LIBRO PARA EL PROFESOR MATEMÁTICAS 2 MATEMÁTICAS 2¡ticas_2_RD_Fortaleza... · 2019. 9. 9. ·...

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LIBRO PARA EL PROFESOR Secundaria 2 Aprendizajes Clave para la Educación Integral MATEMÁTICAS © SANTILLANA Prohibida su distribución

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L I B R O PA R A E L P R O F E S O R

Secu

ndaria

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A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

2 MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

La obra Matemáticas 2. Libro para el profesor de la serie Fortaleza Académica se creó con el propósito de apoyarlo a usted, profesor, en la planeación del curso de la asignatura y se compone de los siguientes apartados:

• Descripción del Modelo Educativo para la educación obligatoria y del mapa curricular

• Propuestasdedosificacióndelosaprendizajesesperados de la asignatura

• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales y solucionario

• Reproducción del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades

Este material se elaboró con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo para la educación obligatoria y será una guía útil en el desarrollo de su labor docente.

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1MATEMÁTICAS

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Libro para el pro-fesor de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el foto-copiado, sin autorización escrita del editor.

Autor del libro del alumno: María Trigueros Gaisman, María Dolores Lozano Suárez, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney, Mónica Inés SchulmaisterAutor del libro para el profesor: Ana Elisa Lage Ramírez

D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,delegación Benito Juárez, Ciudad de México.

ISBN: Primera edición:

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Este libro fue elaborado en EditorialSantillana por el equipo de la DirecciónGeneral de Contenidos

Ilustración

Lilia Tavares ValleJosé Enrique Márquez Flores

Fotografía

ShutterstockGettyimages

Fotografía de portada

Shutterstock

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Libro para el pro-fesor de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el foto-copiado, sin autorización escrita del editor.

Autores del libro del alumno: María Trigueros Gaisman, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, María Dolores Lozano Suárez, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney, Mónica Inés Schulmaister

Autor del libro para el profesor: Ana Elisa Lage Ramírez

D. R. © 2018 EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México

ISBN: 978-607-01-4172-0Primera edición: junio de 2019

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaReg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Este libro fue elaborado en EditorialSantillana por el equipo de la DirecciónGeneral de Contenidos

Ilustración

Lilia Tavares ValleJosé Enrique Márquez Flores

Fotografía

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Fotografía de portada

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PresentaciónPresentación

Estimado profesor:

Editorial Santillana le ofrece Matemáticas 2. Libro para el profesor, creado con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo 2017, con el objetivo de apoyarlo en su trabajo cotidiano con el libro de texto del alumno.

En este material encontrará los siguientes recursos:

• Modelo Educativo. Se describen el planteamiento curricular, los principios pedagógi-cos y el mapa curricular.

•190 días de clase.

• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un -

gro de los alumnos y sus áreas de oportunidad para planear estrategias didácticas oportunas.

• Evaluaciones trimestrales. Se proponen reacti-vos adicionales a los del libro del alumno que se pueden emplear en la evaluación del trimestre.

• Formato de planeación didáctica. Para organi-zar el trabajo de las secuencias didácticas en el aula.

cuenta con los siguientes apartados:

• Respuestas de las evaluaciones. Contiene las respuestas a los reactivos de la evaluación diagnóstica y de las evaluaciones trimestrales.

• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades del li-bro del alumno.

• Reproducción del libro del alumno. páginas del libro del alumno con las respuestas de las actividades.

Deseamos que este libro sea un valioso auxiliar en el desarrollo de su labor docente en el segundo curso de Matemáticas.

El papel del docente es fundamental en la construcción de ambientes que favorezcan la convivencia armónica y el logro de los aprendizajes esperados.

Presentación

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Modelo Educativo

-

Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las ni-

es una tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.

• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los ni-veles de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para el desarrollo integral de los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes aprendan habilidades para adquirir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.

Además de lo anterior, este eje hace énfasis especial en el desarrollo de las habilidades socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.

Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, también se deja un margen de autonomía curricular, así cada comunidad escolar pon-drá énfasis en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con éxito el desarrollo de los aprendizajes clave de los alumnos.

• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de organi-zación del sistema educativo, es primordial en este eje, pues esta debe enfocarse en al-canzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también una escuela que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de desarrollo horizontal en el que toda la comunidad escolar tiene cabida.

• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docen-te como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de gene-rar y mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido con la mejora constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de su contexto.

• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.

-tar la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de todos los alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia ar-mónica que abone a la cultura de la diversidad.

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• La gobernanza del sistema educativo.institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y los sec-tores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordinación que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales, el Insti-

docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el Poder Legislativo.

-des; de calidad, integral e inclusiva, que los prepare para vivir en la sociedad del siglo XXI.

Principios pedagógicos

En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un me-diador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asigna-tura, área o ámbito.

Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente su papel en las au-las al poner en práctica los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen catorce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:

1. Poner al estudiante y su aprendizaje en el centro del proceso educativo

2. Tener en cuenta los saberes previos del estudiante

3. Ofrecer acompañamiento al aprendizaje4. Conocer los intereses de los estudiantes5. Estimular la motivación intrínseca del alumno6. Reconocer la naturaleza social del conocimiento7. Propiciar el aprendizaje situado8. Entender la evaluación como un proceso re-

lacionado con la planeación del aprendizaje9. Modelar el aprendizaje10. Valorar el aprendizaje informal11. Promover la interdisciplinariedad12. Favorecer la cultura del aprendizaje13. Apreciar la diversidad como fuente de rique-

za para el aprendizaje14. Usar la disciplina como apoyo al aprendizaje

El trabajo colaborativo favorece que los estudiantes, mediante el intercambio de ideas, negocien y acuerden estrategias de solución. Lo que abona al logro del aprendizaje esperado y sienta las bases para colaborar y vivir en comunidad.

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Mapa curricular

Aprendizajes clave para el desarrollo integral

Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desa-rrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un ple-no desarrollo de vida.

En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académi-ca, áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.

1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Mate-

2. Áreas de Desarrollo personal y social.Educación Socioemocional y Educación Física.

3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación aca-démica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos re-levantes y conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.

educación básica

“Componentes curriculares de la educación básica”,

tomado del documento Modelo educativo para la educación

obligatoria, Secretaría de Educación Pública,

México, 2017.

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Modelo Educativo

Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad, y que

decididos y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a todos los seres humanos.

A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.

La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento Ma-temático y pertenece al componente Formación académica.

Componente curricular

Nivel educativo

Secundaria

Grado escolar

1º 2º 3º

Formación académica

Cam

pos y

asi

gnat

uras

Matemáticas

Ciencias y Tecnología:

Biología Física Química

Historia

Geografía

Formación Cívica y Ética

Desarrollo personal y

social Área

s

Artes

Tutoría y Educación Socioemocional

Educación Física

Autonomía curricular

Ámbi

tos

Ampliar la formación académica

Potenciar el desarrollo personal y social

Nuevos contenidos relevantes

Conocimientos regionales

Proyectos de impacto social

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Dosificación190 días de clase

T r i m e s t r e 1

SemanaAprendizajes

esperadosContenidos/

Secuencias didácticasLecciones

Páginas del libro

del alumno

1 Evaluación diagnóstica

2

Resuelve problemas demultiplicación y división con fracciones y decimales positivos.

1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar y dividir fracciones y decimales positivos.

1. Multiplicación de fracciones 18

2. División de fracciones 20

3. Multiplicación y división de decimales 22

Resuelve problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

2. Multiplica números enteros.24

2. Más sobre multiplicación 26

3

3. Resuelve problemas que implican la división de números enteros.

1. ¿Qué temperatura marcaba? 28

2. Multiplicación y división de números con signo 30

Resuelve problemas depotencias con exponenteentero y aproxima raíces cuadradas.

4. Resuelve problemas que implican el cálculo de potencias de números enteros.

1. Productos 32

2. Potencias de números negativos 34

4

5. Resuelve problemas de potencias con exponente entero negativo.

1. Cociente de potencias 36

2. Exponentes negativos 38

3. Cociente de potencias negativas y mixtas 40

6. Resuelve problemas utilizando la 42

2. Operaciones con notación 44

Reviso mi trayecto 47

5

Resuelve problemas deproporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

7. Diferencia entre situaciones que presentan proporcionalidad directa e inversa y resuelve problemas que presentan ambos tipos de proporcionalidad.

1. Dos tipos de relaciones entre cantidades 48

2. Proporcionalidad inversa 50

3. Proporcionalidad directa e inversa 52

la equivalencia deexpresiones de primergrado, formuladas apartir de sucesiones.

8. Representa algebraicamente sucesiones lineales utilizando más de una expresión y analiza la equivalencia entre ellas.

1. Representaciones algebraicas de sucesiones 54

2. Expresiones algebraicas equivalentes I 56

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6

Formula expresiones de primer grado para representar propiedades

de expresiones, tanto algebraica como

9. Formula expresiones algebraicas de primer grado para representar

geométricas.

1. Diferentes procedimientos para calcular el perímetro 58

2. Expresiones algebraicas equivalentes II 60

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

10. Resuelve problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y lo resuelve por prueba y error.

1. Sistemas de ecuaciones 62

2. Para solucionar sistemas de ecuaciones 64

7

analizar cuándo un sistema

soluciones o no tiene solución. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método

66

2. Conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales 68

Resuelvo con tecnología 70

8

Analiza y compara situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa a partir de sus representaciones tabular,

Interpreta y resuelve problemas que se modelan con este tipo de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

12. Analiza y representa la variación

y algebraica.

1. Proporcionalidad y funciones 72

proporcionalidad inversa 74

Reviso mi trayecto 77

9

Deduce y usa las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

base en la medida de sus lados y ángulos.

1. Rompecabezas y geometría 78

2. ¿Cómo son los ángulos internos de otros polígonos? 80

14. Analiza los patrones que se forman a partir del trazo de las diagonales de un polígono.

1. Las diagonales 82

2. Las diagonales de un polígono en una circunferencia 84

1015. Deduce la relación entre los

ángulos centrales de un polígono y su número de lados.

1. Ángulos centrales de una circunferencia 86

2. Ángulos centrales y sus medidas 88

3. Polígonos regulares y ángulos centrales 90

1116. Deduce la relación entre los ángulos

de un polígono regular y de su suma con el número de lados.

1. Ángulos internos y externos de polígonos convexos 92

2. La suma de los ángulos internos y externos 94

12

Resuelvo con tecnología 96

Punto de encuentro 98

Reviso mi trayecto 100

13Valoro mis fortalezas 101

Evaluación del trimestre 1

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T r i m e s t r e 2

SemanaAprendizajes

esperadosContenidos/

Secuencias didácticasLecciones

Páginas del libro

del alumno

14

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

17. Resuelve problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

1. Operaciones con fracciones positivas y negativas 106

2. Operaciones con decimales positivos y negativos 108

15

Resuelve problemas de potencias con exponente entero y aproxima raíces cuadradas.

18. Resuelve problemas de potencias con exponente entero.

110

2. Potencia de números decimales con signo 112

16

19. Resuelve problemas de potencias con exponente entero.

1. Multiplicación de potencias por sí mismas 114

2. Potencias mayores y menores que cero 116

20. Aplica las leyes de los exponentes y utiliza literales.

1. Verdadero o falso 118

2. Otras leyes de los exponentes 120

Reviso mi trayecto 123

17

Formula expresiones de primer grado para representar propiedades

de expresiones, tanto algebraica como

21. Establece expresiones algebraicas para describir diversas situaciones

1. Producción de basura en México 124

2. Más de expresiones algebraicas 126

semejantes y construcción de expresiones equivalentes

128

18

22. Formula expresiones de primer grado para representar el área de polígonos mediante su división en triángulos y cuadriláteros, y comprueba su equivalencia.

1. Área de cuadriláteros 130

2. Expresiones algebraicas equivalentes III 132

23. Representa con diferentes

y comprueba su equivalencia mediante operaciones algebraicas.

1. Diferentes estrategias para encontrar el área 134

2. Expresiones algebraicas equivantentes IV 136

19

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

24. Comprende las propiedades de la igualdad y los usos para resolver ecuaciones

138

2. Propiedades y uso de la igualdad 140

25. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1. Solución algebraica 142

2. Método de igualación 144

3. Método de reducción 146

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Dosificación 190 días de clase

20

Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

26. Diferencia entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

1. Diferentes relaciones entre cantidades 148

150

Reviso mi trayecto 153

21

Deduce y usa las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

27. Analiza las características que deben tener los polígonos para cubrir el plano.

1. Polígonos que cubren el plano 154

156

3. Otros teselados 158

28. Construye polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos internos.

1. Polígonos: regulares e irregulares 160

2. Reproducción de polígonos 162

3. Con ángulos internos 164

22

Calcula el perímetro y área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.

29. Calcula el perímetro de diversos polígonos y usa expresiones algebraicas para representarlo.

1. Polígonos regulares 166

2. Perímetros de polígonos con expresiones algebraicas 168

Deduce y usa las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

30. Construye polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos centrales.

1. Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 170

2. Con más lados 172

Resuelvo con tecnología 174

23

Recolecta, registra y lee datos en histogramas y polígonos de frecuencia y

31. Lee y construye histogramas y polígonos de frecuencia.

176

2. Construcción de histogramas y polígonos de frecuencia 178

3. Comparación de datos 180

Resuelvo con tecnología 182

24

Determina la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio.

32. Determina la probabilidad teórica de un evento y la compara con la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio.

1. ¿Cuál es la probabilidad? 184

2. Probabilidad teórica 186

3. Comparación entre ambas probabilidades 188

Punto de encuentro 190

Reviso mi trayecto 192

25Valoro mis fortalezas 193

Evaluación del trimestre 2

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T r i m e s t r e 3

SemanaAprendizajes

esperadosContenidos/

Secuencias didácticasLecciones

Páginas del libro

del alumno

26

Resuelve problemas de potencias con exponente entero y aproxima raíces cuadradas.

33. Aproxima y usa la raíz cuadrada.

1. ¿Qué es la raíz cuadrada? 198

2. Aproximaciones de la raíz cuadrada 200

27

Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

34. Diferencia entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

1. Reparto de cantidades 202

2. Diferentes procedimientos 204

3. Razones y reparto proporcional 206

28

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

35. Analiza las ventajas y desventaja de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

1. ¿Cuál método conviene usar? 208

2. ¿Cuál método de solución es mejor? 210

3. Decide cuál método de solución conviene utilizar 212

29

36. Utiliza sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.

1. Un problema económico 214

2. Representación de un problema y uso de tablas 216

3. Otro problema de ecuaciones 218

Reviso mi trayecto 221

30

Analiza y compara situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa a partir de sus representaciones tabular,

Interpreta y resuelve problemas que se modelan con este tipo de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

37. Resuelve problemas que se modelen por medio de la variación lineal e inversa en diversos contextos.

1. Variación lineal e inversa 222

2. Solución de problemas de variación 224

31

Calcula el perímetro y área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.

38. Deduce la fórmula del área de polígonos regulares.

1. Subdivisión de un polígono en 226

2. La fórmula 228

39. Deduce y utiliza la fórmula para calcular el área del círculo.

1. El círculo y la circunferencia 230

2. Una fórmula para calcular el área de un círculo 232

Resuelvo con tecnología 234

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Dosificación 190 días de clase

32 Calcula el volumen de prismas y cilindros rectos.

40. Calcula el volumen y otras dimensiones de prismas y cilindros rectos.

1. Volumen de prismas rectangulares 236

2. ¿Cuánto deben medir? 238

Reviso mi trayecto 241

33

Resuelve problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema

41. Resuelve problemas que implican la conversión entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y gramo.

1. Comparación de medidas 242

2. Múltiplos y submúltiplos del gramo 244

42. Compara las medidas del Sistema Internacional con las del Sistema Inglés y realiza conversiones entre ellas.

1. Pulgadas, pies, yardas y millas 246

2. Galones, onzas y libras 248

34

Recolecta, registra y lee datos en histogramas y polígonos de frecuencia y

43. Recolecta, registra y lee datos en

1. El internet de las cosas 250

2. Proyecto estadístico 252

3. ¿Qué información se obtiene de las 254

35

Usa e interpreta las medidas de tendencia

el rango y la desviación media de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

44. Utiliza la desviación media de un conjunto de datos para su análisis.

1. Desviación media en datos no agrupados 256

2. Desviación media en datos agrupados 258

3. ¿Qué tan dispersos? 260

Resuelvo con tecnología 262

Punto de encuentro 264

36

Reviso mi trayecto 266

Valoro mis fortalezas 267

Evaluación del trimestre 3

Evaluación final

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Evaluación diagnóstica

Grupo:

Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados

1. Relaciona las columnas.

A. 6 2 3 2 9 2 7 1 15 2 8 2 14 5

18B. 2 2 2 2 3 5 221C. 95.83 2 79.58 1 60.75 2

D. 2 1 2 1 21E. 46.75 1 2 2 220

2. En cada caso, marca con una las expresiones equivalentes a la expresión dada.

a. a b 2 c

ab2c ab 2 ac ab 2 bc 2ab 2 ab 2 ab 1 ac

b. 3x 1 x 2 6

22x 4x 2 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 3 2 3

c. 2s 1 2t

s 1 t 4st s 1 t s 1 s 1 t 1 t 1 t

3. Subraya la solución de cada ecuación.

a. 6x 1 22 543

A. x 510.83 B. x 53.5 C. x 5126 D. x 5 210.83

b. x 15 5 0.8

A. x 5 25 B. x 5 211 C. x 5 5 D. x 5 21

c. 3y 1 17 5 5y 2 13

A. y 5 24.25 B. y 5 2.5 C. y 5 2 D. y 5 15

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4. Escribe “S” si el valor dado es solución de la ecuación, o “N” si no lo es.

a. 6x 1 9 5 x 1 x 5 14

b. x 2 5 x 1 x 5 385

c. 2.5x 1 35 5 x 2 0.05; x 5 1.3

5. Coloca paréntesis donde sea necesario para que se cumplan las igualdades.

a. 3 1 5 ÷ 2 3 8 4 0.5 5 1 b. 3 1 7 2 2 3 18 2 15 4 5 1 3 5 9c. 8 1 3 3 5 2 4 + 7 2 3 3 8 2 7 5 15 d. 2.8 1 3.2 3 4.1 2 1.1 1 2 4 5 5 4

6.

A. y 5 3x B. y 5 2x 1 3 C. y 5 15 x 1 3

7. Observa la imagen y subraya la opción que muestra el valor del ángulo β.

A. β 5 180° B. β 5 64.78° C. β 5 150.78° D. β 5 25.22°

g 5 104.031º

a 5 50.75º

β

y

x

5

4

3

2

2 3 4 5

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

y

x

5

4

3

2

2 3 4 5

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

y

x

5

4

3

2

2 3 4 5

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

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9. Subraya la opción donde están los primeros 5 términos de la sucesión dada por la expresión an 5 7n 1 3.

A. 6, 13, 20, 27, 34 B. 7, 14, 21, 28, 35 C. 10, 17, 24, 31, 38 D. 10, 13, 16, 19, 22

10. Marca con una las tablas en las que se guarda una relación de variación proporcional directa.

x y

0 01.5 3.753 7.54.5 11.256 15

11. Completa las operaciones.

a. 1 2 1 5 0b. 2 1 2 1 5 24c. 2 2 2 2 2 1 5 6d. 2 1 2 1 5 215e. 2 2 2 2 2 2 5 0

8. Marca con una la sucesión que se genera a partir de la expresión an 5 2n 1 1.

x y

0 11 32 53 74 9

x y

2 604 306 208 15

10 12

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Evaluación diagnóstica

12. Resuelve las operaciones.

a. [(27 1 9.4) 2 (12 2 8)] 4 6 5 b. 5 1 (2.3 3 4 2 2) 4 4 5 c. [14.1 1 (65 3 3) 4 2] 4 12 5

d. 49 2

13 1 ( 5

6 3 13 ) 5

e. ( 65 3 3

4 ) 2 ( 95 3 1

2 ) 5

13. Resuelve los problemas y anota tus operaciones en los recuadros.

a. Si un kilogramo de arroz cuesta $24.50, ¿cuánto se pagará por 0.75 kg, 2.5 kg y 4 kg?

b. ¿Cuántos litros de gasolina se compraron si se pagaron $581.40 y un litro cuesta $20.40?

14. ¿Cuánto mide la altura (h) del trapecio si su área es de 18.75 cm2?

15. Resuelve la ecuación 6.2(x 1 2.8) 5 2x 1 23.24. Anota tu procedimiento en el recuadro.

5 cm

7.5 cm

h

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16. Lee el problema y haz lo que se pide.

Una papelería ofrece dos servicios de fotocopiado en blanco y negro. En el primer servicio se co-bra $0.40 por cada copia y el encargado saca las fotocopias. En el segundo servicio se cobran $5.00 para usar la fotocopiadora y $0.25 por cada copia.

a. -tra cuánto se pagaría por las distintas cantidades de copias.

Número de copias

Costo

Servicio 1 Servicio 2

5

10

15

20

25

30

35

b. ¿El costo de los servicios se relaciona de forma proporcional con el número de copias? ¿Por

c. n copias en cada servicio.

• Servicio 1: Servicio 2:

17. y 5 2x 1 52 .

y

x50 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

15 20 25 30 35

x

y

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18.

a. x

b. y

c. ¿Cuál es el valor de y cuando x 5 0? d. ¿Cuál es el valor de x cuando y 5 0?e. ¿Cuál es el valor de y cuando x 5 4?

y conforme van aumentado los valores de x?

19. Lee la situación y responde.

-ginalmente costaba $680.

a. b.

originalmente costaba $950?

20. Plantea una ecuación que modele la situación y resuélvela.

Saúl pagó tres botellas de agua con un billete de $100 y le regresaron $49 de cambio. ¿Cuánto cos-tó cada botella de agua?

Evaluación diagnóstica

x

2

2 4 6 8 1022

22 0

24

24

26

26

28

28

210

210

4

6

8

10

y

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista: 1NombreNombre:

1. Relaciona cada número con su inverso multiplicativo.

A. 25 ( )

18

B. 218 ( )

52

C. 252 ( ) 28

D. 8 ( ) 225

2.

3. Ordena las cantidades de menor a mayor.

4. Subraya el resultado de cada operación.

a. 3 3 102 1 2.5 3103 5

A. 5.5 3 105 B. 2.8 3103 C. 2.8 3102 D. 5.5 3103

b. 7.16 3 1023 21.5 3 1024 5 A. 7.66 3 1024 B. 5.66 3 1021 C. 5.66 3 1027 D. 5.66 3 1027

c. (5.24 3 104) 3 (1.5 3 1023) 5 A. 7.86 3 103 B. 7.86 3 102 C. 7.86 31022 D. 7.86 3 101

d. (6 3 108 ) 4 (2 3 1027 ) 5 A. 3 3 101 B. 3 3 1021 C. 3 3 1015 D. 3 3 10215

a. (23) 3 (27) 5 21 c. (22) 3 (22) 3 (22) 5 28 e. (24) 3 (23) 3 (4) 3 (3) 5 144 g. (248) 4 [(22) 3 (4)] 5 6 i. (5)7 4 (5)24 5 (5)23

b. (22) 3 (25) 5 210 d. (21) 3 (2) 3 (22) 3 (22) 5 28

(236) 4 (22) 5 218 h. (2)5 3 (2)4 5 2 j. (8)7 3 (8)3 3 (8)2 5 (8)12 5

2.3 3 1022 3.3 3 1021 2.5 3 1022 2.93 1023 3.23 1021

, , , ,

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5. Marca con una

A. P 5 x 1 2x 1 4y ( )B. P 5 3(x 1 y) ( )C. P 5 (x 1 y) 1 2x 1 2y ( )D. P 5 x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 y ( )E. P 5 2(3x 1 3y) ( )

P 5 6x 2 3x 1 4y ( )

6. Subraya la respuesta correcta.

a.

A. 11

B. 7

C. 14

D. 28

b. ¿Cuál es la medida del ángulo β?

A. 45°

B. 15°

C. 30°

D. 36°

7.

y

y

y

x

x

x

a. b. c. d.

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8. Completa las operaciones.

9. Lee y responde.14 de tazas de arándanos.

a. 12 -

nos se utilizaron? b.

10.

11.

a. 527

52 5 b. 33

32 5

c. 225

226 5 d. 728

724 5

12. Lee y contesta.

a. Un grano de sal mide aproximadamente 5 3 1024 m y un grano de arroz, 5 3 1023m. ¿Cuántas

b. Una ballena azul adulta mide en promedio 3 3 101 4 3 1023

a. 81 4 5 29c. (3)5 3 5 (3)11

e. (3)253 5 (3)6

b. (25) 3 (25) 3 5 125 d. (9)12 4 5 924

(9)6 4 5 98

80 m

40 m

En 8 16, margaritas, y en el resto, alcatraces.

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13. Observa la sucesión y haz lo que se pide.

a. b. -

c.

14.

15.

y 5 2x 1 1 y 522x 1 5

x

y

Evaluación del trimestre 1

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista:

NombreNombre:

2

1. Relaciona cada operación con su resultado.

A. (777.6) 4 (22.7) 5 ( ) 0.125

B. (2425 ) 4 (2

112 ) 5 ( ) 25.832

C. 2(1.8)3 5 ( ) 45

D. (215 )2

5 ( ) 2288

E. (21) (212 )3

5 ( ) 0.04

2.

a. (322)25 5 327

b. [( 14 )22]

23

5 46

c. (524)2 3 (524)22 5 1

d. [( 23 )2]

23

5 ( 32 )6

3. Lee y haz lo que se pide.

de Emilio.

a.

A. x 1 x 1 3 1 2x B. x 1 x 1 3 1 2 C. x 1 x 2 3 1 x2 D. x 2 3 1

x2

b.

A. x 1 3 2 2x B. x 1 3 2 12 C. x 1 x 1 3 2

x2 D. x 2 3 2

x2

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4. Analiza la relación entre las variables de cada tabla y determina si se trata de una variación li-

a.

Tipo de variación: Función:

b.

Tipo de variación: Función:

c.

Tipo de variación: Función:

5. En un colegio se organizó un sorteo para un viaje. De 120 boletos, 18 tienen como premio el via-je y 30 tienen por premio el reembolso del dinero.

a. b. c. d.

6. Marca con una los polígonos regulares con que se puede construir un teselado regular.

( ) Triángulos ( ) Dodecágonos ( ) Eneágonos ( ) Pentágonos( ) Hexágonos ( ) Octágonos ( ) Cuadrados ( ) Decágonos

7. Relaciona cada teselado semirregular con su nombre.

( )A. 3.4.6.4

( )B. 4.8.8

( )C. 3.3.4.3.4

( )D. 3.6.3.6

x 1 1.5 5 10 12

y 240 160 48 24 20

x 1 2 3 4 5

y 5 8 11 14 17

x 1 5 10 15 20

y 360 72 36 24 18

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8.

9.

Expresión algebraica Expresión algebraica simplificada

0.3x 2 0.02y 1 1.06x 2 1.03y

2p 1 q 2 7p 1 2( q 2 )

2(3x2y 1 5xy2) 1 7xy2 2 6(2xy2) 1 4x2y

10. Descompón las expresiones algebraicas.

Expresión algebraica Expresión algebraica simplificada

1.25x 1 4y 1 0.75x 1 2.5y 1

4x2 z5 3x2 z52( _____ )12x3 z2

2 3x3 z2 1 _____

11.

a. (x2a )(x3a + 1) )(x2a 2 2) 5

c. 35x + 3

32x 5

b. (m3 )x + 2 5

d. (2b)24

(4b)23 5

34

32

34

a. x.

b. x.

c. -ner el área del trapecio.

6

2

2x

x

d. Calcula el área del trapecio a partir de la fórmula:(B 1 b) h

2

5

e.

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Evaluación del trimestre 2

12. Resuelve los sistemas de ecuaciones. Emplea el método que se indica en cada caso.

a. x 1 2y 5 202x 2 y 5 5

b. x 1 y 5 2 x 2 y 5 2

c. 3x 1 2y 5 4 2x 2 2y 5 2 4

13. La tabla muestra las donaciones que recibió una asociación que limpia una playa. Con base en -

Donaciones

$65$230$170$205$180$155$110

$35$135$110

$80$120$230

$60$160

Límite inferior Límite superior Marca de clase Frecuencia absoluta

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista: 33

1. -

parten el dinero proporcionalmente?

2. Marca con si los valores dados a x y y son solución del sistema.

a. 2x 1 y 5 6 x 5 2, y 5 2 ( ) 3x 1 y 5 8

b. 2x 1 y 5 4 x 5 1.8, y 5 2.2 ( ) 5x 1 5y 5 2

c. 4x 2 y 5 4 x 5 0.4, y 5 22.4 ( ) x 1 y 5 22

3. Subraya la medida del lado del octágono regular cuya área es de 77.28 cm2 y cuya apotema mide 4.83 cm.

4.

A. 6.28 cm2

B. 15.7 cm2

C. 12.56 cm2

D. 37.68 cm2

5. Un terreno tiene 15 yardas de largo y 8 yardas de ancho. Considera que una yarda equivale a 0.914 m y contesta.

a. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno en metros? b. ¿Cuál es el área del terreno en metros cuadrados?

Iván: Ricardo:

2 cm

4 cm

A. 8 cm B. 5.5 cm C. 4 cm D. 12 cm

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6. Ordena de menor a mayor las cantidades de cada inciso.

a.

, , ,

b.

, , ,

7. ¿Cuál es el valor de x si el volumen del prisma es de 134.4 cm3?

8. Observa el cilindro y contesta. Escribe tus operaciones en el recuadro.

a. ¿Cuál es el volumen del cilindro? b. ¿Cuál es el área lateral del cilindro? c.

9. Calcula las raíces cuadradas en los recuadros.

a. b.

6 cm

4 cm

6 cm

8 cm

x

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10. Un prisma cuadrangular tiene un volumen de 13 225 cm3.

a. Si la altura del prisma es de 25 cm, ¿cuánto miden los lados de la base del prisma?

b. ¿Cuál es el volumen del prisma en dm3?

11. Lee el problema, plantea un sistema de ecuaciones y resuelve.

-

Sillas Máquina A Máquina B

Modelo I 7 3Modelo II 4 2

sillas de cada modelo se pueden fabricar en un mes?

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Evaluación del trimestre 3

12. La tabla muestra el tipo de cambio del dólar durante diez días del mes de julio. Elabora una grá-

a. b. c.

13. -culdades. Observa la tabla y haz lo que se pide.

MesNúmero de fotocopias

Facultad A Facultad B

Enero 300 240Febrero 270 280Marzo 150 210

90 230Mayo 450 280Junio 110 290Julio 54 200

a.

b.

c. Calcula la desviación media.

d. ¿Cuál facultad muestra mayor dispersión en sus datos?

FechaJulio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tipo de cambio 20.04 20.11 19.80 19.68 19.47 19.30 19.32 19.33 19.32 19.17

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Respuestasde las evaluaciones

Evaluación diagnóstica

1. A. 6 2 3 2 9 2 7 1 15 2 8 2 14 5 ( E ) 18B. 2 2 (22) 2 3 5 ( C ) 221C. 95.83 2 79.58 1 60.75 2 98 ( ) 1D. (22) 1 (22) 1 (3) ( D ) 21E. 46.75 1 (2 12.25) 2 16.5 ( ) 220

2. a. a (b 2 c)ab 2 ac

b. 3x 1 x 2 62(2x 2 3)

x 1 x 1 x 1 x 2 3 2 3

c. 2s 1 2t

2(s 1 t)(s 1 t)2

3. a. B. x 5 3.5 b. D. x 5 21 c. D. x 5 215

4. a. N b. S c. N

5. a. R. M. [(3 1 5) 4 (2 3 8)] 4 0.5 5 1

b. R. M. 3 1 [(7 2 2) 3 (18 2 15)] 4 5 1 3 5 9

c. R. M. [(8 1 3) 3 (5 2 4)] 1 [(7 2 3) 3 (8 2 7)] 5 15

d. R. M. [(2.8 1 3.2) 3 (4.1 2 1.1) 1 2] 4 5 5 4

6. B. y 5 2x 1 3

C. y 5

15 x1 3

A. y 5 3x

7. D. β 5 25.22°

8.

9. C. 10, 17, 24, 31, 38

y

x

5

4

3

2

2 3 4

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

y

x

5

4

3

2

2 3 4

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

y

x

5

4

3

2

2 3 4

1

121

22

23

24

25

25 21222324 0

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10.x y

0 01.5 3.753 7.54.5 11.256 15

11. a. (2) 1 (2) 2 (2) 1 (22) 5 0b. (24) 1 (24) 1 4 5 24c. (23) 2 (-3) 2 (23) 1 3 5 6d. (25) 1 (25) 1 (25) 5 215e. (27) 2 (27) 2 (27) 2 7 5 0

12. a. 5.4 b. 6.8 c. 9.3 d.

7

18 o 0.38

e. 0

13. a. 24.50 3 0.75 5 18.375 24.50 3 2.5 5 61.25 24.50 3 4 5 98

Se pagarán $18.38, $61.25 y $98.00 respectivamente

b. 581.40 4 20.40 5 28.5

Se compraron 28.5 L de gasolina.

14. h 5 3 cm

15. 6.2(x 1 2.8) 5 2x 1 23.24 6.2x 1 17.36 5 2x 1 23.24 6.2x 2 2x 5 23.24 2 17.36 4.2x 5 5.88 x 5 5.88 4 4.2 x 5 1.4

16. a.

Númerode copias

Costo ($)

Servicio 1 Servicio 2

5 2.00 6.25

10 4.00 7.50

15 6.00 8.75

20 8.00 10.00

25 10.00 11.25

30 12.00 12.50

35 14.00 13.75

b. El costo del servicio 1 sí es proporcional,

ya que para saber cuánto hay que pagar basta multiplicar el número de copias por 0.40. El del servicio 2 no lo es.

c. • Servicio 1: 0.40 n • Servicio 2: 0.25 n 1 5

y

x5 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Servicio 1

Servicio 2

15 20 25 30 35

5 cm

7.5 cm

h

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17. y 5 2x 1 52

18. a. Varía entre 2 8 y 4. b. Varía entre 2 12 y 12 . c. Cuando x 5 0, y 5 4 d. Cuando y 5 0, x 5 22 e. Cuando x 5 4, y 5 12 f. Cuando los valores de x aumentan, los va

lores de y también aumentan.

19. a. Se le aplicó un 35% de descuento. b. Mariana pagará $617.50.

20. 3x 1 49 5 100 3x 5 100 2 49 3x 5 51 x 5 51 4 3 x 5 17

Evaluación del trimestre 1

1. A. 25 ( D )

18

B. 218

( A ) 52

C. 252

( B ) 28

D. 8 ( C ) 225

2. a. (23) 3 (27) 5 21 V b. (22) 3 (25) 5 210 F c. (22) 3 (22) 3 (22) 5 28 V d. (21) 3 (2) 3 (22) 3 (22) 5 28 V e. (24) 3 (23) 3 (4) 3 (3) 5 144 V f. (236) 4 (22) 5 218 F g. (248) 4 [(22) 3 (4)] 5 6 V h. (2)5 3 (2)4 5 2 F i. (5)7 4 (5)24 5 (5)23 F j. (8)7 3 (8)3 3 (8)2 5 (8)12 5 V

3. Las cantidades ordenadas de menor a ma-yor son: 2.9 3 1023 , 2.3 3 1022 , 2.5 3 1022 ,

3.2 3 1021 , 3.3 3 1021.

4. a. B. 2.8 3 103

b. D. 7.01 3 1023

c. D. 2.8 3 101

d. C. 3 3 1015

5. A. P 5 x 1 2x 1 4y ( ) B. P 5 3(x 1 y) ( ) C. P 5 (x 1 y) 1 2x 1 2y ( ) D. P 5 x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 y ( ) E. P 5 2(3x 1 3y) ( ) F. P 5 6x 2 3x 1 4y ( )

6. a. C. 14 b. C. 30

7.

a. Convexo

b. Cóncavo

c. Cóncavo

x

y

1

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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Respuestas de las evaluaciones

d. Cóncavo

8. a. 81 4 29 5 29 b. (25) 3 (25) 3 5 5 125 c. (3)5 3 (3)6 5 (3)11

d. (9)12 4 (9)8 5 (9)4

e. (3)26 3 (3)11 5 (3)6

f. (9)6 4 (9)22 5 (9)8

9. a. Utilizaron 14 5 o 2 4

5 de taza de arándano.

b. Se deben utilizar 25 8 o 3 1

8 de taza de arándano.

10. Rosas: 1 200 m2

Margaritas: 1 000 m2

Alcatraces: 1 000 m2

11. a. 527

52 5 159

b. 33

32 5 3

c. 225

226 5 2

d. 728

724 5 174

12. a. 10 veces b. 2.9996 3 101 m

13. a.

b. 2n 1 6 c. Tendrá 106 triángulos.

14. El sistema que modela el problema es:

x 1 y 5 840x 1 20y 5 260

La solución del problema es:

x 5 5, y 5 3

15.

x 5 1, y 5 3

80 m

40 m

1 200 m2

1 000 m2

1 000 m2

25

5

2121 1 2 3 4 5

x

y

222324 0

4

22

3

23

2

24

1

25

25

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5. a. 30120 5 0.25

b. 102120 5 0.85

c. 48120 5 0.40

d. 72120

5 0.60

Evaluación del trimestre 2

1. A. (777.6) 4 (22.7) 5 ( E ) 0.125

B. (2425 ) 4 (2

112 ) 5 ( C ) 2 5.825

C. 2(1.8)3 5 ( B ) 45

D. (215 )2

5 ( A ) 2288

E. (21) (212 )3

5 ( D ) 0.04

2. a. F b. F c. V d. V

3. a. C. x 1 x 2 3 1 b2

b. D. x 2 3 2 x2

4. a.

x 1 1.5 5 10 12y 240 160 48 24 20

Tipo de variación: VI (Variación inversa)

Función: y 5 240x

b.

x 1 2 3 4 5y 5 8 11 14 17

Tipo de variación: VL (Variación lineal)

Función: y 5 3x 1 2

c.

x 1 5 10 15 20y 360 72 36 24 18

Tipo de variación: VI (Variación inversa)

Función: y 5 360x

6. ( ) Triángulos( ) Dodecágonos( ) Eneágonos( ) Pentágonos( ) Hexágonos( ) Octágonos( ) Cuadrados( ) Decágonos

7. C. 3.3.4.3.4

A. 3.4.6.4

D. 3.6.3.6

B. 4.8.8

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Respuestas de las evaluaciones

8. a. (x2a)(x3a + 1) )(x2a – 2 ) 5 x7a – 1

b. (m3 )x + 2 5 m3x + 6

c. 3 5x + 3

3 2x 5 33x + 3

d.

(2b)– 4

(4b)– 3 5 4b

9.

10.

11.

a. 6x b. x c. 6x 1 x 1 x

d. (B 1 b) h

2 5

(6 1 2) (2x)2

e. 6x 1 x 1 x 5 8x;

(6 1 2) (2x)2

5 16x

2 5 8x

12. a. Se despeja x de la primera ecuación:

x 5 20 2 2ySe sustituye x en la segunda ecuación y se resuelve:

2x 2 y 5 5 2(20 2 2y) 2 y 5 5 40 2 4y 2 y 5 5 25y 5 235 y 5 235 4 25 y 5 7

Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción despejada:

x 5 20 2 2(7) x 5 20 2 14 x 5 6

b. Se despeja x de ambas ecuaciones:x 5 2 4 2 yx 5 2 2 1 y

Se igualan las ecuaciones y se resuelve:24 2 y 5 22 1 y 2y 2 y 5 22 1 4

22y 5 2 y 5 2 4 22 y 5 21

Se sustituye el valor obtenido en cualquie-ra de las ecuaciones despejadas:

x 5 22 1 (21) x 5 23

c. Se suman ambas ecuaciones: 3x 1 2y 5 4 2x 2 2y 5 24 5x 1 0y 5 0

Se resuelve:5x 5 0 x 5 0

Se sustituye el valor obtenido y se resuelve:3(0) 1 2y 5 4

2y 5 4 y 5 4 4 2 y 5 2

Expresión algebraica simplificada

1.36x 2 1.05y

25p 1 3 q 2

10x2 y 1 5xy2

34

32

Expresión algebraica simplificada

05x 1 0.75x 1 2.5y 1 1.5y

3x2 z52(2x2z5)12x3 z2

2 3x3 z2 1 x3z2

6

2

2x

x

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x 5 1.8, y 5 2.2 ( )

13.

Evaluación del trimestre 3

1. Iván: $75 Ricardo: $30 José Antonio: $45

2. a. 2x 1 y 5 6 3x 1 y 5 8

b. 2x 1 y 5 4 5x 1 5y 5 2

c. 4x 2 y 5 4 x 1 y 5 22

3. C. 4 cm

4. B. 3.14 cm2

5. a. El terreno tiene 13.71 m de largo y 7.312 m de ancho.

b. El área es de 100.24 m2.

6. a. Las cantidades ordenadas de menor a mayor son: 0.5 L, 1 800 mL, 580 cL, 0.27 hL.

b. Las cantidades ordenadas de menor a mayor son: 280 cm, 0.049 hm, 6 700 mm, 0.0623 km.

7. x 5 2.8 cm

8. a. V 575.36 cm3

b. AL 575.36 cm2

c. AT 5100.49 cm2

9. a. 4.5 b. 18

10. a. 23 cm b. 13.225 dm3

11. 7x 1 4y 5470 3x 1 2y 5210

Modelo I: 50 sillas; Modelo II: 30 sillas

12.

a. El 10 de julio b. El 2 de julio c. El tipo de cambio disminuyó.

13. a. Facultad A: 203.43 Facultad B: 247.14 b. Facultad A: 396 Facultad B: 90 c. Facultad A: 117.061 Facultad B: 31.02 d. La facultad A

0.5

0

1.01.52.02.53.03.54.04.5

De 0 a 50 De 50 a 100 De 100 a 150De 150 a 200De 200 a 250

19.219.0

19.419.619.8

20.220.0

20.420.620.8

2 3 4 5 6 7 8 9 1010

Límite inferior

Límite superior

Marca de clase

Frecuencia absoluta

0 50 25 150 100 75 3

100 150 125 4150 200 175 4200 250 225 3

6 cm

4 cm

x 5 2, y 5 2 ( )

x 5 0.4, y 5 22.4 ( )

6 cm

8 cm

x

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Solucionario del libroTrimestre 1Secuencia didáctica 1Página 22

1. a. 11 días b. 141.75 m2

c. $33 382.125

Página 27Punto de llegada

1. a. Pablo: 140 3 50 5 7 000 Lorena: 25 3 210 5 2250 Mario: 70 3 20 5 140

b. Lorena, ya que descendió 25 m únicamen-te, por lo cual fue penalizada.

c. El ganador fue Pablo porque logró descen-der los 140 m.

d. Si Luis obtuvo 2350 m, entonces fue pe-nalizado con 210 puntos por cada metro descendido; por lo tanto, tuvo que des-cender 35 m.

Secuencia didáctica 3Página 29

1. a. Sí, ya que al ser operaciones inversas, divi-dir entre a equivale a multiplicar por por tanto las leyes de los signos se cumplen.

3. a. 24 °C b. 25 °C

c. Este año fue dos veces más frío que el año pasado

Página 30Practicar para avanzar

2. a. A 26 metros con respecto al nivel del suelo

b. Después de 7 días

Secuencia didáctica 6Página 43Practicar para avanzar

3. a. Los adultos b. El hongo c. El de 6 3 1029

Página 44

2. a. • $157 127 • Sí, convirtiendo ambas cantidades a su

• No, debido a que las cantidades no eran muy grandes y no había ceros que suprimir.

Página 45

3. a. 286 030 b. 0.45438

4. f. Para el problema 2: Pregunta a. (1.6 3 106 ) 4 (1.77 3 103) Pregunta b. (1.6 4 1.77) 3 (106 4 103) Pregunta c. 0.9039 Pregunta d. 103 Pregunta e. 0.9039 3 103 5 9.039 3 102

Página 46Punto de llegada

2. a. 0.315 b. 1.76 3 10210

c. 7.88 3 1022

d. 5 3 1029

Secuencia didáctica 7Página 51Practicar para avanzar

Dos sacos alcanzan para alimentar a 30 perros du-rante 4 días. Dos costales alcanzan para alimen-tar a 30 perros durante 6.66 días. Con dos costales y dos sacos se puede alimentar a 30 perros duran-te 10.66 días y a 20 perros durante 16 días.

1a

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Solucionario del libroSecuencia didáctica 8Página 56

1.

e. Respuesta modelo (R. M.) 2 1 n 1 n 1 n 1 n (2n 1 1) 1 (2n 1 1)

Secuencia didáctica 10Página 63

2.

Donde a es el número de veces que juega “Batalla de titanes”, b el número de veces que juega “Salva a Lucas” y c, “Carrera en el espacio”.

Practicar para avanzar

1.

a. 30 g de pasas con chocolate y 20 g de luneta

b. 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Página 65Punto de llegada

1. a. Primer sistema: Tiene solución única: x 5 3, y 5 3. Segundo sistema: Tiene solución única: x 5 5, y 5 0. Tercer sistema: No tiene solución.

b. No, las soluciones son únicas en el primer y segundo sistema.

c. R. L.

3. Hay 61 frascos de mermelada de fresa y 37 de chabacano.

Secuencia didáctica 11Página 67

1. e.

Practicar para avanzar

1. a. a 1 b 1 c 5 1025a 1 50b 1 20c 5260 c 5 2 a

x 1 y 5 50 0.8x 1 0.4y 532

1

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

56

7

8

910

x

y

y

1

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

56

7

8

910

x

Figura 3 Figura 4 Figura 5

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Solucionario del libro

b.

c.

Página 68

1. d.

2. a. 56 llamadas b. 62 llamadas c. A Joaquín y Lucero les conviene el plan I, a

Nayeli el plan III y a Pedro el plan II. Página 69Punto de llegada

1. a. Hay un sistema con una solución. b. Puede haber 6 sistemas, cada uno con

una solución. c. Puede haber 3 sistemas con la misma

solución. d. e. Un sistema sin soluciones. f. Un sistema con una solución.

Secuencia didáctica 12Página 76

2. a. • Calcula el tiempo y elabora una tabla…

Número de pipas Tiempo (min)

1 402 203 13.334 105 8

100

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

100x

y

010 20 30 40 50 60 70 80 90 100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

y

1

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

56

7

8

910

x

y

1

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

56

7

8

910

x

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b.

Participantes Días

300 42350 36400 31.5450 28500 25.2

Punto de encuentro Página 99

2. a.

e.

Rendimiento km/L Litros de gasolina...

0.2352 5105.88

0.1567 3401.25

0.1176 2552.94

0.0940 2041.39

0.0784 1701.96

0.0672 1458.33

0.0588 1276.47

Trimestre 2Secuencia didáctica 17Página 107Practicar para avanzar

2. a. 215/8 L/h 5 21 7/8 L/h b. R. M. Disminuye, por el signo negativo.

Página 109Punto de llegada

2. a.

b. Se aplicó una escala de 21/5.

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0

0.1

2

0.1

4

0.1

6

0.1

8

0.2

0

10

0

10

0

2030405060708090

100

20

03

00

40

05

00

60

07

00

80

09

00

10

00

1000

0 2 4 6 8 10

20003000400050006000700080009000

10000

1214 16 18 20

1000 x

y

0

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0.0

2

252

5

2121 1 2 3 4 5

x

y

222324 0

4

22

3

23

2

24

1B 5 (23.85, 0.28)

A 5 (2.31, 1.16)

D 5 (2.75, 25.72)

C 5 (21.21, 21.21)

25

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Secuencia didáctica 18Página 113Practicar para avanzar

1. a. 0.962

b. (1 1/5)4

c. La población de la comunidad B debe ser aproximadamente el 51% de la comuni-dad A.

d. • 8 153 habitantes • 12 441 habitantes

Secuencia didáctica 21Página 127Practicar para avanzar

1. Porque en la primera expresión ambos tér-minos tienen la misma literal y por tanto se pueden operar, mientras que en la segunda no.

2. a. n 1 m 1 2n 5 3n 1 m b. x2 1 3x

c. a2 1 3a 2 12

a 5 a2 1 2 12

a

Secuencia didáctica 22Página 130Trayecto formativo

1. e.

Dividiendo el romboide:

Área de cada triángulo: 4 3 (x 2 4)2

5 2x 2 8 Área del rectángulo: 4x Área del romboide: 2x 2 8 1 2x 2 8 1 4x 5 8x 2 16

Con la fórmula del romboide:

Longitud de la base: 2x 2 4 Altura: 4 Área: 4 3 (2x 2 4) 5 4 3 2x 2 4 3 4 5 8x 2 16

Página 131Practicar para avanzar

1. -ferentes formas, pero en todos los casos debe obtener que el área es 11x 1 14.

Secuencia didáctica 23Página 135Practicar para avanzar

1. Figura 1. Área: 8x

Figura 2.

Área: (3 1 11) 3 (x 1 4)2

5 14 3 (x 1 4)2

5 7x 1 28 Figura 3.

Área: 8 3 (x 1 2x1 4) 2

5 8 3 (3x 1 4)2

5 12x 1 16

x

8

x 1 4

11

3

2x 1 4

8

x

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Página141Punto de llegada

1. Del paso i. al ii. Se aplica la propiedad de suma de equivalencias. Del paso ii. al iii. Se aplica la propiedad 3 di-vidiendo toda la ecuación entre un número.

Del paso iii. al iv. Se utiliza la propiedad de sustitución.

Del paso v. al vi. Se aplican las propiedades 1 y 3 al sumar y dividir la ecuación para des-pejar x.

Secuencia didáctica 25Página 143

2. a.

b. La solución es x 5 12, y 5 27.

Figura 4. 3 3 (x 1 4) 5 3x 1 12

Área total: 30x 1 56

Secuencia didáctica 24Página 139Practicar para avanzar

1. a. Sí son equivalentes porque se aplica la propiedad distributiva.

b. No son equivalentes porque una es igual a 121 y la otra, a 17.

c. No son equivalentes porque una tiene lite-rales y la otra no.

2. a. 24z 2 18 b. 8 c. 23n d. 57

Página 140

1. a. R. M. Gerardo y su compañero, porque si se sustituye el valor de la variable se cum-ple la igualdad.

b. R. M. Sí, porque al sustituir el valor de la variable se cumple la igualdad.

c. R. M. Sí, si el perro pesa lo mismo que el gato y el gato pesa lo mismo que tres ardi-llas, entonces el perro pesa lo mismo que las tres ardillas.

2. a. Sí • R. M. En la misma ecuación tiene el mis-

mo valor, pero cambia de acuerdo con la ecuación dada.

b. Sí • Son equivalentes.

c. P 5 G y G 5 3A entonces P 5 3A • R. M. Si una primera cantidad es igual a

una segunda y esta segunda cantidad es igual a una tercera, entonces la primera cantidad es igual a la tercera.

25

5

2121 1 2 3 4 522232425

24

0

4

22

3

23

2

1

y

x

2101

10

2222 2 4 6 8 10242628210

28

0

8

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6

26

4

2

y

x

x 1 4

3

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Página 145Punto de llegada

1. a. x 5 3 y y 5 1 b. Las variables se eliminan y, en este caso,

se tiene una igualdad que no se cumple; por tanto, el sistema no tiene solución.

2.

Solución: x 5 4.8 y y 5 3.2

a. R. M. Sí, porque es el mismo sistema y, por tanto, debe tener el mismo conjunto solución.

b. R. L.

Página 147

3. a. x 5 2 y y 5 3 b. x 5 0 y y 5 3 c. x 5 1 y y 5 1.5

Punto de llegada

3. Los botones chicos cuestan $0.80 y los me-dianos, $1.25.

Secuencia didáctica 26Página 150Practicar para avanzar

1. a.

b. y 5 80x 1 1600 c. Para 200 personas: $17 600

Para 300 personas: $25 600

Página 151

2. f.

Página 152Punto de llegada

2. g.

x 1 y 5 80.6x 1 0.35y 5 4

y

x

15 30 45 60 75 90 105 120 135150

15000

13500

10500

9000

7500

6000

4500

3000

15000

12000

y

x0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

50

45

35

30

25

20

15

10

5

0

40

1.6 1.8 2

300

x

y

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

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Polígonos y ángulos en el vértice: Vértices con 6 triángulos; con 3 triángulos y 2 cuadra-dos; con un cuadrado, dos triángulos y un dodecágono Suma de los ángulos: 360°

Teselado 3. Polígonos que lo forman: Triángulos y cuadradosPolígonos y ángulos en el vértice: Vérti-ces con 6 triángulos; con 3 triángulos y 2 cuadrados Suma de los ángulos: 360°

Teselado 4. Polígonos que lo forman: Triángulos y cuadradosPolígonos y ángulos en el vértice: Vértices con 3 triángulos y 2 cuadrados Suma de los ángulos: 360°

Teselado 5. Polígonos que lo forman: Triángulos, cua-drados y dodecágonosPolígonos y ángulos en el vértice: Vértices con un cuadrado, dos triángulos y un dode-cágono; un triángulo y dos dodecágonos Suma de los ángulos: 360°

Página 159Punto de llegada

1. a. R. M. En los teselados 1 y 4 hay única-mente polígonos irregulares; en los te-selados 2 y 3 hay polígonos regulares e irregulares. • Los teselados 1, 2 y 3 están formados por

diferentes polígonos; el teselado 4 está formado por un único polígono.

• No

b. Teselado 1.

Hay vértices con 4 cuadriláteros, con 2 cua-driláteros y 2 triángulos, con 4 cuadriláte-ros y 4 triángulos, y con tres triángulos y un cuadrilátero.

Secuencia didáctica 27Página 156

1. a. R. M.

b. R. M.

c. R. M.

d. R. M.

e. R. M.

Página 157Practicar para avanzar

1. a. Los teselados son semirregulares porque están formados por más de dos polígo-nos regulares. El teselado de la derecha es 3.4.6.4 en todos los vértices y el de la iz-quierda es 3.4.4.

Página 158

1. a. Teselado 2.

Polígonos que lo forman: Triángulos, cuadra-dos y dodecágonos

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Teselado 2.Hay vértices con 2 pentágonos y 1 rombo, y con 3 pentágonos y 1 rombo.

Teselado 3.Tiene vértices con 3 pentágonos y un decágo-no (estrella), tres pentágonos y un rombo, y con dos pentágonos y un rombo.

Teselado 4:Tiene vértices con 4 hexágonos y con 2 hexágonos.

c. No

Secuencia didáctica 32Página 187Practicar para avanzar

1. a. No, porque cada uno de ellos tiene la mis-ma probabilidad de sacar 1 al lanzar el dado.

2. a. El que eligió la canica verde. b. No, porque se esperaría que el margen de

diferencia fuera muy pequeño. c. La probabilidad teórica de que salga cada

canica es de 1/4.

Punto de encuentro Página 191

2. a. • 2 0.38 • 0.74 •

tiempo. b.

• 16.57 • 4.457 • -

ble con el avance del tiempo.

Trimestre 3Secuencia didáctica 33Página 198Trayecto formativo

1.

Página 199

2.

252627

70

21 1 2 3 4 5 6 7222324 0

60

50

40

30

20

10

1

010 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2

3

4

5

6

7

8

9

10

21

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

29

28

27

26

25

24

23

22

210

a2

a

a

a

a

2 a

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Secuencia didáctica 34Página 204

1. b. Ana: $1 850.00, Maricruz: $462.50, Tomás: $1 387.50

Página 207Punto de llegada

1. a. • 18:10:4 • 18x 1 10x1 4x 5 8 000 • $4 500, $2 500 y $1 000

b. 12.12, 9.09 y 7.27 aproximadamente c.

• La razón anterior describe una propor-ción de tres cantidades que guardan la siguiente relación: el valor de la primera es 3 veces el de la segunda y el valor de la segunda es 3 veces el de la tercera.

• R. L.; 69.23%, 23.08% y 7.69%; 9:3:1

Secuencia didáctica 35Página 209

2. a. Sistema 1: No tiene solución.Sistema 2: p 5 2 y q 5 24Sistema 3:

b. Sistema 1:

Sistema 2:

Sistema3:

3. a. El problema no tiene solución.

Página 213

4. Sistema 1: x 5 2 y y 5 3Sistema 2: x 5 0 y y 5 3Sistema 3: x 5 1 y y 5 3

Punto de llegada

1. Sistema 1:Sistema 2: s 5 26 y t 5 27/3Sistema 3: No tiene solución.

25 1 2 3 4 524 23 22 21 0

23

24

25

22

21

1

2

3

4

5

x

y

25 1 2 3 4 524 23 22 21 0

23

24

25

22

21

1

2

3

4

5

x

y

252

5

2121 1 2 3 4 5222324 0

4

22

3

23

2

24

1

25

y

x

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Solucionario del libro

Secuencia didáctica 36Página 220Punto de llegada

1. Problema 1. 14 939 tarjetas sin hoyos y 3 734 tarjetas con hoyos.

Problema 2. Entre los 65 artículos, la remesa contenía 20 faldas y 40 suéteres..

Secuencia didáctica 37Página 222Punto de partida

1. g.

Página 223Practicar para avanzar

1. a.

b. c 5 3 000 1 150n c. $6 750 y $9 000 d. 27 niños e. n 5 (c 2 3 000) 4 150

Secuencia didáctica 41Página 245Punto de llegada

3. a. 34 vasos de agua de jamaica y sobran 140 mL.

b. 0.54 g c. 40 bolsas

Secuencia didáctica 44Página 259Practicar para avanzar

1. a. R. M. Temperatura:

Intervalo t f f 3 t I t 2 t I f 3 I t 2 t I

[8, 11) 9.5 6 57 8.625 51.75

[11, 14) 12.5 3 37.5 5.625 16.875

[14, 17) 15.5 3 46.5 2.625 7.875

[17, 20) 18.5 1 18.5 0.375 0.375

[20, 23) 21.5 3 64.5 3.375 10.125

[23, 26) 24.5 3 73.5 6.375 19.125

[26, 29] 27.5 5 137.5 9.375 46.875

24 435 153

Velocidad del viento:

Intervalo v f f 3 v | v 2 v | f 3 | v 2 v |

[8, 12) 10 10 100 5 50

[12, 16) 14 4 56 1 4

[16, 20) 18 4 72 3 12

[20, 24] 22 6 132 7 42

24 360 108

b. Temperatura:t 5 18.125, DMt 5 6.375

Velocidad del viento:v 5 15, DMv 5 4.5

1

x

y

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1000

x

y

05 10 15 20 25 30 35 40 45 50

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

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Formato de planeaciónSecuencia didáctica

Trimestre: Eje temático: Aprendizaje esperado:

Tema:

Duración: Número de sesiones:

Periodo: del al de

Desarrollo de la secuencia didáctica

Sesión Actividades Páginas del libro del alumno

L

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MATEMÁTICAS 2

María Trigueros Gaisman Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres María Dolores Lozano Suárez Mercedes Cortés Lascurain

Emanuel Jinich Charney Mónica Inés Schulmaister

SECFORMAT2_LIBRO DEL MAESTRO_ajustado.indb 1 11/23/18 9:56 AM

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Presentación

Querido alumno:

Bienvenido a tu segundo curso de Matemáticas de secundaria.

El libro Matemáticas 2 lo hicimos pensando en ti, para que te acompañe en esta nueva etapa. En él encontrarás problemas y situaciones para que construyas ideas y concep-tos matemáticos que te ayudarán a comunicar tus argumentos, a justi car tus procedi-mientos y a comprender las nuevas técnicas con las que te irás familiarizando a lo largo del curso. Decidimos enriquecer este libro con gran diversidad de contextos pensando en que tu proceso de aprendizaje no solo sea completo y lleno de signi cado, sino también interesante y entretenido.

Cuando estudias matemáticas pones en juego todo lo que has aprendido. Por ello, cada vez que te encuentres ante un nuevo reto, decide cuáles conceptos y procedimientos pueden serte útiles y cuáles debes descartar. Algunas decisiones pueden lle-varte a no hallar la solución, así que prueba con otras estra-tegias e inténtalo las veces que sea necesario. Imaginar otras formas de resolver problemas te conducirá a desarrollar nue-vas habilidades y a adquirir conocimientos matemáticos. Si te equivocas, no tengas miedo de intentarlo otra vez, revisa tu procedimiento y corrige si lo consideras necesario. El error es una oportunidad para aprender.

Te invitamos a compartir tus estrategias de solución y a escuchar y tomar en cuenta las de tus compañeros de clase. Una idea puede ser enriquecida escuchando a los demás. Recuerda que puedes preguntar a tu profesor o a tus compañeros. Juntos podrán rela-cionar lo que sabían con lo que están aprendiendo. Por lo anterior, encontrarás también muchas oportunidades para proponer soluciones de manera individual, en parejas, en equipo o en grupo.

Nuestro principal objetivo al escribir este libro es que adquieras, de manera signi cativa, los aprendizajes esperados del grado y te familiarices con la forma de pensar en mate-máticas. Así podrás hacer de esta asignatura una herramienta útil para resolver proble-mas en otros contextos y en tu vida personal, al tiempo que comprendes la relevancia que tiene en la sociedad.

Estamos seguros de que el esfuerzo que hemos puesto al escribirlo se verá re ejado en tu aprendizaje a lo largo de este ciclo escolar.

Disfrútalo mucho.

Los autores

El trabajo colaborativo enriquece tus estrategias y procedimientos.

3

SECFORMAT2_LIBRO DEL MAESTRO_ajustado.indb 3 11/23/18 9:56 AM

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¿Cómo trabajarásen este curso?

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas te ayudarán a resol-ver problemas en la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprende-rás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años y que te permitirán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justi quen tus re-sultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen como nalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des signi cado a nuevos aprendizajes. Asimismo, buscamos que re exiones sobre aspectos de los problemas que te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu ca-pacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos cuestionamientos. Además, queremos que aprendas, mediante la re exión y la com-prensión, técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten signi cativas.

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo, que estará presente en todas las secuencias didácticas de este libro. Considera que, en un equipo, cada integrante debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa.

amplia

r

validar resolver desarro

llar

Resultados y conclusiones

Nuevas técnicas y procedimientos

Matemáticas

Problemas

Conocimientos

4

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¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que es un problema orientado a que retomes y apliques tus conocimientos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promue-ven la re exión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se incluyen conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos la sección “Practicar para avanzar”, con ejercicios y problemas de aplicación que te permitirán hacer un seguimien-to personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con una serie de pre-guntas en la sección “Punto de llegada”, para que valores si comprendiste los temas y conceptos que estudiaste. Si tienes dudas, es importante que tengas la con anza de co-mentarlas con tu profesor y con tus compañeros.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tie-nen objetivos especí cos y que te ayudarán a mejorar tus capacidades de solucionar problemas, de argumentación y de re exión.

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana y es un recur-so importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más valioso aún, proporciona herramientas dinámicas que te permiten simu-lar, imaginar, predecir y re exionar sobre situaciones matemáticas y analizar problemas en distintos contextos.

¿Cómo reviso mi avance?

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán aden-trarte en la relación de las matemáticas con diversos temas como el cuidado de la salud y del medioambiente, con la intención de que integres tu conocimiento general y reconoz-cas cómo las matemáticas permiten resolver problemas aparentemente muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.

“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo im-portante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, re-vises y re exiones sobre lo aprendido y lo que se te di culta. Esto es necesario para que tus compañeros y tu profesor te ayuden a superar las di cultades antes de continuar con el estudio de otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de algu-na manera.

“Valoro mis fortalezas”. Al nal de cada trimestre encontrarás nuevos problemas con los cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

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Índice

3 Presentación

4 ¿Cómo trabajarás en este curso?

12 Así es tu libro

Secuencia didáctica 1 18Multiplicación y división de fracciones y decimales• Resuelves problemas que impliquen multiplicar y

dividir fracciones y decimales positivos.

Lección 1. Multiplicación de fracciones 18Lección 2. División de fracciones 20Lección 3. Multiplicación y división de decimales 22

Secuencia didáctica 2 24Multiplicación de números enteros• Multiplicas números enteros.

Lección 1. Números positivos y negativos 24Lección 2. Más sobre multiplicación 26

Secuencia didáctica 3 28División de números enteros• Resuelves problemas que implican la división

de números enteros.

Lección 1. ¿Qué temperatura marcaba? 28Lección 2. Multiplicación y división de números

con signo 30

Secuencia didáctica 4 32Potencia de un número entero• Resuelves problemas que implican el cálculo de

potencias de números enteros.

Lección 1. Productos 32Lección 2. Potencias de números negativos 34

Secuencia didáctica 5 36Exponentes negativos• Resuelves problemas de potencias con exponente

entero negativo.

Lección 1. Cociente de potencias 36Lección 2. Exponentes negativos 38Lección 3. Cociente de potencias negativas

y mixtas 40

Secuencia didáctica 6 42Números muy grandes y muy pequeños • Resuelves problemas utilizando la notación cientí ca.

Lección 1. ¿Qué es la notación cientí ca? 42Lección 2. Operaciones con notación cientí ca 44

Reviso mi trayecto 47

Secuencia didáctica 7 48Proporcionalidad directa e inversa

TRIMESTRE 1 16

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• Diferencias entre situaciones que presentan proporcionalidad directa e inversa y resuelves problemas que presentan ambos tipos de proporcionalidad.

Lección 1. Dos tipos de relaciones entre cantidades 48

Lección 2. Proporcionalidad inversa 50Lección 3. Proporcionalidad directa e inversa 52

Secuencia didáctica 8 54Sucesiones lineales• Representas algebraicamente sucesiones lineales

utilizando más de una expresión y analizas la equivalencia entre ellas.

Lección 1. Representaciones algebraicas de sucesiones 54

Lección 2. Expresiones algebraicas equivalentes I 56

Secuencia didáctica 9 58Perímetros de fi guras• Formulas expresiones algebraicas de primer

grado para representar propiedades (perímetros) de guras geométricas.

Lección 1. Diferentes procedimientos para calcular el perímetro 58

Lección 2. Expresiones algebraicas equivalentes II 60

Secuencia didáctica 10 62Sistemas de ecuaciones lineales • Resuelves problemas mediante el planteamiento

de un sistema de ecuaciones y lo resuelves por prueba y error.

Lección 1. Sistemas de ecuaciones 62Lección 2. Para solucionar sistemas de ecuaciones 64

Secuencia didáctica 11 66Representación gráfi ca de sistemas de ecuaciones lineales• Empleas el método grá co para analizar cuándo un

sistema tiene una solución, in nidad de soluciones o no tiene solución. Resuelves sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método grá co.

Lección 1. Grá cas de ecuaciones lineales 66Lección 2. Conjunto solución de un sistema

de ecuaciones lineales 68

Resuelvo con tecnología 70

Secuencia didáctica 12 72Gráfi ca de proporción inversa• Analizas y representas la variación inversa

de manera grá ca, tabular y algebraica.

Lección 1. Proporcionalidad y funciones 72Lección 2. Trazo de una grá ca de

proporcionalidad inversa 74

Reviso mi trayecto 77

Secuencia didáctica 13 78Polígonos y sus ángulos• Analizas y clasi cas polígonos con base

en la medida de sus lados y ángulos.

Lección 1. Rompecabezas y geometría 78Lección 2. ¿Cómo son los ángulos internos

de otros polígonos? 80

Secuencia didáctica 14 82Diagonales de los polígonos• Analizas los patrones que se forman a partir

del trazo de las diagonales de un polígono.

Lección 1. Las diagonales 82Lección 2. Las diagonales de un polígono

en una circunferencia 84

Secuencia didáctica 15 86Ángulos centrales y polígonos• Deduces la relación entre los ángulos centrales

de un polígono y su número de lados.

Lección 1. Ángulos centrales de una circunferencia 86Lección 2. Ángulos centrales y sus medidas 88Lección 3. Polígonos regulares y ángulos centrales 90

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Secuencia didáctica 16 92Más sobre ángulos de polígonos• Deduces la relación entre los ángulos de un polígono

regular y de su suma con el número de lados.

Lección 1. Ángulos internos y externos de polígonos convexos 92

Lección 2. La suma de los ángulos internos y externos 94

Resuelvo con tecnología 96

Punto de encuentro 98

Reviso mi trayecto 100

Valoro mis fortalezas 101

TRIMESTRE 2 104

Secuencia didáctica 17 106Multiplicación y división de números positivos y negativos• Resuelves problemas de multiplicación y división

con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Lección 1. Operaciones con fracciones positivas y negativas 106

Lección 2. Operaciones con decimales positivos y negativos 108

Secuencia didáctica 18 110Potencias de fracciones y decimales• Resuelves problemas de potencias

con exponente entero.

Lección 1. Números fraccionarios con signo 110Lección 2. Potencia de números

decimales con signo 112

Secuencia didáctica 19 114Potencia de potencias• Resuelves problemas de potencias

con exponente entero.

Lección 1. Multiplicación de potencias por sí mismas 114

Lección 2. Potencias mayores y menores que cero 116

Secuencia didáctica 20 118Las leyes de los exponentes• Aplicas las leyes de los exponentes

y utilizas literales.

Lección 1. Verdadero o falso 118Lección 2. Otras leyes de los exponentes 120

Reviso mi trayecto 123

Secuencia didáctica 21 124Expresiones algebraicas• Estableces expresiones algebraicas para describir

diversas situaciones y veri cas su equivalencia mediante la simpli cación y descomposición.

Lección 1. Producción de basura en México 124Lección 2. Más de expresiones algebraicas 126Lección 3. Simpli cación de términos

semejantes y construcción de expresiones equivalentes 128

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Índice

Secuencia didáctica 22 130Geometría con álgebra• Formulas expresiones de primer grado para

representar el área de polígonos mediante su división en triángulos y cuadriláteros, y compruebas su equivalencia.

Lección 1. Área de cuadriláteros 130Lección 2. Expresiones algebraicas equivalentes III 132

Secuencia didáctica 23 134Áreas de fi guras• Representas con diferentes expresiones el área de

una gura y compruebas su equivalencia mediante operaciones algebraicas.

Lección 1. Diferentes estrategias para encontrar el área 134

Lección 2. Expresiones algebraicas equivalentes IV 136

Secuencia didáctica 24 138Propiedades de la igualdad• Comprendes las propiedades de la igualdad y los

usos para resolver ecuaciones.

Lección 1. ¿Qué signi ca la igualdad? 138Lección 2. Propiedades y uso de la igualdad 140

Secuencia didáctica 25 142Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales• Resuelves problemas mediante la formulación y

solución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Lección 1. Solución algebraica 142Lección 2. Método de igualación 144Lección 3. Método de reducción 146

Secuencia didáctica 26 148Diferentes tipos de variación: lineal e inversa• Diferencias entre situaciones que presentan

variación lineal y variación inversa.

Lección 1. Diferentes relaciones entre cantidades 148Lección 2. Grá ca de una variación lineal 150

Reviso mi trayecto 153

Secuencia didáctica 27 154Teselados• Analizas las características que deben tener los

polígonos para cubrir el plano.

Lección 1. Polígonos que cubren el plano 154Lección 2. Teselados con dos o más guras 156Lección 3. Otros teselados 158

Secuencia didáctica 28 160Polígonos regulares• Construyes polígonos regulares mediante

el uso de sus ángulos internos.

Lección 1. Polígonos: regulares e irregulares 160Lección 2. Reproducción de polígonos 162Lección 3. Con ángulos internos 164

Secuencia didáctica 29 166Perímetro de polígonos• Calculas el perímetro de diversos polígonos y usas

expresiones algebraicas para representarlo.

Lección 1. Polígonos regulares 166Lección 2. Perímetros de polígonos

con expresiones algebraicas 168

Secuencia didáctica 30 170Más de polígonos regulares• Construyes polígonos regulares mediante el uso de

sus ángulos centrales.

Lección 1. Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 170

Lección 2. Con más lados 172

Resuelvo con tecnología 174

Secuencia didáctica 31 176Histogramas y polígonos de frecuencia• Lees y construyes histogramas y polígonos

de frecuencia.

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TRIMESTRE 3 196

Lección 1. ¿Qué información da la grá ca? 176Lección 2. Construcción de histogramas

y polígonos de frecuencia 178Lección 3. Comparación de datos 180

Resuelvo con tecnología 182

Secuencia didáctica 32 184Probabilidad frecuencial y teórica• Determinas la probabilidad teórica de un evento y

la comparas con la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio.

Lección 1. ¿Cuál es la probabilidad? 184Lección 2. Probabilidad teórica 186Lección 3. Comparación entre ambas

probabilidades 188

Punto de encuentro 190

Reviso mi trayecto 192

Valoro mis fortalezas 193

Secuencia didáctica 33 198Aproximación de la raíz cuadrada• Aproximas y usas la raíz cuadrada.

Lección 1. ¿Qué es la raíz cuadrada? 198Lección 2. Aproximaciones de la raíz cuadrada 200

Secuencia didáctica 34 202Reparto proporcional• Diferencias entre situaciones que presentan variación

lineal y variación inversa.

Lección 1. Reparto de cantidades 202Lección 2. Diferentes procedimientos 204Lección 3. Razones y reparto proporcional 206

Secuencia didáctica 35 208Resolución de sistemas de ecuaciones • Analizas las ventajas y desventajas de los métodos de

resolución de sistemas de ecuaciones.

Lección 1. ¿Cuál método conviene usar? 208Lección 2. ¿Cuál método de solución es mejor? 210Lección 3. Decide cuál método de solución

conviene utilizar 212

Secuencia didáctica 36 214Problemas y sistemas de ecuaciones• Utilizas sistemas de ecuaciones lineales para resolver

problemas.

Lección 1. Un problema económico 214Lección 2. Representación de un problema

y uso de tablas 216Lección 3. Otro problema con ecuaciones 218

Reviso mi trayecto 221

Secuencia didáctica 37 222Problemas de variación• Resuelves problemas que se modelen por medio

de la variación lineal e inversa en diversos contextos.

Lección 1. Variación lineal e inversa 222Lección 2. Solución de problemas de variación 224

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Índice

270 Fuentes de información

Secuencia didáctica 38 226Área de polígonos regulares• Deduces la fórmula del área de polígonos regulares.

Lección 1. Subdivisión de un polígono en guras conocidas 226

Lección 2. La fórmula 228

Secuencia didáctica 39 230Área del círculo• Deduces y utilizas la fórmula para calcular

el área del círculo.

Lección 1. El círculo y la circunferencia 230Lección 2. Una fórmula para calcular el área

de un círculo 232

Resuelvo con tecnología 234

Secuencia didáctica 40 236Volumen de prismas y cilindros• Calculas el volumen y otras dimensiones

de prismas y cilindros rectos.

Lección 1. Volumen de prismas rectangulares 236Lección 2. ¿Cuánto deben medir? 238

Reviso mi trayecto 241

Secuencia didáctica 41 242Sistema métrico decimal• Resuelves problemas que implican la conversión

entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y gramo.

Lección 1. Comparación de medidas 242Lección 2. Múltiplos y submúltiplos del gramo 244

Secuencia didáctica 42 246Sistema Inglés y Sistema Internacional de Medidas• Comparas las medidas del Sistema Internacional

con las del Sistema Inglés y realizas conversiones entre ellas.

Lección 1. Pulgadas, pies, yardas y millas 246Lección 2. Galones, onzas y libras 248

Secuencia didáctica 43 250Gráfi cas de línea• Recolectas, registras y lees datos en grá cas de línea.

Lección 1. El internet de las cosas 250Lección 2. Proyecto estadístico 252Lección 3. ¿Qué información se obtiene

de las grá cas? 254

Secuencia didáctica 44 256Desviación media• Utilizas la desviación media de un conjunto

de datos para su análisis.

Lección 1. Desviación media en datos no agrupados 256

Lección 2. Desviación media en datos agrupados 258Lección 3. ¿Qué tan dispersos? 260

Resuelvo con tecnología 262

Punto de encuentro 264

Reviso mi trayecto 266

Valoro mis fortalezas 267

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Así es tu libro

12

¿Cómo trabajarásen este curso?

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas te ayudarán a resol-ver problemas en la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprende-rás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años y que te

-sultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen

te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu ca-pacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos

-prensión, técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo, que estará presente en todas las secuencias didácticas de este libro. Considera que, en un equipo, cada integrante debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa.

¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que es un problema orientado a que retomes y apliques tus conocimientos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promue-

incluyen conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos la sección “Practicar para avanzar”, con ejercicios y problemas de aplicación que te permitirán hacer un seguimien-to personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con una serie de pre-guntas en la sección “Punto de llegada”, para que valores si comprendiste los temas y

-mentarlas con tu profesor y con tus compañeros.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tie-

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana y es un recur-so importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más valioso aún, proporciona herramientas dinámicas que te permiten simu-

en distintos contextos.

¿Cómo reviso mi avance?

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán aden-trarte en la relación de las matemáticas con diversos temas como el cuidado de la salud y del medioambiente, con la intención de que integres tu conocimiento general y reconoz-cas cómo las matemáticas permiten resolver problemas aparentemente muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.

“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo im-portante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, re-

el estudio de otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de algu-na manera.

cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

am

pliar

validar resolver

desarrolla

r

Resultados y conclusiones

Nuevas técnicas y procedimientos

Matemáticas

Problemas

Conocimientos

4 5

Trimestre 1

La criptografía se usa para prevenir el acceso y uso no autorizado de los

recursos de una red o un sistema informático.

En este trimestre:

Cifrado de información

En la actualidad podemos enviar y recibir información por numerosos medios electró-nicos. Esta información consiste en correos electrónicos, imágenes, contraseñas, datos personales y bancarios, entre otros.

Debido al mal uso que se hace de los datos y al costo que representan para las empresas e instituciones el acceso no autorizado y la intercepción de información, se ha vuelto im-prescindible usar la criptografía para mantener segura la información.

La criptografía es una técnica que permite proteger la información.

Existen muchas técnicas para cifrar y descifrar la información, una de ellas es el método de Gauss Jordan, que también se usa en la resolución de sistemas de ecuaciones con n incógnitas.

¿Te imaginas cómo las matemáticas permiten proteger la información?

• Resolverás problemas de multiplicación y división con fracciones y decimales positivos.

• Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

• Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

• Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

• Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular,

problemas que se modelan con estos tipos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

• de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

• Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros

equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las

• Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

16 17

¿Cómo trabajarás en este curso?

En estas páginas te explicamos cómo, a través de resolver problemas, construyes estrategias y conocimientos matemáticos, que te llevarán a resolver, cada vez, problemas más complejos.

Entrada de trimestre

Tu libro de Matemáticas está organizado en tres trimestres. Al iniciar cada uno encontrarás los aprendizajes esperados que estudiarás. Además tendrás la oportunidad de conocer información interesante que muestra una aplicación de las matemáticas.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Verificarás algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

Sucesiones lineales8

Representaciones algebraicas de sucesiones

1. Lee el problema y responde.

a.

b.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6

n n 1 n2 n 2

Comenta tus respuestas con tus compañeros y explica tu procedimiento.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Lección 1

54¿Cómo son los ángulos internos de otros polígonos?

1. En equipo elaboren las piezas con material reciclable, usen triángulos de 5 cm de

cada una.

convexo -cóncavo

a.

b.

c.

-

2.

a.

Polígono

Núm. de ángulos mayores que 180°

Núm. de ángulos menores que 180°

Comenten en grupo qué relación hay entre el número de lados y el número de -

gono cóncavo de uno convexo.

Contenido: Analizas y clasificas polígonos con base en la medida de sus lados y ángulos.

Figura 1 Figura 2

Figura 1 Figura 2 Figura 3

79

Contenido: Analizas los patrones que se forman a partir del trazo de las diagonales de un polígono.

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa la secuencia y haz lo que se pide.

a. Cuenta las regiones que se forman dentro del círculo al trazar todas las cuerdas posibles dado un cierto número de puntos sobre la circunferencia. Observa que al conectar 2 puntos se generan 2 regiones, y al trazar las cuerdas que unen 4 puntos se generan 8 regiones.

Sin dibujar, responde en cuántas regiones queda dividido el círculo que tiene 6 puntos en la circunferencia al trazar todas las cuerdas.

b. Completa la tabla.

Número de puntos sobre la circunferencia

Número de regiones que se generan al trazar todas las cuerdas

1

2 23

4 85

6

c.

¿Cuántas regiones tiene? ¿Es el número que esperabas?

Explora con tus compañeros cuántas regiones se forman al trazar 7 puntos sobre

Usa GeoGebra. Traza una circunferencia, coloca seis puntos y únelos con segmentos como en

puntos y observa lo que sucede con el número de regiones.

Herramientas académicas

85

Durante esta etapa realizarás actividades individuales y colectivas que te permitirán construir conocimientos, desarrollar habilidades, fortalecer tus actitudes y valorar tu trabajo. En el desarrollo de las secuencias didácticas, hallarás de niciones y procedimientos para que los analices, con base en tu experiencia en clase, y elabores conclusiones.

En esta última etapa de la secuencia didáctica encontrarás una lista de problemas desa antes para que apliques lo que aprendiste. Podrás re exionar de manera individual o colectiva acerca de tu trabajo e identi car tus avances mediante el análisis de tus resultados y procedimientos.

Secuencias didácticasCada trimestre de tu libro está integrado por secuencias didácticas

con tres etapas de trabajo:

Te proponemos una situación interesanteque te invita a revisar tus conocimientosprevios, explorar soluciones y encontrardistintas formas de resolverla.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. Observa el teselado y responde.

a. ¿Qué polígonos forman el teselado?

b. ¿Cuántos grados miden los ángulos interio-res de cada polígono?

c. -ca tu respuesta.

2. -

a. ¿Cuánto mide el perímetro interior de los tres arreglos? ¿Y el exterior?

b. ¿Cuánto medirían los perímetros interior y exterior si el diseño tuviera 100 arre-glos?

c. Escribe las expresiones algebraicas que representan los perímetros del diseño con n

3. -

192

Resuelvo con tecnología

Desviación mediaReúnete con un compañero, lean la situación y en una hoja electrónica de cálculo realicen lo que se pide para analizar los datos. Luego respondan las preguntas.

En una secundaria hay cuatro grupos de tercero y solamente uno puede participar en el torneo interescolar. Cada grupo forma un equipo de futbol con 11 jugadores. Durante sus entrenamientos, cada equipo practica tiros penales. Un profesor de Educación Física anota los resultados para anali-zarlos y elegir al mejor equipo. La tabla muestra la información recabada en un entrenamiento.

Número del jugadorGoles anotados

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4

1 1 2 2 12 2 1 3 23 1 2 3 14 3 2 1 35 5 1 3 36 2 7 2 17 5 2 3 18 4 2 3 19 2 3 4 8

10 3 7 2 811 2 1 4 1

1. Copien la información del equipo 1 como se muestra en la imagen 1. En la celda B13 calculen el promedio de goles anotados con la fórmula “5Promedio(B2:B12)”.

2. En diferentes hojas de cálculo, copien la información de los otros equipos, calculen el promedio de goles anotados por cada equipo y contesten.

a. ¿Cuál equipo tiene mejor promedio de goleo?

b. ¿Qué equipo debe ir al torneo interescolar? ¿Por qué?

goles anotados por cada equipo. Recuerda que debes obtener el promedio de las distancias a la media, como aprendiste en la secuencia anterior.

Imagen 1

262

A lo largo del trimestre encontrarás las secciones:

GlosarioSe de nen algunas palabras que te pueden resultar de difícil comprensión.

Herramientas académicasTe ofrece actividades para que las resuelvas con ayuda de la tecnología. También encontrarás recomendaciones de páginas electrónicas impresas e interactivos para que enriquezcas lo que has aprendido.

Practicar para avanzarTe proponemos problemas y actividades para fortalecer lo que estás aprendiendo en la secuencia didáctica.

En el desarrollo de las secuencias encontrarás los siguientes apartados:

Reviso mi trayecto

Al nal de cada mes te proponemos problemas para que apliques lo que has aprendido, valores tus avances e identi ques tus áreas de oportunidad.

Resuelvo con tecnología

A lo largo de cada trimestre encontrarás dos proyectos tecnológicos para reforzar lo que aprendiste en la secuencia didáctica anterior y desarrolles tus habilidades digitales.

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Así es tu libro

15

Punto de encuentro

Lee con atención y haz lo que se solicita.

1. Lee la información con tres compañeros y hagan un estudio estadístico sobre el ín-dice de masa corporal (IMC) de su grupo.

Tomen en cuenta los estándares de sobrepeso y obesidad de niños y jóvenes dados por la Organización Mundial de la Salud (OMS) y que se muestran en las siguientes

Sobrepeso y obesidad

En años recientes se han agudizado los problemas de sobrepeso y obesidad infantil

ya que actualmente los niños y adolescentes practican menos deporte y su dieta

En México se está impulsando el desarrollo de competencias para una vida saluda-cultura de la salud

Sobrepeso graveSobrepeso moderadoSobrepeso levePeso normalDesnutrición leveDesnutrición moderadaDesnutrición grave23

22210

123

Fuente: www.dof.gob.mx/nota_detalle.php?codigo=5417151&fecha=25/11/2015(consulta: 1 de junio de 2018)

1

3

2

0

212223

IMC para niños5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Edad (en años cumplidos)

12141618202224262830323436

IMC

(kg/

m2)

1

3

2

0

212223

IMC para niñas

5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

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17

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Edad (en años cumplidos)

12141618202224262830323436

IMC

(kg/

m2)

264

Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en tus resultados, retoma los

1. únicamente deben aparecer exponentes positivos.

a. ( x2y)6=

b. (3z22)23=

c. (x2)24 3 (x24)2=

d. ( ab2 )2 3 ( ba )22

=

e. ((3b2)2)23=

2. y.

Área del triángulo verde. Área del triángulo rojo. Área del rectángulo.

a. Suma las tres expresiones que obtuviste para representar el área del trapecio.

b. Utiliza la fórmula para calcular el área del trapecio y obtén otra expresión.

c. a y b para demostrar que son equivalentes.

y

y y 2 3

3

y 2 1

193

Punto de encuentro

Te proponemos actividades en las que podrás relacionar lo aprendido en Matemáticas con otras asignaturas y campos del conocimiento.

Valoro mis fortalezas

Cada trimestre cierra con una serie de problemas que integran varios temas trabajados, para que apliques y analices los conocimientos y las habilidades que has obtenido a lo largo del trimestre.

Fuentesde información

Para el alumno

Impresas

Bosh, C. y Gómez C. Una ventana a las formas, Santillana, México, 2003 (Biblioteca Juvenil Ilustrada).

Bosch, Carlos. El billar no es de vagos. Ciencia, juegos y diversión, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Callejo, María Luz. Un club matemático para la diversidad, Narcea, Madrid, 1998.

Capó, Miquel. El país de las mates. 100 problemas de ingenio 4, Rompecabezas, Madrid, 2006.

Enzensberger, Hans M. El diablo de los números, Siruela, Madrid, 2013.

Fabretti, Carlos. Malditas matemáticas. Alicia en el país de los números, Alfaguara, Madrid, 2000.

Moreno C. R. Una historia de las matemáticas para jóvenes, Nivola, Madrid, 2008.

Peña, José Antonio de la. Álgebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Perelma, Yakob. Matemáticas recreativas, Rodesa, Barcelona, 2007.

Perrero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Iberoamérica, México, 1994.

Prieto, Carlos. Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Ricorri, Stella. Juegos y problemas para construir ideas matemáticas, Novedades Educativas, México, 2009.

Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.

Snape, C. Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos, Noriega-Limusa, México 2005.

Electrónicas

100 problemas matemáticos que retan al alumno a pensar.

(consulta: 18 de junio de 2018)

Archivo PDF de la obra de Adrián Paenza, Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 3. Siglo XXI, Argentina, 2008.http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf(consulta: 19 de junio de 2018)

Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometría.http://newton.matem.unam.mx/(consulta: 18 de junio de 2018)

En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria.https://www.aprende.edu.mx/recursos-educativos-digitales/recursos/index.html?q%5B%5D=Matem%C3%A1ticas (consulta: 18 de junio de 2018)

Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secundaria.http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html(consulta: 18 de junio de 2018)

Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas con los diferentes exámenes y solu-ciones para que el alumno consulte y desarrolle la demostración matemática. http://www.ommenlinea.org/actividades/concursos/canguro-matematico/ (consulta: 19 de junio de 2018)

Página en la que podrás consultar el libro Números increíbles del autor Ian Stewart.http://www.librosmaravillosos.com/numerosincreibles/index.html(consulta: 19 de junio de 2018)

para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.www.geogebra.org(consulta: 19 de junio de 2018)

Tutoriales y ejercicios de diversos temas propuestos para secundaria.https://es.khanacademy.org/math/eb-2-secundaria(consulta: 18 de junio de 2018)

270 271

Fuentes de información

Encontrarás sugerencias de libros y direcciones electrónicas para que halles información complementaria y pertinente sobre temas relacionados con la asignatura.

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Trimestre 1En este trimestre:

Cifrado de información

En la actualidad podemos enviar y recibir información por numerosos medios electró-nicos. Esta información consiste en correos electrónicos, imágenes, contraseñas, datos personales y bancarios, entre otros.

Debido al mal uso que se hace de los datos y al costo que representan para las empresas e instituciones el acceso no autorizado y la intercepción de información, se ha vuelto im-prescindible usar la criptografía para mantener segura la información.

La criptografía es una técnica que permite proteger la información.

Existen muchas técnicas para cifrar y descifrar la información, una de ellas es el método de Gauss Jordan, que también se usa en la resolución de sistemas de ecuaciones con n incógnitas.

¿Te imaginas cómo las matemáticas permiten proteger la información?

• Resolverás problemas de multiplicación y división con fracciones y decimales positivos.

• Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones ydecimales positivos y negativos.

• Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

• Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

• Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, grá ca y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos tipos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

• Veri carás algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

• Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de guras geométricas y veri carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las guras).

• Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

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La criptografía se usa para prevenir el acceso y uso no autorizado

de los recursos de una red o un siste-ma informático.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de multiplicación y división con fracciones y decimales positivos.

Multiplicación y división de fracciones y decimales1

Lección 1

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Multiplicación de fracciones

1. Reúnete con dos compañeros, observen los rectángulos y contesten.

h 5 67

u

A 5 3049

u2

A 5 13

u2

A 5 1 u2

b 5 12

u b 5 3 u

a. ¿Cuánto mide de altura el rectángulo amarillo?

b. ¿Cuánto mide de base el rectángulo verde?

c. ¿Cuánto mide de altura el rectángulo rojo? d. ¿Qué operación u operaciones necesitan resolver para obtener las medidas

anteriores?

e. ¿Qué información requieren? ¿La tienen?

f. Escriban el procedimiento, las operaciones y el razonamiento que utilizaron para encontrar las medidas faltantes de los rectángulos.

Comenten y comparen sus resultados y procedimientos. Con ayuda del profesor, concluyan cuál es el procedimiento más adecuado.

2 u

Pauta de respuesta (P. R.). Si usaron ecuaciones, necesitarán un despeje

Respuesta modelo (R. M.). Sí, en los

Debido a que sabemos que el área de un rectángulo se obtiene con la fórmula

Rectángulo amarillo:Rectángulo verde:

Rectángulo rojo:

A = b × h, necesitamos encontrar un número que, multiplicado por la base o laaltura, que ya tenemos dadas, nos dé el área que buscamos. Se pueden plantearecuaciones en cada caso.

tres casos necesitamos dos datos para encontrar el dato faltante.

y una división; en caso de trabajar por ensayo y error, deben realizar multiplicaciones.

12

3 h 5 1 4 12 5 2

b 3 67 5

13 ,entonces b 5 1

3 4 67 5

718

3 3 h 5 3049 ,entonces h 530

49 4 3 5 30147

5 1049

718 u1049 u

18

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Practicar para avanzar

Contenido: Resuelves problemas que impliquen multiplicar y dividir fracciones y decimales positivos.

Inverso multiplicativo

1. Retoma el caso de los rectángulos y observa cómo al multiplicar la base por la altura del rectángulo amarillo el resultado es 1. Luego resuelve.

a. Escribe una fracción que multiplicada por 6 dé como resultado 1. b. Escribe una fracción que multiplicada por 2 dé como resultado 1. c. Escribe dos números naturales. Para cada uno, encuentra una fracción que al

multiplicarla por él dé como resultado 1.

d. A partir de los resultados anteriores, completa la siguiente regla. La letra a re-presenta cualquier número natural.

a 3 5 1

e. Encuentra un número que al multiplicarlo por 23 , dé como resultado 1.

Observa cómo multiplicar a por un número para obtener 1 equivale a dividir a entre sí mismo, donde a es un número natural.

Cuando se multiplican dos números y se obtiene como resultado 1, se dice que es-tos números son inversos multiplicativos o recíprocos.

El inverso multiplicativo de un número de la forma ab con a y b Þ 0 es b

a ya que

ab 3 b

a 5 1

Por ejemplo:

34 3 4

3 5

3 3 44 3 3

5 1212

5 1

Responde lo que se te pide. Escribe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste.

1. Encuentra el inverso multiplicativo de los siguientes números.

Compara tus respuestas con las de un compañero. Si hay alguna diferencia, coméntenla con su profesor.

14

: 37

: 1 :

R. M. Solo veri car que se utilice el

1

a

el mismo denominador que el número natural. Ejemplos: 3 y 13 , 10 y 1

10, 17 y 117, etcétera.

32

4 173

16

12

19

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Lección 2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

División de fracciones

1. Observa la tabla y responde.

5 15 45 135 405 1 215

a. ¿Qué relación hay entre los números que se muestran en la tabla?

b. ¿Qué operación debes hacer para obtener el segundo número a partir del primero?

c. ¿Qué operación debes hacer para obtener el quinto número a partir del sexto?

d. ¿Puedes obtener los demás números con las mismas operaciones? Justi ca tu respuesta.

e. Anota en los recuadros las operaciones que se deben hacer para obtener el nú-mero siguiente de acuerdo con el sentido que marcan las echas.

2. Haz las multiplicaciones que indican las echas y completa la tabla.

1215

a. Encuentra un número con el que obtengas los anteriores mediante una división y anota la operación en el recuadro.

Reúnete con un compañero y comparen sus tablas. Establezcan una relación en-tre las operaciones de ambas tablas y coméntenlas. Luego lean la siguiente in-formación y validen su conclusión.

Al multiplicar un número por otro, se obtiene el mismo resultado que al dividir el número entre el recíproco del segundo. Por lo anterior, para dividir una fracción en-tre otra se puede recurrir a una multiplicación usando el recíproco.

ab 4 c

d 5 a

b 3 dc

Por ejemplo: 13 4 2

5 5 1

3 3 52

5 1 3 53 3 2 5 5

6

3 15 3 1

5 3 15 3 1

5 3 15

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 34 34 34 34 3

4 15 4

15

48 35 9 18

251 118

125243625

4 15 4

15 4

15

R. M. Son múltiplos de 5.

Multiplicar por 5.

Dividir entre 5.

Sí, porque son múltiplos o divisores uno de otro.

243

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Contenido: Resuelves problemas que impliquen multiplicar y dividir fracciones y decimales positivos.

Multiplicación y división de fracciones

3. Lee el problema y responde las preguntas.

Una empacadora tiene contenedores de 1 m de ancho, 1 m de largo y 1 m de alto. Para poder aprovechar mejor su bodega, reemplazarán los contenedores por cajas cuyo ancho sea 3

4 del anterior, su altura sea 8

6 de la altura anterior y su largo, 1 13

del anterior. Calcula las medidas de la nueva caja.

a. Calcula el volumen de la caja. Escribe tu procedimiento.

b. ¿Se puede operar con las fracciones como están expresadas o se necesita hacer alguna conversión? Justi ca tu respuesta.

c. Si en cada jornada se empaca 13

de m3 de mercancía, ¿cuántas jornadas se ne-cesitan para llenar una caja?

d. Si en cada jornada se empacaran 23

de m3 de mercancía, ¿el resultado sería ma-yor o menor al del inciso anterior? ¿Por qué?

e. Considera la información del inciso d y calcula cuántas jornadas se necesitan para llenar una caja.

Comparen sus respuestas y procedimientos en grupo y resuelvan sus dudas con ayuda del profesor.

4 jornadas

Menor, debido a que se empaca más mercancía por jornada.

Primero convertir todas las medidas en fracciones mixtas o simpli carlas de ser posible: 3

4 , 86 5 4

3 y 1 13 5

43 .

Después, realizar la multiplicación de fracciones:34 3

43 3

43 5 4

3 .

43 4

23 5

43 3 3

2 5 126 5 2, es decir, 2 jornadas serán su cientes para

llenar el contenedor.

No, es necesario convertir la fracciónmixta y es deseable realizar la simpli cación de la otra para evitar operar con números muy grandes.

3/4

4/3

4/3

21

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Lección 3

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Multiplicación y división de decimales

1. Lee el problema y responde en tu cuaderno.

Se está construyendo un jardín vertical en la entrada de un colegio. El jardín debe medir 10.5 m de altura. Hasta ahora se han construido 2.525 m.

a. Si cada día construyen 0.725 m, ¿cuánto tardarán los trabajadores en terminar?b. Si la base del jardín mide 13.5 m, ¿cuánto tendrá de área?c. Cada metro cuadrado de plantas cuesta $235.50. ¿Cuánto costará plantar el jar-

dín completo?

2. Observa los resultados de la actividad anterior y analiza lo siguiente.

a. En tu curso de primer grado aprendiste que si uno o más factores de una multi-plicación es una fracción o un número decimal, el resultado no siempre es ma-yor que los factores. ¿En qué casos no?

b. En la división de números naturales, ¿cómo es el cociente con respecto al divi-dendo y al divisor?

¿Cómo es el cociente si se involucran fracciones o números decimales? ¿De qué depende?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor. Anoten una conclu-sión común sobre la multiplicación y división de decimales.

3. Resuelve las operaciones.

4. Lee la información y responde en tu cuaderno.

Se pintarán tres bardas de 13.5 m de largo y 10.5 m de alto cada una mezclando pintu-ra azul, verde y blanca en diferentes proporciones. Para lo anterior, se compraron dife-rentes cantidades de pintura de cada color, de tal forma que:23

del presupuesto se gastó en pintura verde, 16 del presupuesto en pintura azul y 1

6

en pintura blanca.

La primera barda se pintará mezclando 12

de la pintura azul, 13

de la pintura verde y 1

4 de la pintura blanca.

La segunda barda se pintará mezclando 18

de la pintura azul, 13

de la pintura verde y 3

4 de la pintura blanca.

La tercera barda se pintará mezclando 14

de la pintura azul y 34

de la pintura verde.

a. 12 3 1

3 5

d. 2 4 0.5 5

b. 2 3 13

5

e. 0.123 3 3.2 5

c. 78

4 45

5

f. 2.35 3 4 5

Cuando uno o más factores sean menores que 1.

Puede ser mayor, menor o igual que alguno de ellos; depende de qué

Igual que en el caso anterior, dependiendo del dividendo

4 0.3936 9.4

divisor que se utilicen, puede ser mayor, menor o igual.

16

23

3532

Ver solucionario.

22

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Contenido: Resuelves problemas que impliquen multiplicar y dividir fracciones y decimales positivos.

Aplica lo que aprendiste.

1. Hagan lo que se pide en equipos de cuatro integrantes.

a. Diseñen un problema en el que se necesite multiplicar y dividir números fraccio-narios y decimales de manera conjunta.

b. Entreguen su problema al resto de los equipos para que lo resuelvan.

Comenten en grupo los resultados y las di cultades presentadas tanto al dise-ñar el problema como al resolver los de los demás equipos.

a. Completa la tabla con información del problema. Anota la fracción de pintura que se usará en cada barda y la fracción del presupuesto que se empleó para comprar cada color.

Barda 1 Barda 2 Barda 3 Presupuesto

Pintura azul

Pintura verde

Pintura blanca

¿Cómo puedes determinar la fracción del presupuesto que se usó para com-prar la pintura verde con la que se pintará la barda 2?

¿Qué fracción del presupuesto se usó para comprarla?

b. Considera que el presupuesto que se usó para comprar la pintura fue de $2 105.70 y completa la tabla con la cantidad de dinero que se gastó para com-prar la pintura de cada color.

Barda 1 Barda 2 Barda 3

Pintura azul

Pintura verde

Pintura blanca

Para multiplicar o dividir un número fraccionario por un decimal, se puede conver-tir la fracción a su forma decimal, siempre y cuando no tenga periodo. Si la fracción se convierte en decimal periódico, se perderá precisión en el resultado y es mejor operar con la fracción.

38 3 3.56 5 0.375 3 3.56 5 1.335

También se puede convertir el número decimal en fracción antes de operar.

37 4 2.8 5 3

7 4 145 5 15

98

R. L.

112

175.475 43.86875 87.7375467.93333 467.93333 1 052.85

87.7375 263.2125 0

124

148

124

748171816

1718

120

2918

29

Multiplicando las fracciónes.

23

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decima-les positivos y negativos.

Multiplicación de números enteros2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 Números positivos y negativos

1. Lee la situación y responde las preguntas.

Un biólogo necesita comparar características de distintos árboles para reforestar un parque. Entonces eligió los siguientes tipos considerando que, durante el primer año y medio, en promedio:

El árbol A aumenta 10 cm el largo de su raíz y 15 cm el largo de su tronco cada mes. El árbol B aumenta 20 cm el largo de su tronco y 10 cm el de su raíz cada mes. El árbol C mantiene su raíz igual cada mes y aumenta 15 cm el largo de su tronco.

a. El crecimiento de las raíces se considera negativo con respecto al nivel del sue-lo y el de los troncos, positivo con respecto a la misma referencia. Si los tres ár-boles que se plantan tienen un tronco de 50 cm de altura y una raíz de 20 cm de profundidad, ¿qué nivel con respecto al suelo alcanzarán su tronco y su raíz des-pués de un año?

Árbol A: Árbol B: Árbol C:

b. En el parque, la altura promedio de los árboles es de 7 metros. ¿Cuánto tiempo tardará cada tipo de árbol en alcanzar la altura promedio?

Comenta con tus compañeros qué diferencia observan entre la longitud de las raíces y de los troncos de los distintos árboles con este tipo de medición.

Multiplicando números con signo

1. Desarrolla las multiplicaciones como sumas repetidas y anota el resultado. Obser-va el ejemplo.

a. Describe cómo varía el resultado de cada multiplicación al cambiar de renglón.

4 3 8 5 8 1 8 1 8 1 8 5 323 3 8 5 8 1 8 1 8 5 242 3 8 5 1 3 8 5 0 3 8 5

4 3 (28) 5 (28) 1 (28) 1 (28) 1 (28) 5 2323 3 (28) 5 2 3 (28) 5 1 3 (28) 5 0 3 (28) 5

Tronco: 230 cm Raíz: 2140 cm

10 días aproximadamente; árbol B: 32 meses y medio; árbol C: 43 meses y 10 días

Va disminuyendo o aumentando en 8 unidades, según el signo que acompaña al número rojo.

aproximadamente.

Árbol A: 43 meses y

Tronco: 290 cm Raíz: 2140 cmTronco: 230 cm Raíz: 220 cm

8 1 8 5 16

8

0

(28) 1 (28) 1 (28) 5 224

280

(28) 1 (28) 1 5 216

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Contenido: Multiplicas números enteros.

b. Con base en tu respuesta anterior, resuelve las siguientes multiplicaciones.

c. Repite la actividad en tu cuaderno, pero cambia el número rojo por otro. Luego responde:

¿Cómo se relaciona el tipo de número (positivo o negativo) de la operación con el tipo de número del resultado?

¿Qué relación hay entre el carácter positivo o negativo del resultado y el carác-ter positivo o negativo de los factores?

d. Comenta tus respuestas con un compañero. Con base en ellas, completen los enunciados con las palabras positivo o negativo según corresponda.

El resultado de multiplicar dos números positivos es El resultado de multiplicar un número positivo por uno negativo es El resultado de multiplicar un número negativo por uno positivo es El resultado de multiplicar dos números negativos es

Al multiplicar números enteros, se deben seguir las leyes de los signos:El producto de dos factores positivos es positivo.El producto de dos factores negativos es positivo.El producto de un factor positivo por un factor negativo o viceversa es negativo.

Por ejemplo:

2 3 3 5 6 (22) 3 (23) 5 6 2 3 (23) 5 26 (22) 3 3 5 26

Practicar para avanzar

1. Resuelve las operaciones y responde.

¿Qué se obtiene al multiplicar cualquier número por 21?

a. (28) (2) 5 d. (3) (217)5

b. (235) (212)5 e. (25) (21) 5

c. (225) (21) 5 f. (1) (21)5

(21) 3 8 5 (22) 3 8 5 (23) 3 8 5 (24) 3 8 5 (25) 3 8 5

(21) 3 (28) 5 (22) 3 (28) 5 (23) 3 (28) 5 (24) 3 (28) 5 (25) 3 (28) 5

El tipo de número determina el signo

Positivo

Positivo

NegativoNegativo

Cuando la operación es una suma el

que tendrá el resultado en la suma.

signo del resultado será el de los factores, mientras que en una resta se invertirá.

2 16 4202 51 2 1

25

2 25

2 8 82 16 16

2 24 24

2 32 32

2 40 40

Ver solucionario.

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Lección 2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Más sobre multiplicación

1. Utiliza la jerarquía de operaciones para calcular los resultados.

[(25) 3 4] 3 4 5 (25) 3 [4 3 4] 5

a. ¿Cómo son los resultados de las operaciones? ¿Por qué?

b. Con base en lo anterior, resuelve las siguientes operaciones.

2. Resuelve las operaciones y responde.

(25) (26) (7) (22) (3) 5 (25) (26) (27) (22) (3) 5

a. ¿Qué sucede con el resultado cuando la cantidad de factores negativos es im-par? Justi ca tu respuesta y da un ejemplo.

b. ¿Qué sucede con el resultado cuando la cantidad de factores negativos es par? Explica tu respuesta y da un ejemplo.

3. Resuelve las operaciones.

Validen sus respuestas en grupo y comenten cómo podrían veri carlas utilizan-do una calculadora.

Al multiplicar números enteros, si la cantidad de factores negativos es impar, el re-sultado será negativo. De lo contrario, será positivo.

Por ejemplo, (22) (23) (21) (24) 5 24 y (22) (23) (21) (24) (21) 5 2 24

Propiedad asociativa de la multiplicación. Cuando se multiplican tres o más nú-meros, la forma de agrupar la multiplicación no afecta el resultado. Por tanto, la multiplicación se puede escribir sin paréntesis, es decir:

(2 3 3) 3 4 5 2 3 (3 3 4) 5 2 3 3 3 4

a. (28) (2) 5 c. (225) (21) 5

b. (235) (212)5 d. (3) (217)5

(25) 3 4 3 4 5 7 3 22 3 3 5

(211) 3 (21) 3 (22) 5 (25) 3 (24) 3 (23) 5

21260

[220] 3 4 5280

280

242

222

260

(25) 3 [16] 5280

216

25420

251

El resultado es negativo. Ejemplo: (22)(23)(24) 5 224

Son iguales, porque el orden de los factores no afecta el producto.

El resultado es positivo. Ejemplo: (22)(5)(28) 5 80

1260

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Contenido: Multiplicas números enteros.

4. Responde y comprueba tus resultados con tu calculadora.

a. ¿Cómo debe ser el número del valor faltante de las siguientes operaciones? ¿Positivo o negativo? Justi ca tu respuesta. (22) ( ) 5 8 ( ) (5) 5 215

b. Luis ha ahorrado $350 y Marcela tiene una deuda de $185. Representa con nú-meros con signo estas cantidades.

Si al nal de un año se duplican tanto la deuda de Marcela como el ahorro de Luis, ¿cuánto tendrá cada uno?

Comenta con tus compañeros si tuviste alguna di cultad para encontrar los valores faltantes.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee la situación y responde en tu cuaderno.

En una competencia de ecoturismo en Chiapas, se completan pruebas en las que se ganan o se pierden puntos. La última prueba se lleva a cabo en la sima de las Cotorras, un hundimiento de 140 m de profundidad en la tierra. Los competidores Mario, Lorena y Pablo deberán descender a rapel para completar esta prueba. Quie-nes desciendan entre 0 y 50 m serán penalizados y obtendrán 210 puntos por cada metro descendido. Quienes desciendan entre 51 y 100 m obtendrán 20 puntos por metro descendido. Si descienden entre 101 y 140 m, obtendrán 50 puntos por metro descendido.Al terminar la actividad, Pablo descendió los 140 m, Lorena descendió 25 m y Mario quedó 70 m debajo del nivel del suelo.

a. Anota y resuelve las operaciones necesarias para saber cuántos puntos obtuvo cada competidor.

b. ¿Quién de los tres obtuvo puntos negativos? Justi ca tu respuesta.c. Indica quién fue el ganador de la prueba y por qué.d. Si Luis obtuvo –350 puntos, ¿cuántos metros descendió?

Comenta con tus compañeros tu respuesta. Con ayuda de tu profesor lleguen a una conclusión de cómo resolver el problema.

Se puede operar con números enteros en la calculadora. Para escribir un número negativo en la calculadora, se antepone la tecla “(2)” al número. No es necesario utilizar paréntesis para diferenciar el signo de los números de los signos de suma y resta. Los números positivos no llevan signo.

Herramientas académicas

1350 y 2185

Luis tendrá $700 y Marcela, 2$370.

Negativo, para que haya dos factores negativos (par).Negativo, para que haya un factor negativo (impar).

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.3 División de números enteros

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 ¿Qué temperatura marcaba?

1. Lee el problema y haz lo que se te indica.

En una localidad se han registrado algunas temperaturas en años recientes. En este año, en la primera semana de enero, la temperatura promedio fue de 212 8C, tres ve-ces más fría que la registrada el año pasado en esa semana; la segunda semana de enero, la temperatura promedio fue de 210 8C, dos veces más fría que la registrada el año pasado. En la tercera semana, la temperatura promedio fue de 28 8C y en la misma semana del año anterior, de 24 8C.

¿Qué temperatura promedio se registró en la primera semana de enero del año pasado?

¿Y en la segunda semana de enero del año pasado? ¿Cómo cambió la temperatura promedio en la tercera semana de enero de este

año respecto de la del año pasado?

a. Reúnete con tres compañeros y respondan.

¿Qué operaciones necesitan realizar para responder las preguntas?

¿Qué característica tienen estas operaciones? b. ¿Qué signo deben tener las temperaturas promedio? Justi ca tu respuesta.

Comparen sus respuestas con las de otro equipo. Con ayuda de su profesor, eli-jan el procedimiento que les parezca más adecuado.

División de números positivos y negativos

1. Analiza lo siguiente y responde en tu cuaderno.

Se tiene la operación 3 3 5 5 15. Si se multiplican ambos términos por 15 , se obtiene:

(3 3 5)( 15 ) 5 15( 1

5 ) (3 3 5)

5 5 15( 15 )

3 5 15( 15 )

3 5 155

Para la primera y segunda semana, se necesita dividir la temperatura

El signo debe ser negativo, pues las temperaturas son bajo cero.

La temperatura de este año se duplicó con respecto a la del año anterior.

promedio entre el número de veces que disminuyó la temperatura. Para la

Todas involucran números enteros.

24 8C.25 8C.

tercera semana, se deben dividir las temperaturas.

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Contenido: Resuelves problemas que implican la división de números enteros.

Considerando lo anterior, para 3 3 (25) 5 215, se tiene que

(3 3 (25))( 125) 5 215( 1

25) 3 5

21525

a. Realiza los mismos pasos para (23) 3 (25) 5 15 y (23) 3 5 5 215.

2. Analiza la tabla con dos compañeros y hagan lo que se pide.

Multiplicación División

3 3 5 5 15 15 4 5 5 3

3 3 (25) 5 215 15 4 (25) 5 23

(23) 3 (25) 5 15 (215) 4 (25) 5 3

(23) 3 5 5 215 (215) 4 5 5 23

a. ¿Las mismas leyes de los signos de la multiplicación pueden utilizarse para la división? Contesten en su cuaderno.

¿Tiene que ver esto con que la multiplicación y la división son operaciones in-versas? Expliquen.

b. Con base en la tabla anterior, completen las a rmaciones. El resultado de multiplicar o dividir dos números positivos o negativos es

El resultado de multiplicar o dividir dos números, uno positivo y otro negativo,

es

Comenten en grupo sus respuestas y analicen la siguiente información.

La división a entre b equivale a multiplicar a por el inverso multiplicativo de b, por lo que las reglas que aprendiste pueden aplicarse para dividirlos.Al dividir dos números positivos, el resultado es positivo.Al dividir dos números negativos, el resultado es positivo.Al dividir un número positivo entre un número negativo o viceversa, el resultado es negativo.Por ejemplo: 8 4 4 5 2, (28) 4 4 5 22, 8 4 (24) 5 22, (2 8) 4 (24) 5 2.

3. Utiliza las reglas anteriores y responde en tu cuaderno las preguntas del problema inicial.

a. ¿Qué temperatura promedio se registró en la primera semana de enero del año pasado? b. ¿Y en la segunda semana de enero del año pasado? c. ¿Cómo cambió la temperatura promedio en la tercera semana de enero de este

año respecto de la misma semana del año pasado?

Comenten sus respuestas en grupo para validarlas.

Sí, pues son operaciones inversas a la multiplicación.

positivo.

negativo.

Ver solucionario.

Sí, multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su inverso multiplicativo y viceversa.

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Practicar para avanzar

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Multiplicación y división de números con signo

1. Observa las operaciones y responde las preguntas.

a. (212 4 )524

¿Qué signo debe tener el divisor para que el cociente tenga signo negativo?

¿Qué valor absoluto debe tener el divisor para que el cociente sea 4?

b. ( 4 23) 5 3

¿Qué signo debe tener el dividendo para que el cociente tenga signo positivo?

¿Qué valor absoluto debe tener el dividendo para que el cociente sea 3?

2. Resuelve con tu calculadora.

45 4 (29) 5 (236) 4 (236) 5 100 4 (210) 5

a. ¿De qué manera se escriben en la calculadora los números negativos o meno-res que cero?

b. ¿Qué signi ca que la calculadora no muestre en el resultado ningún signo?

Compara con un compañero cómo ingresó cada uno en la calculadora los núme-ros con signo. Comenten si hay más de una forma de ingresarlos.

1. Resuelve las operaciones.

2. Resuelve en tu cuaderno. Una máquina perfora verticalmente 2 metros del suelo cada día.

a. ¿A qué altura con respecto al suelo estará después de 3 días? b. ¿Cuántos días después de iniciar estará a 214 m con respecto al nivel del suelo?

Comenta con tus compañeros qué signi ca que el resultado tenga signo negativo o positivo.Lleguen a una conclusión en común.

Lección 2

a. 225 4 5 5 d. 4 4 5 25

b. 30 4 23 5 e. 249 4 5 7

c. 212 4 24 5 f. 281 4 5 29

3

29

25

25 39

210

210

220 27

1

Positivo

9

3

Negativo

Se coloca el signo negativo (2) antes del número.

Signi ca que el resultado es positivo.

Ver solucionario.

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Contenido: Resuelves problemas que implican la división de números enteros.

Aplica lo que aprendiste.

1. En equipos de tres integrantes, lean las instrucciones del juego y contesten.

Sandra y Miguel van a jugar con sus amigos un juego con las siguientes instrucciones.

Formen dos equipos de tres integrantes. Lancen una moneda para decidir cuál será el equipo A y cuál el equipo B.

Por turnos, cada participante tendrá 3 minutos para hacerle las preguntas del jue-go a sus compañeros y que ellos las contesten.

Cuenten los aciertos obtenidos. El equipo A anotará la cantidad de respuestas co-rrectas con signo negativo y el equipo B, con signo positivo.

Al terminar cada turno, el jugador lanzará un dado. Si cae un número par, el valor del dado se multiplicará por la cantidad obtenida

en el turno. Si cae un número impar, se le pondrá signo negativo al valor del dado y se multi-

plicará por la cantidad obtenida en el turno. Al participar todos los jugadores, gana el equipo con mayor puntuación.

a. ¿El que el equipo A anote sus resultados con signo negativo lo coloca en desven-taja respecto del equipo B? Explica tu respuesta.

b. La tabla representa los resultados de los dos primeros turnos.

Equipo A Equipo B

Turno 1 3 respuestas correctas y 2 en el dado.

4 respuestas correctas y 5 en el dado.

Turno 2 5 respuestas correctas y 3 en el dado.

3 respuestas correctas y 4 en el dado.

Si ambos equipos inician con cero puntos, ¿cuál será la puntuación de cada

equipo después de dos turnos?

c. Supón que el equipo A se encuentra en la casilla 6 y el B en la casilla 26.

¿Cuántas respuestas correctas tuvo cada equipo? ¿Qué número obtuvo cada equipo al lanzar el dado? ¿Es la única manera de que ambos equipos hayan obtenido esa puntuación?

Comenta con tus compañeros qué características tienen en común la multipli-cación y división de números positivos y negativos, y qué aplicaciones conocen.

2 o 6

El equipo A tendrá 9 puntos y el equipo B, 2 8 puntos.

No, hay dos posibilidades: pudo haber obtenido 2 respuestas correctas y 3puntos en el dado o 6 respuestas correctas y 1 punto en el dado.

3 o 1

No, ya que si se obtiene un número impar en el dado el resultado resultará positivo.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.4Potencia de un número entero

Lección 1

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Productos

1. Lee el problema y responde.

La encargada de la cafetería de la escuela lleva un paquete de galletas por día, de lunes a viernes. Cada paquete contiene 5 cajas de galletas que a su vez contienen 5 galletas cada una.

a. ¿Cuántas cajas lleva a la semana? b. ¿Cuántas galletas lleva cada día? c. ¿Cuántas galletas lleva en total a la semana? d. ¿Qué operación u operaciones es necesario resolver para contestar las pregun-

tas anteriores? Explica tu respuesta.

Compara tus respuestas con las de un compañero. Discutan con su profesor sus dudas, en caso de tenerlas.

Potencias

1. Lee los problemas y responde.

Problema 1. Según lo que estudiaste en primer grado, si los lados de un cubo miden 5 cm…

a. ¿Cuál es su volumen? b. ¿Qué operación resolviste para calcularlo?

Problema 2. En una granja, cierta colonia de insectos aumenta su población al triple después de cada mes durante los primeros 12 meses de cultivo. Si se coloca un insec-to por granja en la fecha inicial…

a. ¿Cuántos insectos habrá al nal del primer mes? b. ¿Cuántos insectos habrá al nal del quinto mes? c. ¿Cuántos insectos habrá al nal del undécimo mes?

Valida tus operaciones con ayuda de tu profesor y compañeros. Comenten si to-dos utilizaron el mismo procedimiento o no.

Multiplicación

25 cajas

25 galletas125 galletas

Se debe multiplicar el número de galletas por el número de cajas y al último por el número de días a la semana.

3243

177 147

125 cm3

32

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Contenido: Resuelves problemas que implican el cálculo de potencias de números enteros.

2. Analiza las operaciones que has resuelto hasta el momento para cada problema de la secuencia y contesta.

a. ¿De qué tipo son las operaciones? b. ¿Qué tienen en común?

c. Reúnete con dos compañeros y comenten si hay una manera de

simpli car la operación: 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6. Anoten en su cuaderno las opciones sugeridas.

Compartan sus respuestas con sus compañeros y elijan la simpli- cación más adecuada de la multiplicación del inciso c. Después analicen la si-

guiente información y coméntenla en grupo.

3. De acuerdo con la información anterior, escribe como potencia las operaciones de los incisos b y c del problema 2 de la página anterior.

Inciso bPotencia: Resultado: Base: Exponente:

Inciso cPotencia: Resultado: Base: Exponente:

Compara tus respuestas con las de un compañero. Si tienen dudas, pregunten a su profesor.

Cuando se multiplica un número por sí mismo varias veces, se calcula una poten-cia. Las potencias se denotan con an, donde a es la base o el número que se multi-plica, y n es el exponente, un número natural que indica el número de veces que se multiplica por sí misma la base.

Practicar para avanzar

1. Expresa como potencia o multiplicación las expresiones, según corresponda, y calcula el resultado.

Valida tus respuestas con ayuda de una calculadora. Comenten en grupo sus resultados y re-suelvan juntos sus dudas.

a. 1 3 1 3 1 3 1 5 c. 12 3 12 3 12 5 e. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5

b. 1025

d. 535

f. 2535

simpli car.En matemáticas, simpli car una expresión es escribirla de una forma más sencilla.Por ejemplo:3a 1 4a 2 a 5 6a

Glosario

Multiplicaciones

35

311

3

3243

177 14711

5

En todas debe multiplicarse un número varias veces.

14

12310 3 105 3 5 3 5

25 3 25 3 2525

33

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Potencias de números negativos

1. Responde en tu cuaderno.

a. Utiliza la propiedad asociativa para resolver la multiplicación (25) 3 (25) 3 (25).

¿Cómo es el resultado de la primera multiplicación que resolviste? ¿Por qué crees que ocurre lo anterior? ¿Cómo es el resultado de la segunda?

b. Sigue en tu cuaderno los mismos pasos para resolver (25) 3 (25) 3 (25) 3 (25).

Comparen sus respuestas en grupo y comenten por qué la multiplicación del in-ciso a da como resultado un número negativo y la del inciso b, un número posi-tivo. Después lean lo siguiente.

La multiplicación repetida de un número negativo puede escribirse como una potencia.

(2a) 3 (2a) 3 (2a)… 3 (2a) 5 (2a)n

Al calcular la potencia de un número negativo, si el exponente es un número par, el resultado será positivo. Si el exponente es número impar, el resultado será negativo.

2. Usa lo que aprendiste para multiplicar números con signo y responde.

a. ¿Cómo será el signo del resultado de (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23)?

b. ¿Y el de (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23)? c. Escribe ambas operaciones como potencias.

3. Resuelve con base en lo anterior.

4. Analiza las siguientes potencias y haz lo que se pide.

a. Explica en qué se diferencian ambas potencias.

b. ¿En cuál de las dos potencias la base es un número negativo? c. Resuelve las potencias.

Validen sus respuestas en grupo y comenten sus conclusiones sobre el cálculo de potencias de números negativos.

a. (215)2 5

(29)25

b. (23)5 5

292 5

Lección 2

PositivoNegativo

(2 3)6 ; (2 3)7

225 2243

81 2 81

En la primera potencia el exponente afecta al signo, mientras que en la segunda no.

En la primera

Positivo

Negativa Por la ley de la multiplicación de los signos

34

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6. Resuelve.

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee el problema y contesta.

Paola inicia una cadena de mensajes, la cual naliza diciendo: “Envía mañana este mensaje a 5 contactos”. Supón que Paola envió la cadena a 5 personas, que nadie rompe la cadena y que no se repiten los contactos.

a. ¿Cuántos mensajes se envían el día 1? b. ¿Cuántos mensajes se enviarán el día 2? c. ¿Cuántos mensajes se enviarán el día 3? d. ¿En qué día se envían 3 125 mensajes? Justi ca tu respuesta.

Compara tus respuestas y tus procedimientos con los de tus compañeros. Si tie-nes dudas sobre lo trabajado en la secuencia, consulta a tu profesor.

Contenido: Resuelves problemas que implican el cálculo de potencias de números enteros.

(23)2 3 (23)35

63 3 645

(22)2 3 (22)3 5 (21)7 3 (21)6 5

Cuando se multiplican dos potencias con la misma base, su producto mantiene la base y tiene como exponente la suma de los exponentes de los factores. Esto es, am 3 an

5 am + n, donde a es un número entero y m y n son números naturales.

Por ejemplo: 115 3 1135 115 + 3

5 118

Multiplicación de potencias

5. Considera lo siguiente y haz lo que se pide.

52 3 53

Si 52 5 5 3 5 y 53

5 5 3 5 3 5, la multiplicación de potencias puede reescribirse como:52 3 53 5 (5 3 5) 3 (5 3 5 3 5) 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5

a. Escribe el resultado anterior como una potencia. b. Escribe cómo se resuelve una multiplicación de potencias.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntenlas con su profe-sor. Después re exionen sobre la siguiente información.

525625

El día 4, pues 625 personas que recibieron el mensaje el día anterior lo enviarán a 5 más, es decir,625 3 56 53 125.

(2 3)5 (2 2)5

(2 1)1367

55

base por sí misma, tantas veces lo indique el exponente o potencia.

Multiplicando la

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Exponentes negativos5

Lección 1 Cociente de potencias

1. Lee con atención el problema y analiza las preguntas.

En un experimento de entomología (estudio de los insectos), se observa una especie que duplica su población al cabo de cada semana. El experimento se realiza por 20 semanas. Al iniciar el experimento, se colocan 2 insectos en la caja de observación A y en la semana 5 se colocan 2 insectos en la caja de observación B.

Después de haber transcurrido 9 semanas desde el inicio del experimento, el cientí- co decide repartir el total de los insectos de la caja A en charolas de trabajo, de ma-

nera que en cada una haya la misma cantidad de insectos que hay en la caja B.

a. ¿Cuántos insectos se colocarán en cada charola? b. ¿Cuántos insectos habrá en cada charola 5 semanas después? c. ¿Cuántos insectos habrá en cada charola 9 semanas después? d. ¿Qué operación necesita realizar el cientí co para distribuir los insectos como lo

decidió después de la semana 9?

Comenta con tus compañeros si tienen la información necesaria y si pueden res-ponder las preguntas.

Cocientes como fracciones

1. Lee las instrucciones y haz lo que se pide.

a. Escribe los términos del cociente 37

33 como multiplicaciones repetidas.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

simpli car una fracción. Es encontrar una fracción equivalente dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número.

Glosario

b. Para simpli car el cociente, completa la operación:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 5 3

3 3 3

3 3 3 3 3 3

¿Qué operación de fracciones se usa en la simpli cación anterior? Explica tu respuesta.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

165128 192

Una división

3 3 3 3 3

R. L.

3

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero negativo.

¿Cuál es el resultado de 33

?

c. Escribe el resultado del inciso b como una multiplicación de unos y una poten-cia de base 3.

d. ¿Qué relación encuentras entre las potencias del cociente original y la potencia del resultado? Explica tu respuesta.

e. Escribe una regla para dividir potencias con la misma base. Explica qué sucede con los exponentes.

Compara la regla que escribiste con las de dos compañeros, discutan las dife-rencias y concluyan cuál les parece más adecuada. Después compárenla con la siguiente información.

Para obtener el cociente de dos potencias con la misma base, se pueden restar los exponentes de la siguiente manera.

am an 5 am2n, para m . n y a

m an 5

1an2 m , para n . m donde m y n son enteros.

Por ejemplo: 25 23 5 2523

5 22 y 64 67 5

1672 4 5

163

Practicar para avanzar

1. Rodea el resultado de cada cociente de potencias.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenta tus dudas con tu profesor.

A) 52

A) 9

B) 152

B) 19

C) 5

C) 96

a. 56

54

b. 92

93

3 3 3 3

3 3 3

3 3 34

1

La potencia del resultado se obtiene al restar las potencias del cociente original.

El resultado de una división de potencias con la misma

base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es el resultado de la

resta de los exponentes.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 2 Exponentes negativos

1. Reúnete con un compañero, retoma el caso de los insectos de la lección anterior y hagan lo que se pide.

a. Respondan de nuevo los incisos a, b y c, considerando lo que aprendieron sobre el cociente de potencias.

b. ¿Qué operación necesita hacer el cientí co para distribuir los insectos como lo decidió después de la semana 9? Escríbanla.

¿Pueden resolver esa operación? Expliquen.

c. Simpli quen el cociente como aprendieron en la lección anterior.

d. ¿Cuántas charolas de trabajo necesitará? e. Escriban el cociente de potencias que represente el reparto del total de insectos

de la caja B en charolas en las que haya la misma cantidad de insectos que en la caja A.

f. ¿Le es posible al cientí co hacer ese reparto? Justi quen su respuesta.

Comparen su procedimiento y su respuesta con los de otras parejas y valídenlos con el profesor. Anoten en su cuaderno sus conclusiones.

El cociente de potencias 29/ 24

Sí, pues bastará con restar los exponentes.

25 532

24

29 5 2924 5 25

24

29 5 1

2924 5

125

2 2 3 2

2 3 2

2 3 2 2 3 2

2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 16 insectos en cada charola

16 3 25 5 512 insectos por charola16 3 29 5 8192 insectos en cada charola

R. L.

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Practicar para avanzar

2. Considera el cociente 47

49 y haz lo que se pide.

a. Utiliza la regla para obtener el cociente. b. Escribe el cociente como multiplicaciones repetidas y simpli ca, como en el

ejercicio de la página 36.

c. Iguala los resultados que obtuviste.

Comparen sus respuestas en grupo. Si encuentran diferencias, coméntenlas con su profesor. Después lean la siguiente información y revisen de nuevo su trabajo.

Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero negativo.

Los exponentes pueden ser positivos o negativos. Al elevar cualquier número a a un exponente negativo n, donde n es un número entero, se tienen los siguientes casos:

a2n 5 1

an y 1a2n 5 an

Por ejemplo: 322 5 1

32 5 1 9

y 1222 5 22

5 4

Cuando el exponente es 1, no es necesario escribirlo, es decir, a1 se escribe sola-mente a.

1. Escribe las siguientes operaciones únicamente con exponentes positivos.

2. Analiza los cocientes y contesta.

a. ¿En qué se diferencian estos cocientes y los que has simpli cado anteriormente?

b. Simplifícalos de la manera que aprendiste en esta secuencia. c. Escribe los cocientes utilizando solamente exponentes positivos.

Anota tus procedimientos en tu cuaderno y compara tus resultados con los de tus compañeros.

a. 324 b. 1322 5

724

7 5 4

221 5

134

175

R. M. En estos cocientes hay exponentes negativos, además en el segundo caso la base

no es la misma.

32

23

422

4 4 3 4

4 3 4

4 3 4 4 3 4

4 3 4

4 3 4 4 3 1

4 3 1 4 5 1

42

422 5 1 42

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 3 Cociente de potencias negativas y mixtas

1. Analiza el siguiente cociente de potencias y responde.

224

221

a. ¿Qué característica tiene con respecto a los cocientes vistos hasta ahora en la se-cuencia?

b. Utilizando lo aprendido en la lección anterior sobre exponentes negativos, en-cuentra una expresión equivalente al cociente en la que se utilicen únicamente exponentes positivos. Anota tu procedimiento.

c. Simpli ca el cociente de potencias.

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hubo diferencias, comén-tenlas con ayuda del profesor.

2. Observa las siguientes potencias, simplifícalas al máximo y escríbelas utilizando únicamente exponentes positivos.

Anota el procedimiento y el resultado en tu cuaderno. Compara tu trabajo con el de tus compañeros.

3. Haz las operaciones. Luego valida tus resultados con la calculadora.

a. 324

323 5

c. 4222 5

(9)43 (9)5 5 (25)6

3 (25)3 5 563 51 5

b. 122

128 5

d. 421

222 5

Se pueden calcular potencias con calculadora. En algunas calculadoras se antepone la tecla “^” al exponente para calcular una potencia. Otras tienen la tecla “xy”, en la que se asignan en x y y los valores de la base y el exponente respectivamente. Es importante que sepas utilizar tu calculadora.

Herramientas académicas

224

221 5 224 3

1221

5

124 3 21

5 21

24

21

24 5 1

2421 5

123

13

24

1

387420489 21953125 78125

1

Los exponentes son negativos.

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero negativo.

4. Reúnanse en equipos de 5 integrantes y hagan lo que se indica.

a. Cada integrante del equipo debe diseñar 6 pares de tarjetas para un juego de memoria. En las tarjetas deberán escribir expresiones equivalentes del tipo:

Para el diseño de las tarjetas deben considerar lo siguiente.

Al menos 4 de los 6 pares deben incluir exponentes negativos. Al menos 4 tarjetas deben tener potencias. Al menos 4 tarjetas deben tener cocientes. Al menos 4 tarjetas deben tener una multiplicación repetida en el denominador.

b. Reúnanse con otro equipo y cada uno elija a dos representantes para jugar una partida con la memoria del equipo contrario. Si tienen alguna duda durante el juego, pidan ayuda a su profesor. Repitan lo anterior hasta que todos los inte-grantes de cada equipo hayan jugado.

Comenten en grupo y con su profesor qué características tienen los pares que les costaron más trabajo encontrar y por qué. Anoten en su cuaderno sus conclu-siones, así como los pares de expresiones equivalentes que encontraron.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve el problema. Escribe todas tus operaciones en tu cuaderno y anota aquí las respuestas.

En el inicio del curso, cada profesor de segundo grado de secundaria de una escuela recibió 5 cajas de cartón con 5 paquetes cada una. En cada paquete había 5 bolsas con 5 plumas rojas cada una. En dicha escuela hay 5 salones de segundo grado y en cada salón hay 5 casilleros de material.

a. Expresa como una potencia la cantidad de plumas rojas que hay. b. Expresa como una potencia la cantidad de casilleros que hay en total en los sa-

lones de segundo grado. c. ¿Qué operación debes resolver para saber cuántas plumas se guardarán en cada

casillero? Justi ca tu respuesta.

d. Expresa como una potencia la cantidad de plumas rojas que corresponden a cada casillero.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y revísenlos con ayuda del profesor. Corrige si lo consideras necesario.

a2 323 322 422 a 3 a 133

19

14 3 4

56

Una multiplicación, pues para conocer la cantidad de plumas que hay en cada casillero debemos multiplicar la cantidad de cajas, paquetes, bolsas y plumas que recibe cada profesor.

52

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Números muy grandesy muy pequeños6

Lección 1

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

¿Qué es la notación científi ca?

1. Analiza la información y contesta.

La profesora de Matemáticas de Julián planteó los siguientes problemas en clase.

Problema 1. La distancia promedio de la Tierra al Sol es de 149 600 000 km y la dis-tancia promedio de Marte al Sol es de 227 940 000 km. ¿Cuál sería la distancia de la Tierra a Marte si ambos planetas formaran una línea recta con el Sol?

Problema 2. El espesor de una hoja de papel es de 0.0008 m y el largo de una salmo-nela es de aproximadamente 0.000002 m. Ambas medidas son muy pequeñas, pero ¿cuál de las dos es mayor? ¿Cuántas salmonelas caben en el espesor de la hoja?

a. Lee los números que aparecen en cada problema. ¿Te resulta fácil leerlos? Explica por qué.

b. Resuelve los problemas que planteó la profesora y completa. La distancia promedio entre la Tierra y Marte es de En el espesor de una hoja de papel caben salmonelas.

c. Escribe si te fue fácil o difícil resolver cada problema y por qué.

d. ¿Cómo puedes simpli car la manera de resolver estos problemas?

e. ¿Podrías utilizar potencias con exponente entero y base 10 para resolver los problemas? Explica.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y resuelvan sus dudas con ayuda de su profesor.

Representación de números en notación científi ca

1. Reúnete con dos compañeros, lean el texto y respondan.

Julián tuvo di cultades al resolver los problemas porque los números que apare-cen son muy grandes o muy pequeños. Su profesora le sugirió que utilizara lo apren-dido sobre potencias de 10 para escribir los números. Le puso como ejemplo que 149 600 000 se puede escribir como 1 496 3 105, o mejor, como 1.496 3 108 y 0.000002 se puede escribir como 2 3 1026.

Probablemente no, debido a que se trata de números con muchos dígitos.

Me resultó difícil, pues operar con muchos dígitos di culta las operaciones.

número de ceros y es más fácil operar con ellos.

R. M. Eliminando la misma cantidad de ceros en ambas cantidades.

78 340 000 km.

P. R.

R. M.

P. R. Sí, porque si multiplicamos por base 10 reducimos el

400

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Practicar para avanzar

Contenido: Resuelves problemas utilizando la notación científi ca.

Los cientí cos suelen operar con números muy grandes o muy pequeños. Para facilitar la comprensión de estos números, se usa la notación cientí ca. En esta notación, los números se escriben como el producto d 3 10n, en el que el valor absoluto de d es mayor o igual a 1 y menor a 10. Por ejemplo, 2 300 52.3 3 102 y 0.023 5 2.3 3 1022.

En d 3 10n, el número d se denomina coe ciente, el 10 es la base y la n es el exponente u orden de magnitud del número expresado en notación cientí ca.

1. Escribe en notación estándar o común los números que están en notación cientí ca; y en no-tación cientí ca los que están en notación estándar o común.

2. Subraya el número que representa a 198.276 en notación cientí ca.

3. Responde en tu cuaderno los problemas y justi ca tus respuestas.

a. Los adultos utilizan en promedio las redes sociales durante 4.12 3 102 min al mes. Los jóvenes las utilizan en promedio 1.10 3 103 min al mes. ¿Quién utiliza menos tiempo las redes sociales?

b. Una bacteria mide 4.7 3 1025 m y un hongo mide 3.6 3 1023 m. ¿Cuál de los dos es más grande?

c. ¿Qué transistor es más pequeño: uno de 6 3 1029 m o uno de 9 3 1029 m?

Compara tus resultados con el resto del grupo y corrígelos si es necesario.

a. 19827.6 3 1022 b. 198276 3 1023 c. 1.98276 3 102

a. 473 900 000 5 c. 0.0002 5

b. 5.987 3 109 5 d. 348.32 3 1024 5

a. Escriban los números que aparecen en los problemas, como lo su-girió la profesora de Julián y justi quen su respuesta.

¿Son más fáciles de leer los números ahora? ¿Por qué?

¿Qué números representan 3.45 3 105 y 1.5 31022?

Discutan sus respuestas con su profesor. Luego lean la siguiente información.

valor absoluto de un número. Es la distancia del número al cero en la recta numérica y se representa con dos barras. Por ejemplo: |7| 5 7 y |27| 5 7.

Glosario

345 000 y 0.015

R. M. Sí, porque son números más pequeños multiplicados por

R. M. 1.496 3 108, 2.2794 3 108, 2 3 10-6 , 8 3 10-4

4.739 3 108 5 987 000 0000.0348322 2 3 1024

potencias de 10.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Operaciones con notación científi ca

1. Reúnete con un compañero, lean el problema y sigan los pasos para resolverlo con notación cientí ca.

En una proyección poblacional se previó que para 2017 el estado de México con-taría con 1.736 3 107 habitantes, Veracruz 8.163 3 106 habitantes y Chihuahua, 3.782 3106. La entidad con menor población sería Colima con 7.35 3 105 habitantes.

¿Cuántos habitantes hay en total en Veracruz y Colima? ¿Cuál es la diferencia de habitantes entre el estado de México y Veracruz? ¿Cuál es la diferencia en población entre la entidad más poblada y la menos

poblada?

Diferencia de habitantes entre el estado de México y Veracruz:

Diferencia de población entre la entidad más poblada y la menos poblada:

Comenten sus respuestas con otra pareja de compañeros para validarlas.

2. Reúnete con dos compañeros y resuelvan en su cuaderno los siguientes proble-mas. Utilicen potencias de 10 y notación cientí ca.

a. El costo de un anuncio de 20 segundos en la televisora A es de $121 472, mien-tras que en la televisora B es de $278 599.

¿Cuánto más caro sale el anuncio en la televisora B? ¿Se puede resolver el problema con notación cientí ca? Justi ca tu respuesta. ¿Simpli ca el trabajo utilizar notación cientí ca en este caso? ¿Por qué?

a. Para responder la primera pregunta, escriban las dos cantidades de habitantes en términos de la misma potencia de 10.

¿Por qué creen que es necesario hacer esto?

b. Escriban la suma de estas dos cantidades utilizando la propiedad distri-butiva.

c. Calculen la suma de los dos números expresados en potencias de 10.

d. Escriban el número anterior en notación cientí ca. e. Comparen el resultado de seguir los pasos anteriores, pero escribiendo

las dos cantidades en términos de la potencia de 10 que no utilizaron. ¿Qué encuentran? ¿Por qué sucede esto?

f. Respondan las otras preguntas siguiendo los pasos anteriores.

Lección 2

Fuente: www.conapo.gob.mx/es/CONAPO/Proyecciones_Datos (consulta: 11 de septiembre de 2018)

propiedad distributiva. Es aquella que indica que el resultado de una suma multiplicada por un número es igual al resultado de multiplicar cada sumando por dicho número y después sumar los productos. Es decir, a(b 1 c) 5 ab 1 ac.

Glosario 8.163 3 106 y 0.735 3 106

8.163 3 106 1 0.735 3 106 5 ( 8.163 1 0.735) 3 106

8.898 3 106

9 197 000 habitantes; 0.9197 3 107 o 9.197

16 625 000 habitantes; 1.6625 3 107 o 166.25 3 106

8 898 000

y que el resultado continúe siendo expresado en notación cientí ca.

Se llega al mismo resultado.Porque ambas notaciones son equivalentes.

Para realizar una suma

Ver solucionario.

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Contenido: Resuelves problemas utilizando la notación científi ca.

b. La distancia promedio de Marte al Sol es de 2.274 3 108 km y la de Saturno al Sol es de 1.429 3 109 km.

¿Cuál es la distancia promedio entre Marte y Saturno?

Comenten sus respuestas con su profesor y concluyan en qué casos conviene utilizar la notación cientí ca. Si es necesario, corrijan. Luego lean el texto.

Para sumar o restar números expresados en notación cientí ca es necesario expre-sar ambos números en términos de la misma potencia de diez, es decir, usando el mismo orden de magnitud. Esto permite utilizar la propiedad distributiva para sumar los coe cientes y multiplicarlos por el orden de magnitud elegido. Poste-riormente la suma puede expresarse en notación cientí ca. Por ejemplo:

(7.5 × 103) 1 (5.25 × 105) 5 7.5 × 103 1 525 × 103 5 (7.5 1 525) 3 103 5 532.5 3 103

3. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.

a. 2.5 3 1051 3.8 3 104

2 6.1 3 103 b. 9.5 3 1023 2 7.4 3 1022 1 5.1 3 1021

4. Reúnete con un compañero, discutan cómo resolverían los siguientes problemas y anoten sus ideas en su cuaderno. Luego hagan lo que se pide.

Problema 1. Los habitantes de un municipio quieren convertir un terreno de 1.45 3103 m de largo y 2.58 3 102 m de ancho en un campo deportivo. ¿Cuál será su área? Problema 2. Martha y Elvia necesitan encontrar la proporción entre el golfo de Ca-lifornia y el golfo de México para justi car los recursos que requieren para hacer un proyecto. De acuerdo con la Organización Hidrográ ca Internacional, el golfo de Mé-xico tiene un área de 1.6 3 106 km2 y encontraron que el golfo de California mide177 000 km2.

a. ¿Qué operación se requiere para resolver el problema 1?

b. Escriban la operación en el siguiente orden: primero los dos coe cientes de las longitudes y después las dos potencias de 10.

¿Por qué es correcto escribir de esta manera la operación?

c. Encuentren el producto de los coe cientes. d. Encuentren el producto de las potencias de 10. Usen lo que aprendieron sobre

operaciones con potencias.

e. ¿Cuál es el área del campo deportivo expresada en notación cientí ca?

f. Respondan en su cuaderno las mismas preguntas para el problema 2, usando cocientes en lugar de productos.

Comparen sus respuestas en grupo y coméntelas con su profesor.

Fuente: https://solarsystem.nasa.gov/planet-compare/

1.45 3 2.58 3 102 3 103

105

Multiplicación

3.741Porque en una multiplicación el orden de los factores no altera el resultado.

3.741 3 105 m2

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Para multiplicar números expresados en notación cientí ca, se multiplican poruna parte los coe cientes, por otra las potencias de diez y se suman losexponentes. Después se escribe el resultado obtenido en términos de la notacióncientí ca.

Por ejemplo: (8 × 104) × (3 × 1022 ) 5 (8 × 3) × 104 1 (22) 5 24 × 102

Para dividir números expresados en notación cientí ca, se dividen por una partelos coe cientes, por otra las potencias de diez y se restan los exponentes.Después se escribe el resultado en términos de la notación cientí ca.

Por ejemplo: 6 3 108

2 3 104 5 62

3 108 2 4 5 3 × 104

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas utilizando notación cientí ca.

a. Retoma el problema del espesor de la hoja de papel y la salmonela. Si la hoja de papel mide 0.0008 m de espesor y la salmonela mide 0.000002 m de largo, ¿cuántas salmonelas caben en el espesor de la hoja de papel?

b. La velocidad de la luz es 3 3 108 m/s. Marte está a una distancia promedio de 230 000 000 m del Sol.

¿Cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a Marte? Si la Tierra está a una distancia promedio de 1.5 3 1011 de Marte, ¿cuánto tar-

da la luz en llegar de Marte a la Tierra? c. Un cantante recibe en promedio 8 384 “me gusta” al día en una red social.

¿Cuántos recibe en un año? ¿Te fue útil calcular la respuesta con notación cientí ca? ¿Por qué?

d. Cierta bacteria mide 1.5 31026 m, mientras que el tamaño de una célula llama-da ovocito es de 0.00015 m.

¿Cuál de las dos células es mayor? ¿Cuántas veces cabría la bacteria en un ovocito?

e. El tamaño de los transistores que se usan en los teléfonos celulares es de 1.5 3 1028 m. Si suponemos que estos transistores son cuadrados, ¿cuántos ca-brían alineados en un dispositivo de 2 31023 m de largo?

2. Reúnete con un compañero y resuelvan en el cuaderno las operaciones usando potencias de 10.

a. (4.2 3 107) 3 (1.54 3 1022) 4 (2 3 106) b. (3.2 3 1029) 3 (5.5 3 1022) c. (7.9 3 1022) 2 (1.2 3 104 ) 4 (8.7 3 107) d. (2.5 3 1025) 4 (5 3 103 )

Comparen en grupo sus respuestas y comenten por qué es útil usar potencias de números enteros cuando se trabaja con números muy grandes o muy pequeños.

5. Lean la siguiente información y revisen su procedimiento. Si lo consideran necesa-rio compleméntenlo.

400

R. L.

El ovocito100 veces

7.67 × 108 segundos

1.3333333 × 105 transistores

5 × 102 segundos

3.06016 × 106 “me gusta”

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que necesitas repasar.

1. Una cuerda de 9 910

de m de largo se corta en pedazos del mismo largo que deben medir 1 1

15 de m.

a. ¿En cuántos pedazos se cortó la cuerda? b. ¿Cuántos metros de cuerda sobraron? c. Si se hace lo mismo con 7 cuerdas del mismo tamaño, ¿cuántos pedazos se ten-

drán? ¿Cuánto sobrará?

3. Júpiter es el planeta más grande del sistema solar y tiene 1.899 × 1027 kg de masa. Un electrón es una de las partículas subatómicas más pequeñas y tiene una masa de 9.1 × 10231 kg. ¿Qué tan grande es la masa de Júpiter con respecto a la del electrón?

4. Resuelve los ejercicios:

a. (8 3 106) 3 (8 3 103) 5 b. (5.4 3 109)4(3.3 3 106 )5

2. Un transistor es un elemento microscópico que se utiliza en compu-tadoras y teléfonos celulares. En la gura de la derecha se observa uno de los componentes del transistor y sus dimensiones. Calcula el área de las tres caras y el volumen del componente.

7 × 10 –9

m

30 × 10 –9

m

42 × 10 –9

m

Volumen: 8820 × 10227 m3

Cara 1: 1260 × 10218 m2

Cara 2: 210 × 10218 m2

Cara 3: 294 × 10218 m2

Es 2.087 × 1057 veces mayor

9

63 pedazos y sobrarán 910 (3 segmentos de 3

10 cada uno).

310

6.4 × 1010

1.636363 × 1023

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

Proporcionalidad directa e inversa7

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Dos tipos de relaciones entre cantidades

1. Lee el problema y responde las preguntas.

En una página de venta de música en internet se descargan canciones a una veloci-dad constante de 2.5 megabytes por segundo (MB/s), también a velocidad constan-te, utilizando el servidor A y a 1.2 MB/s utilizando el servidor B.

a. Si se quiere descargar un archivo de 4 MB, ¿en cuál de los dos servicios tarda menos en descargarse? ¿Por qué?

b. ¿Descargar un archivo de 8 MB tardará más o menos que el de 4 MB? ¿Por qué?

c. ¿Qué sucede con el tiempo de descarga a medida que el tamaño del archivo au-menta?

¿Y cuando el tamaño del archivo disminuye? d. ¿Qué sucede con el tiempo de descarga a medida que la velocidad aumenta?

¿Y cuando la velocidad disminuye? e. ¿Cómo puedes calcular el tiempo de descarga en cada servidor para distintos ta-

maños de archivos?

f. ¿Cómo calcularías la velocidad a la que se descarga un archivo de 8 MB si supie-ras el tiempo de descarga?

g. ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular el tiempo de descarga en el servi-dor B de un archivo que tarda 10 segundos en descargarse en el servidor A?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

Lección 1

En el servidor A, ya que descarga mayor cantidad de MB/s.

Aumenta tambiénDisminuye también

Disminuirá

Aumentará

Dividiendo el tamaño del archivo por la velocidad de descarga del servidor.

Dividiendo 8 MB por el tiempo de descarga.

Primero se debe multiplicar 2.5 MB/s por 10 s para conocer el tamaño del archivo. Este resultado debe dividirse por 1.2 MB/s para obtener el tiempo que tardará endescargarse en el servidor B.

Más segundos, debido a que es mayor la cantidad de MB que deben descargarse.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan proporcionalidad directa e inversa y resuelves problemas que presentan ambos tipos de proporcionalidad.

Distintos tipos de proporcionalidad

1. Lee nuevamente el problema anterior y haz lo que se pide.

a. Completa la tabla que muestra diferentes tamaños de archivos para descargar utilizando el servidor B.

Tamaño del archivo (MB) Tiempo (s)

2

4

5.5

¿Son proporcionales el tamaño del archivo y el tiempo de descarga? ¿Por qué?

b. Completa la tabla que relaciona los tiempos de descarga de un archivo de 4 MB al utilizar diversos servidores de internet con diferentes velocidades.

Velocidad (MB/s) Tiempo (s)

1.2

2.5

5

¿Son proporcionales el tamaño del archivo y el tiempo de descarga? ¿Por qué?

c. ¿Qué procedimientos utilizaste para completar las tablas?

Compara tus respuestas y tus procedimientos con los de tus compañeros y, con ayuda de tu profesor, comenten en qué se parecen y en qué son diferentes las relaciones que muestran las dos tablas.

1.666667

3.333333

3.333333

1.6

4.583333

0.8

Sí, pues cuanto mayor es el tamaño del archivo mayor es también el tiempo

No, pues cuanto mayor es la velocidad de descarga menor es el tiempo que

Dividir el tamaño del archivo (4 MB/s) por las distintas velocidades de descarga.

tarda en descargarse el archivo.

de descarga, y viceversa.

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Lección 2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Proporcionalidad inversa

1. Observa las tablas de la lección anterior y responde.

a. Si el tamaño del archivo aumenta al doble, ¿qué sucede con el tiempo de descar-ga?

¿Y si el tamaño disminuye a la mitad? b. Si la velocidad de descarga aumenta al doble, ¿qué sucede con el tiempo de des-

carga? ¿Y si la velocidad disminuye a la mitad?

Las cantidades de dos conjuntos tienen una relación inversamente proporcional si al aumentar una cantidad en un conjunto n veces, la cantidad correspondiente dis-minuye n veces.

Anteriormente aprendiste que existe una relación de proporcionalidad cuando las cantidades de dos conjuntos se relacionan de modo tal que si una aumenta n veces, la cantidad correspondiente en el otro conjunto aumenta también n veces.

Para distinguirla de la relación de proporcionalidad inversa, esta relación se llama relación de proporcionalidad directa.

En la proporcionalidad directa, al dividir una cantidad de uno de los conjuntos en-tre su cantidad correspondiente, se obtiene siempre el mismo resultado, al que se le llama constante de proporcionalidad.

c. ¿Cuál de las dos anteriores es una relación de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?

d. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre el tamaño del archivo y el tiem-po de descarga de la primera tabla?

e. ¿Es constante el número que resulta de dividir el tiempo de descarga entre la ve-locidad correspondiente de la segunda tabla?

f. Multiplica el tiempo de descarga por la velocidad correspondiente de cada ren-glón de la segunda tabla. Reúnete con un compañero y escriban en el cuaderno un párrafo que justi que lo que observan.

Comenta con tus compañeros cómo pueden distinguir entre proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa, y validen su conclusión con su profesor.

Aumentará al doble.Disminuirá a la mitad también.

Disminuye a la mitad.

La segunda, porque cuando la velocidad aumentó dos veces, el tiempo de descarga disminuyó 2 veces y viceversa.

0.8333333

Sí, es constante.

Aumenta al doble.

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Practicar para avanzar

Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan proporcionalidad directa e inversa y resuelves problemas que presentan ambos tipos de proporcionalidad.

Como observaste en las actividades anteriores, en una relación de proporcionalidad inversa, los productos entre las cantidades correspondientes de los dos conjuntos son constantes, así que se puede calcular un valor faltante igualando los productos.

Por ejemplo, si queremos encontrar cuánto tardarían en pintar esa misma barda 10 personas, podemos hacer lo siguiente:

2 personas 3 6 horas 5 10 personas 3 x horas

Despejando para encontrar el valor de x obtenemos:

x 5 2 personas 3 6 horas

10 personas

A este procedimiento, que involucra dos parejas de cantidades, se le conoce como regla de tres inversa y se utiliza en situaciones en que las variables se relacionan de manera inversamente proporcional.

Regla de tres inversa

2. Lee la situación y responde.

Dos personas pintan una barda en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en pintarla 4 personas, suponiendo que todas tardan el mismo tiempo en pintar la misma super cie?

Comenta con tus compañeros cómo resolviste el problema.

Resuelve la operación anterior para encontrar el tiempo que tardan en pintar la barda las 10 personas. ¿Cuántas horas y minutos son?

Resuelve el problema con base en lo que sabes de proporcionalidad inversa. Haz los cálculos en tu cuaderno.

En una pensión de perros utilizan un alimento que viene en dos presentaciones: saco y costal. El saco alcanza para alimentar a 20 perros durante 3 días, mientras que el costal alcanza para 5 días. ¿Para cuántos días alcanzan dos sacos si ahora hay 30 perros en la pensión? ¿Y dos cos-tales? ¿Y si se tuvieran dos sacos y dos costales? ¿Cuántos días duraría el alimento si hubiera 20 perros? ¿Y 30?

Dos personas tardan 6 horas, esto quiere decir que si se incrementa el número de personas deben tardar menos tiempo. Por lo que al ser el doble de perso-nas el tiempo debe reducirse a la mitad, es decir, tardarán solamente 3 horas.

Una hora y 12 minutos

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Proporcionalidad directa e inversa

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

Tomás tarda hora y media en ir de su casa a su escuela en bicicleta a una velocidad promedio de 20 km/h. ¿Cuánto tardaría en realizar ese mismo recorrido si viajara a 40 km/h en motocicleta? ¿Cuánto tardaría en un automóvil a 80 km/h?

a. Resuelve el problema y completa la tabla.

Velocidad (km/h) Tiempo (h)

20

b. Calcula el tiempo que tardaría Tomás en recorrer 50 km en bicicleta, motoci-cleta y automóvil respectivamente.

Velocidad (km/h) Tiempo (h)

20

¿Qué procedimientos utilizaste para encontrar las respuestas?

¿Puedes encontrar las respuestas de otra manera? ¿Explica cómo?

¿Qué cantidades se relacionan de manera directamente proporcional?

¿Qué cantidades se relacionan por medio de una proporcionalidad inversa?

¿De qué manera se puede utilizar la regla de tres para resolver este problema?

¿De qué manera se puede utilizar la regla de tres inversa?

Comenta con tus compañeros y con tu maestro cómo se puede reconocer cuán-do se debe utilizar la regla de tres inversa y cuándo la regla de tres.

Lección 3

40

80

1.5

0.75

0.375

2.5

1.25

0.625

40

80

R. M. La regla de tres inversa.

R. M. Observar que la velocidad aumenta al doble, eso provoca que el tiempo

La distancia recorrida (km) y el tiempo (h).

La velocidad (km/h) y el tiempo (h).

El problema no se resuelve con regla de tres ya que los datos no se relacionan directamente.

Multiplicando los datos relacionados y dividiendo por el que se desea conocer. Por ejemplo, 20 3 2.5 4 40.

disminuya a la mitad, debido a que se trata de proporcionalidad inversa.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan proporcionalidad directa e inversa y resuelves problemas que presentan ambos tipos de proporcionalidad.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas.

a. En una autopista, la distancia entre un poste de luz y otro es de 35 m y se sabe que en determinado tramo hay 15 postes. ¿Cuántos postes habría en ese mis-mo tramo si la distancia entre uno y otro fuera de 20 m? ¿Y si la distancia fuera de 10 m?

Distancia entre postes (m)

Número de postes por tramo 15

Completa la tabla considerando que el tramo es de 1 km.

Distancia entre postes (m) 10 20 35Número de postes por tramo

¿Qué cantidades se relacionan de manera directamente proporcional en este problema?

¿Cuáles mantienen una relación inversa de proporcionalidad?

b. Una película se descarga de internet a una velocidad de 2 MB/s utilizando el servidor C y a una velocidad de 1.5 MB/s utilizando el servidor D.

Si la película se descarga en 30 minutos utilizando el servidor C, ¿cuánto tarda utilizando el servidor D?

Si se utilizara un servidor E con una velocidad 3 MB/s, ¿cuánto tardaría en des-cargarse la película?

¿Qué cantidades se relacionan de manera directamente proporcional?

¿Qué cantidades mantienen una relación de proporcionalidad inversa?

2. Reúnete con un compañero y haz lo que se pide.

a. Inventen un problema en el que las cantidades se relacionen de manera directa-mente proporcional y otro en el que las cantidades mantengan una relación in-versamente proporcional.

b. Intercambien problemas con otra pareja del salón, analicen si representan si-tuaciones de proporcionalidad y resuélvanlos.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Luego explica en tu cuaderno la diferencia entre proporcionalidad inversa y proporcionalidad directa. Valida tu tex-to con tu profesor.

35 20 10

35 70

100 50 28

El número de postes con la distancia del tramo.

El número de postes con la distancia entre cada poste.

40 minutos

20 minutos

El tamaño de un archivo y el tiempo de descarga.

La velocidad de descarga y el tiempo de descarga.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Verifi carás algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

Sucesiones lineales8

Representaciones algebraicas de sucesiones

1. Lee el problema y responde.

Tatiana usó cubos para formar guras siguiendo patrones.

Diseño 1

a. Dibuja las dos guras que continúan la secuencia.

b. Anota en la tabla el número de cubos que tiene cada gura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6

¿Qué patrón observas en los números de la tabla?

¿Cuántos cubos necesitarías para dibujar la gura número 150? Justi ca tu respuesta.

Tatiana dice que la expresión para el número de cubos que habrá en la gura n es n 1 n2 1, mientras que Joaquín, su hermano, dice que es 2n 2 1.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y explica tu procedimiento.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Lección 1

1 3 5 7 9 11

Son números impares y aumentan de dos en dos.

Figura 5 Figura 6

que forman la gura se puede multiplicar el número de gura por dos y al

resultado se le resta una unidad.

299. En la tabla observamos que para obtener la cantidad de cubos

Ambos, pues con cualquiera de los procedimientos descritos se llega al mismo resultado.

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Diferentes formas de ver las sucesiones

1. Revisa las expresiones algebraicas que escribieron Joaquín y Tatiana y realiza lo que se pide.

a. Completa la tabla para comprobar que las expresiones sean correctas. Veri ca que en cada caso se obtenga el número de cubos de las guras.

Expresión Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

n 1 n 2 1

2n 2 1

b. Tatiana le explicó a Joaquín que, para obtener la fórmula, ella vio la sucesión de guras así:

c. Joaquín, por su parte, le explicó a Tatiana que él vio las guras así:

d. Comenta con un compañero qué relación hay entre las fórmulas que escribieron Tatiana y Joaquín y su forma de ver las guras. Anoten sus conclusiones.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y comparte con ellos qué diferen-cia hay entre las expresiones de Tatiana y Joaquín.

Contenido: Representas algebraicamente sucesiones lineales utilizando más de una expresión y analizas la equivalencia entre ellas.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Una sucesión puede representarse mediante diferentes expresiones algebraicas. Estas expresiones se denominan expresiones equivalentes.

Para asegurar que dos expresiones son equivalentes, se pueden efectuar operacio-nes algebraicas de manera que se obtenga una expresión a partir de la otra. Por ejemplo, en n 1 n 2 1 se puede sumar n 1 n y así obtener 2n 2 1.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

A pesar de que son distintas, ambas fórmulas son equivalentes. Tatiana vio los cubos de forma independiente, mientras que Joaquín los vio como una misma estructura, por eso lo expresó en términos de 2n.

1

1

3

3

5

5

7

7

9

9

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

1. Observa las guras y encuentra al menos dos expresiones algebraicas equivalentes para re-presentar el número de barras necesarias para formar la gura número n.

Expresión 1. Expresión 2.

2. Dibuja en tu cuaderno una sucesión que corresponda a las expresiones 3n 1 3 y 3(n11). Pue-des agrupar o separar los elementos de cada gura para indicar cómo se ve la sucesión de acuerdo con cada expresión.

Expresiones algebraicas equivalentes I

1. Observa la sucesión, dibuja en tu cuaderno los siguientes tres términos y realiza lo que se te pide.

a. Completa la tabla con el número de círculos de cada gura.

Figura 1 2 3 4 5

Círculos rojos

Círculos azules

Total de círculos

b. Escribe una expresión algebraica que te permita encontrar el número total de círculos.

Total de círculos:

c. Veri ca que la expresión que escribiste es correcta sustituyendo valores y com-parando con el número de círculos en cada gura.

d. Escribe al menos dos expresiones equivalentes para la sucesión.

e. Dibuja en tu cuaderno cómo se ve la sucesión de acuerdo con cada ex-presión. Puedes agrupar los círculos o separarlos, según sea el caso.

Compara tus expresiones con las de un compañero y analicen juntos si son equi-valentes. Realicen operaciones algebraicas para comprobarlo.

.

Lección 2

Practicar para avanzar

Figura 1 Figura 2

2 2 2 2 2

8 12 16 20

10 14 18 22

4

6

R. M. 4n 1 2

R. M. 2n 1 1 R. M. n 1 n 1 1

R. M. 2 1 n 1 n 1 n 1 n, (2n 1 1) 1 (2n 1 1)

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Contenido: Representas algebraicamente sucesiones lineales utilizando más de una expresión y analizas la equivalencia entre ellas.

Expresiones de sucesiones numéricas

2. Reúnete con un compañero, analicen la sucesión y respondan.

Lugar del término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término 16 36 56 76 96 116 136 156 176 196

a. Veri ca en tu cuaderno si las expresiones corresponden a la sucesión.

20n 2 4 4(5n21)b. Lee las observaciones respecto a la sucesión y decide qué expresión correspon-

de a cada una.

Va de 20 en 20. En todos los casos el número es un múltiplo de 4.

c. ¿Son equivalentes las expresiones? ¿Por qué?

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa la sucesión y responde.

a. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes que describan la sucesión del número de puntos rojos en las guras.

b. Escribe dos expresiones algebraicas que indiquen el número de triángulos ver-des que hay en cada gura.

c. ¿Cuántos puntos rojos y triángulos verdes tendrá la gura 1 000? Usa ambas ex-presiones para obtener el resultado y veri car que sea el mismo.

2. Completa la tabla y responde.

Lugar del término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término 6 8 10 12 14 16

a. Escribe dos expresiones algebraicas que representen la sucesión y utilízalas para encontrar el término 100 de la sucesión.

Comenten en grupo cómo pueden saber si dos expresiones algebraicas corres-ponden a una misma sucesión.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

20n 2 4

R. M. 6n 1 3, 6(n 2 1) 1 9

R. M. 3 (n 2 1) 1 4, 3n 1 1

2(100)1 4 5 204; 2(100 1 2) 5 2042n 1 4 y 2(n 1 2);

de que se llega a la primera expresión.distributiva de la multiplicación en la segunda expresión, nos daremos cuenta

4 (5n 2 1)Sí, si aplicamos la propiedad

Puntos rojos: 6(1000) 1 3 5 6003, 6(999)19 5 6003Triángulos verdes: 3(999) 1 4 5 3001, 3(1000)11 5 3001

18 20 22 24

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de fi guras geométricas y verifi carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las fi guras).

Perímetros de fi guras 9

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 1 Diferentes procedimientos para calcular el perímetro

1. Observa la gura y responde.

a. Obtén el perímetro de la gura anterior. Considera que el largo de cada rectán-gulo mide 5 unidades y la altura, 3 unidades.

b. Escribe dos procedimientos distintos para calcular el perímetro de la gura.

Procedimiento 1

Procedimiento 2

c. Si el largo de cada rectángulo mide b y su altura mide h, subraya las expresiones que representan el perímetro de la gura.

4(b 1 h) 8(b 1 h) 8b 1 4h

8b 1 8h 4(2b 12h)

d. ¿A qué expresión o expresiones corresponde cada procedimiento que escribiste en el inciso b? Completa la tabla.

Procedimiento Expresión

Procedimiento 1 Procedimiento 2

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Comparen sus resultados y valí-denlos con ayuda del profesor. Corrijan si es necesario.

64 unidades

Se obtiene el perímetro de uno de los rectángulos y se

Se cuenta el número de largos que hay en total (8) y se

multiplica por 4.

multiplica por su medida; se hace lo mismo con las alturas. Al nal se suman ambos resultados.

4(2b 12h)8b 18h

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s

Contenido: Formulas expresiones algebraicas de primer grado para representar propiedades (perímetros) de fi guras geométricas.

Diferentes formas de representar el perímetro de una fi gura

1. Revisen en parejas la gura de la actividad anterior y las expresiones que repre-sentan su perímetro.

a. Completen la tabla para veri car si al utilizar las expresiones que eligieron se obtiene el mismo perímetro. Utilicen las medidas que se indican.

Expresión Base 5 3 cmAltura 5 1.5 cm

P 5

P 5

Con base en la información anterior, comenten con otra pareja si las expresiones que eligieron para el perímetro de la gura son equivalentes y por qué.

El perímetro de una gura puede representarse mediante diferentes expresiones al-gebraicas equivalentes.

Cuando se tienen dos expresiones equivalentes para el perímetro, es posible obte-ner una a partir de la otra utilizando operaciones algebraicas. Por ejemplo, si el pe-rímetro de una gura es 3a 1 2b 1 3a 1 5b, se puede simpli car para obtener 6a 1 7b.

1. Encuentra dos procedimientos distintos para representar el perímetro de la gura.

2. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes y determina a qué procedimiento corres-ponde cada una.

Expresión 1: Expresión 2:

Procedimiento 1: Procedimiento 2:

Practicar para avanzar

Se obtiene el perímetro de la circunferencia y se multiplica por

Se obtiene el perímetro de la circunferencia y se multiplica por , pues a después se suma la medida de dos radios y el resultado se multiplica por dos.

cada uno de los círculos les falta una cuarta parte, y se suma la medida de los cuatro radios.

34

64

2 (2ps 3 34 1 2s): procedimiento 1

2ps 3 64 1 4s: procedimiento 2

4(2b 1 2h) 5 4(6 1 3) 54(9)

8b 1 8h 5 8(3) 1 8(1.5) 524 1 12

36

36

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 2 Expresiones algebraicas equivalentes II

1. Observa la gura y responde.

a. Explica por qué 4a 1 4b representa el perímetro de la gura.

b. Escribe tres expresiones algebraicas equivalentes que representen el perímetro de la gura.

c. Veri ca que las expresiones anteriores sean correctas. Sustituye a 5 5 y b 5 6. Compara el perímetro que se obtiene con las diferentes expresiones.

d. Comprueba, algebraicamente, que las expresiones son equivalentes.

2. Une con una línea las expresiones algebraicas equivalentes. Después determina cuáles corresponden al perímetro de las guras.

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si tienen dudas, resuélvan-las con el apoyo del profesor.

x x

xx

y

a

b

b

x 1 x 1 y

x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 y

x 1 x 1 x 1 x 1 y

2y 1 4x

x2 1 x21 y

4x 1 y

y 1y14x

3x 1 y 1y

x

y y

x

x x

Porque el

2a 1 2b 1 2a 1 2b 2(a 1 b) 1 2(a 1 b)

2(5) 1 2(6) 1 2(5) 1 2(6) 5 10 1 12 1 10 1 12 5 44

2a 1 2b 1 2a 1 2b5 4a 1 4b

2(5 1 6) 1 2(5 1 6) 5 2(11) 1 2(11) 5 22 1 22 5 44

2(a 1 b) 1 2(a 1 b)5 2a 1 2b 1 2a 1 2b5 4a 1 4b

2[2(5) 1 2(6) ]5 2[10 1 12] 5 2[22] 5 44

2(2a 1 2b)5 4a 1 4b

2(2a 1 2b)

perímetro de esta gura equivale al de dos rectángulos de base b y altura a, es decir, 2(2a 1 2b).

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Contenido: Formulas expresiones algebraicas de primer grado para representar propiedades (perímetros) de fi guras geométricas.

Expresiones de perímetros

3. Respondan en equipos.

La gura amarilla cubre un número incierto de lados de tamaño a de la gura azul.

a. Escriban dos expresiones algebraicas que representen el perímetro de la gura azul.

b. De nan la longitud de los lados de la gura amarilla y escriban dos expresiones algebraicas para su perímetro.

Comenten en grupo sus respuestas. ¿Obtuvieron expresiones equivalentes?

Aplica lo que aprendiste.

1. Dibuja dos guras diferentes con lados a y b, y cuyo perímetro sea 2a 1 4b.

a. Encuentra dos expresiones equivalentes para el perímetro de tus guras.

b. Pide a un compañero que represente el perímetro de tus guras. ¿Sus expresio-nes son correctas? ¿Son equivalentes a las tuyas? ¿Cómo lo sabes?

Comenten en grupo, con la orientación del profesor, cómo pueden saber si dos expresiones algebraicas corresponden al perímetro de una misma gura.

ba

a

c

b

R. M. na 1 2b 1 c (6 1 x)a 1 2b 1 c

12 (2d)

b

a

R. M.

b

b

b bb b

b

a

a a

24d

2 (a 1 2b)

Sí, son correctas y equivalentes; esto se puede comprobar algebraicamente

2a 1 2b 1 2b

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Sistemas de ecuaciones lineales 10

Lección 1

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

1. Reúnete con un compañero y resuelvan.

En una tienda hay dos máquinas para jugar videojuegos. En una, “Batalla de titanes” y en la otra, “Salva a Lucas”. Cada juego de “Batalla de titanes” cuesta $25 y cada jue-go de “Salva a Lucas”, $50. Francisco ha ahorrado $200 y quiere usarlos en los juegos, pero solamente tiene tiempo para seis. ¿Cuántos juegos de cada tipo puede jugar si quiere emplear todo lo que tiene ahorrado?

a. ¿Cuántas incógnitas tiene el problema? ¿Cuáles son?

b. Intenten encontrar la solución dando valores a las incógnitas. ¿Qué tan e ciente es esta forma de resolver el problema?

c. Elijan una letra para representar cada incógnita y escriban qué signi ca cada letra.

d. ¿Cuántas ecuaciones pueden escribir con los datos del problema?

¿Cuántas incógnitas aparecen en cada ecuación? e. Encuentren una solución para la primera ecuación.

¿Satisface esa solución la otra ecuación? f. ¿Cualquier solución de la primera ecuación será solución de la segunda? Justi -

ca tu respuesta. g. ¿Cómo pueden responder las preguntas del problema?

Comparen sus respuestas con las de otros dos equipos y valídenlas.

El problema en términos matemáticos

1. Retomen el problema de la actividad anterior y respondan en su cuaderno.

a. La primera parte del problema se re ere a la cantidad de videojuegos y a rma que hay dos distintos. Además, se sabe que Francisco tiene tiempo para jugar seis videojuegos.

Con las letras que eligieron en el inciso c , escriban una ecuación que repre-sente esta situación.

de veces que jugará “Batalla de titanes” y la cantidad de veces que jugará “Salva a Lucas”.

x representará las veces que juegue “Batalla de Titanes” y y, las veces que juegue “Salva a Lucas”.

Dos incógnitas: la cantidad

Dos: x 1 y 5 6, 25x 1 50y 5 200

R. M. x 5 3, y 5 3R. M. No, pues 25(3) 1 50(3)5225Þ200.

No, con los valores sugeridos no se cumple.R. M. Probar con

distintos valores hasta encontrar los que satisfagan ambas ecuaciones.

x 1 y 5 6

Dos

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Practicar para avanzar

Contenido: Resuelves problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y lo resuelves por prueba y error.

b. La segunda parte del problema se re ere al costo de cada juego. A rma que cada juego de “Batalla de titanes” cuesta $25 y cada juego de “Salva a Lucas”, $50. También se indica que Francisco tiene $200 para jugar.

¿Cuánto gastará Francisco si juega un juego de “Batalla de titanes” y dos de “Salva a Lucas”? ¿Le alcanza para jugar más? ¿Por qué?

Con las letras que eligieron, representen cuánto gastará Francisco en total por jugar ambos videojuegos las veces que elija.

El costo total de jugar cada videojuego cierto número de veces debe ser $200. Entonces la ecuación en términos matemáticos se escribe como:

El problema anterior se puede representar con dos ecuaciones. Comenten en grupo cómo creen que se pueden encontrar esas incógnitas.

2. Trabajen en grupo con su profesor. Sigan las instrucciones de la actividad anterior y representen matemáticamente el siguiente problema en su cuaderno.

Francisco regresa a la tienda y encuentra que ahora hay tres máquinas de videojue-gos diferentes. “Carrera en el espacio” cuesta $20 y tiene un letrero que indica que, por cada juego de “Carrera en el espacio”, es necesario jugar dos veces “Batalla de ti-tanes”. Francisco quiere jugar 10 juegos y ahora tiene $260 para gastar. ¿Cuántos jue-gos de cada tipo puede jugar ahora Francisco?

Comenten si el problema anterior se puede resolver con una o con dos ecuacio-nes y por qué. Después analicen la siguiente información.

Al conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más variables que represen-tan las incógnitas de un problema se le llama sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones puede tener el mismo número de ecuaciones que de incóg-nitas, más ecuaciones que incógnitas o más incógnitas que ecuaciones.

En esta secuencia nos concentraremos únicamente en sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Representa matemáticamente en tu cuaderno la siguiente situación y contesta.

1. En una tienda de dulces venden dos tipos de chocolates. Cada gramo de pasas con chocola-te cuesta $0.80 y cada gramo de lunetas, $0.40. Los chocolates pueden comprarse de manera combinada. Un cliente desea una mezcla de 50 g de chocolates que cueste $0.64 por gramo.

a. ¿Cuántos gramos de cada tipo de chocolate tiene esa mezcla? b. ¿Cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas tiene el sistema que representa al problema?

$125; sí, pues aún le sobran $75.

25x 1 50y

25x 1 50y 5 200

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Lección 2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Para solucionar sistemas de ecuaciones

1. Reúnete con dos compañeros y revisen el primer problema de la lección anterior.

a. Escriban el sistema de ecuaciones lineales que propusieron.

Busquen dos valores, uno para cada incógnita, que satisfagan la ecuación y anótenlos.

Sustituyan estos números en la segunda ecuación. ¿Se satisface la igualdad?

Si la igualdad se satisface, esta pareja de números corresponde a una solución del sistema. Si no, intenten con otros dos números hasta que se satisfagan ambas ecuaciones. Este procedimiento se conoce como ensayo y error.

¿Qué números cumplieron con ambas igualdades? b. ¿Con qué otra estrategia se puede resolver el sistema de ecuaciones? Úsenla

para tratar de encontrar una solución del sistema. ¿Están seguros de que la pareja de números que encontraron es solución del

sistema de ecuaciones? ¿Por qué?

¿La pareja de números que encontraron es la única solución posible del siste-ma de ecuaciones? Justi quen su respuesta.

Comparen su estrategia y su solución con las de otros equipos y discútanlas en grupo y con su profesor. Concluyan si hay más de una solución o no.

2. Analiza la siguiente información y contesta en tu cuaderno.

En ocasiones conviene utilizar una forma ordenada de buscar por ensayo y error la solución de un sistema de ecuaciones. El sistema de ecuaciones que representa el problema de Francisco, utilizando la variable x para el número de veces que Fran-cisco jugó “Batalla de titanes” y la variable y para el número de veces que jugó “Sal-va a Lucas” es:

x 1 y 5 625x 1 50y 5 200

a. Sigue el procedimiento dado y haz lo que se indica.

Traza una tabla de tres columnas. En la primera columna escribe una lista de posibles valores para la variable x: por ejemplo, del 0 al 6. En la segunda co-lumna escribe el valor de y que habría que sumar a x para obtener como re-sultado 6.

En la tercera columna escribe, para cada pareja de números, la suma 25x 1 50y y compara con 200 el valor de la suma.

x 1 y 5 6, y 5 25x 1 50y 5 200

R. M. x 5 0 y 5 6

x 5 4, y 5 2

R. M. 25(0) 1 50(6) 5 300 Þ 200, no se satisface.

Sí, porque satisface ambas ecuaciones.

R.M. No es posible determinarlo,pues solo se probó con una cantidad pequeña de números.

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Contenido: Resuelves problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y lo resuelves por prueba y error.

b. ¿Cuál pareja de números x y y satisface la igualdad cuando se sustituyen en la segunda ecuación? ¿Satisfacen también la primera ecuación?

c. ¿Alguna otra pareja de números satisface las dos ecuaciones? d. ¿Puedes asegurar que la solución que encontraste es la única del sistema de

ecuaciones? ¿Por qué?

Sigue el mismo procedimiento para encontrar las posibles soluciones de los pro-blemas de la lección anterior. Revisa tus respuestas con un compañero.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales signi ca encontrar el o los valores de cada incógnita. Una solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valo-res que satisfacen todas las ecuaciones a la vez o simultáneamente. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, un conjunto con un nú-mero in nito de soluciones o no tener solución.

Aplica lo que aprendiste y responde.

1. Reúnete con dos compañeros. Resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales por ensayo y error. Luego contesten las preguntas en su cuaderno.

a. ¿Cuántas posibles soluciones encontraron? ¿Fue fácil o difícil hallarlas? b. ¿Puede haber otras soluciones? ¿Por qué? c. ¿Pueden asegurar que estos sistemas tienen únicamente las soluciones que

hallaron?

2. Inventa un problema que se resuelva con un sistema de ecuaciones. Resuélvelo y pide a un compañero que lo resuelva también. ¿Encontraron la misma solución o las mismas soluciones?

3. Resuelve el siguiente problema.

Una tienda vende mermeladas de fresa y de chabacano. En la tienda hay 24 frascos más de fresa que de chabacano, de un total de 98. ¿Cuántos frascos de cada tipo de mermelada hay en la tienda?

Comparen sus respuestas y sus estrategias. Comenten qué tan fácil es resolver un sistema de ecuaciones lineales como el de la secuencia y qué tan e ciente es hacerlo por ensayo y error.

x 1 y 5 6 2x 1 2y 5 3

3x 1 2y 5 1526x 1 4y 5 230

x 1 3y 5 10 4x 1 12y 5 16

x 5 4 y 5 2; sí, también satisfacen la primera ecuación.No

No, porque se probó con una cantidad limitada de valores; no se intentó con decimales, negativos, etc.

R. L.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Representación gráfi ca de sistemas de ecuaciones lineales 11

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Gráfi cas de ecuaciones lineales

1. Reúnete con un compañero, lean el problema y contesten.

Marcela está planeando hacer un viaje con sus papás a una ciudad turística de un es-tado vecino y a la playa. En internet encontró que el precio del hotel en la ciudad era de $275 por noche y que el precio del hotel en la playa era de $400 por noche. Marce-la y sus papás planean pasar una semana de vacaciones (7 noches) y tienen un pre-supuesto de $2 300 para el hospedaje, que deben gastarse completamente.

a. ¿Qué necesita saber Marcela para planear su viaje?

b. Usen las letras c y p para representar el número de noches que la familia se hos-pedará en el hotel de la ciudad y en el hotel de la playa, respectivamente.

Escriban una expresión que describa el costo del hospedaje en la ciudad.

Y una para el costo en la playa. Escriban una expresión que describa la condición del costo total del hospedaje.

c. Con las mismas variables, escriban una expresión que describa la condición

que debe cumplirse para la duración de las vacaciones. d. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que representa el problema?

e. Encuentren la solución del sistema por el método de ensayo y error.

Veri quen la solución que encontraron. Luego comparen y discutan sus res-puestas con las de otras parejas.

Sistemas de ecuaciones y gráfi ca de rectas

1. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se pide.

a. Retomen la expresión que describe el número de días que la familia de Marcela pasará en cada hotel. Indiquen con una las parejas de valores que satisfagan la igualdad y que sean solución del problema.

Lección 1

c 5 1 , p 5 6

c 5 3.5 , p 5 3.5

c 5 3 4

, p 5 25 4

c 5 2 3

, p 5 4 4

Cuántas noches van a hospedarse en cada uno de los destinos

275c 1 400p 5 2300

c 1 p 5 7

c 1 p 5 7 y 275c 1 400p 5 2300

c 5 4 y p 5 3

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Practicar para avanzar

Contenido: Empleas el método gráfi co para analizar cuándo un sistema tiene una solución, infi nidad de soluciones o no tiene solución.

Resuelves sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método gráfi co.

b. ¿Pueden resolver la expresión con los métodos que aprendieron para resolver ecuaciones lineales? Justi quen su respuesta.

c. Resten c de los dos lados de la ecuación. ¿Qué representa esa expresión?

d. ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente?

e. Obtengan puntos con coordenadas (c, p) que cumplan con la igualdad y ubí-quenlos en un plano cartesiano en su cuaderno. Unan los puntos para formar una grá ca que represente la expresión.

f. Obtengan puntos que cumplan con la ecuación para el costo del hospedaje y dibujen la grá ca que represente la expresión en el plano anterior.

g. Analicen la grá ca y respondan en su cuaderno.

Si la familia se quedara 2 días en la ciudad y 5 en la playa, ¿gastaría todo su presupuesto?

¿Qué pasaría si se quedaran 3 días en la playa y 8 en la ciudad? ¿Es esto posible con las condiciones del problema? Justi quen su respuesta.

¿Qué punto de la grá ca indica el número de días que estarán en cada hotel si gastan todo el presupuesto?

Escriban la solución del problema como pareja ordenada y expliquen lo que indica cada coordenada.

Veri quen su trabajo con el maestro y analicen la siguiente información.

Cada expresión de un sistema de ecuaciones, representa una función lineal cuya grá ca es una recta. Todos los puntos sobre esa recta satisfacen la ecuación. Como la solución del sistema de ecuaciones debe satisfacer ambas ecuaciones, en el mé-todo grá co la solución o soluciones del sistema son los puntos que se encuentran en ambas rectas. Si las rectas no se cruzan, no hay solución. Al usar este método es importante hacer las grá cas con precisión para encontrar la solución.

a. 2x 2 3y 5 224x 1 y 5 24

b. 14x 2 4.5y 5 24.53.5x 2 y 5 20.25

c. 28x 1 4y 5 424x 2 12y 5 212

1. Resuelve cada sistema de ecuaciones por el método grá co. y posteriormente encuentra la o las soluciones del sistema. Para veri car que tus respuestas son correctas, sustituye la pareja ordenada en las ecuaciones.

Comenten qué características tienen las rectas que representan a las ecuaciones de estos sis-temas, cuál es la pendiente de cada una y cómo se comparan.

Sí, pues bastará encontrar dos números que sumados den como resultado 7.

Independiente: c, dependiente: p

Sí, pues necesitaría $2 550.

Aumenta el costo.

(4, 3)

(4, 3), la primera coordenada indica los días que estarán en la ciudad y la segunda los días que estarán en la playa.

p57 2 c, representa las noches que la familia se hospedará en el hotel de la playa.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales

1. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.

Una compañía de teléfonos ofrece los siguientes planes de pago.

Plan I: $295 al mes más $10 por llamada. Plan II: $860 al mes y llamadas gratis. Plan III: $550 al mes más $5 por llamada.

En todos los casos se puede hacer el número de llamadas que se desee. ¿Cómo pue-den elegir el plan más conveniente? Para ello...

a. Escriban las ecuaciones que corresponden a cada plan. Representen el número de llamadas al mes con la variable t y la cantidad mensual por pagar con la variable y.

Plan I: Plan II: Plan III:

b. ¿De qué depende cuál plan conviene más? c. Escriban el sistema de ecuaciones que representa el costo de los tres planes y el

número de llamadas. ¿Cuántas incógnitas y cuántas ecuaciones tiene el sistema?

d. Construyan en su cuaderno la grá ca que representa los costos de los tres pla-nes en el mismo sistema coordenado. Puedes apoyarte en un programa como GeoGebra para obtener las grá cas.

e. Analicen la grá ca. ¿Cuál es la solución del sistema? f. ¿Qué signi ca la solución en términos del problema?

2. Sigue trabajando con el mismo compañero. Usen el método grá co para respon-der en su cuaderno. Justi quen sus respuestas.

a. ¿Cuántas llamadas deben hacer para que el plan I y el plan II cuesten lo mismo? ¿Y para que el plan I y el plan III cuesten lo mismo?

b. ¿Cuántas llamadas deben hacer para que el plan II y el plan III cuesten lo mismo?

c. Si Joaquín hace alrededor de 15 llamadas al mes, Lucero hace 50 llamadas al mes, Nayeli hace 60 llamadas al mes y Pedro hace 70 llamadas al mes, ¿cuál plan le conviene a cada uno?

Veri quen sus respuestas con otros equipos y con su profesor y lleguen a conclu-siones sobre los planes de pago.

Lección 2

210 t 1 y 5 295

210 t 1 y 5 295; y 5 860; 25 t 1 y 5 550

25t 1 y 5 550

Del número de llamadas que realicen.

Tres ecuaciones y dos incógnitas.

El sistema no tiene solución.

necesario hacer en cada plan para que cada uno de estos tenga un costo de $860. Cuántas llamadas es

y 5 860

Ver solucionario.

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Contenido: Empleas el método gráfi co para analizar cuándo un sistema tiene una solución, infi nidad de soluciones o no tiene solución.

Resuelves sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método gráfi co.

Los sistemas de ecuaciones pueden tener distintos números de ecuaciones y de in-cógnitas. En todos los casos, el conjunto solución del sistema es el conjunto de pa-rejas ordenadas que satisfacen todas las ecuaciones. Cuando no hay solución para el sistema, la solución es el conjunto vacío, ∅. Cuando todos los puntos de una ecuación coinciden con otra, el conjunto solución se denota por una de las ecua-ciones del sistema. Por ejemplo, en la actividad anterior la solución del sistema es el conjunto vacío, ya que las tres rectas no se cruzan en un mismo punto.

Aplica lo que aprendiste.

1. Escribe en tu cuaderno cuántas ecuaciones y cuántos sistemas hay en cada grá ca y cuál es el conjunto solución.

ya.

24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5

24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5

24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5

1

y

x

d.54321

21222324

1

y

x

b.54321

21222324

y

x

e.54321

21222324

y

x

c.54321

21222324

2

y

x

f.54321

21222324

x

24 2 3 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5

54321

21222324

2. Responde en tu cuaderno.

a. Si tienes un sistema de 3 ecuaciones y dos incógnitas, ¿cómo deben ser las rec-tas que representan a las ecuaciones del sistema para que tenga solución?

b. Escribe el conjunto solución de cada sistema que resolviste en la secuencia. Justi ca tus respuestas.

Compara tus respuestas y procedimientos con los de un compañero. Si tienen dudas, consulten a su profesor.

R. L.

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Resuelvo con tecnología

Imagen 2

Imagen 3

Imagen 1

4. En las celdas B2 y C2, anoten las fórmu-las que escribieron en el encabezado, quitando la y y sustituyendo la variable x por la celda A2. Utilicen un asterisco para denotar la multiplicación, como se muestra en la imagen 2.

6. Inserten una grá ca. Seleccionen las tres columnas y, en el menú Insertar, den clic en el icono XY (dispersión) y elijan la opción Dispersión con líneas suaves/marcadores. Localicen el punto donde ambas líneas se crucen. ¿Coincide la so-lución con las coordenadas del punto?

3. En la columna de la variable x, escriban los números del 0 al 15. Para esto, pue-den ingresar el valor 0 en la celda A2, es-cribir la fórmula “5A2+1” en la celda A3 y después copiar la celda A3 hacia abajo.

5. Copien las fórmulas de las celdas B2 y C2 para obtener los valores de la variable y. Revisen la tabla y busquen el renglón donde la variable y tenga el mismo valor en las columnas B y C. Los valores de la variable x y y en ese renglón son la solución del sistema.

Resolución de un sistema de ecuacionespor el método gráfi co

Reúnete con un compañero y sigan los pasos para resolver el siguiente sistema de ecuaciones con una hoja electrónica de cálculo.

2x 2 3y 5 224x 1 y 5 24

1. Despejen la variable y de ambas ecuaciones. Las ecuaciones quedan como:

y 5 23

x 1 23

y 5 2 4x

2. En una hoja electrónica de cálculo escriban los títulos para crear una tabla como se muestra en la imagen 1.

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Resolución de un sistema de ecuaciones usandouna tabla de valores

Reúnete con tu compañero, retomen el sistema anterior y sigan los pasos para resolverlo con otro método.

1. Despejen la variable y de una de las ecuaciones. En este caso, la variable y es más fácil de despejar en la segunda ecuación. Del despeje se obtiene:

y 5 2 4x 1 24

Repite este método para el sistema de ecuaciones:

2x 2 3y 5 213x 1 4y 524

Despejen la variable y de cualquiera de las dos ecuaciones y propongan diferentes valores para la variable x.

Imagen 4

2. En una hoja electrónica de cálculo, co-loquen los títulos de la tabla como se muestra en la imagen 1. Luego anoten en la columna de la variable los valores del 1 al 10.

3. En la celda B2 ingresen la fórmula del en-cabezado quitando la y y sustituyendo la variable x por la celda A2. En la celda C2 escriban la primera parte de la ecuación del encabezado, sustituyendo la variable x por la celda A2 y la variable y por la cel-da B2, como se observa en la imagen 2.

4. En la columna C, busca el resultado de la ecuación del encabezado, en este caso busca la la que contenga el valor 22.

Imagen 5

Imagen 6

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa a partir de sus representaciones tabular, gráfi ca y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos ti-pos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

Gráfi ca de proporción inversa 12

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Lección 1 Proporcionalidad y funciones

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Ana viajó de Puebla a Querétaro en autobús y tardó 4 horas. Teresa, su prima, viajó en automóvil y tardó 3 horas.

a. Si la velocidad promedio a la que viajó Ana fue de 90 km/h:

¿A qué velocidad viajó Teresa? ¿Cuánto tardaría en hacer ese viaje una persona que viaja en una motocicleta

a 100 kilómetros por hora? ¿Y un ciclista que va a 30 kilómetros por hora?

b. Completa la tabla que relaciona diferentes velocidades con el tiempo en que se recorre la distancia de Puebla a Querétaro.

Vehículo Velocidad (km/h)

Tiempo(horas)

Autobús 90 4

Automóvil 1 3

Motocicleta 1 100

Motocicleta 2 80

Bicicleta 1 30

Bicicleta 2 40

A pie 5

Automóvil 2 150

Automóvil 3 120

Observa cómo se relacionan el tiempo y la velocidad. ¿Es una relación de pro-porcionalidad directa o inversa? ¿Cómo lo sabes?

Comenta con tus compañeros y con tu profesor qué procedimiento utilizaste para encontrar las respuestas.

A 120 km/h

3.6 horas (3 horas y 36 minutos)12 horas

120

3.6

4.5

12

9

72

2.4

3

Proporcionalidad inversa; debido a que cuando la velocidad aumenta el tiempo disminuye y cuando la velocidad disminuye el tiempo aumenta.

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Contenido: Analizas y representas la variación inversa de manera gráfi ca, tabular y algebraica.

Gráfi ca de una relación de proporcionalidad inversa

1. Lee nuevamente el problema anterior y observa la grá ca que relaciona la veloci-dad de cada vehículo con el tiempo que tarda en recorrer la distancia de Puebla a Querétaro.

Tiempo recorrido de Puebla a Querétaro

20

20 40 60 80 100 120 140 160

181614

Tiem

po (h

)

Velocidad (km/h)

12

1086420

Marca en la grá ca el punto que representa la velocidad de 80 km/h. ¿Cuál es el tiempo correspondiente?

¿Cuáles son las coordenadas del punto marcado en rojo? ¿Qué coordenadas tiene el punto marcado en verde? ¿En qué caso se representa una mayor velocidad? ¿Qué sucede en la grá ca a medida que aumenta la velocidad del recorrido?

¿Qué sucede con el tiempo cuando la velocidad del recorrido es muy pequeña?

Comenta con tus compañeros en qué se diferencia una grá ca de una relación

de proporción inversa de una grá ca de proporción directa.

2. Lee la información y responde en tu cuaderno.

En una relación de proporcionalidad inversa, la grá ca no forma una línea recta que pasa por el origen, como sucede en relaciones de proporcionalidad directa. La cur-va que forman los puntos en la grá ca de relación de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Por ejemplo, dada una distancia ja, la relación entre tiempo y velocidad se puede escribir como v 5 d

t , donde d es constante. Al gra car esta función se obtiene una hipérbola como la de la actividad anterior.

a. ¿Qué sucede en una hipérbola a medida que aumentan los valores en el eje x? b. ¿Y cuando disminuyen? c. ¿Qué sucede cuando los valores en el eje x están cerca de cero?

4.5 horas(20, 18)

(60, 6)

En la coordenada (150, 2.4)

Disminuye (se acerca más a cero en el eje y).

Aumenta (se acerca más a cero en el eje x).

2. a. Se acercan más a cero en el eje y.b. Se ale-ja más del cero.c. Los valo-res del eje y son muy grandes.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Trazo de una gráfi ca de proporcionalidad inversa

1. Lee el planteamiento y haz lo que se pide.

La tabla muestra el tipo de cambio que presentó el dólar estadounidense el último día de diferentes años.

a. Encuentra cuántos dólares se podrían comprar con $500, según el tipo de cambio.

Año Tipo de cambio (pesos por dólar) Dólares

1970 .01250

1980 .02327

1990 2.94430

1995 7.73960

2005 10.63440

2008 13.83250

2011 13.94760

2014 14.74140

2017 19.66290

¿Qué sucede con la cantidad de dólares que se pueden comprar con determi-nada cantidad de pesos a medida que aumenta el tipo de cambio?

b. En tu cuaderno, traza una grá ca con los datos que registraste en la tabla. Utiliza el eje x para el tipo de cambio y el eje y para la cantidad de dólares.

¿Qué escala te conviene usar en cada eje? ¿Qué forma tiene la grá ca que elaboraste? ¿Se formó una línea recta? ¿Por qué?

¿Qué sucede en la grá ca a medida que aumenta el tipo de cambio?

¿Y cuando disminuye?

c. Localiza los puntos (10, 50), (20, 25) en la grá ca y responde. ¿A qué tipo de cambio corresponde cada uno? ¿Cuántos dólares se obtienen en cada caso? ¿Qué sucedería si el tipo de cambio fuera 1?

¿A qué punto de la grá ca corresponde?

Fuente: http://www.banxico.org.mx/SieInternet/consultarDirectorioInternetAction.do?accion= consultarCuadro& idCuadro=CF373&locale=es (consulta: 12 de febrero de 2018).

Lección 2

40 000

21 486.89300

169.81965

64.60282

47.01723

36.14676

35.84846

33.91808

25.42860

Disminuye

En el eje x una escala de 5; en y una de 5000.Es una parábola.

proporcionalidad directa.No; porque no se trata de una relación de

A los de 2005 y 2017, respectivamente.50 y 25, respectivamente.Se obtendrían 500 dólares a

cambio de 500 pesos(1, 500)

Disminuyen sus valores en el eje y.Aumentan sus valores en el eje y.

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Practicar para avanzar

Contenido: Analizas y representas la variación inversa de manera gráfi ca, tabular y algebraica.

Resuelve el problema en tu cuaderno.

1. Observa nuevamente la grá ca que hiciste en la lección anterior.

a. ¿Qué tendrías que hacer para mostrar en la grá ca anterior el tiempo que tardaría en recorrer la distancia de Puebla a Querétaro un avión que viaja a 900 km/h?

b. ¿Y para mostrar el tiempo que tarda en recorrer esta misma distancia una persona que camina a 4 km/h?

Comenta tus respuestas en grupo y validen sus resultados con ayuda del profesor.

Expresión algebraica de una relación de proporcionalidad inversa

2. Lee la información y haz lo que se pide.

a. Analiza las relaciones de proporcionalidad inversa en los problemas anteriores.

¿De qué manera se pueden expresar estas relaciones algebraicamente?

Si en el primer problema se denota la velocidad como v y el tiempo de reco-rrido como t. ¿Cuál de las siguientes expresiones relaciona las dos variables, dada la distancia de 360 kilómetros? Subraya tu respuesta.

Escribe una expresión algebraica para el segundo problema. Usa (x) para de-notar el tipo de cambio y (y) para la cantidad de dólares y $500 para la canti-dad de pesos disponibles. Justi ca tus respuestas.

Compara las expresiones que obtuviste con las de tus compañeros. Veri ca que, al sustituir, obtienes el tiempo de recorrido y la cantidad de dólares correctos.

Entra a la página www.esant.mx/fasema2-001 y consulta el tipo de cambio del peso frente al euro en distintos años. Traza una grá ca que represente la cantidad de euros que se pueden comprar con $1 000 en distintos años. ¿Qué forma tiene la grá ca?

Herramientas académicas

v 5 360t v 5 t360 v 5 360

t

Una ecuación que representa una relación de proporcionalidad inversa entre las va-riables x y y tiene la forma y 5 a

x , donde a es cualquier número.

Se pueden expresar como cocientes.

x 5 500/y

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Aplica lo que aprendiste.

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

Dos terrenos de forma rectangular miden 200 m2 cada uno. El primer terreno tiene un ancho mayor que el segundo. ¿Cómo debe ser el largo del segundo?

a. Completa la tabla con medidas de diferentes terrenos que tengan esa área.

Terreno Ancho (m) Largo (m)

1 200

2

3

¿Cómo debe ser el largo del terreno a medida que crece su ancho?

Determina si la relación entre el largo y el ancho de los terrenos, dada una misma área, es una relación de proporcionalidad inversa y explica por qué.

b. Traza en tu cuaderno una grá ca que relacione el largo del terreno con su ancho. ¿Qué forma tiene la grá ca?

c. Escribe una ecuación que relacione el largo del terreno con su ancho, dada una determinada área.

2. En cada problema haz lo que se pide y escribe una expresión algebraica que repre-sente la relación. Registra tu trabajo en el cuaderno.

a. El tiempo de llenado de un tanque de agua está relacionado con el número de pipas disponibles para llenarlo simultáneamente. Suponiendo que todas las pi-pas descargan la misma cantidad de agua por minuto, realiza lo siguiente.

Calcula el tiempo y elabora una tabla para 5 diferentes cantidades de pipas si se quisiera llenar un tanque de 10 000 litros, suponiendo que las pipas descar-gan 250 litros de agua por minuto.

Traza una grá ca que relacione el número de pipas con el tiempo de llenado.b. En un campamento, existen provisiones para 300 participantes, para 42 días. Si

llegan otros 50 participantes al campamento, ¿para cuántos días alcanzarán las provisiones?

Elabora una tabla y una grá ca que relacione la cantidad de participantes con los días para los que alcanzan las provisiones.

Comenta con tus compañeros qué aprendiste sobre la proporcionalidad inver-sa, cómo son las grá cas que representan estas relaciones y qué características tienen las expresiones algebraicas.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Debe disminuir.

Es una hipérbola.

donde l representa el largo del terreno y a, el ancho. Asimismo el valor del área (200) puede variar.

Sí representa una relación de proporcionalidad inversa, pues a medida que el

ancho del terreno disminuye, el largo aumenta.

1

100

50

24

l 5 200a

,

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que necesitas repasar.

1. Un señor quiere rodear con una reja el patio que se representa en la imagen.

2. Un equipo de 4 integrantes terminó un proyecto de matemáticas en 6 horas. Un equipo de 9 integrantes tiene que hacer un proyecto similar al anterior.

a. ¿Cuánto tardará el segundo equipo en terminar?

b. Si la di cultad de un nuevo proyecto es mayor y los alumnos del primer equipo calculan que les tomará el doble de tiempo, ¿cuántos miembros adicionales ne-cesitan invitar para terminar el proyecto en 6 horas? Explica tu respuesta.

3. La grá ca muestra cómo aumentó el precio de un producto en dos tiendas diferen-tes a lo largo de doce meses.

38

15

a 12

a

a. Escribe una expresión algebraica que de-termine el perímetro del patio.

b. Escribe dos expresiones algebraicas equi-valentes a la expresión del inciso a.

a. ¿Cuál era el precio del producto en cada tienda al iniciar el registro?

b. ¿En cuál de las dos tiendas convenía comprar el producto en el cuarto mes?

c. ¿En qué mes el precio del producto en ambas tiendas fue el mismo? ¿Cuánto cuesta?

110

120130

1 2 3

100

90

Prec

ios

($)

Mes

80

70605040

2030

10

4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

Incremento de precios

6.7124a + 57

2.66 horas o 2 horas y 40 minutos

$80 y $100

En la tienda en la que valía

En el mes 10 y cuesta $110.

$80 inicialmente.

Necesitan 4 integrantes más, pues si el proyecto le tomaría el doble de tiempo al equipo original, con el doble de personas podrán terminarlo en 6 horas.

2a + 19 + 38 + 4.7124a

38 – a + 4.7124a + a + 2 +15 + a + 2 + a;

R. M.

a. Escribe una expresión algebraica que de-termine el perímetro del patio.

b. Escribe dos expresiones algebraicas equi-valentes a la expresión del inciso a.

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Secuencia didáctica

13 Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcciónde polígonos regulares.

Polígonos y sus ángulos

Rompecabezas y geometría

1. Lee la información, observa las imágenes y responde.

Un rompecabezas está formado por diferentes piezas. Cada pieza del rompecabezas se forma con triángulos equiláteros unidos por sus lados. A continuación se mues-tran tres piezas de este rompecabezas.

a. ¿Cuántos lados tiene cada una de las piezas anteriores? b. Marca los ángulos interiores de cada pieza. ¿Cuántos tiene cada una? c. ¿Cómo se llaman las guras anteriores? d. En equipos, tracen las piezas del rompecabezas en la retícula. Consideren que

dos piezas son la misma si al girarlas encajan una sobre otra.

¿Cuántas piezas diferentes pueden formar? ¿Por qué se puede a rmar que las formas de las piezas de este rompecabezas

son polígonos?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y comparen sus guras.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Lección 1

Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3

Seis

Doce

Porque cada pieza está compuesta por 6 polígonos (triángulos), así que el resultado de unirlos será otro polígono.

SeisPolígonos o hexágonos

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¿Cómo son los ángulos internos de otros polígonos?

1. En equipo elaboren las piezas con material reciclable, usen triángulos de 5 cm de lado y construyan las siguientes guras. Luego analicen los lados y los ángulos de cada una.

Ambas guras son hexágonos. La gura 1 es un ejemplo de polígono convexo y la -gura 2 es un ejemplo de polígono cóncavo.

a. ¿En qué se diferencian estos dos hexágonos?

b. ¿Cómo se puede diferenciar un hexágono convexo de uno cóncavo?

c. Elijan una de las piezas de su rompecabezas y construyan una semejante, con la misma forma, pero más grande, con cuatro piezas del rompecabezas.

¿Cuántos lados y ángulos tiene la nueva gura? Midan los lados y los ángulos de la pieza y de la que construyeron. ¿Qué dife-

rencias y similitudes observan entre ambas?

2. Construyan las siguientes guras con las piezas que elaboraron.

a. Midan los ángulos interiores de las guras anteriores y completen la tabla.

Polígono Figura 1 Figura 2 Figura 3Núm. de ángulos mayores que 180°

Núm. de ángulos menores que 180°

Comenten en grupo qué relación hay entre el número de lados y el número de ángulos interiores de un polígono. Luego concluyan cómo se diferencia un polí-gono cóncavo de uno convexo.

Contenido: Analizas y clasifi cas polígonos con base en la medida de sus lados y ángulos.

Figura 1 Figura 2

Figura 1 Figura 2 Figura 3

R. M. El primero es un hexágono

Seis

R. M. La medida de los ángulos es

04

06

66

la misma en ambas guras, pero los lados de la gura grande miden el doble que los de la pequeña.

R. M. Todos los ángulos interiores de un hexágono convexo miden menos de 180°, mientras que

al menos uno de los ángulos interiores de un hexágono cóncavo mide más de 180°.

regular y el segundo es irregular.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

¿Cómo son los ángulos internos de otros polígonos?

1. Analiza los ángulos internos de los polígonos con un transportador y responde.

a. ¿Cuánto miden el menor y el mayor de los ángulos interiores de los polígonos?

b. ¿Cuál es el valor máximo que puede medir el ángulo interior de un polígono? ¿Y el mínimo?

c. ¿El valor máximo depende del número de lados? ¿Por qué?

d. ¿El valor mínimo depende del número de lados? ¿Por qué?

Comenten en grupo las características de los polígonos y propongan una forma de agruparlos con base en el análisis de sus ángulos.

2. Observa la siguiente clasi cación, mide los ángulos y los lados, y luego responde.

Lección 2

Polígono regular Polígono cóncavo Polígono convexo

30° y 270°

No necesariamente,

No, porque se

pues cualquier polígono con más de 3 lados puede tener un ángulo cercano a 360°.

puede construir cualquier polígono con un ángulo cercano a 0°.

360° (sin llegar a alcanzar este valor) y 0° (sin llegar a alcanzar este valor).

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Contenido: Analizas y clasifi cas polígonos con base en la medida de sus lados y ángulos.

a. Menciona las características de cada uno de los tres polígonos. Considera sus similitudes y diferencias.

b. Con base en tu descripción y en lo visto en las actividades de la lección, de ne los tipos de polígonos.

Polígono convexo.

Polígono cóncavo.

Polígono regular.

Compara tus de niciones con tus compañeros y compleméntenlas. Luego valí-denlas con su profesor y clasi quen las guras trabajadas en la secuencia.

Aplica lo que aprendiste.

1. Traza dos polígonos que tengan ángulos interiores menores de 180°.

2. Traza dos polígonos que tengan ángulos interiores de 90°.

3. Traza dos polígonos con al menos un ángulo interior de más de 180°.

Compara tus polígonos con los de tus compañeros y clasifíquenlos con base en la descripción que hicieron. Luego comenten si es posible trazar un polígono cu-yos ángulos sean todos mayores que 180°.

Los tres polígonos tienen doce lados y doce ángulos; en

Es aquel en el cual todos sus ángulos miden menos de 180°.

Es aquel que tiene por lo menos un ángulo mayor de 180°.

Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

el primero, todos sus lados y ángulos tienen la misma medida; en el segundo todos sus lados son iguales, 6 de sus ángulos miden menos de 180° y seis, más de 180°; en el tercero sus lados son diferentes y todos sus ángulos miden lo mismo.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcciónde polígonos regulares.

Diagonales de los polígonos14

Lección 1 Las diagonales

1. Observa el ejemplo y traza las diagonales de los siguientes polígonos.

c. Dibuja en tu cuaderno un cuadrilátero y un pentágono cóncavo y traza sus diagonales.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen qué diferencia hay entre el número de diagonales de un polígono cóncavo y de uno convexo con el mismo número de lados.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono?

1. Reúnete con un compañero y completen la tabla.

Polígono Número de lados Número de diagonales

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

a. Analicen el patrón o relación en el número de diagonales a medida que aumen-ta el número de lados del polígono. Anoten sus observaciones y, descríbanlo.

a. ¿Cómo de nirías la diagonal de un polígono?

b. Ahora une los vértices no consecutivos del hexágono.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

cualesquiera dos vértices no consecutivos de un polígono.

donde n 5 número de lados

R. M. Segmento que une

3 0

4 2

5 5

6 9

7 148 20

n 5 n (n2 3)2

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Practicar para avanzar

Contenido: Analizas los patrones que se forman a partir del trazo de las diagonales de un polígono.

b. Dibujen en su cuaderno un eneágono (9 lados) y tracen sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene? ¿El número de diagonales coincide con el patrón?

Si no coincide, veri quen si contaron correctamente o revisen la secuencia de datos y propongan un nuevo patrón.

2. Retomen la tabla anterior y anoten cuántas diagonales se pueden trazar desde cada vértice.

Polígono Número de lados o vértices

Número de diagonales que parten de cada vértice

Número de diagonales

Triángulo 3 0 0Cuadrado 4 1 2Pentágono 5 2 5Hexágono 6Heptágono 7Octágono 8

a. ¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales que par-ten de cada vértice?

b. ¿Se cumple siempre esa relación? ¿Por qué?

c. Si n representa el número de vértices de un polígono, ¿cómo expresarían el nú-mero de diagonales que parte de cada vértice?

d. Para cada polígono, multipliquen el número de vértices por el número de diago-nales que parte de cada vértice. Agreguen una columna a la tabla de esta página y anoten sus resultados.

¿Qué relación existe entre esos datos y el número de diagonales que tiene un polígono?

Con base en lo trabajado, expliquen por qué el número de diagonales de un polígono está dado por la fórmula y valídenlo con el profesor.

1. En tu cuaderno, traza un polígono de 13 vértices. Escoge un vértice y conecta con un segmen-to ese vértice a otro, saltándote un vértice. Continúa el proceso hasta que hayas construido una estrella. Repite el proceso saltándote dos vértices, luego tres, y así sucesivamente hasta que ya no puedas trazar más diagonales.

a. ¿Coincide el número de diagonales trazadas con lo que resulta de usar la fórmula?

Número de diagonales de un polígono de n lados 5 n(n23)2

27Sí

La diferencia entre ambos números es 3.

Es el doble del número de diagonales.

n2 3

Sí, debido a que no pueden trazarsediagonales hacia el mismo vértice ni hacia los dos vértices contiguos.

345

91420

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cuerda. Segmento que une dos puntos sobre una circunferencia.

Glosario

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Las diagonales de un polígono en una circunferencia

1. Observa el ejemplo y traza todos los segmentos que unan los puntos sobre cada circunferencia.

2. Reúnete con un compañero y completen la tabla. Anoten cuántas cuerdas se pue-den trazar con cada número de puntos sobre una circunferencia.

Polígono Número de puntos sobre la circunferencia Número de cuerdas

2Triángulo 3Cuadrilátero 4Pentágono 5 10Hexágono 6Heptágono 7Octágono 8Eneágono 9

a. Observen los resultados de la última columna. ¿Existe algún patrón para saber cuántas cuerdas se podrán trazar si se continúa la secuencia? Justi quen su respuesta.

b. Retomen la tabla anterior en su cuaderno y anoten cuántas cuerdas se pueden trazar desde cada vértice. Luego respondan.

¿Qué relación hay entre el número de puntos que hay sobre la circunferencia y el número de cuerdas que se pueden trazar desde cada punto?

En cada renglón de la tabla anterior, multipliquen el número de puntos sobre la circunferencia por el número de cuerdas que parten de cada punto. ¿Qué relación existe entre el resultado y el número de cuerdas?

Expliquen por qué el número de cuerdas que se pueden trazar cuando se unen n puntos sobre una circunferencia está dado por la fórmula que está abajo. Validen su explicación con el profesor.

Lección 2

Número de cuerdas 5 n(n21)2

136

15212836

, donde n 5 número de puntos sobre la circunferencia

(n 1 1) cuerdas desde cada punto, donde n 5 número de puntos sobre la circunferencia.Pueden trazarse

Este resultado es el doble del número de cuerdas.

n 5 n (n2 1)2

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Contenido: Analizas los patrones que se forman a partir del trazo de las diagonales de un polígono.

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa la secuencia y haz lo que se pide.

a. Cuenta las regiones que se forman dentro del círculo al trazar todas las cuerdas posibles dado un cierto número de puntos sobre la circunferencia.

Observa que al conectar 2 puntos se generan 2 regiones, y al trazar las cuerdas que unen 4 puntos se generan 8 regiones.

Sin dibujar, responde en cuántas regiones queda dividido el círculo que tiene 6 puntos en la circunferencia al trazar todas las cuerdas.

b. Completa la tabla.

Número de puntos sobre la circunferencia

Número de regiones que se generan al trazar todas las cuerdas

1

2 23

4 85

6

c. Observa la gura y contesta.

¿Cuántas regiones tiene? ¿Es el número que esperabas?

Explora con tus compañeros cuántas regiones se forman al trazar 7 puntos sobre la circunferencia de un círculo y con rma que el patrón ya no se cumple.

Usa GeoGebra. Traza una circunferencia, coloca seis puntos y únelos con segmentos como en la gura. Mueve los puntos y observa lo que sucede con el número de regiones.

Herramientas académicas

4

16

30, 31

1

Es probable que el alumno conteste 32, aunque en realidad pueden formarse 30 o 31.

31No, lo lógico sería pensar en 32.

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Secuencia didáctica

15 Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcciónde polígonos regulares.

Ángulos centrales y polígonos

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Ángulos centrales de una circunferencia

1. Lee la información, observa las imágenes y responde.

Las primeras ruedas construidas por el ser humano estaban formadas por discos de madera con perforaciones en el centro para insertarlas en ejes. Se estima que entre los años 2000 y 1200 antes de nuestra era surgieron las primeras ruedas con rayos o radios, las cuales eran más ligeras y, por tanto, permitieron construir vehículos más rápidos.

a. ¿Qué característica tienen los segmentos que están dentro de las rue-das?

b. ¿Cómo son los arcos que se forman entre los rayos (radios) de las rue-das? ¿Por qué es importante que los arcos sean así?

c. ¿Qué utilidad tienen los rayos de una rueda?

d. ¿Qué otros usos o aplicaciones conoces con esta misma idea de la rueda?

a. Propongan un procedimiento para construir la ruleta.

Las ruletas y el ángulo central

1. En equipos de tres estudiantes, observen la ruleta y hagan lo que se pide.

Lección 1

arco. Segmento de una circunferencia.radio. Segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su centro.

Ruleta 1

Glosario

Radio

Arco

Todos pasan por el centro de estas.

Son iguales. Es importante que sean así para que el peso que

Brindan soporte a la rueda y evitan que se deforme.

R. M. Calcular el perímetro del círculo y dividirlo por 4 para obtener la medida de cada arco.

R. L.

soportan las ruedas se distribuya de manera uniforme.

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b. Elaboren la ruleta con el procedimiento que plantearon. ¿Qué di cultades tuvie-ron para construirla?

c. ¿Las cuatro divisiones que hicieron son del mismo tamaño? ¿Por qué?

d. Observen el diseño de la ruleta 2 y respondan.

¿El procedimiento que utilizaron en la ruleta 1 sirve para construir la ruleta 2? ¿Por qué?

Elaboren la ruleta 2 y anoten las diferencias entre ambos procedimientos

Comenten con sus compañeros las di cultades que tuvieron al construir cada ruleta y propongan cómo solucionarlas.

2. Lean la información por equipos y comenten cómo pueden utilizarla para cons-truir ambas ruletas.

Analicen cuánto mide el ángulo que da la vuelta completa y si la información puede complementar sus procedimientos. Si es así, modifíquenlos.

Contenido: Deduces la relación entre los ángulos centrales de un polígono y su número de lados.

Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferen-cia. En la imagen se señalan dos ángulos centrales y sus medidas. Uno mide 120º y el otro, 35º.

120º

35º

Ruleta 2

R. M. Es complicado medir los arcos con instrumentos de

R. M. medición rectos (regla, escuadra, etcétera).

No exactamente, porque se tuvieron que hacer aproximaciones.

Ahora es necesario dividir el perímetro del círculo por 6, pues la cantidad de secciones de la ruleta es secciones de la ruleta es distinta.

Sí, pues se trata de un círculo. Solo debe hacerse una modi cación en la división.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Ángulos centrales y sus medidas

1. Mide con un transportador los ángulos y anota sus medidas. Luego compara los ángulos y responde.

a. ¿Cómo son las medidas de los ángulos α y γ? b. ¿La medida de los ángulos depende del tamaño de la circunferencia? ¿Por qué?

c. ¿Cuántas veces cabe el ángulo δ en el ángulo β?

Lección 2

inscrito. En geometría, se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están sobre la circunferencia.

Glosario

α

β

∡α = ∡β = ∡γ = ∡δ =

∡ε = ∡θ = ∡ϕ =

d. ¿Qué ángulos de las circunferencias miden lo mismo que los ángu-los de los polígonos regulares?

e. ¿Qué relación hay entre los ángulos de los polígonos y las circunfe-rencias en las que están inscritos los polígonos?

f. ¿Los ángulos de los polígonos pueden considerarse ángulos centrales? ¿Por qué?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y analicen si to-dos los ángulos de un polígono tienen la misma relación con la circunferencia.

γδ

ε

ϕθ

90°

Iguales

Una vez

Son ángulos complementarios.

Sí porque los ángulos están en el centro de

la circunferencia que contiene a los polígonos.

Los ángulos α, β, γ y δ

R. M. No, porque todas las circunferencias miden 360°.

30°360°

90°90°

30°30°

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Contenido: Deduces la relación entre los ángulos centrales de un polígono y su número de lados.

2. En cada caso, traza una circunferencia apoyando el compás sobre el punto marca-do, de tal forma que la circunferencia pase por al menos un vértice del polígono.

a. ¿La circunferencia trazada pasa por todos los vértices del polígono 1? b. ¿En qué otros polígonos ocurre lo mismo? c. De acuerdo con la clasi cación de polígonos que trabajaste en la secuencia 13,

¿qué tipo de polígonos se pueden inscribir siempre en una circunferencia?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y, con apoyo del profesor, conclu-yan en qué casos se puede hablar de ángulos centrales de un polígono y en qué casos no y por qué.

3. A partir de las actividades anteriores, escribe una de nición de ángulo central de un polígono regular.

Ángulo central:

Practicar para avanzar

1. En equipos, observen las ruletas y contesten.

Polígono 1 Polígono 2 Polígono 3 Polígono 4

a. ¿En cuántas partes iguales está dividida cada ruleta?

b. ¿Cuánto miden los ángulos centrales de cada una de ellas?

En 8 y 7 partes

En el polígono 2

Los polígonos regulares

Es aquel cuyos lados son dos radios consecutivos del polígono.

45° y 51.43° respectivamente

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Polígonos regulares y ángulos centrales

1. Inscribe cada uno de los siguientes polígonos regulares en una circunferencia , y traza los triángulos que se forman con los ángulos centrales.

a. En cada polígono regular, une cada vértice con el centro de la circunferencia que lo contiene. Mide todos los ángulos centrales y responde.

¿Cómo son las medidas de los ángulos centrales de un mismo polígono?

¿Cuánto suman los ángulos centrales de cada polígono? ¿Cómo son los triángulos en que queda dividido cada polígono?

Observa dos triángulos del mismo polígono. ¿Cómo son? ¿Ocurre lo mismo en los demás polígonos? ¿Por qué?

¿Con base en lo anterior se puede asegurar que los ángulos centrales de un po-

lígono regular son iguales? ¿Por qué?

b. Utiliza lo que aprendiste en primero de secundaria sobre congruencia de trián-gulos para justi car tu respuesta anterior.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y propongan un método para co-nocer la medida de los ángulos centrales de un polígono regular sin necesidad de medirlos.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Lección 3

Iguales

Sí, porque cada triángulo está formado por dos radios y un lado del polígono regular.

Sí, porque si los triángulos son congruentes, sus ángulos son iguales.

Utilizando el criterio LLL podemos determinar que los triángulos son congruentes.

Congruentes Congruentes

360°

90

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α

Contenido: Deduces la relación entre los ángulos centrales de un polígono y su número de lados.

2. Utiliza el método que plantearon en grupo para completar la tabla.

Polígono regular Número de lados Medida del ángulo central

Suma de ángulos centrales

3Cuadrado

5Hexágono

745º

Eneágono10

Analicen los datos de la tabla y discutan cómo podrían saber a qué polígono co-rresponde un ángulo dado.

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa la imagen y contesta.

a. ¿Cómo calcularon los ingenieros la distancia entre cada canastilla?

b. Si fueran únicamente 20 cabinas, ¿cómo las colocarías donde deben ir?

c. Realiza las operaciones e indica cómo locali-zar las cabinas.

d. Un alumno de primero de secundaria propuso calcular el diámetro de la rueda y dividirla en 20 partes para saber dónde colocar las cabinas. ¿Qué método consi-deras que es más e caz? ¿Por qué?

2. Lee la descripción de la gura y encuentra el valor del ángulo.

Los triángulos en la gura se tomaron de recortar los ángulos centrales de diferentes polígonos regulares. El triángulo azul se tomó de un hexá-gono, el rojo de un cuadrado, el verde de un triángulo equilátero y el amarillo de un octágono.

a. ¿Cuánto mide el ángulo α? b. ¿De qué polígono regular se debe tomar el triángulo que cubra el

espacio que falta?

La primera rueda de la fortuna fue construida en 1893 por el ingeniero

George Washington Ferris.

Comenten en grupo en qué otras situaciones es necesario calcular los ángulos centrales de un polígono y por qué es importante saber sus medidas.

Dividieron los 360°

45°

Un octágono

de la circunferencia por el total de cabinas.

Dividiría los 360° por las 20 cabinas.

360 ÷ 20 = 18, así que las cabinas deben colocarse a 18° una de la otra.

Es más conveniente trabajar con ángulos, ya que los cálculos son más sencillos y precisos.

Triángulo 120° 360°360°360°360°360°360°360°360°

90°72°60°

40°

51.43°

36°

4

6

89

Pentágono

HeptágonoOctágono

Decágono

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

Más sobre ángulos de polígonos16

Lección 1 Ángulos internos y externos de polígonos convexos

1. Reúnete con un compañero, analicen las guras y respondan. Las guras mues-tran los ángulos internos y los ángulos externos de dos polígonos.

a. ¿Cómo pueden identi car los ángulos internos de un polígono convexo?

b. ¿Cómo pueden identi car los ángulos externos de un polígono convexo?

c. ¿Qué relación hay entre el ángulo interno y el externo que comparten el mismo vértice?

d. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de cada polígono?

e. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos externos de cada polígono?

f. ¿Cómo se puede calcular la suma de los ángulos internos sin medirlos?

Compartan sus respuestas con el resto del grupo. Comparen las sumas en am-bos polígonos, analicen los resultados y comenten si ocurrirá lo mismo con otros polígonos con el mismo número de lados.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Interno

Interno

Interno

ExternoExterno

Externo

Son aquellos formados por dos lados consecutivos del polígono.

Son aquellos formados por un lado del polígono y la prolongación del lado

La suma de ambos es igual a 180° (ángulos complementarios).

720°

360°

vértice es igual a 180°, así que podemos multiplicar 180° 3 6 5 1080° y a este resultado restar 360° de los ángulos externos, 1080°2 360° 5 720°.

R. M. Sabemos que la suma de cada ángulo interno y externo que comparten

adyacente.

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Contenido: Deduces la relación entre los ángulos de un polígono regular y de su suma con el número de lados.

Suma de los ángulos interiores de un polígono

1. En equipo, analicen la estrategia para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Un método para calcular la suma de los ángulos interiores consiste en dividir el polígono en triángulos que no se traslapen y que cubran todo el polígono.

a. Las guras muestran tres maneras de triangular un mismo polígono.

Tracen los ángulos internos en cada triangulación y, sin usar transportador, calculen la suma de sus ángulos internos.

¿Por qué es útil dividir el polígono en triángulos para calcular la suma de los ángulos interiores del polígono?

¿ Cuál de las triangulaciones es más útil para hacer el cálculo? ¿Por qué?

b. ¿Se puede hacer una triangulación parecida a la que consideras más útil para cualquier polígono? ¿Por qué?

En una hoja tracen diferentes polígonos. Consideren polígonos regulares, cón-cavos y convexos, y traten de triangularlos para comprobar su respuesta ante-rior. ¿Existe alguna relación entre el número de lados y el número de triángulos que se forman?

Triangulación 1 Triangulación 2 Triangulación 3

Practicar para avanzar

Compara la suma de los ángulos internos y el número de triángulos que pudiste formar, con la suma de los ángulos y el número de triángulos de los polígonos que trabajaste en la lección. ¿Qué relación existe? ¿Por qué?

1. Mide los ángulos del polígono que se muestra, calcula la suma de sus ángulos interiores y luego trata de triangularlo.

traslapar. Cubrir total o parcialmente algo con otra cosa.

Glosario

720°

Porque sabemos que la suma de los ángulos

La primera, pues el hecho de que los segmentos surjan del mismo vértice hace más sencillo el conteo de los triángulos.

No, pues en algunos polígonos cóncavos se formarían triángulos fuera de la gura.

internos de un triángulo es igual a 180°.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

La suma de los ángulos internos y externos

1. Completa la tabla a partir de lo que hiciste en la lección anterior. Recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

Polígono Número de lados Número de triángulos interiores

Suma de los ángulos interiores del polígono

Cuadrilátero 360°Pentágono 3Hexágono 6

789 7 1 260°

a. Los ángulos interiores de un polígono regular son congruentes, es decir,miden lo mismo. Con base en la tabla y en lo anterior, calcula cuánto mide cada ángulo interior de cada uno de los siguientes polígonos.

Triángulo equilátero: Hexágono regular: Eneágono regular:

b. Traza en tu cuaderno un triángulo, un hexágono y un eneágono. En cada uno marca todos sus ángulos externos y calcula la suma de esos ángulos.

Triángulo: Hexágono: Eneágono:

c. ¿Qué relación existe entre el número de lados y la suma de los ángulos externos?

2. Con base en lo que has trabajado, completa la tabla.

Polígono Número de lados

Suma de sus ángulos Medida del ángulo interno de un polígono regularInternos Externos

456789

Compara tus respuestas con tus compañeros. Deduzcan una fórmula que les permita calcular la medida de los ángulos internos y externos de un polígono y la suma de estos a partir del número de lados.

Lección 2

60°

Heptágono

Cuadrilátero 360°540°720°900°

1 080°1 260°

360° 90°108°120°

128.57°135°140°

360°360°360°360°360°

PentágonoHexágono

HeptágonoOctágonoEneágono

5720°

1 080°

4540°

900°

25

Octágono 6Eneágono

360°

120°

360°

140°

360°

Ninguna, pues la suma siempre es igual a 360°.

4

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Contenido: Deduces la relación entre los ángulos de un polígono regular y de su suma con el número de lados.

3. Lee la siguiente información. Luego, en grupo, comparen las fórmulas que obtu-vieron con las que se muestran.

Aplica lo que aprendiste.

1. Completa la tabla y calcula el valor de los ángulos internos si los polígonos fueran regulares.

Polígono Número de lados Suma de sus ángulos internos

Medida de los ángulos internos

HexágonoDodecágonoHectágono 100

2. A partir de lo trabajado, calcula la suma de los ángulos internos y establece una ecuación para obtener el valor de x en cada polígono.

Comenta con tus compañeros si en un polígono cóncavo se puede establecer la misma relación entre el número de lados y la suma de los ángulos externos. Expliquen por qué.

La medida de los ángulos internos de un polígono regular de n lados se puede calcular con la fórmula:

Y la medida de los ángulos externos se obtiene con la fórmula:

Ángulo interno 5 180°(n22)n

Ángulo externo 5 360°n

135°

90° 124°

128°

108° x

x 1 10

6 720°1 800°

17 640° 176.4°150°120°

12

x 1 108 1 128 1 124 1 90 1 135 5 720

x 5 135°

7 (x 1 10) 5 900

x 5 118.57°

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Resuelvo con tecnología

6. Para ingresar al menú Pasos, den clic al icono que se localiza en la parte superior.

7. En la sección Entrada, con ayuda del te-clado de GeoGebra ingresen la expre-sión “a1b1g1e1z” y opriman la tecla Enter. Arrastren el resultado a un lado del hexágono.

8. Con la herramienta Elige y mueve, trasladen el punto central. Observen que las medidas de los án-gulos cambian. También pueden mover los vértices del hexágono.

Comenta con tus compañeros qué pasa con la suma de los ángulos centrales cuando cambias la posición de los puntos.

Suma de los ángulos centrales de los polígonosReúnete con un compañero y realicen las exploraciones para saber cuánto suman los ángulos centrales de un polígono.

1. Entren a la página www.geogebra.org/?lang=es y seleccionen la opción Geometría.

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

4. Para medir el ángulo ∠AGB, con la herra-mienta de medición Ángulo, den clic en los puntos que tienen esas letras, siem-pre en sentido contrario a las manecillas del reloj.

5. Repitan el procedimiento para obtener todos los ángulos centrales. Con la herra-mienta Elige y mueve, reubiquen las me-didas que aparezcan para que sean más legibles.

2. Con la herramienta Polígono, formen un hexágono, trazando segmentos de A a B, de B a C, y así sucesivamente hasta vol-ver al punto A. Luego coloquen un punto en el centro del polígono.

3. Conecten el punto central con cada vérti-ce del polígono.

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Suma de los ángulos interiores de los polígonosReúnete con un compañero. Sigan los pasos para saber cuánto suman los ángulos internos de un polígono.

3. Para encontrar la suma de los ángulos interiores del polígono, abran el menú Pasos y, usando el teclado de GeoGebra, ingresen la expresión “a1b1g1d1e1z1h” y opriman la tecla Enter.

4. Para calcular la suma de los ángulos exteriores del polígono, regresen al menú Herramientas ha-ciendo clic en el icono .

6. Con la herramienta Ángulo, den clic en los tres puntos que forman el ángulo exterior y encuentren su medida.

7. Repitan el procedimiento para cada vértice del polígono y encuentren la medida de todos los án-gulos exteriores.

8. Regresen a la pantalla Pasos y calculen la suma de todos los ángulos exteriores del polígono ingre-sando la expresión “f+i+k+l+ +n+j” con el teclado de GeoGebra.

Veri quen que el resultado coincide con lo que estudiaron en la secuencia 16. Luego tracen polígo-nos con diferente número de vértices y repitan el procedimiento.

Imagen 4

5. Tracen una semirrecta que pase por dos de los vértices del polígono, haciendo clic en los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Luego tracen un punto sobre la semirrecta.

1. Tracen un polígono de 7 lados.

2. Con la herramienta de medición Ángu-lo, encuentren la medida de cada uno de sus ángulos interiores. Recuerden se-leccionar siempre los vértices en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Veri quen el resultado con la fórmula que estudiaron en la secuencia 16.

Imagen 5

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Punto de encuentro

Decisiones ecológicas

La contaminación es un problema causado por diversos factores. Sin embargo, la emisión de gases de los automóviles por la quema de combustible es uno de los agentes contaminantes de mayor impacto.Aunque existen políticas públicas diseñadas para reducir el problema, también es importante que los ciudadanos sepan elegir un automóvil para disminuir el uso de combustible.

Lee el texto y haz lo que se pide.

1. Reúnete con un compañero, lean la situación y contesten.

Una compañía tiene una otilla de automóviles, de los cuales la mitad de ellos son modelos compactos, con un rendimiento aproximado de 6.37 km/L y la otra mitad son minivanes cuyo rendimiento aproximado es de 6.38 km/L. Todos los automóvi-les recorren en promedio 21 700 km al año.

Con el n de contribuir al cuidado del ambiente, la compañía destinó cierto presu-puesto para cambiar todos los automóviles de un tipo con base en su rendimiento para disminuir el consumo de gasolina. Las opciones que tiene son:

I) Cambiar los automóviles compactos por automóviles híbridos con un rendi-miento de 23.8 km/L.

II) Cambiar las minivanes por camionetas con un rendimiento de 10.63 km/L.

a. ¿Qué decisión consideran mejor? ¿Por qué?

b. Calculen la razón de los kilómetros recorridos en un año entre la cantidad de ki-lómetros por litro que rinde el automóvil compacto.

c. Hagan lo mismo con el rendimiento del automóvil híbrido. d. Resten ambas razones para saber cuántos litros se ahorrarían en un año con el

automóvil híbrido. e. Repitan el procedimiento para calcular cuántos litros se ahorrarían en un año

con las camionetas. f. Si la gasolina cuesta $14.00 el litro, ¿cuánto ahorraría la compañía en cada caso?

g. A partir de lo realizado, ¿qué opción le conviene a la compañía?

Comparen sus respuestas con el resto del grupo y revisen si su respuesta al inci-so a fue correcta.

en el rendimiento es mayor que en el otro caso (17.43 km/L > 4.25 km/L).La decisión I, ya que la diferencia

3 406.59 L911.76 LL

2 494.83 L

3 401.25 L minivanes, 2 041.39 L camionetas y 1 359.86 L de ahorro.

$34 927.62 por automóvil híbrido y $19 038.04 por camioneta.

Cambiar los automóviles compactos por híbridos, ya que el ahorro es mayor.

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2. En parejas, analicen la tabla y respondan.

Rendimiento km/L Litros de gasolina usados en un año

4.25 5105.88

6.38 3401.25

8.50 2552.94

10.63 2041.39

12.75 1701.96

14.88 1458.33

17.00 1276.47

a. Elaboren una grá ca en su cuaderno con los datos de la tabla y unan los puntos. ¿La grá ca es una línea recta?

b. ¿Qué tipo de relación existe entre los datos de ambas columnas? Justi quen su respuesta.

En términos ambientales y económicos, pensar en kilómetros por litro no es conve-niente, ya que lo importante es saber cuántos litros de gasolina se gastan. Por tanto, es necesario expresar el rendimiento en términos de litros por kilómetro, para lo cual se necesita invertir la razón o hallar el inverso multiplicativo.

c. Para calcular el inverso de 10.63 km/L realicen la operación 1 4 (10.63 km/L). ¿Cuál es el resultado?

d. Debido a que el número resultante es muy pequeño, multipliquen la cantidad por 100 para expresarlo en litros por centenas de kilómetros (L/100 km).

¿A cuánto equivale? e. Conviertan con su calculadora los datos de la columna km/L a L/100 km. Anoten

los datos en su cuaderno y tracen la grá ca. Tomen los datos en L/100 km para el eje x y los litros de gasolina usados en un año para el eje y. Luego respondan.

¿Qué tipo de relación representa la grá ca?

¿Qué sucede si se disminuyen en una unidad los L/100 km?

Escriban en su cuaderno un párrafo en el que expliquen cuál de las opciones iniciales conviene más y por qué. Comparen su decisión con sus compañeros y valídenla con ayuda de su profesor.

No

Es una relación inversa, debido a que cuanto mayor es el rendimientodel automóvil, menos litros de gasolina usarán durante un año.

0.09407338 L/km

9.4073 L/100 km

Una relación de proporcionalidad directa

Disminuyen en 217 los litros de gasolina usados en un año.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que necesitas repasar.

1. Completa la tabla. Anota tus operaciones en el recuadro.

Suma de los ángulos internos 3 600° 2 340°

Lados del polígono

2. Calcula la medida de cada ángulo interno del cuadrilátero.

3. Encuentra la medida de los ángulos faltantes y el número de diagonales que tiene cada polígono.

3x 1 50

2x 1 20

2x 1 20

x 1 10

113.9°

113.9°

66.1°

115.6°

129.9°

94.1° 88.7°

33.4°

85°

85°

147.5°

42.5°

22 15

2 diagonales

90º66.1°

258.3°

120°

2 diagonales

9 diagonales9 diagonales

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Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas, retoma los contenidos que se te di cultaron.

1. Si el área de un rectángulo es de 2 m2 y la base mide 3 de m, ¿cuánto mide la al-tura? Escribe 3 pares de valores de base y altura para la misma área.

2. Un número A se multiplica por 0.7.

a. ¿El resultado es mayor o menor que el número A? b. ¿Cómo es el resultado si se multiplica el número A por 1.08?

3. Se tienen 17 paquetes de un cuarto de kilogramo de azúcar morena, y se quiere ar-mar paquetes de 5 de kg.

a. ¿Para cuántos paquetes alcanza? b. ¿Sobra o falta azúcar? ¿Cuánta?

4. Una célula mide 2.7 3 10-4 mm. ¿Qué longitud ocuparían un millón de células colo-cadas una junto a la otra?

5. La velocidad de la luz es 3 3 108 m/s. Si el Sol se encuentra a 1.5 3 1011m de la Tie-rra, ¿cuántos segundos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra?

MenorMayor que el número A

Para 21Sobran 50 gramos.

270 mm

500 segundos

Altura:

32

m

R. M. Base: 18 de m

Altura: 8

2 de m

Base: 34 de m

Altura: 2

3 de m

Base: 1 m

Altura: 12 m

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6. Paulina hará adornos para el festival de matemáticas de su escuela. Observa la se-cuencia de las guras de los adornos y responde.

a. Escribe la expresión general para el número de cuadros azules. b. Escribe la expresión general para el número de cuadros morados. c. Escribe la expresión general para el número total de cuadros para la gura n.

d. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes a la del inciso anterior.

7. Un piso tiene arreglos de baldosas formadas por cerámicas amarillas y verdes, como se muestra en la imagen:

a. ¿Cuántas baldosas verdes se necesitarían si se tuvieran 1 000 baldosas amari-llas?

b. ¿Qué expresión representa el total de baldosas para cualquier cantidad de arre-glos?

c. Escribe una expresión equivalente a la del inciso anterior.

8. Resuelve los problemas. Escribe tus operaciones en los recuadros.

a. En un estacionamiento hay 60 vehículos, entre coches y motocicletas. Si en total hay 160 ruedas, ¿cuántos coches y cuántas motocicletas hay?

Figura 4 Figura 2 Figura 3 Figura 1

2n 2 1

3n 2 2

21n

3 200

n 2 1

R. M. 2n 2 1 1 n 2 1; 2n 1 n 2 2

R. M. 16n 1 5n

x 1 y 5 604x 12y 5 160

4x 1 2y 5 16022x 22y 5 2120

2x 5 40

x 5 20y 5 40

Hay 20 coches y 40 motocicletas.

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Valoro mis fortalezas

b. Cada boleto de zona general para una obra de teatro se vendió a $250 y cada boleto de zona preferente, a $1 050. En la primera noche de la función se ven-dieron 170 boletos y en total se obtuvieron $100 100. ¿Cuántos boletos de zona general y cuántos de zona preferente se vendieron? ¿Cuánto dinero se obtuvo de la venta de boletos de zona general y cuánto de la venta de boletos de zona preferente?

9. La grá ca corresponde a un sistema de dos ecuaciones lineales.

a. Escribe dos ecuaciones lineales que corresponden a dicha grá ca.

b. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

10. Trescientas personas que estaban en un albergue tenían provisiones para comer 90 días. A los 20 días se fueron 50 personas. ¿Cuánto tiempo durarán las provisio-nes en el albergue si se consumen a la misma razón?

23

y

x

22 21 1 2 3

10

8

6

4

2

222426

0

12

14

75 días

300900 5 250

x x 5

250 3 90300 5 75

Se vendieron 98 boletos en zona general y 72 en la zona preferente.De la zona general, se obtuvo $24 500De la zona preferente, $75 600

3x 1 y 5 4; 6x 1 2y 5 8In nitas

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Trimestre 2En este trimestre:

• Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

• Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

• Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, grá ca y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos tipos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

• Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de guras geométricas y veri carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las guras).

• Deducirás y usarás las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

• Calcularás el perímetro y área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.

• Recolectarás, registrarás y leerás datos en histogramas, polígonos de frecuencia y grá cas de línea.

• Determinarás la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio.

Arquitectura y arte contemporáneo

La arquitectura se ha inspirado y apoyado en las matemáticas para diseñar y construir edi cios hermosos. Un ejemplo de lo anterior es la catedral de Notre Dame, en París, Francia, en cuyas dimensiones se aplica la divina proporción descrita por los matemá-ticos griegos.

Otro recurso geométrico utilizado en el diseño de edi cios es el de los teselados, es de-cir, patrones de guras geométricas que cubren una super cie plana sin dejar espacios ni sobreponerse unas a otras.

En la Ciudad de México se pueden observar los teselados en edi cios como el Kiosco Mo-risco y el museo Soumaya, entre otros.

¿Qué otros edi cios conoces en los que se usen teselados?

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La fachada del edi cio Soumaya, en la Ciudad de México, se encuentra cubierta por hexágonos

que forman un teselado.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de multiplicación y división con números enteros,fracciones y decimales positivos y negativos.

Multiplicación y divisiónde números positivos y negativos 17

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 Operaciones con fracciones positivas y negativas

1. Lee el problema y responde. Anota las operaciones y explica tu respuesta.

En un laboratorio hay 4 recipientes. Cada uno se llena o vacía por medio de peque-ñas mangueras de manera constante durante tres horas para un experimento de quí-mica. Los cambios son los siguientes:

El líquido del recipiente A cambia a una razón de 2 34 de L/h.

El del recipiente B, a una razón de 2103 de L/h.

El del recipiente C, a una razón de 2 16 de L/h.

El del recipiente D, a una razón de 2 454 de L/h.

a. ¿Durante esa primera hora, el líquido en el recipiente A aumentó o disminuyó? Explica.

b. ¿Qué sucederá con el líquido del recipiente B en los primeros 34 de h del experi-

mento?

c. ¿Qué sucederá con el líquido del recipiente C en la primera media hora del expe-rimento?

d. ¿Qué sucederá con el líquido del recipiente D cuando hayan transcurrido 2 14 de h

del experimento?

e. ¿Qué operaciones debes realizar para saber cuál fue el cambio por hora, medido en litros, en cada recipiente? Escríbelas y resuelve.

Comenta con tus compañeros qué características especiales tienen los factores y los signos de estas operaciones. Comparen sus respuestas y sus procedimientos.

Disminuyó, ya que el signo negativo indica una pérdida.

R. M. Disminuirá 1012

de L cada cuarto de hora, es decir, disminuirá 3012

de L.

R. M. Multiplicación y división. En 2 1012

de hora se pierde 16

de litro.

(2103

Lh ) ( 3

4 h)52 2

L (2 16

Lh ) ( 1

2 h) 512

L

(24

54 Lh ) (2 1

4 h) 52 6

L

Aumentará 1 112

de litro.

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Contenido: Resuelves problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Multiplicación y división de fracciones

1. Observa las operaciones y responde.

( 38 ) 4 (2 4 ) 5

a. ¿En qué se diferencian estas operaciones de las operaciones con fracciones que resolviste en secuencias anteriores?

b. ¿Qué tienen en común con las operaciones del problema de los recipientes?

c. Las leyes de los signos pueden aplicarse a números fraccionarios ¿Por qué?

Retoma las operaciones anteriores y resuélvelas en tu cuaderno. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y validen con el profesor.

Las leyes de los signos para números enteros pueden aplicarse para números fraccionarios: Al multiplicar o dividir dos fracciones positivas o dos negativas, el resultado será positivo.Al multiplicar o dividir dos fracciones, una positiva y otra negativa, el resultado será negativo. Ejemplos:

a. ( 12 ) 4 ( 3 ) 5 ( 4 ) b. (2

12 ) 3 (2 3 ) 5 ( 6 )

c. ( 12 ) 3 (2 3 ) 5 (2 6 ) d. (2

12 ) 4 ( 3 ) 5 (2 4 )

(212 ) 4 (2 4 )

5 (226 ) 3 ( )

5

Practicar para avanzar

1. Resuelve.

2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

a ¿Cuánto cambiará la cantidad de líquido cada hora? b. ¿Cada media hora aumenta o disminuye el líquido de ese recipiente? ¿Cómo lo sabes?

a. (2 13 ) 4 ( 6 ) 5

c. ( ) 3 (2 4 ) 5

e. ( ) 4 (2 4 )5

b. (2 32 ) 4 (2 2 ) 5

d. (2 46 ) 3 (2 ) 5

f. ( 12 ) 4 (2

18 ) 5

Supón que para el problema inicial hay un recipiente E, cuyo contenido varía 2 4 de L/h cada 2 h.

R. M. En este caso, algunas fracciones tienen signo negativo.

R. M. Sí, porque las leyes de los signos se aplican para cualquier número.

Las operaciones por realizar son multiplicaciones o divisiones con fracciones positivas y negativas.R. M.

2 2 2 31 2

21 2213

22 3

2

220

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Operaciones con decimales positivos y negativos

1. Lee el problema.

Pablo debe al banco cierta cantidad de dinero y eligió un programa de pago a 6 pla-zos en que le cobrarán intereses y comisiones. Observa los datos que le da el cajero: Su saldo inicial es de 2$3 550.25.Una vez que acepte el programa de pago a plazos, su saldo será de 2$4 260.30.

a. ¿Qué representa la división (24 260.30) 4 (23 550.25)?

b. ¿Qué representa la división (24 260.30) 4 (6)?

c. ¿Qué diferencia encuentras entre estas operaciones y las que trabajaste con de-cimales en secuencias anteriores?

d. ¿Qué similitud encuentras entre estas operaciones y las que has trabajado en esta secuencia, por ejemplo, las de los recipientes?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y analicen cómo se pueden resol-ver las operaciones.

2. Resuelve las operaciones y responde.

(20.25) (21) = (2812.5) 4 (6.5) = 0.3 4 0.3 = (20.75) 4 ( 1

4 ) = (22) 4 (20.5) = (2 1

2 ) 4 (2 18 ) =

a. Cuando se multiplica una cantidad por un número decimal menor que 1, ¿el re-sultado es menor que la cantidad inicial? ¿De qué depende?

b. Cuando se multiplica una cantidad por un número menor que cero, ¿el resultado es menor que la cantidad inicial? ¿De qué depende?

Las leyes de los signos también se aplican al multiplicar o dividir números decima-les positivos y negativos.

Lección 2

R. M. El número de veces que incrementó la deuda.

R. M. No, depende de los signos que tengan los factores.

R. M. No, depende de que la cantidad inicial que se va a multiplicar sea positiva.

21.252125

123

4220

R. M. La cantidad que debe pagar en cada plazo.

R. M. En estas operaciones, algunos números decimales son negativos.

R. M. Se tiene división con números negativos.

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Contenido: Resuelves problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

3. Escribe tres multiplicaciones o divisiones con números decimales y resuélvelas. En cada una debe haber al menos un factor menor que cero y en dos de ellas el re-sultado debe ser menor que cero.

a. b.

c.

Comparte con tus compañeros tus respuestas y, si tienen dudas, coméntenlas con su profesor.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve. Escribe tus operaciones y tu respuesta en el recuadro.

Se va a diseñar una alberca en un nuevo centro deportivo. El ingeniero dice que el fondo en una orilla debe estar a 21 1

4 de m con respecto al suelo, y del otro lado a22 m. El dueño del centro deportivo le dice que, por ahorro de material, la deben hacer de 3

4 partes de la profundidad planeada. ¿A qué altura con respecto del suelo debe quedar el piso de la alberca en ambas orillas?

2. Observa el plano cartesiano y haz lo que se pide.

En el plano cartesiano se pueden escalar los puntos multiplicando las coordenadas por un número. Por ejemplo, para aplicar unaescala 2:1, es decir, el doble, basta con mul-tiplicar las coordenadas de un punto (x, y) por 2. Entonces el nuevo punto es (2x, 2y).

a. Se quieren localizar los puntos genera-dos al multiplicar los puntos ubicados en el plano para obtener una escala de 1.1:1. Calcula y ubica los puntos en el plano.

b. Observa los puntos (0.22,0.22), (0.7, 20.5),(20.42,20.21), (20.5, 1.04). En tu cua-derno, realiza las operaciones necesarias para saber qué escala se aplicó a los pun-tos del plano original para obtenerlos.

Compara tus respuestas con tus compañeros y escriban una conclusión en su cuaderno sobre cómo multiplicar fracciones y decimales, positivos y negativos.

252

5

2121 1 2 3 4 5

x

y

222324 0

4

22

3

23

2

24

1B 5 (23.5, 0.25)

C 5 (2.1, 1.05)

D 5 (2.5, 25.2)

A 5 (21.1, 21.1)

25

R. L.

(21 14 ) 3 ( 3

4 )5216

y (22)3 ( 34 ) 5 2 2

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Potencias de fraccionesy decimales 18

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 Números fraccionarios con signo

1. Lee la situación y responde.

La base de una caja de cartón es cuadrada y mide 34 de m de lado.

a. Anota una expresión que represente el área de la base de la caja. b. Escribe dos expresiones para representar el volumen de la caja.

c. Compara las expresiones que escribiste con las de dos compañeros y analicen sus diferencias.

Comenta tus respuestas con tu profesor y anota tus conclusiones.

Potencia de números fraccionarios

1. Analiza la potencia y contesta.

( 25 )3

a. Escribe la potencia como una multiplicación repetida. b. En secuencias anteriores aprendiste a multiplicar fracciones. Resuelve la multi-

plicación y anota tus operaciones en el recuadro.

c. ¿A qué exponente hay que elevar el numerador original para obtener el numera-dor obtenido?

¿Y el denominador? d. Escribe la fracción con el numerador y el denominador como potencias para

completar la siguiente igualdad.

( 25 )3

5

e. Aplica el procedimiento anterior con las siguientes potencias.

Expresión 1: Expresión 2:

( 35 )4

5 ( 67 )5

5

34 3 3

4

34 3 3

4 3 3

4 ( 34 )3

25 3 2

5 3 2

5

Al exponente 3.Al exponente 3.

25

3

3

25 3 2

5 3 25

5 2 3 2 3 25 3 5 3 5 5 125

3 3 3 3 3 3 35 3 5 3 5 3 5

5 34

546 3 6 3 6 3 6 3 67 3 7 3 7 3 7 3 7

5 65

75

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero.

2. Resuelve y analiza las potencias y contesta.

a. ¿Cómo será el signo del resultado de cada una de las potencias anteriores? Justi ca tu respuesta.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor. Luego lee el si-guiente texto y escribe tus conclusiones.

Para elevar una fracción a un exponente, se elevan tanto el numerador como el de-nominador a dicho exponente. Es decir, ( a

b )m

= am

bm

Las fracciones elevadas a una potencia conservan las reglas de exponentes que aprendiste para números enteros elevados a potencias.

Practicar para avanzar

1. Resuelve las siguientes potencias. Anota las operaciones y resultados.

2. Observa las siguientes potencias y responde.

¿Las potencias de los incisos b y c son las mismas? Explica tu respuesta.

Calcula cada una de las potencias y describe qué las hace diferentes entre sí, a pesar de te-ner mismo numerador, mismo denominador y mismo exponente. Anota tus conclusiones.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y concluyan en grupo sobre la importancia de los paréntesis en el uso de signos y potencias.

a. (2 56 )2

5

c. ( 23 )3 5

a. ( 22 )2

5

c. 2 32

2 5

b. ( 32 )4

5

d. ( 26 )25

b. 2( 32 )2

5

d. ( 22 )2 5

(2 25 )3

5 (2 25 )2

5

El signo de la primera es negativo y el signo de la segunda es positivo.

22 3 22 3 225 3 5 3 5 5

2125

22 3 225 3 5 5 25

(25)2

62 5

25 3 256 3 6

52536

(23)2

22 5

23 3 232 3 2

594

32

(22)2 5

3 3 322 3 22

594

2( 3 3 32 3 2 )5 2

94

23 3 3

2 5 292

(3)4

24 5

3 3 3 3 3 3 32 3 2 3 2 3 2

58116

12

(6)2 5

1 3 1(26) 3 (26)

51

36 22 3 22 3 22

3 3 3 3 3 5

2827

No. El resultado de b es 294

y en c es 292

. La diferencia es porque en el inciso b el exponen-te 2 solo afecta al numerador y en el inciso c, el exponente afecta también al denominador.

R. M. Se diferencian por los paréntesis y la localización del signo.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Potencia de números decimales con signo

1. Lee y contesta.

Paola tiene invertido su dinero en un banco, de manera que cada año, por los intere-ses, se multiplica por un factor de 1.15.

a. Escribe la multiplicación que debe resolverse para saber cuánto dinero tendrá después de 3 años.

¿Y después de 6 años? b. Escribe las multiplicaciones anteriores como potencias.

2. Resuelve las potencias y contesta.

a. ¿Qué signo tendrá el resultado de cada una? Justi ca tu respuesta.

b. ¿Cuál de las dos potencias puede representar un problema de cálculo de área y por qué?

Comenta con un compañero qué signo tienen los resultados obtenidos con res-pecto a los factores multiplicados. Después lean el siguiente párrafo.

Potencias de decimales y fracciones

3. Observa la siguiente potencia y resuelve.

(0.66 )3

a. ¿Qué diferencia encuentras entre esta y las potencias del problema anterior?

b. ¿Puedes calcularla como una multiplicación repetida? Explica tu respuesta.

Lección 2

Los números decimales mantienen las mismas reglas de exponentes y los signos que los números fraccionarios y los números enteros.

(27.25)2 = (7.25)2 =

Si x es el dinero que tiene, en 3 años tendrá (1.15)(1.15)(1.15) x

52.5625 52.5625

Ambas serán positivas, porque ambas tienen exponente par.

La operación (7.25)2, porque 27.25 no puede representar una longitud.

R. M. La parte decimal en este caso es periódica.

R. M. Sí, para eso es necesario convertir el decimal a fracción o aproximarla.

(1.15)(1.15)(1.15)(1.15)(1.15)(1.15) x

En 3 años tendrá x(1.15)3. En 6 años tendrá x(1.15)6.

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero.

4. Reúnete con un compañero y resuelvan las potencias.

a. (0.09)4 = b. (0.025)3= c. (0.237)2=

5. Resuelve las potencias. Anota tus operaciones y tus resultados.

Revisa tus resultados con el resto del grupo. Si hay errores o diferencias, comén-tenlos con su profesor.

Aplica lo que aprendiste.

1. Reúnete con un compañero y resuelvan en su cuaderno el problema.

Al comparar la cantidad de habitantes en dos comunidades, observamos que:

La población de la comunidad A cambia de manera que cada año es 96% de la del año anterior.

La población de la comunidad B cambia de manera que cada año es la del año an-terior multiplicada por 1 1

5.

a. ¿Qué factor hay que multiplicar por la población de la comunidad A para saber cuánto aumentará en los siguientes 2 años?

b. ¿Qué factor hay que multiplicar por la población de la comunidad B para saber cuánto aumentará en los siguientes 4 años?

c. ¿Cómo tendrían que ser las poblaciones iniciales entre sí para que después de tres años haya aproximadamente el mismo número de habitantes en ambas?

d Calculen la cantidad nal de pobladores de ambas comunidades después de ha-ber transcurrido 5 años, si las poblaciones iniciales eran de:

Población comunidad A: 10 000 habitantes Población comunidad B: 5 000 habitantes

Comparen sus respuestas con las de las demás parejas y comenten sus conclu-siones con el profesor.

Para elevar un número decimal periódico a un exponente, es necesario hacer una aproximación, ya sea redondeando o truncando el número. Otra manera de resol-verla es convirtiendo el número a fracción. Por ejemplo:

(0.77)3 ≈ (0.78)(0.78)(0.78) (2.02)2 ≈ (2.02)(2.02) (0.33)4= ( 13 )4

a. (2 37 )2

5

c. (21.75)2 5

e. (21) ( 34 )4

5

b. (21 4 )4 5

d. ( 85 )4

5

f. 2(1.75)2 5

( 111 )

2 5

114641

949

281256

2401256

4096625

0.000015625

(0.24)2 5 0.0576

3.0625

23.0625

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

19 Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Potencia de potencias

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 Multiplicación de potencias por sí mismas

1. Lee el problema y responde.

Un estudio de epidemiología muestra que cierta enfermedad se propaga de mane-ra que cada dos días se duplica el número de contagiados. Por lo aprendido en se-cuencias anteriores, podemos escribir que hay 24 personas contagiadas después de 4 periodos de 2 días.

a. Expresa la cantidad de contagiados que hay después del doble de periodos.

¿De qué otra manera puedes expresar esa cantidad? ¿Son equivalentes las expresiones? ¿En qué se diferencian? Explica tu respues-

ta.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten las diferencias.

Potencias positivas

1. Analiza la potencia y completa su desarrollo. Después contesta.

(52 )35 52 3 3 5 (5 3 5) 3 ( ) 3 ( ) 5 5 3 3 3 3 3 5 5

a. Escribe mediante qué operación se relacionan los exponentes de la primera po-tencia y el exponente de la potencia resultante.

Validen sus respuesta en grupo y comenten la relación que encontraron entre los exponentes con ayuda del profesor.

2. Escribe el desarrollo de la siguiente potencia. Recuerda el procedimiento del ejer-cicio anterior.

(24 )2 = 5 5 5

24 3 24

24 3 24

(2 3 2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2 3 2)2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

(24)2

Sí, la diferencia entre ambas expresiones es que una está expresada como

Si se multiplican los exponentes de la primera potencia, se obtiene el exponente de la potencia resultante.

un producto de dos números iguales cada uno elevado a un exponente y la otra es un solo término.

5

5 3 5

5 5 5 5 5

5 3 5

52 2

6

2 8

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero.

a. Escribe qué relación guardan los exponentes de la primera potencia con el ex-ponente de la potencia resultante.

Compara tus conclusiones con las de un compañero. Después valídenlas con ayuda de la siguiente información.

3. Escribe las expresiones como la base con una sola potencia y resuélvelas. Valida tus respuestas utilizando una calculadora.

a. (25)3 5 b. (82)2 5 c. (18)4 5 d. (51)3 5 e. (73)1 5 f. (121)1 5

Cuando un número o base está elevado a un exponente m, y la potencia formada está elevada al exponente n, se tiene una potencia de potencias.

(am)n = (a)(m 3 n)

Practicar para avanzar

1. Resuelve el problema.

En un laboratorio experimental, cada especie de célula triplica la cantidad de tipos de mez-clas que pueden generarse, de manera que al colocar juntas 4 células pueden generarse 34

mezclas de estas. Cada mes que transcurre se triplican a su vez las mezclas posibles. Si se colocan 4 células y transcurren 4 meses.

a. ¿Cuántas posibles mezclas se generarán? b. ¿De cuántas maneras puedes expresarlo? c. Exprésalo como una potencia. Anota tus operaciones y tus respuestas.

Compara tus respuestas con las de dos compañeros, discutan si hay alguna diferencia en ellas y aclárenla.

Si se multiplican los exponentes de la primera potencia, se obtiene el exponente de la potencia resultante.

215 5 32 76884 5 4 096

132 5 153 5 12573 5 343

121 5 12

34 3 34

De muchas formas, por ejemplo (34)2

(34 )2 = 34 3 34

5(3 3 3 3 3 3 3)3(3 3 3 3 3 3 3) 53 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 38

5 6 561

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Potencias mayores y menores que cero

1. Observa las expresiones y responde.

a. ¿Qué características tienen en común las potencias mostradas y las trabajadas en la lección anterior?

b. ¿Qué característica o características diferentes tienen las potencias en relación con las trabajadas en la lección anterior?

c. ¿Qué operación u operaciones se necesitan para escribir cada potencia con un solo exponente?

d. Analiza el signo de los exponentes de las potencias y, con base en lo que has aprendido, explica qué sucede cuando ambas potencias son negativas.

e. Resuelve las potencias.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten si hubo alguna diferencia. Concluyan con su profesor cuál fue la respuesta correcta y corrijan si es necesario.

Cuando ambos exponentes son negativos, entonces (a2m )2n = a(2m) 3 (2n) = am 3 n, ya que el producto de dos números negativos es un número positivo.

1. Resuelve con tu calculadora.

a. Escribe en orden las teclas que utilizaste para resolver las potencias.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen cuál es la forma co-rrecta de ingresar las operaciones en la calculadora. Luego validen con su profesor.

Herramientas académicas

(224)25 =

(( 32 )7)4

=

(33)23 =

(( 32 )2)21

=

(224)2 5 (33)23 5

Lección 2

220 329

( 32 )

28 ( 32 )

22

La base y los exponentes son números positivos,

Se necesitan hacer multiplicaciones.

Cuando

La base es un número entero o una

además de que se tiene una potencia de potencia.

se tiene una potencia de potencias, los exponentes se multiplican; si ambos exponentes son negativos, entonces al multiplicarlos se obtiene un exponente

positivo.

1 048 576

2^(-4)^(-5) 3^3^(-3)

5.08 3 10 5

fracción, además ahora se trabajan los exponentes negativos.

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Contenido: Resuelves problemas de potencias con exponente entero.

Aplica lo que aprendiste y responde.

1. Resuelve las potencias y haz lo que se pide.

a. Encuentra cuáles expresiones dan el mismo resultado y escríbelas a continua-ción. Utiliza el signo = entre ellas.

b. Escribe una expresión equivalente para aquellas expresiones que no la tuvieron.

c. Elige dos expresiones, las que quieras, y encuentra algún contexto que pueda re-presentar cada una. Describe las situaciones en tu cuaderno.

d. Expón a tu grupo el contexto que diseñaste. ¿Algún compañero eligió la misma potencia o una equivalente? ¿Eran distintos los contextos? ¿Se parecen en algo? En tu cuaderno escribe por qué.

e. ¿Las expresiones encontradas en el inciso b fueron iguales a las de tus compañe-ros? ¿Por qué? Identi quen las diferencias y similitudes.

Si se expresan como una potencia de una sola base y un solo exponente, ¿de-ben ser iguales? Explica tu respuesta.

Comenta con tus compañeros si tuviste alguna duda durante esta actividad o esta secuencia. De ser así, resuélvanla con ayuda de su profesor.

(7)(233) = (222)22 = (73)2 = (53)2 = 46 =

(52)3 = (2 × 2 × 2 × 2) = (4 × 4 × 4)2 = (17)2 = 19 =

117 649 15 62516

(43)2 = 4 0961

1

16 117 649 15 625

4 096

(7)(2 33)= (73)2

(53)2= (52)3

(17)2= 19

(222)22= (2 3 2 3 2 3 2)

(4)6= (4 3 4 3 4)2

R. L.

R. L.

R. L.

Sí, porque como las expresiones son

equivalentes, entonces al simpli carlas debe quedar la misma expresión.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Las leyes de los exponentes 20

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Lección 1 Verdadero o falso

1. Analiza las igualdades y encierra aquellas que se cumplan. Utiliza tu calculadora para con rmar tus respuestas, como se muestra en la página 40.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y justifíquenlas.

Más leyes de los exponentes

1. Retoma las igualdades. Sustituye los números en rojo por otros y analiza cuáles se siguen cumpliendo y por qué. Justi ca en el recuadro aquellas que se cumplan.

a. Subraya la expresión que exprese las igualdades que se cumplen para cual-quier valor de las literales.

an 1 am = an + m an 1 am = an 3 m an 3 am = an + m an 3 am = an 3 m

2. Escribe “verdadero” o “falso” según corresponda a cada igualdad y responde.

(23)4 = 23 3 24

(23)4 = (24)3 (23)4 = 23 3 4

a. Demuestra las a rmaciones verdaderas.

b. Escribe con literales la generalización de las igualdades verdaderas anteriores.

23 1 23 5 23 + 3 (2 1 2)3 5 (2 3 2)3 23 1 23 5 23 × 3

23 3 23 5 23 + 3 23 3 23 5 23 × 3

R. M. 43 3 43 5 (4 3 4 3 4)3(4 3 4 3 4)

54 3 4 3 434 3 4 3 4 5 46

5 43 +3

FalsoVerdaderoVerdadero

(an)m = (am)n = am × n

(23)4 5 (23)3 23) 3(23) 3(23)

5(2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2) 52 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5(2 3 2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2 3 2) 3 (2 3 2 3 2 3 2) 5(24)3(24) 3(24) 5 (24)3

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Contenido: Aplicas las leyes de los exponentes y utilizas literales.

3. Anota en cada renglón si las siguientes a rmaciones son verdaderas o falsas. Usa la calculadora para con rmar tus resultados.

26

23 = 26 2 3

26

23 = 263

26

23 = 26 1 3

26

23 = 26 2 23

a. Demuestra las igualdades que se cumplan.

4. Completa la siguiente ley de los exponentes.

an

am =

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Después, lee la siguiente

Las principales leyes de los exponentes son las siguientes. Considera que a 0.

Practicar para avanzar

1. Resuelve los siguientes grupos de potencias y escribe la ley de los exponentes que se aplica en cada uno.

La ley de los exponentes que se aplica es:

La ley de los exponentes que se aplica es:

La ley de los exponentes que se aplica es:

a. (x2)(x3)(x4) 5 (xx)(xx)(xx) 5

b. (x4)5 5 (m4)x 5

c. xx5 5

x 1 3

2x 5 p3 x 2 5

p2x −1 5

(2a)(2b)(2c) 5 (3m −1)(32m + 3)(32 − 3m) 5

(4x)5 5 (xx)x 5

am 3 an 5 am 1 n (am)n

5 am 3 n

an

am = an 2 m

Falso

Falso

Verdadero

Verdadero

an − m

x9

x10

x20

m4x

45x

2a + b + c

x3x

26

23 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 22 3 2 3 2 5 2 3 2 3 2 5 23

5 26 2 3

am × an = am +n

(am)n= am × n

px −4

xx2

an

am = an −m

34

23

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

Otras leyes de los exponentes

1. Calcula y determina cuáles de las siguientes igualdades se cumplen. Con rma tus resultados con tu calculadora. Después contesta.

(2 3 5)3 = 2 3 53 (2 3 5)3 = 23 1 53 (2 3 5)3 = 23 3 53 (2 1 5)3 = 23 1 53 (6 2 4)3 = 63 2 43 23 3 32 = 65 23 3 32 = 66

a. Demuestra las a rmaciones que sean verdaderas.

b. Completa la expresión para representar las igualdades que se cumplen.(a 3 b)n =

2. Escribe “verdadero” o “falso”, según corresponda a cada igualdad y responde. Usa la calculadora para con rmar tus resultados.

( 52 )3

= 53

23

( 52 )3

= 53

2

( 52 )3

= 35

32

a. Demuestra las a rmaciones que sean verdaderas.

b. Completa con literales la siguiente ley de los exponentes.

( a

b )n =

3. Sustituye, en la ley de los exponentes am

an = am−n, los valores a = 2, m = 5 y n = 5. Resuelve ambos lados de la igualdad y responde.

a. ¿Cuál es el resultado de una división cuando el numerador y el denominador son iguales? ¿Por qué?

Discute con tus compañeros y con tu profesor cuál es el resultado de elevar cual-quier número a una potencia cero.

Lección 2

1 000 Þ 2501 000 Þ 133

1 000 = 1 000343 Þ 133

8 Þ 15272 Þ 7 776

72 Þ 42 656

(2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 5 23 × 53

(2 3 5)3 5

an× bn

Falso

Falso

Verdadero

( 52 )

3 5

52

3 52

3 52

55 3 5 3 52 3 2 3 2

553

23

an

bn

El resultado es uno.

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Contenido: Aplicas las leyes de los exponentes y utilizas literales.

4. Resuelve las potencias y contesta. Utiliza fracciones de ser necesario.

a. Observa las secuencias de potencias. ¿Qué sucede con el resultado cuando se resta 1 al exponente?

b. ¿Continúa siendo cierto lo anterior cuando los exponentes son negativos? Justi- ca tu respuesta.

c. En tu cuaderno, construye otra secuencia de potencias similar a las anteriores

con base 4 y contesta.d. ¿Cuál es el resultado de elevar cualquier número a una potencia 1?

5. Con base en el ejercicio anterior, contesta.

a. ¿Cuál es el resultado de elevar un número diferente de cero al exponente cero?

Comparte con tus compañeros tus resultados. Veri quen que sean iguales las le-yes de los exponentes que escribieron y, de no ser así, identi quen el por qué de las diferencias con ayuda de su pofesor.

6. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los exponentes. Escribe todo tu procedimiento y convierte los resultados que contengan exponentes ne-gativos a expresiones con exponentes positivos.

Ejemplo: (3x)−2

x−6 5 3−2 x−2

x−6 5 x6

32x 2 5 x4

9

24 5 23 5 22 5 21 5 20 5 2−1 5 2−2 5 2−3 5 2−4 5

34 5 33 5 32 5 31 5 30 5 3−1 5 3−2 5 3−3 5 3−4 5

16 81278

Observa que, como se cumple que aam 5an2m, entonces 00 se puede escribir como

0121, que es igual a 00

. Sin embargo, 00

está indeterminado, es decir, no tiene re-

sultado, pues no se puede dividir entre 0. Por tanto, 00 también está indeterminado.

4 92 31

1 / 21 / 4

1 / 81 / 16

1 / 31 / 9

1 / 271 / 81

1

Se divide el resultado anterior entre el número base.

R. M. Sí, porque se van obteniendo fracciones más pequeñas.

Al elevar un número a un exponente 1, se obtiene el número base.

P. R. El alumno debe deducir que el resultado es 1. Posteriormente pregunte qué ocurre con 00.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

(x−3) (x−4) = (2−m) (2−p) = (2x)3 = (2x)−3 = (3x−2y−4)5 = (x3)−5(x−5)3 = x23

x25 =

(2x)24

(2x)27 =

Valida tus respuestas con ayuda de tus compañeros y tu profesor. Después lean la siguiente información.

Aplica lo que aprendiste.

1. Formen parejas y escriban todas las leyes de los exponentes estudiadas, con un ejemplo para cada una.

Ley de los exponentes Ejemplo

En grupo revisen si escribieron todas las leyes de los exponentes trabajadas y si los ejemplos fueron correctos. Si no es así corrijan la tabla.

En la secuencia 5 aprendiste a manejar exponentes negativos usando las siguientes identidades:

a2n

=

1an

1

a−n = an con a ≠ 0

Las leyes de los exponentes se aplican de la misma manera, aunque las potencias contengan exponentes negativos.

1x7

12m + p

243x10 y20

8x3

an 3 am 5 an 1 m 82 3 84 5 86

(an)m 5 an 3 m (82)4 5 88

(an)m 5 (am)n (82)4 5 (84)2

R. M.

(a 3 b)n 5 an 3 bm (8 3 5)2 5 82 3 52

a0 5 1 80 5 1

81 5 8a1 5 a

a2n 5 1an 822 5

182

1a−n 5 an 1

8−2 5 82

( ab )n

5 an

an ( 88 )2

5 82

85

5 an 2 m 5 82

x2

8x3

18x3

1x30

an

am84

82

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. Marca V o F en el recuadro según corresponda a las a rmaciones. Justi ca tus res-puestas y corrige las expresiones que no sean correctas.

Expresión algebraica V F Corrección Justifi cación

14

3 2 1

8 5 2 84

214 3 2 1

2 3 2 12

5 2 116

34

4 20.5 5 2 32

( ab )3

5 a5

b2

4x24y5

2x3y21 5 2x21y7

y

2. Resuelve.

3. Responde.

a. ¿Qué número debes multiplicar por 20.25 para obtener 1? b. Si multiplicas tres números y obtienes 2 3

4 como resultado, ¿cuáles pueden ser los números? ¿Y si el resultado es 3

4 ? Encuentra al menos tres respuestas distintas para cada caso.

c. Un número dividido por 0.5 y multiplicado por 2 14 da 2 1

10. ¿Cuál es el número?

a. 4.5 4 (26) =

c. (23.2) ( 25 )(2

25 ) =

b. (32m)2 (32n)3=

d. x24

x23 5

x14

3 2 1

8 5 2 132

( ab )3

5 a3

b3x

x

x

x

Se multiplican los numeradores y

los denominado-res entre sí.

El exponente se distribuye en la

fracción.

1 3 14 3 (23) 5 2

34 26x (2

12 ) 3 (2

14 ) 5 2

34

15 3 ( 15 ) 3 ( 1

4 ) 5 34

55 3

35 3

54 5

34

24 3 3 3 1

16 5 234

21 3 (26) 3 18 5

34

−0.75

−4

15 ya que al dividirlo entre 0.5 se obtiene 0.4 y eso, multiplicado por − 1

4 , da −0.1, que es equivalente a − 1

10

R. M.

0.512

3−2m −3n

1x

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de fi guras geométricas y verifi carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las fi guras).

Expresiones algebraicas21

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 1 Producción de basura en México

1. En parejas, lean la información y hagan lo que se pide.

Las actividades productivas del ser humano generan residuos. La gran mayo-ría de estos tienen efectos negativos en la salud de la población y deterioran el medioambiente.

Uno de los residuos sólidos más comunes que genera el ser humano es la basura. En 2015 la Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales (Semarnat) estimó que, en promedio, una persona adulta genera 1.2 kg de basura al día.Fuente: http://apps1.semarnat.gob.mx/dgeia/informe15/tema/cap7.html (consulta: 13 de junio de 2018)

a. Comenten este tema y escriban cómo pueden ayudar a solucionar el problema.

b. Supongan que un menor genera la mitad de basura que un adulto. Calculen la cantidad de basura que genera en una semana...

Un adulto: Un menor: Un adulto y un menor:

c. Escriban una expresión algebraica que represente la cantidad de basura que ge-nera en x días...

Un adulto: Un menor: Un adulto y un menor:

Comenten con sus compañeros sus respuestas y validen con su profesor las ex-presiones obtenidas.

Simplifi cación de expresiones

1. A partir de la información anterior, escriban una expresión para representar cuán-ta basura genera cada familia en x días y simplifíquenlas.

a. Dos niños, su mamá y su abuela. b. Un niño, su papá y su mamá. c. Un niño, su mamá y sus dos abuelos.

R. L.

8.4 kg4.2 kg

2.6 kg

1.2x kg0.6x kg

1.2x 1 0.6x kg

0.6x 1 0.6x 1 1.2x 1 1.2x 5 3.6x0.6x 1 1.2x 1 1.2x 5 3x

0.6x 1 1.2x 1 1.2x 1 1.2x 5 4.2x

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Contenido: Estableces expresiones algebraicas para describir diversas situaciones y verifi cas su equivalencia mediante la simplifi cación y descomposición.

2. Retomen las expresiones del ejercicio anterior y completen la tabla.

a. ¿Cuánta basura generan las familias del ejercicio anterior en una semana, en un mes, en un año? Usen las dos expresiones y escriban las respuestas en kg.

Una semana Una mes Una año

Expresiónoriginal

Expresión simplifi cada

Expresiónoriginal

Expresión simplifi cada

Expresiónoriginal

Expresión simplifi cada

¿Cómo son los resultados? ¿Por qué?

3. En 1950, en México, un adulto producía en promedio por día 14 de basura que en

2015.

a. Escribe una expresión que dé la cantidad de basura generada, en promedio, por un adulto, en esa época.

b. Supongan que un menor generaba la mitad de basura que un adulto en 1950. ¿Qué expresión algebraica representa la cantidad de basura generada por un menor de edad en 1950?

c. ¿Cuánta basura generaría una familia como las anteriores?

En las expresiones anteriores hay términos semejantes. Cada término tiene la va-riable x. Los coe cientes de estos términos (los números que los acompañan) se pueden operar para reducir la expresión y tener menos términos. De esta manera obtenemos una expresión equivalente. Por ejemplo:

1200x + 1200x + 600x + 600x = 3600x

Los términos semejantes son aquellos en los que coinciden las literales o variables y sus exponentes, es decir, su parte literal. Por ejemplo:

En los siguientes ejemplos, se muestran términos donde no coinciden las literales y los exponentes, y por tanto, no son términos semejantes.

18 ,29, 0.75, 2 x, 2.5x 3vt3, 2vt3 x2, 2x2

3, 5x, 7 x, 14 y 07vt, 5vt2 x2, 22.5z2

Son iguales, porque las expresiones son equivalentes.

Dos niños, su mamá y su abuela: 0.3x 1 0.3x 1 0.15x 1 0.15x; un niño, su papá y su mamá: 0.3x 1 0.3x 1 0.15x; y un niño, su mamá y sus dos abuelos: 0.3x 1 0.3x 1 0.3x 1 0.15x

25.2 25.2 108 108 1 314 1 31421 21 90 90 1 095 1 09529.4 29.4 126 126 1 533 1 533

0.3x

0.15x

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 2 Más de expresiones algebraicas

1. Haz lo que se pide para representar cada una de las siguientes situaciones.

a. En un estacionamiento hay automóviles y bicicletas. Si el número de automóvi-les lo representamos con a y la cantidad de bicicletas con b, escribe dos expre-siones que representen cuántas ruedas hay en total.

Expresión algebraica 1. Expresión algebraica 2.

b. En una bolsa hay bolas blancas y bolas negras. La cantidad de bolas negras es mayor en 10 al de bolas blancas. Escribe dos expresiones que representen la cantidad de bolas blancas y bolas negras de la bolsa.

Expresión algebraica 1. Expresión algebraica 2.

c. Escribe dos expresiones para representar el precio nal de un producto des-pués de aplicarle 16% de IVA.

Expresión algebraica 1. Expresión algebraica 2.

d. Escribe dos expresiones que representen la situación: Un número más el doble del mismo número.

Expresión algebraica 1. Expresión algebraica 2.

e. Escribe dos expresiones que representen la suma de un número más 10, dividi-do entre 3.

Expresión algebraica 1. Expresión algebraica 2.

f. Reúnete con un compañero y veri quen que las expresiones que escribieron sean correctas. Si es necesario corrijan.

En grupo comenten por qué es necesario saber representar diferentes situacio-nes mediante una expresión algebraica, qué utilidad tiene hacer la representa-ción y en cuáles de las materias que cursan pueden aplicar lo aprendido.

2. Lee la siguiente información y coméntala con un compañero.

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y operaciones. En estas expresiones, el signo de multiplicación 3 se sustituye por un punto o se omi-te. Por ejemplo:

2 3 x 3 y2 5 2xy2

Además, suele omitirse el coe ciente de un término o el exponente de una literal cuando es 1. Por ejemplo:

1x3y2 5 x3y2 3x1y3 5 3xy3

4a 1 2b

2(2a 1 b)

x 1 x 1 102x 1 10

x 1 0.16x

x 1 2x

x3 1

103

3x

1.16x

(x 1 10)3

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Contenido: Estableces expresiones algebraicas para describir diversas situaciones y verifi cas su equivalencia mediante la simplifi cación y descomposición.

3. Completa la tabla con las expresiones que representan lo que se pide.

5 y y y2

xy

El doble de

El cuadrado de

La mitad más 1 de

El triple más 100 de

12

En matemáticas, los términos más, menos, el doble, el triple, el cuadrado, la mi-tad… tienen implicaciones en el momento de construir e interpretar una expresión algebraica.

Reúnete con un compañero, comparen sus respuestas y comenten qué implica cada uno de los términos antes mencionados.

4. Escribe dos expresiones que representen alguna situación y su signi cado en palabras:

a. En geometría.Expresión: Situación:

b. En física.Expresión: Situación:

c. En estadística.Expresión: Situación:

Practicar para avanzar

Realicen las actividades en su cuaderno.

1. Expliquen por qué la expresión 2x2 2 x se puede escribir como 2 x, pero la expresión 2x 2 2

no.

2. Escriban una expresión que represente el enunciado y, si es posible, simplifíquenla.

a. La suma de dos números más el doble del primero.b. El cuadrado de un número más el triple de ese número.c. El cuadrado de un número más el triple del número menos la mitad de ese número.

Expresión 1: 2(pr2) Expresión 2: 4L

Expresión 1: v 5 dt Expresión 2: a 5 F/m

Expresión 1: H +M + C3

Expresión 2: A = {8, 6, 10, 10, 7, 9}, la moda es 10.

R. M.

Situación 1: El doble del área de un círculo. Situación 2: El perímetro

Situación 1: El promedio de las cali caciones de Historia,

Situación 1: La velocidad de un cuerpo es igual a la distancia (d)

de una ventana de lado L.

Matemáticas y Español. Situación 2: La cali cación más común es 10.

dividida entre el tiempo (t) que le lleva recorrerla.

2(5) 2y 2y2 2xy2( 12 y)

( 12 y)2

52 y2 (y2)2 (xy)2

15 1 1 y

2 1 1 y2

2 1 1 xy2 1 11/2y

2 1 1

3(5) 1 100 3y 1 100 3y21 100 3(xy)1 1003( 1

2 y)1100

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 3 Simplifi cación de términos semejantes y construcción de expresiones equivalentes

1. Completa la tabla. Analiza si puedes obtener una expresión equivalente. En cada caso a rmativo, identi ca los términos semejantes y realiza las operaciones indicadas.

Expresión algebraica Se pueden reducir términos semejantes: Expresión equivalente

2m 1 2mn 1 5n 1 3mn 2 9

2 a 1 4ab2 1 a 2 0.125a

0.5vt 1 vt 1 t 2 2

2 a 1 4a 1 a

2a 1 a20.75a

2( a 1 4b2) 1 (2 a24b2)

l 1 l 1 l 1 l

2. Descompón en términos semejantes las siguientes expresiones algebraicas. Con-sidera que la descomposición de términos es el proceso inverso a la simpli cación o reducción.

Expresión algebraica Expresión equivalente descompuesta

0

7mn 1 m 1 1

a

213x 1 7y

2a 2 0.75b

5l

1

Reúnete con un compañero y escriban cómo pueden simpli car los términos se-mejantes en una expresión algebraica. Intercambien sus textos con otra pareja para validarlos.

4 5

2

54

4

4 4

7

9

Sí, mn 5mn 2 m 1 5n 2 9

5m 2 5m

6y 1 3x 1 y 2 16x

5a 2 b 2 6a 1 0.25a

7l 2 2l

24 1 5

2mn 1 m 1 5 1 5mn 1 7 m 2 4

a 2 9 a

4ab2 1 0.225a

2 vt 1 t 2 2

21.5a

20a

2 4 a 2 8b2

Sí, a

Sí, a

Sí, a

Sí, l 4l

Sí, a y b2

Sí, vt

R. M.

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Contenido: Estableces expresiones algebraicas para describir diversas situaciones y verifi cas su equivalencia mediante la simplifi cación y descomposición.

Aplica lo que aprendiste.

1. Escribe las expresiones que representan las siguientes situaciones:

a. Si el precio de un yogur es x y el de una torta es w, el precio de 2 yogures y 3 tor-tas se puede expresar como. Expresión:

b. La tercera parte de un número menos el doble más 1.Expresión:

c. El cuadrado de un número menos el triple del mismo número. Expresión:

d. El perímetro de un cuadrado de lado l. Expresión:

e. En una ciudad de México, el taxi cobra $20.00 de cuota ja por via-je más $3.50 por cada kilómetro recorrido.Expresión:

2. Simpli ca o descompón las siguientes expresiones.

a. 3x 2 2 3 y 1 y 2 x 1 x2 1 1 5

b. 3x 2 2 13 x 1 x 5

c. 3x2 2 2 13

x2 5 d. 3p 2 2.5p 5

3. Rodea con el mismo color los términos semejantes.

xy x y xy x2y πx xy2 2x 12 x 3x2

a. Descompón cada uno de los términos anteriores para generar una expresión equivalente. Completen la tabla.

Término Descomposición Término Descomposición

Comenta con tus compañeros por qué es importante saber simpli car y des-componer las expresiones y qué di cultades tuvieron al realizar esta actividad.

Entra a la página www.esant.mx/fasema2-002 e identi ca la expresión que representa cada situación.

Herramientas académicas

3xy 2 2xy 2px 2 px

(yx)y

px

2y 2 3y 1 5y 2x 1 3x

M. x(x)

M. (yx)x

2 x 1 2 x

x 2 2 x 2 x

2x 1 3w

w2 2 3w

4l

0.5p

20 1 3.50k, donde k es la cantidad de kilómetros recorridos.

a3 2 2a 1 1

2x 1 2 3 y 1 x2 1 1

3 x

3 x2

xy

x

2x

3x2 ( 3x)x

y

x2

x2y

xy2

R. M.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetrosy áreas) de fi guras geométricas y verifi carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las fi guras).

Geometría con álgebra 22

Área de cuadriláteros

1. Observa la gura y responde.

a. ¿Cómo se llama la gura? b. Escribe las fórmulas para calcular el perímetro y el área.

A = P =

c. Si no recordaras las fórmulas del área y el perímetro, ¿cómo podrías obtenerlas?

d. Calcula el perímetro y área de la gura.

Comenta con tus compañeros las diferentes formas de calcular el área de la gura y por qué se obtiene el mismo resultado.

Expresiones equivalentes

1. Supón que no conoces las medidas representadas con la variable x en la gura y haz lo que se indica.

a. Calcula el área de los triángulos que se forman en términos de x. b. Calcula el área del rectángulo en términos de x. c. Encuentra el área total de la gura. d. Expresa la longitud de la base en términos de x. e. Comprueba en tu cuaderno que obtienes el mismo resultado al multiplicar la

longitud de la base por la altura que sumando las áreas de los triángulos y el rectángulo.

Comparte con tus compañeros tus procedimientos y observa si tus cálculos y simpli caciones son correctos. Sustituye el valor de x por 7 y comprueba que ob-tienes el mismo resultado que en la actividad anterior con ambas expresiones.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 1

7 cm

7 cm

3 cm

3 cm

5 cm5 cm 4 cm

x cm

x cm

x 2 4 cm

x 2 4 cm

4 cm

b 3 h

P 5 30 cm y A 5 40 cm2

R. M. Para el perímetro, sumar las longitudes de los lados; para el área, transformar el romboide en un rectángulo moviendo uno de los triángulos.

2 (a 1 b)

2 (x 2 4)4x

x 2 4 1 x 5 2x 2 42(x 2 4) 1 2(x 2 4) 1 4x 5 8x 2 16

Ver solucionario.

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Contenido: Formulas expresiones de primer grado para representar el área de polígonos mediante su división en triángulos y cuadriláteros, y compruebas su equivalencia.

2. Observa el rombo y haz lo que se pide.

a. Traza la diagonal menor para formar dos triángulos, cada uno con una base de 10 cm y altura de 3x 2 2 cm. Calcula el área de cada triángulo y el área total. Anota tu procedimiento y tu resultado en el recuadro.

b. Traza la diagonal mayor para dividir el rombo en 4 triángulos. Calcula el área de cada triángulo y el área total. Demuestra que obtienes el mismo resultado que el que obtuviste anteriormente. Anota aquí tus procedimientos.

3. Reúnete con un compañero, inscriban el rombo en un rectángulo y calculen el área de la gura a partir del área del rectángulo. Anoten su procedimiento en el recuadro.

Comparen los tres procedimientos utilizados para calcular el área del rombo. ¿Obtuvieron el mismo resultado en todos los casos? Compartan sus procedi-mientos con sus compañeros. Arguméntenlos.

El área de una gura puede representarse mediante diferentes expresiones alge-braicas. Al simpli carlas, se puede demostrar que son equivalentes.

Practicar para avanzar

1. En tu cuaderno, divide de dos maneras la gura en trián-gulos y cuadriláteros. Suma las expresiones que repre-sentan las áreas de cada triángulo y cuadrilátero para representar el área total. Simpli ca las expresiones para comprobar que son equivalentes.

3

2

2

x 1 1 x2 x 1 4

El área de cada triángulo es ( x 2 )2 . El área total

del rombo es dos veces el área del triángulo, es de-cir, 2[ ( x 2 )

2 ]=10(3x22)=30x 2 20.

El área de cada triángulo es ( x 2 )2 . El área total del rombo es cuatro ve-

ces el área del triángulo, es decir, 4[ ( x 2 )2 ]= [ ( x 2 )] = 30x 2 20.

El área del rombo es igual al área del rectángulo menos el área de los cuatro triángulos, es decir, 10[2(3x 2 2)]24 [ ( x 2 )

2 ] = ( x 2 ) 2 [ ( x 2 )] = x 2 2 ( x 2 ) = x 2 2 x 1 = x 2 .

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 2 Expresiones algebraicas equivalentes III

1. Observa la gura y haz lo que se solicita.

a. Escribe las fórmulas para calcular el perímetro y el área.A = P =

b. Si no recordaras las fórmulas del área y el perímetro, ¿cómo podrías obtenerlas?

c. Calcula el perímetro y área del trapecio.

Comenta tus respuestas con tus compañeros.

2. Haz lo que se indica.

De la siguiente gura se desconocen algunos valores representados por la variable x.

a. Calcula el área del triángulo de la izquierda en términos de x. b. Calcula el área del triángulo de la derecha en términos de x. c. Calcula el área del rectángulo en términos de x. d. Suma las áreas para obtener el área total. e. Obtén la longitud de la base mayor en términos de x. f. Utiliza la fórmula: “Base mayor más base menor, por altura entre dos” para ob-

tener el área. Luego demuestra que el resultado que obtuviste coincide con la suma de las tres áreas.

Comparte con tus compañeros tus procedimientos y observa si tus cálculos y simpli caciones son correctos. En grupo, retomen el trapecio de la actividad 1 y sustituyan las medidas por expresiones en términos de x, consideren que x es igual a 18 y calculen el área con diferentes métodos.

20 cm

9 cm 18 cm 16 cm

15 cm

4 cm

x 2 5 cm x 1 2 cmx cm

12 cm

(B 1 b) 3 h2

a 1 b 1 c 1 d

R. M. Para el perímetro, sumar las longitudes de los lados; para el área, se puede dividir la gura en triángulos y un rectángulo.

P 5 96 cm y A 5 366 cm2

A 5 (3x 2 3 1 x) (4)2 5 (4x 2 3) (4)

2 5 16x 2 122 5 8x 2 6

4 (x 1 2)2 52(x 1 2)

4 (x 2 5)2 52(x 2 5)

4x2(x 2 5) 1 2(x 1 2) 1 4x 5 8x 2 6

x 2 5 1 x 1 x 1 2 5 3x 2 3

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3. Retoma la gura anterior, inscríbela en un rectángulo y calcula su área a partir del área del rectángulo. Sigue los pasos que se indican.

i. Calcula el área del rectángulo que comprende al trapecio.

ii. Calcula cuánto mide el área de cada triángulo que no forma parte del trapecio.

iii. Obtén el área del trapecio. Para eso, resta las áreas de los triángulos del área del rectángulo.

Aplica lo que aprendiste y responde.

1. Retoma las tres expresiones algebraicas que obtuviste en cada procedimiento al calcular el área del trapecio. Asigna a la variable x el valor de 10 y veri ca que ob-tienes el mismo resultado en todas ellas.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y revisen si sus simpli ca-ciones son correctas. Escribe una conclusión en tu cuaderno sobre por qué son equivalentes las expresiones.

Contenido: Formulas expresiones de primer grado para representar el área de polígonos mediante su división en triángulos y cuadriláteros, y compruebas su equivalencia.

El área del rectángulo es base por altura, entonces:A 5 4(x 2 5 1 x 1 x 1 2) 5 4(3x 2 3) 5 12x 2 12

A 5 (x 2 )

2 = (x 2 ) = 2x 2 10; A 5 (x 1 )

2 = (x 1 ) = 2x 1 4

A = (12x 2 12) 2 (2x 2 10) 2 (2x 1 4)= 12x 2 12 2 2x 1 10 2 2x 2 4 = 8x 2 6

Expresión 1.8x 2 6 5 8(10) 2 6 5 80 2 6 5 74

Expresión 2.( x 2 1 x)

2 = ( ( ) 2 1 ( )) ( )2 = ( 2 1 ) ( )

2 = ( ) ( )2 = 74

Expresión 3.(12x 2 12) 2 (2x 2 10) 2 (2x 1 4) 5 (12(10) 2 12) 2 (2(10) 2 10) 2 (2(10) 1 4) 5 (120 2 12) 2 (20 2 10) 2 (20 1 4) 5 108 2 10 2 24 5 74

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de fi guras geométricas y verifi carás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las fi guras)

Áreas de fi guras 23

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 1 Diferentes estrategias para encontrar el área

1. Observa la gura y contesta.

a. ¿Cuáles son el perímetro y el área de la gura expresados en términos de x?

Perímetro 5 Área 5

b. Reúnete con un compañero y comenten el procedimiento que usaron para en-contrar el área de la gura. Luego escri-ban dos procedimientos diferentes para hallar el área.Procedimiento 1:

Procedimiento 2:

Comparen sus procedimientos con los de sus compañeros y veri quen que lle-gan al mismo resultado.

Expresiones algebraicas para calcular el área

1. Observa la gura y haz lo que se pide.

a. Encuentra el valor de b. b. Escribe una expresión que represente el valor de a. c. Explica cómo determinaste la expresión para a y el valor de b.

x cm

x 1 4 cm

8 cm

3 cm

3 cm

4 cm

a cm

x 1 5 cm

x cm

x cm

b cm

3 cm

x cm

3 cm

6x 1 3630x 1 56

R. M. Calcular el área del rectángulo

R. M. Calcular las áreas de los diferentes rectángulos que

conforman la cruz y después sumarlas: 16x 1 (6x 1 24) 1 (8x 1 32).

completo y luego restar las cuatro esquinas que forman la cruz: (42x 1 56) 2 4(3x).

b 5 2a 5 3x 1 5

R. M. Para b consideré que 4 1 b 5 3 1 3 y para a que a 5 x 1 (x 1 5) 1 x

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3. Otra manera de calcular el área de la gura consiste en inscribirla en un rectángu-lo. Obtén las medidas faltantes y la expresión para representar el área.

4. Demuestra que las expresiones anteriores son equivalentes. Para ello, sustituye la variable x por un valor numérico.

Comenta con tus compañeros de qué otras formas se puede dividir la gura y si se obtienen expresiones equivalente a las anteriores.

Contenido: Representas con diferentes expresiones el área de una fi gura y compruebas su equivalencia mediante operaciones algebraicas.

4 cm 3 cm

3 cm

2. Las imágenes muestran diferentes formas de dividir la gura anterior. Con base en los datos originales, calcula las medidas faltantes y obtén expresiones algebraicas para representar las áreas.

Área: Área:

Área:

El área de una gura puede representarse mediante diferentes expresiones alge-braicas. Es posible simpli car las expresiones utilizando operaciones algebraicas para demostrar que son equivalentes.

Por ejemplo, la expresión 4x 1 (2x 1 5)(3) 1 (x 1 5)(3) se puede simpli car para ob-tener la expresión 4x 1 6x 1 15 1 3x 1 15 que nalmente resulta en 13x 1 30.

Practicar para avanzar

1. Considera la división de la derecha para la gura de la ac-tividad inicial. Calcula su área en tu cuaderno.

a. Simpli ca la expresión que obtuviste y las expresio-nes que resultan de los procedimientos que propu-siste en el inicio de la secuencia y demuestra que son equivalentes.

4 cm 3 cm

3 cm

4 cm

2 cm

3 cm

3 cm

4x 1 3(2x 1 5) 1 3(x 1 5)

(18x 1 30) 2 2x 2 3x

R. M. Si x 5 1, entonces:

4x 1 6(x 1 5) 1 3x x 1 5 x 1 5

2x 1 5x x x

2

La expresión 4x 1 3(2x 1 5) + 3(x 1 5) equivale a 4 1 3(7) 1 3(6) 543.La expresión 4x 1 6(x 1 5) 1 3x equivale a 4 1 6(6) 1 3 5 43.La expresión (18x 1 30) 2 2x – 3x equivale a (18 1 30) 2 2 2 3 548 2 5 543.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, fi guras geométricas y expresiones equivalentes

Lección 2 Expresiones algebraicas equivalentes IV

1. Observa la siguiente gura.

b. Considera las divisiones que se muestran. En cada caso, escribe una expresión algebraica para la suma de las áreas de los tres rectángulos y simplifícalas.

¿Cómo obtuviste el valor de la base del rectángulo rojo en ambos casos?

En la lección anterior obtuviste las medidas de varios rectángulos. ¿Qué dife-rencia hay entre lo que hiciste para obtener las medidas de los lados de aque-llas guras y lo que hiciste con las guras de esta lección?

a. Encuentra la medida de cada lado si el valor de x es igual a 4 y calcula el área de la gura.

2x 1 2 cm

2x cm

x cm

7 cm

2 cm

3 cm

2 cm

2x 1 2 5 10 cm x 5 4 cm 2x 5 8 cm

Área: 48 cm2

Rectángulo amarillo: 2(2x 1 2)Rectángulo azul: 2(2x)Rectángulo rojo: 3(x)

Suma de las áreas: 2(2x 1 2) 1 2(2x) 1 3(x)

Rectángulo amarillo: 7(x)Rectángulo azul: 2(x)

Rectángulo rojo: 2(x + 2)Suma de las áreas: 7x 1 2x 1 2(x 1 2)

R. M. Para el primer caso, restando x a 2x, y para el segundo caso, se resta x a

R. M. En la lección anterior fue necesario sumar expresiones para obtener las medidas, en esta lección se requiere restar expresiones.

2x 1 2.

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Contenido: Representas con diferentes expresiones el área de una fi gura y compruebas su equivalencia mediante operaciones algebraicas.

Expresión 1:

Expresión 2:

Expresión 3:

c. Calcula el área de la gura original a partir del área del rectángulo que se mues-tra a la derecha.

Comprueba, con operaciones algebraicas, que las tres expresiones que encon-traste para la gura son equivalentes.

Aplica lo que aprendiste.

1. Propón tres formas de encontrar el área de la gura. Anota las expresiones alge-braicas correspondientes a cada una y demuestra que las tres son equivalentes.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y revisen sus simpli cacio-nes. Luego comenten si se pueden dividir las guras en otro tipo de cuadriláte-ros y si obtendrían el mismo resultado.

x 1

2 c

m

x 2 1 cm

x cm

3 cm

3 cm

7 cm

7 cmx 2 3 cm

Área del rectángulo grande: 14x 1 14

Área de la gura rosa:3x 1 10

Área de la gura original:14x 1 14 2 3x 2 10

Pauta de respuesta (P. R.). Al simpli car las expresiones, en todos los casos se debe obtener la expresión 6x 1 18.

3x 1 3(x 1 2) 1 4(3)

3(x 2 3) 1 3(10) 1 3(x 2 1)

3x 1 7(3) 1 3(x 2 1)

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.24Propiedades de la igualdad

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 1 ¿Qué signifi ca la igualdad?

1. Lee el enunciado y haz lo que se pide.

Luisa escribió una expresión para describir el siguiente enunciado para su clase de Matemáticas: “A un número lo multiplicas por 5 y al resultado le sumas 10”. Luisa es-cribió la expresión algebraica 5n = 5n 1 10.

a. Revisa la expresión con que Luisa representó el enunciado.b. Utiliza el valor n = 2 en la expresión que escribió Luisa. ¿Se cumple la igualdad?

¿Por qué?

Utiliza los valores n = 5 y n = 0. ¿Se cumple la igualdad? ¿Qué concluyes?

c. ¿Es correcta la expresión algebraica que escribió Luisa? ¿Por qué?

d. Revisa el enunciado que Luisa debía describir. ¿Requiere el uso de una igualdad? ¿Por qué?

e. ¿Cómo le explicarías a Luisa qué signi ca la igualdad entre dos expresiones al-gebraicas?

f. Escribe una expresión algebraica que simbolice correctamente el enunciado.

Revisa tus respuestas con tus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor.

Expresiones equivalentes

1. Reúnete con un compañero, lean la situación y respondan.

Raúl fue a la tienda y compró un paquete de videos que le costó $1 000. Raúl pagó con dos billetes de $500.

a. ¿Hizo Raúl el pago correcto? ¿Por qué?

b. Escriban su argumento como una expresión numérica.

R. M. No, pues del lado izquierdo es 10 y del lado derecho 20, por

tanto no son iguales.

No. Se puede concluir que no importa el valor que se asigne a n, no se cumplirá la igualdad.

R. M. No, porque no se cumple la igualdad para ningún valor de n.

R. M. No, porque solo se pide la expresión y esta no se iguala a nada.

R. M. Sí, porque dos billetes de $500 es igual a $1 000.

$1 000 5 $500 1 $500

5n 1 10

R. M.

R. M. Para que dos expresiones algebraicas sean iguales, se debe cumplir la igualdad para todos los valores que pueda tomar la variable.

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Contenido: Comprendes las propiedades de la igualdad y los usos para resolver ecuaciones.

c. ¿Qué signi ca el signo de igual en la expresión que escribiste? Elijan entre las opciones siguientes. Después justi quen su respuesta.

Indica el resultado de una operación. Indica que los dos lados de la igualdad son equivalentes, es decir, representan

exactamente lo mismo.

d. Otro día Raúl volvió a la tienda y compró dos videojuegos por $500 cada uno. Esta vez pagó con un billete de $1 000.

¿Hizo Raúl el pago correcto? ¿Por qué?

e. Escriban su argumento como una expresión numérica. f. ¿Qué signi ca el signo de igual en la expresión que escribieron?

Comparen las respuestas de los incisos b y e con otra pareja. Después analicen la siguiente información en grupo y corrijan sus respuestas si es necesario.

2. Analiza las expresiones y escribe si son o no equivalentes y por qué.

3n 1 4 y 4 1 3n: 3n 1 4 y 7:

Dos expresiones algebraicas son equivalentes si al sustituir la o las variables por los mismos valores, el resultado en ambas es el mismo.Por ejemplo, (n 1 2)2 y n2 1 4n 1 4 son equivalentes ya que (n 1 2)2 5 (n 1 2) 3 (n 1 2) 5 n2 1 2n 1 2n 1 4 5 n2 1 4n 1 4El signo = se puede usar para representar una relación de equivalencia, es decir, indica que las expresiones numéricas o algebraicas de su izquierda y de su derecha son equivalentes.

Practicar para avanzar

Haz en tu cuaderno lo que se pide.

1. Indica si las expresiones algebraicas son o no son equivalentes y justi ca por qué.

2. Escribe una expresión equivalente a la de cada inciso.

a. 15y 1 35 y 5(3y 17) b. (3 1 8)2 y 32 1 8 c. (4 2 2)2 y (4a 1 2)(4 2 2)

a. 6(4z 2 3) b. (83)(8 22) c. 4n 1 5n 2 12n d. 55

522

Cuando se dice que son equivalentes es porque una misma cantidad se puede expresar de distintas

R. M. Sí, porque por los dos videojuegos son $1 000.

R. M. Que los dos billetes de $500 son equivalentes a uno de $1 000.

R. M. Son equivalentes, porque solo se intercambió el orden.R. M. No son equivalentes, porque el 7 no es igual que 3n 1 4.

$500 1 $500 5 $1 000

formas.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Propiedades y uso de la igualdad

1. Analicen en parejas cada situación y respondan en el cuaderno.

En una tarea sobre ecuaciones, Gerardo no entendía por qué algunos compañeros tenían resultados distintos al suyo. La solución de la ecuación 3x 2 4 5 2 que él obtuvo era x 5 2, pero uno de sus compañeros obtuvo 2 5 x.

En otro problema, Gerardo tenía las condiciones 7x 1 2y 5 22, con y 5 4 y no sabía qué hacer, pero su compañero decía que x 5 2.

En la última actividad preguntaba que, si un perro pesa lo mismo que un gato, y el gato pesa lo mismo que tres ardillas, ¿qué puede concluirse sobre el peso del perro y el de las tres ardillas? Gerardo y su compañero consideraban que el perro pesa lo mismo que las tres ardillas, pero no lo podían justi car.

a. ¿Quién tiene la respuesta correcta en la primera ecuación? ¿Por qué?b. ¿Es correcta la respuesta del compañero de Gerardo para la ecuación

7x 1 2y 522? ¿Por qué? c. ¿Están de acuerdo con la respuesta de Gerardo y su compañero a la última pre-

gunta? ¿Cómo la justi carían?

2. Contesten en parejas. Escriban sus respuestas en el cuaderno.

a. ¿La igualdad x 5 x es válida para cualquier valor de x? ¿La propiedad anterior signi ca que todas las veces que aparece x en una

ecuación se re ere al mismo número o puede cambiar? b. Lean las palabras oso y reconocer empezando por el nal. ¿Dicen lo mismo?

¿Qué sucede en el caso de las expresiones a 5 b y b 5 a? c. Representen con literales el problema del perro de la actividad anterior.

¿Cómo explicarían esta propiedad de la igualdad con palabras?

Revisen sus respuestas con su profesor. Luego lean la siguiente información.

Lección 2

Las propiedades de la igualdad que de nen una relación de equivalencia son:

Re exividad: Un número siempre es igual a sí mismo. Es decir, x = x. Por ejemplo, 3 = 3.Simetría: El orden de los términos en la igualdad no importa. Es decir, si x = y, en-tonces y = x. Por ejemplo, si x = 5, entonces 5 = x.Transitividad: Dos números iguales a un tercer número son iguales entre sí. Esto es, si x = y, y además y = z, entonces x = z. Por ejemplo, si x = 2 y a = 1 1 1, entonces x = 1 1 1.Sustitución: Si x = y entonces x se puede sustituir por y en cualquier expresión. Por ejemplo, si x = 26 y y = 3x 1 2, entonces y = 3(26) 1 2 = 218 1 2 = 216.Suma de equivalencias: Los dos lados de dos ecuaciones pueden sumarse o restar-se respetando la igualdad y la igualdad no se altera. Esto es, si a 1 b = j y c 1 d = k, entonces (a 1 b) 6 (c 1 d) = j 6 k. Por ejemplo, si 3 1 4 = 7 y 25 1 2 = 23, enton-ces (3 1 4) 2 (25 1 2) = 7 2 (23).

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Contenido: Comprendes las propiedades de la igualdad y los usos para resolver ecuaciones.

3. Analiza la solución de la siguiente ecuación. Describe qué se hizo en cada paso de la solución y si cambió o no la ecuación original.

3x 1 4 2 3x 5 7x 1 2 2 3x 4 5 4x 1 2 4 2 2 5 4x 1 2 2 2 2 5 4x

24

5 4x4

12

5 x

Revisa tus respuestas con dos compañeros y coméntenlas con el profesor. Escribe tus conclusiones en tu cuaderno.

Retomen la actividad 1 y comenten, para cada caso, qué propiedades de la igual-dad utilizaron en el proceso de solución de la ecuación.

Aplica lo que aprendiste.

1. Analiza la solución del siguiente sistema de ecuaciones, cópiala en tu cuaderno y describe la propiedad que se usó en cada paso.

Validen en grupo sus respuestas. Expliquen por qué eligieron las propiedades para cada paso y corrijan si es necesario. Luego comenten por qué es importan-te conocer las propiedades de la igualdad para resolver sistemas de ecuaciones.

Otras propiedades de la igualdad que la relacionan con las operaciones son:

1) Si x = y entonces x 6 z = y 6 z. Es decir, si en una igualdad se suma o resta el mis-mo número de los dos lados, la igualdad no se altera.

2) Si x = y, z Þ0, entonces xz = yz. Es decir, si en una igualdad se multiplica el mis-mo número de los dos lados, la igualdad no se altera.

3) Si x = y, z Þ0, entonces xz = y

z . Es decir, si en una igualdad se divide el mismo número (distinto de cero) de los dos lados, la igualdad no se altera.

Las propiedades de la igualdad nos permiten escribir equivalencias de expresiones algebraicas para simpli carlas. Además, en el caso de las ecuaciones y de los siste-mas, nos sirven para encontrar la solución.

i. 2x 1 3y 5 12 22x 1 12y 5 240

iii. 2x 1 3y 5 12 y 5 2

2815

iv. 2x 1 3(22815) 5 12

y 5 22815

v. 2x 2 285 5 12

y 522815

vi. x 5 8810

y 522815

ii. 2x 1 3y 5 12 0x 1 15y 5 228

Se restó 3x en ambos lados de la igualdad.

Se redujeron los términos semejantes.Se restó 2 en ambos lados de la igualdad.Se redujeron los términos semejantes.Se dividió entre 4 en ambos lados de la igualdad.Se redujeron los términos semejantes.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales 25

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 1 Solución algebraica

1. Formen parejas, lean la situación y hagan lo que se pide.

Una compañía tiene dos fábricas que producen dos modelos de calculadora: cal-culadora simple y calculadora cientí ca. La fábrica que se encuentra en León tiene capacidad de producir 60 calculadoras simples y 90 calculadoras cientí cas al día. La planta que se encuentra en Morelia puede producir 75 calculadoras simples y 40 cientí cas. ¿Cuántos días a la semana debe operar cada planta si la compañía debe distribuir 825 calculadoras simples y 730 cientí cas a la semana?

a. Analicen el problema y escriban las ecuaciones lineales que describen la pro-ducción diaria en cada fábrica. Representen con la variable x el número de días que opera la fábrica de León y con la variable y el número de días que opera la fábrica de Morelia.

b. Respondan.

¿Cuál es el sistema de ecuaciones que deben resolver?

¿Qué representa la primera variable? ¿Qué representa la segunda variable?

Revisen con otra pareja sus respuestas. Si tienen dudas, coméntenlas con el pro-fesor y el resto del grupo.

Método de sustitución

1. Retomen la situación anterior y contesten.

a. Utilicen, como se indica, las propiedades de la igualdad en la primera ecuación para expresar la variable y en términos de la variable x. Escriban la ecuación re-sultante en cada paso.

Usen la propiedad de suma o resta para que el término que contiene a la varia-ble x quede del lado del término independiente.

Usen la propiedad de multiplicación o la de división para que la variable y ten-ga coe ciente igual a 1.

Usen la propiedad de sustitución en el término donde aparece la variable y en la segunda ecuación por el nuevo valor.

¿Cuántas incógnitas tiene ahora la ecuación?

60x 1 75y 5 825 y 90x 1 40y 5 730

75y 5 825 2 60x

60x 1 75y 5 825 y 90x 1 40y 5 730x, representa el número de días que

Una

opera la fábrica de León.

y, representa el número de días que opera la fábrica de Morelia.

y 5 2 x75

x 1 40( 2 x75 )=

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Contenido: Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

b. Resuelvan la ecuación anterior para la variable x. c. Usen el valor de x para encontrar el valor de la variable y. d. Ahora que ya conocen los valores de las incógnitas, sustitúyanlas en el sistema

original para veri car que se cumplen las dos igualdades. ¿Cuántos días debe operar cada planta?

e. ¿Obtendrían la misma solución si despejaran primero la variable y? ¿Por qué?

f. Analiza el procedimiento seguido hasta aquí y escribe en tu cuaderno una expli-cación de cómo usaste la propiedad de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Analicen en grupo la siguiente información y, con su profesor, identi quen to-dos los pasos del método en el procedimiento que siguieron para resolver la actividad.

2. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones en su cuaderno. Escriban una situación que se pueda modelar con ellos, veri quen la solución grá camente e interpreten la solución en términos de su problema.

a. 5x 2 5y 5 5 3x 2 3y 5 3

b. 2m 1 4n 5 24 5m 1 7n 5 11

3. Resuelve el siguiente problema utilizando el método de sustitución.

Una comunidad campesina está formada por 380 miembros. La cantidad de miem-bros de sexo femenino supera a los de sexo masculino en 120 personas. ¿Cuántos miembros de la comunidad son de sexo femenino y cuántos son de sexo masculino?

Revisa tus respuestas con el resto del grupo y el profesor.

La forma en que resolviste el sistema de ecuaciones del problema anterior se cono-ce como método de sustitución. Este método se puede resumir como:1. Despeja el valor de una de las variables en una de las ecuaciones.2. Sustituye el valor en la otra ecuación.3. Encuentra el valor de la incógnita.4. Sustituye el valor encontrado en la ecuación en que se despejó la primera

variable.5. Encuentra el valor de la segunda variable.6. Comprueba que la solución satisfaga todas las ecuaciones del sistema.

Si el sistema tiene más de dos ecuaciones, debes sustituir la variable despejada en las ecuaciones restantes y repetir el procedimiento para el sistema que resulta de hacerlo.

x 5 5

y 5 7

La de León 5 y la de Morelia 7.

R. M. Sí, porque la solución es única.

Después de resolver el sistema, se tiene que 250 son de sexo femenino y 130 son de sexo masculino.

f 1 m 5 380f 2 120 5 m)

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 2 Método de igualación

1. Lee con un compañero el problema y hagan lo que se indica.

Para llegar a su escuela, Juan Pablo camina a una velocidad de 5 km/h desde su casa hasta la parada del autobús y, en cuanto llega, lo toma. El autobús viaja a una velocidad de 45 km/h. La distancia de la casa de Juan Pablo a la escuela es de15 km. ¿Cuánto tiempo camina Juan Pablo y cuánto tiempo viaja en autobús si tarda34 de h en llegar a la escuela?

a. Escriban un sistema de ecuaciones que represente la situación del problema. Utilicen las variables c y a.

¿Qué representa la variable c? ¿Qué representa la variable a?

b. Usen las propiedades de la igualdad para expresar la variable a en términos de la variable c en cada ecuación. Para ello, sigan los pasos que se describen a continuación.

Usen la propiedad de suma o resta para que el término que contiene a la va-riable a quede del lado del término independiente. Escribe las ecuaciones que se obtienen.

Usen la propiedad de multiplicación o división, si es necesario, para que la va-riable a tenga coe ciente igual a 1. El sistema equivalente al original es:

Usen la propiedad re exiva de la igualdad para igualar las dos expresiones que están en términos de c.

¿Cuántas incógnitas tiene ahora esta ecuación? c. Resuelvan la ecuación anterior para la variable c.

d. Usen el valor de c para encontrar el valor de la variable a. e. Ahora que ya conocen los valores de las incógnitas, sustitúyanlas en el sistema

original para veri car que se cumplen las dos igualdades.

¿Durante cuánto tiempo camina Juan Pablo en su trayecto a la escuela?

¿Cuánto tiempo viaja en autobús?

Escriban los valores anteriores en minutos.

c 1 a 5 4 y 5c 1 45a 5 15

c 1 a 2 c 5 4 2c ; a 5 4 2c

a 5 4 2c ; a 5 ( 2 5c)

45

a 5 32

32 de hora

32 de hora

4 2c 5 ( 2 5c)

45

c 5

32

32 1 32 5 32 5 4 y 5(32)1 45 (32) 5 32 1 32 5 32 5 15

El tiempo que pasa caminando.El tiempo que pasa en el autobús.

5c 1 45a 2 5c 5 15 2 5c; 45a 5 15 2 5c

Una

Camina 28.125 minutos y viaja en autobús 16.875 minutos.

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Contenido: Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

¿Cuántos kilómetros camina Juan Pablo en su trayecto a la escuela?

¿Cuántos kilómetros recorre en autobús? f. ¿Obtendrían la misma solución si despejaran primero la variable c? ¿Por qué?

g. Analiza el procedimiento seguido hasta aquí y escribe en tu cuaderno una expli-cación de cómo usaste las propiedades de la igualdad para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Lean la siguiente información y, con su profesor, identi quen todos los pasos del método en el procedimiento que siguieron para resolver la actividad.

El método que utilizaste para resolver sistemas de ecuaciones se llama método de igualación. Los pasos de este método son:1. Despeja la misma variable en ambas ecuaciones. 2. Aplica la propiedad re exiva de la igualdad para igualar los valores equivalentes

a la misma variable en ambas ecuaciones. De este modo obtienes una ecuación con una sola incógnita.

3. Resuelve la ecuación.4. Sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones, con base en las propieda-

des de la igualdad.5. Encuentra el valor de la otra variable.6. Veri ca que las dos ecuaciones del sistema se satisfagan al sustituir los valores

encontrados.

Practicar para avanzar

1. Usa el método de sustitución para resolver los siguientes sistemas en tu cuaderno. No olvides veri car la solución.

2. Resuelve el problema con el método de igualación y el de sustitución.

En una tienda se ofrecen dos tipos de mezcla de cacahuates y nueces. Una de ellas contiene 60% de cacahuates y la otra, 35% de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de mezcla se deben usar para obtener 8 kg de una mezcla que tiene 50% de cacahuates?

a. ¿Coinciden las soluciones obtenidas con ambos métodos de resolución? ¿Deberían coincidir? ¿Por qué?

b. ¿Cuál de los dos métodos les parece más adecuado para resolver el problema? ¿Por qué?

a. x 2 y 5 2 2x 1 3y 5 9

b. 6r 1 4s 5 5 3r 1 2s 5 26

2.34 km12.66 km

Sí, porque la solución es única.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 3 Método de reducción

1. Lean en parejas y respondan.

Citlali y Carla fueron a comprar ores. Citlali compró 2 docenas de rosas y 7 de mar-garitas y pagó $84. Carla compró 5 docenas de rosas y 4 de margaritas y pagó $95.25. Su amiga Julia les preguntó cuál es el precio de la docena de rosas y de la docena de margaritas. ¿Qué le responderán?

a. Escriban un sistema de ecuaciones que represente esta situación. Usen las va-riables x y y para representar la situación.

¿Qué representa la variable x? ¿Qué representa la variable y?

Comparen sus respuestas con las de otra pareja y corrijan si es necesario.

2. Reúnete con dos compañeros. Retomen la situación anterior y hagan lo que se solicita.

Para reforzar lo que aprendiste en la secuencia, entra a las páginas: www.esant.mx/fasema2-003, www.esant.mx/fasema2-004, www.esant.mx/fasema2-005.

Herramientas académicas

a. Multipliquen la primera ecuación por 5. ¿Qué propiedad de la igualdad usaron?

b. Multipliquen la segunda ecuación por 22. ¿Qué propiedad de la igualdad usaron?

c. Escriban el sistema de ecuaciones que resulta de estas dos acciones. ¿Qué observan?

d. Si usan esa ecuación en lugar de la segunda. El sistema equivalente al original queda como:

e. ¿Cuántas incógnitas tiene la nueva segunda ecuación? Resuelvan esta ecuación y encuentren el valor de la variable.

Sustituyan ahora este valor en la primera ecuación. Resuelvan la ecuación resultante y encuentren el valor de la otra incógnita.

f. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones?

Veri quen la solución que obtuvieron. ¿Qué signi ca este resultado en términos del problema?

g. Analiza el procedimiento seguido hasta aquí y escribe en tu cuaderno una ex-plicación de cómo usaste las propiedades de la igualdad para resolver un siste-ma de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2x 1 7y 5 84 y 5x 1 4y 5 95.25

Docena de rosas

10x 1 35y 5 420Multiplicación

Una

210x 2 8y= 2190.50

10x 1 35y 5 420 y 27y 5 229.50

y 5 8.5

x 5 12.25, y 5 8.5

R. M. Que compró 12.25 docenas de rosas y 8.5 docenas de margaritas, es decir, compró 147 rosas y 102 margaritas.

2(12.25) 1 7(8.5) 5 24.5 1 59.5 5 84 y 5(12.25) 1 4(8.5) 5 61.25 1 34 5 95.25

2x 1 7(8.5) 5 84

2x 1 59.5 5 84; 2x 5 24.5; x 5 12.25

Multiplicación

10x 1 35y 5 420 y 210x 2 8y 5 2190.50, que los coe cientes de x son opuestos y se eliminarían al sumarlos.

Docena de margaritas

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Contenido: Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas de ecuaciones usando los tres métodos estudiados en la secuencia.

Veri ca tus soluciones y compáralas con las de dos compañeros. Si obtuvieron resultados diferentes analicen por qué.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve en tu cuaderno el sistema con uno de los métodos estudiados .

3v 2 2z 5 9 w 1 z 5 3

a. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? b. Escribe tres posibles soluciones.

2. De los métodos estudiados en esta secuencia, elige el que se te hace más fácil y justi ca en tu cuaderno tu elección.

3. Resuelve el problema en tu cuaderno.

El lunes, Salvador compró 10 botones medianos y 5 chicos para su mamá y pagó $16.50. El martes compró 5 botones medianos y 10 chicos, pues su mamá necesitaba más. Esta vez pagó $14.25. ¿Cuánto costó cada tipo de botón?

Revisa tus respuestas con un compañero y pregunten sus dudas al profesor. Comenten en grupo cuál de los métodos estudiados pre eren.

El método que usaste se conoce como método de reducción o suma y resta. Al te-ner dos ecuaciones con dos variables acomodadas en el mismo orden:1. Coloca una ecuación debajo de la otra y haz coincidir las variables y las constantes.2. Emplea las propiedades de la igualdad para manipular las ecuaciones.3. Multiplica una ecuación por un valor constante para lograr que los coe cientes

de una de las variables sean iguales, pero tengan signos opuestos.4. Suma las ecuaciones utilizando las propiedades de la igualdad, de manera

que resulte una ecuación con una sola incógnita o variable. Al hacer esto, el siste-ma resultante equivaldrá al original.

5. Encuentra el valor de la incógnita en la segunda ecuación.6. Sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales.7. Resuelve la ecuación resultante y determina el valor de la otra incógnita.

Aunque todos los métodos pueden servir para resolver cualquier sistema de ecua-ciones, algunos serán más útiles según el caso.

a. x 5 y 2 1x 5 5 2 y

b. 2x 1 2y 5 6 x 2 y 5 23

c. 2x 1 2y 5 5 5x 2 2y 5 2

Lean la siguiente información e identi quen, en grupo, todos los pasos del método en el procedimiento que siguieron para resolver la actividad.

R. L.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

Diferentes tipos de variación: lineal e inversa

Lección 1

26

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Diferentes relaciones entre cantidades

1. Lee la situación y responde.

Una compañía de distintos tipos de taxis tiene las siguientes tarifas:

a. Encuentra cuánto pagarías por viajes de 10, 20, 30 y 40 km con cada tarifa.

Tipo de taxi 10 km 20 km 30 km 40 km

Taxi libreTaxi de sitio

RadiotaxiTaxi en terminal

b. Analiza las cantidades para cada tipo de taxi. Al aumentar el número de kilóme-tros, ¿aumenta de la misma manera la cantidad por pagar? ¿Cómo lo sabes?

c. Un pasajero tomó un taxi libre de esta compañía en la calle y pagó $164. Al día siguiente tomó un taxi de otra compañía y pagó la misma cantidad, pero viajó menos kilómetros. ¿Cómo se comparan las tarifas de las dos compañías?

d. ¿Qué sucede con la tarifa cuando, dado el mismo pago, la cantidad de kilóme-tros recorridos disminuye?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

Cada 250 m: $1.37No hay banderazo.

BANDERAZO: $29.60Cada 250 m o 45 s: $1.87

BANDERAZO: $15.20Cada 250 m o 45 s: $1.50

Zona 1 (hasta 10 km): $105.00 Zona 2 (Hasta 20 km): $155.00Zona 3 (Hasta 40 km): $297.00

TARIFA DE TAXI LIBRE

TARIFA DE RADIOTAXI

TARIFA DE TAXI DE SITIO

TARIFA DE TAXI EN TERMINAL

$54.80$75.20

$104.40$105.00 $155.00

$179.20

$135.20$164.40$109.60$195.20

$254.00$297.00

$219.20$255.20

$328.80$297.00

Solo en el taxi libre, taxi de sitio y radiotaxi. Porque al hacer la diferencia entre

tarifa del taxi de la otra compañía es mayor, por eso recorrió menos kilómetros.La

Aumenta.

dos costos consecutivos, esta siempre es constante.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

Variación lineal

1. Revisa nuevamente las tarifas de taxi y realiza lo que se te pide.

a. Calcula el aumento en el costo por cada 10 kilómetros de incremento en la lon-gitud del viaje.

Tipo de taxi Aumento en el costo por viaje

De 0 a 10 km

De 10 a 20 km

De 20 a 30 km

De 30 a 40 km

Taxi libre

Taxi de sitio

Radio taxi

Taxi en terminal

b. ¿En qué casos, al tener un aumento de 10 kilómetros en el viaje, el aumento en el costo es el mismo, sin importar cuántos kilómetros se recorren en el viaje?

c. ¿En algún tipo de taxi el costo se relaciona de manera proporcional con el nú-mero de kilómetros recorridos? Si es así, escribe cuál y justifica tu respuesta.

d. Para cada servicio de taxi, escribe una o varias expresiones algebraicas que rela-cionen la distancia recorrida durante el viaje (x) con el costo del viaje (y).

¿En cuáles servicios de taxi el número de kilómetros y el costo del viaje se rela-cionan de manera lineal? Coméntalo con tus compañeros.

Taxi libre:

Radio taxi:

Taxi de sitio:

Taxi en terminal:

Dos variables x y y están relacionadas por una variación lineal si la variable depen-diente y y la variable independiente x cumplen que y 5 mx 1 b, donde m es la cons-tante de la variación lineal y representa la pendiente o inclinación de la recta y b es la ordenada al origen, es decir, el valor de la función cuando x 5 0.

En una relación de variación lineal, cada vez que aumenta la variable independiente en determinada cantidad, el aumento correspondiente en la varia-ble dependiente es siempre el mismo.

$54.80

$60.00

$74.80

$0

$54.80

$60.00

$74.80

$50.00

$54.80

$60.00

$74.80

$142.00

$54.80

$60.00

$74.80

$0

En el caso de que tome un taxi libre, un taxi de sitio o un radiotaxi.

Sí, en taxi libre, taxi de sitio o radiotaxi, ya que al aumentar o disminuir la

y 5 1.37x y 5 1.50x 1 15.20

y 5 1.87x 1 29.60

distancia recorrida el costo aumenta o disminuye en la misma proporción.

y 5

105, si 0, x # 10155, si 10, x # 20297, si 20, x # 40

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Lección 2 Gráfi ca de una variación lineal

1. Traza las grá cas de los diferentes servicios de taxi en los sistemas coordenados.

Compara con tus compañeros las grá cas y analicen en qué casos, la grá ca no pasa por el origen.

La grá ca de una relación de variación lineal es una línea recta que puede o no pasar por el origen.

Practicar para avanzar

1. El salón Carmina ofrece servicio de banquetes. Los precios incluyen la renta del salón y la comida. Un banquete para 80 personas cuesta $8 000.00. Para 150 personas, el costo es de$13 600.00.

a. Dibuja la grá ca del costo con respecto al número de personas.b. Escribe una ecuación que represente la relación entre el número de personas y el costo

del banquete.c. Encuentra el costo para un banquete de 200 y para uno de 300 personas.

450 450

450450

400 400

400400

500 500

500500

350 350

350350

300 300

300300

150 150

150150

250 250

250250

100 100

100100

200 200

200200

50 50

5050

0

0

0

0

20

20

20

5

40

40

40

10

60

60

60

15

80

80

80

20

100

100

100

25

120

120

120

30

140

140

140

35

160

160

160

40

180

180

180

45

200

200

200

50

Ver solucionario.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

Variación inversa

2. Calcula los kilómetros recorridos en los siguientes servicios en diferentes ciuda-des. En todos los casos, supón que es taxi libre y no hay banderazo.

Servicio de taxi libre Costo del viaje($)

Tarifa por cada 250 m ($)

Longitud del viaje (km)

Ciudad de México 200 1.40

Hermosillo 200 1.50

Puebla 200 1.70

Acapulco 200 2.00

a. Al aumentar la tarifa en las diferentes ciudades, ¿qué sucede con la distanciarecorrida cuando el costo del viaje se mantiene en $200?

¿Y cuando la tarifa disminuye?

b. ¿Es una relación de variación lineal la que existe entre la tarifa y los kilómetros reco-rridos? ¿Cómo lo sabes?

c. ¿Es una relación de proporcionalidad inversa la que existe entre la tarifa y los kilómetros recorridos? ¿Cómo lo sabes?

d. Escribe una ecuación que relacione la tarifa (x) con la cantidad de kilómetros re-corridos en el viaje (y).

e. ¿Cómo se compara esta ecuación con las que escribiste relacionando la distan-cia recorrida con el costo del viaje?

f. Dibuja en tu cuaderno la grá ca que relaciona las tarifas de los taxis con los kiló-metros recorridos, dado un costo de $200 por viaje.

Comenta con tus compañeros y con tu profesor cómo puedes distinguir entre re-lación de variación directa y relación de variación inversa.

Dos variables x y y están relacionadas por una variación inversa si la variable depen-diente y y la variable independiente x cumplen y 5 a

x , donde a es constante.En este caso, al aumentar una cantidad, la otra disminuye de la misma manera.

35.71

33.33

29.41

25.00

Disminuye.

La distancia aumenta.

No, porque al aumentar los kilómetros, aumentaría la tarifa; o al disminuir los kilómetros, disminuye la tarifa, pero no ocurre.

ecuaciones.

aumenta, la distancia disminuye, cosa contraria a lo que describen las primeras

Sí, porque al aumentar la tarifa, disminuye la distancia recorrida.

En esta última ecuación, mientras la tarifa

y 5 x

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Aplica lo que aprendiste.

1. En cada situación, indica si las cantidades están en una relación de variación di-recta o inversa, escribe una ecuación que represente la relación y traza la grá ca en tu cuaderno.

a. Llevas 150 galletas a una esta. El número de personas en la esta se denota por n y la cantidad de galletas que cada persona recibirá se denota por m.

b. Trabajas en un restaurante por 20 horas. Representa con x lo que te pagan por hora y con y la cantidad de dinero que recibes.

c. Emprendes un viaje de 250 kilómetros. Representa con t el número de horas que dura el viaje y con v la velocidad del automóvil.

2. Resuelve el problema.

Un estudiante universitario ofrece servicios de tutoría a alumnos de secundaria y preparatoria. Cobra $50 por ir al domicilio del estudiante y $250 por hora de tutoría.

a. ¿Cuáles son las variables en el problema? ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente?

b. ¿Cuánto cobraría por 2 horas seguidas de tutoría? ¿Y por 4 horas?

c. ¿Qué sucede con el costo a medida que las horas aumentan? d. ¿Es una relación de proporcionalidad la que existe entre el costo y el número de

horas? ¿Por qué?

e. ¿Es una relación de variación directa la que existe entre el costo y el número de horas? ¿Por qué?

f. Escribe una ecuación que represente esta relación.

g. Dibuja, en tu cuaderno, la grá ca que representa la relación entre el número de horas de tutoría y el costo.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Luego escribe en tu cuader-no la diferencia entre la variación directa y la inversa. Incluye en tu explicación grá cas y representaciones algebraicas.

Variación inversa, m 5 n

Variación inversa, v 5 t

Variación directa, y 5 x

La variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es el costo.

$550 por dos horas y $1 050 por cuatro horas.

Aumenta.

Sí, porque al aumentar el tiempo, aumenta el costo.

C 5 250t 1 50

Sí, porque describe una relación entre dos variables, de la forma y 5 mx 1 b.

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. Escribe dos expresiones equivalentes que representen las situaciones.

a. El área de la gura.

b. Mauricio corrió 28 km en 5 días. El lunes corrió la mitad de lo que corrió el miér-coles. El jueves corrió 5 km y el viernes, el doble de lo que corrió el martes.

2. Analiza si las expresiones 14y 1 8 y 5(3y 1 4) son equivalentes. Justi ca tu respuesta.

3. El largo de una cancha de tenis mide 12.8 m más que su ancho. Si el perímetro de la cancha es de 70 m, ¿cuáles son sus medidas?

a. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo.

b. Describe en qué pasos del proceso de solución usaste las propiedades de la igualdad.

b

a 1 2

3b

8

No son equivalentes, porque al desarrollar la segunda expresión se obtiene 15y 1 20.

R.M.

R. L.

Sean L y a el largo y el ancho de la cancha respectivamente. L 5 12.8 1 a2L 1 2a 5 70

a 5 11.1 y L 5 23.9

Expresión 1: b2 1 ( a 1 1 b

2 )

Expresión 2: ( a 1 1 b2 )

Expresión 1: 28 5 x2 1 y 1 x 1 5 1 2y , donde x es lo que recorrió el

miércoles y yes lo que recorrió el martes.

Expresión 2: 28 5 x2 1 5 1 3y , donde x es lo que recorrió el miércoles y

y es lo que recorrió el martes.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

Teselados27

Lección 1 Polígonos que cubren el plano

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

Un fabricante de losetas necesita saber con qué polígonos regulares puede cubrir la super cie de un piso sin dejar huecos. Por el momento quiere que los pisos se cu-bran solamente con un polígono y no con combinaciones de dos o más.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a. Marca con una los polígonos regulares que pueden cubrir la super cie del piso sin dejar huecos. Explica cómo lo determinaste y anota tus argumentos.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y argumenta el porqué de tu elección.

2. Analiza las guras y responde.

a. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un triángulo equila-tero?

b. Si se elige un vértice de uno de los triángulos, ¿cuántos triángulos equiláteros pueden compartir ese vértice sin superponerse y sin dejar huecos entre ellos?

c. ¿Cuánto suman los ángulos de los triángulos equiláteros que coinciden en un vértice?

d. ¿Se puede cubrir un plano únicamente con triángulos equiláteros?

e. ¿Cuánto suman los ángulos de los cuadrados que compar-ten un mismo vértice?

f. ¿Es posible cubrir un plano usando únicamente cuadra-dos? Explica por qué.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

360°

180°

Sí, porque al unir cuatro de ellos se formará un ángulo de 360°, sin que estos dejen espacios o se superpongan.

Seis

R. M. Comprobando si el valor de sus ángulos interiores es divisor de 360°.

60°

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Contenido: Analizas las características que deben tener los polígonos para cubrir el plano.

La palabra teselado proviene del latín tessella; así llamaban los romanos a las lose-tas que formaban los pavimentos de sus ciudades. Ahora se llama tesela a cada una de las piezas que forman un mosaico y cubren un plano. Para formar una tesela o mosaico, no puede superponerse una tesela con otra ni puede quedar algún hueco entre ellas.

Un teselado depende de la suma de los ángulos interiores de las guras geométri-cas que coinciden en un punto, ya que la suma de estos debe ser 360º.

Los ángulos interiores de un teselado

1. Observa la gura y haz lo que se solicita.

a. Mide un ángulo interior de uno de los pentágonos regulares que se muestran.

b. ¿Cuántos pentágonos regulares pueden compartir el mismo vértice sin encimarse?

c. ¿Cuánto suman los ángulos de los pentágonos que comparten dicho vértice?

d. ¿Puede agregarse otro pentágono sin que se encimen? Explica por qué.

e. ¿Se puede cubrir una super cie solamente con pentágonos? Argumenta tu res-puesta.

f. Analiza si es posible unir hexágonos regulares para cubrir un piso. Anota tus ob-servaciones y justi ca tu respuesta.

2. En una hoja de reúso, traza y recorta dos cuadrados y tres triángulos equiláteros de 3 cm de lado y construye un teselado con ellos.

a. ¿Es posible hacer que tres triángulos equiláteros y dos cuadrados coincidan en un vértice sin que se superpongan ni queden huecos? Explica.

b. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en el punto central?

Comparte tus conclusiones con tus demás compañeros. Luego lee la siguiente información, revisa tus respuestas y si es necesario corrige.

Tres

No, porque con 3 quedarán huecos, y con 4 se superpondrán.

los ángulos internos de los triángulos mide 60° y cada ángulo interno de los cuadrados mide 90°, así que 60° 1 60° 1 60° 1 90° 1 90° 5 360°.

Sí es posible. Cada uno de los ángulos internos del hexágono mide 120°, por lo

Sí, cada uno de

360°

que al unir tres de ellos se formará un ángulo de 360°, así que no habrá huecos.

324°

No, cada uno de los ángulos internos del pentágono mide 108°, y después de unir 3 en el mismo vértice solo queda espacio para un ángulo de 36°.

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Lección 2 Teselados con dos o más fi guras

1. Lee la información y traza en tu cuaderno los teselados que se solicitan.

a. 4.4.4.4 b. 3.3.3.3.3.3 c. 3.3.6.6 d. 3.6.3.6 e. 3.3.3.3.6

Los teselados 3.3.6.6 y 3.6.3.6 son diferentes. Comenta con tus compañeros a qué se debe y lleguen juntos a una conclusión.

2. Copia varias veces el octágono regular en una hoja y responde.

a. ¿Es posible crear un teselado solamente con octágonos? ¿Por qué?

b. ¿Con qué otra gura se pueden unir varios octágonos para lograr un teselado?

¿Cuánto mide cada ángulo interior de un octágono? ¿Cuántos octágonos puedes juntar en un vértice del teselado? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de esos octágonos? ¿Cuántos grados faltan para completar 360º ? Si el teselado estuviera formado por dos octágonos y un cuadrado, ¿cuál sería

su nombre?

3. Repite el proceso anterior para un dodecágono. Considera que cada ángulo inte-rior de un dodecágono mide 150º y responde.

a. ¿Cuántos dodecágonos puedes juntar en un vértice del te-selado?

b. ¿Cuánto mide el ángulo que falta para completar 360º?

c. ¿Qué gura o guras puedes trazar para completar los po-lígonos que coinciden con un vértice del teselado?

d. ¿Cuál es el nombre del teselado que se formó?

Comparte tus conclusiones con tus demás compañeros.

Para dar nombre a un teselado, es necesario contar los la-dos de cada polígono que rodea un vértice.

Por ejemplo, el teselado formado por hexágonos se llama “6.6.6”.

6

6 6

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

No, cada uno de sus ángulos internos mide 135°, si se

Cuadrados

Triángulos

135°Dos

Dos

270°

60°

90°

8.8.4

12.12.3

unen 2 en el mismo vértice, queda espacio para un ángulo de 90°.

Ver solucionario.

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Los teselados regulares están formados mediante la repetición de polígonos regu-lares iguales.

Los teselados semirregulares se forman con dos o más polígonos regulares y dife-rentes entre sí. El número de lados de los polígonos que rodean un vértice debe ser el mismo en todos los vértices del teselado. En este tipo de teselados, todos los po-lígonos que rodean cualquier vértice siempre son los mismos.

Solamente existen ocho teselados semirregulares.

4. Analiza el teselado y responde.

a. ¿Qué polígonos regulares forman el teselado? b. ¿Cuántos grados miden los ángulos interiores de cada polígono?

c. Observa un vértice del teselado. ¿Cuántos polígonos lo rodean?

d. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en cada vértice ? e. ¿Sucede lo mismo en todos los vértices? Explica.

f. ¿Por qué este teselado es semirregular y no regular? Explica.

Comparte tus conclusiones con tus demás compañeros y juntos identi quen los teselados semirregulares que han visto en la secuencia.

Practicar para avanzar

1. Reúnete con un compañero y analicen los siguientes teselados.

a. Expliquen por qué son teselados semirregulares.b. Comprueben que, sin importar cuál vértice se elija, el nombre de cada teselado siempre es

el mismo.c. Junto con tu compañero de equipo, encuentren el teselado semirregular que falta. Consi-

deren que está formado por cuadrados y triángulos.

Contenido: Analizas las características que deben tener los polígonos para cubrir el plano.

Dodecágono: 150°, hexágono: 120° y cuadrado: 90°

Sí, en todos los vértices coincide un ángulo de cada gura, 150° 1 120° 1 90° 5 360°.

Es semirregular, porque está formado por tres polígonos diferentes.

hexágonos y cuadradosDodecágonos,

Tres

360°

Ver solucionario.

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Otros teselados

1. Analiza los teselados con tus compañeros de equipo y haz lo que se pide.

a. En tu cuaderno, elabora una tabla, como la siguiente, donde indiques: qué poli-gonos forman cada teselado, los polígonos y ángulos que coinciden en sus vér-tices, y la suma de sus ángulos.

Teselado Polígonos que lo forman Polígonos y ángulos en el vértice Suma de

los ángulos

1Triángulos,

cuadrados y hexágonos

Vértices con un triángulo, dos cuadrados y un hexágono. Otros

con tres triángulos y dos cuadrados.360º

b. ¿Los teselados que se analizaron son semirregulares? ¿Por qué?

Comparte tus conclusiones con tus demás compañeros. Luego lean la siguiente información.

Lección 3

Los teselados anteriores son demirregulares, pues se construyen combinando va-rios tipos de polígonos regulares, pero de modo que no todos los vértices tienen el mismo patrón.

Cuando un teselado presenta diferentes patrones en cada dos o más vértices ya no se le puede dar un solo nombre. Existen veinte diferentes teselados con dos pa-trones distintos y sesenta y un teselados con tres patrones distintos. Todavía no se sabe cuántos teselados existen con cuatro patrones.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Teselado 1 Teselado 2 Teselado 3

Teselado 4 Teselado 5

No porque los teselados 1, 2, 3 y 5, hay vértices rodeados por diferentes polígonos. En el teselado 4 aunque todos los vértices están rodeados por los mismos polígonos, hay vértices donde el orden es diferente por lo que no es semirregular.

Ver solucionario.

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2. Traza en tu cuaderno un teselado demirregular, diferente de los que aparecen en la actividad anterior, con dos patrones.

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa los teselados y, para cada uno, responde en tu cuaderno.

a. ¿Cómo son los polígonos que los forman? ¿Todos son iguales? ¿Todos son regulares?

b. ¿Cuántos lados tienen los polígonos que rodean a los vértices de los teselados?c. ¿Obtienes el mismo resultado para cualquier vértice?

Comparte tus respuestas con tus compañeros.

Cambiando la combinación de colores en teselados regulares se obtienen distintos diseños. Si además se combinan diferentes polígonos regulares, se puede encon-trar gran variedad de teselados. Los siguientes ejemplos proporcionan una idea de lo que se puede hacer:

Por otro lado, los teselados irregulares se construyen a partir de polígonos regulares e irregulares. Por ejemplo, el tesela-do de la derecha está formado por rombos, los cuales no son polígonos regulares. Además, el número de polígonos que ro-dean los vértices no siempre es el mismo.

Teselado 1 Teselado 2 Teselado 3 Teselado 4

Contenido: Analizas las características que deben tener los polígonos para cubrir el plano.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

28 Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcciónde polígonos regulares.

Lección 1

Polígonos regulares

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

e. Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales.

Comenten sus respuestas con sus compañeros. ¿En qué se diferencia un polígo-no regular de uno irregular?

Polígonos: regulares e irregulares

1. En parejas, lean las a rmaciones. Anoten en los recuadros V (verdadero) o F (fal-so). Ilustren por qué no se cumplen las a rmaciones que consideran falsas.

a. Para construir un triángulo es su ciente con saber la medida de uno de sus lados.

c. Con la medida de una de las diagonales de un cuadrado se puede construir un único cuadrado.

b. Para construir un cuadrado se necesita saber la medida de uno de sus ángulos.

d. Para construir un hexágono es su ciente conocer la medida de uno de sus lados.

P. R. Para trazar un triángulo se ne-cesitan conocer tres datos: los tres lados, dos lados y el ángulo entre ellos o un lado y sus ángulos adya-centes. El alumno debe ser capaz de trazar dos triángulos diferentes que tengan un mismo lado.

P. R. Todos los cuadrados tienen ángulos de 90°, y lo que los diferen-cia uno de otro es el tamaño de sus lados. El alumno debe dibujar dos cuadrados de diferente tamaño.

P. R. Dos hexágonos pueden te-ner todos sus lados iguales, sin ser congruentes, considere que no se está hablando de un hexágono re-gular. El alumno debe dibujar dos hexágonos diferentes con al menos un lado igual.

P. R. Como se vio en la secuencia 13, para que un polígono sea regu-lar, todos sus lados deben medir lo mismo y todos sus ángulos deben tener la misma magnitud.

F

F

F

V

F

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Contenido: Construyes polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos internos.

Construcciones de polígonos regulares

1. Sigue los pasos para trazar un triángulo equilátero en el recuadro.

i. Abre el compás para trazar una circun-ferencia con radio igual a la medida del segmento y con centro en uno de los ex-tremos del segmento.

ii. Con la misma medida, traza otra circun-ferencia, pero con centro en el otro extre-mo del segmento.

iii. Marca uno de los puntos donde se inter-secan las dos circunferencias y únelo con los extremos del segmento.

Expongan sus construcciones y comenten qué datos se emplearon en la cons-trucción del triángulo equilátero.

2. Realicen la actividad en parejas.

a. Usen regla, compás y transportador y reproduzcan el hexágono verde en el re-cuadro de la derecha.

Reúnanse con otra pareja y comprueben que el hexágono que trazaron sea regu-lar. En grupo comenten qué datos fueron necesarios para reproducirlo.

Practicar para avanzar

1. Construye dos cuadrados. Considera que cada segmento es uno de sus lados.

Comenten en grupo qué pasos siguieron para hacer la construcción.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Lección 2 Reproducción de polígonos

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

Primera construcción

a. ¿Qué polígono se formó? b. ¿Es un polígono regular? ¿Por qué?

c. ¿Cuánto suman los ángulos que marcaron? d. ¿Cuántos triángulos más tuvieron que trazar para completar el polígono?

Segunda construcción

Observen las guras y describan el procedimiento.

i.

ii.

Sigan los pasos en su cuaderno. Observen los ejemplos.

i. Tracen un triángulo equilátero.

ii. Seleccionen un vértice y uno de sus lados.

iii. Tracen otro triángulo equilátero junto al vérti-ce que eligieron. El triángulo debe compartir un lado.

iv. Continúen con el mismo procedimiento has-ta completar un polígono regular. Anoten en cada paso cuánto miden los ángulos internos marcados con un punto.

Hexágono

R. M. Sí, porque todos sus lados tienen

R. M. Se traza una circunferencia y se

R. M. Se dibuja el diámetro, marcando

marca su centro.

los puntos donde este se interseca con la circunferencia.

la misma longitud y sus ángulos poseen la misma medida.

Tres

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Contenido: Construyes polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos internos.

iii.

iv.

v.

a. ¿Por qué se puede asegurar que el hexágono que se forma es regular?

b. ¿Cuánto miden los ángulos internos del polígono? ¿Por qué?

c. ¿Cómo son las circunferencias que se trazan? ¿Por qué deben ser así?

d. Unan con segmentos los vértices del hexágono con el centro. ¿Cómo son los triángulos que se forman? ¿Por qué?

e. Comparen el procedimiento que escribieron con el que se usó para trazar un triángulo equilátero en la lección anterior. ¿Qué tienen en común?

f. Reúnanse con otros dos compañeros y analicen si la explicación que dieron en los incisos a y b son correctas. En caso contrario, compleméntenla.

Comparen en grupo ambos procedimientos y analicen si es posible utilizar-los para trazar un octágono y por qué. Luego, comenten qué tendrían que hacer para trazar un hexágono regular cuyos lados midan 3 cm.

R. M. Se traza otra circunferencia

R. M. Se traza otra circunferencia

R. M. Unir los seis puntos que se

R. M. Porque sus lados miden lo mismo, ya que sus lados son a la vez los lados de un

R. M. Iguales, porque a partir de ellas se forman triángulos equiláteros,

Miden 60º, porque se trata de un hexágono regular.

R. M. Equiláteros, porque sus tres

triángulo equilátero, además de que sus ángulos internos tienen la misma medida.

mismos que a su vez forman el hexágono.

lados tienen la misma medida y cada uno de sus ángulos internos mide 60°.

R. M. Que se emplean circunferencias para poder trazar el polígono.

igual que la primera, pero con

con centro en el otro punto

marcaron sobre la circunferencia

centro en uno de los dos puntos

extremo del diámetro. Se marcan

original.

extremos del diámetro. Se marcan

los puntos donde se intersecan ambas circunferencias.

los puntos donde se intersecan ambas circunferencias.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Lección 3 Con ángulos internos

1. Sigue los pasos para construir un octágono regular en tu cuaderno.

i. Traza un segmento. Abre el compás para trazar una circunferencia con radio igual a la medida del segmento y con centro en uno de los extremos.

iii. Une el punto donde se intersecan el segmento con la circunferencia y el vértice del ángulo para trazar el lado del octágono.

ii. Con un transportador y una regla, traza un segmento de recta con un ángulo de 135°. Marca el punto don-de se intersecan el segmento y la circunferencia.

iv. Repite el procedimiento sobre el punto de intersección para trazar otro lado del octágono. Continúa con el proceso hasta formar el octágono.

a. ¿Por qué el ángulo que se utiliza debe medir 135°?

b. ¿Por qué se puede garantizar que todos los lados son iguales?

2. Responde y traza un pentágono regular.

a. ¿Cuál debe ser la medida de sus ángulos interiores? ¿Por qué?

Pide a un compañero que compruebe que el pentágono que trazaste sea regular. Luego comenten en grupo si tuvieron alguna di cultad al trazarlo.

R. M. Porque es la medida de

R. M. 108°, porque los ángulos interiores de un pentágono deben sumar 540° y al ser regular, todos miden lo mismo.

R. M. Porque los

cada uno de los ángulos internos del octágono.

lados del octágono a su vez son el radio de cada una de las circunferencias.

a 5 108°

d 5 108°

e 5 108°

b 5 108°

g 5 108°

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Contenido: Construyes polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos internos.

Aplica lo que aprendiste.

1. Construye un cuadrado. Considera que el segmento es una de sus diagonales.

a. ¿Qué propiedades tienen las diagonales de un cuadrado?

b. Escribe las instrucciones para reproducir el trazo.

2. Construye un teselado regular, en tu cuaderno, a partir de la siguiente gura. Usa regla, compás y transportador.

a. Explica qué características tienen las -guras geométricas que están alrededor del hexágono regular.

b. ¿Por qué se pueden usar estar tres gu-ras para llenar el espacio alrededor de un punto?

3. Con los procedimientos vistos, traza un dodecágono y un heptágono regulares. Redacta las instrucciones en tu cuaderno para que otro compañero construya los polígonos como tú lo hiciste.

Compara tus respuestas y tus trazos con los de tus compañeros. Luego comenten qué polígonos les costó trabajo trazar y analicen a qué se debió esa di cultad.

R. M. Se cortan en

R. M. Son

R. M. Porque los ángulos de las guras suman 360° alrededor del punto.

polígonos regulares.

R. M. En cada uno de los puntos

un punto medio, además de que son

extremos de la diagonal se miden ángulos de 45° y se trazan los segmentos para formar el cuadrado.

iguales y perpendiculares entre sí.

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Secuencia didáctica

Perímetro de polígonosAprendizaje esperado: Calcularás el perímetro y el área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.29

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Polígonos regulares

1. Anota en las tablas el nombre, el número de lados y la medida de cada lado de cada polígono regular. Considera que el perímetro de cada polígono es de 12 cm.

Figura

Nombre del polígono

Número de lados

Medidade cada

lado

Figura

Nombre del polígono

Número de lados

Medidade cada

lado

a. ¿Qué características se tienen que cumplir para que un polígono sea regular?

b. ¿Cómo calculas el perímetro de cada uno de estos polígonos si conoces la medi-da de uno de sus lados?

Comenta tus respuestas con tus compañeros.

Lección 1

Pentágono

Hexágono

6

2 cm

Que todos sus lados y ángulos interiores sean iguales entre sí.

Multiplicando dicha medida por el número de ladosdel polígono.

Heptágono

Octágono

8

1.5 cm

Eneágono

Decágono

10

1.2 cm

Dodecágono

12

1 cm

5

2.4 cm 1.7143 cm 1.3333 cm

7 9

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Contenido: Calculas el perímetro de diversos polígonos y usas expresiones algebraicas para representarlo.

El perímetro de polígonos regulares

1. Observa las guras formadas por polígonos regulares y responde.

Figura 1

a. ¿Cómo se llaman los polígonos que for-man la gura?

b. Si los lados del primer polígono miden 7 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la gura?

Figura 2

La gura verde está formada por un pentágo-no que comparte un lado con un heptágono.

a. Si el lado de ambos polígonos mide 8 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la gura?

Figura 3

En la gura, los vértices del cuadrado coinci-den con los puntos medios de cuatro de los lados del octágono.

a. Si cada lado del octágono mide 6 cm y cada lado del cuadrado mide 10.24 cm, ¿cuánto mide la suma de los períme-tros de los trapecios que se forman?

Practicar para avanzar

1. Observa la gura y contesta. La circunferencia tiene un radio de 4 cm y los lados del

hexágono regular miden 3 cm.

Comenta con tus compañeros por qué y en qué casos es útil calcular el perímetro de una gura poligonal. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene calcular el perímetro de un polígono regular?

a. ¿Cuánto mide el perímetro de la región azul?

Octágono, pentágono, hexágono y eneágono

154 cm

80 cm.

88.9 6 cm

43.1328 cm

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Perímetros de polígonos con expresiones algebraicas

1. Observa las guras, lee sus descripciones y contesta.

Figura 1

La gura azul está formada por 6 hexágonos regulares que comparten la mitad de dos de sus lados con otro hexágo-no. Si cada lado de los hexágonos mide b cm…

a. ¿Cuánto mide el perímetro exterior de la gura? b. ¿Cuánto mide el perímetro interior de la gura?

c. ¿Cuál es la suma de los perímetros interno y externo? d. ¿Cuál sería la suma de los perímetros de los seis hexágonos si no estuvieran unidos

entre sí? e. Explica por qué la diferencia entre estos dos perímetros totales es 6b, si solamente se

observan 6 lados compartidos de 12 b cada uno.

Figura 2

La gura verde está formada por 4 pentágonos regulares que comparten la mitad de uno de sus lados con el pentá-gono regular del centro.

a. Si los lados de los pentágonos miden r cm, ¿cuánto mide el perímetro de la gura?

Figura 3

La gura rosada está formada por 8 octágonos regulares que comparten la mitad de dos de sus lados con otro.Si los lados de los octágonos miden f cm…

a. ¿Cuánto mide el perímetro exterior de la gura? b. ¿Cuánto mide el perímetro interior de la gura? c. ¿Cuál es la suma de ambos perímetros

d. ¿Cuál sería la suma de los perímetros de los ocho octágonos si no estuvieran unidos entre sí?

e. Explica por qué la diferencia entre estos dos perímetros totales es 8f, si solamente se observan 8 lados compartidos de 1

2 f cada uno.

Lección 2

Aunque solamente se observan se observan 8 lados compartidos, en realidad cada uno de estos lados pertenece

a dos octágonos, es decir, hay 16 lados compartidos en total, lo que equivale a 8f.

6 lados compartidos, cada uno de estos lados pertenece a dos triángulos, es decir, hay 12 lados compartidos en total, lo que equivale a 6b.

Aunque solamente se observan

21b cm

9b cm

30b cm

21r cm

36f cm20f cm

56f cm

64f cm

36b cm

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Contenido: Calculas el perímetro de diversos polígonos y usas expresiones algebraicas para representarlo.

Figura 4

El perímetro de la gura que se muestra mide 132 cm y el perímetro de cada uno de los hexágonos regulares amari-llos es de 60 cm.

a. ¿Cuánto mide el perímetro de cada uno de los triángu-los isósceles blancos?

Comparte tus respuestas con tus compañeros y comenten si es posible asignar variables a los lados de los polígonos para resolver problemas.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee el problema y establece un sistema de ecuaciones. Luego resuelve el sistema, en el recuadro, para obtener la respuesta.

La suma de los perímetros de los dos decágonos regulares y de los dos octágonos re-gulares que se muestran es igual a 140 cm.

Si la suma de los perímetros de un decágono y tres octágonos es igual a 150 cm, ¿cuánto mide cada lado de los decágonos y cuánto mide cada lado de los octágonos?

Comenten en grupo cómo establecieron el sistema de ecuaciones, cuáles fueron las incógnitas y cómo se relacionan estas para formar cada ecuación.

R. M. Tomando la variable x como el perímetro del decágono y la variable y como el perímetro del octágono, se establece el sistema:

Dividiendo entre 22 la primera ecuación obtenemos:

Entonces y 5 40, sustituyendo en la segunda ecuación se tiene que x 5 30. Por lo tanto, los lados del decágono miden 3 cm y los del octágono, 5 cm.

32 cm

2x 1 2y 5140 x 1 3y 5150

2x 2 y 5 270 x 1 3y 5 150 2y 5 80

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Secuencia didáctica

30 Aprendizaje esperado: Deducirás y usarás la relación entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

Más de polígonos regulares

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Polígonos regulares inscritos en una circunferencia

1. Reúnete con un compañero, lean la información y respondan.

Es común que asociemos formas de la Naturaleza con representaciones geométri-cas. Además, las formas geométricas permiten hacer magní cas obras de arte. La geometría también está presente en el diseño de aparatos. Un ejemplo de esto úl-timo son las aspas de un ventilador, que se asemejan a una or de cuatro pétalos.

Comenten sus respuestas con su profesor.

Rosa de cuatro pétalos

1. Sigue las instrucciones para trazar un cuadrilátero en una hoja de papel. Identi ca con una letra los elementos geométricos que utilices.

i. Dibuja un segmento y úsalo como radio para trazar una circunferencia con el compás.

ii. Traza el diámetro de la circunferencia que contenga el radio que trazaste.iii. Con base en el diámetro que trazaste, dibuja otro que sea perpendicular al

primero.iv. Marca los puntos donde se intersecan los diámetros con la circunferencia, y

únelos para trazar el cuadrilátero.

C

A

D

B

OO

Lección 1

También puedes entrar a la página de GeoGebra para hacer la actividad.

Herramientas académicas

a. ¿Qué características comparten estos cuatro pétalos?

b. ¿Qué polígonos regulares inscritos en la cir-cunferencia podrían trazar?

c. ¿Cuántas circunferencias se usaron para ha-cer esta construcción? Justi quen su res-puesta.

a. ¿Qué tipo de cuadrilátero es? ¿Cómo lo sabes? Justi ca tus respuestas con argumentos geométricos.

R. M. Son semejantes.

R. M. Un triángulo,

. R. M. Cinco, la que se observa con

un cuadrado, un hexágono y un dodecágono.

la línea punteada y cuatro para los pétalos.

P. R. El alumno debe demostrar que el cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales, también tendría que

demostrar que todos los ángulos miden 90°, sin embargo, eso se

solicita más adelante.

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Contenido: Construyes polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos centrales.

2. Observa la imagen y sigue las instrucciones para construir la rosa de los cuatro pétalos sobre el trazo que hiciste. Considera que los elementos geométricos en tu trazo pueden estar identi cados con otra letra.

En la imagen se denotan al centro de la cir-cunferencia con la letra O y a los vértices del cuadrilátero con las letras A, B, C y D.

i. Traza una circunferencia con centro en el punto A y cuyo radio sea el segmento que une a los puntos A y O (AO).

ii. Repite el procedimiento sobre los demás vértices del cuadrilátero.

iii. Remarca la rosa de los cuatro pétalos.

3. Lee la situación y haz lo que se pide.

Analiza la construcción del cuadrilátero y comenta con tus compañeros qué da-tos conocías para realizar el trazo y si podrías aplicar el procedimiento para tra-zar algún otro polígono regular.

C

A

OD B

Practicar para avanzar

1. Gina, una alumna de segundo de secundaria, a rma que el cuadrilátero que trazaron es un rombo, porque tiene sus cuatro lados iguales. Alberto a rma que es un cuadrado.

a. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? Analiza la gura y justi ca tu respuesta con argumentos geométricos.

C

A

OD B

Una estudiante de segundo de secundaria dice que, si se marcan los puntos donde los pétalos intersecan a la circun-ferencia, entonces se puede trazar un triángulo equilátero, un hexágono regular, un octá-gono regular y un dodecágono regular.

a. Utiliza diferentes colores para comprobar que se pueden trazar los polígonos que se mencionan. Usa un color diferente para cada polígono. Realiza tus trazos en la gura de la derecha.

P. R. El alumno debe demostrar con argumentos matemáticos que el cuadrilátero trazado tiene todos sus lados iguales y que sus ángulos miden 90°. No

basta con probar que los cuatro lados son iguales, ya que un rombo también tiene sus lados iguales.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Con más lados

1. Analiza la situación y haz lo que se pide.

Carlos pudo trazar un octágono usando la rosa de los cuatro pétalos. Para eso unió con un segmento las puntas de cada pétalo con el centro de la circunferencia. Lue-go marcó donde esos segmentos se intersecaban con la circunferencia y unió los puntos.

a. Utiliza como ejemplo lo que hizo Carlos en la gura de la izquierda para trazar un nuevo polígono en la gura de la derecha.

b. ¿Qué polígono se formó en la gura de la derecha? c. ¿Qué relación hay entre el número de lados de los polígonos que se formaron

con los pétalos y el número de lados de la gura original? d. Si el polígono original tuviera 8 lados, ¿cuántos tendría el polígono que se for-

maría? e. Traza en tu cuaderno un dodecágono regular. Utiliza lo aprendido en la secuen-

cia 28 y en esta lección.

Muestra tus trazos a tus compañeros y comenta tus respuestas. Analicen si es posible hacer lo mismo con otros polígonos.

Lección 2

A

O

B

C E

D

A

C

OD B

No todos los polígonos regulares se pueden construir con regla y compás. Sin em-bargo, cuando es posible construir un polígono regular de n lados, entonces tam-bién se puede construir uno de 2n, 4n, 8n... número de lados.

Para ello, se inscribe el polígono regular en una circunferencia y se trazan los péta-los y los segmentos como lo han hecho en la actividad anterior. A estos segmentos se les conoce como mediatrices.

Un decágono

16 lados

Son el doble de lados.

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Contenido: Construyes polígonos regulares mediante el uso de sus ángulos centrales.

Aplica lo que aprendiste.

1. Reúnete con un compañero, lean la información y hagan lo que se pide.

Un polígono estrellado es un polígono con forma de estrella que se construye al unir, de forma continua, los vértices no consecutivos de un polígono regular.

a. Observen el polígono estrellado de la izquierda. Tracen uno diferente a partir del eneágono regular de la derecha.

Ambos polígonos estrellados son eneágonos estrellados regulares. Para diferenciar-los, se nombran con una fracción. El numerador indica el número de vértices del po-lígono; y el denominador, el tamaño de cada salto. Para formar un polígono regular estrellado, el denominador debe ser menor que la mitad del numerador y la fracción debe ser irreducible.

¿Cómo se llaman los eneágonos estrellados regulares?

¿Cuántos eneágonos estrellados regulares se pueden trazar? ¿Por qué?

2. En una hoja de papel, construye un polígono regular estrellado de 16 lados. Escri-be en tu cuaderno los pasos que seguiste.

a. Intercambia tus instrucciones con un compañero y sigan los pasos que indican. b. Comprueben que obtuvieron polígonos regulares.c. Si no es posible, señalen las instrucciones que no sean claras y sugieran cómo

corregirlas.

3. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

A partir de lo aprendido en esta secuencia y las anteriores sobre polígonos regula-res, pídele a tu compañero que trace en su cuaderno un polígono regular. Indícale la longitud de sus lados, el radio de la circunferencia o a partir de qué polígono lo debe trazar. Anoten el procedimiento que utilizaron, intercámbienlo y revísenlo.

Comenten con sus compañeros qué di cultades tuvieron al trazar los polígonos y cómo las solucionaron.

Solamente dos, pues el tamaño de cada salto debe ser menor que 4.5 (1, 2, 3 o 4); y al utilizar el 1 y el 3 como denominador, la fracción no es irreductible.

2 y 4

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Resuelvo con tecnología

6. Tracen otras seis circunferencias de radio 1 utilizando como centro el punto donde se in-terseca la circunferencia anterior con la semi-rrecta, como se muestra en la imagen 2.

Cómo trazar un polígono inscrito en una circunferenciaAl trazar polígonos regulares de n lados a partir de sus ángulos internos o ángulos centrales, a veces es necesario aproximar el valor del ángulo. Esto induce un error en la construcción del polígono.

Una alternativa es el siguiente procedimiento, en el cual no se requiere aproximar valores.

En parejas sigan las instrucciones para trazar un polígono de siete lados.

1. Entren a la página de GeoGebra y den clic en “GeoGebra Geometría”.

2. Usando la herramienta básica Circunferencia, tracen una circunferencia de cualquier tamaño. Al trazar la circunferencia aparecerán dos puntos, el centro A y el punto B sobre la circunferencia.

3. Con la herramienta Recta, unan ambos puntos para trazar el eje. Luego, con la herramienta Pun-to, marquen el lugar donde se intersecan el eje y la circunferencia. Oculten el punto A con la herra-mienta de edición Mostrar/ocultar objeto.

4. Con la herramienta Mediatriz den clic a los puntos B y C. Ubiquen un punto D sobre la me-diatriz y luego ocúltenla como hicieron con el punto A.

5. Tracen una semirrecta a partir del punto C que atraviese la circunferencia. Con la herra-mienta Circunferencia (centro, radio), dibu-jen una circunferencia con el centro en C y radio 1. Marquen el punto donde se interse-can la circunferencia que acaban de trazar y la semirrecta. Imagen 1

Imagen 2

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7. Unan el último punto que hallaron con el pun-to B utilizando la herramienta Recta. Luego tracen rectas paralelas a la anterior que pasen por los puntos sobre la semirrecta, como en la imagen 3.

8. Marquen los puntos donde se intersecan las paralelas con el eje. Ahora oculten las siete cir-cunferencias de radio 1, las rectas paralelas, la semirrecta y los puntos que están sobre esta.

9. Unan con rectas el punto D con los puntos marcados sobre el eje de manera alternada, iniciando con el punto C y ubiquen los pun-tos donde las rectas se intersecan con la cir-cunferencia, como se muestra en la imagen 4. Observen que los puntos marcados están del lado contrario al eje con respecto al punto D.

Utilicen el método descrito para trazar polígonos de 8, 9 y 10 lados. Comenten con sus compañeros qué diferencia hay entre trazar un polígono con un número par de lados y trazar uno con un núme-ro impar de lados. Concluyan con ayuda del profesor.

Imagen 3

Imagen 4

Imagen 5

Imagen 6

10. Oculten las rectas y tracen rectas perpendi-culares al eje que pasen por los puntos que acaban de ubicar. Nuevamente marquen el lugar donde se intersecan las rectas con la circunferencia.

11. Utilicen los puntos que están sobre la circun-ferencia, excepto el B, para trazar el heptágo-no, y oculten los elementos que ya no sean necesarios.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Recolectarás, registrarás y leerás datos en histogramas, polígonos de frecuenciay gráfi cas de línea.

Histogramas y polígonosde frecuencia31

Eje: Análisis de datosTema: Estadística

¿Qué información da la gráfi ca?

1. Observa la grá ca y contesta.

La grá ca muestra la altura en centímetros de los integrantes de un equipo de basquetbol.

a. ¿Cuántos jugadores tiene el equipo?

b. ¿En qué valores de altura hay más jugadores?

c. ¿Cuál es la altura máxima y cuál la mínima?

Histogramas y tablas de frecuencias

1. En parejas, comparen la siguiente grá ca con la anterior y contesten.

Lección 1

0

1

17

3

17

6

17

9

18

2

18

3

18

4

18

6

18

8

18

9

19

1

19

2

19

3

19

4

19

6

19

8

2

3

5

4

a. ¿Qué diferencia hay entre las dos grá cas?

b. ¿Qué signi ca la leyenda “De 175 cm a 180 cm” que está en la base de las barras de la grá ca?

c. A esta agrupación de datos se le conoce como intervalo. Analicen los valores de los intervalos. ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

d. ¿Es la misma diferencia en todos los intervalos? ¿Por qué consideran que es así?

Núm

ero

de ju

gado

res

Altura (cm)

13

4

8

5

2

De

17

0a

17

5

De

17

5a

18

0

De

18

0a

18

5

De

18

5a

19

0

De

19

0a

19

5

De

19

5a

20

0

5

10

Núm

ero

de ju

gado

res

Altura (cm)

0

22

198 cm y 173 cm, respectivamente.

En 186 cm

estaturas se encuentran desglosadas; en la segunda, se

dividen en grupos.

5

En la primera, las

Que ese grupo abarca a los jugadores que miden entre 175 cm y 180 cm.

R. M. Sí, para que el rango de valores se distribuya de manera uniforme.

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Contenido: Lees y construyes histogramas y polígonos de frecuencia.

2. Analicen, con base en la siguiente información, si las grá cas de la página anterior son histogramas de frecuencias. Compartan sus conclusiones con el profesor.

Un histograma de frecuencias representa la relación de dos variables, la frecuencia en el eje y y una variable cuantitativa continua, dividida en clases o intervalos, en el eje x. Se dice que es continua porque toma valores que no están separados unos de otros.

Los intervalos representan una parte de la recta numérica y se usan para agrupar datos continuos, por ejemplo, altura, masa y tiempo, entre otros. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o mixtos.

Los intervalos abiertos se representan con paréntesis. Por ejemplo, (120, 124) es un intervalo abierto. Los paréntesis indican que dichos números, llamados límite infe-rior (120) y límite superior (124) no pertenecen al intervalo.

En los intervalos cerrados se usan corchetes. Por ejemplo, [25, 40] es un intervalo cerrado y, en este, los límites inferior y superior están incluidos en el intervalo.

Un intervalo es mixto cuando es abierto y cerrado. Por ejemplo, (38, 48], donde 38 no pertenece al intervalo, pero 48 sí.

A la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable continua se le llama rango (R). A la diferencia entre el límite superior y el inferior de cada intervalo se le llama amplitud (h).

3. Reúnete con un compañero y a partir de la información que proporciona la grá ca de la página anterior, completen la tabla de frecuencias para datos agrupados.

Altura en intervalos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

TOTAL 100%

¿Cuántas las tendría la tabla si la elaboran a partir de la primera grá ca?

Para un estudio estadístico con muchos datos, ¿cuál de las dos grá cas con-viene utilizar?

Comenten sus respuestas con sus compañeros y expliquen su elección.

[170, 175) 4.35%1

[175, 180) 13.03%3

[180, 185) 17.40%4

[185, 190) 34.80%8[190, 195) 21.72%5[195, 200) 8.70%2

23

15

La segunda, pues al ser una gran cantidad de datos sería muy complicado utilizar la primera grá ca.

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Eje: Análisis de datosTema: Estadística

Construcción de histogramas y polígonos de frecuencia

1. Realicen la actividad en equipos de 5. Consigan una cinta métrica y una báscula o soliciten a sus compañeros su altura en cm y su masa en kg. Completen la tabla con la información de cada integrante del equipo.

Nombre Sexo Masa (kg) Altura (cm) Talla de calzado

¿Cuáles datos toman valores numéricos? ¿Qué tipo de números son? ¿Qué datos son cualidades?

Comenten sus respuestas con sus compañeros.

2. En tu cuaderno, haz una tabla de frecuencias con los datos de la masa de tus com-pañeros. Sigue los pasos para construirla.

i. Ordena de menor a mayor los datos.ii. Ajusta los datos a un decimal. Redondea hacia abajo el dato mínimo y redon-

dea hacia arriba el máximo. Luego calcula el rango. iii. Calcula la cantidad de intervalos en que se dividirán los datos. Para esto, en-

cuentra un número natural k tal que k2 sea el número que más se acerque y que sea mayor o igual al número de datos.

iv. Calcula la amplitud de los intervalos dividiendo el rango entre el número k que obtuviste.

v. Lista los intervalos para la masa. Para determinar los intervalos, inicia en cada caso con el menor valor y suma a dicho valor el valor de la amplitud.

Por ejemplo: si en una lista de 40 datos, la altura mínima es de 0.90 m y la máxi-ma es de 1.57 m, se ajustan los datos a 0.9 m y 1.6 m. Al ser 40 datos se obtiene que k 5 7. Así se tiene que la amplitud es:

h 5 Rk 5

1.6 2 0.9 7 5

0.77 5 0.1

Por tanto, los intervalos son [0.90, 1.00), [1.00, 1.10), [1.10, 1.20), [1.20, 1.30), [1.30, 1.40), [1.40, 1.50), [1.50, 1.60].

vi. Calcula el punto medio (xi) de cada intervalo y completa la tabla de frecuencias.

Lección 2

R. L.

R. L.

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Contenido: Lees y construyes histogramas y polígonos de frecuencia.

a. Con los datos que obtuviste, construye una tabla de frecuencias en tu cua-derno para la masa de los estudiantes del salón. Toma como referencia la siguiente.

Masa en intervalos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Marca de clase

3. Reúnete con un compañero y tracen un histograma con los datos recopilados.

a. Marquen en el eje x la escala para representar el ancho de los intervalos y en el eje y, la frecuencia.

b. Marquen los puntos medios de cada intervalo en la parte superior de los rectán-gulos o barras que forman el histograma.

c. Unan los puntos medios. Para cerrar la línea “poligonal”. unan el punto medio de cada intervalo con el siguiente. De esta manera obtienen un polígono de frecuencias.

Comparen el histograma y el polígono de frecuencias que construyeron con los de sus compañeros de grupo. Si encuentran diferencias, analicen a qué se de-ben. Corrijan si lo consideran necesario.

Un polígono de frecuencias es un grá co formado por una línea poligonal que une las marcas de clase representadas por los puntos medios de los intervalos que son la base de las barras del histograma de frecuencias.

Núm

ero

de e

stud

iant

es

Masa (gramos)0

Para calcular el punto medio o marcas de clase de un intervalo (a, b] se calcula el promedio de los límites inferior y superior del intervalo.

xi 5 a 1 b

2

Por ejemplo, para calcular el punto medio del intervalo [0.90, 1.00), se calcula el promedio:

xi 5 0.90 1 1.00

2 5 1.90

2 5 0.95

R. L.

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Eje: Análisis de datosTema: Estadística

a. Comparen los datos de los años 2006 y 2012. ¿Qué observan?

b. En ambos años, ¿qué edad tiene la mayoría de las mujeres embarazadas con anemia?

c. Si analizan el comportamiento de las mujeres que no están embarazadas en am-bos años, ¿qué pueden concluir?

d. Calculen las marcas de clase y tracen los polígonos de frecuencia en su cuaderno.

Aplica lo que aprendiste.

1. Analiza la grá ca y marca con una la información se obtiene de ella.

Comparación de datos

1. En equipos, analicen la información y respondan.

La anemia es la disminución del número y del tamaño de los glóbulos rojos. En las mujeres embarazadas puede afectar a la madre en el proceso de gestación, parto y lactancia, así como el desarrollo del bebé.

Lección 3

0

5

12 a 19 20 a 29 30 a 39 40 a 49

10

15

25

20 17.8

10.9

18.6 18.514.7

24.9 24.9

19.3

0

5

12 a 19 20 a 29 30 a 39 40 a 49

10

15

25

20 19.6

7.7

17

10.2

1916.2

Porcentaje de mujeres con anemia en 2006(por grupo de edad y condición de embarazo)

Porcentaje de mujeres con anemia en 2012(por grupo de edad y condición de embarazo)

Rango de edad (años) Rango de edad (años)

Porc

enta

je

Porc

enta

je

13.3 12.8

Fuente: cedoc.inmujeres.gob.mx/documentos_download/101256.pdf (consulta: 26 de febrero de 2018).

Mujeres embarazadas Mujeres no embarazadas

Con un hijoCon dos hijosCon más de dos hijos

0

20

15 a 19 20 a 24 25 a 29

40

60

100

8085.2

13.41.4

10

59.2

30.8 25.2

Distribución porcentual de las mujeres de 15 a 29 años con al menos un hijo nacido vivo

Rango de edad (años)

Porc

enta

je

36.738.1

a. El mayor porcentaje de mujeres tiene entre 15 y 19 años y tiene un solo hijo.

b. A medida que las mujeres tienen ma-yor edad, tienen más hijos.

c. El menor porcentaje de madres con tres o más hijos se encuentra entre 15 y 19 años.

( )

( )

( )

Que, en general, disminuyó el porcentaje de mujeres con anemia.

En 2006, las mujeres de 30 a 39 y de 40 a 49; y en 2012, de 12 a 19.

Que el porcentaje disminuyó en todos los rangos de edad.

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Contenido: Lees y construyes histogramas y polígonos de frecuencia.

2. Analiza la información y responde. Argumenta tus respuestas.

La Organización Mundial de la Salud (OMS) de ne la obesidad y el sobrepeso como una acumulación anormal de grasa corporal. Estos padecimientos se clasi can en función del índice de masa corporal (IMC), el cual se calcula a partir de la masa y la estatura de la persona. México ocupa el primer lugar mundial en obesidad y sobre-peso infantiles, y el segundo en adultos, después de Estados Unidos de América. La grá ca muestra los datos de un estudio realizado a adolescentes mujeres de entre 11 y 19 años, en una escuela, respecto de la obesidad y el sobrepeso.

a. ¿Qué datos se presentan en el eje x? ¿Y en el eje y?

b. ¿Cuál es la masa mínima? ¿Y la masa máxima?

c. ¿En qué intervalo de masa se encuentra la mayoría de las adolescentes?

d. ¿Qué masa presenta la mayor cantidad de estudiantes? e. Si la masa normal de la población de esta edad está entre 50 y 60 kg, el sobrepe-

so entre 60 y 75 kg, y la obesidad entre 75 y 85 kg, ¿cuántas adolescentes tienen masa normal, cuántas tienen sobrepeso y cuántas tienen obesidad?

3. Contesta las siguientes preguntas.

a. ¿Qué tipo de información proporciona el histograma y cuál, el polígono de fre-cuencias?

b. ¿Qué diferencias hay entre los histogramas y las grá cas de barra?

Escriban un resumen en el que expliquen cuándo conviene utilizar un histogra-ma y cuándo una grá ca de barras.

Frec

uenc

ia

Masa (kg)

0

2

30 40 50 60 70 80 90 100 110

46

101214161820

8

Masa en adolescentes mujeres de 11 a 19 años

En el eje x se representa la

3. a. El histo-grama pro-porciona la frecuencia de cada unode los interva-los, mientras que el polígo-no de frecuen-cias aporta la frecuencia y la marca de clase.

En las grá cas de barras se manejan valores individuales en el eje x, mientras que en los histogramas se utilizan intervalos.

47.5 kgEntre 45 y 50 kg

26 adolescentes tienen masa normal, 24 adolescentes tienen sobrepeso y 14 adolescentes tienen obesidad.

32.5 kg y 107.5 kg (ambos

valores corresponden a las marcas de clase del intervalo mínimo y máximo).

masa (en intervalos de 5), mientras que en el eje y, la cantidad de adolescentes.

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Resuelvo con tecnología

Histograma con una hoja de cálculoLean la situación en parejas y sigan las instrucciones para construir un histograma que represente la información obtenida.

Se encuestó a 24 adolescentes para conocer cuánto tiempo duermen cada noche entre semana. La ta-bla muestra el promedio de horas que cada adolescente durmió entre semana.

Número de horas promedio que durmió cada adolescente

7.50 8.25 9.00 7.50 8.00 9.50 8.25 7.75 8.25 7.00 8.75 9.00

9.00 9.25 8.00 7.75 8.00 9.50 7.50 8.50 8.75 7.75 9.00 8.00

1. Anoten los datos en la columna A de una hoja de cál-culo. En la columna C, anoten los valores superiores que tendrá cada intervalo, en este caso 10, 9.5, 9, 8.5, 8, 7.5 y 7.

2. Den clic en la pestaña Datos y revisen que aparezca la opción Análisis de datos, como se observa en la ima-gen 2.

Si no aparece, den clic en el menú Archivo, elijan Op-ciones y den clic en Complementos. En el cuadro Ad-ministrar seleccionen Complementos de Excel y den clic en Ir. En el cuadro Complementos activen la op-ción Análisis de datos y den clic en Aceptar.

3. Den clic en Análisis de datos y elijan la opción Histograma. En la casilla Rango de entrada, ingresen el rango “$A$1:$A$24”, que corres-ponde a los datos de la encuesta; en Rango de clases ingresen los valores superiores de los intervalos con el rango “$C$1:$C$7”, y en Ran-go de salida ingresen “$E$1”, como se muestra en la imagen 3. Activen la opción Crear grá co y den clic en Aceptar.

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

182

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6. Para eliminar el espacio que queda entre las columnas, coloquen el ratón sobre una barra, den clic con el botón derecho, elijan Dar for-mato a la serie de datos, y anoten 5% en el an-cho del intervalo.

4. Aparecerán la tabla y el histograma correspondiente. Revisen que los datos ingresados coincidan con los que muestran la tabla y el histograma.

5. Para hacer más clara la información, pueden modi car los datos que aparecen en la columna “Cla-se”. Los cambios se re ejarán también en el histograma. Modi quen los encabezados de los ejes y los intervalos de los datos, como se muestra en la imagen 5.

Observen que, si modi can los datos de frecuencia en la tabla, el histograma también cambiará. Practiquen construyendo sus propios histogramas a partir de lo trabajado en la secuencia 31.

Imagen 5

Imagen 6

Imagen 4

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Determinarás la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio.

Probabilidad frecuencial y teórica 32

Lección 1

Eje: Análisis de datosTema: Probabilidad

¿Cuál es la probabilidad?

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

a. Respondan las preguntas.

Si lanzan una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga sol?

¿Cuál es la probabilidad de que salga águila? Expliquen sus respuestas.

b. Consigan una moneda y, por turnos, láncenla al aire 10 veces. En la tabla, ano-ten una A si cae águila o S si cae sol.

Lanzamiento (L) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultado (R)

¿Cuántas veces salió sol? ¿Cuántas veces salió águila? ¿Se acercan los resultados a los que esperabas en el inciso a? ¿Por qué sucede esto?

Comparen sus respuestas con sus compañeros y analicen lo que sucedió en cada caso.

Probabilidad frecuencial

1. En parejas analicen la frecuencia de los resultados posibles al lanzar dos monedas.

a. Por turnos lancen ambas monedas y completen la tabla con AA, AS o SS según sea el resultado.

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultado

b. Cuenten cuántos resultados de cada uno obtuvieron y compárenlos con los de otras parejas. ¿Los resultados son iguales?

c. Lancen ambas monedas 50 veces y registren los resultados en su cuaderno.

La probabilidad es de 12

. 12

Solamente hay 2 posibles resultados, así que

R. M.

R. M.

R. L.

R. L.

R. L.R. L.

R. M. Porque el experimento se realizó varias veces.

A

AS SS AS AS AS AS AA AS AA AS

S A S A A S A A S

ambos tienen la misma probabilidad de obtenerse.

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2. Reúnan los resultados obtenidos por otros equipos y completen la tabla.

Número de lanzamientos

Frecuencia absoluta (FA) Frecuencia relativa (FR)

AA SS AS o SA AA SS AS o SA

1050

100200400

a. ¿Las frecuencias de los eventos son las mismas para las diferentes cantidades de lanzamientos?

b. ¿Qué esperarían que suceda si se aumenta la cantidad de lanzamientos?

c. Calculen la probabilidad frecuencial de cada evento para la mayor cantidad de lanzamientos. Recuerda que la probabilidad frecuencial (Pf (M)) de un evento M se calcula dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número de veces que se efectúa el experimento.

1. Para ganar un juego de “Serpientes y escaleras”, Rafael necesita avanzar 6 casillas. ¿Cuál es la probabilidad de que gane en un turno? Responde las preguntas para resolver el problema.

Comparen la probabilidad obtenida en la tabla con la probabilidad esperada. Comparen sus respuestas con sus compañeros y analicen lo sucedido.

Lanzamientos Números obtenidos Número de veces que salió el 6

Probabilidad frecuencial del 6

1 a 10

...

a. ¿Cuántas caras tiene el dado? b. ¿Cuántas veces aparece el 6 en el dado? c. ¿Cuál es la probabilidad esperada? d. Expresa tal probabilidad como fracción, como decimal y como porcentaje. ¿Qué signi ca

ese valor?

e. Con un dado, realiza el experimento 100 veces y dibuja una tabla en tu cuaderno como la siguiente para registrar tus resultados

Practicar para avanzar

Contenido: Determinas la probabilidad teórica de un evento y la comparas con la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio.

Pf (AA): Pf (SS): Pf (AS o SA ):

R. M.

No

Seis

R. L.

Uno

misma posibilidad de aparecer.,0.1667, 16.67%; signi ca que hay seis opciones y cada una de ellas tiene la

R. M. La cantidad de resultados obtenidos será muy similar.

0.2509 0.2478 0.5013

2 113 1227 2848 52

101 98

72545

100201

0.20000.26000.27000.24000.2525

0.10000.24000.28000.26000.2450

0.70000.50000.45000.50000.5025

16

16

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Probabilidad teórica

1. En equipos, retomen el experimento de las dos monedas y hagan lo que se pide para responder el problema.

¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar dos monedas al aire, salga águila y sol (AS o SA)?

a. Completen la tabla para saber cuáles resultados pueden obtenerse al lanzar dos monedas al aire.

Lanzamiento A S

A AA

S

b. Con la información anterior, completa la tabla.

Evento Número de resultados favorables (RF)

Número de resultados posibles (RP) Razón:

AAAS o SA

SS

Comparen los resultados de la probabilidad frecuencial, calculados al inicio de la secuencia, con la probabilidad teórica de cada evento y comenten con sus compañeros qué relación hay entre ambas probabilidades conforme aumenta el número de lanzamientos.

Se llama probabilidad teórica Pt(M). de un suceso o evento M al cociente o razón del número de resultados favorables entre el número de resultados posibles.

RFRP

número de resultados favorablesnúmero de resultados posiblesPt(M) 5

Eje: Análisis de datosTema: Probabilidad

Lección 2

En probabilidad, a cada resultado posible (RP) de un experimento se le conoce como punto muestral. Al conjunto formado por todos los resultados posibles o puntos muestrales se le conoce como espacio muestral. Por ejemplo, el espacio muestral al lanzar dos monedas al aire está constituido por los puntos muestrales AA, AS o SA y SS.

Se llama suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejem-plo, el evento donde salgan dos águilas o dos soles (AA o SS).

Se dice que un resultado es favorable (RF) si el punto muestral pertenece al evento.

SA

SSAS

1 1/41/21/4

4

421

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2. Sigue los pasos para calcular la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resulta-do sea un número par.

a. Escribe el espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado.

b. Escribe los elementos de cada uno de los siguientes eventos. Evento A: Sacar 1 al lanzar un dado. Evento B: Sacar un número par al lanzar un dado.

Un evento simple es aquel que tiene un solo resultado o punto muestral.Un evento es compuesto si está formado por más de un resultado.

Contenido: Determinas la probabilidad teórica de un evento y la comparas con la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio.

c. ¿Cuáles son los resultados posibles de sacar par al lanzar un dado? d. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, se obtenga un número par?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, se obtenga un número impar?

f. ¿Cómo son ambas probabilidades? ¿A qué se debe que suceda esto?

Practicar para avanzar

1. Para decidir quién comienza en un juego de mesa, cuatro amigos eligen lanzar un dado y dar el primer turno a quien saque 6. Uno de ellos pide que, en vez de que empiece quien saque 6, inicie quien saque 1.

a. ¿Crees que alguien obtiene ventaja con en esta propuesta? ¿Por qué?

2. En otro ejercicio, cuatro estudiantes metieron cuatro canicas de diferente color en una bolsa. Cada uno eligió un color y, por turnos, sin ver, sacaron una, registraron el color y la devolvie-ron. Después de 500 extracciones, ganó aquel cuyo color salió más veces. La tabla muestra los resultados.

Canica roja Canica verde Canica amarilla Canica azul

133 140 117 110

a. ¿Quién ganó? b. ¿Los resultados obtenidos se aproximan a la probabilidad teórica? ¿Por qué?c. Calcula la probabilidad teórica de que salga cada canica.

Lee los problemas y responde en tu cuaderno.

12

12

1, 2, 3, 4, 5, 6

2, 4, 6

2, 4, 6

Son iguales, debido a que hay la misma cantidad de números pares e impares en un dado.

1

Ver solucionario.

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Eje: Análisis de datosTema: Probabilidad

Lección 3 Comparación entre ambas probabilidades

1. Analiza el experimento y realiza lo que se pide.

Experimento: Sumar los resultados obtenidos al lanzar un par de dados.

a. Las tablas de doble entrada ayudan a contar todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Completa la tabla para obtener los resultados posi-bles de sumar ambos dados.

SUMA 1 2 3 4 5 6

1 2

2 4

3

4

5 9

6

b. Enlista todos los resultados posibles. c. ¿Cuál suma tiene la mayor cantidad de posibles resultados favorables? Nombra

M a ese evento. d. Escribe los resultados favorables para dicho evento.

e. Escribe los resultados favorables para cada resultado posible.

Evento B: que la suma sea 2. Evento C: que la suma sea 6. Evento D: que la suma sea 12. Evento E: que la suma sea un número par.

Evento F: que la suma sea múltiplo de 3.

f. Calcula la probabilidad teórica de cada evento.

Explica cómo calculaste la probabilidad de los eventos simples y de los eventos compuestos.

Pt(B) 5

Pt(C) 5

Pt(D) 5

Pt(M) 5

Pt(E) 5

Pt(F) 5

3

4

5

6

7

3

5

6

7

8 9 11 1210

8 10 11

7 9 108

6 8 97

5 7 86

4 6 75

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

(2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)

7

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

(1, 1)(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (6, 3), (6, 6)

(6, 6)(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4),

136

136

16125

18

536

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Contenido: Determinas la probabilidad teórica de un evento y la comparas con la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio.

Aplica lo que aprendiste.

1. En parejas, lean las instrucciones del juego y hagan lo que se pide.

Carrera de automóviles

Por turnos, cada jugador escoge un número de automóvil del 2 al 12. Cada jugador lanza dos dados y avanza un lugar en la pista cuando la suma de am-

bos coincide con el número del automóvil. Marquen con taches los avances. Gana el primero que llegue a la meta.

a. ¿Todos los automóviles tienen la misma probabilidad de ganar? ¿Por qué?

b. ¿Qué número de automóvil te conviene elegir? c. Jueguen y después contesten las preguntas.

M E

T A

2

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

¿Qué número de automóvil ganó? ¿Cuál es la probabilidad teórica del número del automóvil ganador? ¿Coincide el número de automóvil ganador con el automóvil que tiene mayor

probabilidad teórica de ganar? ¿Por qué consideran que sucede esto? A partir de lo que aprendieron en la secuencia, describan lo que entienden por

probabilidad teórica y probabilidad frecuencial.

Compartan sus respuestas con sus compañeros. Juntos concluyan qué dife-rencias existen entre ambas probabilidades y comenten por qué es importante conocerlas.

No, en el ejercicio anterior se comprobó que la probabilidad no es la misma para cada suma. El número 7

1/6El número 7

R. L.

R. L.

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Punto de encuentro

Lee, haz las actividades y responde.

1. Analiza la grá ca con un compañero y respondan.

Diferentes organizaciones, interesadas en el cuidado del ambiente y las es-pecies, han estudiado la migración de las mariposas monarca y han iden-ti cado algunos cambios en el tamaño de la población, tomando como criterio la super cie que ocupan en el periodo de hibernación, como se muestra en la siguiente grá ca.

a. ¿En qué año se registró la mayor migración? b. ¿Cuánta super cie ocuparon las mariposas en 2003? ¿Y en 2008?

Migración de las mariposas monarca

Las mariposas monarca migran cada año desde Estados Unidos y Canadá hacia los bosques de oyamel y pino de Michoacán y el estado de México para hibernar, ali-mentarse y reproducirse. Viajan en colonias de más de 20 millones de individuos y recorren distancias de entre 2 500 km y 4 000 km. La migración se inicia a media-dos o nales de agosto y las mariposas llegan al centro de México a principios de noviembre.

El ciclo de vida de las mariposas monarca dura aproximadamente un mes. Sin em-bargo, la generación que migra llega a vivir hasta 9 meses. A esta generación se le llama Matusalén, por su longevidad.

A diferencia de otras especies, las mariposas monarca no han estado antes en los sitios de hibernación.

hibernar. Adaptación que algunos animales presentan a condiciones invernales extremas, con descenso de la temperatura corporal y disminución general de las funciones metabólicas.

Glosario

Superfi cie de bosque ocupada por colonias de mariposas monarcaen México de 1993 a 2017

20

15

10

5

0

6.2

3

5.7

75

.56

8.9

7

3.8

39

.36

7.5

41

1.1

22

.19

5.9

1

6.8

74

.61

5.0

61

.92 4.0

5

2.8

91

.19

0.6

7

1.1

3 4.0

12

.91

2.4

8

7.8

11

2.6

11

8.1

9

19

93

19

99

20

05

20

11

19

94

20

00

20

06

20

12

19

95

20

01

20

07

20

13

19

96

20

02

20

08

20

14

19

97

20

03

20

09

20

15

19

98

20

04

20

10

20

16

20

17

Tiempo en años de 1993 a 2017

Supe

rfi c

ie o

cupa

da (h

ectá

reas

)

Fuente: www.wwf.org.mx/?uNewsID=324152 (consulta: 11 de septiembre de 2018).

199611 hectáreas

5 hectáreas

190

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c. ¿Pueden anticipar si la población que hibernará en México en los próximos años será mayor o menor que la que hibernó en 2018? Argumenten.

2. Analiza las grá cas y responde en tu cuaderno.

Para entender mejor el comportamiento de la población, los cientí cos suelen aproximar las grá cas mediante una función y tomar decisiones con base en ella.

a. La doctora Lozano aproximó la grá ca anterior utilizando diez datos mediante una línea recta. Los datos se muestran como puntos verdes. La ecuación de la recta que encontró es y = 10.62 2 0.38x.

b. La doctora Sandoval, para interpretar el mismo fenómeno, usó la funcióny 5 3.82 1 16.57

x con la que obtuvo la grá ca que se muestra a la derecha.

De acuerdo con esta grá ca, ¿cómo varía la super cie ocupa-da por la población cada año?

¿Cuál es la super cie ocupada es-perada para el año 2019?

¿Qué pronostica esta grá ca res-pecto del comportamento de la migración?

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Comparen ambas grá cas y analicen si di eren sus pronósticos. Concluyan cuál aproximación es mejor.

3. Forma equipo con tres compañeros y hagan lo que se solicita.

a. Investiguen qué factores in uyen para que el tamaño de la población de mari-posas monarca que hiberna en México esté disminuyendo.

b. Con base en su investigación, propongan medidas para preservar la especie.

Expongan al grupo los resultados de su investigación. Elaboren grá cas que apoyen sus conclusiones.

De acuerdo con esta grá ca, ¿cuánto varía la super cie ocupa-da por la población cada año?

¿Qué super cie se espera que se ocupe en el año 2019?

¿Qué pronostica esta grá ca?

15

15

10

10

5

0

5

0

19

93

19

93

19

98

19

98

20

03

20

03

20

08

20

08

20

13

20

13

20

17

20

17

Supe

rfi c

ie o

cupa

da (h

ectá

reas

)

Supe

rfi c

ie o

cupa

da (h

ectá

reas

)

Tiempo en años de 1993 a 2017

Tiempo en años de 1993 a 2017

R. L.

R. L.

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. Observa el teselado y responde.

a. ¿Qué polígonos forman el teselado?

b. ¿Cuántos grados miden los ángulos interio-res de cada polígono?

c. ¿Qué tipo de teselado es: regular, semirregular, demirregular o irregular? Justi -ca tu respuesta.

2. La imagen está formada por 3 arreglos de ores, cada uno compuesto por 6 hexá-gonos regulares. El perímetro de cada hexágono es de 1.23 cm.

a. ¿Cuánto mide el perímetro interior de los tres arreglos? ¿Y el exterior?

b. ¿Cuánto medirían los perímetros interior y exterior si el diseño tuviera 100 arre-glos?

c. Escribe las expresiones algebraicas que representan los perímetros del diseño con n arreglos de ores.

3. En una bolsa hay 12 pelotas rojas, 7 verdes y 2 azules. Calcula la probabilidad teó-rica de que, al sacar una sin ver, sea de cada color.

Cuadrados y triángulos equiláteros

Cuadrado: 90° Triángulo equilátero: 60°

Demirregular, ya que está formado por dos polígonos regulares.

Perímetro exterior: 12.3 cm Perímetro interior: 17.22 cm

Perímetro interior: 482.16 cm Perímetro exterior: 367.77 cm

Perímetro interior: 12.3 1 (4.92) (n 2 2). Perímetro exterior: n(1.23) 1 6.15 1 (2.46)(n 2 2)

La probabilidad de sacar una pelota roja es 1221.

La probabilidad de sacar una pelota verde es 721.

La probabilidad de sacar una pelota azul es 221.

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Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en tus resultados, retoma los contenidos que se te di cultaron.

1. Aplica las leyes de los exponentes para simpli car las expresiones. Considera que únicamente deben aparecer exponentes positivos.

a. ( x2y)6

=

b. (3z22)23=

c. (x2)24 3 (x24)2=

d. ( ab2 )2

3 ( ba )22

=

e. ((3b2)2)23=

2. Observa la gura y obtén lo que se solicita en términos de y.

Área del triángulo verde. Área del triángulo rojo. Área del rectángulo.

a. Suma las tres expresiones que obtuviste para representar el área del trapecio.

b. Utiliza la fórmula para calcular el área del trapecio y obtén otra expresión.

c. Simpli ca las expresiones de los incisos a y b para demostrar que son equivalentes.

y

y y 2 3

3

y 2 1

3(y 2 3)/2 1 3(y 2 1)/2 1 3y

3y

3([y 1 y 2 1 1 y 2 3] 1 y)/2 5 3(4y 1 4)/2

3(y 2 3)/2 1 3(y 2 1)/2 1 3y 5 6y 2 6

3([y 1 y 2 1 1 y 2 3] 1 y)/2 5 3(4y 1 4)/2 5 6y 2 6

x(2y)6 5 x

26 y6 5 x64y6

a(b2)4 5 b2

a22 5 a 3 b2

b8 3 a22 5 a4 2 (2 2) b 22 2(8) 5 a4 1 2 b210

5 ab10

323z (22) (23) 5 z

33

x(2) (24) 3 x(24) (2) 5 x28 3 x28

5 x216 5 x16

(3b2)26 5 326 b(2) (26) 5 326 b212

5 36b12

(y 2 )2

(y 2 )2

193

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3. Analiza el procedimiento que se siguió para resolver la ecuación. Donde corres-ponda, explica qué propiedad de la igualdad se utilizó en cada paso.

i. 3y 1 6 = 5 1 6y ii. 3y 1 6 2 3y 5 5 1 6y 2 3y iii. 6 = 5 1 3y iv. 6 2 5 = 5 1 3y 2 5 v. 1 = 3y vi. 1

3 = 3y3

vii. 13 = y

viii. y = 13

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Utiliza el método que se indica yanota tus procedimientos en los recuadros.

x 1 2y 5 5x 2 2y 5 23

a. Sustitución

b. Igualación

c. Suma y resta

Propiedad de la suma: La igualdad no se altera si se

Propiedad simétrica: Si a 5 b, entonces b 5 a.

Propiedad de la suma: La igualdad no se altera si se suma

Propiedad de la división: Al dividir por un número diferente de cero

la misma cantidad de ambos lados.

ambos lados de la igualdad, esta no se altera.

suma la misma cantidad de ambos lados.

x 1 2y 5 5 x 5 5 2 2y

x 1 2y 5 5 x 5 5 2 2y

2x 2 0 5 2

x 2 2y 5 235 2 2y 2 2y 5 23 24y 5 23 25 24y 5 28 y 5

2824 5 2

5 2 2y 5 23 1 2y 5 1 3 5 2y 1 2y 8 5 4y

y 5 84 5 2

x 2 2y 5 23 x 5 231 2y

x 5 522y x 5 522(2) x 5 524 x 5 1

x 5 522y x 5 522(2) x 5 524 x 5 1

x 1 2y 5 5 1 1 2y 5 5 2y 5 4 y 5 4

2 5 2

2x 5 2 x 5 2

2 x 5 1

x 1 y5 51 x 2 y5 2 3

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Valoro mis fortalezas

5. En cada caso explica si es posible formar un teselado con los polígonos regulares que se indican y por qué.

a. Dos pentágonos y dos triángulos:

b. Dos hexágonos y dos triángulos:

c. Un hexágono y dos cuadrados:

d. Un hexágono, dos cuadrados y un triángulo:

e. Un dodecágono, un cuadrado y dos triángulos:

6. La tabla de la izquierda muestra las ventas quincenales de varios locales. Con base en las ventas, elabora la tabla de frecuencias y el histograma correspondiente. Considera intervalos cuya amplitud sea de $5 000.

Local Venta ($)

1 6 750

2 12 500

3 2 300

4 17 500

5 18 020

6 28 910

7 34 000

8 22 100

9 43 230

10 35 000

11 5 550

12 11 100

13 48 900

14 1 000

15 7 900

16 8 000

17 46 350

18 49 000

Límiteinferior

Límitesuperior

Marca declase

Frecuenciaabsoluta

No se puede formar un teselado, ya que al

Sí se puede formar un teselado, ya que la

No se puede formar un teselado, ya que la suma

Sí se puede formar un teselado, ya que

Sí se puede formar un teselado, ya

sumar los ángulos que coinciden en un vértice la suma no da 360: 108 1 60 1 60 5 228.

suma de los ángulos que coinciden en un vértice da 360: 120 1 120 1 60 1 60 5 360.

de los ángulos que coinciden en un vértice no da 360: 120 1 90 1 90 5 300.

la suma de los ángulos que coinciden en un vértice da 360: 120 1 90 1 90 1 60 5 360.

que la suma de los ángulos que coinciden en un vértice da 360: 150 1 90 1 60 1 60 5 360

0

20 00020 000 217 500

5 0005 000 2 500

25 00025 000 122 500

10 00010 000 4

27 500

30 00030 000 127 500

15 00015 000 212 500

35 00035 000 232 500

40 00040 000 037 500

45 00045 000 142 50050 000 347 500

3

2

4

1

0

50

00

10

00

0

15

00

0

20

00

0

25

00

0

30

00

0

35

00

0

40

00

0

45

00

0

50

00

0

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Trimestre 3En este trimestre:

• Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

• Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

• Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, grá ca y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos tipos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

• Deducirás y usarás las relaciones entre los ángulos de polígonos en la construcción de polígonos regulares.

• Calcularás el perímetro y el área de polígonos regulares, y del círculo a partir de diferentes datos.

• Calcularás el volumen de prismas y cilindros rectos.

• Resolverás problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra).

• Recolectarás, registrarás y leerás datos en histogramas y polígonos de frecuencia y grá cas de línea.

• Usarás e interpretarás las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la desviación media de un conjunto de datos y decidirás cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

El mundo en papel

Desde la Antigüedad, las comunidades humanas han tenido la necesidad de representar grá camente el mundo para determinar la ubicación geográ ca de lugares, describir el entorno, y trazar rutas de comercio entre otros propósitos.

La manera de concebir el mundo y de interpretarlo grá camente ha evolucionado a lo largo de la historia gracias a los avances cientí cos y tecnológicos. Sin embargo, repre-sentarlo con delidad en un plano ha sido todo un reto.

Algunos intentos han consistido en proyectar el planeta en distintos cuerpos y luego con-vertir esos cuerpos en planos. Por ejemplo, el mapamundi que usamos en la actualidad es el desarrollo plano de un cilindro en el que se proyectó la Tierra. El problema de esta representación es que altera el tamaño de los continentes.

El mapa más exacto que se ha hecho es el que desarrolló el arquitecto Hajime Narukawa usando un tetraedro.

¿Por qué consideras que es importante representar grá ca y métricamente la porción de un territorio con mayor exactitud?

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Repr

esen

taci

ón c

arto

grá

ca

"Map

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he N

orth

Pol

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rada

por

Gui

llaum

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n 15

55. E

n es

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l pl

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.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de potencias con exponente entero y aproximarás raíces cuadradas.

Aproximación de la raíz cuadrada 33

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

¿Qué es la raíz cuadrada?

1. Lee la situación y responde.

El dueño de un jardín cuadrado de 25 m2 quiere cercarlo.

a. ¿Cuánto debe medir el largo de cada lado de la cerca? b. ¿Cómo puedes veri car que tu respuesta es correcta?

c. Describe el procedimiento que usaste para determinar el largo de cada lado de

la cerca y tu procedimiento para veri carlo.

Compara tu respuesta y tus procedimientos con los de tus compañeros.

Potencias y raíces

1. Reúnete con un compañero y completen la tabla. Luego gra quen los datos en su cuaderno.

a 4 2 4 7 2 7

a2 0 4 4 9 9 25 25 36 36

a. Analicen el procedimiento con que completaron la tabla y describan. Cuando a era el valor conocido, ¿cómo determinaron a2?

Cuando el valor conocido era a2, ¿cómo determinaron a?

¿Qué tipo de números son los de la columna a2? ¿Cuántos resultados se obtienen al calcular la raíz cuadrada de un número?

¿Cómo son los números que resultan de aplicar una raíz cuadrada?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten cómo pue-den comprobar que son correctas.

Lección 1

5 m

0 2 22 3 23 5

16 16

25 6 26

49 49

Multiplicando 5 m por 5 m,

R. M. Para calcularlo busqué un

Números positivos

ya que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando lado por lado.

número que al multiplicarlo por sí mismo diera 25.

Elevando los valores de a al cuadrado.

R. M. Buscando el número que multiplicado por sí mismo dé como resultado el valor de la la a2.

Dos

Uno de los valores es positivo y el otro, negativo.

Ver solucionario.

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Contenido: Aproximas y usas la raíz cuadrada.

2. Con base en lo anterior, completen la tabla y gra quen en su cuaderno.

a 1 4 9 16 36 49 64 81√a 5

2√a

a. Analicen el procedimiento mediante el que completaron la tabla y describan en su cuaderno cómo determinaron a.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifíquenlas. Si es ne-cesario, corrijan.

3. Completen las siguientes tablas. Luego analícenlas y respondan las preguntas en su cuaderno. Justi quen sus respuestas.

a 1 21 2 22 5 25 10 219

a2

a 1 4 25 100

6√a

a. ¿Cuántos resultados se obtienen al calcular la raíz cuadrada de un número? ¿En qué se diferencian los resultados?

b. ¿Pueden obtener la raíz cuadrada de un número negativo? ¿Por qué?

Comenten sus respuestas con sus compañeros.

La raíz cuadrada de un número mayor o igual que cero es otro número que, al ele-varlo al cuadrado, nos da el número original. Es decir, b es la raíz cuadrada de a si b2 5 a. En matemáticas se escribe b 5 a para representar la raíz positiva y b 5 2 a para la negativa o b 5 6 a para representar ambas raíces. Por ejemplo, 16 5 4 y 16 5 24 o 16 5 64.

Practicar para avanzar

Compara tus resultados con los de tus compañeros y analicen cuándo la raíz cuadrada es más grande y cuándo es más pequeña que el número original.

1. Calcula las raíces cuadradas.

121 5 121 5 2

16 5 16 5 2

400 5 400 5 2

10000 5 10000 5 2

36100

5 6 8149

5 6 2516

5 6 9100

5 6

Se obtienen dos resultados, uno es positivo y el otro negativo.

No, porque no pertenece a los números reales.

1111 4

0.6 0.31.28 1.25

4 20 10020 100

1

1

11 12 15 11021 22 25 210

1 4 4 25 25 100 361

212

223

23

424

62625

257

278

289

29

Ver solucionario.

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14.1 , 200 , 15.1 14.2 , 200 ,14.5 14.1 , 200 , 14.2

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Multiplicación y división

a. Analicen la tabla y la grá ca y respondan. ¿Por qué 200 no es una raíz cuadrada exacta?

Según la tabla, ¿entre qué valores debe encontrarse 200?

A partir de la grá ca ¿qué valor aproximado darían a 200?

Lección 2 Aproximaciones de la raíz cuadrada

1. Lee la situación y responde.

a. Tres letreros anuncian la venta de sendos terrenos cuadrados.

¿De cuántos metros cuadrados es el terreno del primer anuncio? ¿Cuánto miden los lados de los otros dos terrenos? ¿La medida de los lados de los otros dos terrenos puede ser un número

negativo? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten sus procedi-mientos y las di cultades que tuvieron para responder.

2. Reúnete con un compañero, completen la tabla y gra quen los datos en su cuaderno.

a 11 12 13 14 15 16

a2

raíz cuadrada exacta. Se dice que una raíz cuadrada es exacta si su valor es un número entero.

Glosario

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y analicen cómo respon-dieron la última pregunta.

3. Retomen las actividades anteriores y argumenten.

a. Los siguientes números están ordenados de menor a mayor:196 , 200 , 225. Si se aplica a cada número la raíz cuadrada

196 , 200 , 225 y se extrae la raíz cuadrada a los cuadrados perfectos, se observa que 14 , 200 ,15. Entonces:

¿El valor de 200 está más cerca de 14 o de 15? Subrayen la aproximación que les parece más acertada.

TERRENOEN VENTA

100 m2

VENDO TERRENO(100 3 100) m2

SE VENDETERRENO

de 200 m2

Los del primero miden 10 y los del segundo, 14.14 m aproximadamente.

No, porque las longitudes no pueden ser números negativos.

10 000 m2

R. M. Porque no existe un número entero o fracción que multiplicado por sí mismo dé como resultado 200.

Entre 14 y 15R. M. 14.1

Está más cerca de 14

121 144 169 196 225 256

200

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Contenido: Aproximas y usas la raíz cuadrada.

4. Observen el ejemplo y completen la tabla para aproximar la raíz cuadrada de 200.

Aproximación a , √200 , b a2 , 200 , b2 200 2 b2 b2 2 200

1 14 , 200 , 15 196 , 200 , 225 4 25

2 14.1 , 200 , 14.2 198.8 , 200 , 201.6

3

a. De la última la de la segunda columna, ¿cuál de los dos valores usarían para aproximar la raíz cuadrada de 200: el de la derecha o el de la izquierda?

Comenten con sus compañeros la experiencia de esta actividad y escriban los pasos de un método para aproximar la raíz cuadrada. Retomen la actividad 3 y veri quen que eligieron la mejor aproximación.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve las actividades.

a. Aproxima las siguientes raíces cuadradas.

120 5 670 5 4.2 5

b. Calcula el perímetro de cada uno de los siguientes terrenos cuadrados.

c. La energía cinética de un cuerpo se de ne como K 5 12 mv2, y se mide en

joules. La masa, m, se expresa en kilogramos y la velocidad, v, en m/s. Calcula la velocidad v 5 2K

m, si se lanza una bola de beisbol de 0.145 kg y la

energía cinética de la bola en movimiento es de 45 joules, ¿a qué velocidad se está moviendo la bola?

¿La velocidad resultante puede ser negativa? ¿Qué signi ca que la velocidad sea negativa? ¿Y que sea positiva?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten qué di cultades tuvieron.

A1 5 500 A2 5 1 500 m

2

A3 5 5 000 m2

Perímetro Perímetro Perímetro

energía cinética. Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento.

Glosario

El de la izquierda

10.96

93.8 m

A 24.91 m/s

Sí; si es negativa, signi ca que la bola se mueve en dirección contraria; si es positiva, que se mueve en la dirección original.

154.92 m 282.84 m

25.88 2.04

14.11 , 200 , 14.19 199.1 , 200 , 201.3

1.2

0.9 1.31.6

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

Reparto proporcional34

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Reparto de cantidades

1. Lee la situación y responde.

Marco, Lalo y Rosa se reúnen para comprar un billete de lotería de $500. Marco puso $100, Lalo $200 y Rosa $150. Entre los tres deben decidir cuánto le tocará a cada uno si ganan el premio mayor de $2 500 000.

Marco dice que el premio se debe dividir en tres partes iguales. Rosa a rma que eso no es justo y que se debe dividir de acuerdo con la cantidad que cada quien aportó para comprar el billete.

a. ¿Qué opinas de lo que proponen Marco y Rosa?

b. ¿Quién de los dos tiene razón? ¿Por qué?

c. Lalo dice que debe recibir el doble de lo que recibirá Marco. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

d. Lalo dice que debe recibir 1.5 veces lo que recibirá Rosa. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

e. Rosa dice que debe recibir 1.5 veces lo que recibirá Marco. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

f. ¿Cómo puedes calcular lo que debe recibir cada uno si el premio mayor se repar-te de manera proporcional a lo que aportaron?

g. Si el billete obtuviera el cuarto premio y a Rosa le correspondieran $10 000, ¿cuánto le tocaría a Marco? ¿Y a Lalo? ¿Cómo lo sabes?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

Lección 1

Que no es justo que el premio

Porque cada uno aportó cantidades diferentes, así que el premio

Porque Lalo aportó el doble de lo que aportó Marco.

Porque para recibir esa cantidad, Lalo debería haber aportado $225.

Porque Rosa aportó 1.5 veces la cantidad que aportó Marco.

Con reglas de 3

Rosa.

Sí.

No.

Sí.

se reparta de forma equitativa, puesto que la aportación no se hizo de esta manera.

debe dividirse conforme a ello.

La cantidad que recibiría Lalo ($13 333.33) es el doble de lo que recibiría Marco ($6 666.66) y la

cantidad que recibiría Rosa ($10 000.00) es 1.5 veces lo que recibiría Marco.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

Reparto proporcional

1. Resuelve el problema con un compañero.

Maricruz, Ana y Tomás pondrán un puesto de galletas en su colonia. Para comprar los ingredientes y los materiales para armar el puesto, Maricruz aportó $150, Ana $600 y Tomás $450.

a. Si todos trabajan por igual, ¿cómo deben repartirse la ganancia de $2 800 al nal del día si se quiere que sea proporcional a lo que aportaron?

b. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?Maricruz Ana Tomás

Justi quen su respuesta.

c. ¿Son proporcionales las cantidades aportadas al principio y las recibidas como ganancia?

¿Cómo lo saben?

d. Utilicen las propiedades de la proporcionalidad para encontrar lo que le corres-ponde a cada uno, dadas distintas ganancias:

Ganancia Tomás Maricruz Ana

$5 000

$5 600

$10 000

$11 200

$15 000

$17 400

$20 000

Comparen sus respuestas y procedimientos con sus compañeros. ¿Les sirvió te-ner las cantidades correspondientes a una ganancia de $5 000 para obtener las correspondientes a $10 000?

Cuando una cantidad se reparte de manera proporcional a otras cantidades se dice que se está llevando a cabo un reparto proporcional.

Ana debe recibir el cuádruple de lo que reciba Maricruz y Tomás, el triple de lo

La cantidad que debe recibir Ana ($1 400) es el cuádruple

Podemos notar que al multiplicar las cantidades que aportó Sí

que reciba Maricruz.

de lo que debe recibir Maricruz ($350) y la cantidad que debe recibir Tomás ($1 050)

cada uno al principio por 2.33 obtenemos la ganancia que deberían recibir,

es el triple de lo que debe recibir Maricruz ($350).

así que las cantidades son proporcionales.

$350 $1 400 $1 050

$1 875

$2 100

$3 750

$4 200

$5 625

$6 525

$7 500

$625

$700

$1 250

$1 400

$1 870

$2 175

$2 500

$2 500

$2 800

$5 000

$5 600

$7 500

$8 700

$10 000

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Lección 2 Diferentes procedimientos

1. Retoma el problema anterior y analiza los procedimientos que se utilizaron en el salón de Cristina para resolverlo.

Procedimiento 1. Observé que Ana aportó la mitad del total invertido. La ganancia del día la dividí entre dos para saber lo que ella había dado. Luego me di cuenta de que, de la mitad restante, Maricruz dio una cuarta parte y Tomás dio tres cuartas par-tes. Hice un dibujo así:

Para encontrar la ganancia de cada uno, dividí la ganancia total a la mitad y luego di-vidí una mitad en cuatro partes iguales:

Procedimiento 2. Utilicé proporcionalidad. La contribución de cada uno se debe re-lacionar con el total invertido ($1 200) de la misma manera que la ganancia de cada uno se relaciona con la ganancia total. Por ejemplo, en el caso de Maricruz:

Maricruz Total

Contribución $150 $1 200Ganancia $2 800

Utilizando la regla de tres, obtuve una ganancia de $350 para Maricruz:

150 3 28001200 5 350

Procedimiento 3. Usé fracciones. De lo invertido, 12

le corresponde a Ana, por lo que la ganancia la multipliqué por 1

2. De lo restante, multipliqué por 1

4 para encontrar

lo que le corresponde a Maricruz y por 34

para encontrar lo que le corresponde a Tomás.

2800 3 12 5 1400 1400 3 1

4 5 350 1400 3 34 5 1050

a. Elige el procedimiento que pre eras y explícaselo a un compañero. Después busca a algún compañero que te describa un procedimiento diferente.

b. Calcula en tu cuaderno la ganancia que le correspondería a cada uno si al nal del día se obtuvieran $3 700. Utiliza los tres procedimientos .

Comenten en grupo si obtuvieron los mismos resultados, qué procedimiento les parece mejor y por qué.

$600$450

$150

28002 5 1400 1400

4 5 350

Ver solucionario.

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

Practicar para avanzar

Utiliza lo que sabes acerca del reparto proporcional para resolver los problemas. Haz loscálculos en tu cuaderno.

Comenta con tus compañeros y con tu profesor lo que aprendiste sobre los distintos procedi-mientos para repartir una cantidad de manera proporcional.

1. En un edi cio de o cinas se reparte café molido. El repartidor calcula la cantidad de café por repartir de acuerdo con el número de empleados de cada departamento. En el departamento de ventas hay 20 empleados, en el de contabilidad hay 10, en el de planeación hay 5 y en el de compras hay 15.

¿Cuántos kilogramos de café se deben repartir por departamento si se tienen 150? ¿Y si se tuviera el doble de kilogramos de café? ¿Qué sucedería con los kilogramos de café por departamento si el número de empleados en

cada departamento aumentara al doble?

a. Completa las tablas con las respuestas.

Ventas Contabilidad Planeación Compras Total

Empleados 20 10 5 15

Kilogramos de café 150

Ventas Contabilidad Planeación Compras Total

Empleados 20 10 5 15

Kilogramos de café 300

Ventas Contabilidad Planeación Compras Total

Empleados 40 20 10 30

Kilogramos de café 150

Ventas Contabilidad Planeación Compras Total

Empleados 40 20 10 30

Kilogramos de café 300

b. ¿Qué observas en las tablas?

60

60

30

30

15

15

45

45

50

50

100

100

120

120

60

60

30

30

90

90

Que las proporciones se mantienen constantes a pesar de variar la cantidad de café o el número de empleados (ventas siempre recibirá el doble de lo que reciba contabilidad, contabilidad recibirá el doble de lo que reciba planeación y

compras recibirá el triple de lo que reciba planeación).

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Proporcionalidad

Lección 3 Razones y reparto proporcional

1. Un señor quiere repartir su herencia entre sus tres hijos a razón de 3:2:1. Si les va a heredar $250 000, ¿cuánto le tocará a cada uno?

a. Según lo que sabes acerca de las razones, ¿qué quiere decir una razón 3:2:1?

b. ¿De qué manera se relaciona la cantidad mayor con la menor?

c. ¿Y la menor con la de en medio?

d. Si la cantidad menor se denota con x, escribe una expresión para lo que debe recibir cada hijo.

Hijo 1 Hijo 2 Hijo 3

e. Escribe una ecuación que relacione lo que recibe cada hijo con el total por heredar.

f. Resuelve la ecuación en el recuadro, para calcular lo que recibirá cada hijo.

g. Comprueba tus respuestas. ¿Se relacionan las cantidades de acuerdo con las ra-zones indicadas?

h. ¿De qué otras maneras se puede resolver ese problema? Encuentra al menos otro procedimiento.

i. Finalmente, el señor cambia de opinión y decide dar $50 000 a uno de sus hijos y $100 000 a los otros dos. ¿Cómo se representa este reparto mediante una razón?

j. ¿Cuánto le tocaría a cada hijo si repartiera las cantidades a razón 4:2:1?

Comenta con tus compañeros cómo resolver un problema de reparto proporcio-nal en el que el reparto está de nido por una razón y validen los procedimientos con su profesor.

Que las cantidades guardan la siguiente proporción: el valor de la primera es tres veces el de la tercera y el valor de la segunda es dos veces el de la tercera.

mayor es el triple de la menor.

La cantidad de en medio es el doble de la

R. L. Sí se relacionan.

cantidad menor.

Al tener la razón 3:2:1, podemos notar que el total debe

2:2:1

$142 857.16, $71 428.58 y $35 714.29

repartirse en seis partes iguales y asignar tres de estas partes al primero, dos al segundo y una al tercero.

x 1 2x + 3x 5 250 000

La cantidad

x 2x 3x

Hijo 1 Hijo 2 Hijo 3

$41 666.66 $83 333.33 $125 000

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Contenido: Diferencias entre situaciones que presentan variación lineal y variación inversa.

Porcentaje y reparto proporcional

2. Tres colegas realizaron un proyecto por el que cobrarán $25 000. Uno de ellos efec-tuó 40% del trabajo, otro 35% y el otro 25%.

a. ¿Cuánto dinero debe recibir cada uno? b. ¿A qué razón corresponde este reparto? c. Escribe una expresión algebraica que represente este reparto.

3. Una cantidad se reparte a razón 2:4:8.

a. ¿A qué porcentajes del total corresponde este reparto?

b. Si la cantidad por repartir fuera $1 850, ¿de qué manera tendría que repartirse?

Comenta con tu profesor cómo se relaciona el porcentaje con el reparto proporcional.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a. Un abuelo decide repartir $8 000 entre sus tres nietos de manera proporcional a sus edades. Si los nietos tienen 4, 10 y 18 años, respectivamente:

¿Cómo puede expresarse este reparto mediante una razón? ¿Y mediante una expresión algebraica? ¿Cuánto le tocará a cada uno?

b. Se debe repartir una ganancia de 28.5 en tres partes que deben ser proporcio-nales a los números 1

3 , 1

4 y 1

5. ¿De qué manera se debe repartir la cantidad?

c. La expresión 10000 5 y 1 3y 1 9y indica un reparto proporcional. ¿Cómo puede expresarse este reparto mediante una razón?

En un párrafo, describe el reparto. ¿Cuánto le tocará a cada uno? Inventa un problema que corresponda a dicho reparto y expresa el reparto uti-

lizando porcentajes y razones.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Luego escribe en tu cuader-no lo que aprendiste sobre el reparto proporcional.

Entra a la página www.esant.mx/fasema2-006 y resuelve los problemas que se plantean para reforzar lo que aprendiste en esta secuencia.

Herramientas académicas

$10 000, $8 750 y $6 2504:3.5:2.5

14.28%, 28.57% y 57.14%

$264.28, $528.57 y $1 057.14

0.40x 1 0.35x 1 0.25x 5 250 000

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: : Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.35Resolución de sistemas de ecuaciones

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

¿Cuál método conviene usar?

1. Formen equipos de cinco compañeros, lean la situación y contesten.

Lorena debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones y no sabe qué método uti-lizar para hacerlo.

Federico le sugirió usar el método de sustitución, Teresa le aconsejó usar el méto-do de suma y resta, y Marco, que lo resuelva grá camente. ¿A quién debe hacer caso Lorena?

a. Analicen las ecuaciones, discutan y justi quen su respuesta. ¿Conviene el método que propone Federico? ¿Y el que propone Teresa? ¿Y el que propone Marco?

b. ¿Cuál método le sugieren a Lorena que utilice? ¿Por qué?

c. ¿Existe un método especí co que sea el más adecuado para resolver el sistema de ecuaciones? ¿Por qué?

Comenten sus respuestas con otros equipos y con el profesor.

Comparación de métodos de solución

1. Retomen la situación de la actividad anterior y hagan lo que se indica.

a. Dividan al grupo en dos equipos y resuelvan en su cuaderno el sistema de ecua-ciones. Un equipo usará el método que sugiere Federico y el otro, el propuesto por Teresa. Al terminar, veri quen su solución.

¿Qué solución se obtiene con el método propuesto por Federico? ¿Y con el método sugerido por Teresa? ¿Esperaban esta situación? ¿Por qué?

b. Comenten si conviene usar el método recomendado por Marco y anoten sus

conclusiones.

Lección 1

2t 2 3z 5 212 7z 1 4t 5 2

El de suma o resta,

x 5 21.65, y 5 1.825, z 5 23.851.x 5 21.65,y 5 1.825, z 5 23.85

Sí, porque es un método sencillo.

Sí, porque es un método sencillo.

No, porque gra car en tres dimensiones no es sencillo, además, como son tres rectas es complicado ubicar el punto donde se intersectan.

El de suma o resta, pues en la primera ecuación

Sí, en matemáticas es común que haya

1.

No es conveniente usar ese método porque hay que gra car en

varios procedimientos para llegar a la respuesta.

tres dimensiones y será difícil encontrar el punto donde se intersectan, sobre todo, si las soluciones no son exactas.

pues con este método no tienen que hacerse operaciones con denominadores.

solamente hay dos incógnitas, así que habrá que realizar menos operaciones.

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Contenido: Analizas las ventajas y desventajas de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

c. Comparen los métodos que utilizaron. ¿Cuál les parece el más adecuado? ¿Por qué? ¿Hay otro método más e ciente para resolver el sistema? ¿Cuál es? Justi quen

su respuesta. ¿Qué solución encontrarían aplicando el método anterior? ¿Por qué?

d. Después de lo que hicieron, ¿consideran que el método que sugirieron al princi-

pio de la lección es el mejor? ¿Por qué?

Comenten en grupo sus respuestas y analicen la siguiente información.

2. Resuelve en tu cuaderno.

a. Utiliza los métodos de sustitución, igualación y reducción para resolver cada sistema de ecuaciones. Escribe el conjunto solución en cada caso.

Decide cuál método es más e ciente en cada caso y escribe qué característi-cas de cada sistema te ayudan a decidir cuál usar.

b. Traza la grá ca correspondiente a cada sistema de ecuaciones. ¿En cuál o cuáles casos resulta más e ciente hacer la grá ca para resolverlo? ¿Por qué?

3. Representa el siguiente problema con un sistema de ecuaciones lineales y resuél-velo en tu cuaderno. Justi ca tu elección del método para hacerlo.

Tomás quiere entrenar tres días en una pista según las recomendaciones del entre-nador. Para ello, planeó lo siguiente.

Día 1: Caminar y trotar el tiempo recomendado. Recorrer 12 km. Su velocidad pro-medio al caminar debe ser de 5 km/h y al correr, de 9 km/h.

Día 2: Entrenar los lapsos de tiempo recomendados. Primero con patines y luego, patineta. Recorrer 46 km y la velocidad promedio en patines debe ser de 15 km/h y en patineta, de 27 km/h.

Día 3: Entrenar durante los mismos lapsos de tiempo, primero patines en línea y después, en bicicleta de carrera. Recorrer 56 km. La velocidad promedio en pati-nes debe ser de 22.5 km/h y en bicicleta, de 40.5 km/h.

a. ¿Cuáles serán los dos tiempos de entrenamiento? Interpreta tu respuesta.

Observen si obtuvieron las mismas soluciones y revisen sus procedimientos.

El conjunto solución que se obtiene al resolver un sistema de ecuaciones lineales es siempre el mismo, independientemente del método que se use. Esto ocurre por-que todos los métodos se basan en la aplicación de las propiedades de la igualdad.

2x 2 y 5 426x 1 3y 5 18

14p 1 3q 5 16 7p 2 5q 5 34

24w 2 8z 5 82 3w 1 z 5 21

R. L.

R. L.

R. L.

La misma, pues el sistema tiene solución única.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

¿Cuál método de solución es mejor?

1. Lee con un compañero, sigan las instrucciones y respondan.

Una tarde, Santiago salió corriendo de su casa y dejó la puerta abierta. Su perra Las-ka salió corriendo 6 min más tarde detrás de él. Santiago corre a una velocidad de0.2 km/min y Laska, a una velocidad de 0.5 km/min. Si ambos corren a velocidad cons-tante, ¿alcanzará Laska a Santiago? Si es así, ¿qué tan lejos de su casa lo alcanzará?

a. Usen la velocidad a la que corre Santiago para escribir una ecuación que repre-sente la distancia que recorrió a velocidad constante.

b. ¿Cuánto habrá corrido Santiago después de 6 minutos? c. Representen con una ecuación la distancia que ha recorrido Laska. Recuerden

que salió 6 min después de Santiago. d. Escriban el sistema de ecuaciones que encontraron.

¿Cuál es el método más e ciente para resolver este sistema de ecuaciones?

¿Por qué?

e. Resuelvan el sistema usando el método que consideraron. Interpreten la solución en términos del problema.

Veri quen que la solución que encontraron sea la correcta.

Comenten en grupo y con su profesor cuál método eligieron y por qué. ¿Coincidieron en su elección?

Algunas características de las ecuaciones

2. Reúnete con dos compañeros, analicen el sistema de ecuaciones y contesten.

a. ¿En qué se parece este sistema al que resolvieron en la actividad anterior?

b. Completen las a rmaciones.En el sistema aparece la variable y como variable aislada en ambas ecuaciones. Conviene usar el método de para obtener un sistema de ecua-ciones con una sola ecuación en la que aparece únicamente .

c. Simpli quen el sistema. ¿Cuál es el sistema equivalente? ¿Cuál es la solución del sistema?

Lección 2

y 5 23x 1 2y 5 x 2 6

y 5 0.2x 1 1.2

1.2 km

Igualación, porque en ambas ecuaciones aparece despejada la

x 5 4 y y 5 2

Laska alcanzará a Santiago a 2 km de su casa, es decir, 4 minutos después de salir.

misma variable.

y 5 0.5x

En que una de las variables aparece despejada en ambas ecuaciones.

Igualación una variable

23x 1 2 5 x 2 6 4x 5 8

x 5 2, y 5 24

y 5 0.2x 1 1.2, y 5 0.5x

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Contenido: Analizas las ventajas y desventajas de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

3. Analicen en parejas el siguiente sistema y contesten.

a. ¿El sistema tiene alguna variable aislada? ¿Cuál y en cuál ecuación?

Reescriban esa ecuación en términos de la variable aislada. b. Sustituyan el valor de la variable aislada en la otra ecuación y simplifíquenla.

¿Qué observan?

c. Resuelvan la ecuación que obtuvieron. d. Repitan el procedimiento de sustitución para este sistema utilizando la otra va-

riable y resuelvan la ecuación. e. ¿Cuál es la solución del sistema? f. ¿Pueden sustituir los valores que encontraron en cualquier ecuación? ¿Por qué?

Comenten en grupo si pueden resolver el sistema por otro método, cuál sería y si simpli ca o complica la resolución.

5s 2 u 5 3 22s 1 4u 5 212

Al resolver sistemas de ecuaciones:

• Conviene usar el método de sustitución cuando el sistema tiene una variable ais-lada o si hay, al menos, una variable con coe ciente 1. Pero, cuando el sistema es consistente y tiene un número in nito de soluciones, en el procedimiento pueden aparecer enunciados que son siempre verdaderos como 3 5 3 o 0 5 0, que te pue-den confundir.

• Conviene usar el método de igualación o el método grá co si se tiene la misma variable aislada o si es fácil aislarla en todas las ecuaciones. En el caso del mé-todo grá co, conviene cuando los coe cientes de las ecuaciones no tienen de-cimales ni fracciones, pero tiene varias desventajas: no siempre puedes saber exactamente dónde se intersecan las rectas que representan a las ecuaciones o, dependiendo de la escala y los coe cientes de las variables, es difícil representar las ecuaciones con exactitud. Por otra parte, el método de igualación sirve en pro-blemas en los que se tienen más de dos incógnitas, mientras que el grá co no es útil en estos casos.

• Conviene usar el método de reducción, o suma y resta cuando el coe ciente de una de las variables es múltiplo del coe ciente de la misma variable en otra ecua-ción. Si se usa con orden, este método puede ser más seguro que los otros. Su ma-yor desventaja radica en que en el procedimiento pueden aparecer fracciones o decimales que pueden hacerlo más tardado y complejo.

Sí, la variable s en la segunda ecuación.

t 5 0, u 5 5

Sí, porque son la solución del sistema.

s 5 4t 2 2u 1 9

13t 2 7u 5 235 ; s 5 4t 2 2u 1 9; 11t 2 u 5 25

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Decide cuál método de solución conviene utilizar

1. Analiza la situación y contesta.

Lourdes y Carmen van a decorar un salón de estas con globos metálicos y de hule. Por cada 2 globos de hule, colocarán 3 globos metálicos y necesitarán en total 300 globos. Cada globo de hule cuesta $3.60 y cada globo metálico, $5.40. Si su pre-supuesto es de $540, ¿cuántos globos de cada tipo deben comprar?

a. Escribe un sistema de ecuaciones que represente esta situación. Utiliza las va-riables x e y.

¿Qué representa la variable x? ¿Qué representa la variable y?

Uso del método y solución

2. Reúnete con dos compañeros, retomen la situación del problema anterior y hagan lo que se pide.

a. Analicen el sistema de ecuaciones y lean de nuevo los criterios mencionados en la lección 2 para resolver sistemas de ecuaciones.

¿Cuál método de solución conviene utilizar? ¿Por qué?

b. Utilicen el método que eligieron para resolver el sistema.

c. ¿Cuál es el conjunto solución? ¿Qué observan?

d. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Qué tipo de números se deben usar para que la solución tenga sentido?

e. ¿Cómo pueden Lourdes y Carmen tomar la decisión de cuántos globos comprar?

¿Podrían tomar una decisión diferente? ¿Por qué?

Comparen su solución con la de equipos que hayan usado métodos diferentes y discutan con el profesor qué se puede concluir.

Lección 3

x 1 y 5 3003.6x 1 5.4y 5 540

x 5 300 2 y3.6 (300 2 y)1 5.4y 5 5401080 2 3.6y1 5.4y 5 540

1.8y 5 2540 y 5 2540 4 1.8 y 5 2300

x 2 300 5300 x 5600

La cantidad de globos de huleLa cantidad de globos metálicos

x 5 600, y 5 2300Que uno de los valores es negativo.

Una

Positivos

Podrían encontrar la cantidad de globos de cada tipo usando la razón 3:2.

Sí, determinar la cantidad de globos considerando el presupuesto que tienen.

primera ecuación los coe cientes de las variables son 1.Sustitución, pues en la

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Contenido: Analizas las ventajas y desventajas de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

3. Retomen en parejas el problema de los globos y hagan lo que se pide.

a. Encuentren el valor de una de las variables del sistema.

b. Sustituyan el valor obtenido en la primera ecuación. c. Resuelvan la ecuación resultante y encuentren el valor de la otra incógnita.

d. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones? Verifíquenla.

e. ¿Qué signi ca la solución en términos del problema?

Comparen sus resultados con dos equipos y pregunten sus dudas a su profesor. Después analicen la siguiente información.

4. Usa los tres métodos estudiados y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. No olvides veri car la solución.

Validen sus resultados en grupo y comenten sus conclusiones.

Aplica lo aprendido y responde en el cuaderno.

1. Elige un método y resuelve los siguientes sistemas.

a. ¿Cuántas soluciones tiene cada sistema?

2. Responde.

¿Has encontrado alguna característica de los sistemas consistentes que tienen múl-tiples soluciones? Explica.

Compartan sus respuestas y comenten sus dudas sobre la resolución de siste-mas de ecuaciones.

Sin importar el método de solución que se elija para resolver un sistema de ecua-ciones, el conjunto solución que se obtiene es siempre el mismo. Si el sistema es inconsistente, no tendrá solución independientemente del método que se use para resolverlo. Si es consistente, se encontrará la misma solución independientemente del método utilizado para resolverlo. Esto ocurre ya que en cada paso del proceso de resolución se pasa a un sistema equivalente, con el mismo número de ecuacio-nes y la misma solución. Aunque a veces se tome una parte del sistema que se ha simpli cado para encontrar los valores de algunas variables, no hay que olvidar que la ecuación que no se considera tambien es parte del sistema.

x 5 y 2 1x 5 5 2 y

2x 1 2y 5 6 x 2 y 5 23

2x 1 y 5 55x 2 y 5 2

26x 1 2y 5 812

s 1 3t 5 6

13

s 1 5t 5 232x 2 y 5 7 y 5 2x 1 8

x 5 600

600 1 y 5 300

x 5 600, y 5 2 300

Que no hay presupuesto su ciente para comprar esa cantidad de globos.

R. L.

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

36 Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Problemas y sistemasde ecuaciones

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Un problema económico

1. Formen equipos de tres integrantes, lean la situación y resuelvan.

En Guanajuato se venden fresas durante el verano. En un análisis económico se en-contró que el precio de venta de este producto depende linealmente de la cantidadque se compra. El precio base es de $7.00 y por cada mil kilogramos de fresa que se demanda, el precio disminuye $0.40. También se encontró que el precio que jan los productores que abastecen el mercado aumenta $0.08 por cada mil kilogramos y su precio base es de $0.82. El precio de demanda es el precio máximo que pagaría un consumidor y el de oferta es lo mínimo que cobraría el productor cuando no hay demanda. Los economistas consideran que el mercado está en equilibrio cuando el precio de demanda y el precio de oferta son iguales. ¿Cuál es el precio de equilibrio en este caso?

a. Analicen la situación anterior. ¿Cuántas ecuaciones se requieren para resolver este problema? Justi quen su respuesta.

b. Si p es el precio del kilogramo de fresa y q es la cantidad en miles de kilogramos, ¿la ecuación p = 0.82 1 0.08q representa el precio de oferta?

c. ¿Qué ecuación representa el precio de demanda? d. Expliquen, en términos del sistema de ecuaciones formado, qué signi ca que el

mercado esté en equilibrio.

e. Discutan cuál método de solución conviene utilizar para resolver el sistema.

Validen sus respuestas con otros equipos y resuelvan sus dudas.

Análisis y resolución del problema

1. Retomen con su equipo la situación anterior y contesten. Arguméntenlas.

a. ¿Cómo se comporta el precio conforme aumenta la cantidad de fresas que se ofrece?

¿Les parece lógico este comportamiento? b. ¿Cuántos kilogramos de fresa están dispuestos a vender quienes abastecen el

mercado si el precio del kilogramo es de $1.40? c. ¿Cómo se comporta el precio de oferta conforme aumenta la cantidad de fresas

que se ofrece? ¿Les parece lógico este comportamiento?

Lección 1

Sí p 5 7 2 0.4q

14 000

Sí, pues si se demandan más

kilogramos de fresas, los productores pueden aumentar el costo de este.

Aumenta.

Que el mercado esté en equilibrio signi ca que la

Dos, una que represente el precio de oferta y otra el precio de demanda.

variable p debe tener el mismo valor en ambas ecuaciones.

El precio disminuye.

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Contenido: Utilizas sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.

d. ¿Cuántos kilogramos de fresa comprarán los consumidores si el precio del kilo-gramo es de $1.40?

e. Con el método que seleccionaron, resuelvan el sistema de ecuaciones en su cua-derno. ¿Qué solución encontraron?

f. Comprueben que su solución es correcta.g. ¿Qué signi ca la solución en términos del problema?

Comparen con otros equipos sus respuestas. Analicen si hubo diferencias entre sus respuestas y por qué ocurrió esto.

2. Haz lo que se pide para ambos problemas.

Problema 1: La ecuación para determinar el precio de demanda en pesos de las pe-ras en el estado de Sonora es p = 20.4q 1 6, con q en miles de kilogramos. El precio de oferta está dado por p = 0.07q 1 1.35. Encuentra el precio de equilibrio de las pe-ras en esta situación.

Problema 2: En la frutería de don Juan hay una caja con 98 frutas entre naranjas y to-ronjas; el número de naranjas excede al de toronjas en 24. ¿Cuántas naranjas y cuán-tas toronjas hay en la caja?

a. Analiza cada problema y escribe las ecuaciones que describen las situaciones planteadas.

b. Analiza las ecuaciones para determinar si representan lo que se espera. c. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Escribe todo tu procedimiento y verifí-

calo una vez que termines. d. Determina si la solución es lógica en términos del problema. Escribe tus conclu-

siones utilizando argumentos matemáticos.

Compara tu planteamiento y solución para cada problema con los de tres com-pañeros. Corrijan sus errores y resuelvan sus dudas con ayuda del profesor.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden utilizar en gran variedad de situa-ciones. Es importante comprender y analizar cada situación para escribir simbóli-camente las ecuaciones que la representan. El análisis de las ecuaciones permite seleccionar el método de solución adecuado.

7 250 Dos, una que represente el precio de oferta y otra el

p 5 1.85 q 5 12.875

Que se deben ofertar y

demandar 12 875 kilogramos de fresa para lograr un precio de oferta y demanda de $1.85 por kilogramo y de esta manera conseguir que el mercado esté en equilibrio.

p 5 20.4q 1 6; p 5 0.07q 1 1.35 para el problema 1, para el problema 2, n 1 t 5 98;n 5 t 1 28.

En el problema 1, para que el

mercado esté en equilibrio se deben ofertar y demandar 9 893.6 kilogramos de pera, logrando que el precio de este producto sea de $2.0426 por kilogramo, sin

embargo, no es posible esa exactitud en el precio ni en el peso cuando se vende el producto.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 2 Representación de un problema y uso de tablas

1. Reúnete con un compañero. Lean la situación y hagan lo que se pide.

El médico le recomendó a Mariana incluir en su dieta diaria leche y jugo de naranja, pues necesita aumentar el calcio y la vitamina A. Le dijo que dia-riamente tenía que completar 550 miligramos de calcio y 1 200 microgra-mos de vitamina A. Mariana encontró que 1 taza de leche contiene 304 mg de calcio y 448 mg de vitamina A, y que una taza de jugo de naranja contiene 40 mg de calcio y 480 mg de vitamina A. Mariana debe calcular cuántas tazas de leche y cuántas de jugo de naranja debe consumir mínimamente al día para asegurarse de consumir completa la dosis de los dos nutrientes suge-ridos por el médico.

b. ¿Cuáles serán las incógnitas de las ecuaciones?

c. Organicen la información del problema anterior en la tabla.

Taza de leche Taza de jugo de naranja Total necesario

Calcio en mg

Vitamina A en mg

¿Qué información del problema hay en las columnas de la tabla?

¿Qué información se presenta en los renglones?

d. Utilicen la información de la tabla para formar ecuaciones en las que x represen-te la cantidad de tazas de leche que Mariana debe consumir y y, la cantidad de tazas de jugo de naranja. Escríbanlas como enunciados.La ecuación para el consumo de calcio es: La ecuación para el consumo de vitamina A es:

¿En qué unidad se mide la cantidad representada en la primera ecuación?

¿En qué unidad se mide la cantidad representada en la segunda ecuación?

microgramo (mg). Es una unidad de medida de masa y corresponde a la millonésima parte de 1 g, es decir, 1 mg = 1 × 1026 g = 0.001 mg.

Glosario

a. ¿Cuántas ecuaciones se necesitan para resolver este problema? Justi - quen su respuesta.

Dos, una para representar la cantidad de calcio y

El número de tazas de jugo de

304 por x tazas de leche más 40 por y

448 por x tazas de leche más 480

otra para representar la cantidad de vitamina A sugerida por el médico.

naranja y el número de tazas de leche que debe tomar Mariana.

Las bebidas

Los nutrientes

tazas de jugo de naranja es igual a 550 mg de calcio.

por y tazas de jugo de naranja es igual a 1 200 g de vitamina A.

En miligramos

En microgramos

304

448

40

480

550

1 200

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Contenido: Utilizas sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.

e. Escriban y analicen el sistema de ecuaciones que resuelve el problema.

f. ¿Qué método consideran que es mejor para resolver el sistema que plantearon? ¿Por qué?

g. Resuelvan el sistema de ecuaciones lineales en su cuaderno y escriban la solu-ción a continuación.

Comprueben su solución en su cuaderno.h. Expliquen qué representa cada cantidad que obtuvieron.

i. ¿Qué le dirán a Mariana acerca de la cantidad mínima de tazas de leche que debe

consumir si aproximan la solución para que sea más fácil calcularlas?

Discutan su procedimiento y su solución con su profesor y el resto del grupo. Observen si todos obtuvieron el mismo resultado y por qué.

Las tablas se pueden utilizar para organizar la información de un problema que se quiere plantear con un sistema de ecuaciones lineales. Conviene hacer esta orga-nización de tal forma que las cantidades representadas por la misma variable es-tén en la misma columna. También ayuda escribir las ecuaciones como enunciados para que sea más fácil interpretarlas cuando se analiza si representan correctamen-te la situación del problema.

Practicar para avanzar

Resuelve el siguiente problema. Utiliza la estrategia sugerida en la lección. Escribe todas tus operaciones en el recuadro.

Dos especies de bacterias coexisten en un tubo de ensayo con dos nutrientes. La bacteria de tipo 1 consume 3 unidades del alimento 1 y la bacteria de tipo 2 consume 5 unidades del alimento 1, mientras que la bacteria de tipo 1 consume 4 unidades del alimento 2 y la bacteria de tipo 2 con-sume 2 unidades del alimento 2.

¿Qué población de bacterias puede sostenerse en el tubo si se suministran 15 000 y 30 000 unida-des respectivamente de cada alimento?

304x 1 40y 5 550 448x 1 480y 5 1 200

múltiplo del de la primera.

1.6875 tazas de leche y 0.925 tazas de jugo de naranja.

Que debe tomar dos tazas de leche y una de jugo de naranja diariamente.

El de reducción, pues el coe ciente de y en la segunda ecuación es

x 5 1.6875 y 5 0.925

Que debe tomar

3 214.3 bacterias de tipo 1 y 1 071.4 bacterias de tipo 2

x 5 3 214.3 y 5 1 071.4

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Lección 3 Otro problema con ecuaciones

1. Reúnete con dos compañeros y respondan.

Julio quiere invertir $12 000. Invertirá una parte en una cuenta que da 8% de interés simple anual y el resto en una cuenta que da 15% de interés simple anual. Julio ne-cesita calcular cuánto debe invertir en cada cuenta para obtener 12% anual sobre el total de la cantidad invertida.

a. Revisen con cuidado el problema. ¿Les recuerda alguno que hayan resuelto en secuencias anteriores? ¿Por qué?

b. ¿Qué representa la variable x? ¿Y la variable y?

c. Analicen de nuevo el problema y llenen la tabla con la información que requie-ren para resolverlo.

d. Escriban como enunciados las ecuaciones que representan este problema.

e. Escriban simbólicamente el sistema de ecuaciones que representa este problema.

f. ¿Cuál método de solución conviene utilizar para resolver el sistema de ecuacio-nes planteado? ¿Por qué?

g. Utilicen el método que eligieron para resolver el sistema. Escriban sus operacio-nes en el recuadro.

h. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Cuál es el conjunto solución? Veri quen que la solución sea correcta.

La variable x representa la cantidad

Ecuación 1: La cantidad de dinero que se deposite en cada cuenta sumará 12 000.

El de sustitución, pues es fácil despejar cualquiera de las variables de la primera ecuación.

Una.

x 5 5 142.86 y 5 6 857.14

Sí, porque se trata de hacer un reparto.

x 1 y 5 12 000 0.08x 1 0.15y 5 1 440

que invertirá en la cuenta que da 8% y y, la cantidad que invertirá en la cuenta que da 15%.

Ecuación 2: Lo que se obtenga de invertir la cuenta 1 a 8% de interés anual más lo que se obtenga de invertir la cuenta 2 a 15% de interés anual dará una ganancia de 1 440.

Inversión inicial 1

Cuenta 1 Cuenta 2 Total

1 12 000

Interés anual 0.08 0.15 1 440

x 5 12 000 5 y; y 5 6 857.14; 0.08(12 000 2 y) 1 0.15y 5 1 440x 1 6 857.14 5 12 000; 960 2 0.08y + 0.15y 5 1440; x 5 5 142.86; 0.07y 5 480

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Contenido: Utilizas sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.

i. ¿Qué representa la solución en términos de las variables del problema?

¿Qué le dirían a Julio para ayudarlo?

2. Formen parejas y resuelvan.

En un vivero, un jardinero compró el lunes 13 gardenias y 4 manzanos y pagó $487. El jueves compró 65 gardenias y 20 manzanos y pagó $2 435. Le interesa saber cuánto cuesta cada gardenia y cada manzano en ese vivero, pero en sus recibos no se especi ca.

a. Llenen la tabla con los datos numéricos del problema.

b. Escriban como enunciados las ecuaciones que representan este problema.

c. Escriban simbólicamente el sistema de ecuaciones que representa este problema.

d. ¿Cuál método de solución conviene utilizar? ¿Por qué?

Utilicen el método que eligieron para resolver el sistema en su cuaderno.e. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

¿Cuál es el conjunto solución? Veri quen que la solución sea correcta.

f. ¿Qué representa el conjunto solución en términos de las variables del problema?

¿Qué encontró el jardinero? g. ¿Puede el dueño del vivero vender las gardenias a $38? ¿Por qué?

h. Si las gardenias cuestan $1 cada una, ¿cuánto cuesta cada manzano? Y si cada

manzano cuesta $99, ¿cuánto cuesta cada gardenia?

Entra a la página www.esant.mx/fasema2-007 y modi ca las ecuaciones de los corredores. Resuelve el sistema para saber en qué punto están a la misma distancia de la meta y veri ca tu respuesta.

Herramientas académicas

El de reducción, pues los coe cientes de la segunda ecuación son múltiplos de

Múltiples soluciones

Puede ser cualquiera de las ecuaciones del sistema.

Que no se puede determinar el precio de las gardenias.Que, según la información que tiene, las ores pueden tener varios precios.

No, porque eso implicaría que regala los manzanos.

$1 cada una, entonces los manzanos cuestan $118.50 cada uno; y si los manzanos cuestan $99, entonces cada gardenia cuesta $7.

Si las gardenias cuestan

los de la primera.

Julio debe invertir $5 142.86 en la cuenta que da 8% y $6 857.14 en la de 15%.

Que

Que invierta $5 142 en la cuenta cuyo rendimiento es de 8% y $6 858 en la cuenta que da rendimiento de 15%.

13

por el costo de cada gardenia más 4 por el costo de cada manzano es igual a $487 y 65 por el

costo de cada gardenia más 20 por el costo de cada manzano es igual a $2 435.

1 13 4

Gardenias Manzanas Costo totalCompra

487

2 65 20 2 435

13x 1 4y 5487 65x 1 20y 5 2 435

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Comparen sus sistemas y soluciones con equipos que hayan usado distintos mé-todos de solución. Comparen también sus interpretaciones de cada solución. Después, comenten en grupo la siguiente información.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden utilizar en gran variedad de situacio-nes y contextos. Los problemas de sistemas de ecuaciones que has resuelto en esta y otras secuencias pueden servirte como ejemplo para representar problemas dife-rentes, pero que tienen la misma estructura matemática, es decir, son parecidos en términos de la forma de las ecuaciones o de lo que deseas encontrar. Por ejemplo, equilibrios y mezclas.

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Usa el método que te parezca más indica-do. Después, contesta.

Problema 1: Miguel está planeando poner un negocio de postres. Calcula que sus costos jos semanales serán de $3 000 y, además, le costará $10 elaborar cada pos-tre. Si vende sus postres a $15 cada uno, ¿cuál es el mínimo de postres que debe ven-der cada semana para que sus ingresos y sus costos sean iguales? ¿Cuánto serán el ingreso y los costos en este caso?

Problema 2: Una fábrica distribuye su producción en dos tiendas. Una de ellas pide el triple de mercancía que la otra, más 10%. Si la producción total es de 42 unidades por semana, ¿cómo se reparte la producción entre las dos tiendas?

a. Interpreta las soluciones en términos del problema correspondiente. Si es ne-cesario, restringe la solución para que el problema tenga sentido.

Valida tus respuestas con tus compañeros y comenten si han resuelto proble-mas similares en esta u otras secuencias.

Aplica lo aprendido y responde en el cuaderno.

1. Resuelve en tu cuaderno los problemas como lo hiciste en el resto de la secuencia. Escribe con claridad todo tu procedimiento para cada uno.

Problema 1: Una máquina sella 500 piezas por hora si la pieza no tiene hoyos y 369 si la pieza tiene hoyos. ¿Cuántas piezas de cada tipo sella la máquina en una semana de trabajo (40 horas) si hay 4 piezas sin hoyos por cada una con hoyos?

Problema 2: Una tienda compró una remesa de faldas y suéteres a $160 000. Los artículos cuestan $2 400 y $2 800 por unidad, respectivamente. Si la remesa contenía 65 artículos que se vendieron a $4 000 y $4 400 respectivamente y la ganancia fue de $96 000, ¿cuántas faldas y cuántos suéteres se compraron?

Revisen en grupo sus respuestas. Con ayuda de su profesor resuelvan sus dudas sobre la resolución de sistemas de ecuaciones.

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

Para el

problema 1, Miguel debe vender por lo menos 600 postres, para que de esta manera sus costos e ingresos sean iguales ($9 000) y no tenga pérdidas. Para el

problema 2, la primera tienda debe recibir 10 piezas y la segunda, 32 piezas.

Ver solucionario.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. A la casa de Manuela llegó la factura del teléfono por $1 200.54. Si solo habló a Chi-le, a donde la llamada cuesta $9.80 el minuto y a Canadá, a donde cuesta $8.86 el minuto, ¿cuánto tiempo habló Manuela a cada país, considerando que a Canadá habló el triple de tiempo que a Chile?

2. Una universidad cuenta con 240 garrafones de agua al día para empleados de tres facultades. La facultad de educación cuenta con 40 empleados, la de ciencias ad-ministrativas con 20 y en ingeniería hay 60 empleados.

a. ¿Cuántos garrafones se deben entregar en cada facultad de manera que el repar-to sea proporcional al número de empleados?

b. Si el número de empleados aumentara al doble en cada facultad, ¿cuán-tos garrafones se tendrían que entregar para que el reparto siguiera siendo proporcional?

c. ¿Será posible repartir de manera equitativa 100 garrafones? Explica tu respuesta.

3. Observa las ecuaciones.

I.2x 1 3y = 64x 1 y = 2

II.3x 1 y = 36x 1 2y = 6

III.2x 1 3y = 44x 1 6y = 2

a. En cada caso, ¿cuál método de solución usarías para resolver los sistemas? Explícalo.

b. Determina la solución y el tipo de solución de cada sistema.

1. 1. A la facultad de ingeniería, 120 garrafo-nes, 80 garra-fones a la de educación y 40 garrafones a la de cien-cias adminis-trativas.

La misma cantidad.

No, porque la mitad de garrafones, es decir, 50, deberían repartirse a las

R. M. En los tres casos usaría el método de reducción, porque el

Para el sistema I,

coe ciente de x en la segunda ecuación es múltiplo del de la primera.

la solución es x 5 0 y y 5 2, solo tiene una solución. El sistema II tiene muchas

soluciones. El sistema III no tiene solución.

facultades de educación y de ciencias administrativas de la siguiente manera: dos terceras partes (33.33) y una tercera parte (16.67) respectivamente.

Manuela llamó 33 minutos a Chile y 99 a Canadá.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa a partir de sus representaciones tabular, gráfi ca y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos ti-pos de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

Problemas de variación 37

Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Lección 1 Variación lineal e inversa

1. Analiza el problema y responde.

A continuación se muestra un ejemplo de cómo se pueden acomodar 36 cuadrados, sin dejar huecos, para formar un rectángulo.

¿Cuántas maneras distintas hay de acomodar los 36 cuadrados para formar un rec-tángulo sin dejar huecos?

a. Dibuja en tu cuaderno los demás rectángulos posibles.b. ¿Qué sucede con la altura de los rectángulos a medida que el tamaño de la base

aumenta? ¿Y cuando disminuye?

c. Traza en tu cuaderno una grá ca que relacione el tamaño de la base con la altu-ra cuando el rectángulo tiene un área de 36 cuadrados.

d. Si, en lugar de tener un área de 36 cuadrados, el rectángulo tuviera un área de72 cuadrados y la base fuera de 2 cuadrados, ¿cuál sería su altura?

e. Escribe una expresión algebraica que sirva para encontrar la altura (h) de un rec-tángulo de área de 72 cuadrados cuando se tiene el tamaño de la base. Dibuja la grá ca correspondiente en tu cuaderno.

¿Cuántos rectángulos diferentes hay con un área de 72 cuadrados?

f. ¿Qué sucede con el área del rectángulo cuando aumenta el tamaño de la altura si su base es de 2 cuadrados?

Escribe una expresión algebraica que sirva para encontrar el área del rectán-gulo para una base de 2 cuadrados y una altura h.

g. Dibuja en tu cuaderno la grá ca que relaciona el tamaño de la base con el área del rectángulo cuando su base es de 2 cuadrados.

Revisen en grupo sus respuestas y comenten qué variables se relacionan de ma-nera lineal en el contexto del área de un rectángulo, cuáles lo hacen de manera inversa y cómo lo saben.

Cuando el tamaño de la base aumenta el

36 cuadrados

12h 5 72/b

Área 5 2 3 h

Aumenta

tamaño de la altura disminuye, y viceversa.

Ver solucionario.

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Contenido: Resuelves problemas que se modelen por medio de la variación lineal e inversa en diversos contextos.

Tipos de variación

1. Lee la situación y responde.

Sara trabaja en una tienda de ropa en la que le hacen un pago jo de $1 500 mensua-les y, además, le dan 20% de comisión sobre lo que vendió en el mes.

a. Si vendió $15 000 durante un mes, ¿cuánto obtendrá a n de ese mes? b. Escribe una expresión algebraica que represente la relación entre la cantidad

vendida (x) y el sueldo que recibe Sara al nal de ese mes (y). Dibuja en tu cuaderno la grá ca correspondiente a la expresión anterior.

c. ¿Cuánto vendió Sara en otro mes si al nal le pagaron $4 000? ¿Y si le hubieran pagado $5 000?

d. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar lo que vendió Sara en el mes (x) si conoces lo que le pagaron a n de mes (y).

Traza en tu cuaderno la grá ca de la expresión algebraica anterior.e. ¿En qué caso se trata de una variación lineal? ¿Cuándo es una variación inversa?

Comenten lo que saben acerca de la variación lineal y la variación inversa.

2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

Al lanzar una piedra a un estanque, se forman círculos concéntricos en la super -cie del agua. El radio del círculo mayor está dado por r = 0.6t, donde t es el tiempo transcurrido, en segundos, a partir de que la piedra toca el agua.

a. ¿Cuál es el tiempo transcurrido si el radio del círculo mayor es de 30 cm? ¿Y si fuera de 45 cm?

b. Traza la grá ca que relaciona el radio del círculo mayor con el tiempo.c. Considera la relación entre el tamaño de los círculos y el tiempo transcurrido.

¿Se trata de una relación de variación lineal o inversa? Justi ca tu respuesta.

Practicar para avanzar

Resuelve en tu cuaderno.

1. Un jardín se renta para estas infantiles a un costo jo de $3 000 más $150 por niño que asista.

a. Dibuja la grá ca del costo total con respecto al número de niños.b. Escribe una ecuación que represente la relación entre el número de niños y el costo

del banquete. c. Encuentra el costo de una esta para 25 niños y otra para 40 niños. d. Si un cliente pagó $7 050 por una esta en ese jardín, ¿cuántos niños asistieron?e. Escribe una ecuación que sirva para encontrar el número de niños que asistieron a la es-

ta, dada la cantidad total que se pagó y dibuja su grá ca.

$4 500

y 5 0.2x 1 1 500

$12 500

$17 500

En ambos casos se trata de una variación lineal, pues los valores aumentan o disminuyen a la par.

x 5 (y 2 1500)/ 0.2

Ver solucionario.

Ver solucionario.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Solución de problemas de variación

1. Reúnete con un compañero para resolver el problema.

Mariana, Claudia, Andrés y Rafael realizan un viaje de 3 horas desde la Ciudad de Mé-xico. Mariana viaja en bicicleta, Claudia en tren, Andrés en autobús y Rafael en avión. ¿A qué lugar pudo haber viajado cada uno?

a. Encuentren en un mapa de México al menos un destino para cada persona y es-criban la distancia recorrida.

b. ¿Qué fórmula se puede utilizar para encontrar las distancias? c. ¿Qué sucede con la distancia recorrida a medida que la velocidad aumenta?

d. Tracen en su cuaderno una grá ca que relacione la velocidad con la distancia re-

corrida, para un tiempo de 3 horas.e. Localicen el recorrido de cada persona en la grá ca, es decir, el punto que repre-

senta la velocidad a la que viajó y la distancia que recorrió.

2. Retomen el problema anterior y hagan lo que se pide.

En otro viaje, Mariana, Claudia, Andrés y Rafael recorrieron una distancia de 500 km.

a. ¿Cuánto tardó cada uno si utilizaron los mismos medios de transporte que en el caso anterior?

b. ¿Qué fórmula se puede utilizar para encontrar el tiempo? c. ¿Qué sucede con el tiempo a medida que la velocidad aumenta?

d. Dibujen en su cuaderno una grá ca que relacione la velocidad con el tiempo

para una distancia de 500 km.e. Localicen el recorrido de cada persona en la grá ca. Recuerden que se trata de

un punto para cada una.f. ¿Cómo se comparan las expresiones algebraicas y las grá cas en cada

problema? g. ¿En qué casos se trata de una variación lineal y en cuáles, de una variación

inversa?

Comenten con sus compañeros y profesor sus respuestas y los procedimientos que siguieron para encontrarlas.

Lección 2

Mariana: Andrés:

Claudia: Rafael:

Mariana: Andrés:

Claudia: Rafael:

Tepotzotlán (60 km) R. M.

Querétaro (210 km) Cuernavaca (90 km)

Las Vegas (2 800 km)

d 5 vt

También aumenta.

25 horas 7.14 horas

16.67 horas

Disminuye.

La primera se resuelve con una multiplicación, y la segunda con una división.

En el primer caso la variación es lineal y en el segundo, inversa.

y 5 500

x

0.54 horas

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Contenido: Resuelves problemas que se modelen por medio de la variación lineal e inversa en diversos contextos.

Aplica lo que aprendiste.

1. En grupos de 3 o 4 estudiantes, realicen un registro de la manera en que se carga la batería de un celular. Sigan los pasos que se indican.

a. Anoten el porcentaje de capacidad de la batería del celular antes de cargarse.

b. Conecten el celular a la corriente y registren, cada 2 minutos, el avance en el por-centaje de capacidad de la batería. Usen una tabla como la siguiente para regis-trar sus resultados.

Tiempo (minutos) Porcentaje de capacidad de la batería

2

4

6

c. Gra quen en su cuaderno la relación entre el tiempo transcurrido y el porcenta-je de capacidad de la batería.

d. ¿Se trata de una relación lineal? ¿Cómo lo saben?

e. ¿Es una relación de variación inversa? Justi quen su respuestas.

2. Analiza la grá ca y responde en tu cuaderno.

a. La grá ca de la derecha muestra el reco-rrido de Marta y de Raúl de su casa hasta la tortillería. ¿Cuál es la distancia de la casa de Marta

y Raúl a la tortillería? ¿Cuánto tardó cada uno en llegar a la

tortillería? ¿Cuál es la velocidad de Marta para lle-

gar a la tortillería? ¿Y la de Raúl?

b. Dibuja una grá ca para Marta y una para Raúl que relacione el tiempo transcurri-do con la distancia recorrida.

c. Escribe una expresión que relacione el tiempo transcurrido con la distancia re-corrida para Marta y una para Raúl.

Marta Raúl

45

40

50

35

30

15

25

10

10

20

5

0 20 30 40 50 60 70 80 90100

Dis

tanc

ia a

la t

orti

llería

(m)

Tiempo (minutos)

Explica en tu cuaderno lo que aprendiste sobre los problemas de variación lineal e inversa. Compártelo con el grupo con ayuda del profesor.

39%

R. L.

Sí, pues mientras más tiempo

50 metros

Marta 60 min y Raúl 30 min.

Marta: y 5 2 56 x 1 50 y Raúl: y 5 2 5

3 x 1 50

2. a.0.833 metros por minuto y 1.667 metros por minuto respectiva-mente.

permanezca conectado el celular mayor es la carga también.

No, porque de ser así la carga debería disminuir mientras el tiempo aumenta.

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Secuencia didáctica

38 Aprendizaje esperado: Calcularás el perímetro y área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.

Lección 1

Área de polígonos regulares

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Subdivisión de un polígono en fi guras conocidas

1. Observa la gura y haz lo que se solicita.

a. Si no conoces la fórmula para encontrar el área de un pentágono regular, ¿cómo puedes subdividir este polígono en triángulos o en cuadriláteros para calcu-lar su área? Ilustra tu respuesta en el pentágono de la derecha.

Compara tu respuesta con las de dos compañeros y comenten qué datos nece-sitan para calcular el área del pentágono a partir de la división que cada uno realizó.

Deducción de la fórmula para encontrar el área

1. Sigue los pasos que se proponen. Utiliza regla y compás.

¿Qué sucede entre la circunferencia y los vértices del polígono? v. Une con segmentos de recta el circuncentro con cada vértice del polígono.

¿Qué tipo de triángulos se forman? ¿Qué datos necesitas conocer o medir para obtener el área de cada

triángulo?

a. Con una regla, obtén los datos que necesitas y calcula el área de cada triángulo. Una vez que la hayas calculado, ¿cómo puedes encontrar el área del pentágono?

Representa, con una expresión algebraica, el área del pentágono.

i. Elige un lado del pentágono de la izquierda y traza su mediatriz. Para eso, dibuja dos circunferencias del mismo tamaño en los vértices del lado que ele-giste, de tal forma que se intersequen en dos pun-tos. Une los puntos con una línea y prolóngala.

ii. Repite el proceso con otro lado del pentágono.iii. Marca el circuncentro.iv. Traza la circunferencia con centro en el circun-

centro y que pase por uno de los vértices del pentágono.

mediatriz.Es la recta perpendicular a un segmento o lado que pasa por su punto medio.circuncentro.Es el punto donde se intersecan las mediatrices.

Glosario

Área del pentágono 5 5(base 3 altura)2

La circunferencia pasa por todos los vértices del polígono.

Isósceles congruentes

La base y la altura

Sumando las áreas de los 5 triángulos o multiplicando el área de uno de ellos por 5.

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Contenido: Deduces la fórmula del área de polígonos regulares.

2. Analiza la fórmula y responde.

Área de un heptágono 5 Suma del área de los 7 triángulos 5 7 3 Base 3 altura2

Analiza con tus compañeros si sus fórmulas funcionan con cualquier polígono.

a. ¿Se obtiene el mismo resultado si se calcula el área de uno de los triángulos y se multiplica por 7 que si se multiplica 7 3 base 3 altu-ra y luego se divide entre 2? ¿Por qué?

b. ¿Qué nombre se da al resultado de multiplicar la base de uno de los triángulos por 7?

c. Con base en la respuesta del inciso b, escribe una fórmula para calcular el área del heptágono.

A la altura del triángulo que se ha emplea-do se le denomina apotema. La apotema es el segmento perpendicular a un lado del polí-gono que une el punto medio del lado con el circuncentro. Apotema

Practicar para avanzar

Lee la situación y responde.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Corrige si es necesario.

1. Una fuente está adornada con anillos hexagonales de distintos colo-res. Considera que el anillo morado tiene lados de 4 m y el hexágono verde tiene lados de 1 m. Además, la apotema del hexágono verde y el ancho de los anillos es de 0.87 m.

a. ¿Cuánto mide el área del hexágono verde del centro? b. ¿Cuánto mediría el área del hexágono amarillo si no tuviera el hexágono verde en su inte-

rior? c. ¿Qué operación debes hacer para encontrar el área del anillo amarillo si conoces el área

del hexágono amarillo y del hexágono verde?

d. ¿Qué tienes que hacer para encontrar el área del anillo hexagonal azul?

e. ¿Cuánto miden las áreas de los anillos hexagonales?

base

altura

2.61 m2

Perímetro

Restar el área del hexágono verde al área

del hexágono amarillo.

Restar el área del hexágono amarillo al área del hexágono azul.Anillo morado: 18.27 m2;

anillo azul: 13.05 m2; anillo amarillo: 7.83 m2

10.44 m2

Área del heptágono 5 Perímetro3altura2

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

La fórmula

1. Observa los pasos que se ilustran y haz lo que se pide.

a. Describe el procedimiento que se sigue en la ilustración.

¿Cómo se llama el cuadrilátero que se forma con el pentágono?

b. Observa la gura del paso 4, en la cual se copia el cuadrilátero del paso 3, se rota 180° y se une al original. Luego contesta.

¿Cómo se llama el cuadrilátero que se forma en el paso 4? ¿Qué relación hay entre la base del cuadrilátero del paso 4 y el perímetro del

pentágono del paso 1? ¿Cómo se calcula el área del cuadrilátero del paso 4?

¿Qué se tiene que hacer para calcular el área del pentágono a partir del área

del cuadrilátero? Explica por qué el área del pentágono se calcula multiplicando su perímetro

por la altura de uno de los triángulos que lo conforman y dividiendo el resulta-do entre dos.

Con base en lo anterior, escribe una fórmula para encontrar el área de un pen-tágono regular.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten si la fórmula fun-ciona para todos los polígonos regulares y si equivale a la que obtuvieron antes.

Lección 2

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Paso 4

Localizar el circuncentro

Trapecio

Romboide

Miden lo mismo.

Dividir entre dos.

El área del romboide se calcula multiplicando su base (el perímetro del pentágono) por su altura (apotema), pero este resultado es el

doble del área del pentágono, ya que el romboide está formado por el doble de triángulos. Por ello el resultado se divide entre 2.

Área del cuadrilátero 5 Perímetro del pentágono (base) 3 apotema (altura)

del pentágono y dividirlo en cinco triángulos iguales uniendo con segmentos

de recta el circuncentro con cada uno de sus vértices. Luego acomodar los segmentos de forma horizontal, alternando su orientación (base).

Área del pentágono 5 Perímetro3apotema2

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2. Lee los pasos para deducir la fórmula del área de un octágono y contesta.

¿Por qué es necesario duplicar el paralelogramo en la justi cación de la fór-mula del área?

3. A partir de lo que has hecho, explica en tu cuaderno la siguiente fórmula.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Aplica lo que aprendiste.

1. Formen equipos de tres alumnos y hagan la actividad siguiente.

Al unir los puntos medios de seis aristas de un cubo, como se muestra en la gura de la derecha, se obtiene un hexágono regular.

2. Calcula el área del hexágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 3.5 cm.

a. Si se duplica la medida de cada lado y de la apotema, ¿también se duplicará su área? Si no es así, ¿cuántas veces es más grade el área del hexágono cuyos la-dos miden el doble?

b. Si se triplica la medida de los lados y de la apotema, ¿cuántas veces más grande será el área del hexágono que la del hexágono original?

Presenten al grupo sus resultados, argumenten y validen sus respuestas con el profesor y, si es necesario, corrijan.

Contenido: Deduces la fórmula del área de polígonos regulares.

i. Encuentra el circuncentro del octágono. ii. Divide el octágono en ocho triángulos iguales.

¿Qué cuadrilátero se forma al juntar los ocho triángulos?

iii. Copia el cuadrilátero y únelo con el original ¿Por qué no es necesario rotarlo 180°?

a. Con material reciclable, construyan un cubo con un hexágono re-gular en su interior.

b. Con una regla, obtengan las medidas necesarias y calculen el área del hexágono.

¿Qué es mayor: el área del hexágono o el área de una cara del cubo?

Área de un polígono regular 5 (Perímetro 3 apotema)2

Un romboide

Porque los triángulos ya están alternados.

Para que la base del paralelogramo sea igual al perímetro del octágono.

El área del hexágono

El área del hexágono original es 42 cm2 y la del hexágono con el doble

9 veces grande

de dimensiones, 168 cm2, así que el área es cuatro veces más grande

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Calcularás el perímetro y área de polígonos regulares y del círculo a partir de diferentes datos.

Área del círculo39

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Lección 1 El círculo y la circunferencia

1. Luis puso como reto decidir en cuáles de los siguientes diseños se usa la misma cantidad de pintura verde y magenta y explicar por qué.

a. Observa los diseños y rodea los que tienen la misma cantidad de pintura verdey magenta.

b. Compara tus respuestas con las de un compañero. Luego contesten. ¿Qué guras se usaron para construir los diseños? ¿Qué indica el punto en cada diseño? ¿Qué tienen en común los cuatro diseños? ¿En qué son diferentes?

¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

El círculo y su área

1. Observa en qué se parecen y en qué son diferentes los círculos.

a. Elige un círculo, traza uno de sus radios, un diámetro e identi ca el área y su circunferencia.

Lección 1

Círculos

El círculo exterior es del mismo tamaño, pero los círculos interiores varían.

La circunferencia es el perímetro de la gura, mientras que el círculo es el área y el perímetro de la gura.

En algunos casos es el centro de algún círculo.

Área

Circunferencia

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Contenido: Deduces y utilizas la fórmula para calcular el área del círculo.

b. ¿Qué propiedad tienen los radios de la misma circunferencia?

c. ¿Ocurre lo mismo con los diámetros? ¿Por qué?

d. ¿Qué relación hay entre el radio y el diámetro de la misma circunferencia?

e. ¿Cuál de los círculos tiene mayor super cie? ¿Cómo lo sabes?

f. ¿Con qué estrategia puedes comparar las super cies de los círculos?

2. Una forma de comparar cuánta pintura se usó en los diseños de la actividad inicial es conocer cuánta super cie ocupa cada uno, es decir, calcular sus áreas.

a. Propón dos ideas para calcular el área del círculo a partir de lo que aprendiste sobre el área de polígonos.Idea 1. Idea 2.

Reúnete con un compañero, comparen sus ideas y calculen el área de un círculo con 2 cm de radio.

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuen-tran a la misma distancia de un punto jo llamado centro.

Un círculo es el conjunto de puntos del plano que están dentro de la circunferencia.

Practicar para avanzar

1. En parejas calculen el área de los círculos de la derecha utilizando las estrategias que propusieron. Noten que el radio de la circunfe-rencia pequeña mide la mitad del radio de la otra circunferencia.

a. ¿Se puede asegurar que el área del círculo pequeño es la mitad del área del círculo grande? ¿Por qué?

Comparen las respuestas con otros equipos y coméntenlas con su profesor.

Todos son iguales (miden lo mismo).

No, pues si suponemos que el radio del círculo pequeño es 1 cm obtendremos que su área es igual a 3 cm2, y el área del otro círculo es 12 cm2.

R. L.

Sí, porque cada diámetro está formado por dos radios.

El diámetro es el doble de la medida del radio.

El amarillo, porque sus dimensiones son mayores que las del resto.

Comparar las medidas de los radios, pues mientras mayor sea este, mayor será la super cie del círculo.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Una fórmula para calcular el área de un círculo

1. En equipos de tres integrantes, consigan tijeras, regla, compás, cinta adhesiva y hojas recicladas, y sigan las instrucciones.

i. Cada uno trace una circunferencia de 3 cm de radio con el compás.ii. Pónganse de acuerdo y dividan los círculos en 4, 6 y 16 sectores circulares.iii. Recorten los sectores circulares.iv. Sobre una hoja de papel, unan los lados rectos de los sectores circulares con

cinta adhesiva, como se muestra en la imagen.

v. Tracen con una regla los segmentos en la de parte superior e inferior de la gura que formaron. Observen el ejemplo.

a. ¿Qué polígono se formó con las líneas que trazaron? b. ¿Es posible calcular el área del círculo a partir del polígono formado? ¿Por qué?

c. ¿Qué relación tienen la base y la altura del polígono con el radio del círculo?

d. Propongan una fórmula para calcular el área de círculo.

2. Observa la imagen y haz lo que se pide.

a. Describe el procedimiento que se realizó para obtener la imagen de la derecha a partir del círculo de radio r.

Lección 2

Entra a la página www.esant.mx/fasema2-008. Modi ca el número de lados del polígono y observa lo que sucede.

Herramientas académicas

Área 5 pr2

Sí, porque podemos observar que sus áreas son similares.

Un romboide

Se divide el círculo en 36 sectores circulares, se recortan los sectores circulares y se unen.

perímetro del círculo, es decir, pr.La altura es equivalente al radio (r) y la base es, aproximadamente, la mitad del

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Contenido: Deduces y utilizas la fórmula para calcular el área del círculo.

b. ¿Qué representa la línea roja? ¿Cómo se calcula su longi-tud?

c. ¿Qué se debe hacer para obtener una gura similar a la que construiste?

d. Observa tus guras y la imagen de la derecha. ¿Qué gura se va formando conforme el círculo se divide en más y más sectores circulares?

e. ¿Cuánto miden la base y la altura de la gura que se forma?

3. Lee la información y escribe en tu cuaderno por qué se llega a esa a rmación.

Aplica lo que aprendiste.

1. Luis elaboró con GeoGebra los diseños que usó en la feria de Matemáticas. Utili-zó las herramientas del programa para conocer el área de los círculos. La imagen muestra los datos del segundo diseño.

Compara tus resultados con el resto del grupo, revisen sus procedimientos y, si es necesario, corrijan.

A medida que se divide el círculo en un mayor número de sectores, la gura que se obtiene se asemeja más a un romboide. La base del romboide mide la mitad del pe-rímetro del círculo (longitud de la circunferencia), es decir, πr y su altura es igual al radio (r). La fórmula para calcular el área del romboide es multiplicando la base por la altura, es decir, A 5 b 3 a 5 r 3 r.Con base en lo anterior se observa que la expresión matemática que sirve para calcular el área de cualquier círculo es A = πr2.

a. Responde con base en la información. ¿De qué color se usó más pintura? ¿Por qué?

¿Cuánto mide el radio de cada circunferencia?

b. Calcula las áreas de los demás diseños elaborados por Luis e identi ca en qué casos se usó una mayor, me-nor o igual cantidad de pintura magenta que verde.

Dividir a la mitad la gura y unirlas para obtener un romboide.

Representa el perímetro del círculo; multiplicando el valor del diámetro por p.

Un romboide

La base mide, aproximadamente, la mitad del perímetro del círculo y la altura es casi igual al radio.

la misma cantidad de pintura verde y magenta.

radio de los círculos pequeños es de, aproximadamente, 1.5 cm y el del círculo grande, 3 cm.

Se usó

El

Diseño 1: Pintura verde: 14.1372 cm2; pintura magenta: 14.1372 cm2

Diseño 3: Pintura verde: 12.5664 cm2; pintura magenta: 15.708 cm2

Diseño 4: Pintura verde: 21.2058 cm2 ; pintura magenta: 7.0686 cm2

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Resuelvo con tecnología

Aproximación del área del círculoReúnete con un compañero y sigan los pasos para aproximar el área del círculo.

1. Entren a la página de GeoGebra y den clic en GeoGebra Geometría.

3. Para inscribir polígonos de diferente número de lados, inserten un deslizador con el icono que se muestra en la imagen 2. Si no ven el icono, den clic en MÁS en la parte inferior del menú de la izquierda.

4. Den clic en la parte inferior de la ventana. Apa-recerá la ventana de diálogo que se muestra en la imagen 3. Elijan la opción “Entero”, in-gresen los valores: Mín 3, Máx 100 e Incremen-to 1, como se muestra en la imagen 3. Luego den clic en OK.

5. Con la herramienta Ángulo dada su amplitud tracen un ángulo. Seleccionen los puntos B y A, en ese orden, e ingresen el “360/n°” en la pantalla que aparece. Observen que GeoGe-bra realiza el cálculo dependiendo del valor del deslizador n.

Den clic en OK y observen que aparece un pun-to sobre la circunferencia.

2. Tracen una circunferencia y, con la herramien-ta de la sección Medición, Área, calculen el área del círculo. Para lo anterior, hagan clic en cualquier punto de la circunferencia.

Imagen 1

Imagen 3

Imagen 4

Imagen 2

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a. ¿Qué pasa con el área del polígono conforme va aumentando el número de lados en relación al área del círculo?

b. ¿Qué ocurre con la apotema del polígono conforme aumenta el número de lados?

c. ¿Qué relación tiene la apotema con el radio conforme se incrementa el número de lados?

Con base en sus respuestas, y con ayuda del profesor, qué relación encuentran entre la fórmula del área del círculo y la fórmula del área del polígono cuando se incrementa el número de lados.

6. Con la herramienta Polígono regular, selec-cionen ambos puntos sobre la circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj. En la ventana que aparece, ingresen n como el número de vértices. Luego den clic en OK.

7. Tracen la apotema del polígono. Con la he-rramienta de Construcción, Medio o centro, ubiquen el punto medio de uno de los lados y unan el centro de la circunferencia con este punto mediante un segmento de recta.

8. Con la herramienta Área, obtengan el área del polígono.

9. Seleccionen el punto que aparece sobre el deslizador y muévanlo a la derecha poco a poco. Observen que aumentan el número de lados y el área del polígono.

Imagen 5

Imagen 6

Imagen 7

Cuanto mayor es el número de lados, la medida de la apotema se aproxima más a la medida

Incrementa su medida.

También aumenta y se aproxima al valor del área del círculo.

del radio.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Calcularás el volumen de prismas y cilindros rectos.

Volumen de prismas y cilindros 40

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Lección 1 Volumen de prismas rectangulares

1. Observa la gura y responde.

Cada uno de los cubos que conforman el prisma tiene un volumen de 1 cm3.

Comenta con tus compañeros si en un prisma rectangular es importante decidir cuál de las caras es la base para calcular su volumen. Justi quen su repuesta.

Volumen de prismas

1. Observa la imagen, analiza la información y contesta.

c. ¿Cuál es la fórmula para encontrar el volumen de un prisma poligonal?

d. Si en lugar de conocer la altura del triángulo se conociera la distancia de su cir-cuncentro al punto medio de uno de sus lados (apotema), ¿se podría utilizar la fórmula del inciso c?

Calcula el volumen del prisma utilizando una apotema de 3.46 cm y valida que obtienes el mismo resultado que en el inciso a.

a. ¿Cuánto mide el área de la base del prisma? b. ¿Cuánto mide su altura? c. ¿Cuánto mide el volumen del prisma? d. Si colocas el prisma de tal manera que su base sea la

cara que mide 3 3 4 cm, ¿cuánto mide la altura del prisma?

e. ¿Cuánto mide su volumen?

Para encontrar el volumen del prisma triangular de la izquier-da, se han hecho cortes transversales paralelos de 1 cm de alto de tal manera que el triángulo de la base se repite muchas veces.

En general, el volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura del prisma.

a. Si los lados del triángulo miden 12 cm y su altura 10.39 cm, ¿cuál es el volumen del prisma?

b. Si la base del prisma fuera un polígono regular, ¿cuál sería la fórmula para encontrar su área?

20 cm2

60 cm3

60 cm3

3 cm

5 cm

748.08 cm3

Área 5 Perímetro3apotema2

Volumen 5 área de la base 3 altura 5 Perímetro3apotema2

3 altura

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Contenido: Calculas el volumen y otras dimensiones de prismas y cilindros rectos.

2. Calcula el volumen de cada prisma y en cada caso anota la fórmula con los datos correspondientes. Todos los prismas tienen una altura de 4 cm y sus bases son po-lígonos regulares. Anota tus resultados en la tabla.

Prisma Perímetro de la base Área de la base Volumen del prisma

Triangular

Cuadrangular

Pentagonal

Hexagonal

Heptagonal

a. Para calcular el volumen de un prisma rectangular es indistinto cuál de sus ca-ras se considera la base. ¿Ocurre lo mismo con un prisma hexagonal? ¿Por qué?

¿Es correcto multiplicar el área de la cara rectangular por el doble de la apote-ma del hexágono para encontrar su volumen? ¿Por qué?

Comparte con tus compañeros tus respuestas y preséntaselas a tu profesor.

1.3 cm

1.35 cm

2.59 cm

0.75 cm

2.12 cm

1.06 cm

1.77 cm

1.21 cm

1.53 cm

1.29 cm

4 cm

Practicar para avanzar

1. Resuelve el problema.

El Fuerte de Acapulco tiene un patio central en forma de prisma pentagonal. Si cada lado mide 30 m, la apotema mide 20.65 m y la altura mide 5 m, ¿cuál es el volumen de ese espacio?Volumen del patio:

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Corrige si es necesario.

No, porque dos de sus caras son diferentes de las demás.

ejemplo que los resultados no son los mismos (23.6844 cm3 y 15.7896 cm3).

No, pues al usar esta

7 743.75 m3

fórmula se estaría “cortando” el volumen lateral del prisma. Podemos con rmar con el

7.77 cm 2.9138 cm2 11.655 cm3

8.48 cm 4.4944 cm2 17.9776 cm3

8.85 cm 5.3543 cm2 21.417 cm3

9.18 cm 5.9211 cm2 23.6844 cm3

9.1 cm 6.1425 cm2 24.57 cm3

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

¿Cuánto deben medir?

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

Una caja octagonal tiene un volumen de 812 cm3. Si la apotema mide 7 cm y la altura de la caja es de 5 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la caja?

a. Observa el ejemplo y explica qué operación se realizó en cada paso.

Volumen 5 P 3 a2 3 h

i. 8125 5

P 3 72 3 5

5

ii. 162.4 5 P 3 72

iii. 162.4 3 2 5 P 3 72 3 2

iv. 324.8 5 P 3 7

v. 324.87 5 P 3 7

7

vi. 46.4 5 P

2. Resuelve el problema con base en lo que has aprendido.

La imagen representa uno de los 52 pisos de una torre hexagonal que tiene 365 040 m3 de volumen. Si cada lado del hexágono mide 30 m y la altu-ra de cada piso es de 3 m, ¿cuánto mide la distancia entre las ventanas opuestas del edi cio?

a. ¿Cómo puedes determinar la distancia entre ventanas opuestas del edi cio?

b. Sustituye los valores que se conocen en la fórmula y despeja el valor que se ne-cesita saber.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Lección 2

Al procedimiento de dejar únicamente la incógnita P de uno de los lados de la ecua-ción se le conoce como despeje.

Se dividen ambos lados de la ecuación entre 5.

Se simpli can ambos lados de la ecuación.

Se multiplican ambos lados de la ecuación por 2.

Se simpli can ambos lados de la ecuación.

Se dividen ambos lados de la ecuación entre 7.

Se simpli can ambos lados de la ecuación.

Multiplicando la medida de la apotema por 2.

365 040 5 10403 a 26 5 a

365 040 5 1080 3 a

2 3 156 36 504014 040

5 a

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Contenido: Calculas el volumen y otras dimensiones de prismas y cilindros rectos.

El volumen de un cilindro

3. Reúnete con un compañero y respondan.

a. ¿A qué gura se asemeja un prisma conforme aumenta el número de lados de su base?

b. ¿Se puede utilizar la misma fórmula para calcular su volumen?

c. ¿Qué forma tiene la base de un cilindro? d. ¿Cómo se calcula el área de esa gura? e. Escriban la fórmula para calcular el volumen de un cilindro cuya altura mide h y

cuyo radio mide r centímetros.

Volumen:

4. Utilicen la fórmula que obtuvieron para resolver el problema.

Una pipa cilíndrica cuyo interior mide 4 m de largo y tiene un radio 0.80 m está lle-na de agua. El líquido será vaciado en tinacos cilíndricos que tienen un diámetro de 1.10 m y una altura de 1.40 m. Calcula el volumen y la capacidad de la pipa y los tina-cos, y el número de tinacos que se pueden llenar con el agua de la pipa. Considera que 1 dm3 5 1 L. Anota tus operaciones en el recuadro.

Compartan sus respuestas con sus compañeros.

5. En parejas, consigan una lata de refresco y hagan lo que se pide.

a. Midan el diámetro de la base y su altura. Supongan que se trata de un cilindro perfecto y calculen su volumen, su capacidad y su super cie total. Considera que 1 cm3 5 1 mL.

b. ¿Es posible diseñar otra lata de refresco que contenga el mismo volumen, pero cuya super cie tenga un área diferente?

c. Si se conocen el volumen y el radio, ¿cómo se puede calcular la medida de la al-tura de la lata?

Compartan sus respuestas con sus compañeros.

A un cilindroNo

Círculo

Volumen de la pipa: 8.0425 m3 Volumen de cada tinaco 1.3305 m3

La pipa se llena con 6 tinacos y sobran 0.0595 m3 de agua.

p 3 r2 3 h

A 5 p 3 r2

Realizando la siguiente operación: Altura 5 Volumenp 3 radio2

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

6. Retomen el problema de las latas y hagan lo que se indica para veri car si pueden tener la misma capacidad y diferente super cie.

a. Si la capacidad de la lata es la misma y el radio aumenta, ¿qué ocurrirá con la al-tura?

b. Completa la tabla. En la segunda columna, escriban diferentes valores para el radio y calculen la altura para que la capacidad sea de 350 mL. Luego, con base en esto, encuentren el área de la base, el área lateral y el área total.

Capacidad de la lata

Radio de la base

Altura del cilindro

Área de la base Área lateral Área total

350 mL 1 cm

350 mL 2 cm

350 mL

350 mL

¿Es posible diseñar una lata con la misma capacidad y menos super cie que las que se venden en las tiendas?

¿Por qué piensan que las latas de refresco usualmente tienen esas dimensio-nes y no otras?

¿Qué otros factores se tendrán en cuenta al decidir qué dimensiones tienen las latas de refresco?

Comparen sus resultados con la respuesta que dieron al principio del ejercicio.

Aplica lo que aprendiste.

1. Cuatro cubos de hielo que miden 4 cm por lado se dejan derretir en un vaso cilín-drico vacío que tiene un radio de 3 cm.

a. ¿Qué volumen tiene cada cubo? b. ¿Qué volumen de agua tendrá el vaso? c. ¿Qué altura alcanzará el agua dentro del vaso una vez que los hielos se hayan de-

rretido por completo?

Comenta con tus compañeros cuáles operaciones tuviste que llevar a cabo para resolver los problemas anteriores.

Si se desdobla un cilindro, con su cara lateral se forma un rectángulo cuya base tie-ne la misma longitud que la circunferencia del círculo. De esto se deduce que para calcular el área lateral del cilindro se puede usar la fórmula:

Área lateral = 2πrh

R. M. Probablemente no.

64 cm3

256 cm3

9.05 cm

Para minimizar la cantidad de material para fabricar la lata.

El espacio que ocupan en los refrigeradores y en los camiones que se usan para transportarlas

3 cm

4 cm

111.41 cm 3.14 cm2 700 cm2 706.28 cm2

27.85 cm 12.57 cm2 350 cm2 375.14 cm2

12.38 cm 28.27 cm2 233.33 cm2 289.87 cm2

6.96 cm 50.26 cm2 174.92 cm2 275.44 cm2

Disminuirá

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. El Departamento de Defensa de Estados Unidos de América, conocido, como el Pen-tágono, tiene la forma de este polígono regular. Su super cie es de 135 580.02 m2 y cada uno de sus lados mide 280.72 m. Calcula la apotema de la construcción.

2. Resuelve los problemas e indica si son de variación lineal o inversa.

a. En un centro vacacional, la noche en una habitación ecológica cuesta $3 000. ¿Cuál es el costo de 5 habitaciones ecológicas? ¿Y de 10 habitaciones?

b. Una llave vierte 80 litros por hora y tarda 4.5 horas en llenar una cisterna.¿Cuánto tiempo tomará llenar la misma cisterna si se tiene una llave extra que vierte 48 litros por hora?

3. Calcula el volumen de los cuerpos geométricos.

300 cm 150 cm20 cm

20 cm30 cm

40 cm

20 cm

15 cm

V = V = V =

193.188 m

El costo es 15 000 y 30 000 respectivamente. La variación es lineal.

Tardará 2 horas 48 minutos y 45 segundos (2.8125 horas).

1 350 000 cm3 8 000 cm3 4 712.39 cm3

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Secuencia didáctica

Sistema métrico decimal 41

Metro(m)

Decímetro(dm)

Centímetro(cm)

Milímetro(mm)

Kilómetro(km)

Hectómetro(hm)

Decámetro(dam)

Comparación de medidas

1. En equipos, analicen los problemas y contesten.

Problema 1. La línea 12 del metro de la Ciudad de México tiene 25 km de longitud, mientras que la línea 8 tiene 20 000 m. ¿Cuál de esas líneas es más larga? Problema 2. Según una receta, para hacer una pizza se necesitan 1 taza de harina y 34 de taza de agua tibia, entre otros ingredientes.

¿Cuántas pizzas se pueden hacer con 1 kg de harina? Considera que una taza contiene entre 120 y 130 gramos de harina.

Si la capacidad de una taza es de 250 mL, ¿cuánta agua se necesita para elabo-rar 10 pizzas? ¿Es más o menos que un litro?

Compartan sus respuestas con sus compañeros y comenten con ellos si tienen la información necesaria para resolver los problemas.

Múltiplos y submúltiplos del metro

1. El diagrama muestra la relación entre las medidas de longitud. Léelo detenida-mente y haz lo que se pide.

a. Con la información anterior, calcula a cuántos metros equivale cada medida.

b. Retoma el problema 1, con base en el ejemplo de abajo, haz la conversión y con-testa qué línea es más larga.

Sistema métrico decimal 41

Lección 1

Metro(m)

Decímetro(dm)

Centímetro(cm)

Milímetro(mm)

Kilómetro(km)

Múltiplos Submúltiplos

Hectómetro(hm)

Decámetro(dam)

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

15

1 km 5

1 hm 5

1 dam 5

1 dm 5

1 cm 5

1 mm 5

15 hm equivalen a m. 25 km equivalen a m.

0 0

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra).

1 500

7 – 8 pizzas

1 000 m 0.01 m100 m 0.1 m

10 m0.001 m

25 000

00025

La línea 12.

La línea 12

1 875 mL Más

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Contenido: Resuelves problemas que implican la conversión entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y gramo.

Metro(m)

Decímetro(dm)

Centímetro(cm)

Milímetro(mm)

Kilómetro(km)

Hectómetro(hm)

Decámetro(dam)

Múltiplos y submúltiplos del litro

2. El diagrama muestra la relación entre las medidas de capacidad. Obsérvalo y com-pleta las equivalencias.

a. Observa las equivalencias anteriores. Retoma el problema 2 y contesta qué cantidad de agua se necesita para hacer las pizzas. Apóyate con el diagrama.

Compara tus respuestas del problema inicial con las que obtuviste en las activi-dades. Si no obtuviste el mismo resultado analiza por qué.

Practicar para avanzar

1. Observa los ejemplos y haz las conversiones.

a. 25.5 km son m. c. 28 cm son m. e. 50.2 cm son m.

b. 18 dm son mm. d. 120 m son km. f. 15 mm son m.

Comenta con tus compañeros en qué situaciones es necesario hacer conversiones entre unidades.

Litro(L)

Decilitro(dL)

Centilitro(cL)

Mililitro(mL)

Kilolitro(kL)

Múltiplos Submúltiplos

Hectolitro(hL)

Decalitro(daL)

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

1 kL 5

1 dL 5

1 hL 5

1 cL 5

1 daL 5

1 mL 5

25 5 0

0

0

018

Litro(L)

Decilitro(dL)

Centilitro(cL)

Mililitro(mL)

Kilolitro(kL)

Hectolitro(hL)

Decalitro(daL)

25 500

1 800

1 000 L0.1 L

100 L0.01 L 0.001 L

10 L

1

1 8 7 5

8 7.5

0.28 0.502

0.120 0.015

0.

0

0. 5 0 2

0. 0 1 5

210.

2 8

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Múltiplos y submúltiplos del gramo

1. En el diagrama se muestran las relaciones entre las unidades de masa

a. Con la información anterior, calcula a cuántos metros equivale cada medida.

b. Retoma la información del problema 2 del inicio de la secuencia y responde cuántas pizzas se pueden hacer con 1 kg de harina.

Aplica lo que aprendiste.

1. Realiza las conversiones.

a. Unidades de masa.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Lección 2

1 kg =

1 dg =

1 hg =

1 cg =

1 dag =

1 mg =

45.5 kg son g. 250 g son kg. 67.8 kg son g.

50 mg son g. 12 cg son g. 2 dag son mg.

Gramo(g)

Decigramo(dg)

Centigramo(cg)

Miligramo(mg)

Kilogramo(kg)

Múltiplos Submúltiplos

Hectogramo(hg)

Decagramo(dag)

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

410

310

Gramo(g)

Decigramo(dg)

Centigramo(cg)

Miligramo(mg)

Kilogramo(kg)

Hectogramo(hg)

Decagramo(dag)

Gramo(g)

Decigramo(dg)

Centigramo(cg)

Miligramo(mg)

Kilogramo(kg)

Hectogramo(hg)

Decagramo(dag)

00. 5 0

0.050

1000 g 100 g0.1 g 0.01 g 0.001 g

10 g

0. 1 2 0

0. 9 6 0

0. 9 1 0

45 5 0 0

0. 2 5

1

0002

0.

0

2

0

67 8 0 0

45 500 0.250 0.12 67 800 20 000

244

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Contenido: Resuelves problemas que implican la conversión entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y gramo.

b. Unidades de capacidad.

2. Analiza la información que muestra el plano de la casa y responde.

3. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas en el cuaderno.

a. ¿Cuántos vasos de 290 mL se llenan con 10 litros de agua de jamaica?b. A un niño de 12 kg, el médico le prescribió 15 mg/kg de medicamento cada 8 h.

¿Cuántos gramos de medicina se le administran al día?c. ¿Cuántas bolsas de 125 g de queso rallado se pueden elaborar con 5 kg?

Compartan sus respuestas con sus compañeros y comenten la utilidad del dia-grama para realizar las conversiones. Si utilizaron otro método para calcularlas, compártanlo con el grupo.

12 hL son L. 78 L son daL. 60 hL son L.

35 mL son L. 64 cL son daL. 50 cL son mL.

Litro(L)

Decilitro(dL)

Centilitro(cL)

Mililitro(mL)

Kilolitro(kL)

Hectolitro(hL)

Decalitro(daL)

0 060

a. Se quiere colocar en los dormitorios una alfombra de uso rudo que mide 150 cm de ancho.

¿Cuántos metros lineales de alfombra se usarán?

b. En el resto de la casa se colocarán baldosas de cerámica.

¿Cuántas baldosas de 40 cm 3 40 cm se necesitarían para cubrir el área?

¿Y cuántas de 60 cm 3 60 cm? ¿Se utilizó un número exacto de

baldosas? Si no, indica qué fracción de la baldosa se tuvo que cortar para ajustar la medida.

CocinaDormitorio

3 m

3 m

3 m 3 m

3 m

3 m2.5 m

1.5 m

4 mDormitorio

SalaComedor

Baño

6 000

11

15971

En las baldosas de 40 3 40 se deben cortar 5

8 y en las de 60 3 60 debe cortarse 16 .

0.

0.

3

50

6

8

0

0

5

0

4

1207.8 0.064

0.035

500

01 2

7.

Ver solucionario.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Resolverás problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra).42Sistema Inglés y Sistema Internacional de Medidas

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Lección 1 Pulgadas, pies, yardas y millas

1. En parejas, respondan los problemas.

a. Juan hizo un viaje de 100 millas. ¿Recorrió más o menos de 100 kilómetros?

b. Un bebé debe tomar de 4 a 5 onzas de agua al día. ¿Debe tomar más o menos de 100 mL?

c. A un bebé que pesa entre 6 y 11 libras se le debe administrar 1.25 mL de un me- dicamento. ¿Cuántos kg debe pesar el bebé para darle esta dosis?

d. ¿Cuál es el tornillo adecuado para una tuerca de 55 mm: de 14

o 12

pulgadas?

Comenten con sus compañeros y con su profesor cómo encontraron las respuestas.

Conversiones

1. Resuelvan los problemas en equipos.

Problema 1. Observen la regla y contesten.

a. ¿Cuántos centímetros caben en 1 pulgada? Expresen el número hasta con una ci-fra decimal.

b. ¿Qué parte de una pulgada es un centímetro?

c. ¿Cuántos centímetros mide el tornillo de 14

"?

La pulgada (in) es una medida de longitud del Sistema Inglés. Equivale a 2.54 cm y también se denota con doscomillas (”) después del número.

cm

in

1 pulgada

Más

Más

Entre 2.7216 kg y 4.9896 kg

2.5

0.635

14 de pulgada

25 aproximadamente

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Contenido: Comparas las medidas del Sistema Internacional con las del Sistema Inglés y realizas conversiones entre ellas.

Problema 3. Un campo de futbol americano mide 100 yardas (91 m) de largo y 53 yardas (48 m) de ancho:

a. ¿A cuántos equivale una yarda? b. La yarda (yd) es una medida de longitud del Sistema Inglés y equi-

vale a y a m.

Problema 4. El velocímetro de un automóvil de EUA indica, con los nú-meros grandes, la velocidad en millas por hora (MPH) y con números pe-queños, en kilómetros por hora (km/h). En Texas la velocidad máxima permitida es de 85 MPH, que equivale aproximadamente a 137 km/h.

a. ¿A cuántos kilómetros equivale una milla (mi)?

¿Y a cuántos metros?

Comparen los resultados de cada equipo e investiguen a qué se re eren las imáge-nes del cuerpo humano que acompañan a las medidas del Sistema Inglés.

Practicar para avanzar

1. Resuelve los problemas.

a. Felix Baumgartner, un paracaidista austriaco, se tiró desde 96 640 de altura y al des-cender alcanzó una velocidad de 536 MPH, en un salto sin precedentes.

¿Desde cuántos metros saltó Felix Baumgartner? ¿Qué velocidad en km/h alcanzó?

b. Representa en las rectas: un medio, un cuarto, un octavo y un dieciseisavo de pulgada respectivamente. Luego escríbanlas en centímetros.

Comenta tus respuestas en grupo y validen sus resultados con el profesor.

Tablones

Madera tratada1” 6” 8 pies

a. ¿Cuáles son las dimensiones de cada tablón en in y en cm? Considera que un pie equivale 12 in.

Problema 2. En una carpintería se ofrecen tablones de madera.

b. Un pie ( ) o (') es una medida de lon-gitud del Sistema Inglés y equivale a cm.

1 pie

Madera tratada1" 3 6" 3 8 pies

Tablones

1 yarda

1” 3 6” 3 96”; 2.54 cm 3 15.24 cm 3 243.84 cm

30.48

A 3 pies

1.6118

1 611.8

29 455.872863.925

3 0.91

12

14

18

116

247

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Lección 2

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

Galones, onzas y libras

1. En parejas analicen y respondan las actividades.

a. Un biberón tiene graduación en onzas y en mililitros. Una onza equivale aproxi-madamente a 30 mL (29.57 mL). Completen la tabla con la cantidad de mililitros de leche que debe tomar un bebé de acuerdo con su edad.

Edad (meses) Promedio de onzas (oz) por toma (mL)

1 32 14.5

3 a 5 6.5

b. De acuerdo con un reporte del Foro Económico Mundial, estos son los siete países con mayor consumo de agua al día por persona. Realicen el cálculo en galones. Consideren que un galón equivale a 3.78 litros aproximadamente.

País Litros por persona/día Galones por persona/día

EUA 575Australia 493

Italia 386Japón 374México 366España 366

Noruega 301

c. Cierto medicamento se administra de acuerdo con la masa del paciente en li-bras. Una libra equivale a 453.6 g. Completen la tabla con la masa en gramos.

Masa (lb) Masa (g) Dosis

Menos de 36 No usarlo36 a 47 5 mL48 a 95 10 mL

Expongan sus resultados al grupo. Comenten con sus compañeros y su profesor el uso de Sistema Inglés en diferentes contextos.

Aplica lo que aprendiste.

1. Reúnete con dos compañeros y resuelvan las actividades.

a. Con una cinta métrica, midan su altura y, con una báscula, midan su masa. Completen la tabla en su cuaderno con los datos obtenidos.

Nombre Altura (m) Altura (ft) Masa (kg) Masa (lb)

88.710133.065192.205

Menos de 16 329.616 329.6 a 21 319.221 772.8 a 43 092

Javier 1.54 5.05 48 105.82

130.4233 152.1164

102.1164 98.9418 96.8254 96.8254 79.6296

248

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6’ 5"

6’ 3"

Alt

ura

(pie

s y

pulg

adas

)

Peso (lbs)

4’ 11"

5’ 11"

5’ 7"

4’ 7"

5’ 3"

88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 231 242 253 264 275 286

Contenido: Comparas las medidas del Sistema Internacional con las del Sistema Inglés y realizas conversiones entre ellas.

b. Calculen de manera individual su índice de masa corporal (IMC). Sigan el procedimiento.

Paso 1. Multiplica tu estatura, en metros, por sí misma. Paso 2. Divide los kilogramos que pesas entre el resultado del paso anterior. Paso 3. IMC 5

Localiza en la grá ca tu información. ¿Cuál es el estado de tu nutrición? ¿En qué categoría te ubicas?

2. Completen la tabla de equivalencias.

Magnitud Unidad del Sistema Inglés Unidad del Sistema Internacional

Longitud

Pulgada

Pie

Yarda

Milla

Masa Libra

CapacidadOnza

Galón

3. La llave Allen aprieta y a oja tornillos de cabeza hexagonal. Completen la tabla con las medidas de esas llaves en milímetros.

Pulgadas mm Pulgadas mm Pulgadas mm

516"

38 "

716"

12 "

916"

1116"

58 "

1316"

34 "

1516"

78 " 1 1

16"

Expongan sus resultados al grupo. Comenten con sus compañeros y su profesor el uso de Sistema Inglés en diferentes contextos.

Índice de masa corporal

6’ 5"

6’ 3"

5’ 11"

5’ 7"

Alt

ura

(pie

s y

pulg

adas

)

Peso (lbs)Fuente: www.diabetes.co.uk/bmi.html (consulta: 13 de junio de 2018).

5’ 3"

4’ 11"

4’ 7"

88

99

11

01

21

13

21

43

15

41

65

17

61

87

19

82

09

22

02

31

24

22

53

26

42

75

28

6

Bajo peso Normal SobrepesoObesidad

Obesidadmórbida

Milímetro

Centímetro

Metro

Kilómetro

Kilógramo

Mililitro

Litro

7.9375 9.5250 11.1125

12.7000 14.2875 17.4625

15.8750 20.6375 19.0500

23.8125 22.2250 26.9875

2.3716

48 4 2.371620.2395

Normal

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Recolectarás, registrarás y leerás datos en histogramas y polígonos de frecuencia y gráfi cas de línea.

Gráfi cas de línea 43

Eje: Análisis de datos Tema: Estadística

El internet de las cosas

1. Analiza la situación con un compañero y respondan las preguntas.

Actualmente hay más dispositivos conectados a internet que seres humanos en el planeta; la conexión inalámbrica es cada vez más rápida, permite el acceso a más personas y la velocidad de banda ancha en hogares, escuelas y empresas va en au-mento. Esto hace que internet esté en constante expansión.

a. Analicen la grá ca que muestra la cantidad de dispositivos conectados que uti-lizan internet. Después contesten.

Fuente: https://www.ncta.com/positions/internet-of-things (consulta: 12 de febrero de 2018).

¿En qué año se inició el internet de las cosas? ¿Con qué objeto?

Completen la tabla con la información mostrada en la grá ca anterior.

Intervalo de años

1992 1996

1996 2000

2000 2004

2004 2008

2008 2012

2012 2016

2016 2020

Objetos

Cantidad

¿En qué periodo se conectaron más objetos a internet? ¿Qué piensan que sucederá en veinte años respecto del uso de la tecnología-

digital?

Comenten la utilidad de los datos y comparen resultados con otros equipos.

Lección 1

0

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

60 000

Mill

ones

de

obje

tos

Año1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020

50 100

2020

2019

2018

1992 20032009

20122013

20142015

2016

2017

42 100

34 800

28 400

22 900

11 2008 700

5 0005001

14 20018 200

El internet de los objetos Computadoras

Computadoras portátiles

Focos

Relojes y refrigeradores

Tomacorrientes

Aerogeneradores

Cepillos dentales

Semáforos

Televisiones

Climatizadores

Estufas

Cerraduras

En 1992, con una computadora.

Cada vez habrá más objetos, así como variedad de estos, conectados a internet.

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Contenido: Recolectas, registras y lees datos en gráfi cas de línea.

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04

0

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16

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17

Internet en los hogares

1. Lee la información y realiza lo que se pide.

La Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de las Tecnologías de la Informa-ción en los Hogares (ENDUTIH) 2016 reporta la cantidad de usuarios que disponen de internet en el país, ya sea a través de una conexión ja o de un teléfono móvil.

Año

20

04

20

05

20

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20

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20

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20

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20

13

20

14

20

15

20

16

Hogares con internet (millones) 2.

3

2.3

2.7

3.2

3.8

5.1

6.3

7.0

7.9

9.8

10.8

12.8

15.7

Fuente: Inegi. Aumentan uso de internet, teléfonos inteligentes y TV digital: Encuesta nacional sobre disponibilidad y uso de tecnologías de la información en los hogares, 2016.

a. Completa la grá ca de línea que muestra la penetración de internet en los hoga-res mexicanos. Para esto, dibuja un punto en la intersección del año y la cantidad de hogares. Luego une los puntos. Escribe un título que re eje la información de la grá ca. Anota la fuente de donde se tomaron los datos.

Título:

Fuente:

b. Analiza la información y contesta las preguntas.

¿En qué años se dio el mayor aumento de hogares conectados a internet?

¿Qué porcentaje de aumento hubo respecto del año anterior? c. Explica qué es una grá ca de línea y para qué sirve.

Comparte tus respuestas con el grupo y, con ayuda del profesor, concluyan para qué sirve una grá ca de línea.

Hogares con servicio de internet en México

Inegi

En cantidad (2.9 millones) de 2015 a 2016; en porcentaje (34.21%) de 2008 a 2009.22.66% en 2015-2016 y 34.21%

en 2008-2009.Una grá ca de líneas es un diagrama que se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Sirve para representar datos que tienen lugar durante un periodo.

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Lección 2 Proyecto estadístico

1. En equipos, realicen en el cuaderno las siguientes actividades.

a. Elijan un tema para desarrollar una investigación estadística. El tema debe pro-porcionar información de una variable de estudio a través del tiempo. Por ejem-plo: La temperatura máxima y mínima de su localidad o el crecimiento de una planta.

Si pueden, busquen información en internet sobre algunas series de tiempo para elegir el tema.

En estadística se le llama serie de tiempo a un conjunto de valores observados du-rante una serie de periodos temporales secuencialmente ordenada. Tales periodos pueden ser semanales, mensuales, trimestrales o anuales.

Estos datos se representan mediante grá cas de línea cuyo eje horizontal muestra el tiempo y el eje vertical, los datos de la variable estudiada.

b. Una vez que decidan el tema, escriban una pregunta que se conteste con la in-vestigación:

c. Respondan las preguntas. ¿Qué datos se necesitan? ¿Cómo se obtienen los datos?

A. En internet B. Mediante un experimento C. Observando directamente D. Realizando mediciones E. De bases de datos como la del Inegi

¿Qué periodo de tiempo hay que considerar? d. Organicen los datos en una tabla que contenga tiempo en años, meses, días u

horas y los datos de la variable por estudiar.

e. Analicen de qué tipo de variable se trata: ¿es cuantitativa discreta, es continua? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo? Elijan una escala adecuada que cubra todos los datos.

f. Construyan la grá ca de línea que representa los datos de la tabla. g. Analicen la grá ca y escriban la información que consideren relevante para el

estudio.

Eje: Análisis de datos Tema: Estadística

www.esant.mx/fasema2-009 www.esant.mx/fasema2-010 www.esant.mx/fasema2-011

www.esant.mx/fasema2-012 www.esant.mx/fasema2-013 www.esant.mx/fasema2-014

R. M. ¿En qué mes suceden más accidentes automovilísticos en México?

R. L.

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Contenido: Recolectas, registras y lees datos en gráfi cas de línea.

Practicar para avanzar

Reúnete con un compañero y realicen la actividad.

1. En su cuaderno, construyan la grá ca de línea para la precipitación en dos esta-dos: Baja California, donde llovió menos, y Tabasco, donde llovió más en 2017.

Precipitación (mm) Baja California y Tabasco 2017

Mes ene feb mar abr may jun jul ago sept oct nov dic

Baja California 53.6 44.9 1.4 0.0 7.9 0.2 2.9 7.1 9.6 0.0 1.4 2.8

Tabasco 84.3 32.4 61.1 97.6 143.2 285.5 157.5 207.3 377.5 414.0 98.2 55.4

Fuente: http://smn1.conagua.gob.mx/climatologia/TempsyPrecip/Mensuales/2017Prec.pdf (consulta: 12 de febrero de 2018).

a. ¿Qué datos van en el eje x? ¿Y en el eje y? b. De nan la escala para representar los mm de lluvia mensual. Para ello consideren el valor

mínimo y el máximo. c. ¿En qué mes la cantidad de lluvia en mm es muy parecida en ambas entidades? d. ¿En qué mes se ubica la mayor diferencia en la cantidad de lluvia de ambos estados?

e. ¿En qué meses la cantidad de lluvia es mayor a 100 mm en Tabasco?

h. ¿Cuál es su conclusión respecto de los resultados encontrados?

Comenten sus respuestas, conclusiones y resultados con el resto del grupo.

Utiliza una hoja de cálculo electrónica para elaborar la grá ca de línea con los resultados de la investigación.

Para ello ingresa la tabla que elaboraste en el inciso d en la hoja electrónica de cálculo.

Selecciona las columnas de tu tabla y en el menú Insertar, da clic en el icono XY (dispersión) como hiciste en la página 70.

En esta ocasión elige la opción Dispersión con líneas rectas y marcadores.

Herramientas académicas

En el eje x los meses y en el eje y los mm de lluvia.

De 50 en 50, desde 0 hasta 450

En febrero

En octubre

Mayo, junio, julio, agosto, septiembre y octubre

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Eje: Análisis de datos Tema: Estadística

Lección 3 ¿Qué información se obtiene de las gráfi cas?

1. Lee la información y analiza la grá ca.

Para medir el nivel de pobreza en la población, el Inegi tomó en cuenta los siguien-tes indicadores.

Rezago educativo Acceso a los servicios de salud Calidad y espacios en la vivienda Acceso a la seguridad social Acceso a la alimentación Acceso a los servicios básicos en la vivienda

De los Censos de Población y Vivienda de 1990, 2000 y 2010, así como del Módulo de Condiciones Socioeconómicas 2008, 2010, 2012 y 2014 se obtuvieron los datos mos-trados en la grá ca.

Fuente: Los datos anteriores a 2008 son de los Censos de Población y Vivienda 1990 y 2000 y del Conteo de Población 2005; los datos de 2008 en adelante son del Módulo de Condiciones Socioeconómicas.

https://www.coneval.org.mx/Medicion/EDP/Paginas/Evolucion-de-las-dimensiones-de-la-pobreza-1990-2014-.aspx (consulta: 12 de febrero de 2018).

a. Reúnete con un compañero e identi quen con una la información que se ob-tiene de la grá ca de línea.

Evolución de la población en pobreza en materia de carencias sociales, 1990-2014

La menor diferencia se muestra en el indicador Carencia por cali-dad y espacios en la vivienda, entre 2008 y 2014.

El indicador Carencia por acceso a servicios de salud es el que más ha disminuido en entre el 2000 y el 2014.

La menor diferencia se encuentra en el indicador Carencia por servicios básicos en la vivienda entre 2010 y 2014.

En general la tendencia de los diferentes indicadores es a la baja. Alguno de los indicadores en un futuro puede subir rápidamente.

( )

( )

( )

( )( )

Carencia por acceso a la seguridad social

Carencia por rezago educativo

Carencia por calidad y espacios de vivienda

Carencia por acceso a los servicios de salud

Carencia por acceso a la alimentación

Carencia por servicios básicos en la vivienda

12

22

32

42

52

62

72

1990 2000 2005 2008 2010

6560.7 61.2

58.5

2012 2014

23.423.3

21.218.7

19.2 18.3

24.8

21.7

21.9

38.4

51.4

58.6

19.8

22.526.6

29.4

41.5

29.2

20.7

12.316.615.217.7

Porc

enta

je d

e pe

rson

as c

on c

aren

cia

21.1521.2

22.9

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Contenido: Recolectas, registras y lees datos en gráfi cas de línea.

Aplica lo que aprendiste.

1. Analiza la grá ca y describe en tu cuaderno la información que se presenta.

2. Revisa las actividades que resolviste en la secuencia y contesta.

a. ¿Qué tipo de grá ca es?

b. ¿Para qué se usó?

c. ¿Qué datos se representan en el eje x? ¿Y en el eje y?

d. ¿Qué información puedes obtener de la grá ca de línea?

3. Presentación de los resultados del proyecto estadístico.

a. Realicen una presentación, puede ser en cartulina o en computadora, si cuentas con una. Por ejemplo, puedes usar el programa PowerPoint (PP).

b. Organicen la presentación en los siguientes puntos.

Comenten en grupo en qué se diferencian las grá cas de línea de las grá cas po-ligonales. Escriban un ejemplo en el que puedan usar cada una de ellas.

Todos los desastres naturales registrados en el mundo por año

500

450

400

350

300

150

200

10050

0

250

1910 1930 1950 1970 1990 2010

Tema de estudio Fuente de información Tipo de datos Tablas con datos Grá ca(s)

Conclusiones. Descripción de la información que muestra la grá ca

Fuente: Base de datos Internacional sobre Desastres(EM-DAT) (i) por medio de la publicación “Out World in Dat”https://www.bancomundial.org/es/news/feature/2017/12/15/year-in-review-2017-in-12-charts

(consulta: 12 de febrero de 2018).

Una grá ca de línea que se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales.

Para representar datos que tienen lugar durante un periodo.

El tiempo (años, meses, días, etcétera).

Los datos de la variable estudiada.Se puede comprobar

rápidamente el cambio de tendencia de los desastres naturales.

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Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Usarás e interpretarás las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la desviación media de un conjunto de datos y decidirás cuál de ellas conviene más en el análisis de los da-tos en cuestión.

Desviación media 44

Eje: Análisis de datosTema: Estadística

Desviación media en datos no agrupados

1. Realicen la actividad en equipos de cinco integrantes.

a. En el patio de la escuela, cada integrante realice 2 saltos de longitud. Midan cada salto con una cinta métrica y anoten los resultados en la tabla.

IntegranteLongitud del salto (cm)

Salto 1 Salto 2

¿Qué tan dispersos están los datos?

1. Lean la información y hagan lo que se pide.

Una forma de saber si la media representa mejor un conjunto de datos es calculan-do la dispersión. Para ello hay que obtener la distancia entre cada uno de los datos del conjunto y la media.

a. Calculen el rango de los datos en la tabla. b. Completen la tabla. Para calcular la distancia a la media, obtengan el valor ab-

soluto de la diferencia entre cada dato y la media ( ).

Longitud del salto (s)

Distancia a la media (|s2 |)

Lección 1

media. Es el cociente de la suma de los datos entre la cantidad de datos.mediana. Es el elemento que se localiza a la mitad de los datos ordenados.moda. Es el dato con mayor frecuencia.

Glosario

b. Escriban de menor a mayor las medidas de los saltos de los inte-grantes del equipo.

c. Calculen la media, la mediana y la moda de los datos.

d. ¿Consideran que la media representa la longitud de los saltos de los integrantes del equipo? ¿Por qué?

R. L.

R. L.

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Contenido: Utilizas la desviación media de un conjunto de datos para su análisis.

c. Calculen el promedio de las diferencias a la media.

Comparen con otros equipos el valor que obtuvieron en el inciso c. Analicen en cuáles equipos se obtuvieron el mayor y el menor promedio de diferencias. Luego analicen qué relación hay entre las longitudes de los saltos que obtuvie-ron esos equipos y su respectivo promedio de diferencias.

Se llama desviación media (DM) al promedio de las distancias entre los datos y la media aritmética y se calcula sumando las distancias de los datos al promedio divi-dido entre el total de datos.

Cuando la DM es grande, los datos están dispersos respecto a la media y cuando la DM es pequeña, los datos están cerca de la media. En este último caso, la media es un buen representante de los datos.

Practicar para avanzar

1. En una fábrica se elaboran tornillos de una aleación especial de acero. Para asegurar la cali-dad, se toman al azar muestras de 4 tornillos y se calcula la desviación media del diámetro de estos. La tabla muestra los datos obtenidos en cuatro muestras.

a. Completa la tabla, calcula el rango y la media para cada número de muestra.

Número de muestra Diámetro del tornillo (pulgadas)

Rango Media1 2 3 4

1 0.5014 0.5022 0.5009 0.50272 0.5021 0.5041 0.5024 0.50203 0.5018 0.5026 0.5035 0.50234 0.5008 0.5034 0.5024 0.5015

b. Calcula, para cada elemento de las muestras, la distancia a la media correspondiente y la desviación media en cada caso. Luego responde.

Número de muestra Distancia a la media del tornillo Desviación

media1 2 3 4

1234

¿En qué muestra los datos están más dispersos? Si fueras el responsable del control de calidad, ¿qué harías con la producción en los ca-

sos en que la desviación media es alta?

0.0018 0.5018

0.0021 0.50270.50260.0017

0.0026

0.0004 0.0004 0.0009 0.0009 0.00070.0006 0.0014 0.0003 0.0007 0.00080.0008 0 0.0009 0.0003 0.00050.0012 0.0014 0.0004 0.0005 0.0009

0.5020

En la muestra número 4.

Si el valor de la desviación media es muy elevado, repetiría la producción, pues es evidente que ese lote no garantiza la calidad de los tornillos.

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Eje: Análisis de datosTema: Estadística

Desviación media en datos agrupados

1. Resuelve el siguiente problema.

Los datos de la tabla corresponden a los miles de kilómetros recorridos por un mo-delo de neumático hasta que se poncha o se revienta.

37.654 61.979 52.452 52.277 51.179 29.480 89.116 61.75255.643 66.519 56.155 40.709 46.502 41.463 30.252 76.58058.708 49.011 41.539 35.342 80.502 51.269 44.719 34.18266.519 60.277 43.068 40.709 34.182 73.808 82.919 85.72035.342 37.402 62.215 59.449 55.989 53.324 48.035 67.12467.124 41.830 61.030 58.267 10.504 50.432 37.748 51.83173.808 61.065 35.807 65.585 69.483 64.398 28.625 33.41238.420 53.751 90.565 74.239 55.912 47.012 44.411 67.63270.003 34.754 36.949 46.681 85.720 49.677 59.168 35.88467.467 45.313 46.724 78.635 50.238 65.996 48.698 75.850

a. ¿Qué procedimiento debes seguir para calcular la desviación media de los da-tos de la tabla?

b. ¿Qué di cultad presenta el procedimiento? c. ¿Sería más fácil trabajar con intervalos de datos? ¿Por qué?

d. Completa la tabla. Aplica lo que aprendiste en la secuencia 31 para agrupar los datos en intervalos y para obtener las marcas de clase.

Intervalo Conteo Frecuencia absoluta ( f )

Marca de clase ( x )

Producto(f 3 x)

Total n =

e. Calcula la media de los datos ( ) a partir de la tabla. Para esto, divide la suma de los productos (f 3 x) entre el número total de datos (n).

Lección 2

Se obtiene la media de los datos, se calcula la distancia a la

[82, 91][73, 82)[64, 73) 68.5

77.586.5

[55, 64) 141175

80

59.5[46, 55) 17 50.5

[10, 19) I

IIIII IIIII IIIII IIIIIII IIIII IIIIIIIII IIIII IIIIII IIIIIII

1 14.5 14.50

390539.5858.5833

753.5542.5432.54 364

[19, 28)IIIII IIIII II

0 23.5[28, 37)

IIIII IIIII III12 32.5

[37, 46) 13 41.5

Se debe calcular muchas veces la distancia

media para cada elemento y después se calcula la media de esas distancias.

manera se reduciría la cantidad de veces que se tiene que obtener la distancia

Sí, pues de esta

a la media.

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Contenido: Utilizas la desviación media de un conjunto de datos para su análisis.

f. Calcula la desviación media (DM) de los kilómetros recorridos por los neumáti-cos. Para ello completa la siguiente tabla.

Intervalo Marca de clase (x)

Frecuencia absoluta ( f )

Distancia a la media |x2 |

Productof3|x2 |

Total

g. Calcula la desviación media (DM). Para esto, divide la suma de los productos(f 3 |x2 |) entre el número total de datos (n). Luego responde.

¿Cuál es la desviación media que obtuviste? ¿Qué tan dispersos están los datos? ¿La media de los kilómetros recorridos por los neumáticos sirve para repre-

sentar los datos adecuadamente? ¿Por qué?

Practicar para avanzar

1. A continuación se muestran las temperaturas y la velocidad del viento que se pronosticaron para cada hora del miércoles 14 de febrero de 2018 en Chihuahua, Chihuahua.

a. En tu cuaderno, organiza los datos en una tabla. b. Calcula la media y la desviación media de la temperatura y de la velocidad del viento.

Escribe tus conclusiones respecto de la dispersión de los datos alrededor de la media de la temperatura y de la velocidad del viento.

00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00

12 °C11 km/h

11 °C11 km/h

10 °C10 km/h

10 °C10 km/h

9 °C9 km/h

8 °C9 km/h

8 °C8 km/h

8 °C8 km/h

11 °C9 km/h

15 °C11 km/h

20 °C13 km/h

23 °C15 km/h

12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

25 °C18 km/h

27 °C22 km/h

28 °C24 km/h

29 °C24 km/h

28 °C24 km/h

26 °C23 km/h

24 °C21 km/h

22 °C19 km/h

20 °C18 km/h

19 °C17 km/h

17 °C14 km/h

17 °C13 km/h

[10, 19)[19, 28)[28, 37)[37, 46)[46, 55)[55, 64)[64, 73)[73, 82)[82, 91] 86.5

77.568.559.550.541.532.523.514.5 1

01213171411

75

80 1086.3

31.9522.9513.95 4.95 4.05 13.05 22.05 31.05 40.05

159.75160.65153.45

69.368.85

169.65264.6

040.05

13.57875Bastante dispersos

No, porque los datos se encuentran muy dispersos.

Ver solucionario.

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Eje: Análisis de datosTema: Estadística

¿Qué tan dispersos?

1. Lee el problema y resuelve.

La tabla muestra la temperatura mensual promedio (°C) en un año en cuatro ciudades:

Ciudad Temperaturas mensuales promedio (°C)

A 12 9 7 6 10 12 11 11 4 4 3 3

B 16 17 18 19 14 9 7 2 21 23 22 5

C 25 23 0 21 4 21 19 16 17 12 11 0

D 0 21 23 3 5 6 11 10 13 16 17 20

a. Elige la escala para cada eje, luego gra ca las temperaturas mensuales prome-dio de cada ciudad.

b. Calcula la temperatura promedio anual (TPA) de cada ciudad.

c. Completa la tabla. Calcula la distancia de la temperatura mensual promedio de cada ciudad a su temperatura promedio anual.

Ciudad Temperaturas mensuales promedio (°C)

A 12 9 7 6 10 12 11 11 4 4 3 3Distancia

a TPAA

B 16 17 18 19 14 9 7 2 –1 –3 –2 5Distancia

a TPAB

C 25 23 0 21 4 21 19 16 17 12 11 0Distancia

a TPAC

D 0 –1 –3 3 5 6 11 10 13 16 17 20Distancia

a TPAD

Lección 3

TPAA

TPAB

TPAC

TPAD

8 °C 7.67 °C 8 °C 8.08 °C

4.33

8

13

8.08

1.33

9

11

9.08

0.67

10

8

11.08

1.67

11

9

5.08

2.33

6

4

3.08

4.33

1

13

2.08

3.33

1

11

2.92

3.33

6

8

1.92

3.67

9

9

4.92

3.67

11

4

7.92

4.67

10

3

8.92

4.67

8

3

11.92

Temperaturas mensuales promedio (o C)

Ciudad A

Ciudad B

Ciudad C

Ciudad D

22201816141210

86420

222426

ENE

FEB

MA

RA

BR

MAY JUN JL

AG

OSE

PO

CTN

OV

DIC

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Contenido: Utilizas la desviación media de un conjunto de datos para su análisis.

d. Calcula la desviación media (DM) de las temperaturas de cada ciudad.

DMA: DMB: DMC: DMD:

e. ¿En que ciudades la temperatura promedio anual es una buena representación de las temperaturas mensuales promedio? Explica tu respuesta.

Aplica lo que aprendiste.

1. La tabla muestra las cali caciones que han tenido 100 estudiantes de segundo grado de secundaria.

Califi cación Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

De 0 a 2 1 7 22 21De 2 a 4 5 14 19 20De 4 a 6 24 50 10 20De 6 a 8 40 20 21 20

De 8 a 10 30 9 28 19Total:

a. Elabora un histograma con las cali caciones de cada grupo.

b. Calcula la cali cación promedio, la desviación media y el rango de cada grupo.

Califi cación Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

Cali cación promedio

Desviación media

Rango

c. ¿En cuál grupo el promedio representa mejor las cali caciones? Explica tu respuesta.

Comenta con tus compañeros qué aprendiste sobre la desviación media en un conjunto de datos agrupados y no agrupados.

En la ciudad A, debido a que la desviación media es pequeña, lo cual implica que las temperaturas mensuales no están muy dispersas.

3.17 7.5

96 100 100 100

8 6.42

Grupo A Grupo B Grupo C

[0,2)

[2,4)

[4,6)

[6,8)

[8,10)

Grupo D

10

20

30

40

50

6.94

1.29 1.40

5.20 5.28

2.81

4.92

2.41

En el grupo A, pues los datos no están muy dispersos.

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Resuelvo con tecnología

Desviación mediaReúnete con un compañero, lean la situación y en una hoja electrónica de cálculo realicen lo que se pide para analizar los datos. Luego respondan las preguntas.

En una secundaria hay cuatro grupos de tercero y solamente uno puede participar en el torneointerescolar. Cada grupo forma un equipo de futbol con 11 jugadores. Durante sus entrenamientos, cada equipo practica tiros penales. Un profesor de Educación Física anota los resultados para anali-zarlos y elegir al mejor equipo. La tabla muestra la información recabada en un entrenamiento.

Número del jugadorGoles anotados

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4

1 1 2 2 12 2 1 3 23 1 2 3 14 3 2 1 35 5 1 3 36 2 7 2 17 5 2 3 18 4 2 3 19 2 3 4 8

10 3 7 2 811 2 1 4 1

1. Copien la información del equipo 1 como se muestra en la imagen 1. En la celda B13 calculen el promedio de goles anotados con la fórmula “5Promedio(B2:B12)”.

2. En diferentes hojas de cálculo, copien la información de los otros equipos, calculen el promedio de goles anotados por cada equipo y contesten.

a. ¿Cuál equipo tiene mejor promedio de goleo?

b. ¿Qué equipo debe ir al torneo interescolar? ¿Por qué?

Para veri car que la decisión tomada es la correcta, calculen la desviación media del número de goles anotados por cada equipo. Recuerden que deben obtener el promedio de las distancias a la media, como aprendieron en la secuencia anterior.

Imagen 1

Los cuatro equipos tienen el mismo promedio.

Cualquiera, pues tienen el mismo promedio de goleo.

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Imagen 2

Imagen 3

3. Para calcular la distancia a la media, prime-ro calculen la diferencia entre los datos y la media. Ingresen en la celda C2 la fórmula “5B22$B$13”.

Recuerden que el símbolo $ ja la celda en la fórmula para que no se modi que al copiarla en otras las.

4. Para obtener la distancia a la media, calculen el valor absoluto de la diferencia ingresando en la celda D2 la fórmula “5ABS(C2)”. La fun-ción ABS permite obtener el valor absoluto de un número.

5. Copien ambas fórmulas en los demás renglo-nes para calcular las distancias a la media de cada dato.

6. Una vez que hayan obtenido todas las distan-cias, calculen el promedio de estas con la fun-ción PROMEDIO, como hicieron en el paso 1.

7. Repitan el procedimiento con los datos de los demás equipos y respondan.

a. ¿Qué equipo tiene menor desviación media? b. ¿Cuál es el rango de goles del equipo con menor desviación media? c. ¿Qué equipo tiene mayor desviación media? d. ¿Cuál es el rango de goles del equipo con mayor desviación media? e. Con base en la información obtenida, ¿a qué equipo elegirián para el torneo interescolar?

8. Con rmen que la desviación media que obtuvieron de cada equipo es correcta. Para esto utilicen la función DESVPROM. Ingresen en la celda D14 la fórmula “5DESVPROM(B2:B12)” para obtener la desviación media del conjunto de datos.

a. ¿Cuánto vale la desviación media de una lista de datos iguales?

Compartan sus conclusiones con sus compañeros. Retomen los problemas de la secuencia anterior y calculen la desviación media de los conjuntos de datos.

El equipo 3

Al equipo 3

El equipo 43

7

Cero

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Punto de encuentro

Lee con atención y haz lo que se solicita.

1. Lee la información con tres compañeros y hagan un estudio estadístico sobre el ín-dice de masa corporal (IMC) de su grupo.

Tomen en cuenta los estándares de sobrepeso y obesidad de niños y jóvenes dados por la Organización Mundial de la Salud (OMS) y que se muestran en las siguientes grá cas.

Sobrepeso y obesidad

En años recientes se han agudizado los problemas de sobrepeso y obesidad infantil en todo el mundo. El origen de estos padecimientos se asocia con varios factores, pero se ha comprobado que el estilo de vida y la mala nutrición son los principales, ya que actualmente los niños y adolescentes practican menos deporte y su dieta contiene demasiada azúcar y exceso de calorías.

En México se está impulsando el desarrollo de competencias para una vida saluda-ble con el n de promover una cultura de la salud y de esa manera prevenir, revertir y disminuir el avance de este problema en los alumnos de educación básica.

Sobrepeso graveSobrepeso moderadoSobrepeso levePeso normalDesnutrición leveDesnutrición moderadaDesnutrición grave23

22210

123

Fuente: www.dof.gob.mx/nota_detalle.php?codigo=5417151&fecha=25/11/2015(consulta: 1 de junio de 2018).

1

3

2

0

212223

IMC para niños

5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Edad (en años cumplidos)

12141618202224262830323436

IMC

(kg/

m2)

1

3

2

0

212223

IMC para niñas

5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Edad (en años cumplidos)

12141618202224262830323436

IMC

(kg/

m2)

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a. Calculen el IMC de cada integrante del equipo. Usen la siguiente fórmula.

IMC 5 peso (kg)

Altura2 (m)2

Consigan una báscula y una cinta métrica y registren el IMC de cada integran-te del equipo.

Ubiquen su IMC en la grá ca correspondiente.

Compartan sus resultados con otros equipos.

2. Sigan los pasos y hagan su proyecto de investigación.

a. Organícense para recolectar los datos de todo el grupo y regístrenlos en una ta-bla como la que se muestra.

Nombre Peso (kg) Estatura (m) Género (M/F)

¿Alguno de los datos que se registran en la tabla es importante para analizar la calidad de vida de sus compañeros de grupo? Expliquen por qué.

b. Indaguen, mediante una pequeña encuesta, si practican algún deporte.c. Elaboren una tabla con los datos obtenidos.d. Elijan los datos que serán útiles para calcular el IMC y estructuren su tabla con

los datos necesarios para el objetivo que se busca.e. Elaboren en su cuaderno las tablas para cada uno de los datos con frecuencias

absolutas y frecuencias relativas.f. Discutan para qué datos van a calcular las medidas de tendencia central y la

desviación media.g. Elaboren las grá cas para presentar los resultados al grupo.h. Realicen una presentación con las grá cas, los resultados del estudio y su com-

paración con los estándares de la OMS. ¿Cuál es el IMC promedio de su grupo? Escriban una conclusión basada en el análisis de los datos de la encuesta y en

la medición.

Comenten en grupo sus conclusiones y planteen un plan de acción personal para pre-venir la obesidad y mantenerse sanos.

R. L.

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Reviso mi trayecto

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en tus resultados, retoma los contenidos que se te di cultaron.

1. Los alumnos de una secundaria realizan una investigación sobre el parque el Gran Cañón localizado en EUA, en el estado de Arizona. Sin embargo, los datos que en-contraron están en millas y pies. Realiza las conversiones correspondientes.

SenderoCongruentes Cambio de elevación

Millas Kilómetros Pies Metros

Widforss Trail 9.6 200Bright Angel Trail 9.2 3 060

2. Obtén las equivalencias entre las unidades.

3. La tabla muestra el número de casos de in uenza que se registraron en un país, clasi cados por edad y tipo de in uenza. Para cada tipo, calcula la media, la mediana y la desviación media de los datos.

EdadTipo de infl uenza

A H3 A H1N1 A B

Menos de 1 año 1 10 2 1De 1 a 9 años 102 364 55 201

De 10 a 19 años 98 134 12 120De 20 a 29 años 104 206 23 44De 30 a 39 años 101 282 28 83De 40 a 49 años 99 318 35 118De 50 a 59 años 83 295 38 96Más de 60 años 113 323 61 183

MediaMediana

Desviación media

a. Si tuvieras que gra car la información obtenida, ¿qué tipo de grá ca usarías? ¿Por qué?

a. 15 hL son L.c. 5.5 kg son g.e. 10.7 mg son g.

b. 52 mm son m. d. 4 300 km son dam. f. 89 L son daL.

14.8115.45

932.6960.96

1 5005 500

0.0107

0.0052430 000

8.9

87.63100

22.81

241.5288.5

93.63

31.7531.515.5

105.75107

49.75

R. M. Un histograma, pues este tipo de grá co permite presentar

la información de forma clara y ordenada y hace más sencillo interpretar los valores de cada uno de los intervalos.

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Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en tus resultados, retoma los contenidos que se te di cultaron.

1. Completa la tabla.

Sistema de ecuaciones 3x 1 2y = 823x 1 6y = 0

x = 22y15x = y 2 4

y = 3x 2 23y 1 3 = 6x

Método de solución

Solución del sistema

a. Explica qué criterio tomaste en cuenta al seleccionar el método de solución para cada sistema de ecuaciones.

2. Lee cada situación y responde.

Situación 1. En una empacadora, cada empleado empaca una caja y media de pro-ductos al día.

Situación 2. Una clase de natación cuesta $150 por un día a la semana. Por cada día extra a la semana, se tendrá un descuento de $10 por clase.

a. Para la situación 1, ¿cuántas cajas empacarán tres empleados? ¿Qué expresión algebraica representa la situación?

b. Para la situación 2, ¿cuánto cuesta la clase si se asisten 4 días a la semana? ¿Qué expresión algebráica representa la situación?

c. ¿Qué tipo de variación describen las situaciones? Justi ca tu respuesta.

d. Dibuja la grá ca que describe cada situación.

Reducción

x 5 2 y 5 1 x 5 -1 y5 3 x 5 1 y 5 1

SustituciónIgualación

utilizó con base en la cantidad de variables aisladas, los coe cientes de las

número de empleados y y, el número de cajas empacadas.

donde x representa el número de días que asisten y y, el costo de la clase.

Variación lineal, pues el valor de las variables aumenta en la misma proporción.de la clase.

variables, etc.

P. R. El alumno debe justi car el método que

4.5 cajas; y 5 1.5x, donde x representa el

$120; y 5 150-10(x 2 1),

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

42

6810121416

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

4020

6080100

120140160

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3. Los siguientes cuerpos geométricos tienen 10 cm de altura. De acuerdo con los da-tos proporcionados, calcula el volumen de cada uno.

4. Analiza los datos y ordena de menor a mayor a las personas:

a. Según su estatura. b. Según su peso.

5. En un maratón se registró la velocidad de los seis primeros lugares.

Andrés Mide 1.78 metros y pesa 176 libras

Jaime Mide 68 pulgadas y pesa 85 kg

Alfonso Mide 180 cm y pesa 77 000 g

PabloMide 1 650 mm y pesa 150.57 lb

Competidor Velocidad (km/h)

Rodrigo 10.5Diego 10.75Paula 14.2

Lorenzo 10Samuel 9.65

Jorge 13

Área de la base

8.96 cm2

2.41 cm 2.96 cm

3.5 cm 2.45 cm

3 cm

a. Calcula el rango y la desviación media de los datos.

b. ¿La media es un dato representativo? ¿Por qué?

Prisma triangular: 8.96 3 10 5 89.6 cm3

Cilindro: 3.1416 3 323 10 5 282.744 cm3

Prisma heptagonal: 17.5 3 2.41

2 3 10 5 210.875 cm3

Prisma octagonal: 19.6 3 2.96

2 3 10 5 290.08 cm3

1 650 mm, 68 pulgadas, 1.78 m, 180 cm.150.57 lb, 77 000 g, 176 lb , 85 kg.

Moda: no hay; media: 11.35; mediana: 10.625; rango: 4.55; desviación media: 1.5.

pequeña.No, pues la desviación media no es

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Valoro mis fortalezas

6. La tabla muestra las cali caciones promedio mensuales de dos grupos de segun-do de secundaria.

Grupo / mes sep oct nov dic ene feb mar abr may jun

Segundo A 8.3 6.7 7.2 8 8.2 8.3 8.3 8.5 8.4 8.8

Segundo B 9.1 8.4 7 7.5 7.6 7.7 8.3 8 8.2 8.4

a. Construye la grá ca de línea y luego responde.

b. ¿En qué mes se tiene mayor diferencia de promedio en ambos grupos?

c. ¿En qué mes el promedio es parecido en ambos grupos?

d. ¿En qué meses la cali cación promedio es mayor que 8 en el grupo B?

7. Luis resolverá el siguiente sistema de ecuaciones.

3y = 5 2 x; 2x 1 6y = 10

a. Explica qué método es adecuado para resolver el sistema.

b. Resuelve el sistema y escribe tus operaciones en el recuadro.

octubre.En Segundo A

Segundo B

Mes

Prom

edio

En marzo

Septiembre, octubre, marzo, mayo y

junio.

El de sustitución, pues es fácil aislar la variable x en la primera ecuación.

El sistema tiene múltiples soluciones

x 5 5 2 3y

2(5 2 3y) 1 6y 5 10 10 2 6y 1 6y 5 10 10 510

66.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

sept oct

nov

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feb

mar ab

r

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Fuentesde información

Para el alumno

Impresas

Bosh, C. y Gómez C. Una ventana a las formas, Santillana, México, 2003 (Biblioteca Juvenil Ilustrada).

Bosch, Carlos. El billar no es de vagos. Ciencia, juegos y diversión, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Callejo, María Luz. Un club matemático para la diversidad, Narcea, Madrid, 1998.

Capó, Miquel. El país de las mates. 100 problemas de ingenio 4, Rompecabezas, Madrid, 2006.

Enzensberger, Hans M. El diablo de los números, Siruela, Madrid, 2013.

Fabretti, Carlos. Malditas matemáticas. Alicia en el país de los números, Alfaguara, Madrid, 2000.

Moreno, C. R. Una historia de las matemáticas para jóvenes, Nivola, Madrid, 2008.

Peña, José Antonio de la. Álgebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Perelma, Yakob. Matemáticas recreativas, Rodesa, Barcelona, 2007.

Perrero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Iberoamérica, México, 1994.

Prieto, Carlos. Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

Ricorri, Stella. Juegos y problemas para construir ideas matemáticas, Novedades Educativas, México, 2009.

Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.

Snape, C. Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos, Noriega-Limusa, México 2005.

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Electrónicas

100 problemas matemáticos que retan al alumno a pensar.http://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos_ chero_3543.pdf(consulta: 18 de junio de 2018)

Archivo PDF de la obra de Adrián Paenza, Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 3. Siglo XXI, Argentina, 2008.http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf(consulta: 19 de junio de 2018)

Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometría.http://newton.matem.unam.mx/(consulta: 18 de junio de 2018)

En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria.https://www.aprende.edu.mx/recursos-educativos-digitales/recursos/index.html?q%5B%5D=Matem%C3%A1ticas (consulta: 18 de junio de 2018)

Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secundaria.http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html(consulta: 18 de junio de 2018)

Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas con los diferentes exámenes y solu-ciones para que el alumno consulte y desarrolle la demostración matemática. http://www.ommenlinea.org/actividades/concursos/canguro-matematico/ (consulta: 19 de junio de 2018)

Página en la que podrás consultar el libro Números increíbles del autor Ian Stewart.http://www.librosmaravillosos.com/numerosincreibles/index.html(consulta: 19 de junio de 2018)

So ware de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.www.geogebra.org(consulta: 19 de junio de 2018)

Tutoriales y ejercicios de diversos temas propuestos para secundaria.https://es.khanacademy.org/math/eb-2-secundaria(consulta: 18 de junio de 2018)

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Fuentes de información

Para la elaboración de este libro

Impresas

Alsina, C. y otros. Invitación a la didáctica de la geometría, Síntesis, Madrid, 1987 (colec-ción Matemáticas: cultura y aprendizaje).

Alsina, C. y otros. Materiales para construir la geometría, Síntesis, Madrid, 1987 (colec-ción Matemáticas: cultura y aprendizaje).

Batanero, C. y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y perspectivas, SEP, México, 2011.

Batanero, C. y Godino, J. Errores y di cultades en la comprensión de los conceptos es-tadísticos elementales, en International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, vol. 25, num 4. 1994.

Chamorro, M. del C., y otros. Didáctica de las matemáticas, Pearson, Madrid, 2003.

Segal, S., Giuliani, D. Modelización matemática en el aula: posibilidades y necesidades, Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2008.

Ursini, Sonia y otros. Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa, Trillas, México, 2005.

Electrónicas

Aprendizaje signi cativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica.www.funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 22 de junio de 2018)

Batanero, C. y J. Godino. Estocástica y su didáctica para maestros. http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/6_Estocastica.pdf (consulta: 18 de junio de 2018)

Propuestas didácticas que se pueden llevar a cabo en clase. https://aprendiendomatematicas.com/actividades-matematicas-secundaria/ (consulta: 20 de junio de 2018)

Textos para la formación matemática y didáctica de maestros. www.ugr.es/~jgodino/fprofesores.htm (consulta: 22 de junio de 2018)

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A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

2 MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

La obra Matemáticas 2. Libro para el profesor de la serie Fortaleza Académica se creó con el propósito de apoyarlo a usted, profesor, en la planeación del curso de la asignatura y se compone de los siguientes apartados:

• Descripción del Modelo Educativo para la educación obligatoria y del mapa curricular

• Propuestasdedosificacióndelosaprendizajesesperados de la asignatura

• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales y solucionario

• Reproducción del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades

Este material se elaboró con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo para la educación obligatoria y será una guía útil en el desarrollo de su labor docente.

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