lugar a la obtención de una expresión
generalizada de dicha función. Y a su vez este estudio también requiere recorrer en la OM1:
Operaciones con números racionales, OM2: Estimación de medidas, OM3: Redondeo y
truncamiento de números, OU1: Unidades de medición.
33
OM
10: Proporcionalidad
���
�: Calcular magnitudes directamente proporcionales.
Esquem
a 1
OM
11: Función de proporcionalidad directa
���
� : Determinar la expresión de la función de proporcionalidad directa
OM
1: Operaciones con números racionales
���:O
perar con núm
eros racionales positivos.
OM
5: Rectas y segm
entos
���: Trazar rectas y segmentos
con Geogebra
OM
6: Ángulos
���:
Trazar
ángulos
con
Geogebra
OM
7: Circunferencia
��: Trazar circunferencias con
Geogebra
OM
8: Simetría
��: Establecer la simetría
de
objetos
geom
étricos
con
Geogebra
Q1,1,2,1: ¿Cuáles son las
dimension
es que
debería tener el nuevo
ambiente a con
struir?
Q1, 1 ,3:¿Cóm
o diseñar el plano
con
Geogebra®?
Q1, 1, 2: ¿C
uál será la
funcionalidad del n
uevo
ambiente del ta
ller?
Q1,1,1: ¿Cuá
les son los am
bientes qu
e actualmente conform
an al taller?
OM
9: Cuerpos
���:
Calcular
el volumen de un
paralelepípedo.
Q1, 2,8: ¿C
uántos mosaicos se necesitan
pa
ra cubrir el piso de la
ampliación
del
taller?
Q1, 2,7: ¿C
uántos litros de pintura son
necesarias para pintar la
ampliación del
taller?
Q1,2,6: ¿Cuántas ventanas son necesarias
comprar para colocar en la
obra?
Q1,2,5: ¿Cuántos metros de hierro son
necesarios para construir la ampliación?
Q1,2,4: ¿Cuántas bolsas de cem
ento son
necesarias para construir la obra?
Q1, 1,3,1: ¿Q
ué com
ando
s son
necesarios emplear para la
construcción con Geogebra®?
Q1, 1, 3
, 2: ¿P
or qué es necesario
emplear los comandos
detalla
dos?
Q1,2,3: ¿Cuá
ntas bolsas de cal son
necesarias para construir la obra?
Q1, 2: ¿Q
ué materiales son
necesarios para construir la
obra?
Q
1,2,2: ¿Cuá
ntos metros cúbicos de arena
son necesarios para construir la obra?
Q1, 2, 1
, 2: ¿C
ómo hallar el equivalente
entre una unidad y otra?
Q1,2,1,3:¿C
ómo expresar
cantidad
es con varias
cifras decimales?
OU
1: Unidades de medición.
���: Cam
biar de medidas de
longitud en centímetros
a metros.
Q1, 2, 1
,1:¿En qué
unidades se expresan
las
medidas de longitud
?
Q1,2, 1: ¿C
uántos
ladrillos son
necesarios para
construir la obra?
Q1: ¿Cuá
les son los elem
entos
esenciales que debe comprender un
presupuesto para realizar un
a ob
ra?
Q1,1,1,1,1: ¿Cuá
l es el margen de error
de la
s mediciones efectuadas?
Q1, 1, 1
,1: ¿C
uáles son las
dimensiones actuales del taller?
Q1, 1: ¿C
ómo diseñar el plano
del taller?
OM
4: Figuras planas
���:
Calcular
el área de
un
rectángulo.
�� :
Calcular
el perím
etro de
rectángulos
OM
2: Estimación de medidas.
� �: Estimar el valor probable de la medición
� : Estimar errores de medición.
� ��: Estim
ar el error relativo de una medición.
� � : Estim
ar el error absoluto de una medición.
� ��: Estim
ar el error porcentualde una medición
OM
3:
Redondeo
y truncamiento de núm
eros.
���: Redondear números.
�� : Truncar números.
Q0: ¿C
óm
o e
labora
r un p
resu
pues
to p
ara
una c
onst
rucc
ión?
34
Una vez planteada la situación inicial, el primer gesto del estudio consiste en
familiarizarse con la situación, planteando nuevas preguntas y proponiendo un plan de actuación
para seguir con el estudio. Así tendría lugar ser vivido el primer momento de estudio, dónde los
estudiantes se inician en abordar la problemática de por qué se va a ampliar el taller y cómo se va
a ampliar el taller.
Consideramos que el estudio de Q0derivaráesencialmente en el estudio de las cuestiones
que se describen a continuación.
Q1: ¿Cuáles son los elementos esenciales que debe comprender un presupuesto para realizar
una obra?
Para dar respuesta a esta pregunta es necesario tomar conocimiento de las dimensiones
del taller y de la ampliación pretendida. Esto nos conduce a la necesidad de elaborar el plano del
taller, sumergiéndonos en el estudio de las siguientes cuestiones:
Q1, 1: ¿Cómo diseñar el plano del taller?
El estudio de esta cuestión nos deriva en la formulación y estudio de las siguientes
preguntas:
Q1, 1,1: ¿Cuáles son los ambientes que actualmente conforman al taller?
El ambiente de la escuela que se denomina taller se compone por los baños y vestuarios
masculinos y femeninos, la sala de profesores, un aula y una sala donde se ubican maquinarias
para la realización de prácticas afines a los oficios que ofrece la institución (hojalatería,
carpintería y electricidad). A continuación se presentan algunas imágenes de la escuela como
referencia para acompañar a las explicaciones expuestas en el cuerpo del trabajo.
35
Imagen 1. En esta imagen podemos observar un
portón blanco que es la entrada al taller.
Imagen 2. En esta imagen podemos observar el
portón blanco que es la entrada al taller, y una
puerta con vidrios repartidos que es una de las
puertas laterales de acceso a la escuela.
Imagen 3. En esta imagen se puede observar el
pasillo que nos comunica con el taller. Las dos
puertas del lado izquierdo nos permiten ingresar al
mismo.
Imagen 4. En esta imagen se puede observar el
pasillo que va hacia los baños y vestuarios.
36
Imagen 5. En esta imagen podemos observar el
sector de trabajo del taller.
Imagen 6. En esta imagen podemos observar el
aula de estudio.
Q1, 1, 1,1: ¿Cuáles son las dimensiones actuales del taller?
El estudio de esta cuestión nos conduce a introducirnos en la problemática de ¿cómo
efectuar una medición? Esto conducirá a la comunidad de estudio en salirse del tema, para luego
reingresar en la confección del presupuesto. Pues, el proceso de medición es una operación física
experimental en la que se asocia a una magnitud física un valor, en relación a la unidad que
arbitrariamente se ha definido para medir dicho valor. Medir no representa en la mayoría de los
casos una tarea sencilla. Requiere definir y ejecutar correctamente tres pasos:
• qué es lo que se va a medir,
• cómo se va a medir y
• con qué elementos se va a medir.
Un aspecto central de la medición es el análisis de errores para estimar la precisión con
que podemos alcanzar en nuestras medidas.
Así, ante Q1, 1, 1,1 cada pequeño grupo de estudiantes tendría que realizar las mediciones
correspondientes, para luego analizar y comparar las medidas que cada grupo ha registrado. Al
37
efectuar las mediciones del taller, los estudiantes obtendrán diferentes medidas y deberán acordar
cuál es el margen de error de dichas medidas. Para ello, se sumergirán en la problemática de:
Q1, 1, 1, 1,1: ¿Cuál es el margen de error de las mediciones efectuadas?
Todas las cantidades físicas se miden, inevitablemente, con algún grado de
incertidumbre, generada por las imperfecciones de los instrumentos de medida o por las
limitaciones de nuestros sentidos. Ninguna medición física puede dar un valor absolutamente
exacto de una cantidad física (un valor rigurosamente exacto tendría en principio, infinitas cifras
decimales). Esto hará que los estudiantes vivan la dialéctica de entrar y salir del tema. Deberán
salir del tema de estudio para ingresar en una organización relativa a estimación de medidas
(OM2), representada por los tipo de tareas:���: Estimar el valor probable de la medicióny��
�:
Estimar errores de medición. En particular, los estudiantes se deberán sumergir en el estudio de
la tarea �����: Estimar el error relativo de una medición, la tarea��
���: Estimar el error absoluto de
una medición y la tarea �����: Estimar el error porcentual de una medición.
Destacamos que el estudio de las tareas �����, ��
��� y �����se encuentra relacionado con el
estudio de inexactitud de las medidas propuestas para ser estudiadas desde el primer año de la
ESO en el Diseño Curricular de la Provincia de Córdoba. Aquí se procurará que los alumnos
busquen en medias que permitan dar respuesta a las tareas mencionadas.
De manera hipotética con una cinta métrica de cinco metros y con la mínima graduación
en milímetros, comenzaremos a realizar el estudio del cálculo del valor probable���� de las
dimensiones de los ambientes del taller. Este valor Vp es la suma de todas las medidas u
observaciones realizadas por cada grupo dividida por el número de observaciones.
�� ���� � �� � �� ��� ��
Siendo �� , �� , ��, ….���cada una de las medidas u observaciones realizadas y la
cantidad de observaciones. Por lo que a continuación se detalla el valor probable de cada una de
las medidas de cada uno delos ambientes del taller. Para ello se efectuarán 10 mediciones de
cada ambiente.
38
Los estudiantes calcularán las dimensiones de baños y vestuarios. Estos dos ambientes los
consideramos como únicos. La superficie que ocupan forma un rectángulo cuyas medidas de los
lados l1y l2 se obtendrán a continuación:
• Observaciones de baños y vestuarios.
Observaciones de l1:
�� � !�"#$�%
�� � !�"#&�%
��� � !�'($�%
�) � !�"#*�%
�+ � !�'("�%
�, � !�"#(�%
�- � !�"#.�%
�/ � !�'('�%
�0 � !�'1(�%
��� � !�'(!�%
Calculo del valor probable de l1:
��� � �!�"#$� � !�"#& � !�'($ � !�"#* � !�'(" � !�"#( � !�"#. � !�'(' � !�'1( � !�'(!�
1(
� �!'
1(� !�'((
Por lo tanto l1 = 4,300 m.
Observaciones de l2:
�� � &�#(*�%
�� � &�*#'�%
�� � &�*#&�%
�) � &�**(��%
�+ � &�#(#�%
�, � &�*##�%
�- � &�#(#�%
�/ � &�*#.�%
�0 � &�#1(�%
��� � &�*##�%
Calculo del valor probable de l2:
��� � �&�#(* � &�*#' � &�*#& � &�**( � &�#(# � &�*##� � &�#(# � &�*#. � &�#1( � &�*##
1(
�&#
1(� &�#((
39
Por lo tanto l2 = 7,900 m.
Los estudiantes calcularán las dimensiones de la sala de profesores. La superficie que
ocupa forma un rectángulo cuyas medidas de los lados l1y l2 se obtendrán a continuación:
• Observaciones de la sala de profesores.
Observaciones de l1:
�� � "�&#(�%
�� � "�*($�%
�� � "�*1(�%
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Calculo del valor probable de l1:
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Por lo tanto l1 = 2,800 m.
Observaciones de l2:
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Calculo del valor probable de l2:
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40
Por lo tanto l2 = 4 m.
Seguidamente los estudiantes calcularán las dimensiones del aula. La superficie que
ocupa forma un rectángulo cuyas medidas de los lados l1y l2 se obtendrán a continuación:
• Observaciones del aula.
Observaciones de l1:
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Calculo del valor probable de l1:
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Por lo tanto l1 = 6,900 m.
Observaciones de l2:
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41
Calculo del valor probable de l2:
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1(� '�#((
Por lo tanto l2 = 3,900 m.
Los estudiantes calcularán las dimensiones del taller. La superficie que ocupa forma un
rectángulo cuyas medidas de los lados l1y l2 se obtendrán a continuación:
• Observaciones del taller.
Observaciones de l1:
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�� � !1�#$(�%
�� � !1�#&*�%
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Calculo del valor probable de l1:
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1(� !"
Por lo tanto l1 = 42 m.
42
Observaciones de l2:
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Calculo del valor probable de l2:
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1(
�.#
1(� .�#((
Por lo tanto l2 = 6,900 m.
Luego de establecer los valores probables de cada ambiente del taller, se tomará como
medidas aproximadas de los ambientes que componen al taller las siguientes:
• Dimensión de baños y vestuarios. Estos dos ambientes los consideramos como únicos. La
superficie que ocupan forman un rectángulo cuyas medidas de los lados son
aproximadamente: l1: 4,300 m y l2: 7,900 m.
• Dimensión de la sala de profesores. La superficie que ocupa forma un rectángulo cuyas
medidas de los lados son aproximadamente: l1: 2,800 m y l2: 4 m.
• Dimensión del aula. La superficie que ocupa forma un rectángulo cuyas medidas de los
lados son aproximadamente: l1: 6,900 m y l2: 3,900m.
• Dimensión del taller. La superficie que ocupa forma un rectángulo cuyas medidas de los
lados son aproximadamente: l1: 42 m y l2: 6,900 m.
Como las mediciones fueron realizadas por un observador, seguramente existirán
incertezas y errores experimentales, tal como se puede apreciar en los cálculos presentados en el
análisis de �� de cada uno de los ambientes medidos del taller. Pues el observador puede cometer
diversos errores, tales como utilizar inadecuadamente el instrumento de medición, no leer
correctamente la escala, etc. También los instrumentos de medición tienen defectos de
43
construcción, graduación, etc. Todas las cantidades físicas se miden, inevitablemente, con algún
grado de incertidumbre, generadas por las imperfecciones de los instrumentos de medida, o por
las limitaciones de nuestros sentidos. Por ende las cantidades físicas no se pueden expresar como
un número real; sino como un intervalo (l: X ± E; siendo X la medida efectuada por el
observador “valor probable” y E el error absoluto). Para determinar ese intervalo debemos
establecer el error absoluto de la medida efectuada. Y para calcular el error absoluto deberemos
establecer cuáles son los valores máximo y mínimo aproximadamente que se han tomado en las
observaciones realizadas para el cálculo de el valor probable.
El llamado error absoluto, que corresponde a la diferencia entre el valor mayor Xm y el
valor menor Xr que puede tomar 2, Xr < l < Xm dividido por 2:
3 � �45 6 47
"
Mientras que el error relativo se define como, el cociente entre el error absoluto y el valor
de 2:
8 � �3
2
Y el error porcentual que se define como el porcentaje del error cometido, se calcula
multiplicado por 100 al error relativo 8:
9 � �8: 1((
A continuación se desarrollan todos los cálculos del error absoluto, del error relativo y del
error porcentual de las medidas efectuadas con la cinta métrica, la cual tiene como mínimo de
graduación milímetros:
• Si se considera que las mediciones de baños y vestuarios es aproximadamente l1: 4,300 m
y l2: 7,900 m, es probable que 4,290 m <l1 < 4,310 m y 7,880 m <l2<7,910 m. Entonces se
obtiene el error absoluto para 3� �)����;)��0�
��<�(�(1(�= y 3� �
-�0��;-�//�
��<�(�(1$�=.
Por lo tanto l1: 4,300 ± 0,010 y l2: 7,900 ± 0,015.
• Si se considera que las mediciones de la sala de profesores es aproximadamentel1: 2,800
m y l2: 4 m, es probable que 2,790 m <l1 < 2,810 m y 3,994 m <l2 < 4,012 m. Entonces se
obtiene el error absoluto para 3� ���/��;��-0�
��<�(�(1(�= y 3� �
)����;��00)
��<�(�((#�=.
Por lo tanto l1: 2,800 ± 0,010 y l2: 4 ± 0,009.
44
• Si se considera que las mediciones del aula es aproximadamente l1: 6,900 m y l2: 3,900
m, es probable que 6,880 m <l1 <6,910 m y 3,890 m <l2<3,910 m. Entonces se obtiene el
error absoluto para 3� �,�0��;,�//�
��<�(�(1$�= y 3� �
��0�;��/0
��<�(�(1(�=. Por lo tanto
l1: 6,900 ± 0,015 y l2: 3,900 ± 0,010.
• Si se considera que las mediciones del taller es aproximadamente l1: 42 m y l2: 6,900 m,
es probable que 41,950 m <l1 < 42,042 m y 6,880 m <l2 <6,910 m. Entonces se obtiene el
error absoluto para 3� �)���)�;)��0+�
��<�(�(!.�= y 3� �
,�0��;,�//�
��<�(�(1$�=. Por lo
tantol1: 42 ± 0,046 yl2: 6,900 ± 0,015.
Para evaluar la mayor o menor importancia del error cometido conviene introducir el
estudio de Q1, 1, 1, 1,1 que es la siguiente:
Q1, 1, 1, 1, 1,1: ¿Cómo expresar cantidades con varias cifras decimales?
Esto conduce a recorrer la OM3: Redondeo y truncamiento de números. En particular los
estudiantes deberán abordar los tipos de tareas: ���: Redondear números y ��
�: Truncar números.
Podemos aproximar un número decimal por otro que tenga menor número de cifras
decimales. La estimación produce resultados aproximados porque en los procesos de estimación
se transforman o sustituyen los datos por otros números, en este caso se determinará que tipos de
tareas vamos a realizar���o��
�. Es necesario realizar la aproximación de números porque en
primer lugar no podemos listar todas las cifras decimales de un número y en segundo lugar esta
aproximación es esencial para poder realizar la construcción.
Esto podemos hacerlo de dos formas distintas:
• Truncamiento: Dejamos el número de decimales deseado, quitando los demás.
• Redondeo: La cifra que redondeamos aumenta en uno si la primera cifra suprimida es
mayor o igual que 5. En caso de ser menor que 5 la cifra suprimida, la cifra que
redondeamos no varía.
En este trabajo realizaremos truncamiento a tres cifras decimales como se consideraron
desde el principio con la toma de las mediciones.
45
Entonces calculamos a continuación el error relativo y el porcentual:
• El error relativo de baños y vestuarios es aproximadamente: >� ������
)�����<�(�((" y
>� �����+
-�0���<�(�((1. Por lo tanto si multiplico por 100 obtengo el porcentaje de error:
P1= (�((":1(( = (�"((�% y P2 = (�((1:1(( = (�1((%.
• El error relativo de la sala de profesores es aproximadamente: >� ������
��/���<�(�((' y
>� �����0
)�<�(�((!. Por lo tanto si multiplico por 100 obtengo el porcentaje de error:
P1 =(�((':1(( = (�'((�% y P2 = (�((":1(( = (�"(( %.
• El error relativo del aula es aproximadamente: >� �����+
,�0���<�(�((" y
>� ������
��0���<�(�((". Por lo tanto si multiplico por 100 obtengo el porcentaje de error:
P1= (�((":1(( = (�"((% y P2 = (�((":1(( = (�"((%.
• El error relativo del taller es aproximadamente: ?� ����),
)��<�(�((1 y
?� �����+
,�0���<�(�((". Por lo tanto si multiplico por 100 obtengo el porcentaje de error:
P1= (�((1:1((�= (�1((% y P2 = (�((":1(( = (�"((%.
Otras de las cuestiones que derivamos de Q1, 1: ¿Cómo diseñar el plano del taller? es:
Q1,1,2: ¿Cuál será la funcionalidad del nuevo ambiente del taller?
La funcionalidad que se quiere dar al nuevo ambiente del taller es brindar un espacio con
mesas para que los estudiantes puedan realizar sus trabajos.
Esta última pregunta tiene asociada la siguiente:
Q1, 1, 2,1: ¿Cuáles son las dimensiones que debería tener el nuevo ambiente a construir?
El taller se encuentra ubicado en la parte del frente de la escuela. Tomando como
referencia la puerta de entrada principal, el taller está ubicado en el extremo derecho de la
escuela (Imagen 1). El cual consta con un portón de entrada independiente y a dicha entrada
realizaremos las mediciones correspondientes:
46
Los estudiantes calcularán la dimensión del portón del taller. La medida l se obtendrá a
continuación:
Observaciones del portón:
Observaciones de l:
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�� � !�#((�%
�� � !�*#(�%
�) � !�*#"�%
�+ � !�*#&�%
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�- � !�#($�%
�/ � !� #1(�%
�0 � !�#((�%
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Calculo del valor probable de l:
�� � �!�#(1�� � !�#(( � !�*#( � !�*#"� � !�*#& � !�#(# � !�#($ � !� #1( � !�#(( � !�*#.�
1(
�!#
1(� !�#((
Por lo tanto l = 4,900 m.
A partir del cálculo del valor probable se establece que la dimensión del portón es de
aproximadamente 4,900 m. Esto hace que pensemos en una ampliación hacia atrás del mismo, es
decir, hacia el patio de la escuela. Así, una de las opciones a considerar es que el taller forme una
ele con la supuesta ampliación. De manera hipotética consideraremos esta opción para poder
realizar la ampliación.
Antes de continuar con las mediciones realizaremos el cálculo del error absoluto, el error
relativo y porcentual de la medida del portón de entrada al taller. Si se considera que la medida
del portón es aproximadamente l: 4,900 m, es probable que 4,890 m <l <4,910 m. Entonces se
obtiene el error absoluto para@ �)�0��;)�/0�
��<�(�(1(�=. Por lo tanto l: 4,900 ± 0,010.
Y el error relativo del portón es aproximadamente: > ������
)�0���<�(�((". Por lo tanto si
multiplicamos por 100 obtenemos el porcentaje de error: P = (�((":1(( = (�"(( %.
47
Las medidas de la ampliación del taller se obtuvieron recorriendo la OM2: Estimación de
medidas y el tipo de tareas A��: Estimar el valor probable de la medición. El desarrollo de dicha
tarea se indica a continuación:
Los estudiantes calcularán las dimensiones de la ampliación del taller. La superficie que
ocupa forma un rectángulo cuyas medidas de los lados x e y se obtendrán a continuación:
Observaciones de x:
�� � #�(1(�%
�� � #�%
�� � *�##(�%
�) � *�##*�%
�+ � #� (("�%
�, � *�##'�%
�- � #�((&�%
�/ � #�(('�%
�0 � *�##.�%
��� � #�((1�%
Calculo del valor probable de x:
�B ��#�(1(� � # � *�##( � *�##* � #�(("� � *�##' � #�((& � #�((' � *�##. � #�((1�
1(�#(
1(
� #
Por lo tanto x = 9 m.
Observaciones de y:
�� � *�"1(�%
�� � *�1#&�%
�� � *�"(&�%
�) � *�1#*�%
�+ � *� "((�%
�, � *�"(!�%
�- � *�1#(��%
�/ � *�1#'�%
�0 � *�1##�%
��� � *�"("�%
48
Calculo del valor probable de y:
�C � �*�"1(� � *�1#&� � *�"(& � *�1#* � *� "(( � *�"(! � *�1#( � *�1#' � *�1## � *�"("��
1(
�*"
1(� *�"((
Por lo tanto y = 8,200 m.
Por lo tanto, luego de realizar varias observaciones se concluye que la ampliación
ocuparía una superficie con forma de rectángulo cuyas medidas de los lados son
aproximadamente x = 9 m e y = 8,200 m. El máximo que se puede extender la construcción
hacia la parte trasera de la institución es de aproximadamente 9 m, pues después comienza el
playón de Educación Física. Y la máxima longitud que puede tomar D es 8,200 m debido a que si
se considera una longitud mayor, se verían afectadas por la construcción las maquinarias que
están amuradas al piso, y por solicitud de las autoridades de la institución no se pueden mover.
Antes de continuar, calcularemos el error absoluto, el error relativo y el error porcentual
de las medidas de la ampliación:
Si se considera que la medida de la ampliación es aproximadamente x: 9 m e y: 8,200 m,
entonces 8,990 m <x < 9,010 m y 8,190 m <y < 8,210 m. Entonces se obtiene el error absoluto
para3E �0����;/�00�
��<�(�(1(�= y 3F �
/����;/��0�
��<�(�(1(�=: Por lo tanto x: 9 ± 0,010
e y: 8,200 ± 0,010.
Y el error relativo de la ampliación es aproximadamente: >E ������
0�<�(�((1 y
>F ������
/�����<�(�((1. Por lo tanto si multiplico por 100 se obtiene el porcentaje de error:
Px = (�((1:1(( = (�1(( % y Py = (�((1:1(( = (�1(( %.
Luego de realizar todas las mediciones necesarias, consideramos que los estudiantes
tendrán que confeccionar el plano del taller y su ampliación. Cada grupo diseñará el plano del
taller tal como se encuentra actualmente más la posible ampliación. Para realizar la misma, los
estudiantes deberán tener en cuenta que el estilo de la construcción se deberá conservar. Aquí
49
proponemos que el plano del taller sea realizado con lápiz y papel, para luego estudiar y realizar
la construcción con Geogebra®, y recorrer las siguiente organizaciones OM5, OM6, OM7 y OM8.
Esta tarea hace que los estudiantes piensen qué lugares geométricos son necesarios construir para
poder realizar el plano con el software. Consideramos que esta es una tarea de gran relevancia y
que responde a las necesidades establecidas en el Diseño Curricular.
A continuación presentamos a modo de ejemplo el plano del taller y el plano con la
ampliación del mismo, realizados con lápiz y papel. En la Figura 1 y 2 se indica el plano del
taller en las condiciones actuales.
Figura 1: Plano del taller en las condiciones actuales
En esta primera imagen se pueden observar los baños y los vestuarios, la sala de
profesores, y el aula de estudio. Como así también parte del sector de trabajo de los estudiantes.
En la Figura 2 se encuentra representado el sector de trabajo del taller.
Figura 2: Plano del sector del trabajo del taller
50
En la Figura 3 indicamos el plano de la posible ampliación del taller. Para esta
ampliación se requiere construir cuatro columnas ubicadas en los vértices del nuevo sector.
Dichas columnas cumplen con la función de amarrar los muros de ladrillos. Las autoridades de la
escuela consideran que no se colocarán puertas en la ampliación. Así, el taller quedará unificado
y se evitará reducir el espacio innecesariamente con el abrir y cerrar de puertas. En todo el taller
hay ventanas cuyas dimensiones estándares son: 1,200 m x 1,300 m. Estas se pueden observar a
la derecha en la Imagen 4. Así, en la Imagen 2 se pueden observar las dos únicas ventanas cuyas
dimensiones estándares son de 2,500 m x 1,300 m. Estas se encuentran ubicadas en la pared
perpendicular al portón de entrada al taller. Respetando estas medidas, y las características de la
construcción se van a colocar seis ventanas: cuatro de 1,200 m x 1,300 m y dos de 2,500 m x
1,300 m.
A continuación se puede observar el plano del taller con la posible ampliación:
Figura 3: Plano del nuevo sector del trabajo del taller
En el plano diseñado se ha supuesto que la ampliación del taller se encuentra
representada por un rectángulo. Pues, resulta ser la figura óptima que conserva las características
de la institución. Para calcular el área que ocuparía la ampliación los estudiantes deberán recorrer
parte de la OM4: Figuras planas y dar respuesta a la tarea�)�: Calcular el área de un rectángulo.
Así la tarea involucra considerar la función de dos variables:�G��� D� � �: D, donde cada variable
representa los lados de diferente longitud del rectángulo. En particular, por las dimensiones del
espacio libre que estaría disponible en la escuela para poder construir el taller, resulta que
( H � I # y ( H D I *�"((.La función de dos variables, no esta presente para ser estudiada en
51
los Diseños Curriculares de la Provincia de Córdoba, pero dicha noción se abordará de manera
sencilla y adecuada a las edades de los estudiantes.
Luego de analizar el espacio de la ampliación, resulta que el área será mayor cuanto
mayores sean x e y. Pues, ambas variables toman valores en intervalos positivos, porque
representan la longitud de los lados del rectángulo. Teniendo en cuenta que x e y tienen valores
positivos, resulta:�J: K L (. Puesto que consideraremos las medidas aproximadas de la
ampliación x = 9 m e y = 8,200 m, para el espacio disponible se proyecta realizar la máxima
ampliación disponible. De esta manera, la ampliación tendrá un área aproximada de 73,80 m2.
Q1, 1,3: ¿Cómo diseñar el plano con Geogebra®?
En esta instancia los estudiantes deberán perfeccionar la elaboración del plano utilizando
técnicas que emergen del estudio de �+�, �,
�,���-� y �/
�. Consideramos que en el proceso de
estudio, esta cuestión será introducida por el profesor, con el propósito de estimular en los
estudiantes el empleo de herramientas informáticas para elaborar el plano. Según el Diseño
Curricular de la Provincia de Córdoba, los estudiantes de los primeros años de la ESO deben
estudiar “Uso de instrumentos de geometría y programas graficadores para la construcción de
figuras a partir de informaciones” con el empleo del software Geogebra®. Este software
constituye una herramienta que proporciona un medio para la manipulación directa de las
representaciones de los objetos geométricos a través de su principal rasgo que es el arrastre.
Permite construir significado de los objetos geométricos a través de la posibilidad de
transformación continua de los dibujos, y que son diferentes a los construidos al utilizar papel y
lápiz (Acosta, 2005). El dinamismo proporcionado por el Software de Geometría Dinámico
(SGD) posibilita la exploración de situaciones geométricas permitiendo generalizar situaciones y
buscar propiedades invariantes a partir de casos particulares. Esto involucra un trabajo
exploratorio que implica realizar ensayos, equivocarse, reajustar, intentos de explicar lo que
sucede, establecer si se puede armar o no un dibujo. Así la comprensión y la explicación de las
resoluciones demandan del uso de propiedades, y se pone de manifiesto que en geometría ver y
dibujar son insuficientes (Itzcovich, 2005). El SGD destaca la diferencia entre dibujo y figura,
pues en este ambiente las construcciones geométricas se encuentran realizadas con base en las
relaciones lógicas entre los objetos y no solo sobre los aspectos figúrales de las mismas,
permitiendo que al momento de hacer una construcción por medio del arrastre, las propiedades
52
geométricas se mantengan invariantes (Larios, González, 2009). Así la utilización del software
resulta relevante para recorrer conocimientos específicos de la construcción de las figuras.
A continuación, en la Figura 4 presentamos un posible plano realizado con Geogebra®:
Figura 4. Plano del taller con la ampliación elaborado con Geogebra®
La construcción del plano con Geogebra® implica abordar la siguiente cuestión:
Q1, 1, 3,1: ¿Qué comandos son necesarios emplear para la construcción con Geogebra®?
Las construcciones del plano del taller requiere el empleo de los siguientes comandos de
Geogebra®:
• Recta que pasa por dos puntos.
• Recta perpendicular.
• Recta paralela.
• Circunferencia dado el centro y radio.
• Segmento dado punto extremo y longitud.
• Intersección entre dos objetos.
• Segmentos entre dos puntos.
• Punto medio o centro.
• Refleja objeto por punto.
• Arco de circunferencia dados su centro y dos extremos.
Según el Diseño Curricular de la Provincia de Córdoba, estas nociones se proponen
estudiar en el primer y segundo año de la ESO. Como también se hace más hincapié a la
justificación de construcciones de las figurar bidimensionales en el tercer año de la ESO, en el
eje “Geometría y Medidas” con la noción “Producción de argumentaciones acerca de validez de
53
propiedades de figuras como ángulos interiores, bisectrices, diagonales para justificar las
resoluciones de problemas”.
A continuación detallamos la justificación del empleo de cada comando.
Q1, 1, 3,2: ¿Por qué es necesario emplear los comandos detallados?
El empleo de los comandos detallados conducen a recrear OMs que los alumnos debieron
estudiar en años anteriores, tal como se detalló anteriormente: OM5: rectas y segmentos (de esta
OM los estudiantes deberán abordar el tipo de tareas: �+�: Trazar rectas y segmentos con
Geogebra); OM6: Ángulos (de esta OM los estudiantes deberán abordar el tipo de tareas: �,�:
Trazar ángulos con Geogebra); OM7: Circunferencia (de esta OM los estudiantes deberán
abordar el tipo de tareas: �-�: Trazar circunferencias con Geogebra); OM8: Simetría (de esta
OM los estudiantes deberán abordar el tipo de tareas: �/�: Establecer la simetría de objetos
geométricos con Geogebra).
Cada uno de los comandos utilizados tiene una justificación. A continuación se explicita
qué comandos fueron utilizados para la construcción de los diferentes ambientes del taller:
• El trazado de rectas perpendiculares es empleado para determinar ángulos rectos y así
poder construir rectángulos que representan cada ambiente del taller.
Figura 5
54
• El trazado de circunferencias dado el centro y radio se emplean para determinar la
longitud de los segmentos sobre las rectas construidas con anterioridad.
Figura 6
• El trazado de rectas paralelas es empleado para determinar los lados paralelos y así poder
construir los rectángulos que representan cada ambiente del taller.
Figura 7
• El punto medio se implementa para dividir en partes iguales los segmentos que se
utilizaron para construir los baños y los vestuarios.
Figura 8
55
• También para el mismo caso se puede utilizar refleja objeto por punto y realizar una
simetría central.
Figura 9
• Los arcos de circunferencias dados su centro y dos extremos se utilizan para determinar
el movimiento de abrir y cerrar las puertas.
Figura 10
El estudio de Q1, 1,3 y sus cuestiones derivadas nos conducen a estudiar las propiedades
geométricas de cada uno de los elementos utilizados para la construcción con Geogebra®.
A continuación detallaremos otras cuestiones que se derivan del estudio de Q1.
Q1, 2: ¿Qué materiales son necesarios para construir la obra?
Al momento de pensar los materiales necesarios para la construcción se deberá considerar
los pasos a seguir para realizar la construcción. Así, para la elaboración de la obra se requiere
material para la confección de los cimientos, el piso, las paredes, el techo, los revoques grueso y
56
fino, el encadenado superior e inferior de las paredes y la pintura. Los siguientes datos fueron
extraídos del Manual Práctico de Construcción del Arquitecto Jaime Nisnovich (Nisnovich,
2006) e indican la cantidad de material por unidad de medida para cada componente de la
construcción.
Cimientos:
Cantidades por m3
Cimientos corrido de hormigon de
cascote
Cal 81 Kg
Cemento 38,400 Kg
Arena 0,510 m3
Cascote 0,770 m3
Tabla 1
Cantidades por m
Hierros Hierro del 8 4 m
Hierro del 4 3 m
Tabla 2
Piso:
Cantidades por m3
Contrapiso Cal 81 Kg
Cemento 38,400 Kg
Arena 0,510 m3
Cascote 0,770 m3
Tabla 3
Cantidades por m2
Colocación de mosaicos y
baldosas. (Espesor mezcla 2 cm)
Cal Aérea3 5,900 Kg
Cemento 3,100 Kg
Arena 0,030 m3
Tabla 4
3La cal aérea es cal viva, y para su empleo es necesario dejarla en reposo con agua.
57
Paredes:
Cantidades por m2
Paredes de 20 cm. (Espesor de
juntas 1 cm, ladrillos huecos de
8x18x33)
Cal 7,800 Kg
Cemento 8Kg
Arena 0,030 m3
Ladrillos
Huecos
34 Ladrillos
Tabla 5
Techo:
Cantidades por m3
Contrapiso del techo, techado
elástico.
Cal 81 Kg
Cemento 38,400 Kg
Arena 0,510 m3
Cascote 0,770 m3
Tabla 6
Revoque Grueso:
Cantidades por m2
Revoque Grueso (Espesor 1,5
cm)
Cal 3,600 Kg
Cemento 1,850 Kg
Arena 0,010 m3
Tabla 7
Revoque Fino:
Cantidades por m2
Revoque Fino (Espesor de 0,5
cm)
Cal Aérea 1,600 Kg
Cemento 0,450 Kg
Arena 0,010 m3
Tabla 8
58
Refuerzos de hormigón armado:
Cantidades por m
Encadenamiento inferior y
superior para paredes de 20 cm
Cemento 18 Kg
Arena 0,040 m3
Piedra 0,040 m3
Hierro del 8 8 m
Hierro del 4 6 m
Tabla 9
Pintura:
Cantidades por m2
Pintura Verde 0,100 L
Blanca 0,100 L
Tabla 10
A continuación detallamos las cuestiones que se derivan del estudio de Q1,2.
Q1, 2,1: ¿Cuántos ladrillos son necesarios para construir la obra?
Para calcular aproximadamente la cantidad de ladrillos a utilizar, es necesario calcular el
área de las paredes. Esto hace que nuevamente los estudiantes deban recorrer la (OM4). Para
efectuar los cálculos, se requiere tener en cuenta el área que cubre cada una de las aberturas que
componen la ampliación. Por otro lado, la cantidad de ladrillos va a depender de las dimensiones
de los mismos, pues en el mercado se dispone de varias medidas. Para determinar la cantidad
aproximada de ladrillos los estudiantes deberán analizar lo siguiente:
Analizando la posible ampliación, tenemos tres paredes que construir. En la siguiente
tabla se indican las medidas aproximadas de cada una de las paredes:
Pared 1 (p1) Pared 2 (p2) Pared 3 (p3)
Pared de l1 = 9 m y l2 = 3 m Pared de l1 = 9 m y l2 = 3 m Pared de l1 = 8,200 m y l2 = 3 m
Área GM� ��27 m2 Área GM� ��27 m2 Área GM� ��24,600m2
Tabla 11
59
A continuación calculamos las áreas aproximadas que ocuparán las aberturas. En nuestro
caso, se estima que la construcción requerirá de la instalación de seis ventanas, cuyas medidas
son valores estándar de las ventanas. Nos basaremos en ellos para poder realizar los cálculos
correspondientes.
• Se colocarán cuatro ventanas cuyas dimensiones son: l1 = 1,200 m y l2 = 1,300 m. El área
que cubre cada ventana es de GN� ��1,560 m2. El área total que representan las cuatro
ventanas es !: GN� ��6,240 m2.
• Se colocaran dos ventanas cuyas dimensiones son: l1 = 2,500 m y l2= 1,300 m. El área
que cubre cada ventana es de GN� ��3,250 m2. El área total que representan las dos
ventanas es "GN� ��6,500 m2.
Se calcula el área de cada pared y se le descuenta el área de las ventanas:
• En la pared 1 de l1 = 9 m y l2 = 3 m se colocarán dos ventanas, cuyas dimensiones son
l1 = 1,200 m y l2 = 1,300 m. Por lo tanto, el área aproximada a cubrir con ladrillos es:
GM� 6 ": GN� � �"&�=�– �": 1�$.(�=� � �"'�**(�=�:
• En la pared 2 de l1 = 9 m y l2 = 3 m se colocarán dos ventanas, cuyas dimensiones son
l1 = 1,200 m y l2 = 1,300 m. Por lo tanto, el área aproximada a cubrir con ladrillos es:
GM� 6 ": GN� � �"&�=�– �": 1�$.(�=� � �"'�**(�=�:
• En la pared 3 de l1 = 8,200 m y l2 = 3 m se colocarán dos ventanas, cuyas dimensiones
sonl1 = 2,500 m y l2= 1,300 m. Por lo tanto, el área aproximada a cubrir con ladrillos es:
GM� 6 "GN� � "!�.((�=�– �": '�"$(�=� � �1*�1((�=�
Por lo tanto, el área total aproximada a cubrir con los ladrillos es:
�GM� 6 ": GN�� � �GM� 6 ": GN�� � �GM� 6 ": GN�� � ÁP8Q�R�Q2
23,880 + 23,880 + 18,100 = 65,86 m2
Trabajando algebraicamente se obtiene la siguiente expresión para calcular el área total
aproximada a cubrir con los ladrillos:
GM� �� �GM� ��GM�– �!GN� � "GN�� � �ÁP8Q�R�Q2
60
Esta fórmula general actúa como el entorno tecnológico que justifica la manera de hacer
dicho procedimiento. El estudio realizado corresponde a resolver tareas del tipo �)�: Calcularel
área de un rectángulo.
Por lo tanto, el área total aproximada para cubrir con ladrillos es 65,860 m2. En este
trabajo más adelante también los estudiantes deben recorrer la organización matemática de
redondeo o truncamiento (OM3). Esta OM es propuesta a estudiar en la Escuela Primaria, no esta
presente en los diseños curriculares de la ESO. Pero es una organización que se utiliza en
diferentes contextos a lo largo de toda la Educación Secundaria.
Antes de continuar con el estudio, tenemos la necesidad de introducirnos a la
organización que requiere el estudio del sistema de unidades (OU1: Unidades de medición), en
nuestro caso SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino). Los estudiantes deberán preguntarse
qué sistema de unidades será más conveniente utilizar para expresar sus medidas. Esto implica
abordar el tipo de tareas���: Cambiar de medidas de longitud en centímetros a metros.
Así, nos proponemos abordar en primer lugar, la siguiente cuestión:
Q1, 2, 1,1: ¿En qué unidades expresar las medidas de longitud?
Ante esta cuestión, se espera generar situaciones de discusión en el aula en la que se
buscará consenso y se arribará a la conclusión de que lo más adecuado es trabajar en metros.
Pues, son las medidas habituales que se emplean en los negocios de venta de materiales para la
construcción. Esta organización OU1: Unidades de medición, con su respectivo tipo de tarea
���: Cambiar de medidas de longitud en centímetros a metros, es propuesta para ser estudiada en
el Diseño Curricular en primer año de la ESO de la provincia de Córdoba. Esto nos sugiere que
para el estudio de la propuesta se recorra una organización ya estudiada por los alumnos. En
particular, Q1, 2,1 conduce al estudio de la siguiente cuestión:
Q1, 2, 1,2: ¿Cómo hallar el equivalente entre una unidad y otra?
En el SIMELA se considera como unidad de longitud al metro. Y cada unidad de
longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad
inmediata superior. En la siguiente tabla se indican los múltiplos y submúltiplos de metro:
61
Tabla 12
Así por ejemplo, para la construcción, la medida más típica para mediciones de longitud
es el metro. Por lo que si las medidas vienen dadas en centímetro, para poder realizar la
conversión de unidades, tendremos la siguiente función de proporcionalidad directa:
S��� ��
���: �. Aquí x representa cantidad de centímetros �� T UV��y S��� indica la cantidad de
metros. Lo cual representa el entorno tecnológico que justifica la manera de resolver el tipo de
tarea ���: Cambiar de medidas de longitud en centímetros a metros.
A continuación, retomamos el estudio de Q1, 2,1. Para las paredes exteriores, de manera
hipotética se supondrá que se emplearán ladrillos huecos de las siguientes dimensiones (Imagen
7). Y se supondrá que el espesor de las juntas será de aproximadamente 0,010 m con el propósito
de conservar las características de la edificación.
Imagen 7
Así, empleando el entorno tecnológico que emerge del estudio de Q1,2,1,2 resulta que las
medidas del ladrillo son:
S�1*� �1
1((: 1* � (�1*(�%
S�*� �1
1((: * � (�*((�%
S�''� �1
1((: '' � (�''(�%
Múltiplos Unidad Submúltiplos
Nombre Kilometro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
Símbolo Km Hm Dam m dm cm mm
Equivalencia 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,100 m 0, 010 m 0, 001 m
62
De este modo, los alumnos podrán efectuar los siguientes cálculos para determinar la
cantidad de ladrillos que necesitan para poder construir las paredes. Así, la comunidad de estudio
deberá recorrer la OM10: Proporcionalidad, y abordar el tipo de tareas:���� : Calcular magnitudes
directamente proporcionales. Esta organización matemática se propone estudiar en el Diseño
Curricular de la Provincia de Córdoba para los tres primeros años de la ESO. En particular, para
el tercer año se propone el estudio de la proporcionalidad para la resolución de diferentes
situaciones problemáticas.
En particular, el estudio de ���� resulta imprescindible para dar respuesta a Q1,2,1, Q1,2,1,1,
Q1,2,1,2, Q1,2,2 , Q1,2,3, Q1,2,4, Q1,2,5, Q1,2,7 y Q1,2,8.
Para calcular la cantidad de ladrillos necesarios para la construcción de las paredes, se
podrá proceder de la siguiente manera:
Para las paredes los ladrillos serán colocados como muestra la Imagen 7, por lo que
contemplando la junta, cada ladrillo cubre aproximadamente un área de 0,090.0,340 = 0,030 m2.
La medida de 0,090 m es producto de la medida del ladrillo cuyo lado mide 0,080 m y se le
agrega 0,010 m de la junta. Y lo mismo resulta para la medida de 0,340m. Esta resulta como
producto de que la medida del ladrillo de 0,330 m y se le agrega 0,010 m de la junta, por eso se
considera 0,340 m.
Así para calcular la cantidad de ladrillos por m2 es necesario realizar las siguientes
operaciones. Se sabe que 1 ladrillo cubre un área aproximada de 0,030 m2 y se quiere calcular
cuántos ladrillos son necesarios para cubrir 1 m2. Por lo tanto se requiere realizar el siguiente
cociente:
1
(�('(�WX�WYZ[\]^W_`]�]�
1��
����
�1�
���
�1((
'� '' ��
1
'
Esto indica que se requiere 33 ladrillos y �
� de otro para poder cubrir un metro cuadrado
de pared. Así, en el momento de solicitar ladrillos en un negocio de venta de materiales, para
construir un metro cuadrado de pared, tendremos que solicitar 34 ladrillos. Pues, los ladrillos se
63
venden por unidad y no se fraccionan. La persona que se dedique a realizar la construcción
deberá ocuparse de fraccionar los ladrillos.
Por otro lado, para efectuar el cálculo de ladrillos necesarios para construir los metros de
pared de la ampliación, podremos hacerlo a partir de la siguiente fórmula: S��� ����
�: �. Aquí x
representa metros cuadrados de pared �� T UV��yS��� indica el número de ladrillos. S���es una
función, donde ���
� es la constante de proporcionalidad e indica el número de ladrillos que se
requieren para cubrir un metro cuadrado de pared. En este caso, no redondeamos el valor de la
constante de proporcionalidad a 34 ladrillos. Pues, lo haremos al finalizar las operaciones, para
evitar sumar errores de cálculos. Pretendemos elaborar un presupuesto donde se ajuste lo más
posible a los materiales reales que se necesitan.
Sabiendo que para cada m2 de pared son aproximadamente necesarios ���
� ladrillos y
necesitamos cubrir un área aproximada de 65,860 m2, entonces multiplicamos la cantidad de
ladrillos necesarios por m2, resultando ser el producto de los ���
� ladrillos con el área aproximada
a cubrir. De esto resulta x = 65,860 m2, entonces:
S�.$�*.(� ����
�: .$�*.( � � ���� ���abcdeffgh
Por lo tanto serán necesarios aproximadamente 2196 ladrillos para poder construir las
paredes. En este caso redondeamos la cantidad de ladrillos, ya que los ladrillos se venden por
unidad y no se fraccionan. Esto pone de manifiesto la imperfección de poder establecer de
manera exhaustiva medidas y cantidades producto de situaciones reales.
La OM10: Proporcionalidad será recorrida por la comunidad de estudio a lo largo de todo
el desarrollo del trabajo. Esta OM envuelve y atraviesa a la mayoría de las cuestiones derivadas
de Q1, 2por eso es de esencial importancia en el desarrollo del trabajo. Así como también laOM11:
Función de Proporcionalidad Directa engloba a todas las cuestiones derivadas de Q1, 2 y el tipo
de tarea ���� : Determinar la expresión de la Función de Proporcionalidad Directa nos permite
obtener una expresión general que puede ser utilizada en otras situaciones problemáticas.
Otras de las posibles cuestiones a la que se podrían enfrentar los estudiantes es:
64
Q1, 2,2: ¿Cuántos metros cúbicos de arena son necesarios para construir la obra?
Para calcular la cantidad de arenaQi��� necesaria vamos a desarrollar los cálculos por
partes:
Cimientos
Se considera la relación que por cada m3 construido de cimientos son necesarios 0,510 m3
de arena. A partir de esta relación se requieren diferentes cálculos para determinar la cantidad
necesaria de arena.
Para la obra que se está estudiando, se proponen realizar cimientos que tienen una
longitud aproximada de 9 + 9 + 8,200 ~ 26,200 m, una profundidad de aproximadamente 1 m y
un ancho de aproximadamente 0,350 m. Destacamos que cada cimiento conforma un
paralelepípedo. Esto conduce a los estudiantes a recorrer la OM9: Cuerpos, y en particular
abordar el tipo de tareas �0�: Calcular el volumen de un paralelepípedo. Así, para obtener la
cantidad de m3 que tenemos que rellenar se calcula el volumen aproximado del paralelepípedo:
V = 0,350.1.26,200 ~ 9,170 m3. Y entonces para calcular la cantidad de arena necesaria debemos
multiplicar el volumen por la cantidad de arena que es necesario para 1 m3; por lo tanto resulta
Q���� � (�$1(: �donde x representa metros cúbicos de cimientos �� T UV�y Q���� indica la
cantidad de metros cúbicos de arena necesarios, por lo tanto aproximadamente
Q��#�1&(� � (�$1(:#�1&(�<�!�.&.�=�jW�]kW_]. Es decir, son necesarios aproximadamente
4,676 m3 de arena para realizar los cimientos.
Por otro lado, el contrapiso es una construcción que tiene tres dimensiones: alto, largo y
ancho, quedando conformado un paralelepípedo. Esto hace que los estudiantes nuevamente
deban recurrir a dar respuesta a cómo calcular el volumen de un paralelepípedo (OM9).
Para el contrapiso se consideran necesarios 0,510 m3 de arena por cada m3 Teniendo en
cuenta esta relación y que el piso es un rectángulo, comenzamos a efectuar los cálculos
necesarios. Para responder a esta cuestión se debe abordar al tipo de tareas �)�: Calcular el área
de un rectángulo.
65
Área aproximada del piso: 9.8,200 ~ 73,800 m2.
Para el contrapiso se estudia el tipo de tarea �0�: Calcular el volumen de un
paralelepípedo. Para su hacer se va a considerar un espesor de contrapiso de aproximadamente
0,100 metros. Por lo cual el volumen aproximado es� � &'�*((:(�1((�<�&�'*(�=�, por lo tanto
resulta queQ���� � (�$1(: �donde x representa metros cúbicos de contrapiso�� T UV��y�Q����
indica la cantidad de metros cúbicos de arena necesarios. Entonces se necesitarán
aproximadamente Q��&�'*(� � (�$1(:&�'*(�<�'�&.'�%� de arena. Es decir, se requiere
aproximadamente de 3,763 m3 de arena para realizar el contrapiso.
Al colocar los mosaicos se consideran que por cada m2 son necesarios 0,030 m3 de arena,
tomando en consideración que el espesor de la mezcla para colocar los mosaicos es de 0,020 m.
Entonces, sabiendo que el área aproximada del piso es 73,800 m2, resulta que
Q���� � (�('(: �donde x representa metros cuadrados de piso �� T UV��y�Q���� indica la
cantidad de metros cúbicos de arena necesarios, entonces
Q��&'�*((� � (�('(:&'�*((�<�"�"1!�%�de arena. Es decir, se requiere aproximadamente de
2,214 m3de arena para colocar los mosaicos.
Paredes
Se toma la relación de que por cada m2 de construcción se utilizan 0,030 m3 de arena.
El área aproximada de las paredes a cubrir es 65,860 m2, por lo tanto Q)��� � (�('(: �
donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV���y Q)��� indica la cantidad de metros
cúbicos de arena necesarios. Por lo tanto, para calcular la cantidad de arena aproximada debemos
hacer Q)�.$�*.(� � (�('(:.$�*.(�<�1�#&$�%�. Entonces, se requiere aproximadamente de
1,975 m3 de arena para construir las paredes.
66
Techo
Para el techo se colocará una membrana elástica y luego se rellena con la misma mezcla
del contrapiso. Por esto para el techo se considera necesario 0,510 m3 de arena por cada m3.
Teniendo en cuenta esta relación, comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
Área aproximada del techo: 9.8,200~ 73,800 m2.
Para el techo se va a considerar un espesor de aproximadamente 0,200 m, por lo cual el
volumen aproximado es � � &'�*((:(�"((�<��1!�&.(�=�, por lo tanto resulta que
Q+��� � (�$1(: � donde x representa metros cúbicos de techo �� T UV� y Q+��� indica la
cantidad de metros cúbicos de arena necesarios. Entonces se necesitarán
aproximadamenteQ+�1!�&.(� � (�$1(:1!�&.(�<�&�$"&�=�de arena. Entonces, se requiere de
aproximadamente 7,527 m3 de arena para construir el techo.
Revoque Grueso
Para el revoque grueso se consideran necesarios 0,010 m3 de arena por cada m2. Teniendo
en cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2, como el revoque también
debe hacerse del exterior, realizamos 2.65,860 = 131, 720 m2. Por lo tanto Q,��� � (�(1(: �
donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV��y�Q,��� indica la cantidad de metros
cúbicos de arena necesarios, entonces aproximadamente
Q,�1'1� &"(� � (�(1(: 1'1� &"(�<�1�'1&�=� de arena. Es decir, que se requiere de
aproximadamente �� �� m3 de arena para el revoque grueso de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, por lo tanto Q-��� � (�(1(: �donde x
representa metros cuadrados de techo �� T UV��y �Q-��� indica la cantidad de metros cúbicos de
arena necesarios, por lo cual realizamos el siguiente producto para calcular aproximadamente la
cantidad de arena Q-�&'�*((� � (�(1(:&'�*((�<�(�&'*�%� de arena. Es decir, que se requiere
de aproximadamente 0,738 m3 de arena para el revoque grueso del techo.
En total aproximado es �Q,V-�"($�$"� � Q,�1'1� &"(� � Q-�&'�*((� ��
67
�� ��+ 0,738 ~ 2,055 m3de arena. Por lo tanto, se requiere de 2,055 m3de arena.
Revoque Fino
Para el revoque se consideran necesarios 0,010m3 de arena por cada m2. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2,como el revoque también
debe hacerse del exterior, realizamos 2.65,860 = 131, 720 m2. Por lo tanto
Q/��� � (�(1(: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y Q/��� indica la
cantidad de metros cúbicos de arena necesarios, entonces aproximadamente
Q/�1'1� &"(� � (�(1(: 1'1� &"(�<�1�'1&�=� de arena. Es decir, que se requiere de
aproximadamente 1,317 m3 de arena para el revoque fino de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, por lo tanto Q0��� � (�(1(: �donde x
representa metros cuadrados de techo �� T UV� y Q0��� indica la cantidad de metros cúbicos de
arena necesarios, por lo cual realizamos el siguiente producto para calcular aproximadamente la
cantidad de arena Q0�&'�*((� � (�(1(:&'�*((�<�(�&'*�%� de arena. Es decir, que se requiere
de aproximadamente 0,738 m3 de arena para el revoque grueso del techo.
En total aproximado es Q/V0�"($�$"� � Q/�1'1� &"(� � Q0�&'�*((� ������������������
�� �� + 0,738~2,055 m3de arena. Por lo tanto, se requiere de 2,055 m3de arena.
Refuerzos de hormigón armado
Para el encadenamiento inferior y superior se consideran necesarios 0,040 m3 de arena
por cada metro. Teniendo en cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
La longitud aproximada de la ampliación es 26,200 m, entonces Q����� � (�(!(: �donde
x representa metros de hormigón �� T UV� y Q����� indica la cantidad de metros cúbicos de
arena necesarios, por lo tanto para calcular la cantidad de arena necesaria se resuelve realizando
el siguiente productoQ����".�"((� � (�(!(:".�"((�<�1�(!*�%�de arena. Entonces, se requiere
de aproximadamente 1,048 m3 de arena para los refuerzos.
68
El total aproximado de m3de arena es:
Q��#�1&(� � Q��&�'*(� � Q��&'�*((� � Q)�.$�*.(� � Q+�1!�&.(� � Q,V-�"($�$"� � Q/V0�"($�$"� � Q����".�"((� �
4,676 + 3,763 + 2,214 +1,975 + 7,527 + 2,055 m3+ 2,055 m3+ 1,048~25,313m3de arena.
Por lo tanto son necesarios aproximadamente 26 m3 de arena para toda la construcción.
Otras de las cuestiones que se derivan de Q1, 2es:
Q1, 2,3: ¿Cuántas bolsas de cal son necesarias para construir la obra?
Hipotéticamente se considera utilizar bolsas de cal de 25 Kg. En los negocios de venta de
material para la construcción, la cal se fracciona en bolsas cerradas y las más típicas contienen
25kg. En esta cuestión se debe abordar el tipo de tareas �)�lCalcular el área de un
rectánguloy�0�l�Calcula el volumen de un paralelepípedo para dar respuesta.
Para calcular la cantidad de bolsas de cal mQi���necesarias vamos a desarrollar los
cálculos por partes:
Cimientos
Se considera la relación de que por cada m3 construido de cimientos son necesarios 81 Kg
de cal. A partir de esta relación se producen diferentes cálculos para determinar la cantidad
necesaria.
Cada uno de los cimientos conforma un paralelepípedo, por lo tanto calculando el
volumen aproximado se obtiene V= 0,350.1.26,200~ 9,170 m3, por lo tanto mQ���� � *1: �
donde x representa metros cúbicos de cimientos �� T UV� y mQ���� indica la cantidad de
kilogramos de cal necesarios, entonces mQ��#�1&(� � *1:#�1&(�<�&!"�&&(�Гo� de cal. Es decir,
que son necesarios aproximadamente 742,770 Kg de cal para los cimientos.
69
Piso
Para el contrapiso se consideran necesarios 81 Kg de cal por cada m3. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
Área aproximada del piso: 9.8,200~ 73,800 m2.
Para el contrapiso se va a considerar un espesor de 0,100 m. Por lo cual el volumen
aproximado del contrapiso es: V = 73,800.0,100~ 7,380 m3, por lo tanto mQ���� � *1: � donde x
representa metros cúbicos de contrapiso�� T UV� y mQ���� indica la cantidad de kilogramos de
cal necesarios. Entonces se necesitarán aproximadamente
mQ��&�'*(� � *1:&�'*(�<�$#&�&*(�Гo� de cal. Así, se requiere de aproximadamente 597,780
Kg de cal para la construcción del contrapiso.
Al colocar los mosaicos se estima que por cada m2 son necesarios 5,900 Kg de cal aérea.
Además, se considera que el espesor de la mezcla para colocar los mosaicos es de 0,020 m.
Entonces sabiendo que el área aproximada del piso es 73,800 m2, por lo tanto
mQ���� � $�#((: � donde x representa metros cuadrados de piso �� T UV� y mQ���� indica la
cantidad de kilogramos de cal necesarios. Entonces tenemos aproximadamente
mQ��&'�*((� � $�#((:&'�*((�<�!'$�!"(�Гo�de cal aérea. Es decir, que se requiere
aproximadamente de 435,420 Kg de cal aérea para colocar los mosaicos.
Paredes
Se toma la relación de que por cada m2 de construcción se utilizan 7,800 Kg de cal.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2, por lo tanto
mQ)��� � &�*((: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y mQ)��� indica la
cantidad de kilogramos de cal necesarios. Entonces para calcular la cantidad de cal debemos
hacer mQ)�.$�*.(� � &�*((: .$�*.(�<�$1'� &(*�Гo. Es decir, que son necesarios
aproximadamente513, 708 Kg de cal para construir las paredes.
70
Techo
Para el techo se consideran necesarios 81 Kg de cal por cada m3. Teniendo en cuenta esta
relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
Área aproximada del Techo: 9.8,200~ 73,800 m2.
Para el techo se va a considerar un espesor de aproximadamente 0,200 m, por lo que el
volumen aproximado del techo es V = 73,800. 0,200 ~ 14,760 m3, por lo tanto resulta que
mQ+��� � *1: � donde x representa metros cúbicos de techo �� T UV� y mQ+��� indica la
cantidad de kilogramos de cal necesarios. Entonces se necesitarán aproximadamente
mQ+�1!�&.(� � *1: 1!�&.(�<�11#$�$.(�Гode cal. Es decir, que se requiere de aproximadamente
1195,560 Kg de cal para construir el techo.
Revoque Grueso
Para el revoque se consideran necesarios 3,600 Kg de cal por cada m2. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es 65,806 m2, como el revoque se debe
realizar tanto en el exterior como en el interior, realizamos 2.65,860 = 131, 720 m2. Por lo tanto
resulta que mQ,��� � '�.((: �donde x representa metros cuadrados de pared
�� T UV��y mQ,��� indica la cantidad de kilogramos de cal necesarios. Por lo tanto
mQ,�1'1� &"(�� � '�.((:1'1� &"(��<�!&!�1#"�Гo�de cal. Entonces, son necesarios
aproximadamente ��� �� Kg de cal para el revoque grueso de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, por lo tanto resulta quemQ-��� � '�.((: �
donde x representa metros cuadrados de techo �� T UV� y mQ-��� indica la cantidad de
kilogramos de cal necesarios. Entonces realizamos el producto aproximado de
mQ-�&'�*((� � '�.((:&'�*(( � �".$�.*(�Гode cal. Es decir, que se requiere de
aproximadamente 265,680 Kg de cal para el revoque grueso del techo.
71
En total aproximadamente es mQ,V-�"($�$"(� � mQ,�1'1� &"(�� � mQ-�&'�*((� �
���� �� + 265,680~739,872 Kg de cal. Por lo tanto se requieren aproximadamente 739,872
Kg de cal para el revoque grueso.
Revoque Fino
Para el revoque se consideran necesarios 1,600 Kg de cal aérea por cada m2. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es 65,860 m2, como el revoque se debe
realizar tanto del exterior como del interior, realizamos 2.65,860 ~ 131, 720 m2. Entonces resulta
que mQ/��� � 1�.((: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y mQ/���
indica la cantidad de kilogramos de cal necesarios. Por lo tanto
mQ/�1'1� &"(� � 1�.((: 1'1� &"(��<�"1(�&$"�Гo�de cal aérea. Entonces, se requiere de
aproximadamente ��� � Kg de cal aérea para el revoque fino de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, entonces resulta que mQ0 � 1�.((: � donde x
representa metros cuadrados de techo �� T UV�ymQ0��� indica la cantidad de kilogramos de cal
necesarios. Por lo cual realizamos el producto aproximado de
mQ0�&'�*((� � 1�.((: &'�*((�<�11*�(*(�Гo�de cal aérea. Es decir, que se requiere de
aproximadamente 118,080Kg de cal aérea para el revoque fino del techo.
El total aproximado es mQ/V0�"($�$"(� � mQ/�1'1� &"(� � mQ0�&'�*((� �
��� � + 118,080 ~ 328,832 Kg de cal aérea. Es decir que se requieren de 328,832 Kg de cal
aérea para el revoque fino.
El total aproximadamente de Kg de cal es:
mQ��#�1&(� � mQ��&�'*(� � mQ)�.$�*.(� � mQ+�1!�&.(� � mQ.�&�"($�$"(� �
742,770 + 597,780 + 513,708+ 1195,560 + 739,872 ~ 3789,690 Kg de cal. Así como las bolsas
de cal son de 25 Kg, entonces resulta que �-/0�,0�
�+� �1$1�$*&��bolsas. Por lo tanto son necesarias
aproximadamente 152 bolsas de cal.
72
El total aproximadamente de Kg de cal aérea es:
mQ��&'�*((� � mQ*�#�"($�$"(� �
435,420 + 328,832 ~764,252 Kg de cal aérea. Así como las bolsas de cal son de 25Kg, entonces
resulta que -,)��+��
�+� �'(�$&(�� bolsas. Por lo tanto son necesarias aproximadamente 31 bolsas
de cal Aérea.
A continuación detallamos otra de las cuestiones que se deriva del estudio de Q1, 2:
Q1, 2,4: ¿Cuántas bolsas de cemento son necesarias para construir la obra?
Para abordar el estudio de Q1, 2, 4 se requiere resolver los tipos de tareas �)�l Calcular el
área de un rectángulo y �0�l��Calcular el volumen de un paralelepípedo. Hipotéticamente se
considera utilizar bolsas de cemento de 25 Kg. En los negocios de venta de material para la
construcción, el cemento se fracciona en bolsas cerradas y las más típicas contienen 25kg.
Para calcular la cantidad de bolsas de cementom8i��� necesarias vamos a desarrollar los
cálculos por partes:
Cimientos
Se considera la relación de que por cada m3 construido de cimientos son necesarios
38,400 Kg de cemento. A partir de esta relación se producen diferentes cálculos para determinar
la cantidad necesaria.
Cada uno de los cimientos conforma un paralelepípedo, por lo tanto calculando el
volumen aproximado se obtiene V = 0,350.1.26,200 = 9,170 m3, entonces resulta que
m8���� � '*�!((: �donde x representa metros cúbicos de cimientos �� T UV� y m8���� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Entonces
m8��#�1&(� � '*�!((:#�1&(�<�'$"�1"*�po� de cemento. Así, se requiere de aproximadamente
352,128 Kg de cemento para construir los cimientos.
73
Piso
Para el contrapiso se consideran necesarios 38,400 Kg de cemento por cada m3.
Teniendo en cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
Área aproximada del piso: 9.8,200~ 73,800m2.
Para el contrapiso se va a considerar un espesor aproximado de 0,100 m, por lo cual el
volumen aproximado es 73,800.0,100~ 7,380 m3, entonces resulta que m8���� � '*�!((: �
donde x representa metros cúbicos de contrapiso�� T UV�ym8���� indica la cantidad de
kilogramos de cemento necesarios. Entonces se necesitaran aproximadamente
m8��&�'*(� � '*�!((:&�'*(�<�"*'�'#"�Гo�de cemento. Por lo cual, se requiere de
aproximadamente 283,392 Kg de cemento para construir el contrapiso.
Al colocar los mosaicos se consideran que por cada m2 son necesarios 3,100 Kg de
cemento, tomando en consideración que el espesor de la mezcla para colocar los mosaicos es de
0,020 m.
Entonces, sabiendo que el área aproximada del piso es 73,800 m2, entonces resulta que
m8���� � '�1((: �donde x representa metros cúbicos de contrapiso�� T UV� y m8���� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Entonces tenemos
m8��&'�*((� � '�1((:&'�*((�<�""*�&*(�Гo�de cemento. Es decir, se requiere de
aproximadamente 228,780 Kg de cemento para colocar los mosaicos.
Paredes
Se toma la relación de que por cada m2 de construcción se utilizan 8 Kg de cemento.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2, entonces resulta que
m8)��� � *: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y m8)��� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Por lo tanto para calcular la cantidad aproximada
de cemento debemos hacer m8)�.$�*.(� � *: .$�*.(�<�$".�**(�Гo. Es decir, se requiere de
aproximadamente 526,880 Kg de cemento para construir las paredes.
74
Techo
Para el techo se consideran necesarios 38,400 Kg de cemento por cada m3. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
Área aproximada del techo: 9.8,200~ 73,800 m2.
Para el techo se va a considerar un espesor aproximado de 0,200 m, por lo cual el
volumen aproximado es V = 73,800.0,200~ 14,760 m3, entonces resulta que
m8+��� � '*�!((: � donde x representa metros cúbicos de techo �� T UV�y m8+��� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Entonces se necesitaran aproximadamente
m8+�1!�&!(� � '*�!((:1!�&.(�<�$..�&*!�Гo de cemento. Es decir, se requiere de
aproximadamente 566,784 Kg de cemento para construir el techo.
Revoque Grueso
Para el revoque se consideran necesarios 1,850 Kg de cemento por cada m2. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2, como el revoque se debe
realizar tanto del exterior como del interior, realizamos 2.65,860 ~ 131, 720 m2 . Entonces
m8,��� � 1�*$(: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y m8,��� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Por lo tanto
m8,�1'1� &"(�� � �1�*$(:1'1� &"( � �"!'�.*"�Гo� de cemento. Es decir, se requiere de
aproximadamente ��� � Kg de cemento para el revoque grueso de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, m8-��� � 1�*$(: �donde x representa metros
cuadrados de pared �� T UV� y m8-��� indica la cantidad de kilogramos de cemento necesarios.
Por lo cual realizamos el producto m8-�&'�*((� � 1�*$(:&'�*((� � �1'.�$'(�Гo� de cemento.
Es decir, que se requiere de aproximadamente 136,530 Kg de cemento para el revoque grueso
del techo.
75
El total aproximadamente es m8,V-��"($�$"(� � m8,�1'1�&"(� � m8-�&'�*((� �
��� � + 136,530 ~380,212 Kg de cemento. Es decir que se necesitan 380,212 Kg de cemento
para el revoque grueso.
Revoque Fino
Para el revoque se consideran necesarios 0,450 Kg de cemento por cada m2. Teniendo en
cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
El área aproximada de las paredes a cubrir es de 65,860 m2, como el revoque se debe
realizar tanto del interior como del exterior, realizamos 2.65,860 ~ 131, 720 m2 . Entonces
m8/��� � (�!$(: �donde x representa metros cuadrados de pared �� T UV� y m8/��� indica la
cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Por lo tanto para calcular la cantidad de cemento,
realizamos m8/�1'1� &"(� � (�!$(:1'1� &"(�<�$#�"&!�Гo de cemento. Es decir, se requiere de
aproximadamente ��� �Kg de cemento para el revoque fino de las paredes.
El área aproximada del techo es 73,800 m2, m80��� � (�!$(: �donde x representa metros
cuadrados de techo �� T UV� y m80��� indica la cantidad de kilogramos de cemento necesarios.
Por lo cual realizamos el producto m80�&'�*((� � (�!$(:&'�*((��<�''�"1(�Гo� de cemento. Es
decir, que se requiere de aproximadamente 33,210Kg de cemento para el revoque fino del techo.
El total aproximadamente es m8/V0��"($�$"(� � m8/�1'1� &"(� � m80�&'�*((� �
���� � + 33,210 ~92,484 Kg de cemento. Es decir que se necesitan 92,484 Kg de cemento
para el revoque fino.
Refuerzos de hormigón armado
Para el encadenamiento inferior y superior se consideran necesarios 18 Kg de cemento
por cada metro. Teniendo en cuenta esta relación comenzamos a efectuar los cálculos necesarios.
La longitud aproximada de los cimientos es 9 + 9 + 8,20 ~ 26,200 m,
m8����� � 1*: �donde x representa metros de longitud de los cimientos �� T UV� y m8�����
indica la cantidad de kilogramos de cemento necesarios. Por lo tanto
76
m8���".�"((� � 1*:".�"((�<�!&1�.((�Гo� de cemento. Es decir, se requiere de
aproximadamente 471,600 Kg de cemento para los refuerzos.
El total aproximadamente de Kg de cemento es:
m8��#�1&(� � m8��&�'*(� � m8��&'�*((� � m8)�.$�*.(� � m8+�1!�&!(� � m8,V-��"($�$"(� � m8/V0��"($�$"(� � m8���".�"((� �
352,128+283,392+228,780+526,880+566,784+380,212+92,484+471,600~2902,260 Kg de
cemento. Así como las bolsas de cemento son de 25 entonces resulta que
�0����,�
�+� �11.�(#(�bolsas. Por lo tanto son necesarias 117 bolsas de cemento.
Q1, 2,5: ¿Cuántos metros de hierro son necesarios para construir la ampliación?
En todo el desarrollo de esta cuestión requiere recorrer las organizacionesOM10:
Proporcionalidad y OM11: Función de Proporcionalidad Directa. En los cimientos son
necesarios 4 m de hierro del 8 mm de diámetro cada 1 m, entonces q/r��� � !: �, dondex
representa metros de longitud de los cimientos �� T UV�yq/r��� indica la cantidad de metros de
hierro necesarios. Así como también son necesarios 3 m de hierro de 4 mm de diámetro cada 1
m, entonces q)r��� � ': �, dondex representa metros de longitud de los cimientos
�� T UV�yq)r��� indica la cantidad de metros de hierro necesarios. Se tienen que construir unos
cimientos de aproximadamente 9 + 9 + 8,200 = 26,200 m, entonces:
Hierro de 8 Hierro de 4
q/r�".�"((� = 4.26,200 = 104,800m q)r�".�"((� = 3.26,200 = 78,600m
Tabla 13
Para el encadenamiento inferior y superior se utilizan 8 m de hierro de 8 mm de
diámetro por metro, entonces q/s��� � *: �, dondex representa metros de longitud de los
cimientos �� T UV�yq/s��� indica la cantidad de metros de hierro necesarios. Y como así
también son necesarios 6 m de hierro de 4 mm de diámetro por cada 1 m, entonces
q)s��� � .: �, dondex representa metros de longitud de los cimientos �� T UV��y�q)s��� indica
la cantidad de metros de hierro necesarios; por lo cual se deben efectuar los siguientes cálculos:
77
La longitud aproximada a cubrir es 9 + 9 + 8,200 = 26,200 metros, por lo tanto:
Hierro de 8 Hierro de 4
q/s�".�"((� ��8.26,200 = 209,600m q)s�".�"((� � .:".�"(( � ��� ��t
Tabla 14
Considerando una columna de aproximadamente 3 m de alto en cada esquina del nuevo
ambiente del taller, debemos construir 4 columnas. Considerando que se utilizan 4 m de hierro
de 8 mm de diámetro por cada 1 m, entonces q/r��� � !: �, dondex representa metros de
longitud de la columna�� T UV�yq/r��� indica la cantidad de metros de hierro necesarios. Así
también son necesarios 3 m de hierro de 4 mm de diámetro por cada 1 m; entonces
q)r��� � ': �, donde x representa metros de longitud de la columna�� T UV� y��q)r��� indica la
cantidad de metros de hierro necesarios. Por lo cual la cantidad de hierro necesario será:
Hierro de 8 Hierro de 4
q/r�'� �4.3 = 12 m q)r�'� � ':'� � #�=
4 columnas: 12.4 = 48m 4 columnas: 9. 4 = 36 m.
Tabla 15
Los dinteles son hierros colocados encima de cada abertura (puertas o ventanas), para
ellos son necesarios 4 metros de hierro de 8 mm de diámetro por cada 1 m y se deberán
prolongar no menos de aproximadamente 0,200 m de cada lado de la abertura. Entonces
q/u��� � !: �, donde x representa metros de longitud de los dinteles�� T UV�yq/u��� indica la
cantidad de metros de hierro necesarios. Por lo cual, los cálculos a efectuar son:
Se van a colocar:
4 ventanas de l1 = 1,200 m y l2 = 1,300 m 2 ventanas de l1 = 2,500 m y l2= 1,300 m
Hierro de 8: Hierro de 8:
q/u�1�.((� = 4.(1,200 + 0,400) = 6,400 m q/u�"�#((� � !: �"�$((� � �(�!((� � ���� ��=
4 ventanas: 6,40.4 = 25,600 m 2 ventanas: 11,60.2 = 23,200 m
Tabla 16
78
Entonces serán necesarios aproximadamente:
q/r�".�"((� � q/s�".�"((� � !: q/r�'� � !: q/u�1�.((� � �": q/u�"�#((� �
104,800 + 209,600 + 48 + 25,600 + 23,200~ 411,200 m de hierro de 8 mm de
diámetro.
Y también aproximadamente:
q)r�".�"((� � q)s�".�"((� � !: q)r�'� �78,600 + 157,200 + 36 ~271,800 m de hierro
de 4 mm de diámetro.
Se comprarán aproximadamente 412 m de hierro de 8 mm de diámetro y 272 m de
hierro de 4 mm de diámetro.
Otras de las posibles cuestiones que se derivan de Q1, 2es:
Q1, 2,6: ¿Cuántas ventanas son necesarias comprar para colocar en la obra?
En el estudio de Q1, 1, 2, 1 se indico que se disponen colocar ventanas de medidas
estándares; 4 ventanas del1 = 1,200 m y l2 = 1,300 m y 2 ventanas del1 = 2,500 m y l2= 1,300 m.
Esto se decidió en el momento de confeccionar el plano.
Otras de las posibles cuestiones que se derivan de Q1, 2 es:
Q1, 2,7: ¿Cuántos litros de pintura son necesarias para pintar la ampliación del taller?
Al momento de pintar se debe tener en cuenta que se va a utilizar una pintura que por
cada litro rinde aproximadamente 10 m2.Asi, a partir de la siguiente función vamos a poder
calcular la cantidad de pintura, entonces S��� ��
��: �, dondex representa metros cuadrados a
pintar �� T UV�y f��� indica la cantidad de litros de pintura necesarios. También es importante
considerar que las paredes están pintadas en dos colores. Desde el sócalo hasta 1,350 m
aproximadamente de color verde; a partir de aquí hasta el techo la pintura es de color blanco
79
(1,550 m) y el techo también será pintado de color verde. Este estudio implica recorrer la
OM2: Errores de medición, OM3: Redondeo y truncamiento, OM4: Figuras planas,
OM10: Proporcionalidad y OM11: Función de Proporcionalidad Directa.
Para obtener estas medidas hay que recorrer la OM2: Estimación de medidas y realizar el
tipo de tareas ���: Estimar el valor probable de la medición, por lo tanto:
Los estudiantes calcularán las dimensiones de los diferentes colores que están pintadas
las paredes del taller (Imagen 4). La altura de la pintura verde l1 la altura de la pintura blanca l2
serán calculados de la siguiente manera:
• Observaciones de las medidas de las pinturas.
Observaciones de verde:
�� � 1�'$$�%
���� � �1�'!"�%
�� � �1�'$#�%
�) � 1�'$(�%
�+ � �1�'$.�%
�, � 1�'!(�%
�- � 1�'!"�%
�/ � 1�'.(�%
�0 � 1�'$!�%
��� � 1�'!"�%
Calculo del valor probable de verde:
��� �1�'$$� � 1�'!" � 1�'$# � 1�'$(� � 1�'$. � 1�'!( � 1�'!"� � 1�'.( � 1�'$! � 1�'!"
1(
�1'�$
1(� 1�'$(
Por lo tanto l1 = 1,350m.
80
Observaciones de blanco:
�� � 1�$$&�%
�� � �1�$!"�%
�� � �1�$$#�%
�) � 1�$$(�%
�+ � �1�$.(�%
Calculo del valor probable de blanco:
�, � 1�$!(�%
�- � 1�$!#�%
�/ � 1�$$"�%
�0 � 1�$!#�%
��� � 1�$!"�%
��� ��1�$$&� � 1�$!" � 1�$$# � 1�$$(� � 1�$.(�� � 1�$!( � 1�$!# � 1�$$" � 1�$!# � 1�$!"
1(
�1$�$
1(� 1�$$(
Por lo tanto l2= 1,550 m.
Como es evidente todas las medidas no son exactas, se calculará el error absoluto estas
medidas.
Si se considera que las mediciones de pintura verde es aproximadamente l1:1,350 m, es
probable que 1,340 m<l1 <1,360 m. Por lo tanto se obtiene el error absoluto para
vJ� ����,�;���)�
��<�(�(1(�=. Por lo tanto l1: 1,350 ± 0,010.
Si se considera que las mediciones de pintura blanca es aproximadamente l2:1,550 m, es
probable que 1,540 m <l2< 1,560 m. Por lo tanto se obtiene el error absoluto para
vJ� ���+,�;��+)�
��<�(�(1(�=. Por lo tanto l2: 1,550 ± 0,010.
A continuación se calculará el error relativo y el error porcentual. Dicho error resulta ser
el cociente entre el error absoluto y el valor del centro del intervalo:
• El error relativo de la pintura verde es: ?� ������
���+��<�(�((&. Por lo tanto si multiplico por
100 obtengo el porcentaje de error: P1= (�((&.100 = (�&((�%
• El error relativo de la pintura blanca es: ?� ������
��++��<�(�((.. Por lo tanto si multiplico por
100 obtengo el porcentaje de error: P2= (�((..100 = (�.((�%
81
Por lo cual, para determinar la cantidad necesaria de pintura para las paredes debemos
efectuar los siguientes cálculos:
Pintura Verde Pintura Blanca
Áreas de las paredes:
Área: 9.1,350 ~ 12,150 m2
Área: 9.1,350 ~ 12,150 m2
Área: 8,2.1,350 ~ 11,070 m2
Áreas de las paredes descontando las
ventanas correspondientes (En cada pared
van dos ventanas y se descuenta una porque
cada color llega a la mitad de la ventana):
Paredes Interiores:
Área: 12,150 m2 - 1,560 m2~ 10,590 m2
Área: 12,150 m2 - 1,560 m2~ 10,590 m2
Área: 11,070 m2 - 3,250 m2 ~ 7,820 m2
Techo Interior:
Área: 9.8,200 ~ 73,800 m2
Áreas de las paredes:
Área: 9.1,550 ~ 13,950 m2
Área: 9.1,550 ~ 13,950 m2
Área: 8,2.1,550 ~ 12,710 m2
Áreas de las paredes descontando las
ventanas correspondientes (En cada pared
van dos ventanas y se descuenta una porque
cada color llega a la mitad de la ventana):
Paredes Interiores:
Área: 13,950 m2 - 1,560 m2~ 12,390 m2
Área: 13,950 m2 - 1,560 m2~ 12,390 m2
Área: 12,710 m2 - 3,250 m2 ~ 9,460 m2
Paredes exteriores:
El área aproximada de las paredes a pintar
es de 65,860 m2
Techo exterior:
Área: 9.8,200 ~ 73,800 m2
82
Aproximadamente el área total a pintar es:
10,590+10,590+7,820+73,800~
102,800 m2
Las magnitudes pintura y m2 de pared son
directamente proporcionales, así resulta:
S��� ��
��: �donde x representa metros
cuadrados a pintar �� T UV�y S��� indica
la cantidad de litros de pintura necesarios.
S�1("�*((� �1
1(: 1("�*((
� 1(�"*(��wx�PRy
Aproximadamente el área total a pintar es:
12,390+12,390+9,460+65,860 +73,800 ~
173,900 m2
Las magnitudes pintura y m2 de pared son
directamente proporcionales, así resulta:
S��� ��
��: �donde x representa metros
cuadrados a pintar �� T UV�y S��� indica la
cantidad de litros de pintura necesarios.
S�1&'�#((�� �1
1(: 1&'�#((���
� 1&�'#�wx�PRy
Si se quiere dar dos manos de pintura a las paredes, se van a necesitar aproximadamente
2.10,280 ~ 20,560 l de pintura verde y 2.17,39 ~ 34,78l de pintura blanca. Entonces son
necesarios aproximadamente 20,560l de pintura verde y 34,78 l de pintura blanca. Considerando
que no se puede comprar la pintura fraccionada tal como lo calculamos se debería comprar
aproximadamente 21 l de pintura verde y 35 l de pintura blanca.
Finalmente, la última cuestión derivada de Q1, 2que proponemos es:
Q1, 2,8: ¿Cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso de la ampliación del taller?
El estudio de esta cuestión requiere recorrer la M2: Errores de medición, OM3: Figuras
planas, OM8: Redondeo y truncamiento, OM10: Proporcionalidad yOM11: Función de
Proporcionalidad Directa.
Para responder a esta pregunta necesitamos tener en cuenta que los mosaicos que se
utilizarán son de 0.300 m por 0.300 m (en toda la escuela hay mosaicos de estas medidas).
Para determinar la cantidad de mosaicos necesarios hay que realizar los siguientes
cálculos:
83
El área aproximada del piso es 9.8,200 = 73,800 m2 y el área aproximada de cada
mosaico es 0,300.0,300~ 0,090 m2, entonces %��� ��
���0�: �, dondex representa metros
cuadrados de piso�� T UV�y %��� indica la cantidad de mosaicos necesarios. Realizando el
siguiente cálculo%�&'�*((� ��
���0�: &'�*((�<�*"(�. Así, se requieren 820 mosaicos
aproximadamente para poder cubrir el piso.
Considerando la posible ampliación sería necesario calcular la longitud a cubrir para
calcular la cantidad de sócalos necesarios. Entonces tenemos que cubrir 3 lados de un rectángulo,
por lo que 9 + 9 + 8,200~ 26,200 m y cada sócalo tiene 0.300 m x 0,100 m. Para determinar
cuántos sócalos son necesarios para 26,200 m, utilizamos z��� ��
�����: �, dondex representa
metros de sócalos�� T UV�y z��� indica la cantidad de mosaicos necesarios.
Entoncesz�".�"((� ��
�����: ".�"((�<�*&�'''�Xó{]^|X. Como por cada mosaico se pueden sacar
3 sócalos se divide por 3. Por lo tanto, la cantidad de mosaicos para los sócalos es
/-����
�� "#�111��mosaicos.Entonces, para cubrir los sócalos de la ampliación serán necesarios
29,111 mosaicos. En total son aproximadamente necesarios
S�&'�*((� ��}��,�����
�� � �� � � �� ���� � ���: ���=|X][{|X: Entonces será necesario
comprar 850 mosaicos.
84
A c
onti
nuac
ión
se p
rese
nta
una
tabl
a en
la
que
se i
ndic
a la
can
tida
d de
apr
oxim
adam
ente
tod
os l
os m
ater
iale
s a
util
izar
en
la
cons
truc
ción
.
Tabla 17
Ladrillos
Arena
(m3)
Cal (Kg)
Cal Aérea
(Kg)
Cemento
(Kg)
Hierros de
8 mm (m)
Hierro de
4 mm (m)
Ventanas
Pintura
Verde (l)
Pintura
Blanca (l)
Mosaicos
Cim
ient
os
4,
676
742,
770
35
2,12
8 10
4,80
0 78
,600
Piso
: Con
trap
iso
3,
763
597,
780
28
3,39
2
Piso
: Col
ocac
ión
de m
osai
cos
2,
214
43
5,42
0 22
8,78
0
Pare
des
1,
975
513,
708
52
6,88
0
Tec
ho
7,
527
1195
,560
566,
784
Rev
oque
Gru
eso
2,
055
739,
872
38
0,21
2
Rev
oque
Fin
o
2,05
5
328,
832
92,4
84
Ref
uerz
os d
e
Hor
mig
ón
1,
048
471,
600
Enc
aden
ado
Infe
rior
y S
uper
ior
20
9,60
0 15
7,20
0
Col
umna
s
48
36
Din
tele
s
48,8
00
Tot
al d
e ob
ra
2195
,333
25
,313
37
89,6
90
764,
252
2902
,260
41
1,20
0 27
1,80
0 6
20,5
60
34,7
8 84
9.11
1
85
Además, para dar respuesta aQ1, 2, 1, Q1, 2, 2, Q1, 2, 3, Q1, 2, 4, Q1, 2, 5, Q1, 2, 6, Q1, 2, 7, yQ1, 2, 8
los estudiantes tendrán que investigar el precio de los materiales y así finalmente confeccionar el
presupuesto que tuvo origen con el estudio de Q0.
(Los precios para el presupuesto están calculados con cantidades enteras del material solicitado)
Producto Precio por Unidad Cantidad Precio Final
Ladrillos 6,750 2196 14823
Arena (m3) 440 26 11440
Cal (Bolsas de 25 Kg) 47,750 152 7258
Cal Aérea (Bolsas de 25 Kg) 106 31 3285
Cemento (Bolsas de 25 Kg) 84 117 9828
Hierros de 8 mm (m) 7,500 412 3090
Hierro de 4 mm (m) 2,300 272 625,600
Ventanas del1 = 1,20 m y l2 =
1,30 m
1300 4 5200
Ventanas del1 = 2,50 m y l2=
1,30 m
3000 2 6000
Pintura Verde (l) 136,130 21 2858,52
Pintura Blanca (l) 129,700 35 4539,500
Mosaicos 57,200 850 48620
Total 117567,620
Tabla 18
Por lo tanto, que serán necesarios como mínimo $ 117567,620 para poder cubrir los
gastos de materiales para la construcción. Este valor fue calculado considerando la cantidad
mínima de materiales a utilizar en la construcción.
86
CAPÍTULO 4
Reflexiones Finales
87
Reflexiones Finales
En este trabajo desarrollamos un Modelo Praxeológico de Referencia a partir del estudio
de la cuestión Q0: ¿Cómo elaborar un presupuesto para una construcción?, que emerge de un
proyecto institucional. El estudio de esta cuestión involucró recorrer diversas praxeologías que
componen el diseño curricular para la educación matemática en secundaria de la provincia de
Córdoba. En particular, estas praxeologías son relativas a nociones de proporcionalidad y
geometría. Así también, el estudio conduce a recorrer praxeologías relativas a estimación de
medidas.
A partir del estudio de Q0 consideramos que puede dar sentido, funcionalidad y carácter
instrumental a las nociones matemáticas involucradas. Esta propuesta conduce a que los
estudiantes tengan que interpretar resultados y construir por ellos mismos modelos sencillos. Por
otro lado, el estudio conduce a revisar diferentes medias para poder dar respuesta a las preguntas
originadas por el estudio. Estas respuestas no se encuentran inscriptas directamente en estos
medias, se requiere del estudio y la investigación para poder formularlas.
La puesta en marcha del proceso de estudio de Q0 sólo será posible si se cumple un
conjunto de condiciones que no se dan de manera espontánea en los actuales sistemas de
enseñanza. Es posible favorecer la aparición y el desarrollo de dichas condiciones si
estructuramos el proceso de estudio mediante un tipo de organizaciones didácticas que son los
recorridos de estudio e investigación (REI), que implican gestos didácticos, de estudio y ayuda al
estudio, que hasta ahora permanecían recluidos al ámbito de la investigación. Para poder
desarrollar un estudio como el que detallamos en este trabajo, se requiere disponer de un equipo
de trabajo y una institución abierta que acepte el desafío. Es necesario revivir la idea de que la
matemática es solución, no un problema.
88
CAPÍTULO 5
Referencia Bibliográfica
89
Referencia Bibliográfica
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