LUGARES GEOMETRICOS Y

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Pgina 94

rea Matemtica Texto San Mateo. 3 Medio

Unidad

Geometra y Trigonometra

3

Programacin Didctica

SECTOR DE FORMACIN :MATEMTICA

REA TEMTICA :MATEMTICA

CURSO :3 Medio

PROFESOR RESPONSABLE :Juan Carlos Palma

UNIDAD DIDCTICA N 3:geometra y trigonometra

TIEMPO : 30 a 34 horas

Fecha de Inicio:

Fecha de Trmino:

Tiempo estimado:

Tiempo real utilizado:

APRENDIZAJES ESPERADOS

Los alumnos:

Resolvers desafos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades.

Conocers y utilizars conceptos matemticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, de la funcin cuadrtica, de nociones de trigonometra en el tringulo rectngulo y de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisin la capacidad de anlisis, de formulacin, verificacin o refutacin de conjeturas.

LOGROS

ACTIVIDADES SUGERIDAS

1. Concepto de lugares geomtricos del plano.

2. Lugares Geomtricos fundamentales del plano:

La circunferencia.

La simetral de un segmento dado.

La paralela media a dos paralelas dadas.

3. Construccin de tringulos basadas en sus elementos principales.

4. Construccin de tringulos basadas en sus elementos secundarios.

5. Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo.

6. Identidades trigonomtricas.

7. Funciones trigonomtricas.

8. Resolucin de tringulos rectngulos y no rectngulos.

Repasan elementos secundarios de las figuras geomtricas.

Construir, con regla y comps, figuras geomtricas.

Conocen y comparten el concepto de Lugar Geomtrico.

Resolver problemas que involucren la construccin de lugares geomtricos.

Conocer, a travs de problemas, conceptos relacionados con trigonometra.

Resolver problemas utilizando las identidades trigonomtricas.

Graficar, determinar dominio y recorrido y evaluar funciones trigonomtricas utilizando software matemticos.

A travs del teorema del seno, resolver problemas en tringulos rectngulos y no rectngulos.

Sub-Unidad 3.1: LUGARES GEOMTRICOS

AB

CONOCIENDO LOS LUGARES GEOMTRICOS

Dnde estn los puntos del pizarrn que se hallan a una distancia de 20 cm

de un punto dado P ? A una distancia dada a del punto P ?

Todos los puntos que se hallan a la distancia a de un a

punto P , estn en la circunferencia con centro en P y

radio a.

Se dice que la circunferencia con centro en P y radio a,

lo que se abrevia

(P , a) , es el LUGAR GEOME -

TRICO de los puntos que se hallan a la distancia a del

punto P. Esto significa dos cosas :

horizontal

distancia

altura

P a

AC

a) Que todos los puntos de la

(P , a) se encuentran

a la distancia a del punto P.

b) Que solamente los puntos de esa circunferencia se

encuentran a la distancia a del punto P.

LUGAR GEOMETRICO es una lnea o conjunto de lneas, cuyos puntos cumplen todos, y slo ellos, una misma condicin.

NOTA: esta definicin se refiere slo al plano. En el espacio, el lugar geomtrico puede ser una superficie, por ejemplo, el lugar geomtrico de los puntos que estn a la distancia a de un punto P es la superficie de la esfera de centro P y radio a.

PRIMER LUGAR GEOMETRICO:

LA CIRCUNFERENCIA

El L.G. de los puntos que se hallan a la distancia a de un punto P es la ( (P , a) .

12

AB

=

Segundo LUGAR GEOMETRICO :

LA SIMETRAL

DB

2

AB

;

1

OB

;

1

A0

=

=

=

BD

Dibujemos dos puntos A y B.

2

1

AD

=

AO

2

3

OD

=

2r

sen

a

=

a

Tracemos el segmento

.

Construyamos varios puntos que equidisten de A y B .

En qu lnea parecen encontrarse todos estos puntos ?

3

a

2

1

23

a

30

sen

2r

a

2r

30

sen

a

=

=

=

=

AB

BC

y

AC

DE

FG

HJ

AC

50

DE

=

El L.G. de los puntos que equidistan de dos puntos

dados es la SIMETRAL del segmento que une esos A B

puntos.

5

DF

=

TEOREMA 1 : Los puntos de la simetral de un trazo

apotema

:

OH

equidistan de los extremos del trazo.

TEOREMA 2 : (Recproco) Si un punto equidista de

los extremos de un trazo, pertenece a la simetral.

TERCER LUGAR GEOMETRICO:

PARALELAS A UNA RECTA TRAZADAS A UNA

DISTANCIA a

Dibujemos una recta L y un trazo a.

Construyamos varios puntos que estn

a la distancia a de la recta L. L1

Dnde se encuentran esos puntos ?

El L.G. de los puntos que se hallan a la L

distancia a de una recta L son las

PARALELAS a dicha recta trazadas a la

distancia a .

2r

sen

a

=

a

c

q

b

c

p

a

q

p

h

2

2

2

=

=

=

L2

L es paralela media a L1 y L2 .

TEOREMA 3 : Dos rectas paralelas son equidistantes.

TEOREMA 4 : (recproco)

Dos puntos que equidistan de una recta, estando al mismo lado de ella, se hallan sobre una misma paralela a la recta.

Sean A y B dos puntos cualquiera

de L y se levantan perpendiculares en ellos.

Con centro en A y radio d se traza P,

= d.

del mismo modo, con centro en B

y radio d de traza Q,

= d .

Por P y Q se traza la recta L 1

Entonces L //L1 .

CUARTO LUGAR GEOMETRICO:

LA BISECTRIZ

Dibujemos un ngulo.

Determinemos varios puntos que equidisten

de sus lados.

Dnde parecen hallarse todos esos puntos ?

El L.G. de los puntos que equidistan de los

lados de un ngulo es la bisectrz del ngulo.

= bisectrz del ngulo AOB .

OB = OA

TEOREMA 5 : Los puntos de la bisectrz de un ngulo equidistan de los lados del ngulo.

TEOREMA 6 : (recproco).Si un punto equidista de los lados de un ngulo, pertenece a la bisectrz.

METODOLOGA PARA RESOLVER LUGARES GEOMTRICOS

Para determinar un LUGAR GEOMETRICO, se debe :

1. Formar una idea aproximada de la forma y posicin del lugar

ya por simple intuicin

ya por anlisis de los datos

ya por construccin de algunos puntos

ya transformando la propiedad dada en otra ms sencilla

2. Demostrar la existencia del lugar (los puntos que cumplan los requisitos del problema estn en el lugar, y recprocamente, todos los puntos del lugar cumplen con todos los requisitos del problema ).

3. En ciertos casos, es decir, cuando el caso lo requiere limitar el lugar a los solos puntos que satisfacen el enunciado del problema.

4. Es ventajoso muchas veces, como conclusin o comprobacin, hacer la construccin grfica del lugar.

Para desarrollar un problema geomtrico de este tipo es necesario considerar las siguientes etapas:

ENUNCIADO: Conjunto de datos relativos al lugar geomtrico (L.G.)que se busca determinar.

ANLISIS: Se estudian las relaciones existentes entre los elementos dados y las condiciones del problema. Se dibuja una figura basada en estos elementos y condiciones.

CONSTRUCCIN: Ocupando los elementos dados y siguiendo las indicaciones establecidas en el anlisis, se construye la figura geomtrica que permitir encontrar la solucin al problema planteado.

DEMOSTRACIN: Se debe comprobar que la solucin encontrada es el conjunto de puntos del plano que cumplen con las condiciones indicadas.

DISCUSIN: Verificar si el problema tiene una, dos, tres o ms soluciones; o ninguna solucin.

EJERCICIOS RESUELTOS

ENUNCIADO:

Cules son los puntos que estn a una distancia a de un punto P y que equidistan de dos rectas paralelas L1 y L2 .

ANLISIS:

i) Para que el punto buscado se halle a la a

distancia a del punto P debe estar en P

la

(P , a) .

ii) Para que el punto buscado equidiste de

las rectas paralelas L1 y L2 debe

hallarse en la paralela media.

DEMOSTRACIN:

Los puntos x1 y x2 pertenecen a la

(P , a) entonces se encuentran a una distancia a de un punto P .

L es paralela media e intersecta a la

(P , a) en los puntos x1 y x2 .

Por lo tanto x1 y x2 cumple con ambas condiciones.

CONSTRUCCIN:

Se traza la circunferencia ((P , a).

Se traza la paralela media de L1 y L2.

DISCUSIN: (nmero de puntos o soluciones posibles)

Ninguna solucin si la paralela media no corta a la circunferencia.

Una solucin si la paralela media es tangente a la circunferencia.

Dos soluciones si la paralela media es secante a la circunferencia.

Preguntas: Cuntas soluciones tiene el problema ?

Por qu el punto x1 se halla a la distancia a del punto P ?

Por qu x1 equidista de L1 y de L2 ?

Si cambiamos la posicin del punto P de modo que resulte una solucin, a qu distancia de la paralela media debe colocarse el punto P ?

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Encuentra el lugar geomtrico que determina :

a) Un esquiador que se desliza por una pista recta, mantenindose equidistante de sus orillas.

b) Un helicptero que permanece a igual distancia de las rutas rectas A y B para poder atender cualquier emergencia que haya en la zona.

c) Un nadador que se mantiene a una distancia constante de las boyas que marcan su pista de carrera.

2. En el cuadrado ABCD de la figura se tiene:

AB = 30 cm ; F y G son puntos medio de los lados respectivos.

Determina el o los puntos interiores del cuadrado que cumplen con la condicin de :

a) Equidistar de sus cuatro lados.

b) Equidistar de sus cuatro vrtices.

c) Estar a 8 cm de E y equidistar de AD y AB.

d) Estar a 10 cm de FG y equidistar de DC y DA.

e) Estar a 20 cm de E y a 40 cm de A .

3. Determina los puntos del plano que :

a) Equidistan de dos rectas secantes y de los lados de un ngulo AOB.

b) Equidistan de dos puntos A y B, y estn a una distancia d de un punto P.

c) Estn a 4 cm de una recta L y equidistan de dos rectas paralelas.

d) Equidistan de dos rectas secantes y estn a 12 cm del punto de interseccin de dichas rectas.

e) Equidistan de los lados de un ngulo AOB y estn a 4 cm del lado OA del ngulo.

f) Estn a la distancia d1 de un punto A y a la distancia d2 de un punto B.

g) Equidistan de dos rectas secantes y estn a 4 cm de un punto A.

h) Equidistan de dos puntos A y B de dos rectas secantes.

i) Sobre el lado AB de un tringulo ABC o su prolongacin, determina un punto equidistante de A y C.

CUARTO LUGAR GEOMETRICO:

EL ARCO CAPAZ

El ARCO CAPAZ es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que son vrtices de ngulos congruentes, de medida dada y que subtienden un mismo segmento dado.

Problema: Construye el arco capaz del ngulo

sobre el segmento

dado.

Construccion:

1) Se copia el ngulo ( en el extremo A

del segmento

.

( Se forma el

BAE )

2) Por el vrtice del

BAE se traza una

perpendicular

AD

al lado AE .

3) Se traza la simetral S del segmento

AB

.

4) La interseccin de la perpendicular

AD

y

la simetral S, determinan el punto O,

centro de la ((O , OA ) que contiene

al arco capaz

(BA del ngulo (.

El arco capaz de un ngulo de medida

es el arco de circunferencia en el cual

el segmento dado es cuerda y el ngulo

semiinscrito en esa cuerda tiene medida

.

El arco capaz se considera tambin como

el lugar geomtrico de los terceros vrtices

de aquellos tringulos en que se conoce la

medida de un lado y del ngulo opuesto a

ese lado.

Todos los ngulos inscritos en una misma

circunferencia y que subtienden arcos de

igual medida son congruentes.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Construye el arco capaz de :

1. Los ngulos de 60 , dada una cuerda de 5 cm de longitud.

2. Los ngulos de 90, dada una cuerda de 6 cm de longitud.

3. Los ngulos de 150, dada una cuerda de 8 cm de longitud.

4. Qu sucede con el arco capaz, en cada uno de los casos anteriores, si la medida de la cuerda se reduce a la mitad ?.

5. Los ngulos de 45 sobre la cuerda de 4 cm.

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS.

Del mismo modo que en la determinacin de un lugar geomtrico, en la construccin de un tringulo cualquiera es conveniente considerar los siguientes aspectos y el orden en que se dan :

- El enunciado del problema, es decir, el conjunto de datos relativos al tringulo que se desea construir.

- El analisis de los datos dados, es decir, la relacin grfica de los elementos geomtricos y las condiciones indicadas, en la llamada figura de anlisis.

- La Construccion del tringulo propiamente tal con regla y comps de acuerdo con los datos dados.

La discusin de las posibilidades de construccin que ofrecen los elementos y condiciones establecidas y representadas en la figura de anlisis, para verificar: si existe siempre solucin, si existe una o ms soluciones o si no hay solucin.

Ejemplo : Construir un tringulo dados

un lado y los dos ngulos adyacentes.

c

Construccin :

1) Sean c ,

y

lo dado.

2) Se traza

= c y en sus extremos se C

copian :

,

.

3) Los lados libres de

y

se cortan en

el punto C , resultando el

pedido.

Discusin : El problema tiene una solucin,

siendo

Problema para resolver.

En el tringulo ABC, que presentamos, se

han trazado las bisectrices

= b

1 y

= b

1 .

Determina la medida x del ngulo en

funcin de

.

Ejemplo: Construir un tringulo dadas las medidas de un lado, de la altura correspondiente a otro lado y la de un segmento determinado por ella en ese lado.

Anlisis : Consideremos un

ABC como el pedido C

con las medidas a de un lado, hc de la altura y

q del segmento determinado por esta en AB a

1) Consideremos un segmento de medida q,

determinando los puntos A y D como sus hc

extremos.

2) Determinamos el vrtice C, mediante A q D B

EMBED Equation.3

DC

(

(D , hc ) = {C}

(

DC

(

en D )

3) Determinamos el vrtice B mediante :

(

(C , a) = { B }

Datos :

a hc q

Construccin: C1

1) Se traza

2) Se traza

(A , q) , determinando en

el punto D.

3) Se traza una perpendicular a

en D. a

4) Se traza

(D , hc) obteniendo, en la hc

perpendicular los puntos C1 y C2.

5) Se une el vrtice con C1 y C2 ,

determinando AC1 y AC2 . A q D B E

6) Se traza

(C1 , a) o

(C2 , a)

obtenindose en

el punto B.

7) Se unen C1 y C2 con B, determinndose hc a

Los tringulos ABC1 o ABC2 corresponden C2

al tringulo pedido.

Discusin : El problema tiene :

- una solucin: una a cada lado de

, si la medida del lado a es igual que la altura hc .

- dos soluciones : dos a cada lado de

, si la medida del lado a es mayor que la altura hc

- ninguna solucin: si la medida del lado a es menor que la de la altura hc .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Construye un tringulo , dados :

1. a , b , c

2. a ,

,

3. a , c ,

Construye :

4. Un tringulo rectngulo issceles dada su hipotenusa.

5. Un tringulo rectngulo dada su hipotenusa.

Construye un tringulo issceles, dados :

6.

, c

7.

, c

8.

, a

Construye un cuadrado, dados :

9. Su diagonal d

10. Su permetro P

Comprueba si es posible construir un tringulo dadas las siguientes medidas para sus lados , indica adems qu tipo de tringulo es el determinado por las medidas indicadas:

11. a = 5 cm

b = 4cm

c = 20 cm

12. a = 6 cm

b = 17 cm

c = 11 cm

13. a = 3 cm

b = 4cm

c = 5 cm

Verifica si es posible construir un tringulo ABC, dados los siguientes datos :

14. a , b ,

15. a , c ,

16. b , c ,

Construye un tringulo ABC rectngulo en C , dados :

17.

, a

18.

, b

ANALISIS Y CONSTRUCCIN DE LUGARES GEOMTRICOS

1. Determina la ubicacin de los puntos que se ubican a una misma distancia de una recta dada. Qu forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? Qu forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?

2. Determina el conjunto de puntos que tienen una distancia dada a un punto determinado. Qu forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? Qu forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?

3. Determina la ubicacin de los puntos tales que para cada punto, la distancia entre dicho punto y ambas rectas es la misma.

4. Dados tres puntos cualesquiera, determina el lugar geomtrico de los puntos que tienen la misma distancia a cada uno de ellos. Analiza las soluciones en relacin con la posicin relativa de los tres puntos dados.

5. Dados una recta y dos puntos, determina el lugar geomtrico de los puntos que estn a una distancia q de la recta y que la distancia en relacin con los dos puntos es la misma. Analiza las soluciones en relacin con la posicin relativa de la recta y los puntos.

6. Dado un punto R y un plano P, determina el lugar geomtrico de los puntos que estn a una misma distancia de R y estn a una distancia q del plano P. Discutir las soluciones.

7. En el espacio, determina los puntos que estn a una distancia p de una recta y estn a una misma distancia de un punto dado R. Discutir la existencia de las soluciones.

Encuentra el lugar geomtrico que determina:

1. El perro de Mnica que corre, a una distancia constante , atado a una estaca con una cadena de 2 m de longitud

2. Un atleta que corre por el centro de una pista recta cruzando la meta.

3. Determine el conjunto de puntos que:

a) Tengan una distancia a de un punto dado P y tengan una distancia m a una recta L.

b) Equidisten de dos rectas secantes y que estn a una distancia d del punto de interseccin de ambas rectas.

c) Estn a una distancia r de una recta dada L y equidistan de dos rectas paralelas L1 y L2

4. Construye el Arco Capaz de:

a) Un ngulo agudo, dada una cuerda de longitud a

b) Un ngulo recto, dada una cuerda de longitud a

c) Un ngulo obtuso, dada una cuerda de longitud a

5. Explica cul de estos aspectos debo considerar para determinar el vrtice C de un tringulo dados

AB

y el ngulo ( y sabiendo que el vrtice C debe estar a una distancia dada d del vrtice A:

a) Traza el arco capaz de (

b) Trazar una paralela al segmento

AB

a la distancia d

c) Traza una circunferencia de centro en A y radio d.

CONSTRUCCIN DE TRIANGULOS

1. Construye un tringulo rectngulo dados a y ha.

2. Cuntas soluciones puedes tener al construir un tringulo rectngulo dados los catetos a y b?.

3. Construye un tringulo dadas las medidas de:

i)

c

a

t

t

a

,

,

ii)

c

t

a

,

,

b

4. Construye un rombo, dadas las medidas de sus diagonales.

5. Construye un cuadrado de 6 cm. de lado.

Visita la pgina:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Lugares_geometricos/Lugares_geometricos.htm

Realiza las actividades propuestas en esta pgina y antalas en tu cuaderno.

CONTENIDO 11: TEOREMAS DE EUCLIDES Y DE PITAGORAS

Tringulo rectngulo:

Haz una pequea investigacin y encuentra las definiciones de los elementos secundarios de un tringulo.

Altura: ________________________________________________________________

Bisectriz: ________________________________________________________________

Mediana: ________________________________________________________________

Mediatriz: ________________________________________________________________

Transversal de gravedad:

A continuacin te daremos a conocer los grandes aportes que hicieron estos famosos matemticos a la geometra, mediante sus teoremas:

TEOREMA 1: (Euclides)

En todo tringulo rectngulo se tiene:

1. La altura correspondiente al ngulo recto es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

2. Cada cateto es media proporcional entre su proyeccin sobre la hipotenusa y la hipotenusa completa.

TEOREMA 2: (Pitgoras)

CONTENIDO 12: RAZONES TRIGONOMETRICAS

(AOB ngulo positivo (AOB ngulo negativo

Los ngulos pueden tener medidas positivas o negativas e incluso mayores que 360

Entonces, se cumple que la razn entre las longitudes de dos lados correspondientes son iguales . Esto es:

Constante

K

AC

BC

AJ

HJ

AG

FG

AE

DE

1

=

=

=

=

=

El valor K1 es llamado tangente del ngulo (.

Respecto al ngulo agudo ( de un (ABC rectngulo en C se tiene que:

SENO de un ngulo ( .

Se define como:

sen ( =

hipotenusa

a

opuesto

cateto

a

cosec ( =

a

opuesto

cateto

hipotenusa

a

COSENO de un ngulo (

Se define como:

cos ( =

hipotenusa

a

adyacente

cateto

a

sec ( =

a

adyacente

cateto

hipotenusa

a

TANGENTE de un ngulo ( .

Se define como:

tg ( =

a

adyacente

cateto

a

opuesto

cateto

a

a

cotg ( =

a

opuesto

cateto

a

adyacente

cateto

a

a

Ejemplo:

1. Sea el (ABC rectngulo en C , con catetos

AC

= 3 cm ,

BC

= 4 cm, e hipotenusa

AB

= 5 cm.

Calcula respecto de los ngulos agudos ( y ( las razones trigonomtricas y sus recprocas:

2. Dado un (ABC rectngulo en C, donde cosec ( =

2

85

, calcula :

sec ( = tg ( = sen ( =

cos ( = ctg ( = cosec ( =

TABLA DEDUCIBLE DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

2

1

30

sen

=

2

3

30

cos

=

3

3

30

tg

=

2

3

60

sen

=

2

1

60

cos

=

3

60

tg

=

Haz el ejercicio de deducir las identidades siguientes:

45

sen

=

45

cos

=

45

tg

=

En el siguiente cuadro haz un resumen de las razones trigonomtricas bsicas de los ngulos notables considerados.

MEDIDA

ANGULAR

(

0

30

45

60

90

SENO

COSENO

TANGENTE

1. RELACIONES ENTRE LOS LADOS . Teorema de Pitgoras

C2 = a2 + b2

a y b catetos

c hipotenusa

2. RELACIONES ENTRE LOS NGULOS.

a + b + c = 180

3. RELACIONES ENTRE LADOS Y NGULOS .

Relaciones trigonomtricas. sen ( = cos ( ,

cos ( = sen ( ,

tg ( = ctg ( , ( , ( son complementarios

5. Una moneda de $50 mide 2,5 cm de dimetro. Hallar el ngulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6cm del centro.

4. Jorge y Alex van a escalar una montaa de la que desconocen la altura . A la Salida del Pueblo , Jorge mide el ngulo de elevacin y mide 30. Avanzan 100 metros hacia la base de la montaa y vuelve a medir el ngulo de elevacin siendo ahora 45. Cul es la altura de la montaa?.

TEOREMA DE LOS SENOS:

Este teorema sirve para relacionar los lados de un tringulo con los ngulos opuestos.

Los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos:

sen

c

sen

b

sen

a

g

b

a

=

=

Esto nos permite:

Ejemplo : Un lado de un tringulo mide a y su ngulo opuesto vale 30. Determina el valor de a sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo es 3.

Aplicando el teorema de los senos:

TEOREMA DE LOS COSENOS:

En este teorema vemos una relacin parecida al teorema de Pitgoras aplicable a los tringulos rectngulos.

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos (

b2 = a2 + c2 - 2ac cos (

c2 = a2 + b2 - 2ab cos (

Esto nos permite:

Ejemplo:

En un tringulo se conocen los lados b = 3cm y c = 4 cm y el ngulo comprendido ( = 60 . Hallar el lado a.

Aplicando el teorema del coseno:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos (

a2 = 9 + 16 - 24 cos 60

a2 = 13

a =

13

Dibuja un ( ABC , rectngulo en C cuyos catetos miden 7cm y 7

3

cm respectivamente y determina :

1.

AB

=

2. sen ( = cos ( = tg ( =

3. sen ( = cos ( = tg ( =

4. m (( () = m ((() =

5. Considera un ( ABC , rectngulo en C.

a) Si tg ( =

4

3

, determina : sen ( = cos ( =

b) Si sen ( =

2

1

, calcula: cos ( = , tg ( =

6. Un segmento de 15 cm de longitud forma un ngulo de 20 con respecto a un plano. Cunto mide la proyeccin del segmento en el plano?.

7. Cuntos grados miden, aproximadamente los ngulos agudos de un tringulo rectngulo , si las longitudes de sus catetos son 7 y 24 cm ?.

8. Determina las dimensiones de un rectngulo si la longitud de su diagonal mide 8cm y forma con la base un ngulo de 30.

9. Desde un punto situado a 15 cm del centro de una circunferencia , de radio 9 cm, se trazan las tangentes a dicha circunferencia .Cul es el ngulo formado por las tangentes?.

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRA

1. Encuentre el ngulo de elevacin del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.

2. Desde un punto que est a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medicin de 53 grados para el ngulo de depresin de un objeto que se encuentra en el suelo. Aproximadamente qu tan lejos est el objeto del punto en el suelo que est directamente bajo el observador?

3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ngulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.

4. Un avin vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto ms tarde, el ngulo de depresin del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avin.

5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ngulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ngulo de 30 grados y la parte inferior con un ngulo de depresin de 45 grados. Determine la altura del edificio sealado.

7. Un ro tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la direccin de la orilla ngulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del ro.

8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior est a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ngulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, cul es la altura del cuadro?

9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. Cul es el ngulo que la escalera forma con la pared y hasta qu altura de la pared llega la escalera?

10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer poste es 7,5 m. ms alto que el segundo. Encuentre el ngulo de elevacin del sol y la longitud de cada poste.

11. Un rbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ngulo de elevacin del rbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo del nivel del sealado punto y calcule la diferencia de nivel.

12. Cul es la altura de una colina, si su ngulo de elevacin, tomado desde su base, es 46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?

13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que los ngulos de elevacin a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.

14. Sobre un plano horizontal, un mstil est sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ngulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuas es de 50 m. cunto cable se ha gastado?, cul es la altura a la cual estn sujetos los cables?

15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ngulos de depresin de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes.

16. Un topgrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C est a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ngulo ACB mide 35 grados. Cul es el ancho del lago?

17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en direccin N 52 O y N 55 E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero. Si el guardabosque ms cercano al fuego es el que debe acudir. Cul de ellos tiene que ir y cunto tendr que caminar?

18. Un terreno tiene la forma de un tringulo issceles. La base est frente a un camino y tiene una longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ngulo de 23 grados.

19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. Qu distancia hay del puerto al punto donde gir el barco?

20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avin con un ngulo de elevacin de 15 grados y un automvil en la carretera, en el mismo lado que el avin, con un ngulo de depresin de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automvil ve al avin bajo un ngulo de elevacin de 65 grados. Si el avin, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avin y el automvil , tambin calcule la altura a la que vuela el avin en ese instante.

21. Un terreno triangular est demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. Qu ngulo forma la cerca con la carretera?

22. Una escalera de mano, cuyo pie est en la calle, forma un ngulo de 30 grados con el suelo, cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ngulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m., cul es el ancho de calle?

23. Un rbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un tringulo rectngulo. La parte superior forma un ngulo de 35 grados con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cspide cada es de 5 m.. halle la altura que tena el rbol.

24. Un observador detecta un objeto volador no identificado situado estticamente en un punto del espacio. El observador, por medio de un telmetro y un sextante, determina que el OVNI se encuentra a 4460 m. en un ngulo de elevacin de 30 grados. De pronto el OVNI descendi verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre. Determine a qu distancia del punto de observacin descendi este objeto y qu distancia debi descender hasta tocar tierra.

25. El ngulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los lados, entre los cuales se encuentra dicho ngulo, tiene una longitud de 175 pies y 150 pies, determine la longitud del tercer de los lados.

B

D

E

(

x

(1

(1

(

(

B

A

c

(

(

B

A

O

(

(

(

E

O

B

A

(

S

D

O

E

A

(

(

B

F

B

A

E

G

D

C

L1

L

X1

X2

L2

Qued maestro para la trigonometra, sino pregunta no ms!

P

L1

A

B

L

d

d

P

RAZONES TRIGONOMTRICAS:

sen ( = sen ( =

cos ( = cos ( =

tg ( = tg ( =

cosec ( = cosec (=

sec ( = sec ( =

cotg ( = cotg ( =

Q

L1

a

La proporcin de planteo se llama en matemtica tangente del ngulo ( y para este ngulo viene expresada as.

tg ( = EMBED Equation.3

En el deporte del ala delta, el profesor aconseja al alumno que comience saltando desde una pea no muy alta; por ejemplo 10 metros. Al llegar a tierra observan que la distancia horizontal recorrida es de 50 metros. A medida que el alumno es ms experto va saltando desde peas ms altas.

Supuesto que el comportamiento del ala delta es siempre el mismo, qu distancia horizontal recorrer cuando se lance desde una altura de 20 metros ?.

En la siguiente tabla expresamos la altura y la distancia de cada vuelo, completa los datos que faltan y determina la relacin que hay entre la altura de la roca desde la que se lanza y la distancia horizontal en trminos de una proporcin.

ALTURA

DISTANCIA HORIZONTAL

10 m

50 m

20 m

100 m

30 m

150 m

45 m

160 m

1 km

ANGULOS ORIENTADOS Y

SISTEMAS DE MEDICIN:

x

y

y

x

O

O

A

A

B

B

La orientacin o sentido de un ngulo est determinado por la direccin en que gira uno de sus rayos mientras que el otro permanece fijo.

Un ngulo est en posicin estndar si uno de sus lados coincide con la semirrecta positiva OX de un sistema de ejes X e Y ortogonales.

EMBED Word.Picture.8

X

Y

0

B

A

m((AOB) = ( + k 360

RAZONES TRIGONOMTRICAS

EN UN TRINGULO RECTNGULO.

A

C

Ejemplos:

1. Calcula la medida del cateto EMBED Equation.3 del (ABC rectngulo en C , si EMBED Equation.3 cm y m((CAB) = 30

y

x

1

1

O

D

B

A

45

45

Consideremos un ngulo de 45 en la circunferencia goniomtrica.

Prolongando el cateto EMBED Equation.3 ms all de D hasta intersectar a la circunferencia en A , obtenemos un tringulo issceles cuyos lados congruentes son de medida unitaria.

Entonces:

EMBED Equation.3

k nmero de giros completos

RAZONES TRIGONOMTRICAS

DE UN NGULO DE 45

30

D

A

1u

30

r=1u

B

O

x

y

Consideremos la circunferencia de radio unitario (1u), llamada giniomtrica y que tiene su centro ubicado en el orgen O(0,0) de un sistema de ejes coordenados perpendiculares.

Consideremos un ngulo de 30, al prolongar el cateto EMBED Equation.3 ms all de D hasta intersectar a la circunferencia , obtenemos un (AOB equiltero de lado unitario.

De esta forma (AOD rectngulo en D.

m((AOD) = 30

m((DAO) = 60

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = 1

EMBED Equation.3

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES de 30, 45 y 60 grados

(

(

B

C

A

En tringulos rectngulos semejantes y respecto de un mismo ngulo agudo, la razn entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre constante.

J

G

E

H

F

D

C

B

A

(

(

(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

C

A

Sea (ABC, rectngulo en C.

EMBED Equation.3 : hipotenusa

EMBED Equation.3 : catetos

( y ( : ngulos agudos

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 son perpendiculares al cateto EMBED Equation.3 , o sea los tringulos (ADE , (AFG , (AHJ son rectngulos en E, G, J, respectivamente adems tienen el ngulo agudo ( en comn.

Por lo tanto :

(ADE ( (AFG ( (AHJ ( (ABC (Postulado A.A. de semejanza de tringulos).

B

2. Calcula la medida del ngulo agudo ( del (DEF rectngulo en F si EMBED Equation.3 cm y EMBED Equation.3 cm

F

D

E

(

B

5

C

A

RESOLUCIN DE TRINGULOS

NO RECTNGULOS

Hallar:

Un ngulo, conocidos su lado opuesto, otro lado y su ngulo opuesto.

Un lado, conocidos su ngulo opuesto otro lado y su ngulo opuesto.

El radio de la circunferencia circunscrita al tringulo, conocidos un lado y su ngulo opuesto.

EJERCICIOS

O

En esta me salvo!

JeJeJe!

C

B

A

H

B

A

25

35

35

O

(

H

A

B

C

EMBED Equation.3

O

A

h

5

4

3

RESOLUCIN DE TRINGULOS

H

B

A

EJERCICIOS

Calcula el radio y la apotema de un octgono de lado 10 cm.

Los catetos de un tringulo rectngulo son 3 y 4 cm. Calcula la altura correspondiente a la hipotenusa.

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 cm tiene como arco correspondiente uno de 70

La base de un tringulo issceles mide 10m y el ngulo opuesto 50. Hallar el rea.

NGULOS DE ELEVACIN

Y DE DEPRESIN

Son aquellos formados por la horizontal considerada a nivel del ojo del observador y la lnea de mira, segn que el objeto observado est por sobre o bajo esta ltima.

EMBED MS_ClipArt_Gallery

Observador

Lnea de mira

ngulo de

elevacin

ngulo de

depresin

Observador

Horizontal

Horizontal

45

30

B

A

100m

altura

EMBED MS_ClipArt_Gallery

EMBED MS_ClipArt_Gallery

EMBED MS_ClipArt_Gallery

S

M

T

EMBED MS_ClipArt_Gallery

580 m

24

D

EMBED MS_ClipArt_Gallery

EMBED MS_ClipArt_Gallery

150 m

30

EMBED MS_ClipArt_Gallery

Calcula el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 m. De alto cuando el Sol se encuentra a 30 por encima del horizonte.

Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580m sobre el nivel del mar , se divisa un barco con un ngulo de depresin de 24 . A qu distancia del punto D de la base de la torre est el barco?.

En una cierta poca del ao, el planeta Mercurio, la Tierra y el sol se ubican formando un tringulo rectngulo . Desde la tierra se observa el (STM = 21,16 y se conoce la distancia de la Tierra al Sol: 150 millones de kilmetros, v con esta informacin determina la distancia entre la Tierra y Mercurio.

C

a

b

c

H

hc

(

(

(

A

A

B

C

a

2r

EMBED Equation.3

(

Hallar:

Un ngulo, conocidos los tres lados.

Un lado, conocidos los otros dos lados y un ngulo .

EJERCICIOS

(

(

(

D

c

b

a

C

B

A

B

De Aqu obtenemos que:

EMBED Equation.3

p

q

h

c

b

a

a

a

PITGORAS

Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la poca de este filsofo la isla era gobernada por el tirano Polcrates. Como el espritu libre de Pitgoras no poda avenirse a esta forma de gobierno, emigr hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociacin que no tena el carcter de una escuela filosfica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemticas han nacido en el mundo griego de una corporacin de carcter religioso y moral. Ellos se reunan para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad. En la Escuela Pitagrica poda ingresar cualquier persona, hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitgoras se cas con una de las alumnas. El smbolo de la Escuela de Pitgoras y por medio del cual se reconocan entre s, era el pentgono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). Debido a la influencia poltica que tuvo la Escuela en esa poca, influencia que era contraria a las ideas democrticas existentes, se produjo, tal vez, despus del ao 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitgoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un ao ms tarde muri asesinado en otra revuelta popular en Metaponto. Se debe a Pitgoras el carcter esencialmente deductivo de la Geometra y el encadenamiento lgico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros das. La base de su filosofa fue la ciencia de los nmeros, y es as como lleg a atribuirles propiedades fsicas a las cantidades y magnitudes. Es as como el nmero cinco era el smbolo de color; la pirmide, el del fuego; un slido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego.

EUCLIDES

Euclides, nacido en el siglo 300 AC, fue el matemtico ms famoso de todos los tiempos a pesar del hecho de que poco se sabe de su vida, pero se sabe que ense en Alejandra, Egipto. Los Elementos de Euclides, un trabajo introductorio a la geometra elemental y otros tpicos, y otros trabajos de su gnero a tal magnitud que ahora se saben slo por referencia indirecta. Los Elementos empiezan con definiciones, postulados, y axiomas, incluso el famoso quinto, o paralelo, postulado que una y solo una lnea recta puede ser dibujada a traves de un punto a una lnea paralela dada. La decisin de Euclides de hacer de esta suposicin indemostrable lo llev a la Geometra Euclideana. No fue hasta el siglo 19th que se modific el quinto postulado para desarrollar la Geometra No-Euclideana.

H

C

A

A, B, C son los vrtices del tringulo.

a y b son las medidas de los catetos.

c es la medida de la hipotenusa.

Cateto

Hipotenusa

ngulo Recto

B

c

b

a

C

A

D

C

B

Q

a

O

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