Lic. Roberto A. Del Carpio Minaya

Física I Paso a paso con ejercicios, problemas y aplicaciones

Autor-Editor

© Roberto Augusto Del Carpio Minaya

Jr. Colombia N° 149

Cel. 989692918

[email protected]

Puno - Perú

Primera edición digital, marzo de 2021

Hecho el Depósito Legal en la

Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2021-03348

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra

por cualquier medio escrito o electrónico o cualquier

otro, sin permiso por escrito del autor.

mailto:[email protected]

A mis lindas hijas

Sandrita y Andreita

P R Ó L O G O

Un estudio adecuado de la física requiere también de una adecuada

preparación en lo que respecta a las herramientas necesarias para su

estudio. Entre estas herramientas mencionamos una divertida

presentación de la teoría, planteamiento y resolución de ejercicios y

problemas y un adecuada presentación de aplicaciones. El presente

texto sobre Física I, tiene en mira que el estudiante de Ciencias y de

Ingeniería entienda en modo básico todo lo concerniente a la parte de

mecánica newtoniana y poder de esta forma estar bien preparado para

afrontar posteriores estudios avanzados de su carrera profesional. Está

de más decir que siempre es necesario que el alumno consulte otros

textos de física relacionados al tema como ayuda para su mejor

comprensión, pero teniendo como referencia los tópicos analizados en

el presente texto le será mucho más fácil lograr un mejor entendimiento

del tema. El texto se ha desarrollado en una forma secuencial de lo más

fácil y básico, hasta lo que representa un nivel regular. En el texto se ha

hecho énfasis en las representaciones gráficas para una mayor

comprensión del mismo. Es mi mayor anhelo el saber que los alumnos

puedan asimilar el contenido total del presente texto y saber además

que de ser así tendré la plena seguridad de que comprenderán con

exactitud las leyes de la física y sus aplicaciones.

El Autor

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 10

Magnitudes y unidades físicas 10

Magnitud 10

Medición 10

Unidad de medida 10

Clasificación de las magnitudes físicas 11

Sistema internacional de unidades (SI) 11

Notación en potencia de 10 14

Múltiplos y submúltiplos de las unidades (SI) 15

Reglas y recomendaciones para la escritura (SI) 16

Algunas equivalencias útiles 17

Conversión de unidades 18

Análisis dimensional 19

Objeto del análisis dimensional 19

Definición de dimensión 19

Dimensiones derivadas 20

Ecuaciones dimensionales 22

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS VECTORIAL 24

1.1 Introducción 24

1.2 Cantidades escalares y vectoriales 24

1.3 Vector y elementos 25

1.3.1 Dirección 25

1.3.2 Sentido 27

1.3.3 Módulo o intensidad 28

1.3.4 Punto de aplicación 28

1.4 Tipos de vectores 29

1.4.1 Vectores libres 29

1.4.2 Vectores coplanares 29

Roberto Del Carpio M. FISICA I

~ 7 ~

1.4.3 Vectores no coplanares 30

1.4.4 Vectores concurrentes 30

1.4.5 Vectores no concurrentes 31

1.4.6 Vectores colineales 31

1.5 Clasificación de los vectores 31

1.6 Vector posición 32

1.7 Vector desplazamiento 33

1.8 Propiedades de vectores 33

1.9 Operaciones con vectores 35

1.10 Suma de vectores por métodos gráficos 35

1.11 Diferencia de vectores por métodos gráficos 40

1.12 Propiedades de la suma de vectores 42

1.13 Componentes rectangulares de un vector 45

1.14 Componentes trirectangulares de un vector 50

1.15 Suma de vectores por el método analítico 54

1.16 Suma de vectores igual a cero 61

1.17 Teorema de los cosenos 63

1.18 Teorema de los senos 65

1.19 Multiplicación de vectores por escalares 66

1.20 Vectores unitarios 68

1.21 Adición de vectores utilizando vectores unitarios 72

1.22 Producto escalar 74

1.23 Producto vectorial 82

1.24 Producto mixto 90

1.25 Doble producto vectorial 93

Ejercicios 96

CAPITULO 2

ESTATICA 102

2.1 Definición. 102

2.2 Fuerza. 102

2.3 Naturaleza de las fuerzas. 102

2.4 Fuerzas de contacto. 103

2.5 Ley de Hooke. 103


~ 8 ~

2.6 Tensión de una cuerda. 104

2.7 Fuerza normal. 105

2.8 Fuerza de rozamiento. 105

2.9 Primera ley de newton. 106

2.10 Tercera ley de newton. 107

2.11 Momento de fuerza o torca. 108

2.12 Cupla o par de fuerzas. 110

2.13 Condiciones de equilibrio. 111

a) Primera condición de equilibrio. 111

b) Segunda condición de equilibrio. 112

Problemas 119

CAPITULO 3

CINEMÁTICA 122

3.1 Movimiento mecánico 122

3.2 Elementos del movimiento 122

3.3 Características del movimiento 124

3.4 Rapidez promedio 125

3.5 Vector velocidad promedio 125

3.6 Movimiento rectilíneo uniforme 128

3.7 Velocidad instantánea 130

3.8 Velocidad en dos y tres dimensiones 138

3.9 Aceleración promedio 139

3.10 Vector aceleración promedio 139

3.11 Aceleración instantánea 141

3.12 Aceleración instantánea en dos y tres dimensiones 142

3.13 movimiento con aceleración constante 145

3.13.1 Para hallar la velocidad 145

3.13.2 Para hallar el espacio recorrido 147

3.13.3 Para hallar la velocidad independiente del tiempo 148

3.14 Ecuaciones en dos y tres dimensiones 149

3.15 Ecuaciones cinemáticas para la caída libre 150

3.16 Movimiento de proyectiles 152

Ejercicios 156


~ 9 ~

CAPITULO 4

DINÁMICA 182

4.1 Segunda ley de newton 182

4.2 Peso y masa 184

4.3 Diagrama de cuerpo libre 185

Ejercicios 187

CAPITULO 5

TRABAJO Y ENERGÍA 214

5.1 Trabajo 214

5.2 Energía 215

5.3 Energía cinética 215

5.4 Energía potencial gravitatoria 215

5.5 Energía potencial elástica 215

5.6 Conservación de la energía mecánica 216

Ejercicios 217

CAPITULO 6

SISTEMA DE PARTÍCULAS 219

6.1 Centro de masas 219

6.2 Momento de inercia 221

Ejercicios 222

CAPITULO 7

CUERPO RÍGIDO 223

7.1 Traslación del cuerpo rígido 223

7.2 Rotación del cuerpo rígido 225

Ejercicios 226

BIBLIOGRAFÍA 227

MAGNITUDES Y UNIDADES FISICAS

MAGNITUD

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra

de su misma especie, es una magnitud. Así entonces, la longitud la masa

el tiempo, ... etc., son magnitudes.

MEDICION

Medición es la operación realizada por el hombre, que consiste en

averiguar las veces en que una unidad está contenida en otra cantidad de

su misma especie. Por ello, el resultado de toda medición es un número.

UNIDAD DE MEDIDA

Una cantidad física sólo se puede medir comparándola con otra de su

misma naturaleza. Si se define una cantidad precisa de una magnitud

física como “unidad”, o sea como valor de referencia, cualquier

cantidad física de la misma clase puede compararse con ella, y así se

podrá definir su valor, expresándolo con el número que indique la

relación de la cantidad medida a la unidad, o sea el número de veces que

la unidad cabe en la cantidad, y agregando el nombre o símbolo de la

unidad.


~ 11 ~

CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDES FISICAS

De acuerdo con su origen las magnitudes físicas pueden clasificarse en:

a) Magnitudes fundamentales.- Son las que no pueden definirse con

respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda la física puede

ser descrita. Una magnitud fundamental se define de una manera

operacional, es decir, que se debe escoger una unidad con sus

múltiplos y definir una operación para poder asociar un número a la

magnitud por comparación con la unidad.

b) Magnitudes derivadas.- Son aquellas que se obtienen de las

magnitudes fundamentales, por medio de ecuaciones matemáticas.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Un sistema de Unidades es un conjunto de unidades concordantes entre

sí, que resultan de fijar las magnitudes fundamentales. Las necesidades

del intercambio económico y científico han llegado a unificar ciertas

unidades, formándose el Sistema Internacional de unidades (SI).

Es el año de 1960 el que marca el nacimiento del SI como tal. Ocurrió

en la Undécima Conferencia Internacional de Pesas y Medidas que se

efectuó en Sévres, Francia. El sistema métrico anterior, el MKSA,

desarrollado por Giovani Giorgi, había logrado ya coherencia entre el

metro, el kilogramo masa, el segundo y las unidades prácticas de

electricidad, volt, ampere, joule, watt, ohm, coulomb, y henry. Debido

al grado de perfección que había logrado Giorgi con dicho sistema,

hubo de ser éste el elegido para cimentar en él el SI. El sistema

Internacional está desarrollado con apoyo en siete unidades

fundamentales y dos suplementarias. Las unidades para medir la

radiactividad y los aspectos de la ciencia nuclear quedaron fuera de toda

coherencia por el momento, tal es el caso del electrón-volt, el curie y el

röentgen. Una de las grandes ventajas del SI es que es un sistema

coherente.


~ 12 ~

UUNNIIDDAADDEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS

Nombre Símbolo Magnitud que mide

Metro m Longitud

Kilogramo kg Masa

Segundo s Tiempo

Ampere A Intensidad de corriente

eléctrica

Kelvin K Temperatura

Mol mol Cantidad de materia

Candela cd Intensidad luminosa

Radián rd Angulo plano

Esterorradián sr Angulo sólido

METRO (m)

1 metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el

vacío de la radiación roja correspondiente a la transición entre los

niveles 2p10

y 5d5 del átomo del gas kriptón-86.

KILOGRAMO (kg)

1 kilogramo es la masa del prototipo internacional de una aleación de

platino e iridio (90% de platino y 10% de iridio), sancionado por la

Conferencia General de Pesas y Medidas que se efectuó en París en

1889 y que se conserva en una bóveda en el pabellón de Breteuil, en

Sévres, Francia, bajo la custodia de la Oficina Internacional de Pesas

y Medidas.

SEGUNDO (s)

1 segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación

correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del

estado fundamental del átomo de Cesio-133 en estado molido.

AMPERE O AMPERIO (A)

1 amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida

en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y de

sección circular despreciable, separados por una distancia de 1 metro


~ 13 ~

y situados en el vacío, produce entre dichos conductores una fuerza

de 2 10 – 7

newton por cada metro de longitud. La fuerza producida

se debe a los campos magnéticos de los conductores.

KELVIN (K)

1 kelvin se define como la fracción 1/273.16 de la temperatura

termodinámica del triple punto del agua. A la temperatura 0ºK se le

llama “cero absoluto”. Este punto triple es igual a 0.01ºC, por lo que

la temperatura de 0ºC es exactamente igual a 273.15 grados kelvin.

MOL (mol)

1 mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas

entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de

carbono 12. Al usar el mol se deben especificar las entidades

elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones,

otras partículas o grupos específicos de tales partículas.

CANDELA (cd)

1 candela es la intensidad luminosa, en la dirección perpendicular, de

una superficie de 1/600 000 metro cuadrado de un cuerpo negro a la

temperatura de solidificación del platino, a una presión de 101 325

newtons por metro cuadrado, o sea a la presión atmosférica normal.

Una fuente luminosa de 1 candela de intensidad en todas direcciones

radía un flujo luminoso de 4 lúmenes. Una lámpara de 60 watts

emite aproximadamente 1020 lúmenes.

RADIAN (rd)

1 radián es el ángulo plano que tiene su vértice en el centro de un

círculo y que abarca sobre la circunferencia del círculo un arco de

longitud igual a la del radio.

ESTEREORRADIAN (sr)

1 estereorradián es el ángulo sólido que tiene su vértice en el centro

de una esfera, cortando sobre la superficie de la misma un área igual

a la del cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.


~ 14 ~

NOTACION EN POTENCIA DE 10

Como en física se usan números muy grandes o muy pequeños, es

conveniente y muy útil expresar estos números como potencia de 10.

Así por ejemplo:

5348 = 5,348 103

534 800 000 = 5,348 108

0,5348 = 5,348 10 – 1

0,0005348 = 5,348 10 – 4

53,48 = 5,348 10 –1

0.05348 = 5,348 10 –2

Para ilustrar un poco la aplicación de la notación en potencia de 10 en

física, consideremos algunas constantes fundamentales:

constante Notación, valor y unidades c. gravitación G = 6,67 10

– 11 N m

2/kg

2

n. Avogadro No = 6,02 10 23

moléculas/mol

c. Boltzmann kB = 1,38 10 – 23

J/moléculas ºK

c. Coulomb k = 9 10 9 N m

2/C

2

permitividad o = 8,85 10 – 12

C2/N m

2

carga electrón e = 1,6 10 – 19

C

masa electrón m = 9,1 10 – 31

kg

velocidad luz c = 3 10 8 m/s

c. Planck h = 6,63 10 – 34

J s

permeabilidad o = 4 10 – 7

Wb/m A

c. Rydberg RH = 1,1 10 7 1/m

La multiplicación y la división de las potencias de 10 son simples

operaciones elementales.

yxyx 101010


~ 15 ~

yxyxy

x 101010

10

10

Se efectúan sumando o restando los exponentes, respectivamente.

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DE LAS UNIDADES (SI)

Se estableció múltiplos y submúltiplos comunes a todas las unidades,

expresados por prefijos convencionales de aceptación universales. Para

evitar confusión se tomaron del griego los prefijos para formar los

múltiplos (deca, hecto, kilo, etc.) y del latín los prefijos para formar los

submúltiplos (deci, centi, mili, etc.) o unidades derivadas para medir

magnitudes muy pequeñas. Los prefijos son aplicables a todas las

unidades del SI, y así se puede hablar de decigramos, decilitros,

miliamperes, kilopascales, etc.

Factor de equivalencia Exponencial Prefijo Símbolo

1 000 000 000 000 1012

tera T

1 000 000 000 109 giga G

1 000 000 106 mega M

100 000 105 hectokilo hk

10 000 104 miria ma

1000 103 kilo k

100 102 hecto (a) h

10 10 deca da

1 1

0,1 10 – 1

deci d

0,01 10 – 2

centi c

0,001 10 – 3

mili m

0,000 001 10 – 6

micro 0,000 000 001 10

– 9 nano n

0,000 000 000 001 10 – 12

pico p

0,000 000 000 000 001 10 – 15

femto f

0,000 000 000 000 000 001 10 – 18

ato a


~ 16 ~

REGLAS Y RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA (SI)

Se recomienda escribir las cantidades de cuatro dígitos sin

separación alguna y eliminar la “coma” en los millares: 1000,

1250, etc., y las cantidades de cinco o más dígitos con una

pequeña separación entre los grupos de tres dígitos: 10 000, 150

200, 5 328 400, etc. Esta recomendación también es aplicable a

los grupos de tres dígitos después del punto decimal: 0,253 4;

0,325 42; etc.

Se recomienda escribir los símbolos de las unidades con letras

romanas derechas o verticales, y los símbolos de las magnitudes

físicas en letra bastardilla o inclinada:

5 kg; 8 m; 50 g; maF ; t

ev

Los símbolos de las unidades no se deben escribir en plural, sino

con la letra o las letras que los representan. En cambio, si se

escribe el nombre completo de la unidad sí se puede llevar a la

forma plural según las reglas del idioma español; escribiendo los

nombres completos se les considera nombres comunes, y se

escriben todos en minúsculas.

kg y no kgs; m y no mts.

kilogramos; metros; amperes; etc.

No se debe dejar espacio entre un prefijo y un símbolo:

mm y no m m; cm y no c m; dg y no d g; etc.

Si se combinan dos o más símbolos de unidades se recomienda

dejar un espacio entre ellos:

kW h; m kg; N m; etc.

Se recomienda dejar un espacio entre la cifra que indica la medida

y la unidad de medida: 52 kg; 28 mg; etc.


~ 17 ~

No se debe poner punto al final de un símbolo como si se tratara

de una abreviatura, excepto cuando termina una frase:

25 cm 8,32 m 72,2 A

Todos los nombres de las unidades, aunque lleven el nombre de

un científico, se escriben con inicial minúscula:

celsius, volt, ampere, coulomb, newton

Los símbolos de las unidades que corresponden al nombre de un

científico se escriben con mayúscula:

celsius ºC, volt V, ampere A, coulomb C, newton N

No se deben mezclar nombres completos con símbolos en

unidades compuestas:

kg m y no kilogramos m; A h y no ampere h

Al multiplicar varias unidades de medida, se recomienda usar el

siguiente orden:

hgfedcba srrdmolAKskgmx )(

ALGUNAS EQUIVALENCIAS UTILES

1 m = 39,3 plg = 3,281 pie = 6,214 10

– 4 mi

1 kg = 6,852 10 – 2

slug = 2,205 lb = 35,27 oz

1º = 60’ = 3600’’ = 1,745 10 – 2

rd

1 esfera = 4 sr = 12,57 sr

1 N = 105 dinas = 102 gf = 0,102 kgf

1 Pa = 9,869 106 atm = 7,501 10

– 4 cm Hg

1 J = 107 erg = 0,2389 cal = 2,778 10

– 7 kW h

1 W = 1,341 10 – 3

hp


~ 18 ~

CONVERSION DE UNIDADES

El método de la multiplicación por la unidad aprovecha el principio

matemático que establece que si una cantidad se multiplica por “uno”

no se altera su valor. Con este enfoque se multiplica la cantidad que se

debe convertir por “uno”, una o más veces según sea necesario, estando

expresado el “uno”, o sea la unidad, en forma de una fracción con

numerador y denominador equivalentes. El numerador y el

denominador de cada fracción igual a la unidad se escogen de manera

que conducen al resultado deseado.

Ejemplo. Convertir 0,425 pulgadas a milímetros.

lg 1

4,25

1

lg 425,0lg 425,0

pu

mmpupu

mmmmpu 795,10 4,25425,0lg 425,0

Ejemplo. Convertir 56 lb/pie3 a kg/m

3.

3

33 3048,0

1

1

4536,0 56 56

m

pie

lb

kg

pie

lb

pie

lb

333

3048,0

4536,056 56

m

kg

pie

lb

./95,896 56 3

3mkg

pie

lb


~ 19 ~

ANALISIS DIMENSIONAL

OBJETO DEL ANALISIS DIMENSIONAL

Es una rama auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las

magnitudes fundamentales y derivadas. Sirve para transformar

ecuaciones que expresan matemáticamente las leyes de la físicas, de un

sistema de unidades a otro. Con frecuencia el investigador al llegar a

conclusiones acerca de un experimento determina la ecuación empírica

que expresa el comportamiento del fenómeno que estudió utilizando las

unidades de medida que realmente usó en el experimento, y con base en

los registros de sus mediciones determina los coeficientes y exponentes

numéricos que intervienen en la ecuación de comportamiento del

fenómeno. Si la ecuación que se obtiene no es dimensionalmente

homogénea, no se podrán usar sino las unidades con las que trabajó el

investigador para poder aplicarla. Cuando se desea utilizar una ecuación

así determinada con las unidades de otro sistema y los coeficientes (y tal

vez los exponentes) son “dimensionales”, habrá que calcular los nuevos

coeficientes y exponentes de la ecuación para el sistema que se pretenda

usar.

El análisis dimensional facilita hacer lo necesario para lograr

transformar las ecuaciones de cualquier sistema de unidades a otro.

DEFINICION DE DIMENSION

La medida de una magnitud física cualquiera “Q” conduce a la

expresión:

QNQ

en la cual N es un valor numérico que designa el número de unidades

generales Q que constituyen la magnitud total Q.


~ 20 ~

De acuerdo con Fourier, quien introdujo por primera vez el concepto de

dimensión, la expresión Q es precisamente la “dimensión” de la

magnitud Q. Sin embargo, debe quedar claro que la dimensión es

simplemente la expresión de una cantidad general y, por tanto, de una

peculiaridad característica de las magnitudes físicas. Cada nueva

magnitud física da origen a una nueva “dimensión”, como por ejemplo

el tiempo T , la fuerza F , la masa M , etc. Existen así tantas

dimensiones o unidades generales como clases hay de magnitudes

físicas.

DIMENSIONES DERIVADAS

Con excepción de las magnitudes fundamentales, todas las demás

magnitudes físicas son derivadas, y se derivan precisamente de las

fundamentales, mediante la aplicación de las ecuaciones que expresan

las leyes de los fenómenos físicos.

El aprovechamiento de las ecuaciones de la física y de las definiciones

matemáticas, que conduce a dimensiones derivadas de naturaleza

compuesta, reduce el número de símbolos y permite trabajar con las

ecuaciones dimensionales siguiendo las reglas matemáticas ordinarias.

Los símbolos dimensionales que deben servir de base para expresar las

dimensiones de las magnitudes físicas derivadas son:

Longitud L m (metro)

Masa M kg (kilogramo)

Tiempo T s (segundo)

Intensidad de corriente I A (amperio)

Temperatura θ K (kelvin)

Intensidad luminosa J cd (candela)

Cantidad de sustancia N mol (mol)

La siguiente relación proporciona las dimensiones de las magnitudes

más usuales en los problemas de ingeniería:


~ 21 ~

Area o superficie L2

Volumen L3

Densidad ML–3

Fuerza MLT –2

Momento de una fuerza ML2T

–2

Presión M L–1

T –2

Momento de inercia M L2

Módulo de elasticidad ML–1

T –2

Compresibilidad M –1

L T 2

Velocidad lineal LT –1

Velocidad angular T –1

Aceleración lineal LT –2

Aceleración angular T –2

Frecuencia T –1

Viscosidad cinemática L2 T

–1

Energía interna M L2 T

–2

Trabajo M L2 T

–2

Potencia M L2 T

–3

Tensión superficial M T –2

Calor M L2 T

–2

Conductividad térmica M L T –3

t –1

Calor específico L2

T –2

t –1

Entalpía M L2

T –2

Entropía M L2T

–2 t

–1

Coeficiente de dilatación θ –1

Carga eléctrica TI

Potencial eléctrico M L2

T –3

I –1

Resistencia eléctrica M L2

T –3

I –2

Campo eléctrico M L T –3

I–1

Flujo magnético M L 2

T –2

I–1

Iluminación L–2

J

Cantidad de luz T J

Intensidad acústica M T –3

Radiancia M T –3


~ 22 ~

ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son

conocidas y las otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.

Para analizar estas ecuaciones se consideraran las siguientes reglas:

Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las

leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones

aritméticas. Ejemplo:

2222 LLLL

222 LTLTLT

Todos los números en sus diferentes formas son cantidades

adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.

13

1 2 rad

1º45sen

119log

1sen2

Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que

componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y

si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas

magnitudes afectadas de los mismos exponentes (Fourier).

DCBA

DCBA


~ 23 ~

Cuando existan expresiones con magnitudes físicas en los

exponentes, deberá procederse con sumo cuidado, recordando que el

exponente es siempre un número, por consiguiente la expresión

exponencial deberá ser adimensional en su totalidad. Ejemplo:

1 2

z

xydmvP z

xy

Sean A y B magnitudes físicas, se debe cumplir:

BABA

B

A

B

A

nn AA

m nm n AA

Las constantes numéricas son adimensionales y las constantes

físicas tienen ecuación dimensional diferente de la unidad, dado que

cuentan con unidades físicas.

1718281,2 e

114159,3

2312211 / 1067,6 TLMkgmNG

22/8,9 LTsmg

1.1 INTRODUCCION

La Física se expresa mediante relaciones matemáticas. La Física está

escrita en lengua matemática y por lo tanto es necesario que se

comience por comprender eso.

Uno de los instrumentos matemáticos más usados por la Física, para el

desarrollo de sus leyes y conceptos fundamentales son los vectores,

pues gracias a ellos se puede llegar más fácilmente a la comprensión de

casi la totalidad de los fenómenos físicos más conocidos,

permitiéndonos así desarrollarlos matemáticamente.

Es imperativo entonces que el lector domine primeramente sus

propiedades gráficas y algebraicas.

Empezaremos por definir al vector, sus elementos, su representación

gráfica, sus propiedades y algunas aplicaciones importantes a la Física.

1.2 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

En el estudio de la naturaleza nos encontramos siempre con que

debemos definir alguna cantidad física, ya sea como un escalar o como

un vector. Definimos entonces ahora la diferencia entre estas dos:

Cantidad escalar: Las cantidades físicas que son expresadas solamente

por su magnitud (positiva o negativa), careciendo por tanto de dirección,

son llamadas cantidades escalares. En estas cantidades se emplea alguna


~ 25 ~

unidad conveniente de medida con lo cual quedan completamente

especificadas. Las reglas de la aritmética ordinaria son suficientes para

manejar cantidades escalares. Como ejemplos de estas cantidades

tenemos al tiempo, la temperatura, la masa, la longitud, el volumen, la

densidad, la carga eléctrica, la energía, el trabajo, etc. La notación de los

escalares se indica por una letra de tipo usual o común.

Cantidad vectorial: A diferencia de los escalares, una cantidad

vectorial requiere para su completa determinación de una magnitud, una

unidad de medida, una dirección y un sentido. Estas cantidades

vectoriales se combinan entre sí de acuerdo con ciertas reglas especiales

de adición y multiplicación. Una cantidad vectorial se representa con

una letra o un número, con una pequeña flecha horizontal trazada en la

parte superior, como A

. Pero en el presente texto los vectores se

representaran en letras más negras como A. Como ejemplos de

cantidades vectoriales tenemos al desplazamiento, la velocidad, la

aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, el campo magnético, la

densidad de corriente eléctrica, etc.

1.3 VECTOR Y ELEMENTOS

El vector es representado como un segmento de recta orientado

(comúnmente llamado flecha), el cual sirve para expresar de alguna

forma las cantidades vectoriales. Utilizaremos al vector F, y para

representarlo gráficamente se debe tomar una escala adecuada, es decir,

una equivalencia entre un valor y una unidad de longitud. Además se

debe especificar su dirección y sentido.

1.3.1 Dirección

La dirección de un vector se representa gráficamente mediante

una recta que contiene al vector, esta recta puede ser horizontal,

vertical u oblicua. En aplicaciones prácticas la dirección del

vector se toma como el ángulo que hace dicho vector con respecto


~ 26 ~

a una o más rectas de referencia, según sea el caso, en el plano o

en el espacio.

a) Dirección en el plano:

En muchas aplicaciones importantes en la física, la dirección

de un vector en el plano viene dada por el ángulo “” que hace

la recta que contiene al vector, con el eje “x” de un sistema de

coordenadas cartesiano, tal como lo muestra el siguiente

gráfico:

x

y

b) Dirección en el espacio:

En muchas aplicaciones importantes en la física, la dirección

de un vector en el espacio viene dada por el ángulo que hace

la recta que contiene al vector, con un plano horizontal, tal

como lo muestra el siguiente gráfico:


~ 27 ~

También es muy común encontrar en física, vectores en el

espacio que forman ángulos , y con los ejes de

coordenadas cartesianos x, y, z respectivamente. Estos ángulos

son llamados ángulos directores del vector F.

F

1.3.2 Sentido

Este elemento indica la orientación del vector. Para especificar el

sentido del vector se coloca una punta de flecha en el extremo

apropiado del segmento rectilíneo que representa el mencionado

vector. También puede asignarse un signo positivo o negativo al

módulo del vector para indicar su sentido. Por ejemplo el

siguiente gráfico representa a un vector con una dirección

horizontal y un sentido hacia la derecha.

F

El siguiente gráfico representa a un vector con un sentido hacia el

noroeste.

F


~ 28 ~

1.3.3 Módulo o intensidad

Es un valor numérico positivo que representa el valor de la

cantidad física vectorial. Gráficamente podemos considerar al

módulo como la longitud del vector tomado a una cierta escala.

El siguiente gráfico representa a un vector de módulo equivalente

a 5 cm

F

5 cm

1.3.4 Punto de aplicación

El punto de aplicación del vector es el punto de contacto entre los

dos cuerpos. La recta que pasa por el punto de aplicación y tiene

la dirección del vector es la llamada recta soporte o línea de

acción.

En el siguiente esquema se ilustran tres características de un

vector. En este caso el vector representa a una fuerza F de 100 N

(módulo) dirigida hacia la derecha del bloque y que forma con la

horizontal un ángulo de 30° hacia arriba (dirección y sentido) y

que pasa por el punto A (punto de aplicación).

F

30°A


~ 29 ~

1.4 TIPOS DE VECTORES

1.4.1 Vectores libres

Un vector libre tiene módulo, dirección y sentido específicos

pero su recta soporte no pasa por un punto definido del

espacio. Estos vectores se pueden desplazar libremente hacia

rectas paralelas sin sufrir modificaciones. Como ejemplo de

vectores libres tenemos al vector campo gravitacional en las

cercanías de la superficie terrestre.

1.4.2 Vectores coplanares

Se dice que los vectores son coplanares cuando estos se

encuentran en un mismo plano. El siguiente gráfico muestra

un ejemplo de vectores coplanares.


~ 30 ~

1.4.3 Vectores no coplanares

Se dice que los vectores son no coplanares cuando estos se

encuentran en planos diferentes. El siguiente gráfico ilustra

este caso.

Fy

Fx

Fz

1.4.4 Vectores concurrentes

Se dice que un sistema de vectores es concurrente cuando las

rectas soporte de todos los vectores se corten en un punto

común. El siguiente gráfico ilustra este caso.


~ 31 ~

1.4.5 Vectores no concurrentes

Se dice un grupo de vectores son no concurrentes, cuando sus

líneas de acción se cortan en mas de un punto. El siguiente

gráfico ilustra estos vectores.

1.4.6 Vectores colineales

Si los vectores de un sistema tienen una recta soporte común,

se dice entonces que dichos vectores son colineales. El

siguiente gráfico ilustra esto.

1.5 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES

Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:

a) Vectores libres .- Un vector libre tiene módulo, dirección y sentido

específicos pero su recta soporte no pasa por un punto definido del

espacio.


~ 32 ~

b) Vectores deslizantes .- Un vector deslizante tiene módulo,

dirección y sentido específicos y su recta soporte pasa por un punto

definido del espacio. El punto de aplicación de un vector deslizante

puede ser uno cualquiera de su recta soporte.

c) Vectores fijos .- Un vector fijo tiene módulo, dirección y sentido

específicos y su recta soporte pasa por un punto definido del

espacio. El punto de aplicación de un vector fijo está confinado a un

punto fijo de su recta soporte. Ejemplo de vector fijo es el vector

posición.

1.6 VECTOR POSICIÓN

El vector posición es un tipo de “vector fijo” muy usado en física,

que se utiliza principalmente para fijar la posición de un cuerpo o

una partícula, o para localizar un punto del espacio respecto al

origen de un sistema de coordenadas o respecto a otro punto del

espacio.Por ejemplo en el siguiente gráfico, la situación del punto

“A” se puede especificar mediante el vector de posición rA trazado

del origen de coordenadas al punto “A”. Análogamente la posición

del punto “B” respecto al mismo origen de coordenadas se puede

especificar mediante el vector de posición rB. Por último, la

posición del punto “B” respecto al punto “A” se puede especificar

mediante el vector de posición rB/A, donde el subíndice B/A indica

“B” respecto “A”.

rA

rB

rB/AA

B


~ 33 ~

1.7 VECTOR DESPLAZAMIENTO

Definimos trayectoria a la curva que describe un cuerpo, la cual se

obtiene uniendo los diferentes puntos que va ocupando en el

espacio una partícula en movimiento. La magnitud que expresa la

distancia en línea recta y la dirección desde un punto a otro es el

llamado vector desplazamiento. Un vector desplazamiento tiene una

magnitud que puede expresarse en cualquier unidad de longitud.

La figura muestra la trayectoria (líneas punteadas) de una partícula

que se mueve desde el punto A hacia el punto B. El desplazamiento

de A hacia B lo representamos mediante el vector r. Hay que

observar que el desplazamiento no depende de la trayectoria

recorrida por la partícula sino sólo de los puntos extremos A y B.

r

A B

1.8 PROPIEDADES DE VECTORES

a) Igualdad de dos vectores

Dos vectores son iguales si son paralelos, poseen el mismo sentido

y además sus módulos son iguales. Este tipo de vectores no siempre

producen los mismos efectos físicos. Además estos vectores no

necesariamente empiezan en el mismo punto. La siguiente figura

muestra un ejemplo de dos vectores W iguales.


~ 34 ~

W W

b) Negativo de un vector

Si consideramos un determinado vector A, el negativo de dicho

vector será aquel vector paralelo, de igual módulo pero de sentido

contrario al vector A. La siguiente figura muestra un ejemplo físico

de este tipo de vectores.

A-A

c) Ortogonalidad de vectores

Si dos vectores forman un ángulo de 90° entre sí, entonces dichos

vectores se llaman vectores ortogonales.

La siguiente figura muestra un ejemplo de dos vectores ortogonales.


~ 35 ~

También puede darse el caso de que tres vectores sean mutuamente

ortogonales, como lo muestra el siguiente gráfico.

E

B

S

Este tipo de vectores ortogonales pueden situarse fácilmente sobre

los ejes de coordenadas cartesianos.

1.9 OPERACIONES CON VECTORES

Como hemos visto anteriormente los vectores son en realidad

cantidades nuevas muy útiles en la física, por lo tanto es de esperar que

si vamos a efectuar operaciones matemáticas entre ellos habría que

definir nuevas reglas. Las operaciones matemáticas usuales en la

aritmética o en el álgebra escalar, como por ejemplo la suma, la resta y

la multiplicación, tienen para los vectores un significado muy diferente

debido principalmente a las aplicaciones físicas en las que los

utilizaremos.

1.10 SUMA DE VECTORES POR MÉTODOS GRAFICOS

Cuando dos o más vectores se suman, todos ellos deben tener las

mismas unidades. Así, tendríamos que sumar un vector fuerza con otro

vector fuerza, un vector velocidad con otro vector velocidad; no tendría

sentido sumar, por ejemplo, un vector fuerza a un vector velocidad


~ 36 ~

porque son cantidades físicas diferentes. Las cantidades escalares

cumplen también con la misma regla.

F=10 N v=2 m/s

Utilizaremos para sumar los vectores dos métodos geométricos que son

el método del triángulo y el método del paralelogramo. Por supuesto

ambos métodos son equivalentes, es decir, nos conducirán al mismo

resultado.

a) Método del paralelogramo

El método del paralelogramo consiste en deslizar los dos vectores a

sumar, hasta que en un punto determinado del plano sus respectivos

orígenes se unen. Se completa un paralelogramo cuyos lados

adyacentes son dichos vectores. El vector suma se encuentra en la

diagonal de este paralelogramo y que parte del punto de origen

común de los dos vectores hacia el extremo opuesto. En la siguiente

figura el profesor hace una demostración de este método.

F1

F2

F1

F2

F1

F2R


~ 37 ~

Matemáticamente el vector suma o vector resultante quedará expresado

de la siguiente forma:

R = F1 + F2

Es importante indicar que este método sólo es válido para dos vectores

coplanares y concurrentes.

b) Método del triángulo

El método del triángulo consiste en unir dos vectores uno a

continuación de otro para luego formar un triángulo. El vector suma

se obtiene haciendo coincidir el origen del primer vector con el

extremo final del segundo vector. En la siguiente figura el profesor

explica el uso correcto y otro incorrecto del método del triángulo.

F1

F2

¡CORRECTO!

F1

F2

F1

F2

R

¡INCORRECTO!

F1

F2

F1

F2

R


~ 38 ~

El método del triángulo es muy útil cuando queremos obtener el

vector suma de dos vectores paralelos.

A

B

S=A+B

c) Método del polígono

El método del polígono, en principio es una ampliación del método

del triángulo y consiste en unir los vectores uno a continuación del

otro para luego formar un polígono. El vector suma se encontrará

en uniendo el origen del primer vector con el extremo final del

último vector.

C

B

A

D

CBA

D

CBA

D

R

La expresión matemática que representa la suma anterior esta dada

por:

R = A + B + C + D


~ 39 ~

Es importante añadir que, independientemente del orden en que se

dibujen los vectores para formar el polígono, el resultado debe ser

necesariamente el mismo. Es posible formar de este modo en algún

caso un “polígono cruzado”.

CBA

D C

B

A

DR

R

C

B

A

D

R

C

BA

D

R

Al construir un polígono suele ocurrir que el origen del primer

vector coincida con el extremo del último, esto implicaría que la

suma resultante de los vectores es igual a cero.

AB

C

A

B

C

La expresión matemática para el anterior caso sería:

R = A + B + C = 0


~ 40 ~

El método del polígono también puede aplicarse a vectores que no

son coplanares, en este caso se forma un “polígono alabeado”.

A

A

B

B

C

C

D D

R

R = A + B + C + D

1.11 DIFERENCIA DE VECTORES POR MÉTODOS

GRAFICOS

En la sustracción de vectores se empleará la definición del negativo de

un vector. Así definimos la operación R = A – B que podemos

reemplazar por:

R = A + (–B)

Donde la sustracción fue reemplazada por la suma del vector A con el

negativo (opuesto) del vector B.

A

-B

B

R=A–B


~ 41 ~

Como en el álgebra, la prueba de la sustracción de dos vectores se hace

con la suma de R + B = A. La figura anterior, permite averiguar esta

relación.

A diferencia de la suma, la sustracción de dos vectores no es

conmutativa, por lo que A – B B – A, de esta manera:

A – B = – (B – A)

A

B

A–BB–A

Según el anterior gráfico, podemos observar que

A – B = B – A

Si se tuvieran varios vectores, y si se define alguna expresión

matemática para operar con ellos, entonces se puede emplear el método

del polígono de igual forma como se hizo anteriormente. Así

primeramente se invierte el sentido de los vectores que tienen signo

negativo y luego se coloca un vector a continuación de otro,

obteniéndose el vector resultante uniendo el origen del primer vector

con el extremo final del último vector. Lo anterior se representa en la

siguiente figura:

A

B

CD

A

-D

B

-C


~ 42 ~

1.12 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

a) Dos vectores ortogonales (perpendiculares) forman con la

resultante de su suma o diferencia un triángulo rectángulo.

A

B

A

A -A

B -B B

b) La resultante de la suma vectorial de tres vectores ortogonales se

sitúa en la diagonal de un paralelepípedo rectangular formado por

dichos vectores.

A

B

CR

AB

C

R

R = A + B + C

c) Si dos vectores son ortogonales, se cumple que el módulo de la suma

es igual al módulo de la diferencia.

B

A

B

A


~ 43 ~

A + B A – B

A + B = A – B

d) Cualquiera que sea el orden en que sumemos los vectores, la suma

resultante será siempre la misma. Esta propiedad es llamada ley

conmutativa de la suma vectorial.

a

b

a

b

a+b b+a=

e) Cualquiera que sea la manera como agrupemos los vectores, la suma

resultante será siempre la misma. Esta propiedad es llamada ley

asociativa de la suma vectorial.

ed f

d

e

fd+e

(d+e)+f

e

f

d+e

e+fd e+f

d+(e+f)


~ 44 ~

f) La resultante máxima RMAX de dos vectores se obtiene cuando éstos

se encuentran en la misma dirección y sentido.

A B

A B

RMAX=A+B

Según el gráfico se cumple que: RMAX=A+B

g) La resultante mínima RMIN de dos vectores se obtiene cuando éstos

se encuentran en la misma dirección, pero en sentidos contrarios.

A B

A

BRMIN=A+B

Según el gráfico se cumple que: RMIN=A-B

h) Las ecuaciones vectoriales pueden ser tratadas de la misma forma

que si fueran ecuaciones algebraicas. Así por ejemplo considerando

la ecuación vectorial:

A + B = C

Podremos efectuar los siguientes cambios en la ecuación:

A = C – B ó B = C – A ó A – C = – B

Los siguientes gráficos ilustran lo anterior.


~ 45 ~

A

B

CA -A A

-B B -B

C C -C

A + B = C A = C – B B = C – A A – C = – B

1.13 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Cualquier vector puede considerarse como la resultante de la suma de

otros vectores a los cuales llamaremos “componentes del vector”. Así

en el siguiente gráfico los vectores A1, A2, A3 y A4 vienen a

denominarse componentes del vector A, ya que se cumple:

A = A1 + A2 + A3 + A4

A1 A2A3

A4

A

En general para N vectores tendremos:

A = A1 + A2 + A3 +. . . + AN

N

1i

iAA

De esta manera un vector A puede descomponerse en un número

cualquiera de componentes con tal que la suma de éstas de siempre el

mismo vector A.


~ 46 ~

Si quisiéramos considerar las componentes de un vector sólo en dos

direcciones específicas dadas, entonces podríamos utilizar como

referencia las rectas que contienen a dichos vectores, tal como lo

muestra el siguiente gráfico:

L1

L2

AL1

AL2A

Se puede observar en el gráfico que las rectas referencia L1 y L2

contienen respectivamente a los vectores componentes AL1 y A L2.

Luego se cumple que:

A = A L1 + A L2

De esta manera se dice que A L1 es la componente del vector A en la

dirección L1, y que A L2 es la componente del vector A en la dirección

L2.

Muchos de los problemas en física son más fáciles de resolver

utilizando la descomposición de un vector en sus componentes. Así en

física se utiliza muy comúnmente las componentes rectangulares de un

vector, que no son otra cosa que dos vectores situados sobre dos rectas

referencia mutuamente perpendiculares, tal como lo muestra el siguiente

gráfico.

L2

L1AL1

AL2

AL1 L2


~ 47 ~

Los ejes de coordenadas cartesianos “x i y”, son un buen ejemplo de

rectas de referencia perpendiculares, por lo que son muy usadas en

física. Entonces definimos a continuación las componentes

rectangulares de un vector con relación a estos ejes cartesianos según se

muestra en el gráfico siguiente.

A x

A y

A

donde Ax es la componente rectangular del vector A en la dirección “x”,

y Ay es la componente rectangular del vector A en la dirección “y”.

Luego podemos escribir:

A = Ax + Ay

Designaremos como vectores componentes rectangulares del vector A a

los vectores Ax y Ay. De la misma forma designaremos como

componentes escalares rectangulares del vector A a las cantidades Ax y

Ay. El siguiente gráfico muestra algunos ejemplos de vectores

componentes rectangulares.

A

Ax

Ay

B

Bx

By

C

Cx

Cy


~ 48 ~

Las componentes escalares se considerarán positivas o negativas según

que la proyección del extremo del vector se halle en el sentido positivo

o negativo a lo largo de los ejes de coordenadas xy. En el gráfico

anterior se tienen entonces los siguientes signos para las componentes

escalares:

La componente escalar Ax es positiva.

La componente escalar Ay es positiva.

La componente escalar Bx es negativa.

La componente escalar By es positiva.

La componente escalar Cx es negativa.

La componente escalar Cy es negativa.

Si sumamos por el método del triángulo los vectores componentes

rectangulares del vector A, formaremos un triángulo rectángulo cuyos

catetos serán las componentes escalares Ax y Ay; y cuya hipotenusa será

el módulo del vector A. Además consideraremos que el vector A forma

un ángulo con la componente vectorial Ax. Lo ilustramos en el

siguiente gráfico.

Ax

Ay

A

Ax

Ay

A

Según el gráfico anterior, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras en

el triángulo rectángulo para calcular el módulo del vector A. Así:

222yx AAA

22yx AAA


~ 49 ~

También podemos obtener en el triángulo rectángulo las funciones

trigonométricas para el ángulo , de la siguiente manera:

A

A ysen luego senAA y

A

A xcos luego cosAA x

De esta manera si en algún problema se nos proporciona el módulo del

vector que deseamos descomponer y el ángulo que forma este con la

componente horizontal, entonces podemos utilizar las expresión

matemáticas anteriores. Si el problema nos proporciona solamente las

componentes escalares Ax y Ay, entonces podremos encontrar el ángulo

que forma el vector A con la componente horizontal mediante la

expresión:

x

y

A

Atg luego

x

y

A

Aarctg

y que se lee: “ es igual al ángulo cuya tangente es la razón Ay/Ax”. En

algunos casos se proporciona en los problemas el ángulo que forma el

vector A con la componente vertical, tal como lo muestra el siguiente

gráfico.

Ax

Ay

A

Ay

Ax

A


~ 50 ~

Las funciones trigonométricas para el ángulo serán:

A

A xsen luego senAA x

A

A ycos luego AcosA y

yA

A xtg luego

y

x

A

Aarctg

Como recomendación útil para el lector, lo mejor en todo caso no es

memorizar “ciegamente” las fórmulas, sino plantear adecuadamente los

triángulo rectángulos de los vectores a descomponer en los cuales se

definirán las funciones trigonométricas.

1.14 COMPONENTES TRIRECTANGULARES DE UN

VECTOR

Un vector A en el espacio (3 dimensiones) se puede representar en un

sistema de coordenadas trirectangulares. Así los vectores Ax, Ay, Az son

los vectores componentes rectangulares del vector A según las

direcciones x, y, z respectivamente. Las componentes escalares del

vector A a lo largo de los ejes x, y, z se pueden escribir como Ax, Ay, Az

respectivamente. La suma vectorial de los vectores componentes del

vector A se representa matemáticamente como:

zyx AAAA

El siguiente gráfico muestra la descomposición vectorial del vector A.


~ 51 ~

Ax

Ay

Az A

Ax

Ay

Az

A

Para calcular el módulo del vector A en tres dimensiones, primero

calculamos el módulo de la resultante de la suma vectorial de Ax y Ay :

yxxy AAA

222yxxy AAA

Seguidamente calculamos el módulo de la resultante de la suma

vectorial de Axy y Az :

zxy AAA

222zxy AAA

2222zyx AAAA

222zyx AAAA

El cálculo anterior se resume en los dos gráficos siguientes:


~ 52 ~

Ax

Ay

Axy

Az

A

Axy

En los casos tridimensionales, muchas veces la dirección y sentido de

un vector se puede especificar dando tres ángulos con respecto a cada

uno de los ejes de coordenadas. El ángulo x es el ángulo que forma el

vector A con el eje x. El ángulo y es el que forma el vector A con el eje

y. El ángulo z es el que forma el vector A con el eje z. Estos ángulos se

denominan ángulos directores del vector A. En el siguiente gráfico se

muestra estos ángulos directores.

A

x

y

z

Si consideramos las componentes del vector A, podremos entonces

desarrollar una expresión en función de los ángulos directores, con

ayuda de los siguientes gráficos.


~ 53 ~

Ax

A

xAx

A

x

Ay

A

y

Ay

A

y

Az

Az

Az

A

z

Observamos que:

Ax = A cos x

Ay = A cos y

Az = A cos z


~ 54 ~

Hallando el módulo del vector A:

2222zyx AAAA

2222 coscoscos zyx AAAA

zyx 2222 coscoscos 222 AAAA

1coscoscos 222 zyx

donde cos x, cos y y cos z son llamados cosenos directores del vector

A.

1.15 SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO ANALITICO

El método geométrico para sumar vectores no resulta muy útil cuando

se requiere cierta exactitud matemática en los resultados. Tendremos

por tanto que recurrir a métodos analíticos o matemáticos los cuales

implican la descomposición de un vector en sus componentes, por lo

tanto, para sumar vectores por el método analítico, primeramente es

necesario descomponer cada vector en sus componentes rectangulares,

tal como lo muestran los gráficos de abajo. Definimos la operación

suma como:

R = A + B


~ 55 ~

A

B

A

B

R=A+B

A

B

R

Ax Bx

Ay

By By

Ay

Ax Bx Los vectores A y B pueden expresarse como:

A = Ax + Ay

B = Bx + By

Luego calculamos el vector resultante: R = A + B

R = (Ax + Ay) + (Bx + By)

R = (Ax + Bx) + (Ay + By)

Rx Ry


~ 56 ~

yx RRR

donde Rx representa la suma de las componentes vectoriales de A y B

sobre el eje x, y Ry representa la suma de las componentes vectoriales

de A y B sobre el eje y.

Para hallar el módulo del vector resultante R, según el gráfico anterior

podemos recurrir al Teorema de Pitágoras:

222yx RRR

22yx RRR

donde Rx representa la suma de las componentes escalares Ax y Bx ; y

Ry representa la suma de las componentes escalares Ay y By.

Anteriormente hemos sumado solamente dos vectores, pero podemos

generalizar al caso de N vectores en tres dimensiones, tal como se

muestra a continuación:

V1

V2

V3V4

VN


~ 57 ~

R = V1 + V2 + V3 + + VN =

N

i

i

1

V

zyx RRRR

Las componentes escalares de Rx, Ry, y Rz estarán dadas por:

Rx = V1x + V2x + V3x + + VNx =

N

i

ix

1

V

Ry = V1y + V2y + V3y + + VNy =

N

i

iy

1

V

Rz = V1z + V2z + V3z + + VNz =

N

i

iz

1

V

Para hallar el módulo del vector resultante R en el espacio podemos

recurrir a: 2222zyx RRRR

222zyx RRRR

En el plano xy, la dirección del vector resultante respecto al eje x, se

obtiene aplicando:

x

y

R

Rtg >>>>

x

y

R

Rarctg


~ 58 ~

RRy

Rx

En el espacio, la dirección del vector resultante con respecto a cada uno

de los ejes de coordenadas puede hallarse utilizando los cosenos

directores del vector R, que se muestran en el siguiente gráfico.

R

x

y

z

RxRy

Rz

Rx=Rcosx >>> R

Rxcos x >>>

R

Rarccos x

x

Ry=Rcosy >>> R

R

ycosy

>>>

R

Rarccos

yy

Rz=Rcos z >>> R

Rzcos z >>>

R

Rarccos z

z


~ 59 ~

Ejemplo.- Hallar el módulo de la suma de los vectores A y B mostrados

en la siguiente figura.

A

B

Ax

Ay

By

Bx

Debemos establecer primeramente la expresión matemática de la suma

del vector A con el vector B:

R = A + B

Expresando el vector R en función de sus componentes rectangulares:

R = Rx + Ry

Donde:

Rx = Ax + Bx

Ry = Ay + By

En forma escalar tendremos:

Rx = Ax + Bx

Ry = Ay + By

Según el gráfico las componentes escalares vienen expresadas en la

forma:

Ax = A cos (componente escalar positiva)

Ay = – A sen (componente escalar negativa)

Bx = – B cos (componente escalar negativa)

By = B sen (componente escalar positiva)


~ 60 ~

Luego las componentes escalares del vector R se escribirán como:

Rx = A cos – B cos

Ry = – A sen + B sen

El módulo de la resultante quedará expresado entonces como:

22yx RRR

22sensencoscos BABAR

Ejemplo.- Hallar el módulo de la resta A – B de los vectores mostrados

en la figura del ejemplo anterior.

Primeramente habría que modificar el gráfico estableciendo el opuesto

del vector B, de la siguiente manera:

A

B

Ax

Ay

-By

-Bx

-B

Seguidamente establecemos la expresión matemática que representa la

resta del vector A menos el vector B:

R = A – B


~ 61 ~

Expresamos ahora al vector R en función de sus componentes

rectangulares:

R = Rx + Ry

Donde:

Rx = Ax – Bx

Ry = Ay – By

En forma escalar tendremos:

Rx = Ax + Bx

Ry = Ay + By

Según el gráfico las componentes escalares vienen expresadas en la

forma:

Ax = A cos (componente escalar positiva)

Ay = – A sen (componente escalar negativa)

Bx = B cos (componente escalar positiva)

By = – B sen (componente escalar negativa)

Luego las componentes escalares del vector R se escribirán como:

Rx = A cos + B cos

Ry = – A sen – B sen

El módulo de la resultante quedará expresado entonces como:

22yx RRR

22sensencoscos BABAR

1.16 SUMA DE VECTORES IGUAL A CERO

Si sumamos gráficamente determinados vectores, obteniendo como

resultado un polígono cerrado, entonces diremos que la suma vectorial


~ 62 ~

de dichos vectores es igual a cero. Matemáticamente representamos esta

suma como:

R = A + B + C = 0

A A

B

B

C

C

como R = 0 entonces:

022 yx RR

Esto implicaría que Rx = 0 y Ry = 0 ; luego:

Rx = Ax + Bx + Cx = 0

Ry = Ay + By + Cy = 0

Esto último indica que cuando la suma vectorial de un sistema de

vectores es igual a cero, entonces la suma de sus componentes sobre

cada uno de los ejes coordenados también sumarán cero.

Generalizando al caso de N vectores en tres dimensiones, tendremos:

0VVVV N321

Entonces:

0

1

321

N

i

ixNxxxx VVVVV


~ 63 ~

0

1

321

N

i

iyNyyyy VVVVV

0

1

321

N

i

izNzzzz VVVVV

1.17 TEOREMA DE LOS COSENOS

Deduciremos a continuación una fórmula muy útil que nos permitirá

obtener el módulo de la resultante de la suma de dos vectores. Así, sean

los dos vectores concurrentes de longitudes a y b que forman

respectivamente ángulos y con respecto a la horizontal, tal como lo

muestra la siguiente figura.

a

b

ax bx

ay

by

a

b

En la figura se trasladan los vectores a sumar a un origen común, que

puede ser el origen de un sistema de coordenadas xy. Además

observamos que:

= –

Definimos la operación suma del vector a más el vector b:


~ 64 ~

R = a + b

El módulo de la resultante sería: 222yx RRR

222yyxx baba R

22222 22 yyyyxxxx bbaabbaa R

Las componentes escalares de los vectores a y b, son:

sen

cos

sen

cos

bb

bb

aa

aa

y

x

y

x

Luego la resultante R2 será igual a:

22

222

sensensen2sen

coscoscos2cos

bbaa

bbaa

R

2222

22222

sensensen2sen

coscoscos2cos

baba

baba

R

sensencoscos2

sencossencos 2222222

ab

ba

R

considerando las identidades trigonométricas:

cos2+sen

2 = 1


~ 65 ~

cos2+sen

2 = 1

cos cos + sen sen = cos( –)

tendremos:

)cos(2222 abbaR

Finalmente:

cos2222 abba R

La anterior ecuación dice que: <<El módulo de la resultante de la suma

de dos vectores, es igual a la suma del cuadrado del módulo del primer

vector más el cuadrado del módulo del segundo vector más dos veces el

producto del módulo del primer vector por el módulo del segundo

vector por el coseno del ángulo que forman dichos vectores>>.

1.18 TEOREMA DE LOS SENOS

Otra fórmula útil para la resolución de problemas de vectores, es el

teorema de los senos. Esta ley se pone de manifiesto arreglando los

vectores a sumar con la resultante en los lados de un triángulo. Así sea

la suma A + B = C de los vectores mostrados en la figura:

A

BC

b

a

cb

c

aC

A

B

En el triángulo de la derecha se cumple la relación:


~ 66 ~

cba sensensen

CBA

La anterior fórmula puede también aplicarse a cualquiera de los

siguientes casos:

A=B+C

BC

b

a

c

A

B=A+CC

b

a

c

A

BC

b

a

c

A+B+C=0

1.19 MULTIPLICACION DE VECTORES POR ESCALARES

La multiplicación de un vector por un escalar tiene el significado físico

de incrementar, reducir, anular o cambiar el sentido al vector.

Representaremos esta multiplicación de la siguiente manera:

AB m

donde B es un nuevo vector cuya magnitud es m veces la magnitud del

vector A y paralelo a él. Como los vectores A y B son paralelos,

entonces se podrá cumplir:

A

Bm

Dependiendo del valor y signo del escalar m, se podrán presentar los

siguientes casos:


~ 67 ~

a) Si m 1 el módulo del vector se incrementará

A mA

b) Si m=1 el módulo del vector permanecerá invariante

A mA

c) Si 0 m 1 el módulo del vector disminuye

A mA

d) Si m=0 el vector se anula

AmA=0

e) Si m 0 el vector cambia de sentido

A mA

Entre las operaciones en que intervienen los productos de los escalares

m y n por los vectores A y B se pueden citar las siguientes:

mm AA

AAA nmnm


~ 68 ~

BABA mmm

AAA mnmnnm

Se puede obtener un vector B cuyas componentes son las de A

multiplicadas por m:

AB m

zyxm AAAB

zyx mmm AAAB

Bx By Bz

xx mAB yy mAB zz mAB

1.20 VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es aquel vector adimensional que tiene como módulo

a la unidad y que señala en cualquier dirección conveniente. Estos

vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada

en el espacio y no tienen otro significado físico. Así todo vector A se

puede representar por el producto de un vector unitario u multiplicado

por el módulo del vector A. Según esto podemos escribir al vector A

como:

uA A


~ 69 ~

A

u

A

u=1

Luego, si ubicamos al vector A en un eje de coordenadas rectangulares,

tendremos :

A

AxAy

Az

uA

Au

de donde podemos obtener:

222zyx AAA

A

u

222zyx

zyx

AAA

AAAu

222222222zyx

z

zyx

y

zyx

x

AAAAAAAAA

AAA

u


~ 70 ~

Un sistema de vectores unitarios muy importante y muy utilizado en

física, son los que tienen por direcciones a los ejes positivos de un

sistema de coordenadas rectangulares, debido principalmente a que

estos vectores unitarios siempre apuntan en la misma dirección y no

cambian de dirección al pasar de un punto a otro. Estos vectores se

denominan i, j, k, y se representan gráficamente como:

i j

ki =1

j =1

k=1

Según lo anterior cualquier vector es susceptible de ser representado

como una suma de productos de sus componentes por i, j, k, de la

siguiente forma:

zyx AAAA

kjiA zyx AAA

Gráficamente tendremos:

Ax=Axi

Ay=Ayj

Az=Azk

A

i j

k


~ 71 ~

Si los vectores unitarios apuntan en el sentido negativo de los ejes

correspondientes, entonces se utilizará el signo negativo para dicho

vector. Así por ejemplo:

kjiB zyx BBB

kjiC zyx CCC

kjiD zyx DDD

Los valores de las componentes rectangulares están relacionados con los

cosenos directores de la siguiente manera:

A

x

y

zzz

AxAy

Az

u

A = Ax + Ay + Az

kjiA zyx AAA

kjiA zyx AAA coscoscos

kjiA

zyxA

coscoscos

kjiu zyx coscoscos


~ 72 ~

1.21 ADICIÓN DE VECTORES UTILIZANDO VECTORES

UNITARIOS

Sean los siguientes tres vectores:

kjiA zyx AAA

kjiB zyx BBB

kjiC zyx CCC

La adición de estos vectores puede escribirse como:

CBAR

kjikjikjiR zyxzyxzyx CCCBBBAAA

kjiR zzzyyyxxx CBACBACBA

A xi

AyjAzk

Bxi

Byj

Bzk

Cy j

Cxi

C zk

Generalizando lo anterior para N vectores y tres dimensiones:


~ 73 ~

kjiV zyx VVV 1111

kjiV zyx VVV 2222

kjiV zyx VVV 3333

kjiV NzNyNxN VVV

V1V2

V3

V4 V5

VN

La resultante de la suma de los N vectores estará dado por:

NVVVVR 321

k

j

iR

Nzzz

Nyyy

Nxxx

VVV

VVV

VVV

21

21

21

kjiR

N

iiz

N

iiy

N

iix VVV

111


~ 74 ~

Así pues el vector resultante R tiene por componentes las sumas

algebraicas de las componentes homólogas de los vectores V1, V2, …,

VN. Luego:

kjiR zyx RRR

El módulo de la resultante R se obtiene utilizando:

2222zyx RRRR

222zyx RRRR

El vector unitario uR de la resultante se puede obtener de la siguiente

forma:

kjiu zyxR coscoscos

kjiuR

R

R

R

R

R zyxR

1.22 PRODUCTO ESCALAR

Anteriormente se había supuesto que los vectores a sumar deberían ser

del mismo tipo, es decir, los vectores de velocidad se suman con

vectores de velocidad y los vectores de fuerza se suman con vectores de

fuerza. Sin embargo, los vectores de diferentes tipos pueden

multiplicarse entre sí para generar cantidades físicas nuevas. Así pues,

debemos establecer nuevas reglas para la multiplicación de vectores.

Empezaremos por definir un tipo de multiplicación de vectores muy

frecuente en física, que es el llamado producto escalar, producto

interno o producto punto de dos vectores. Sean A y B dos vectores que

forman entre sí un ángulo . Este producto se define como:


~ 75 ~

A

BcosABBA

como A y B son escalares (módulos de los vectores) y “cos” es

simplemente un número, el producto escalar de dos vectores es un

escalar, de allí su nombre. Resumiendo:

El producto escalar de cualesquiera dos vectores A y B es una

cantidad escalar igual al producto de los módulos de los dos vectores y

el coseno del ángulo entre ellos .

El producto escalar AB (se lee: “A punto B”) es prácticamente el

producto de la magnitud de uno de los dos vectores por la componente

del otro vector en la dirección del primero. El siguiente gráfico,

representa lo dicho.

A

B

Bcos

Acos

El producto escalar nos da una idea de la influencia de un vector sobre

otro.

Si consideramos los siguientes productos escalares:

cosABBA

cosBAAB

Podemos observar que el producto escalar es conmutativo. Luego:


~ 76 ~

ABBA

Si el vector A es perpendicular al vector B, entonces:

)90cos( ABBA

)0(ABBA

AB

0BA

Si el vector A tiene el mismo sentido que B, entonces:

)0cos( ABBA

)1(ABBA

AB

ABBA

Si el vector A tiene sentido contrario al vector B, entonces:

)180cos( ABBA

)1( ABBA

A BABBA

En resumen:

Cuando el ángulo entre dos vectores está entre 0° 90°, el producto

escalar es positivo.


~ 77 ~

Cuando el ángulo entre dos vectores es = 90° , el producto escalar es

nulo.

Cuando el ángulo entre dos vectores está entre 90°180°, el producto

escalar es negativo.

Es posible considerar a las ecuaciones AB = AB y AB = 0 como

definiciones de paralelismo y perpendicularidad.

El producto escalar puede escribirse en función de las componentes

rectangulares de dos vectores. Así consideremos los vectores unitarios

del siguiente gráfico y hallemos los productos escalares:

i j

k

1)0cos()1)(1( ii

1)0cos()1)(1( jj

1)0cos()1)(1( kk

0)90cos()1)(1( ijji

0)90cos()1)(1( ikki

0)90cos()1)(1( jkkj

Resumiendo:

1 ii 0 ijji

1 jj 0 ikki

1kk 0 jkkj


~ 78 ~

Consideremos ahora los siguientes vectores:

kjiA zyx AAA

kjiB zyx BBB

Hallemos:

kjikjiBA zyxzyx BBBAAA

kkjkik

kjjjij

kijiii

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

de donde:

zzyyxx BABABABA

Con esta relación podemos ver que el producto escalar de un vector por

sí mismo es igual al módulo del vector al cuadrado:

zzyyxx AAAAAA AA

222zyx AAA

2AAA

En física, también se utiliza el producto escalar para hallar el ángulo que

forman entre sí dos vectores. Así:


~ 79 ~

A

B

cosABBA

AB

BABABA

AB

zzyyxx

BAcos

AB

BABABA zzyyxxarccos

El producto escalar obedece a la ley distributiva de la multiplicación,

esto se demuestra a continuación. Sean los tres vectores:

kjiA zyx AAA

kjiB zyx BBB

kjiC zyx CCC

Calculamos AB y AC:

zzyyxx BABABA BA

zzyyxx CACACA CA

luego:

zzyyxxzzyyxx CACACABABABA CABA

zzzyyyxxx CBACBACBA


~ 80 ~

kjikji zzyyxxzyx CBCBCBAAA

CBA

CABACBA

El producto escalar puede utilizarse para obtener las componentes

escalares rectangulares de un vector de una dirección determinada. Así:

A

i j

k

x

y

z

xxx AAA coscos)1(iA

xA iA

yyy AAA coscos)1(jA

yA jA

zzz AAA coscos)1(kA

zAkA

como kjiA zyx AAA

kkAjjAiiAA


~ 81 ~

En física, el producto escalar se utiliza muchas veces para determinar la

componente rectangular de un vector según una recta. Así, en el

siguiente gráfico la componente escalar rectangular del vector A según

una dirección L es:

A

uL

L

L

LLL AA cos uA

donde uL es el vector unitario asociado a la dirección L. La componente

vectorial de A en la dirección L viene dada por la ecuación:

LLL uuAA

La componente del vector A perpendicular a la dirección L se encuentra

en el plano que contiene A y L, y puede obtenerse de la expresión:

A

ALAn

Ln

Ln AAA


~ 82 ~

1.23 PRODUCTO VECTORIAL

Otro tipo de multiplicación muy útil en física, es el llamado producto

vectorial, producto externo o producto cruz de dos vectores.

El producto vectorial AB de dos vectores A y B, se define como un

vector perpendicular al plano determinado por A y B y cuyo módulo es

igual al área del paralelogramo de lados A y B, como se muestra en la

figura:

AB

B

A

Area sombreada=AB

La longitud de AB, en función del menor ángulo formado por ambos

vectores, está dada por:

senABBA

donde ABsen viene a representar el área del paralelogramo mostrado

en la siguiente figura:

Bsen

B

A

Es importante notar que mientras el producto escalar es un número, el

producto vectorial es un nuevo vector. De esta forma si n es un vector


~ 83 ~

unitario perpendicular a cada vector A y B en el sentido AB, el

producto vectorial es:

nBA senAB

n

AB

B

A

Plano

de A y B

La dirección de AB puede obtenerse aplicando la “regla de la mano

derecha” de la siguiente forma: si se coloca la mano derecha de tal

manera que los dedos encorvados sigan la rotación de A hacia B, el

pulgar extendido apuntará hacia la dirección de AB. Esta regla se

ilustra en el gráfico siguiente:

B

A

AB

A diferencia del producto escalar, el orden en el cual se multiplican los

vectores es importante. Así, si se intercambia el orden de A y B,

definiendo BA, entonces se invierte el sentido del producto vectorial,

tal como muestra el siguiente gráfico:


~ 84 ~

B

A

BA

Según lo anterior se cumpliría la siguiente expresión:

ABBA

Si el vector A es perpendicular al vector B, entonces el producto

vectorial es máximo:

nBA )90sen( AB

nBA )1(AB

A

BnBA AB

n

ABn

Si el vector A tiene el mismo sentido que B, entonces:

nBA )0sen( AB

nBA )0(AB


~ 85 ~

AB

0BA

Si el vector A tiene sentido contrario al vector B, entonces:

nBA )180sen( AB

nBA )0(AB

A B0BA 180°

El producto vectorial puede ser aplicado a los vectores unitarios i, j, k.

Así aplicando la regla de la mano derecha a los vectores unitarios

mostrados en el siguiente gráfico obtenemos:

i j

k

ij = (1)(1) sen (90°) k = k

jk = (1)(1) sen (90°) i = i

ki = (1)(1) sen (90°) j = j

ji = (1)(1) sen (90°) (–k) = –k

kj = (1)(1) sen (90°) (–i) = –i

ik = (1)(1) sen (90°) (–j) = (–j)

ii = (1)(1) sen (0°) k = 0

jj = (1)(1) sen (0°) i = 0

kk = (1)(1) sen (0°) j = 0


~ 86 ~

Resumiendo:

kji kij

ikj ijk

jik jki

También 0ii 0jj 0kk

Nota: La expresión 0 representa el llamado “vector nulo”, de longitud

cero y sin ninguna dirección particular en el espacio. Goza de las

siguientes propiedades:

kji0 000

A0A 0AA 00A 00A

Si se escriben los vectores A y B en utilizando los vectores unitarios i, j,

k, tendremos:

kjiA zyx AAA

kjiB zyx BBB

Luego calculamos el producto vectorial AB:

AB = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)

= AxBxii + AxByij + AxBzik

+ AyBxji + AyByjj + AyBzjk

+ AzBxki + AzBykj + AzBzkk


~ 87 ~

AB = AxBx (0) + AxBy k + AxBz (–j)

+ AyBx (–k) + AyBy (0) +AyBz (i)

+ AzBx j + AzBy (–i) + AzBz (0)

AB =(AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx) k

kjiBA xyyxxzzxyzzy BABABABABABA

El anterior resultado nos sirve para hallar el vector resultante del

producto AB, en función de las componentes de los vectores A y B.

Pero como se ve esta fórmula es algo difícil de memorizar, por lo cual

para casos prácticos escribiremos esta expresión en forma más

compacta en un arreglo de determinante 3x3 de la siguiente forma:

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

Desarrollaremos este determinante expandiéndolo de la siguiente forma:

kjiBAyx

yx

zx

zx

zy

zy

BB

AA

BB

AA

BB

AA

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

zyx

zyx

BBB

AAA

kji


~ 88 ~

kjiBA xyyxxzzxyzzy BABABABABABA

zy

zy

BB

AA

zx

zx

BB

AA

yx

yx

BB

AA

El producto vectorial obedece a la ley distributiva de la suma, es decir:

CABACBA

A

C

BB+C

A(B+C) Plano de A,B,C

A

C

B

AB

Plano de A,B,CAC


~ 89 ~

Si m es un escalar, entonces se cumple:

BABABA mmm

El teorema de los senos puede demostrarse utilizando el producto

vectorial y el siguiente gráfico en donde u es un vector unitario

perpendicular al plano de los vectores A, B, C y donde se define la

operación vectorial C=A+B:

A

BC

bc

a

u

Plano de A,B,C

BAC ( i )

multiplicando vectorialmente ambos miembros de la ecuación ( i ) por

el vector A:

BAACA

BAAACA

BACA

escribiendo en una forma conveniente según el gráfico:

uu cABbAC 180sensen

cABbAC sensen


~ 90 ~

cBbC sensen

b

B

c

C

sensen ( ii )

en forma análoga, multiplicando vectorialmente ambos miembros de la

ecuación ( i ) por el vector B:

BABCB

BBABCB

ABCB

escribiendo en una forma conveniente según el gráfico:

uu cBAaBC 180sensen

cBAaBC sensen

cAaC sensen

a

A

c

C

sensen ( iii )

relacionando los resultados ( ii ) y ( iii ), obtenemos la ley de los senos:

c

C

b

B

a

A

sensensen

1.24 PRODUCTO MIXTO

El producto mixto es el producto escalar de un vector A por el resultado

del producto vectorial de dos vectores B y C. El producto mixto podrá

escribirse en las formas:

CBA


~ 91 ~

o bien

ACB

En el producto CBA

se puede omitir los paréntesis y escribir

CBA

ya que en este caso no existe ambigüedad, debido que la

operación CBA

carece de sentido por que no está definido el

producto vectorial de un escalar por un vector. De esta manera:

CBACBA

El producto mixto es un escalar. Sin embargo, los vectores no se pueden

permutar arbitrariamente ya que el producto vectorial no es

conmutativo. No obstante se cumple que:

ACBACBCBACBA

lo cual se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial

en estas condiciones, son permutables.

Si desarrollamos CBA

en forma vectorial cartesiana:

kjikjikjiCBA

zyxzyxzyx CCCBBBAAA

kjikji

xyyxxzzxyzzyzyx CBCBCBCBCBCBAAA

xyyxzxzzxyyzzyx CBCBACBCBACBCBA

obtenemos:

xyyxzzxxzyyzzyx CBCBACBCBACBCBA CBA


~ 92 ~

que es el desarrollo del determinante:

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

CBA

La cantidad CBA

representa geométricamente el volumen del

paralelepípedo de aristas A, B, C, con signo positivo o negativo según

que A

, B

, C

tengan la misma orientación mutua que i

, j

, k

.

Si consideramos el siguiente gráfico, observaremos que:

Volumen del paralelepípedo = (área de la base)(altura del

paralelepípedo)

cosAV pedoparalelepí CB

cosAV pedoparalelepí CB

por definición de producto escalar tendremos:

ACB

pedoparalelepíV


~ 93 ~

C

B

A

BC

Aco

s

1.25 DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

El doble producto vectorial es el producto vectorial de un vector A

por

el resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores B

y C

. Así

pues, el doble producto vectorial se escribirá:

CBA

Desarrollando la expresión anterior:

kjiACBA

xyyxzxxzyzzy CBCBCBCBCBCB

xyyxzxxzyzzy

zyx

CBCBCBCBCBCB

AAA

kji

CBA


~ 94 ~

k

j

iCBA

yzzyyzxxzx

xyyxxyzzyz

zxxzzxyyxy

CBCBACBCBA

CBCBACBCBA

CBCBACBCBA

kk

jj

iiCBA

zyyxxzyyxx

yxxzzyxxzz

xzzyyxzzyy

CBABABCACA

CBABABCACA

CBABABCACA

kji

kjiCBA

zyyxxyxxzzxzzyy

zyyxxyxxzzxzzyy

CBABACBABACBABA

BCACABCACABCACA

sumando y restando kji

zzzyyyxxx CBACBACBA

k

j

i

k

j

iCBA

zzzzyyxx

yyyyxxzz

xxxxzzyy

zzzzyyxx

yyyyxxzz

xxxxzzyy

CBACBABA

CBACBABA

CBACBABA

CBABCACA

CBABCACA

CBABCACA


~ 95 ~

k

j

i

k

j

iCBA

zzzyyxx

yzzyyxx

xzzyyxx

zzzyyxx

yzzyyxx

xzzyyxx

CBABABA

CBABABA

CBABABA

BCACACA

BCACACA

BCACACA

kji

kjiCBA

zyxzzyyxx

zyxzzyyxx

CCCBABABA

BBBCACACA

kjiBAkjiCACBA

zyxzyx CCCBBB

CBABCACBA

De manera análoga, se puede demostrar que:

ACBBCACBA

de donde se puede observar que

CBACBA

lo que quiere decir que el doble producto vectorial no cumple con la

propiedad asociativa.


~ 96 ~

EJERCICIOS

EJERCICIO 1. Sean los vectores:

A = -3i+2j+k

B = 2i+9k

C = 3i+j+7k

y el escalar m = 2

Compruebe los siguientes resultados:

A+B =-1i+2j+10k

A-B = -5i+2j-8k

B-A = 5i-2j+8k

A*B =3

B*A =3

AXB =18i+29j-4k

BXA =-18i-29j+4k

mA =-6i+4j+2k

mB = 4i+0j+18k

mA*B = 6

mB*A = 6

mAXB =36i+58j-8k

mBXA = -36 i-58j+8k

A*A = 14

B*B = 85

C*C = 59

AXA = 0i+0j+0k

BXB = 0i+0j+0k

CXC = 0i+0j+0k

B*C = 69

BXC = -9i+13 j+2k

B+C = 5i+1j+16k


~ 97 ~

A+B+C = 2i+3j+17k

A+B-C = -4i+1j+3k

A-B+C = -2i+3j-1k

A-B-C = -8i+1j-15k

(A*B)C = 9i+3j+21k

A(B*C) = -207i+138 j+69k

(AXB)XC = 207i-138j-69k

AX(BXC) = -9i-3j-21k

A*(BXC) = 55

(AXB)*C = 55

m(AXB)*C = 110

m(A+B+C) = 4i+6j+34k

(CXC)*C = 0

(C*C)C = 177i+59j+413k

AXB+C = 21i+30j+3 k

A-BXC = 6i-11j-1k

m(A+B)-C = -5i+3j+13k

A*(B+C) = 3

AX(B+C) = 31i+53j-13k

|A| = 3.741657387

|B| = 9.219544457

|C| = 7.681145748

|A+B| = 10.24695077

|A-B| = 9.643650761

|AXB| = 34.36568055

|BXA| = 34.36568055

|mA| = 7.483314774

|mB| = 18.43908891

mA*B = 6

mB*A = 6

|mAXB| = 68.73136111

|mBXA| = 68.73136111

A*A = 14


~ 98 ~

B*B = 85

C*C = 59

|AXA| = 0

|BXB| = 0

|CXC| = 0

B*C = 69

|BXC| = 15.93737745

|B+C| = 16.79285562

|A+B+C| = 17.3781472

|A+B-C| = 5.099019514

|A-B+C| = 3.741657387

|A-B-C| = 17.02938637

|(A*B)C| = 23.04343724

|A(B*C)| = 258.1743597

|(AXB)XC| = 258.1743597

AX(BXC) = 23.04343724

A*(BXC) = 55

(AXB)*C = 55

m(AXB)*C = 110

|m(A+B+C)| = 34.75629439

(CXC)*C = 0

|(C*C)C| = 453.1875991

|AXB+C| = 36.74234614

|A-BXC| = 12.56980509

|m(A+B)-C| = 14.24780685

A*(B+C) = 3

|AX(B+C)| = 62.76145314

EJERCICIO 2. Sean los vectores:

A = -3j-k

B = 5i-2j+3k

C = 8i+j-4k


~ 99 ~

y el escalar m = -1

Compruebe los siguientes resultados:

A+B = 5i-5j+2k

A-B = -5i-1j-4k

B-A = 5i+1j+4k

A*B = 3

B*A = 3

AXB = -11i-5 j+15k

BXA = 11i+5 j-15k

mA = 0i+3j+1k

mB = -5i+2j-3k

mA*B = -3

mB*A = -3

mAXB = 11i+5j-15k

mBXA = -11i-5j+15 k

A*A = 10

B*B = 38

C*C = 81

AXA = 0i+0j+0k

BXB = 0i+0j+0k

CXC = 0i +0j+0k

B*C = 26

BXC = 5i+44j+21k

B+C = 13i-1j-1k

A+B+C = 13i-4j-2k

A+B-C = -3i-6j+6k

A-B+C = 3i+0j-8k

A-B-C = -13i-2j+0k

(A*B)C = 24i+3j-12k

A(B*C) = 0i-78j-26k

(AXB)XC = 5i+76j+29k

AX(BXC) = -19i-5j+15k


~ 100 ~

A*(BXC) = -153

(AXB)*C = -153

m(AXB)*C = 153

m(A+B+C) = -13i+4 j+2k

(CXC)*C = 0

(C*C)C = 648 i+81j-324k

AXB+C = -3i-4j+11k

A-BXC = -5i-47j-22k

m(A+B)-C = -13i+4j+2k

A*(B+C) = 4

AX(B+C) = 2 i-13j+39k

|A| = 3.16227766

|B| = 6.164414003

|C| = 9

|A+B| = 7.348469228

|A-B| = 6.480740698

|B-A| = 6.480740698

A*B = 3

B*A = 3

|AXB| = 19.26136028

|BXA| = 19.26136028

|mA| = 3.16227766

|mB| = 6.164414003

mA*B = -3

mB*A = -3

|mAXB| = 19.26136028

|mBXA| = 19.26136028

A*A = 10

B*B = 38

C*C = 81

|AXA| = 0

|BXB| = 0

|CXC| = 0

B*C = 26


~ 101 ~

|BXC| = 49.01020302

|B+C| = 13.07669683

|A+B+C| = 13.74772708

|A+B-C| = 9

|A-B+C| = 8.544003745

|A-B-C| = 13.15294644

|(A*B)C| = 27

|A(B*C)| = 82.21921916

|(AXB)XC| = 81.49846624

AX(BXC) = 24.71841419

A*(BXC) = -153

(AXB)*C = -153

m(AXB)*C = 153

|m(A+B+C)| = 13.74772708

(CXC)*C = 0

|(C*C)C| = 729

|AXB+C| = 12.08304597

|A-BXC| = 52.13444159

|m(A+B)-C| = 13.74772708

A*(B+C) = 4

|AX(B+C)| = 41.15823125

2.1 DEFINICION.

La Estática forma parte de la Mecánica de Sólidos que se dedica al

estudio de las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo,

sobre el cual actúan fuerzas, permanezca en equilibrio.

2.2 FUERZA.

La fuerza es el resultado de la interacción de dos cuerpos por contacto

directo o por efecto de acción a distancia, que cambia o tiende a cambiar

su movimiento o su forma. Las fuerzas aplicadas a un cuerpo pueden

producir dos efectos: efecto estático o deformación de un cuerpo y

efecto dinámico o aceleración del cuerpo. Como la suma de dos fuerzas

se efectúa por la ley del paralelogramo, entonces podemos decir que las

fuerzas son vectores. Además la unidad de fuerza en el Sistema

Internacional de Unidades es el newton (N).

2.3 NATURALEZA DE LAS FUERZAS.

a) Fuerza gravitacional.- Es una fuerza de atracción entre dos

cuerpos debido a la masa que poseen estos. Esta fuerza es muy

débil, y para que se pueda sentir apreciablemente es necesario

que la masa de por lo menos uno de los cuerpos tenga una

dimensión planetaria.


~ 103 ~

b) Fuerza electromagnética.- Se descomponen en :

- Una fuerza eléctrica, que es la fuerza de atracción o de

repulsión entre dos cuerpos debido a la carga eléctrica que

poseen.

- Una fuerza magnética, que es una fuerza que se presenta

cuando las cargas eléctricas están en movimiento.

c) Fuerzas nucleares.- Estas fuerzas son de corto rango, ya que

aparecen cuando la distancia de interacción es del orden de 10-15

metros o menos. Las fuerzas nucleares mantienen unidos a los

protones y neutrones en el núcleo atómico.

2.4 FUERZAS DE CONTACTO.

Son fuerzas debido al contacto real entre dos cuerpos. Debemos

entender por contacto en el sentido macroscópico ya que en el sentido

microscópico el contacto no tiene sentido, los electrones o los núcleos

nunca se tocan. Estas fuerzas de contacto son: la fuerza elástica, la

fuerza de tensión, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento.

2.5 LEY DE HOOKE.

En 1676 el inglés Robert Hooke (1635–1703 ), enunció la ley que lleva

su nombre en la cual indica que los resortes se alargan en proporción

directa a una fuerza aplicada en él. Para esclarecer mejor esto considere

un sistema físico compuesto por una masa unida al extremo de un

resorte, donde la masa se puede mover libremente por una pista

horizontal sin fricción. Cuando el resorte no está ni alargado ni

comprimido, la masa está en la posición x=0, conocida como la posición

de equilibrio del sistema. Si la masa se desplaza una pequeña distancia x

a partir del equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa m dada

por:

kxF


~ 104 ~

La constante k se denomina constante del resorte. El signo negativo

indica que la fuerza es de restitución, esto es, cuando la masa se

desplaza hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda. Cuando la

masa se desplaza hacia la izquierda, entonces la fuerza está dirigida

hacia la derecha.

x=0

F

F

2.6 TENSION DE UNA CUERDA.

Son fuerzas que se generan en el interior de las cuerdas debido a los

efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los

extremos de la cuerda. Tomemos un cable fijo en una pared en el punto

O y del otro extremo O’ halemos con una fuerza F. Como las moléculas

del cable se separaron, las fuerza de restitución, llamada tensión, se

opondrá a la fuerza F. En un punto cualquiera del cable, las tensión T

siempre es la misma si este se encuentra en equilibrio.

T1 FT2T3T4

F=T=T1=T2=T3=T4

O O’


~ 105 ~

2.7 FUERZA NORMAL.

Si consideramos un cuerpo sobre una superficie plana, las moléculas

comprimidas de la superficie producen una fuerza elástica dirigida de la

superficie hacia el cuerpo y normal a la superficie, esto es, la línea de

acción de esta fuerza normal N es siempre perpendicular a la superficie

en contacto. Si la superficie de contacto es curva, como por ejemplo un

círculo, la normal será perpendicular a la línea tangente común de los

cuerpos.

N

N

2.8 FUERZA DE ROZAMIENTO.

El rozamiento es debido a las asperezas y deformaciones de las

superficies de contacto. Consideramos un cuerpo sobre una superficie

plana y apliquémosle una fuerza horizontal F. Si esta fuerza es pequeña,

el cuerpo no se mueve debido a que una fuerza fs, que llamamos de

rozamiento estática, la contrarresta. Esta fuerza es proporcional a la

normal o sea

Nf ss


~ 106 ~

denominaremos s el coeficiente estático de rozamiento.

Si aumentamos la fuerza, de tal manera que el cuerpo se mantiene en

movimiento, la fuerza de rozamiento, que llamamos ahora dinámica,

opuesta al movimiento, se mantiene constante y proporcional a la fuerza

normal,

Nf dd

siendo d el coeficiente dinámico de rozamiento.

N

Ffs

v=0

N

fd

v

Las anteriores relaciones para el rozamiento estático y dinámico, son

empíricas y aproximadamente independientes del área de contacto y de

la velocidad del cuerpo.

2.9 PRIMERA LEY DE NEWTON.

Llamada también ley de la inercia, esta dice:

<< Todo cuerpo continúa en su estado inicial de reposo o de

movimiento con velocidad uniforme en una línea recta, a menos que

sobre él actúe una fuerza externa neta o no equilibrada obligándolo

a cambiar de dicho estado. >>


~ 107 ~

La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, llamada también fuerza

resultante, es la suma vectorial de todas las fuerzas que sobre él actúan

FFneta

Esta ley de inercia implica que:

Si lanzamos un cuerpo en un medio en la que no existe rozamiento,

entonces el cuerpo continúa su camino sin pararse ni desviarse y la

medida de su velocidad nos indica un valor constante.

Ninguna explicación es necesaria para justificar la existencia de una

velocidad.

Para cambiar la dirección o la magnitud de la velocidad de un

cuerpo, es decir para producir una aceleración, se necesita una

interacción del exterior del cuerpo.

2.10 TERCERA LEY DE NEWTON.

Llamada también ley de acción y reacción, esta dice:

<< A toda fuerza de acción se opone siempre una fuerza de reacción

igual; es decir, que las acciones mutuas de dos cuerpos son siempre

iguales y dirigidas en sentidos contrarios. Esto indica que las fuerzas

actúan siempre por pares. Además, las fuerzas de acción y reacción

se aplican a cuerpos diferentes >>

acciónF

reacciónF


~ 108 ~

2.11 MOMENTO DE FUERZA O TORCA.

Consideremos una fuerza F

que actúa sobre una partícula localizada en

un punto P cuya posición respecto al origen O del referencial inercial

queda determinada por el vector de posición r

, la torca

que actúa

sobre la partícula respecto al origen O se define como

Fr

La torca es una cantidad vectorial. Su magnitud está dada por

senrF

donde es el ángulo entre r

y F

; su dirección es normal al plano

formado por r

y F

. Su sentido lo determina la regla de la mano

derecha del producto vectorial de dos vectores, según la cual r

se lleva

hasta F

recorriendo el menor ángulo entre ellas, curvando los dedos de

la mano derecha de modo que la dirección del pulgar extendido indica la

dirección de

. En el Sistema Internacional de Unidades, las unidades

de la torca son el newton-metro (Nm)


~ 109 ~

F

r

Fr

La magnitud de

también puede escribirse como

FrFr sen

o también como

rFFr sen

en donde r es la componente de r

perpendicular a la línea de acción

de F

, y F es la componente de F

perpendicular a r

.

F

F

//F

r

r //r

O


~ 110 ~

La torca se llama, a menudo, el momento de la fuerza y el término r se

llama brazo del momento. Por convención, diremos que el momento de

fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es producir una rotación

alrededor de O contraria al movimiento de las agujas del reloj, y

negativo cuando la rotación se produce en el mismo sentido del

movimiento de las agujas del reloj.

-F

+

F

2.12 CUPLA O PAR DE FUERZAS.

De dos fuerzas F

y F

que tengan el mismo módulo, rectas soporte

paralelas y sentidos opuestos se dice que forman una cupla, un par de

fuerzas o simplemente un par. Evidentemente, la suma de las

componentes de ambas fuerzas según cualquier dirección es cero. Sin

embargo, el momento de las dos fuerzas respecto a un punto dado no es

nulo y, si bien no producen traslación del cuerpo al que apliquen, si

tienden a rotarlo.

Representamos al momento del par como C

, y su valor se calcula

mediante

FdC

donde d es la distancia que existe entre las dos rectas soporte de las

fuerzas. El momento producido por un par de fuerzas es el mismo

respecto a cualquier punto del espacio.


~ 111 ~

2.13 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.

Una condición necesaria para que una partícula permanezca estacionaria

es que la fuerza neta que actúa sobre la partícula sea cero. Sin embargo

aunque el centro de masas de un cuerpo esté en reposo, el objeto puede

girar. Por tanto, es también necesario que el momento resultante

respecto al centro de masas sea cero. Las dos condiciones necesarias

para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio estático son:

a) PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.

<< La suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan

sobre un cuerpo que está en equilibrio debe ser cero >>

0321

NFFFF

esta ecuación vectorial conduce a tres ecuaciones escalares

0

0

0

321

321

321

Nzzzz

Nyyyy

Nxxxx

FFFF

FFFF

FFFF


~ 112 ~

b) SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.

<< La suma vectorial de todas las torcas externas que actúan

sobre un cuerpo que está en equilibrio debe ser cero >>

0321

N

esta ecuación vectorial conduce a tres ecuaciones escalares

0

0

0

321

321

321

Nzzzz

Nyyyy

Nxxxx

x y

z

1F

2F

3F

x y

z

1

2

3


~ 113 ~

PROBLEMA. En la figura se presenta un cajón de 8 kN de peso

suspendido de tres cables. Hallar la tensión de cada cable.

72 cm

80 cm

54 cm

64 cm

120 cm

Z

Y

X

A

B

C

D

O

Solución.

Paso 1. Determine las coordenadas de los puntos A, B, C y D.

A = (0, 0, -120) cm

B = (-54, -72, 0) cm

C = (64, 0, 0) cm

D = (-54, 80, 0) cm

Paso 2. Calculamos los vectores de posición AB, AC y AD.

𝐴𝐵 = −54𝒊 − 72𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 64𝒊 + 0𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚

𝐴𝐷 = −54𝒊 + 80𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚

Paso 3. Calculamos las magnitudes de los vectores de posición AB, AC

y AD.


~ 114 ~

𝐴𝐵 = 150 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 136 𝑐𝑚

𝐴𝐷 = 154 𝑐𝑚

Paso 4. Calculamos los vectores unitarios de los vectores de posición

AB, AC y AD

𝒖 𝐴𝐵 =𝐴𝐵

𝐴𝐵 = −0.36𝒊 − 0.48𝒋 + 0.80𝒌

𝒖 𝐴𝐶 =𝐴𝐶

𝐴𝐶 = 0.47𝒊 + 0𝒋 + 0.88𝒌

𝒖 𝐴𝐷 =𝐴𝐷

𝐴𝐷 = −0.35𝒊 + 0.52𝒋 + 0.78𝒌

Paso 5. Determinamos las fuerzas de tensión 𝑇 𝐴𝐵 , 𝑇 𝐴𝐶 y 𝑇 𝐴𝐷 en cada

cuerda.

𝑇 𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵𝒖 𝐴𝐵 = −0.36𝑇𝐴𝐵𝒊 − 0.48𝑇𝐴𝐵𝒋 + 0.80𝑇𝐴𝐵𝒌

𝑇 𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶𝒖 𝐴𝐶 = 0.47𝑇𝐴𝐶𝒊 + 0𝒋 + 0.88𝑇𝐴𝐶𝒌

𝑇 𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷𝒖 𝐴𝐷 = −0.35𝑇𝐴𝐷𝒊 + 0.52𝑇𝐴𝐷𝒋 + 0.78𝑇𝐴𝐷𝒌

Paso 6. Determinamos el vector peso 𝑃 del cajón

𝑃 = 𝑃𝒖 𝑝𝑒𝑠𝑜 = 0𝒊 + 0𝒋 − 8𝒌

Paso 7. Aplicamos la primera condición de equilibrio


~ 115 ~

𝑇 𝐴𝐵 + 𝑇 𝐴𝐶 + 𝑇 𝐴𝐷 + 𝑃 = 0

Lo que nos lleva al sistema de ecuaciones escalares:

−0.36𝑇𝐴𝐵 + 0.47𝑇𝐴𝐶 − 0.35𝑇𝐴𝐷 + 0 = 0−0.48𝑇𝐴𝐵 + 0𝑇𝐴𝐶 + 0.52𝑇𝐴𝐷 + 0 = 0

0.80𝑇𝐴𝐵 + 0.88𝑇𝐴𝐶 + 0.78𝑇𝐴𝐷 − 8 = 0

Paso 8. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales y obtenemos

𝑇𝐴𝐵 = 2.86 𝑘𝑁

𝑇𝐴𝐶 = 4.15 𝑘𝑁

𝑇𝐴𝐷 = 2.64 𝑘𝑁

PROBLEMA. Las masas de las cajas que descansan sobre la plataforma

representada en la figura son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.

La masa de la plataforma es 500 kg. Determinar las tensiones de los tres

cables A, B y C que soportan la plataforma.

2

13

A

CB

1 m

1 m Solución.

Paso 1. Determinar las fuerzas aplicadas a la plataforma.

𝑇𝐴 es la tensión de la cuerda A

𝑇𝐵 es la tensión de la cuerda B


~ 116 ~

𝑇𝐶 es la tensión de la cuerda C

𝑊1 = 𝑚1𝑔 = 300 𝑘𝑔 9.8𝑚

𝑠2 = 2940 𝑁 es el peso del bloque 1

𝑊2 = 𝑚2𝑔 = 100 𝑘𝑔 9.8𝑚


𝑊3 = 𝑚3𝑔 = 200 𝑘𝑔 9.8𝑚


𝑊𝑝 = 𝑚𝑝𝑔 = 500 𝑘𝑔 9.8𝑚

𝑠2 = 4900 𝑁 es el peso de la plataforma

En forma vectorial tenemos

𝑇 𝐴 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐴𝒌

𝑇 𝐵 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐵𝒌

𝑇 𝐶 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐶𝒌

𝑊 1 = 0𝒊 + 0𝒋 − 2940𝒌

𝑊 2 = 0𝒊 + 0𝒋 − 980𝒌

𝑊 3 = 0𝒊 + 0𝒋 − 1960𝒌

𝑊 𝑝 = 0𝒊 + 0𝒋 − 4900𝒌

Paso 2. Aplicamos la primera condición de equilibrio.

𝑇 𝐴 + 𝑇 𝐵 + 𝑇 𝐶 + 𝑊 1 + 𝑊 2 + +𝑊 3 + 𝑊 𝑝 = 0

Considerando las componentes z de los vectores tendremos

𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 − 2940 − 980 − 1960 − 4900 = 0

𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 10780 ….……………….. (1)

Paso 3. Determinamos los vectores posición de cada fuerza.

𝑟 𝐴 = 0, 0, 0 = 0𝒊 + 0𝒋 + 0𝒌

𝑟 𝐵 = 3, 1, 0 = 3𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌

𝑟 𝐶 = 1, 4, 0 = 1𝒊 + 4𝒋 + 0𝒌


~ 117 ~

𝑟 1 = 1, 1, 0 = 1𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌

𝑟 2 = 2, 1, 0 = 2𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌

𝑟 3 = 1, 3, 0 = 1𝒊 + 3𝒋 + 0𝒌

𝑟 𝑃 = 1.5, 2, 0 = 1.5𝒊 + 2𝒋 + 0𝒌

Paso 4. Calculamos las torcas de cada fuerza.

𝜏 𝐴 = 𝑟 𝐴 × 𝑇 𝐴 = 𝒊 𝒋 𝒌

0 0 00 0 𝑇𝐴

= 0𝒊 + 0𝒋 + 0𝒌

𝜏 𝐵 = 𝑟 𝐵 × 𝑇 𝐵 = 𝒊 𝒋 𝒌

3 1 00 0 𝑇𝐵

= 𝑇𝐵𝒊 − 3𝑇𝐵𝒋 + 0𝒌

𝜏 𝐶 = 𝑟 𝐶 × 𝑇 𝐶 = 𝒊 𝒋 𝒌

1 4 00 0 𝑇𝐶

= 4𝑇𝐶𝒊 − 𝑇𝐶𝒋 + 0𝒌

𝜏 1 = 𝑟 1 × 𝑤 1 = 𝒊 𝒋 𝒌

1 1 00 0 −2940

= −2940𝒊 + 2940𝒋 + 0𝒌

𝜏 2 = 𝑟 2 × 𝑤 2 = 𝒊 𝒋 𝒌

2 1 00 0 −980

= −980𝒊 + 1960𝒋 + 0𝒌

𝜏 3 = 𝑟 3 × 𝑤 3 = 𝒊 𝒋 𝒌

1 3 00 0 −1960

= −5880𝒊 + 1960𝒋 + 0𝒌

𝜏 𝑝 = 𝑟 𝑝 × 𝑤 𝑝 = 𝒊 𝒋 𝒌

1.5 2 00 0 −4900

= −9800𝒊 + 7350𝒋 + 0𝒌

Paso 5. Aplicamos segunda condición de equilibrio.

𝜏 𝐴 + 𝜏 𝐵 + 𝜏 𝐶 + 𝜏 1 + 𝜏 2 + 𝜏 3 + 𝜏 𝑝 = 0

Considerando la suma de componentes en x:


~ 118 ~

0 + 𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 − 2940 − 980 − 5880 − 9800 = 0

𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 = 19600 ………………… (2)

Similarmente consideremos la suma de componentes en y:

0 − 3𝑇𝐵 − 𝑇𝐶 + 2940 + 1960 + 1960 + 7350 = 0

3𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 14210 ………………… (3)

Paso 6. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales (1), (2) y (3).

𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 107800𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 = 196000𝑇𝐴 + 3𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 14210

Obtenemos

𝑇𝐴 = 3341 𝑁 ; 𝑇𝐵 = 3385 𝑁 ; 𝑇𝐶 = 4054 𝑁


~ 119 ~

PROBLEMAS

PROBLEMA 1. En la figura 1 se representa un cajón suspendido de

tres cables. Hallar el peso del cajón sabiendo que la tensión en el cable

AB es de 3,75 kN. Rpta: 10,5 kN



AD es de 3,08 kN. Rpta: 9,34 kN



AC es de 2,72 kN. Rpta: 5,25 kN

PROBLEMA 4. En la figura 1 se representa un cajón de 8 kN de peso

suspendido de tres cables. Hallar la tensión de cada cable.

Rpta:TAB=2,86 kN; TAC = 4,15 kN; TAD = 2,64 kN.

72 cm

80 cm

54 cm

64 cm

120 cm

Z

Y

X

A

B

C

D

O

Figura 1


~ 120 ~

PROBLEMA 5. Se representa en la figura 2 un globo anclado mediante

tres cables. Hallar la fuerza vertical P que el globo ejerce en A sabiendo

que la tensión en el cable AB es 259 N. Rpta: 1031 N

PROBLEMA 6. Se representa en la figura 2 un globo anclado mediante

tres cables. Hallar la fuerza vertical P que el globo ejerce en A sabiendo

que la tensión en el cable AC es 444 N. Rpta: 956 N

D

A

B

O

C

3,30 m

5,60 m

4,20 m

2,40 m4,20 mZ X

Y

Figura 2

PROBLEMA 7. Las masas de las cajas que descansan sobre la

plataforma representada en la figura 3 son 300kg, 100 kg, y 200 kg,

respectivamente. La masa de la plataforma es 500 kg. Determinar las

tensiones de los tres cables A, B y C que soportan la plataforma.

Rpta: TA=3434 N ; TB=3924 N ; TC=3433 N ;

PROBLEMA 8. Una placa circular pesa 2500 N y la soportan tres

cables según se indica en la figura 4. Determinar las tensiones de los

tres cables. Rpta: TA = 977 N ; TB = 391 N ; TC = 1135 N


~ 121 ~

2

13

A

CB

1 m

1 m

375 mm

375 mm

525 mm225 mm

525 mm

225 mm

TcTB

TA Z

YX

Figura 3 Figura 4

PROBLEMA 9. La placa de 500 500 mm de la figura 5 pesa 280 N y

cuelga de tres alambres verticales. Hallar la tensión de cada alambre.

Rpta: TA = 105 N ; TB = TC = 87,5 N

PROBLEMA 10. La placa de 500 500 mm de la figura 5 pesa 280 N

y cuelga de tres alambres verticales. Hallar el peso y la posición del

bloque más liviano a colocar en la placa para que las tensiones en los

cables sean iguales. Rpta: W = 20 N ; x = 500 mm; z = 250 mm.

A

C

B

100 mm

400 mmz

x

y

250 mm

Figura 5

La descripción del movimiento corresponde a la parte de la mecánica

llamada cinemática. La cinemática estudia el movimiento de los

cuerpos sin analizar las causas que lo producen.

3.1 MOVIMIENTO MECANICO

Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a un

sistema de coordenadas considerado como fijo.

A

B

x

y

3.2 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

1. Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se mueve.


~ 123 ~

2. Vector Posición.- Es aquel vector que fija las diferentes posiciones

que va tomando un cuerpo; tiene como origen el “origen de

coordenadas” y como extremo final el punto donde se ubica el

cuerpo.

AB

x

y

Origen de

coordenadas

Vector

Posición A Vector

Posición B

3. Trayectoria.- Viene a ser la línea (recta o curva) que se obtiene

uniendo los diferentes puntos que va ocupando en el espacio una

partícula en movimiento.

AB

x

yTrayectoria

del

movimiento

4. Desplazamiento.- Es un vector que representa el cambio de lugar o

posición de una partícula en movimiento. Tiene como origen la


~ 124 ~

posición inicial y como extremo final la posición final de la

partícula.

AB

x

yVector

desplazamiento

r = B - A

5. Espacio.- Viene a ser la longitud de la trayectoria del móvil.

6. Velocidad.- Magnitud vectorial cuyo valor indica el espacio

recorrido por unidad de tiempo. Las características fundamentales

del vector velocidad son:

- Ser tangente a la trayectoria, en todos sus puntos.

- Definir el sentido del movimiento.

3.3 CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO

Por su velocidad:

a) Uniforme.- donde la velocidad permanece constante a medida que

pasa el tiempo. También se le llama MRU (Movimiento Rectilíneo

Uniforme).

b) Uniforme Variado.- donde la velocidad varía pero con una

aceleración constante. También se llama MRUV (Movimiento

Rectilíneo Uniformemente Variado). Aquí también se analiza el

movimiento de caída libre.

c) Totalmente variado caótico.- donde la aceleración no es constante.


~ 125 ~

Por su trayectoria:

Rectilíneos y curvilíneos.-

- hiperbólicos

- Parabólicos

- Circular

- Oscilatorio

- Elíptico

- Curvo

- Rectilíneo

Por sus dimensiones:

- Unidimensionales

- Bidimensionales

- Tridimensionales

3.4 RAPIDEZ PROMEDIO

La rapidez promedio _

v de la partícula se define como la razón de su

desplazamiento x y el intervalo de tiempo t.

0

0_

tt

xx

t

xv

3.5 VECTOR VELOCIDAD PROMEDIO

a) En una dimensión.- Tenemos:

0

0_

ttt

xxxv

Sabemos que

ix

ix

0 0x

x


~ 126 ~

Por lo tanto

iv

tt

xx

tt

xx _

0

0

0

0

iiiv

x0

x

x-x0 = x

t0 t

v

x

y

Nota: La rapidez media o promedio es el valor absoluto o el módulo

de la velocidad promedio. _

vv

La rapidez no tiene dirección asociada y no lleva signo.

b) En dos dimensiones.- Tenemos

ttt

rrrv

0

0

Si consideramos que

jir

jir

yx

yx

000

tendremos

jiji

v

jijiv

0

0

0

0

0

00

0

00

)()()()(

)()(

tt

yy

tt

xx

tt

yyxx

tt

yxyx


~ 127 ~

jiv yx vv__

La rapidez se calculará por 2_2_

yx vv v

x0 x

y0

y r-r0=r

r0 r

v

c) En tres dimensiones.- Tenemos

ttt

rrrv

0

0

Si consideramos que

kjir

kjir

zyx

zyx

0000

tendremos

kji

kjiv

kjikjiv

0

0

0

0

0

0

0

000

0

000

)()()(

)()()(

)()(

tt

zz

tt

yy

tt

xx

tt

zzyyxx

tt

zyxzyx


~ 128 ~

kjiv zyx vvv___

La rapidez se calculará por

2_2_2_

zyx vvv v

x

x0

y y0

z

z0

r r0

r - r0 = r

3.6 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

Cuando en un movimiento la rapidez se mantiene constante a medida

que pasa el tiempo, entonces se dice que el movimiento es

uniformemente rectilíneo.

Consideremos un gráfico de movimiento espacio-tiempo y calculemos

la velocidad en distintos intervalos de tiempo, tal como se indica a

continuación.

Sea un auto que parte del punto A, al tiempo t=0 horas y se traslada en

línea recta hacia el punto B situado a 60 km., al cual llega 6 horas

después. Registramos el movimiento en el siguiente gráfico:


~ 129 ~

0 1 2 3 4 5 6

0

10

20

30

40

50

60

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

Unimos los distintos puntos registrados y obtenemos una recta cuya

pendiente viene a representar la velocidad del auto. Calculamos esa

pendiente de con distintos intervalos de tiempo de la siguiente forma.

0 1 2 3 4 5 6

0

10

20

30

40

50

60

Espa

cio

(km

)

Tiempo (horas)

t

x


~ 130 ~

hkmtt

xx

t

xv / 10

1

10

01

010

0

0

hkmtt

xx

t

xv / 10

1

10

12

1020

0

0

hkmtt

xx

t

xv / 10

1

10

23

2030

0

0

hkmtt

xx

t

xv / 10

4

40

15

1050

0

0

hkmtt

xx

t

xv / 10

3

30

36

3060

0

0

Notamos que la velocidad es la misma para cualquier intervalo de

tiempo.

3.7 VELOCIDAD INSTANTANEA

Consideremos el mismo auto anterior pero ahora describe un

movimiento diferente al anterior, al cual lo registramos en el siguiente

gráfico espacio-tiempo .

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio

(km

)

Tiempo (horas)


~ 131 ~

Unimos los diferentes puntos y obtenemos una curva en la cual vamos a

calcular la velocidad para distintos intervalos de tiempo, tal como se

muestra a continuación:

Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=6 horas

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65E

spac

io (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 7

5

35

16

2560

0

0

La pendiente de la recta entre los puntos x0=25, t0=1 y x=60, t=6 indica

la velocidad promedio entre ese intervalo de tiempo.



~ 132 ~

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio

(km

)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 25.8

4

33

15

2558

0

0


0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x


~ 133 ~

hkmtt

xx

t

xv / 10

3

30

14

2555

0

0


0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 5.12

2

25

13

2550

0

0



~ 134 ~

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 15

1

15

12

2540

0

0

Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=1.5 horas

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 17

5.0

5.8

15.1

255.33

0

0


~ 135 ~


0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 2.18

05.0

91.0

105.1

2591.25

0

0


0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

t

x

hkmtt

xx

t

xv / 6.19

005.0

098.0

1005.1

25098.25

0

0


~ 136 ~

Consideremos un t aún más pequeño, de la siguiente forma:

hkmtt

xx

t

xv / 20

0001.0

0020.0

10001.1

250020.25

0

0

Si continuamos con este proceso notamos que el intervalo de tiempo t

se va haciendo cada vez más pequeño (tiende a cero) y la velocidad

converge poco a poco en un determinado valor ( 20 km./h). Este

proceso se denomina “proceso límite”. Matemáticamente lo podemos

representar como:

t

xLimv

t

0

Esta última expresión se denomina velocidad instantánea y

geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva

x función de t en un punto de dicha trayectoria.

En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de x

respecto de t y se escribe

dt

dxv

Esta pendiente puede ser positiva (x creciente) o negativa (x

decreciente); por consiguiente, la velocidad vectorial instantánea puede

ser positiva o negativa en un movimiento unidimensional. La expresión

dx se denomina diferencial de x, y la expresión dt se denomina un

diferencial de tiempo. Gráficamente tendremos:


~ 137 ~

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Espa

cio (k

m)

Tiempo (horas)

dt

dx

Recta

tangente

En notación vectorial tendremos el vector velocidad instantánea de la

siguiente forma:

dt

dxv

o

ivdt

dx


~ 138 ~

3.8 VELOCIDAD EN DOS Y TRES DIMENSIONES

En el plano consideremos un movimiento en el cual t tiende a cero,

esto quiere decir que los vectores posición r0 y r están lo

suficientemente cerca como para generar un vector dr, tal como se

muestra en la siguiente figura:

x

y

r0

r

dr

El vector r en tres dimensiones estará dado por

kjir zyx

el vector velocidad instantánea está dado por

dt

drv

luego

)( kjiv zyxdt

d

kjivdt

dz

dt

dy

dt

dx


~ 139 ~

3.9 ACELERACIÓN PROMEDIO

La aceleración promedio a de la partícula se define como la razón de su

variación de velocidad v y el intervalo de tiempo t.

0

0

tt

vv

t

va

3.10 VECTOR ACELERACIÓN PROMEDIO

La aceleración promedio en forma vectorial se define como

0ttt

0vvv

a

Consideremos una curva de movimiento velocidad-tiempo como la

siguiente:

t

v

t0

v0

t

v

Curva de

movimiento

A

B


~ 140 ~

En este gráfico se puede calcular la aceleración promedio entre los

puntos A y B con la anterior fórmula.

Algunas aplicaciones vectoriales

Consideremos un móvil que se desplaza sobre una pista horizontal y

recta. Inicialmente el móvil tendrá una velocidad v0 y al cabo de algún

tiempo, tendrá otra velocidad final v. En los siguientes gráficos se

muestran los casos de aceleración y desaceleración para el móvil.

v0 v

a

-v0

v

v-v0

v0 v

a

-v0

v v-v0


~ 141 ~

Consideremos ahora un objeto que gira atado a una cuerda, tal como se

muestra en la siguiente figura:

3.11 ACELERACION INSTANTANEA

La aceleración instantánea a es igual al valor límite del cociente v/t

conforme t se acerca a cero.

t

vLima

t

0

En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de v

respecto de t y se escribe

dt

dva

En forma vectorial la aceleración instantánea se escribe como


~ 142 ~

dt

dva

o también en una dimensión como

iadt

dv

3.12 ACELERACION INSTANTANEA EN DOS Y TRES

DIMENSIONES

En el espacio la velocidad está dada por

kjiv zyx vvv

Luego

dt

dva

)( kjia zyx vvvdt

d

kjiadt

dv

dt

dv

dt

dv zyx

y luego


~ 143 ~

kjia zyx aaa

También sabemos que

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ; ;

Reemplazando

kjia

dt

dz

dt

d

dt

dy

dt

d

dt

dx

dt

d

kjia2

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

yd

dt

xd

modificando la anterior ecuación

)(2

2

kjia zyxdt

d

por lo tanto

2

2

dt

d ra


~ 144 ~

1) Movimiento con velocidad constante

Partimos de la ecuación para la velocidad instantánea

dt

dxv

diferenciando la ecuación

dxvdt

vdtdx

integrando

t

t

x

xvdtdx

00

Asumimos que la velocidad es función del tiempo v=v(t), entonces

t

tt

x

x dtvxxx0

0 )(0 )(

Despejando x tendremos

t

tt dtvxx

0)(0

Que viene a ser la expresión general para la posición cuando la

velocidad depende del tiempo.


~ 145 ~

Cuando la velocidad no es función del tiempo, sino mas bien es una

constante, tendremos:

ctevv t )(

Luego

tt

t

t

t

t

tvxx

dtvxx

vdtxx

0

0

0

0

0

0

)( 00 ttvxx

generalmente se considera t0 = 0, por lo tanto

vtxx 0

3.13 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

3.13.1 Para hallar la velocidad

Partimos de la ecuación para la aceleración instantánea

dt

dva

Diferenciando

adtdv

dvadt


~ 146 ~

integrando

t

t

v

vadtdv

00

Asumimos que la aceleración es función del tiempo a = a(t), entonces

t

tt

v

v dtavvv0

0 )(0 )(

Despejando v, tendremos

t

tt dtavv

0)(0

Que viene a ser la expresión general para la velocidad cuando la

aceleración depende del tiempo.

Cuando la aceleración no es función del tiempo, sino mas bien es una

constante tendremos:

cteaa t )(

Luego

)( 00

0

0

0

0

0

0

ttavv

tavv

dtavv

adtvv

t

t

t

t

t

t

Generalmente se considera t0 = 0, por lo tanto

atvv 0


~ 147 ~

3.13.2 Para hallar el espacio recorrido

Según la ecuación

t

tt dtvxx

0)(0

sabemos que atvv t 0)(

reemplazando el valor de v(t), tendremos que

t

tdtatvxx

0

)( 00

22)(

2

2

0

2

000

2

00

00

00

00

0

0

00

00

00

ttattvxx

tatvxx

tdtadtvxx

tdtadtvxx

atdtdtvxx

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Considerando que t0 = 0, tendremos que

2

2

00

attvxx


~ 148 ~

3.13.3 Para hallar la velocidad independiente del tiempo

Aplicamos regla de la cadena a la aceleración instantánea

dx

dvva

vdx

dva

dt

dx

dx

dv

dt

dva

diferenciando

vdvadx

integrando

22)(

2

2

0

2

0

2

0

0

00

00

vvxxa

vxa

vdvdxa

vdvadx

v

v

x

x

v

v

x

x

v

v

x

x

Considerando que x0 = 0, tendremos:


~ 149 ~

2

0

2

0

2

0

2

0

2

22

vvax

vvax

despejando v tendremos

axvv 22

0

2

3.14 ECUACIONES EN DOS Y TRES DIMENSIONES

Según las ecuaciones en una sola dimensión obtenidas anteriormente,

podemos deducir las ecuaciones vectoriales en dos y tres dimensiones

de la siguiente forma:

Sean

kjir zyx

kjir 0000 zyx

kjiv zyx vvv

kjiv 0 zoyx vvv 00

kjia zyx aaa

entonces

t00 vrr

tavv 0


~ 150 ~

2

2tt

avrr 00

3.15 ECUACIONES CINEMATICAS PARA LA CAIDA LIBRE

El ejemplo más común del movimiento con aceleración (casi constante)

es el de un cuerpo que cae hacia la tierra. Si no hay resistencia del aire,

se observa que todos los cuerpos caen con la misma aceleración en la

misma región vecina a la superficie terrestre y, si la distancia recorrida

no es demasiado grande, la aceleración permanece constante durante la

caída. El movimiento ideal en el que se desprecia tanto la resistencia del

aire como el pequeño cambio de la aceleración con la altura, se llama

“caída libre”. A continuación deduciremos las ecuaciones para el

movimiento de caída libre.

Consideremos a una persona que se encuentra en lo alto de un edificio,

del cual lanza verticalmente hacia abajo un objeto con velocidad inicial

v0 tal como se muestra en el siguiente gráfico

v0

v

h g


~ 151 ~

En el gráfico se observa que la aceleración del cuerpo es la aceleración

de la gravedad g y el espacio recorrido es la altura h. Además los

vectores velocidad y aceleración se encuentran en el mismo sentido

luego podemos establecer la siguiente analogía para las ecuaciones de

caída libre

atvv 0 gtvv 0

2

2

0

attvx

2

2

0

gttvh

axvv 22

0

2 ghvv 22

0

2

Consideremos ahora el caso de una persona que lanza un objeto hacia

arriba con una velocidad inicial v0, tal como se muestra en la siguiente

figura

v0

v

h g


~ 152 ~

Se puede observar que los vectores velocidad y aceleración tienen

sentidos contrarios, debido a esto consideraremos a la gravedad como

negativa.

atvv 0 gtvv 0

2

2

0

attvx

2

2

0

gttvh

axvv 22

0

2 ghvv 22

0

2

3.16 MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Una interesante aplicación del movimiento en dos dimensiones es la de

un proyectil lanzado al aire en donde se mueva libremente. El

movimiento de un proyectil es complicado por la resistencia del aire, la

rotación de la tierra y las variaciones de la aceleración de la gravedad.

Por simplicidad despreciaremos estas complicaciones. El proyectil tiene

entonces una aceleración constante dirigida verticalmente hacia abajo

con una magnitud aproximada de 9.81 m/s2 = 32 pies/s

2. En el

movimiento de proyectiles, las componentes horizontal y vertical del

movimiento son independientes.

Consideremos una partícula que se lanza con cierta velocidad inicial v0

que tiene componentes vertical y horizontal respecto a un origen fijo.


~ 153 ~

x

y

g

v0

v0x

v0y

0

v

vx

vy

La ecuación vectorial para la aceleración está dada por

jia yx aa

donde en el gráfico anterior observamos que la única aceleración que

existe es prácticamente la aceleración de la gravedad que se encuentra

en la dirección del eje y negativo, por lo tanto tendremos que:

ga

a

y

x

0 (1)

y luego reemplazando

ja g

La ecuación vectorial en el plano para la velocidad está dada por

tavv 0

desarrollando esta ecuación en sus componentes rectangulares

tendremos


~ 154 ~

0)()(

)()(

)()(

00

00

00

ji

jijiji

jijiji

tavvtavv

tatavvvv

taavvvv

yyyxxx

yxyxyx

yxyxyx

de donde obtenemos las dos ecuaciones siguientes:

tavv

tavv

yyy

xxx

0

0

pero conocemos las componentes del vector aceleración, tendremos

entonces:

gtvv

vv

yy

xx

0

0

Según el gráfico obtenemos que

000

000

sen

cos

vv

vv

y

x

luego

gtvv

vv

y

x

00

00

sen

cos

(2)

La ecuación vectorial en el plano para el desplazamiento está dada por

la siguiente ecuación

2

2tt

avr 0


~ 155 ~

desarrollando esta ecuación en sus componentes rectangulares

tendremos

022

2)()(

2

0

2

0

2

00

ji

jijiji

tavy

tavx

taatvvyx

y

yx

x

yxyx

de donde obtenemos las dos ecuaciones siguientes:

2

22

0

2

0

tavy

tavx

y

y

xx

pero conocemos los valores de vx0, vy0, ax, ay. Reemplazando

obtenemos:

2sen

cos

2

00

00

gtvy

vx

(3)

con las ecuaciones (1), (2) y (3) se pueden solucionar los problemas de

proyectiles. Para mejor comodidad se puede recurrir a la siguiente tabla

Eje x Eje y

0xa

00 cosvvx

00 cosvx

ga y

gtvv y 00 sen

2sen

2

00

gtvy


~ 156 ~

EJERCICIOS

VECTOR VELOCIDAD MEDIA

1. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=3m al tiempo to=2s,

trasladándose luego hacia la abscisa x=8m al tiempo t=6s. Hallar el

vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.

Respuesta: v=1.25 i m/s; v=1.25 m/s


trasladándose luego hacia la abscisa x=18m al tiempo t=10s. Hallar

el vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.


3. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-23m al tiempo to=0s,

trasladándose luego hacia la abscisa x=-8m al tiempo t=4s. Hallar el








trasladándose luego hacia la abscisa x=-23m al tiempo t=4s. Hallar

el vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.

Respuesta: v=-3.75 i m/s; v=3.75 m/s

6. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-9m trasladándose luego

hacia la abscisa x=-18m en 3s. Hallar el vector velocidad media de

la partícula y su respectivo módulo.

Respuesta: v=-3 i m/s; v=3 m/s


~ 157 ~





8. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=13m al tiempo to=7s,

trasladándose luego hacia la ordenada y=18m al tiempo t=13s.

Hallar el vector velocidad media de la partícula y su respectivo

módulo.

Respuesta: v=0.833 j m/s; v=0.833 m/s

9. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=-3m trasladándose

luego hacia la ordenada y=-8m en 5s. Hallar el vector velocidad

media de la partícula y su respectivo módulo.

Respuesta: v=- j m/s; v=1 m/s

10. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=0km al tiempo to=0h,

trasladándose luego hacia la ordenada y=-17km al tiempo t=2h.

Hallar el vector velocidad media de la partícula y su respectivo

módulo.

Respuesta: v=-8.5 j km/h; v=8.5 km/h





12. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-39mm trasladándose

luego hacia la abscisa x=-1mm en 6s. Hallar el vector velocidad

media de la partícula y su respectivo módulo.

Respuesta: v=6.333i mm/s; v=6.333 mm/s

13. Halle el vector velocidad media de una partícula que se mueve

desde la abscisa +8cm hasta la abscisa –8cm en 10s.

Respuesta: v=-1.6i cm/s; v=1.6 cm/s


~ 158 ~




Respuesta: v=-3i m/s; v=3 m/s

15. Una partícula se traslada desde la posición (3m,1m) hasta la

posición (6m,7m) en 13s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(0.231i+0.462j)m/s; v=0.516 m/s

16. Una partícula se traslada desde la posición (13m,-9m) hasta la

posición (-6m,3m) en 10s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(-1.9i+1.2j)m/s; v=2.247 m/s

17. Una partícula se traslada desde la posición (30m,-10m) hasta la

posición (3m,4m) en 0.1s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(-270i+140j)m/s; v=304.138 m/s

18. Una partícula se traslada desde la posición (0m,0m) hasta la

posición (-1m,-1m) en 200s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(-0.005i-0.005j)m/s; v=0.007 m/s

19. Una partícula se traslada desde la posición (1m,0.01m) hasta la

posición (0.6m,7.5m) en 28s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(-0.014i+0.268j)m/s; v=0.268 m/s

20. Una partícula se traslada desde la posición ro=(12i+6j)m hasta la

posición r=(-3i+7j)m en 5s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(-3i+0.2j)m/s; v=3.007 m/s


~ 159 ~

21. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-2i+5j)m hasta la

posición r=(3i-3j)m en 15s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.

Respuesta: v=(0.333i-0.533j)m/s; v=0.629 m/s

22. Una partícula se traslada desde la posición ro=(i+j)m hasta la

posición r=(0i+0j)m en 9s. Hallar el vector velocidad media y su

respectivo módulo.


23. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-2i-2j)m al tiempo

t0=2s, hasta la posición r=(0i+10j)m al tiempo t=6s. Hallar el vector

velocidad media y su respectivo módulo.

Respuesta: v=(0.5i+3j)m/s; v=3.041 m/s

24. Una partícula demora 20s en trasladarse desde la posición ro=(i-j)m

hasta la posición r=(13i+77j)m. Hallar el vector velocidad media y

su respectivo módulo.


25. Una partícula demora 12s en trasladarse desde la posición ro=(-j)m

hasta la posición r=(i+7j)m. Hallar el vector velocidad media, su

respectivo módulo y su vector unitario.


u=0.124i+0.992j

26. Una partícula demora 0.2s en trasladarse desde la posición ro=(-i)m

hasta la posición r=(3j)m. Hallar el vector velocidad media, su

respectivo módulo y su vector unitario.

Respuesta: v=(5i+15j)m/s; v=15.811 m/s

u=0.316i+0.949j

27. Una partícula demora 1s en trasladarse desde la posición ro=(2i+j)m

hasta la posición r=(3i+19j)m. Hallar el vector velocidad media, su


~ 160 ~

respectivo módulo, su vector unitario y el ángulo que hace el vector

con respecto al eje x.

Respuesta: v=(i+18j)m/s; v=18.028 m/s

u=0.055i+0.998j; x=86.82°

28. Una partícula demora 0.25s en trasladarse desde la posición

ro=(0.23i+5.8j)m hasta la posición r=(10.3i+15.6j)m. Hallar el

vector velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y

el ángulo que hace el vector con respecto al eje x.


u=0.717i+0.697j; x=44.22°

29. Una partícula demora 14s en trasladarse desde la posición

ro=(20i+14j)m hasta la posición r=(2i+9j)m. Hallar el vector

velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y el

ángulo que hace el vector con respecto al eje x.


u=-0.964i-0.268j; x=164.48°

30. Una partícula demora 60min en trasladarse desde la posición ro=(-

58i+61j)cm hasta la posición r=(13i+219j)cm. Hallar el vector

velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y el

ángulo que hace el vector con respecto al eje y.

Respuesta: v=(1.183i+2.633j)cm/min; v=2.887

u=0.41i+0.912j; y=24.2°

31. Una partícula demora 28h en trasladarse desde la posición ro=(-

12i+0j)m hasta la posición r=(33i+51j)m. Hallar el vector velocidad

media, su respectivo módulo, su vector unitario y el ángulo que hace

el vector con respecto al eje y.

Respuesta: v=(1.607i+1.821j)m/h; v=2.429 m/h

u=0.662i+0.75j; y=41.42°

32. Una partícula demora 11s en trasladarse desde la posición

ro=(2i+j+k)m hasta la posición r=(3i+19j+12k)m. Hallar el vector


~ 161 ~

velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y los

ángulos directores.

Respuesta: v=(0.091i+1.636j+k)m/s; v=1.92 m/s

u=0.047i+0.852j+0.521k; x=87.3°;y=31.5°;z=58.6°

33. Una partícula demora 60s en trasladarse desde la posición ro=(-

2i+k)m hasta la posición r=(9j+22k)m. Hallar el vector velocidad

media, su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos

directores.

Respuesta: v=(0.033i+0.15j+0.35k)m/s; v=0.382 m/s

u=0.087i+0.392j+0.916k; x=85.0°;y=66.9°;z=24.7°

34. Una partícula demora 2s en trasladarse desde la posición ro=(-i-j-

k)m hasta la posición r=(i+j+k)m. Hallar el vector velocidad media,

su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: v=(i+j+k)m/s; v=1.732 m/s

u=0.577i+0.577j+0.577k; x=54.7°;y=54.7°;z=54.7°

35. Una partícula se traslada desde la posición ro=(2i+2j-k)m en t0=3s,

hasta la posición r=(3i+2k)m en t=8s. Hallar el vector velocidad

media, su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos

directores.

Respuesta: v=(0.2i-0.4j+0.6k)m/s; v=0.748 m/s

u=0.267i-0.535j+0.802k; x=74.5°;y=122.3°;z=36.7°

36. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-k)m en t0=10s, hasta

la posición r=(-2k)m en t=20s. Hallar el vector velocidad media, su

respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: v=(-0.1k)m/s; v=0.1 m/s

u=-k; x=90°;y=90°;z=180°

37. Una partícula se traslada desde la posición (1,3,5)m en t0=0.5s, hasta

la posición (3,5,8)m en t=7s. Hallar el vector velocidad media, su

respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: v=(0.308i+0.308j+0.462k)m/s; v=0.634 m/s


~ 162 ~

u=0.485i+0.485j+0.728k; x=61.0°;y=61.0°;z=43.3°

38. Si ro representa el vector posición inicial y r el vector posición final

de una determinada partícula en movimiento, entonces en los

siguientes gráficos trace el vector velocidad media adecuado a cada

movimiento.

ro

r

ro

r

ro

r

ro

r

ro

r

ro

r

ror

ro

r


~ 163 ~

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

39. En cada uno de los siguientes gráficos espacio-tiempo, donde el

espacio está dado en metros y el tiempo en segundos, calcular

geométricamente la respectiva rapidez del movimiento.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

Respuesta: 2 m/s Respuesta: 1.5 m/s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

Respuesta: 0.6 m/s Respuesta: -0.8 m/s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

0

X( )T

100 T

Respuesta: -1.8 m/s Respuesta: 0 m/s


~ 164 ~

VELOCIDAD MEDIA

40. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular geométricamente la

VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre to=0s y t=90s.

Respuesta: 0.9 m/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100100

0

X( )T

1000 T

41. En el gráfico espacio-tiempo del problema 40, calcular

geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre

to=40s y t=80s.

Respuesta: 1.2 m/s



to=0s y t=50s.

Respuesta: 0.5 m/s



to=100s y t=40s.

Respuesta: 1.4 m/s


~ 165 ~

44. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular geométricamente la

VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre to=1s y t=2.5s.

Respuesta: 2 m/s



to=0s y t=3s.

Respuesta: 1 m/s



to=1s y t=-2s.

Respuesta: -7 m/s



to=0s y t=2s.

Respuesta: 6 m/s



to=3s y t=2s.

Respuesta: -9 m/s

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1.5

3

4.5

6

7.5

9

10.5

12

13.5

1515

0

X( )T

32 T


~ 166 ~

VELOCIDAD INSTANTANEA

49. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular la VELOCIDAD

INSTANTANEA en t=40s.

Respuesta: 0.8 m/s

50. En el gráfico espacio-tiempo del problema 49, calcular la

VELOCIDAD INSTANTANEA en to=30s.

Respuesta: 0.6 m/s



Respuesta: 1.8 m/s



Respuesta: 0 m/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100100

0

X( )T

1000 T


~ 167 ~



Respuesta: 0.4 m/s


INSTANTANEA en t=30s.

Respuesta: 1.2 m/s



Respuesta: 0.3 m/s



Respuesta: 0 m/s



Respuesta: 0.3 m/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100100

0

X( )T

1000 T


~ 168 ~



Respuesta: 1.2 m/s



Respuesta: 2.7 m/s


INSTANTANEA en t=1.5s.

Respuesta: 4.388 m/s






Respuesta: -2.081 m/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.7

1.4

2.1

2.8

3.5

4.2

4.9

5.6

6.3

77

0

X( )T

50 T


~ 169 ~


VELOCIDAD INSTANTANEA en to=3.5s.



VELOCIDAD INSTANTANEA en to=2.5s.


VECTOR VELOCIDAD INSTANTANEA

65. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición

r=t2i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=3 s.

Respuesta: v=6i m/s


r=t3i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=1 s.

Respuesta: v=3i m/s


r=2t4i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=1 s.

Respuesta: v=8i m/s


r=(-3t+t4)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.5

s.

Respuesta: v=-2.5i m/s

69. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=(-8t3+5)i

metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=10 s.

Respuesta: v=-2.4x103i m/s


r=(8.6t6-5.3t

2)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=0.1 s.



~ 170 ~


r=(t-8

-t1/2

)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=3 s.



r=(3.4t-4

-t-2/3

)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=5 s.

Respuesta: v=0.041i m/s


r=4t3i+6tj metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=2 s.

Respuesta: v=48i+6j m/s


r=t2i-3t

8j metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=2.5 s.

Respuesta: v=5i-1.465x104j m/s

75. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=-t5i+4t

2j

metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.6 s.

Respuesta: v=-0.648i+4.8j m/s

76. Una partícula describe un movimiento dado por el vector

r=(t2+t)i+(t

-3-8)j metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=7 s.

Respuesta: v=15i-0.001j m/s

77. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=(-t5+t

-

1/2)i+(t

-3-8t)j metros. Calcule vector velocidad instantánea en t=16 s.

Respuesta: v=-3.277x105i-8j m/s


r=(5t4+t

-3/2)i+(-6t

-3-7t-1)j metros. Calcule el vector velocidad

instantánea en t=0.1s.

Respuesta: v=-474.322i+1.8x105j m/s


~ 171 ~


r=t4i+6tj+tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=10s.

Respuesta: v=4x103i+6j+k m/s


r=4t3i+8t

-2j+2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=10s.

Respuesta: v=1.2x103i-0.016j+2k m/s


r=-7t-5

i-6t5j-2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=3.5s.

Respuesta: v=0.019i-4.502x103j-2k m/s


r=t7i-6tj-2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=0s.

Respuesta: v=-6j-2k m/s


r=-6j-t3k metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.02s.

Respuesta: v=-0.001k m/s


r=(-6+t)i-(t4-3)k metros. Calcule el vector velocidad instantánea en

t=20s.

Respuesta: v=i-3.2x104k m/s


r=(t5+t

3)i+tj-(-t

4+3t-t

8)k metros. Calcule el vector velocidad


Respuesta: v=7.503x103i+j-2.816x10

6k m/s


~ 172 ~


r=(t-1/4

+t3/2

)i-(t+5)j-(4t+t-5/2

)k metros. Calcule el vector velocidad


Respuesta: v=3.709i-j-3.996k m/s

ACELERACION MEDIA

87. Una partícula posee una velocidad inicial de 3m/s al tiempo 5s,

aumentando luego su velocidad a 7m/s al tiempo 8s. Calcular la

aceleración media del movimiento.

Respuesta: a=1.333 m/s2

88. Una partícula posee una velocidad inicial de 7.3m/s al tiempo 3s,

aumentando luego su velocidad a 9.1m/s al tiempo 11s. Calcular la



89. Una partícula posee una velocidad inicial de 8.4m/s al tiempo 1.5s,

aumentando luego su velocidad a 19.3m/s al tiempo 1.6s. Calcular la


Respuesta: a=109 m/s2

90. Una partícula posee una velocidad inicial de 0.01m/s al tiempo

0.01s, aumentando luego su velocidad a 0.1m/s al tiempo 0.1s.

Calcular la aceleración media del movimiento.

Respuesta: a=1 m/s2

91. Una partícula posee una velocidad inicial de 1m/s al tiempo 0.2s,

aumentando luego su velocidad a 1.1m/s al tiempo 10s. Calcular la



92. Una partícula posee una velocidad inicial de -10m/s al tiempo

20s, aumentando luego su velocidad a 10m/s al tiempo 30s.

Calcular la aceleración media del movimiento.Respuesta: a=2 m/s2


~ 173 ~

93. Una partícula posee una velocidad inicial de -15m/s al tiempo

12s, aumentando luego su velocidad a -10m/s al tiempo 31s.



94. Una partícula pasa de la velocidad -1m/s a la velocidad -10m/s en

6s. Calcular la aceleración media del movimiento.

Respuesta: a=-1.5 m/s2

95. Una partícula pasa de la velocidad 121m/s a la velocidad 1201m/s

en 0.2s. Calcular la aceleración media del movimiento.

Respuesta: a=5.4x103 m/s

2

96. Una partícula pasa de la velocidad 0.1m/s a la velocidad 1000m/s en

0.01s. Calcular la aceleración media del movimiento.

Respuesta: a=9.999x104 m/s

2

97. Una partícula pasa de la velocidad 121m/s a la velocidad 1m/s en 3s.


Respuesta: a=-40 m/s2

VECTOR ACELERACION MEDIA

98. Una partícula pasa de la velocidad 13i m/s a la velocidad 14i m/s en

8s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su módulo.

Respuesta: a=0.125i m/s2; a=0.125 m/s

2


0.1s. Hallar el vector aceleración media y su módulo.

Respuesta: a=-30i m/s2; a=30 m/s

2


1.1s. Hallar el vector aceleración media del y su módulo.

Respuesta: a=-33.6i m/s2; a=33.6 m/s

2


~ 174 ~

101. Una partícula pasa de la velocidad -5i m/s a la velocidad 6i m/s en

31s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su

módulo.

Respuesta: a=0.355i m/s2; a=0.355 m/s

2

102. Una partícula pasa de la velocidad 7i m/s a la velocidad -i m/s en

12s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su

módulo.

Respuesta: a=-0.667i m/s2; a=0.667 m/s

2

103. Una partícula pasa de la velocidad 7i+8j m/s a la velocidad –i-j m/s

en 14s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su

módulo y su vector unitario.

Respuesta: a=-0.571i-0.643j m/s2; a=0.86 m/s

2

u=-0.664i-0.747j

104. Una partícula pasa de la velocidad -2i+4j m/s a la velocidad 6i-4j

m/s en 0.2s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su


Respuesta: a=40i-40j m/s2; a=56.569 m/s

2

u=0.707i-0.707j

105. Una partícula pasa de la velocidad 244i+41j m/s a la velocidad 46i-

14j m/s en 0.01s. Hallar el vector aceleración media del

movimiento, su módulo y su vector unitario.

Respuesta: a=-1.98x104i-5.5x10

3jm/s

2;a=2.1x10

4 m/s

2

u=-0.964i-0.268j

106. Una partícula pasa de la velocidad 12i m/s a la velocidad -47j m/s

en 50s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su


Respuesta: a=-0.24i-0.94j m/s2; a=0.97 m/s

2

u=-0.247i-0.969j


~ 175 ~

107. Una partícula pasa de la velocidad 12i+3j+8k m/s a la velocidad 6i-

4j-8k m/s en 3s. Hallar el vector aceleración media del movimiento,

su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: a=-2i-2.33j-5.33k m/s2; a=6.155 m/s

2

u=-0.325i-0.379j-0.866k; x=109°;y=112°;z=150°

108. Una partícula pasa de la velocidad i+j+k m/s a la velocidad -i-

4j+8k m/s en 1s. Hallar el vector aceleración media del movimiento,


Respuesta: a=-2i-5j+7k m/s2; a=8.832 m/s

2

u=-0.226i-0.566j+0.793k; x=103°;y=125°;z=38°

109. Una partícula pasa de la velocidad –i-3j-9k m/s a la velocidad

6i+6j+3k m/s en 0.03s. Hallar el vector aceleración media del

movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: a=233i+300j+400k m/s2; a=552 m/s

2

u=0.423i+0.544j+0.725k; x=65°;y=57°;z=44°

110. Una partícula pasa de la velocidad 2j-k m/s a la velocidad 6i+3k

m/s en 31s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su

módulo, su vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta: a=0.19i-0.07j+0.13k m/s2; a=0.241 m/s

2

u=0.802i-0.267j+0.535k; x=37°;y=106°;z=58°

111. Una partícula pasa de la velocidad –i-3j m/s a la velocidad -6i+4k

m/s en 3.01s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su


Respuesta: a=-1.7i+0.9j+1.3k m/s2; a=2.349 m/s

2

u=-0.707i+0.424j+0.566k; x=135°;y=65°;z=56°

112. En los siguientes gráficos se muestran las trayectorias descritas por

distintas partículas. Los puntos blancos indican la posición inicial y

los puntos oscuros indican la posición final de la partícula. Trazar en

cada gráfico las velocidades instantáneas y el vector aceleración.


~ 176 ~

VECTOR ACELERACION INSTANTANEA

113. La velocidad de una partícula esta dada por v=3ti m/s. Calcular el

vector aceleración instantánea al tiempo t=2 s.

Respuesta: a=3i m/s2

114. La velocidad de una partícula esta dada por v=5t2i m/s. Calcular el

vector aceleración instantánea al tiempo t=0.2 s.


115. La velocidad de una partícula esta dada por v=-64t3i m/s. Calcular

el vector aceleración instantánea al tiempo t=0.1 s.

Respuesta: a=-1.92i m/s2


~ 177 ~

116. La velocidad de una partícula esta dada por v=t-3/2

i m/s. Calcular el

vector aceleración instantánea al tiempo t=1.5 s.

Respuesta: a=-0.544i m/s2

117. La velocidad de una partícula esta dada por v=-323t1/8

i m/s.

Calcular el vector aceleración instantánea al tiempo t=0.01 s.

Respuesta: a=-2.27x103i m/s

2

118. La velocidad de una partícula esta dada por v=4ti+5j m/s. Al

tiempo t=8s, calcular el vector aceleración instantánea.


119. La velocidad de una partícula esta dada por v=-6t3i-9tj m/s. Al


Respuesta: a=-648i-9j m/s2

120. La velocidad de una partícula esta dada por v=9t4i-3t

5j m/s. Al

tiempo t=0.1s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=0.036i-0.002j m/s2

121. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t3+t)i-(3t

5+t

-3)j m/s.

Al tiempo t=1s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=4i-12j m/s2

122. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t-4

+t-5)i-(6t-

1+6.1t

3)j m/s. Al tiempo t=6s, calcular el vector aceleración

instantánea.

Respuesta: a=1.001i-658.6j m/s2

123. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t9+t

2)i-(-8t

-6+0.1t

-

1)j m/s. Al tiempo t=3s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=-5.904x104i-0.011j m/s

2


~ 178 ~

124. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t9+t)i-(-8t+0.1t

2)j

m/s. Al tiempo t=0s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=i+8j m/s2

125. La velocidad de una partícula esta dada por v=ti-t-1

j+4tk m/s. Al


Respuesta: a=i+625j+4k m/s2

126. La velocidad de una partícula esta dada por v=7ti-t5j+4t

2k m/s. Al


Respuesta: a=7i-6.48x103j+48k m/s

2

127. La velocidad de una partícula esta dada por v=-t3j-tk m/s. Al


Respuesta: a=0i-1.47j-k m/s2

128. La velocidad de una partícula esta dada por v=ti-4k m/s. Al tiempo

t=1000s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=i m/s2

129. La velocidad de una partícula esta dada por v=t-1/4

i-0.2t3j+t

1/3k m/s.

Al tiempo t=3.04s, calcular el vector aceleración instantánea.

Respuesta: a=-0.062i-5.545j+0.159k m/s2

130. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t-3

+8t)i-(-2t2-

3)j+t5k m/s. Al tiempo t=0.6s, calcular el vector aceleración

instantánea.

Respuesta: a=-15.148i+2.4j+0.648k m/s2

131. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t3+t

2+8t+3)i-(-2t

5-

3t3)j+(t

5+2)k m/s. Al tiempo t=0.1s calcular el vector aceleración

instantánea.

Respuesta: a=8.23i+0.091j+5x10-4

k m/s2


~ 179 ~

132. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t-3

+8t)i-(-2t2-

3)j+t5k m/s. Al tiempo t=11s, calcular el vector aceleración

instantánea.

Respuesta: a=8i+44j+7.32x104k m/s

2

POSICIÓN A PARTIR DE v(t):

t

t

o

o

dttvxx )(

133. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada

por v(t)=t3 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t5 seg.

Respuesta: 156.25 m


por v(t)=t5 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t7 seg.

Respuesta: 1.961x104 m


por v(t)=t+t2 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t1 seg.

Respuesta: 0.833 m


por v(t)=2-t-6

m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t3.2

seg.

Respuesta: 4.201 m


por v(t)=3t3+2t

2-4t m/s. Hallar la posición de la partícula entre

0t0.5 seg.

Respuesta: -0.37 m


por v(t)=7t3-6t m/s. Hallar la posición de la partícula entre 2t5

seg.

Respuesta: 1.003x103 m


~ 180 ~


por v(t)=-8t5+t

3-t m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t10

seg.

Respuesta: -1.331x106 m


por v(t)=-t-4

+(1/2)t4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre

2t3 s.

Respuesta: 21.071 m


por v(t)=(1/3)t-2

-0.1t m/s. Hallar la posición de la partícula entre

6t6.1s.

Respuesta: -0.06 m


por v(t)=t+t2+t

3+t

4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre

0t0.01 seg.

Respuesta: 5.034x10-5

m


por v(t)=2t+t3-t

5+4t

6 m/s. Hallar la posición de la partícula entre

0t1 s.

Respuesta: 1.655 m


por v(t)=-t-t7+t

-6 m/s. Hallar la posición de la partícula entre

3t3.01 seg.

Respuesta: -22.157 m


por v(t)=4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t11 s.

Respuesta: 40 m


~ 181 ~

VELOCIDAD A PARTIR DE a(t):

t

t

o

o

dttavv )(

146. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta

dada por a(t)=t+t2+t

3+t

4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre

0t0.1 seg.



dada por a(t)=t2+t

3+t

4+t

5 m/s. Hallar la velocidad de la partícula

entre 1t1.1 seg.



dada por a(t)=2+t2+t

4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre

3t5 s.



dada por a(t)=3 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre 0t9

s.

Respuesta: 27 m/s


dada por a(t)=-4.21 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre

5t6 s.



dada por a(t)=-t-t2+t

-4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre

10t10.1 seg.


La dinámica es la rama de la mecánica que trata de los cuerpos

sometidos a fuerzas en desequilibrio, y por ello, animados de

movimientos con aceleración. Dinámica viene de la palabra dynamis

que significa fuerza.

4.1 SEGUNDA LEY DE NEWTON

“Cuando sobre una partícula actúa una fuerza neta, esta

partícula experimentará una aceleración en la misma

dirección que la de la fuerza y su magnitud será

directamente proporcional a la fuerza e inversamente

proporcional a la masa de la partícula”

a

F1

F2 F3

Dinámica = desequilibrio

desequilibrio = aceleración


~ 183 ~

Matemáticamente escribiremos la fuerza neta como una suma vectorial

de todas las fuerzas externas aplicadas a una masa

F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑭𝑖 = 𝑚𝒂

En forma gráfica

La ecuación para la fuerza neta, por ser una ecuación vectorial, posee

las siguientes componentes escalares:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥

𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

Estas son llamadas ecuaciones dinámicas del movimiento.

Luego tendremos:

F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹𝑥 𝒊 + 𝐹𝑦 𝒋 + 𝐹𝑧 𝒌

Lo que conlleva a

m

a

Fneta


~ 184 ~

F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚 𝑎𝑥𝒊 + 𝑎𝑦𝒋 + 𝑎𝑧𝒌

Un gráfico nos dará mejor entendimiento

4.2 PESO Y MASA

Peso es la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos, como resultado

de la acción de la gravedad sobre todas y cada una de las partículas del

cuerpo.

Por ser una fuerza, el peso es una cantidad vectorial que se dirige hacia

el centro de la Tierra y por ende, a escala pequeña (superficie local de la

tierra) parecería que va en forma vertical hacia abajo.

centro de

gravedad

Peso

a

Fx

Fy

Fz

ax ay

az Fneta


~ 185 ~

Como el peso depende de la gravedad, entonces cambia conforme

cambia la gravedad. Matemáticamente tendríamos:

𝑾 = 𝑚𝒈

Donde m es la masa del cuerpo, y se define como la medida de la inercia

de un cuerpo, es decir, su resistencia a la aceleración.

En el lenguaje común, el peso y la masa son frecuentemente usados

como sinónimos; sin embargo, para fines científicos son muy diferentes.

La masa es medida en kilogramos; el peso, siendo una fuerza, es medido

en newtons. La masa es constante dondequiera que se la mida. El peso

depende de la medida de la gravedad.

4.3 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas del cuerpo libre, es

un diagrama separado del cuerpo aislado, mostrando el referencial y

todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. En este diagrama se

incluyen las fuerzas que el objeto hace o ejerce sobre sus alrededores.

El siguiente diagrama muestra las distintas fuerzas de acción y reacción

aplicadas al bloque de masa m:

N

mesa

tierra

bloque

cuerda

N’

W

W’

T

T’


~ 186 ~

Donde N es la fuerza normal que ejerce la mesa sobre el bloque

(acción), N’ es la fuerza normal que ejerce el bloque sobre la mesa

(reacción), W es la fuerza peso con que la Tierra atrae al bloque

(acción), W’ es la fuerza atracción con que el bloque atrae a la Tierra

(reacción), T es la fuerza de tensión con que la cuerda tira del bloque

(acción), T’ es la fuerza con que el bloque tira de la cuerda (reacción).

Según lo detallado arriba tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre,

mostrando sólo las fuerzas de acción sobre el bloque y el referencial

inercial:

N

diagrama de cuerpo libre

W

T

Y

X


~ 187 ~

EJERCICIOS

TERCERA LEY DE NEWTON

1. En los siguientes gráficos trace adecuadamente los vectores fuerza

acción y reacción.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

2. Una partícula de masa 3 kg. se mueve con velocidad de 6i m/s.

Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.

Respuesta: P=18i kg.m/s; P=18 kg.m/s

3. Una partícula de masa 7 kg. se mueve con velocidad de -8i m/s.


Respuesta: P=-56i kg.m/s; P=56 kg.m/s


~ 188 ~

4. Una partícula de masa 300 kg. se mueve con velocidad de 540i m/s.


Respuesta: P=1.62x105i kg.m/s; P=1.62x10

5 kg.m/s

5. Una partícula de masa 80 g. se mueve con velocidad de -6.5i cm/s.


Respuesta: P=-0.005i kg.m/s; P=0.005 kg.m/s

6. Una partícula de masa 8.9 kg. se mueve con velocidad de 4i+5j m/s.


Respuesta: P=35.6i+44.5j kg.m/s; P=56.988 kg.m/s

7. Una partícula de masa 65.9 kg. se mueve con velocidad de -14i+51j

m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo

módulo. Respuesta:P=-923i+3.4x103jkg.m/s;P=3.5x10

3 kg.m/s

8. Una partícula de masa 37 kg. se mueve con velocidad de –0.6i-0.7j

m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo

módulo. Respuesta: P=-22.2i-25.9j kg.m/s; P=34.112 kg.m/s

9. Una partícula de masa 7 g. se mueve con velocidad de 7500i-6320j

cm/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo

módulo. Respuesta: P=0.525i-0.442j kg.m/s; P=0.687 kg.m/s

10. Una partícula de masa 80 kg. se mueve con velocidad de 6.3i-8.1j

m/s. Calcular el vector momentum lineal, módulo y vector unitario.

Respuesta: P=504i-648j kg.m/s; P=820.93 kg.m/s

11. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con velocidad de 0.75i-

2.02j+3k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su


Respuesta: P=75i-202j+300k kg.m/s; P=369.4 kg.m/s

u=0.203i-0.547j+0.812k;x=78.3°,y=123.2°,z=35.7°


~ 189 ~

12. Una partícula de masa 30 kg. se mueve con velocidad de -5.5i-12.2j-

69k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su

vector unitario y los ángulos directores.

Respuesta:P=-165i-366j-2x103k kg.m/s;P=2x10

3kg.m/s

u=-0.078i-0.174j-0.982k;x=94.5°,y=99.9°,z=169°

13. Una partícula de masa 1 kg. se mueve con velocidad de -10i-j-k m/s.

Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector

unitario y los ángulos directores.

Respuesta: P=-10i-j-k kg.m/s; P=10.1 kg.m/s

u=-0.99i-0.099j-0.099k;x=171.9°,y=95.7°,z=95.7°

14. Una partícula de masa 0.1 kg. se mueve con velocidad de -i-k m/s.

Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector


Respuesta: P=-0.1i-0.1k kg.m/s; P=0.141 kg.m/s

u=-0.707i-0.707k; x=135°, y=90° ,z=135°

15. Una partícula de masa 5000 kg. se mueve con velocidad de –10i-3j-

20k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su

vector unitario y los ángulos directores.

R.:P=-5x104i-1.5x10

4j-10

5k kg.m/s;P=1.13x10

5 kg.m/s

u=-0.443i-0.133j-0.886k; x=116°, y=97.6°, z=152°

16. Una partícula de masa 5x105 kg. se mueve con velocidad de –4i-

2j+2k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo,

su vector unitario y los ángulos directores.

R.: P=-2x106i-10

6j+10

6k kg.m/s; P=2.5x10

6 kg.m/s

u=-0.816i-0.408j+0.408k; x=145°, y=114°, z=66°

17. Una partícula de masa 0.0001 kg. se mueve con velocidad de –

1400i-5200j+2.51k m/s. Calcular el vector cantidad de


R. : P=-0.14i-0.52j+2.5x10-4

k kg.m/s;P=0.54 kg.m/s

u=-0.26i-0.966j+4.7x10-4

k;x=105°,y=165°,z=89.9°


~ 190 ~

18. Una partícula de masa 45 kg. se mueve con velocidad de –4ti m/s.

Al tiempo t=3 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su

módulo.

Respuesta: P=-540i kg.m/s; P=540 kg.m/s

19. Una partícula de masa 76.5 kg. se mueve con velocidad de 3t2i m/s.

Al tiempo t=2.5 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su

módulo.

Respuesta: P=1.434x103i kg.m/s; P=1.434x10

3 kg.m/s

20. Una partícula de masa 40.1 kg. se mueve con velocidad de -t3i m/s.

Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su

módulo.

Respuesta: P=-0.04i kg.m/s; P=0.04 kg.m/s

21. Una partícula de masa 70.52 kg. se mueve con velocidad de (2t-t3)i

m/s. Al tiempo t=1.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento y

su módulo.

Respuesta: P=61.28i kg.m/s; P=61.28 kg.m/s

22. Una partícula de masa 45.01 kg. se mueve con velocidad de (8-t5)i

m/s. Al tiempo t=13 s, calcular el vector cantidad de movimiento y

su módulo.

Respuesta: P=-1.67x107i kg.m/s; P=1.67x10

7 kg.m/s

23. Una partícula de masa 65 kg. se mueve con velocidad de (0.1t-3t-4

)i


su módulo.

Respuesta: P=-1.219x105i kg.m/s;P=1.219x10

5 kg.m/s

24. Una partícula de masa 38 kg. se mueve con velocidad de 5ti+4t2j


su módulo.

R. :P=1.9x103i+1.52x10

4j kg.m/s;P=1.5x10

4 kg.m/s


~ 191 ~

25. Una partícula de masa 0.2 kg. se mueve con velocidad de -5t3i+t

3j


su módulo. Respuesta: P=-i+0.2j kg.m/s; P=1.02 kg.m/s

26. Una partícula de masa 800 kg. se mueve con velocidad de -ti+4t-5

j


su módulo.

R.: P=-2.56x103i+9.54j kg.m/s; P=2.56x10

3 kg.m/s

27. Una partícula de masa 160 kg. se mueve con velocidad de -5i+6t2j

m/s. Al tiempo t=1.01 s, calcular el vector cantidad de movimiento

y su módulo. Respuesta: P=-800i+979j kg.m/s; P=1.265x103

kg.m/s

28. Una partícula de masa 0.001 kg. se mueve con velocidad de -3ti-7t-

2j m/s. Al tiempo t=0.5 s, calcular el vector cantidad de movimiento

y su módulo. Respuesta:P=-0.002i-0.028j kg.m/s;P=0.028 kg.m/s

29. Una partícula de masa 8 kg. se mueve con velocidad de 5ti+4t2j+k

m/s. Al tiempo t=9 s, calcular el vector cantidad de movimiento, su


Respuesta: P= i+ j + k kg.m/s; P= kg.m/s

u= i+ j+ k ; x= , y= ,z=

30. Una partícula de masa 0.7 kg. se mueve con velocidad de ti-3t-2

j+tk

m/s. Al tiempo t=2.3 s, calcular el vector cantidad de movimiento,


R.: P=1.61i-0.397j+1.61k kg.m/s; P=1.61 kg.m/s

u=0.697i-0.172j+0.697k; x=46°,y=99.8°,z=45.9°

31. Una partícula de masa 0.6 kg. se mueve con velocidad de -4ti-3t-3

j-

tk m/s. Al tiempo t=1.3 s, calcular el vector cantidad de


R. : P=-3.12i-0.819j-0.78k kg.m/s; P=3.319 kg.m/s

u=-0.94i-0.247j-0.235k; x=160°,y=104°,z=103.5°


~ 192 ~

32. Una partícula de masa 61 kg. se mueve con velocidad de (–

4+t)i+t6j+t

3k m/s. Al tiempo t=1 s, calcular el vector cantidad de


Respuesta: P=-183i+61j+61k kg.m/s; P=202.3 kg.m/s

u=-0.905i+0.302j+0.302k; x=155°,y=72.5°,z=72.5°

33. Una partícula de masa 1 kg. se mueve con velocidad de (–

5t+t2)i+(t

6-3)j+t

3k m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector

cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los


Respuesta:P=-0.49i-3j+0.001k kg.m/s;P=3.04 kg.m/s

u=-0.161i-0.987j+3.3x10-4

k;x=99°,y=171°,z=89.9°

34. Una partícula de masa 300 kg. se mueve con velocidad de

(2t+4t3)i+(7t

2-3t)j+(t

4-3)k m/s. Al tiempo t=1.1 s, calcular el vector

cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los


R.:P=2.3x103i+1.6x10

3j-461k kg.m/s;P=2.8x10

3kg.m/s

u=0.813i+0.558j-0.166k; x=35.6°,y=56.1°,z=99.6°

35. Una partícula de masa 1.2 kg. se mueve con velocidad de

(t+t2+t

3)i+(7t

2-3t+2)j+(t

4-3t

3)k m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el

vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los


R. :P=0.133i+2.124j-0.003k kg.m/s;P=2.128 kg.m/s

u=0.063i+0.998j-0.002k;x=86.4°,y=3.6°,z=90°

36. Una partícula de masa 70 kg. se mueve con velocidad de (-t-t2)i-(8t

2-

4t+1)j-(2t-3t2)k m/s. Al tiempo t=11 s, calcular el vector cantidad

de movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos

directores.

R.:P=(-0.924i-6.5j+2.4k)x104kg.m/s;P=6.9x10

4kg.m/s

u=-0.133i-0.93j+0.343k;x=98°,y=158°,z=69.9°


~ 193 ~

37. Una partícula de masa 3t kg. se mueve con velocidad de t3i+7t

2j+t

3k

m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento,


R.: P=3x10-4

i+0.021j+3x10-4

k kg.m/s;P=0.021 kg.m/s

u=0.014i+j+0.014k;x=89.2°,y=1.2°,z=89.2°

38. Una partícula de masa 2t-1 kg. se mueve con velocidad de t-1

i+3t-

2j+2tk m/s. Al tiempo t=3 s, calcular el vector cantidad de


R.: P=1.667i+1.667j+30k kg.m/s; P=30.1 kg.m/s

u=0.055i+0.055j+0.997k;x=86.8°,y=86.8°,z=4.5°

39. Una partícula de masa –t+20 kg. se mueve con velocidad de t0i+3t

3j-

tk m/s. Al tiempo t=9 s, calcular el vector cantidad de movimiento,


R.: P=11i+2.4x104j-99k kg.m/s; P=2.4x10

4 kg.m/s

u=4.6x10-4

i+j-0.004k;x=89.9°,y=0.24°,z=90°

40. Una partícula de masa t2+t+3 kg. se mueve con velocidad de ti-

2t2j+tk m/s. Al tiempo t=5.6 s, calcular el vector cantidad de


R.: P=224i-2.5x103j+224k kg.m/s; P=2.6x10

3 kg.m/s

u=0.089i-0.992j+0.089k; x=85°,y=173°,z=85°

41. Una partícula de masa –t3+100 kg. se mueve con velocidad de

(t+1)i-2t2j+(t

2-3)k m/s. Al tiempo t=2 s, calcular el vector cantidad

de movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos

directores. Respuesta: P=276i-736j+92k kg.m/s; P=791.4 kg.m/s

u=0.349i-0.93j+0.116k;x=69.6°,y=158.4°,z=83.3°

SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA VECTORIAL

42. Una partícula de masa 30 kg. se mueve con aceleración de i m/s2.

Calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=30i N; F=30 N


~ 194 ~

43. Una partícula de masa 20 kg. se mueve con aceleración de -2i m/s2.


Respuesta: F=-40i N; F=40 N

44. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con aceleración de 0.1i

m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.


45. Una partícula de masa 7.4 kg. se mueve con aceleración de j m/s2.


Respuesta: F=7.4j N; F=7.4 N

46. Una partícula de masa 7.45 kg. se mueve con aceleración de –2.5j


Respuesta: F=-18.625j N; F=18.625 N

47. Una partícula de masa 1.01 kg. se mueve con aceleración de -k m/s2.


Respuesta: F=-1.01k N; F=1.01 N

48. Una partícula de masa 103 kg. se mueve con aceleración de 4x10

3k


Respuesta: F=4x106k N; F=4x10

6 N

49. Una partícula de masa 35.6 kg. se mueve con aceleración de -2i+3j


Respuesta: F=-71.2i+106.8j N; F=128.358 N

50. Una partícula de masa 5.1 kg. se mueve con aceleración de i+4j


Respuesta: F=5.1i+20.4j N; F=21.028 N

51. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con aceleración de –

6.7i+8.1j m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=-670i+810j N; F=1.051x103 N


~ 195 ~

52. Una partícula de masa 78.2 kg. se mueve con aceleración de –

9i+4j+2k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector


Respuesta: F=-703.8i+312.8j+156.4k N; F=785.9 N

u=-0.896i+0.398j+0.199k;x=154°,y=67°,z=79°

53. Una partícula de masa 32.0 kg. se mueve con aceleración de

1.2i+5.0j+6.8k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector


Respuesta: F=38.4i+160j+217.6k N; F=272.808 N

u=0.141i+0.586j+0.798k ;x=82°,y=54°,z=37°

54. Una partícula de masa 60.1 kg. se mueve con aceleración de

89i+75j+46k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector


Respuesta: F=(5.5i+4.5j+2.8k)x103 N; F=7.5x10

3 N

u=0.711i+0.599j+0.368k ;x=45°,y=53°,z=68°

55. Una partícula de masa 103 kg. se mueve con aceleración de

10i+100j+1000k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su

vector unitario.

Respuesta: F=104i+10

5j+10

6k N; F=1.005x10

6 N

u=0.01i+0.099j+0.995k ;x=89°,y=85°,z=6°

56. La aceleración de una partícula de masa 5 kg. está dada por 10ti

m/s2. Al tiempo t=8.1s, calcular el vector fuerza y su módulo.


57. La aceleración de una partícula de masa 8 kg. está dada por 9t2i

m/s2. Al tiempo t=6s, calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=2.592x103i N; F=2.592x10

3 N

58. La aceleración de una partícula de masa 0.01 kg. está dada por -7t3i

m/s2. Al tiempo t=4.6s, calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=-6.814i N; F=6.814 N


~ 196 ~

59. La aceleración de una partícula de masa 90.1 kg. está dada por –

3.05t-9

i m/s2. Al tiempo t=5.4s, calcular el vector fuerza y su

módulo.

Respuesta: F=-7.039x10-5

i N; F=7.039x10-5

N

60. La aceleración de una partícula de masa 0.1 kg. está dada por –

0.5ti+j m/s2. Al tiempo t=4s, calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=-0.2i+0.1j N; F=0.224 N

61. La aceleración de una partícula de masa 35 kg. está dada por

4ti+6t2j m/s

2. Al tiempo t=3.4s, calcular el vector fuerza y su

módulo.

Respuesta: F=476i+2.428x103j N; F=2.474x10

3 N

62. La aceleración de una partícula de masa 7.5 kg. está dada por t-2

i+t-

2j m/s

2. Al tiempo t=0.01s, calcular el vector fuerza y su módulo.

Respuesta: F=7.5x104i+7.5x10

4j N; F=1.061x10

5 N


t3i+3tj+4k m/s

2. Al tiempo t=1s, calcular el vector fuerza, su

módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=10i+30j+40k N; F=50.99 N

u=0.196i+0.588j+0.784k; x=79°,y=54°,z=38°


t0i+tj+4t

7k m/s

2. Al tiempo t=11s, calcular el vector fuerza, su


Respuesta: F=11i+121j+8.6x108k N; F=8.574x10

8 N

u=1.3x10-8

i+1.4x10-7

j+k; x=90°,y=90°,z=8.1x10-6

°

65. La aceleración de una partícula de masa 111 kg. está dada por ti-tj-

tk m/s2. Al tiempo t=0.1s, calcular el vector fuerza, su módulo, su

vector unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=11.1i-11.1j-11.1k N; F=19.226 N

u=0.577i-0.577j-0.577k; x=55°,y=125°,z=125°


~ 197 ~

66. La aceleración de una partícula de masa 13 kg. está dada por 2ti-3tj-

5tk m/s2. Al tiempo t=9s, calcular el vector fuerza, su módulo, su

vector unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=234i-351j-585k N; F=721.236 N

u=0.324i-0.487j-0.811k; x=71°,y=119°,z=144°

67. La aceleración de una partícula de masa 102 kg. está dada por -

2t3i+3t

4j-tk m/s

2. Al tiempo t=4.5s, calcular el vector fuerza, su


Respuesta: F=-1.8x104i+1.2x10

5j-450k N;F=1.2x10

5 N

u=-0.147i+0.989j-0.004 k; x=98°,y=8°,z=90°


8x102t3i+6x10

5t4j-10

-3tk m/s

2. Al tiempo t=10

-8s, calcular el vector

fuerza, su módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=0i+0j-10-6

k N; F=10-6

N

u=8x10-11

i+0j-k; x=90°,y=90°,z=180°

69. La aceleración de una partícula de masa 1010

kg. está dada por

108t3i+10

6t4j+10

5tk m/s

2. Al tiempo t=10

9s, calcular el vector

fuerza y su módulo.

Respuesta: F=1045

i+1052

j+1024

k N; F=1052

N

u=10-7

i+j ; x=90°, y=0° ,z=90°

70. La masa de una partícula varía según 10t kg. Si su aceleración es

t3i+3t

-2j+2t

3k m/s

2, calcular en t=0.1 s el vector fuerza, su módulo,

su vector unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=0.001i+300j+0.002k N; F=300 N

u=3.3x10-6

i+j+6.7x10-6

k ; x=90°,y=0°,z=90°

71. La masa de una partícula varía según t kg. Si su aceleración es

t3i+t

3k m/s

2, calcular en t=1s el vector fuerza, su módulo, su vector

unitario y sus ángulos directores.

Respuesta: F=i+k N; F=1.414 N

u=0.707i+0.707k; x=45°,y=90°,z=45°


~ 198 ~

72. La masa de una partícula varía según t+4 kg. Si su aceleración es

(6+t3)i+4j+(t-8)k m/s

2, calcular en t=10 s el vector fuerza, su


Respuesta: F=1.4x104i+56j+28k N; F=1.4x10

4 N

u=i+0.004j+0.002k; x=0.3°,y=89.8°,z=89.9°

73. La masa de una partícula varía según t2+t+1 kg. Si su aceleración es

(6t+t3)i+(4t+3)j+(t

2-8)k m/s

2, calcular en t=0.1 s el vector fuerza, su


Respuesta: F=0.7i+3.8j-8.9k N; F=9.662 N

u=0.069i+0.391j-0.918k ;x=86°,y=67°,z=157°

74. La masa de una partícula varía según 3t2+t kg. Si su aceleración es

(t-t3)i+(1-3t)j+(t

4-8t)k m/s



Respuesta: F=-720i-240j+1.7x103k N; F=1.9x10

3 N

u=-0.385i-0.128j+0.914k; x=113°,y=97.4°,z=24°

75. La masa de una partícula varía según –t+t3 kg. Si su aceleración es -

(2-t3)i-(t

2-3)j-(-t

4-8)k m/s



R. : F=4.5x104i-6.9x10

3j+2.7x10

5k N; F=2.8x10

5 N

u=0.162i-0.025j+0.986k; x=80.7°,y=91°,z=9.4°

76. Una partícula de masa 6.01 kg. posee una fuerza de 2i+7j+6k N.

Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y los


Respuesta: a=0.333i+1.165j+0.998k m/s2;a=1.57 m/s

2

u=0.212i+0.742j+0.636k; x=78°,y=42°,z=51°

77. Una partícula de masa 7 kg. posee una fuerza de 8i-8j-8k N.



R.: a=1.143i-1.143j-1.143k m/s2; a=1.979 m/s

2

u=0.577i-0.577j-0.577k; x=55°,y=125°,z=125°


~ 199 ~

78. Una partícula de masa 1000 kg. posee una fuerza de -18i-28j-38k N.



R.: a=-0.018i-0.028j-0.038k m/s2; a=0.051 m/s

2

u=-0.356i-0.554j-0.752k; x=111°,y=124°,z=139°

79. Una partícula de masa 1 kg. posee una fuerza de 103i+10

4j-10

12k N.



Respuesta: a=103i+10

4j-10

12k m/s

2; a=10

12 m/s

2

u=10-9

i+10-9

j-k ;x=90°,y=90°,z=180°

80. Una partícula de masa 0.001 kg. posee una fuerza de 10-5

i+10-7

j+10-

6k N. Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y

los ángulos directores.

Respuesta: a=0.01i+10-4

j+10-3

k m/s2; a=0.01 m/s

2

u=0.995i+0.01j+0.099k; x=5.7°,y=89.4°,z=84.3°

81. Una partícula de masa 3001 kg. posee una fuerza de 54i+65j+87k

N. Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y

los ángulos directores.

Respuesta: a=0.018i+0.022j+0.029k m/s2;a=0.04 m/s

2

u=0.445i+0.536j+0.717k; x=64°,y=58°,z=44°

82. Una partícula posee una fuerza de 8i+3j+6k N y una aceleración de

3i+6j+8k m/s2. Hallar su masa.

Respuesta: m=1 kg

83. Una partícula posee una fuerza de 2j+5k N y una aceleración de

6i+6j m/s2. Hallar su masa.

Respuesta: m=0.635 kg

84. Una partícula posee una fuerza de -6i+0.1j+6k N y una aceleración

de -3i-3j m/s2. Hallar su masa.

Respuesta: m=2


~ 200 ~

85. Una partícula posee una fuerza de 7.24k N y una aceleración de

3.33i m/s2. Hallar su masa.

Respuesta: m= 2.174 kg

86. Una partícula posee una fuerza de 103i+10

5j+10

6k N y una

aceleración de 109i+10

2j+10

7k m/s

2. Hallar su masa.


87. Una partícula posee una fuerza de –4x102i+j+3k N y una

aceleración de –10-8

j m/s2. Hallar su masa.

Respuesta: m= 4x1010

kg

88. Una partícula posee una fuerza de 0.1i+0.1j+6k N y una aceleración

de 3.5i+4.1j+7.8k m/s2. Hallar su masa.


89. Una partícula posee una fuerza de 3.4i+8.1j+k N y una aceleración

de -7i-5.1j-8.04k m/s2. Hallar su masa.


90. Una partícula posee una fuerza de 5(103i+10

5j+10

6k) N y una

aceleración de 3(109i+10

2j+10

7k) m/s

2. Hallar su masa.


SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA DIFERENCIAL

91. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti kgm/s.

Hallar la fuerza en t=3 s.

Respuesta: F=i N

92. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por t2i kgm/s.

Hallar la fuerza en t=5 s.

Respuesta: F=10i N


~ 201 ~

93. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4t3i

kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.5 s.

Respuesta: F=27i N

94. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por -9t4i

kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.4s.

Respuesta: F=-2.304i N

95. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 0.1t-5

i

kgm/s. Hallar la fuerza en t=6s.

Respuesta: F=-1.072x10-5

i N

96. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 8t6j


Respuesta: F=5.154x105j N

97. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –3.2t-2

j


Respuesta: F=6.4x10-6

j N

98. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 542t4k


Respuesta: F=0.002k N

99. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (t3+7t)k


Respuesta: F=115k N

100. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (2t4+7t

3-

6t2+t-8)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=2s.

Respuesta: F=125k N

101. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti+3tj


Respuesta: F=i+3j N


~ 202 ~

102. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por t2i+4t

3j


Respuesta: F=6i+108j N

103. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –6t-

3i+4t

3j kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.2s.

Respuesta: F=1.125x104i+0.48j N

104. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 8t6i-5t

3j


Respuesta: F=0.117i-1.35j N

105. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti-5tj+2tk


Respuesta: F=i-5j+2k N

106. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –

ti+6t2j+t

3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=5s.

Respuesta: F=-i+60j+75k N

107. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por

t5i+t

7j+t

3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=9.4s.

Respuesta: F=3.9x104i+4.8x10

6j+265k N

108. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4t5i+j-

9t3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=10.1s. Respuesta: F=2.1x10

5i-

2.8x103k N


(t+1)i+6j+(t3+4)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=5.3s.

Respuesta: F=i+84.27k N


(t2+1)i+(6t+t

2)j+(4t

5+4t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=2.4s.

Respuesta: F=4.8i+10.8j+668k N


~ 203 ~


(4t3+t)i+(-3t

3+5t

2)j+(-6t

-1+t-6)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=3.7s.

Respuesta: F=165.3i-86.2j+1.4k N

112. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por -(t4+7)i-

(t-2

+5t)j+(-6t-4

+t3-2)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.7s.

Respuesta: F=-1.372i+0.831j+144.27k N


(t4+t

3+t

2+t-7)i-(t

4-3t)j+(6t

3+t

2-t+2)k kgm/s. Hallar la fuerza en

t=0.01s.

Respuesta: F=1.02i+3j-0.978k N

114. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por i-

(t4+t

3+t

2+t-7)j+(6t

5+t

3-t

2+2t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=10s.

Respuesta: F=-4.3x103j+3x10

5k N

115. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (6t5+t

3-

t2+2t)i-tj+(2t-5)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.11s.

Respuesta: F=49i-j+2k N

116. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4(t5+3t

3-

2t2+t)i-3(2t-5)tj+(t

-3-t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.001s.

Respuesta: F=44.136i+2.988j-3.988k N

SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA: dt

dm

dt

dm v

vF

117. Una partícula de 3 kg inicia su movimiento con velocidad v=3i m/s.

Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la fuerza en t=1s.

Respuesta: F=24i N

118. Una partícula de 6 kg inicia su movimiento con velocidad v=56i

m/s. Si su masa aumenta a razón de 10 kg/s, hallar la fuerza en

t=0.1s. Respuesta: F=560 i N


~ 204 ~

119. Una partícula de 10.1 kg inicia su movimiento con velocidad

v=44.6i m/s. Si su masa aumenta a razón de 1 kg/s, hallar la fuerza

en t=20s.

Respuesta: F=44.6i N

120. Una partícula de 70 kg inicia su movimiento con velocidad v=31j

m/s. Si su masa aumenta a razón de 6 kg/s, hallar la fuerza en t=5s.

Respuesta: F=186j N

121. Una partícula de 15 kg inicia su movimiento con velocidad v=21j

m/s. Si su masa aumenta a razón de 6.6 kg/s, hallar la fuerza en

t=43s.

Respuesta: F=138.6j N

122. Una partícula de 89 kg inicia su movimiento con velocidad v=-26j

m/s. Si su masa aumenta a razón de 12.5 kg/s, hallar la fuerza en

t=100s.

Respuesta: F=-325j N

123. Una partícula de 58 kg inicia su movimiento con velocidad v=-58k

m/s. Si su masa aumenta a razón de 1 kg/s, hallar la fuerza en

t=1000s.

Respuesta: F=-58k N

124. Una partícula de 105 kg inicia su movimiento con velocidad v=10

3k

m/s. Si su masa aumenta a razón de 106

kg/s, hallar la fuerza en

t=104s.

Respuesta: F=109k N

125. Una partícula de 78 kg inicia su movimiento con velocidad

v=10i+3j m/s. Si su masa aumenta a razón de 2 kg/s, hallar la

fuerza en t=6s.



~ 205 ~


v=22i+44j m/s. Si su masa aumenta a razón de 1.5 kg/s, hallar la

fuerza en t=9.4s.


127. Una partícula de 100 kg inicia su movimiento con velocidad v=-4i-

3j m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.5 kg/s, hallar la fuerza en

t=0.5s.

Respuesta: F=-2i-1.5 j N

128. Una partícula de 20 kg inicia su movimiento con velocidad v=2i-

3j+5k m/s. Si su masa aumenta a razón de 3.5 kg/s, hallar la fuerza

en t=7.5s.

Respuesta: F=7i-10.5j+17.5k N

129. Una partícula de 35 kg inicia su movimiento con velocidad v=6i-4j-

10k m/s. Si su masa aumenta a razón de 78 kg/s, hallar la fuerza en

t=5s.

Respuesta: F=468i-312j-780k N

130. Una partícula de 74 kg inicia su movimiento con velocidad v=6ti


Respuesta: F=462i N

131. Una partícula de 21 kg inicia su movimiento con velocidad v=3t2i


Respuesta: F=780i N

132. Una partícula de 10 kg inicia su movimiento con velocidad v=-8t3i


Respuesta: F=-6.912x103i N


v=(t+8t3)i m/s. Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la

fuerza en t=1.4s. Respuesta: F=4078i N


~ 206 ~

134. Una partícula de 500 kg inicia su movimiento con velocidad v=(2t-

t2+t

3)j m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.4 kg/s, hallar la fuerza

en t=6s.

Respuesta: F=49080j N

135. Una partícula de 777 kg inicia su movimiento con velocidad v=(-

t2+t

4)k m/s. Si su masa aumenta a razón de 58 kg/s, hallar la fuerza

en t=600s.

Respuesta: F=8.188x1012

k N

136. Una partícula de 144 kg inicia su movimiento con velocidad v=(t4-

t3+t

2+t-10)k m/s. Si su masa aumenta a razón de 20.1 kg/s, hallar la

fuerza en t=0.01s.

Respuesta: F=-53.96 k N


v=3ti+tk m/s. Si su masa aumenta a razón de 44 kg/s, hallar la

fuerza en t=1.01s.

Respuesta: F=208.32i+69.44k N

138. Una partícula de 94 kg inicia su movimiento con velocidad v=-

5ti+t2j m/s. Si su masa aumenta a razón de 11 kg/s, hallar la fuerza

en t=1s.

Respuesta: F=-525i+199j N


v=2tj+5t3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la

fuerza en t=0.1s.

Respuesta: F=53.6j+3.94k N


v=5t3i+2tj+5t

3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 18 kg/s, hallar

la fuerza en t=0.01s.

Respuesta: F=1.5i+2000j+1.5k N


~ 207 ~

141. Una partícula de 62 kg inicia su movimiento con velocidad v=62t2i-

8t3j+t

4k m/s. Si su masa aumenta a razón de 13 kg/s, hallar la

fuerza en t=41s.

Respuesta: F=1.67x106i-9.65x10

6j+5.38x10

7k N

142. Una partícula de 33 kg inicia su movimiento con velocidad v=-

5ti+7t2j+3t

-3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.02 kg/s, hallar


Respuesta: F=-165.004i+18.48j-1.16x108k N


v=ti+t2j+t

3k m/s. Si su masa disminuye a razón de 2 kg/s, hallar la

fuerza en t=6s.

Respuesta: F=42i+576j+5400k N


v=4i+t3j+2t


fuerza en t=10s.

Respuesta: F=-16i+19100j+6900000k N

145. Una partícula de 8 kg inicia su movimiento con velocidad v=-ti+t2j-

6t4k m/s. Si su masa disminuye a razón de 0.5 kg/s, hallar la fuerza

en t=50s.

Respuesta: F=17i-450j-5250000k N


v=t3i+5j+6t


fuerza en t=6.4s.

Respuesta: F=2671i-10j+16020k N

147. La masa de una partícula varía con el tiempo en 3t+1 kg. Si su

velocidad esta dada por v=ti+5tj+3t-2

k m/s, calcular la fuerza en

t=4s.

Respuesta: F=25i+125j-0.656k N


~ 208 ~

148. La masa de una partícula varía con el tiempo en 4+6t2 kg. Si su

velocidad esta dada por v=2tj+3t3k m/s, calcular la fuerza en

t=0.1s.

Respuesta: F=8.36j+0.369k N

149. La masa de una partícula varía con el tiempo en 10t+8 kg. Si su

velocidad esta dada por v=-t2i+3t

5j+7t

6k m/s, calcular la fuerza en

t=0.2s.

Respuesta: F=-4.4i+0.25j+0.139k N

150. La masa de una partícula varía con el tiempo en -t2+8t+80 kg. Si su

velocidad está dada por v=4i+5j+8t3k m/s, calcular la fuerza en

t=2s.


151. La masa de una partícula varía con el tiempo en –t3+1000 kg. Si su

velocidad está dada por v=2ti+5t3j+t


t=0.5s.

Respuesta: F=1999i+3749j+187.5 k N

152. La masa de una partícula varía con el tiempo en t3+t

2+t+100 kg. Si

su velocidad está dada por v=ti+2t2j+6t


t=0.05s.

Respuesta: F=100.108i+20.016j+4.503k N

153. La masa de una partícula varía con el tiempo en t4+t

3+t

2+1000 kg.

Si su velocidad está dada por v=(t+1)i+(t2-3)j+(t

3-4)k m/s, calcular



154. La masa de una partícula varía con el tiempo en t5-t

2-t+550 kg. Si

su velocidad está dada por v=(t+t2)i+(t

3-3t)j+(-t

3-4)k m/s, calcular


Respuesta: F=769i-1582j-60.4k N


~ 209 ~

155. La masa de una partícula varía con el tiempo en t5-t

3-t

2+10

3 kg. Si

su velocidad está dada por v=(t3+t

2+t+20)i-(t

3-3t

2)j-(t

3-4t+2)k m/s,

calcular la fuerza en t=0.01s.


CONFIGURACIONES MECANICAS:

156. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración de la

masa.

= 0

Respuesta: a=4 m/s2

= 0.1

Respuesta: a=2 m/s2

= 0.1

Respuesta: a=1 m/s2

= 0.1

37°

Respuesta: a=4.392 m/s

2


~ 210 ~

= 0.1

53°37°


2

Respuesta: a=5 m/s

2 Respuesta: a=4 m/s

2


2 Respuesta: a=6 m/s

2


2 Respuesta: a=3.768 m/s

2


~ 211 ~


2

Respuesta: a=10 m/s


2

Respuesta: a=5 m/s


2

157. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración y la

tensión en las cuerdas.


~ 212 ~

= 0

= 0.2

R.:a=8 m/s

2; R. :a=7.6 m/s

2;

= 0.2 = 0.2

R.:a=5.5 m/s2; R.:a=7.828 m/s

2;T1=52.14N.;T2=8.69 N

= 0.1

Respuesta:a=6 m/s

2;T1=145N;T2=96N;T3=64N


~ 213 ~

158. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración y la

tensión en las cuerdas.

Muy a menudo resulta complejo resolver cierta clase de problemas

físicos, debido a la gran cantidad de cálculos matemáticos implicados.

Para ello se dispone de un concepto alterno basado en la idea de energía

almacenada en los cuerpos y en los sistemas en movimiento.

Definiremos estos conceptos previamente para luego aplicarlos en

problemas prácticos.

5.1 TRABAJO

Se realiza trabajo cuando una fuerza mueve un cuerpo u objeto en la

dirección en la que ésta fuerza actúa. Matemáticamente el trabajo se

define como un producto escalar entre la fuerza aplicada al objeto y el

vector desplazamiento del cuerpo.

𝑊 = 𝐹 ∆r

Considerando el ángulo que forma el vector fuerza con el

desplazamiento, tenemos la siguiente expresión

m

F

Δr θ


~ 215 ~

𝑊 = 𝐹∆𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃

En caso de que la fuerza es variable, el trabajo debe ser calculado en

cada pequeño desplazamiento según la siguiente ecuación

𝑊 = 𝐹 dr

La unidad de medida del trabajo es el joule (J).

5.2 ENERGIA

Frecuentemente las fuerzas sobre un cuerpo producen trabajos que

dependen de la posición, de la velocidad y otros factores, para ello es

más adecuado utilizar el concepto de energía, que es la capacidad de un

sistema para trabajar, y es medida en joules.

5.3 ENERGIA CINETICA.- Es aquella energía dependiente de la

velocidad de un cuerpo.

𝐾 =1

2𝑚𝑣2

5.4 ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.- Es aquella

energía dependiente de la altura respecto a un referencial sobre la

tierra.

𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑕

5.5 ENERGIA POTENCIAL ELASTICA.- Es aquella energía

almacenada en un resorte debido a la contracción o estiramiento

de éste.

𝑈𝑒 =1

2𝑘𝑥2


~ 216 ~

5.6 CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECANICA

En un sistema conformado por fuerzas conservativas, es muy útil

calcular la energía en diferentes estados (antes y después de un cambio

de posición o velocidad). Esto nos lleva a utilizar la siguiente igualdad

para la energía mecánica

𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Lo que nos lleva plantear la siguiente extensión

(𝐾 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (𝐾 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒)𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Cuando en un sistema hay pérdida de energía por rozamiento, tenemos

que considerar la siguiente inecuación

𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 < 0


~ 217 ~

EJERCICIOS

1. Una fuerza 𝐹 = 4𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 N, actúa sobre un objeto

desplazándolo ∆𝑟 = 2𝑖 − 5𝑗 − 𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.

Respuesta: W= -5 J


desplazándolo ∆𝑟 = 0𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.

Respuesta: W= 14 J


desplazándolo ∆𝑟 = −2𝑖 − 5𝑗 − 3𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.

Respuesta: W= 15 J

4. Una fuerza 𝐹 = 6𝑖 − 3𝑗 − 𝑘 N, actúa sobre un objeto desplazándolo

∆𝑟 = 0𝑖 − 5𝑗 + 0𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.

Respuesta: W= 15 J

5. Una fuerza 𝐹 = 𝑖 − 3𝑗 − 8𝑘 N, actúa sobre un objeto desplazándolo

∆𝑟 = 0𝑖 + 0𝑗 − 𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.

Respuesta: W= 8 J


desplazándolo ∆𝑟 = 32𝑖 − 51𝑗 − 10𝑘 m. Calcular el trabajo

realizado.

Respuesta: W= 259 J

7. Una fuerza 𝐹 = 1.4𝑖 + 3.5𝑗 − 4.2𝑘 N, actúa sobre un objeto

desplazándolo ∆𝑟 = 2.8𝑖 − 6.5𝑗 − 0.5𝑘 m. Calcular el trabajo

realizado.

Respuesta: W= -16.73 J


~ 218 ~

8. Una fuerza 𝐹 = 0.4𝑖 + 0.8𝑗 + 0.2𝑘 N, actúa sobre un objeto


realizado.

Respuesta: W= -0.34 J

9. Una fuerza 𝐹 = 0.044𝑖 + 0.053𝑗 − 0.245𝑘 N, actúa sobre un objeto


realizado.

Respuesta: W= 0.25463 J


desplazándolo ∆𝑟 = 22𝑖 + 55𝑗 − 11𝑘 m. Calcular el trabajo

realizado.

Respuesta: W= 3025 J

Para realizar un estudio adecuado del movimiento de un sistema con

muchas partículas, necesitamos herramientas especiales tales como el

concepto de centro de masas, ya para sistemas en giro debemos

considerar el momento de inercia. En este capítulo consideraremos

como se realiza el cálculo de estas dos cantidades.

6.1 CENTRO DE MASAS

Consideremos un sistema formado por N partículas, cada una con masa

𝑚𝑖 y vector de posición 𝑟 𝑖 . Tal como se muestra en la figura

x

y

z

m2

m1

m3

m4 m5

r1 r2

r4 r3 r5


~ 220 ~

El centro de masas estará dado por

𝑟 𝐶𝑀 = 𝑚𝑖𝑟 𝑖 𝑚𝑖

En forma extendida sería

𝑟 𝐶𝑀 =𝑚1𝑟 1 + 𝑚2𝑟 2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑟 𝑁

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁

Considerando los sistemas de coordenadas sus respectivas componentes

escalares de cada vector de posición, tendríamos

𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚1𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑥𝑁

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁

𝑦𝐶𝑀 =𝑚1𝑦1 + 𝑚1𝑦2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑦𝑁

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁

𝑧𝐶𝑀 =𝑚1𝑧1 + 𝑚1𝑧2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑧𝑁

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁

Luego

𝑟 𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀𝑖 + 𝑦𝐶𝑀𝑗 + 𝑧𝐶𝑀𝑘


~ 221 ~

6.2 MOMENTO DE INERCIA

Consideremos un sistema formado por N partículas, cada una con masa

𝑚𝑖 y distancia di perpendicular respecto a un eje L. Todas las partículas

giran respecto a este eje L, tal como se muestra en la figura.

El momento de inercia se calcula como

𝐼 = 𝑚𝑖𝑑𝑖2

En forma desarrollada seria

𝐼 = 𝑚1𝑑12 + 𝑚2𝑑2

2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑑𝑁2

L

m2

m1

m3

m4 m5

d1 r2

d4 d3

d5


~ 222 ~

EJERCICIOS

1. Considere un sistema de masas dadas en kilogramos por 𝑚1 = 1;

𝑚2 = 2; 𝑚3 = 3; 𝑚4 = 4; 𝑚5 = 5 ; con sus respectivas posiciones

en metros dadas por 𝑟 1 = 2𝑖 − 5𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 ; 𝑟 3 =

−2𝑖 − 6𝑗 + 4𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 5𝑗 − 4𝑘 ; 𝑟 5 = −2𝑖 − 5𝑗 + 8𝑘 . Calcular

el centro de masas.

Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.33𝑖 − 4.13𝑗 + 2.07𝑘 metros


𝑚2 = 12; 𝑚3 = 11; 𝑚4 = 14; 𝑚5 = 7 ; con sus respectivas

posiciones en metros dadas por 𝑟 1 = 3𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘 ; 𝑟 2 = 3𝑖 + 7𝑗 −

6𝑘 ; 𝑟 3 = −8𝑖 − 𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 5𝑗 − 4𝑘 ; 𝑟 5 = −2𝑖 − 5𝑗 + 8𝑘 .

Calcular el centro de masas.

Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.34𝑖 − 1.23𝑗 − 1.48𝑘 metros



en metros dadas por 𝑟 1 = −3𝑖 − 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 3 = −𝑖 −

𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 𝑗 − 0𝑘 ; 𝑟 5 = 0𝑖 − 𝑗 + 𝑘 . Calcular el centro de

masas.

Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.00𝑖 − 0.89𝑗 + 0.32𝑘 metros



en metros dadas por 𝑟 1 = −𝑖 − 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 3 = −𝑖 − 𝑗 +

𝑘 ; 𝑟 4 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 5 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 . Calcular el centro de masas.

Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = 0.2𝑖 − 0.2𝑗 + 0.2𝑘 metros

Un cuerpo rígido, es aquel cuerpo ideal en el cual la separación entre

dos puntos cualesquiera es fija e independiente del tiempo. En otras

palabras un cuerpo rígido no experimenta deformación alguna. En

realidad todos los cuerpos en el universo experimentan deformación de

alguna manera, pero nosotros estudiamos al cuerpo rígido la finalidad

de rescatar algunas propiedades útiles que nos permitirán entender

algunos fenómenos. También en ingeniería podemos considerar algunos

sistemas como formados por cuerpos rígidos de tal manera de hacer más

sencillo su estudio.

7.1 TRASLACIÓN DEL CUERPO RÍGIDO

En el movimiento de traslación todos los puntos que forman el sólido se

mueven según caminos paralelos.

A1

B1

A2

B2

Traslación

curvilínea

A1

B1

A2

B2

Traslación

sencilla


~ 224 ~

Designamos como 𝑟 𝐴 y 𝑟 𝐵, a los vectores de posición de los puntos A y

B respecto de un sistema fijo de referencia, y como 𝑟 𝐴/𝐵 al vector que

une A a B, se tiene

𝑟 𝐵 = 𝑟 𝐴 + 𝑟 𝐵/𝐴

Derivando la posición respecto del tiempo

𝑑𝑟 𝐵𝑑𝑡

=𝑑𝑟 𝐵𝑑𝑡

+

𝑑𝑟 𝐵/𝐴

𝑑𝑡

0

Obtenemos

𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴

Derivando de nuevo respecto del tiempo

𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐴

Lo que nos lleva a la siguiente conclusión

Cuando un sólido rígido sufre una traslación, en un

instante dado todos los puntos del sólido tienen la

misma velocidad y la misma aceleración.

rB

rA

B

A

rB/A

y

x

z


~ 225 ~

7.2 ROTACION DEL CUERPO RÍGIDO

Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo.

Denotaremos por 𝜔 a la velocidad angular del cuerpo sólido y por ende

será el mismo para todas las partículas que conforman el cuerpo. La

velocidad 𝑣 de cada partícula del cuerpo rígido depende de la posición 𝑟 y se calcula como un producto vectorial tal como:

𝑣 = 𝜔 × 𝑟

Si derivamos la velocidad respecto del tiempo obtenemos la aceleración

de cada partícula del cuerpo

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑(𝜔 × 𝑟 )

𝑑𝑡

Aplicando reglas vectoriales tenemos

𝑎 =∝ × 𝑟 + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟

donde ∝ es el vector aceleración angular.

r

v


~ 226 ~

EJERCICIOS

1. Calcular la velocidad lineal de una partícula dentro de un cuerpo

rígido que gira con aceleración angular 𝜔 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 rad/s y

tiene una posición 𝑟 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 metros.

Respuesta: 𝑣 = 7𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘 m/s

2. Calcular la velocidad de una partícula dentro de un cuerpo rígido

que gira con aceleración angular 𝜔 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 rad/s y tiene una

posición 𝑟 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 metros.

Respuesta: 𝑣 = −2𝑖 + 0𝑗 + 2𝑘 m/s


que gira con aceleración angular 𝜔 = 1.5𝑖 + 2.8𝑗 + 5.4𝑘 rad/s y

tiene una posición 𝑟 = 6.4𝑖 + 3.4𝑗 + 8.7𝑘 metros.

Respuesta: 𝑣 = 6.00𝑖 + 21.51𝑗 − 12.82𝑘 m/s




Respuesta: 𝑣 = 0.44𝑖 − 0.11𝑗 − 0.33𝑘 m/s




Respuesta: 𝑣 = 0.00011𝑖 + 0.001𝑗 − 0.00034𝑘 m/s

BIBLIOGRAFIA

1. Resnick R., Halliday D.; "Física"; Tomo I; 3ra Edición;

Editorial Continental México; 1981.

2. Paul A. Tipler; “Física”; Tomo I; 3ra Edición; Editorial

Reverté; 1995.

3. Raymond A. Serway; “Física”; Tomo I; 4ta Edición;

Editorial McGraw-Hill; 1997.

4. Michel Valero; “Física Fundamental”; Tomo I; 1ra

Edición; Editorial Norma; Colombia; 1986.

5. William F. Riley, Leroy D. Sturges; “Estática”; 1ra

Edición; Editorial Reverté; 1995.

6. William F. Riley, Leroy D. Sturges; “Dinámica”; 1ra

Edición; Editorial Reverté; 1995.

7. Ferdinand P. Beer, Russell E. Jhonston; “Estática”; 6ta

Edición; Editorial Mc Graw Hill; 1997.

8. Ferdinand P. Beer, Russell E. Jhonston; “Dinámica”; 6ta

Edición; Editorial Mc Graw Hill; 1997.

Lic. Roberto A. Del Carpio Minaya - repositorio.unap.edu.pe

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