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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO APUNTES DE TOPOGRAFIAAPUNTES DE TOPOGRAFIAAPUNTES DE TOPOGRAFIAAPUNTES DE TOPOGRAFIA

PROGRAMA

Unidad Temas Subtemas 1 Generalidades 1.1 Concepto moderno e historia de la

topografía 1.2 División de topografía 1.3 Concepto de levantamiento topográfico y

tipos de levantamiento 1.4 Aplicación de la topografía 1.5 Poligonal y tipos de poligonales 1.6 Errores

2 Planimetría 2.1 Definición 2.2 Medida de distancias. A pasos con cinta

en terreno horizontal e inclinado 2.3 Levantamientos con cinta

2.3.1 Por triangulaciones 2.3.2 Por radiaciones

2.4 Concepto de Rumbo, Azimut y Declinación Magnética

2.5 Generalidades de la brújula y condiciones que debe satisfacer, usos

2.6 Levantamiento con Teodolito y cinta 2.6.1 Descripción del teodolito mecánico

y electrónico 2.6.2 Condiciones que debe satisfacer un

teodolito para un buen funcionamiento 2.6.3 Medida de ángulos simple y por

repeticiones 2.6.4 Métodos de levantamientos 2.6.4.1 Por ángulos 2.6.4.2 Por deflexiones 2.6.4.3 Por conservación de azimut 2.7 Agrimensura 2.7.1 Métodos para el cálculo de la

superficie 2.7.2 Problemas de división de

superficie 2.7.3 Uso y elaboración de software

3 Altimetría 3.1 Nivelación indirecta 3.2 Nivelación directa 3.3 Descripción del nivel y condiciones para

su buen funcionamiento 3.4 Nivelación diferencial 3.5 Nivelación de perfil 3.6 Secciones transversales 3.7 Curvas de nivel 3.8 Estación total, tipos y manejo 3.9 Uso y elaboración de software

4 Taquimetría 4.1 Generalidades 4.2 Coordenadas ecuatoriales y locales 4.3 Tipos, manejo y usos 4.4 Levantamiento y posicionamiento con

GPS 4.5 Uso y elaboración de software

5 Curvas horizontales y verticales

5.1 Introducción y generalidades 5.2 Curvas horizontales simples; sus

elementos, formulas, cálculo y trazo 5.3 Curvas verticales en cresta y columpio;

sus elementos, fórmulas, cálculo y trazo 5.4 Uso y elaboración de software

TOPOGRAFÍA Unidad I

INTRODUCCIÓN Definiciones • Conjunto de técnicas y conocimientos para describir y delinear la superficie de un terreno. • Conjunto de particularidades que presenta un terreno en su configuración superficial • Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de puntos

sobre la superficie de la tierra, por medio de medidas según los 3 elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección y una elevación.

• La topografía es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar la posición de un punto sobre la superficie de la Tierra, tanto en planimetría como en altimetría.

Historia de la topografía

Si nos imaginamos a los primeros hombres caminando sobre la tierra, algo así como 2.000.000 de años atrás, asociaremos inmediatamente a este ser débil, indefenso, luchando por su propia supervivencia contra un clima y un medio totalmente hostil, luchando contra el resto de los animales e incluso contra sus primos antropoides. Esta victoria lograda por los primeros hombres, es lo que algunos historiadores han dado en llamar "el auténtico milagro de la creación", y ello fue posible a partir de la única ventaja que poseía el hombre sobre el resto de los seres vivientes, el ingenio, la habilidad para fabricar útiles, y la posibilidad de usar las manos. Debieron de pasar muchos milenios para que el hombre abandonara su etapa de animal predador, para dar el gran salto hacia la historia. Desde la primitiva economía destructiva hacia la economía de producción y conservación.

Al producirse los cambios climáticos del final del cuaternario, los grandes rebaños y por consiguiente el hombre, es empujado hacia las cuencas de los grandes ríos y allí comienza a practicar los primeros cultivos y la domesticación de animales. Esta nueva forma de vida se conoce con el nombre de economía neolítica. La actividad agrícola vincula estrechamente al hombre con la tierra, el hábitat se transforma, el refugio temporal cede paso al poblado estable, la economía de producción exige una nueva industria, la de herramientas para el laboreo de las tierras y las de las armas no de caza, sino de guerra, pues hay que defender los frutos. Con la revolución urbana, cambia la religión, el arte, la cultura. Cambia el hombre. Esta etapa se ubica entre 9000 y 6000 años a.c.. En sus orígenes el poblado está formado por una inmensa aglomeración de viviendas, pegadas unas a otras formando un bloque inexpugnable, plantas rectangulares, techos planos con la entrada por la azotea.

Posteriormente, en la cultura megalítica, le incorporación de la industria metalúrgica cambia fundamentalmente el diseño urbano. Las casas son rectangulares, distribuidas alrededor del palacio y los templos, generalmente protegidas por robustas murallas, con torres de defensas tronco-cónicas. Aparecen en este período las construcciones en círculo y los techos en bóvedas. Incluso existen poblados como el de Alcaydús, en Menorca, construidos por múltiples recintos circulares tangentes entre sí.

La Mesopotamia fue cuna de un conjunto de civilizaciones (Sumeria - Acadia -Babilonia- Asiria y Caldea). La primera cultura urbana conocida, es la de los Súmerios, llamando poderosamente la atención de los historiadores los conocimientos que poseían en matemáticas y astronomía, y las aplicaciones de la geometría práctica (topografía) en la construcción de obras de arquitectura y canales de riego.

Es de destacar las construcciones encontradas en las ciudades-estados de Lagash, Umma, Nippur y Uruk, edificadas 4000 años a.c., en ellas se construyeron los primeros diques que se conocen y se lograron sistemas de riego casi perfectos. La arquitectura era monumental y religiosa. En Uruk, por ejemplo, se encontró un templo de 55m x 22m y paralelo a éste, otro de 83m. x 253m.. La perfecta simetría de sus naves, pasillos, columnas, y el manejo de planos horizontales en distinto niveles, hace suponer el empleo de algún primitivo y rudimentario instrumento de medición.

En Babilonia, el rey Nabucodonosor fue célebre más que por sus conquistas, por la construcción

de la Ciudad, en la cual levantó numerosos palacios, templos y puentes, una gran muralla de 25m. de espesor que rodeaba toda la ciudad. Llama la atención los jardines colgantes y la disposición de las manzanas, pues las calles eran rectas, se cortaban perpendicularmente. El sistema numérico era sexagesimal (el círculo graduado tenía 360°).

Los Asirios asombraron con sus construcciones sobre terrazas con escaleras, rampas, desniveles y planos inclinados.

Otros pueblos vecinos y con una cultura urbana milenaria, fueron los Persas, de quienes podemos mencionar la construcción de la ciudad de Persépolis, en la cual se observan varios ejes de simetría rigurosamente perpendiculares entre sí. También es de destacar el templo mandado a construir por Salomón, rey hebreo, 950 a.C., que tenía 450m x 300m proyectado por Arquitectos y replanteado por Geómetras Fenicios traídos expresamente para ello.

Merece una especial atención la cultura egipcia, dice el historiador J. Vercoutter: ...al neolítico se remontan los primeros esfuerzos del acondicionamiento del valle del Nilo por el hombre... el cultivo de las tierras del valle sólo podía hacerse bajo una doble condición: había que proceder a desecar los terrenos cenagosos de los bordes del lecho del río una vez terminada la crecida, y, a continuación había que irrigar los campos. Se creó un sistema de drenaje, con ataguías de retención, diques y azudes niveladores y canales de riego.

Por otra parte, otros historiadores, en este caso Trevisand y Sinland dicen en su historia antigua; ...si reflexionamos acerca de las monumentales tumbas y de los grandiosos templos y palacios, que los egipcios levantaron, llegamos a la conclusión que sus conocimientos de las matemáticas y de la geometría práctica debían ser considerables.FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

Había tres tipos de tumbas: la mastaba, la pirámide y el hipogeo. Para dar una idea de dimensiones, la gran pirámide mide 147m de altura y tiene 227rn de lado, lo que significa 2.500.000 m3 de volumen (2.500 a.C.!).

Falta agregar que en la arquitectura religiosa se destacaban los grandes templos y los templos en caverna, excavados dentro de la roca. Y finalmente, las estatuas monumentales y los colosos.

Aparentemente, desde los comienzos de la historia del hombre, éste ha estado ocupado en librar batallas, primero por la subsistencia, luego para dominar y esclavizar otros pueblos, para fundar imperios, para establecer colonias o bien, en guerras de independencia. Sin embargo, paralelamente, otros hombres, iban desarrollando el potencial espiritual a través del arte, la. arquitectura y posteriormente la literatura.

Para poder construir esas obras de INGENIO, por él imaginadas, necesitó elaborar tratados de geometría y matemáticas. Así nacieron y fueron pasando de generación en generación, primero en forma oral y luego escritas. Así se plasmaron en papiros o tablillas cuneiformes, que celosamente eran custodiadas por los sacerdotes, en todas las culturas y en todas las épocas. Por ejemplo, los papiros matemáticos (Papiros Rhind y de Moscú), escritos bajo el imperio de la V o VI dinastía, 2350-2000 a.C., son según los historiadores una verdadera enciclopedia.

Podemos decir entonces, sin temor a equivocarnos, que las Mediciones Topográficas aplicadas a las obras de Ingeniería y Arquitectura, son tan antiguas como lo es la evolución cultural del hombre, surgió mucho antes que otras ciencias y era considerada tan sagrada como la medicina o la religión.

Clasificación de las Obras de Ingeniería desde un punto de vista Geométrico

Obras de Desarrollo Lineal

• Vías de Comunicación : Caminos rurales - Carreteras - Autopistas - Túneles viales - Vías férreas - Puentes

• Hidráulicas : Canales - Túneles - Acueductos - Sistemas de riego - Colectoras pluviales - Drenaje - Oleoductos - Gasoductos - Poliductos

• Eléctricas : Redes de baja tensión - Líneas de media y alta tensión - Torres de microondas

Obras de Desarrollo Superficial

• Ingeniería : Presas - Centrales de Energía ( térmicas-hidráulicas) - Plantas de potabilización y depuración - Estaciones transformadoras - Fábricas - Silos - Puertos - Aeropuertos

• Arquitectura : Hospitales - Estadios Complejos deportivos - Ciudades Villas turísticas, residenciales - Barrios - Escuelas - Cines - Edificios - Torres - Hoteles - Aeropuertos

• Industriales y de montaje o instalación : Turbinas - Generadores - Reactores - Compuertas - Máquinas - Cubiertas metálicas

Levantamiento Topográfico: Determinación de la posición, tanto en planta como en elevación, de puntos elegidos en el terreno que son necesarios para el dibujo de las líneas de nivel y para la construcción del plano topográfico. Levantamientos Topográficos: 1. Levantamientos de terrenos en general Marcar linderos o localizarlos Medir y dividir superficies Ubicar terrenos en planos Proyectar obras en construcción 2. Vías de comunicación Construir caminos, Vías férreas, Canales, Líneas de transmisión, Acueductos. 3. Minas Fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con obras superficiales. 4. Catastrales Se llevan a cabo en ciudades para fijar linderos o estudiar obras urbanas 5. Aéreos Por medio de fotografías ( Fotogrametría ) POLIGONALES Y TIPOS DE POLIGONALES. POLÍGONAL (Es la sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos a lo largo de una ruta). 1. Polígonal abierta 2. Polígonal cerrada También se designan de acuerdo con el objeto del levantamiento:

- Preliminar ó Definitiva

O de acuerdo al método a) Rumbos b) Azimut c) Deflexiones d) Angulos internos

e) Angulos externos ERRORES Los errores son: • Personales.- Deficiencias del Topógrafo. • Instrumentales.- Los instrumentos no se fabrican a prueba de errores. • Naturales.- lluvia, viento, variaciones magnéticas. " No hay nadie cuyos sentidos alcancen tal perfección para medir cualquier cantidad exactamente y no hay instrumentos perfectos para hacer las mediciones"

Errores sistemáticos y accidentales Sistemático o acumulativo.- Es aquel que para condiciones constantes permanece igual ( signo y magnitud). - Ejemplo: Una cinta corta cada vez que se utilice dará como resultado el mismo error, si

se usa 10 veces 10 veces se acumulará el error. Accidental o compensativo.- Es aquel cuya magnitud y dirección son justamente un accidente y sale del control del topógrafo.

Unidad II

PLANIMETRIA

2.1 Definición

1. Parte de la topografía que estudia los instrumentos y métodos para proyectar sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más importantes del terreno y construir de esta manera una figura similar al mismo

2. Parte de la topografía que estudia los procedimientos para fijar las posiciones de puntos, proyectados en un plano horizontal, sin importar sus elevaciones

3. Representación en un plano de parte de la tierra 2.2 Medida de distancias: En topografía se entiende por distancia entre dos puntos la distancia horizontal, el método más común es determinar la distancia directamente mediante la utilización de una cinta.

a) Medición de distancia a pasos b) Medición de distancia con cinta (cadenamientos)

2.3 Levantamientos con cinta. Las cuatro áreas principales en las cuales el Topógrafo puede necesitar la aplicación de correcciones en la medición son : 1.- Longitud errónea de la cinta : Recién fabricadas las cintas de tela o de acero están muy cerca de sus longitudes deseadas, pero con el uso se enroscan, desgastan y generalmente son mal reparadas después de romperse. ES NECESARIO CHECAR CONTRA UNA MEDIDA ESTANDARD . 2.- Variaciones de temperatura. Los cambios de temperatura originan variaciones en la cinta, un cambio de 15º C causan una falla de +/- 1cm.. 3.- Catenaria. Pandeo en una curva conocida como catenaria. ♦ Tensionar cuidando que no se exceda de 4kg por cada 20.00 mts. ♦ Tomar medidas cortas. Empleo de la cinta en medidas de distancia : ♦ Terreno horizontal Cinta paralela al terreno Usar trompos

♦ Terreno inclinado pendiente constante Si se pone la cinta paralela al terreno deberá calcularse el ángulo para después calculara la proyección. Medirse por tramos poniendo la cinta horizontal a ojo ♦ Terreno Irregular

desnivel

distancia horizontal

terreno natural

2.3.1 Levantamientos con cinta por triangulaciones. Cálculo de ángulos internos de un triángulo con base en fórmulas trigonometrícas

Formulas: ½

Sen A/2= [ (S-b) (S-c)/bc ] ½

Cos A/2= [ S (S-a)/bc ] ½

Tan A/2= [ (S-b) (S-c)/ S (S-a) ]

S = a+b+c / 2

a

3.92m

B

C

c10.11m

b

7.40m

A

S = 10.715

S – a = 6.795 S – b = 3.315 S – c = 0.605

(a) (b) = 29.008 (a) (c) = 39.631

(b) (c) = 74.814 A

S e n2

(S -b ) (S -c )

b c

0.02680748274.814

(3.315)(0.605)

2A

Sen

;A

0.163729907

29.42° A = 18.85°

B = 37.58°18.78°2

0.322073432

B;

BSen

2

(6.795)(0.605)

39.6310.103731296

C = 123 .58°61 .79 °2

0 .88120632

C;

CSen

2

(6 .795)(3 .315)

29 .0080 .776524579

Ejemplo aplicando ley de cosenos

9 .42 °2A

;

ACos

2 74 .814

(10 .715 ) (6 .795 )

C osA2

A = 18 .85 °

0 .0 .973192517

S (S - a )

b c

Ejemplo aplicando ley de Tangentes

(S - b ) (S - c )

S (S - a )

; A = 18 .85 °

0 .027545919

ATan

2

2 9 .42 °A

ATan

2

(3 .315 ) (0 .605 )

(10 .715 ) (6 .795 )

2.3.1 Levantamientos con cinta por radiaciones. 2.4 Concepto de: • Rumbo: Es el ángulo que forma una línea con eje norte sur contado de 0° a 90° a partir del norte o a

partir del sur, hacia el este o hacia el oeste

• Azimut: Es el ángulo que forma una línea con la dirección Norte-Sur, medido de 0° a 360° a partir del

Norte, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj

0°

90°

180°

360°

270°

• Declinación magnética: Es el ángulo formado entre la dirección Norte-Astronómica y la Norte-

Magnética. Cada lugar de la tierra tiene su declinación que puede ser hacia el este o hacia el oeste, dependiendo de hacia donde se desvíe la punta norte de la aguja magnética.

Si la declinación es Este : Rumbo magnéticoº = Rumbo geográficoº -

declinaciónº Si la declinación es Oeste: Rumbo magnéticoº = Rumbo geográficoº +

declinaciónº

CALCULADORA DE ESTIMACIÓN DEL VALOR DE LA DECLINACIÓN MAGNÉTICA

Implementación del modelo IGRF-10 de la IAGA (International Association of Geomagnetism and Aeronomy)

Latitud: (WGS84)

Grados: 17

Minutos 33

Segundos 10

Norte Sur

Longitud: (WGS84)

Grados: 99

Minutos 30

Segundos 03

Oeste Este

Fecha:

Día: 25

Mes: Enero

Año: 2006

(el año tiene que estar entre 1900 y 2010)

El valor estimado para la declinación magnética en la posición latitud 17° 33' 10" Norte, longitud 99° 30' 03" Oeste y para la fecha 25-1-2006 es:

6° 10' Este con una tasa estimada de variación anual de 0° 6' hacia el Oeste.









2.5 La Brújula.

La brújula es un instrumento que sirve para determinar cualquier dirección de la superficie terrestre por medio de una aguja imantada que siempre marca los polos magnéticos Norte y Sur . Únicamente es inútil en las zonas polares Norte y Sur, debido a la convergencia de la líneas de fuerza del campo magnético terrestre

♦ Es un aparato manual ♦ La letra E y W de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja

respecto a la caja. ♦ Las pínulas sirven para dirigir la visual a la línea cuyo rumbo se va a medir. ♦ Con el espejo se puede ver la aguja y el nivel ♦ Las brújulas para trabajar en el hemisferio norte traen un contrapeso en la punta sur para

contrarrestar la atracción magnética. ♦ Para leer el rumbo directo de una línea se dirige el norte de la caja al otro extremo de la

línea y se lee el rumbo con la punta norte de la aguja.

2.6 Levantamiento con Teodolito y cinta 2.6.1. Descripción del teodolito mecánico y electrónico:

MECÁNICO

TEODOLITO ELECTRÓNICO

Partes del instrumento

1. Manija

16. Ranura de compás tubular

2. Cubierta derecha 17. Botón de seguro de batería 3. Display o pantalla 18. Batería 4. Tecla de encendido 19. Cubierta izquierda 5. Teclado 20. Abrazadera horizontal 6. Abrazadera de tres brechas 21. Tornillo de ajuste fino horizontal 7. Tornillo de la base niveladora 22. Conector RS232 8. Placa base 23. Nivel de placa 9. Tornillos de ajuste de nivel circular 24. Tornillo de ajuste de nivel de placa 10. Nivel circular 25. Abrazadera vertical 11. Ocular de plomada óptica 26. Tornillo de ajuste fino vertical 12. Anillo de enfoque de plomada

óptica 27. Anillo de enfoque de los hilos del

telescopio 13. Conector de EDM 28. Protector 14. Lentes del objetivo 29. Anillo de enfoque del telescopio 15. Tornillo de seguridad de manija 30. Mirilla de colimación

2.6.2. Condiciones que debe satisfacer un teodolito para un buen funcionamiento

A. Las directrices de los niveles del plato horizontal deben ser perpendiculares al eje vertical o azimutal

B. Los hilos de la retícula deben ser perpendiculares a los ejes respectivos C. No debe existir error de paralaje en el anteojo.

2.6.3. Medida de ángulos simple y por repeticiones Simple.- Se ejecuta marcando el cero de la graduación para ver al extremo de una línea, girando después para ver la otra línea y leyendo en el vernier directamente Por repeticiones.- Consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando las lecturas , es decir, que el punto que primero se visó se vuelve a visar sumando las lecturas y dividiéndose el resultado de dicha suma entre el número de lecturas, con lo que se obtiene un promedio que será el resultado final. Verniers.- Los verniers son los elementos en los que se leen los valores de los ángulos horizontales o verticales. Son de diferentes tipos, aunque es conveniente anotar que los teodolitos electrónicos muestran los valores en una pantalla por lo que ya no cuentan con verniers.

2.6.4. Métodos de levantamiento 2.6.4. 1. Por ángulos

a) Internos

REGISTRO DE CAMPO DE UNA POLIGONAL DE 6 VÉRTICES

LEVANTADA CON TRÁNSITO Y CINTA MÉTODO: Ángulos internos

�� Ángulos

�� Vértices

Estación P.O.P.O.P.O.P.O. DistanciaDistanciaDistanciaDistancia ∠∠∠∠ Horiz. Horiz. Horiz. Horiz. R.M.O.R.M.O.R.M.O.R.M.O. 1 6

2

54.62

118° 44’ N15° 15’W

2 1 3

42.80

104° 05’

3 2 4

41.10

95° 42’

4 3 5

37.73

211° 26’

5 4 6

51.20

66° 33’

6 5 1

45.83

123° 30’

b) Externos

REGISTRO DE CAMPO DE UNA POLIGONAL DE 6 VÉRTICES

LEVANTADA CON TRÁNSITO Y CINTA

MÉTODO: Ángulos externos

�� Ángulos

�� Vértices

Estación P.O.P.O.P.O.P.O. DistanciaDistanciaDistanciaDistancia ∠∠∠∠ Horiz. Horiz. Horiz. Horiz. R.M.O.R.M.O.R.M.O.R.M.O.

1 6

2

186.31

269° 39’

S 40°16’ E

2 1

3

318.89

220° 36’

3 2

4

204.57

321° 25’

4 3

5

107.23

87° 47’

5 4

6

246.61

293° 59’

6 5

1

208.06

246° 34’

c) Por deflexiones

0+000.00

0+100.00

0+200.00

0+30

0.00

0+40

0.00

0+500.00

0+600.00

0+700.00

0+800.00

0+900.00

1+000.00

1+100.00

1+200.00

1+300.00

1+40

0.00

1+50

0.00

1+600.00

1+700.00

1+760.00

89°12'

73°21'

113°35'

71°44'

64°13'

46°58'

74°13'

Poligonal abierta por el método de Deflexiones

D

D

D

D

I

I

I

b

b

a

h

c

b

2.6 Agrimensura AGRIMENSURA (Del latín ager-campo y mensura-medida)

Es la parte de la topografía que se ocupa de la medida de superficies de terreno.

MÉTODOS PARA DETERMINAR SUPERFICIES Para la aplicación de la mayoría de los procesos para obtener superficies de terrenos es necesario contar con un plano de la figura para tomar datos con base a la escala, dicha escala debe ser lo mas grande posible para poder llevar a cabo las mediciones con suficiente precisión.

Métodos Gráfico /Analíticos

1.-El procedimiento más elemental consiste en dividir el polígono en figuras geométricas cuya superficie pueda calcularse con facilidad

Área = a b Perímetro = 2 a + 2 b

Área = b h = ab sen ø Perímetro = 2 a + 2 b

Área = b h = ½ ab sen ø

= √ s(s-a)(s-b)(s-c)

Perímetro = a + b + c

a

ø

ø h a

2.- Determinando gráficamente las coordenadas de los vértices con relación a un sistema de ejes elegidos arbitrariamente o bien como producto de una planilla, efectuándose después el cálculo con base en la aplicación de las fórmulas para la obtención de la superficie con base a las coordenadas. (ejemplo para el caso de una polígonal de 5 vértices)

C o o r d e n a d a s Productos Cruzados Vértices ↘ (+)↘ (+)↘ (+)↘ (+) ↗ (↗ (↗ (↗ (----))))

1 X1 ↘↗↘↗↘↗↘↗ Y1 X2Y1

2 X2 ↘↗↘↗↘↗↘↗ Y2 X1Y2 X3Y2

3 X3 ↘↗↘↗↘↗↘↗ Y3 X2Y3 X4Y3

4 X4 ↘↗↘↗↘↗↘↗ Y4 X3Y4 X5Y4

5 X5 ↘↗↘↗↘↗↘↗ Y5 X4Y5 XIY5 1 X1

↗↗↗↗ Y1 X5Y1

∑ prod ↘↘↘↘ ∑ prod ↗↗↗↗

S= ½ [ ∑ prod ↘ ↘ ↘ ↘ ---- ∑ prod ↗↗↗↗ ]

Ejemplo.- Determinar el área en m² de una Polígonal cuyos vértices tienen las coordenadas:

Vértice Coordenadas 1 500.00,500.00 2 354.25,394.10 3 409.92,222.75 4 590.08,222.75 5 645.75,394.10

C o o r d e n a d a s Productos Cruzados

Vértices ↘ (+)↘ (+)↘ (+)↘ (+) ↗ (↗ (↗ (↗ (----)))) 1 500.00 ↘↗↘↗↘↗↘↗ 500.00 177,125.00

2 354.25 ↘↗↘↗↘↗↘↗ 394.10 197,050.00 161,549.47

3 409.92 ↘↗↘↗↘↗↘↗ 222.75 78,909.19 131,440.32

4 590.08 ↘↗↘↗↘↗↘↗ 222.75 91,309.68 143,840.81

5 645.75 ↘↗↘↗↘↗↘↗ 394.10 232,550.53 197,050.00

1 500.00 ↗↗↗↗ 500.00 322,875.00

∑ prod ↘↘↘↘

922,694.40922,694.40922,694.40922,694.40

∑ prod ↗↗↗↗

811,005.60811,005.60811,005.60811,005.60

S = ½ [ ∑ prod ↘ - ∑ prod ↗ ]

S = ½ [922,694.40 - 811,005.60]

S = ½ [ 111,688.80 ] = 55,844.40 m²

Métodos Mecánicos

Las superficies se pueden determinar mecánicamente mediante la utilización de un planímetro, que es un instrumento mediante el que con la ayuda de un punzón o puntería se va siguiendo el perímetro del polígono en medición, transmitiéndose este movimiento a un tambor giratorio el cual registra el número de revoluciones recorridas. Existen varios tipos de planímetros:

• Polar • Rodante • Digital

Este es un método muy útil cuando las superficies que se desean conocer están limitadas por líneas irregulares. Generalmente el error que se puede obtener es del 1% y en la medición de figuras grandes este puede llegar a ser de entre 0.1% a 0.2%.

PLANÍMETRO DIGITAL

Componentes:

Paso 1.- Colocar el dibujo de la superficie a medir en un lugar plano y horizontal. Ubicar la puntería aproximadamente en el centro del dibujo. Enseguida colocar el rodillo en una posición tal que mantenga un ángulo de aproximadamente 90° con respecto al cuerpo del dibujo

Se deberán trazar los límites del dibujo con el lente amplificador de la puntería 2 o 3 veces, esto con la finalidad de comprobar que toda la superficie puede ser cubierta con facilidad, si es necesario se deberá ajustar la posición del rodillo a fin de obtener un movimiento ligero y cómodo.

Rodillo

Conector para el cargador

Brazo del trazador

Botones de función

Pantalla Puntería

Paso 2.- Después de haber ubicado el planímetro en el lugar más conveniente para la medición se

deberá encender pulsando la tecla ON. Acto seguido se deberán definir las unidades en las que se manejará la medición, para ello

se utilizan las teclas Y

Selecciona el sistema métrico en que se efectuará la medición (mov. horizontal) Selecciona la unidad de medida de cada sistema métrico (mov. vertical)

Km² acre m² ft² Cm² in² PC PC Se sugiere seleccionar: Sistema Métrico Decimal m²

UNIT 1 UNIT 2

UNIT 1

UNIT 2

Sistema Métrico Decimal Sistema Inglés Sistema Asiático

UNIT 1

UNIT 2

Paso 3.- Coloque una marca en la parte externa de la figura por medir (de ser posible en cerca de centro por el lado izquierdo, como se aprecia en la figura siguiente) para usarlo como punto de inicio dela medición.

Ejemplo de la medición de una figura a escala 1:500

OPERACIÓN Lectura en la pantalla

m²

500.00

Se introduce la escala 1:500 Mediante el uso de los botones numéricos

m²

SCALE 0.

Se complementa el proceso de introducción de la escala

m²

SCALE 250000.

Conclusión del registro de la escala (500² = 250,000)

m²

SCALE 0.

El planímetro está listo para iniciar la medición

Al presionar la tecla la emisión de un sonido permitirá comprobar que todo está listo para proceder a la medición mediante un recorrido con la puntería en sentido de las manecillas del reloj, alrededor de la figura (sin olvidar el punto de inicio). Una vez finalizado el recorrido tendremos en la pantalla el valor de la superficie del terreno.

5 0 0

SCALE

R - S

START

START

Unidad III ALTIMETRÍA Se designa así al conjunto de trabajos que suministran los elementos para conocer las alturas y forma de terreno en el sentido vertical. Todas las alturas de un trabajo de topografía están relacionadas a un plano común de referencia. Dicho plano es una superficie plana imaginaria cuyos puntos se asumen con una elevación o altura de cero. Se denomina COTA de un punto determinado de la superficie terrestre a la distancia vertical que existe desde un plano de comparación a dicho punto. Comúnmente se usa como plano de comparación al del nivel medio del mar, que se establece por medio de un buen número de observaciones. Se conoce como BANCO DE NIVEL (BN) a un punto fijo, de carácter más o menos permanente cuya elevación con respecto a algún otro punto es conocida. Se usa como punto de partida para trabajos de nivelación o como punto de comprobación de cierre. Los BANCOS DE NIVEL se emplean como puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los puntos de terreno. Se establecen sobre roca fija, troncos de árboles, mojoneras u otros sitios notables e invariables y también por medio de monumentos de concreto con una varilla que define el punto exacto. La elevación de un B.N. puede referirse al nivel medio del mar o asumirse convencionalmente dándosele en este caso un valor de cero o de cien. MÉTODOS DE NIVELACIÓN Existen varios métodos que han surgido de las necesidades de los trabajos a ejecutar, pero los básicos son los siguientes: 3.1 Nivelación Directa o Topográfica.- Es la que se realiza por medio de los aparatos llamados niveles y se llama directa porque al mismo tiempo que se va ejecutando vamos conociendo los desniveles del terreno. En los trabajos de topografía se emplean varias clases de niveles: Niveles de albañil: de regla, de plomada y de manguera Niveles fijos o topográficos Nivel de mano 3.2 Nivelación Indirecta Trigonométrica Nivelación Física o Barométrica 3.2.1 Nivelación Trigonométrica.- Tiene por objeto determinar la diferencia de alturas entre dos puntos, midiendo la distancia horizontal o inclinada que los separa y el ángulo vertical que forma la línea que les une con el plano horizontal que pasa por el punto donde se hace la observación. Ordinariamente en lo que a topografía se refiere, la nivelación trigonométrica proporciona un medio rápido de determinar los desniveles y las cotas de los puntos en terreno quebrado dr = Distancia real entre A y B ; dh = Distancia horizontal entre A y B; h = Desnivel entre A y B

αααα = Ángulo vertical o de inclinación del terreno

A

B

C

h

dr

dh

90° ∝ ┌

h = dr (sen α) ó h = dh (tan α) 3.2.2 Nivelación Física o Barométrica.- Es la que se lleva a cabo por medio del uso del barómetro. Como la presión en la atmósfera de la Tierra varía inversamente con la altura, puede emplearse el barómetro para hacer observaciones de diferencias de elevación. La nivelación barométrica se emplea principalmente en los reconocimientos y en los trabajos de exploración, cuando las diferencias de elevación son grandes.

“A diez metros de elevación corresponde aproximadamente una disminución de un milímetro en la columna barométrica “.

Barómetros.- Son instrumentos utilizados para medir la presión atmosférica y determinar gracias a ella la altura a que se halla el observador sobre el nivel del mar. Los barómetros que se utilizan actualmente pertenecen a dos tipos:

a) Los de mercurio b) Los metálicos o aneroide

3.3 Descripción del nivel fijo y condiciones para su buen funcionamiento Se llaman niveles fijos o montados porque se fijan a un Tripié, constan esencialmente de un anteojo y un nivel de burbuja que van unidos a una barra metálica, la cual puede girar alrededor de un eje que se coloca en posición vertical por medio de tornillos niveladores. El nivel de burbuja o nivel de aire es un tubo de cristal herméticamente cerrado que contiene éter, alcohol o una mezcla de los dos en cantidad suficiente para llenarlo casi por completo exceptuando un pequeño espacio que forma la burbuja de aire que indica la horizontalidad del nivel. Los niveles fijos tienen, generalmente, un tornillo de presión (general) y otro tangencial. El primero para asegurar el movimiento del anteojo y el segundo o tangencial para los pequeños movimientos del mismo. La instalación o colocación del nivel fijo es fácil porque se hace en el lugar que convenga al operador y no sobre un determinado punto, razón por la cual las patas de los triples de los nivele generalmente no son ajustables. Nivel de mano.- Pertenece a los aparatos empleados para la nivelación directa topográfica ya que su uso se ajusta en todo a la técnica del nivel fijo. El nivel de mano permite, como todo nivel, dirigir visuales horizontales y está formado por un tubo que lleva en su parte superior un nivel de burbuja. El tubo tiene una ventana en su o parte superior y mediante un espejo colocado con una inclinación de 45° con respecto al eje de figura del anteojo, se puede ver la posición que guarda la burbuja. El nivel de mano no tiene ningún poder amplificador, pero es de gran utilidad para trabajos que no requieren gran exactitud. 3.4 Nivelación diferencial

Tiene por objeto determinar la diferencia de nivel entre 2 puntos. Distancia corta.- Cuando hay un lugar donde se puede poner el aparato de modo que puedan verse desde él los dos estadales colocados en sus respectivos puntos.

Distancia larga.- Cuando los puntos estén muy distantes uno del otro y con obstáculos intermedios, el desnivel se obtiene repitiendo la operación cuantas veces sea necesario, utilizando puntos intermedios llamados puntos de liga (PL). Registro:

P.O. Lectura atrás Lectura adelante Σ atrás Σ adelante

Desnivel = | Σ atrás - Σ adelante |

Método de comprobación: Para asegurarse de realizar un trabajo correcto puede llevarse a cabo lo siguiente:

a) Nivelación de ida y vuelta • Por los mismos puntos • Por puntos diferentes b) Nivelación por doble punto de liga c) Nivelación por doble altura de aparato

Independientemente del método como se obtienen dos o más valores para el desnivel total, el valor más probable será la media aritmética de ellos. 3.5 Nivelación de perfil Tiene por objeto determinar las cotas de puntos a distancias conocidas sobre un trazo, para obtener el perfil de ese trazo. El trazo sobre el terreno y las distancias entre los puntos se definen previamente. Registro de campo: Una vez calculadas las cotas de todos los puntos y conocidas las distancias horizontales de punto a punto, se dibuja el perfil, generalmente en papel milimétrico. En dicho dibujo hay que representar dos clases de distancias: las horizontales, de punto a punto; y las verticales contadas desde el plano de comparación a las cotas dadas.

P.O. + Cota Aparato

Lecturas ( − ) BN y PL

Puntos ( − )

Cotas

Las escalas para representar estas distancias deben ser diferentes. Debe ser mucho menor la horizontal que la vertical para poder apreciar la diferencia de alturas entre los puntos del terreno. Generalmente la escala vertical es diez veces mayor que la horizontal. Ejem: Esc Hor = 1:1000 Esc Vert = 1:100

3.6 Secciones Transversales Son como su nombre lo indica secciones transversales a un polígono base con la finalidad de conocer las características de un área determinada del terreno, mediante el levantamiento de un pequeño perfil. Sus usos principales son :

• En vías de comunicación.- Para obtener detalles de la franja de terreno en la que se desplantará la subrasante.

• En configuración de terrenos. Generalmente las secciones transversales se obtienen mediante el uso del nivel de mano, sin embargo si el área de estudio es muy grande se puede emplear el nivel fijo. El punto de partida para obtener cada sección es un polígono cuya cota se haya determinado mediante una nivelación de perfil. En estos perfiles transversales no se miden distancias para fijar puntos sobre el trazo y determinar después sus cotas, sino que se localizan sobre la línea que va a seguir la sección a ambos lados de la Polígonal, empezando con los puntos de cota cerrada inmediatos y después se prosigue buscando los siguientes puntos de cota cerrada y midiendo las distancias de uno a otro, con lo que se obtienen las distancias que se tendrán que dibujar después para fijar los puntos de cota cerrada por donde pasaran las curvas de nivel. La dirección en la que se avanza a partir de la Polígonal puede determinarse parándose en el punto donde se va a seccionar con los brazos abiertos según las líneas de la Polígonal, tomándose una referencia lejana para mantenerse alineado durante todo el proceso. Cuando la sección no sea perpendicular a la Polígonal el ángulo que formen deberá medirse con brújula. Como máximo deberá cubrirse mediante este método una faja de 200 m. de ancho. EJEMPLO._ Registro de campo:

2.55 3.20 4.37 4.83 176 175 174 173 4.67 177

1+080.00

172.20

1.80 2.0 3.30 2.75 172 171 170 169 4.55 4.05 1.47 169 170 171

3.13 4.98 5.90 6.12 177 178 179 180

1+100.00 176.44

1.45 2.10 4.05 3.10 177 178 179 180 5.67 5.89 181 182

El dibujo de las secciones transversales se efectúa en papel milimétrico a una sola escala.

SECCIONES TRANSVERSALES

1+080.00cota 172.20

174

2.55

20.00m

4.67 4.37

I

3.20 4.83

173

2.43

177

176

2.43

2.43

175

2.43

2.23

2.43

169

170

1.80 2.0 3.30

D

2.75

169

4.55

172

171

2.43

2.43

1.43

170

20.00m

4.05 1.47

0.43

0.43 171

1.63

1.43

altura

de

ojo

3.6 Curvas de nivel Son líneas que representan al terreno con todas sus formas y accidentes tanto en el plano horizontal como el vertical, se utilizan para representaren planta y en elevación , al mismo tiempo la forma o configuración del terreno. Características de las curvas de nivel

A. Toda curva se cierra sobre si misma, ya sea dentro de la zona de estudio o fuera

de ella.

B. Una curva de nivel no puede dividirse o ramificarse.

C. No se pueden fundir dos o mas curvas de nivel en una sola. Si en algún caso se

aprecian unidas, la realidad es que están superpuestas una sobre otra pero cada

cual en su nivel

D. Si en algún lugar se cruzan, lo que no es muy común, indicaran una cueva o una

saliente en volado

E. En una zona de pendiente uniforme las curvas de nivel quedarán equidistantes

F. Si las curvas están muy separadas será debido a que existe en el terreno en

estudio pendiente suave, por el contrario cuando están muy cercanas indican que

la pendiente es fuerte y si quedan superpuestas indicarán un corte vertical ”a pico”

G. Una serie de curvas cerradas concéntricas, indicará un promontorio o una

oquedad, según las curvas vayan creciendo hacia el centro o decreciendo,

respectivamente.

100

100

100

100

95

95

95 95

9590

Ejemplo de una configuración

SE LLEVARÁN A CABO LAS SIGUIENTES PRÁCTICAS: 1) Nivelación diferencial con manguera 2) Nivelación diferencial con Nivel Fijo 3) Nivelación de perfil 4) Secciones Transversales

Unidad IV TAQUIMETRÍA (Estadia)

4.1 Generalidades La Taquimetría (del griego taquis-rápido, metrón-medida) comprende los procedimientos topográficos empleados para determinar a la vez, en posición y en altura los puntos de terreno, ya que hace simultáneos los levantamientos planimétrico y altimétrico. La medición de las distancias se hace indirectamente, empleándose para su evaluación estadia y telémetro, que responden a determinados principios físicos y matemáticos. La estadia da la medida de la distancia entre la estación y el punto observado, con la condición de que este último tenga una magnitud conocida, en tanto que el telémetro resuelve el mismo problema sin necesidad de conocer la magnitud del objeto visado. Estadia (del griego stadia, unidad de longitud que se usó para medir distancias en competencias de atletismo) es un procedimiento empleado para la medida indirecta de distancias y consiste en el uso combinado de un anteojo telescópico, con dos hilos reticulares horizontales paralelos al central, y de una regla dividida en metros, decímetros y centímetros que se le denomina mira o estadal. La retícula de un tránsito, para la medición de distancias con estadia, además del hilo horizontal medio, tiene otros dos hilos, superior e inferior, horizontales y equidistantes del hilo medio, que se llaman hilos estadimétricos.

LV = distancia entre los hilos estadimètricos

O = centro de la reticulaHI = hilo inferiorHM= hilo medioHS = hilo superior

= hilo verticalHV

O

HV

HM

HI

HS

RETÌCULA DEL TRÀNSITO CON HILOS DE ESTADIA

REGISTRO DE CAMPO DE UNA POLIGONAL LEVANTADA POR EL MÉTODO DE ESTADIA

ANGULO VERTICAL DISTANCIA ANGULO

ESTACIÓN P.O. L S L I L V ++++ −−−− CALCULADA HORIZ COTA

1

8 2

1.89

1.32

4º13’

109º31’

2

1 3

2.29

0.95

4º28’

164º24’

3

2 4

2.15

1.05

6º25’

111º33’

4

3 5

1.72

1.37

9º20’

77º31’

5

4 6

1.97

1.22

5º20’

173º02’

6

5 7

2.15

1.05

4º20’

180º57’

7

6 8

1.97

1.21

3º53’

92º36’

8

7 1

1.77

1.51

0º32’

170º28’

ANGULO VERTICAL DISTANCIA ANGULO

ESTACIÓN P.O. L S L I L V ++++ −−−− CALCULADA HORIZ COTA

1

8 2

1.89

1.32

0.57

4º13’

56.69

109º31’

95.82

2

1 3

2.29

0.95

1.34

4º28’

133.18

164º24’

85.42

3

2 4

2.15

1.05

1.10

6º25’

108.77

111º33’

73.82

4

3 5

1.72

1.37

0.35

9º20’

34.08

77º31’

79.42

5

4 6

1.97

1.22

0.75

5º20’

74.36

173º02’

86.35

6

5 7

2.15

1.05

1.10

4º20’

109.37

180º57’

94.64

7

6 8

1.97

1.21

0.76

3º53’

75.65

92º36’

99.76

8

7 1

1.77

1.51

0.26

0º32’

25.99

170º28’

100.00

TABLAS DE ESTADIA DE 1° A 40° (VALORES CORRESPONDIENTES A LECTURAS DE 100 EN EL ESTADAL)

0° 1° 2° 3° 4°

min

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

0’ 2 4 6 8

100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

0.00 0.06 0.12 0.17 0.23

99.97 99.97 99.97 99.97 99.97

1.74 1.80 1.86 1.92 1.98

99.98 99.88 99.87 99.87 99.86

3.49 3.55 3.60 3.66 3.72

99.73 99.72 99.71 99.71 99.70

5.23 5.28 5.34 5.40 5.46

99.51 99.50 99.49 99.49 99.48

6.96 7.02 7.07 7.13 7.19

10 12 14 16 18

100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

0.29 0.35 0.41 0.47 0.52

99.96 99.96 99.96 99.96 99.96

2.04 2.09 2.15 2.21 2.27

99.86 99.85 99.85 99.84 99.84

3.78 3.84 3.90 3.95 4.01

99.69 99.68 99.68 99.67 99.67

5.52 5.57 5.63 5.69 5.75

99.47 99.46 99.45 99.45 99.44

7.25 7.30 7.36 7.42 7.48

20 22 24 26 28

100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

0.58 0.64 0.70 0.76 0.81

99.95 99.95 99.94 99.93 99.93

2.33 2.38 2.44 2.50 2.56

99.83 99.83 99.82 99.82 99.81

4.07 4.13 4.18 4.24 4.30

99.66 99.65 99.65 99.64 99.64

5.80 5.86 5.92 5.98 6.04

99.43 99.42 99.41 99.40 99.39

7.53 7.59 7.65 7.71 7.76

30 32 34 36 38

99.99 99.99 99.99 99.99 99.99

0.87 0.93 0.99 1.05 1.11

99.93 99.93 99.93 99.92 99.92

2.62 2.67 2.73 2.79 2.85

99.81 99.80 99.80 99.79 99.79

4.36 4.42 4.48 4.53 4.59

99.63 99.62 99.61 99.61 99.60

6.09 6.15 6.21 6.27 6.33

99.38 99.37 99.36 99.36 99.35

7.82 7.88 7.94 7.99 8.05

40 42 44 46 48

99.99 99.99 99.99 99.99 99.99

1.16 1.22 1.28 1.34 1.40

99.92 99.92 99.91 99.91 99.90

2.91 2.97 3.02 3.08 3.14

99.78 99.78 99.77 99.77 99.76

4.65 4.71 4.76 4.82 4.88

99.59 99.58 99.58 99.57 99.57

6.38 6.44 6.50 6.56 6.61

99.34 99.33 99.32 99.31 99.30

8.11 8.17 8.22 8.28 8.34

50 52 54 56 58

99.98 99.98 99.98 99.98 99.98

1.45 1.51 1.57 1.63 1.69

99.90 99.90 99.89 99.89 99.88

3.20 3.26 3.31 3.37 3.43

99.76 99.75 99.75 99.74 99.74

4.94 4.99 5.05 5.11 5.17

99.56 99.55 99.54 99.53 99.52

6.67 6.73 6.79 6.84 6.90

99.29 99.28 99.27 99.26 99.25

8.40 8.45 8.51 8.57 8.63

5° 6° 7° 8° 9°

min

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

0’ 2 4 6 8

99.24 99.23 99.22 99.21 99.20

8.68 8.74 8.80 8.85 8.91

98.91 98.90 98.89 98.87 98.86

10.40 10.45 10.51 10.57 10.62

98.51 98.50 98.48 98.47 98.45

12.10 12.15 12.21 12.26 12.32

98.06 98.04 98.03 98.01 98.00

13.78 13.84 13.89 13.95 14.01

97.55 97.53 97.51 97.50 97.48

15.45 15.51 15.56 15.62 15.67

10 12 14 16 18

99.19 99.18 99.17 99.16 99.15

8.97 9.03 9.08 9.14 9.20

98.85 98.84 98.82 98.81 98.79

10.68 10.74 1079 10.85 10.91

98.44 98.43 98.41 98.40 98.38

12.38 12.43 12.49 12.55 12.60

97.98 97.96 97.95 97.93 97.92

14.069 14.12 14.17 14.23 14.28

97.46 97.44 97.42 97.41 97.39

15.73 15.78 15.84 15.89 15.95

20 22 24 26 28

99.14 99.13 99.12 99.10 99.09

9.25 9.31 9.37 9.43 9.48

98.78 98.77 98.76 98.74 98.73

10.96 11.02 11.08 11.13 11.19

98.37 98.35 98.34 98.32 98.31

12.66 12.72 12.77 12.83 12.88

97.90 97.88 97.87 97.85 97.84

14.34 14.40 14.45 14.51 14.56

97.37 97.35 97.33 97.32 97.30

16.00 16.06 16.11 16.17 16.22

30 32 34 36 38

99.08 99.07 99.06 99.05 99.04

9.54 9.60 9.65 9.71 9.77

98.72 98.71 98.69 98.68 98.66

11.25 11.30 11.36 11.42 11.47

98.29 98.28 98.26 98.25 98.23

12.94 13.00 13.05 13.11 13.17

97.82 97.80 97.78 97.77 97.75

14.62 14.67 14.73 14.79 14.84

97.28 97.26 97.24 97.22 97.20

16.28 16.33 16.39 16.44 16.50

40 42 44 46 48

99.03 99.02 99.01 98.99 98.98

9.83 9.88 9.94

10.00 10.05

98.65 98.64 98.62 98.61 98.59

11.53 11.59 11.64 11.70 11.76

98.22 98.20 98.19 98.17 98.16

13.22 13.28 13.33 13.39 13.45

97.73 97.71 97.69 97.67 97.66

14.90 14.95 15.01 15.06 15.12

97.18 97.16 97.14 97.12 97.10

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39.04 39.08 39.11 39.15 39.18

79.86 79.81 79.76 79.72 79.67

40.11 40.14 40.18 40.21 40.24

78.44 78.39 78.34 78.29 78.25

41.12 41.16 41.19 41.22 41.26

76.99 76.94 76.89 76.84 76.79

42.09 42.12 42.15 42.19 42.22

75.50 75.45 75.40 75.35 75.30

43.01 43.04 43.07 43.10 43.13

50 52 54 56 58

81.01 80.96 80.92 80.87 80.83

39.22 39.26 39.29 39.33 39.36

79.62 79.57 79.53 79.48 79.44

40.28 40.31 40.35 40.38 40.42

78.20 78.15 78.10 78.06 78.01

41.29 41.32 41.35 41.39 41.42

76.74 76.69 76.64 76.60 76.55

42.25 42.28 42.31 42.34 42.37

75.25 75.20 75.15 75.10 75.05

43.16 43.18 43.21 43.24 43.27

30° 31° 32° 33° 34°

min

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

0’ 2 4 6 8

75.00 74.95 74.90 74.85 74.80

43.30 43.33 43.36 43.39 43.42

73.47 73.42 73.37 73.32 73.27

44.15 44.17 44.20 44.23 44.26

71.92 71.87 71.82 71.76 71.71

44.94 44.97 44.99 45.02 45.04

70.30 70.26 70.22 70.18 70.14

45.68 45.70 42.72 45.75 45.77

68.70 68.66 68.62 68.58 68.54

46.36 46.38 46.40 46.42 46.45

10 12 14 16 18

74.75 74.70 74.65 74.59 74.54

43.45 43.47 43.50 43.52 43.56

73.22 73.17 73.12 73.06 73.01

44.28 44.31 44.34 44.36 44.39

71.66 71.61 71.56 71.50 71.45

45.07 45.09 45.12 45.14 45.17

70.10 70.04 69.98 69.92 69.86

45.80 45.82 45.84 45.86 45.89

68.50 68.44 68.38 68.32 68.26

46047 46.49 46.51 46.53 46.55

20 22 24 26 28

74.49 74.44 74.39 74.34 74.29

43.59 43.62 43.65 43.67 43.70

72.69 72.91 72.86 72.80 72.75

44.42 44.44 44.47 44.50 44.52

71.40 71.34 71.28 71.22 71.16

45.19 45.22 45.24 45.27 45.29

69.80 69.74 69.68 69.62 69.56

45.91 45.93 45.96 45.98 46.00

68.20 68.14 68.08 68.02 67.96

46.57 46.60 46.62 46.64 46.66

30 32 34 36 38

74.24 74.19 74.14 74.09 74.04

43.73 43.76 43.79 43.82 43.84

72.70 72.65 72.60 72.54 72.49

44.55 44.58 44.60 44.63 44.66

71.10 71.06 71.02 70.98 70.94

45.32 45.34 45.36 45.39 45.41

69.50 69.46 69.42 69.38 69.34

46.03 46.05 46.07 46.09 46.12

67.90 67.84 67.78 67.72 67.66

46.68 46.70 46.72 46.74 46.76

40 42 44 46 48

73.99 73.94 73.89 73.83 73.78

43.87 43.90 43.93 43.95 43.98

72.44 72.39 72.34 72.28 72.23

44.68 44.71 44.74 44.76 44.79

70.90 70.84 70.78 70.72 70.66

45.44 45.46 45.49 45.51 45.53

69.30 69.24 69.18 69.12 69.06

46.14 46.16 46.18 46.21 46.23

67.60 67.56 67.52 67.48 67.44

46.78 46.80 46.82 46.84 46.86

50 52 54 56 58

73.73 73.68 73.63 73.57 73.52

44.01 44.04 44.07 44.09 44.12

72.18 72.13 72.08 72.02 71.91

44.81 44.84 44.86 44.89 44.91

70.60 70.54 70.48 70.42 70.36

45.46 45.58 45.61 45.63 45.65

69.00 68.94 68.88 68.82 68.76

46.25 46.27 46.29 46.32 46.34

67.40 67.34 67.28 67.22 67.16

46.88 46.90 46.92 46.94 46.96

35° 36° 37° 38° 39°

min

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

Hor

Ver

0’ 2 4 6 8

67.10 67.04 66.98 66.92 66.86

46.98 47.00 47.02 47.04 47.06

65.40 65.40 65.30 65.30 65.20

47.55 47.57 47.59 47.61 47.62

63.80 63.70 63.70 63.60 63.60

48.06 48.08 48.10 48.11 48.13

62.10 62.00 62.00 61.90 61.90

48.52 48.53 48.54 48.56 48.57

60.40 60.34 60.28 60.22 60.16

48.91 48.92 48.93 48.94 48.96

10 12 14 16 18

66.80 66.76 66.72 66.68 66.64

47.08 47.10 47.12 47.14 47.16

65.20 65.10 65.10 65.00 65.00

47.64 47.66 47.68 47.69 47.71

63.50 63.40 63.40 63.30 63.30

48.14 48.16 48.17 48.19 48.21

61.80 61.70 61.70 61.60 61.60

48.65 48.67 48.68 48.69 48.71

59.80 59.74 59.68 59.62 59.56

49.03 49.04 49.05 49.06 49.07

20 22 24 26 28

66.60 66.54 66.48 66.42 66.36

47.18 47.20 47.22 47.24 47.26

64.90 64.80 64.80 64.70 64.70

47.73 47.75 47.76 47.78 47.80

63.20 63.10 63.10 63.00 63.00

48.22 48.24 48.25 48.27 48.28

61.50 61.40 61.40 61.30 61.30

48.65 48.67 48.68 48.69 48.71

59.80 59.74 59.68 59.62 59.56

49.03 49.04 49.05 49.06 49.07

30 32 34 36 38

66.30 66.24 66.18 66.12 66.06

47.28 47.30 47.31 47.33 47.35

64.60 64.50 64.50 64.40 64.40

47.82 47.83 47.85 47.87 47.88

62.90 62.90 62.80 62.80 62.70

48.30 48.31 48.33 48.34 48.36

61.20 61.20 61.10 61.10 61.00

48.72 48.73 48.74 48.76 48.77

59.50 59.46 59.42 59.38 59.34

49.08 49.09 49.10 49.11 49.13

40 42 44 46 48

66.00 65.90 65.90 65.80 65.80

47.37 47.39 47.41 47.43 47.44

64.30 64.30 64.20 64.20 64.10

47.90 47.92 47.93 47.95 47.97

62.70 62.60 62.60 62.50 62.50

48.37 48.39 48.40 48.41 48.43

61.00 60.94 60.88 60.82 60.76

48.78 48.80 48.81 48.82 48.83

59.30 59.24 59.18 59.12 59.06

49.14 49.15 49.16 49.17 49.18

50 52 54 56 58

65.70 65.60 65.60 65.50 65.50

47.46 47.48 47.50 47.52 47.54

64.10 64.00 64.00 63.90 63.90

47.98 48.00 48.01 48.03 48.05

62.40 62.30 62.30 62.20 62.20

48.44 48.46 48.47 48.49 48.50

60.70 60.64 60.58 60.52 60.46

48.85 48.86 48.87 48.88 48.90

59.00 58.94 58.88 58.82 58.76

49.19 49.20 49.21 49.22 49.23

4.2 Coordenadas Ecuatoriales y Locales Coordenadas Ecuatoriales.- Es el sistema de coordenadas más utilizado entre astrónomos ; está definido por la ascensión recta, correspondiente a la longitud terrestre, y por la declinación correspondiente a al latitud terrestre. El sistema de coordenadas ecuatoriales establece un sistema cuadriculado de puntos y líneas de referencia similar al utilizado en la cartografía terrestre, proyectado de forma que haya una correspondencia del ecuador y los polos de la Tierra con el ecuador y los polos celeste. Dado que la Tierra se mueve alrededor del Sol, la situación de los objetos celestes de la esfera, como las estrellas, varían diariamente. Por lo tanto, se asigna un momento determinado del año para establecer la cuadrícula celeste. Este momento es el equinoccio vernal, cuando el disco del Sol pasa directamente sobre el ecuador y marca el inicio de la primavera del hemisferio norte. En este sistema ecuatorial el equivalente de la latitud es la declinación y se mide en grados, y el equivalente de la longitud es la ascensión recta, medida que se realiza siempre hacia el este y se expresa en horas. La trayectoria anual del Sol a través de la esfera celeste forma un gran círculo en la esfera llamado eclíptica. También se emplea algunas veces un sistema de coordenadas que utiliza la eclíptica como plano de referencia en lugar del ecuador.

Unidad V CURVAS HORIZONTALES Y VERTICALES

5.1 Introducción y generalidades Desde el punto de vista Topográfico se puede decir que una vía de comunicación es el medio que sirve para llevar algo de un lugar a otro, estas se estudian en forma semejante, siendo su principal diferencia es la pendiente que se les debe dar para salvar los accidentes topográficos, así se tiene: • Líneas de transmisión eléctrica. • Tuberías a presión. • Caminos carreteros. • Ferrocarriles. • Canales. Lo ideal sería que el trazo sea recto de origen a destino y que además sea plano, sin embargo al tener que salvar los accidentes topográficos, es necesario buscar los lugares mas fáciles para pasarlos y desde luego, considerando el factor económico, donde resulte mas barato. los anteriores son los que se conocen como Puntos Obligados. Los Puntos obligados se definen mediante un reconocimiento preliminar y con el apoyo de la fotografía aérea y de la nivelación barométrica se definen las rutas a seguir y los desniveles. Con estos datos, el estudio topográfico se hace por tramos, entre puntos obligados consecutivos, bajo el orden siguiente: • Localización de la ruta entre puntos obligados. • Proyecto en gabinete del eje definitivo y todos sus detalles. Localización.- Este proceso comienza desde el momento en que se establecen los puntos obligados, lo cual genera la necesidad de establecer los puntos obligados intermedios, los cuales dependen de los accidentes topográficos buscando el mejor acomodo posible en el terreno. En este proceso es muy importante la experiencia debido a que no existe para ello método exacto ni tampoco existe solución única, pues los detalles considerados desde diferentes puntos de vista dan lugar a diferentes soluciones. Proyecto.- Esta parte se lleva a cabo en una combinación estrecha entre el trabajo de campo y el de gabinete, estando estructurado de la siguiente forma: 1.- Trazo preliminar. 2.- Perfil del eje proyectado. 3.- Proyecto de la subrasante sobre el perfil. 4.- Secciones transversales de construcción. 5.- Áreas de las secciones y cálculo de volúmenes.

6.- Curva masa del proyecto. 3.2 Curvas horizontales simples; Elementos formulas, cálculo y trazo TRAZO PRELIMINAR.

El trazo preliminar no es mas que una polígonal abierta, que parte de un punto denominado Km 0+000, a

partir del cual se van clavando estacas @ 20 mts. y en aquellos puntos especiales así como en sitios

accidentados. Es también la base para la selección definitiva del trazado y proporciona datos fundamentales

para el presupuesto de la obra. Los pasos que se siguen son:

1).- Escoger y marcar el punto de partida ( un lugar que sea fácilmente identificable) si no es posible debe

referenciarse perfectamente bien.

2).- Deberá establecerse el Azimut de la línea en el punto de partida en base a 5 observaciones solares.

3).- Se determinara la cota del punto de partida, de preferencia con relación a un punto cuya cota oficial sea

conocida.

4).- Se establecerá claramente el Kilometraje.

5).- Se tomaran las siguientes precauciones:

a) No es necesario obtener grandes tangentes al trazar la línea preliminar .

b) Colocar estacas @ 20 mt. y en todos los puntos intermedios necesarios.

c) No es necesario que los puntos estén exactamente en la línea.

d) Evitar pasar por sembradíos o por áreas de árboles frutales.

e) Colocar mojoneras de concreto en cada PI.

f) Hacer doble lectura en todos los ∠ s de PI.

g) Hacer observaciones solares @ 10 Km. como máximo.

6).- Hacer y conservar notas de campo legibles

7).- Llevar a cabo el levantamiento del Perfil de la línea preliminar.

8).- Obtenidos los datos se procede en gabinete a vaciarlos en un plano, dibujándose la Polígonal Base.

9).- Se efectúa una configuración a 80 - 100 mt. perpendiculares a la línea .

El proceso anterior se complementa con el cálculo en campo de las Curvas Horizontales, las cuales sirven

para permitir la circulación confortable de los vehículos en los puntos de unión entre dos tangentes.

CURVAS HORIZONTALES Partes fundamentales de la Curva Horizontal

PI = Punto de inflexión, es el punto en el que las dos tangentes se interceptan y es a partir del cual se inicia

el cálculo de la Curva Horizontal.

PC = Punto de comienzo, como su nombre lo indica es el punto donde se inicia el trazo de la curva, también

se conoce como principio de curvatura.

PT = Punto de tangencia, también se denomina como punto de terminación de la curva o punto de tangencia.

R = Radio de la curva.

ST = Subtangente.

C = Cuerda, es la porción de trazo que se utiliza y depende de la curva a trazar en función de los siguientes

parámetros:

Valor de g

si g ≤≤≤≤ 10º

10º < g ≤ 20º

20º < g ≤ 40º

Valor de C

20 m 10 m 5 m

g = Grado de la curva; Es el ángulo bajo el cual se ve la cuerda unitaria desde el centro de la curva.

Sc = Subcuerda

g ' = Subgrado

Lc = Longitud de Curva

M = Ordenada media o mediana

E = Externa

Pi

E

Pc PtC

∆

∆ � g

RR

M

O

?Pi

StSt

Cp

Cp

gggg'

Lc

E

M

sc

g

C

St

R

Pt

Pc

Deflexión

Punto de Intersección ó

Punto de Inflexión

Punto de comienzo ó

Principio de curvatura

Punto de término ó

Principio de tangencia

Radio

Subtangente

Cuerda

Grado de curvatura

Subcuerda

Subgrado

Cuerda principal

Longitud de la curva

Ordenada media

Externa

?

CC

C

C

g

g

g g

EJEMPLO del calculo de una curva horizontal: Datos de campo:

∆∆∆∆ = 55º 16' I PI = 3 + 623.57 Se propone:

g = 8º es el ángulo bajo el cual se ve la cuerda unitaria desde el centro de la curva (La cuerda unitaria generalmente es de 20 metros), y se puede definir en base a la tabla siguiente:

GRADOS DE CURVATURA MÁXIMOS RECOMENDABLES

Tipo de Camino (T.P.D.A.)

T. Plano o con poco lomerio

T. Con lomerío fuerte

T. Montañoso pero poco escarpado.

T. Montañoso muy escarpado.

Tipo Especial Requiere Estudio Especial

Tipo A 1500-3000

Tipo B 500-1500

Tipo C 50-500

8º

11º

16º 30'

11º

16º 30'

26º

16º 30'

26º

47º

26º

35º

67º

Calculo: PI = 3 + 623.57

R = C/ 2 Sen ( 1/2 g ) = 20 / 2 Sen ( 8º/ 2 ) = 20 / 2 Sen 4º = 143.35 m

St = R Tg ( ∆∆∆∆ / 2 ) 2 = 143.35 Tg (55º16' / 2 ) = 75.05 m

Nº. de CDAS = ∆∆∆∆/ g + g ' = 55º16' / 8 = 6 Cdas + 7º16' se refiere al numero de cuerdas completas de 20 mts.

Sc = 2 R Sen ( g ' / 2 ) = 2 ( 143.35 ) Sen ( 7º16' / 2 ) = 18.16 m

Lc = ∆∆∆∆ / g ( 20 ) = 138.16 m Lo que se comprueba con: Long. de 6 Cdas. de 20 m = 120.00 m Long. de Sc. = 18.17 m 138.17 m

Cad Pc = Cad PI - St = 3 + 623.57 - 75.05 = 3 + 548.52 Cad Pt = Cad Pc + Lc = 3 + 548.52 + 138.17 = 3 + 686.69

dm = ( ∆∆∆∆ / 2 ) / Lc = ( 55º16' / 2 ) / 138.16 = ( 3316' / 2 ) / 138.16 = 12 ' Tabla de deflexiones para trazo de curva en campo:

Estación

Pc

P.V.

3 + 560.00 3 + 580.00 3 + 600.00 3 + 620.00 3 + 640.00 3 + 660.00 3 + 680.00 3 + 686.00

Deflexión

2º18' 6º18' 10º18' 14º18' 18º18' 22º18' 26º18' 27º38'

5.3 Curvas verticales en cresta y columpio; Elementos formulas, cálculo y trazo

Alineamiento vertical El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje de la subcorona. Al eje de la subcorona en alineamiento vertical se le llama línea subrasante. ELEMENTOS QUE LO INTEGRAN El alineamiento vertical se compone de tangentes y curvas.

� Tangentes Las tangentes se caracterizan por su longitud y su pendiente y están limitadas por dos curvas sucesivas. La longitud de una tangente es la distancia medida horizontalmente entre el fin de la curva anterior y el principio de la siguiente, se representa como Tv. La pendiente de la tangente es la relación entre el desnivel y la distancia entre dos puntos de la misma. Al punto de intersección de dos tangentes consecutivas se le denomina PIV.

A) Pendiente gobernadora. Es la pendiente media que teóricamente puede darse a la línea subrasante para dominar un desnivel determinado, en función de las características del tránsito y la configuración del terreno; la mejor pendiente gobernadora para cada caso, será aquella que al conjugar estos conceptos, permita obtener el menor costo de la construcción, conservación y operación. Sirve de norma reguladora a la serie de pendientes que se deban proyectar par ajustarse en lo posible al terreno.

B) Pendiente máxima. Es la mayor pendiente que se permite en el proyecto.

Queda determinada por el volumen y la composición del tránsito previsto y la configuración del terreno.

La pendiente máxima se empleará, cuando convenga desde el punto de vista económico, para salvar ciertos obstáculos locales tales como cantiles, fallas y zonas inestables, siempre que no se rebase la longitud crítica.

La AASHO (American Association of State Highway Officials), recomienda que para caminos principales las pendientes máximas no excedan a las dadas en la tabla siguiente:

Tipo de terreno

Porciento en pendiente máxima para diversas velocidades de proyecto

en km/hr. 50 60 70 80 90 100 110 Plano 6 5 4 4 3 3 3

Lomerío 7 6 5 5 4 4 4

Montañoso 9 8 7 7 6 5 5

Para caminos secundarios, con escaso volumen de tránsito, las pendientes dadas en la tabla anterior pueden incrementarse hasta en dos por ciento.

C) Longitud Crítica. Longitud crítica de una tangente del alineamiento vertical es la longitud máxima en la que un camión cargado puede ascender sin reducir su velocidad más allá de un limite previamente establecido.

Los elementos que intervienen para la determinación de la longitud crítica de una tangente son fundamentalmente el vehículo de proyecto, la configuración del terreno, el volumen y la composición del tránsito. El vehículo con su relación peso / potencia define características de operación que determinan la velocidad con que es capaz de recorrer una pendiente dada. La configuración del terreno impone condiciones al proyecto que, desde el punto de vista económico, obligan a la utilización de pendientes que reducen la velocidad de los vehículos pesados y hacen que estos interfieran con los vehículos ligeros.

� Curvas Verticales Son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical, para que en su longitud se

efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de tangente de salida.

Debe dar por resultado un camino de operación segura y confortable, apariencia agradable y con

características de drenaje adecuadas.

TIPOS DE CURVAS VERTICALES

Curva vertical en cima o cresta

Curva vertical en columpio

PIV

PIV

PCVPTV

PCVPTV

+ p1

- p2

- p1

+ p2

PARTES FUNDAMENTALES DE UNA CURVA VERTICAL

α

XT cos αPCV PTV X

PIV

P1 %

e

XT

Y

P2 %

PTP

PCV = Principio de curvatura vertical PIV = Punto de inflexión vertical PTP = Punto de terminación de proyecto PTV = Punto de tangencia vertical P1 = Pendiente de la primera subrasante P2 = Pendiente de la segunda subrasante

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA CURVA VERTICAL (EN CIMA)

P1 = 3 % ; P2 = - 4 % ; cota PIV = 72.16 Determinación de la longitud de curva = 3 – (-4)=7⇒⇒⇒⇒ (Se cierra al siguiente par) = 8 Lc = 8 x 20 = 160 m.; n = 8 ; c = 20 m. Cota PCV = 72.16 – (3/100 X 80)= 69.76 Cota PTP = 72.16 + (3/100 X 80)= 74.56

Cota PTV = 72.16 – (4/100 X 80)= 68.96

∆∆∆∆ = PTP - PTV

Y n = ∆

n 2( i n)

2

Calculo de las cotas de la curva:

n

Cota 1ª. subrasante

Y

Cota curva

0 0 69.76 0.0 69.76 1 1 70.36 0.0875 70.27 2 4 70.96 0.35 70.61 3 9 71.56 0.787 70.77 4 16 72.16 1.4 70.76 5 25 72.76 2.187 70.57 6 36 73.36 3.15 70.21 7 49 73.96 4.29 69.67 8 64 74.56 5.6 68.96

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