Libro trigonometria pdf

Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria

Creaciones Neper 17 Marco Antonio Moya Silvestre

TrigonometríaPlana

ANGULO TRIGONOMÉTRICOa visión que se tiene en geometría acerca delángulo, es de a aquélla que se forma por la uniónde dos rayos fijos, que comparten un punto en

común llamado vértice.

En trigonometría plana un ángulo trigonométrico esaquel que se genera por un rayo móvil, cuando esterealiza una rotación sobre un punto fijo llamadovértice, desde una posición inicial (lado inicial), hastauna posición final (lado final). La amplitud de larotación es la medida del ángulo trigonométrico.

Recordemos que en trigonometría plana si el giro derealiza en sentido horario , el ángulo generado esconsiderado negativo, en cambio si el giro es ensentido anti horario el ángulo generado esconsiderado positivo; además un ángulotrigonométrico puede tomar cualquier valor

O

N

MLado inic ial

Lado final

P

L

Es bueno saber que…..

HIPARCO DE NICEA fue elobservador más grande de laantigüedad, tanto que sucatálogo estelar, quecontenía posiciones y brillosde unas 850 estrellas, fuesuperado en precisiónsolamente en el siglo XVI.

Por otro lado, inventó la trigonometría esféricaque incrementó el potencial del cálculo; renovólas matemáticas, herramienta esencial de lacosmología, astrofísica y astronomía, a la queperfeccionó con nuevos instrumentos.Conocedor de la distancia y de los movimientosde la Luna y en posesión de una teoría mejorque la de sus predecesores acerca de la órbitasolar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una delas principales exigencias de la astronomíaantigua: la predicción de eclipses, cuestión quepara los griegos, antes de Hiparco, constituía unserio problema, ya que tan sólo contaban paradesarrollar sus predicciones sobre eclipses conel método del saros de los babilonios.

Los sucesores de Hiparco trataron derepresentar los movimientos planetariosmediante complejos movimientos circulares, yfue mucho más tarde, en tiempo de ClaudioPtolomeo (alrededor del año 150 d.c) cuando lateoría planetaria de la antigüedad adquirió suforma definitiva. Según ella, la Tierra descansaen el centro del universo; los movimientos delSol y la Luna en el cielo se pueden representarbastante bien por trayectorias circulares. Haciafines del siglo XV Cristóbal Colón descubrióAmérica, y pocos años más tarde Copérnicoplanteó el punto de vista heliocéntrico delmovimiento de la Tierra.



ricotrigonométángulo

O

Observaciones:

Si a un ángulo trigonométrico sele invierte su sentido, su signocambia.

Para sumar ángulos trigonométricos en ungráfico, estos deben tener el mismo signo.

La magnitud de un ángulo trigonométrico esilimitada

EJERCICIOS RESUELTOS

1. De la figura mostrada, evaluar el ángulo“x”.

40º5x+ 10º

-10º

a) 40° b) 20° c) -20°d) -50° e) -10°

Resolución:

Observamos que los ángulos no tienen elmismo sentido de giro. Entoncescambiamos a todos los ángulos ensentido horario al sentido anti horario(+)

Luego se cumple:

10º-5x-10

40º

ERptax

x

x

x

:10

90540

901010540

9010)105(40

2. Según la figura, expresar x en términos

de y

x

A

B C

Da) 180º-+ b) --180°c) 180º-- d) 180º+-e) --180º

Resolución:

Del grafico observamos que:

)(

)(

)(

esx

es

es

Cambiados el sentido al ángulo

Xº

-

A

B C

DVemos que:

XCOD

XBOC

XAOB



Se cumple que: 180CODBOCAOB

Reemplazando:

BRptax

x

xxx

:180

180

180

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Del gráfico, calcule “X”

10-x20º

Xº

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

2. Del gráfico, hallar X

9º-3x36º

a) 15º b) 20º c)25ºd) 130º e) 35º

3. De la figura determina “x”.

O

x

a) 90º - b) - 90º c) 90 + d) -90º - e) 180º-

4. Del gráfico mostrado, calcular “x”O

º144)º95( x

a) 25 b) -25 c) 27d) -27 e) -36

5. Del gráfico mostrado, calcula “ + ”

a) 270º b) -270º c) 180ºd) –180º e) 90º

6. Del gráfico, hallar “X”.

(11-13X)º (17X-19)º

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

7. De la figura que se muestra, determinarel valor del ángulo x.

2x

3x

(20º-x)(60º-x)(40º-x)



a) 15º b) 20º c) 25ºd) -30º e) 30º

8. A partir del gráfico mostrado, calcular elvalor de “x”.

(

(

)

)

2

2

+ 34 º

-46 º

y+ x150º

y-x

a) 150º b) 290º c) -290ºd) -300º e) 30º

9. A partir del gráfico, calcular el valor de“x”

B

C A

(7x-4)º(8-9x)º

a) 18 b) 15 c) 12d) 10 e) 19,2

10. Del gráfico, hallar :

3

2

a) 630º b) 700º c) 660ºd) 600º e) -420º

11. Indicar si los ángulos dados son o nocoterminales

a) 50º y 410º

b) 160º y 880º

c) 400º y 1480º

d) 780º y 1200º

e) 1810º y 370º

f) 1364º y 564º

g) 3838º y 950º

h) 700º y 2880º

I) 1950º y 3850º

12. Averiguar si los ángulos indicados son ono coterminales

a) -150º y -510º

b) -80º y 640º

c) -340º y -1420º

d) -790º y 650º

e) -220º y 150º

f) -1500 y -3300º

g) 1210º y -2040º

h) -490º y -1930º



I) -2110º y -580º

NIVEL II

1. Del gráfico mostrado, calcula “x”

x

a) 180º-+ b) 180º++c) 180º-- d) 180º+-e) --180º

2. Determina el valor de x, en términos de“”

xO

120º

a) - 480º- b) 480º+ c) 480º-d) -480º e) -240º+

3. En la figura mostrada, calcula “x” entérminos de “” y “”

x

O

130º

a) 130º+- b) 130º--c) 230º-+ d) 230º--e) 230º+-

4. En la figura se cumple que:3 2 18ºx . Hallar E x

3xO

a) -9º b) 0º c) 9ºd) 18º e) 36º

5. De la figura mostrada determine: “x+y”en radianes

xy

120º C

A

a) / 3 b) / 2 c) / 4

d) 3 / 4 e) / 5

6. De la figura, calcular el valor positivoque toma “x”.

C

OA

B

120º

(3x + x)º2

2(3x-7x )º

a) 5º b) 7º c) 9ºd) 18º e) 36º

7. De la figura, indicar qué relación existe

entre , y



β α

θ

a) 720º

b) 36º

c) 360º

d) 720º

e) 360º

8. De la figura, hallar: “x” en término de, y

X

a) 2 2

b) 2

c) 2

d) 2 2

e) 2 2

9. En la figura, calcular el valor que toma“x”.

O

11x+ 50º

560º

a) 5º b) 7º c) 10ºd) 18º e) 36º

10. A partir del gráfico, hallar el suplementode “x”.

xº

a) º º b) º º

c) º º d) 2 º º

e) 2 º º

10. Señalar si los ángulos indicados son ono coterminales

a) 40º, 400º y 760º

b) 2580º, 1140º y 420º

c) -359º, 721º y 2521º

d) -1230º, -510º y 2470º

e) -3275º, -1835º y -35

f) 180º, 900º y -360º

NIVEL III

1. De la figura, hallar el máximo valor que

puede tomar " "



C

O

A

B

(100x)º

α- 100 º

x ))

a) 180° b) 160° c) 150°d) 135° e) 120°

2. De la figura mostrada, calcular “x”

(5-11x)g

27x

a) -2 b) -1 c) 5d) 4 e) 3

3. Del gráfico mostrado a qué es igual:10x-9y

y

3

g x

rad2π

a) 1 100 b) 360 c) 280d) 2 400 e) 1 800

4. En la figura, expresar " " en términos

de " " .

O

a) 360º b) 720º c) 360º d) 720º

e) 1080º

5. Del gráfico mostrado, ¿a cuántasvueltas equivalen: + 2 - ?

a) 1 vuelta b) 2 vueltasc) 3 vueltas d) 4 vueltase) 5 vueltas

6. En la figura mostrada, calcular (en rad)el valor de ángulo para que el

ángulo sea máximo. 1416,3: Considerar

rad( )2 -2 2

α

θ= (x - x )radx

a) 3,34 b) 2,6 c) 4,2832d) 1,7431 e) 2,1406

7. En la figura mostrada, si OB y OCtrisecan al ángulo AOD entonces laexpresión correcta es:

β

αθg

C

B

A

O

D

rad

a) 10 9 0 b) 180 0

c) 200 0 d) 380



e) 900 9 5

8. Dos ángulos coterminales son entre sícomo 1 es a 5. Hallar la medida delmayor de ellos, si el menor estácomprendido entre 100º y 200ºa) 180º b) 360º c) 540ºd) 720º e) 900º

9. Sean 2 27 1 º 1 3 ºx y x ángulos

coterminales, tal que x R . Hallar el

mínimo valor que puede tomar " "a) 1009º b) 757º c) 505ºd) 253º e) 107º

10. La suma de dos ángulos coterminaleses 600º. Hallar la medida del menor deellos, si el mayor está comprendidoentre 400º y 600º.a) 80º b) 100º c) 120ºd) 140º e) 160º

TAREA DOMICILIARIA

1. De la figura mostrada, hallar “x”

(3-7x)º

(4x-6)ºO

a) 9º b) 10º c) 12ºd) 11º e) 16º

2. De la figura mostrada, determinar “x”

x-40º3x+ 20º

a) 15º b) 20º c) 25ºd) 30º e) 45º

3. Del gráfico, calcular x.

4x -20º

-3x

a) 5º b) 8º c) 10ºd) 12º e) 15º

4. Del gráfico mostrado, calcular losvalores de ”x”

60º 22 (3x -5x+ 2)º(2-x-x )ºO

a) 8 y -5 b) 6 y -5 c)5 y -6d) 2 y -2 e) 5 y -5

5. De la figura mostrada, expresar x en

términos de

x

a) 2 b) 2 c)

d) e) 2

6. De la figura, determina la mAOC, si esobtuso.



Oº)634( xº5x

A C

B D

a) 130º b) 135º c) 140ºd) 145º e) 150º

7. Del gráfico mostrado, calcular “x”

Ox

a) + b) -- c) -d) - e) 2-

8. Indica en orden creciente la medida delos ángulos mostrados.

a) ; ; b) ; ; c) ;; d) ; ; e) ; ;

9. De la figura mostrada, indicar qué

relación cumplen los ángulos , ,

β

αθ

a) 720

b) 36º c) 360º

d) 720º

e) 360º

10. De los siguientes ángulos, indicarcuáles son coterminales:

3106º ; 854º 5186ºy

a) y b) y

c) y d) todos

e) ninguno

SOLUCIONARIO

NIVEL I1.d 2.a 3.c 4.d 5.a 6.c7.d 8.c 9.e 10.a

NIVEL II1.d 2.a 3.d 4.b 5.a 6.a7.a 8.d 9.c 10.b

NIVEL III1.b 2.c 3.d 4.c 5.b 6.c7.c 8.e 9.d 10.c

TAREA DOMICILIARIA1.a 2.a 3.c 4.b 5.a 6.d7.c 8.e 9.a 10.a



Sistemas DeMedición

Angularara medir un ángulo trigonométrico existeninfinidad de sistemas, ya que la unidadangular de medida se puede considerar de

manera arbitraria. Los sistemas de medición másusados son tres: sexagesimal, centesimal y radial.

1. SISTEMA SEXAGESIMAL O

INGLES ( S )

En este sistema, la unidad de medida esel “GRADO SEXAGESIMAL” ( 1º ) , el

cual se define como la ava360

1

parte de la medida del ángulo de unavuelta ( 360º ).

SUB UNIDADES:Minuto sexagesimal : 1’Segundo sexagesimal: 1”

EQUIVALENCIAS1 circunferencia 360º < > 1 vuelta1 circunferencia < > 4 cuadrantes1 cuadrante < > 90º

P

Es bueno saber que……

El Origen del término Seno inicia por el año 500,después de N.E., los matemáticos de la Indiaempezaron a considerar el movimiento de unarecta que gira en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y amedir las longitudes de las semicuerdas operpendiculares trazadas desde el extremo de larecta (en diversas posiciones de su movimiento) ala posición inicial de ella. Esa recta se conoce hoyen día como radio vector o “radio movimiento” (dellatín: vector, “portador”, de vehor, “muevo”;compárese con “vehículo”.Por esta razón la longitud de la semicuerda seasoció a un ángulo, el ángulo determinado por elgiro de la recta.

Los indios dieron el nombre de jva a dichasemicuerda, nombre que en hindú significa cuerda.La palabra pasó al árabe como jiba y más tarde seconfundió con la palabra árabe jaib debidoprobablemente a que las palabras en árabe seescribían frecuentemente sin vocales y por seriguales las consonantes de ambas jiba y jaib, esdecir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tienerelación alguna con la longitud de la semicuerda yaque significa la abertura en el cuello de una prendade vestir. Pese a ello, los árabes tomaron lacostumbre de designar a la semicuerda por mediode dicha palabra jaib sin sentido, que hacíareferencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo,los maemáticos europeos se familiarizaron con lapalabra árabe referente a semicuerda y tradujeronjaib por la palabra sinus que significa “doblez” o“curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestrapalabra seno. Así pues, originalmente el seno deun ángulo representaba la longitud de lasemicuerda de una circunferencia de un radio uno.En nuestros días, como pronto veremos, cuandohablamos del seno de un ángulo, no hablamos deuna longitud.

Semicuerda

Semicuerda



1º < > 60’1’ < > 60”1º < > 3600”

Observaciones:

aº b’ c” = aº +b’ + c”

2. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCES ( C )

En este sistema, la unidad de medida esel “GRADO

CENTESIMAL” ( g1 ), el cual se define comola

ava400

1 parte de la medida del Angulo de

una vuelta ( g400 )

SUB UNIDADES:

Minuto sexagesimal: m1

Segundo sexagesimal:s1

EQUIVALENCIAS1 circunferencia g400 < > 1 vuelta1 circunferencia < > 4 cuadrantes1 cuadrante < > g100

g1 < > m100

m1 < > S100g1 < > S10000

Observaciones:SmgSmg cbacba

3. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O

INTERNACIONAL ( R )

En este sistema, la unidad de medidaes el “UN RADIAN” (1 rad). Un radiánes la medida del Angulo central en unacircunferencia que genera un arco cuyalongitud es igual que la medida del radiode dicha circunferencia.

Este sistema es el más utilizado en lamatemática, física, ingeniería,astronomía, etc.

r

Br

A

r

EQUIVALENCIAS1 Vuelta <> rad2

1 circunferencia <> 4 cuadrantes

1 cuadrante <> rad2

Para los cálculos se puede considerarcomo valor aproximado de

= 3,14159265....= 3,1416

o también:

NotaEn el Sistema Internacional(S.I), los ángulos se midenen radianes ( rad)

1 rad < > 57º 17’ 44”

1 rad > 1º > g1



7

22 ; 10 ; 23

EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRESSISTEMAS1 VUELTA < > 360º < > g400 < > rad2

180º < > g200 < > rad

De esta relación se deduce:

rad < > 180º

rad < > g200

9º < > g10

RELACION NUMÉRICA ENTRE LOS TRESSISTEMAS

FORMULA DE CONVERSIÓNSe utiliza solo cuando las medidas delángulo estén expresadas en las unidadesprincipales de medición angular, es decirgrados y radianes.

radRCS g º

En la figura se muestra un ángulotrigonométrico positivo “ ” m, tal que susmedidas en los tres sistemas estudiados son

Sº , gC y R rad , los cuales al representarla medida de un mismo ángulo, resultan serequivalentes.

Estos tres valores numéricos verifican lasiguiente relación:

2400360

RCS

.... simplificando:

RCS

200180

Para “S” y “C:

109

CS

RELACION SIMPLIFICADA :

1 )RCS

200180= k

KR

KC

KS

200

180

.... o también

2)RCS

200180= k Dividiendo entre

20, obtendremos:

20

10

9

KR

KC

KS



RELACION DE ORDEN:

radRCS g º

0 RSC

FACTOR DE CONVERSIONMuy usualmente para convertir un ángulo deun sistema a otro se utilizan Factores deConversión (F.D.C), que no son valores queal ser multiplicados por el ángulo dado dancomo resultado el nuevo valor en el sistemadeseado.

A continuación detallamos los factores deconversión:

SISTEMAINICIAL

SISTEMAFINAL

F.D.C

SEXAGESIMAL CENTESIMAL9

10

CENTESIMAL SEXAGESIMAL109

SEXAGESIMAL RADIAL180

CENTESIMAL RADIAL200

RADIAL SEXAGESIMAL

180

RADIAL CENTESIMAL

200

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Convertir: 36° al sistema centesimal.

Resolución:

Observamos que deseamos convertir unángulo del Sistema Sexagesimal alSistema Centesimal.

Entonces nuestro F.D.C será:9

10

Aplicamos: g409

1036

2. Convertir: CentesimalSistemaalrad4

3

Resolución:

Observamos que deseamos convertir unángulo del Sistema Radial al SistemaCentesimal.Entonces nuestro F.D.C será:

200

Aplicamos: g150200

43

3. Sabiendo que:

´48

BArad

Calcular:A B

53

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolución:

Convertimos:.

48sexaggradosarad

RS

180radR

48



´456075,0

)60.(.min75,0

:

xsexaga

sConvertimo

109

CS

Reemplazando:

´453

´453

75,03

75,31

48180

S

S

S

S

S

Entonces:

´48

BArad

453

´´453

ByA

BA

Reemplazando en:

CRpta

BA

:345.53

53

3

4. Hallar “n”:S = 3n + 3C =4n – 2 , si S y C son lo convencional.a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Resolución:

Recordemos:Reemplazando:

CRptan

nn

nn

:8

1836303010

249

33

5. Simplificar:

22

6

SCS

SCCS

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

Resolución:

De la relación simplificada:

kC

kS

10

9

Reemplazando:

CRpta

k

k

k

k

kk

k

kk

kk

:345

218

619

2910

926

910

109

6. Hallar la medida de un ánguloexpresado en radianes, tal que secumpla la siguiente condición:

1820

CRSR

Siendo S,C y R lo convencional.

a) rad8

b) rad5

c) rad10

3

d) rad6

e) rad3

Resolución:




kR

kC

kS

200

180

Reemplazando en la condición:

81

153

1259

18

20020

180

22

k

kk

kk

kkkk

Reemplazamos en R:

ARptaradR

R

kR

:8

81

7. Hallar el ángulo que verifique:

222

70

10

18

20

10

R

R

S

R

C

a) 60º b) 135º c) 72ºd) 18º e) 30º

Resolución:


kR

kC

kS

200

180

Reemplazando:

35

14

701810

70

10

1018

20

2010

70

10

18180

20

10200222

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Como las alternativas están en elSistema Sexagesimal, reemplazamos en“S”

CRptaS

S

kS

:72

3514

180

180

APLICACIONES

1. Expresar cada medida en los sistemasseñalados que faltan:

SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL

135º72g

3 /5rad

18º42g

/18rad

36°g144

2. Convertir 30º18´ a grados sexagesimales



3. Convertir 84º45´36´´ a gradossexagesimales.

4. Convertir 32º18´27´´ a gradossexagesimales

5. Convertir 143º36´45´´ a gradossexagesimales

6. Convertir 10,5125º a grados, minutos ysegundos sexagesimales.




10. Expresar en grados centesimales cadauno de los ángulos indicados:

36 29 85g m s



143 06 74g m s

8 37 6g m s

27 48 7g m s

11. Expresar en grados, minutos ysegundos centesimales lo siguienteángulos:

39,4873g

136,0271g

12,1647g

24,0803g

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Reducir:

º24125

570

rad

radE

g

a) 4 b) 2 c) 3d) 7 e) 1

2. Hallar:

rad

radg

Q

106

340

a) 4 b) 2 c) 3d) 7 e) 1

3. Hallar el valor de la expresión:518 4

12 10 3

25º

rad radrad

E

a) 4 b) 12 c) 3d) 7 e) 11

4. Determine X en :

radx4

33

a) 7 b) 9 c) 14d) 16 e) 21

5. Del gráfico, hallar x



gx

72º rad5

a) 80 b) 100 c) 50d) 20 e) 6

6. Hallar la medida de un ángulo tal quese cumpla:S = 2(n+1)C = 3n-4a) 36° b) 30° c) 18°d) 15° e) 60°

7. Si 24 º 60 ,g

x x calcular

el valor de X.a) 400 b) 200 c) 300d) 700 e) 100

8. Hallar la medida de un ánguloexpresado en radianes, si:

2S - C=16

a)10

b)5

c)10

3

d)6

e)3

9. Hallar la medida del ángulo en el sistemaradial, si cumple:

1456

CS

a)10

b)5

c)

10

3

d)6

e)3

10. Simplificar 6C S

EC S

a) -5 b) +5 y -5 c) 3d) 1 e) 5

NIVEL II

1. Simplificar la expresión:5 4

3

S CP

S C

a) 4 b) 5 c) 3d) 7 e) 1

2. Siendo S y C lo conocido, simplificar:

22

6

SCS

SCCS

a) 4 b) 5 c) 3d) 7 e) 1

3. Simplificar:)(

10

)(2 CS

R

SC

SC

a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

4. Dada la siguiente equivalencia:

'º11 bag Calcular: “ b – a “a) 45 b) 56 c) 49d) 47 e) 46

5. Si: "'32

3cbarad

.

Hallar: b-a-ca) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 12



6. Calcular el valor de:'4º3

21

m

g

P

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 5

7. Los ángulos internos de un cuadriláteroconvexo miden:

yradx

xg

45

2,)º106(,100

Calcular el mayor valor de X de modoque sea obtuso.a) 10 b) 12 c) 50d) 20 e) 6

8. Si: S y C son lo convencional y:

30

562

2

xxC

xxS

Hallar la medida circular del ángulo, sies menor que una vuelta.

a)10

b)5

c)10

3

d)6

e)

3

9. Determinada la medida de un ángulo enradianes, tal que verifique la siguientecondición:

2 2

9

181

SCC S

S C

a)10

b)5

c)10

3

d)6

e)2

10. Halle el ángulo en radianes que cumpla: 2406432 RCS

a)209 b)

23 c)

15

7

d)3

2 e)107

NIVEL III

1. Halle

3

19

8

SC

SC

CS

S

CS

CM

Siendo S, C y R lo convencional para unmismo ángulo:a) 3 b) -3 c) 5d) -5 e) 2

2. Simplificar:gggg 40....642

º60.....º9º6º3

a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5d) 1/6 e) 21

3. Reducir la expresión:

m

mg

b

bb

a

aaE

)2()3(

'

)'3()º2(

a) 245 b) 242 c) 425d) 524 e) NA

4. Siendo S y C lo conocido para unmismo ángulo y además se cumple que:

... 3211 CCCSHallar la medida de dicho ángulo enradianes.a)

20

9 b)15

8 c)15

7

d)20

e)18

5

5. Siendo S , C y R lo conocido y secumple que :



2

2

3 509

210

RSCRSC

Determinar “R”

a)5

4 b)5

3 c)2

d)2

3 e)3

4

6. Se tiene que:C

SCx

2

22

Calcular el valor de :

SxSx

SxSxT

a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10d) 2 e) 1

7. Siendo S y C lo conocido, tal que:CS CS

Calcular: 109 CS

a) 20/9 b) 9/10 c) 3/10d) 2 e) 1

8. Determine la medida radial del ánguloque verifique la igualdad siguiente.

SC19

SC

RS10

C9

SC19

SC

RC9

S10

a)10 b)

5 c)

15

d)20 e)

25

9. Siendo S y C lo conocido, se cumple:CS SCSC

Calcule el valor de la expresión:101 SC

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 20

10. Si S y C son lo conocido para un mismoángulo, hallar su medida ensexagesimales.

222333

320

3027RCSRCS

a) 30º b) 45º c) 60ºd) 53º e) 27º

TAREA DOMICILIARIA

1. Expresa cada ángulo en los sistemasseñalados

SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL

310º

85g

5 /18rad130º

40g

/ 32rad81

2. Calcular :

radE

g

9

370

º

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

2. Cual de los siguientes ángulos es elmayor:

a) g50 b)4

rad c) 45º

d) 180º/4 e) Todos iguales.



3. En un triangulo rectángulo, uno de los

ángulos agudos mide10

3 rad. Hallar el

otro ángulo en el sistema sexagesimal.a) 18º b) 36º c) 54ºd) 72º e) 63º

4. Si se verifica que : "'º64

zyxrad

Calcular el complemento de ( x + y - z)ºa) 15º b) 20º c) 25ºd) 130º e) 85º

5. En un triángulo las medidas de losángulos internos son : x/2 rad , x/6 rad yx/3 rad . Calcular la medida del ánguloque forman las bisectrices de losángulos menores.a) 150º b) 115º c) 135ºd) 120º e) 105º

6. Hallar x si se cumple:

gxx 11057

a) 7 b) 9 c) 3d) 11 e) 5

7. Calcular la medida radial del ángulo queverifique la siguiente relación.

SCCS

7611

a)3

2 b)2

c)3

d)4

e)5

8. Simplificar:C

SC

S

CS

a) 19/9 b) 19/20 c) 20/19d) 1/10 e) 199/90

9. Hallar R si: 825

CRSR

a)2

b)

4

c)5

d)8

e)16

10. Halle la medida radial del ángulo quecumple con la igualdad:

2

16)()(2

2RSCSC

a)209 b)

23 c)

15

7

d)25

6 e)107



SOLUCIONARIO

NIVEL I1.e 2.a 3.b 4.c 5.a 6.c7.c 8.a 9.b 10.b

NIVEL II1.b 2.c 3.c 4.a 5.b 6.e7.b 8.c 9.e 10.b

NIVEL III1.a 2.b 3.c 4.d 5.a 6.b7.a 8.d 9.e 10.e

TAREA DOMICILIARIA1.c 2.e 3.b 4.e 5.c 6.a7.e 8.e 9.a 10.b

Libro trigonometria pdf

Documents

Transcript of Libro trigonometria pdf