MATEMÁTICAS APLICADAS AL DERECHO

DAVID CIENFUEGOS SALGADO

~

MATEMATICAS

APLICADAS AL DERECHO

Segunda edición

11EDITORIAL PORRÚAAV. REPÚBLICA ARGENTINA 15

MÉXICO, 2010

Primera edición, 2004

Copyringbt lO 2010,DAVID C1ENFUEGOS SALGADO

Eutimio Pinzón 6,39020, Chilpancingo, Gro.

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1. MATEMÁTICA Y DERECHO

La historia del hombre no seria la misma si la matemática no hubiera sidodesarrollada. Esta ciencia exacta ha proporcionado muchos de los ele­mentos necesarios para la evolución cultural del hombre: desde los ins­trumentos necesarios para establecer el trueque o cambio de mercancias,basta la resolución de los problemas técnicos que lanzarian al género hu­mano a la conquista del espacio. La matemática, al igual que el derecho,está presente en la mayoría de las actividades realizadas cotidianamente.Davis y Hersh, al hablarnos de la utilidad que representa la matemáticaen el mundo moderno aseveraron que para un astrónomo o fisico, las ma­temáticas son útiles porque son el idioma de las ciencias, para un inge­niero civil son útiles porque facilitan la construcción de puentes, para unprofesor de matemáticas son útiles puesto que le permite recibir su pagamensual, para un editor son útiles ya que le permiten vender libros.' Eneste contexto, por qué no pensar que las matemáticas son útiles al aboga­do porque le permiten realizar los cálculos que el estudio, interpretacióny aplicación correcta del derecho exigen.

En la escuela aprendemos a contar y medir. Estos procesos se realizana través de la utilización de un conjunto de simbolos con algunas reglas deescritura. Sin embargo con frecuencia descubrimos que solamente aque­llos alumnos que poseen ciertas aptitudes, se salvan de obtener malas ca­lificaciones, puesto que logran captar la estructura lógica de la cienciamatemática. ¿Cómo evitar que un porcentaje considerable de alumnos re­prueben en matemática? ¿Como evitar el disgusto y repulsión hacia lamatemática? Y tratándose de la carrera de licenciado en derecho, ¿cómoformar un profesional capaz de' entender y solucionar los problemas cuan­titativos derivados del estudio, interpretación y aplicación del derecho?Estas preguntas se contestan por el hecho, innegable, de que el maestrosiempre enseña el modo en que se hacen las cosas, en este caso las ope­raciones matemáticas, y los alumnos lo aceptan sin cuestionar por qué.Se requiere un cambio en esta situación, la doctrina matemática francesaconsidera que es preciso situar al alumno en presencia de situaciones

1 Perera, Mariano, Historia e historia de matemáticas, México: Grupo Editorial Iberoa·mericano, 1994. p. 75.

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2 Matem6licos aplicadas 01 Derecho • David Cienfuegos Salgado

matemáticas variadas (contextos diferentes) y hacerlo participar activa­mente en el descuhrimiento de ciertos resultados, de ciertas propiedadesy estructuras. En el presente caso, el curso de Matemáticas aplicadas alderecha no debe ser ni un monólogo del profesor, ni un diálogo de ésteúltimo con determinado alumno en particular. El curso debe desarrollarsecon la participación activa de la mayoria de los alumnos, de todos si esposible. Esto implica dejar un poco la didáctica tradicional para situarseahora el docente, como un coordinador del grupo, como un colaboradormás en la tarea que representa la construcción de nuevos conocimientos.

Con frecuencia se piensa que las matemáticas y el derecho son disci­plinas que chocan, que son incompatibles. Esto es falso, toda vez que lamatemática aplicada al derecho constituye uno de los auxiliares princi­pales en su estudio, interpretación y aplicación. Basta señalar que laciencia matemática provee al derecho de los métodos, técnicas y herra­mientas necesarias para determinar cuantitativamente las repercusionesjurídicas de un determinado comportamiento: cálculo de términos, pla­zos, intereses, penas, beneficios, honorarios, salarios, actualizaciones,prestaciones, asignación de curules, etcétera. El conocimiento de cómose realizan estos cálculos, es necesario e indispensable, para cualquierprofesional del derecho, cualquiera que sea su actividad: abogado litigan­te, asesor jurídico, juez, administrador, legislador, etcétera.

Esta importancia aumenta cuando descubrimos que en áreas común­mente atribuidas a los estudiosos del derecho, han proliferado profesio­nales de oLras áreas, tales (;01110 contadores, ingenieros, actuarios, admi­nistradores de empresas, licenciados en relaciones industriales, etc. Estosprofesionales, a pesar de carecer de los conocimientos jurídicos necesa­rios, han desplazado a los egresados de las escuelas y facultades de dere­cho, quienes por falta de una adecuada preparación en el conocimientode la ciencia matemática, han pasado a desempeñar funciones secunda­rias. Esta situación debe cambiar; creo firmemente que ese es el objetivoque tuvieron en mente quienes decidieron incluir la asignatura de Mate­máticas aplicadas al derecho en la currícula de estudios superiores de laFacultad de Derecho de la Universidad Nacional Autónoma de México.

El actual programa2 difiere sustancialmente de los anteriores." apre-

2 Aprobado por el H. Consejo Técnico de la Facultad de Derecho en su sesión del B dejulio de 1997.

3 Aprobados por el H. Consejo Técnico, en sesiones de 26 de septiembre de 1994 y pu~

blicado en el Boletín de Jo Facultad de Derecho, número 71, primera quincena de octubre de1994; y, del 30 de marzo, 14, 15 Y 19 de abril, 9 y 21 de junio de 1993; aprobados por la Co­misión de Trabajo Académico del H. Consejo Universitario en sus sesiones del 15 y 29 de ju­nio de 1993; aprobados por el H. Consejo Universitario en su sesión del 2 de septiembre de1993. Vid. Planes y programas de estudio d(J la Facultad de Derecho. GuaIto semestre, Facul­tad de Derecho, UNAM, pp. 328-333.

Introducción 3

ciándose que se suprimieron temas que poco o en nada podían corres­ponderse con el nombre de la asignatura, aprobándose en cambio modW­caciones que enriquecen sustancialmente la cultura del estudiante en de­recho.

Considero que el contenido del programa de la asignatura Matemáti­cas Aplicadas al Derecho es muy ambicioso; sin embargo es preciso reco­nocer que estamos ante una asignatura sumamente necesaria. Durante elIII Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas(UNAM, 22-26 de junio de 1992) Felipe Tirado Segura' hizo alusión a laproblemática de la materia al señalar:

Hay indicadores que permiten apreciar que la enseñanza de las matemáticasa nivel básico (primaria y secundaria) tiene muy baja eficiencia. En una in­vestigación con 897 estudiantes pertenecientes a 21 universidades, se e'ncon­tró que respondiendo a un cuestionario de opción múltiple, el 15% no pudoindicar a cuánto equivale 48 x 3, el 46% no pudo identificar el resultado dedividir 50 entre 0.2 y el 61 % no reconoció a que porcentaje equivale 50 enun total de 250. En otra investigación, todos los encuestados tenían estudiosde posgrado terminados en distintas disciplinas, alrededor de tres cuartaspartes (76%) de ellos se dedicaban de tiempo completo a la investigación o ala docencia a nivel de posgrado, es decir, personas que tenían probado éxitoescolar, que corresponden a la élite de la élite en la pirámide de escolaridad,que son profesores de los profesores; con esta muestra se encontró que el17.8% no pudieron identificar el resultado de dividir 50 entre 0.2, el 27.4%no identificó el porcentaje de 40 sobre 200, el 39.6% no reconoció el princi~

pio para despejar una incógnita en una ecuación simple y el 45.2% pareceno comprender cual es el significado del valor "1[".

Es evidente que la asignatura no viene a cubrir tales lagunas, puesello implica revisar los temas que en el área especifica se han explicitadoal alumno desde la educación básica. Sin embargo, sí permite que el fu­turo profesional del derecho identifique los instrumentos y procedimien­tos matemáticos que le permitirán desarrollar su labor, tan preciada parala sociedad de hoy dia, en forma más adecuada. La presente obra vaacompañada de abundantes ejercicios y prácticas que permitirán al estu­diante adquirir y mejorar su habilidad mental y afianzar los conocimien­tos obtenidos.

Estas páginas iniciales constituyen un repaso de conocimientos queel estudiante suele adquirir durante su formación básica, mismos que, se­guramente, ha relegado al olvido, pero que adquieren vítal importanciaen el contexto de la asignatura que se trata.

4 Tirado Segura, Felipe, "La enseñanza de las matemáticas básicas, la historia como es·tructura curricular", en Mathesis, Vol. IX, no. 4, noviembre 1993, p. 434 Y ss.

4 Matem6licas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

11. LA MATEMÁTICA

En este contexto introductorio vale la pena cuestionamos ¿Qué es lamatemática? La matemática suele ser caracterizada como la ciencia quese encarga del estudia de cantidades y formas, sus propiedades y relacio­nes, valiéndose de la utilización de números y simbolos. Aristóteles sehabia referido a ella como la ciencia de la cantidad; y Descartes, siglosdespués la llamaría ciencia del orden y de la medida. Sin embargo, esmucho más que eso, puesto que abarca uno de los fundamentos científi­cos más importantes: el método de razonamiento deductivo, del cual ha­blaremos más adelante. Lancelot Hagben afirmó que la matemática es unmétodo que permite descubrir y expresar, de la manera más económicaposible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculos, medidas yformas. La matemática, en tanto expresión del conocimiento humano, esciencia, puesto que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y eldeseo de perfección estética. Cualquier ciencia es activídad social, locual significa que su sistema de conceptos, técnicas y criterios de valida­ción de enunciados son compartidos y aceptados en el seno de un gruposocial determinado. Pero el caso de la matemática es singular, es unaciencia exacta, pero sus aplicaciones se extienden a todas las ramas delconocimiento. Como señaló Bell: es la reina y la sirvienta de las ciencias.La matemática es el lenguaje de las ciencias.

Los elementos básícos de la matemática son: lógica e intuición, análi­sis y construcción, generalidad y particularidad. Como puede advertirselas diferencias de opinión para definirla surgen porque se subrayan di­versos tópicos: para unos lo formal, abstracto y puro son elementos deprimer orden, mientras que para otros lo son sus aplicaciones y los usosde la misma. Baldar señala que la ciencia matemática tiene por objeto elestudio tanto de las magnitudes como de las cantidades, que son las va­riaciones de aquélla en el tiempo y en el espacio (estados particulares).

En el presente trabajo tomaremos como definición la siguiente: Es laciencia de los fundamentos que trata las estructuras, formas, magnitudesy relaciones numéricas del pensamiento. Lo anterior sin desmerecer otrasdefiniciones. También conviene señalar que es frecuente la utilizacióndel plural: matemáticas, que suele considerarse correcto, tal y como lo es.En la presente obra se utiliza, indistintamente, tanto el singular como elplural.

III. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

La historia de la matemática no puede entenderse sin la idea y con­cepto de número; la referencia primordial que tenemos acerca de las ma-

Introducción 5

\temáticas es precisamente la de este concepto. Es difícil determinar enque momento aparece el conocimiento del número y su desarrollo, pues­to que la idea de número es el principal concepto matemático, ademásdel más antiguo. Es dificil también, si no imposible, intentar reconstruirlos momentos y hechos que el hombre tuvo que pasar para llegar a la so­lución de los problemas de medir y contar. Es precisamente esto lo quemotiva el surgimiento de la matemática: la existencia de ciertos proble­mas y la necesidad de resolverlos. Si estableciéramos tales problemas porperíodos históricos tendríamos que entre el 3500 a. C. y el 500 a. C. elproblema era contar y medir; de 500 a. C. al siglo [[ d. C. lo era el realizaroperaciones con números para contar y medir indirectamente; en el si­glo III el problema era optimizar algoritmos de las operaciones; para elsiglo VIll había que generalizar procesos de solución de problemas dearitmética; para el siglo XVIl los problemas estaban relacionados con laconstrucción utilizando regla y compás y la relación entre dos variables;en el siglo XVIIl el problema es la generalización del método axiomático.Todas estas situaciones problemáticas estaban relacionadas con activida­des tales como el comercio, las áreas de cultivo, la astronomía, la cons­trucción de templos, el cálculo de áreas, la navegación, la construcciónde armas, la fisica, la termodinámica, la representación geométrica, losjuegos de azar, etcétera.

Las matemáticas, como ciencia, habrían de aparecer hacía los siglos vy IV a. C., Eric T. Bell establece siete períodos en la evolución de las ma­temáticas: a) de la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto, in­clusive; b) la contribución griega, desde cerca de 600 años a.C., hastaaproximadamente el año 300 de nuestra era, siendo la mejor en los si­glos IV y III a. c.; e) los pueblos orientales y semíticos -hindú, chino,persa, musulmán, judío, etc.-en parte antes y en parte después del se­gundo período y extendiéndose hasta el cuarto período; d) Europa du­rante el Renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos xv y XVI;

e) los siglos XVIl y XVIII; fJ el siglo XIX y, g) el siglo xx.5

Poco abundaremos sobre el tema que representa la historia de las ma­temáticas, remitiendo al autor referido a quienes se encuentren interesa­dos en tal tópico. Si señalaremos, en cambio, que hacia 2500 a. C. los co­merciantes sumerios estaban familiarizados con pesos y medidas, con laaritmética necesaria para ejercer una usura despiadada y con los equiva­lentes de lo que hoy llamamos títulos de crédito. Los pueblos antiguoshabrían de probar diferentes métodos y sistemas numéricos antes de quese desarrollara la matemática tal y como la conocemos hoy.

El contacta entre Oriente y Grecia hizo que los griegos estuvieran al

5 Bell, E. T.. Historia de las matemóticas, México: Fondo de Cultura Económica, 1985.pp. 25 Y ss.

6 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

corriente de los conocimientos mesopotámicos en matemática y astrono­mía. De esta forma, la matemática fue sometida entonces a las discusio­nes filosóficas que florecieron en las ciudades griegas, y que alcanzaríanel punto más elevado (la tendencia axiomático-deductiva) con la teoríadel continuo geométrico de Eudoxio y los Elementos de Euclides. En lacultura griega se formalizaron los conocimientos de la geometria y los orodenamientos lógicos.

Después de los griegos, fue el pueblo árabe el difusor de los conoci­mientos, debido a su actividad comercial; un ejemplo de ello es el siste­ma de numeración desarrollado en la India, que fue conocido en Europagracias a las caravanas de comerciantes y a la dominación árabe. Los ára­bes realizaron mediciones astronómicas y se les conoce como creadoresdel álgebra. Durante casi veinte siglos el peso de los conceptos griegos re:trasa la evolución matemática: para los siglos XVII y XVIll, los ideales decristalización axiomática y de deducción sistemática desaparecen paradar paso a la geometria analítica y al cálculo diferencial e integral. En elsiglo XIX la necesidad de consolidar y el deseo de una mayor seguridaden la extensión de la enseñanza superior, que babía impulsado la Revolu­ción francesa, condujo a una revisión de los fundamentos de la nuevamatemática, en particular del cálculo diferencial e integral, así como delconcepto fundamental de límite.

La mayoria de tales problemas no tenían un origen,ni una expresiónjuridica. Sin embargo la producción de mecanismos de razonamiento quesurgirían en el seno de la comnnidad matemática adquieren pronto unaproyección más amplia al servir a otras disciplinas, entre las cuales en­contramos al derecho. Líneas atrás y grosso modo la evolución de la ma­temática ha sido expuesta.- Corresponde ahora tratar un tema pospuestoen párrafos anteriores: el método deductivo. Para ello abordaremos lacuestión de la lógica matemática.

IV. LÓGICA MATEMÁTICA

El hombre requirió desde el principio de la civilización de procesosque le permitieran comprender y obtener conclusiones precisas paratransformarse a sí mismo y a su entorno natural. Este proceso, que marcala diferencia con respecto de los demás seres vivos, es la capacidad de ra­zonamiento. En el ánimo de perfeccionar esta capacidad la historia de lasdiversas culturas nos da cuenta de cómo se ínició el estudio de los me-

6 Además del autor anotado en la cHa anterior, para conocer un poco de la evoluciónde la aritmética, remito al lector interesado a: Perelman, Y. l., Aritmética recreativa. México:Ediciones de Cultura Popular, 1984, pp. 257·260.

Introducción 7

\dios para desarrollarla. Hemos señalado en forma somera la evolución dela matemática, y la lógica se encuentra íntimamente ligada a ésta.

En la Grecia antigua destacó Aristóteles' a quíen se le considera elpadre de la lógica. Sus aportaciones permanecieron hasta el siglo XIX,

cuando se inicia el desarrollo moderno de la lógica con George Boole yAugustus de Margan. Después de ellos se distinguen en el estudio de lalógica matemática: G. Peana, Bertrand Russell, Alfred Tarskí y otros quehan enriquecido esta ciencia de modo tal que en la actualidad la lógicamatemática es una rama importante del saber humano que tiene aplica­ción en diversas áreas de conocimiento como la cibernética, la computa­ción, la electricidad, la psicología, la filosofía, etcétera,a sin dejar de ladola profesíón jurídica,

Puede definirse a la lógica como el estudio de los métodos y princi­pios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.9 Enel ámbito jurídico, que a nosotros interesa, la lógica es un instrumentoimportante para la interpretación y aplicación del derecho. Por ello, ana­lizaremos en forma somera los razonamíentos lógicos inductivo, deducti­vo y analógico, destacando que strietu sensu no se trata de métodos sinode formas de pensamiento o razonamiento, aunque han sido denomina­dos como métodos por numerosos autores, como podrá apreciarse a con­tinuación.

V. RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es la forma de razonamiento en la que, a partir de un número de ob­servaciones particulares, se concluyen leyes generales. Como señala Pon­ce de León, el método inductivo, considera una seríe de fenómenos o co­nocimientos particulares para llegar a conclusiones generales. Esta formade razonamiento es más usual en el trabajo de laboratorio donde se ob­servan y experimentan diversos hechos propios de la física, la química,la biología, la psicología, etcétera. En el ámbito jurídico encontramos queel método inductivo se puede instrumentar de muy diversas formas, peroprincipalmente mediante las técnicas de análisis y presentación de casos,de procesos jurídicos, de resoluciones jurisdiccionales y jurisprudencia­les, etcétera. lO

7 (384-322 a.C.) Sus obras sobre lógica son un conjunto de trabajos que siglos más lardese conocieron bajo el nombre común de Órganon.

8 Se recomienda la lectura para estos temas de: Jasso Gutiérrez. Pedro, Lógica matemá­tica, México: McGraw-Hill, 1990.

9 Copi, frving M" Introducción a la lógica, México: Alpa CorreaL 1989, p. 3:10 Ponee de León Armenta. Luis. Metodología del derecho, México: Porroa, 1996, p. 73.

8 Matem6ticos aplicadas al Derecho· David Cien fuegos Salgado

Tal razonamiento nos hace pensar que lo que concluimos no es deltodo verdadero. pero sí hace muy probable la conclusión. Podemos decirque sin comprobar que se cumple para todos los casos posibles. "induci­mos" o aceptamos su generalización.

Ejemplo:Carlos viaja por el estado de Guerrero. y al pasar por la ciudad de

Chilapa advierte que la mayoria de los habitantes tienen rasgos simi­lares: baja estatura, morenos y de pelo oscuro; al continuar su reco­rrido por Zitlala. Tlapa y Atlixtac (tres poblaciones de la misma zonaen el estado de Guerrero) observa que tales rasgos físicos se repitenen la mayoría de los habitantes. Más tarde, al regresar a la ciudad deMéxico. y platicar con un compañero. le dice que los habitantes de laregión que visitó en el estado de Guerrero son en su mayoria de bajaestatura, morenos y de pelo oscuro.

En este razonamiento Carlos hizo varias observaciones de casos par­ticulares y a partir de éstos obtuvo una generalidad. Mencionaremos queen..f!gdo_razonamiento induétivo, la conclusión no se prueba, pero sehace más probab!3-

Otros ejemplos de razonamiento inductivo:

o) Si conocemos de diversos casos en que agentes de tránsito dedeterminada población han extorsionado a conductores no residentesde la misma. concluimos que los agentes de tránsito de esa poblaciónson corruptos.

b) Si varias personas han sido lesionadas en sus derechos pormiembros de una corporación policíaca, concluimos que los miem­bros de tal corporación son abusivos y prepotentes.

e) Si acudimos a ver una película peruana y en ella aparece muchaviolencia. y después vemos otra del mismo país donde también apa­rece demasiada violencia. podemos concluir que en las películas pe­ruanas aparece ro ucha violencia.

Las conclusiones a las cuales arribamos en los casos anteriores pue­den no ser válídas. puesto que nuestra referencia se límita a pocos casosparticulares. Sin embargo. nos hemos aproximado a cierta realídad. pues­to que nuestra referencia para obtener una probable "ley" fueron precisa­mente casos reales.

VI. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Es la forma de razonamiento en que concluimos ciertos principios oconocimientos particulares a partir de principios o conocimientos gene-

Introducción 9

rales. Esta forma de pensamiento es ideal para realizar investigaciones enlas ciencias formales. En materia juridica, señala Ponce de León, el méto­do deductivo se realiza principalmente mediante las técnicas de aplica­ción de las normas jurídicas generales a casos concretos. 11

Ejemplos:

Todos los Estados democráticos tienen una constitución políticaMéxico es un Estado democráticoConclusión: México tiene una constitución palitica.

Todos los mexicanos mayores de edad tienen derecho de votoJosé es mexicano mayor de edadConclusión: José tiene derecho de voto.

Notamos que en los ejemplos anteriores se concluyen ciertas cuestio­nes particulares a partir de otras generales. En estos casos no se trata depro~bles "leyes", puesto que son precisamente generalizaciones las quehemo",utilizado para obtener una conclusión particular. Notemos quemientra~ el razonamiento inductivo se parte de lo particular para lle­gar a lo generalf en el Ifazonamiento deductivo partimos de lo generalpara arribar a una conclusión particularj

El razonamiento deductivo tiene un marcado interés para el derecho,pues durante mucho tiempo esta forma se ha aplicado en la resoluciónde casos. Ello mediante el uso de silogismos en las resoluciones judicia­les. Aunque no puede predicarse que esa sea la forma adecuada de reso­lución de problemas, lo cierto es que el uso de silogismos ilustra a la per­fección el razonamiento de los operadores jurídIcos tradicionales.Wnsilogismo es \\llLfazonamiento deductivo en el que se infiere una conclu-

- sión de dos premisas."

El ejemplo clásico lo constituye:

Premisa mayor: Todos los hombres son mortalesPremisa menor: Sócrates es un hombreConclusión: Sócrates es mortal

En el ámbito jurídico la pr~isa may-or ~ una norma general y lapremisa menor es la conducta desarrollada por un individuo que preten­de someterse a examen. La contrastación entre ambas premisas dará porresultado un juicio de valor de determinada conducta.

Los silogismos son ampliamente utilizados en ef derecho, especial­mente en los rubros de interpretación y argumentación jurídicas.

11 Ponce de León, Metod%gIo de/ derecho, p. 73.1.2 Copi, Introducción a /0 lógico, p. 205.

10 Matemáticas aplicados al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

VII. RAZONAMIENTO ANALÓGICO

Es la forma de pensamiento en la cual la conclusión tiene el mismogrado de particularidad o generalidad que sus premisas. Esta forma de ra­zonar es considerada por algunos autores como una derivación del pen­samiento inductivo, por la discutible certeza de sus conclusiones. Comomenciona Ponce de León, este método consiste en la comparación de fe­nómenos por sus semejanzas y diferencias, yendo de lo conocido a lodesconocido. En el contexto jurídico puede aplicarse en la modificaciónlegislativa y en la elaboración de normas jurídicas, para lo cual convienesiempre considerar la experiencia normativa en el tiempo y en el espa­cio, situación que origina la comparación histórica y la comparación so­ciolÓgica.13

En este método se obtienen conclusiones estableciendo analogías ocomparaciones y es el que utilizamos cotidianamente en nuestras deci­siones.

Citando a Alejandro pfander, Garda Máynez14 señala que el esquemadel razonamiento analógico puede expresarse de la siguiente manera:

Q es P·s es análogo a Q

S es P

Utilizando el razonamiento analógico podemos llegar a conclusionescomo las que siguen:

o) Concluimos que los abogados egresados de la Universidad Z sonexcelentes, porque anteriormente hemos tratado con abogados egresadosde la Universidad Z que eran de una elevada excelencia académica.

b) Si el anuncio de una conferencia del maestro X atrae nuestra aten­ción, concluimos que disfrutaremos de ella, en virtud de que hemos asis­tido y disfrutado otras conferencias suyas.

Ninguno de estos razonamientos es seguro, pues es posible que no to­dos los abogados egresados de la Universidad Z sean excelentes o que laúltima conferencia del maestro X sea aburrida.

Llevando al campo jurídico el razonamiento analógico habremos deseñalar que suele utilizarse para atribuir consecuencias a aquellos casosque no tienen de manera expresa atribuida una consecuencia pero queguardan cierta identidad con los supuestos regulados. Las reglas exigi­das para este razonamiento son: o) la primera premisa de un argumentopor analogía formula una afirmación ace~ca del ejemplo usado como

13 Ponee de León, Metodología del derecho, p. 74.14 Garda Máynez, Eduardo. .Lógica del raciocinio jurídico. za ed' J México: Fontarnara,

1997, p. 156.

Introducción 11

\

analogía; y b) la segunda premisa afirma que el ejemplo de la primerapremisa es similar al caso acerca del cual el argumento extrae la con­clusión.

Ahora bien, debe considerarse que las analogías no requieren que elejemplo usado como una analogía sea absolutamente igual al caso de laconclusión, y sólo requieren de similitudes relevantes. Sólo puede haberanalogía cuando entre dos casos o ejemplos comparados no existan dife­rencias relevantes

Debe señalarse que esta forma de razonamiento jurídico se justificapor referencia a la voluntad del legislador, es decir. se considera, ante elsilencio del legislador, que éste ha querido dar el mismo tratamiento ados hipótesis parecidas. de lo contrario hubiera realizado una manifesta­ción expresa de su voluntad en otro sentido. Entendido de tal forma, elargumento analógico consiste en la aplicación de una norma a un su­puesto de hecho no previsto en la misma. pero con el que guarde ciertasemejanza. La semejanza que justifica la aplicación analógica de una nor­ma concurre cuando el supuesto de hecho no regulado comparte con elregulado precisamente el elemento qué constituye la ratio legis de la nor­ma. Por ello. aplicar analógicamente una norma supone la previa identifi­cación del principio (ratio) que la fundamenta. En todo caso, se afirmaque aun cuando se revista con ropajes interpretativos, la analogía suponela creación de una norma nueva, y en consonancia con ello está expresa­mente prohibida para las normas penales. las excepcionales y las de ám­bito temporal.

Conviene referirnos a continuación a la corrección del lenguaje. entanto que suele convenirse que expresa la claridad del pensamiento. Laliteratura nos ha legado numerosas recomendaciones sobre el arte de re­dactar, es decir. de expresar ideas. de trasmitir información.

VIl!. PROPOSICIONES LÓGICAS

Las expresiones de nuestro lenguaje. por medio de las cuales nos co-municamos, pueden ser clasificadas en tres categorías:

a) proposiciones lógicas,b) proposiciones abiertas, ye) expresiones indeterminadas.

Las proposiciones lógicas, son expresiones que pueden ser calificadascon valor de verdad o falsedad pero no ambas. Podemos referirnos a ellassimplemente como proposición.

12

Ejemplos:

Motem6ticos aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado

..P~oposición Valor de verdad

El artículo 1° constitucional protege específicamente el Falsoderecho ¡3. ser inteligente.

Los artículos. 27 y 123 constitucionales contienen derechos Verdaderosociales.

El curso de Lógica III forma parte del vigente Plan de FalsoEstudios de la Facultad de Derecho de la UNAM.

La Constitución política mexicana vigente fue promulgadaVerdaderoen 1917.

IX. PROPOSICIONES ABIERTAS

Las proposiciones abiertas son expresiones del lenguaje que incluyenvariables. Tales proposiciones abiertas se transforman en proposicioneslógicas cuando son sustituidas sus variables.

Una variable es un simbolo que representa varios objetos.

Ejemplo:Consideremos que en un concurso sobre Derecho Internacional PÚ­

blico participan equipos de estudiantes representando a Bélgica, Canadá,México, Rusia, Suecia, Suiza y Tailandia. Los primeros lugares son obte­nidos por los equipos suizo y mexicano; por tal razón reciben un premio.

Así, el enunciado,

El equipo mexicano recibió un premio,

es una proposición verdadera, y

El equipo tailandés recibió un premio,

es una proposición falsa.Si nos referimos a un equipo de estudiantes indeterminado, y afir­

mamos,

X recibió un premio,

no tendremos una proposición verdadera o falsa en general, aunque si pode­mos garantizar que cuando coloquemos algún equipo participante en lugarde "X" se obtendrá una proposición lógica, que puede ser falsa o verdadera.

Una expresión.como

X recibió un premio

es una proposición abierta. Y en la proposición abierta anterior "X" es unavariable y los equipos que representa forman su dominio correspondiente.

Introducción

Z es ministro de la Suprema Cortede Justicia de la Nación

c;: es un diputado al Congreso de laUnión

Cbilpancingo es la ciudad capitaldel Estado de #

K es profesora de la Facultad deDerecho de la UNAM.

Variable

z

#

K

Nombres de mexicanos

Nombres de mexicanos

Nombres de los estados de laRepública Mexicana

Nombres de mexicanas

13

~l (Fl(¡Al (\1)(Al (fltn)(el ( )(cJ ( )

En el cuadro anterior y para los casos de Z, c;: y K el dominio de las va­riables puede ser incluso más amplio: el de cualquier nombre de persona.

X. EXPRESIONES INDETERMINADAS

Son expresiones que no son proposiciones lógicas ni proposicionesabiertas.

Ejemplos:

·Buenas noches.El rector de la UNAM.¿Quién eres tú?¿Cómo estás?

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Escribir en el primer paréntesis de cada una de las siguientes expre­siones una A si se trata de una proposición lógica, una B si es una,proposición abierta y una C si es una expresión indeterminada. En elcaso de las proposiciones lógicas escribe si es verdadera o falsa en elsegundo paréntesis.

a) La luna es un planeta.b) La B es la segunda letra mayúscula del alfabeto español.e) Ernesto Zedilla es el presidente número 75 de México.d) El libro del alumno.e) X es cuadrúpedo.fJ El libro El coronel no tiene quien le escriba.

14 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

g} ¡Auxilio!hJ Estoy reprobando.iJ El derecho es un instrumento de control social.jJ La soberanía es un elemento integrante del Estado.kJ La sanción del delito de robo.1J Toda persona tiene derechos.

mJ Ñ es una letra del alfabeto español.nJ + es el símbolo de la sustracción.oJ M es una persona de sexo masculino.pJ $ es el símbolo de pesos. .q) Z es un título de libro.

(el( )(el( )(¡\) [V)(A) (1:')(:.l( )U) (vi'(~( )~,,) (1=)(e¡ ( )(t;) (\.1(eJ ( )

2. Especifica las variables y sus respectivos dominios de cada una delas proposiciones abiertas del ejercicio anterior.,

3. Escribe cinco proposiciones lógicas, 5 abiertas y 5 expresiones inde­terminadas.

4. En la inauguración de un bufete jurídico, tres colegas de trabajo,..e!Ji..cenciado Bajo, la licenciada Grande y el licenciado Delgado se dieroncuenta de' que las tres características que correspondían a--;;sapelli-.dos podían ser aplicadas al físico de cada uno de ellos.-De todas formas, ninguno tiene la característica que se espera de suapellido- señaló enseguida el más espigado de los compañeros, elli­cenciado Bajo.¿Que características físicas poseen los tres colegas?

5. Los abogados del bufete jurídico Alumnos &' asociados deciden quepor cada año de experiencia van a ir aumentando en ocho el númerode asuntos aceptados. Al finalizar el octavo año de labores, comprue-ban que durante ese año han aceptado 158 asuntos. .¿Cuántos asuntos habían aceptado el primer año?

6. ¿Cuántas posibilidades hay de cambiar $500.00 (Quinientos pesos)en billetes, teniendo en cuenta que existen billetes en las siguientesdenominaciones: 500, 200, lOO, 50, 20, 10.

7. ¿Cuántas posibilidades existen de cambiar $50.00 (Cincuenta pesos)en monedas, teniendo en cuenta que existen monedas de 50, 20, 5, l.

I 2 ,o $"8. Los alumnos del grupo 0034, cuarto semestre, de la Facultad de !!Jere­

cho (donde ningún grupo cuenta con más de 30 alumnos), realizaronun examen de Matem6ticos aplicadas al derecho. La 38 parte de losalumnos obtuvieron una MB, la cuarta parte obtuvo una B y la sexta'~parte una S. Dos octavas partes de los alumnos que realizaron el exa­men lo reprobaron.¿Cuántos alumnos obtuvieron una MB?

Introducción 15

9. Las guerras nunca han traído más que dolor: con mucha frecuencia,sólo ha habido perdedores y ningún ganador. Las familias que mássufrían, sin embargo, eran las que estaban directamente implicadas.Para muchos padres que debían ir al frente, la guerra se convertía enun camino sin retorno.Un futuro padre previó el destino que se le avecinaba y dispuso quesus ahorros de 14,000 monedas de plata recayeran en su mujer y elhijo que estaba en camino. Si se trataba de un varón, tendría derechoa percibir el doble que la parte de la madre. Si era niña, sin embargo,sólo debía recibir la mitad que la madre.Como era de esperarse, el padre no regresó nunca de la guerra, y lamadre dió a luz a dos gemelos, un niño y una niña. ¿Cómo había querepartir la herencia de acuerdo con los deseos del padre?

I <,

Anexo

ANEXO 1PROGRAMA OFICIAL DE LA ASIGNATURA

MATEMÁTICAS APUGADAS AL DERECHO

GENERALIDADES DE LA MATERIA'

CLAVE:

SEMESTRE:

REQUISITOS:

NIVEL:

CRÉDITOS:

HORAS POR SEMANA:

HORAS DEL CURSO:

HORAS TEORÍA:

HORAS PRÁCTICA:

1411

Cuarto.

Acreditar Lexicología Jurídica,

Licenciatura.

Tres (Obligatoria)DosTreinta

Quince

Quince

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

OBJ~lIVO GENERAL DEL CURSO

Al concluir éste, el alumno:

Identificará. explicará y analizará la relación de las matemáticas conlos aspectos normativos de las diferentes disciplinas jurídicas que requie­ran para su interpretacióny aplicación el auxilio de éstas.

• Se recomienda la utilización de una máquina calculadora que además de las cualrooperaciones fundamentales, lenga como características el cálculo de la raíz cuadrada, cons­tantes, memoria y exponenciación. El Programa de la asignatura Matemóticas aplicadas alDerecho, con las modificaciones acordadas por el Consejo Técnico de la Facultad de Dere­cho de la Universidad Nacional Autónoma de México, los días 28 de septiembre de 1994 y 8de julio de 1997, liene como objeto principal que el alumno identifique, explique y analicela realidad de los actos jurídicos en sus dimensiones matemáticas con el propósito de con­trastar y manejar las fuentes reales del Derecho en forma cuantitativa. Para lograr esto, elprograma sigue un desarrollo lineal a efecto de familiarizar al alumno con las operacionesmatemáticas fundamentales y el ejercicio de tal conocimiento.

17

18 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

1. ARITMÉTICA

OBJI:."'TIVO DE LA PRIMERA UNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Identificará los instru­mentos básicos que le permiten efectuar los cálculos matemáticosimprescindibles para la solución de los actos jurídicos con reper-

cusiones cuantitativas.

1.1. Sistemas matemáticos. Números y numerales. La interpretación práctica yconceptual del sistema indoarábigo (posicional, exponencial y decimal).

1.2. Sistemas de unidades y su importancia.1.3. Conjuntos.1.4. Proporcionalidad.1.5. Porcentaje.1.6. Interés simple.1.7. Interés compuesto.

Tiempo Estimado: 10 horas

II. LA INFORMACIÓN FINANCIERA

OBJETIVO DE LA SEGUNDA UNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Analizará y aplicará lainformación contenida en los registros contables y estados finan­cieros que se derivan de ellos como elemento probatorio en proce­dimientos jurídicos; además de interpretar las disposiciones queestén relacionadas con la obligación de llevar registros contables.

2.1. Aspectos generales de la contabilidad.2.2. Estados financieros.2.3. Consecuencias jurídicas de la contabilidad.2.4. La contabilidad y las matemáticas.

Tiempo Estimado: 5 horas

nI. MÉTODOS Y FACTORES DE ACTUALIZACIÓN

OBJETIVO DE LA TERCERA UNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los índices yfactores de actualización para determinar los incrementos que su­fren las multas, recargos, tarifas, etc., contemplados en los diver-

sos ordenamientos jurídicos en los casos que así se requieran.

3.1. Métodos para los cálculos inflacionarios.3.2. Procedimiento para la actualización.3.3. Cálculos para operaciones jurídicas.

Tiempo Estimado: 5 horas

Anexo

IV. ÁREAS DE LA CURRÍCULA QUE TIENEN EN SUS CONTENIDOS

NORMATIVIDAD CON REPERCUSIONES CUANTITATIVAS

OBJETIVO DE LA CUARTA UNIDADAl concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los instru­mentos matemáticos fundamentales de algunas disciplinas jurídi­cas que conforman la currícula, que tengan repercusiones cuanti-

tativas.

19

4.1. Área de Derecho fiscal.4.1.1. Determinación de adeudos del contribuyente.4.1.2. Determinación de contribuciones a cargo del contribuyente.

4.2. Área de Derecho penal.4.2.1. Aplicación y ejecución de las penas y medidas de seguridad.4.2.2. Determinación de fianzas y multas.4.2.3. Aplicación de los heneficios de la libertad: condicional. bajo pala­

bra y bajo caución.4.2.4. Beneficios de la libertad anlicipada.

a) Tratamiento preliberacional.b) Libertad preparatoria.e) Remisión parcial de la pena.

4.3. Área de Derecho procesal civil.4.3.1. Gastos y costas conforme al arancel.4.3.2. Juicio de conladores 443-VIlI del Código de Procedimientos Civiles

para el Distrito Federal; juicio sucesorio. daños y perjuicios, admi­nistración de bienes.

4.4. Area de Derecho de la seguridad social.4.4.1. Cálculo para la fijación de cuotas, de financiamiento para cada se­

guro. determinación de los riesgos de trabajo;4.4.2. Cálculos para: pago de pensiones o indemnización en riesgos de tra­

bajo profesional o no profesional.4.4.3. Cálculo para el otorgamiento de préstamos a corto plazo.

4.5. Area de Derecho del trabajo.4.5.1. Indemnizaciones por: despido injusto. rescisión imputable al pa­

trón.4.5.2. Cálculos para el pago de: tiempo extraordinario, jubilaciones, in­

demnizaciones.4.5.3. Integración del salario: cálculo de prestaciones complementarias:

salario y especie.4.5.4. Cálculos en la contratación colectiva y sus repercusiones en el pago

de cuolas del Institulo Mexicano del Seguro Social (IMSS). Institutodel Fondo Nacional de la Vivienda para los Trabajadores (INFO­NAVIT). Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR).

4.5.5. Cálculo en la producción y su incidencia en la participación de lostrabajadores en las utilidades de la empresa.

4.6. Área de Derecho mercantil.4.6.1. Títulos de crédito, contratos mercantiles, sociedades mercantiles.

20 Malem6ticas aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado

4.6.2. Inventario y balance, balance general (activo-patrimonio), análisisde estados financieros, presupuesto.

4.6.3. Juicios mercantiles (ejecutivos y ordinarios), quiebras.4.7. Área de Derecho aduanero.

Cálculo y determinación de los impuestos de comercio exterior (ad val0­rem, específico, mixto), impuesto al valor agregado, impuesto sobre pro­ducción y servicios, impuesto sobre automóviles nuevos, derechos.

Tiempo Estimado: 10 horas

BIBLIOGRAFíA BÁSICA

CANTÚ TREVIÑO, Jesús, Interés compuesto y anualidades, Editorial Banca y Co­mercio, México, 1993.

CARRILLO ZARCE, Ignacio, Pr6cticas comerciales y documentación, Editorial Bancay Comercio, México, 1993.

KUNE, Morris, Matem6ticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cul­tura Económica, México, 1992.

RAMÍREZ VALENZUELA, Alejandro, C61cu/os mercantiles, Editorial Limusa, México,1992.

TORRES TORRIJA, Manuel. Manual de c61cuJos mercantiles, Editorial Trillas, Méxi­co, 1995.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

CARRONELL CHAURE, Vicente, Matem6ticas primer curso, Editorial Porrúa, México,198!.

SESTllms, Andrés, Historia de las matem6ticas, Editorial Limusa, México, 1989.SILVA y LAZO, Fundamentos de matemáticas, Editorial Limusa, México, 1990.LARA APARICIO, Miguel, Antología de matemátícas, 2 t., UNAM, México, 1987.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Exposición del maestro.Ejercicios dentro de clase.Exposición audiovisual.Trabajos de investigación.Solución de casos prácticos por los alumnos.Proyección de láminas y acetatos.Conferencia por profesores invitados.Ejercicios fuera de clase.Otras: A elección del profesor.

El titular de la asignatura podrá de acuerdo con las sugerencias propuestas,elegir aquellas que considere las más adecuadas para cumplir con los objetivosde la materia, a fin de hacer más eficiente el proceso de enseñanza aprendizaje.

Asimismo, el maestro, en ejercicio de su libertad de cátedra, estará facuItadopara seleccionar de los contenidos que integran el" programa, aquéllos que consi-

Anexo 21

dere más relevantes o fundamentales y que por lo tanto deban ser expuestos porél mismo, ya que dependiendo de la extensión del programa habrá temas que nopueda explicar durante el semestre, pero éstos podrán ser desarrollados por losalumnos mediante la vía de la investigación o por aquellas actividades extraesco~

lares que el maestro determine para cubrir la totalidad de los contenidos del pro­grama.

NOTA: El profesor utilizará en todos los temas ejemplos de aplicación rela­cionados con la Ciencia y la Técnica Jurídica. Por ejemplo, podrá analizar la Teo­ría de los Tres Círculos de Carda Máynez desde el punto de vista de la teoría delos conjuntos o analizará la importancia jurídica de la existencia de los sistemasde unidades.

l·· ..

UnIdad 1

Aritmética

Objetivo particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno:Identificará los instrumentos básicos que le permitan efectuar loscálculos matemáticos imprescindibles para la solución de los actos

jurídicos con repercusiones cuantitativas.

Aritmética

(De las voces griegas aritmos, número, e, jca, ciencia) Carl F. Causshabia advertido ya, que la matemática es la reina de las ciencias, y a suvez la aritmética es la reina de la matemática. Anteriormente se aceptabala subdivisión de la matemática en aritmética,~álgebrlLy_g!lQmetría,des­pués en elemental y superior, así como matemática pura y matemáticaaplicada; hoy día, se considera que estas subdivisiones ya no son propíasde su extensión. Se considera a la aritmética como el cálculo con núme­ros en las formas de cálculo fundamentales, a saber, sumar, restar, multi­plicar, dividir, potenciar, extraer raíces y logaritmar. En cuanto parte dela matemática, se considera a la aritmética como la ciencia matemáticaque tiene por objeto el estudio de los números. La idea de número consti­tuye uno de los pilares fundamentales de la ciencia matemática moderna,pues es a través de tal idea que podemos desarrollar y resolver cualquierade los problemas planteados en términos matemáticos.

1.1. SISTEMAS MATEMÁTICOS. NÚMERO y NUMERALES.LA INTERPRETACIÓN PRÁCTICA Y CONCEPTUAL

DEL SISTEMA INDOARÁBICO(POSICIONAL, EXPONENCIAL Y DECIMAL)

SISTEMAS MATEMÁTICOS

Pensar y razonar es la más valiosa facultad del hombre. El cerebro esel instrumento único que nos sirve para pensar, aún cuando realmente

23

24 Matemciticas aplicadas al Derecho a David Cienfuegos Salgado

no sabemos con precisión cómo funciona. Se señala que ninguna máqui­na tiene el poder de procesamiento y capacidad que posee nuestro cere­bro, pero seguimos sin comprender el proceso desarrollado para realizaruna adición o multiplicación.'

Si bien no sabemos cómo funciona nuestro cerebro, sí sabemos encambio que es una gran necesidad el aprender a utilizar y desarrollar lavaliosa capacidad de pensar, comprender, aprender o razonar; pues ellopermitirá nuevas ideas y avances en el campo del conocimiento humano,en el que podemos contar al Derecho. Pero debemos también coincidir enel hecho ineludible que hoy día la interdisciplina es un requisito indis­pensable para el avance de cualquier área del conocimiento humano. Labiología, ciencia política, matemática, química, historia, sociología, filo­sofía, etcétera, hoy día no realizan sus investigaciones sino a partir de fe­nómenos que exigen ser estudiados desde distintos, y a veces precisos,puntos de vista, que complementan el conocimiento realmente adquiridoo descubierto.

Como señala González Amado, en estos momentos, el conocimientode los principios de la ciencia y sus implicaciones debe ser una parteesencial en la formación de cualquier persona que se autodenomine cul­ta. Al referirse a la física, el mencionado autor expone: Hay una gran se­rie de elementos en el método científico que son de gran valor en otrosaspectos de la vida. El primero y quizá el más destacado sea una visiónracional del mundo. Las cosas suceden de acuerdo con leyes, y por ello,se pueden conocer y predecir. La física nos ayuda a pensar en términoscuantitativos, lo que no implica, necesariamente, el utilizar matemáticasmás o menos complejas, sino más bien el tener una idea aproximada delas órdenes de magnitud de las variables que intervienen en el problema.2

De ahí que recalquemos la importancia de la matemática en la formaciónde cualquier profesionista.

Por otra parte, es preciso reconocer como el aspecto más importantede la ciencia matemática el hecho incontestable de que nos indica cómorazonar correctamente: saber cómo utilizar las ideas y el razonamientológico para resolver problemas. El conocimiento de la matemática se apli-

1 El Fondo de Cultura Económica ha editado, en su colección "La ciencia para todos",numerosos trabajos de divulgación sobre tales tópicos. Un ejemplo es: Berlanga, Ricardo,Carlos B05Ch y Juan José Rivaud. Las matemáticas, perejil de todas Jas salsas. 411 erl., México:FCE, 2003, 118 p. En el mismo tenor se encuentran libros como: Sagan, Cad, Miles de millo­nes. Pensamientos de vida y mue.rte en la antesala del milenio, Barcelona, España: EdicionesB, 1998; y. Fisher, Len, Cómo mojar una galleta. La ciencia en la vida cotidiana, Barcelona,España: Mondadori, 2003.

2 González Amado, Roberto,. Física para juristas. economistas... y demós gente curiosa,Barcelona, España: Crítica, Grijalbo Mondadori, 1996, p. 16.

Unidad 1 • Aritmética 25

ca en las diferentes áreas en mayor o menor grado; en el campo del Dere­cho no sólo ayuda al jurista a determinar aspectos cuantitativos de losactos jurídicos, sino que dada su estrecha relación con la lógica y el len­guaje, le facilita expresar sus ideas en el lenguaje preciso, requerido porla legislación y su actividad profesional. Es por ello, que la búsqueda adesarrollar en este programa de estudios debe privilegiar el razonamientológico del futuro jurista.

Un concepto previo que nos puede introducir al estudio de la mate­mática es precisamente el de,§.istema matemático. Un sistema matemáti­co es un conjunto de elementos en el que participan una o más operacio­nes, las cuales son reglas para combinar a dos elementos cualesquiera delconjunto, y una serie de relaciones que satisfacen una serie de axiomasdeterminados. Dicho en otras palabras, un sistema matemático es un con­junto de elementos asociados con una o más operaciones y relaciones de­finidas en el conjunto. Un ejemplo de sistema matemático es el conjuntode números naturales junto con la operación de adición, ya que dichaoperación está definida en ese conjunto (la operación de un sistema debeser aplicable al conjunto del sistema). Otro ejemplo que se puede men­cionar de sistema matemático es el conjunto de números racionales y lasoperaciones que en él se definen: adición, sustracción, multiplicación,potenciación y división; así como el conjunto de axiomas o propiedadesque los rigen.

NÚMEROS y NUMERALES

No se sabe con certeza cómo crearon y usaron el número las culturasprimitivas. Algunos aspectos de su utilidad y manejo se conocen a travésde papiros, tablillas de arcilla, códices diversos y el estudio directo entorno a agrupaciones humanas poco evolucionadas. Lo más probable esque la necesidad numérica apareciera con la necesidad práctica de contarpropiedades.

En cualquier área del conocimiento es factible encontrar, en las másvariadas formas, a los números: en la actividad administrativa es impor­tante conocer la cantidad de recursos materiales con que se cuenta y asidecidir lo que se debe adquirir; en la física para medir velocidades, ma­sas, temperaturas, voltajes, etcétera; en la ingenieria para calcular lasfuerzas que existen en una construcción con el objeto de diseñar las es­tructuras que las soporten; en la biologia para medir variaciones de tem­peratura o acidez, etcétera; en las ciencias sociales es importante clasificarcaracteristicas sociales de las comunidades para después correlacionarlascon fenómenos de grupo, etcétera. Como podemos ver el hombre utilizael número para contar, medir, clasificar y enumerar, y así expresar yen­tender el medio que le rodea y facilitar sus actividades. La lista podria se-

26 Matemólioos aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado

guir, recordando que las direcciones postales, las licencias de manejar,los teléfonos, las estadísticas, las cuentas de banco, las legislaciones, et­cétera, involucran números de diferente forma."

Se entiende por número la idea o indicación de la cuantía de unamultiplicidad; numeral es el número en forma escrita, como cifra. Pode­mos señalar que cualquier número es una expresión abstracta, una idea,que representa una cantidad o un conjunto. El número es la expresiónabstracta y el numeral es el signo utilizado para representarla; el numeralnos sirve para representar la idea de número. Asi, el numeral X represen­ta la idea que los romanos tenían del número diez, actualmente 10 es elnumeral que nos sirve para representar la idea del número diez. No debe­mos confundir al numeral con el valor representado. De igual forma nodebemos confundir al numeral que es el signo con la expresión que lodenomina, puesto que esta varía de idioma a idioma; siete, seven, sept,etcétera.

El número nace de la acción de contar, puesto que contar consiste enasignar a cada objeto de un conjunto un número sucesivo. Este uso coti­diano ha originado que confundamos el símbolo matemático que repre­senta el número con el concepto mismo de número. Los símbolos matemá­ticos son difíciles de comprender porque son símbolos que representan asu vez otros simbolos. Para entender mejor veamos qué son los sistemasde numeración.

Un sistema de numeración es un sistema utilizado para escribir nu­merales. Peterson señala que por un sistema de numeración se entiendeun conjunto de símbolos que se usa de acuerdo con algún método paraasignar numerales, o símbolos numéricos, a los números.' Es decir, encuanto sistema se compone de un conjunto de reglas que sirven para ex­presar y escribir los números. Cada civilización utilizó un numeral dis­tinto para significar su idea de un determinado número. Existen diversossistemas de numeración: egipcio, romano, babilónico, maya. azteca, bina­rio, chino. griego, etc. Es precisamente esta diversidad de sistemas numé­ricos la que nos permite discernir la importancia que adquiere el contarcon un sistema aceptado universalmente. Esto lo podemos apreciar en lasiguiente tabla:

3 Abreu, José Luis y otros, Sistemas numéricos. México: Limusa, 1982, p. 17,4 Pelerson, john A. y Joseph Hashisaki. Teoria de la aritmética, México: Limusa, Norie­

ga Editores, 1999, p. 16.

Unidad 1 • Aritmética 27

~1,'In ~aiábi~ó. ':n(ó.irl~há: BaBil nic

1 1 --- • I y

2 11 --::::- • • "yy

S V E I YYyYY

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SO L t¡-t¡-T • • I -<..-<..~-<..

La interpretación práctica y conceptual del sistema indoarábigoEn un principio, los sistemas de numeración surgen como respuesta

a la necesidad de estandarizar un sistema de control. En la actualidad elsistema de numeración más extendido es el indoarábigo, llamado tam­bién sistema numérico o sistema decimal.

Willerding5 señala que existen diversas teorias acerca del origen delos numerales que integran este sistema numérico. Una de ellas. estable­ce que se originó en la India y siendo una invención de los hindúes, losnumerales fueron traídos a España entre el siglo VIII o IX d.C. por losárabes o moros y difundidos más tarde por Europa. Esta teoria se basa endiversos símbolos encontrados en la India. Por ejemplo, en la siguientefigura aparecen los símbolos descubiertos en las paredes de una cuevadentro de una colina llamada Nana Ghat:

- F ? ~-Uno Dos Cuatro Siete Nueve

Otros símbolos encontrados en la India son los de Nasik:

- - 4- .'3 ~ 7 ~--Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Nueve

5 Willerding, Margaret F., "Los numerales indoarábigos", en Anta/ogIa de matemáticas [,México: UNAM, 1983, pp. 53 Y ss,

28 Matemólicas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

Hay que señalar que estos símbolos fueron inicialmente usados encombinación con el concepto de valor de posición, puesto que los hin­dúes poseían símbolos para denotar veinte y cuarenta. Los numerales, taly como los conocemos hoy aparecerían entre los siglos xv y XVI d.C. Elmanuscrito europeo más antiguo en el cual aparecen símbolos muy pare­cidos a nuestros numerales modernos fue escrito en España en 976 d.C.Tales símbolos son:

lc?{')L78¡El numeral "O" fue el último de los numerales inventado y el número

cero fue el último de los números descubiertos. Una de las propiedadesde este número, es que al ser añadido (sumado) a un número X, da denuevo el número X:

X+o=XAtribuida su invención a los hindúes, el cero nos permite desarro­

llar la escritura decimal de los números. Sin cero el sistema indoarábigode numeración no hubiese sido más eficiente para los cómputos que lossistemas egipcio o romano. El cero representa los conjuntos vacíos onulos o conjuntos que carecen de elementos, asi, el cero carece de va­lor. La palabra cero proviene de la voz árabe ziffero, que significa lugarvacío.

Durante muchos siglos se prefirió la notación romana a los signos in­doarábigos, incluso en Florencia, en 1299, se prohibió a los mercaderessu uso y se ordenó la escritura de los nombres verbales para los númeroso la notación romana. En algunas partes se prohibió el uso de numeralesindoarábigos en la redacción de documentos oficiales.

El sistema indoarábigo como mencionamos es llamado también siste­ma numérico decimal o de base diez. Se entiende por base de un sistemade numeración el número de unidades de un orden que forman una uni­dad del orden inmediato superior. Así, en el sistema decimal la base es10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenasforman una centena, etcétera. Son unidades de orden en el sistema deci­mal la decena, centena, millar, decena de millar, centena de millar, mi­llón, decena de millón, centena de millón, trillón, cuatrillón, quintillón,etcétera.

Es conveniente señalar que en algunos países como Estados Unidosde América, Francia y Alemania, se llama billón al millar de millones;trillón a lo que conocemos como billón; cuatrillón al millar de billones,

Unidad 1 • Aritmética 29

etcétera. En nuestro caso, el billón representa un millón de millones; untrillón, un millón de billones; un cuatrillón. un millón de trillones; etcé­tera.

Podemos señalar como características de este sistema de numeración,las siguientes:

1. Para expresar cualquier número en forma escrita utilizadiez símbolos.

H. Se trata de un sistema posicional, es decir, se aplica elprincipio de posición para representar números. Esto signi­fica que los numerales tienen dos valores: uno absoluto yotro relativo.

III. Aplica también el principio aditivo, al sumarse los valoresrelativos de cada cifra.

IV. Aplica el principio multiplicativo, al obtener el valor decada numeral multiplicando su valor absoluto por la po­tencia que le corresponde de acuerdo con su posición.

V. Uso del cero, que representa ausencia de valor.VI. Se ordenan las cifras en órdenes de unidades, clases y pe­

ríodos. El orden se determina por el lugar que ocupa la ci­fra en la representación numérica, ubicándola de derechaa izquierda. Cada tres órdenes de unidades forman unaclase y cada dos clases forman un período de numeración.Los órdenes decimales se consideran a partir de la derechade las unidades, es decir, a la derecha del punto decimal yalgunos los denominan suhórdenes.

El sistema indoarábigo utiliza diez símbolos para representar en for­ma escrita cualquier número, estos símbolos o numerales. que reciben elnombre de guarismos o cifras son:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 O

uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve cero

Las cifras del 1 al 9 tienen un valor propio y reciben el nombre de ci­fras significativas. mientras que el cero carece de valor. Un principio dela numeración decimal escrita establece que toda cifra tiene dos valores:uno absoluto y otro relativo. Absoluto es el valor que tiene el símbolo porsu figura; relativo es el que tiene el numeral o símbolo por el lugar queocupa.

30 Matem6ticas aplicadas al Derecho e David Cienfuegos Salgado

Por ejemplo en el número

37577

el valor absoluto de los tres sietes es el mismo: siete unidades, pero el va­lor relativo del siete de la derecha es 7 unidades de primer orden, el va­lor relativo del siete de las decenas es 7xl0= 70 unidades del primer or­den; el valor relativo del 7 de los millares es 7xl0xl0xl0=7000 unidadesdel primer orden. El valor relativo del 3 es de 3xl0xl0xlOxl0=30000unidades del primer orden. El valor relativo del 5 de las centenas es5xl0xl0= 500 unidades del primer orden.

La equivalencia de valores relativos podemos representarla como:·

Posición 5 4 3 2 1 O

donde n es cualquier n x lOS n x 104 n x 10 3 n x 102 n x 101 n x 100numeral

En el ejemplo de 37577, los cálculos quedarían:

37577 = (3 x 104) + (7 x 10') +(3 x 10000) + (7 x 1000) +

= (30000) + (7000) +

(5 X lO') + (7 x 10]) + (7 x 10°)(5 x 100) + (7 x 10) + (7 xl)

(500) + (70) + (7)

Del ejemplo anterior podemos servirnos para comprender que el sis­tema decimal utiliza el principio posicional, es decir, toda cifra escrita ala izquierda de otra, representa unidades diez veces mayores que la querepresenta la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de otrarepresenta unidades diez veces menores que las que representa la an­terior.

A continuación exponemos una tabla que nos muestra las cantidadesy su forma de agrupación en el sistema decimal:

6 No debe olvidarse que toda cantidad elevada a cero equivale a la unidad; y toda canti­dad elevada al exponente uno es equivalente a la misma cantidad.

Unidad 1 • Aritmética 31

decenas de cuatrillón 10'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1025

unidades de cuatrillón 1'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1024

centenas de millar de trillón 100,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1023

decenas de millar de trillón 10,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1022

unidades de millar de trillón 1,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1021

centenas de trillón 100'000,000'000,000'000,000 1 x 1020

decenas de trillón 10'000,000'000,000'000,000 1 x 1019

unidades de trillón 1'000,000'000,000'000,000 1 x 1018

centenas de millar de billón 100,000'000,000'000,000 1 x 1017

decenas de millar de billón 10,000'000,000'000,000 1 x 1016

unidades de millar de billón 1,000'000,000'000,000 1 x 1015

centenas de billón 100'000,000'000,000 1 x 101-1

decenas de billón 10'000,000'000,000 1 x 10t:l

unidades de billón 1'000,000'000,000 1 x 1012

centenas de millar de millón 100,000'000,000 1 x 1011

decenas de millar de millón 10,000'000,000 1 x 10 10

unidades de millar de millón 1,000'000,000 1 x 109

centenas de millón 100'000,000 1 x 108

decenas de millón 10'000,000 1 x 107

unidades de millón 1'000,000 1 x 106

centenas de millar 100,000 1 X 105

decenas de millar 10,000 1 x 104

unidades de millar 1,000 1 x 103

centenas 100 1 x 102

decenas 10 1 x 101

unidades 1 1 x 10°

decimos 0.1 1 x 10-1

centésimos 0.01 1 x 10-2

milésimos 0.001 1 x 10-3

diezmilésimos 0.000,1 1 x 10-4

cienmilésimos 0.000,01 1 x 10-5

millonésimo 0.000,001 1 x lO-r,

diezmillonésimos 0.000,000,1 1 x 10-7

cienmillonésimos 0.000,000,01 1 x 10-8

milmillonésimos 0.000,000,001 1 x 10-9

diezmilmillonésimos 0.000,000,000,1 1 x 10-10

cienmilmillonésimos 0.000,000,000,01 1 x 10-11

billonésimos 0.000,000,000,001 1 x 10-12

diezbilloné~imos 0.000,000,000,000,1 1 x 10-13

32 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

Advertencia: Algunos de estos ejercicios tienen por objeto que elalumno realice investigación, pues no son abordados en el presente texto.

1. ¿Qué entiendes por sistema matemático?

2. ¿Qué se entiende por números perfectos? Dé algunos ejemplos.

3. Desarrolle un ensayo acerca de la evolución que ba sufrido la mate­mática.

4. ¿Qué se entiende por números amigables? Dé ejemplos.

5. ¿Qué es un sistema de numeración?

6. Reflexiona acerca de la conveniencia de contar con un sistema de nu­meración uniforme.

7. Analiza los principios fundamentales de algún sistema numérico.

8. En el sistema numérico indoarábigo, ¿cuál es la diferencia que existeentre el valor absoluto y el relativo de un numeral?

9. Determine los valores absolutos y relativos de cada uno de los nume­rales que integran las siguientes cantidades:

123

23.4560

3456

190.90

2347

7.80

45600

10.1200

28709.79

7893214

10. Represente los numerales utilizados en los sistemas de numeraciónmaya, babilónico, romano, chino, griego, egipcio, azteca y sumerio.

11. Represente las siguientes cantidades en diferentes sistemas de nume­ración:

3 9 13 18 25 27

39 55 89 99 123 208

225 500 510 555 678 1,308

4,566 2,456 28,007 35,000 1,000,000

12. Analice la evolución de los numerales indoarábigos.

13. En la tabla presentada al final de este tema, ubica los órdenes de uni­dades, clases, períodos y grupos que integran los valores de las cifrasque comprendan hasta los trillones y hasta los cienmill~nésímos.

Unidad 1 • Arilrnétic8 33

14. Investiga los datos más relevantes de los matemáticos griegos y ára­bes.

15. En Lara Aparicio, Miguel, comp., Antología de Matemáticas, t. 1, Mé­xica, UNAM, 1983, lee y elabora un resumen de los siguientes ensa­yos: 1) Hernández, Rosaura, Los números mágicos (Lo vida indígena ylos números). 2) Willerding, Margaret F., El misticismo de los núme­ros y las supersticiones, Sistemas antiguos de numeración, y Los nu­merales indoarábigos. 3) Dugas, René, Lo matem6tica, objeto de cultu­ra y herramienta de trabajo.

16. Lee y escribe los siguientes números:92384755864941948902099807.7345974137798149823414544789357895487987543780766541.343809734773469789017896712907423769789423798789342789763536373839303033567887089761378948895489789854897875489708978789889779897234788734289703809234.76

1.2. SISTEMAS DE UNIDADES Y SU IMPORTANCIA

Como señalamos el número tiene su probable origen en la necesidadde contar propiedades. De igual manera cuando se iniciá a comerciar sur­gió una nueva necesidad: la de pesar y medir.

Varias unidades fueron adoptadas. según se tratara de una u otra ci­vilización antigua. Asi, los pueblos que más aportes hicieron a los siste­mas de unidades fueron los babilonios, los hebreos, los griegos y los ro­manos. Las unidades de medida variaban, y derivaban, por regla general,de partes del cuerpo humano. Para uniformarlos se utilizaron prototiposque se guardaban en lugares seguros. Destacan entre estas unidades elcodo, el pie y la pulgada. El codo representa la distancia entre éste y lapunta del dedo anular. Baste decir en tal caso que mientras el codo realgriego equivalía a 0.524 metros, el codo hebreo era de 0.450 metros y elgriego, 0.309 metros.

La milla fue definida por los romanos como mil pasos, y con un totalde 5000 pies. En Inglaterra fue reformada, por decreto en el siglo XVI,

para que midiera los 5280.' Por su parte, la yarda parece que tuvo suorigen durante el reinado de Enrique 1 de Inglaterra. y representa la dis-

7 Torres, Alberto, Peso y medidas anUguas en México, México: Gobierno de Jalisco,1967, p. 9.

34 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

tancia entre su nariz y la punta del dedo pulgar. Las medidas de pesar es­tuvieron basadas originalmente en el peso de granos de trigo o de algunaotra semilla.

Es fácil deducir que, merced a estas formas de crear los sistemas demedición, existía un caos cuando se trataba de realizar operaciones co­merciales con estas unidades. Éste fue el motivo para que más tarde sepensara en uniformar todas las unidades y subordinarlas a un sistemaúnico que permitiera que los intercambios se realizaran más rápidamentey con mayor seguridad para las partes que intervinieran. Sería al triunfode la Revolución Francesa cuando se daría este paso, con el estableci­miento del sistema métrico decimal.

SISTEMA MÉTRICO

El sistema métrico es un sistema de medidas o unidades que se fun­damenta en el metro como unidad de longitud. Surge a instancias de laAsamblea Constituyente francesa, la cual, en 1790 ordenó a la Academiade Ciencias de París que estudiara el establecimiento de un sistema sim­ple y uniforme que pudiera ser adoptado por los demás países. Más tardey basado en la distancia entre uno de los polos de la Tierra y el ecuador,y también en algunas propiedades simples del agua ordinaria, el sistemamétrico emergió de la revolución francesa en toda su simplicidad: consis­tente, comprensible y decimal mente corriente."

Recibe además el adjetivo decimal debido a que los múltiplos y sub­múltiplos de las unidades bases aumentan o disminuyen conforme a po­tencias de diez.

Las unidades bases empleadas en el sistema métrico decimal son:

Longitud Superficie Volumen Capacidad Masa

Metro Metro cuadrado Metro Cúbico Litro Gramo

m m' m' 1 g

Metro. Del griego métron "medida". En el sentido de 'unidad de lon­gitud' se deriva del francés métre 'metro (unidad de longitud)' (1790 o

8 Al lector interesado recomendamos un excelente libro que naITa las vicisitudes histó­ricas por las que habrían de pasar Pierre- Fran¡;ois Méchain y Jean-Baptiste-}oseph Delam­bre en el periplo iniciado para establecer la medida hase del sistema métrico. Se trata de:Alder, Kan. Lo medida de todas Jos cosas, Madrid. España: Taurus, 2003, 496 p. También re·sulta de interés-la lectura de la obra: KuJa. Witold, Las medidas y Jos hombres, 3D. erl., Méxi­co: Siglo Veintiuno Editores, 1998, 462 p.

Unidad 1 • Aritmética 35

1791).9 El metro patrón es una barra de platino iridiado cuya longitud seconsideraba equivalente a la diezmillonésima parte de un cuadrante demeridiano terrestre (después se demostró que esta definición era erró­nea). Sobre este metro patrón se construyeron todos los demás en dife­rentes formas y materiales. Pero a pesar de todas estas formas y materia­les empleados, todos los metros tenían la misma longitud que el metropatrón en París. Además se establecieron reglas para subdividirlo y mul­tiplicarlo, de diez en diez hasta el infinito. La notación del metro es:

m

Metro cuadrado. El metro cuadrado es una unidad de superficie. Lasunidades de superficie son cuadrados de diferentes tamaños, que se eli­gieron para medir las superficies de las figuras planas. El metro cuadradoes un cuadrado que mide un metro por cada lado. La notación del metrocuadrado es ésta:

m'

1m'=lmxlm

Metro cúbico. Es la extensión sólida que se toma como unidad fun­damental de volumen. El metro cuadrado es un cubo que tiene un me­tro de largo, un metro de ancho y un metro de alto. Se escribe con la no­tación:

m'

9 G6mez de Silva, Guido, Breve diccionario etimológico de la lengua española, México:El Colegio de México, Fondo de Cultura Económica. 1988, p. 454.

36 Malem6ticos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

Litro. Del francés litre 'litro', modificación del anticuado litron, medi­da antigua de capacidad. Unidad de volumen y capacidad en el sistemamétrico decimal, igual a un decimetro cúbico.'" Se escribe como:

Gramo. Del griego grámmo 'un peso pequeño' y del francés gramme'gramo'.11 Es la unidad fundamental de peso y masa. Un gramo es la mi­lésima parte de 1 kilogramo (kg). Se define como la masa de un centíme­tro cúbico de agua destilada, a su máxima densidad, a la temperatura de4° centígrados. Su notacián es:

g

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema métricoson siempre decimales, utilizándose prefijos griegos para los primeros(deca-, hecta-, kilo-, miría-, etcétera) y latinos para los segundos (deci-,centí-, mili-, etcétera). aun y cuando en ocasiones se combinan.

Múltiplos y submúltiplos de uuidades

E Exa 1,000,000,000,000,000,000 d deci 0.1

P Peta 1,000,000,000,000,000 e centí 0.01

T Tera 1,000,000,000,000 m mili 0.001

G Giga 1,000,000,000 J-L micro 0.000,001

M Mega 1,000,000 n nano 0.000,000,001

Ma Miria 10,000 p pico 0.000,000,000,001

K Kilo 1,000 [ [emto 0.000,000,000,000,001

H Hecto 100 a atto 0.000,000,000,000,000,001

D Deca 10

Como señalamos, el sistema métrico decimal de pesas y medidas tie­ne por unidades básicas para longitud, el metro; para el peso, el gramo;para volumen, el metro cúbico; para superficie, el metro cuadrado y paracapacidad, el litro. Pero es preciso destacar que las unidades de medidano han permanecido invariables, desde que aparecen en 1795. Asi, el me­tro, por ejemplo, ha cambiado de definición, pues mientras en 1795 era

10 ,Ibidem, p. 419.11 Ibidem, p. 328.

Unidad 1 • Arilmélica 37

una fracción del meridiano terrestre; en 1799 se convirtió en el "patrónde los archivos"; en 1899 en el "prototipo de platino iridio"; en 1960 era"longitudes 1,650,763.73 de onda en el vacío del Kripton 86", y para1983 era la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz duranteuna fracción 1/299792458 de segundo.

El único que se ha mantenido desde sus ya remotos origenes comoun patrón materializado por el hombre, ha sido el de masa (peso) que hasalido airoso de todos los intentos de cambio que se han pret~ndido

hacer. Todavía su concepción física original no ha sido superada aúncon las ventajas que en la actualidad, puede proporcionar el adelantocíentífico. 12

En 1960, la II Conferencia General de Pesos y Medidas cambió elnombre a Sistema Internacional de Unidades (SI) al antiguo sistema mé­trico. Este SI es una versión modificada del sistema métrico, establecidamediante acuerdos internacionales con el objeto de fijar las relacionesmutuas y lógicas necesarias para establecer un estándar entre todas lasmediciones efectuadas por la ciencia, la industria, el comercio y cuales­quiera otras actividades que así lo requieran.

Actualmente el 80% de los países se valen de este sistema de unida­des. Los demás, que usan aún el sistema británico o inglés, que incluyepies, libras, galones, etcétera, se disponen a adoptar el sistema interna­cional de unídades.

En 1971 el Reino Unido, Irlanda y Singapur adoptaron el sistema mé­trico decimal comprometiéndose a adoptar en lapsos relativamente cor­tos el sistema internacional y abandonar el antiguo sistema británico (li­bras, pies, etcétera). Estados Unidos, Myanmar (antigua Birmania) yLiberia todavía se mantienen fuera del sistema métrico decimal. La revi­sión del sistema de medidas no parece tener importancia en el conoci­miento público. A pesar del Acta firmada por el presidente estadouni­dense Ronald Reagan en 1988 -documento que especifica que el sistemamétrico es el preferido de medidas para el comercio y el tráfico de mer­cancías en Estados Unidos-, los signos de las carreteras están todavía enmillas, la gente compra el pescado por libras y mide la temperatura engrados Fahrenheit. Se piensa que el sistema internacional prevaleceráen Estados Unidos con el transcurso del tiempo, pero por el momento nose aprecian cambios significativos en tal sentido.

Algunos científicos se oponen al sistema métrico utilizando el argu­mento de que se trata de un sistema decimal ya sobrepasado por el siste­ma binario usado por las computadoras. Además científicos estadouni­denses argumentan que cualquier otro sistema adoptado por Estados

12 Nava Taimes, Héctor, "El sistema métrico decimal" en Kumatc, Jesús, cooed., La cien~

cia en la Revolución Francesa, México: El Colegio Nacional, 1991, p. 163.

38 MatemóUcas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Unidos tiene que encontrarse basado en el valor arbitrario de la veloci­dad absoluta de la luz (300 millones de metros por segundo), y no utili­zar el valor real que es de 299,972,458 metros por segundo.

La oposición al sistema creado en Francia hace ya dos siglos, se debea la siempre creciente necesidad de la mayor precisión. La barra de metalinmune a la corrosión, que aparecía como una referencia inmutable alpeso, puede degradar su valor permanente por efecto de una simple par­tícula microscópica de polvo o un átomo errante. Esto plantearía siempreuna interrogante acerca del valor absoluto y uníversal de las medidasplanteadas por este sistema.

Algunas de las unidades base del sistema internacional son:

Magnitud Unidad Abreviatura

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente eléctrica amperio A

Temperatura grado Kelvin °K

Cantidad de substancia mole mol

Intensidad luminosa bujía o candela cd

Ángulo plano radián rad

Algunas de estas unidades tienen las siguíentes definiciones:Metro: Es la dístancia que recorre la luz en el vacio durante

1/299,972,458 de segundo. Esta definición sustituye a la anteríor, que ex­presaba: Es la longitud igual a 1,650,763.73 veces la longitud de onda enel vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles2Pl0 Y 5ds del átomo de Kriptón 86, que se refleja en su espectro comouna línea roja anaranjada.

Kilogramo: Es la masa determinada mediante un patrón estándar,prototipo cilíndrico de aleación de platino e iridio, conservado en la Ofi­cina Internacional de Pesos y Medidas de Sevres. Esta unidad sustitu­ye la original de gramo y se constituye de manera irregular en la uni­dad de masa del sistema: sin seguir las reglas de formación de las uni­dades.

Segundo: Es la duración de 912,963,177 ciclos de la radiación corres­pondiente a la transición entre los dos niveles hipertinos del estado fun-

Unidad 1 • Aritmética 39

\

damental del átomo de Cesio 133. Esta definición sustituye a la antiguaque fijaba el segundo como la fracción 1/86,400 del día solar medio, pe­ríodo que variaba en el transcurso de los años.

Amperío: Es la intensídad de una corriente constante que, mantenidaentre dos hilos conductores rectilíneos paralelos, de gran longitud y sec­ción circular despreciable, a una distancia de un metro uno del otro en elvacío, produce entre sus conductores una fuerza de 2 x 10-7 newton pormetro de longítud.

Kelvín: Es la unidad de temperatura termodinámica cuya magnitudes la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto tripledel agua. (En el que la temperatura y la presión de sus estados sólido, lí­quido y gaseoso se encuentran en equilibrio). (En escala Celsius corres­ponde a 0.01° Cj.

Candela: Es la intensidad luminosa en la dirección perpendicular deuna superficie de 11,600,000 metros cuadrados de un cuerpo negro a latemperatura de fusión del platino bajo la presión de 101.325 newton pormetro cuadrado.

Mol: Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantasentidades fundamentales como átomos existentes en 0.012 kilogramos decarbono 12.

Las unidades derivadas de este sistema internacional de unidades, noson más que combinaciones de dos o más unidades de base:

Magnitud Unidad Abreviatura.. . --

Área metro cuadrado m'

Volumen metro cúbico m'

Frecuencia hertzio Hz

Densidad kilogramo por metro cúbico Kglm'

Velocidad metro por segundo m/s

Velocidad angular radián por segundo radls

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s'

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/52

Medida volumétrica de caudal metro cúbico por segundo m3/s

A continuación se exponen los valores de los múltiplos y submúlti­plos de las diferentes unidades de medición, según la magnitud específi-

40 Matemáticas aplicados al Derecho· David Cienfucgos Salgado

ca: longitud, superficie, volumen, peso y capacidad. Asimismo se incluyeuna tabla con las equivalencias métricas de las unidades de medida in­glesas y norteamericanas.

Medidas de longitud

1 miriámetro (Mm) 10,000 m

1 kilómetro (Km) 1,000 m

1 hectómetro (Hm) 100 m

1 decámetro (Dm) 10 m

1 METRO (m) 1 m

1 decímetro (dm) 0.1 m

1 centímetro (cm) 0.01 m

1 milímetro (mm) 0.001 m

1 micra (o micrón, o micromilímetro)0.000,001 m

0.001 mm

1 milimicra (o milimicrón)0.000,000,001 m

0.000,001 mm

1 angstrom (A)0.000,000,1 mm

0.000,1 1"

Medidas de superficie

1 miriámetro cuadrado (Mm') 100,000,000 m'

1 kilómetro cuadrado (Km') 1,000,000 m'

1 hectárea (Ha) o hectómetro cuadrado 10,000 m'

1 área (a.) o decámetro cuadrado 100 m'

1 METRO CUADRADO (m') 1 m'

1 decimetro cuadrado (dm') 0.01 m'

1 centímetro cuadrado (cmZ) 0.000,1 m'

1 milímetro cuadrado (rnm2 ) 0.000,001 m'

Unidlld 1 • Aritmética 41

\

;'~i-:'......,l::,.•.~

1 kilómetro cúbico

1 hectómetro cúbico

1 decámetro cúbico

1 METRO CÚBICO

1 decímetro cúbico

1 centímetro cúbico

1 milímetro cúbico

1,000,000,000 metros cúbicos

1,000,000 metros cúbicos

1,000 metros cúbicos

1 metro cúbico

0.001 metros cúbicos

0.000,001 metros cúbicos

0.000,000,001 metros cúbicos

1 tonelada métrica (T.)

1 quintal métrico (q.)

1 miriagramo (Mg)

1 kilogramo (Kg.)

1 hectogramo (Hg.)

1 decagramo (Dg.)

1 GRAMO (g.)

1 decigramo (dg.)

1 cenligramo (cg.)

1 miligramo (mg.)

1 quilate métrico

1000 Kg.

100 Kg.

10 Kg.

1 Kg.1,000 g.

100 g.

10 g.

1 g.

0.1 g.

0.01 g.

0.001 g.

0.2 g.200 mg

1 kilolitro (KI.)

~ff~e~::~t1,ti~~~&fá~~>d~~fliá~í~(,;.::.t',._, ,;0"._"""i"'.i':,o~-..~ o"""" ,'0',_ :~;.~~~i.o _ "',,-., '-::1'&','.' -_ »

1000 litros1 metro cúbico

1 hectolitro (HI.)

1 decalitro (DI.)

1 LITRO (l.)

1 decilitro (dI.)

1 centilitro (eL)

1 mililitro (mI.)

100 litros

10 litros

1 litro1 decímetro cúbico

0.1 litros

0.01 litros

0.001 litros

42 Matemóticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

~"'!':'~"~:_-':M~\i'ici~~' 'Ingles~ ~ _N~rt:~e~i':i'~,~~4~~t~q"UiV~le~les métricos). ", ." ',' -'. ',- ". . .. , ..,. . .

Longitud

1 pulgada 2.54 cm.

1 pie (12 pulgadas) 30.48 cm.

1 yarda (3 pies) 0.914,402 m.

1 milla (US Statute Mile, 1760 yardas) 1.609 Km.

1 milla náutica internacional 1.852 Km.

1 milla náutica americana 1.853 Km.

1 legua (3 millas) 4.828 Km.

Superficie

1 pulgada cuadrada 6.451,626 centímetros cuadrados

1 pie cuadrado (144 pulgadas cuadradas) 0.092,903 metros cuadrados

1 yarda cuadrada 0.836,131 metros cuadrados

1 área (medida agraria) 0.404,7 Ha.

1 milla cuadrada 259 Ha. = 2.59 kilómetros cuadrados

Volumen

1 pulgada cúbica 16.387,162 centímetros cúbicos

1 pie cúbico 0.028,317 metros cúbicos

1 yarda cúbica 0.764,559 metros cúbicos

Capacidad (líquidos)

1 onza 0.029,573 1.

1 pinta 0.473,167 1.

1 quart [2 pintas) 0.946,333 1.

1 galón americano (4 quarts) 3.785,332 1.

1 galón imperial inglés 4.546,082 1.

Capacidad (áridos)

1 quart 0.110,120 DI.

1 peck 0.880,958 DI.

1 bushel (4 pecks) 3.523,83 DI.

Unidad 1 • Aritmética

Peso

43

1 onza

1 libra (16 onzas)

1 hundredweight (100 libras)

1 tonelada americana (2000 lb.)

1 tonelada inglesa (2240 lb.)

1 ooza troy (oro, plata, etcétera)

1 libra troy

28.349,53 g.

453.592,427 g.

45.36 Kg.

907.184,86 Kg.

1,016.04704 Kg.

31.1035 g.

373.2 g.

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL EN MÉXICO

La estandarización de las medidas es más eficaz cuando los distintospaíses coinciden en la importancia del sistema a utilizar. A continuaciónpresentamos en breve síntesis la adopción en nuestro país del sistemamétrico:13 .

En el México independiente, los primeros antecedentes para adoptarel sistema métrico decimal los encontramos en la circular número 92.delministerio de fomento, de 20 de febrero de 1856, en el cual se estableceque en tanto no se dicte una medida general para la adopción en la Repú­blica del sistema métrico decimal, se sujeten a él todos los directores decaminos e ingenieros empleados por esa dependencia.

En el Congreso Constituyente de 1857 se pensó en establecer el siste­ma métrico y el primer decreto que lo hace, fue dictado por Ignacio Co­monfort, el 15 de marzo de 1857. En tal decreto se adopta el "sistema mé­trico decimal francés" y se crea la Dirección General de Pesas y Medidasde la República, organismo de carácter científico, dependiente del Minis­terio de Fomento cuya atribución era la de propagar el nuevo sistema.

Más tarde, en marzo de 1861, Benito Juárez confirma el decreto ante­rior y establece que la enseñanza del sistema métrico decimal en todoslos establecimiento de instrucción primaria y secundaria es obligatoria,tratando con ello de implantar en la conciencia del educando las nocio­nes de las nuevas medidas para que las generaciones futuras concibieransu empleo de la manera más natural como fuere posible. 14

Los siguientes gobernantes: Maximiliano de Habsburgo, Manuel Gon-

13 Remito a quien desee profundizar sobre el tema a Nava }aimes, Héctor, "El sistemamétrico decimal", op. cito

14 Véase los documentos que se anexan al final de esta unidad.

44 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

zález y Porfirio Diaz, decretaron el uso obligatorio del sistema métricodecimal, establecieron plazos y los prorrogaron bajo el argumentos sim­ple de que México aún no estaba preparado para la adopción obligatoriadel sistema métrico, ni se había elaborado un plan para su admisión.

En 1883, el presidente Manuel González dio instrucciones al repre­sentante de México en París para que solicitara información al Ministrode Relaciones Exteriores de Francia, sobre los requisitos a cubrir paraque México se adhiriera al tratado de la Convención del Metro. El 4 deagosto de 1890, siendo presidente Porfirio Díaz el encargado de negociosde México en París comunica al ministro de Negocios Extranjeros deFrancia que: "Conforme a las instrucciones de mi gobierno, tengo el ho­nor de hacer saber a vuestra excelencia que los Estados Unidos Mexica­nos, se adhieren a la Convención Internacional del Metro".

El 30 de diciembre de 1890, el ministro de Negocios Extranjeros deFrancia comunica al presidente del Comité Internacional de Pesas y Me­didas que México se adhiere a la Convención del Metro de 1875. Esta fe­cha es la que se toma como oficial por los organismos internacionales. Asu vez el presidente del Comité Internacional lo notifica el 22 de enerode 1891 a las partes signatarias del Tratado de la Convención. Ese mismoaño México participa en el sorteo de los prototipos del kilogramo, ha­biéndole tocado en suerte el número 21, el cual llegó a nuestro país endiciembre de 1891. Dos años más tarde, en 1893, se le asignó a México elprototipo número 25 del metro, que originalmente se le había dado alObservatorio Real de Bruselas. Dicho prototipo llegó a México en el añode 1895.15

En nuestro país la Ley Federal sobre Metrología y Normalizacióndispone que el Sistema General de Unidades de Medida es el único le­gal y de uso obligatorio, señalando cuales son las unidades que lo inte­gran. Además se preceptúa que las escuelas oficiales y particulares queformen parte del sistema educativo nacional, deberán incluir en susprogramas de estudio la enseñanza del Sistema General de Unidades deMedida.

UNIDADES AGRARIAS

Para la medición de predios destinados a la agricultura y la ganade­ría, se utilizan las llamadas unidades agrarias, las cuales equivalen a de­terminadas unidades de superficie. La unidad de las medidas agrarias esel área, que equivale a un Dm' (100 m') y que se representa

A

15 Nava Jaimes. "El sistema métrico decimal", p. 162-164.

Unidad 1 • Aritmética 45

Esta unidad se define como la superficie de tierra en un cuadrado dediez metros por cada lado. Tiene un múltiplo que es la hectárea queequivale al Hm' (10,000 m') y se representa

ha

y un submúltiplo, la centiárea que equivale al m' y se representa

ca

Tenemos así:

1 ha1 Hm'

= 100 a= 100 Dm'

= 10,000 ca= 10,000 m'

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

Advertencia: Algunos de estos ejercicios tienen por objeto el realizarinvestigación, pues no son abordados en el presente texto.

. 1. Describe brevemente la importancia de un sistema internacional depesas y medidas.

2. Realiza un cuadro con los múltiplos y submúltiplos de cada una delas unidades del sistema métrico decimal.

3. En términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización defi­ne las voces acreditamiento, calibración, certificación, instrumentospara medir, medir, medida materializada, manifestación, método,normas mexicanas, normas oficiales mexicanas, organismos de certi­ficación, organismos nacionales de normalización, patrón, patrón na­cional, proceso, unidades de verificación y verificación. Y explicarespecto de cada una cuál es la importancia que tienen en el comer­cio mexicano.

4. De acuerdo con las leyes mexicanas, ¿quién tiene a su cargo la con­servación de los prototipos nacionales de unidades de medida, metroy kilogramo, asignados por la Oficina Internacional de Pesas y Medi­das a los Estados Unidos Mexicanos?

5. Analizar algunas de las normas oficiales mexicanas que tienen rela­ción con el sistema internacional de unidades.

6. Investiga algunas otras definiciones para las unidades base del siste­ma internacional de unidades.

46 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cien fuegos Salgado

7. Cual es la diferencia entre Sistema Métrico Decimal y Sistema Inter­nacional de Unidades.

8. Investiga sobre las unidades agrarias de superficie y su equivalencia,así como los ordenamientos y normas mexicanas que se refieren aaquéllas.

9. Convertir:10 m. a cm. 23.4 kg. a mg. 22345 m. aromo

.18 km. a Hm. 345 mm. a Dm. 23.4 kg. a cg.51.11 m. a Hm. 322 Hm. aromo 14 KI. a cl.

Expresa:1 fi3. en cro3 , 23.4 cm3 , en mm3 . 12.3 croJ. en mm3 ,

1 Hms. a Dm'. 13.24 Km'. a cro3 , 236 Dm'. a mm3.

12 Hm'. a dm'. 124 Km'. a m'. 21.6 Dm'. a dm'.

10. Realiza las siguientes conversiones con los valores expresados enel texto:

1434.5 m yd 34766 millas cm34.23 tb cg 324 oz. Hg

435 ft km 12325 fl' m'2345 m ft 12728 yd' cm2

1.3. CONJUNTOS

La lógica y la teoria de conjuntos representan un replanteamiento dela ciencia matemática. Ambas teorias que se desarrollaron durante el si­glo XIX forman parte de la llamada matemática moderna, cuya creaciónsurge de la búsqueda de un mayor rigor científico en la expresión de losteoremas antes planteados.

La teoria de los' conjuntos nos es útil para analizar y resolver concep­tos o problemas matemáticos, ya que se relaciona con la lógica y con elentendimiento de ideas como infinito o finito. Es un campo abierto parala investigación, y es un tema excesivamente amplio, por lo que aquiabordaremos únicamente algunas nociones.

Conjunto es una colección como totalidad de objetos definidos ydistintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Los objetos sonllamados los elementos (o miembros) del conjunto. Se dice que el con­junto contiene a sus elementos, o bien que los elementos pertenecen alconjunto. l6 No se concibe lo que es un conjunto si no imaginamos que

16 Fraenkel, Abraham A., Teoría de los.conjuntos y Jógico, México: UNAM, 1976, p. 13.

Unidad 1 • Arilmética 47

está formado por objetos: sus elementos. De la misma manera no ima­ginamos que un objeto sea un elemento, si no forma parte de un con­junto.

Los conjuntos pueden expresarse de dos maneras: por extensión ypor comprensión.

Se expresan por extensión o lista cuando se enuncian o especificancada uno de los elementos de un conjunto. Ejemplo: El conjunto cuyoselementos son: Álvaro Obregón, Coyoacán, Iztapalapa, Cuauhtémoc, Ve­nustiano Carranza, Tlalpan, etcétera. Cuando un conjunto se expresa porcomprensión se enuncia una propiedad o atributo que caracterice a todoslos elementos del conjunto. En el caso anterior sería: El conjunto de dele­gaciones políticas que integran el Distrito Federal.

Reglas a tomar en cuenta: .. .. . ..1. El conjunto debe estai'líiendefinido,2. Los elementos de un conjunto son diferentes, cada elemento

es único. '.. . ,

3. El orden de los elementos de un conjunto. no lo afecta:4. Para representar un conjunto generalmente se usa una letra

mayúscllÍa,5. Se emplean sorchetes o llaves, dentro de las cuales se escri­

ben los elementos o se describe el conjunto por comprensión.Los corcbetes significan "el conjunto cuyos elementos son".

Conjunto unitario: Es aquel conjunto que consta de un solo ele­mento.

Ejemplos:

{a}

{México}{5}

{Constitución vigente de los Estados Unidos Mexicanos}

Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos. Su nota-ción es 0. .

Ejemplo:Cuando nadie acude a una conferencia afirmamos que el conjunto de

asistentes a la conferencia es un conjunto vacío.

Otro ejemplo puede deducirse de un cuadro con las calificacionesobtenidas por los alumnos de un grupo de Motemóticas aplicadas al de­recho:

48 Motcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Amado MB Gerardo B Hilda MBBenito B Celia MB Irma MBDaniela B Eugenia B losé MBLuisa B Rev B Alberto MB

Conjunto de alumnos que obtuvieron MB = {Amado, Celia, Hilda, Irma,José, Alberto}

Conjunto de alumnos que obtuvieron B {Benito, Daniela, Luisa,Gerardo, Eugenia, Rey}

Conjunto de alumnos que obtuvieron S {0}

Conjunto universal: Es el conjunto que contiene la totalidad de unadiscusión o situación particular, y se representa con el símbolo U.

Subconjunto: Cuando todos los ele~entos de un conjunto A estáncontenidos en otro conjunto (B), esta circunstancia se representa,

A e B (A es subconjunto de Bl

Un ejemplo de esta situación sería:El conjunto Cámara de Senadores es un subconjunto del conjunto

Congreso de la Unión.

Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales cuando contienenexactamente los mismos elementos. La igualdad se indica por el símbolo"=", que se lee "igual aH o "es igual a".

Ejemplo:A = Congreso de la UniónB = Cámara de Diputados, Cámara de Senadores

A = BEl conjunto A es igual al conjunto B

Puede advertirse que cuando dos conjuntos son iguales, todo elemen­to del primer conjuriio pertenece al segundo, y todo elemento del segun­do conjunto pertenece al primero.

Decir que dos o más conjuntos son iguales equivale a afirmar queson, en realidad, el mismo conjunto. Esta igualdad matemática entre con­juntos no debe confundirse con la qne usamos al decir "estos dos perrosson iguales", pues tan sólo queremos decir que los dos animales son muyparecidos y no que son dos representaciones del mismo perro, no habla­mos de una igualdad matemática."

17 Martínez Sánchez, Jorge, Conjuntos y funciones, México: ANUIES, Programa Nacionalde Formación de Profesores, 1973, p. 10.

Unidad 1 • Aritmética 49

Conjuntos desiguales: Para indicar que dos conjuntos no son iguales,se emplea el símbolo "', que se lee "no es igual a".

Ejemplo:A = alumnos de la asignatura de ÉticaB = alumnos de la asignatura de Derecho Fiscal

A",B

El conjunto A no es igual al conjunto B (aunque es factible que se deuna igualdad, si los alumnos que concurren a las citadas asignaturas fue­ran exactamente los mismos).

Esta última expresión recibe el nombre de desigualdad, donde A y Bsimbolizan conjuntos diferentes.

Conjuntos ajenos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementoscomunes. Algunos autores se refieren a estos conjuntos como disjuntos odisyuntos.

Ejemplo:A = {a,b,c,d,e,f}B = {l, 3, 6, A, K}

Los conjuntos A y B son ajenos porque carecen de elementos comu­nes: ninguno de los elementos del conjunto A se encuentra en el conjun­to B (y por tanto viceversa).

OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS

Existen cuatro tipos de operaciones fundamentales que podemos rea­lizar en el ámbito de los conjuntos: la uníón, la intersección, el comple­mento y la diferencia.

Unión de Conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se denomina uniónal conjunto constituido por aquellos elementos que pertenecen a A ó a B(el símbolo E se lee como "pertenece a") y se anota:

A u B = {X, tal que X E A ó X E B}

Intersección de Conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se llama in­tersección de ambos al conjunto formado por los elementos que pertene­cen conjuntamente a A y B. Se denota:

A n B = {X, tal que X E A y X E B}

Complemento de un Conjunto. Dado un conjunto B y un subconjun­to de él A, se llama complemento del conjunto A a aquel conjunto cuyoselementos pertenecen a A pero no al subconjunto A (el símbolo E se lee

50 Matem6ticas aplicadas al Derecha • David Cienfuegos Salgado

como "no pertenece a"). Si se refiere esta operación no a un conjunto Bsino al conjunto universal, aparece la siguiente expresión:

A' = CA = {X si X E U Y X ¡>; A}

Diferencia de Conjuntos. La diferencia de dos conjuntos A y B es elconjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A, pero queno pertenecen al B, y se expresa:

A-B = {X tal que X E A Y X ¡>; >B}

Las operaciones de conjuntos y los conjuntos se pueden representarde manera gráfica por medio de superficies limitadas por lineas curvascerradas llamadas Ideogramas o Diagramas de Euler Venn.

En el ámbito juridico las demostraciones por medio de operacionesde conjuntos han sido más o menos comunes. La más representativa es laque presenta Garcia Maynez en su Introducción al estudio del derecho.Este autor utiliza tres circulas para significar tres conjuntos-conceptos:

a) el derecho formalmente vólido; que es el creado o reconocido porla autoridad soberana.

b) el derecho intrínsecamente vólido; tradicionalmente llamado jus­to o natural.

e) el derecho positivo; que es el derecho intrinseca, formal o social­mente válido, cuando goza de mayor o menor eficacia.

DERECHOPOsmvo

Al combinar los tres conjuntos-conceptos con sus caracteristicas in­herentes, se descubren siete posibilidades diferentes. Estas posibilidadesrepresentan:

1) Derecho formalmente válido, sin posilividad ni valor intrinseco.2) Derecho intrínsecamente valioso, dotado además de vigencia o va­

lidez formal, pero carente de positividad.3) Derecho intrínsecamente válido, no reconocido por la autoridad

politica y desprovisto de eficacia.4) Derecho formalmente válido, sin valor intrínseco, pero provisto de

facticidad. '

Unidad 1 • Aritmética 51

5) Derecho positivo, formal e intrínsecamente válido.6) Derecho intrínsecamente válida pasitivo, pero sin validez formal.7) Derecho positivo (consuetudinario), sin vigencia formal ni validez

intrínseca.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Cuales son las operaciones básicas sobre conjuntos?

2. Analice la Teoría de los Tres Círculos de García Máynez desde elpunto de vista de la teoría de los conjuntos.a) ¿Qué representa el derecho formalmente válido" derecho posi­

tivo?b) ¿Qué significa U en esta teoría?e) ¿Cómo se interpreta derecho formalmente válido" derecho intrín­

secamente válido?d) ¿Que relación se planteó entre derecho natural y derecho positivo?e) ¿Que representa (derecho natural)'?

3. Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U. Ilustre las si­guientes proposiciones con diagramas de Venn:a) (A v Bl' b) (A" Bl'e) B - A d) (A - Bl'e) (A')' fJ U

C'

(B " Cl'A-B

4. Sean:U = 7, 9, 11, 13, 15, 17A = 11, 15B = 13, 17e = 7,9Encontrar:a) A v Bb) A" Be) (Av B) ,

d) (A" Bl'

e) A'

fJg)h)

i) A v (B " Clj) AvBvCk) B" B'1) C v C'

1.4. PROPORCIONALIDAD

Para iniciar el tema de proporcionalidad, es preciso entender el con­cepto matemático de razón.

La razón es simplemente la comparación que se efectúa entre dos

52 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

es una proporciónes otra proporción

números a través de su cociente. Así. la relación que existe entre los nú­meros 3 y 2 (su razón) es:

3/2, es decir 3:2 (tres es a dos)9/3 = 3 9:3 = 3 (nueve contiene tres veces tres)

de lo que podemos generalizar que si se tienen dos números a y b, la ra·zón de dichos números es:

a/b (a es a b)

dondea recibe en nombre de antecedenteb recibe el nombre de consecuente

En otro ejemplo:Sea la razón 16:20

eS decir,16/20

esta razón se puede expresar también, reduciendo sus términos a:

8/10 = 4/5 = 0.8

La igualdad de dos razones se llama proporción. Para el caso anteriortenemos que:

16/20 = 8/108/12 = 20/30

Y se pueden expresar también16:20 = 8:10

8:12 = 20:30

Generalizando, si a/b y c/d tienen la misma razón, resulta la proporción

a/b = c/ddonde

a, b, e y d son términos de la proporcióna y d son los extremosb y e son los medios.

En cualquier proporción, el producto de los extremos es igual alproducto de los medios. Volviendo a uno de los ejemplos, tenemos:

8/12 = 20/308 x 30 = 12 x 20

240 =240

Para obtener el valor de un término no conocido de una proporción,basta con despejar algebraicamente esa incógnita y efectuar los cálculosnecesarios

Unidad 1 • Aritmética 53

PROPORCIONALIDADES DIRECTAS, INVERSAS Y COMPUESTAS

Proporcionalidad directa. Dadas dos cantidades, si al aumentar unacorresponde un aumento para la otra, o si al disminuir una, la otra tam­bién disminuye, entonces esas cantidades son directamente proporcio­nales.

Ejemplos:o) Si los ingresos de una persona aumentan, aumenta la cantidad

de impuesto sobre la renta que debe pagar.b) A mayor número de dias trabajados, mayor será el reparto de

utilidades de un trabajador.

Proporcionalidad inversa. Dadas dos cantidades, si a todo aumentode una corresponde una disminución de la otra, o bien, si a toda dismi­nución de una, corresponde un aumento de la otra, entonces esas canti­dades son inversamente proporcionales.

Ejemplos:o) A mayor velocidad de un automóvil, menor será el tiempo de

un trayecto.b) A mayor explotación de un yacimiento petrolero, menor será el

tiempo de duración de esa reserva.

Proporcionalidad compuesta. En aritmética, en algunas ocasionesaparecen problemas en cuyo planteamiento de solución es necesario ha­cer intervenir más de dos razones, por lo que se habla de proporcionescompuestas o regla de tres compuesta.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Encontrar el valor de x:3/5 = 6/x

20/8 = x/128x/47 = 15/235

7/x = 42/1236/x = 75/12.5x/35 = 108/60

2. Encontrar el valor de a, b y c:a/6 = b/50 = c/84sabiendo que la suma de a+b+c = 70

3. Calcular la edad media de los alumnos de tu grupo.

54 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

4. Sabiendo que el númerO mayor es 132, encontrar un número tal quesu razón sea 1.5

5. En un grupo hay 10 abogados, 18 notarios, 11 jueces, 5 investigado­res y 3 funcionarios públicos diversos. ¿Cuál es la relación entre elnúmero de profesionistas en cada una de sus actividades y el total depresentes?

6. Treinta y cinco hectolitros de vino se vendieron en 1,050.00 ¿cuántocuestan 4 decalitros?

7. Una muestra de un padrón de 1,232 electores antes de realizarse laselecciones indicó que 345 votarían por el candidato A y 675 por elcandidato B. Si el candidato A obtuvo 123,456 votos en las eleccio­nes ¿Cuántos votos recibiría el candidato B?

8. A una velocidad de 600 km/h, un avión recorre una distancia deter­minada en 6 horas. ¿Qué velocidad debe mantener para recorrer lamisma distancia en 4 horas?

9. Ocho obreros trabajando 6 horas por día durante nueve días pavi­mentan un área de 30 m' LEn cuántos días diez obreros trabajandoocho horas por día pavimentarán cincuenta metros cuadrados?

10. Seis tomas de agua tardan diez horas para llenar un depósito con ca­pacidad de cuatrocientos metros cúbicos. ¿Cuánto tiempo tardaráncuatro tomas de agua en llenar dos depósitos de quinientos metroscúbicos de capacidad?

11. Treinta y dos personas gastan en su manutención $7,680 diariamen­te. Con $169,600 ¿Cuánto tiempo podrán mantenerse 101 personas?

12. Seis obreros trabajando ocho horas diarias durante un mes han co­brado por una reparación $2,700. ¿Cuánto cobrarán por otra repara­ción diez obreros trabajando diez horas diarias durante siete días?

13. Una población de 30,720 habitantes tiene almacenada agua suficien­te para su consumo para 300 dias. ¿Cuántos días durará el líquido sila población por aumento de turistas visitantes se incrementa a48,000 habitantes?

14. Un automóvil recorre 40 kilómetros con 5 litros de gasolina. Bajocondiciones similares, ¿cuántos kilómetros puede recorrer el mismovehiculo con 18 litros de gasolina?

15. Por veinte días de trabajo a razón de ocho horas diarias un obreropercibió $1,200.00 ¿Cuánto percibirá por seis días trabajando diezhoras diarias?

Unidad 1 • Aritmética

1.5. PORCENTAJE

55

El porcentaje, conocido también como "tanto por ciento", utiliza elsimbolo %, y es una forma común para expresar centésimos. Como pro­cedimiento de cálculo compara diversas magnitudes al cien (100). Susaplicaciones son numerosas: en problemas de pérdidas y ganancias, de co­misiones, de carretajes, de descuento, de interés, de precio de costo, deventa, de rendimiento, de composición de los cuerpos, seguros, etcétera.

El porcentaje expresa la parle de una unidad o de un todo. Existen otrasformas para expresar partes de una unidad la fracción decimal y la fracciónordinaria. La fracción decimal equivale a la expresión "tanto por uno".

Las expresiones usadas en el tanto por ciento son: la base, eltipo y el porcentaje. En la eX¡lr,!,si6n

50% de 80 = 40

la b"s!,es 80 o sea el núÍnerodel cual se toma el por ciento. Elpor ciento, o el número de centésimos que se van a tomar de labase, 'es el tipo. En el ejemplo anterior, el tipo es 50; 40 es elporceIÍ:taje o resultado obtenido."

Para expresar un porcentaje como fracción decimal, debe dividirse lacifra del porcentaje entre 100. Este procedimiento sólo requiere mover elpunto decimal dos lugares hacia la izquierda.

Ejemplo:30% = 30/100 = 0.30

Para convertir un tanto por ciento que aparece como un número en­tero y fracción en decimal, se debe convertir primero la fracción en la de­cimal equivalente y luego correr el punto dos lugares hacia la izquierda,y se omite el signo %.

Ejemplo:3\4% = 3.25% = 3.25/100 = 0.0325

Para convertir un tanto por ciento en fracción, se escribe el tanto porciento de la forma siguiente: la cifra sobre 100 y se omite el simbolo %,luego se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo:48% = 48/100 = 12/25

18 Dueñas, Beatriz do, Curso básico de motem6ticas comerciales, Bogotá, Colombia:McGraw·HilL 1990, pp, 94 Y ss.

56 Matemáticas aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Un tanto por ciento mayor que 100 se convierte en fracción comúnde la misma manera.

Ejemplo:375% = 375/100 = 3.75 = 3Y.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Una empresa emplea 2,300 personas. De éstas, 86% están en ventas;5% en oficinas y 6% es personal de servicios, el resto es personaladministrativo. ¿Cuántas personas están empleadas en cada cate­goría?

2. Un trabajador que ganó $300.00 gastó $175.00 en un juego. ¿Qué porciento de su dinero gastó?

3. Cuatro personas invirtieron un total de $254,000.00 en un negocio.La primera aportó el 15% del capital. la segunda 35%. la tercera 30%y la cuarta el resto. ¿Cuánto invirtió cada persona?

4. Una helada reciente destruyó 27% de la cosecha de café de Colom­bia. Si la cosecha tenía un valor aproximado de 32,450,000 dólares,¿cuál fue la cantidad que se perdió?

5. Un almacén vendió un artículo deportivo por $299.50 y obtuvo unaganancia de $77.50. ¿Cuál porcentaje del precio de venta es la ga­nancia?

6. Una clase tiene 72 estudiantes de los cuales 39 son hombres ¿Cuál esel porcentaje de mujeres en la clase?

7. Un comerciante compró 23 piezas de tela de 69 mts., cada una a$3.45 el metro. Vendió toda su mercancía con una utilidad del 9%.¿Cuál fue el precio de compra? ¿Cuál fue el precio de venta? ¿Cuál lautilidad que obtuvo el comerciante?

8. Un automóvil comprado el año anterior a un precio de $35,500 es va­luado por un comerciante en carros usados en $24,750 este año.¿Cuál fue el porcentaje de depreciación en el año?

9. La comisión de un vendedor de muebles es de 8%. ¿Cuánto debevender para ganar $2,000 de comisión?

10. Una señora que compró un aparato de TV tuvo que dejar como depó­sito una cuota inicial del 25% del precio de venta. Si el cheque fuede $380, ¿cuál fue el costo total del televisor?

Unidad 1 • Aritmética 57

11. Un automóvil que costó $125,000 es asegurado en 100,000. ¿Qué tan­to por ciento del riesgo asume el propietario? ¿Qué tanto por cientoes la cantidad asegurada en relación con el costo?

12. Una compañia pagó por impuestos sobre ingresos $70,125, lo cual re­presenta el 13.75% de sus ingresos netos anuales. Halle los ingresosnetos anuales.

13. Juan Ramírez tiene un sueldo fijo de $5,600 más el 3% de comisionessobre ventas. Si durante el mes vende $32,400, ¿cuál será su sueldototal?

14. Las ventas de una empresa aumentaron el 15% cada año durante cin­co años. Si las ventas del primer año fueron $230,600, halle las ven­tas del quinto año.

15. La nómina de una compañía para el primer año asciende a $360,000.Si el contrato de trabajo indica un aumento anual del 15% a todoslos empleados, ¿a cuánto ascenderá su nómina mensual en el sextoaño?

16. La tarifa de impuesto en una ciudad es de 3.86%. Si una casa está va­lorada en $44,000, ¿cuánto debe pagar de impuestos?

17. Un comerciante efectúa un pago de $3,328 sobre una compra de mer­cancías. Halle el monto total de la compra si la cantidad que pagóequivale al 13% de la deuda.

1.6. INTERÉS SIMPLE

El concepto interés proviene del latín interest, sustantivación del ver­bo interesse, que significa importar, ser importante. Rívera Salcedo defi­ne el interés como el rendimiento de un capital.'9 También se puede ase­verar que interés o rédito es la cantidad de dinero que se cobra o se pagapor el alquiler o compra de un bien, o por un dinero tomado en présta­mo.'· En los bancos cobran una cierta cantidad llamada interés por el

19 Queda al alumno la tarea de elaborar sus comentarios acerca de las posiciones deAristóteles: "Pecunia non parit pecuniarn"; del cristianismo: "Dad prestado sin esperar poreso nada"; así como las que justifican la legitimidad moral de los intereses: "el dinero es unamercancía que puede ser alquilada o vendida como todas las olras"; "existe una privación desu uso por parte de quien lo presta, así debe gratificársele"; "el dinero es el signo de los valo­res y éstos pueden ser arrendados",

20 Rivera Salcedo, Jorge, Matemóticos Financieros, México: Instituto Politécnico Nacio­nal, 1994,

58 Maternóticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

préstamo de cierta cantidad de dinero, por descontar letras, y pagan inte­rés por usar el dinero de personas y negociaciones, principalmente el de­positado en cuentas de ahorro o el invertido en cédulas hipotecarias.Ciertas casas comerciales tamhién cobran interés par venta en abonos opréstamos de dinero o mercancía. Las casas, los terrenos y otros bienespueden también producir un interés cuando se prestan o se alquilan, en­tonces el interés suele llamarse alquiler o renta.

Se distinguen dos tipos de interés: el simple y el compuesto. La di­ferencia entre ambos estriba en que en el primero, el interés simple, laganancia o la cantidad que se obtiene, no se incorpora al capital, es de­cir, los intereses no se capitalizan, y en el interés compuesto eso síocurre.

El interés simple se emplea generalmente para períodos cortos,menores de un año, aunque las partes pueden emplearlo en lapsos ma­yores.

Para detenninar la figura del interés símple concurren cuatroconceptos a saber: Capital, Interés, Tasa y Tiempo.El capital representa el monto total que se utiliza en el prés­tamo.Se le denomina interés a la cantidad de dinero que se obtienepor el uso del monto del dinero que se presta.Tasa es el porcentaje o tanto por ciento a que se presta el ca­pital.Tiempo es el número de días, meses o años que se encuentraprestado el capital a una tasa determinada.

Se habla de interés legal, cuando las partes en una operación finan­ciera no lo pactaron y por lo tanto se tiene que considerar lo preceptua­do al respecto en la Ley. En materia civil está establecido el 9% anual.Será interés convencional, el que de común acuerdo fijen los contra­tantes, el cual puede ser menor o mayor al interés legal. En el CódigoCivil federal se prohibe que los intereses se capitalicen y produzcan in­tereses:

Artículo 2393.~Es permitido estipular interés por el mutuo, ya consistaen dinero, ya en géneros.

Artículo 2394.-EI interés es legal o convencional.Articulo 2395.-EI interés legal es el nueve por ciento anual. El interés

convencional es el que fijen los contratantes y puede ser mayor o menor queel interés legal; pero cuando el interés sea tan desproporcionado que hagafundadamente creer que se ha abusado del apuro pecuniario, de la inexpe­riencia o de la ignorancia del deudor I a petición de éste el juez, teniendo en

Unidad 1 • Aritmética 59

cuenta las especiales circunstancias del caso, podrá reducir equitativamenteel interés hasta el tipo legal.

Artículo 2396.-Si se ha convenido un interés más alto que el legal, eldeudor, después de seis meses, contados desde que se celebró el contrato,puede rembolsar el capital, cualquiera que sea el plazo fijado para ello, dan­do aviso al acreedor con dos meses de anticipación y pagando los interesesvencidos.

Articulo 2397.-Las partes no pueden, bajo pena de nulidad, convenir deantemano que los intereses se capitalicen y que produzcan interés.

Para el contrato de préstamo mercantil el artículo 362 del Código deComercio establece como interés el 6% anual:

Artículo 362.-Los deudores que demoren el pago de sus deudas. deberánsatisfacer, desde el día siguiente al del vencimiento, el interés pactado paraeste caso, o en su defecto el 6 por 100 anual.

Si el préstamo consistiere en especies, para computar el rédito se gradua­rá su valor por los precios que las mercaderías prestadas tengan en la plazaen que deba hacerse la devolución, el día siguiente al del vencimiento, o porel que determinen peritos sí la mercadería estuviere extinguida al tiempo dehacerse su valuación.

y si consistiere el préstamo en títulos o valores, el té"u.ii:':rpm- mora será elque los mismos títulos o valores devenguen, o en su defecto e~ 6 por 100anual, determinándose el precio de los valores por el que tengan en la Bolsa,si fueren cotizables, o en caso contrario por el que tuvieren en la plaza el díasiguiente al del vencimiento.

En los artículos 153, fracción II y 174 (derogados actualmente), sealudía al pago de intereses moratorias al tipo legal el primero y morato­rias y pactados en el segundo. Mas no establecía cuál era el tipo legal enmateria mercantil, por lo que algunos doctrinarios consideraban, confundamento en el artículo 2° que se debe aplicar supletoriamente lo queestablece el Código Civil respecto al tanto por ciento a que se debe calcu­lar el interés al tipo legal (9%).21

Señalamos que son cuatro los elementos que intervienen en el cálcu­lo del interés. De igual forma son cuatro las fórmulas que se manejan eneste tema. Cada concepto puede ser representado por una letra. La fór­mula principal es la que nos sirve para calcular el interés:"

21 El referido artículo 2° del Código de Comercio sefiala: "A falta de disposciones deeste ordenamiento y las demás leyes mercantiles, serán aplicables a los actos de comerciolas del derecho común contenidas en el Código Civil aplicable en materia federal". Ver~ión

tomada de: http://www.cddhcu.gob.mx/leyinfo/pdf/3.pdf Consulta del 15 de diciembre de2003.

22 En esla fórmula la tasa tiene que expresarse en tanto por unidad o en su defecto el re­sultado debe ser dividido entre 100.

60 Matemáticas aplicadas aJ Derecho • David Cienfuegos Salgado

I = (C)(R)(T)

donde:I = Interés simple.C = Capital o cantidad de dinero que se invierte para que produz­

ca cierto interés.R = Tipo o tasa de interés, que se da en % y para los cálculos se

utiliza en fracción decimal. Llamada también rata.T = Tiempo. número de años, semestres, trimestres, meses, sema­

nas, días, etcétera, que dura la inversión del capital.

Por regla general se cuentan los meses de 30 días y los años de 360días. Es decir se prefiere el año comercial al año real (365 o 366 días).Pero si se trata del tiempo comprendido entre dos fechas determinadas,se cuenta el número real de días que hay entre las dos fechas. Cuandono se especifica el tipo de tasa, se entiende que se trata de una tasaanual.

Fórmula para el cálculo del capital:

C = (I)/(R)(T)

Fórmula para el cálculo de la tasa:

R = (I)/(C)(T)

Fórmula para el cálculo del tiempo:

T = (I)/(C)(R)

El Monto. Supóngase un cierto capital (C), que al terminar un perío­do produce un determinado interés. A la suma del capital más el interésque produjo se le conoce como monto o valor acumulado de capital, y sedenota con S, es decir:

s = C + I

Sustituyendo la ecuación del interés simple en la ecuación anteriortenemos que:

s = C + CRT

factorizando

s = C (1 + RT)

que es la formula para obtener el monto a un interés simple.

Recuérdese que en el caso del interés simple los intereses en cada pe­ríodo se calculan con base al capital, que permanece constante; en cam-

Unidad 1 • Aritmética 61

bio en el interés compuesto. los intereses generados se calculan con baseal monto en cada período al capitalizarse los intereses.

Ejemplos:

1. Encontrar el interés que producen $ 5.000.00 al 8% anual du­rante tres aúos. Como el tiempo está proporcionado en aúos y la tasano se expresa en tanto por unidad. debemos utilizar la formula nor­mal y el resultado dividirlo entre 100.

r = C R T = 5.000 x 8 x 3 = 120.000/100 = $1.200.00

o bien podemos calcular con la misma fórmula pero convertido el 8%al tanto por uno (.08) porque 8/100 = .08 Y tendremos:

r = C R T = 5.000 x .08 x 3 = $1.200.00

2. ¿Qué capital produce un interés de $35.000.00 al 7% diario en25 días?

C = r / RT = 35.000/(7)(25) = 35.000 / 175 = 200

El resultado obtenido debe multiplicarse por cien. puesto que latasa no la convertimos (era 0.07). El resultado final es:

C = 200 (100) = $20.000.00

3. ¿A qué % anual se han impuesto $120.000.00 que en 5 meseshan producido $8.500.00?

R = r / CT = 8.500 / (120.000)(5) = 8.500 / 600.000 = 0.0141667

La tasa obtenida es la que corresponde a un periodo mensual. porlo cual, para obtener la tasa anual, debemos multiplicarla por 12. quees el número de meses del aúo, y obtenemos la tasa anual:

0.0141667 x 12 = 0.17

al convertir el resultado obtenido a tanto por ciento quedaría 17%,porque 0.17x 100 = 17

4. ¿Qué tiempo han estado impuestos $48.000.00 que al 6% hanproducido $7.000.00?

T rCR

7.000.0048,000.00 x 6

7.000.00 0.0243 x 100 = 2.4288.000.00

5. Calcular el monto que genera un capital de $50.000 al 5% anualen tres años.

s = C (1 + RT) = 50.000 [1 + 0.05 (3)] = 57.500

62 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

TABLAS DE TIEMPO

A fin de facilitar y agilizar los cálculos en aquellos casos en que espreciso determinar el número exacto de días de un período especifico seutilizan tablas de tiempo.

A continuación se inserta una tabla de tiempo que nos permite deter­minar el número exacto de días desde cualquier día de cualquier mes acualquier día de cualquier otro mes. Es importante destacar que en losaños bisiestos. debe agregarse 1 al valor determinado en la tabla, en todoperíodo que incluya el día 29 de febrero.

Mes Ene Feb Mar Abr May lun lul Ago Sep Dct Nov Die

Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

unio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

ulia 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Septiembre 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Noviembre 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Diciembre 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

Para encontrar el tiempo exacto. en días. se sigue este procedi­miento:

1. Se busca en la columna de la izquierda el mes en el cual inicia elperíodo a determinar.

2. Se busca en las filas. en la parte superior de la tabla. el mes en quetermina el período.

3. Se sigue a lo largo de la fila del mes inicial hasta encontrar la in­tersección con el mes fina!. La cifra indica el número exacto de días en­tre las mismas fechas de los dos meses.

4. Para los casos en que el día del mes al inicio del período no es elmismo que el día terminal. se procede de acuerdo a lo siguiente:

Unidad 1 • Aritmétlca 63

o) Si el día del mes final está después del día del mes inicial, se aña­de la diferencia al número de días señalados en la tabla.

b) En el caso contrario, la diferencia se resta.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Elabora un ensayo acerca de la legitimidad moral de los intereses.

2. Elabora un ensayo acerca del anatocismo.

3. Elabora un ensayo acerca de la usura.

4. Elabora una monografía sobre el contrato de mutuo (civil y mercantil).

5. Investiga las definiciones de interés bruto, lucrativo, compensatorio ymoratoria.

6. ¿Qué interés producirá un capital de $900.00 en 4 años, al 7% de in­terés anual?

7. Hallar el capital que en cuatro años, al 2% anual, produce un interésde $2,560.

8. Si un capital de $5,600 produjo un ínterés de $3,360 en 5 años, ¿aqué tasa estuvo colocado?

9. ¿Qué tiempo se requiere para que un capital de $3,750 produzca uninterés de $1,125 al 5% anual?

10. Encontrar el ínterés que produce un capital de $12,000 en 2 años, 6meses 20 días, al 8% de interés anual.

11. ¿Qué interés produce un capital de $18,500 al 6% anual en 1 año, 4meses, 3 días?

12. ¿Qué interés produce un capital de $1,080 al 9% trimestral en 1 año,4 meses, 3 días?

13. ¿Qué interés produce un capital de $10,500 al 2% mensual en 5 me­ses, 13 días?

14. ¿Durante cuánto tiempo un capital de $23,000 produce de interés$6,900 al 1% semestral?

15. ¿Durante cuánto tiempo un capital de $182,000 produce de interés$200,000 al 4.5% mensual?

16. ¿A qué tasa diaria, un capital de $2,000 produce un interés de $2,500en 1 año, 2 meses 6 días?

64 Matem6ticos aplicadas aJ Derecho • David Cienfuegos Salgado

17. ¿A qué tasa anual, un capital de $2,000 produce un interés de $150en 106 dias?

18. Calcular el elemento que falta en cada renglón de la tabla siguiente:

Capital Tasa Tiempo Interés

3,840 1.25 anual 3 años

1,240 5 anual 124

6.5 anual 4 ailOs 150.80

2.5 mensual 5 años 600

7,120 2 años 996.80

2,000 1 año 2 meses 2,500

345,000 23 3 meses

23,000 1% semestral 6,900

1.7. INTERÉS COMPUESTO

Al hablar del interés simple señalamos que la diferencia principalcon la figura del interés compuesto, es que en esta última el interés seacumula y sobre él se paga un interés adicional en el siguiente periodo,es decir, se capitaliza, generando nuevos intereses.

Estos intereses se pueden acumular anualmente, semestralmente o enperíodos más cortos. Estos son los intereses que pagan las cajas de ahorroy otras instituciones financieras. Si se paga anualmente, la suma del ca­pital y los intereses generados en el año, se convierte en el capital para elaño siguiente.

La fórmula para obtener el capital final en los casos de interés com­puesto es:23

C" = Cn x (1 + i)"

donde:Cn

Cn

i

nIt

Capital finalCapital inicialTipo de interés anual en tanto por uno. Representa la cantidadde dinero que se obtiene anualmente por peso invertido.Duración de la operación (en este caso, número de años)Interés total

23 Tomado de Jiménez. Miguel y otros, Matem6ticos comerciales, Madrid, España:McGraw·Hill, 1989, pp. 89-90.

Unidad 1 • Arilmética 65

Ejemplo:

Determinar el capital final obtenido al cabo de 5 años al depositar$400,000 en un instrumento financiero que paga el 4% anual de inte­rés, capitalizable anualmente.Sustituyendo:

Cn=C. x (1+i)n = 400,000 (1+0.4)5=400,000 (1.2166529)=486,661.16

Para obtener el valor de los intereses generados basta con restar elcapital inicial, de acuerdo con la fórmula:

It = Cn - Cn

486,661.16-400,000 = 86,661.16

Este resultado se puede apreciar en el siguiente cuadro:

1 40,000 16,000 416,000

2

3

4

5

416,000

432,640

449,945.60

467,943.424

16,640

17,305.60

17,997.824

18,717.74

432,640

449,945.60

467,943.424

486,661.16

n

Fórmula para cálculo de los intereses totales:

It = C. x [(1 + i)-n -1)

Fórmula para cálculo del capital inicial:

C. = Cn x (1 + i)-n

Fórmula para cálculo del tipo de interés:

Fórmula para cálculo del tiempo:

_ log Cn - log Cn

- log (1 + i)

66 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUAC¡ÓN:

1. Elabora un ensayo opinando acerca del ámbito de aplicación del inte­rés compuesto.

2. Determinar el capital final sabiendo que el capital inicial es de$200,000, la duración tres años y el interés es del 12% anual.

3. Determinar el interés producido por un capital de $230,000 prestadoa una tasa anual del 11% durante 4 años.

4. Calcular el capital final de $5,000 al 3% anual durante 5 años capita­lizando semestralmente.

5. Determinar el importe de un préstamo, sabiendo que el capital finales de $418,000 y los intereses generados son de $116,000.

6. Calcular los intereses de $2,000,000 al 11% semestral en 15 años.

7. Determinar el capital final para un capital inicial de $34,560, dura­ción de 6 años y tasa del 10% anual.

8. Calcular el capital inicial que impuesto al 0.12 por uno de tasa com­puesta durante 4 años se ha convertido en $890,000.

9. Determinar los años necesarios para que un capital colocado al 11%se duplique.

10. Determinar el importe de un préstamo, sabiendo que el capital finales de $919,000 y los intereses generados son de $216,000.

11. Determinar el interés producido por un capital de $23,000 prestado aun interés anual del 9% durante 7 años.

12. Determinar la tasa a la cual ha estado impuesto un capital de$490,000 si el capital final al cabo de 6 años ha sido de $821,779.05

13. Hallar el tiempo necesario para producir $135 con un capital de$9000 al 6% anual.

14. Cuánto tiempo deberán estar invertidos $5,000 al 4% acumulable poraños par convertirse en $8,0005.

15. Cuánto tiempo tendrán que estar invertidos $42,700 al 7% para pro­ducir $1,994.50 de interés.

16. Determinar el tiempo que ha estado impuesto un capital de $345,000si el capital final constituido al 10.5% anual ha sido de $568,369.13

Anexos

ANEXO 1

DECRETO POR EL QUE SE ADOPTAEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL EN MÉXICO

El C. Benito fuárez, Presidente Interino constitucional de los Estados Unidos Mexi­canos, a todos su habitantes, sabed:

"Que en uso de las amplias facultades con que me hallo investido, he tenido abien decretar lo siguiente:

Artículo lO.-Desde el día 1° de enero de 1862 se usará exclusivamente, entodos los actos oficiales en la República, el Sistema Métrico Decimal.

Artículo ZO,-Desde la misma fecha se usará en los avalúas judiciales de pe­ritos, los cuales expresarán sus resultados en el nuevo sistema con su correspon­dencia en el antiguo. Lo mismo verificarán aun cuando los avalúas les sean en­cargados en lo particular,

Artículo 3°.-En todo lugar donde se vendan efectos, bien por mayor o almenudeo, y cualquiera que sea su clase, habrá una tabla que fije claramente lacorrespondencia de cada una de las medidas del nuevo sistema con la relativadel antiguo, expresada en unidades de éste último. Estas tablas se publicaránoportunamente por el Ministerio de Fomento.

Artículo 4°.-En estas tablas, las nuevas medidas conservarán el nombre delas antiguas, precedidas solamente del adjetivo "nuevo",

Artículo 5°.-La unidad de moneda de plata será el peso duro, con la ley dediez dineros veinte granos, 092784 y el peso de un diecisieteavo de libra. Este se di­vidirá en dos medios o tostones, cuatro cuartos o pesetas, diez décimos o veinte me­dios de décimos. Estas subdivisiones tendrán sus pesos respectivos proporcionales,de manera que de cada marco de plata de la ley fijada se labren diecisiete tostones,treinta y cuatro pesetas, ochenta y cinco décimos o ciento setenta medios décimos.

Artículo GO.-Las monedas de oro tendrán ley de 21 quilates o 0,875, y repre­sentarán los valores de un peso, dos y medio pesos, cinco pesos, diez pesos y vein­te pesos. La unidad de estas monedas será la de diez pesos con el nombre de Hi­dalgo; las demás se llamarán respectivamente doble Hidalgo, medio Hidalgo, cuar­to de Hidalgo y décimo de Hidalgo. El peso de Hidalgo será el de 352,9375 granosdel marco de cincuenta castellanos, y las demás monedas tendrán pesos propor­cionales, de manera que de cada cinco marcos de oro de la ley fijada se labren 33dobles Hidalgos, 66 Hidalgos, 132 medios Hidalgos, 264 cuartos o 660 décimos.

67

68 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Artículo 7°.-La moneda de cobre será única, del peso de 0.32 de onza y conel valor de un cenlavo de peso.

Artículo aO,-En la joyería se usarán respectivamente las mismas leyes.

Artículo 9°.~on la anticipación conveniente repartirá el Ministerio de Fo·mento el número competente de tablas y patrones a los Estados, Territorios y Distri­to, para que las autoridades de éstos lo hagan a los respectivos municipios, a fm deque para la época fijada pueda hacerse suspender el uso de las medidas antiguas.

Artículo lO.-Las matrices se abrirán según los modelos que para este objetoremitirá el Ministerio de Fomento a las casas de moneda.

Artículo l1.-En toda oficina de Fiel Contraste se fijará, embutido en la pa·red en un paraje público, un patrón de fierro o latón para que se pueda tomar sulongitud por los particulares que quieran.

Artículo 12.-En todos los establecimientos de instrucción primaria y secun·daria se enseñará desde esta fecha el Sistema Métrico Decimal y su correspon­dencia con el actual, según las tablas publicadas por el Ministerio de Fomento.

Artículo 13.-Los que después del 1° de enero de 1862 usaren otras medidasque no sean las que establece este decreto, en cualquiera de los lugares a que serefiere el artículo 3°, serán castigados conforme a las leyes, como si usasen pesoso medidas falsas.

Artículo 14.-Cualquiera autoridad o funcionario público que en los actosoficiales use de las medidas del antiguo sistema. pagará una multa de diez a trein­ta pesos, que se aplicará al Ministerio de Fomento para los gastos que según estaley tiene que erogar. Igual pena se impondrá, y suspensión de su ejercicio por unmes, al perito que en sus certificados no se sujete a lo prevenido en el artículo 2°.

Palacio de Gobierno Federal en México. a 16 de marzo de 1861.-Benito Juárez.

Al C. Ignacio Ramírez, ministro de Fomento, Colonización, Industria y Co­mercio.

ANEXO 2

SELECCIÓN DE NORMAS DE LA LEY FEDERALSOBRE METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN'

CARLOS SALINAS DE CORTARl, Presidente Constitucional de los Estadas UnidosMexicanos, a sus habitantes. sabed:

Que el H. Congreso de la Unión se ha servido dirigirme el siguiente DECRETO

"El Congreso de los Estados Unidos Mexicanos Decreta:

1 Ley publicada en el Diario Oficial de la Federación el1 de julio 1992. En vigor a partirdel 16 de julio de 1992. .

Anexos

LEY FEDERAL SOBRE METROLOGÍA Y NORMALIZACIÓN

TÍTULO PRIMERO

69

CAPÍTULO ÚNICO

Disposiciones Generales

Artículo tO.-La presente Ley regirá en toda la República y sus disposicionesde orden público e interés social. Su aplicación y vigilancia corresponde al Eje­cutivo Federal, por conducto de las dependencias de la administración públicafederal que tengan competencia en las materias reguladas en este ordenamiento.

Siempre que en esta Ley se haga mención a la "Secretaría", se entenderá he-cha a la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial. 2

Artículo 2D .-Esta Ley tiene por objeto:I. En materia de Metrología:al Establecer el Sistema General de Unidades de Medida;b] Precisar los conceptos fundamentales sobre metrología;e) Establecer los requisitos para la fabricación. importación, reparación, ven­

ta, verificación y uso de los instrumentos para medir y los patrones de medida;d] Establecer la obligatoriedad de la medición en transacciones comerciales

y de indicar el contenido neto en los productos envasados;e] Instituir el Sistema Nacional de Calibración;fJ Crear el Centro Nacional de Metrología, como organismo de alto nivel téc-

nico en la materia; yg) Regular, en lo general, las demás materias relativas a la metrología.11. En materia de normalización, certificación, acreditamiento y verificación:a) Fomentar la transparencia y eficiencia en la elaboración y observancia de

normas oficiales mexicanas y normas mexicanas;b) Instituir la Comisión Nacional de Normalización para que coadyuve en las

actividades que sobre normalización corresponde realizar a las distintas depen­dencias de la administración pública federal;

e] Establecer un procedimiento uniforme para la elaboración de normas ofi­ciales mexicanas por las dependencias de la administración pública federal;

d] Promover la concurrencia de los sectores público, privado, científico y deconsumidores en la elaboración y observancia de normas oficiales mexicanas ynormas mexicanas;

e) Coordinar las actividades de normalización, certificación, verificación ylaboratorios de prueba de las dependencias de administración pública federal;

fJ Establecer el sistema nacional de acreditamiento de organismos de norma·lización y de certificación, unidades de verificación y de laboratorios de pruebay de calibración; y

g] En general. divulgar las acciones de normalización y demás actividadesrelacionadas con la materia.

Artículo 3D ,-Para los efectos de esta Ley, se entenderá por:

2 En lA actualidad Secretaría de Economía. http://www.economia.gob.mx

70 Matemótioos aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

I. AcreditaCÍón: el acto por el cual una entidad de acreditación reconoce lacompetencia técnica y eonfiabilidad de los organismos de certificación, de los la­boratorios de prueba. de los laboratorios de calibración y de las unidades de veri­ficación para la evaluación de la conformidad;

11. Calibración: el conjunto de operaciones que tiene por finalidad determi­nar los errores de un instrumento para medir y, de ser necesario. otras caracterís­ticas metro16gicas;

111. Certificación: procedimiento por el cual se asegura que un producto,proceso, sistema o servicio se ajusta a las normas o lineamientos o recomenda­ciones de organismos dedicados a la normalización nacionales o internacionales;

IV. Dependencias: las dependencias de la administración pública federal;IV-A. Evaluación de la conformidad: la determinación del grado de cumpli­

miento con las normas oficiales mexicanas, las normas internacionales u otrasespecificaciones, prescripciones o características. Comprende, entre otros, losprocedimientos de muestreo, prueba, calibración, certificación y verificación;

V. Instrumentos para medir: los medios técnicos con los cuales se efectúanlas mediciones y que comprenden las medidas materializadas y los aparatos me­didores;

VI. Medir: el acto de determinar el valor de una magnitud;VII. Medida materializada: el dispositivo destinado a reproducir de una

manera permanente durante su uso, uno o varios valores conocidos de una mag­nitud dada;

VIII. Manifestación: la declaración que hace una persona física o moral a laSecretaría de los instrumentos para medir que se fabriquen, importen, o se utili­cen o pretendan utilizarse en el país;

IX. Método: la forma de realizar una operación del proceso, así como su ve­rificación;

X. Norma mexicana: la que elabore un organismo nacional de normaliza­ción, O la Secretaría, en los términos de esta Ley, que prevé para un uso común yrepetido reglas, especificaciones, atributos, métodos de prueba, directrices, ca­racterísticas o prescripciones aplicables a un producto, proceso, instalación, sis­tema, actividad, servicio o método de producción u operación, así como aquellasrelativas a terminología simbología, embalaje, marcado o etiquetado;

X-A. Norma o lineamiento internacional: la norma, lineamiento o docu­mento normativo que emite un organismo internacional de normalización u otroorganismo internacional relacionado con la materia, reconocido por el gobiernomexicano en los términos del derecho internacional;

XI. Norma oficial mexicana: la regulación técnica de observancia obligato­ria expedida por las dependencias competentes, conforme a las finalidades esta­blecidas en el artículo 40, que establece reglas, especificaciones, atributos, direc­trices, características o prescripciones aplicables a un producto, proceso,instalación, sistema, actividad, servicio o método de producción u operación, asícomo aquellas relativas a terminología, simbología, embalaje, marcado o etique­tado y las que se refieran a su cumplimiento o aplicación;

, XII. Organismos de certificación: las personas morales que tengan por obje­to realizar funciones de certificación;

XIII. Organismos nacionales de normalización: las personas morales quetengan por objeto elaborar normas mexicanas;

Anexos 71

XIV. Patrón: medida materializada, aparato de medición o sistema de medi­ción destinado a definir, realizar, conservar o reproducir una unidad o uno o va­rios valores conocidos de una magnitud para transmitirlos por comparación aotros instrumentos de medición;

XV. Patrón nacional: el patrón autorizado para obtener, fijar o contrastar elvalor de otros patrones de la misma magnitud, que sirve de base para la fijaciónde los valores de todos los patrones de la magnitud dada;

XV-A. Personas acreditadas: los organismos de certificación, laboratoriosde prueba, laboratorios de calibración y unidades de verificación reconocidospor una entidad de acreditación para la evaluación de la conformidad;

XVI. Proceso: el conjunto de actividades relativas a la producción, obten­ción, elaboración, fabricación, preparación, conservación, mezclado, acondicio­namiento, envasado, manipulación, ensamblado, transporte, distribución, alma­cenamiento y expendio o suministro al público de productos y servicios;

XVII. Unidad de verificación: la persona física o moral que realiza actos deverificación; y

XVIII. Verificación: la constatación ocular o comprobación mediante mues­treo, medición, pruebas de laboratorio, o examen de documentos que se realizanpara evaluar la conformidad en un momento determinado.

XIX. Se deroga.

Artículo 4°.-La Secretaría, en coordinación con la Secretaría de RelacionesExteriores y en los términos de la Ley Orgánica de la Administración Pública Fe­deral. representará al país en todos los eventos o asuntos relacionados con la me­trología y normalización a nivel internacional. sin perjuiciO de que en dicha re­presentación y conforme a sus atribuciones participen otras dependenciasinteresadas en razón de su competencia, en coordinación con la propia Secreta­ría. También podrán participar, previa invitación de la Secretaría, representantesde organismos públicos y privados.

TÍTULO SEGUNDOMetrologla

CAPÍTULO I

Del Sistema General de Unidades de Medida

Artículo 5°.-En los Estados Unidos Mexicanos el Sistema General de Uni­dades de Medidas es el único legal y de uso obligatorio.

El Sistema General de Unidades de Medida se integra, entre otras, con lasunidades básicas del Sistema Internacional de Unidades: de longitud, el metro;de masa, el kilogramo; de tiempo, el segundo;3 de temperatura termodin6mica, elkelvin: de intensidad de corriente eléctrica, el ampere; de intensidad luminosa, la

3 Véase por cuanto hace al lema de la reguhtción legal del tiempo. el decreto publicadoel viernes 10 de marzo de 2002 en el Diario Oficial de la Federación, por el que se estableceel.horario estacional que se aplicará en los Estados Unidos Mexicanos. Asimismo, la Ley delsistema de horario en los Estados Unidos Mexicanos. en la página Web: http://www.ordenju­ridico.gob.mx de la Secretaría de Gobernación.

72 Matcm6ticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

candela; y de cantidad de sustancia, el mol, así como con las suplementarias, lasderivadas de las unidades base y los múltiplos y submúltiplos de todas ellas, queapruebe la Conferencia General de Pesas y Medidas y se prevean en normas ofi~

ciales mexicanas. También se integra con las no comprendidas en el sistema in­ternacional que acepte el mencionado organismo y se incluyan en dichos ordena­mientos.

Artículo 6°.-Excepcionalmente la Secretaría podrá autorizar el empleo deunidades de medida de otros sistemas por estar relacionados con países exlranje+ros que no hayan adoptado el mismo sistema. En tales casos deberán expresarse,conjuntamente con las unidades de otros sistemas, su equivalencia con las delSistema General de Unidades de Medida, salvo que la propia Secretaría exima deesta obligación.

Artículo 7°.-Las Unidades base, suplementarias y derivadas del SistemaGeneral de Unidades de Medida así como su simbología se consignarán en lasnormas oficiales mexicanas.

Artículo 8°.-Las escuelas oficiales y particulares que formen parte del siste­ma educativo nacional, deberán incluir en sus programas de estudio la enseñan·za del Sistema General de Unidades de Medida.

Artículo 90.-La Secretaría tendrá a su cargo la conservación de los prototi­pos nacionales de unidades de medida, metro y kilogramo, asignados por la Ofi­cina Internacional de Pesas y Medidas a los Estados Unidos Mexicanos.

CAPÍTULO JIDe los Instrumentos para Medir

Artículo tO.-Los instrumentos para medir y patrones que se fabriquen en elterritorio nacional o se importen y que se encuentren sujetos a norma oficialmexicana, requieren, previa su comercialización, aprobación del modelo o proto­tipo por parte de la Secretaría sin perjuicio de las atribuciones de otras depen­dencias. Deberán cumplir con lo establecido en este artículo los instrumentospara medir y patrones que sirvan de base o se utilicen para:

I. Una transacción comercial o para determinar el precio de un servicio;n. La remuneración o estimación, en cualquier forma, de labores personales;111. Actividades que puedan afectar la vida, la salud o la integridad corporal;IV. Actos de naturaleza pericial, judicial O administrativa; oV. La verificación o calibración de otros instrumentos de medición.

Articulo tt.-La Secretaría podrá requerir de los fabricantes, importadores,comercializadores o usuarios de instrumentos de medición, la verificación o cali­bración de estos, cuando se detecten ineficiencias metrológicas en los mismos,ya sea antes de ser vendidos, o durante su utilización.

Para efectos de lo anterior, la Secretaría publicará en el Diario Oficial dela Federación, con la debida anticipación, la lista de instrumentos de medi­ción y patrones cuyas verificaciones inicial, periódica o extraordinaria o cali­bración serán obligatorias, sin perjuicio de ampliarla o modificarla en cual­quier tiempo.

Anexos 73

Artículo 12.-La Secretaría, así como las personas acreditadas por la misma,al verificar los instrumentos para medir, dejarán en poder de los interesados losdocumentos que demuestren que dicho acto ha sido realizado oficialmente. Estaverificación comprenderá la constatación de la exactitud de dicho instrumentodentro de las tolerancias y demás requisitos establecidos en las normas oficialesmexicanas y, en su caso, el ajuste de los mismos cuando cuenten con los disposi·tivas adecuados para ello.

Artículo 13.-Los recipientes que. no siendo instrumentos para medir, sedestinen reiteradamente a contener O transportar materias objeto de transaccio­nes cuya masa se determine midiendo simultáneamente el recipiente y la mate­ria, deberán ostentar visible e indeleblemente con caracteres legibles su tarea, laque podrá verificarse en la forma y lugares que fije la Secretaría.

Artículo 14.~Los instrumentos para medir cuando no reúnan los requisitosreglamentarios serán inmovilizados antes de su venta o uso hasta en tanto los sa­tisfagan. Los que no puedan acondicionarse para cumplir los requisitos de estnLey o de su reglamento serán inutilizados.

CAPÍTULO III

De Ja Medición Obligatoria de las Transacciones

Artículo 15.-En toda transacción comercial, industrial o de servicios que seefectúe a base de cantidad, ésta deberá medirse utilizando los instrumentos demedir adecuados, excepto en los casos que señale el reglamento, atendiendo a lanaturaleza o propiedades del objeto de la transacción.

La Secretaría determinará los instrumentos para medir apropiados en razónde las materias objeto de la transacción y de la mayor eficiencia de la medición.

Articulo 16.-Los poseedores de los instrumentos para medir tienen obliga­ción de permitir que cualquier parte afectada por el resultado de la medición secerciore de que los procedimientos empleados en ella son los apropiados.

Artículo 17.-Los instrumentos de medición automáticos que se empleen enlos servicios de suministro de agua, gas, energía eléctrica u otros que determinela Secretaría quedan sujetos a las siguientes prevenciones:

1. Las autoridades, empresas o personas que proporcionen directamente elservicio, estarán obligadas a contar con el número suficiente de instrumentos pa­trón, así como con el equipo de laboratorio necesario para comprobar, por sucuenta, el grado de precisión de los instrumentos en uso;

La Secretaría podrá eximir a los suministradores de contar con equipo de la·boratorio, cuando sean varias las empresas que proporcionen en mismo servicioy sufraguen el costo de dicho equipo para uso de la propia Secretaría, caso en elcual el ajuste de los instrumentos corresponderá a ésta;

Il. Los suministradores podrán mover libremente todas las piezas de los ins­trumentos para medir que empleen para repararlos o ajustarlos, siempre quecuenten con patrones de medida y equipo de laboratorio. En tales casos deberáncolocar en dichos instrumentos los sellos necesarios para impedir que personasajenas a ellas puedan modificar sus condiciones de ajuste;

74 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

III. Las autoridades, empresas o personas que proporcionen los servicios,asumirán la responsabilidad de las condiciones de ajuste de los instrumentosque empleen, siempre que el instrumento respectivo ostente los sellos impuestospor el propio suministrador;

IV. La Secretaría podrá practicar la verificación de los instrumentos a Que serefiere el presente artículo.

Cuando se trate de servicios proporcionados por dependencias o entidadesparaestatales, que cuenten con el equipo a que se refieren la fracción 1, la verifi­cación deberá hacerse por muestreo; y

V. Con la excepción prevista en la fracción 11, en ningún otro caso podránser destruidos los sellos que hubiere impuesto el suministrador o, en su caso, laSecretaría. Quienes lo hagan serán acreedores a la sanción respectiva y al pagoestimado del consumo que proceda.

Artículo l8.-La Secretaría exigirá que los instrumentos para medir que sir­van de base para transacciones, reúnan los requisitos señalados por esta Ley, sureglamento o las normas oficiales mexicanas a fin de que el público pueda apre­ciar la operación de medición.

Artículo 19.-Los poseedores de básculas con alcance máximo de mediciónigualo mayor a cinco toneladas deberán conservar en el local en que se use labáscula, taras o tener acceso a éstas, cuyo mínimo equivalente sea el 5% del al­cance máximo de la misma.

La Secretaría podrá exigir que la operación de dicha báscula se efectúe porpersonas que reúnan los requisitos de capacidad que se requieran.

Artículo 20.-Queda prohibido utilizar instrumentos para medir que nocumplan con las especificaciones fijadas en las normas oficiales mexicanas.

El uso inadecuado de instrumentos para medir en perjuicio de persona algu­na será sancionado conforme a la legislación respectiva.

Artículo 2l.-Los productos empacados o envasados por fabricantes, impor­tadores o comerciantes deberán ostentar en su empaque, envase, envoltura o eti­queta, a continuación de la frase contenido neto, la indicación de la cantidad demateria o mercancía que contengan. Tal cantidad deberá expresarse de conformi­dad con el Sistema General de Unidades de Medida, con caracteres legibles y enlugares en que se aprecie fácilmente.

Cuando la transacción se efectúe a base de cantidad de partes, accesorios ounidades de efectos, la indicación deberá referirse al número contenido en el em­paque o envase y, en su caso, a sus dimensiones.

En los productos alimenticios empacados o envasados el contenido neto de­berá corresponder al total. Cuando estén compuestos de partes líquida y sólida,además el contenido neto deberá indicarse la cantidad de masa drenada.

Artículo 22.-La Secretaría fijará las tolerancias permisibles en cuanto alcontenido neto de los productos empacados o envasados, atendiendo de igualforma, las alteraciones que pudieran sufrir por su naturaleza o por fenómenosque modifiquen la cantidad de que se trate. Dichas tolerancias se fijarán para fi·nes de verificación del contenido neto.

Anexos 75

Articulo 23.-Si al verificarse la cantidad indicada como contenido neto delos productos empacados o envasados de encontrarse que están fuera de la tole­rancia fijada, podrá la Secretaría, además de imponer la sanción administrativaque proceda, prohibir su venta hasta que se remarque el contenido neto de carac­teres legibles o se complete éste.

La selección de muestras para la verificación del contenido neto se efectuaráal azar y mediante el sistema de muestreo estadístico, en cuyo caso se estará alresultado de la verificación para, de proceder, prohibir la venta en tanto o se re­marque o complete el contenido neto.

CAPÍTULO IVDel Sistema Nacional de Calibración

Artículo 24.-8e instituye el Sistema Nacional de Calibración con el objetode procurar la uniformidad y confiabilidad de las mediciones que se realizan enel país, tanto en lo concerniente a las transacciones comerciales y de servicios,como en los procesos industriales y sus respectivos trabajos de investigacióncientífica y de desarrollo tecnológico.

La Secretaría autorizará y controlará los patrones nacionales de las unidadesbásicas y derivadas del Sistema General de Unidades de Medida y coordinará lasacciones tendientes a determinar la exactitud de los patrones e instrumentospara medir que utilicen los laboratorios que se acrediten, en relación con la delos respectivos patrones nacionales, a fin de obtener la uniformidad y confiabili­dad de las mediciones.

Artículo 25.-El Sistema Nacional de Calibración se integrará con la Secreta­ría, el Centro Nacional de Metrología, las entidades de acreditación que corres­pondan, los laboratorios de calibración acreditados y los demás expertos en lamateria que la Secretaría estime convenientes. En apoyo a dicho Sistema, la Se­cretaría realizará las siguientes acciones:

I. Participar en los comités de evaluación para la acreditación de los labora­torios para que presten servicios técnicos de medición y calibración;

n. Integrar con los laboratorios acreditados cadenas de calibración, de acuer­do con los niveles de exactitud que se les haya asignado;

111. Difundir la capacidad de medición de los laboratorios acreditados y la in­tegración de las cadenas de calibrnción;

IV. Autorizar métodos y procedimientos de medición y calibración y estable­cer un banco de información para difundirlos en los medios oficiales, científicos,técnicos e industriales;

V. Establecer convenios con las instituciones oficiales extranjeras e interna­cionales para el reconocimiento mutuo de los laboratorios de calibración;

VI. Celebrar convenios de colaboración e investigación metrológica con go­biernos estatales, instituciones, organismos y empresas tanto nacionales comoextranjeras;

VII. Establecer mecanismos de evaluación periódica de los laboratorios decalibración que formen parte del sistema; y

VIII. Las demás que se requieran para procurar la uniformidad y confiabili­dad de las mediciones.

76 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

Articulo 26.-Para la acreditación de los laboratorios de calibración se estaráa lo dispuesto en el artículo 68.

Cuando se requiera servicios técnicos de medición y calibración para la eva·luación de la conformidad respecto de las normas oficiales mexicanas, los labo­ratorios acreditados deberán contar con la aprobación de la Secretaría conformeal artículo 70 y con patrones de medida con trazabilidad a los patrones nacio·nales.

La acreditación y la aprobación de los laboratorios se otorgarán por cada ac­tividad específica de calibración o medición.

Artículo 27.-Los laboratorios acreditados podrán prestar servicios de cali·bracÍón y de operaciones de medición. El resultado de la calibración de patronesde medida y de instrumentos para medir se hará constar en dictamen del labora­torio, suscrito por el responsable del mismo, en el que se indicará el grado deprecisión correspondiente, además de los datos que permitan la identificacióndel patrón de medida o del instrumento para medir.

La operaciones sobre medición se harán constar en dictámenes que deberáexpedir, bajo su responsabilidad, la persona física que cada laboratorio autoricepara tal fin.

Articulo 28.-[Derogado]

CAPiTULO V

Del Centro Nacional de Metrología

Artículo 29.-EI Centro Nacional de Metrología es un organismo descentrali­zado con personalidad jurídica y patrimonio propio, con objeto de llevar acabofunciones de alto nivel técnico en materia de metrología.

Artículo ao.-El Centro Nacional de Metrología tendrá las siguientes fun­ciones:

1. Fungir como laboratorio primario del Sistema Nacional de Calibración;11. Conservar el patrón nacional correspondiente a cada magnitud, salvo que

su conservación sea más conveniente en otra institución;nI. Proporcionar servicios de calibración a los patrones de medición de los

laboratorios, centros de investigación o a la industria, cuando así se solicite, asícomo expedir los certificados correspondientes;

IV. Promover y realizar actividades de investigación y desarrollo tecnológicoen los diferentes campos de la metrología, así como coadyuvar a la formación derecursos humanos para el mismo objetivo;

V. Asesorar a los sectores industriales, técnicos y científicos en relación conlos problemas de medición y certificar materiales patrón de referencia;

VI. Participar en el intercambio de desarrollo metrológico con organismosnacionales e internacionales y en la intercomparación de los patrones de medida;

VII. Realizar peritajes de tercería y dictaminar sobre la capacidad técnica decalibración o de medición de los laboratorios, a solicitud de parte o de la Secreta­ría dentro de los comités de evaluación para la acreditación;

VIII. Organizar y participar, en su caso, en congresos, seminarios, conferen­cias, cursos o en cualquier otro tipo de eventos relacionados con la metrología;

Anexos 77

IX. Celebrar convenios con instituciones de investigación que tengan capaci­dad para desarrollar patrones primarios o instrumentos de alta precisión, asícomo instituciones educativas que puedan ofrecer especializaciones en materiade metrología;

x. Celebrar convenios de colaboración e investigación metrológica con insti­tuciones, organismos y empresas tanto nacionales como extranjeras; y

XI. Las demás que se requieran para su funcionamiento.

Articulo 31.-El Centro Nacional de Metrología estará integrado por un Con­sejo Directivo, un Director General y el personal de confianza y operativo que serequiera.

Además se constituirán los órganos de vigilancia que correspondan confor­me a la Ley Federal de las Entidades Paraestatales.

Artículo 32.-El Consejo Directivo del Centro Nacional de Metrología se in­tegrará con el Secretario de Comercio y Fomento Industrial. quien lo presidirá;los subsecretarios cuyas atribuciones se relacionen con la materia, de las Secreta­ría de Hacienda y Crédito Público; Energía, Minas e Industria Paraestatal; Educa­ción Pública; Comunicaciones y Transportes; un representante de la UniversidadNacional Autónoma de México; un representante del Instituto Politécnico Nacio­nal; el Director General del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología; sendos re­presentantes de la Confederación Nacional de Cámaras Industriales; de la Cáma­ra Nacional de la Industria de Transformación y de la Confederación Nacional deCámaras de Comercio y el Director General de Normas de la Secretaría. Por cadamiembro propietario se designará un suplente.

A propuesta de cualquiera de los miembros del Consejo Directivo podrá in­vitarse a participar en las sesiones a representantes de las instituciones de do­cencia e investigación de alto nivel y de otras organizaciones de industriales.

Artículo 33.-El Consejo Directivo tendrá las siguientes atribuciones:1. Expedir su estatuto orgánico;11. Estudiar y, en su caso, aprobar el programa operativo anual;III. Analizar y aprobar, en su caso, los informes periódicos que rinda el Di·

rector General, con la intervención que corresponda a los comisarios;IV. Aprobar los presupuestos de ingresos y egresos;V. Vigilar el ejercicio de los presupuestos a que se refiere la fracción ant~­

rior;VI. Examinar y, en su caso, aprobar el balance anual y los informes financie-

ros del organismo, debidamente auditados;VII. Autorizar la creación de comités técnicos y de apoyo;VIII. Expedir el reglamento a que se refiere el artículo 36;IX. Aprobar la realización de otras actividades tendientes al logro de las fina­

lidades del Centro Nacional de Metrología; yX. Las demás que le señalen las leyes, reglamentos y disposiciones legales

aplicables.

Artículo 34.-El Director General del Centro Nacional de Metrología será de­signado por el Presidente de la República. Los servidores públicos de las jera~-

78 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

quías inmediatas inferiores al Director General serán designados por el ConsejoDirectivo a propuesta del Director General.

Artículo 35.-El Director General del Centro Nacional de Metrología tendrálas siguientes facultades y obligaciones:

I. Representar al organismo ante toda clase de autoridades, con todas las fa­cultades generales a que se refiere el artículo 2554 del Código Civil para el Distri­to Federal en Materia Común, y para toda la República en Malería Federal, y lasespeciales que se requieran para el ejercicio de su cargo;

n. Elaborar el programa operativo anual y someterlo a consideración delConsejo Directivo; así como procurar la ejecución del que se apruebe;

111. Establecer y mantener relaciones con los organismos de metrología inter­nacionales y de otros países;

IV. Constituir y coordinar grupos de trabajo especializados en metrología;V. Designar al personal de confianza. salvo el correspondiente a las dos je­

rarquías inmediatas inferiores a su cargo, sobre la base de lo dispuesto en el ar~

tículo siguiente, así como al demás personal;VI. Formular el proyecto de presupuesto anual del organismo, someterlo a

consideración del Consejo Directivo y vigilar el ejercicio del que se apruebe;VII. Rendir los informes periódicos al Consejo Directivo relativos a las activi­

dades realizadas, al presupuesto ejercido y en ,las demás materias que deba cono­cer el Consejo Directivo; y

VIII. Ejecutar los acuerdos del Consejo Directivo y. en general, realizar lasactividades para el debido cumplimiento de las funciones del Centro Nacional deMetrología y de los programas aprobados para este fin.

Artículo 36.-Las designaciones del Director General y del personal técnicode confianza deberán recaer en profesionales uel área de ciencias o de ingenieríacon reconocida experiencia en materia de metrología. Las designaciones respecti­vas se harán con base en los resultados de la evaluación de dichos profesionales.Las promociones se efectuarán sobre la base de la evaluación del desempeño.conforme al reglamento que apruebe el Consejo Directivo para este fin.

El personal del Centro Nacional de Metrología estará incorporado al régi­men de Seguridad y Servicios Sociales de los Trabajadores al Servicio del Esta­do y sus relaciones con el Centro se regirán por la Ley Federal de los Trabajado­res al Servicio del Estado, Reglamentaria del Aparato Bl del Artículo 123Constitucional.

Artículo 37.-EI patrimonio del Centro Nacional de Metrología se integrarácon:

1. Los bienes que le aporte el Gobierno Federal;n. Los recursos que anualmente le asigne el Gobierno Federal dentro del pre­

supuesto aprobado a la Secretarfa de Comercio y Fomento Industrial;IIJ. Los ingresos que perciba por los servicios que proporcione y los que re·

sullen del aprovechamiento de sus bienes; yIV. Los demás bienes y derechos que adquiera para la realización de sus fi­

nes.[ ...)

Anexos

TÍTULO SEXTODe Jos incentivos, sanciones y recursos

79

CAPiTULO 1

Del Premio Nocional de Calidad

Artículo 110.-Se instituye el Premio Nacional de Calidad can el objeto dereconocer y premiar anualmente el esfuerzo de los fabricantes y de los prestado­res de servicios nacionales, que mejoren constantemente )a calidad de procesosindustriales. productos y servicios, procurando la calidad total.

Articulo t11.-El procedimiento para la selección de los acreedores al pre­mio mencionado, la forma de usarlo y las demás prevenciones que sean necesa­rias, las establecerá el reglamento de esta Ley.

CAPÍTULO II

De Jas Sanciones

Articulo 112.-El incumplimiento a lo dispuesto en esta Ley y demás dispo­siciones derivadas de ella, será sancionado administrativamente por las depen­dencias conforme a sus atribuciones y en base a las actas de verificación y dictá­menes de laboratorios acreditados que les sean presentados a la dependenciaencargada de vigilar el cumplimiento de la norma conforme lo establecido enesta Ley. Sin perjuicio de las sanciones establecidas en otras ordenamientos lega­les, las sanciones aplicables serán las siguientes:

1. Multa;11. Clausura temporal o definitiva, que podrá ser parcial o total;nI. Arresto hasta por treinta y seis horas; yIV. Suspensión o revocación de la autorización, aprobación, o registro segün

corresponda; yV. Suspensión o cancelación del documento donde consten los resultados de

la evaluación de la conformidad. así como de la autorización del uso de contrase­ñas y marCas registradas.

Artículo 112-A.-Se sancionará con multa las conductas u omisiones si­guientes:

1. De veinte a tres mil veces el salario mínimo cuando:a) No se proporcione a las dependencias los informes que requieran respecto

de las materias previstas en esta Ley;b) No se exhiba el documento que compruebe el cumplimiento con las nor­

mas oficiales mexicanas que le sea requerido; oe) Se contravenga una norma oficial mexicana relativa a información comer­

cial. y ello no represente engaño al consumidor;11. De quinienlas a ocho mil veces el salario mínimo cuando:a) Se modifique sustancialmente un producto, proceso, método, instalación,

servicio o actividad sujeto a una evaluación de la conformidad, sin haber dadoaviso a la dependencia competente o a la persona acreditada y aprobada que lahubiere evaluado:

b) No se efectúe el acondicionamiento, reprocesamiento, reparación, substi-

80 MatcmótiCQS aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

tución O modificación, a que se refieren los artículos 57 y 109, en los términosseÍlalados por la dependencia competente;

el Se utilice cualquier documento donde consten los resultados de la evalua­ción de la conformidad, la autorización de uso de contraseña, emblema o marcaregistrada, o que compruebe el cumplimiento con esta Ley y las disposicionesque de ella derivan, para un fin distinto del que motivó su expedición;

dl Se contravengan disposiciones contenidas en las normas oficiales mexi­canas;

el Se cometa cualquier infracción a la presente Ley, no prevista en este ar­tículo;

nI. De tres mil a catorce mil veces el salario mínimo cuando:al Se incurra en conductas ti omisiones que impliquen engaño al consumi­

dor o constituyan una práctica que pueda inducir a error;b) Se ostenten contraseñas, marcas registradas, emblemas, insignias, calco­

manías o algún otro distintivo sin la autorización correspondiente; oe) Se disponga de productos O servicios inmovilizados;IV. De cinco mil a veinte mil veces el salario mínimo cuando se incurra en

conductas u omisiones que impliquen grave riesgo a la salud, vida o seguridadhumana, animal o vegetal, al medio ambiente o demás finalidades contempladasen el artículo 40;

Para efectos del presente artículo, se entenderá por salario mínimo, el salariomínimo general diario vigente en el Distrito Federal al momento de cometerse lainfracción.

Artículo 113.-En todos los casos de reincidencia se duplicará la multa im­puesta por la infracción anterior, sin que en cada caso su monto total exceda deldoble del máximo fijado en el artículo anterior.

Se entiende por reincidencia, para los efectos de esta Ley y demás disposi­ciones derivadas de ella, cada una de las subsecuentes infracciones a un mismoprecepto, cometidas dentro los dos aÍlos siguientes a la fecha del acta en que sehizo constar la infracción precedente, siempre que ésta no hubiese sido desvir~

tuada.

Artículo 114.-Las sanciones serán impuestas con base en las actas levanta­das, en los resultados de las comprobaciones o verificaciones, en los datos queostenten los productos, sus etiquetas, envases, o empaques en la omisión de losque deberían ostentar, en base a los documentos emitidos por las personas a quese refiere el artículo 84 de la Ley o con base en cualquier otro elemento o cir­cunstancia de la que se infiera en forma fehaciente infracción a esta Ley o demásdisposiciones derivadas de ella. En todo caso las resoluciones en materia de san­ciones deberán ser fundadas y motivadas y tomando en consideración los crite­rios establecidos en el artículo siguiente.

Artículo 115.-Para la determinación de las sanciones deberá tenerse encuenta:

I. El carácter intencional o no de la acción u omisión constitutiva de la in·fracción;

Il. La gravedad que la infracción implique en relación con el comercio de

Anexos 81

productos O la prestación de servicios, así como el perjuicio ocasionado a losconsumidores; y

111. Las condiciones económicas del infractor.

Artículo 116.-Cuando en una misma acta se hagan constar diversas infrac­ciones, las multas se determinarán separadamente y, por la suma resultante detodas ellas, se expedirá la resolución respectiva.

También cuando en una misma acta se comprendan dos o más infractores, acada uno de ellos se impondrá la sanción que preceda. Si el infractor no intervi­no en la diligencia se le dará vista del acta por el término de diez días hábiles,transcurrido el cual, si no desvirtúa la infracción, se le impondrá la sanción co­rrespondiente.

Cuando el motivo de una infracción sea el uso de varios instrumentos paramedir, la multa se computará en relación con cada uno de ellos y si hay variasprevenciones infringidas también se determinarán por separado.

Artículo 117.-Las sanciones que procedan de conformidad con esta Ley ydemás disposiciones derivadas de ella se impondrá sin perjuicio de las penasque correspondan a los delitos en que incurran los infractores.

Artículo lIB.-La Secretaría y las dependencias competentes de oficio, a pe­tición de la Comisión Nacional de Normalización o de cualquier interesado, pre­vio cumplimiento de la garantía de audiencia de acuerdo a lo establecido en laLey Federal de Procedimiento Administrativo, podrán suspender total o parcial­mente el registro, la autorización, o la aprobación, según corresponda, de los or­ganismos nacionales de normalización, de las entidades de acreditación o de laspersonas acreditadas cuando:

1. No proporcionen a la Secretaría o a las dependencias competentes en for·ma oportuna y completa los informes que le sean requeridos respecto a su fun­cionamiento y operación;

11. Se impida u obstaculice las funciones de verificación y vigilancia;IU. Se disminuyan los recursos o la capacidad necesarios para realizar sus

funciones, o dejen de observar las condiciones conforme a las cuales se les otor­g6 la autorización o aprobación;

IV. Se suspenda la acreditación otorgada por una entidad de acreditación; oV. Reincidan en el mal uso de alguna contraseña oficial, marca registrada o

emblema. Tratándose de los organismos nacionales de normalización, procederála suspensión del registro para operar cuando se incurra en el supuesto de lasfracciones 1 y U de este artículo o se deje de cumplir con alguno de los requisitosU obligaciones a que se refieren los artículos 65 y 66. Para los laboratorios de ca­libración, además de lo dispuesto en las fracciones anteriores, procederá la sus­pensión cuando se compruebe que se ha degradado el nivel de exactitud con quefue autorizado o no se cumpla Con las disposiciones que rijan el funcionamientodel Sistema Nacional de Calibración.

La suspensión durará en tanto no se cumpla con los requisitos u obligacio­nes respectivas, pudiendo concretarse ésta, sólo al área de incumplimiento cuan­do sea posible.

82 MotumúUcas aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado

Artículo llg.-La Secretaría y las dependencias competentes de oficio, a pe­tición de la Comisión Nacional de Normalización o de cualquier interesado, pre­vio cumplimiento de la garantía de audiencia de acuerdo a lo establecido en laLey Federal de Procedimiento Administrativo, podrá revocar total O parcialmentela autorización o aprobación. según corresponda, de las entidades de acredita·ci6n o de las personas acreditadas cuando:

I. Emitan acreditaciones, certificados, dictámenes, actas o algún otro docu­mento que contenga información falsa, relativos a las actividades para las cualesfueron autorizadas, acreditadas o aprobadas;

Il. Nieguen reiterada o injustificadamente el proporcionar el servicio que seles solicite;

JII. Reincidan en los supuestos a que se refieren las fracciones 1 y n del ar­tículo anterior, o en el caso de la fracción III de dicho artículo, la disminución derecursos ° de capacidad para emitir certificados o dictámenes se prolongue pormás de tres meses consecutivos; o

IV. Renuncien expresamente a la autorización, acreditación o aprobaciónotorgada. En el caso de personas acreditadas se cancele su acreditación por unaentidad de acreditación.

La revocación conllevará la entrega a la autoridad competente de la docu­mentación relativa a las actividades para las cuales dichas entidades fueron auto­rizadas, y aprobadas. la prohibición de ostentarse como tales, así como la de uti­lizar cualquier tipo de información o emblema pertinente a tales actividades.

Artículo 120.-La Secretaría, de oficio. o a petición de las dependenciascompetentes, de la Comisión Nacional de Normalización o de cualquier interesa­do. previo cumplimiento de la garantía de audiencia de acuerdo a lo establecidoen la Ley Federal de Procedimiento Administrativo. podrá cancelar el registropara operar a los organismos nacionales de normalización cuando:

I. Se reincida en las infTacciones a que se refiere el artículo 118;n. Se expidan normas mexicanas sin que haya existido consenso o sea evi­

dente que se pretendió favorecer los intereses de un sector; oJlI. En el caso de la fracción 111 del artículo 118. la disminución de recursos

O de capacidad para expedir normas se prolongue por más de tres meses conse­cutivos.

Artículo 120-A.-Cuando derivado de una verificación se determine la comi­sión de una infracción, y el visitado cuente con un documento expedido por per­sona acreditada y aprobada, se le impondrá a ésta una multa equivalente a la quecorresponda al visitado en virtud de la infracción cometida, siempre que existanegligencia. dolo o mala fe en dicha expedición, sin perjuiciO de las demás san­ciones que le correspondan.

[... J

TRANSITORIOS

Artículo l.-La presente Ley entrará en vigor a los 15 días naturales siguien­tes a su publicación en el Diario Oficial de la Federación.

Anexos 83

Artículo 2.-Se abroga la Ley sobre Metrología y Normalizacióo, publicadaen el Diario Oficial de la Federación de 26 de enero de 1988.

Artículo 3.-La vigencia de las normas o especificaciones técnicas, criterios.reglas, instructivos. circulares lineamientos y demás disposiciones de naturalezaanáloga de carácter obligatorio. en las materias a que se refiere esta Ley, que ha­yan sido expedidas por las dependencias de la administración pública federalcon anterioridad a la entrada en vigor de la misma, no podrá exceder de 15 me­ses a partir de la entrada en vigor de esta Ley.

[... ]

México, D.F., a 18 de junio de 1992.-Sen. Manuel Aguilera Gómez, Presi­dente.-Dip. Jorge ZermcJio Infante. Presidente.-Sen. Antonio Melgar Arando,Secretario.-Dip. Felipe Muñoz Kapamas, Secretario.-Rúbricas."

En cumplimiento de lo dispuesto por la fracción 1 del Artículo 89 de laConstitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y para su debida pu­blicación y observancia, expido el presente Decreto en la residencia del PoderEjecutivo Federal, en la Ciudad de México, Distrito Federal, a los treinta diasdel mes de junio de mil novecientos noventa y dos.-Carlos Salinas de Garta­ri.-Rúbrica.-EI Secretario de Gobernación, Fernando Gutiérrez Barrios.-Rú­brica.

ANEXO 3

SISTEMA BINARIO

A pesar de que el presente tema no se contempla en el actual programa de estu­dios, se ha considerado pertinente su inclusión. puesto que su conocimientoauxilia eficazmente en la comprensión del sistema decimal (y viceversa).

El sistema binario es denominado también sistema diádico, sistema dual yen base 2. Este sistema numérico se caracteriza porque las cifras y números secomponen y se representan por los numerales O (cero) y 1 (uno).

En el siglo XIX, con el descubrimiento de la electricidad, se pensó que utili­zarla en la construcción de máquinas sumadoras podría agilizar los procedimien­tos que en ese momento se realizaban. Con este objeto se pensó en un esquemadonde al hecho de que la electricidad pase por un alambre o circuito correspon­de un numeral, si no pasa, corresponde otro. Este esquema no permitia la repre­sentación de los diez numerales que conocemos: sólo era posible representar dos.Se eligió el cero y el uno. En la siguiente gráfica se observa que la ausencia decorriente es representada con el numeral cero (O) y la presencia de la corrientecon el numeral uno (1).

cero (O) uno (1)

84 Matemáticos opJjcadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

El argumento empleado para elegir ambos símbolos, fue que el cero es unnumeral fundamental en la escritura posicional de los números y que esta escri­tura es la más práctica para realizar operaciones. El uno fue elegido por ser elsiguiente numeral del cero, y por ser, además el primer numeral con valor nu­mérico.

¿Cómo representamos cualquier cantidad, empleando sólo los numeralescero y uno? Los principios utilizados son los mismos usados en el sistema deci­mal; pero en lugar de potencias de 10 se tienen potencias de 2. Es decir, el siste­ma binario se estructura igual que el sistema decimal en los principios aditivo yposicional.

Por ejemplo el número tres (3) se escribe

11

puesto que

lx21 + lx2° = 2 + 1 = 3

De forma similar al sistema decimal, en el sistema numérico binario el O(cero) y el 1 (uno) son símbolos que pueden ser utilizados para representar cual­quier número.

Así los equivalentes en sistema binario de los numerales indoarábigosson:

o O1 1

10 2

11 3100 4

101 5

110 6

111 7

1000 8

1001 9

Para realizar conversiones de números en base diez a base 2 puede utilizarseuna tabla, en donde se establezca los valores correspondientes a cada posición, yemplear el método de sumar cada uno de los valores hasta completar el númeroque se busca convertir a base 2.

." .

Sistema Binario o de Base 2

212 2" 2'" 2' 2' 2' 2' 2' 2' 2' 2' 2' 2'

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Anexos 85

Si consideramos la tabla de equivalencia, encontramos que el valor de 7 seexpresaría como 111 en el sistema binario. lo que corresponde a:

lx22 + lx21 + lx2° = 4 + 2 + 1 == 7

111

para expresar el número 8. tenemos:

lx2J + Ox22 + Ox21 + Ox2° = 8 + O + O + O == 81000

para expresar el número 27 tendríamos:

lX2' + lx2' + Ox2' + lx2' + lx2° = 16 + 8 + O + 2 + 1 = 2711011

El principio que se utiliza en el sistema binario puede ser empleado en cual­quier otro sistema de numeración, la siguiente tabla muestra los primeros 11 nú·meros naturales expresados en sistemas de base dos, de base tres, de base cuatroy de base cinco:

Tabla de Equivalencia de los Números Naturales.•

Números naturales base 2 base 3 base 4 base 5

O O O O O

1 1 1 1 1

2 10 2 2 2

3 11 10 3 3

4 100 11 10 4

5 101 12 11 10

6 110 20 12 11

7 111 21 13 12

8 1000 22 20 13

9 1001 100 21 14

10 1010 101 22 20

El sistema binario reviste gran importancia en la actualidad debido a su uti·lización en los lenguajes y procesadores de datos que alimentan los sistemascomputacionales. Su aplicación en este campo es la de representar cada letra,número, signo o símbolo.

86 Matcmóticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Describe los principios fundamentales del sistema de numeración bi­nario.

2. Convierte los siguientes números a sistema binario o de base 2:15 25 67 98 109 213

234 598 956 1025 2047 999912345 34567 56788 66666 99999

3. Expresa los siguientes números (en sistema binario) en sistema decimal:10101000 10110110 1110001110 1111110111

100001000 1110100100 11111111010 100000001001111000010101011100 11111111111111111111010000010

4. Explica cuál es la importancia del sistema binario.

5. Investiga cómo puede realizarse la adición o suma de números expre­sados en notación binaria.

ANEXO 4

GLOSARIO DE TÉRMINOS MATEMÁTICOS

Adición: Suma. Operación binaria en que dados dos números en un conjunto, alos que se llama sumandos, se les asocia por medio de una regla (tabla deadición), un único elp.mento del mismo conjunto al cual se le llama suma. Elsigno de la adición es (+), que se lee "más". También se define así: dadosdos conjuntos A y B, ajenos (sin elementos comunes), la suma es la cardinalde la unión de dichos conjuntos.

Algoritmo: Es el procedimiento para realizar una operación aritmética.Área: Dícese de la medida de una superficie limitada por una poligonal o curva

cerrada. Esta medida se expresa en unidades cuadradas: metros cuadrados(m'), decímetros cuadrados (dm'). etcétera.

Axioma: (del griego axioma, autoridad) Principio o sentencia tan claro que nonecesita explicación.

Base de una potencia: Es el número que se toma como factor. Así en 2J =8, labase es 2.

Base de un sistema de numeración: Es el número de unidades de un orden queforman una unidad del orden inmediato superior.

Cantidad: Todo lo que es posible de ser contado.Capacidad: Dícese del espacio tridimensional para contener algo.Centímetro: Medida de longitud del sistema métrico decimal, equivalente a la

centésima parte del metro. Su símbolo es (cm).Cifras: Son los signos que se emplean para representar a los números. Con idén­

tico fin se utiliza la voz guarismos.Cociente: Es el resultado de la divisi6n de dos números. Una fracción es un co­

ciente indicado. Así, 6/3 es el cociente 6 entre 3, que es 2.

Anexos 87

Coeficiente: Es el factor de un término, que indica las veces que la parte literal serepite como sumando. Por ejemplo en la formula del perímetro del triánguloequilátero: P=3l, 31 es un término en el que 3 es el coeficiente y significatres veces la medida 1 del lado del triángulo.

Conjunto: Concepto no definible. Dícese de una colección de objetos. Los con­juntos se denotan con letras mayúsculas. Así A se lee, "el conjunto A".

Décimo: Cada una de las diez partes en que se divide la unidad. Se escribe 1/10ó 0.1

Diferencia: Es el resultado de una sustracción. llAmase también resta.División: La división es la operación aritmética que consiste en determinar cuántas

veces está contenido un número en otro. El número que se divide se llama divi­dendo y el que divide se llama divisor, el resultado de la división se llamacociente. Cuando el divisor no está contenido un número exacto de veces en eldividendo, el excedente se llama residuo. Es la operación inversa a la multipli­cación. Si se desconoce uno de dos factores en una multiplicación, la operaciónque permite calcular a ese factor desconocido recibe el nombre de división.

Elemento: Cada uno de los objetos que forman un conjunto.Factores: Dícese de dos o más números que se multiplican: 3x2xl0=60. Donde

3, 2 Y 10 son factores.Gramo: Unidad de peso en el sistema métrico decimal. Equivale al peso de un

centímetro cúbico de agua destilada a la temperatura de 4 grados centígrados.Guarismos: Son los signos que se emplean para representar los números. Tam­

bién se utiliza la voz cifras.Hora: Medida de tiempo equivalente a una veinticuatroava parte del día solar

medio. Una hora equivale a 60 minutos.Igual: Su símbolo es (=). Es una relación de equivalencia entre números, objetos,

conjuntos, cosas, etcétera.Interés: Se llama así a la ganancia que produce un capital.impuesto bajo ciertas

condiciones. Para obtener el interés (I), se multiplican: el capital (e), por eltiempo (T) y por el rédito (R) en forma de tanto por ciento (%). Su fórmula es

I=CxTxRo

1 = (C)(T)(R)o

1= CTR

Longitud: Medida de un segmento. la mayor de las dimensiones de una superficie.Medir: Determinar la longitud, la extensión o el volumen de una figura geométri­

ca, lo que se obtiene comparando estas magnitudes con la unidad de medidacorrespondiente.

Metro: Es la distancia que recorre la luz en el vacío durante 1/299,972,478 de se­gundo. Anteriormente se le definía como 1,650,763.73 veces la longitud deonda de las radiaciones del átomo de kriptón 86 en los niveles 2p10 y sds(abreviatura m.)

Multiplicación: La multiplicación es una adición abreviada cuyo objetivo es ha­cer más corto y más fácil el cAlculo. En ella se aumenta un número (factor)tantas veces como lo indica el otro número (factor). El primer factor se llamamultiplicando, el segundo multiplicador y el resultado producto. El signo sellama signo de multiplicación (xl y se lee por o veces.

88 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

N: La letra mayúscula (N) se emplea para designar el conjunto de los númerosnaturales

Nulo: Es el conjunto sin elementos, también denominado vacío.Número dígito: Es el que consta de una sola cifra.Número polidígito: Es el que consta de dos o más cifras.Operación: Procedimiento o método para obtener un resultado.Operaciones aritméticas: Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición,

resta o substracción, multiplicación. división, potenciación, radicación y 10­garitmación.

Porcentaje: Tanto por ciento. Su símbolo es (%). Es parte proporcional de unacantidad expresada como parte de 100.

Producto: Es el resultado de la multiplicación de dos o más números.Proporción: Es la igualdad de dos razones. Ejemplo: 1:2 = 4:8, que se escribe

también 1/2 = 4/8, es una proporción. En ambos casos se lee: uno es a dos,como cuatro es a ocho). Los números 1 y 8 son llamados extremos y los nú­meros 2 y 4 son llamados medios. En toda proporción se cumple que el pro­ducto de los términos extremos es igual al producto de los medios.

Raíz Cuadrada Exacta: De un número: es el número que elevado al cuadrado re­produce exactamente el número dado.

Raíz Cuadrada Inexacta o Entera: De un número es el mayor número cuyo cua­drado está contenido en el número dado (raíz cuadrada inexacta por defectolo el número cuyo cuadrado excede en menos al número dado (raíz cuadradainexacta por exceso).

Segundo: Es la duración de 912,963,177 ciclos de la radiación correspondiente ala transición entre los dos niveles hipertinos del estado fundamental del áto­mo de Cesio] 33. Esta definición sustituyó la que fijaba al segundo como lafracción 1/86,400 del día solar mAdío.

Sistema de numeración: Es un conjunto de reglas que sirven para expresar o es­cribir los números.

Sustracción: Una de las cuatro operaciones fundamentales. La resta o sustrac­ción es el procedimiento por medio del cual se encuentra la diferencia entredos números. El número mayor se llama minuendo y el menor sustraendo, elresultado de la resta recibe el nombre de diferencio. La sustracción es unaoperación inversa a la adición. Si se desconoce uno de dos sumandos en unaadición, la operación que permite calcular ese sumando desconocido recibeel nombre de sustracción. Así: 3+x=8 x=8-3

Teorema: Por teorema podemos entender una verdad no evidente, pero demos·lrable. El teorema se forma de una parte condicional (hipótesis) y una con­clusión (tesis) que se cumple en caso de tener validez la hipótesis. La demos­tración de un teorema es necesaria, y consiste en una serie de razonamientosencadenados, los cuales se apoyan en propiedades intuitivas y/o en otrosteoremas ya demostrados.

Unidad: Concepto intuitivo. Refiérese a un objeto en particular o a un conjuntode objetos pensando como un todo. Se designa por 1 (uno).

Variable: Incógnita. Es un símbolo, generalmente una letra, que en expresionesmatemáticas representa un valor desconocido.

Volumen: Dícese de la medida del espacio tridimensional determinado por uncuerpo.

Objetivo Particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno: Ana­lizará y aplicará la información contenida en los registros contables yestados financieros que se derivan de ellos como elemento probatorio.en procedimientos jurídicos; además de interpretar las disposicionesque estén relacionadas con la obligación de llevar registros contables.

A partir del momento en que se desarrolla la idea de número, elhombre se vuelve contador: cuenta sus flechas, sus frutas, sus presas, enfin, cuenta todas sus "propiedades", Señala Alejandro Prieto que entre lasdiversas acepciones de la voz contar, se encuentran dos de especial inte­rés para el estudio de la contabilidad: computar y referir, Menciona quecuando se ha!:>la de contar el dinero, mercancías, muebles y demás pro­piedades de un negocio, se entiende que se hace un cómputo de ellos; y,del mismo modo, una vez hecho éste, es necesario también referir, na­rrar, contar lo que sucede con ese dinero, bienes o propiedades, descri­biendo la forma en que el desarrollo de los negocios los incrementa o re­duce, En la presente unidad abordaremos el estudio de la contabilidad ensu aspecto teórico y también en su aspecto práctico, valorando la impor­tancia que como medio de prueba tiene en nuestro orden legal.

2.1. ASPECTOS GENERALES DE LA CONTABILIDAD

EVOLUCIÓN HISTÓRICA

Diversos estudios han señalado que la contabilización fue practicadahace aproximadamente 8 mil años. Gertz Manero señala que ya para elaño 6 mil a.c., había los elementos necesarios para poder considerar laexistencia de una actividad contable: la escritura, los números, el con­cepto de propiedad, un volumen de operaciones, etc. Max Weber, señala-

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90 Malemóticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

ria que la necesidad de una contabilidad exacta no se planteó sino hastaque el comercio fue empresa de varios socios entre los cuales era precisohacer una liquidación. Es por ello que antes del siglo XIV no se tiene noti­cia de que las empresas hayan llevado contabilidad, lo cual se explica sipensamos que la empresa era de tipo famílíar y evolucionó hacia un ca­rácter más profesional. Sin embargo podemos remontarnos hasta el Co­dex Acepti et Expensi, libro del recibo y gasto, que formaba parte del sis­tema contable de los comerciantes cartaginenses. Una razón más es enrazón del reducido comercio que en realidad no ameritaba un registrometódico de operaciones. En Roma, los comerciantes de metales precio­sos, registraban sus operaciones en un libro de efectivo o de caja, un li­bro de depósitos y un libro diario, estando obligados a llevar estos librospor ley y mostrarlos en caso de inspección (fiscal). Es posible que antesde esta época se hayan hecho apuntes aislados, pero el corto uso del cré­dito, y la relativamente reciente introducción del papel y de los númerosarábigos (sustituyendo a los romanos, siglo IX), fueron un campo poco fa­vorable para el desarrollo de la contabilidad.

En Florencia, Venecia y Génova, ciudades de activo comercio enton­ces. se han encontrado libros de contabilidad llevados por partida dobleque datan del siglo XIII. Los genoveses registraban sus operaciones me­diante el sistema de partida doble. Cuando un comerciante genovés efec­tuaba una venta de mercancías a crédito, anotaba en un libro la expre­sión "él debe", refiriéndose al comprador, asentando a continuación elimporte de la operación. De esta época proviene el uso de la voz "débito",vocablo latino que utilizaban los comerciantes genoveses al registrar susmovimientos económicos en este idioma. Por el contrario, al realizar unacompra a crédito anotaban en sus libros "él confío", refiriéndose a que suproveedor o acreedor confiaba en el cobro posterior de tal adeudo, ano­tando en seguida el importe respectivo. El equivalente de "él confío" es elvocablo "crédito" utilizado hasta nuestros dias para significar la contabi­lización de las obligaciones contraidas.

Pero los fundamentos de la técnica contable fueron establecidos porun monje franciscano llamado fray Luca Pacioli, quien publicó en Vene­cia, en 1494, un libro de matemáticas (Summo Arithmetica Proportioni etPropor/iona/ita) en el cual se trataba también de contabílídad. En talobra, el sistema de contabílídad se establece a base de los libros: inventa­rio, borrador, diario, mayor, y se dan reglas para llevar cada uno de ellos.Algunos autores, en cambio, señalan a Benedetto Cotrugli Rangeo comopionero de la partida doble, dado que en su obra menciona el uso de treslibros: el recordatorio, el diario y el mayor.

Con posterioridad se publicaron en Europa varios libros que si bien noagregaron nada nuevo a lo dicho por fray Luca, sirvieron para difundir latécnica contable. Especial mención merece la obra de Cojo y manual de

Unidad 2 • La información financiera 91

mercaderes y otras personas, de Bartolomé Salvador Solórzano, publica­da en 1590 en España y a la cual se le daria obligatoriedad al ser promul­gada la ley X, contenida en el libro V, título 18 de Castilla, que establecíala obligación para los extranjeros de registrar sus operaciones por debe yha de haber en la misma forma que lo hacían los naturales del reino.

En 1795 Edmond Legrange publicó en Paris un tratado de teneduríaen el cual recomendaba un diario mayor a columnas, pudiendo decírsede él que fue el precursor de los sistemas tabulares de contabilidad.

La evolución de todos los procedimientos de contabilidad se inició enlos Estados Unidos, país de gran progreso industrial, a fines del siglo XIX,

y en la primera mitad del siglo xx es cuando más adelantos se lograron,tanto por lo que hace a la filosofía de cuentas, como a procedimientos deregistro, en los cuales se tiene el auxilio de máquinas. Pueden juzgarse ta­les adelantos por la gran cantidad de literatura contable escrita.en Norte­américa, de la cual se han hecho traducciones o adaptaciones en diversospaíses, pero sin llegar a modificaciones fundamentales o de importancia.

En nuestro país tenemos que el pueblo azteca controlaba medianteregistros (en códices) los tributos percibidos de los pueblos conquistados.Los códices eran utilizados por los reyes aztecas para registrar el númerode pueblos sometidos y los tributos que pagaban, auxiliando a lo que po­día considerarse libro principal, códices semejantes en cada una de lasprovincias. Para la confección de tales códices se utilizaba papel de ma­guey y otros elementos, y en ocasiones piel de venado. Durante la prime­ra etapa de la colonia, tales registros sirvieron para fijar contribuciones.

Al fundarse la Villa Rica de Veracruz, se afirma que fue el capitánAlfonso de Ávila, ql1ien por primera vez ostentó el título de contador dela Nueva España, al ser electo para desempeñar tal función en el Ayunta­miento. El 5 de octubre de 1522 mediante un estado llamado carta-cuenta,en plena campaña de conquista se rendían cuentas a la Corona españolapor los ingresos obtenidos, asesorados por oficiales nombrados por CarlosV. Al mismo tiempo fue designado para desempeñar el cargo de Contadorde la Real Hacienda de la Nueva España, Rodrigo de Albornoz, quien orga­nizó las cuentas de esta institución, habiendo recibido una cédula de ins­trucción, de donde partieron las reglamentaciones de la contabilidad fis­cal de la Nueva España. En tal cédula se .asientan instrucciones para eldebido registro de las operaciones, enunciando que éstas debían anotarsesiguiendo un procedimiento específico, como se desprende del ordena­miento en donde se establecía el registro de operaciones en un libro gran­de, para tener un medio de llevar la verdadera cuenta y razón de las mismasen forma clara y debidamente autorizadas por el contador y el tesorero yevitar diferencias. Este principio de control perdura hasta nuestros días.

Con la influencia preponderante de Estados Unidos de América yGran Bretaña, se promovieron en México procedimientos de registro uti-

92 Matem6tioos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

lizados en tales países. Esto se realizó esencialmente por la influenciaeconómica que representaba el comercio con tales naciones.

En 1846 fue fundada por el Tribunal de Comercio de la Ciudad deMéxico, la primera escuela de enseñanza contable, fungiendo como di­rector el seüor Benito León Acosta, durante la presidencia de Joaquín He­rrera. La duración de esta institución fue de sólo dos años por falta defondos, pero en 1854, cuando era presidente Antonio López de SantaAnna, volvió a crearse la escuela especial de comercio. La evolución delos estudios contables, tanto en su doctrina como en el progreso de laprofesión de contador en México, está íntimamente relacionada con la Es­cuela Superior de Comercio y Administración, fundada en la Ciudad deMéxico. Posteriormente habría de iniciarse la carrera de Contador públi­co en 1902. En 1927 se estableció la Facultad de Comercio, en el seno dela Universidad Nacional de México, dedicada a la preparación de conta­dores públicos.

En la actualidad el progreso industrial y comercial ha dado lugar a laevolución de sistemas, procedimientos y registros en la contabilidad. Porel gran volumen de las operaciones y la información precisa e inmediataque se requiere, se usaron primero los sistemas mecánicos de registro di­recto, posteriormente las computadoras para negocios de gran capacidady actualmente para el procedimiento de las operaciones realizadas, lasmicrocomputadoras que por su precio accesible y paquetes de programasaplicables de contabilidad, han dado buenos resultados en negocios pe­queúos y medianos y en los despachos de contadores en donde se utili­zan para aplicar y ampliar los servicios de sus clientes.

DEFINICIONES

Existen diversas definiciones acerca de la voz contabilidad. Gertz Ma­nero define la contabilidad como la historia financiera de una unidad eco­nómica, o bien, como la disciplina que tiene por objeto llevar la historiafinanciera de una unidad económica, y que procura brindar uno informa­ción financiera del patrimonio que se contabiliza. Para Márquez Licona lacontabilidad es un registro metódico de las operaciones de uno empresa.Lara Flores la define como la disciplina que enseña las normas y los proce­dimientos para ordenar, analizar y registrar las operaciones practicadas porlas unidades económicas constituidos por un solo individuo o boja la formade sociedades civiles o mercantiles. Por su parte Rafael Barandiarán seña­la que la contabilidad (accounting en inglés), es una técnica que establecenormas y procedimientos para registrar, cuantificar, analizar e interpretarlos hechos económicos que afectan el patrimonio de las entidades.

Existen otros elementos representativos dentro del estudio de la con­tabilidad que no deben ser soslayados, tal es el caso de la información fi-

Unidad 2 • La in(onnación financiera 93

nanciera, los estados financieros, la entidad contable, la empresa, lascuentas, el contador, etcétera.

Debemos señalar que debe entenderse por información financiera to­dos aquellos datos y cifras que se sacan de los estados financieros, paratodas las personas a quienes les interese, ya sean externas o internas enrelación con la empresa. Una definición más amplia abarca el conjuntode datos, estadísticas, informes, de la actividad relativa a las finanzas, aldinero liquido que poseen las empresas públicas o privadas, a la hacien­da pública, estos datos son importantes para los propietarios, socios, ac­cionistas, etcétera, ya que les permite saber si los recursos invertidos enla empresa han sido bien administrados y si han producido resultados.Al Estado también le interesa dicha información para saber cuál será labase para el pago de los impuestos respectivos. También es útil a losacreedores, ya que les sirve para conceder créditos que se alcancen a ga­rantizar por los recursos de la empresa.

Tenemos enlonces que entre los usuarios de la información financie­ra se encuentran:

a) Externas: proveedores, acreedores, dependencias gubernamentales(fisco), auditores externos, instituciones de crédito, inversionistas.

b) Internos: propietarios; directores, administradores; trabajadores,etcétera.

Al revisar la información financiera, los usuarios externos tienencomo finalidad: Controlar la correcta determinación y cumplimiento delpago de impuestos (fisco); efectuar estimación de impuestos a los evaso­res de la polltica fiscal; comprobar la razonable exactitud de las cifrasplasmadas en los estados financieros (auditores externos); evaluar la si­tuación financiera de la entidad y ver la factibilidad de invertir en ella(inversionistas); determinar la seguridad y rendimiento de la inversiónen los financiamientos otorgados a ella (proveedores y acreedores); estu­diar su situación financiera y la posibilidad de otorgar créditos (bancos)y llevar estadísticas de entidades de una actividad (otros organismos).

Por su parte los usuarios internos, la utilizan para: observar el rendi­miento o utilidad que se va alcanzando; vigilar los costos y egresos quese han obtenido; evaluar las entidades para saber si estas, son adecuadas,razonables y suficientes; vigilar que su inversión esté garantizada (pro­pietarios); efectuar estudios y desarrollar acciones que incrementen losi:1gresos; disminuir los costos y gastos de la entidad; evaluar la posibili­dad de obtener créditos externos; llevar el control financiero de la entidad;para efectos estadísticos [directivos); calcular y revisar su participaciónde utilidades y para lograr mejores prestaciones sociales (trabajadores).

La información financiera por ser básica para la toma de decisionesde los propietarios y directivos de las entidades contables y demás usua­rios debe cumplir con determinadas características:

94 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfueg05 Salgado

1. Debe ser clara y congruente para poder ser asimilada de manera fá­cil y ágil por los usuarios;

2. Ser comparable, objetiva, verificable y neutral, respecto de los da­tos o elementos que mide o informa;

3. Ser oportuna en las épocas que se requiera, y,4. Ser relevante, especificar los elementos informativos que trata de

comunicar.La información financiera comprende aspectos tales como:al Conocimiento de los recursos, deudas, patrimonio, gastos y pro­

ductos de una entidad contable y sus respectivos importes en fechas operíodos determinados;

bl Precio del dinera (costo de usarlo, el pago de intereses);cl Conocimiento de las características y valor de los diversos instru­

mentos de inversión, como: acciones, Cetes, Petrobonos, obligaciones, et­cétera;

dl Noticias de sucesos económicos nacionales y mundiales que afec­tan, o pueden llegar a hacerlo, la obtención y/o aplicación de los recursos(dinero principalmente).

IMPORTANCIA DE LA CONTABILIDAD

La importancia de la contabilidad está referida princípalmente a lossiguientes aspectos:

al el empresario invierte valor en el negocio y necesita comprobarque su movimiento esté justificado, y las existencias en todo tiempo seanlas debidas, tanto más cuanto que estos valores son manejados por susempleados. En este sentido la contabilidad permite el establecimiento deun control riguroso sobre cada uno de los recursos y obligaciones del ne­gocio, así como el registro de todas las operaciones efectuadas duranteun determinado período;

bl en la inversión se utilizan recursos propios y ajenos, por lo tanto'se requiere conocer los pormenores de estos compromisos para cumplir­los debidamente, y,

cl los impuestos están basados en la inversión de capitales, productosde los mismos u otras operaciones de comercio. Por lo tanto, se requierellevar una contabilidad que sirva como fuente de datos y prueba, en elcumplimiento de las obligaciones fiscales. En este último aspecto, la con­tabilidad sirve como comprobante y fuente de información, ante terceraspersonas, de todos aquellos actos de carácter jurídico en que la contabili­dad puede tener fuerza probatoria conforme a lo establecido por la ley.

En síntesis, como señala Márquez Licona, la contabilidad es impor­tante porque sirve al empresario: para controlar el movimiento de sus va­lores; conocer el resultado de sus operaciones; su posición con respecto a

Unidad 2 • La información financiera 95

los acreedores, y servir en todo tiempo de medio de prueba de su actua­ción comercial.

ASPECTOS GENERALES

Iniciaremos una breve exposición de la contabilidad refiriéndonos asus elementos primordiales: capital, activo y pasivo.

El término capital, tiene diversos significados, según el punto de vista:

A) En Economía se considera el capital como uno de los factores de laproducción que son los siguientes: Tierra, o sea todos los recursos natu­rales que se convierten en valores de uso o satisfactores de las necesida­des humanas; Trabajo, o sea el esfuerzo humano para convertir los recur­sos naturales en satisfactores; Capital, constituido por el conjunto deelementos que en ayuda del trabajo convierten en valores de uso los re­cursos naturales, como por ejemplo, dentro del factor capital debe consi­derarse principalmente el dinero, así como la maquinaria, etc.; Organiza­ción, o sea la técnica en que se basan las actividades del empresario paracoordinar los tres elementos citados anteriormente, con fines de produc­ción. Cada uno de los propietarios de estos elementos obtienen comorendimiento de su empleo: por la tierra o recursos naturales, el precio deventa o arrendamiento; por el trabajo, remuneración en forma de salario;por el capital, cobro de intereses y por la organización, la percepción deutilidades. Lara Flores lo llama capital económico y está representadopor el conjunto de bienes necesarios para producir riqueza.

B) En Fínanzas, capital es tada inversión que se hace con fines lucra­tivos, bien sea para la producción de bienes o servicios, compraventa deellos, o simplemente prestando dinero para percibir intereses. Lara Floreslo denomina capital financiero y es el dinero que se invierte para queproduzca una renta o un interés.

C] En Contabílídad, capital es el conjunto de bienes invertidos por elempresario en el negocio, que viene a ser la diferencia entre su Activo ysu Pasivo. Está integrado por las aportaciones de los socios que constitu­yen el capital social, por las reservas de capital o superávit y por las utili­dades obtenidas que no se han aplicado. Lara Flores lo llama capital con­table y menciona que es la diferencia aritmética entre el valor de todaslas propiedades de la empresa y el total de sus deudas. También es deno­minado capital liquido, capital propio, capital neto O patrimonio. Por suparte Garda Rodríguez señala que el capital de una empresa se puedeconsiderar como una forma de pasivo, pues aunque es el capital social dela empresa, son dos personalidades distintas, la de los socios o accionis­tas y la de la empresa misma y llegado el momento de una liquidación setendrá que cubrir lo adeudado; tanto a los acreedores, proveedores, etcé­tera, como a los accionistas.

96 Matem6licas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

El capital, en tanto diferencia entre el activo y el pasivo, puede serrepresentado de la forma siguiente:

ActivoPasivoCapital

$ 3,000.00$ 2,350.00$ 650,00

Por otra parte Lara Flores señala que existe también la clasificaciónde capital contable positivo y capital contable negativo. El capital conta­ble es positivo cuando el valor del activo es mayor que el monto del pasi­vo, ejemplo:

ActivoPasivoCapital contable positivo

$ 500,00$ 200.00$ 300,00

El capital contable es negativo cuando el valor del activo es menorque el monto del pasivo, ejemplo:

Activo $ 500.00Pasivo $ 900,00Capital contable negativo $ 400,00

Activo y pasivo. Para establecer un negocio se requiere invertir y po­ner en movimiento un conjunto de valores de diferente clase, tales comoefectivo. mercancías, maquinaria, etc. También con motivo de ese movi­miento, pueden existir adeudos a favor del empresario, constituyendo suconjunto el monto de su activo. Por tanto activo es todo aquello que po­see en propiedad el empresario o le deben. El activo es el término conta­ble con el cual se designan los valores que posee una persona, aSOciacióno empresa. Normalmente en los negocios tales activos están en forma deterrenos, plantas, inventario de equipo, gastos pagados con anticipación,efectivo, cuentas por cobrar. etcétera. Excepcionalmente, las empresastambién listan conceptos tales como investigación y desarrollo o dere­chos de llave como Activo, ya que si la propiedad de tales bienes intangi­bles fuera transferida a otra persona, esperaria tener que pagar un preciopor ellos. Esta figura representa todos los bienes materiales, créditos yderechos que son propiedad de la persona, sociedad, corporación, asocia­ción o de una empresa cualquiera

Cuando el capital es insuficiente para el negocio, el empresario tomadinero en préstamo e incurre en deudas a favor de otras personas, deigual manera que si hace compras a crédito, esto constituye su pasivo.Por lo tanto Pasivo es todo aquello que el empresario debe.

Marquez Licona señala que de lo anterior se deben desprender:

A) Que el activo debe responder al pasivo, quedando libre la diferen­cia o sea lo que constituye el capital de la empresa.

Unidad 2 • La. información financiero 97

Bl El activo es la consecuencia de la inversión de capital ajeno (pasi­vo) y del capital propio.

el Al activo por esta causa se le llama también Capital en giro, O seanlos recursos totales de la empresa puestos en movimiento.

Examinando los tres conceptos expuestos se ve que existe un equili­brio entre ello, o "balance", pues el activo es igual al pasivo más el capi­tal. Esta igualdad puede representarse por la fórmula algebraica:

A=P+C

de esta fórmula se derivan otras dos que son:

A-P=C y A-C=P

CLASIFICACIÓN DEL ACTIVO

No todos los valores del activo son de la misma naturaleza ni su in- .versión tiene los mismos fines. En términos generales, el activo puedeclasificarse en tres grandes grupos: Activo circulante, Activo fijo y Cargosdiferidos (llamado por algunos autores Activo diferido).

El activo circulante está formado por los valores en cuya rotación sebasan las actividades del empresario, originando resultados positivos onegativos. Entre ellos se cuentan principalmente el efectivo y las mercan­cías, debiendo tambíén contarse las deudas a su favor, porque son conse­cuencia de las transacciones. Son los bienes y derechos, propiedad de laempresa, que están en movimiento constante y son de fácil realización,venta o conversión en dinero en efectivo.

El activo fijo está formado por los bienes que no se emplean en lastransacciones, porque se necesitan como base fundamental para la exis­tencia del negocio, tales bienes pueden ser edificios, mobiliario y equi­po, maquinaria (si se es fabricante), etc. Podemos definir al activo fijocomo los bienes y derechos que tienen cierta permanencia o fijeza, ad­quiridos con el propósito de usarlos en la producción de mercancías yen la prestación de servicios, y no de venderlos. Pueden ser de consu­mo, de trabajo, de inversiones permanentes legales y de carácter econó­mico.

Los cargos diferidos (llamados también Activo diferido) son aquellaserogaciones que en el transcurso del tiempo se convierten en gastos, peroque por el momento tienen un verdadero valor, que en caso de venta delnegocio puede recuperarse. Se cita como ejemplo los gastos de instala­ción del negocio, que a veces pueden ser cuantiosos y que con el trans­curso del tiempo se amortizan; y los pagos anticipados, como por ejem­plo la renta del inmueble, que se paga por adelantado cubriendo un

98 Motcm6ticas aplicados al Derecho· David Cienfuegos Salgado

período de varios años que se irá amortizando también a medida quevaya transcurriendo el período de su vigencia. Constituyen una parte delos gastos, se les conoce comúnmente como cargos diferidos o gastos dife­ridos, y son gastos cubiertos por anticipado, por los que se espera recibirun servicio aprovecbable posteriormente.

CLASIFICACIÓN DEL PASIVO

En la misma forma que el activo, no todos los valores del pasivo sonde la misma naturaleza, y cabe distinguir los siguientes tres grupos gene­rales: Pasivo circulante, Pasivo fijo y créditos diferidos (llamados tam­bién Pasivo diferido).

El Pasivo circulante son todas aquellas deudas del empresario queprovienen de compras o préstamos que deben reembolsarse a corto plazo,comúnmente dentro de un año como límite. Son débitos de financia­miento o préstamos obtenidos a corto plazo por la adquisición de mer­cancías. materias primas, servicios, etcétera.

En el Pasivo fijo agrupamos todas aquellas deudas que se contraenpara hacer inversiones en el negocio con el fin de fortalecerlo, y que tie­ne vencimiento a plazo mayores de un año. Son las deudas y obligacio­nes cuyo vencimiento es mayor a un año (a partir de la fecha del Balan­ce). Se constituyen por préstamos recibidos a largo plazo, por lo que sondeudas financieras o débitos de financiamiento. Tiene como característi­ca que estos préstamos a largo plazo o débitos de financiamiento se reci­ben casi siempre en dinero.

Los créditos diferidos (también denominados pasivo diferido), sonlos productos cobrados por anticipado. Paralelamente a los cargos diferi­dos existen los créditos diferidos, pues si a su vez la empresa cubre el al­quiler de un edificio, adelanlado por varios años, hasta que no transcu­rran éslos, y se mantenga el contra lo de arrendamiento, el cobro nopodrá considerarse como producto, debiendo ser mientras tanto un pasi­vo o responsabilidad que se difiere. Son cantidades cobradas anticipada­mente por las que se tiene la obligación de proporcionar un servicio yque son convertibles en utilidad conforme pasa el tiempo. Incluyen engeneral toda clase de ganancias cobradas y que deban afectar los resulta­dos de ejercicios futuros y no solamente los del período en que se perci­bieron. Otro ejemplo de créditos diferidos es el cobro de suscripcionesque hace una empresa periodística, por un semestre. Este cobro es uncrédito diferido, y a medida que se vaya cumpliendo con la entrega delperiódico podrá considerarse como producto. Por tal causa la noción decréditos diferidos indica la idea de cobro de productos por adelantado,antes de prestar el servicio, prestado el cual se convierten en producto,así como los cargos diferidos se convierten en gastos.

Activo circulante

Unidad 2 • La infonnaci6n financiera

ACTIVOActivo y derechos de la persona o empresa

CajaBancosClientesMercancíaDocumentos por cobrarDeudores diversos

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ACTIVO Activo fijo

Cargos diferidos

TerrenosEdificiosMobiliario y equipo de oficinaEquipo de cómputo electrónicoEquipo de reparto o de entregaDepósitos en garantíaAcciones y valores

Gastos de instalaciónPapelería y útilesPropaganda o publicidadPrimas de segurosRentas pagadas por anticipadoIntereses pagados por anticipados

PASIVODeudas y obligaciones a cargo de la persona o empresa

Rentas pagadas por anticipadoIntereses cobrados por anticipado

Hipotecas por pagar o acreedoreshípotecaríos

Documentos por pagar (a largo plazo)

PASIVO

Activo circulanteoflotante

Activo fijooconsolidado

Créditos diferidos

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ProveedoresDocumentos por pagarAcreedores diversos

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100 Matem6ticos aplicadas al Derecho· David Cien fuegos Salgado

PRINCIPALES CUENTAS DEL ACTIVO

CAJA. Representa el dinero en efectivo, o sea, billetes de banco, monedas,cheques y pagarés de tarjetas de crédito (vauchers) recibidos, girosbancarios, postales y telegráficos, etcétera.

BANCOS. Por bancos se entiende el valor de los depósitos a favor del ne­gocio, hechos en instituciones bancarias.

MERCANCÍAS. Todo aquello que es objeto de compra o venta.

CLIENTES. Son las personas que deben al negocio por haberles vendidoInercancías a crédito, y a quienes no se exige especial garantía docu­menta!.

DOCUMENTOS POR COBRAR. Se entiende por documentos por cobrar a lostítulos de crédito a favor del negocio, tales como letras de cambio,pagarés, etcétera.

DEUDORES DIVERSOS. Son las personas que deben al negocio por un con­cepto distinto al de ventas de mercancias.

TERRENOS. Son los predios que pertenecen al comerciante o entidad con­table.

EDIFICIOS. Son las casas propiedad de la empresa o comerciante.

MOBILIARIO y EQUIPO. Se considera mobiliario y equipo a los escritorios,las sillas, las mesas, los libreros, los mostradores, las básculas, las vi­trinas, las máquinas de oficina, etcétera.

EQUIPO DE CÓMPUTO ELECTRÓNICO. Son las unidades centrales de proceso(CPU), monitores, teclados, impresoras, drives, scanners, ploters, en­tre otros.

EQUIPO DE ENTREGA O DE REPARTO. Se entiende por equipo de entrega O dereparto, todos los vehículos de transporte tales como camiones, ca­mionetas, motocicletas, bicicletas, etc., que se usan en el reparto delas mercancías.

DEPÓSITOS EN GARANTÍA. La cuenta de depósitos en garantía está consti­tuida por los contratos mediante los cuales se amparan las cantida­des que se dejan en guarda para garantizar valores o servicios queel negocio va a disfrutar; por ejemplo, el depósito que exige laCompañía de Luz para proporcionar energía eléctrica; el depósitoque se deja como garantía para el arrendamiento de un edificio, et­cétera.

Unidad 2 • La información financiera 101

GASTOS DE INSTALACIÓN. Son todos los gastos que se hacen para acondi­cionar el local a las necesidades del negocio, asi como para darle almismo cierta comodidad y presentación.

PAPELERÍA y ÚTILES. Constituyen la cuenta de papelería y útiles los mate­riales y útiles que se emplean en la empresa, los principales son elpapel tamaño carta u oficio, papel carbón, los sobres, bloques de re­misiones, talonarios de facturas o recibos, libros, registros, las tarje­tas, los lápices, los borradores, las tintas, los secantes, etcétera.

PROPAGANDA O PUBLIGIDAD. Por propaganda o publicidad se entienden losmedios por los cuales se da a conocer al público determinada activi­dad, servicio o producto que el negocio proporciona, produce o ven­de. Los medios más conocidos son los 'folletos, prospectos, volantes,anuncios en diarios, en revistas, en estaciones radiodifusoras y otrosvehículos de divulgaCión.

PRIMAS DE SEGUROS. Por primas de seguro se entienden los pagos quehace la empresa a las compañias aseguradoras, por los cuales se ad­quiere el derecho de asegurar los bienes de su negocio contra incen­dios, riesgos y accidentes, robos, etcétera.

RENTAS PAGADAS POR ANTICIPADO. Son el importe de una o varias rentasmensuales, semestrales o anuales; correspondientes al local que ocu­pa el negocio, que aun no estando vencidas se pagaron anticipada­mente. Estos pagos anticipados se hacen por estipularlo así el contra­to de arrendamiento o porque asi le conviene a los intereses delcomerciante.

INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO. Son los intereses que se pagan antesde la fecha de vencimiento del crédito. Este caso se presenta en aque­llos préstamos en los cuales los intereses se descuentan de la canti­dad originalmente recibida; por ejemplo, se recibe en calidad depréstamo la cantidad de $20,000.00, de la cual se descuentan$6,600.00, por intereses correspondientes a tres semestres, que es elplazo del crédito; como se observa, dichos intereses equivalen a unpago anticipado.

PRINCIPALES CUENTAS DEL PASIVO

PROVEEDORES. Son las personas o casas comerciales a quienes debemospor haberles comprado mercancias a crédito, sin darles ninguna ga­rantía documenta!.

DOCUMENTOS POR PAGAR. Se entiende por documentos por pagar los tí tu-

102 Matcm6ticas aplicados al Derecho· David Cienfuegos Salgado

los de crédito a cargo del negocio, tales como letras de cambio, paga­rés, etcétera.

ACREEDORES DIVERSOS. Son las personas a quienes debemos por un con­cepto distinto al de compra de mercancías.

ACREEDORES HIPOTECARIOS O HIPOTECAS POR PAGAR. Son las obligacionesque tienen como garantía la escritura de bienes inmuebles. Se entien­de por inmuebles, los terrenos y edificios que son bienes permanen­tes, duraderos y no consumibles rápidamente.

INTERESES COBRADOS POR ANTICIPADO. Son los intereses que aún no estánvencidos y que se ban cobrado anticipadamente.

RENTAS COBRADAS POR ANTICIPADO. Son el importe de una o varias rentasmensuales, semestrales o anuales, que aún no estando vencidas sehayan cobrado anticipadamente.

ESTAS CUENTAS PUEDEN RECIBIR OTROS NOMBRES. Y NO SON LAS ÚNICAS: di­versos autores manejan algunas más, dependiendo del tipo de empre­sa de la que se lleva la contabilidad. Por ejemplo: IVA trasladado;Ingresos por obra; Depreciación acumulada; equipo de cómputo;Impuestos a favor; Reserva legal; Devolución y rebajas sobre ventas;Inventario; Gastos financieros; IVA acreditable; Funcionarios y em­pleados; Gastos de administración; etcétera.

2.2. ESTADOS FINANCIEROS

Por cuanto hace a los estados financieros, estos son los documentoscontables que muestran la situación financiera de la empresa en una fe­cha determinada; o bien los movimientos efectuados en un período; entrelos más importantes tenemos el Balance General, el Balance GeneralComparativo, el Estado de Resultados (de pérdidas o ganancias); el Esta­do de Cambios en la Situación Financiera; el Estado de Modificacionesen el Capital Contable; el Estado de Origen y Aplicación de Recursos y elEstado de Aplicación de Fondos.

El Balance General es el documento que muestra la situaciónfinanciera de un negocio en determinada fecha mediante laexposición de su Activo, Pasivo y Capital.

En términos generales representa un resumen claro y sencillo de lasituación financiera de la empresa en una fecha determinada. Su elabora­ción puede ser mensual, semestral ° anual; y rimestra todos los bienes y

Unidad 2 • La información financiera 103

derechos propiedad de la empresa, asi como todas sus deudas y por últi­. mo el patrimonio.'

Existen dos formas de presentación del balance que corresponden ados fórmulas:

A=P+CA - P = C

donde:

A representa el activo,P el pasivo, yC el capital.

La forma de presentación del balance que corresponde a la fórmulaA=P+C se denomina f6rmula de cuenta.

La que corresponde a la fórmula A-P=C, se conoce como forma dereporte.

El Balance General Comparativo es el estado financiero en el quese comparan diferentes elementos que lo integran en relacióncon uno o más p_er.iodos.

El objetivo de este documento contable es el de demostrar los cam­bios en la posición financiera de una empresa en relación con los perío­dos comparados, y facilitar el estudio de tales cambios.

El Estado de Resultados es el documento en el cual se trata dedeterminar el monto por el cual los ingresos contables superan alos gastos contables.

Al remanente de restar al activo el pasivo se le llama resultado, elcual puede ser positivo o negativo. Si es positivo se le llama utilidad, ysi es negativo se le denomina Pérdida.

El formato del Estado de Resultados se compone de:

1. Encabezado del estado.2. Sección de ingresos.3. Sección de gastos.4. Saldo de utilidad neta o de pérdida neta.

En ocasiones se originan partidas de ingresos y de gastos que no co­rresponden al giro normal de la empresa, con lo cual algunas ganancias o

1 Tomado de La contabjJjelad en 10 empresa, México: Nacional Financiera, S.A.

104 A1utem6licas aplicadas al Derecho • Da\'id Cienfuegos Salgado

pérdidas son tan poco usuales que es necesario mostrar en el Estado deResultados cuál hubiera sido la utilidad neta del ejercicio de no habersepresentado dichas partidas. A estas partidas se les denomina partidas ex­traordinarias y es necesario distinguirlas de las partidas normales y delas de "otros ingresos y gastos".'

El Estado de Cambios en la Situación Financiera es el estado quepresenta en forma condensada y comprensible la informaciónsobre el manejo de recursos financieros de las empresas.

o,', _,.. _

Su nombre en inglés es statement of changes in financia] position. Bá­sicamente informa sobre la obtención y disposición de recursos financie­ros en un período deternlinado, de esta manera se analizan los cambioshabidos en la situación financiera de las entidades cantables.'

El Estado de Origen y Aplicación de Recursos es el estado quemuestra el origen de los recursos, constituido por disminucionesal activo, anmentos al pasiva y aumentos al capital (ingresos oproductos). También muestra la aplicación dada a los recursosobtenidos, o sea si estos se han empleado en aumentos al activo,disminuciones al pasivo y disminuciones al capital (egresos ygastos).

El principal objetivo es mostrar, en un determinado período, cuál hasido el origen de las recursos con que ha contado la empresa y qué apli­cación se les ha dado, lo que la hace esencialmente dinámico.'

El Estado de Aplicación de Fondos es el documento que nosmuestra los recursos pecuniarios obtenidos por una empresa du­rante cierto período, y la aplicación dada a los mismos.

Su nombre en inglés es statement af funds received and applied.Entre los recursos obtenidos se incluyen: las utilidades netas aumentadasde las depreciaciones y de las amortizaciones que no representan eroga­ciones en efectivo; los aumentos de pasivo y las erogaciones en efectiva;las aumentos de pasivo y las disminuciones de renglones en el activo. Enlas inversiones de los recursos se incluyen: los pagos o disminuciones de

2 Idern.3 Barandiarán, Rafael. Diccionario de términos financieros, México: Trillas, 1993, p. 69.4 Ibídem, p. 70.

Unidad 2 • La información financiera 105

pasivo, los aumentos de activo y las disminuciones del superávit. Los au­mentos o disminuciones que se mencionan, se presentan por el importeneto del movimiento respectivo de acuerdo con los datos que muestre elbalance general comparativo que se haya formulado para el objeto. Sedebe tener presente que el Estado de Aplicación de Fondos no es un do­cumento contable que muestra el movimiento de caja, sino únicamentela totalidad de los recursos netos obtenidos por la empresa y su corres­pondiente inversión.'

., ... _- -Recomendaciones a observar en la elaboración de estados fi·nancieros6

1. Los estados financieros que se elaboren deben de reflejar sólola situación de la empresa; no deben incluir información rela­tiva a la situación particular de los socios, ni tampoco consi·derar información de otras empresas en la que los socios tam­bién tengan participación.

2. La información que sirva de base para elaborar los estados fi·nancieros debe comprender sólo la que se haya generado enel periodo de interés (mes, trimestre, semeslre o año).

3. Las adquisiciones de activo (materia prima, maquinaria, etcé­tera) deben registrarse con el costo de adquisición.

4. Por ningún molivo debe considerar eventos que hayan ocurri­do en períodos dislintos, o comprender información relaliva aperiodos mayores de un año.

5. Deben registrarse las operaciones en el momento en que serealicen. No debe posponerse su registro para una fecha pos·terior, porque podria omílirse y por tanto la información fi·nanciera que obtenga no será válida.

La cuenta es el medio que se usa para el registro ordenado y clasifi­cado de las operaciones de una empresa o entidad contable. Es el docu­mento, en forma de "T", en el cual se escribe la historia de las operacio­nes de una empresa en términos monetarios y de acuerdo a cada uno delos elementos que integran el activo, pasivo y capital.

Del lado izquierdo (debe) se anotan los cargos o débitos y del derecho(baber) los abonos. La suma de cargos o débitos es el movimiento deudor.La suma de los abonos constituyen el movimiento acreedor. Si el movi­miento deudor es mayor que el movimiento acreedor, se dice que el sal­do es deudor. Si el movimiento acreedor es mayor que el deudor, se

5 Ibídem, p. 69.6 Tomado de La contabilidad en la empresa, op. dI.

106 Matemólicas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

habla de un saldo acreedor. Cuando los movimientos de las cuentas su­man igual se dice que la cuenta está saldada.

La entidad contable, es una unidad contable, es decir un conjuntode recursos materiales y humanos para la consecución de fines determi­nados.

La empresa, desde el punto de vista económico, es una unidad eco­nómica, constituida por un conjunto de elementos materiales y humanospara la consecución de determinados fines. Desde un punto de vista jurí­dico, la empresa es una unidad jurídica de destino, de un conjunto de co­sas económicamente coordinadas. Desde el punto de vista contable, esun negocio en funciones.

Asimismo, tenemos que distinguir entre empresas públicas y empre­sas privadas. La empresa privada es aquella entidad cuyo fin esencial esobtener ganancias y utilidades, por tanto, su fin principal es el lucro ca·mercial; pueden ser nacionales o extranjeras. Empresas públicas sonaquellas entidades en las que existe una participación mayoritaria o mi­noritaria del Estado; y que puede o no estar sujeta a control presupuesta!.Esta empresa pública puede o no tener un fin lucrativo.

Existen también las empresas controladas (holdings) y las empresassociales. Estas últimas son aquellas entidades cuya finalidad no es nece­sariamente pública ni busca un fin lucrativo, sino más bien de tipo so­cial; éstas pueden ser nacionales de asistencia social o internacionales(por ejemplo, la ONU).

EL CONTADOR

Respecto del contador, y remitiéndonos a Lara Flores, se debe men­cionar que toda empresa o entidad contable requiere para su buen fun­cionamiento de los servicios del contador, por ser éste la persona capazde estructurar el sistema de procesamiento de operaciones más adecuadoque proporcione la información financiera confiable para tomar a tiempolas decisiones más acertadas. El mismo autor define al contador como elprofesional que proporciona las técnicas más apropiadas para la mejoradministración de la empresa. Los servicios que presta para aportar di­chas técnicas, son:

1. Implantar el sistema contable más conveniente para la empresa,2. Establecer el procedimiento óptimo de registro de operaciones

efectuadas por la empresa (manual, mecánico o electrónico).3. Verificar la exactitud de las operaciones registradas en libros y re­

gistro a auxiliares.4. Vigilar el cabal cumplimiento de las obligaciones fiscales.5. Elaborar, analizar e interpretar los estados financieros.

Unidad 2 .. La información financiera 107

6. Proporcionar a la dirección información contable confiable y opor- .tuna para la toma de decisiones en el curso diario.

2.3. CONSECUENCIA JURÍDICA DE LA CONTABILIDAD

DERECHO CONTABLE

Gertz Manero señala que debe entenderse por Derecho Contable alorden normativo que se ocupa de la técnica contable, con objeto que elinforme financiero que ésta brinda, lo auxilie en el logro de sus fines.

Para el autor en comento tal conjunto de normas legales que regulanla técnica contable constituyen una rama propia y particular del derecho,en virtud de la unidad que da un tema común: la técnica contable, sobreel cual no sólo existe legislación vigente sino interpretaciones judiciales,una amplia y enjundiosa doctrina, así como docencia que se ocupa deltema, por lo que se puede hablar ya de una rama autónoma, del troncoorígínal del derecho privado el mercantil, en el ámbito del derecho públi­co del administrativo y particularmente autónomo del derecho fiscal. Porlo anterior se puede hablar con propiedad de un derecho contable, o seade un orden normativo institucional que se ocupa de la técnica contable.

El mismo autor señala que la contabilidad como técnica informativafinanciera, ha sido un medio de prueba idóneo en el campo del derechodesde sus orígenes; en el mundo antiguo el derecho se valió del informecontable como medio probatorio en los contratos de crédito; al surgir elderecho mercantil, en las postrimerías de la Edad Media en las repúbli­cas italianas, el derecho se ocupó en forma especial de la contabilidad,no sólo regulando la probanza, sino elevando al rango de normatividadjurídica la llevanza, actitud que se conserva hasta nuestros días. Asimis­mo, desde fines del siglo pasado, en el campo del derecho público, con­cretamente en el derecho tributario, la técnica contable se ha convertidoen el instrumento más socorrido para precisar los créditos fiscales y lasatisfacción de los mismos en benefiCio del erario; otras ramas del dere­cho (penal, laboral, civil, etcétera) se han auxiliado de la técnica contableen el logro de sus objetivos a través de legislación expresa sobre la técni­ca contable.

OBLIGACIÓN DE LLEVAR CONTABILIDAD

Son diversos los ordenamientos, leyes y reglamentos que señalan, ennuestro país, la obligación de llevar contabilidad. Ejemplo de estos son elCódigo de Comercio, la Ley del Impuesto sobre la Renta, el Código Fiscalde la Federación y su reglamento, Ley del Impuesto al Valor Agregado ysu reglamento, etcétera.

lOB Malvmólir;as aplicadas al Dorecho • David Cienfuegos Salgado

El Código de Comercio obliga al contribuyente a llevar contabilidad,y sus artículos 33 al 38 establecen:

Artículo 33.-EI comerciante está obligado a Hevar y mantener un siste·roa de contabilidad adecuado. Este sistema podrá llevarse mediante los ins­trumentos, recursos y sistemas de registro y procesamiento que mejor se aco­moden a las características del negocio, pero en lodo caso deberá satisfacerlos siguientes requisitos mínimos:

a} permitirá identificar las operaciones individuales y sus características,así como conectar dichas operaciones individuales con los documentos com­probatorios originales de las mismas;

b) permitirá seguir la huella desde las operaciones individuales a las acu­mulaciones que den como resultado las cifras finales de las cuentas y vice­versa;

e) permitirá la preparación de los estados que se incluyan en la informa­ción financiera del negocio;

d) permitirá conectar y seguir la huella entre las cifras de dichos estados,las acumulaciones de las cuentas y las operaciones individuales;

e) incluirá los sistemas de control y verificación internos necesarios paraimpedir la omisión del registro de operaciones, para asegurar la correccióndel registro contable y para asegurar la corrección de las cifras restantes.

Artículo 34.-Cualquiera que sea el sistema de registro que se emplee, sedeberán llevar debidamente encuadernados, empastados y foliados el libromayor y, en el caso de las personas morales, el libro o los libros de actas. Laencuadernación de estos libros podrá hacerse a posteriori, dentro de los tresmeses siguientes al cierre del ejercicio; sin perjuicio de los requisitos espe­ciales que establezcan las leyes y reglamentos fiscales para los registros y do­cumentos que tengan relación con las obligaciones fiscales del comerciante.

Artículo 35.-En el libro mayor se deberán anotar, como mínimo y por lomenos una vez al mes, los nombres o designaciones de las cuentas de la con­tabilidad, su saldo al final del periodo de registro inmediato anterior, el totalde movimientos de cargo o crédito a cada cuenta en el período y su saldo fi·na!. Podrán llevarse mayores particulares por oficinas, segmentos de activi­dad o cualquier otra clasificación, pero en todos los casos deberá existir unmayor general en que se concentren todas las operaciones de la entidad.

Artículo 36.-En el libro o los libros de actas se harán constar todos losacuerdos relativos a la marcha del negocio que tomen las asambleas o juntasde socios, y en su caso, los consejos de administración.

Artículo 37.-Todos los registros a que se refiere este capítul07 deberánllevarse en castellano, aunque el comerciante sea extranjero. En caso de nocumplirse este requisito el comerciante incurrirá en una multa no menor de25,000.00 pesos, que no excederá del cinco por ciento de su capital y las au­toridades correspondientes podrán ordenar que se haga la traducción al cas-

7 Se refiere al Capítulo m, denominado De la contabilidad Mercantil del Código de Co­mercio.

Unidad 2 • La información financiera 109

tellano por medio de perito traductor debidamente reconocido siendo porcuenta del comerciante todos los costos originados por dicha traducción.

Artículo 38.-El comerciante deberá conservar debidamente archivados,los comprobantes originales de sus operaciones, de tal manera que puedanrelacionarse con dichas operaciones y con el registro que de ellas se haga ydeberá conservarlos por un plazo mínimo de diez años.

Asimismo la Ley del Impuesto sobre la Renta, en su artículo 58, al es­tablecer las obligaciones de los contribuyentes personas morales, seüala:

Artículo 58.-Los contribuyentes que obtengan ingresos de los señaladosen este Título, además de las obligaciones establecidas en otros artículos deesta Ley, tendrán las siguientes:

I. Llevar la contabilidad de conformidad con el Código Fiscal de la Fede­ración, su Reglamento y el Reglamento de esla Ley y efectuar los registros enla misma. Cuando se realicen operaciones en moneda extranjera, deberán re­gistrarse al tipo de cambio aplicable en la fecha en que se concierten.

n. Expedir comprobantes por las actividades que realicen y conservar unacopia de los mismos a disposición de la Secretaría de Hacienda y Crédito PÚ­blico.

El Código Fiscal de la Federación, en el título 11, que seüala los dere­chos y obligaciones de los contribuyentes, establece:

Artículo 28.-Las personas que de acuerdo con las disposiciones fiscalesestén obligadas a llevar contabilidad deberán observar las siguientes reglas:

1. Llevarán los sistemas y registros contables que señale el reglamento deeste Código, los que deberán reunir los requisitos que establezca dicho regla­mento.

II. Los asientos en la contabilidad serán analíticos y deberán efectuarsedentro de los dos meses siguientes a la fecha en que se realicen las activida­des respectivas.

III. Llevarán la contabilidad en su domicilio. Dicha contabilidad podrállevarse en lugar distinto cuando se cumplan los requisitos que señale el re­glamento de este Código.

El Reglamento del Código Fiscal de la Federación seüala, en su nu­meral 26, los requisitos a que alude la fracción 1 del artículo 28 del pro­pio Código:

Artículo 26.-Los sistemas y registros contables a que se refiere la frac­ción 1del artículo 28 del Código deberán llevarse por los contribuyentes me­diante los instrumentos, recursos y sistemas de registro y procesamiento quemejor convenga a las características particulares de su actividad, pero entodo caso deberán satisfacer corno mínimo los siguientes requisitos:

1. Identificar cada operación, acto o actividad y sus características, rela­cionándolas con la documentación comprobatoria, de tal forma que aquéllospuedan identificarse con las distintas contribuciones y tasas, incluyendo lasactividades liberadas de pago por la ley.

110 Matem6liC05 aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

11. Identificar las inversiones realizadas relacionándolas con la documen­tación comprobatoria, de tal forma que pueda precisarse la fecha de adquisi­ción del bien o de efectuada la inversión, su descripción, el monto originalde la inversión y el importe de la deducción anual.

lB. Relacionar cada operación, acto o actividad con los saldos que dencomo resultado las cifras finales de las cuentas.

IV. Formular los estados de posición financiera.V. Relacionar los estados de posición financiera con las cuentas de cada

operación.VI. Asegurar el registro total de operaciones, actos o actividades y garanti­

zar que se asienten correctamente, mediante los sistemas de control y verifi­cación internos necesarios.

VII. Identificar las contribuciones que se deben cancelar o devolver, envirtud de devoluciones que se reciban y descuentos o bonificaciones que seotorguen conforme a las disposiciones fiscales.

VIII. Comprobar el cumplimiento de los requisitos relativos al otorga­miento de los estímulos fiscales.

Lo dispuesto en este artículo es sin perjuicio de que los contribuyenteslleven además los registros a que les obliguen las disposiciones fiscales yutilicen, en su caso, las maquinas registradoras de comprobación fiscal a quehace mención el último párrafo del arlículo 28 del Código.

Están íntimamente ligados a la obligación de llevar contabilidadlos artículos 24-IV, 88-11, 94-11, 112-11, 115 B-II, 119 G Y 134-V de la Leydel Impuesto sobre la Renta; el artículo 16 del Reglamento de la Ley delImpuesto sobre la Renta; los artículos 75, 77, 83, 84 Y 111 del Código Fis­cal de la Federación; los artículos 26 al 35 del Reglamento del CódigoFiscal de la Federación; el artículo 32 de la Ley del Impuesto al ValorAgregado y el articulo 42 del Reglamento de la Ley del Impuesto al Va-·lar Agregado.

LA CONTABILIDAD COMO MEDIO DE PRUEBA

Gertz Manero en su Derecho contable mexicana" realiza un excelenteestudio acerca de la contabilidad como medio de prueba, por ello reco­mendamos que la lectura de este tema se realice en tal obra. Aquí nosconcretaremos a mencionar lo que el autor señala como los principiosprobatorios de derecho sustantivo de la contabilidad:

1. Reconocer a la contabilidad como medio de prueba.2. Que la contabilidad como medio de prueba sólo se refiere a comer­

ciantes y por actos de comercio.3. Que los libros de comercio prueban en contra de quién los lleva,

8 Gertz Manero, Federico, Derecho contable mexicano, México: Porrúa, 1993, vid. Capí­tulo V, pp. 203-209.

Unidad 2 ~ La información financiera 111

principio que a su vez es correlativo del que afirma que los libros pue­den, eventualmente, probar a favor de quién los lleva.

4. Reconocer que en el examen de los libros de contabilidad se re­quiere una serie de características singulares, entre otras una instituciónjudicial.

5. Que cuando el informe contable que es ofrecido como prueba -apesar que los registros de ambas partes son llevados conforme a dere­cho- muestre contradicción, se tendrá que prescindir de este medio deprueba.

Por cuanto hace a los principios probatorios de derecho adjetivo, elmismo autor señala que una vez aceptada y ordenada la mostración porel juez de la causa, la que se hará de acuerdo a lo que indican las institu­ciones de exhibición y comunicación, las partes propondrán a sus peritosy los cuestionarios que deberán desabogar esos peritos en los diversosdomicilios de los colitigantes, de acuerdo con las formalidades de protec­ción del secreto, es decir, ante la presencia de los comerciantes, ante lostestigos nombrados por él y sobre el punto controvertido.

Estos cuestionarios serán los que ilustrarán al juez acerca de lo querealmente prueba la contabilidad sobre el punto litigioso, prueba que de­berá ser tomada en cuenta por el juez al momento de dictar sentencia."

2.4. LA MATEMÁTICA Y LA CONTABILIDAD

El estudio de la contabilidad no ha sido uniforme. Por el contrario haprecisado de diversas formas de plantearse como ciencia y técnica, y encada uno de tales momentos se han caracterizado algunos aspectos porencima de otros y se han establecido principios diferentes. Podemos dis­tinguir las escuelas Clásica, Materialista, Hacendista o Hacendaria y Ma­temática. El plan de estudios contempla la relación matemática-contabili­dad, por ello analizaremos esta última.

Al tratar de establecer principios nuevos, esta escuela, empleó razo­namientos ya conocidos, únicamente expresados en términos algebrai­cos. Partiendo de la fórmula

Activo = Pasivo + Capital

estudia cada una de las variaciones que sufren durante el proceso con­table.

Si se representa por "s" los incrementos del activo y por "r" sus dis­minuciones; y por "z" y "f' los aumentos y disminuciones del pasivo res-

9 Ibidem, p. 237.

112 Motemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

pectivamente; y por "U" las ganancias y por "p" las perdidas durante elejercicio; la escuela matemática señala que el estado del patrimonio con­table al final del ejercicio tendría la siguiente expresión, siempre y cuan­do la situación inicial esté representada por la igualdad señalada en lafórmula anterior:

A + s - r = (P + z - fl + (C + U + PI

donde:A es activo,P es pasivo, yC es capital.

Pensamos que la matemática y la contabilidad tienen una estrecbarelación. La contabilidad depende de los elementos matemáticos paraexistir: los núnleros, las operaciones matemáticas, los principios matemá­ticos, constituyen el sustratum práctico que permite la realización detoda la teoría contable. Es probable que si el hombre no conociese lasmatemáticas tampoco utilizaría la contabilidad.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

A. De las cuentas que se indican a continuación determinar si pertene­cen al activo o pasivo (según la clasificación), su naturaleza, de quése cargan, de qué se abonan.

1. Mobiliario y equipo de oficina2. Iva trasladado3. Depósitos en garantía4. Ingresos por obra5. Intereses cobrados por anticipado6. Depreciación acumulada equípo de cómputo7. Impuestos a favor8. Reserva legal9. Acciones y valores

10. Depreciación acumulada equipo de transporte11. Devolución y rebajas sobre ventas12. Inventario13. Gastos financieros14. Iva acreditable15. Funcionarios y empleados16. Gastos de administración17. Caja

Unidud 2 • La información financiera 113

18. Rentas cobradas por anticipado19. Primas de seguro20. Terrenos21. Proveedores22. Acreedores diversos23. Deudores diversos24. Clientes25. Resultado del ejercicio26. Bancos27. Capital social28. Hipotecas por pagar o acreedores hipotecarios29. Propaganda o publicidad30. Equipo de cómputo electrónico31. Ptu por pagar

B. Realizar un resumen acerca de los principales estados financieros, asaber:BalanceEstado de resultadosEstado de posición financieraEstado de variaciones en la cuenta de capital contable

C. Investigar y diferenciar los términos: Contabilidad, Información fi­nanciera, Contabilidad nacional y Contabilidad financiera.

D. Investigar los principios teóricos y prácticos que rigen a la contabili­dad.

E. Investigar los métodos de contabilidad existentes en Estados Unidosy la diferencia con los existentes en nuestro país.

F. Subraya la respuesta correcta:1. Forma de presentación de Balance que corresponde a la fórmulaA = P + C: a} de cuenta b} general e} de reporte d} de estado2. Conjunto de bienes invertidos por el empresario en el negocio:a} capital económico b} capital financiero e} capital contable d} capi­tal positivo3. Fórmula para obtener el activo:a} A= P - C b} P + C = A e} P - C = A d} C - P = A4. Son los bienes que no se emplean en las transacciones pero sonbase fundamental del negocio a} activo circulante b} pasivo circu­lante e} activo fijo d} pasivo fijo5. Es el dinero que se invierte para que produzca una renta o un inte­rés: a} capital financiero b} capital contable e} capital económico d}capital neto

114 Matem6ticas apJjcadas 01 Derecho • David Cienfuegos Salgado

6. Son deudas contraídas con motivo de inversiones en el negocio,para fortalecerlo: a) activo circulante b) pasivo circulante e) activofijo d) pasivo fijo7. En 1795, Edmond Legrange publicó en París un tratado de tenedu­ría en el cual recomendaba: a} Inventario a columnas b} Diario mayora columnas e) borrador a columnas8. Son los valores en cuya rotación se' basan las actividades del em­presario, originando resultados positivos o negativos: a} activo circu­lante b} activo fijo e} activo diferido d} capital

G. Contesta brevemente:1. Señala al menos 5 cuentas del activo fijo:2. Señala las cuentas del pasivo circulante:3. Señala al menos 5 cuentas del activo circulante:4. Señala las cuentas de créditos diferidos:5. Señala al menos 5 cuentas del activo diferido:6. ¿Cuáles son los cualro estados financieros básicos?

H. Realiza el siguiente ejercicio:1. Tenemos los siguientes saldos iniciales: Caja, $4,000; Bancos,$16,000; Documentos por cobrar, $11,000; Mercancía, $31,000; Te·rrenos, $100,000; Edificios, $60,000; Mobiliario y equipo, $6,500;Equipo de cómputo, $12,000; Equipo de transporte, $18,000; Provee­dores, $30,000; Documentos por pagar, $25,000; Rentas cobradas poranticipado, $12,000.2. Compramos equipo de transporte por $10,000, el cual pagamos dela forma siguiente: $2,000 en efectivo, $4,000 en un cheque, firma­mos un pagaré por $3,000 y endosamos documentos por $1,000.3. Vendemos mercancía por $12,000, la cual cobramos en la forma si­guiente: $3,500 en efectivo, $2,000 en cheque; pagaré por $3,500 ypor el resto nos endosan letras de cambio.4. Vendemos un terreno con valor de $33,000. Recibimos $20,000 enefectivo y además $13,000 en equipo de cómputo.5. Compramos un edificio con valor de $75,000. Pagamos $13,000 enefectivo, entregamos mercancía por $12,000 y además entregamos unterreno de $30,000, el resto lo cubrimos firmando una letra de cam­bio.6. Cobramos rentas en forma anticipada por $10,000. Recibimos$7,000 en efectivo y además $3,000 en equipo de transporte.7. Compramos mercancía por $15,000. Pagamos en efectivo $5,000 yel resto nos comprometemos a pagarlo en quince días, sin que existaun documento que haga exigible tal obligación.8. Adquirimos Mobiliario y equipo de oficina por $2,500. Pagamos

Unidad 2 • La información financiera 115

$1,500 en efectivo y endosamos dos letras de cambio de igual valorpor el resto.Realiza los esquemas "T de mayor" de cada cuenta utilizada y repre­séntalos en un estado financiero de balance general.

A partir de los datos obtenidos anteriormente, podemos determinarcual sería la ganancia del ejercicio si consideramos, por ejemplo queel Capital Social equivale a un 12.52% del capital contable.Ganancia: _

I. Realiza el siguiente ejercicio:1. La empresa "Resistol, S.A. de C.V." realizó durante el período con­table las siguientes operaciones:a) Compró $25,000 en mercancia. Pagando en efectivo el 35% y encuenta de cheques el resto.b) Realizó depósitos bancarios por un monto de $35,000, obtenidospor aportaciones de sus socios.e) Vendió $12,500 en mercancía yel pago recibido lo entregó comoanticipo a sus proveedores.Realiza los esquemas "T de mayor" de cada cuenta utilizada y repre­séntalos en un estado financiero de balance general.

J. Realiza el siguiente ejercicio:1. El organismo público descentralizado "Minas del Sureste" realizódurante el período contable las siguientes operaciones:a) Obtuvo una asignación presupuestal inicial de capital por$150,000 que se depositó en una cuenta bancaria en BANOBRAS.b) Sobre esta cuenta bancaria el 40% se destinó a pago de proveedo­res y 20% para infraestructura (10% para equipo de extracción y per­foración, y 10% en la construcción de una mina en Campeche).cl Se vendieron 140,000 en lingotes de diferentes metales cuyo im­porte fue destinado: el 50% al pago de créditos bancarios y el otro50% se depositó en una cuenta bancaria en BANOBRAS.Realiza los esquemas "T de mayor" de cada cuenta utilizada y repre­séntalos en un estado financiero de balance general.De los ejercicios H, I Y J, anota en la parte superior el nombre de lacuenta que utilices al realizar los asientos que se te indican. De losmovimientos registrados, obtendrás el saldo de cada cuenta y la ano­tarás en el apartado que le corresponde en la hoja del balance.ACTIVO

CajaBancosDocumentos por cobrarMercancías

116 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

EdificiosTerrenosMobiliario y EquipoEquipo de cómputoEquipo de transporte

PASIVOProveedoresDocumentos por pagarRentas cobradas por anticipado

CAPITAL CONTABLE

K. Elabora un ensayo acerca de la contabilidad como medio de prueba.

L. Elabora un ensayo acerca de la importancia de la contabilidad.

M. Investiga en que consisten los siguientes Estados financieros: Estadode Cambios en la Situación Financiera y Estado de Modificaciones enel Capital Contable.

Unidad 3

Métodos y factores

de actualización

Objetivo Particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno:Aplicará los índices y factores de actualización para determinar losincrementos que sufren las multas, recargos, tarifas, etcétera, contem­plados en los diversos ordenamientos jurídicos en los casos que así

se requieran.

3.1. MÉTODOS PARA LOS CÁLCULOS INFLACIONARIOS

MONEDA y DINERO

Para entender el fenómeno de la inflación y los métodos de correc­ción de la misma, es preciso referirnos, aunque sea brevemente, a las no­ciones de dinero y moneda, que finalmente usaremos como sinónimos.La voz dinero deriva del latín denarius, que era una moneda de plata dela Roma antigua, que originalmente equivalía a diez ases de bronce. Seutiliza para significar las monedas y billetes emitidos por un gobiernopara que se usen como medios de cambio por otros artículos.' Jorge Joa­quín Llambías considera que el dinero es una cosa valiosa a la cual la au­toridad pública le ha atribuido la función de unidad de medida del valorde todos los bienes.2 La voz moneda viene del nombre Juno Maneta, JunoAvisadora, junto a cuyo templo establecieron los romanos un taller demoneda. Moneda en sentido estricto es el pedazo pequeño de metal, co­múnmente plano y circular, autorízado por un gobierno para que se usecomo dinero o sea como medio de cambio por otros articulas; cual-

1 Gómez de Silva, Breve diccionario etimológico de Jo lengua española, p. 226.2 Llambfas, Jorge Joaquín, Tratado de derecho civil, T. Il·A, Buenos Aires, Argentina:

AboJedo Perra l. 1975, p. 180.

117

118 Matemótioos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgada

quier forma de dinero que se use como medio de cambio.' En este últimosentido el Diccionario de la lengua española define la moneda como: pie­za de oro, plata, cobre u otro metal. regularmente en figura de disco yacuñada con el busto del soberano o el sello del gobierno, que tiene laprerrogativa de fabricarla, y que, bien por su valor efectivo, o bien por elque se le atribuye, sirve de medida común para el precio de las cosas ypara facilitar los cambios.

Cada país emite su propia moneda. De acuerdo con Marcos Kaplan,en las economías contemporáneas, especialmente las más desarrolladas,la moneda consiste usualmente en obligaciones del gobierno bajo formade moneda metálica y billetes de banco, y en cuentas bancarias, es decir,en créditos de indivíduos contra gobiernos y bancos que deben ser gene­ralmente aceptados como medios de pago. Se da así una diversidad deformas monetarias: moneda metálica, billetes emitidos por la banca deemisión, y, moneda escritural'

El comercio internacional, la estabilidad necesaria para invertir, lafirmeza de las políticas económicas, entre otros factores, determinan eltipo de cambio o valor del dinero de un país respecto a las monedas deotros países. A continuación se inserta una tabla con algunas de las uni­dades monetarias que existen en el mundo:

Unidades monetarias actuales

País Moneda División

Alemania Euro 100 céntimos

Andorra Euro 100 céntimos

Arabia Saudi!a Ria! Saudí 100 halla!as

Argelia Dinar argelino 100 céntimos

Argentina Peso argentino 100 centavos

Australia Dólar australiano 100 centavos

Austria Euro 100 céntimos

Bélgica Euro 100 céntimos

Belice Dólar de Belice 100 céntimos

Brasil Real 100 centavos

Bulgaria Lev 100 s!ólinki

3 Gómez de Silva, Breve diccionario etimológico de la lengua españolo, p. 464.4 En Diccionario jurldico mexicano, ¡-O. México: UNAM, Porrúa, 1995, p. 2150.

Unidad 3 • Métodos y factores de actuali7.ación 119

"

País

Canadá

Colombia

Congo

Corea del Norte

Costa Rica

Cuba

China

Dinamarca

Ecuador

Egipto

El Salvador

España

Estados Unidos

Etiopía

Finlandia

Francia

Ghana

Grecia

Guatemala

Haití

Unidades monetarias actuales

Moneda

Dólar canadiense

Peso colombiano

Franco de la CFA

Won norcoreano

Colón de Costa Rica

Peso cubano

Yuan

Corona danesa

Dólar EVA

Libra egipcia

Colón de El Salvador

Euro

Dólar EVA

Franco de la CFA

Euro

Euro

Cedi

Euro

Quetzal

Gourde

División

100 centavos

100 centavos

100 céntimos

100 chon

100 céntimos

100 centavos

100 ren

100 ore

100 centavos

100 piastras

100 centavos

100 céntimos

100 centavos

100 céntimos

100 céntimos

100 céntimos

100 pesewas

100 céntimos

100 centavos

100 céntimos

Holanda (Países Bajos)

Honduras

Hong Kong

Hungría

India

Irak

Irán

Irlanda

Euro

Lempira

Dólar de Hong Kong

Florín

Rupia hindú

Dinar ifaquí

Rial

Euro

100 céntimos

100 centavos

100 centavos

100 filler

100 paisas

1,000 fils

100 dinares

100 céntimos

120 Matem6licas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

_.-

Unidades monetarias actuales. -

País Moneda División

Israel Shequel 100 agorols

Italia Euro 100 céntimos

Jamaica Dólar jamaicano 100 cén timos

Japón Yen 100 sen

Laos Kip 100 al

Libia Dinar libio 1,000 dirhams

Luxemburgo Euro 100 céntimos

Malasia Rillggit 100 sen

Mauritania Ouguiya 5 khoums

México Peso mexicano 100 centavos

Mongolia Tugrik 100 mongos

Mozambique Metical 100 centavos

Namibia Dólar namibiano100 céntimosy Rand sudafricano

Nicaragua Córdoha oro 100 centavos

Nigeria Naira 100 kobo

Noruega Corona noruega 100 ore

Nueva Zelanda Dólar neozelandés 100 centavos

Omán Rial omani 1,000 baizas

Pakistán Rupia paquislaní 100 paisas

Panamá Balboa 100 centésimas

Papua Nueva Guinea Kina 100 toea

Paraguay Guaraní 100 céntimos

Perú Nuevo sol 100 céntimos

Polonia Zloly 100 gros"y

Porlugal Euro 100 céntimos

Reino Unido Libra esterlina 100 peniques

Rumania Leu 100 bani

Unidad 3 • Métodos y factores de actualizncián 121

.-_....... -

Unidades monetarias actuales- ---

País Moneda División

Rusia Rublo 100 kropecks

Samoa Occidental Tala 100 sene

Santo Tomé y Príncipe Dobra 100 céntimos

Sierra Leona Leone 100 céntimos

Suiza Franco suizo 100 céntimos

Tailandia Baht 100 satangs

Tonga Pa'anga 100 seniti

Uruguay Peso uruguayo lOO centésimos

Venezuela Bolívar 100 céntimos

Vietnam Dong 10 chao = 100 sau

La moneda cumple con al menos tres funciones: sa} Bien o instrumento representativo generalmente aceptado como

medio de cambio en pago de deudas, o como reemplazo del trueque enespecie.

b} Unidad abstracta de cuenta, para la medición de los valores de bie­nes, servicios, precios, deudas, y de contabilidad de haberes financieros.

c} Reserva o depósito de valor, de capacidad adquisitiva o de ahorro,de parte de un ingreso que es retirado del consumo inmediato para unuso futuro.

Asimismo, la moneda posee tres características básicas: liquidez, fun­gibilidad y universalidad.

Por considerar de interés el criterio sustentado por la Tercera Sala delmáximo tribunal, a continuación insertamos una tesis acerca del dinero:

DINERO, COMPRENOE A TODA UNIDAD MONETARIA EN CURSO LECAL DENTRO DEL

SISTEMA PECUNIARIO DE UNA NACIÓN.-El concepto dinero utilizado por el legisla­dar no debe entenderse en el sentido restringido de "moneda nacional" sino en laamplia significación que comprende toda unidad monetaria en curso legal dentrodel sistema pecuniario de una nación, con calidades de metal, ley, peso, cuño,diámetro, etcétera, que le asignan a un valor definido, de suerte que si el dólarcumple Con esas características, será una especie del género dinero. 6

5 Idem.6 SJF7, 1. 217-228, cuarta parte, p. 373. Esta tesis apareció publicada, con el número 9,

en el informe 1987, Segunda Parte, Tercera Sala, p. 10.

122 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

MONEDA MEXICANA

Diversas disposiciones legales hacen referencia a la moneda mexica­na. Al respecto resulta de interés la lectura del Decreto emitido por la Se­cretaría de Hacienda y Crédito Público, mediante el cual se crea la nuevaUnidad del Sistema Monetario de los Estados Unidos Mexicanos, publi­cado en el Diario Oficial de la Federación el día 22 de junio de 1992, yque entró en vigor a partir del 10 de enero de 1993. Al final de esta uni­dad incluimos el texto de la vigente Ley monetaria de los Estados UnidosMexicanos.

El Código de Comercio también hace referencia en sus numerales635 al 639 a la moneda:

Artículo 635.-La base de la moneda mercantil es el peso mexicano, y so­bre esta base se harán todas las operaciones de comercio y los cambios sobreel extranjero.

Artículo 636.-Esta misma base servirá para los contratos hechos en elextranjero y que deban cumplirse en la República Mexicana, así como los gi~

ros que se hagan de otros países.Artículo 637.-Las monedas extranjeras efectivas o convencionales no

tendrán en la República más valor que el de plaza.Artículo 638.-Nadie puede ser obligado a recibir moneda extranjera.Artículo 639.-El papel, billetes de banco y títulos de deuda extranjera no

pueden ser objeto de actos mercantiles en la República, sino considerándo­los como simples mercancías; pero podrán ser objeto de contratos puramen·te civiles.

LA INFLACIÓN

Como seiialan Osterling y Castíllo, el tema de la inflación correspon­de, sin duda al ámbito económico, sín embargo liene importantísimas re­percusiones jurídicas. En tiempos de estabilidad monetaria, o sea cuandono hay inflación o cuando es poco significativa, el acreedor carece de in­terés en buscar una norma legal que le permita protegerse de la pérdidadel poder adquisitivo de la moneda. Pero en períodos de inflación, por elcontrarío, tratará, asegurando la estabilidad de su contrato, de evitar lasconsecuencias de tal merma. 7

A consecuencia de la desvalorización o debido a la inflación, el di­nero pierde su capacidad de compra, lo que desestimula el ahorro, fa­voreciendo a los deudores quienes devuelven el dinero con una capa­cidad de compra inferior, lo que ocasiona altas tasas de ínterés porparte de las entidades financieras como compensación. Es lo que se

7 Osterling Parodi, Felipe y Mario Castillo Freyre, Estudio sobre Jas obligaciones dinera­rias en el Perú, México: UNAM, 1995, p. 6.

Unidad 3 • Métodos y factores de actualización 123

denomina depreciación. Se señala que la depreciación es una reduc­ción del valor de un activo. Asi la devaluación es la depreciación deuna moneda.

La inflación, podemos señalar, es una baja del valor del dinero debi­do al alza de precios. También suele caracterizarse como el continuo,persistente y generalizado aumento de los precios. Las teorías económi­cas establecen hasta cinco tipos de inflación: por demanda, por costos,por sobreprecio, por estrangulamiento y por estanflación.

Algunos conceptos a tener presentes son: Tasa de Inflación, que es elaumento anual porcentual del nivel general de precios, medido general­mente por un índice nacional de los precios al consumidor: Hiperinfla­ción, inflación tan grave que el público trata de deshacerse de su efectivoantes de que los precios hayan subido más y el dinero haya perdido to­talmente su valor; Inflación Galopante, es una tasa de 50, 100 o 200%de aumento anual; Inflación Moderada, aumento del nivel de preciosque no distorsiona gravemente los precios relativos a las rentas. Debidoa la brevedad de la presente unidad no abundaremos en el tema, seña­lando únicamente que estos procesos inflacionarios originan pérdidas yganancias denominadas precisamente pérdida inflacionaria y gananciainflacionaria.

La legislación civil mexicana es omisa en el sentido de permitir quelas obligaciones contraídas puedan ser modificadas cuando exista uncambio en las circunstancias económicas presentes al momento de lacontratación.

En algunas legislaciones se establece la posibilidad de pactar el cum­plimiento de una obligación tomando en cuenta un índice de ajuste infla­cionario. En este sentido, los artículos 1234 y 1235 del Código Civil pe­ruano señalan:

Artículo 1234.-El pago de una deuda contraída en moneda nadonal nopodrá exigirse en moneda distinta, ni en cantidad diferente al monto nomi­nal originalmente pactado.

Artículo 1235.-No obstante lo establecido en el artículo 1234, las partespueden acordar que el monto de una deuda contraída en moneda nacionalsea referido a índices de reajuste automático que fije el Banco Central de Re­serva del Perú, a otras monedas o a mercancías, a fin de mantener dichomonto en valor constante.

El pago de las deudas a que se refiere el párrafo anterior se efectuará enmoneda nacional, en monto equivalente al valor de referencia, al día delvencimiento de la obligación.

Si el deudor retardara el pago, el acreedor puede exigir, a su elección, quela deuda sea pagada al valor de referencia al día del vencimiento de la obli­gación ° al día en que se efectúe el pago.

124 Matemáticos aplicados a/ Derecho. David Cionfuegos Salgado

LA ACTUALIZACIÓN

Para remediar el cambio de valores que sufre el dinero existe la ac­tualización. La actualización es un ajuste de valores a efecto de poder to­mar decisiones de carácter monetario, contable o legal. Esta actualiza­ción, con frecuencia se realiza a través de dos métodos: el primeroconsiste en un sistema cuya aplicación a un monto determinado de dine­ro, permite que con el monto de ese dinero lo que se puede hacer hoy sepueda realizar en el futuro: el segundo es un sistema mediante el cual semantiene actualizado el valor de una inversión, aplicándose factores quedeterminan la desvalorización que ha sufrido la inversión. El primer sis­tema es utilizado en países como Colombia en donde se aplican el siste­ma UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo Constante) y un índice diario decorrección monetaria; el segundo método es utilizado en nuestro país,aplicándose los índices nacionales de precios al consumidor.

En los índices de precios al consumidor se expresan las proporcionesde las variaciones de los precios de varios productos básicos, durante unperíodo determinado, en el caso concreto, durante un mes.

En México el sistema de Índice Nacional de Precios al Consumidor(INPC), de acuerdo con el Banco de México, recopilaba durante cada mes140 cotizaciones directas en 35 ciudades, sobre los precios de aproxima­damente 1200 artículos y servicios específicos. Los promedios de dichascotizaciones dan lugar a los Índices de los 302 conceptos genéricos sobrebienes y servicios, que forman la canasta del Índice General en cada unade las ciudades y a escala nacional. Actualmente son 170,000 precios re­colectados en las cotizaciones, 46 ciudades muestreadas y 313 los pro­ductos genéricos.

En los primeros meses de 1995 se realizó una actualización del INPC,el siguiente texto es una reseña publicada en El Mercado de Valores(núm. 4, abril de 1995, p. 79):

Para que los índices de precios sean tan representativos como sea posiblede la evolución del nivel general de los precios a que se refieren. es precisohacer revisiones periódicas de los elementos utilizados para determinar di­chos Índices.

Cabe mencionar que continuamente está en revisión la representatividadde los establecimientos comerciales y de los artículos cuyos precios se reco­lectan. Si en algún caso se detecta insuficiencia de la muestra, se seleccio­nan nuevas marcas, presentaciones o fuentes de información.

Por lo que hace a la canasta de productos, la estructura de ponderacionesy la muestra de ciudades, el proceso de revisión es diferente. Para actualizarla canasta y las ponderaciones es necesario COBocer las modificaciones delos gastos que realizan las familias y para revisar la cobertura geográfica esindispensable contar con nuevos censos de población.

Con el objeto de mejorar la representatividad del Índice Nacional de Pre~

Unidad :\ • Metodos y factores de actualización 125

cios al Consumidor (INPC), el Banco de México estimó la estructura del con­sumo familiar a precios de 1993 y diseñó una nueva muestra de localidades,con base en la Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares de1989, los precios de 1993 y el Censo de Población de 1990. Como resultadode estos trabajos:

a} La muestra de ciudades se incrementa de 35 a 46 localidades, cubre atodas las regiones geográficas y a tres estratos de tamaño de localidades (de20 mil a 100 mil, de más de 100 a 500 mil y más de 500 mil) y cumple con lacondición de que cada entidad federativa cuente al menos con una localidaden la muestra (véase el cuadro de cobertura geográfica).

b} La canasta de productos aumenta de 302 a 313 productos genéricos_ Lacomparación de la nueva canasta con la actual se puede resumir como sigue:220 conceptos se mantienen sin cambios, 46 amplían su cobertura, 34 se re­sumen en 17, dos se desagregan en seis y 24 nuevos conceptos se incorporana la canasta.

e} Las ponderaciones del nuevo INPC se estimaron con base en la infor­mación que las familias proporcionaron sobre sus gastos en la Encuesta. Na­cional de Ingresos y Gastos de los Hogares de 1989, actualizada a precios de1993. Esta estructura de ponderaciones reemplaza a la del INPC actual quese calculó con datos de 1977. Al mismo tiempo, los consumidores se clasifi­caron en cuatro estratos de ingresos: alto, más de seis salarios mínimos; me­dio alto, de más de tres a seis salarios; medio bajo, de más de uno a tres sala­rios; y bajo, un salario o menOS.

di La base de cálculo del índice cambia de 1980 a 1993, con objeto queuna nueva estructura de precios más reciente sea la nueva base de referen­cia. Es de hacer notar que la estructura de 1993 debe ser muy representativa.Ello en virtud de que el nivel de abastecimiento de bienes durante 1993 es­tuvo prácticamente en el mayor nivel posible.

e) Las ampliaciones de la canasta y de las ciudades del INPC significanun aumento del 20% en el tamaño de la encuesta de precios; de esta manera,los precios recolectados cada mes para elaborar el índice nacional se elevande 140 a 170 mil.

Con el propósito de que las series históricas del Índice Nacional de Pre­cios al Consumidor actual sean congruentes y comparables con las del nue­vo índice, los datos de los años anteriores a esta revisión serán reconvertidosa la base 1993:;::100, lo cual no altera las variaciones porcentuales que histó­ricamente tuvo dicho indicador",

Posteriormente, en julio de 2002, se modificó nuevamente la base delINPC. La publicación en el Diario Oficial de la Federación señaló:

Considerando

Que el Índice Nacional de Precios al Consumidor constituye un indicadorque refleja las variaciones en el valor de la moneda con el propósito de con­tar con un mecanismo que permita conocer la magnitud de los cambios eco­nómicos derivados del proceso inflacionario. Para determinar este índice separte de la base de que el valor de los bienes y servicios se mide por unida-

126 Matem6licas aplicadas al Derecho· David Cicnfucgos Salgado

des monetarias. Por esta razón, cuando la economía sufre un proceso infla­cionario. la moneda tiene variaciones en su poder adquisitivo.

Que la determinación del Índice Nacional de Precios al Consumidor hasido encomendada al Banco de México, en términos de lo previsto en los ar­tículos 20 y 20-81S del Código Fiscal de la Federación.

Que el patrón de consumo familiar en la República Mexicana ha variadodesde 1994, año que se considera como referencia para determinar la varia­ción en los precios de los conceptos de consumo que, en términos del referi­do artículo 20-BIS, integran el índice.

Como consecuencia de la modificación en el patrón de consumo familiar.conforme a los procedimientos aplicados internacionalmente, se estima con­veniente actualizar los ponderadores y adecuar los conceptos de consumo alos correspondientes a la segunda quincena de junio de 2002. Ello, a fin deque el Índice Nacional de Precios al Consumidor refleje de manera más ade­cuada las variaciones en el valor de los signos monetarios del país. Por lo an­

.terior, el Banco de México ha determinado utilizar como periodo base la se­gunda quincena de junio de 2002 en la determinación del referido índice.

Por lo anterior, en cumplimiento de lo dispuesto en el artículo 20·B18 delCódigo Fiscal de la Federación y de conformidad con io previsto en los ar­tículos 8°, 10°, 17 Y 24 de su Reglamento Interior, el Banco de México da aconocer, en relación con el Indice Nacional de Precios al Consumidor queproporcionará a partir de julio de 2002, mediante publicación que realice enel Diario Oficial de la Federación los días diez y veinticinco de cada mes, oel día hábil anterior a éstos, la información siguiente:

1. ÍNDICE NACIONAL DE PRECIOS AL CONSUMIDORAPLICABLE A CADA CONCEPTO DE CONSUMO FAMILIAR

CORRESPONDIENTE A LA PRIMERA QUINCENA DE JULIO DE 2002

Concepto de consumo familiar Base: segunda quincenade junio de 2002 '" 100

Índice Nacional de Precios al Consumidor 100.130

o) Alimentos, bebidas y tabaco 100.392

b) Ropa, calzado y accesorios 99.624

e) Vivienda 99.994

d) Muebles. aparatos y enseres domésticos 99.926

e) Salud y cuidado personal 100.195

fJ Transporte 100.139

g) Educación y esparcimiento 100.327

h) Otros servicios 99.907

Unidad 3 • Métodos y factores de actuali7.ación 127

El Índice Nacional de Precios al Consumidor, con base segunda quincenade junio de 2002 = 100, correspondiente a la primera quincena de julio de2002 es de 100.130 puntos, que representa un incremento de 0.13 por cientorespecto al índice de la segunda quincena de junio de 2002, que fue de100.000 puntos.

2. PRECIOS

Las cotizaciones de los precios correspondientes a los productos y servi­cios, a que se refieren las fracciones 1yn del artículo 20-BIS del Código Fis­cal de la Federación, se publicarán mensualmente en este medio. Las cotiza­ciones de los precios de los alimentos se continuarán realizando por lomenos tres veces durante el mes de que se trate y las demás se obtendránpor lo menos una vez en el propio periodo.

Dichas cotizaciones de precios dan lugar a índices de precios relativos,los cuales, ponderados conforme a la fórmula que se contiene en el punto 4de esta publicación, dan por resultado los índices nacionales correspondien­tes a los distintos conceptos de consumo familiar.

Cabe destacar que las cotizaciones de los precios corresponden a más de1000 productos y servicios específicos agrupados en más de 250 conceptosde consumo, los cuales abarcan al menos 35 ramas de los sectores agrícola,ganadero, industrial y de servicios; ello de conformidad con el catálogo deactividades económicas elaborado por el Instituto Nacional de Estadística,Geografía e Informática.

3. PONDERACIONES

El Índice Nacional de Precios al Consumidor de cada mes se calcularáutilizando para cada concepto de consumo familiar, las ponderaciones si­gttientes:

-

Ponderaciones--

Índice Nacional de Precios al Consumidor 100.00000

Alimentos. bebidas y tabaco 22.74156

Ropa, calzado y accesorios 5.59224

Vivienda 26.40994

Muebles. aparatos y enseres domésticos 4.85674

Salud y cuidado personal 8.57766

Transporte 13.40559

Educación y esparcimiento 11.53647

Otros servicios 6.87980

128 Matem6ticos aplicados al Derec.ho • David Cicnfuegos Salgado

Las ponderaciones de los bienes y servicios genéricos se presentan en elanexo "A",6

Las ponderaciones apuntadas corresponden a la nueva base de cálculodel Índice Nacional de Precios al Consumidor que es la segunda quincena dejunio de 2002, y permanecerán constantes durante la vigencia de dicha basede cálculo. Por definición. la fórmula de Laspeyres a que se refiere el puntosiguiente no admite cambio en sus ponderaciones durante la vigencia de labase de cálculo del índice respectivo.

4. FORMULA DE LASPEYRES

La fórmula de Laspeyres a que se refiere la fracción V del artículo 20-BISdel Código Fiscal de la Federación, es la siguiente:

La fórmula anterior también puede expresarse:

donde:

1t10 = Indice que mide la variación promedio ponderado de los precios delperiodo (1) en relación con los del periodo (o).

(piPio) = Indice de precios relativos del i~ésimo producto en el periodo (t),mide la variación del precio del periodo (l) en relación con el periodobase (o).

Ponderación del precio relativo del i-ésimo producto en el índice yse obtiene dividiendo el valor de las (q) unidades del i~ésimo pro­ducto en el periodo base (o) enlre el valor tolal de los (n) produc-

tos del índice en el mismo periodo base (o).La fórmula se aplica en lodos los niveles de agregación del índice, es de­

cir, se aplica para obtener índices de agregaciones de articulas cada vez másamplias tanto en númerO de productos y servicios como de ciudades, hastallegar al índice general.

B Consultar el anexo A, "Índice Nacional de Precios al Consumidor Base Segunda quin­cena de junio de 2002. Ponderaciones", en el Diario Oficial de la Federación de 25 de juliode 2002, Primera sección. pp. 128~139.

Unidad 3 • Mélodos y factores de aclualizaci6n

5. CIUDADES. ESTADOS. ZONAS CONURBADASy RAMAS DE ACTIVIDAD ECONÓMICA

129

De conformidad con lo previsto en el artículo 20-BIS del Código Fiscal dela Federación, a continuación se mencionan las Ciudades, Estados, ZonasConurbadas y Ramas de Actividad Económica seleccionadas para efectuarlas cotizaciones. Es de señalarse que la cotización de referencia se realiza en46 ciudades. las cuales están ubicadas en más de 20 entidades federativas.Las ciudades seleccionadas cuentan con una población de 20,000 o más ha­bitantes, e incluyen las 10 zonas canurbadas o ciudades más pobladas de laRepública Mexicana,

5.1. CIUDADES. ESTADOS y ZONAS CONURBADAS

Mexicali, RC.; Cd. Juárez, Chih.; Tijuana, RC.;Región Frontera Norte: Matamoros, Tamps.; La Paz, B,C.S.: Ciudad Acuña,

Coah.

Región Noroeste: Culiacán, Sin,: Hermosillo. Son,; Tepic. Nay.; Hua-tabampo, Son.

Monterrey, N.L. (área metropolitana); Torreón,Coah. (área metropolitana); Tampico, Tamps. (área

Región Noreste: metropolitana); Chihuahua, Chih.; Monclova,Coah. (área metropolitana); Fresnillo, Zac.; Cd. Ji-ménez, Chih.; Durango, Dgo.

Mérida, Yuc. (área metropolitana); Tapachula,

Región Sur: Chis.; Villahermosa, Tah.; Oaxaca, Oax. (área me-tropolitana); Campeche, Camp.; Chetumal, Q. Roo;Tehuantepec, Oax.

Guadalajara, Jal. (área metropolitana); León, Gto.(área metropolitana); San Luis Potosí, S.L.P. (área

Región Centro Norte: metropolitana); Morelia, Mich.; Aguascalientes,Ags. (área metropolitana); Colima, Col. (área me-tropolitana); Jacona, Mich.; Cortázar, Cto,; Queré-taro, Qro. (área metropolitana); Tepatitlán, Jal.

Región Metropolitana: Área metropolitana de la Cd. de México

Puebla, Pue, (área metropolitana); Veracruz, Ver.(área metropolitana); Córdoba, Ver. (área metropo-

Región Centro Sur: litana); Acapulco, Gro.; Taluca, Méx. (área metro-politana); Iguala. Gro,; Tulancingo, Hgo.; Cuerna-vaca, Mor.; Tlaxcala, TI",,, (área metropolitana);San Andrés Tuxtla. Ver.

5.2. RAMAS DE ACTIVIDAD ECONÓMICA

Las ramas de los sectores agrícola, ganadero. industrial y de serVICIOS,conforme al Catálogo Mexicano de Activiriades Económicas, a las cuales co-

130 Matcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

rresponden los genéricos cubiertos por el Indice Nacional de Precios al Con­sumidor se presentan en el anexo "8".9

6. Il\TFORMACIÓN ADICIONAL

El Banco de México conservará por 6 meses las cotizaciones de preciosutilizadas para calcular el Índice Nacional de Precios al Consumidor del mesde que se trate, las cuales estarán a disposición de los interesados que nece­siten consultarlas en la Subgerencia de Precios de este Banco Central.

México, D.F., a 24 de julio de 2002. Banco de México.-Director de Pre­cios, Salarios y Productividad.-Javier Salas Martín del Campo.-Rúbrica.-Di­rector de Disposiciones de Banca Central. Fernando COIvem Ca.TQza.-Rúbrica.

Más tarde, en octubre de 2002, nuevamente en el Diario Oficial de loFederación se publicaron los datos relativos al nuevo INPC. Se trataba delos índices mensuales expresados conforme a la nueva base 2002=100:

Considerando

Que el Índice Nacional de Precios al Consumidor constituye un indicadorque refleja las variaciones en el poder adquisitivo de la moneda, el cual seelabora con el propósito de contar con un instrumento que permita conocery evaluar el proceso inflacionario.

El 10 de julio de 2002 el Banco de México informó, mediante publicaciónen el Diario Oficial de la Federación, que a partir de julio del mismo año uti­lizaría como periodo base para determinar la variación en los precios de losconceptos de consumo que integran el Índice Nacional de Precios al Consu­midor, la segunda quincena de junio de 2002.

Como consecuencia de la modificación del periodo base antes citada. elBanco de México ha recibido diversas solicitudes a fin de que informe laequivalencia de los índices elaborados con base 1994 = 100 Ylos elaboradoscon la nueva base segunda quincena de junio de 2002 = 100.

Por lo anterior, con fundamento en los artículos 62 de la Ley del Banco deMéxico y 80., 100., 17 Y 24 de su Reglamento Interior, el Banco de Méxicoha determinado dar a conocer la serie histórica de los índices mensualesbase 1994 = 1DO, expresados conforme a la nueva base segunda quincena dejunio de 2002 = 100, a fin de facilitar et cálculo de la inflación.

Información histórica del INPC mensual de enero de 1988 a la fecha, ex­presado conforme a la base segunda quincena de junio de 2002 = 100.

A continuación se incluye una tabla que presenta el INPC mensual a par­tir de enero de 1988 expresado conforme a la nueva base segunda quincenade junio de 2002 = 100, con el propósito de vincular dichos índices con losque se determinan de conformidad con la publicación que realizó este Banco

9 Consultar el anexo B, "Clasificación de los genéricos del INPC por rama de actividadeconómica. Base segunda quincena de junio de 2002", en el Diario Oficial de la Federaciónde 25 de julio de 2002, Primera sección, pp. 139-149.

Unidad 3 • Métodos y factores de actualización 131

de México en el Diario Oficial de la Federación de fecha 25 de julio de 2002,así como para facilitar el cálculo de la inflación. lO

_.

Año , 1988 1989 1990 1991 1992- - - . --

Enero 9.10761619 12.25550187 '15.01006183 19.07882416 22.50297533

Febrero 9.86725970 12.42181578 15.34995346 19.41188693 22.76959176

Marzo 10.37254272 12.55647592 15.62056193 19,68872033 23.00131868

Abril 10.69180094 12.74425434 15.85830046 19.89496853 23.20636178

Mayo 10.89866692 12.91966878 16.13503967 20.08945391 23.35936981

Junio 11.12100519 13.07657465 16.49040912 20.30025376 23.51747523

Julio 11.30663106 13.20737849 16.79114215 20.47964917 23.66596762

Agosto 11.41064859 13.33320405 17.07724230 20.62217981 23.81135724

Septiembre 11.47588429 13.46071951 17,32067385 20.82761630 24.01848640

Octubre 11.56341836 13.65979533 17.56967931 21.06985384 24.19143525

Noviembre 11.71816615 13.85153255 18.03616110 21.59302487 24.39243091

Diciembre 11.96266151 14.31900058 18.60461592 22.10128322 24.73975532,..- .. --- ._.- i

Año 1994 1996 1997,, 1993 1995

- -, .. - -Enero 25.05008200 26.92836761 29.68216019 45.03335476 56.94161255

Febrero 25.25474280 27.06686465 30.94016644 46.08441746 57.89848408

Marzo 25.40192482 27.20604042 32.76412314 47.09891181 58.61904656

Abril 25.54840872 27.33928215 35.37488088 48.43781166 59.25234370

Mayo 25.69444937 27.47137419 36.85340529 49.32071541 59.79311185

Junio 25.83856464 27.60883513 38.02303805 50.12383369 60.32362980

Julio 25.96273354 27.73127812 38.79817602 50.83636223 60.84916114

Agosto 26.10169322 27.86053057 39.44172337 51.51204539 61.39020633

Septiembre 26.29500953 28.05867556 40.25758516 52.33566410 62.15481705

Octubre 26.40255092 28.20597394 41.08591343 52.98890760 62.65153698

Noviembre 26,51900445 28.35676016 42.09902263 53.79174885 63.35243013

Diciembre 26.72120797 28.60546641 43.47061235 55.51406219 64.24004344

10 La tabla está acorde con la fe de errata al INPC publicada en el Diario Oficial de la Fe­deración de 29 de octubre de 2002, Primera Sección, p. 35.

132 Matemáticos aplicadas al Dorecho • David Cienfuegos Salgado

o •• ~· ._ -- ,Año 1998 1999 2000 2001 2002

,

I--- - -Enero 65.63767425 78.11855899 86.72984863 93.76509829 98.25303074

Febrero 66.78680659 79.16851355 87.49916890 93.70304293 98.18986725

Marzo 67.56914740 79.904035B1 87.98425345 94.29672436 98.69212783

Abril 68.20133641 80.63734181 88.48485184 94.77238980 99.23123379

Mayo 68.74459786 81.12242636 88.81562909 94.98986060 99.43235966

Junio 69.55713526 B1.65543760 69.3417]45D 95.21453425 99,91716717

Julio 70.22783183 82.19509763 69.69022185 94.96714390 100.20400000

AgosLo 70.90296093 82.65774251 90.18306332 95.52979766 100.58500000

Septiembre 72.05292436 83,45642827 90.84184748 96.41907316 ]01.19000000

Octubre 73.08542585 83.98500698 91.46738769 UG.85484586

Noviembre 74.37972341 84.73188759 92.24945147 97.21969614

Diciembre 76.19456572 85.58071630 93.24815496 97.35433612

El Banco de México elaboró la información histórica contenida en la tablaanterior conforme a lo siguiente: El INPC base 1994 = 100 de cada mes sedividió entre la constante C = 360.968 Y el resultado así obtenido se multi­plicó por cien, utilizando al efecto ocho decimales.

Ejemplo: El lNPC base 1994 ~ 100 de junio de 2002 fue de 360.669 pun­tos, de ahí que el lNPC base segunda quincena de junio de 2002 = 100 delmismo mes sea de [(360.669) / (360.968)] X 100 = 99.91716717.

Cabe destacar que, toda vez que la información anterior se da a conocercon fines exclusivamente informativos, el INPC mensual, así como los datosrelativos a las variaciones porcentuales del referido INPC que se han publi­cado previamente, no se alteran ni se dejan sin efectos por virtud de la pre­sente publicación.

México, D. F., a 17 de octubre de 2002. Banco de México.-Gerente dePrecios y Salarios Gerente de Disposiciones.-Donociano Quintero Solazaral Sistema Financiero.-Rúbrica.-Eduardo Gómez A/cázar.-Rúbrica.-Sub­gerente de Precios Subgerente de Instrumentación.-Eusebío Pablo ÁlvarezL6pez de Operaciones Nacionales.-Rúbrica.-Roso Guadalupe Espinosa Mo­rales.-Rúbrica.

Más adelante incluimos los indices correspondientes a las bases 1978,1994 Y 2002, para que los ejercicios respectivos sean realizados conformea tales datos. Los artículos 20 y 20 Bis del Código Fiscal de la Federaciónestablecen algunos criterio5 para la obtención del Índice Nacional de Pre­cios al Consumidor. Por considerar de importa!1cia estas normas se citan:

Artículo 20.-Las contribuciones y sus accesorios se causarán y pagaránen moneda nacional. Los pagos que deban efectuarse en el extranjero se po­drán realizar en la moneda del país de que se trate.

Unidad 3 • Métodos y factores de actualización 133

En los casos en que las leyes fiscales así lo establezcan a fin de determi­nar las contribuciones y sus accesorios se aplicará el Índice Nacional de Pre­cios al Consumidor, el cual será calculado por el Banco de México y se pu­blicará en el Diario Oficial de la Federación dentro de los primeros diez díasdel mes siguiente al que corresponda.

Artículo 20 Bis.-El Índice Nacional de Precios al Consumidor a que serefiere el segundo párrafo del artículo 20, que calcula el Banco de México, sesujeta a lo siguiente:

1. Se cotizarán cuando menos los precios en 30 ciudades, las cuales esta­rán ubicadas en por lo menos 20 entidades federativas. Las ciudades selec­cionadas deberán en todo caso tener una población de 20,000.0 más habitan­tes, y siempre habrán de incluirse las 10 zonas conurbadas o ciudades máspobladas de la República.

11. Deberán cotizarse los precios correspondientes a cuando menos1,000 productos y servicios específicos agrupados en 250 conceptos deconsumo, los cuales abarcarán al menos 35 ramas de los sectores agrícola,ganadero, industrial y de servicios, conforme al catálogo de actividadeseconómicas elaborado por el Instituto Nacional de Estadística, Geografía eInformática.

III. Tratándose de alimentos las cotizaciones de precios se harán comamínimo tres veces durante cada mes. El resto de las cotizaciones se obten­drán una o más veces mensuales.

IV. Las cotizaciones de precios con las que se calcule el Índice Nacionalde Precios al Consumidor de cada mes, deberán corresponder al período deque se trate.

V. El Índice Nacional de Precios al Consumidor de cada mes se calcularáutilizando la fórmula de Laspeyres. Se aplicarán ponderadores para cada ru­bro del consumo familiar considerando los conceptos siguientes:

Alimentos, bebidas y tabaco; ropa, calzado y accesorios; vivienda; mue­bles, aparatos y enseres domésticos; salud y cuidado personal: transporte;educación y esparcimiento; otros servicios.

El Banco de México publicará en el Diario Oficial de la Federación los es­tados, zonas conurbadas, ciudades, artículos, servicios, conceptos de consu­mO y ramas a que se refieren las fracciones 1 y 11 así como las cotizacionesutilizadas para calcular el índice.

Como puede advertirse de la lectura de estas disposiciones, el ÍndiceNacional de Precios al Consumidor se elabora a partir de cotizacioneshechas en diversas ciudades. A los efectos de cubrir todo el territorionadonai, éste se divide en siete regiones: 1. Frontera Norte; 2. Noroeste;3. Noreste; 4. Centro Norte; 5. Centro Sur; 6. Sur; y, 7. Área metropolita­na de la Ciudad de México. Tal y como se menciona en la informaciónpublicada por el Banco de México en el Diario Oficial de la Federaciónde 25 de julio de 2002, son 46 las ciudades que comprenden estas sieteregiones y que integran el sistema del INPC:

134 Matemát.icos aplicados al Derecho • David Cienfucgos Salgado

.

Cuadro de coberlura geográfica del INPC

Región Ciudad

Ciudad Juárez, Chih.Tijuana, B.C.

Frontera Norte Mexicali, B.C.Matamoros, Tamps.

La Paz, B.C.S.Ciudad Acuña, eoah.

Culiacán, Sin.

Noroeste Hermosillo, Son.Huatabampo, Son.

Tepie, Nay.

2M Monterrey, N,L.2M Torreón, eoah.

2M Tampico, Tamps.

Noreste 2M Chihuahua, Chih.Monclova, eoah.Fresnillo. Zac.

Ciudad Jiménez. Chih.Durango, Dgo.

2M Guadala;ara, lal.2M León, Cto.Marelia, Mich.

2M San Luis Potosí. S.L.P.

Centro norte Aguascalientes, Ags.Colima, Col.

lacona, Mich.CUl'tázar, Cto.

Querétaro, Qro.Tepatitlán, Ja!.

2M Puebla, PUB.

Acapu1co, Gro.Toluca, E. de Méx.2M Veracruz, Ver.

Centro sur 2M Córdoba, Ver.Iguala, Gro.

Tulancingo, Hgo.Cuernavaca, Mor.

Tlaxcala, Tlax.San Andrés Tuxtla, Ver.

ZM Mérida. YUC.

Tapachula, Chis.Villaherrnosa. Tab.

Sur Chetumal, Q. RooOaxaca, Oax.

Campeche, CampoTehuantepec. Oax.

Metropolitana Área Metropolitana de la Cd. de México

ZM=Zona Metropolitana

Año

505152535455565758596061626354656667686970717273747576777879808182835485868788899"91929394

I Enero

12.515.017.516.817.222.223.924.723.924.524.726.025.826.426.927.928.229.229.530.231.733.334.837.145.954.260.778.293.5

110.0133.7170.9223.7469.9814.8

1309.82173.24440.9

12293.516542.620260.725752.830374.733812.836348.1

I Febrero I12.615.617.416.711.220.322.422.423.924.524.825.926.026.027.428.028.229.329.530.331.733.434.937.447.054.561.679,994.8

111.6136.8175.1232.5495.1657.8

1364.22269.84761.3

1.3318.916767.120719.526202.330734.634089.136535.1

ÍNDICE NA<;ION~L I!E PRECIOS 1\1. CONSUMIDOR BASE 1978-100 __. ._Mal"ZO 1 Abril I Mayo I lunio 1 Julio I Agosto ISeptiembre l Octubre INoviembro I Diciembre

13.3 13.3 13.3 13.2 13.3 13.5 13.9 14.2 14.4 14.616.3 16.4 17.1 17.4 17.2 16.9 17.1 17.1 17.5 17.417.5 17.7 17.6 17.6 17.4 17.4 17.1 17.2 17.2 17.116.8 16.8 17.1 17.0 17.2 17.2 17.3 17.4 17.2 17.217.4 17.9 18.7 19.0 19.0 19.1 19.1 19.5 19.7 20.020.8 21.0 20.9 21.1 21.4 21.6 21.6 21.8 21.9 21.922.4 22.5 22.4 22.2 21.9 22.0 22.0 21.9 22.1 22.222.5 22.8 23.1 23.1 23.4 23.8 23.6 23.6 23.6 23.624.0 24.2 24.4 24.4 24.3 24.2 23.9 24.1 24.4 24.524.6 24.6 24.4 24.4 24.4 24.5 24.1 24.3 24.5 24.625.4 25.9 25.8 25.8 26.0 26.0 26.2 25.9 25.8 25.925.9 26.0 26.0 26.1 26.0 25.8 25.7 25.7 25.9 25.926.2 26.4 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.6 26.6 26.526.6 26.6 26.7 26.6 26.6 26.5 26.6 26.4 26.4 26.627.4 27.5 27.6 27.6 27.9 28.2 27.8 27.7 28.0 28.128.1 28.3 28.3 28.3 28.2 28.1 28.2 28.2 28.1 28.128.1 28.3 28.3 28.4 28.6 28.8 28.8 28.9 26.9 28.929.4 29.4 29.2 29.0 29.2 29.3 29.6 29.7 29.6 29.429.7 30.0 30.2 30.0 29.9 30.0 30.1 30.0 30.1 30.030.3 30.4 30.4 30.5 30.6 30.6 30.9 31.3 31.3 31.531.8 31.9 31.9 32.1 32.3 32.4 32.5 32.5 32.7 33.033.6 33.7 33.8 34.0 33.9 34.2 34.4 34.4 34.4 34.635.1 35.3 35.4 35.6 35.7 36.0 36.1 36.2 36.4 36.537.7 38.3 38.7 39.0 40.0 40.7 41.6 42.2 42.7 44.447.3 48.0 48.4 48.8 49.6 50.1 50.6 51.7 53.1 53.554.8 55.3 56.0 57.0 57.4 57.9 58.4 58.7 59.9 59.662.5 62.9 63.3 63.6 64.1 64.7 66.9 70.7 73.9 75.881.3 82.5 83.3 84.3 85.2 87.0 88.5 89.2 90.2 91.495.8 96.9 97.8 99.2 100.8 101.8 103.0 104.3 105.3 106.2

103.1 114.1 115.6 116.9 118.3 120.1 121.6 123.7 125.3 127.5139.6 142.1 144.4 147.3 151.4 154.5 156.2 158.6 161.3 165.6178.9 182.9 185.7 188.3 191.6 195.5 199.2 203.6 207.5 213.1241.0 254.0 268.3 281.2 195.7 328.9 346.5 364.4 382.9 423.8519.1 551.9 275.9 597.7 627.2 651.6 671.6 693.9 734.7 766.1894.4 933.1 964.1 999.0 1031.7 1061.0 1092.7 1130.8 1169.7 1219.3

1417.1 1460.7 1495.3 1532.7 1586.1 1655.4 1721.6 1787.0 1869,4 1996.72375.3 2499.3 2638.2 2807.6 2947.7 3182.7 3373.6 3666.5 3876.6 4108.25076.0 5520.1 5936.2 6365.7 6881.3 7443.7 7934.1 8595.2 9277.0 1064.7.2

14000.9 14431.9 14711.1 5011.2 15271.8 15402.2 15490.2 15608.4 15817.3 161.47.316948.8 17202.3 17439.1 17650.9 17827.4 17997.3 18169.4 18438.1 18696.9 19327.921084.8 21405.7 21779.2 22258.9 22664.8 23051.0 23379.6 23715.7 24345.4 25112.726576.0 26854.4 27116.9 27401.5 27643.6 27836.0 28113.3 28440.3 29146.1 98832.531047.4 31324.1 31530.7 31744.1 31944.5 32140.8 32420.4 32653.8 32925.1 333lJ3.934287.7 34485.5 34682.6 34877.1 35044.7 35232.3 35493.2 35638.4 35795.6 36068.536722.9 36902.8

. -íNDICE NACIONAL DE PRECIOS Al. CONSUMIDOR BASE 1994=100.._..-

AñofMcs 1 Ene. I Feb. I Mor. I Abr. I Moy. I Jun. I Jul. I Ago. I Sepl. I Oct, I Nov. I Dic. IAñolMes

fi3 0.0708 0.0711 0.0711 0.0712 0.0714 0.0711 0.0713 0.0711 0.0711 0.0708 0.0707 0.0712 fi3

fi. 0.0721 0.0734 0.0733 0.0737 0.0739 0.0739 0.0746 0.0754 0.0744 0.0743 0.0750 0.0752 fi'

fi5 0.0748 0.0751 0.0754 0.0757 0.0758 0.0759 0.0755 0.0753 0.0756 0.0756 0.0753 0.0753 fi5

fi7 0.0781 0.0786 0.0787 0.0786 0.0781 0.0777 0.0783 0.0786 0.0792 0.0794 0.0793 0.0788 fi7

fifi 0.0790 0.0790 0.097 0.0803 0.0809 0.0802 0.0800 0.0804 0.0807 0.0604 0.0806 0.0804 fi8

fi9 0.oaD8 0.0611 0.0812 0.0814 0.0614 0.0617 0.0820 0.0821 0.0828 0.0837 0.0837 0.0843 fi9

70 0.0850 0.0850 0.0852 0.08!>3 0.0855 0.081l0 0.0865 0.0869 0.0671 0.0871 0.0876 0.0883 70

71 0.0892 0.08913 0.0899 0.0904 0.0905 0.0910 0.0909 0.0917 0.0920 0.0921 0.0923 0.0927 71

72 0.0931 0.0934 0.0939 0.0945 0.0947 0.0954 0.0957 0.0964 0.0968 0.0969 0.0975 0,0978 72

73 0.0903 0.1001 0.1010 0.1026 0.1037 0.1045 0.1072 0.1089 0.1115 0.1129 0.1143 0.1187 73

7' 0.1230 0.1258 0.1267 0.1285 0.1295 0.1308 0.1326 0.1341 0.1356 0.1383 0.1421 0.1432 7'75 0.1450 0.1458 0.1468 0.1480 0.1500 0.1525 0.1538 0.1551 0.1562 0.1570 0.1581 0.1594 75

7fi 0.1625 0.1655 0.1671 0.1683 0.1695 0.1702 0.1716 0.1733 0.1792 0.1892 0.1978 0.2028 7fi

77 0.2092 0.2138 0.2176 0.2209 0.2228 0.2255 0.2281 0.2328 0.2369 0.2387 0.2413 0.2447 77

78 0.2501 0.2537 0.2563 0.2592 0.2617 0.2653 0.2698 0.2725 0.2756 0.2789 0.28HI 0.2842 78

79 0.2943 0.2985 0.3026 0.3053 0.3093 0.3127 0.3165 0.3213 0.3252 0.3309 0.2352 0.3411 79

80 0.3577 0.3660 0.3735 0.380] 0.3863 0.3939 0.4049 0.4133 0.4179 0.4242 0.4316 0.4429 80

81 0.4572 0.46B4 0.47B4 0.4892 0.4966 0.5036 0.5124 0.5230 0.5327 0.5445 0.5550 0.5700 81

82 0.59B3 0.6218 0.6445 0.6794 0.7176 0.7522 0.7910 0.8797 0.9267 0.9747 1.0240 1.1334 82

R3 1.2567 1.3241 1.3882 1,4761 1.5401 1.5984 1.6775 1.7426 1.7962 1.8558 1.9648 2.0488 83

8. 2.1790 2.2940 2.3921 2.4955 2.5783 2.6716 2.7592 2.8376 2.922] 3.0242 3.1280 3.2609 8.

85 3.5028 3.6483 3.7897 3.9063 3.9988 4.0990 4.2417 4.4271 4.6040 4.7788 4.9993 5.3397 85

8fi 5.8117 6.0701 6.3523 6.6839 7.0553 7.5082 7.8828 8.5113 9.0219 9.5376 10.1820 10.9863 8"87 11.8758 12.7328 13.5742 14.7619 15.8748 17.0232 18.4020 ]9.9060 21.2174 22.9855 24.8088 28.4730 87

88 32.8756 35.6176 37.4415 38.5940 39.3407 40.1432 40.8133 41.1888 41.4243 41.7402 42.2988. 43.1814 88

89 44.2384 44.8388 45.3248 46.0027 46.6359 47.2023 47.6744 48.1286 48.5889 49.3075 49.9996 51.6870 89

90 54.1815 55.4084 56.3852 57.2434 58.2423 59.5251 60.6106 61.6434 62.5221 63.4209 65.1048 67.1567 90

ÍNDICE NACIONAL DE PRECIOS AL CONSUMlD"OR BASE 1994=100 (conUnuación)- . - - -Año/M., lEne. I Feb. I Ma,. I Ab,. I May. I Jun. I Jnl. lAgo. I Sept. I Oct. I Nov. I Dic. lAño/M.,

91

92

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9'

95

9.

97

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99

00

01

02

03

68.8684 70.0707 71.0700 71.8145 72.5163 73.2774 73.9250 74.4395 75.1810 76.0554 77.9439 79.7786

81.2285 82.1909 63.0274 83.7675 84.3199 84.8906 85.4266 85.9514 86.6991 87.2233 68.0489 89.3026

90.4228 91.1615 91.6928 92.2216 92.7487 93.2689 93.7172 94.2188 94.9166 95.3048 95.7251 96.4550

97.2028 97.7027 98.2050 98.6861 99.1629 99.6591 100.1010 100.5676 101.2828 101.6145 102.2588 103.2566

107.1431 111.6841 118.2700 127.6900 133.0290 137.2510 140.0490 142.3720 145.3170 148.3070 151.9640 156.9150

162.5560 166.3500 170.0120 174.8450 178.0320 180.9310 183.5030 185.9420 158.9150 191.2730 194.1710 200.3880

205.5410 208.9950 211.5960 213.8820 215.8340 217.7490 219.6460 221.5990 224.3590 226.1520 228.6820 23Ul860

236.9310 241.0790 243.9030 2463í850 248.1460 251.0790 253.5000 255.9370 260.0880 263.8150 268.4870 275.0380

281.9830 285.7730 288.4280 291.0750 292.6260 294.7500 296.6980 298.3680 301.2510 303.1590 305.8550 308.9190

313.0670 315.8440 317.5950 319.4020 320.5960 322.4950 323.7530 325.5320 327.9100 330.'l{¡80 332.9910 336.5060

338.4620 338.2380 340.3810 342.0980 342.8830 343.6940 342.8010 344.8320 348.0420 349.6150 350.9310 351.4180

354.6620 354.4340 356.2470 358.1930 358.9H10 360.6690 361.7050 363.0802 365.2640 366.8740 ::169.8412 371.4511

372.9528 373.9887 376.3495 376.9920 375.7755 376.0859 376.6310 377.7608 360.0096 381.4030 :184.5687 386.2220

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U7

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A partir de marzo de 1995, se cambió el Indice Nacional de Precios al Consumidor de 1978 -Base 100 a 1994- Base 100.Para obtenerse un índice de 1978 Base 100, sólo se tendrá que multiplicar el Índice de 1994 base 100 por el factor de 373.94134.

138 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Debe señalarse que con anterioridad la legislación establecia en lafracción II del artículo 20 bis, que el cálculo debía hacerse cotizando losprecios de cuando menos 2,000 productos. En la actualidad se requierensólo mil productos. La Segunda Sala de la Suprema Corte de Justicia dela Nación ha conocido de asuntos en los cuales se reclama la constitucio­nalidad del citado Índice de Precios al Consumidor:

REVISIÓN EN AMPARO DIRECTO. LA VIOLACiÓN QUE SE ATRIBUYE AL ÍNDICE NA·CIONAL DE PRECIOS AL CONSUMIDOR, RELATIVO A QUE CON ANTERIORIDAD AL EJERCI­

CIO FISCAL DEL AÑo DOS MIL NO SE CALCULÓ CON LOS DATOS CORRESPONDIENTES ADOS MIL PRODUCTOS, EN TÉRMINOS DE LO PREVISTO EN EL ARTÍCULO 20 BIS, FRAC­CIÓN n, DEL CÓDIGO FISCAL DE LA FEDERACIÓN, NO ES DE CONSTITUCIONALIDAD YPOR TANTO NO PUEDE SER MATERIA DE TAL RECURSO.-EI agravio que en un recur­so de revisión interpuesto en contra de una sentencia de amparo directo contro­vierte las consideraciones emitidas en ésta, o la ausencia de pronunciamiento,relacionados con el vicio atribuido al Índice Nacional de Precios al Consumidor,derivado de que en la iniciativa que dio lugar a la modificación del referido pre­cepto legal, para el ejercicio fiscal del año dos mil, se reconoció que para sucálculo no se habían levantado los datos correspondientes a dos mil productos,por lo que se redujo tal cantidad a mil, en nada trasciende a la constitucionali­dad del propio artículo 2D bis, fracción 11, del Código Fiscal de la Federación,pues, en todo caso, de no haberse sujetado en el pasado el Banco de México a lodispuesto en ese numeral, ello constituiría un vicio o defecto atribuible al cálcu­lo del citado índice nacional, sin que en la referida instancia pueda, válidamen­te, abordarse la legalidad del procedimiento seguido por el mencionado bancocentral para calcular los respectivos valores del Índice Nacional de Precios alConsumidor, ya que aun cuando tales valores constituyen auténticas disposicio­nes de observancia general, aplicables respecto de todos los contribuyentes quese ubican en las hipótesis normativas que dan lugar a la actualización del valorde las contribuciones, de los hechos o circunstancias que se gravan mediante és­tas y de las cuotas o tarifas que se establecen para su autodeterminación ° liqui­dación, lo cierto es que tal planteamiento no constituye una cuestión constitu­cional propiamente dicha, materia de análisis del recurso de revisión en amparodirecto, en términos de lo previsto en el artículo 83, fracción V, de la Ley deAmparo, pues su estudio se limita a verificar si un organismo del Estado al emi­tir un acto que trasciende a la esfera jurídica de los gobernados, se apegó a lanormatividad aplicable en respeto del principio de legalidad garantizado en suexpresión genérica en el artículo 16 de la Constitución Federal. ll

La misma Segunda Sala, también ha detallado el funcionamiento y lanaturaleza del Índice de Precios al Consumidor:

11 S]FG9, t. XlII, marzo de 2001, p. 198. Tesis: 2a. XXVII/200l Amparo directo en revi­sión 1549/2000. Laboratorio Piedadense, S.A. de C.V. 23 de febrero de 2001. Cinco votos.Ponente: Guillermo 1. Ortiz Mayagoitia. Secretario: Rafael Coalla Cetina. Amparo directo enrevisión 73/2001. Tráfico Aduanal de México, S.A. 23 de febrero de 2001. Cinco votos. Po­nente: Guillermo 1. Ortiz Mayagoitia. Secretaria: Georgina Laso de la Vega Romero.

Unidad 3 • Métodos y faclores de achmlización 139

\.

ÍNDICE NACIONAL DE PRECIOS AL CONSUMIDOR. EL ARTÍCULO 20 BIS, FRACCiONES

1 a IV, DEL CÓDIGO FISCAL DE LA FEDERACIÓN, QUE ESTABLECE LAS BASES DEL PRO­CEDIMIENTO DE MUESTREO QUE DEBEN SEGUIRSE PARA CALCULAR ESE INDICADOR, NO

TRANSGREDE EL PRINCIPIO DE LEGALIDAD TRIBUTARlA PREVISTO EN EL ARTIcULO 31,

FRACCIÓN IV, DE LA CONSTITUCiÓN FEDERAL.-Tomando en cuenta que medianteel referido índice se pretende cuantificar la elevación que periódicamente sufrenen el territorio nacional los bienes y servicios. con el fin de conocer. para efectostributarios, en qué proporción la moneda nacional pierde su valor adquisitivo conel transcurso del tiempo, resulta lógico que el legislador haya establecido un pro­cedimiento de muestreo basado en diversos conceptos de la teoría estadística,cuyo objetivo fundamental es investigar la posibilidad de extraer de los datos quese observan y registran respecto de un determinado hecho o circunstancia, infe­rencias válidas. elaborando los métodos mediante los cuales pueden obtenerse lasmismas. De ahí que si en el referido artículo 20 bis el legislador estableció los re­quisitos mínimos que el Índice Nacional de Precios al Consumidor debe cumplirpara reflejar la inflación, como son: el número de ciudades donde se cotizarán losprecios, las entidades federativas en que deben encontrarse tales ciudades, loshabitantes con los que deben contar. las ciudades más pobladas en las cuales sedebe cotizar, el número mínimo de productos y servicios que deben cotizarse, losconceptos de consumo y las ramas de actividad económica de las cuales deberánseleccionarse, debe estimarse que con ello se respeta el principio de legalidad tri­butaria, pues con tal disposición se acota la actuación del Banco de México bajorequisitos mínimos que permiten que su labor de investigación refleje el verda­dero incremento del nivel general de precios, y el margen que deja a su discreciónúnicamente le permite superar esos mínimos, lo que de acontecer, dadas esas res­tricciones, provocaría que el índice refleje con mayor fidelidad el fenómeno deque se trata. Por otra parte, la aparente omisión del legislador sobre cuándo ycómo se cotizarán los precios. así como al sistema de medición al que se atenderápara cuantificar el número de habitantes con el que deben contar las ciudadesseleccionadas, tampoco transgrede la mencionada garantía constitucional, ya queen las fracciones nI y LV del artículo 20 bis del Código Fiscal de la Federaciónse constriñó al órgano técnico para el efecto de que las cotizaciones de precios serealicen, tratándose de alimentos. como mínimo tres veces al mes y, del resto debienes. una o más veces en ese lapso, aunado a que las cotizaciones del índicedeben corresponder al periodo de que se trate. destacando, inclusive, que pararealizar las respectivas cotizaciones se debe inquirir en los principales centroscomerciales u oficinas de servicios donde tenga lugar el consumo final de los pro­ductos y servicios, utilizando las técnicas de levantamiento de datos que a juiciodel órgano técnico resulten convenientes para conocer con mayor veracidad sus pre­cios; y. en cuanto a la medición del número de habitantes de las respectivas ciuda­des, las reglas para ello tampoco quedan a la voluntad del órgano técnico, ya queéste debe acudir a los censos nacionales elaborados en términos de lo dispuestoen los artículos 70. y 90. de la Ley de Información Estadística y Geográfica,l2

12 SJFG9, t. XII, diciembre de 2000, p. 390. Tesis: 2a./}. 108/2000. Aprobada por la Se­gunda Sala de la Suprema Corte de Justicia de la Nación, en sesión privada del 24 de no·viembre del ailo 2000.

140 MatemóLicas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

A la actualización se le suele conocer, tamhién, como corrección mo­netaria, reexpresión, etc. En la legislación mexicana la actualización estácontemplada en diversos ordenamientos, siendo las principales disposicio­nes las contenidas en la Ley del Impuesto sobre la Renta y su reglamento.

Los principales factores utilizados en México en los procesos de ac­tualización son:

Factor de Ajuste Mensual,

Factor de Ajuste de Período,Factor de Actualización.

A partir de estos factores se derivan otros, de acuerdo al objeto quese persigue, así encontramos los factores de actualización de las depre­ciaciones, factor de actualización de depreciación en caso de pérdida debienes, factor de actualización de la deducción inmediata aplicada a re­sultado fiscal, factor de actualización de amortización, factor de actuali­zación de multas por infracciones, etcétera.

Para determinar si en un mes o período ha existido una pérdida o ga·nancia inflacionaria, así como para est.ablecer los intereses acumulablesy deducibles, se utilizan los tres factores señalados anteriormente, y delos cuales la legislación mexicana, en este caso la Ley dellmJlueslo Sobrelo Rento, establece:

Artículo 7.-Cuando esta ley prevenga el ajuste o la actualización de losvalores de bienes ti operaciones que por el transcurso del tiempo y con moti·va de los cambios de precios en el país han variado, se aplicarán los siguien­tes factores:

1. Para calcular la modificación en el valor de los bienes y operaciones enun período se utilizará el factor de ajuste que corresponda conforme a lo si­guiente:

(Facial' de Ajuste Mensual)a) Cuando el período sea de un mes, se utilizará el factor de ajuste men­

sual que se obtendrá restando la unidad del cociente que resulte de dividirel índice nacional de precios al consum,idor del mes de que se trate, entre elmencionado índice del mes inmediato anterior.

(Factor de Ajuste de Período)b) Cuando el período sea mayor de un mes se utilizará el factor de ajuste

que se obtendrá restando la unidad del cociente que resulte de dividir el ín­dice nacional de precios al consumidor del mes más reciente del período,entre el citado índice correspondiente al mes más antiguo de dicho período.

(Faclol' de Aclualización)n. Para determinar el valor de un bien o de una operación al término de

un período, se utilizará el factor de actualización que se obtendrá dividiendoel índice nacional de precios al consumidor del mes más reciente del pe­ríodo, entre el citado índice correspondiente al mes más antiguo de dichoperíodo.

Unidad 3 • MétodQS y fllclores de aclualizaci6n 141

De lo anterior podemos deducir cada una de las fórmulas que corres­ponden a estos factores, y que a continuación detallamos:

1. FA INPC mes más reciente del período o mes de que se trate~ -1

INPC mes anterior

En donde:FAM = Factor de Ajuste MensualINPC = Índice Nacional de Precios al Consumidor

2. FAP=INPC mes más reciente del período _ 1INPC mes más antiguo del período

En donde:FAP = Factor de Ajuste de PeríodoINPC = Índice Nacional de Precios al Consumidor

3. INPC del mes más reciente del períodoFA INPC del mes más antiguo del período

En donde:FA = Factor de ActualizaciónINPC = Índice Nacional de Precios al Consumidor

El valor del indice nacional de precios al consumidor (INPC) aparecepublicado mensualmente, dentro de los primeros diez días del mes si­guiente al que se trata, en el Diario Oficial de la Federación. De tal formaque antes del once de marzo debe estar publicado el INPC del mes de fe­brero, en abril el INPC de marzo y así sucesivamente.

De igual forma el Código Fiscal de la Federación, establece el procedi­miento de actualización en su numeral 17-A:

Articulo 17-A.-El monto de las contribuciones, aprovechamientos, asícomo de las devoluciones a cargo del fisco federal, se actualizará por eltranscurso del tiempo y con motivo de los cambios de precios en el país,para lo cual se aplicará el factor de actualización a las cantidades que se de­ban actualizar, Dicbo factor se obtendrá dividiendo el Índice Nacional dePrecios al Consumidor del mes anterior al más reciente del período entre elcitado índice correspondiente al mes anterior al más antiguo de dicho perío­do. Las contribuciones, los aprovechamientos, así como las devoluciones acargo del fisco federal, no se actualizarán por fracciones de mes.

En los casos en que el Índice Nacional de Precios al Consumidor del mesanterior al más reciente del período, no baya sido publicado por el Banco deMéxico, la actualización de que se trate se realizará aplicando el último índi­ce mensual publicado.

Los valores de bienes u operaciones se actualizarán de acuerdo con lo dis-

142 Matemáticos aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado

puesto por este artículo, cuando las leyes fiscales así lo establezcan. Las dis­posiciones señalarán en cada caso el período de que se trate.

Las cantidades actualizadas conservan la naturaleza jurídica que teníanantes de la actualización. El monto de ésta, determinado en los pagos provi­sionales y del ejercicio, no será deducible ni acreditable.

3.2. PROCEDIMIENTOS PARA LA ACTUALIZACiÓN

A partir de las fórmulas señaladas anteriormente podremos entrarde lleno a los procesos de actualización. Líneas atrás hemos menciona­do cómo, con la reforma fiscal de 1994, hubo un cambio en los valoresdel INPC; para comprobar y dejar claro que tal actualización del INPCno altera las variaciones porcentuales, se recomienda utilizar los valo­res correspondientes tanto a los índices nacionales de precios al con·sumidor anteriores (1978=100 y 1994=100),'3 así como el actual(2002= 100).14

FAM=INPC mes más reciente del período o mes de que se trateINPC mes anterior

FAP" INPC mes más reciente del período _INPC mes más antiguo del período 1

-1

36902.800037081.1000

FA INPC del mes más reciente del períodoINPC del mes más antiguo del período

Ejemplos:1. Supongamos que se tiene que determínar cuál es el factor de ajuste

mensual a aplicar en el período comprendido del mes de abril al mes demayo de 1994, sustituyendo en la fórmula los valores de acuerdo a la ta­bla del INPC, resulta:

INPC abril 1994INPC mayo 1994

13 Para convertir el Índice Nacional base 1978=100 de cualquier mes a la nueva base1994=100, se deberá dividir el correspondiente Índice mensual enlre la constanteC=37394.134. Ejemplo: el Índice General base 1978=100 de enero de 1990 fue de 20260.7puntos; de ahí que el Índice General base 1994=100 del mismo mes será de(20260.7)/(37394.134)(100) ~ 54.1815

14 Es importante señalar que desde 1968 a la fecha se han realizado tres cambios de base(en 1978, 1980 Y 1994). Para mayor detalle de lo señalado se recomienda consultar El ÍndiceNocional de Precios al Consumidor: Caracterlsücas y actualización de su base al año 2002,documento publicado por el-Banco de México y disponible en la página Web de dicho orga­nismo público.

Unidad 3 • Métodos y factores de actualización

FAM = 37081.1000 - 136902.8000

FAM = 1.004831 - 1

FAM = 0.0048

143

2. Para determinar cual es el factor de ajuste por período a aplicar en­tre el mes de abril de 1978 a junio de 1989, sustituyendo en la fórmulalos valores de acuerdo a la tabla del INPC, resulta:

INPC Abril 1978 97.8660INPC Noviembre 1994 17650.9000

FAP = 17650.9000 - 197.8660

FAP = 180.3578 - 1

FAP = 179.3578

3. Supongamos que se tiene que determinar cuál es el factor de ac­tualización a aplicar en el período comprendido del mes de enero de1988 a julio de 1990, sustituyendo en la fórmula los valores de acuerdo ala tabla del índice nacional de precios al consumidor, resulta:

INPC enero 1988INPC julio 1990

12293.500022664.8000

FA = 12293.500022664.8000

FA = 0.5424

FA = 0.5424

23379. 600037873.8000

4. Para observar la aplicación del factor de actualización, utilizare­mos el siguiente caso: en septiembre de 1990 se realizó compra de ma­quinaria industrial por valor de $2,340,000.00, si deseamos actualizar aseptiembre de 1994, obtendremos primeramente el factor de actualiza­ción:

INPC septiembre 1990INPC septiembre 1994

FA = 37873.800023379.6000

FA = 1.61995

FA = 1.6199

144 Matemáticas aplicadas al Derecho. David Cienfuegos Salgado

Este factor de actualización se aplica al valor a actualizar para obte­ner el valor ya actualizado:

$2,340,000.00 = N$2,340.00

Valor actualizado = 2,340.00 x 1.6199Valor actualizado = $ 3,790.56

3.3. CÁLCULOS EN LAS RELACIONES LABORALES

Una vez que bemos revisado los procedimientos de actualización, losaplicaremos en aquellos ordenamientos que contemplen la actualizaciónde valores.

Tenemos, por ejemplo, la Ley del Seguro Social, que entró en vigor entoda la República el día primero de julio de 1997. Algunos de los nume­rales que hacen referencia a la actualización de valores son: 68, 106 f. I1I,141, 145, 157 f. 1, 164 f. 1, 168 f. IV, 170. 15

A continuación se transcribe el artículo que hace referencia a la ac­tualización y proporciona algunos datos para realizar el procedimien tode actualización.

Artículo 68.-La cuantía de las pensiones por incapacidad permanenteserá actualizada anualmente en el mes de febrero, conforme al Índice Nacio­nal de Precios al Consumidor correspondiente al año calendario anterior.

Resuelve: Juan Rodriguez recibe a partir de agosto de 1997, pensiónpor incapacidad permanente total de $1,780.00. Conforme a lo estableci­do por el articulo anterior, ¿cuál es el monto que recibirá a partir de fe­brero de 2001?

Artículo 10G.-Las prestaciones en especie del seguro de enfermedades ymaternidad, se financiarán en la forma siguiente:

111. El Gobierno Federal cubrirá mensualmente una cuota diaria por cadaasegurado, equivalente él trece punto llueve por ciento de un salario mínimogeneral para el Distrito Federal, a la fecha de entrada ell vigor de esta Ley,la cantidad inicial que resulte se actualizará trimestralmente de acuerdo a lavariación del Índice Nacional de Precios al Consumidor.

Resuelve: Si la Ley entró en vigor ello de julio de 1997. Si el salariominimo general vigente para el D.F. a partir del 10 de julio de 1997 fuede $26.45. ¿Cuál es la cantidad que pagará el Gobierno Federal por cadaasegurado a partir de octubre de 1997? ¿Qué cantidad a partir de enerode 1998? ¿Cuál a partir de abril de 2002?

15 Los artículos trascritos fueron tomados de la versión publicada en: http:/www.cddhcu.gob.mxlleyinfo/pdfl92,pdf Consulta del 15 de diciembre de 2003.

Unidad 3 • Métodos y (actores de actualización 145

Artículo 168.-Las cuotas y aportaciones a que se refiere el artículo ante­rior serán:

IV. Además, el Gobierno Federal aportará mensualmente, por concepto decuota social, una cantidad inicial equivalente al cinco punto cinco por cientodel salario mínimo general para el Distrito Federal, por cada día de salario co­tizado, la que se depositará en la cuenta individual de cada trabajador asegu~

rada. El valor del mencionado importe inicial de la cuota social, se actualizarátrimestralmente de conformidad con el Índice Nacional de Precios al Consu·midor, en los meses de marzo. junio, septiembre y diciembre de cada año.

Resuelve: Si la Ley entró en vigor ello de julio de 1997. Si el salariomínimo general vígente para el D.F. a partir del 10 de julio de 1997 fuede $26.45. ¿Cuál es el importe inícial aportado, por día de salario cotiza­do, por el Gobierno Federal? ¿Cuál es la cantidad que aportará a cada tra­bajador a partir de septiembre de 1997? ¿Cuál a partir de marzo de 1998?¿Cuál es la cantidad que debe aportar a partir de enero de 2003?

Artículo 170.-Pensión garantizada es aquélla que el Estado asegura aquienes reúnan los requisitos señalados en los artículos 154 y 162 de estaLey y su monto mensual será el equivalente a un salario mínimo generalpara el Distrito Federal, en el momento en que entre en vigor esta Ley, canti­dad que se actualizará anualmente, en el mes de febrero, conforme al ÍndiceNacional de Precios al Consumidor. para garantizar el poder adquisitivo dedicha pensión.

Resuelve: Si la Ley entró en vígor ello de julio de 1997. Si el salariomínimo general vigente para el D.F. a partir del 10 de julio de 1997 fuede $26.45. ¿Cuál es el monto de la pensión garantizada a partir de febrerode 1998? ¿Cuál a partir de febrero de 2003?

El Reglamento del Seguro de Salud para la familia, que entró en vigorel primero de julio de 1997, en su numeral 26 establece también la actua­lización de valores:

Artículo 26.-EI Gobierno Federal cubrirá mensualmente por cada núcleofamiliar asegurado y por cada familiar adicional asegurado, una cuota diariaequivalente al trece punto nueve por ciento de un salario mínimo general delDistrito Federal vigente a la fecha de entrada en vigor de la Ley. La cantidadinicial que resulte se actualizará trimestralmente de acuerdo a la variacióndel Índice Nacional de Precios al Consumidor. El Gobierno Federal cubrirámensualmente por cada núcleo familiar asegurado y por cada familiar adicio~

nal asegurado, una cuota diaria equivalente al trece punto nueve por ciento deun salario mínimo general del Distrito Federal vigente a la fecha de entrada envigor de la Ley. La cantidad inicial que resulte se actualizará trimestralmentede acuerdo a la variación del Índice Nacional de Precios al Consumidor. 1Il

16 Versión tomada de: http://www.iIllSs.gob.mx!lMSS/reglamcntos/saludfamiliaJcap:~.

htm Consulta del 15 de diciembre de 2003.

146 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cicnfucgos Salgado

3.4. CÁLCULOS PARA OPERACIONES JURÍDICAS

Como mencionamos son numerosos los ordenamientos que aplicanprocesos de actualización a efecto de mantener en valor constante lascantidades por ellos establecidas. Toda vez que hemos analizado los pro­cesos de actualización, a continuación haremos mención de aquellos or­denam~entos en los cuales encontramos indicaciones de actualización, aefecto de que sean calculados los nuevos valores.

Un ejemplo es la Ley orgónico del Tribunal Superior de Justicia delD.F., publicada en el Diario Oficial de la Federación del 7 de febrero de1996, y que en sus numerales 129, 132, 139, 140 Y 148, contenía indica­ciones de procedimientos de actualización para las cantidades que semencionaban en su texto.

Artículo 129.-En los negocios de cuantía indeterminada se causarán lascostas siguientes:

I. Por estudio del negocio para plantear la demanda $2,500.00;11. Por el escrito de demanda $1,000.00;IlI. Por el escrito de contestación de la demanda $1,000.00;IV. Por la lectura de escritos o promociones presentados por el contrario,

por foja, $100.00V. Por el escrito en que se promueva un incidente o recurso del que deba

conocer el mismo juez de los autos, o se evacue el traslado o vistas de pro­mociones de la contraria, $250.00;

VI. Por cada escrito proponiendu pruebas, $500.00VII. Por cada interrogatorio de posiciones a la contraria, de preguntas o

repreguntas a los testigos, o cuestionarios a los peritos, por hoja, $125.00;VIII. Por asistencia a juntas, audiencias o diligencias en el local del Juzga­

do, por cada hora o fracción, $100.00;IX. Por asistencia a cualquier diligencia fuera del Juzgado, por cada hora

o fracción, desde $100.00 hasla $200.00X. Por notificación o vista de proveídos, $50.00;XI. Por notificación o vista de sentencia, $100.00;Las cuotas a que se refiere esta fracción y la anterior, se cobrarán sólo

cuando conste en autos que el abogado fue notificado directamente por elactuario. En cualquier otro caso, por cada notificación se cobrarán $25.00siempre que la promoción posterior revele que el abogado tuvo conocimien­to del proveído o sentencia relativos;

XII. -Por los alegatos en lo principal, según la importancia o dificultad delcaso, de $125 a $250.00, y

XIII. Por el escrito de agravios o contestación de los mismos, en apelación$2,500.00.

Las cantidades a que se refiere este artículo serán actualizadas conformeal incremento anualizado que se dé en el Índice Nacional de Precios al Con­sumidor señalado por el 'Banco de México.

\

Unidad 3 • Métodos y factores de actualización 147

Si deseábamos realizar el procedimiento de actualización de las can­tidades mencionadas en dicha ley debíamos tener presente que ese orde­namiento fue publicado en el Diorio Oficial en el mes de febrero de 1996.Es decir, para actualizar en enero de 1997 necesitamos calcular los facto­res de actualización entre enerO y diciembre de 1996, para obtener el in­cremento anualizado a que se refiere el mencionado numeral. De igualforma habremos de calcular la inflación presente entre enero y diciembrede 1997 para calcular los valores para 1998. O en su defecto calcularlaentre enero de 1996 y diciembre de 1997.

Debe mencionarse que en la actualidad tal ejercicio de actualizaciónno es necesario, dado que el nuevo texto de la Ley expresa valores en nú­mero de días de salario:

Articulo 129.-En los negocios de cuantía indeterminada se causaran lascostas siguientes:

1. Por el estudio del negocio para plantear la demanda, el equivalente acien días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

II. Por el escrito de demanda, el equivalente a sesenta días de salario mí­nimo general vigente en el Distrito Federal;

III. Por el escrito de contestación a la demanda, el equivalente a sesentadías de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

IV. Por la lectura de escritos o promociones presentados por el contrario,por foja, el equivalente a cinco días de salario mínimo general vigente en elDistrito Federal;

V. Por el escrito en que se promueva un incidente o recurso del que debaconocer el mismo juez de los autos, o se evacue el traslado o vistas de pro­mociones de la contraria, el equivalente a diez días de salario mínimo gene­ral vigente en el Distrito Federal;

VI. Por cada escrito proponiendo pruebas, el equivalente a veinte día:r:: desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

VII. Por cada interrogatorio de posiciones a la contraria, de preguntas orepreguntas a los testigos, o cuestionarios a los peritos, por hoja, el equiva­lente a cinco días de salario mínimo vigente en el Distrito Federal;

VIII. Por la asistencia a juntas, audiencias o diligencias c!1 el local delJuzgado, por cada hora o fracción, el equivalente a ocho días de salario míni­mo general vigente en el Distrito Federal;

IX. Por la asistencia a cualquier diligencia fuera del juzgado, por cadahora o fracción, contada a partir de la salida del Juzgado, el equivalente adiez días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

X. Por la notificación o vista de proveídos, el equivalente a cinco días desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal; y

XI. Por notificación o vista de sentencia, el equivalente a ocho días de sa­lario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

Las costas a que se refiere esta fracción y la anterior, se cobrarán s610cuando conste en autos que el ahogado fue notificado directamente por elactuario. En cualquier otro caso, por cada notificación se cobrará el equiva-

148 Matemáticas aplicados al Derocho • David Cicnfutlgos Salgado

lente a dos días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal,siempre que la promoción posterior revele que el abogado tuvo conocimien­lo del proveído o sentencia relativos;

XIJ. Por los alegatos en lo principal, según la importancia o dificultad delcaso a juicio del Juez, el equivalente a seis y hasta doce días de salario míni·mo general vigente en el Distrito Federal, y

XHI. Por el escrito de agravios o contestación de los mismos, el equivalen­te a cien días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal.!'

Otro ordenamiento que señala procedimientos de actualización es laLey General de Títulos y Operacíones de Crédito, la cual establece:

Artículo 179.-El cheque puede ser nominativo o al portador.El cheque expedido por cantidades superiores a cinco millones, siempre

deberá ser nominativo. Dicha cantidad, así como la establecida por el artícu­lo 32 de esta Ley, se actualizará ello de enero de cada año en los términosdel artículo 17-A del Código Fiscal de la Federación, por el período transcu­rrido desde el mes de diciembre del penúltimo año hasta el mes de diciem­bre del último año inmediato anterior a aquél en que se actualiza. t8

Tomando en cuenta las cantidades mencionadas y que la reforma aeste articulo entró en vigor a partir del primero de julio de 1991, realizalos cálculos para determinar cuál sería en la actualidad el monto límitepara expedir un cheque al portador y a partir de qué cantidad deberá sernonlinativo.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

Basándose en el Índice Nacional de Precios al Consumidor, vigentedurante el mes de Enero de 1994 (base 1978=100), realizar los ejercicios1,2 Y 3:

1. Determinar la inflación de los siguientes meses:Enero 1986 Febrero 1988Marzo 1990 Abril 1991Mayo 1978 junio 1982julio 1970 Agosto 1979Septiembre 1968 Octubre 1993Noviembre 1992 Enero 1994

17 Versión Lomada de: http://www.asamhleadf.gob.mx/princip/informac/legislaJJeyes/L132/1132p.btm Consulta del 15 de diciembre de 2003.

18 Versión Lomada de: http;//www.cddhcu.gob.mx/leyinfo/pdf/145.pdf Consulta del 15de diciembre de 2003.

Unidad 3 • Métodos y factores de actuali...ación 149

2. Determinar la innación por el periodo comprendido entre los mesesde:

Abril 1992 a mayo 1993Diciembre 1990 a enero 1994Enero 1994 a octubre 1993Julio 1989 a julio 1993Febrero 1970 a enero 1974Abril 1978 a diciembre 1982Agosto 1964 a diciembre 1993Septiembre 1970 a diciembre 1993

3. Determinar el valor al mes de enero de 1994 de los siguientes bienes:a) Un automóvil comprado ello. de febrero de 1990 con valor de

$35,000,000.00b) Un teléfono comprado el 15 de abril de 1992 con valor de

$1,200.00c) Una máquina de escribir comprada el 20 de mayo de 1993, con va­

lor de $800.00d) Un reloj comprado el 25 de febrero de 1993, con valor de

$3,450.00e) Una impresora láser comprada ellO de junio de 1992, con un va­

lor de $4,988.00fJ Un paquete de herramientas mecánicas adquirido el 12 de abril de

1970, en $240.00g) Un acervo, 300 libros, adquiridos en marzo de 1976, en $369.00

4. Leer el Decreto emitido por la Secretaría de Hacienda y Crédito PÚ­blico, mediante el cual se crea la nueva Unidad del Sistema Moneta­rio de los Estados Unidos Mexicanos, publicado en el Diario Oficialde la Federación el día 22 de junio de 1992, y que entró en vigor apartir del 1° de enero de 1993.

5. Para confirmar la exactitud del actual Índice Nacional de Precios alConsumidor, realiza los cálculos correspondientes a los ejercicios 1,2 Y 3. Los resultados deben ser idénticos a los obtenidos con anterio­ridad.

6. Elabora un ensayo donde expliques en qué consiste la inflación pordemanda, por costos, por sobreprecio, por estrangulamiento y por es­tannación.

7. Elabora un ensayo acerca de la aplicación de la Teoría de la Imprevi­sión en los casos de inflación.

8. Completa la tabla de unidades monetarias con las monedas de aque­llos países que no aparecen listados.

150 Matemáticos aplic;odas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

9. Realiza una breve monografía sobre las características que posee lamoneda: liquidez, fungibilidad y universalidad.

10. Elabora un ensayo sobre las ventajas y desventajas de una monedaúnica en un estado federal y en un continente (p. Ej. Europa).

11. Elabora un ensayo sobre la posibilidad de que en México se "dolari­ce" el modelo económico, desapareciendo en consecuencia nuestramoneda actual.

12. Elabora un ensayo acerca del principio pacta sunt seIvanda, presenteen el sistema jurídico mexicano y su relación con la inflación.

13. Elabora un ensayo acerca de las funciones que tiene el Banco de Mé­xico en materia de moneda e inflación.

14. Para la elaboración del Índice Nacional de Precios al Consumidor seutiliza la fórmula de Laspeyres. Investiga en qué consiste.

15. Elabora un resumen sobre los argumentos empleados en la propuestade introducir la onza de plata Libertad al sistema monetario mexica­no. La propuesta puede ser consultada, junta con otros documentos,en: http://www.plata.com.mx

Anexo

LEY MONETARIA DE LOS ESTADOS UNIDOS MEXICANOS'

CAPiTULO I

De la moneda y de su régimen legal

Articulo l.-La unidad del sistema monetario de los Estados Unidos Mexica­nos es el peso, con la equivalencia que por ley se señalará posteriormente.

Artículo 2.-Las únicas monedas circulantes serán:a) Los billetes del Banco de México, S. A., con las denominaciones que fijen

sus estatutos;b) Las monedas metálicas de cincuenta. veinte, diez, cinco, dos y un pesos, y

de cincuenta, veinte, diez, y cinco centavos. con los diámetros, composición me­tálica, cuños y demás características que señalen los decretos relativos.

Cuando los decretos relativos prevean aleaciones opcionales para la compo­sición de las monedas metálicas. la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, apropuesta del Banco de México, determinará su composición metálica señalandoalguna de las aleaciones establecidas en el decreto respectivo o sustituyendo laasí señalada por otra de ellas.

La Secretaría de Hacienda y Crédito Público publicará en el Diario Oficial de/a Federación las resoluciones en las que se determine la aleación que se utiliza­rá en la composición metálica de las monedas de que se trata.

e) Las monedas metálicas conmemorativas de acontecimientos de importan­cia nacional, en platino, en oro, en plata o en metales industriales, con los diá~

metros, leyes o composiciones metálicas, pesos, cuños y demás característicasque seilalen los decretos relativos.

Artículo 2 Bi5.-También formarán parte del sistema, las monedas metáli­cas,~acuñadas en oro y en plata, cuyo peso. cuño, ley y demás características se­ñalen los decretos relativos.

Estas monedas:I. Gozarán de curso legal por el equivalente en pesos de su cotización diaria;11. No tendrán valor nominal;111. Expresarán su contenido de metal fino; yIV. Tendrán poder liberatorio referido exclusivamente al pago de las obliga­

ciones mencionadas en el segundo párrafo del artículo 7°.

1 Ley publicada en el Diario Oficial de la Federación el 27 de julio de 1931. Versión to­mada de: http://www.cddhcu.gob.mxlleyinfo/pdfl152.pdf Consulta del 29 de diciembre de2003.

15'

152 Malcmóticas aplicadas al Derecho • David CicnfUtlgos Salgado

Dicho poder liberatorio será ilimitado en cuanto al número de piezas a en­tregar en un mismo pago.

El Banco de México determinará diariamente la cotización de estas mone­das, con base en el precio internacional del metal fino contenido en ellas.

El Banco de México, directamente o a través de sus corresponsales, estaráobligado a recibir ilimitadamente estas monedas, a su valor de cotización, entre­gando a cambio de ellas billetes y monedas metálicas de los mencionados en elartículo 2° de esta ley.

Artículo 3.-Los pagos en efectivo de obligaciones en moneda nacional cuyoimporte comprenda fracciones de la unidad monetaria que no sean múltiplos decinco centavos, se efectuarán ajustando el monLo del pago, al múltiplo de cincocentavos más próximo a dicho importe.

Los pagos cuya realización no implique entrega de efectivo se efectuarán porel monto exacto de la obligación.

Artículo 4.-Los billetes del Banco de México tendrán poder liberatorio ili­mitado.

Articulo S.-Las monedas metálicas a que se refieren los incisos b) y si­guientes del artículo 2° de esta ley, tendrán poder liberatorio limitado al valor decien piezas de cada denominación en un mismo pago.

Artículo 6.-Las oficinas públicas de la Federación, de los Estados y de losMunicipios, estarán obligadas a recibir las monedas a que se refiere el artículoque antecede, sin limitación alguna, en pago de toda clase de impuestos, servi­cios o derechos.

Artículo ?-Las obligaciones de pago de cualquier suma en moneda mexi­cana se denominarán invariablemente en pesos y, en su caso, sus fracciones.Dichas obligaciones se solventarán mediante la entrega, por su valor nominal,de billetes del Banco de México o monedas metálicas de :Ias señaladas en el ar­tículo 2°.

No obstante, si el deudor demuestra que recibió del acreedor monedas de lasmencionadas en el artículo 2° bis, podrá solventar su obligación entregando mo·nedas de esa misma clase conforme a la cotización de éstas para el día en que sehaga el pago.

Artículo 8.-La moneda extranjera no tendrá curso legal en la República,salvo en los casos en que la Ley expresamente determine otra cosa. Las obliga­ciones de pago en moneda extranjera contraídas dentro o fuera de la Repúblicapara ser cumplidas en ésta, se solventarán entregando el equivalente en mone­da nacional, al tipo de cambio vigente en el lugar y fecha en que deba hacerseel pago.

Este tipo de cambio se determinará conforme a las disposiciones que paraesos efectos expida el Banco de México en los términos de su Ley Orgánica.

Los pagos en moneda extranjera originados en situaciones O transferenciasde fondos desde el exterior, que se lleven a cabo El través del Banco de México ode Instituciones de Crédito, deberán ser cumplidos entregando la moneda, objeto

Anexo 153

de dicha tranferencia o situación. Ello sin perjuicio del cumplimiento de las obli­gaciones que imponga el régimen de Control de Cambios en vigor.

Las obligaciones a que se refiere el primer párrafo de este artículo, origina­das en depósitos bancarios irregulares constituidos en moneda extranjera, se sol­ventarán conforme a lo previsto en dicho párrafo, a menos que el deudor se ha.yaobligado en forma expresa a efectuar el pago precisamente en moneda extranjera,en cuyo caso deberá entregar esta moneda. Esta última forma de pago sólo podráestablecerse en los casos en que las autoridades bancarias competentes lo autori­cen, mediante reglas de carácter general que deberán publicarse en el Diario Ofi­cial de la Federación; ello sin perjuicio del cumplimiento de las obligaciones queimponga el régimen de control de cambios en vigor.

Artículo 9.--Las prevenciones de los dos artículos anteriores no son renun­ciables y toda estipulación en contrario será nula.

Artículo 10.-Las piezas perforadas o recortadas, las que tengan marcas ocontraseñas y las que presenten vestigios de usos no monetarios, carecerán decurso legal y no serán admitidas en oficinas públicas.

Se prohíbe alterar o transformar las monedas metálicas en circulación, me­diante su fundición o cualquier otro procedimiento, que tengan por objeto apro­vechar su contenido metálico. Los infractores serán sancionados administrativa­mente por In Secretaría de Hacienda y Crédito Público con multa hasta de untanto del valor del metal contenido en las piezas alteradas o transformadas. Elimporte de la multa correspondiente se fijará oyendo al Banco de Méxlco y to­mando en cuenta el valor y el número de las piezas utilizadas, el destino que sehaya dado o pretendido dar a las monedas o a sus componentes, la utilidad per~

cibida por el infractor, las circunstancias peculiares de éste y el daño producidoa la circulación monetaria.

La prevención del párrafo anterior en cuanto al aprovechamiento del conte­nido metálico de las piezas, no es aplicable al Banco de México.

CAPÍTULO IIDe la emisión de mOlleda

Artículo 11.-La emisión de. billetes del Banco de México se ajustará a lodispuesto en esta ley y en la Constitll tiva de dicha institución.

Artículo l2.-Corresponderá privativamente al Banco de México ordenar laacuñación de monedas según lo exijan las necesidades monetarias de la Repúbli­ca y estrictamente dentro de los límites de esas. necesidades.

Artículo 13.-(Se derogan sus dos primeros párrafos).El Banco de México sólo podrá ordenar la fabricación de moneda metálica a

quienes previamente la Secretaría de Hacienda y Crédito Público haya autoriza­do para este efecto.

CAPiTULO IIIDe la reserva monetaria

Artículo 14.-La Reserva Monetaria estará formada por los siguientes recursos:

154 MalemáUcas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

al Los que la integran al ser expedida esta ley.b} La plata contenida en las antiguas monedas de un peso y de cincuenta,

veinte y diez centavos, retiradas de la circulación en ejecución de esta ley.e) La parte de las utilidades del Banco de México que la ley respectiva señala.d} La diferencia que resulte entre el costo y el valor monetario de las mone­

das fraccionarias que se acuñen.e) El producto de los préstamos que se contraten para el aumento de la Re­

serva.fJ La suma que anualmente asigne el Presupuesto de Egresos de la Federa­

ción para ese objeto.Igualmente corresponderán a la Reserva Monetaria todos los incrementos

que tenga, sea por el aumento del valor de sus bienes, sea por los provechos quealcance en las operaciones que por su cuenta se practiquen.

Articulo l5.-La Reserva Monetaria se destinará exclusivamente a sostenerel valor de la moneda nacional, y a regular su circulación y los cambios sobre elexterior.

Artículo l6.-Los recursos que constituyen la Reserva Monetaria, en los tér­minos del artículo 14 de esta ley, serán considerados por su valor comercial enlos estados y balances que el Banco de México publique conforme a su Ley Cons­titutiva.

CAPíTULO IVDe la seguridad en la circulación monetaria

Artículo l7.-Queda prohibida la imitación o reproducción total o parcial,de monedas metálicas o de billetes, nacionales o extranjeros, en rótulos, vilietas,anuncios o en cualquiera otra forma, salvo en aquellos casos en que la Secretaríade Hacienda y Crédito Público, oyendo previamente al Banco de México, lo auto­rice expresamente, por tratarse de imágenes de monedas que carezcan de idonei­dad para engañar, que no conduzcan o puedan conducir a la falsificación de di­chas piezas ni. en general, afecten la seguridad de la circulación monetaria.

Queda igualmente prohibida la comercialización de reproducciones o imita­ciones no autorizadas.

Las personas que contravengan lo dispuesto en este artículo, serán sanciona­das administrativamente por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, conmulta hasta de un millón de pesos. El importe de la multa respectiva se fijaráoyendo al Banco de México y tomando en cuenta el número de las imitaciones oreproducciones, los efectos de éstas en la seguridad de la circulación monetaria,la utilidad percibida por el infractor y las circunstancias de éste.

Artículo l8.-Queda prohibida la fabricación de piezas nacionales o extran­jeras que hubieren tenido el carácter de billetes o de monedas metálicas. Los in­fractores serán sancionados administrativamente por la Secretaría de Hacienda yCrédito Público, oyendo al Banco de México, con multa hasta de un tanto del va­lor de mercado de las piezas reproducidas, o de no existir éste, del valor que lesfije la propia Secretaría.

Anexo 155

El Banco de México, con autorización de la Secretaría de Hacienda y CréditoPúblico, podrá fabricar piezas mexicanas de las señaladas en el párrafo anterior.

Artículo 19.-Cuando exista presunción de que una moneda nacional o ex­tranjera es falsa o ha sido alterada, su tenedor podrá pedir al Banco de México,directamente o por conducto de cualquiera institución de crédito del país. verifi­car esas circunstancias. contra la entrega del recibo correspondiente. En el casode que tal petición se formule por conducto de una institución de crédito, éstadeberá remitir al Banco de México, en los términos que el mismo señale y en unplazo no mayor de un día hábil. contado a partir de la fecha de su recibo, las pie­zas que le sean entregadas para su análisis.

Cuando las piezas sean auténticas serán devueltas a su tenedor; si por elcontrario resultaren falsas, estuvieren alteradas o no se pudiera determinar la au­tenticidad de las mismas, el Banco de México procederá a dar parte de inmediatoa las autoridades competentes, poniéndolas a su disposición para el asegura­miento correspondiente.

Artículo 20.-Si las monedas respecto a las cuales exista presunción de queson falsas o han sido alteradas. llegan a poder de una institución de crédito pormedio diverso al previsto en el artículo anterior, dicha institución, como auxiliardel Ministerio Público y de la Policía Judicial. deberá dar parte de inmediato alas autoridades competentes, poniendo las piezas respectivas a su disposición.Las citadas autoridades deberán remitir al Banco de México. para su análisis, laspiezas objeto de la averiguación o instrucción, quedando las mismas al cuidado ybajo la responsabilidad de éste último,

Cuando, en los términos previstos en este artículo, se proceda al asegura­miento de monedas, su tenedor tendrá derecho a que la institución de créditorespectiva le extienda un recibo provisional en el que se identifiquen las piezasde que se lrate, en tanto la autoridad compelente le entrega, por conducto de lapropia institución, el recibo definitivo.

El carácter de auxiliar del Ministerio Público y de la Policía Judicial que seatribuye a las instituciones de crédito. es exclusivamente para los propósitos se­ñalados en esle artículo.

Artículo 21.-Las sanciones previstas en esta ley se aplicarán sin perjuiciode las responsabilidades que resulten por haberse cometido alguno o algunos delos ilícitos previstos en el Código Penal para el Distrito Federal en Materia deFuero Común y para toda la República en Materia de Fuero Federal.

CAPiTULO VDe la desmonetización

Artículo 22.-Para la adecuada integración del sistema monetario, en fun­ción de las necesidades del público y de la duración y costo de los materiales re­lativos, el Banco de México podrá sustituir los billetes que forman parte de dichosistema por otros nuevos o dejar de emitir los de cierta denominación.

Las resoluciones que al efecto adopte esa Institución deberán de publicarseen el Diario Oficial de la Federación y especificar los billetes a que estén referi­das, así como el término durante el cual éstos conservarán su poder liberatorio.

156 Matemáticas aplicadas ul Derecho • David Citlnfuegos Salgado

mismo que no será inferior a veinticuatro meses contado a partir de la fecha enque se publique la resolución correspondiente.

Artículo 23.-EI Banco de México, dentro del plazo a que se refiere el artícu·lo anterior, directamente o a través de sus corresponsales, canjeará ilimitadamen­te y a valor nominal los billetes que se retiren de la circulación conforme a eseartículo.

DISPOSICIONES TRANSITORIAS

Artículo Primero.-Desde la fecha en que entre en vigor la presente ley, sesuspenderá indefinidamente la acuñación de monedas nacionales de oro, que­dando privadas de todo poder liberatorio legal, las monedas de oro de dos, doscincuenta, cinco, diez, veinte y cincuenta pesos, de los cuños establecidos porlas Leyes de 25 de marzo de 1905, de 27 de junio de 1917, de 27 de octubre de1919 y de 22 de septiembre de 1921.

Artículo Segundo.-Se declaran libres la exportación y la importación deoro acuñado o en pasta, quedando derogados, en consecuencia, los artículos 26 y53 de la Ley de 19 de diciembre de 1929.

Artículo Tercero.-(Derogado).

Artículo Cuarto.-Las obligaciones de pago en moneda extranjera contraídasdentro de la República para ser cumplidas en ésta, se solventarán en los términosdel artículo octavo de esta ley, a menos que el deudor demuestre, tratándose deoperaciones de préstamo, que la moneda recibida del acreedor fue moneda na­cional de cualquier clase, o que, tratándose de otras operaciones, la moneda enque se contrajo originalmente la obligación fue mOll~díl nacional de cualquierclase; en estos casos, las obligaciones de referencia se solventarán en monedasnacionales, en los términos de los artículos cuarto y quinto de esta ley, respecti·vamente, al lipa que se hubiere tomado en cuenta al efectuarse la operación parahacer la conversión de la moneda nacional recibida a la moneda extranjera o, sino es posible fijar ese tipo, a la paridad legal.

Artículo Quinlo.-A contar de la fecha de la promulgación de esta ley, que­dan privadas de todo poder legal liberatorio las monedas de plata de cufIos distin­tos a los mencionados en las fracciones b) y e) del artículo segundo de esta ley.

Las monedas de plata de dos pesos, creadas por Ley de 28 de septiembre de1921, serán canjeadas en la forma que determine la Junta Central Bancaria, pormonedas de plata de un peso del cuño que esta ley conserva, sí se presentan alefecto dentro de un plazo de seis meses a partir de la fecha de esta ley.

Las demás monedas de plata y fraccionarias retiradas de la circulación, se­rán canjeadas por monedas de plata o fraccionarias, respectivamente. de los cu­ños que esta ley conserva, en los plazos y condiciones establecidos en los decre­tos correspondientes.

Artículos Sexto al Décimo Tercero.-(Derogados).

Articulo Décimo Cuarto.-Se deroga la Ley de 24 de diciembre de 1930, de-

Anexo 157

biendo aplicarse a la formación de la Reserva Monetaria. el saldo que exista a fa­vor de la Comisión de Cambios como resultado de las operaciones practicadaspor dicha Comisión. Se modifican, en cuanto se opongan a la presente ley y enlos términos de la misma. las disposiciones relativas de la Ley General de Institu­ciones de Crédito y Establecimientos Bancarios. y de la Ley de 13 de abril de1917.

Artículo Décimo Quinto.-Queda facultada la Secretaría de Hacienda y Cré­dito Público, para proveer en la esfera administrativa, a la ejecución de las dispo­siciones de esta ley.

Salón de Sesiones del Congreso de la Unión.-México. D. F., a 25 de juliode 1931.-GoI1zaJo Bautista, D. P.-Antonio Gutiérrez, S. P.-josé ~\1. Dávila,D. S.-Miguel Ramos, S. S.-Manae! Mijares V., D. S.-fosé D. Aguaya, S. S.-Rúbricas.

Por tanto, mando se imprima. publique, circule y se le dé el debido cumpli­miento. Dada en el Palacio del Poder Ejecutivo Federal, en México, a los veinti­cinco días del mes de julio de mil novecientos treinta y uno.-P. OrtÍz Ru­bio.-Rúbrica.-EI Secretario de Estado y del Despacho de Hacienda y CréditoPúblico, L. Montes de Oca.-Rúbrica.-AI C. Subsecretario de Gobernación,Encargado del Despacho.-Presente. Lo comunico a usted para su publicación ydemás fines. Sufragio Efectivo. No Reelección. México, D. F.. a 25 de julio de1931.-El Subsecretario de Gobernnción, Encargado del Despncho, Octavio Nfen­daza GonzáJez.-Rúbrica.

... :

Unidad 4~

Areas de la currículaque tienen en sus contenidos

normatividad conrepercusiqp.es cuantitativas

Objetivo Particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno:Aplicará los instrumentos matemáticos fundamentales de algunasdisciplinas jurídicas que conforman la currícula, que tengan repercu-

siones cuantitativas.

ABREVIATURAS'

CCDFCCo.

CFDFCFF

CFPCCPFLAdLCE

LCMLIT

LGTOC

Código Civil para el Distrito federalCódigo de ComercioCódigo Financiero del Distrito FederalCódigo Fiscal de la FederaciónCódigo Federal de Procedimientos CivilesCódigo Penal FederalLey aduaneraLey de Comercio ExteriorLey de Concursos MercantilesLey Federal del TrabajoLey General de Títulos y Operaciones de Crédito

1 A efectos de orientación al final de artículos transcritos hemos incluido la abreviaturadel ordenamiento de que se trata. Reiteramos que la intención de esta unidad no es la deproporcionar información relevante sobre cada una de las áreas jurídicas estudiadas. El en­foque que tiene esta obra es la de proporcionar al alumno orientación sobre la forma de in­terpretar aquellas normas que lienen en sus contenidos una repercusión cuantitativa.

159

160

LIESPSLISAN

LISRLISSSTE

LIVALNMRS

LOTSILSSRCR

Ma/emáticos aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

Ley del Impuesto Especial sobre Producción y ServiciosLey federal del Impuesto sobre Automóviles NuevosLey del Impuesto sobre la RentaLey del Instituto de Seguridad y Servicios Sociales de los Trabaja­dores del EstadoLey del Impuesto al Valor AgregadoLey que establece las Normas Mínimas sobre Readaptación Socialdel SentenciadoLey Orgánica del Tribunal Superior de Justicia del Distrito FederalLey del Seguro SocialReglamento para la Clasificación de Empresas y Determinación delGrado de Riesgo del Seguro de Riesgos de Trabajo

4.1. ÁREA DE DERECHO FISCAL

La expresión derecho fiscal se refiere a la disciplina jurídica que es­tudia lo relativo al fisco, y por extensión el conjunto de normas jurídicasrelacionadas con el fisco. La voz fisco deriva del latín fiscus, tesoro públi­co, erario, de canasta para dinero (que usaban los recaudadores de im­puestos).2

Sánchez Piúa considera al derecho fiscal como el conjunto de nor­mas jurídicas que se refieren al establecimiento de impuestos, derechos ycontribuciones especiales, a las relaciones jurídicas principales y acceso­rias que se establecen entre la Administración y los particulares con mo­tivo de su nacimiento, cUlnplimiento o incumplimiento, a los procesosoficiosos o contenciosos que pueden surgir y a las sanciones establecidaspor su violación. 3

El conjunto de ordenamientos relacionados con el derecho fiscal esnumeroso. Basten citar los siguientes: Código Fiscal de lo Federación y sureglamento; Ley del Impuesto sobre lo Henta y su reglamento; Ley delImpuesto al Activo y su reglamento; Ley del Impuesto al Volar Agregado ysu reglamento; Ley del Impuesto Especial sobre Producción y Servicios ysu reglamento, Ley Federal de Derechos; asi como otras leyes y tambiéndecretos relacionados con los ordenamientos ya mencionados: Decreto deapoyo adicional a los deudores del fisco federal; Decreto por el que seotorgan estímulos fiscales en diversas contribuciones; decreto que otorgadiversas facilidades administrativas en materia del Impuesto sobre la Ren­la relalivas a depósitos o inversiones que se reciban en México; Decreto

2 Gómez de Silva, Diccionario etimológico de Jo lengua española, p. 304.3 Sánchez Piña, José de Jesús, Nociones de derecho fiscal, México: Editorial PAe, 1995,

p. 15.

Unidad 4 • Áreas de la currfcula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 161

que otorga estímulos fiscales al sector del autotransporte federal de pasa­jeros y de carga, etcétera.

Cama se advierte en la definición de derecho fisca!, existen ciertosconceptos que es preciso distinguir, específicamente el de contribucio­nes. En este sentido el Código Fiscal de la Federacióa, define en su nu­meral 2 estas figuras:

Artículo 2.-Las contribuciones se clasifican en impuestos, aportacionesde seguridad social, contribuciones de mejoras y derechos, las que se defi­nen de la siguiente manera:

l. Impuestos son las contribuciones establecidas en Ley que deben pagarlas personas físicas y morales que se encuentren en la situación jurídica o dehecho prevista por la misma y que sean distintas de las señaladas en lasfracciones 11, 111 Y IV de este artículo.

11. Aportaciones de seguridad social son las contribuciones establecidasen ley a cargo de personas que son sustituidas por el Estado en el cumpli­miento de obligaciones fijadas por la Ley en materia de seguridad social o alas personas que se beneficien en forma especial por servicios de seguridadsocial proporcionados por el mismo Estado.

IIl. Contribuciones de mejoras son las establecidas en Ley a cargo de laspersonas físicas y morales que se beneficien de manera directa por obras pú­blicas.

IV. Derechos son las contribuciones establecidas en Ley por el uso oaprovechamiento de los bienes del dominio público de la Nación, así comopor recibir servicios que presta el Estado en sus funciones de derecho públi­co, excepto cuando se presten por organismos descentralizados u órganosdesconcentrados cuando, en este último caso, se trate de contraprestacionesque no se encuentren previstas en la Ley Federal de Derechos. También sonderechos las contribuciones a cargo de los organismos públicos descentrali~

zados por prestar servicios exclusivos del Estado. (CFF)4

Estas contribuciones u obligaciones fiscales cumplen con una seriede principios que es preciso destacar:

Principio de generalidad. Por medio de este principio se exige quepaguen impuestos todas aquellas personas, físicas y morales, que se ubi­quen en la hipótesis tributaria.

Principio de uniformidad. Se inspira en la igualdad de todos frenteal impuesto; esto es, que se contribuye en relación' a la capacidad.

Principio de certidumbre. Este principio significa que el impuestodebe ser fijo, entendiéndose como tal que no pueda ser arbitrario y por lomismo requiere que el contribuyente lo conozca previamente.

Principio de comodidad. Es decir que el impuesto debe estructurarsede tal manera que se recaude en las formas y épocas más oportunas.

4 Versión tomada de: http:/www.cddhcu.gob.mx/leyinfo/pdf/8.pdf Consulta del 31 dediciembre de 2003.

162 Malemólicas aplicadas al Derecho • David Cicl1fuegos Salgado

Principio de economía. Consiste en que lo que se recaude sea real­mente favorable para el fisco. Puede decirse que es la aplicación directadel costo-beneficio, pues si en un momento el fisco para recaudar$200.00 requiere invertir por pago de personal, equipos, papelería, etcé­tera, $215.00, no tiene ninguna justificación la existencia de un impuestode ese tipo.

Principio de Justicia. Consiste en que todo ciudadano obligado a pa­gar una contribución, lo haga en la forma y posibilidades que realmenteposee y además que se considere a todos en la misma forma cuando seencuentren en ella.

Principio de Simplicidad. Consiste en que para el pago de las contri­buciones se debe seguir un proceso sencillo que permita el acceso a todapersona que sea obligada.

Principio de Claridad. Este principio complementa al anterior y re­comienda que las leyes estén tan explícitas que cualquiera pueda enten­derlas y por lo mismo cumplirlas.

También tenemos que abordar otros conceptos que son importantesen el área fiscal:

Se entiende por contribuyente a la persona que conforme a la leydebe satisfacer una prestación a favor del fisco.

Como habremos de realizar el cálculo del impuesto sobre la renta, espreciso definir qué es la renta. Se llama renta al producto del capital, deltrabajo o de la combinación del capital y del trabajo. Para efectos imposi­tivos se distingue la renta bruta, que es el ingreso total percibido sin de­ducción alguna, esta figura se utiliza cuando un impuesto grava los in­gresos derivados del trabajo o los derivados del capital en forma deintereses. La renta neta es la que resulta después de deducir de los ingre­sos, los gastos necesarios para la obtención de esos ingresos.

Ingresos acumulables. Son la totalidad de ingresos en efectivo, enbienes, en servicios, en crédito o de cualquier otro tipo, que obtengan enel ejercicio, inclusive los provenientes de sus establecimientos en el ex­tranjero.

Deducciones autorizadas. Son las deducciones que se podrán efec­tuar sobre el ingreso. Tales como: las devoluciones que se reciban o losdescuentos o bonificaciones que se hagan; las adquisiciones de mercan­cías, disminuidas con las devoluciones, descuentos y bonificaciones; losgastos; las inversiones; la diferencia entre los inventarios final e inicialde un año de calendario, cuando el inventario inicial fuere mayor, tratán­dose de contribuyentes dedicados a la ganadería; los créditos incobrablesy las pérdidas por caso fortuito o fuerza mayor; las aportaciones para fon­dos destinados a la ínvestigación y desarrollo de tecnología, etcétera.

Pérdida fiscal. Se origina una pérdida fiscal cuando los ingresos acu­mulables en el ejercicio sean menores a las deducciones autorizadas.

Unidad 4 • Amas de la Cllrricuia que lieoen nonnatividad con repercusiones ClJanlilativas 163

DETERMINACIÓN DE ADEUDOS Y CONTRIBUCIONES

A CARGO DEL CONTRIBUYENTE

En este apartado calcularemos el Impuesto que deben cubrir las per­sonas morales y físicas, de conformidad con lo dispuesto por la Ley delImpuesto sobre lo Renta.

PERSONAS MORALES

Primeramente nos ocuparemos del régimen general de las personasmorales establecido en el artículo 10 y siguientes de la L1SR:.

Artículo lO.-Las personas morales deberán calcular el impuesto sobre larenta, aplicando al resultado fiscal obtenido en el ejercicio la tasa del 32%.

El impuesto que se haya determinado conforme al párrafo anterior, des­pués de aplicar, en su caso, la reducción a que se refiere el penúltimo párra­fo del artículo 81 de esta Ley. será el que se acreditará contra el impuesto alactivo del mismo ejercicio, y será el causado para determinar la diferenciaque se podrá acreditar adicionalmente contra el impuesto al activo, en lostérminos del artículo 90. de la Ley del Impuesto al Activo.

El resultado fiscal del ejercicio se determinará como sigue:1. Se obtendrá la utilidad fiscal disminuyendo de la totalidad de los ingre­

sos acumulables obtenidos en el ejercicio, las deducciones autorizadas poreste Título.

1I. A la utilidad fiscal del ejercicio se le disminuirán, en su caso, las pér­didas fiscales pendientes de aplicar de ejercicios anteriores.

El impuesto del ejercicio se pagará mediante declaración que presentaránante las oficinas autorizadas, dentro de los tres meses siguientes a In fechaen la que termine el ejercicio fiscal.

Las personas morales que realicen exclusivamente actividades agrícolas,ganaderas, pesqueras o silvícolas, podrán aplicar lo dispuesto en el penúlti­mo párrafo del artículo 81 de esta Ley. (LISR)'

De acuerdo al artículo anterior, podemos esbozar una fórmula paracálculo del Impuesto sobre la renta:

lA - DA = PU - PA = RF [.32) = ISR

= Ingresos acumulables= Deducciones autorizadas

Pérdida o utilidad fiscal= Pérdidas del ejercicio anterior= Resultado fiscal

Impuesto sobre la renta

donde:lADA

PUPA

RF¡SR =

5 Esta ley fue publicada el 24 de enero de 2002 en el Diario Oficial de la Federación. Versióntomada de: http://www.cddhcu.gob.mxlleyinfo/pdJ/82.pdfConsulta del 31 de diciembre de 2003.

164 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Ejercicio:Determinar el Impuesto sobre la Renta correspondiente al ejercIcIO

fiscal presente de la empresa "LA NACIONAL, S.A." que reportó ingresospor concepto de venta de $700,000.00, los cuales provienen de compras por$400,000.00. En el ejercicio anterior reportó pérdidas por $115,000.00.

Si aplicamos la fórmula anterior, tendriamos:

Ingresos acumulablesDeducciones autorizadasUtilidad fiscalPérdidas del ejercicio anteriorResultado fiscal% art. 10Impuesto sobre la Renta

700,000- 400,000

300,000- 115,000

185,000x (,32)

$59,200.00

Es decir, que deberá cubrir $59,200.00 por concepto del impuesto so­bre la renta.

PERSONAS MORALES DEDICADAS A ACTIVIDADES AGRÍCOLAS, GANADERAS...

Mención especial merece el tratamiento que se daba en la anteriorLey del Impuesto sobre la Renta a las personas morales dedicadas a acti­vidades agricolas, ganaderas, silvícolas o pesqueras que gozaban de unaexención para el pago del impuesto sobre la renta, de acuerdo con los si­guientes lineamientos. A pesar de no encontrarse vigente este sistemaconviene traerlo a colación para mostrar algunos ejemplos de cálculo conbase en tales disposiciones. La redacción del entonces artículo 10-8 dis­ponía el tratamiento fiscal especial para tal tipo de personas morales:

Artículo 10-8.-Las personas morales que se dediquen exclusivamente alas actividades agrícolas, ganaderas, silvícolas o pesqueras no pagarán el im­puesto sobre la renta por los ingresos provenientes de las mismas, siempreque no excedan en el ejercicio de veinte veces el salario mínimo general co­rrespondiente al área geográfica del contribuyente elevado al año. por cadauno de sus socios o asociados. La exención referida en ningún caso excederáen su totalidad, de 200 veces el salario mínimo general correspondiente alárea geográfica de la persona moral elevado al año.

Lo dispuesto en el párrafo anterior también será aplicable a los ingresosque obtengan las sociedades cooperativas de producción.

Por los ingresos que excedan a la cantidad señalada en el primer párrafode este artículo, los contribuyentes pagarán el impuesto en los términos deeste título y efectuarán sus deducciones en la proporción que guarden los in­gresos gravables del ejercicio '[especto del total del ingreso obtenido en elmismo.

No pagarán el impuesto sobre la renta por los ingresos que obtengan porel beneficio, conservación, comercialización, almacenamiento e industria-

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 165

lización de sus productos, las personas morales que se señalan a conti­nuación:

al Ejidos y comunidades.b) Uniones de ejidos y comunidades.e) La empresa social. constituida por avecindados e hijos de ejidatarios

con derechos a salvo.d) Asociaciones rurales de interés colectivo.e) Unidad agrícola industrial de la mujer campesina.j) Colonias agrícolas y ganaderas.Las asociaciones rurales de interés colectivo, para gozar de la exención a

que se refiere este artículo, estarán obligadas a llevar contabilidad simplifi­cada en los térmi.nos del Código Fiscal de la Federación y su reglamento.

De la lectura de esta norma, hoy día no vigente, se advierte que pri-.mero había que determinar el monto de la exención [Ex), toda vez que siésta era igualo mayor a los ingresos (Ing) obtenidos en el ejercicio fiscalque se declaraba, la persona moral no cubriría impuesto alguno:

Ing < ExIng = ExIng > Ex

No pagaNo pagaPaga en términos del artículo 10-B

Ejercicio:Suponíendo la aplicación del referido artículo 10-B de la abrogada

Ley del Impuesto sobre la Renta, cuál sería el impuesto a cubrir por la so­ciedad cooperativa de producción silvícola "La flor de azahar", si sus in­gresos fueron de $3'276,000.00 y sus deducciones de $1'280,000.00. Cabeseñalar que los miembros asociados de la cooperativa son siete, y se su­pone que el salario mínimo general correspondiente es de $28.00 (Área"B"). Debe también considerarse que el texto de la LISR abrogado con­templaba una tasa del 34% para el cálculo del Impuesto soibre la Rentade las personas morales; a diferencia del texto actual que establece unatasa del 32%.

Primero calculamos la exención (Ex) que corresponde por el númerode socios (NS), multiplicamos éstos por 20 y por el monto del salario mí­nimo [SM) puesto que si ésta es mayor al total de ingresos resultará fácildeducir que no existe razón para el cálculo del impuesto sobre la rentade la sociedad:

[NS) (20) (SM) = Ex(20)(28)(365) = 204,400 (7) = 1'430,800

se advierte que los ingresos superan a la cantidad exentada por la ley;por lo cual deberán de pagarse impuesto por la cantidad que excede:

3'276,000 - 1'430,800 = 1'845,200

166 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

recordemos además que podemos efectuar las deducciones en la propor­ción señalada por la ley, asi tenemos que el porcentaje que resulta decomparar el ingreso excedente respecto del total de ingresos, es de56.324786% es decir $720,957.26, únicamente se resta esta cantidad altotal de ingresos gravados y al resultado se aplica la tasa del 34% y ten­dremos el monto a cubrir por concepto de Impuesto sobre la Renta:

1'845,200 - 720,957.26 = 1'124,242.74 (.34) = $382,242.53

Reiteramos que esta norma no tiene vigencia y se utiliza a efectos deejemplificación. En la actualidad el artículo 81 de la LISR al referirse alrégimen fiscal de las personas morales dedicadas a actividades agrícolas,ganaderas, silvicolas o pesqueras, señala:

Artículo 81.-Las personas morales a que se refiere este Capítulo cumpli­rán, con las obligaciones establecidas en esta Ley. aplicando al efecto lo dis­puesto en la Sección I del Capítulo II del Título IV de esta Ley, de acuerdo alo siguiente:

I. Calcularán y enterarán, por cada uno de sus integrantes, los pagos pro­visionales en los términos del artículo 127 de esta Ley. Al resultado obtenidoconforme a esta fracción se le aplicará la tarifa del citado artículo tratándosede personas físicas, o la tasa establecida en el artículo 10 de la misma, tra­tándose de personas morales.

Para los efectos del párrafo anterior, los contribuyentes que se dediquen aactividades agrícolas, ganaderas, pesqueras o silvícolas, podrán realizar pa­gos provisionales semestrales aplicando en lo conducente el artículo 127 deesta Ley. respecto del impuesto yue corresponda a dichas actividades.

11. Para calcular y enterar el impuesto del ejercicio de cada uno de sus in­tegrantes, determinarán la utilidad gravable del ejercicio aplicando al efectolo dispuesto en el artículo 130 de esta Ley. A la utilidad gravable determina­da en los términos de esta fracción, se le aplicará la tarifa del artículo 177 deesta Ley, tratándose de personas físicas, o la tasa establecida en el artículo10 de la misma, tratándose de personas morales. Contra el impuesto que re­sulte a cargo en los términos del párrafo anterior, se podrán acreditar los pa­gos provisionales efectuados por la persona moral.

El impuesto del ejercicio se pagará mediante declaración que presentaránlas personas morales durante el mes de marzo del año siguiente, ante las ofi~

cinas autorizadas, excepto cuando se trate de personas morales. cuyos inte­grantes por los cuales cumpla con sus obligaciones fiscales sólo sean perso­nas físicas, en cuyo caso la declaración se presentará en el mes de abril delaño siguiente.

Tratándose de contribuyentes de este Capítulo que se dediquen exclusi­vamente a las actividades agrícolas. ganaderas. pesqueras o silvícolas. redu­cirán el impuesto determinado conforme a la fracción II de este artículo enun 50%.

Las personas morales que se dediquen exclusivamente a las actividades

Unidad 4 • Áreas de la eurrfcula que tienen normntividad con repercusiones cuantitativas 167

agrícolas, ganaderas, silvícolas o pesqueras, no pagarán el impuesto sobre larenta por los ingresos provenientes de dichas actividades hasta por un mon­to, en el ejercicio, de veinte veces el salario mínimo general correspondienteal área geográfica del contribuyente, elevado al año, por cada uno de sus so­cios o asociados siempre que no exceda, en su totalidad, de 200 veces el sa­lario mínimo general correspondiente al área geográfica del Distrito Federal.elevado al año. Tratándose de ejidos y comunidades, no será aplicable el lí­mite de 200 veces el salario mínimo. En el caso de las personas físicas que­darán a lo dispuesto en el artículo 109 fracción XXVII de la presente Ley.Las personas morales a que se refiere este párrafo, podrán adicionar al saldode su cuenta de utilidad fiscal neta del ejercicio de que se trate, la utilidadque corresponda a los ingresos exentos; para determinar dicha utilidad semultiplicará el ingreso exento que corresponda al contribuyente por el coefi­ciente de utilidad del ejercicio, calculado conforme a lo dispuesto en el ar­tículo 14 de esta Ley. (LISRj

PERSONAS FÍSICAS

Para calcular el impuesto sobre la renta de las personas físicas elprocedimiento es diferente al utilizado tratándose de personas morales.Dependiendo del tipo de ingresos la Ley del Impuesto sobre la Renta re­mite a diferentes artículos. entre ellos. el 155, 156. 157 Y siguientes:

Artículo 155.-8e consideran ingresos por adquisición de bienes:1. La donación.n. Los tesoros.III. La adquisición por prescripción.IV....Tratándose de las fracciones 1 a III, el ingreso será igual al valor del ava­

lúo practicado por persona autorizada por la Secretaría de Hacienda y Crédi­to Público. [LISR)

Artículo 156.-Las personas físicas que obtengan ingresos por adquisi­ción de bienes, podrán efectuar para el cálculo del impuesto anual, las si­guientes deducciones:

1. Las contribuciones locales y federales, con excepción del impuesto so­bre la renta. así como los gastos notariales efectuados con motivo de la ad­quisición.

11. Los demás gastos efectuados con motivo de juicios en los que se reco-nozca el derecho a adquirir.

III. Los pagos efectuados con motivo del avalúo.IV. Las comisiones y mediaciones pagadas por el adquirente. (LISR)Artículo 175.-Las personas físicas que obtengan ingresos en un año ca-

lendario, a excepción de los exentos y de aquéllos por los que se haya paga­do impuesto definitivo, están obligadas a pagar su impuesto anual mediantedeclaración que presentarán en el mes de abril del año siguiente, ante lasoficinas autorizadas.

168 Matcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Los contribuyentes que obtengan ingresos por la prestación de un serviciopersonal subordinado, estarán a lo dispuesto en el artículo 117 de esta Ley.(LISRj

Articulo 176.-Las personas físicas residentes en el país que obtengan in­gresos de los señalados en este Título, para calcular su impuesto anual, po­drán hacer. además de las deducciones autorizadas en cada Capítulo de estaLey que les correspondan, las siguientes deducciones personales:

1. Los pagos por honorarios médicos y dentales, así como los gastos hospi­talarios, efectuados por el contribuyente para sí, para su cónyuge o para lapersona con quien viva en concubinato y para sus ascendientes o descen­dientes en línea recta, siempre que dichas personas no perciban durante elaíi.o de calendario ingresos eIl cantidad igualo superior a la que resulte decalcular el salario mínimo general del área geográfica del contribuyente ele­vado al año.

11. Los gastos de funerales en la parte en que no excedan del salario míni­mo general del área geográfica del contribuyente elevado al año, efectuadospara las personas señaladas en la fracción que antecede.

IJI. Los donativos no onerosos ni remunerativos, que satisfagan los requi­sitos previstos en esta Ley y en las reglas generales que para el efecto esta­blezca el Servicio de Administración Tributaria y que se otorguen en los si­guientes casos:

IV. Los intereses reales efectivamente pagados en el ejercicio por créditoshipotecarios destinados a casa habitación contratados, con los integrantesdel sistema financiero y siempre que el monto del crédito otorgado no exce­da de un millón quinientas mil unidades de inversión. Para estos efectos, seconsiderarán como intereses reales el monto en el que los interAses efectiva­mente pagados en el ejercicio excedan al ajuste anual por inflación del mis­mo ejercicio y se determinará aplicando en lo conducente lo dispuesto en eltercer párrafo del artículo 159 de esta Ley, por el periodo que corresponda.

V. Las aportaciones complementarias de retiro realizadas directamente enla subcuenta de aportaciones complementarias de retiro, en los términos dela Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro o a las cuentas de planes per­sonales de retiro, así como las aportaciones voluntarias realizadas a la sub­cuenta de aportaciones voluntarias, siempre que en este último caso dichasaportaciones cumplan con los requisitos de permanencia establecidos paralos planes de retiro conforme al segundo párrafo de esta fracción ...

VI. Las primas por seguros de gastos médicos, complementarios o inde­pendientes de los servicios de salud proporcionados por instituciones públi­cas de seguridad social, siempre que el beneficiario sea el propio contribu­yente, su cónyuge o la persona con quien vive en concubinato, o susascendientes o descendientes, en línea recta.

VII. Los gastos destinados a la transportación escolar de los descendientesen línea recta cuando ésta sea obligatoria en los términos de las disposicio­nes legales del área donde la escuela se encuentre ubicada o cuando para to­dos los alumnos se incluya dicho gasto en la colegiatura. Para estos efectos,

Unidad 4 • Áreas de la curricula que lienen normalividad con repercusiones cuantitativas 169

se deberá separar en el comprobante el monto que corresponda por conceptode transportación escolar. Para determinar el área geográfica del contribu­yente se atenderá al lugar donde se encuentre su casa habitación al 31. de di­ciembre del año de que se trate. Las personas que a la fecha citada tengan sudomicilio fuera del territorio nacional, atenderán al área geográfica corres­pondiente al Dist.rito Federal. Para que procedan las deducciones a que se re­fieren las fracciones 1 y II que anteceden, se deberá comprobar, mediantedocumentación que reúna requisitos fiscales, que las cantidades correspon­dientes fueron efectivamente pagadas en el año de calendariq de que se tratea instituciones o personas resident.es en el país. Si el contribuyente recupeenparte de dichas cantidades, únicamente deducirá la diferencia no recuperada.

Los requisitos de las deducciones establecidas en el Capítulo X de este Tí­tulo no son aplicables a las deducciones personales a que se refiere este ar­tículo.

... (L1SR)Artículo 177.-Las personas físicas calcularán el impuesto del ejercicio

sumando, a los ingresos obtenidos conforme a los Capítulos 1, 111, IV, V, VI.V1Il y IX de este Título, después de efectuar las deducciones autorizadas endichos Capítulos, la utilidad gravable determinada conforme a las Secciones1011 del Capítulo 11 de este Título, al resultado obtenido se le disminuirá, ensu caso, las deducciones a que se refiere el. artículo 176 de est.a Ley. A lacantidad que se obtenga se le aplicará la siguiente:

.•. ... .. .. _,

Tarifa- ,"-'" .

Límite inferior Límite superior Cuota fija Tasa para aplicarsesobre el excedentedel límite inferior

$ $ $ %

0.01 5,153.22 0.00 3.00

5,153.23 43.739.22 154.56 10.00

43,739.23 76,867.80 4,013.10 17.00

76,867.81 89,355.48 9,645.12 25.00

89,355.49 En adelante 12,767.04 32.00

No será aplicable lo dispuesto en este artículo a los ingresos por los queno se esté obligado al pago del impuesto y por los que ya se pagó impuestodefinitivo.

Contra el impuesto anual calculado en los términos de este artículo, sepodrán efectuar los siguientes acreditamientos:

1. El importe de los pagos provisionales efectuados durante el año de ca­lendario, así como, en su caso, el importe de la reducción a que se refiere elúltimo párrafo del artículo 81 de esta Ley.

170 Matem6Ucas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

n. El impuesto acreditable en los términos de los artículos 60., 165 Y delúltimo párrafo del artículo 170. de esta Ley.

El impuesto que resulte a cargo del contribuyente se disminuirá con elsubsidio que, en su caso, resulte aplicable en los términos del artículo 178de esta Ley_ En los casos en los que el impuesto a cargo del contribuyentesea menor que la cantidad que se acredite en los términos de este articulo.únicamente se podrá solicitar la devolución o efectuar la compensación delimpuesto efectivamente pagado o que le hubiera sido retenido. Para los efec­tos de la compensación a que se refiere este párrafo, el saldo a favor se ac­tualizará por el periodo comprendido desde el mes inmediato anterior enque se presentó la declaración que contenga el saldo a favor y hasla el mesinmediato anterior al mes en que se compense.

Las cantidades establecidas en moneda nacional de las tarifas y tablascontenidas en este artículo y los artículos 113. 114. 115. 116 Y 178 de estaLey, se actualizarán en los meses de enero y julio con el factor de actualiza~

ción correspondiente al periodo comprendido desde el séptimo mes inme­diato anterior y hasta el último mes inmediato anterior a aquél por el cual seefectúa la actualización, mismo que se obtendrá de conformidad con el ar­tículo 17-A del Código Fiscal de la Federación.

Artículo 178.-Los contribuyentes a que se refiere este Título gozarán deun subsidio contra el impuesto que resulte a su cargo en los términos del ar­tículo anterior.

El subsidio se calculará considerando el ingreso y el impuesto determina­do conforme a la tarifa contenida en el artículo 177 de esta Ley. a los que seles aplicará la siguiente:

. - -..

Tabla

Límite inferior Límite superior Cuota fija Tasa para aplicarsesobre el excedentedel límite inferior

$ $ $ %

0.01 5,153.22 0.00 50.00

5,153.23 43,739.22 77.22 50.00

43,739.23 76,867.80 2,006.58 50.00

76,867.81 89,355.48 4,822.20 50.00

89,355.49 106,982.82 6,383.46 50.00

106,982.83 215,769.06 9,203.70 40.00

215,769.07 340,081.74 23,563.74 30.00

340,081.75 En adelante 36,243.54 0.00

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normalividad con repercusiones cuantitativas 171

El impuesto marginal mencionado en esta tabla6 es el que resulte de apli­car la tasa que corresponda en la tarifa del artículo 177 de esta Ley al ingresoexcedente del límite inferior.

Tratándose de los ingresos a que se refiere el Capítulo 1 de este Título, elempleador deberá calcular y comunicar a las personas que le hubieran pres­tado servicios personales subordinados, a más tardar el 15 de febrero decada año, el monto del subsidio acredHable y el no acreditable respecto a di­chos ingresos, calculados conforme al procedimiento descrito en el artículo114 de esta Ley.

Cuando los contribuyentes, además de los ingresos a que se refiere el Ca­pítulo 1 de este Título, perciban ingresos de los señalados en cualquiera delos demás Capítulos de este mismo Título, deberán restar del monto del sub­sidio antes determinado una cantidad equivalente al subsidio no acreditableseñalado en el párrafo anterior.

... (LISRj'

75,350320,650

112,515.68

24,00014,50029,100

7,750

[12,767.04 + (ExLI x .32)]

De los artículos transcritos tenemos que, para calcular el impuesto acubrir, primero debe obtenerse la base gravable, es decir restar las deduc­ciones autorizadas al total de ingresos. La base gravable servirá paraidentificar en las tablas de los artículos 177 y 178, las cuotas aplicablespor impuestos y subsidios.

Ejercicio:Joaquín Lagos adquiere por prescrípclOn un terreno con un valor

conforme avalúo practicado por persona autorizada por la SHCP, de$396,000.00. Se pagaron contribuciones locales por $14,500.00, gastos conmotivo del juício por $29,100.00 y pago de avalúo de $7,750.00. Se supo­nen deducciones de las autorizadas por el artículo 176 por $24,000.00; laadquísíción de este bien es su único ingreso, y además es soltero.

Calcular el impuesto sobre la renta anual que pagara Joaquín Lagos.

Ingresos obtenidos: 396,000menOS:

Deducciones autorizadas (art. 176)Contribuciones localesGastos por juicioPago de avalúoBase gravableImpuesto (art. 177)

6 Es evidente que se trata de un error puesto que en la labia no se menciona ningún im­puesto marginal. En la anterior Ley del Impuesto sobre la Renta, la cuarta columna teníacomo encabezado: % de subsidio sobre impuesto marginal. El legislador simplemente seequivocó.

7 Versión tomada de: http://www.gobernacion.gob.mxJdof/2002/enero/dotOl·01·2002.pdf Diario Oficial de la Federación del 1° de enero de 2002, Segunda Sección, pp. 223-224,

\

172 Malem6ticas aplicadas aJ Demcho • David Ciellfuegos Salgado

menos:Subsidio fiscal (ar!. 178) [23,563.74 + (1M x .3)] 53.488.332Impuesto a cargo 59,027.35

El resultado presentado en los rubros de impuesto y subsidio estánconformes con los artículos 177 y 178. El impuesto comprende tanto lacuota fija como el impuesto marginal; el subsidio fiscal comprende tantolos de cuota fija como el del impuesto marginal.

IMPUESTO SOBRE LA RENTA

POR OBTENCIÓN DE PREMIOS

La Ley del lmpuesto sobre la Renta también grava los ingresos parobtención de premios. A continuación transcribimos algunas de talesnor,mas:

Artículo 162.-Se consideran ingresos por obtención de premios, los quese deriven de la celebración de loterías, rifas, sorteos, juegos con apuestas yconcursos de toda clase, autorizados legalmente.

Cuando la persona que otorgue el premio pague por cuenta del contribu­yente el impuesto que corresponde como retención, el importe del impuestopagado por cuenta del contribuyente se considerará ingreso de los compren­didos en este Capítulo.

No se considerará comO premio el reintegro correspondiente al billete quepermitió participar en las loterías. (LISR)

Artículo 163.-El impuesto por los premios de loterías, Tifas, sorteos yconCursos, organizados en territorio nacional, se calculará aplicando la tasadel 1% sobre el valor del premio correspondiente a cada boleto o billete en­tero, sill deducción alguna, siempre que las Entidades Federativas no gravencon un impuesto local los ingresos a que se refiere este párrafo, o el grava­men establecido no exceda del 6%. La tasa del impuesto a que se refiere esteartículo será del 21%, en aquellas Entidades Federativas que apliquen unimpuesto local sobre los ingresos a que se refiere este párrafo, a una tasa queexceda del 6%.

El impuesto por los premios de juegos con apuestas, organizados en terri­torio nacional, se calculará aplicando el 1% sobre el valor total de la canti­dad a distribuir entre todos los boletos que resulten premiados.

El impuesto que resulte conforme a este artículo, será retenido por laspersonas que hagan los pagos y se considerará como pago definitivo, cuandoquien perciba el ingreso lo declare estando obligado a ello en los términosdel segundo párrafo del artículo 106 de esta Ley. No se efectuará la retencióna que se refiere este párrafo cuando los ingresos los reciban los contribuyen­tes señalados en el Título JI de esta Ley o las personas morales a que se refie­re el artículo 102 de esta Ley.

Las personas físicas que no efectúen la declaración a que se refiere elsegundo párrafo del artículo 106 de esta Ley, no podrán considerar la re-

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercl1siones cuantitativas 173

tención efectuada en los términos de este artículo como pago definitivoy deberán acumular a sus demás ingresos el monto de los ingresos obte­nidos en los términos de este Capítulo. En este caso, la persona que ob­tenga el ingreso podrá acreditar contra el impuesto que se determine enla declaración anual, la retención del impuesto federal que le hubieraefectuado la persona que pagó el premio en los términos de este precep­to. (LISR)

Ejercicio:Leonardo Méndez ganó el premio mayor en una rifa, autorizada legal­

mente en una entidad federativa que impone una tasa de 7% a los pre­mios asi obtenidos. Si el monto del premio es ele $16,600.00. ¿Cuál es elmonto del impuesto sobre la renta que deberá cubrir?

De acuerdo con el articulo 163, el impuesto se calcula aplicando latasa del 21% sobre el valor del premio (VP) correspondiente a cada bole­to o billete entero, sin deducción alguna.

En este caso será:

VP (21%) = ¡SR16,600 (21%) = $3,486.00

PAGO DE DERECHOS

Los derechos, como mencionamos, son las contribuciones estableci­das en la ley por el uso o aprovechamiento de los bienes del dominio pú­blico de la Nación, así corno por recibir servicios prestado por el Estaelqen sus funciones de derecho público. Este es el caso elel suministro deagua o de energía eléctrica.

A continuación nos referiremos a algunas disposiciones del CódigoFinanciero del Distrito Federal relacionadas con el pago de derechos porsuministro de agua. Debe señalarse que esta Ley fue publicada en el Dia­rio Oficial de la Federación el 31 de diciembre de 1994 y los valores co­rrespondientes a 2003 no fueron publicados en su momento, por lo quese siguen utilizando los correspondientes a 2002. Nosotros hemos utiliza­do labIas con valores anteriores:

Artículo 196.-Están obligados al pago de los derechos por el suministrode agua que provea el Distrito Federal, los usuarios del servicio. El monto dedichos derechos comprenderá las erogaciones necesarias para adquirir, ex­traer, conducir y distribuir el líquido, así como su descarga a la red de dre­naje. y las que se realicen para mantener y operar la infraestructura necesa­ria para ello, y se pagarán bimestralmente, de acuerdo a las tarifas que acontinuación se indican:

1. En caso de que haya instalado medidor, los derechos señalados se paga­rán de acuerdo con lo siguiente:

174 Matemáticas aplicadas o/ Derecho. David Cionfuegos Salgado

a) Tratándose de tomas de uso doméstico, que para efectos de este Códigoson las que se encuentren instaladas en inmuebles de uso habítacional, elpago de los derechos correspondientes se hará conforme al volumen de con­sumo medido, de acuerdo a la siguiente:

Tarifa

Consumo en m3 Tarifa

Límite inferior Límite superior Cuota mínima Cuota adicionalpor metro cúbico

excedente dellímite inferior

0.0 10.0 11.50 0.00

10.1 20.0 11.50 1.36

20.1 30.0 25.06 1.58

30.1 50.0 40.84 2.42

50.1 70.0 89.22 3.09

70.1 90.0 150.99 3.95

90.1 120.0 229.95 7.86

120.1 180.0 465.67 9.94

180.1 240.0 1,061.76 14.28

240.1 420.0 1,918.42 16.44

420.1 660.0 4,877.45 19.16

660.1 960.0 9,475.18 20.70

960.1 1,500.0 15,684.97 23.81

1,500.1 en adelante 28,543.48 25.38

b} Las tomas de aguas instaladas en inmuebles distintos a los señaladosen el inciso anterior, se considerarán como de uso no doméstico paraefectos de este Código y el pago de los derechos correspondientes se haráconforme al volumen de consumo medido en el bimestre, de acuerdo a lasiguiente:

Unidad 4 • Áreas de la currícula que licnen normalivldad con repercusiones cuantitntivas 175

... ... . .

Tarifa

Consumo en m l Tarifa

Límite inferior Límite superior Cuota base Cuota adicionalpor metro cúbico

excedente dellímite inferior

0.0 10.0 55.58 0.00

10.1 20.0 111.10 0.00

20.1 30.0 166.68 0.00

30.1 60.0 166.68 8.26

60.1 90.0 414.39 10.74

90.1 120.0 736.43 13.22

120.1 240.0 1,132.77 15.69

240.1 420.0 3,015.90 18.17

420.] 660.0 6,286.67 20.65

660.1 960.0 11,242.47 23.25

960.1 1,500.0 18,216.04 26.04

] .500.1 en adelante 32,277.37 26.71

Las autoridades fiscales determinarán el consumo de agua por medio dela lectura de los aparatos medidores, con base al promedio del consumo dia­rio resultante de las dos lecturas más recientes con antigüedad no mayor deun año; y

n. En el caso de que no haya medidor instalado, el medido esté descom­puesto o exista la imposibilidad de efectuar la lectura del consumo, los dere­chos señalados se pagarán de acuerdo a lo siguiente:

a) Tratándose de tomas de uso doméstico, se pagará el derecho conside­rando el consumo promedio qe corresponda a la colonia catastral en que seencuentre el inmueble en que esté instañada la toma, siempre que en dichacolonia catastral el número de tomas con medidor sea mayor o igual al 70%del total de tomas existentes en esa colonia. En los casos en que no se cum­pla con esa condición, se aplicará la cuota fija correspondiente de la tarifaprevista en este inciso.

Para tal efecto, se considerarán las colonias catastrales con base en la cla­sificación y características que señale la Asamblea para fines de la determi­nación de los valores unitarios del suelo, construcciones e instalaciones es­peciales, de acuerdo a lo dispuesto por el artículo 151 de este Código.

176 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuúgos Salgado

- --Tipo de colonia catastral en qe se ubique Cuota bimeslral

el inmueble y esté instalada una toma de agua expresada en pesos- .

O 13.81

1 20.74

2,3 Y 8 41.48

4,5 Y 7 177.07

6 141.89

Los inmuebles ubicados en las colonias tipo 6 y 7 quetengan un valor catastral que corresponda al rango 968.08marcado con la literal "M" a la "5" de la tarifa estable-cida en la fracción J del artículo 152 de este Código

El Sistema de Aguas del Distrito Federal publicará en la Gaceta Oficialdel Distrito Federal, las listas de colonias catastrales que vayan contandocon un 70% o más de lomas con medidor instalados; y

b} En e~ caso de tomas de agua consideradas para efectos de este Códigocomo de uso no doméstico, se pagará una cuota fija bimestral, considerandoel diámetro de la toma, conforme a la siguiente:

1--

Tarifa-- -- _. -

Diámetro de la toma en milímetros Cuota bimestral expresada en pesos

Hasta 13 522.88

Más de 13 a 15 3,503.85

Más de 15 a 19 5,733.12

Más de 19 a 26 11,147.23

Más de 26 a 32 17,199.77

Más de 32 a 39 25,162.51

Más de 39 a 51 44,591.60

Más de 51 a 64 66,886.17

Más de 64 a 76 95,552.29

Más de 76 a 102 194,288.84

Más de 102 a 150 420,428.51

Más de 150 a 200 745:307.67

Más de 200 a 250 1'165,736_18

Más de 250 a 300 1'678,532.33

Más de 300 en adelante 1'780,456.35

Unidad 4 • Áreas de la currículn que tienel\ normalividad con repercusiones cuanlitativas 1.77

La autoridad fiscal. a solicitud del contribuyente, recibirá los pagos bi­mestrales de los derechos a que se refiere la fracción 11 de este artículo, conel carácter de provisionales, debiendo efectuarse los ajustes correspondien­tes cuando el aparato medidor se instale, repare o posibilite su lectura, a par­tir de de la fecha en que se hubiere solicitado su instalación, reparación olectura, ya sea para que los contribuyentes cubran la diferencia que resulte asu cargo o bien para que puedan acreditar contra pagos posteriores la canti­dad que pagaron de más. (CFDF)

Ejercicio:Calcular el monto de los derechos a pagar por Juan Vázquez, quien

tiene una toma de agua de tipo doméstico, si durante el bimestre ju­lio-agosto tuvo un consumo de 32.5 metros' de agua.

Sabemos que el consumo es de 32,500 litros. De acuerdo con la tarifadel artículo 196, fracción 1, quien consuma entre 30,100 y 50,000 litrospagará 40.84 de cuota mínima y 2.42 por cada metro cúbico que excedade los 30.1 del límite inferior. Tenemos así que los metros cúbicos queexceden al límite inferior son 2.4, que multiplicados por la cuota (2.42)nos dan: 5.808 que sumados a los 40.84 de la cuota mínima, nos permi­ten concluir que el total de derechos por suministro de agua en ju­lio-agosto es de: $46.648

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. En términos de los artículos 177 y 178 (LISR), calcular el impuestoanual que cubrirá Eliseo Ruiz, si durante el ejercicio que se declaratuvo ingresos personales por $63,500, así como deducciones de lasautorizadas por $7,300 y de las no autorizadas por $8,400.

2. En términos de los artículos 155, 156, 176, 177 Y 178 de la Ley delImpuesto sobre la Renta, calcular el impuesto que deberá cubrir JorgeCantú, si durante el ejercicio que se declara obtuvo como ingreso porprescripción un terreno con valor de $300,000 asimismo, tuvo ingre­sos personales por $12,400. Sus gastos durante el mismo período fue­ron de $32,000 por concepto de honorarios médicos y gastos hospita­larios propios; de $100,500 por gastos del juicio civil para adquirir elterreno por prescripción; $4,500 por gastos funerarios ocasionadospor la muerte de un amigo; $18,300 por avalúos del bien inmuebleadquirido por prescripción: $82,000 por contribuciones al municipioya la Federación por la adquisición del terreno; $40,000 por adquisi­ción de un vehículo para uso personal; $2,000 por viaje de placer:$4,100 por gastos de transporte escolar para sus hijos; y, $2,500 poradquisición de muebles para el hogar. Por la adquisición del terreno

178 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

no pagó el impuesto provisional y únicamente hace la declaraciónanual.

3. En términos del artículo 10 (LlSR), cuál será el impuesto que cubrirála zapateria "La Elegante" si tuvo ingresos por $362,000, asimismolas deducciones autorizadas durante el período que se declara fueronde $126,200. La pérdida fiscal del ejercicio anterior fue de $32,000.Si el ejercicio que se declara comprende del 10 de enero al 31 de di­ciembre de 2003, ¿hasta qué día puede pagarse el impuesto sin incu­rrir en Inora?

4. En términos del artículo 10-B (de la abrogada LlSR), calcular el im­puesto que cubrirá la sociedad cooperativa pesquera "El cuatete", sisus ingresos fueron de $234,000 y sus deducciones de $56,000. Cabeseñalar que los miembros asociados en la cooperativa son cuatro, y elsalario mínimo general en el área geográfica es de $26.05 (Área "C"].

5. Pedro López adquiere por prescripción un terreno con un valor con­forme avalúo practicado por persona autorizada por la SHCP, de$109,000. Se pagaron contribuciones locales por $8,500, gastos conmotivo del juicio por $19,100 y pago de avalúo de $1,950. Se supo­nen deducciones de las autorizadas por el artículo 140 por $8,000 yque la adquisición de este bien no es su único ingreso, pues obtuvoademás ingresos por $32,000 y además está casado en régimen de so­ciedad conyugal. Calcular el impuesto sobre la renta anual que paga­ra Joaquín Lagos.

6. Leobardo Martínez ganó el premio único en una lotería, autorizadalegalmente. En su lugar de residencia se cobra un impuesto localdel 8% a tales premios. Si el monto del premio es de $19,800. ¿Cuáles el monto del impuesto sobre la renta que deberá cubrir? ¿Cuál esel monto total de mpuesto que está obligado a cubrir?

7. Calcular el impuesto anual que cubrirá Enrique Adame, si durante elejercicio que se declara tuvo ingresos personales por $103,500, asicomo deducciones de las autorizadas por $27,300 y de las no autori­zadas por $28,600.

8. En términos del artículo 10-B (de la abrogada LlSR), cuál será el im­puesto sobre la renta que deberá cubrir el ejido Emiliono Zapata, sidurante el ejercicio fiscal obtuvieron ingresos por $600,000 y tuvie­ron gastos deducibles por $290,000. El ejido se compone de 29 ejida­tarios.

9. ¿Cuál es el impuesto definitivo que pagará ¡osé Álvarez por obtenerel premio de una rifa, autorizada legalmente, por $44,550.00?

Unidad 4 • Áreas de la eurricula que tienen normatividad con repercusiones cuanlitativas 179

10. Miguel Abarca obtiene durante 1997 ingresos por concepto de un te­soro valuado por la SHCP en $310,000 y otros ingresos de $36,000.Sus gastos fueron en el mismo período $12,000 por gastos médicos yhospitalarios propios; $12,300 por gastos de avalúo del tesoro;$82,000 por pago de contribuciones al municipio y a la Federaciónpor la adquisición del tesoro; $21,000 por adquisición de un vehículopara uso personal; $5,300 por gastos de transporte escolar para susdescendientes; $16,000 en un viaje de vacaciones con su familia.

11. Amada Abarca obtiene ingresos durante 1997 de $200,000.00, porconcepto de herencia de su padre. Es el único ingreso que tiene en elejercicio fiscal. ¿Cuál es el impuesto sobre la renta que habrá de pa­gar?

12. Calcular el impuesto que se retendrá a un trabajador, si por conceptode indemnización se le entrega durante junio de 1997, la cantidad de$23,00000. Su último sueldo mensual es de $1,200.00 y tiene una an­tiguedad laboral de cuatro años.

13. Conforme al vigente Código Financiero del Distrito Federal, calcularel monto de los derechos a pagar por Juan Blánquez, quien tiene unatoma de agua de tipo doméstico, si durante el bimestre julio-agostotuvo un consumo de 13,250 litros de agua.

14. Conforme a las tablas proporcionadas en este texto, calcular el montode los derechos a pagar por Juan Vázquez, quien tiene una toma deagua de tipo doméstico, si durante el bimestre enero-febrero tuvo unconsumo de 432.8 metros' de agua.

4.2. ÁREA DE DERECHO PENAL

El derecho penal es considerado como la rama del derecho públicointerno relativo a los delitos, las penas y las medidas de seguridad, quetiene por objeto inmediato la creación y conservación del orden social.En cuanto conjunto de normas define los delitos y fija las sanciones co­rrespondientes. Algunos autores se refieren al derecho penal como dere­cho criminal,B o como derecho punitivo o derecho a castigar.

Considerando el principio constitucional de que no hay delito nipena sin ley previa, el derecho penal describe las diversas especies dedelito, señala las características de toda infracción penal y determina lanaturaleza de las penas y medidas de seguridad y las bases de su magni-

8 Pina, Rafael de, Diccionario de derecho. México: Porrúa, 1996, p. 238.

180 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Chmfuegos Salgado

tud y duración. Delito, pena y medida de seguridad son los conceptosesenciales del derecho penal. 9

De acuerdo con el Código penal federol el delito es el acto u omisiónque sancionan las leyes penales.

La pena es entendida como el castigo legalmente impuesto por elEstado a la persona cuando comete un delito, a fin de conservar el ordenjurídico.

Las medidas de seguridad son las prevenciones generales encamina­das a impedir la comisión de nuevos delitos por quienes ya han sido au­tores de alguno, o para la prevención de ]9S que puedan cometer quienes,sin haber cometido ninguno hasta el momento, por sus circunstanciaspersonales es de temer que los realicen. En el derecho mexicano, se con­sideran como medidas de seguridad la reclusión de locos, degenerados, yde quienes tengan el hábito o la necesidad de consumir estupefacientes opsicotrópicos, la confiscación o destrucción de cosas peligrosas, etcéte­ra. 'O Las medidas de seguridad son tratamientos de naturaleza preventivay responden al fin de la seguridad, por ello, con frecuencia se encuentranfuera del campo penal y corresponden a la autoridad administrativa.

APLICACIÓN y EJECUCIÓN DE LAS PENAS Y MEDIDAS DE SEGURIDAD

Líneas atrás nos referimos a las penas y medidas de seguridad. Abun­daremos acerca de la pena señalando algunas de sus características: esun sufrimiento derivado de la restricción o privación de ciertos bienesjurídicos: libertad, propiedad, honor, vida; es impuesta por el Estado através de tribunales como resultado de un juicio penal; es de carácterpersonal, es decir, nadie puede ser castigado penalmente por hechos aje­nos; finalmente, debe ser estatuida por la ley, como consecuencia jurídi­ca de un hecho o conducta que, de acuerdo con la misma ley, tenga el ca­rácter de delito.

De acuerdo con el artículo 24 del Código penol federal las penas ymedidas de seguridad que se aceptan en el sistema penal mexicano son:prisión; tratamiento en libertad, semilibertad y trabajo en favor de la co­munidad; internamiento o tratamiento en libertad de inimputables y dequienes tengan el hábito o la necesidad de consumir estupefacientes opsícotrópicos; confinamiento; prohibición de ir a un lugar determinado;sanción pecuniaria; decomiso de instrumentos, objetos y productos deldelito; amonestación; apercibimiento; caución de no ofender; suspen­sión o privación de derechos; inhabilitación, destitución o suspensiónde funciones o empleos; publicación especial de sentencia; vigilancia

9 Diccionario jurídico mexicano, D-H, p. 1021.10 Pina, Diccionario de derecho, p. 370.

Unidad 4 • Áreas de la curr[cula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 181

de la autoridad; suspensión o disolución de sociedades; medidas tutela­res para menores; y, decomiso de bienes correspondientes al enriqueci­miento ilicito.

El Código penal federal señala que la prisión consiste en la privaciónde la libertad corporal y su duración será de tres días a sesenta años. Asi­mismo se prevé que estas penas se extinguirán en las colonias peniten­ciarias, establecimientos o lugares que al efecto señalen las leyes o el ór­gano ejecutor de las sanciones penales ajustándose a la resoluciónjudicial respectiva. El mismo ordenamiento penal señala que sólo podráimponerse una pena adicional al límite máximo cuando se cometa unnuevo delito en reclusión.

Ejercicio;José Rubio al ir de campamento a un bosque enciende una fogata. Al

levantar el campamento apaga la fogata y no se percata de que no se ex­tingue totalmente, lo que después ocasiona un incendio en el bosque.¿Cuál es la normatividad penal aplicable y cuáles las sanciones o medi­das de seguridad que se le imponen?

Primero debemos determinar el tipo penal, en este caso es el de Dallaen prapiedad ajena, regulado por el Código penal federal en el capítuloVI del titulo dedicado a los delitos contra las personas en su patrimonio(articulas 397 a 399 bis);

Artículo 397.-Se impondrá de cinco a diez años de prisión y multa decien a cinco mil pesos, a los que causen incendio, inundación o explosióncon daño o peligro de:

V. Montes, bosques, selvas. pastos. mieses o cultivos de cualquier género.(CPF)

Debemos determinar además el tipo de conducta. En este caso se tra­ta de una conducta culposa. Las reglas para aplicar las sanciones en lasconductas culposas son;

Artículo fiO.-En los casos de delitos culposos se impondrá hasta la cuar­ta parte de las penas y medidas de seguridad asignadas por la ley al tipo bá­sico del delito doloso, con excepción de aquellos que la ley señale una penaespecífica. Además se impondrá, en su caso, suspensión hasta de diez años,o privación definitiva de derechos para ejercer profesión, oficio, autoriza­ción, licencia o permiso.

Las sanciones por delito culposo sólo se impondrán con relación a los de­litos previstos en los siguientes artículos: 150, 167, fracción VI. 169, 199 bis,289 parle segunda. 290, 291, 292, 293, 302, 307, 323, 397, 399, 414 primerpárrafo y tercero en su hipótesis de resultado, 415 fracciones 1y 11 Y últimopárrafo en su hipótesis de resultado, 416, 420 fracciones 1, n, III y V, Y420Bis fracciones I. n y IV de este código. (CPF)

182 Motemólicos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

De la lectura del artículo anterior se aprecia que el delito de daño enpropiedad ajena admite la conducta culposa, por lo cual la pena paraJosé Rubio estará entre los siguientes limites, y el juez determinará lasanción considerando los extremos de los artículos 51 y 52 del CódigoPenal:

Prisión: de 5 a 10 años, la cuarta parte es 1 año 3 meses a 2 años 6 meses.Multa: de $100.00 a $5,000.00 , la cuarta parte es de $25.00 a $1,250.00

Debe considerarse además el contenido del artículo 70, el cual puedeaplicarse en este caso:

Artículo 70.-La prisión podrá ser sustituida, a juicio del juzgador, apre­ciando lo dispuesto en los artículos 51 y 52 en los términos siguientes:

1. Por trabajo en favor de la comunidad o semilibertad, cuando la penaimpuesta no exceda de cuatro años;

n. Por tratamiento en libertad, si la prisión no excede de tres años, oIII. Por multa, si la prisión no excede de dos años.La sustitución no podrá aplicarse a quien anteriormente hubiere sido con­

denado en sentencia ejecutoriada por delito doloso que se persiga de oficio.Tampoco se aplicará a quien sea condenado por algún delito de los señala­dos en la fracción 1 del artículo 85 de este Código. (CPF)

DETERMINACIÓN DE FIANZAS Y MULTAS

Se entiende por fianza la garantía personal prestada para asegurar elcumplimiento de una obligación o la gestión de ciertos cargos o encar­goS.11

La multa es la sanción pecuniaria impuesta por cualquier contraven­ción legal, en beneficio del Estado o de cualquier entidad oficial que seencuentre autorizada para imponerla. 12

De acuerdo con el Código penal (art. 29) la sanción pecuniaria que sepuede imponer en el proceso penal es la multa y la reparación del daño.La multa consiste en el pago de una cantidad de dinero al Estado, que sefijará por días multa, los cuales no podrán exceder de quinientos, salvolos casos que la propia ley señale. El día multa equivale a la percepciónneta diaria del sentenciado en el momento de consumar el delito, toman­do en cuenta todos sus ingresos. De acuerdo con el Código penal federalel límite inferior del día multa será el equivalente al salario mínimo dia­rio vigente en el lugar donde se consumó el delito. Por lo que toca al de­lito continuado, se atenderá el salario mínimo vigente en el momentoconsumativo de la última conducta. Para el permanente, se consideraráel salario mínimo en vigor en el momento en que cesó la consumación.

11 Pina, Diccionario de derecho, p. 288.12 Ibidem, p. 375.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normalividad con repercusiones cuantitativas 183

Según el mismo Código penal federal, cuando se acredite que el sen­tenciado no puede cubrir el monto de la multa o puede sólo cubrir partede ella, podrá sustituirse total o parcialmente, por prestación de trabajoen favor de la comunidad. Cada jornada de trabajo saldará un día demulta. Cuando no sea posible o conveniente la sustitución de la multapor la prestación de servicios, se podrá colocar al sentenciado en libertadbajo vigilancia, que no excederá del número de dias multa sustituidos.

Si el sentenciado se negare sin causa justificada a cubrir el importede la multa, el Estado la exigirá mediante el procedimiento económicocoactivo.

El mismo Código penal federal señala que en cualquier tiempo podrácubrirse el importe de la multa, descontándose de ésta la parte propor­cional a las jornadas de trabajo prestado en favor de la comunidad, altiempo de prisión que el reo bubiere cumplido tratándose de la multasustitutiva de la pena privativa de libertad, caso en el cual la equivalen­cia será a razón de un día multa por un día de prisión.

Ejercicio:Sergio Pérez es sentenciado por el delito de peligro de contagio a

ciento veinte días de prisión y cuarenta días multa. Si el sentenciado notenía empleo al momento de cometer la conducta sancionada, calcular elmonto que habrá de cubrir por concepto de multa.

Dado que el sentenciado no está en posibilidad de cubrir la multa,señale hasta qué día habrá de realizar trabajo en favor de la comunidadconsiderando los siguientes datos:

a) La sentencia le es notificada el 5 de enero de 1998. En esta fechalleva acumulados 42 días de detención preventiva.

b) Inicia trabajos en favor de la comunidad el día 12 de enero de 1998.Primero calculamos el monto de la multa, de acuerdo con lo dispues­

to por el articulo 29 del Código penal federal y considerando que el sen­tenciado no tenía ingresos, aplicamos el límite inferior del día multa:

(40) (30.20) = $1,208.00

Es decir el monto de la multa, correspondiente a 40 días multa es de$1,208.00. Para calcular las fechas en que habrá de realizar trabajo en fa­vor de la comunidad, debe atenderse a las reglas señaladas por el mismoCódigo:

Artículo 27.-...

El trabajo en favor de la comunidad consiste en la prestación de serviciosno remunerados. en instituciones públicas educativas o de asistencia socialo en instituciones privadas asistenciales. Este trabajo se llevará a. cabo enjornadas dentro de períodos distintos al horario de las lahores que represen-

184 MotemáticO$ aplicadas a/ Derecho· David Cienfuegos Salgado

ten la fuente de ingreso para la subsistencia del sujeto y de su familia, sinque pueda exceder de la jornada extraordinaria que determine la ley laboraly bajo la orientación y vigilancia de la autoridad ejecutora.

El trabajo en favor de la comunidad puede ser pena autónoma o sustituti­vo de la prisión o de la multa.

Cada día de prisión será sustituido por una jornada de trabajo en favor dela comunidad. La extensión de la jornada de trabajo será fijada por el jueztomando en cuenta las circunstancias del caso.

Por ningún concepto se desarrollará este trabajo en forma que resulte de·gradanle o humillante para el condenado. (CPF)

Debe considerarse primeramente que de acuerdo con la legislaciónlaboral la jornada de trabajo será de seis días de trabajo por uno dedescanso (art. 69, LFT), además de que se consideran días de descansoobligatorio ello de enero, el 5 de febrero, el 21 de marzo, ello de mayo,el 16 de septiembre, el 20 eje noviembre, ello de diciembre cuando co­rresponda transmisión del Poder Ejecutivo Federal y el 25 de diciembre(art. 74, LFT).

Considerando lo anterior en base al calendario podemos establecer:o) Purgará su pena de prisión el dia 24 de marzo de 1998.b) Cumplirá con el total de días mulla sustituidos por trabajo en fa­

vor de la comunidad el día 27 de febrero de 1998.

APLICACIÓN DE LOS BENEFICIOS DE LA LlBERTAD:

CONDICIONAL, BAJO PALABRA Y BAJO CAUCIÓN

La voz libertad proviene del laUn jibeltotem, libertas, estado libre,emplease para designar el estado del que no es esclavo, del que no estápreso ni oprimido.

En su acepción filosófica la libertad se entiende como una propiedadde la voluntad, gracias a la cual ésta puede adherirse a uno de entre losdistintos bienes que le propone la razón. El ser humano nace libre y, porlo tanto, su derecho de v.ivir libre no debe entenderse como el regalo dealguna autoridad, sino la consecuencia lógica de su propia naturaleza.Esta libertad se ve restringida cuando se comete algún delito, en cuyoCaso para recobrarla debe extinguir o cumplir la pena privativa de liber­tad o cubrir ciertos requisitos legales para obtenerla.

Siguiendo a Garcia Ramírez, la naturaleza o carácter de la libertadconcedida en el proceso -además de la que resulta de una sentencia fir­me, modo natural de conclusión del proceso, se distingue entre la queposee efectos definitivos esto es, apareja la conclusión del proceso y la li­bertad absoluta del inculpado, y aquella que tiene efectos provisionales,subordinados a determinadas condiciones y eminentemente precaria yrevocable.

A la primera categoría pertenecen el sobreseimiento, la desacredita-

Unidad 4 • Áreas dc la currícula que tienen nonnatividad con repercusiones cuantitativas 185

ción de pruebas, la libertad por falta de elementos y la derivada de nuevaley favorable al reo. A la segunda categoría corresponden la libertad porhaberse practicado irregularmente la detención del inculpado -que deri­va del artículo 16 constitucional, que dispone esta libertad "con las reser­vas de ley"-, por no haber elementos para procesar, por desacreditaciónde las pruebas que sirvieron para determinar la probable responsabilidady la provisional bajo caución o protesta. '3

La libertad condicional es la que se otorga a los sentenciados quehubiesen compurgado la mayor parte de las penas privativas de la liber­tad que se les hubiesen impuesto, si demuestran que por su conducta enlas instituciones penitenciarias y por su avance en los tratamientos dereadaptación social, se encuentran en condiciones de no volver a delin­quir. Es la llamada libertad preparatoria. 14

La libertad bajo palabra (o bajo protesta) es la medida cautelar quetiene por objeto la libertad provisional del inculpado en un proceso pe­nal, cuando se le imputa un delito de baja penalidad, tiene buenos ante­cedentes y no ha sido condenado en un juicio penal anterior, con el com­promiso formal de estar a disposición del juez de la causa." Esta formade libertad desvinculada de una garantía patrimonial, es un ofrecimientoo una promesa, o bien una palabra "de honor" empeñada. El articulo 230del Código de procedimientos penales del estada de Morelos señala que"la protesta consiste en la promesa formal que hace el inculpado de quese presentará ante la autoridad judicial cada vez que se le requiera parala continuación del proceso y de que cumplirá los demás deberes inhe­rentes a la libertad provisional que se le otorga"l.

La libertad bajo caución es la medida precautoria establecida en be­neficio del inculpado de concederle la libertad provisional durante elproceso penal, cuando se le impute un delito cuya penalidad no excedade determinado límite y siempre que el propio acusado o un tercero otor­gue una garantía económica con el propósito de evitar que el primero sesustraiga de la acción de la justicia." Esta figura debe distinguirse de lalibertad caucional previa o administrativa que es la facultad que seotorga al Ministerio Público para autorizar que permanezca en libertad elpresunto responsable de un delito imprudencial o culposo, especialmen­te los conocidos con motívo del tráfico de vehículos, siempre que se otor-

13 García Ramírez, Sergio. El procedimiento penal en los c¡,·tados de la República. Los co­sos de Guerrero, Morelos y Tabasco, M6xico: Gobierno del Estado de Morelos, Gobierno delEstado de Tabasco. UNAM, 199B, p. 170.

14 Diccionario jurídico mexicano, 1-0, p. 2021.15 Ibidem, p. 1988.

16 Garcia Ramírez, Bl procedimiento penal en los estados de la República, p. 1.76.17 Diccionario jurídico mexicano, roo, p. 1990.

186 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

gue una caución para garantizar que el inculpado estará a disposición delpropio Ministerio Público o, en su caso, ante el juez de la causa.

El tema de la libertad condicional se tratará más adelante y el de li­bertad bajo protesta no tiene repercusiones cuantitativas notables. Porello, abundaremos sobre la libertad bajo caución. De acuerdo con los có­digos procesales, la naturaleza de la caución queda a elección del proce­sado, quien al solicitar el beneficio de la libertad caucional señalará laforma en que cubre la garantía: depósito en efectivo, fianza personal, deun tercero o de empresa autorizada, hipoteca, prenda o fideicomiso. Sino se señala el lipa de garantía ofrecida, el juez o tribunal fijará las canti­dades que procedan respecto de cada tipo de caución. Los criterios paraestablecer el monto de la caución deben atender: o) los antecedentes delinculpado; b) la gravedad y circunstancias del delito o de los delitos im­putados; e) el mayor o menor interés que pueda tener el acusado en sus­traerse a la acción de la justicia; d) las condiciones económicas del proce­sado; y, e) la naturaleza de la garantía que se ofrezca.

Ejercicio:A José Salís se le fija una caución de $23,500.00 para poder gozar de

libertad provisional. Al acreditar que es de escasos recursos económicosel juez resuelve conceder el beneficio a la exhibición de la caución enparcialidades. Si la primera parcialidad cubierta es de 15%, ¿cuánto másdeberá cubrir para completar el monto total de la garantía?

Si el juez decide que el resto de la caución sea cubierta de la formasiguiente: Enero 21, 30.50%; febrero 18, 20.150/0; marzo 18, 25.15%; abril22, 24.20%, ¿cuánto pagará en cada parcialidad?

Para resolver este problema aplicaremos nociones de porcentaje. Paraobtener el monto restante de la caución se procede así:

(23,500) (.15) = 3,525

23,500 - 3,525 = $19,975.00

Es decir, que una vez cubierto el 15%, aún se deberán aportar 19,975pesos. Para obtener las siguientes parcialidades se procede de igual manera:

enero 21 (19,975) (.305) = 6,092.38febrero 18 (19,975) (.2015) = 4,024.96marzo 18 (19,975) (.2515) = 5,023.71abril 22 (19,975) (.242) = 4.833.95total: 1.000 19,975.00

BENEFICIOS DE LA LIBERTAD ANTICIPADA. TRATAMIENTO PRELlBERACIONAI.

La fase de preliberacíón tiene como propósito esencial preparar alrecluso gradualmente para su reincorporación social, requiere de un

Unidad 4 • Áreas de la currfcula que tienen nonnatividad con repercusiones cuantitativas 187

acertadísimo tratamiento previo y del concurso del hombre privado de sulibertad, al efecto son de mayor importancia los grupos pilotos de entre­namiento, en el orden particular dicha fase contribuye a una mejor indi­vidualización del tratamiento, y en el orden general es el preludio de laprísión abierta.

Del tratamiento en libertad, semiliberación y del trabajo en favor dela comunidad se ocupa el artículo 27 del Código penal federal:

Artículo 27.-El tratamiento en libertad de imputables consiste en la apli­cación de las medidas laborales, educativas y curativas, en su caso, autoriza­das por la ley y conducentes a la readaptación social del sentenciado, bajo laorientación y cuidado de la autoridad ejecutora, Su duración no podrá exce­der de la correspondiente a la pena de prisión sustituida,

La semilibertad implica alteración de períodos de privación de la libertady de tratamiento en libertad. Se aplicará, según las circunstancias del caso,del siguiente modo: externaci6n durante la semana de trabajo o educativa,con reclusión de fin de semana, salida de fin de semana, con reclusión du­rante el resto de ésta; O salida diurna, con reclusión nocturna, La duraciónde la semilibertad no podrá exceder de la correspondiente a la pena de pri­sión sustituida.

... (CPFj

La preliberación na es un cantacto con la libertad, y se desarrolla enla etapa final de la reclusión, se trata de sustituir ésta por un régimen di­ferente, de acercamiento a la futura excarcelación, abarca diversas medi­das, pero destacan los permisos de salida y la prisión abierta.

La primera etapa del tratamiento penitenciario se caracteriza por elrégimen cerrado al que se somete al reo, quien permanece todo el tiempoentre las murallas de la prisión, sin salir jamás de ella, como no fuera paraasistir, ocasionalmente, a alguna diligencia ante las autoridades encarga·das de juzgarlo o de ejecutar la pena. Cuando la liberación se aproxima ysi los estudios de personalidad acreditan avances importantes en el pro­ceso de readaptación social, se podrá permitir al sujeto que se ausentetemporalmente de la prisión, en períodos muy breves, a fin de que sereencuentre con la libertad. Para ello se le conceden permisos de salidade fin de semana, diaria con reclusión nocturna, o en días hábiles con re­clusión de fin de semana, el otorgamiento de estos permisos es exitosocuando existe, efectivamente, un tratamiento penitenciario y el consejotécnico interdisciplinario actúa con eficacia y probidad.

Otra medida fundamental de la etapa preliberacional es el trasladodel reo a una institución abierta, popularmente conocida, como cárcel sinrejas, ésta pertenece a la categoría de los establecimíentos de mínima se­guridad, no se aloja en ellas a sujetos de díficil trato, individuos peligro­sos o reos a los que les falte mucho tiempo para la conclusión de suscondenas.

188 Matcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Es indispensable seleccionar con cuidado y rigor a los habitantes dela institución abierta, ya que habrá éxito, como en el caso de los permi­sos de salida, si la institución abierta está apoyada por un genuino siste­roa penitenciario y funciona adecuadmnente el consejo técnico.

Por otra parte, la prisión abierta significa el término conceptual y prác­tico de la prisión que, en sentido estricto, se halla en la frontera entre lassanciones privativas de libertad y las modernas medidas en libertad.

El ordenamiento que regula la figura del tratamiento preliberacionales la Ley que establece las normas mínimas sobre readaptación sacíal desentenciadas:

Artículo 7.-EI régimen penitenciario tendrá carácter progresivo y técnicoy constará, por lo menos, de períodos de estudio y diagnóstico y de trata­miento, dividido este último en fases de tratamiento en clasificación y detratamiento preliberacional. El tratamiento se fundará en los resultados delos estudios de personalidad que se practiquen al reo, los que deberán seractualizados periódicamente.

Se procurará iniciar el estudio de personalidad del interno desde que éstequede sujeto a proceso, en cuyo caso se turnará copia de dicho estudio a laautoridad jurisdiccional de la que aquél dependa. (LNMRS)

Artículo B.-El tratamiento preliberacional podrá comprender:1. Información y orientación especiales y discusión con el interno y sus

familiares de los aspectos personales y prácticos de su vida en libertad;11. Métodos colectivos;111. Concesión de mayor libertad dentro del establecimiento;IV. Traslado a la institución abierta; yV. Permisos de salida de fin de semana o diaria con reclusión nocturna, o

bien de salida en días hábiles con reclusión de fin de semana.Al aplicar las medidas de tratamiento establecidas en las fracciones IV y

V, la autoridad condicionará su otorgamiento, al cumplimiento de lo previs­to en la fracción III y en los incisos a) a d) del artículo 84 del Código Penalpara el Distrito Federal en Materia de Fuero Común y para toda la Repúblicaen Materia de Fuero Federal. No se concederán dichas medidas cuando elsentenciado se encuentre en cualquiera de los casos a que se refiere el ar­tículo 85 del mencionado Código Penal. La autoridad podrá revocar dichasmedidas, conforme a lo establecido en el artículo 86 del citado Código Penal.(LNMRS)

LIBERTAD PREPARATORIA

Líneas atrás nas referimos a la libertad condicional o libertad prepa­ratoria. En cuanto al origen histórico de la libertad preparatoria las opi­niones se encnentran divididas: algunos creen haber encontrado antece­dentes de la institución en el antigua derecho chino, otras afirman queen el derecha canónica existía una institución similar.

Según Urbano Marín, la libertad condicional tuvo sn origen en Fran-

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normaUvidad con repcn:usiones cuantitativas 189

cia, donde hacia 1832 se aplicó por vez primera vez como un premiopara los delincuentes menores de dieciséis años, a los que se colocabacomo aprendices en establecimientos particulares y quedaban sujetos ala tutela y vigilancia de la denominada sociedad de jóvenes detenidos. ,.

De acuerdo con el Código de Procedimientos Penales se pedirá un in­forme pormenorizado al director del reclusorio respectivo acerca de lavida del reo en el lugar de detención. El Código Federal de Procedimien­tos Penales establece que deben recabarse los datos acerca de la temibili­dad del solicitante, de la conducta que haya observado durante la pri­sión, de las manifestaciones exteriores de arrepentimiento o de enmienday sobre las inclinaciones que demuestre el reo.

La libertad preparatoria se funda en una presunción de enmienda delrecluso, que deriva de la conducta observada por el mismo durante suencierro, esta presunción en que se basa la institución liberadora es unapresunción juris tontum por ello, se concede al penado una libertad revo­cable y se le sujeta al cumplimiento de ciertas obligaciones y a la vigilan­cia de la autoridad; si pudiera tenerse la certeza de su reforma, se le con­cederia la libertad definitiva y sin ninguna condición, por ello se admiteal liberado a un período de prueba, que ha de demostrar empíricamente,si aquella pesunción de enmienda era verdadera por los hechos, al ven­cer el período de prueba la libertad preparatoria se transforma en defini­tiva, y en caso contrario el delincuente vuelve a la cárcel a continuar sutratamiento.

El Código penal regula la figura de la libertad preparatoria:

Artículo 84.-8e concederá libertad preparatoria al condenado, previo elinforme a que se refiere el Código de Procedimientos Penales, que hubierecumplido las tres quintas partes de su condena, si se trata de delitos inten­cionales, o la mitad de la misma en caso de delitos imprudenciales, siemprey cuando cumpla con los siguientes requisitos:

L Que haya observado buena conducta durante la ejecución de su sen­tencia.

n. Que del examen de su personalidad se presuma que está socialmentereadaptado y en condiciones de no volver a delinquir; y

IJI. Que haya reparado O se comprometa a reparar el daño causado, suje­tándose a la forma, medidas y términos que se le fijen para dicho objeto, sino puede cubrirlo desde luego.

... (ep)

Ejercicio:Pedro Guzmán conduce un automóvil a exceso de velocidad y lleva

consigo a su novia. Al evitar a una persona que imprudentemente se atra­viesa, produce lesiones en la cara a su novia por golpe contra el parabri-

18 Enciclopedia juridica Omeba, lo XVIII, Buenos Aires, Argentina: Driskill, 1979, p. 434.

190 Malemó!icos aplicadas 01 Derecho • David Cienfuegos Salgado

sas. De acuerdo con el Código penal la punibilidad es de 2 a 5 años deprisión y el juez le impone sentencia de cinco años de prisión, no alcan­zando libertad bajo caución. Si su ingreso a prisión fue el 13 de septiem­bre de 1995.

mn que momento de su pena privativa de libertad puede solicitar lalibertad preparatoria?

De acuerdo con el artículo 84, tratándose de delitos imprudencialesla libertad preparatoria podrá otorgarse habiendo cumplido la mitad de lacondena:

y, (5) = 2.5 años = 2 años 6 meses

Si deseamos efectuar el cálculo en el calendario encontraremos queserá el 13 de marzo de 1998, cuando habrá cumplido con la mitad de sucondena y podrá solicitar se le otorgue la libertad preparatoria (debiendocumplir con los requisitos exigidos para ello).

Ejercicio:Daniel Cervantes golpea a Luis Fernández con una botella, por ven­

ganza, incurriendo en un delito de lesiones y ocasionándole pérdida dela vista. La punibilidad señalada por el Código penal es de 6 a 10 años deprisión. Daniel es condenado a 9 años 6 meseS de prisión. Ingresa a pri­sión el 24 de mayo de 1992. ¿Cuando podrá solicitar se le otorgue la li­bertad preparatoria?

De acuerdo con el artículo 84, tratándose de delitos intencionales lalibertad preparatoria podrá otorgarse habiendo cumplido las tres quintaspartes de la condena:

3/5 (9 años 6 meses) = 5.7 años = 5 años 8 meses 12 días

Si deseamos efectuar el cálculo en el calendario encontraremos queserá el 5 de febrero de 1998, cuando habrá cumplido con las tres quintaspartes de su condena y podrá solicitar se le otorgue la libertad preparato­ria (debiendo cumplir con los requisitos exigidos para ello).

REMISIÓN PARCIAL DE LA PENA

De acuerdo con el Diccionario juridico mexicano la voz remisión pro­viene del latín remittere, que significa perdonar, alzar la pena, eximir olibertar de una obligación. Significa también dejar, diferir o suspender,ceder o perder una cosa parte de su intensidad. La remisión parcial de lapena es la figura jurídica que consiste en perdonar una parte de la pena,previas circunstancias fácticas fijadas por la ley. Ha sido llamada tam­bién redención de penas y reducción parcial de la pena."

19 Diccionario jurfdico mexicano, p. 2782·83.

Unidad 4 • Áreas de la cutrl'cula que Licnen normatividad con repercusiones cuantitativas 191

Pueden diferenciarse tres sistemas de remisión de la pena: el automá­tico, el condicionado y el extraordinario. El primero, el sistema automá­tico consiste en el perdón de una parte proporcional de la pena por undeterminado tiempo de trabajo, sigue un mecanismo puramente matemá­tico (dos días de trabajo, por uno de prisión, tres por uno, tres por dos,etcétera.). En el sistema condicionado no es suficiente el trabajo o laasistencia a las actividades educativas, o la buena conducta, pues todoello cuenta siempre y cuando exista una efectiva adaptación social. Elsistema extraordinario consiste en conceder la remisión en la cuantía(uno de trabajo por uno de prisión), como beneficio para premiar la cola­boración y ayuda que puede el recluso prestar en momentos delicados,como en motín o evasión.20

La legislación mexicana adopta un sistema mixto entre el condicio­nado y el automático, así encontramos en la Ley que establece las normasminimas sobre readaptación social de sentenciados su regulación:

Artículo l6.-Por cada dos días de trabajo se hará remisión de uno de pri­sión, siempre que el recluso observe buena conducta, participe regularmenteen las actividades educativas que se organicen en el establecimiento y revelepor otros actos efectiva readaptación social. Esta última será, en todo caso, elfactor determinante para la concesión o negativa de la remisión parcial dela pena, que no podrá fundarse exclusivamente en los días de trabajo, en laparticipación de actividades educativas y en el buen comportamiento delsentenciado.

La remisión funcionará independientemente de la libertad preparatoria.Para este efecto, el cómputo de plazos se hará en el orden que beneficie alreo. El Ejecutivo regulará el sistema de cómputos para la aplicación de esteprecepto, que en ningún caso quedará sujeto a normas reglamentarias de losestablecimientos de reclusión o a disposiciones de las autoridades encarga­das de la custodia y de la readaptación social.

La autoridad al conceder la remisión parcial de la pena, establecerá lascondiciones que deha cumplir el sentenciado, conforme. a lo establecido enla fracción III y los incisos a) a d) del artículo 84 del Código Penal para elDistrito Federal en Materia de Fuero Común y para toda la República en Ma­teria de Fuero Federal. La remisión parcial de la pena no se concederá a lossentenciados que se encuentren en cualquiera de los casos a que se refiere elartículo 85 del citado Código Penal.

La autoridad podrá revocar la remisión parcial de la pena, conforme a lo dis­puesto por el artículo 86 del Código Penal para el Distrito Federal en Materia deFuero Común y para toda la República en Materia de Fuero Federal. (LNMRS)

Ejercicio:Luis Adame fue sentenciado a 15 años de prisión, por el delito de ho­

micidio simple intencional. Considerando que ha observado buena con­ducta, ha participado en las actividades recreativas, laborales, educativas

20 lbidem, p. 2783.

192 Matemóticas aplicadas al DerodlO • David Cienfuegos Salgado

y deportivas de la penitenciaría, y además se le considera rehabilitado,¿cuánto descenderá su pena aplicándole la remisión parcial de la pena?

Tomese en cuenta los siguientes datos:a) Se encuentra en prisión desde el 17 de octubre de 1990.b) Considérese que al cumplir 3/5 de su pena se le otorgará la liber­

tad preparatoria.c) Inicia sus días de trabajo el12 de enero de 1998. De acuerdo con la

legislación laboral la jornada de trabajo será de seis días de trabajo poruno de descanso (art. 69, LFT), además de que se consideran días de des­canso obligatorio ello de enero, el 5 de febrero, el 21 de marzo, ello demayo, el 16 de septiembre, el 20 de noviembre, ello de dicíembre cuan­do corresponda transmisión del Poder Ejecutivo Federal y el 25 de di­ciembre (art. 74, LFT).

Primero debe determinarse en que momento obtiene la libertad pre­paratoría. Partimos del supuesto de que la obtendrá automáticamente alcumplir las 3/5 partes de su pena:

(3/5) (15 años) = 9 años

Abril 98 26Agosto 98 26Dic. 98 26Abril 99 26Agosto 99 26

2527262727

Es decir que saldrá mediante libertad prepararoria el 17 de octubrede 1999. Ahora calcularnos el número de días que laborará entre el 12 deenero de 1998 y el 16 de octubre de 1999.

Enero 98 18 Febrero 98 2 Marzo 98Mayo 98 25 Junio 98 26 Julio 98Sept. 98 25 Octubre 98 27 Nov. 98Enero 99 25 Febrero 99 23 Marzo 99Mayo 99 25 Junio 99 26 Julio 99Sept. 99 25 Octubre 99 14

De acuerdo con lo anterior el número de días laborados será de 544,lo que significa que su pena se reduce en 272 días, es decir se extinguiráel 18 de enero del 2005, fecha hasta la cual estará en libertad preparatoria.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUAC¡ÓN

1. A Jorge Martínez se le fija una caución de $33,500.00 para poder gozarde libertad provisional. Al acreditar que es de escasos recursos econó­micos el juez resuelve conceder el beneficio a la exhibición de la cau­ción en parcialidades. Si la primera parcialidad cubierta es de 17%,¿cuánto más deberá cubrir para completar el monto tata! de la garantía?Si el juez decide que el resto de la caución sea cubierta de la forma si­guiente: marzo, 30.50%; abril, 20.15%; mayo, 25.15%; junio, 24.20%,¿cuánto pagará en cada parcialidad?

Unidad 4 • Áreas de la currfcula que tienen normaUvidad con repercusiones cuantitativas 193

2. Investiga cuál es la dependencia que se encarga de vigilar y cuidar alos sentenciados que disfru tan de libertad preparatoria.

3. Elabora una lista de los delitos que no permiten el otorgamiento de lalibertad preparatoria.

4. Luis Adame fue sentenciado a 17 años de prisión, por el delito de ho­micidio simple intencional. Considerando que ha observado buenaconducta, ha participado en las actividades recreativas, laborales,educativas y deportivas de la penitenciaría, y además se le considerarehabilitado, ¿cuánto descenderá su pena aplicándole la remisiónparcial de la pena'!Tomese en cuenta los siguientes datos: se encuentra en prisión desdeel 11 de febrero de 1989; considérese que al cumplir 3/5 de su penase le otorgará la libertad preparatoria; inicia sus días de trabajo el 12de marzo de 1997.

5. José Ruvalcaba al ir manejando y no tener la precaución debida de­rriba un poste del servicio telefónico interrumpiendo tal servicio.¿Cuál es la normatividad penal aplicable y cuáles las sanciones o me­didas de seguridad que se le imponen? (Veánse arts. 167 f. VI Y 60del Código Penal)

6. Daniela Castañeda golpea a Luis Pérez con una botella, accidental­mente, incurriendo en un delito de lesiones y ocasionándole cicatrizen la cara, perpetuamente notable. ¿Cuál es la normatividad penalaplicable y cuáles las sanciones o medidas de seguridad que se le im­ponen? (Veáse arts. 60 y 290 del Código penal federal)

7. Determina en qué momento podrán solicitar la libertad preparatorialos sentenciados con las siguientes penas de prisión y fechas de in­greso. Todos por delitos intencionales:12 años 6 meses 13 enero 199616 años 4 meses 19 abril 199224 años 11 meses 28 junio 198815 años 1 mes 23 septiembre 199232 años 7 meses 26 febrero 1989

8. Determina en qué momento podrán solicitar la libertad preparatorialos sentenciados con las siguientes penas de prisión y fechas de in­greso. Todos por delitos culposos:10 años 10 meses 25 octubre 19966 años 9 meses 30 diciembre 19969 años 6 meses 12 enero 1997

15 años 11 meses 4 febrero 19984 años 3 meses 25 abril 1999

194 Matemáticas aplicodas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

4.3. ÁREA DE DERECHO PROCESAL CIVIL

El derecho procesal civil es el conjunto de disposiciones que regulanla actividad del juez, las partes y los otros sujetos presentes en un proce­so, con el objeto de resolver las controversias que se susciten con la apli­cación del derecho sustantivo. Algunos autores han propuesto la denomi­nación derecho jurisdiccional."

El proceso ha sido definido como el conjunto de actos regulados porla ley y realizados con la finalidad de alcanzar la aplicación judicial delderecho objetivo y la satisfacción consiguiente del interés legalmente tu­telado en el caso concreto, mediante una decisión del juez competente.Con frecuencia la palabra proceso se considera sinónima de juicio. 22

De acuerdo con la Ley orgánico del Tribunal la administración e im­partición de justicia en el Distrito Federal corresponde al Tribunal Supe­rior de justicia y demás órganos judiciales. Asimismo podemos señalarque el ejercicio jurisdiccional en todo tipo de asuntos civiles, familiares,del arrendamiento inmobiliario y concursales del arden común, y los delorden federal en las casos que expresamente las leyes les confieran juris­dicción, corresponde a los servidores públicos y órganos judiciales que acontinuación se listan: Magistrados del Tribunal Superior de justicia,jueces de lo Civil, jueces de lo Familiar, jueces del Arrendamiento lnmo­biliario, jueces de lo Concursa!, jueces de Inmatriculación judicial; jue­ces de Paz y Árbitros.

El derecho procesal civil abarca una gran cantidad de instituciones yfiguras, en este apartado dedicaremos atención a los aspectos cuantitati­vos de varias de ellas. Aclarando que no se les dedica especial atenciónpor ser las más importantes, sino porque nos permiten un manejo másadecuado de la aplicación matemática al derecho procesal.

GASTOS y COSTAS CONFORME AL ARANCEL

Es preciso distinguir entre gastos y costas, los gastos son las erogacio­nes legítimas efectuadas durante la tramitación de un juicio y las costasson los honorarios que debe cubrir la parte perdidosa a los abogados dela parte vencedora, por su intervención en el juicio. La Ley orgánica delTribunal Superior de Justicia del Distrito Federal (LOTSJ)23 señala que lascostas son la sanción impuesta por la ley respecto de la conducta proce­sal de los litigantes (ar!. 126). Asimismo, sólo tendrán derecho al cobrode costas, las partes que acrediten haber sido asesoradas durante el juicio

21 Pina, Diccionario de Derecho, p. 239.22 Ibidem, p. 420.

23 Publicada en la Gaceta Oficial del Distrito Federal el 29 de enero de 1996 y en el Dia­rio Oficial de la Federación el 7 d,e febrero de 1996.

Unidad 4 • Áreas de la eurrlcula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 195

por Licenciados en Derecho con cédula profesional expedida por la auto­ridad o institución legalmente facultada para ello (art. 127).

Debe recordarse que nuestra Constitución señala en su artículo 17:"Toda persona tiene derecho a que se le administre justicia por tribuna·les que estarán expeditos para impartirla en los plazos y términos que fi­jen las leyes, emitiendo sus resoluciones de manera pronta, completa eimparcial. Su servicio será gratuito, quedando en consecuencia, prohibi­das las costas judiciales".

Para el pago de costas debe estarse al contenido del título séptimo,relativo a las costas y aranceles, de la Ley Orgánica del Tribunal. quecomprende los artículos 126 al 148 inclusive, en el cual se establece elarancel a que habrán de sujetarse los abogados, albaceas, interventores,depositarios, intérpretes, traductores, peritos y árbitros. Cabe mencionarrespecto de la aplicación de este arancel. que existe la posibilidad de quelos honorarios sean fijados en términos del artículo 2606 del Código Ci­vil, por convenio de los interesados; y que a falta de convenio se sujeta­rán al citado arancel, esto, sin perjuicio de los preceptos relativos al Có­digo de Procedimientos Civiles. En la actualidad el arancel señalado enla LOTSJ se expresa en días de salario mínimo. Anteriormente se señala­ban cantidades precisas.

Ejercicio:De acuerdo con la Ley Orgánica del Tribunal Superior, cuánto cobra­

rá un abogado en un negocio judicial cuya suerte principal es de$187,000.00; si éste se tramita hasta la Segunda Instancia.

Para determinar el monto de las costas, se atiende al monto del nego­cio, de acuerdo con las siguientes reglas (en la actualidad no están vigen­tes, pues fueron modificadas, como se verá más adelante):

Artículo 128 (No está en vigor).-Las costas se causarán conforme a lassiguientes bases:

a) Cuando el monto del negocio no exceda de $100,000, se causará el 10%b] Cuando el monto del negocio exceda de 100,000 y hasta $500,000, se

causará el 7%, ye] Cuando el monto del negocio exceda de $500,000 se causará el 4%.Tratándose de la Segunda Instancia, las cuotas anteriores se aumentarán

en 1%. (anterior redacción de la LüTS)

De acuerdo con lo anterior, el monto a cobrar será:

(187,000) (0.07) $13,090.00 por primera instancia(187,000) (0.08) = $14,960.00 por segunda instancia

$28,050.00 por todo el trámite judicial.

El texto vigente del arancel establecido en el artículo 128 de laLOTSJ es el siguiente:

196 Malcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Artículo 128.-Las costas en Primera Instancia se causarán conforme alas siguientes bases:

al Cuando el monto del negocio no exceda del equivalente a tres mil díasde salario mínimo general vigente en el Distrito Federal, se causará el 10%:

b} Cuando el monto del negocio exceda del equivalente a tres mil días desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal y sea hasta de seis mildías de salarío mínimo general vigente en el Distrito Federal mensual en elDistrito Federal, se causará el 8%; y

el Cuando el monto del negocio exceda del equivalente a seis mil días desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal, se causará el 6%.

Si el asunto tuviere que resolverse a través de una segunda instancia, lascuotas anteriores se aumentarán en 2%. (LOTSJ)

Ejercicio:De acuerdo con la Ley Orgánica del Tribunal Superior de Justicia,

cuánto cobrará un abogado en un negocio judicial cuya cuantia es inde­terminada, si a) realizó el estudio para plantear la demanda: b) realizó elescrito de demanda; c) leyó escritos y promociones de la parte deman­dada en 57 hojas; d) promovió dos incidentes y un recurso: tres escritos;e) propuso pruebas en tres ocasiones: tres escritos; fJ realizó siete pliegosde posiciones y preguntas y dos cuestionarios para peritos: nueve hojas;g) asistió a 2 juntas y 7 audiencias, lo que implicó 8.3 horas; h) asistió,fuera del juzgado a 5 diligencias, lo que implico 12.4 horas, cobrando elmáximo establecido; i) se le notificaron dos proveídos y jJ dos sentencias;k) por los alegatos principales cobra el minimo establecido.

Aquí también se debe anolar que el arancel ha sido modificado. Eltexto anterior seüalaba:

Artículo 129 (No está en vigor).-En los negocios de cuantía indelermina·da se causarán las costas siguientes:

1. Por estudio del negocio para plantear la demanda $2,500.00;11. Por el escrito de demanda $1,000.00:IlI. Por el escrilo de conleslación de la demanda $1,000.00:IV. Por la lectura de escritos o promociones presentados por el contrario,

por foja, $100.00;V. Por el escrito en que se promueva un incidente o recurso del que deba

conocer el mismo juez de los autos, o se evacue el traslado o vistas de pro­mociones de la contraria, $250.00;

VI. Por cada escrito proponiendo pruebas, $500.00;VII. Por cada interrogatorio de posiciones a la contraria, de preguntas o

repreguntas a los testigos, o cuestionarios a los peritos, por hoja $125.00;VIII. Por asistencia a juntas, audiencias o diligencias en el local del Juzga­

do, por cada hora O fracción, $100.00;IX. Por asistencia a cualquier diligencia fuera del Juzgado, por cada hora

o fracción desde $100.00 hasta $200.00;X. Por notificación O vista de proveídos, $50,00;

Unidad 4 • Áreas de la currfcula que tienen nonnatividad con repercusiones cuanlitativas 197

XL Por notificación o vista de sentencia, $100.00.Las cuotas a que se refiere esta fracción y la anterior, se cobrarán sólo

cuando conste en autos que el abogado fue notificado directamente por elactuario. En cualquier otro caso, por cada notificación se' cobrarán $25.00siempre que la promoción posterior revele que el abogado tuvo conocimien·to del proveido o sentencia relativos;

XII, Por los alegatos en lo principal, según la importancia o dificultad delcaso, de $125,00 a $250,00, y

XIII. Por el escrito de agravios o contestación de los mismos, en apelación$2,500,00,

Las cantidades a que se refiere este artículo serán actualizadas conformeal incremento anualizado que se dé en el Índice Nacional de Precios al Con·sumidor señalado por el Banco de México, (LüTS)

En la unidad anterior, de métodos y factores de actualización, hemosrealizado la actualización de estos valores, los cuales serán utilizados enla sección de aprendizaje y autoevaluación, Para determinar cuál es elmonto a cobrar se tiene que:

Honorarios totales = a)+b)+e)+d)+e)+fJ+g)+h)+i)+j)+k)+I)

De acuerdo al numeral antes mencionado, el monto de cada uno delos incisos es: a) 2,500; b) 1,000; e) 5,700; d) 750; e) 1,500; fJ 1,125; g)900; h) 2,600; i) 100; j) 200; k) 125

Honorarios totales= 2,500 + 1,000 + 5,700 + 750 + 1,500- + 1,125

+ 900 + 2,600 + 100 + 200 + 125

Honorarios totales = $16,500,00

El texto vigente del artículo 129 LOTSJ es el siguiente:

Artículo 12Q.-En los negocios de cuantía indeterminada se causaran lascostas siguientes:

l. Por el estudio del negocio para plantear la demanda, el equivalente acien días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

n. Por el escrito de demanda, el equivalente a sesenta días de salario mí­nimo general vigente en el Distrito Federal:

111. Por el escrito de contestación a la demanda, el equivalente a sesentadías de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

IV. Por la lectura de escritos o promociones presentados por el contrario,por foja, el equivalente a cinco cHas de salario mínimo general vigente en elDistrito Federal;

v. Por el escrito en que se promueva un incidente o recurso del que debaconocer el mismo juez de los autos, o se evacue el traslado o vistas de pro­mociones de la contraria, el equivalente a diez días de salario mínimo gene­ral vigente en el Distrito Federal;

198 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

VI. Por cada escrito proponiendo pruebas, el equivalente a veinte días desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

VII. Por cada interrogatorio de posiciones a la contraria, de preguntas orepreguntas a los testigos, o cuestionarios a los peritos, por hoja, el equiva­lente a cinco días de salario mínimo vigente en el Distrito Federal;

VIII. Por la asistencia a juntas, audiencias o diligencias en el local delJuzgado, por cada hora o fracción, el equivalente a ocho días de salario míni­mo general vigente en el Distrito Federal;

IX. Por la asistencia a cualquier diligencia fuera del juzgado, por cadahora o fracción, contada a partir de la salida del Juzgado, el equivalente adiez días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

X. Por la notificación O vista de proveídos, el equivalente a cinco días desalario mínimo general vigente en el Distrito Federal; y

XI. Por notificación o vista de sentencia, el equivalente a ocho días de sa­lario mínimo general vigente en el Distrito Federal;

Las costas a que se refiere esta fracción y la anterior, se cobrarán sólocuando conste en autos que el abogado fue notificado directamente por elactuario. En cualquier otro caso, por cada notificación se cobrará el equiva­lente a dos días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal,siempre que la promoción posterior revele que el abogado tuvo conocimien­to del proveído o sentencia relativos;

XII. Por los alegatos en lo principal, según la importancia o dificultad delcaso a juicio del Juez, el equivalente a seis y hasta doce días de salario míni­mo general vigente en el Distrito Federal, y

XIII. Por el escrito de agravios o contestación de los mismos, el equivalen~

te a cien días de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal.

JUICIO DE CONTADORES 443-VIII DEL CÓDIGO

DE PROCEDIMIENTOS CMLES PARA EL DISTRITO FEDERAL

Surge esta figura cuando, en algunas leyes procesales, ante la liquida­ción de cuentas complejas se encomienda a los contadores el procedi­miento de cálculo, y las partes se comprometen a acatar lo que se resuel­va, como sentencia. Se diferencia del dictamen en el carácter definitivo yobligatorio que adquiere, pues el dictamen es tan solo el juicio del conta­dor, sobre determinados puntos que de ninguna forma obligan al juez o alas partes.

El Código de Procedimientos Civiles para el Distrito Federal en su ar­ticulo 443 f. VIII señala: "Para que el juicio ejecutivo tenga lugar se nece­sita un titulo que lleve aparejada ejecución. Traen aparejada ejecución:I... VIII. El juicio uniforme de contadores, si las partes ante el Juez o porescritura pública o por escrito privado reconocido judicialmente, se hu­bieren sujetado a él expresamente o lo hubieran aprobado". El artículo444 del mismo ordenamiento procesal señala: "Las sentencias que causenejecutoria y los convenios judiciales, los convenios celebrados ante la

Unidad 4 • Áreas de la currfcula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 199

Procuraduría Federal del Consumidor, los laudos que emita la propiaProcuraduría y los laudos o juicios de contadores, motivarán ejecución,si el interesado no intentare la vía de apremio".

Como se advierte la legislación utiliza indistintamente juicio unifor­me de contadores y juicio de contadores; la doctrina no se manifiesta am­pliamente sobre esta institución, basta para ello consultar cualquier dic­cionario de contabilidad o derecho y constatarlo, y a excepción delcódigo procesal civil, no existe otro tipo de ordenamiento en el que seencuentre referencia a esta institución. Diversos profesores tanto de dere­cho como de contabilidad "creen" que se trata de un dictamen e inclusoen el colmo, señalan que es el juicio a que son sometidos los contadorescuando cometen un delito. Respecto de equiparado a un dictamen, esimportante tener presente que si bien tanto el juicio en estudio como eldictamen son documentos o declaraciones en donde, el o los contadores,expresan su parecer ° su criterio, entre ambos existe una diferencia bási­ca; el primero posee un carácter definitivo y obligatorio -siempre que secumpla con los requisitos establecidos-, en tanto que el dictamen estásujeto a la apreciación discrecional que se le reconoce al juez. Respectode su carácter consultivo (díctamen) la Suprema Corte de Justícia señalala diferencia entre consulta y resolución:

CONSULTA y RESOLUCIÓN, DIFERENCIA ENTRE.-La consulta tiene por fin obte­ner un consejo o un dictamen, y la resolución, en sentido gramatical, decide dudaso dificultades, y en el legal, pone fin a controversias judiciales o administrativas.

Amparo administrativo en revisión 625/35. Unión Alcoholera de México. 12 de febre­ro de 1937, unanimidad de 4 votos. T. JI, p. 1064.

Un recorrido a través de la doctrina jurídica mexicana nos llevaríahasta inicios del siglo XIX. En 1808 se hace referencia por vez primera a"uniforme juicio de contadores nombrados por las partes confirmadaspor sentencia de juez" como documento que traía aparejada ejecución.2•

Más tarde se extenderían a tres tipos de documentos en los que se men­cionan a los contadores: o) liquidación o instrumento simple líquido decantidad, daños o intereses, siendo reconocido y consentido por la partecon la solemnidad expuesta, b) libros y cuentas extrajudiciales hechaspor las partes o por los contadores que eligen, si éstas las reconocen yconsienten en juicio, y e) los pareceres conforme de los contadores.25

Para 1833 se aclara este concepto al señalarse que es instrumento ejecuti­vo el juicio uniforme de contadores, confirmado por la sentencia del juz­gador original, es decir, del juez que reconoció el negocio. El juicio uni­forme de contadores es la liquidación de una sentencia.

24 Sala, Juan de, I1ustl'Ocián del derecho real de Espalla, 1. m, México: 1808, pp. 282-285.25 Álvarez, José, Instituciones del derecho real de Castilla, t. IV, Nueva York, Estados

Unidos: 1827, p. 261-262.

200 Malemóticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

Por cuanto hace al aspecto normativo de esta institución, la legisla­ción civil se ha mantenido invariahle. En 1872 se encontraha estahlecidopor el Código de Procedimientos Civiles del Distrito Federal y Territoriode Baja California en el artículo 1006. "Son títulos ejecutivos: 1°... , 7. Eljuicio uniforme de contadores, si las partes ante el juez o por escriturapúhlica, se huhieren sometido a él expresamente o lo huhieren aproba­do". La redacción, como se observa, se mantiene hasta la fecha, aumen­tándose la hipótesis del escrito privado reconocido judicialmente.

Este juicio de contadores, en tanto liquidación de una sentencia judi­cial, está supeditada a dos elementos clave: 1) que se de a solicitud de doso más partes, ante la liquidación de cuentas o sentencias complejas u ope­raciones contables de magnitud técnica, y 2) que tales partes se compro­metan a acatar lo resuelto con carácter de sentencia, mediante los supues­tos señalados en el artículo 443 del citado Código de Procedimiento Civiles.

Cabe señalar que no siempre se ha aceptado que sean los contadoresquienes realícen exclusivamente esta etapa procesal, en el caso del CódigoCivil Español y por cuanto hace a la partición de una herencia, se estable­cia (artículo 1057) que cualquier persona podía ser designada por el testa­dor para el cargo de contador. Más aún, antes de que se expidiera la ley re­lativa al ejercicio profesional, la Suprema Corte de Justicia había señalado:

CONTADORES PÚBLICOS Y PERlTOS NO TITULADOS, EJERCICIO PROFESIONAL OELOS.-AI establecer el artículo 4° constitucional que la Ley determinará cualesson las profesiones que necesitan título para su ejercicio, supedita a una ley se­cundaria, ya sea ésta del Congreso Federal, por cuanto mira al Distrito y territo­fio federales, ya sea de los congresos de los Estados. por 10 que hace a las Entida­des Federativas, la determinación precisa de qué profesiones necesitan títulopara su ejercicio y cuales no, de manera que mientras no haya sido expedido eseordenamiento, no habrá base legal necesaria para estimar que la profesión decontador público, ° la de perito numerista o experto en números, necesiten títu­los para su ejercicio.

Amparo civil directo 6832/41, Madraza Miguel, Suco de. 24 de enero de 1945, unani·midad de 4 votos, T. LXXXIII, p. 1374.

Lo anterior originaba que cualquier persona con cierto conocimientoen aspectos contables pudiera intervenir en la realización del juicio decontadores. Hoy día las disposiciones legales excluyen tal eventualidad,salvo escasas excepciones." Excepciones que pueden ser fácilmente sor-

26 El artículo 346 del Código de Procedimientos Civiles para el Distrito Federal señala:."Los peritos deben tener titulo en la ciencia, arte, técnica, oficio o industria a que pertenezcala cuestión sobre la que ha de oírse su parecer, si la ciencia, arte, técnica o industria requie­ren título para su ejercicio. Si no lo requirieran o requiriéndolo, no hubiere peritos en ellu­gar, podrán ser nombrados cualesquiera personas entendidas a satisfacción del juez, auncuando no tengan título. El título de habilitación de corredor público acredita para todos losefectos la calidad de perito valuador".

Unidad 4 • Áreas de la curricula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 201

teadas gracias a la voluntad de las partes al momento de sujetarse al com­promiso, o bien, aprobar el parecer manifestado por el contador u otrapersona respecto de la liquidación.

Ejercicio:Jorge Anzaldúa y Fausto Ramos, requieren saber cuál es el monto de

su inversión en una empresa, antes de que se realice la liquidación, com­prometiéndose a respetar el parecer de los contadores a quienes encarganla realización del cálculo. Los contadores concluyen que del total de va­lores de la empresa ($12'340,712.00) a Jorge Anzaldúa le corresponde el73.56% y a Fausto Ramos el 26.44% ¿Cuánto corresponde a cada uno envalores?

Para obtener los valores de cada uno, basta aplicar un simple proce­dimiento de porcentaje.

Valor Jorge Anzaldúa = (12'340, 712) (.7356) =Valor Fausto Ramos = (12'340,712)(.2644)

$9'077,827,75$3'262,884.25

JUICIO SUCESORIO

El derecho civil posee una gama de instituciones, dentro de ellas, ladel juicio sucesorio. El juicio sucesorio es una de las especies de juiciosuniversales. Por juicio universal se entiende aquel en que se acumulantodas las acciones concernientes a una universalidad jurídica, para queésta sea liquidada. En los sucesorios, la universalidad está constituidapor el patrimonio del difunto.

El juicio sucesorio es el que tiene por finalidad determinar los here­deros de una persona muerta, el pago de la obligaciones pendientes de lamisma y la adjudicación de los bienes restantes a los sucesores a títulouniversal o singular. Siguiendo a Guasp, Becerra Bautista señala que tie­ne por finalidad: la atribución de la herencia, su administración y la ad­judicación del caudal sucesorio. Según exista testamento válido y eficazo se vaya a proceder sin él, es juicio de testamentaria o juicio ab intesta­too También se atribuye la calidad de sucesorio, aún cuando previo, aljuicio en que se intenta anular un testamento, para declarar la validez deotro o la sucesión intestada como única o complementaria. El Código Ci­vil paro el Distrito Federal regula las instituciones sucesorias en su librotercero que comprende los artículos 1281 al 1791, el procedimiento deljuicio sucesorio lo establecen los artículos 769 al 892 del Código de Pro­cedimientos Civiles para el Distrito Federol.

El juicio sucesorio de carácter testamentario se da cuando existe untestamento válido, pudiendo ser promovido por los herederos, sus acree­dores y todos los que tengan en una sucesión algún derecho declaradopor las leyes. De acuerdo con el Código Civil el testamento es un "acto

202 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

personalisimo, revocable y libre, por el cual una persona capaz disponede sus bienes y derechos y declara o cumple deberes para después de sumuerte" (ar!. 1295). El mismo Código Civil contempla hasta ocho clasesde testamento. Por su forma, serán ordinarios y especiales. Los ordinariosson: público abierto, público cerrado, público simplificado y ológrafo.Los especiales son: privado, militar, marítimo y hecho en país extranjero.

El juicio sucesorio ab intestato está caracterizado por la inexistenciade una disposición testamentaria válida, sea porque no se haya testado obien porque el testamento sea nulo, ineficaz o desconocido, tiene por ob­jeto adjudicar los bienes de la persona muerta y se le aplican las reglasde la sucesión legítima contenidas en el Código Civil en los artículos1599 a 1637.

Ejercicio:Natívidad Fernández dispuso mediante testamento que su fortuna se

dividiera entre sus hijos de la forma siguiente: a Jorge 2/8, a María 1/8, aJesús 3/16, a Narciso 5/16 y a Oracio 1/8. ¿Cuánto corresponde a cadauno de los hermanos, si la masa hereditaria es de $80,800,OOO.00?

Para resolver este problema debe considerarse un denominador co­mún a las fracciones establecidas en el testamento:

+ 2/16 + 3/16 + 5/16 + 2/16

2/82/8

entonces:4/16

+=

1/8 +4/16

3/16 + 5/16 + 1/81/8

16/16

=

=

=

12/16,

1

Si dividimos la masa hereditaria entre 16 tendremos el equivalente a1/16 de la herencia y podemos obtener lo que corresponde a cada uno delos hermanos:

80,800,000.00/16 = 5,050,000

Así:Jorge:María:Jesús:Narciso:Oracio:

$ 20,200,000.00$ 10,100,000.00$ 15,150,000.00$ 25,250,000,00$ 10.100,000.00

El Albacea. Es el administrador de los bienes que constituyen lamasa hereditaria, encargándose de realizar todos los actos tendientes a laconservación, administración y adjudicación de los bienes del de cujus.Desempeña una función como auxiliar de la administración de justicia.Puede ser de cuatro tipos: testamentario, legítimo, convencional y dativo.Las funciones primordiales del albacea están señaladas en el artículo1706 del Código Civil.

Unidad 4 • Areas de 111 currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 203

El Interventor. Es nombrado por el heredero o herederos inconfor­mes con el nombramiento previo de albacea hecho por la mayoría y quetiene como función vigilar el exacto cumplimiento del cargo de albacea.La verdadera figura del interventor corresponde a la de un funcionarioque tiene como primordial atribución la de vigilar, fiscalizar y verificar elfuncionamiento y el desempeño. del cargo de otro funcionario. Se regulaen el Código Civil en el artículo 1728 y siguientes.

Ejercicio:Cuánto cobrarán el albacea y el interventor, ambos nombrados por el

juez del negocio, en la sucesión de César Jiménez, si el monto de los bie­nes que integran la masa hereditaria es de $456,900.00

Primero debemos saber cuál es la disposición que establece los aran­celes de los interventores y albaceas judiciales. Para ello nos remilimos ala Ley orgánica del Tribunal Superior:

Artículo 132.-En los juicios sucesorios, los interventores y albaceas judi­ciales cobrarán el 4% del importe de los bienes, si no exceden de ocho mildías de salario mínimo general vigente en el Distrito Federal, si exceden deesta suma, pero no del equivalente a veinticuatro mil días de salario mínimogeneral vigente en el Distrito Federal, cobrará además el 2% sobre el exceso;si excediere del equivalente a veinticuatro mil días de salario mínimo gene­ral vigente en el Distrito Federal cobrará además el 1% sobre la cantidad ex­cedente. (LüTS)"

Pensemos que este cálculo se realiza durante el año 2004, entoncesutilizaremos el salario mínimo correspondiente a tal año. Utilizando losvalores establecidos en el texto del artículo 132 tenemos que el monto delos bienes equivale a 10,099 veces el salario mínimo.

arancel = [4% (456,900)) + [2% (94980)]arancel = 18,276 + 1,899.60arancel = 20,175.6

Es decir que tanto el albacea como el interventor cobrarán

$20,175.60.

Ejercicio:Considere los siguientes datos: la Ley de Hacienda del Estado de

Guerrero grava la transmisión de ínmuebles por causa de muerte. Se apli-

27 El texto anterior de este artículo era el siguiente: "En los juicios sucesorios, los inter­ventores y albaceas judiciales cobrarán el 2% del importe de los bienes, si no exceden de$20,000.00, si exceden de esta suma, pero no de $100,000,00. cobrará además ell% sobre elexceso; si excediere de $100,000.00 cobrará, además el 0.5% sobre la cantidad excedente,cantidades que se actualizarán de acuerdo con lo establecido en el Código de la materia".

204 Matemáticas aplicadas o} Derecho· David Cienfucgos Salgado

ca la tasa del 6.6% sobre la base gravable. La base gravable se determinadeduciendo del valor de avalúo del inmueble una cantidad equivalente a8 veces el salario mínimo general elevado al año, de la zona económicaa que corresponda el D.F. José Manuel Vargas recibe en herencia un bieninmueble con valor de $237,340.00. ¿Cuál es el impuesto que deberá cu­brir por transmisión de inmuebles?

Debemos obtener la base gravable mediante la deducción señalada, yaplicarle la tasa del impuesto:

base gravable = (237,340)-(30.20) (365) (8)base gravable = 149,156Impuesto = 149,156 (.066)Impuesto = $9,844.30

El impuesto por transmisión de inmuebles es de $9,844.30.

DAÑOS y PERIUlCIOS

El concepto de daños y perjuicios es uno de los principales dentro dela función tutelar y reparadora del Derecho. Ambas voces se relacionanpor completarse: todo daño provoca un perjuicio, y todo perjuicio derivade un daño. Daño es el menoscabo, deterioro, lesión; dañar es maltratar,estropear, perjudicar, lesionar. Del latín domnum, daño, pérdida, multa.Un principio general de derecbo establece que todo aquel que cause undaño a otro tiene la obligación de repararlo.

Se llama daño a todo el mal que se causa a una persona o cosa, comouna herida o la rotura de up objeto ajeno, en la legislación civil se conci­be al daño como la pérdida o menoscabo sufrido en el patrimonio por lafalta de cumplimiento de una obligación. Perjuicio es la pérdida de utili·dad o de ganancia, ci~rta y positiva que ha dejado de obtenerse; pues enel caso del herido, ha perdido sueldos y honorarios, o la máquina rota hadejado de producir tal artículo.

En materia de responsabilidad contractual, los códigos civiles distin­guen claramente los efectos del incumplimiento, separando el conceptode daño entendido como "pérdida o menoscabo sufrido en el patrimoniopor falta de cumplimiento de una obligación" de la idea de perjuiciocomo "privación de cualquier ganancia lícita que debería haberse obteni·do con el cumplimiento de la obligación". Esta distinción que tiene su re·moto origen en el procedimiento formulario del derecho romano (intentioinceIta) permitía al juez condenar al deudor en caso de incumplimiento,al pago del valor de la cosa que debía entregar el deudor. De esta manerael acreedor veía indirectamente satisfecho su interés a través del resal'·cimiento en dinero (id quod interest). Más tarde, la distinción entre dañoy perjuicio llevó a los glosadores a distinguir entre el daño emergente y

Unidad 4 • Áreas de )<1 currícul<l que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 205

el lucro cesante. El primero, el daño o menoscabo patrimonial, en estric­to sentido es objeto de reparación propiamente dicha y, el segundo, elperjuicio, que alude a la falta de ganancia licita, es materia de indemni­zación.

La indemnización es la reparación legal de un daño o perjuicio cau­sado. Se considera como sinónimo de compensación. La indemnizaciónde daños y perjuicios, abarca gran cantidad de casos en el ámbito civil,por ejemplo: por faltar a la promesa documental de matrimonio, por ale­gar falso impedimento matrimonial, por descuidar la constitución de latutela, por no pedir un nuevo tutor cuentas al anterior, por no presentarel testamento de un difunto, por malicia o negligencia del fedatario pú­blico cuando sea causa de nulidad testamentaria, por omitir la presenta­ción del testamento cerrado en su poder, por la ruina de edificio o caídade árboles, por omitír el usufructuario los informes que puedan lesionarel derecho, por plantar o edificar de mala fe en terreno ajeno, por incor­porar de mala fe algo propio a una cosa ajena, etcétera.

Ejercicio:Por haber destrozado con una máquina, parte de un sembradío de

maíz, cuyo valor estaba calculado en $3,234,144.00, Juan Pérez ha sidocondenado al pago de daños por 23% del valor calculado y cubrir. porconcepto de perjuicios el 39.5% del valor de los·daños. ¿Cuál es el totalpor el que se le condena y que deberá cubrir?

Calculamos primero el monto a cubrir por concepto de daños y pos­teriormente obtenemos el monto del perjuicio:

Daños (3,234,144.00) (.23)Daños 743,853.12Perjuicios = [743,853.12) [.395)Perjuicios = 293,821.98

Total de daños y perjuicios= 743,853.12+293,821.98=$1,037,675.10

Otra disposición relacionada con el pago de daños, en este caso da­ños corporales, a encontramos e el artículo 1915 del Código Civil del Dis­trito Federal:

Artículo 1915.-La reparación del daño debe consistir a elección delofendido en el restablecimiento de la situación anterior, cuando ello sea po­sible, o en el pago de daños y perjuicios.

Cuando el daño se cause a las personas y produzca la muerte, incapaci­dad total, permanente, parcial permanente, total temporal o parcial tempo­ral, el grado de la reparación se determinará atendiendo a lo dispuesto por laLey Federal del Trabajo. Para calcular la indemnización que corresponda setomará como base el cuádruplo del salario mínimo diario más alto que estéen vigor en la región y se extenderá al número de días que para cada una de

206 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

las incapacidades mencionadas señala la Ley Federal del Trabajo. En caso demuerte la indemnización corresponderá a los herederos de la víctima.

Los créditos por indemnización cuando la víctima fuere un asalariado sonintransferibles y se cubrirán preferentemente en una sola exhibición, salvoconvenio entre las partes.

Las anteriores disposiciones se observarán en el caso del artículo 2647 deeste Código.

Ejemplo:Juan Robles al pasar cerca de una fábrica, es lesionado por una ex­

plosión, lo que le provoca la muerte. ¿Cuál es el monto de la indemniza­ción que recib.irán sus herederos?

Para calcular el monto de la indemnización debemos remitirnos a laLey Federal del Trabajo, en específico a los artículos 500 y 502, los cua­les señalan 60 días de salario por concepto de gastos funerarios y 730 porconcepto de indemnización por muerte. Ambos valores suman 790 días,los que· habrán de multiplicarse, de acuerdo con el Código Civil por elcuádruplo del salario mínimo diario más alto que esté en vigor en la re·gión. Como sabemos la República Mexicana se divide en tres áreas geo­gráficas para tal efecto, y corresponde al Distrito Federal la más alta.Consideremos que el salario mínimo diario en el Distrito Federal es de35.00, lo que equivale a 140.00 como base para el cálculo de la indemni- .zación. Por lo que sustituyendo tendremos:

Indemnización por muerte =

(número días indemnización) (cuádrupo del salario minimo)

Indemnización por muerte = (790) (140)Indemnización por muerte = 110,600.00

Es de aclarar que este valor representa el monto de la indemnizacióny no comprende la reparación del daño moral causado, el cual debe serexigido accesoriamente.

Igual procedimiento debe seguirse para determinar el monto de lasindemnizaciones por cualquier tipo de incapacidades conforme a los ar­tículos 491, 492, 495 Y 514.

ADMINISTRACIÓN DE BIENES

La adminístración de bienes o propiedades es una actividad profesio­nal de individuos o sociedades dedicados exclusivamente a esta materiao por sectores de empresas más complejas, especialmente las bancarias,que se ocupan, a cambio de una cantidad fija mensual o un porcentajepreviamente determinado, en nombre y cuenta de terceros, de todo lo re­lacionado con el cobro de rentas, pago de impuestos, conservación de in-

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normlltividad con repercl1sioncs cuantitativas 207

muebles y otros aspectos de administra¿ón inmobiliaria. Esta figuraconstituye diversas modalidades, pudiéndose hablar de un contrato demandato, un cuasicontrato e incluso de gestión de negocios, puesto queobliga a rendir cuentas, y da derecho al reintegro o abono de los gastos.

E! administrador es la persona fisica o moral que desenvuelve sobrebienes ajenos una actividad dirigida a hacerlos servir de diversa manera enprovecho de alguien, generalmente con obligación de rendir cuentas.'.

Atendiendo a su origen, la administración puede ser convencional ocontractual, cuasicontractual, legal O judicial. La primera, convencionalo contractual se da cuando el administrador de propiedades celebra uncontrato específico de derecho civil. Es cuasicontractual en la gestión denegocios, regulada por los articulas 1896 al 1909 del Código Civil. Se tra­ta de administración legal en el caso del padre que administra los bienesde sus hijos (artículos 425 al 442 del Código Civil), el tutor legítimo (ar­tículos 486 al 491 del Código Civil) y de quien actúa al frente de una ad­ministración pública. Es judicial la administración realizada por el síndi­co de la quiebra, el interventor judicial de una empresa. y el albaceadesignado judicialmente

Dentro de las sucesiones la administración se da en todo lo relativo ala conservación y producción de los bienes y derechos que integran elpatrimonio del muerto ab intestato, desde que su fallecimiento se poneen conocimiento de la autoridad judicial hasta que se adjudican los bie­nes a los legítimos herederos. Por cuanto hace al carácter, obligaciones ypotestades del administrador de la sucesión (albacea) están fijadas en elCódigo Civil, artículos 1679 al 1749.

Ejercicio:El administrador Jorge Martinez informa que del bien inmueble "Fin­

ca Margarita Azul", con 500 hectáreas de superficie ha sido vendido el50%, de lo que ha quedado ha alquilado un 35%, del 65% restante hasembrado de arroz el 8% y de maíz el resto. Si el valor de cada hectáreaes de $4,560.00 LEn cuánto fue vendido el 50% de la "Finca MargaritaAzul"? Si la renta cobrada es de $250.00 por hectárea mensualmente¿Cuánto se recibirá en 7 meses de renta? ¿Cuál es la superficie que se en­cuentra sembrada de arrOz y cuál de maíz?

Primero, debe determinarse cuantas hectáreas se han vendido:

hectáreas vendidas = (500)[.5)= 250 has.

sabiendo lo anterior, podemos saber el precio pagado por el 50% vendido:

valor = (250 has) (4,560.00) = $1,140,000.00

28 Diccionario jurídico mexicano, p. 112.

208 Malcmóticos aplicadas al Derecho. David Cienfucgos Salgado

Es decir que el preCio de venta del 50% de la finca Margarita Azulfue de $1,140,000.00. Ahora, debemos saber cuantas hectáreas se estánrentando y cuánto se recibirá en siete meses por concepto de tal arrenda­miento:

hectáreas rentadas = (250)(.35)= 87.5 has.valor de renta en siete meses=(250.0)(87.5)=(21,875)(7)=$153,125.00

Es decir, la renta que deberá cubrirse por siete meses es de$153,125.00. Nos resta calcular cuál es la superficie que se está sembran­do y de qué se está sembrando:

250+87.5+x=500 x = 500-337.5 x= 162.5Superficie que se está sembrando = 162.5 hectáreasSuperficie semhrada de arroz = (162.5)(.08) = 13 hectáreasSuperficie sembrada de maíz (162.5)(.92) = 149.5 hectáreas

Ejercicio:El albacea, administrador de la sucesión, Adolfo Rubalcava informa

que de los bienes inmuebles "Finca La Margarita", "Quinta El Ensueño" y"Finca Sur", se obtuvo por concepto de rentas y productos la cantidad de$234,000.00. Además el valor de las propiedades es de $435,600.00.¿Cuál es el monto de la retribución que recibirá por haber desempeñadoel cargo?

En el Código Civil encontramos la retribución que reciben los alba­ceas:

Artículo 1740.-EI testador puede señalar al albacea la retribución quequiera. (CC)

Artículo 1741.-Si el testador no designare la retribución, el albacea co·brará el dos por ciento sobre el importe líquido o efectivo de la herencia, yel cinco por ciento sobre los frutos industriales de los bienes hereditarios.(Ce¡

Artículo 1742.-EI albacea tiene derecbo de elegir entre lo que le deja eltestador, por el desempeño del cargo y lo que la ley le concede por el mismocargo. (Ce¡

De acuerdo con estos lineamientos podemos determinar que el montode retribución por el desempeño del cargo será:

Por valor herencia = (435,600) (.02) = 8,712.00Por frutos = (234,000) (.05) = 11,700.00Monto de retribución = $20,412.00 .

Unidad 4 • Áreas de la cunícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 209

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUAC¡ÓN

1. De acuerdo con la vigente Ley Orgánica del Tribunal Superior, cuán­to cobrará un abogado en un negocio judicial cuya suerte principal esde $1'370,000.00.

2. El abogado César J. Bernal realizó las siguientes actividades en unjuicio civil: a) hizo el estudio para plantear la demanda; b) realizó elescrito de demanda; e) leyó escritos y promociones de la parte deman­dada en 72 hojas; d) promovió dos incidentes y dos recursos; e) pro­puso pruebas en dos ocasiones: dos escritos; fJ realizó cuatro pliegosde posiciones y preguntas y dos cuestionarios para peritos; g)asistió a3 juntas y 7 audiencias, lo que implicó 22.2 horas; h) asistió, fueradel juzgado a 6 diligencias, lo que implico 9.4 horas; i) se le notifica­ran dos proveídos y dos sentencias; j) realizó los alegatos principales;si en todos los casos cobró el máximo permitido en el arancel de laLey orgánica del Tribunal Superior i.cuál es el monto de tales costas'!

3, Los señores X y Z, requieren saber cual es el monto de su inversiónen una empresa, antes de que se realice la liquidación, comprome­tiéndose a respetar el parecer de los contadores a quienes encargan larealización del cálculo, Los contadores concluyen que del total de va­lores de la empresa ($240'312,400,00) a X le corresponde el 43.560/0 ya Y el 56.44% i.Cuánto corresponde en valores?

4. Aníbal Fernández no dispuso de su fortuna mediante testamento, porlo que en el juicio sucesorio se determina que se divida en partesiguales entre sus 7 hijos. i.Cuánto corresponde a cada uno de los her­manos, si la masa hereditaria es de $180,340.00? Tómese en cuentael pago de un albacea judicial.

5. Investigar si el juicio de contadores es una institución jurídica queaun se aplica, así como otros de sus antecedentes.

6. Por haber destrozado con una máquina, parte de un sembradío demaíz, cuyo valor estaba calculado en $345,100.00, Juan Pérez ha sidocondenado al pago de daños por 52% del valor calculado y cubrir porconcepto de perjuicios el 49.5% del valor de los daños. i.Cuál es el to­tal por el que se le condena?

7. Investigar en qué disposiciones legales se regula lo referente a los da­ños y a1perjuicio.

8. Realizar un ensayo sobre las secciones en un juicio sucesorio.

9. El albacea Raúl C. Barrera informa que del bien inmueble "Quinta

210 Matemóticas apUcadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

Tierra Colorada", con 500 hectáreas de superficie, ha sido vendido el30%, de lo que ha quedado ha alquilado un 40%, del 60% restante hasembrado de arroz el 18% y de maíz el resto. Si el valor de cadahectárea es de $456.00 ¿En cuánto fue vendido el 30% de la "QuintaTierra Colorada"? Si la renta cobrada es de $50.00 por hectárea men­sualmente ¿Cuánto se recibirá en 12 meses de renta? ¿Cuál es la su­perficie que se encuentra sembrada de arroz y cuál de maíz?

10. El albacea, administrador de la sucesión, Adolfo R. Cuenca informaque de los bienes inmuebles, se obtuvo por concepto de rentas y pro­ductos la cantidad de $284,000.00. Además el valor total de la heren­cia es de $735,600.00. ¿Cuál es el monto de la retribución que recibi­rá por haber desempeñado el cargo?

11. Considere los siguientes datos: la Ley de Hacienda del Estado deGuerrero grava la transmisión de inmuebles por causa de muerte. Seaplica la tasa del 10% sobre la base gravable. La base gravable se de­termina deduciendo del valor de avalúo del inmueble una cantidadequivalente a 12 veces el salario mínimo general elevado al año, de la

. zona económica a que corresponda el D.F. José Manuel Vargas recibeen herencia un bien inmueble con valor de $245,800.00. ¿Cuál es elimpuesto que deberá cubrir por transmisión de inmuebles?

12. Cuánto recibirá Miguel Villalobos por haberse desempeñado comointérprete y traductor en un' juicio, si realizó la asistencia ante lasautoridad judicial durante 29.6 horas y tradujo documentos en 123hojas. Realice el cálculo actualizando previamente los valores de laLey.

13. Calcular el monto de las indemnizaciones que recibirá Jorge Méndezquien a consecuencia de nn accidente automovilístico pierde lamano izquierda.

4.4. ÁREA DE DERECHO DE LA SEGURIDAD SOCIAL

El derecho de la seguridad social es una rama del derecho social quecomprende a todos los trabajadores, obreros, empleados, domésticos, ar­tesanos, toreros, artistas, deportistas, etcétera, para su protección integralcontra las contingencias de sus actividades laborales y para protegerlosfrente a todos los riesgos que puedan ocurrirles. 29

Se considera que esta disciplina jurídica es un conjunto de normas

29 Diccionario jurfdico sobre seguridad social, México: ISSSTE, IMSS, UNAM. 1994,p. 173.

Unidad 4 • Areas de la curricula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 211

que tienen su origen en el derecho natural. que se afinan y perfeccionanen el todo social para dar origen al derecho social, derecho que tienecomo finalidad el garantizar al hombre, a la familia y a la sociedad las ga­rantías fundamentales de la humanidad, a saber: la protección de la sa­lud, acceso a la educación, garantía a la vivíenda, al trabajo y al salaría, ala recreación: derechos que permiten el surgimiento de instituciones es­pecializadas de carácter social para garantizar y hacer efectivos estos de­rechos cuando la sociedad se vea afectada por una contingencia social opor riesgos e inseguridades presentadas en el quehacer laboral, en elcampo de la política y de la economía, entre otros, que provoque algúntipo de incapacidad que le impida subsistir.30

La Organización Internacional del Trabajo considera a la segurídadsocial como el conjunto de medidas adoptadas por una sociedad con elfin de garantizar a sus miembros, por medio de una organización apro­piada, una protección suficiente contra ciertos ríesgos a los cuales sehallen expuestos. La seguridad social es un instrumento jurídico y eCO­nómico que establece el Estado para abolír y garantizar a todo ciudadanoel derecho de un ingreso para vivir y la salud a través del reparto equi­tativo de la renta nacional y por medio de prestaciones del seguro so­cial, al que contribuyen los patronos, los obreros y el Estado, como subsi­dios, pensiones, atención facultativa y de servicios sociales, que otor­gan de los impuestos las dependencias de aquél, quedando amparadoscontra los riesgos profesionales y sociales, príncipalmente de la falta osuficiencia de ganancias para su sostenimiento y el de su familia."

De acuerdo con la Ley del Seguro Socibl, la seguridad social tienepor finalidad garantizar el derecho a la salud, la asistencia médica, laprotección de los medios de subsistencia y los servicios sociales necesa­rios para el bienestar individual y colectivo, así como el otorgamientode una pensión que, en su caso y prevía cumplimiento de los requisitoslegales, será garantizada por el Estado (art. 2). La realización de la segu­ridad social está a cargo de entidades o dependencias públicas, federa­les o locales y de organismos descentralizados conforme a las disposi­ciones de la materia (art. 3). El Seguro Social es el instrumento básicode la seguridad social, y está establecido como un servicio público decarácter nacional, sin perjuicio de cualesquiera otros sistemas institui­dos (art. 4). La organización y administración del Seguro Social están acargo del organismo público descentralizado con personalidad y patri­monios propios, denominado Instituto Mexicano del Seguro Social, elcual tiene además el carácter de organismo fiscal autónomo, cuando asílo prevea la ley.

30 Idem.31 Ibidem.. p. 174.

212 Mulemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

El Seguro Social cubre las contingencias y proporciona servicios me­diante prestaciones en especie y en dinero, en las formas y condicionesprevistas en la legislación de la materia.

CÁLCULO PARA LA FIJACIÓN DE CUOTAS DE FINANCIAMIENTO

PARA CADA SEGURO, DETERMINACIÓN DE WS RIESGOS DE TRABAJO

Se entiende por financiamiento la aportación en dinero para la crea­ción, fomento o para sufragar los gastos tendientes a desarrollar la pro­tección civil o social. 32 El financianliento o régimen financiero representalos recursos necesarios para cubrir las prestaciones en dinero. las presta­ciones en especie y los gastos administrativos de los diferentes seguros yse obtienen de las cuotas que están obligados a cubrir los patrones y lostrabajadores o demás sujetos y de la contribución que en cada caso co­rresponda al Estado.

La Ley del Seguro Social establece en el régimen obligatorio los segu­ros de: riesgos de trabajo; enfermedades y maternidad: invalidez y vida;retiro, cesantia en edad avanzada y vejez; y, guarderías y prestaciones so­ciales.

Debe considerarse que esta ley entró en vigor en toda la República el1° de julio de 1997; este dato es necesario para efectuar las operacionesde actualización indicadas en el texto legal.

Otra figura de importancia es la integración del salario base de coti­zación. De acuerdo con el artículo 27 de la Ley del Seguro Social el sala­rio base de cotización se integra con los pagos hechos en efectívo porcuota diaria y las gratificaciones, percepciones, alimentación, habitación,primas, comisiones, prestaciones en especie y cualquier otra cantidad oprestación que se entregue al trabajador por sus servicios. Este numeralseñala qué conceptos se excluyen como integrantes del salario base decotización.

Ejercicio:Cuál es el salario base de cotización de un obrero que percibe por

cuota diaria $45.00. Además recibe una despensa mensual de $200.00,tiene derecho a ocho días de vacaciones y a 20 días por aguinaldo.

De acuerdo con lo señalado líneas atrás el salario base de cotizaciónlo obtendremos sumando las cantidades acumulables; parte proporcionalde las prestaciones; conforme a la fórmula:

SC = Cd + Ppv + Ppa + Ppd

32 Ibidem, p. 223.

SCCOPpv

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 213

donde:

= Salario base de cotizaciónCuota diaria percibida por el trabajadorParte proporcional de vacaciones; se obtiene multiplicandoel monto de los días de vacaciones por la correspondienteprima vacacional, al producto se le dividirá entre el núme­ro de días del año: 365.

Ppa = Parte proporcional de aguinaldo, se obtiene dividiendo elmonto de los días aguinaldo entre el número de días delaño: 365.

Ppd = Parte proporcional de despensa, se obtiene dividiendo el va­lor de la despensa entre el número de días del período enque se otorga.

De lo que resulta que el salario base de cotización es:

SC = (45) + (.25) + (2.47) + (6.67)

SC = $54.39

Ejercicio:Cuál es el monto de las aportaciones patronales, obreras y del Estado

para financiar las prestaciones en especie del seguro de enfermedades ymaternidad que habrán de cubrirse durante febrero de 1998. Considéreseque la empresa tiene 13 empleados asegurados y ninguno con un salariosuperior a tres veces el salario mínimo.

Para determinar las cuotas del seguro de enfermedades y maternidadse acude a los artículos 105 al 108 de la Ley de Seguro Social:

Artículo lOG.-Las prestaciones en especie del seguro de enfermedades ymaternidad, se financiarán en la forma siguiente:

I. por cada asegurado se pagará mensualmente una cuota diaria patronalequivalente al trece punto nueve por ciento de un salario mínimo generaldiario para el Distrito Federal.

11. Para los asegurados cuyo salario base de cotización sea mayor a tresveces el salario mínimo general diario para el Distrito Federal; se cubriráademás de la cuota establecida en la fracción anterior, una cuota adicionalpatronal equivalente al seis por ciento y otra adicional obrera del dos porciento, de la cantidad que resulte de la diferencia entre el salario base de co­tización y tres veces el salario mínimo citado. y

III. El Gobierno Federal cubrirá mensualmente Ulla cuota diaria por cadaasegurado, equivalente a trece punto nueve por ciento de un salario mínimogeneral para el Distrito Federal, a la fecha de entrada en vigor de esta Ley,la cantidad inicial que resulte se actualizará trimestralmente de acuerdo a lavariación del Índice Nacional de Precios al Consumidor. (LSS)

De lo anterior tenemos que la cuota patronal es igual al monto de la

214 Malernólicas aplicadas al Derocho • David Cienfuegos Salgado

cuota diaria patronal multiplicado por el número de días del año y el nú­mero de empleados:

Cuota patronal = (30.20) (.139) (28) (13)

Cuota patronal = 1,526.00

En forma similar. la cuota que habrá de retenerse a cada uno de lostrabajadores será igual al monto de la cuota diaria obrera:

Cuota obreraCuota obrera

= (30.20) (.139) (28)= 117.54

La cuota que cubrirá el Estado por cada trabajador se obtiene multi­plicando el salario diario vigente ello de julio de 1997 por 13.9% y mul­tiplicarlo por 28. La cantidad resultante debe ser actualizada en los tér­minos especificados:

Cuota del estado= (26.45) (.139) (28)

Cuota del estado= 102.94

Ejercicio:Cuál es el monto de las aportaciones patronales, obreras y del Estado

para financiar las prestaciones en dinero del seguro de enfermedades ymaternidad que habrán de cubrirse durante febrero de 1998. Considéreseque la empresa tiene 2 empleados asegurados con un salario base de coti­zación de $72.00.

Artículo 107.-Las prestaciones en dinero del seguro de enfermedades ymaternidad se financiarán con una cuota del uno por ciento sobre el salariobase de cotización, que se pagará de la forma siguiente:

I. A los patrones les corresponderá pagar el setenta por ciento de dichacuota;

11. A los trabajadores les corresponderá pagar el veinticinco por ciento dela misma, y

111. Al Gobierno Federal le corresponderá pagar el cinco por ciento restan­te. (LSS)

De acuerdo con lo anterior tendremos:

Cuota generalCuota patronalCuota obreraCuota del Estado

= (72.00) (0.01) = $0.72= (.72) (.7) = $0.504 (28) = $14.11= (.72) (.25) = $0.18 (28) = $5.04= (.72) [.05) = $0.036 (28) = $1.01

Ejercicio:Cuál es el monto de la aportación patronal para financiar las presta­

ciones del seguro de guarderías y prestaciones sociales, que habrá de cu-

Unidad 4 • Áreas de la currlcula que tienen normalividad con repercusiones cuantitativas 215

brirse durante marzo de 1998. Considérese que la empresa tiene 3 em­pleados asegurados con un salario base de cotización de $82.00.

Artículo 211.-El monto de la prima para este seguro será del uno porciento sobre el salario base de cotización. Para prestaciones sociales sola­mente se podrá destinar hasta el veinte por ciento de dicho monto. (LSS)

Artículo 212.-Los patrones cubrirán íntegramente la prima para el financia­miento de las prestaciones de este capítulo, esto independientemente que ten­gan o no trabajadores de los señalados en el artículo 201 a su servicio. (LSS)

De acuerdo con estos articulas el monto es igual al 1% del salariobase de cotización, por lo cual podemos aplicar la fórmula:

Cuota patronal = SC (.01) N

donde:

SC = Salario base de cotizaciónN = Número de trabajadores

para obtener el monto de la cuota, sustituimos:

Cuota patronal = (82) (.01) (3)

Cuota patronal = $2.46

Ejercicio:Determinar el índice de frecuencia en una empresa que ha tenido 13

casos de riesgos de trabajo; en la empresa laboran doscientos treinta yocho trabajadores y durante 1997 se cotizaron 84,566 días.

Para resolver este problema debemos remitirnos al Reglamento parala clasificación de empresas y determinación del grado de riesgo del segu­ro de riesgos de trabajo:

Articulo 28.-El índice de frecuencia, conceptualmente, es la probabili­dad de que ocurra un siniestro en un día laborable y se obtiene conforme ala siguiente fórmula:

El significado de las variables es:

TI = Número de casos de riesgo de trabajo terminados.N = Número de trabajadores promedio expuestos a los riesgos.

Para el efecto se considerará el número de casos de riesgos de trabajo ter­minados en el lapso que se analice, excepto los de recaídas y los de modifi­caciones a las valuaciones por incapacidad permanente. (RCGR)

Artículo 30.-...El n(lmero de trabajadores promedio expuestos al riesgo se obtiene su­

mando los días cotizados durante el año y dividiendo el resultado entre 365.(RCGR)

216 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

Ejercicio:Determinar el sueldo básico de un trabajador, conforme a la Ley del

ISSSTE, si su sueldo presupuestal es de $3,200; tiene un sobresueldo de$500; una compensación de $300.00; recibe despensa por $300.00 y ayu­da para transporte por $50; todas estas cantidades son mensuales.

Artículo 15.-EI sueldo básico que se tomará en cuenta para los efectosde esta Ley se integrará solamente con el sueldo presupuestal, el sobresueldoy la compensación de que más adelante se habla, excluyéndose cualquieraotra prestación que el trabajador percibiera 'con motivo de su trabajo.

Sueldo presupuesta} es la remuneración ordinaria seiialada en la designa­ción o nombramiento del trabajador en relación con la plaza o cargo que de­sempeña.

Sobresueldo es la remuneración adicional concedida al trabajador en aten­ción a circunstancias de insalubridad o carestía de la vida del lugar en quepresta sus servicios.

Compensación es la cantidad adicional al sueldo presupuestal y al sobre­sueldo que se otorga discrecionalmente en cuanto a su monto y duración aun trabajador en atención a las responsabilidades o trabajos extraordinariosrelacionados con su cargo o por servicios especiales que desempeñe y que secubra con cargo a la partida específica denominada "Compensaciones adi­cionales por servicios especiales".

Las cotizaciones establecidas en los artículos 16 y 21 de esta Ley, se efec­tuarán sobre el sueldo básico, hasta por una cantidad que no rebase diez ve­ces el salario mínimo general que dictamine la Coinisión Nacional de los Sa­larios Mínimos, y será el propio sueldo básico hasta por la suma cotizable,que se tomará en cuenta para determinar el monto de los seguros, pensiones,subsidios y préstamos que otorga esta Ley.

El sueldo básico de los trabajadores de los organismos públicos se determi­nará con sujeción a los lineamientos que fija el presente artículo. (LISSSTE)

Ejercicio:Un trabajador percibe un sueldo presupuestal de $3,250; sobresueldo

de $50: una compensación de $300; despensa por $200 y ayuda paratransporte por $50; todas estas cantidades son mensuales. De acuerdocon la Ley de ISSSTE cuál es la cuota que aporta para financiar los diver­sas prestaciones otorgadas por el ISSSTE y cómo se divide esta cuota encada lipa de prestaciones y gastos.

Artículo 16.-Todo trabajador incorporado al régimen de este ordena­miento, deberá cubrir al Instituto una cuota fija del ocho por ciento del suel­do básico de cotización que disfrute, definido en el artículo anterior.Dicha cuota se aplicará en la siguiente forma:

I. 2.75% para cubrir los seguros de medicina preventiva, enfermedades,maternidad y los servicios de rehabilitación física y mental;

n. 0.50% para cubrir las prestaciones relativas a préstamos a mediano ycorto plazo;

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 217

1I1. 0.50% para cubrir los servicios de atención para el bienestar y desa­rrollo infantil; integrales de retiro a jubilados y pensionistas; servicios turís­ticos; promociones culturales, de preparación técnica, fomento deportivo yde recreación y servicios funerarios;

IV. 3.50% para la prima que se establezca anualmente, conforme a las va­luaciones actuariales, para el pago de jubilaciones, pensiones e indemniza­ciones globales. así corno para integrar las reservas correspondientes confor­me a lo dispuesto en el artículo 182 de esta ley;

V. El porcentaje restante se aplicará para cubrir los gastos generales deadministración del Instituto exceptuando los correspondientes al Fondode la Vivienda.

Los porcentajes señalados en las fracciones 1 a In incluyen gastos especí­ficos de administración. (LISSSTE)

CÁLCULO PARA PAGO DE PENSIONES ,O INDEMNIZACIÓN

EN RIESGOS DE TRABAJO PROFESIONAL O NO PROFESIONAL

La Ley del Seguro Social define a las riesgos de trabajo como los ac­cidentes y enfermedades a que están expuestos los trabajadores en ejerci­cio o con motivo del trabajo. El mismo ordenamiento seriala que se consi­dera accidente de trabajo toda lesión orgánica o perturbación funcional,inmediata o posterior; o la muerte, producida repentinamente en ejerci­cio, o con motivo del trabajo, cualquiera que sea el lugar y el tiempo enque dicho trabajo se preste. También se considerará accidente de trabajoel que se produzca al trasladarse el trabajador, directamente de su domi-cilio al lugar de trabajo, o de éste a aquél. .

Enfermedad de trabajo es todo estado patológico derivado de la ac­ción continuada de una causa que tenga su origen o motivo en el trabajo,o en el medio en que el trabajador se vea obligado a prestar sus servicios.En todo caso, la Ley del Seguro Social establece que serán enfermedadesde trabajo las consignadas en la Ley Federol del Trabajo.

El accidente de trabajo puede traer como consecuencia la incapaci­dad para seguir prestando el trabajo. La incapacidad es la disminución opérdida de la aptitud para el trabajo, como consecuencia de una altera­ción anatómica o funcional del cuerpo humano. Las incapacidades pue­den ser temporal, permanente parcial. permanente total y la muerte.

Incapacidad temporal es la pérdida de facultades o aptitudes queimposibilita parcial o totalmente a una persona para desemperiar su tra­bajo por algún tiempo. Incapacidad permanente parcial es la disminu­ción de las facultades o aptitudes de una persona para trabajar. Incapaci­dad permanente total es la pérdida de facultades o aptitudes de unapersona que la imposibilita para desemperiar cualquier trabajo por el res­to de su vida.

Podemos definir la indemnización por accidente de trabajo como elpago que debe hacerse al trabajador o a sus beneficiarios como repara-

218 Matemáticas aplicadas al Derocho • David Cienfuegos Salgado

clOn económica por haber sufrido una lesión orgánica o perturbaciónfuncional o la muerte producida repentinamente con motivo del trabajo,o bien en el ejercicio del mismo. 33

La pensión por riesgo de trabajo es la cantidad periódica, temporal ovitalicia, que se asigna a alguien desde las instituciones de seguridad so­ciaL"

Ejercicio:Determinar el subsidio que recibirá Enrique Castro, conforme a la

Ley del Seguro Social, quien sufre un riesgo de trabajo y se le declara in­capacidad temporal durante 13 días, si su cuota diaria es de $45.00. Ade­más recibe una despensa mensual de $200.00, tiene derecho a ocho díasde vacaciones y a 20 días por aguinaldo.

Artículo 58.-EI asegurado que sufra un riesgo de trahajo tiene derecho alas siguientes prestaciones en dinero:

I. Si lo incapacita para trabajar recibirá mientras dure la inhabilitación, elcien por ciento del salario que estuviese cotizando en el momento de ocurrirel riesgo.

El goce de este subsidio se otorgará al asegurado entre tanto no se declareque se encuentra capacitado para trabajar, o bien se declare la incapacidadpermanente parcial o total, lo cual deberá realizarse dentro del término decincuenta y dos semanas que dure la atención médica como consecuenciadel accidente, sin perjuicio de que una vez determinada la incapacidad quecorresponda, continúe su atención o rehabilitación conforme a lo dispuestopor el artículo 61 de la presente Ley;

... (LSS)

De acuerdo con el texto legal el monto del subsidio que recibiráEnrique Castro será:

Síl = SC (n)

donde:

Sit = Subsidio por incapacidad temporalSC = Salario base de cotizaciónn = Número de días de incapacidad

sustituyendo:

Subsidio = 54.39 (13) = $707.07

Ejercicio:De conformidad con la Ley del Seguro Social determinar la pensión

por incapacidad permanente total que recibirá Yolanda Contreras quien

33 Diccionario juridico de seguridad social, p. 251.34 Ibidem, p. 332,

Unidad 4 ~ Árcas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 219

sufre un riesgo de trabajo y se le declara incapacidad permanente total, sisu salario base de cotización es de $90.00

Artículo S8.-EI asegurado que sufra un riesgo de trabajo tiene derecho alas siguientes prestaciones en dinero: ...

11. Al declararse la incapacidad permanente total del asegurado, éste reci­birá una pensión mensual definitiva equivalente al setenta por ciento del sa­lario en que estuviere cotizando. En el caso de enfermedades de trabajo, secalculará con el promedio del salario base de cotización de las cincuenta ydos últimas semanas o las que tuviere si su .aseguramiento fuese por untiempo menor para determinar el monto de la pensión. Igualmente, el inca­pacitado deberá contratar un seguro de sobrevivencia para el caso de su fa­l1ec;imiento, que otorgue a sus beneficiarios las pensiones y demás prestacio­nes económicas a que tengan derecho en los términos de esta Ley.

... [LSS)

De acuerdo con el texto, la fórmula que nos permite determinar elmonto de la pensión es:

PIPT = se (.7) (30)

donde:

PIPT = Pensión por incapacidad permanente total.se = Salario hase de cotización.

Si aplicamos esta fórmula al caso, tendremos que el monto de la pen­sión es:

PIPT = (90) (.7) (30)PIPT = $1,890.00

Ejercicio:De acuerdo con la Ley del Seguro Social determinar la pensión por

incapacidad permanente parcial que recibirá Mima Valadés quien sufreun riesgo de trabajo y se le declara incapacidad permanente parcial, si susalario base de cotización es de $95.00. El padecimiento es parálisis radi­cular inferior y de acuerdo con la tabla de incapacidades del articulo 514de la Ley Federal del Trahajo le corresponde un 60%.

Artículo 58.-EI asegurado que sufra un riesgo de trabajo tiene derecho alas siguientes prestaciones en dinero: ...

111. Si la incapacidad declarada es permanente parcial, superior al cin­cuenta por cinto, el asegurado recibirá una pensión que será otorgada por lainstitución de seguros que elija en términos de la fracción anterior.

El monto de la pensión se calculará conforme a la tabla de valuación deincapacidad contenida en la Ley Federal del Trabajo, tomando como base elmonto de la pensión que correspondería a la incapacidad permanente total.El tanto por ciento de la incapacidad se fijará entre el máximo y el mínimo

220 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

establecidos en dicha tabla teniendo en cuenta la edad del trabajador, la im·portancia de la incapacidad, si ésta es absoluta para el ejercicio de su profe­sión aun cuando quede habilitado para dedicarse a otra, o que simplementehayan disminuido sus aptitudes para el desempeño de la misma o para ejer­cer actividades remuneradas semejantes a su profesión ti oficio.

Si la valuación definitiva de la incapacidad fuese de hasta el veinticincopor ciento, se pagará al asegurado, en sustitución de la pensión, una indem­nización global equivalente a cinco anualidades de la pensión que le hubiesecorrespondido. Dicha indemnización será optativa para el trabajador cuandola valuación definitiva de la incapacidad exceda de veinticinco por cientosin rebasar el cincuenta por ciento, y

... (L55)

Podemos determinar la fórmula para la incapacidad permanente parcial:

PIPP ; PIPT (% 514 LFT)

donde

PIPP ; Pensión por incapacidad permanente parcialPIPT; Pensión por incapacidad permanente total

% 514 LFT ; Porcentaje establecido en la tabla del artículo 514 de laLey Federal del Trabajo.

Si aplicamos esta fórmula al caso concreto tendremos:

PIPP ; 1995 (.6) ; $1,197.00

Ejercicio:Conforme a la Ley del Seguro Social determinar la indemnización

global por incapacidad permanente parcial que recibirá Mima Valadésquien sufre un riesgo de trabajo y se le declara incapacidad permanenteparcial, si su salario base de cotización es de $85.00. El padecimiento espérdida completa de la movilidad articular de las tres articulaciones delindice y de acuerdo con la tabla de incapacidades del articulo 514 de laLey Federal del Trabajo le corresponde un 15%.

En el ejercicio anterior transcribimos la disposición aplicable a estecaso. La fórmula que podemos utilizar es:

Ig ; PIPP (5 anualidades)

donde:

IgPIPP5 anualidades

; Indemnización global; Pensión por incapacidad permanente parcial; 60 meses

si sustituimos, tendremos:

Ig ; 267.75 (60) ; $16,065.00

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 221

Ejercicio:Conforme a la Ley del Seguro Social determinar el aguinaldo que re­

cibirá Mima Valadés quien sufrió un riesgo de trabajo y se le declara in­capacidad permanente parcial, si su salario base de cotización es de$95.00. El padecimiento es parálisis radicular inferior y de acuerdo conla tabla de incapacidades del artículo 514 de la Ley Federal del Trabajo lecorresponde un 60%.

Artículo 58.-El asegurado que sufra un riesgo de trabajo tiene derecho alas siguientes prestaciones en dinero: ...

IV. El Instituto otorgará a los pensionados por incapacidad permanentetotal y parcial con un mínimo de más del cincuenta por ciento de incapaci­dad, un aguinaldo anual equivalente a quince días del importe de la pensiónque perciban. [LSS)

De acuerdo con esta disposición, y sabiendo que el aguinaldo com­prende exactamente el monto de la mitad de una pensión mensual, pode­mos utilizar las siguientes fórmulas:

Ag = PIPT (.5)

Ag = PIPP (.5)

aplicando al caso que nos ocupa quedaría determinado el monto delaguinaldo multiplicando el monto de la pensión por incapacidad perma­nente parcial por el factor establecido, de la forma siguiente:

Ag = 1,197 (.5) = $598.50

Ejercicio:Conforme a la Ley del Seguro Social determinar el subsidio que reci­

birá Ramón Salinas, quien sufre una enfermedad no profesional que lomantiene incapacitado para el trabajo durante 46 dias. Percibe por con­cepto de salario base de cotización $93.00

Artículo 96.-En caso de enfermedad no profesional, el asegurado tendráderecho a un subsidio en dinero que se otorgará cuando la enfermedad lo in­capacite para el trabajo. El subsidio se pagará a partir del cuarto día del ini­cio de la incapacidad, mientras dure ésta y hasta por el término de cincuentay dos semanas.

Si al concluir dicho período el asegurado continuare incapacitado, previodictamen del Instituto, se podrá prorrogar el pago del subsidio hasta porveintiséis semanas más. (LSS)

Artículo 98.-EI subsidio en dinero que se otorgue a los asegurados seráigual al sesenta por ciento del último salario diario de cotización. El subsidiose pagará por períodos vencidos que no excederán de una semana, directa­mente al asegurado o a su representante debidamente acreditado. (LSS)

222 Malcm6tlcas aplicadas al Derecho ~ David Cienfuegos Salgado

De acuerdo con tales dispositivos podemos determinar el subsidio dela forma siguiente:

SENP = SC (.6) (n)

donde:

SENP =SCn =

sustituyendo:

SENP =SENP =

Subsidio por enfermedad no profesional.Salario base de cotizaciónNúmero de días de incapacidad

(93) (.6) (46)$2,566.80

Ejercicio:Conforme a la Ley del Segnro Social determinar el monto de las pres­

taciones que recibirán la esposa y tres hijos de Juan Morales, quien aconsecuencia de un riesgo de trahajo, pierde la vida el 23 de marzo de1998. Su salario base de cotización es de $105.00.

Artículo 64.-Si el riesgo de trabajo trae como consecuencia la muerte delasegurado. el Instituto calculará el monto constitutivo al que se le restará losrecursos acumulados en la cuenta individual del trabajador fallecido. a efectode determinar la suma asegurada que el Instituto deberá cubrir a la institu­ción de seguros, necesaria para obtener una pensión, ayudas asistenciales ydemás prestaciones económicas previstas en este capítulo a los beneficiarios.

Las pensiones y prestaciones a que se refiere la presente Ley serán:I. El pago de una cantidad igual a sesenta días de salario mínimo general

que rija en el Distrito Federal en la fecha de fallecimiento del asegurado.Este pago se hará a la persona preferentemente familiar del asegurado.

que presente copia del acta de defunción y la cuenta original de los gastosde funeral;

Il. A la viuda del asegurado se le otorgará una pensión equivalente al cua­renta por ciento de la que hubiese correspondido a aquél, tratándose de in­capacidad permanente total. La misma pensión corresponde al viudo o con­cubinario que hubiera dependido económicamente de la asegurada. Elimporte de esta prestación no podrá ser inferior a la cuantía mínima que co­rresponda a la pensión de viudez del seguro de invalidez y vida;

III. A cada uno de los huérfanos que lo sean de padre o madre que se en­cuentren totalmente incapacitados, se les otorgará una pensión equivalenteal veinte por ciento de la que hubiese correspondido al asegurado tratándosede incapacidad permanente total. Esta pensión se extinguirá cuando el huér­fano recupere su capacidad para el trabajo.

IV. A cada uno de los huérfanos que lo sean de padre o madre, menoresde dieciséis años, se les otorgará una pensión equivalente al veinte por cien·

Unidad 4 • Áreas de la curricula que llenen normatividad con repercusiones cuantitativas 223

to de la que hubiera correspondido al asegurado tratándose de incapacidadpermanente total. Esta pensión se extinguirá cuando el huérfano cumpla die­ciséis años.

Oe.berá otorgarse o extenderse el goce de esta pensión, en los términos delreglamento respectivo, a los huérfanos mayores de dieciséis años, hasta unaedad máxima de veinticinco años, cuando se encuentren estudiando enplanteles del sistema educativo nacional, tomando en consideración, lascondiciones económicas. familiares y personales del beneficiario y siempreque no sea sujeto del régimen obligatorio;

V. En el caso de las dos fracciones anteriores, si posteriormente fallecierael otro progenitor, la pensión de orfandad se aumentará del veinte al treintapor ciento, a partir de la fecha del fallecimiento del segundo progenitor y seextinguirá en los términos establecidos en las mismas fracciones, y

VI. A cada uno de los huérfanos, cuando lo sean de padre y madre, meno­res de dieciséis años o hasta veinticinco años si se encuentran estudiando enlos planteles del sistema educativo nacional, o en tanto se encuentren totalmen­te incapacitados debido a una enfermedad crónica, defecto físico o psíquico.se les otorgará una pensión equivalente al treinta por ciento de la que hubie­ra correspondido al asegurado tratándose de incapacidad permanente total.

El derecho al goce de las pensiones a que se refiere el párrafo ~nterior. seextinguirá en los mismos términos expresados en las fracciones 111 y IV deeste precepto.

Al término de las pensiones de orfandad establecidas en este artículo. seotorgará al huérfano un pago adicional de tres mensualidades de la pensiónque disfrutaba.

A las personas señaladas en las fracciones II y VI de este artículo, asícomo a los ascendientes pensionados en los términos del artículo 66, se lesotorgará un aguinaldo anual equivalente a quince días del importe de la pen­sión que perciban. (LSS)

De lo señalado en el texto legal podemos establecer las prestacionesque corresponden a los familiares de Juan Morales: sesenta días de salariomínimo por gastos de funeral, pensión de viudez y pensión de orfandad:

gastos de funeral = (60) (30.20) = $1,812.00

Para calcular la pensión de viudez tendremos:

Pv = PIPT (,4)

donde:

Pv = Pensión de viudezPIPT = Pensión por incapacidad permanente total

sustituyendo:

Pv = (2,205) (.4)Pv = $882.00

224 Molemálicas aplicadas a/ Derecho • David Cienfuogos Salgado

Para calcular la pensión de orfandad, aplicaremos la fórmula:

Po = PIPT (.2)

donde:

Po = Pensión de orfandadPIPT = Pensión por incapacidad permanente total

sustituyendo:

Po = (2,205) (.2]Po = $441.00

Ejercicio:Calcular el monto que recibirá la viuda de Jorge Mastache, quien de­

cide contraer nuevo matrimonio. Su pensión por viudez era de $345.00.Conforme a la Ley del Seguro Social.

Artículo 66.-...Tratándose de la viuda o concubina o, en su caso, del viudo o concubina­

rio, la pensión se pagará mientras no contraigan nupcias o entren en concu­binato. Al contraer matrimonio, cualquiera de los beneficiarios mencionadosrecibirá una suma global equivalente a tres anualidades de la pensión otor­gada. En esta última situación, la aseguradora respectiva deberá devolver alInstituto el fondo de reserva de las obligaciones futuras pendientes de cu­brir, previo descuento de la suma global que se otorgue. (LSS)

De acuerdo con esta disposición, la fórmula a utilizar es:

Sg = Pv ( 3 anualidades)

donde:

Sg = Suma global por liquidación de la pensión de viudezPv = Pensión de viudez

3 anualidades = 36 meses

sustituyendo:

Sg 345 (36)Sg = $12,420.00

CÁI.CULO PARA EL OTORGAMIENTO DE PRÉSTAMOS A CORTO PLAZO

Se denomina préstamo al contrato en virtud del cual una persona-mediante intereses o sin ellos- transfiere a otra una suma de dinero ocosas fungibles, quedando ésta obligada a devolver otro tanto de la mis­ma especie o calidad.

Entre las prestaciones que se otorgan a los trabajadores del Estado y a

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 225

sus derechohabientes, de acuerdo con el artículo 30 de la Ley dellnstitutode Seguridad y Servicios Sociales de los Trabajadores del Estado tenemos:préstamos hipotecarios para la adquisición de propiedad de terrenos y/ocasas, construcción, reparación, ampliación o mejoras de las mismas; asícomo para el pago de pasivos adquiridos por estos conceptos: préstamosa mediano plazo y préstamos a corto plazo.

La misma ley establece los lineamientos para otorgar préstamos acorto plazo:

Articulo 91.-De acuerdo con los recursos aprobados por la Junta Directi­va en el programa de presupuesto anual los préstamos a corto plazo se otor­garán a los trabajadores de base conforme a las siguientes reglas:

I. A quienes hayan cubierto al Instituto las cuotas y aportaciones por másde un año;

11 .111. El monto del préstamo se regirá por las siguientes bases:a) Hasta el importe de cuatro meses de su sueldo básico, cuando el solici­

tante tenga de seis meses a cinco años de aporaciones.bj Hasta el importe de cinco meses de su sueldo básico, cuando el solici­

tante tenga de cinco a diez años de aportaciones.e) Hasta el importe de seis meses de su sueldo básico, cuando el solicitan­

te tenga diez o más años de aportaciones.En ningún caso, dicho préstamo será superior al equivalente a diez veCeS

el sueldo básico mínimo mensual.De la cantidad total destinada anualmente para esta prestación, se afecta­

rá el 25% para los préstamos mencionados en el inciso a); 30% a los señala~

dos en el inciso b); y 45% para los referidos en el inciso ej.

VI. El monto del préstamo y los intereses serán pagados en abonos quin­cenales iguales, enun plazo no mayor de 48 quincenas; y

VIII. El monto del préstamo lo constituirá el capital y los intereses calcu­lados durante el plazo del mismo. (L1SSSTE)

Artículo 93.-Los préstamos se harán de tal manera que los abonos parareintegrar la cantidad prestada y sus intereses sumados a los descuentos porpréstamos hipotecarios y a los que deban hacerse por cualquier otro adeudoa favor del Instituto, no excedan del cincuenta por ciento del sueldo o de lossueldos del interesado y se ajustarán al Reglamento de Prestaciones Econó­micas. (LlSSSTEj

Artículo 96.-EI Ins.Huto favorecerá la utilización de este tipo de présta­mos para la adquisición de bienes y servicios que éste proporcione directa­mente, tales como bienes de consumo básico, turismo social y lotes funera­rios, entre otros.

Ejercicio:Calcular el monto del préstamo que se otorga a Juan Hernández,

quien tiene un sueldo presupuestal de $3,250; sobresueldo de $50; una

226 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

compensación de $300; despensa por $200 y ayuda para transporte por$50; mensuales. Además tiene aportaciones durante 59 meses y el interéses del 9% anual.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Cuál es el monto de las aportaciones patronales, obreras y del Estadopara financiar las prestaciones del seguro de invalidez y vida que ha­brán de cubrirse durante febrero de 1998. Considérese que los em­pleados de la empresa "NIUNOMÁS" tienen un salario base de coti­zación de $80.00. De acuerdo con la Ley del Seguro Social.

2. Cuál es el salario base de cotización de un obrero que percibe porcuota diaria $65.00. Además recibe una despensa mensual de$250.00, tiene derecho a diez dias de vacaciones y a 30 dias por agui­naldo. Conforme a la Ley del Seguro Social.

3. Investiga cuáles son los casos de excepción para considerar los ries­gos de trabajo en la Ley Federal del Trabajo, en la Ley del Seguro So­cial y en la Ley del lSSSTE.

4. Determinar la pensión por incapacidad permanente total que recibiráAntonio Carbajal quien sufre un riesgo de trabajo y se le declara in­capacidad permanente total, si percibe como cuota diaria $50.00.Además recibe una despensa mensual de $150.00, tiene derecho adiez dias de vacaciones y a 40 días por aguinaldo. Conforme a la Leydel Seguro Social.

5. Determinar el subsidio que recibirá Enrique Castro quien sufre unriesgo de trabajo y se le declara incapacidad temporal durante 15días, si su cuota diaria es de $51.00, y recibe por concepto de vaca­ciones y aguinaldo los mínimos establecido. Conforme a la Ley delSeguro Social.

6. Conforme a la Ley del Seguro Social determinar la indemnizaciónglobal por incapacidad permanente parcial que recibirá AnabeI Sal­gado quien sufre un riesgo de trabajo y se le declara incapacidad per­manente parcial, si su salario base de cotización es de $105.00. El pa­decimiento es pérdida completa de la movilidad articular de las tresarticulaciones del indice y de acuerdo con la tabla de incapacidadesdel artículo 514 de la Ley Federal del Trabajo le corresponde un 15%.

7. Determinar conforme a la Ley del Seguro Social el aguinaldo que re­cibirá Azucena Casarrubias quien sufrió un riesgo de trabajo y se ledeclara incapacidad permanente parcial, si su salario base de cotiza-

Unidad 4 • Áreas de la curnculll que tienen normatividod con repercusiones cuantitativas 227

ción es de $85.00. El padecimiento es parálisis radicular inferior y deacuerdo con la tabla de incapacidades del artículo 514 de la Ley Fe­deral del Trabajo le corresponde un 60%.

8. Calcular el monto que recibirá la viuda de Jorge Mastache, quien de­cide contraer nuevo matrimonio. Su pensión por viudez era de$415.00. Conforme a la Ley del Seguro Social.

9. Determinar el monto de las prestaciones que recibirán la esposa yseis hijos de Juan Manuel García, quien a consecuencia de un riesgode trabajo, pierde la vida el 23 de abril de 1998. Su percepción porcuota diaria es de $105.00. (consulte el artículo 66 LSS)

10. De acuerdo a la Ley del Seguro Social determinar el monto de lasprestaciones que recibirán la esposa y dos hijos de Carlos Faustino,quien a consecuencia de un riesgo de trabajo, pierde la vida el 28 deabril de 1998. Su percepción por cuota diaria es de $123.00.

11. Determinar el monto de la pensión que recibirán los padres de JorgeQuiñones, quien a causa de un riesgo de trabajo pierde la vida el 18de enero de 1998. Su percepción por cuota diaria es de $98.00. Ade­más recibe una despensa mensual de $250.00, tíene derecho a diezdías de vacaciones y a 40 días por aguinaldo. Conforme a la Ley delSeguro Social.

12. Actualizar el monto de la pensión por incapacidad permanente totalque recibe Alejandro Méndez. Si su pensión se calculó con base enun salario base de cotízación de $100.00 en marzo de 1997. Confor­me a la Ley del Seguro Social.

13. De acuerdo a la Ley del Seguro Social actualizar el monto de la pen­sión por orfandad que reciben dos hijos de Alejandro Méndez, quie­nes están huérfanos de ambos padres. Si su pensión se calculó conbase en un salario base de cotízación de $123.00 en abril de 1997.

14. Un trabajador percibe un sueldo presupuestal de $2,950; sobresueldode $150; una compensación de $200; despensa por $240 y ayudapara transporte por $70; todas estas cantidades son mensuales. Deacuerdo con la Ley de lSSSTE cuál es la cuota que aporta para finan­ciar los diversas prestaciones otorgadas por el ISSSTE y como se di­vide esta cuota en cada tipo de prestaciones y gastos.

15. Calcular el monto del préstamo que se otorga a Pedro Hernández,quien tiene un sueldo presupuestal de $3,750; sobresueldo de $150;una compensación de $250; despensa por $250 y ayuda para trans­porte por $150; mensuales. Además tíene aportaciones durante 75meses y el interés es del 15% anual. (LISSSTEj

228 Malem6ticas aplicadas a/ Derecho· David Cienfuegos Salgado

16. Si el ISSSTE destina en 2004 $21,340,000.00 para el otorgamiento depréstamos en términos del artículo 91 f. I1I, determine como se distri­buye esta cantidad en términos de la disposición citada.

17. Determinar conforme a la Ley del Seguro Social el aguinaldo que re­cibirá Isabel Casarrubias quien sufrió un riesgo de trabajo y se le de­clara incapacidad permanente parcial, si su salario base de cotizaciónes de $98.00. El padecimiento es parálisis radicular inferior y deacuerdo con la tabla de incapacidades del articulo 514 de la Ley Fe­deral del Trabajo le corresponde un 60%.

4.5. ÁREA DE DERECHO DEL TRABAJO

El derecho del trabajo es el conjunto de normas jurídicas que es­tructuran el trabajo subordinado y que regulan, ordenando hacia la jus­ticia social, armónicamente las relaciones derivadas de su prestación yla proporcional distribución de los beneficios alcanzados por su desa­rrollo.35

En toda relación laboral existen dos partes: patrón y trabajador, uni­dos por un nexo de subordinación de éste hacia aquél. El patrón recibe lafuerza de trabajo de sus subordinados que, por otra parte, constituye lariqueza con que cuentan los trabajadores.

Constitucionalmente se halla consagrado el principio que sostieneque nadie puede ser obligado a prestar trabajos personales sin la justa re­tribución, y sin su pleno consentimiento.

En nuestro país el antecedente mediato de la regulación del trabajo, através de normas escritas, se encuentra en la recopilación de Leyes de losReinos de Indias, conocido comúnmente como Leyes de Indias, vigentesdurante el período de la Colonia. Posteriormente se norma la libertad detrabajo e industria en la Constitución de 1857. A continuación encontra­mos las leyes denominadas preconstitucionales y en seguida la Constitu­ción de 1917, mediante la cual surge el derecho del trabajo en México.Entre 1917 y 1931 se emiten las correspondientes leyes laborales por laslegislaturas de los diferentes estados de la República. En 1931 se emite laprimera Ley Federal del Trabajo. Actualmente se encuentra vigente la LeyFederal del Trabajo, emitida en 1970, reformada en su aspecto procesalen 1980.36

35 Diccionario jurldico sobre seguridad social, p. 182.36 Penagos Arrecis, Carlos R., Derecho individual del Trabajo, México, UNAM, 1995,

p.41-42.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 229

INDEMNIZACIONES POR OESPIDO INJUSTO,

RESCISIÓN IMPUTABLE AL PATRÓN

Se entiende por despido el acto mediante el cual el patrón hace saberal trabajador que prescinde de sus servicios.37

El despido es la disolución unilateral de la relación de trabajo porparte del patrón, ante el incumplimiento grave y culposo de las obliga­ciones del trabajador. Penagos Arrecis señala que el despido es la san­ción disciplinaria impuesta por el patrón, cuando el trabajador infringealguno de los supuestos contemplados en la ley. Este puede ser justo einjusto. Es justo, cuando el patrón demuestra en el proceso respectivo laconducta activa o pasiva del trabajador, que motivó la sanción. Es injus­to, cuando no existe infracción por parte del trabajador o bien cuando lacausa del despido no es probada en juicio.'·

La Ley Federal del Trabajo establece las causas justificadas de despi­do, sin responsabilidad para el patrón, así como el monto de las indemni­zaciones que corresponden por despido injustificado:

Artículo 47.-Son causas de rescisión de la relación de trabajo, sin res­ponsabilidad para el patrón:

I. Engañarlo el trabajador o en su caso, el sindicato que lo hubiese pro­puesto o recomendado con certificados falsos o referencias en los que se atri­buyan al trabajador capacidad, aptitudes o facultades de que carezca. Estacausa de rescisión dejará de tener efecto después de treinta días de prestarsus servicios el trabajador;

11. Incurrir el trabajador, durante sus labores, en faltas de probidad u hon­radez, en actos de violencia, amagos, injurias o malos tratamientos en contradel patrón, sus familiares o del personal directivo o administrativo de la em­presa o establecimiento, salvo que medie provocación o que obre en defensapropia.

111. Cometer el trabajador contra alguno de sus compañeros, cualquiera delos actos enumerados en la fracción anterior, si como consecuencia de ellosse altera la disciplina de lugar en que se desempeñe el trabajo;

IV. Cometer el trabajador, fuera del servicio, contra el patrón, sus familia­res o personal directivo o administrativo, alguno de los actos a que se refierela fracción 11, si. son de tal manera graves que hagan imposible el cumpli­miento de la relación de trabajo;

V. Ocasionar el trabajador, intencionalmente, perjuicios materiales duran­te el desempeño de las labores o con motivo de ellos, en los edificios. obras.maquinaria, instrumentos, materias primas y demás objetos relacionadoscon el trabajo;

VI. Ocasionar el trabajador los perjuicios de que habla la fracción anterior

37 Pina, Diccionario de derecho. p. 246.38 Penagos Arrecis. Derecho individual del Trabajo. p. 16.

230 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

siempre que sean graves, sin dolo, pero con negligencia tal, que ella sea lacausa única del perjuicio:

VII. Comprometer el trabajador, por su imprudencia o descuido inexcu­sable, la seguridad del establecimiento o de las personas que se encuentrenen él;

VIII. Cometer el trabajador actos inmorales en el establecimiento o lugarde trabajo;

IX. Revelar el trabajador los secretos de fabricación o dar a conocer asun­tos de carácter reservado, con perjuicio de la empresa;

X. Tener el trabajador más de tres faltas de asistencia en un período detreinta días, sin permiso del patrón O sin causa justificada;

XI. Desobedecer el trabajador al patrón o a sus representanes, sin causajustificada, siempre que se trate del trabajo contratado;

XII. Negarse el trabajador a adoptar las medidas preventivas o a seguir losprocedimientos indicados para evitar accidentes o enfermedades;

XIII. Concurrir el trabajador a sus labores en estado de embriaguez o bajola influencia de algún narcótico o droga enervante, salvo que, en este últimocaso, exista prescripcón médica. Antes de iniciar su servicio, el trabajadordeberá poner el hecho en conocimiento del patrón y presentar la prescrip~

ción suscrita por el médico;XIV.La sentencia ejecutoriada que imponga al trabajador una pena de pri­

sión, que le impida el cumplimiento de la relación de trabajo, yxv. Las análogas a las establecidas en las fracciones anteriores, de igual

manera graves y de consecuencias semejantes en lo que al trabajo se refiere.El patrón deberá dar al trabajador aviso escrito de la fecha y causa o cau­

sas de la rescisión.El aviso deberá hacerse del conocimiento del trabajador, y en caso de que

éste se negare a recibirlo, el patrón dentro de los cinco días siguientes a lafecha de rescisión, deberá hacerlo del conocimiento de la Junta respectiva,proporcionando a ésta el domicilio que tenga registrado y solicitando su no­tificación al trabajador.

La falta de aviso al trabajador o a la Junta, por sí sola bastará para consi­derar que el despido fue injustificado. (LFT)

Artículo 49.-EI patrón quedará eximido de las obligaciones de reinstalaral trabajador, mediante el pago de las indemnizaciones que se determinan enel artículo 50 en los casos siguientes:

1. Cuando se trate de trabajadores que tengan una antigüedad menor deun año;

II. Si comprueba ante la Junta de Conciliación y Arbitraje, que el trabaja­dor, por razón del trabajo que desempeña o por las características de sus la­bores, está en contacto directo y permanente con él y la Junta estima, toman­do en consideración las circunstancias del caso, que no es posible eldesarrollo normal de la relación de trabajo;

]JI. En los casos de trabajadores de confianza;IV. En el servicio doméstico, yV. Cuando se trate de trabajadores eventuales. (LFT)

Unidad 4 • Áreas de la currlcula que tienen nonnnLividad con repercusiones cuantitativas 231

Artículo 50.-Las indemmizaciones a que se refiere el articulo anteriorconsistirán:

1. Si la relación de trabajo fuere por tiempo determinado menor de unaño, en una cantidad igual al importe de los salarios de la mitad del tiempode servicios prestados; si excediera de un año, en una cantidad igual al im­porte de los salarios de seis meses por el primer año y de veinte días porcada uno de los años siguientes en que hubiese prestado sus servicios;

II. Si la relación de trabajo fuere por tiempo indeterminado. la indemniza­ción consistirá en veinte dias de salario por cada uno de los años de servi­cios prestados. y

nI. Además de las indemnizaciones a que se refieren las fracciones ante­riores, en el importe de tres meses de salario y en el de los salarios vencidosdesde la fecha del despido hasta que se paguen las indemnizaciones.

Ejercicio:Determinar el importe de la indemnización que recibirá Ignacio Ba­

rrera, al ser demostrado en juicio que su despido fue injustificado. Eldespido fue el dia 4 de enero de 1998 y se considera hasta el 26 de juniola planilla de liquidación. Su sueldo diario al momento del despido erade $45.00, además recibia una despensa mensual de $250.00. No pidióreinstalación y tiene cinco años de antigüedad.

Ejercicio:Pedro Negrete, inició relación laboral con "Tecno Card", el13 de ene­

rO de 1980. Con fecha 20 de agosto de 1997, fue despedido de su trabajopor desobedecer órdenes de trabajo. En el juicio laboral, la empleadora"Tecno Card", prueba la causa del despido, es decir, se trata de un despi­do justificado. Calcule las prestaciones que tiene derecho a recibir si susueldo es de 160% del salario minimo.

Ejercicio:Un trabajador es despedido por causa injustificada el 8 de mayo de

1997, el patrón no logra comprobar la causal del despido y se cumple ellaudo un año después (8 de mayo de 1998). Calcular el total de la indem­nización y salarios vencidos. El trabajador devengaba un salario cuotadiaria de $130 y recibía una despensa mensual de $300.

Ejercicio:Manuel Tapia inicia su relación laboral con Miguel Hernández el 5

de abril de 1982. Es despedido el 8 de mayo de 1997, y en el juicio labo­ral el patrón no logra comprobar la causal del despido y se cumple ellau­do un año 'después (8 de mayo de 1998). Calcular el total de las presta­ciones, El trabajador devengaba un salario cuota diaria de $120 y recibíauna despensa mensual de $350. Además exigió reinstalación y el patróndemostró que con ello no se permitiría el desarrollo normal de las labo­res, por lo cual prefiere indemnizarlo.

232 Matemóticos aplicadas a} Derecho • David Cienfuegos Salgado

CÁLCULOS PARA EL PAGO DE: TIEMPO EXTRAORDINARIO

La jornada de trabajo es el tiempo durante el cual el trabajadorestá a disposición del patrón para prestar su trabajo. Jornada diurna esla comprendida entre las seis y las veinte horas. Jornada nocturna es lacomprendida entre las veinte y las seis horas. Jornada mixta es la quecomprende períodos de tiempo de las jornadas diurna y nocturna, siem­pre que' el período nocturno sea menor de tres horas y media, pues sicomprende tres y media o más; se reputará jornada nocturna. La dura­ción máxima de la jornada será ocho horas la diurna, siete la nocturna ysiete horas y media la mixta.

El tiempo extraordinario es todo aquel período que exceda de losmáximos establecidos por la ley o convenidos por las partes, dentro de loscuales el trabajador tiene la obligación de permanecer a las órdenes delpatrón. De tal manera, cualqnier lapso que se extienda sobre el estipula­do por la Ley Federal del Trabajo o el contrato individual o colectivo, seestima como tiempo extraordinario de trabajo. Los trabajadores tienen laobligación de prolongar la jornada de trahajo, cuando circunstancias es­peciales así lo demanden, sin exceder nunca de tres horas diarias ni detres veces en una semana.39

Artículo 65.-En los casos de siniestro o riesgo inminente en que peligrela vida del trabajador, de sus compañeros o del patrón, o la existencia mismade la empresa, la jornada de trabajo podrá prolongarse por el tiempo estricta­mente indispensable para evitar esos males.

Artículo 66.-Podrá también prolongarse la jornada de trabajo por cir­cunstancias extraordinarias. sin exceder nunca de tres horas (tiarias ni detres veces en una semana.

Artículo 67.-Las horas de trabajo a que se refiere el artículo 65, se retri­buirán con ulla cantidad igual a la que corresponda a cada una de las horasde la jornada.

Las horas de trabajo extraordinario se pagarán con un ciento por cientomás del salario que corresponda a las horas de la jornada.

Artículo 68.-Los trabajadores no están obligados a prestar sus serviciospor un tiempo mayor del permitido en este capitulo.

La prolongación del tiempo extraordinario que exceda de nueve horas a lasemana, obliga al patrón a pagar al trabajador el tiempo excedente con undoscientos por ciento más del salario que corresponda a las horas de la jor~

nada, sin perjuicio de las sanciones establecidas en esta ley.

Ejercicio:Calcular el pago de tiempo extraordinario de Jorge Gutiérrrez, quien

tiene quince años. Su sueldo es de $2,100.00 mensuales. Y durante el mesde febrero de 1998 laboró de 8:00 a 17:30 horas de lunes a sábado, des­cansando de 12:00 a 13:00.

39 Ibidem, p. 38.

Unidad 4 • Árcas de la currícula que tienen normalividad con repercusiones cuantitativas 233

Ejercicio:Carlos Sigales convino con su patrón laborar una jornada de las 8 a

las 14 horas de lunes a viernes. gozando de un descanso de media hora,a cambio del pago del salario mínimo general vigente en el D.F. Sín em­bargo. durante las últimas siete semanas laborales. trabajó de las 8 a las18 horas, con media hora de descanso. Determine el pago de tiempo ex­traordinario a que tiene derecho.

CÁLCULOS PARA EL PAGO DE: JUBILACIONES, INDEMNIZACIONES

La jubilación es el derecho al retiro remunerado que tiene el trabaja­dor, cuando habiendo cumplido un período de servicios alcanza una de­terminada edad. Esta figura no se encuentra regulada por la Ley Federaldel Trabajo. Sólo algunos contratos colectivos la consignan. de consi­guiente su fijación y efectos jurídicos se encuentran normados en dichosdocumentos y de acuerdo con el criterio del máximo tribunal mexicanola jubilacion tiene un carácter convencional.

Tomando en cuenta los contratos colectivos normalmente las condi­ciones que deben reunirse para el nacimiento del derecho de jubilaciónson: edad, años de servicio, incaacidad y disolución de la relación de tra­bajo. El tener un mínimo de edad o prestar los servicios durante un míni­mo de alias, o cubrir las dos condiciones generadoras del derecho a la ju­bilación. no es motivo automático de la disolución de la relación laboral;el trabajador que reune estas condiciones puede optar por seguir traba­jando o por recibir la pensión. en caso de optar por esta última se disuel­ve la relación laboral por terminación voluntaria. El máxímo tribunaltambién ha señalado que el derecho a la jubilación es imprescriptible.

La pensión es la cantidad que recibe periódicamente de manera vita­licia el trabajador con motivo de su jubilación. Los sistemas de cálculodel monto de la pensión son variados pero fundamentalmente se tomanen cuenta los años de edad y los servícios prestados. La Ley del ISSSTE,por. ejemplo señala:

Artículo 60.-Tienen derecho a la pensión por jubilación los trabajadorescon 30 años o más de servicios y las trabajadoras con 28 años o más de ser·vicios e igual tiempo de cotización al Instituto, en los términos de esta Ley,cualquiera que sea su edad, no siendo aplicables a éstas los dos últimos por­centajes de la tabla del artículo 63.

La pensión por jubilación dará derecho al pago de una cantidad equiva­lente al 100% del sueldo que se define en el artículo 64 y su percepción co­menzará a partir del día siguiente a aquél en que el trabajador hubiese dis·frutado el último sueldo antes de causar baja. (LISSSTE)

Artículo 61.-Tienen derecho a pensión de retiro por edad y tiempo deservicios, los trabajadores que habiendo cumplido 55 años, tuviesen 15 añosde servicios como mínimo e igual tiempo de cotización al Instituto. (LlSSSTE)

234 Motemóticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

Artículo 63.-EI monto de la pensión de retiro por edad y tiempo de ser·vicios se determinará de acuerdo con los porcentajes de la tabla siguiente:

15 años de servicio 50 %

16 años de servicio 52.5%

17 años de servicio 55 %

18 años de servicio 57.5%

19 años de servicio 60 %

20 años de servicio 62.5%

21 años de servicio 65 %

22 años de servicio 67.5%

23 años de servicio 70 %

24 años de servicio 72.5%

25 años de servicio 75 %

26 años de servicio 80 %

27 años de servicio 85 %

28 años de servicio 90 %

29 alias de servicio 95 % (LlSSSTE)

Artículo 64.-Para calcular el monto de las cantidades que correspondanpor pensión en los términos de los artículos 60, 63, 67, 76 Y demás relativosde esta Ley, se tomará en cuenta el promedio del sueldo básico disfrutado enel último año inmediato anterior a la fecha de la baja del trabajador o de sufallecimiento. (LISSSTE)

Otro ejemplo del cálculo de pensión por años de edad y de servicioscombinados que se van combinando en una pensión reducida de la inte­gral, dependiendo de la parte o totalidad del salario, lo encontramos enel contrato colectivo de algunas entidades paraestatales como PetróleosMexicanos:

Años de edad Años de servicio Parte del salariopercibido como pensión

55 25 80%

55 26 84%

55 27 88%

55 28 92%

55 29 96%

55 30 100%

I

Unidad 4 • Áreas de In currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 235

Los factores que forman parte del salario para los efectos de la jubila­ción, son los que las partes hayan convenido y no los que la ley fija comoparte del salario ordinario. Normalmente el derecho a recibir la pensiónse extingue con la muerte del trabajador jubilado, pero en algunos casostienen derecho a seguirla recibiendo sus beneficiarios. Asi, en algunoscontratos colectivos se establece que el trabajador pensionado designebeneficiarios para que éstos reciban en caso de su muerte, acaecida antesde transcurrir dos años posteriores a la fecha de jubilación, el 50% de lapensión jubilatoria durante el término de dos años.

Ejercicio:Jorge Mendoza, inició relación laboral al servicio de la "Distribuidora

Balsas" el 23 de enero de 1983. Con fecha 13 de mayo de 1998 al recibiruna mejor oferta de trabajo, se retira voluntariamente de la empresa cita­da. Calcule las prestaciones que tiene derecho a recibir.

Artículo 486.-Para determinar las indemnizaciones a que se refiere estetitulo, si el salario que percibe el trabajador excede del doble del salario mi­nimo del área geográfica de aplicación a que corresponda el lugar de presta­ción del trabajo, se considerará esa cantidad como salario máximo. Si el tra­bajo se presta en lugares de diferentes áreas geográficas de aplicación, elsalario máximo será el doble del promedio de los salarios mínimos respecti­vos. (LFT)

Artículo 492.-Si el riesgo produce al trabajador una incapacidad perma­nente parcial, la indemnización consistirá en el pago del tanto por cientoque fija la tabla de valuación de incapacidades, calculado sobre el importeque debería pagarse si la incapacidad hubiese sido permanente total. Se to­mará el tanto por ciento que corresponda entre el máximo y el mínimo esta­blecidos, tomando en consideracion la edad del trabajador, la importanciade la incapacidad y la mayor o menor aptitud para ejercer actividades remu­neradas, semejantes a su profesión u oficio. Se tomará asimismo en conside­ración si el patrón se ha preocupado por la reeducación profesional del tra­bajador.

Artículo 495.-8i el riesgo produce al trabajador una incapacidad perma­nente total, la indemnización consistirá en una cantidad equivalente al im­porte de mil noventa y cinco dias de salario. (LFT)

Articulo 500.-Cuando el riesgo traiga como consecuencia la muerte deltrabajador. la indemnización comprenderá:

I. Dos meses de salario por concepto de gastos funerarios, y11. El pago de la cantidad que fija el artículo 502.Artículo S02.-En caso de muerte del trabajador, la indemnización que

corresponda a las personas a que se refiere el artículo será la cantidad equi­valente al importe de setecientos treinta días de salario, sin deducir la in­demnización que percibió el trabajador durante el tiempo en que estuvo so­metido al régimen de incapacidad temporal.

236 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

Ejercicio:Calcular la indemnización que recibirá el viudo de Alicia Pérez si al

fallecer por un riesgo de trabajo su cuota diaria era de $76.00 y recibíauna despensa de $200 mensuales.

Ejercicio:Cuál es el monto de la indemnización que recibirá Sandra Jiménez a

quien un riesgo de trabajo le produce incapacidad permanente total. Susalario integrado es de $103.00. Tómese en cuenta que el riesgo de traba­jo se debe a falta inexcusable del patrón. (Ver artículo 490 LFT)

Ejercicio:Cuál es el monto de la indemnización que recibirá Rita Valenzuela a

quien un riesgo de trabajo le produce incapacidad permanente parcialpor pérdida del dedo indice en la mano izquierda. Su salario integrado esde $59.30. La tabla de valuación le otorga incapacidad del 20%. Tómeseen cuenta que el riesgo de trabajo se debe a falta inexcusable del patrón.(Ver artículo 490 LFT)

INTEGRACIÓN DEL SAI.ARlO: CÁLCULO DE PRESTACIONES

COMPLEMENTARIAS: SALARIO Y ESPECIE

La expresión salario proviene del latín solarium, dinero dado a so]­dados romanos para comprar sal,'o y en su acepción más amplia especifi­ca la remuneración que recibe una persona por su trabajo. En un sentidomás estricto, circunscribiéndonos al área del derecho del Trabajo, el sala­rio es la retribución que se percibe por el trabajo realizado en forma per­sonal, ajena y subordinada.41

De acuerdo con Penagos Arrecis al referirnos a la integración del sa­lario, debe analizarse las figuras del salario global o salario integral. Ental sentido, la LFT establece la definición jurídica en su numeral 84:

El salario se integra con los pagos hechos en efectivo por cuota diaria,gratificaciones, percepciones. habitación, primas, comisiones, prestacionesen especie y cualquiera otra cantidad o prestación que se entregue al trabaja­dor por su trabajo.

La LFT también define el salario mínimo, señalando en su numeral90 que salario mínimo es la cantidad menor que debe recibir en efectivoel trabajador por los servicios prestados en una jornada de trabajo. Elmismo dispositivo indica que el salario mínimo deberá ser suficientepara satisfacer las necesidades normales de un jefe de famila en el ordenmalerial, social y cultural y para proveer a la educación obligatoria de los

40 Gómez de Silva, Diccionario etimológico de /0 lengua española, p. 620.41 Penagos Arrecis, Derecho individual del Trabajo, p. 82.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normalividad con repercusiones cuanlitalivas 237

hijos. Considerándose además de utilidad social el establecimiento deinstituciones y medidas que protejan la capacidad adquisitiva del salarioy faciliten el acceso de los trabajadores a la obtención de satisfactores.

A continuación se presenta una tabla de los salarios mínimos genera­les vigentes en el Distrito Federal y en zonas económicas similares, a par­tir de 1990:42

Vigente a partir de Importe diario

1990, 16 de noviembre $11,900.00

1991, 11 de noviembre $13,330.00

1993, 1° de enero N$14.27

1994, 1° de enero N$15.27

1995, 1° de enero N$16.34

1995, 1° de abril N$18.30

1995, 4 de diciembre N$20.15

1996, 1° de abril $22.60

1996, 3 de diciembre $26.45

1998, 10 de enero $30.20

1998, 3 de díciembre $34.45

1999, 1° de enero $34.45

2000, 1° de enero $37.90

2001, 1° de enero $40.35

2002, 1° de enero $42.15

2003, 1° de enero $43.65

2004, 1° de enero $45.24

PRESTACIONES LABORALES

Artículo 75.-Los trabajadores que tengan más de un año de servicios dis­frutarán de un período anual de vacaciones pagadas, que en ningún caso po­drá ser inferior a seis días laborables, y que aumentará en dos días labora­bles hasta llegar a doce por cada año subsecuente de servicios.

Después del cuarto año, el período de vacaciones se aumentará en dosdías por cada cinco de servicios, (LFT)

42 Véase el anexo con un listado de los salarios mínimos generales diarios vigentes enMéxico desde 1985 a la fccha.

238 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado

Artículo aO.-Los trabajadores tendrán derecho a una prima no mellor deveinticinco por ciento sobre los salarios que les correspondan durante el pe­ríodo de vacaciones. (LFT)

Artículo 87.-Los trabajadores tendrán derecho a un aguinaldo anual quedeberá pagarse antes del día veinte de diciembre, equivalente a quince díasde salario, por lo menos

Los que no hayan cumplido el año de servicios, independientemente deque se encuentren laborando o no en la fecha de liquidación del aguinaldo,tendrán derecho a que se les pague la parte proporcional del mismo, confor­me al tiempo trabajado, cualquiera que fuere éste. (LIT)

Artículo 8g.-Para determinar el monto de las indemnizaciones que de­ban pagarse a los trabajadores se tomará como base el salario correspondien­te al día en que nazca el derecho a la indemnización, incluyendo en él lacuota diaria y la parte proporcional de las prestaciones mencionadas en elartículo 84.... (LFT)

Ejercicio:Integrar el salario de Ernesto López quien percibe cuota diaria de

$98. Tiene cuatro años dos meses de antigüedad y recibe despensa por$150 mensuales.

Ejercicio:Determinar el salario integrado de Rufino Hernández, empleado des­

de el 13 de enero de 1988 de la empresa "Marcas Registradas del Sur",quien percibe cuota diaria de $123, así como despensa mensual por $150y ayuda para trensporte por $75. Su prima vacacional es del 30% y reci­be cuarenta días de aguinaldo.

Ejercicio:Determinar el salario integrado de Ángel Calleja, empleado desde el

13 de enero de 1992 de la empresa "Marcas Registradas del Sur", quienpercibe cuota diaria de $100, así como despensa mensual por $250 yayuda para transporte por $95. Su prima vacacional es del 35% y recibecuarenta días de aguinaldo.

StSTEMA DE AHORRO PARA EL RETIRO (SAR)

Existen dos sistemas de fondos para el retiro: uno es el llamado siste­ma de reparto, que es el que llevaba el Seguro Social. El otro es el siste­ma de cuentas individuales que ahora representan las Afores.

En el sistema de reparto todos los trabajadores aportan sus cuotas aun fondo común colectivo. De este fondo común, se tomaba dinero parapagarle su pensión a los trabajadores que se retiraban ya sea por vejez opor accidente. El dinero excedente sirvió para construir clínicas y hospi­tales. Gracias a este sistema, México construyó el sistema de seguridadsocial más importante de América Latina.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normativirlad con repercusiones cuantilativllS 239

El nuevo sistema de pensiones, cuyo marco legal recién entró en vi­gor permitirá a los trabajadores tener una cuenta individual de ahorropara el retiro, mediante la cual sus fondos se administrarán e invertiránen instrumentos y valores financieros por las Administradoras de Fondospara el Retiro (Afores). Este mecanismo se dio después de que el IMSSmostró problemas de viabilidad financiera

Las Mores o Administradoras de Fondos para el Retiro son entida­des financieras que se dedicarán exclusivamente a administrar, abrir yoperar la cuenta individual de cada trabajador, de conformidad con lasleyes de seguridad social. En dichas entidades se depositarán las opera­ciones y los rendimientos correspondientes y se recibirán los recursosdel ahorro para el retiro, para invertirlos en sociedades de inversión conla finalidad de incrementar el ahorro del trabajador.

Las Siefores o Sociedades de Inversión Especializada en Fondospara el Retiro se encargarán de recibir los recursos de las Afores y se de­dicarán a acumular los ahorros de cada trabajador provenientes de lascuentas individuales, con la finalidad de invertirlos de manera que tenganseguridad en el ahorro y se proteja el poder adquisitivo del trabajador.

CÁLCULO EN LA PRODUCCIÓN Y SU INCIDENCIA EN LA PARTICIPACIÓN

DE LOS TRABAJADORES EN LAS UTILIDADES DE LA EMPRESA

La participación en las utilidades es el derecho de los trabajadores apercibír una parte de los beneficios económicos abenidos por la empresa,generados en el proceso de producción y distribución de bienes y servi­cios. La Ley Federal del Trabajo comprende dentro de las autoridades deltrabajo a la Comisión Nacional para la Participación de los Trabajadoresen las Utilidades de las Empresas. Dicha comisión en resolución del 28de febrero de 1985, publicada el 4 de marzo del mismo año, estableciócomo utilidad el 10% sobre la renta gravable en cada empresa, de confor­midad con las normas de la Ley del Impuesto sobre la Renta.43 Cabemencionar que posteriormente la Cuarta Comisión determinó: "10. Lostrabajadores participarán en un diez por ciento de las utilidades de lasempresas en las que presten sus servicios. 20

. De conformidad con lo dis­puesto por el inciso e) de la fracción IX del apartado A del artículo 123de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y por la LeyFederal del Trabajo, se considera utilidad, para los efectos de esta Reso­lución, la renta gravable, determinada según lo dispuesto en la Ley delImpuesto sobre la Renta. 30. La participación de los trabajadores en lasutilidades de las em presas se regirá conforme a lo dispuesto en las leyesFederal del Trabajo y del Impuesto sobre la Renta y en sus reglamen-

43 Ibidem, p. 29.

240 Matemáticos aplicados al Derecho· David Cienfuegos Salgado

toS".44 La misma comisión resolvió que "quedan exceptuadas de la obli­gación de repartir utilidades las empresas cuyo capital y trabajo generenun ingreso anual declarado al impuesto sobre la renta no superior a tres­cientos mil pesos".45

Esta prestación surgió en México como una garantía social en la Car­ta Magna de 1917, pero sería hasta 1962 mediante una reforma constitu­cional, que cobra vigencia la aplicación de dicha prestación a través de laley laboral. En sus inicios tuvo un carácter voluntario y se pretendía aso­ciar a los trabajadores a la marcha de la empresa. Esto explica el porquelas organizaciones profesionales, temerosas de perder influencia entre lostrabajadores, se opusieran a ese sistema. En lo relativo a su designación,el Congreso Internacional de Participación de Beneficios, reunido en Pa­rís en 1889, la definió como la convención libremente sostenida, envirtud de la cual el obrero o empleado recibe una parte perfectamentedeterminada de los beneficios, conforme a la equidad y a los principiosdel derecho positivo. Entre las instituciones afines se incluyen la habili­tación y el accionariado obrero y la cogestión o control obrero, esta últi­ma en el actual momento histórico, se encuentra casi totalmente erradi­cada.46

Artículo 117.-Los trabajadores participarán en las utilidades de las em­presas, de conformidad con el porcentaje que determine la Comisión Nacio·nal para la Participación de los Trabajadores en las Utilidades de las Empre­sas. (LFT)

Artículo 120.-El porcentaje fijado por la Comisión constituye la partici­pación que corresponderá a los trabajadores en las utilidades de cada em­presa.

Para los efectos de esta ley, se considera utilidad en cada empresa la rentagravable, de conformidad con las normas de la Ley del Impuesto sobre laRenta. (LIT)

Artículo 122.-EI reparto de utilidades entre los trabajadores deberá efec­tuarse dentro de los sesenta días siguientes a la fecha en que deba pagarse elimpuesto anual aún cuando esté en trámite objeción de los trabajadores.

El importe de las utilidades no reclamadas en dos partes que sean exigi­bles, se agregará a la utilidad repartible del año siguiente. (LFT)

Artículo 123.-La utilidad repartible se dividirá en dos partes iguales: laprimera se repartirá por igual entre todos los trabajadores, tomando en con-

44 Resolución de la Cuarta Comisión Nacional para la Participación de los Trabajadoresen las Utilidades de las Empresas, de 10 de diciembre de 1996 y publicada en el Diario Ofi­cial de la Federación el 17 de diciembre de 1996.

45 Resolución por la que se da cumplimiento a la fracción VI del artículo 126 de la l..ayFederal del Trabajo, de 11 de diciembre de 1996 y publicada en el DiarÍo Oficial de la Fede­ración el 19 de diciembre de 1996.

46 Penagos, Derecho individual del trabajo. p. 91.

Unidad 4 • Áreas de la currl'cula que tienen nonnatividad con repercusiones cuantitalivas 241

sideración el número de días trabajados por cada uno en el año indepen·dientemente del monto de los salarios. La segunda se repartirá en propor·ción al monto de los salarios devengados por el trabajo prestado durante elal1o. (LFT)

Ejercicio:En la empresa "La Romanita. S.A." laboran 4 trabajadores. Si ese año

la empresa obtuvo ganancias (renta gravable) por $560,000.00 ¿Cuántocorresponde a cada uno de los trabajadores de acuerdo con los siguientesdatos: Eduardo 317 días laborados, $23,145: Mario 345 días, $32,500:José 234 días, $23,378: y Alma 346 días, $34,450.

Ejercicio:En la empresa "Tecno Data" existen 6 trabajadores. Si este año la em­

presa obtuvo ganancia por $540,000 y el año anterior no repartió utilida­des por $12,000, determine ¿cuánto corresponde a cada uno de los traba­jadores de acuerdo con la siguiente tabla?

..._. -- -

TrabajadorDías Salario Participación Participación Total

laborados devengado por días por salario participación. ...._... _.. -

Angélica 327 133,400

Bardomeo 344 185,900

Carlos 312 123,340

Daniel 253 124,000

Ernma 355 178,000

Fernando 223 103,000

Totales

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. En la empresa "La Romanita. S.A." laboran 4 trabajadores. Si ese añola empresa obtuvo ganancias (renta gravable) por $560,000.00 ¿Cuán­lo corresponde a cada uno de los trabajadores de acuerdo con los si­guientes datos: Eduardo 317 días laborados, $23,145; Mario 345 días,$32,500; José 234 días, $23,378; y Alma 346 días, $34,450.

2. Determinar el importe de la indemnización que recibirá Ignacio Cal­vo al ser demostrado en juicio que su despido fue injustificado. Eldespido fue el día 12 de enero de 1998 y se considera hasta el 26 demayo la planilla de liquidación. Su sueldo diario al momento del

242 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

despido era de $75.00, además recibía una despensa mensual de$250.00. No pidió reinstalación y tiene seis años de antiguedad.

3. Jorge Infante inició relación laboral con "Tecno Card", el 13 de enerode 1979. Con fecha 20 de agosto de 1997, fue despedido de su trabajopor desobedecer órdenes de trabajo. En el juicio laboral, la empleado­ra "Tecno Card", prueba la causa del despido, es decir, se trata de undespido justificado. Calcule las prestaciones que tiene derecho a reci­bir si su sueldo es de 150% del salario mínimo.

4. Un trabajador es despedido por causa injustificada el 18 de abril de1997, el patrón no logra camprobar la causal del despido y se cumpleel laudo un año después (18 de abril de 1998). Calcular el total de laindemnización y salarios vencidos. El trabajador devengaba un sala­rio cuota diaria de $130 y recibía una despensa mensual de $300.

5. Héctor Tapia inicia su relación laboral con Miguel Ramírez el 15 deabril de 1982. Es despedido el 8 de mayo de 1997, y en el juicio labo­ral el patrón no logra comprobar la causal del despido y se cumple ellaudo un año después (8 de mayo de 1998). Calcular el total de lasprestaciones. El trabajador devengaba un salario cuota diaria de $120y recibía una despensa mensual de $350. Además exigió reinstala­ción y el patrón demostró que con ello no se permitiría el desarrollonormal de las labores, por lo cual prefiere indemnizarlo.

6. Calcular el pago de tiempo extraordinario de Jorge Muñoz, quien tie­ne quince años. Su sueldo es de $2,100.00 mensuales. Y durante elmes de febrero de 1998 laboró de 9:00 a 18:00 horas de lunes a sába­do, descansando de 12:00 a 13:00.

7. Sergio S. Obrador convino con su patrón laborar una jornada de las 9a las 15 horas de lunes a viernes, gozando de un descanso de mediahora, a cambio del pago del salario mínimo general vigente en el D.F.Sin embargo, durante las últimas siete semanas laborales, trabajó delas 8 a las 18 horas, con media hora de descanso. Determine el pagode tiempo extraordinario a que tiene derecho.

8. Juan Sánchez, inició relación laboral al servicio de la "DistribuidoraMedina" el 12 de enero de 1983. Con fecha 13 de abril de 1998 al re­cibir una mejor oferta de trabajo, se retira voluntariamente de la em­presa citada. Calcule las prestaciones que tiene derecho a recibir.

9. Calcular la indemnización que recibirá la viuda de Carlos Girón, si alfallecer por un riesgo de trabajo su cuota diaria era de $86.00 y reci­bía una despensa de $250 mensuales. (Ver artículo 486 LFT)

10. Cuál es el monto de la indemnización que recibirá Isabel Fuentes a

Unidad 4 • Áreas de la cunfcula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 243

quien un riesgo de trabajo le produce incapacidad permanente par­cial por amiotrofia del muslo, sin anquilosis ni rigidez articular. Susalario integrado es de $61.30. La tabla de valuación le otorga incapa­cidad del 30%. Tómese en cuenta que el riesgo de trabajo se debe afalta inexcusable del patrón. (Ver artículo 490 LFT)

11. Cuál es el monto de la indemnización que recibirá Alberto Carcía aquien un·riesgo de trabajo le produce incapacidad permanente total.Su salario integrado es de $100. Tómese en cuenta que el riesgo detrabajo se debe a falta inexcusable del patrón. (Ver articulo 490 LFT)

12. En la empresa "Tecno Vital" existen 6 trabajadores. Si este año la em­presa obtuvo ganancia por $540,000 y el año anterior no repartió uti­lidades por $12,000, determine ¿cuánto corresponde a cada uno delos trabajadores de acuerdo con los siguiente datos: (Trabajador, díaslaborados, salario devengado) Aarón, 317, 153,400; Benito, 345,165,900; Carmen, 302, 173,340; Donaciano, 293, 184,000; Eufracio,315, 118,000; Facundo, 283, 123,000.

4.6. ÁREA DE DERECHO MERCANTIL

El derecho mercantil es la rama del derecho privado que regula losactos de comercio, el estado (status) de los comerciantes, las cosas mer­cantiles y la organización y explotación de la empresa comercial.47

El derecho mercantil nace en la Edad Media, en el seno de las ciuda­des italianas, para regular las transacciones de los mercaderes que no en­contraban satisfacción en las rígidas y esquemáticas instituciones del de­recho romano. Inicialmente, sólo se aplica a los comerciantes miembrosde gremíos y de corporaciones, que se inscribían en ellos, y que en fun­ción de tal matriculación resultaban amparados por las nuevas reglas;después las reglas se amplían para comprender a los clientes que comer­ciaban con ellos. Esto da lugar a los primeros textos del nuevo derecho ydespués a los tribunales de comercio.4• La evolución posterior ha sidovertiginosa, debido sobre todo al crecimiento del volumen de transaccio­nes a nivel mundial. por lo cual puede señalarse que es una disciplinajurídica de importancia económica fundamental para el desarrollo regio­nal y global.

Este derecho en constante evolución, ofrece un amplio espectro deaplicación de las herramientas matemáticas, resultando notables las quea continuación se analizan.

47 Diccionario jurídico mexicaJ1o, p, 1005.48 Iclern.

244 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

TíTULOS DE CRÉDITO

La ley define a los títulos de crédito, como los documentos necesa­rios para ejercitar el derecho literal que en ellos se consigna. La Ley gene­ral de títulos y operaciones de crédito regula a la mayoría de estos docu­mentos, pero existen otros ordenamientos legales, como la Ley desociedodes mercantiles que rige el funcionamiento de otros títulos de cré­dito: las acciones y los bonos de fundador, de los cuales se hablará en elapartado de sociedades mercantiles.

La aplicación de la aritmética en los titulas de crédito, comienza des­de la correcta escritura con letra y numéricamente del importe de losmismos. Al respecto es de advertir la disposición de la Ley general de ti­tulas y operaciones de crédito:

Artículo 16.-El título de crédito cuyo importe estuviere escrito a la vezen palabras y cifras, valdrá, en caso de diferencia, por la suma escrita en pa­labras. Si la cantidad estuviere varias veces en palabras y cifras, el documen­to valdrá en caso de diferencia. por ]a suma menor. (LGTOC)

Nos ocuparemos de los títulos de crédito más comunes: letra de cam­bio, pagaré, cheque y obligaciones de las sociedades anónimas.

Letra de cambio. Es el título de crédito que contiene la orden incon­dicional de pagar una suma determinada de dinero al tenedor legítimodel mismo, que dirige una persona, llamado girador, a otra, llamada gira­do. La Ley general de titulas y operaciones de crédito establece los requi­sitos que debe contener la letra de cambio (art. 76): 1. La mención de serletra de cambio, inserta en el texto del documento; n. La expresión dellugar y del día, mes y año, en que se suscribe; 1II. La orden incondicionalal girado de pagar una suma determinada de dinero; IV. El nombre del gi­rado; V. El lugar y la época del pago; VI. El nombre de la persona a quienha de hacerse el pago; y VII. La firIlla del girador o de la persona que sus­criba a su ruego o en su nombre.

El mismo ordenamiento establece que en la letra de cambio se tendrápor no escrita cualquier estipulación de interés o cláusula penal (art. 78].Asimismo una letra de cambio girada a uno o varios meses fecha o vista,vence el día correspondiente al de su otorgamiento o presentación delmes en que debe efectuarse el pago. Si éste no tuviere día correspondien­te al del otorgamiento o presentación, la letra vencerá el último del mes.Si se fijara el vencimiento para "principios", "mediados" o "fines" demes, se entenderán por estos términos los dias primero, quince y últimodel mes que corresponda. Las expresiones "ocho días" o "una semana","quince días", "dos semanas, "una quincena" o "medio mes", se entende­rán no como una o dos semanas enteras sino COIllO plazos de ocho oquince días efectivos, respectivamente.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 245

Artículo 152.-Mediante la acción cambiaria, el último tenedor de la letrapuede reclamar el pago:

l. Del importe de la letra;11. De intereses moratorias al tipo legal, desde el día del vencimiento:IlI. De los gastos de protesto y de los demás gastos legítimos;IV. El premio del cambio entre la plaza de su domicilio y la del reembol­

so, más los gastos de situación. (LGTOC)

El pagaré. Es el título de crédito que contiene la promesa incondicio­nal de pagar una suma determinada de dinero, que el suscriptor hace enfavor del tenedor del documento. De acuerdo con el articulo 170 de laLGTOC el pagaré debe contener: I. La mención de ser pagaré, inserta enel texto del documento; n. La promesa incondicional de pagar una sumadeterminada de dinero; IlI. El nombre de la persona a quien ha de hacer­se el pago; IV. La época y el lugar del pago; V. La fecha y el lugar en quese suscriba el documento; y VI. La firma del suscriptor o de la personaque firme a su ruego o en su nombre.

Debe observarse que si el pagaré no menciona la fecha de vencimien­to, se considerará pagadero a la vista; si no indica lugar de su pago, setendrá como tal el del domicilio del que lo suscribe.

Conforme al artículo 174 de la LGTOC, mediante acción cambiaria ypara efectos del artículo 152 de la misma ley, el importe del pagaré com­prenderá los réditos caídos; el descuento del pagaré no vencido se calcu­lará al tipo de interés pactado en éste, o en su defecto al tipo legal, los ín­tereses moratorias se computarán al tipo estipulado para ellos; a falta deesa estipulación, al tipo de rédito fijado en el documento o en su defectode ambos, al tipo legal.

El cheque. Es el titulo de crédito, nominativo o al portador, que con­tiene la orden incondicional de pagar a la vista una suma determinada dedinero, expedido a cargo de una institución de crédito, por quien tieneen ella fondos disponibles en esa forma. La importancia y trascendenciade las funciones económicas del cheque, derivan de su consideracióncomo medio o instrumento de pago. El empleo del cheque en los pagosimplica importantes ventajas en los aspectos particular y general. Funda­mentalmente, el cheque es un instrumento o medio de pago que sustitu­ye económicamente al pago en dinero (moneda metálica o billete de ban­CO).40

A continuación se presentan los esquemas de la letra de cambio, pa­garé y cheque;50

49 Pina, Diccionario de derecho, p. 208.so Fueron tomados de Ramírez Valenzuela, Alejandro, Introducción al derecho mercantil

y fiscal, México. Limusa, 1994.

/

ESQUEMA DE UNA LETRA DE CAMBIO

Fecha de vencimiento Lugar y fecha de expedición

~ Nombre de\eneficiar¡o / Luga r de pago

( Letra de cambio)

1t

~. No.~~d BUENO POR $ i1~_=_¡

•Eñ a__de de

- -- se servirá (n) Usted (es) mandarpagar incondicionalmente por est Letra de cambio en ...!. _-'- a la orden de __.... _

la cantidad de:¡; . ,..... -= e- - ~.--- _ = ::;: - ~ = - 2T ~ ·--1

Valor recibido que cargará (o) usted (es) en cuenta según aviso de:

Nombre Da,,,,Dirección Tel, _

Población

s.s.s.

Firma (s) •

c:,,~7~

Firma del girado Nombre y domicilio del girado Firma del girador

ESQUEMA DE UN PAGARÉ

PAGARE No. l;otci "',~ BUENO POR $ r~ 1En a de de 20

Lugar y fecha d~ ~~dlclón ---

Debe(mos) y pagare(mos) incondicionalmente par este Pagaré a la orden deNombr~ dI! la persona a quien ha de pogarse

~~.......~..c~ ""-",,,.A. .....;",.~.~~ ~:.... ..;..~ ......

Fecho del pago

-~,.,----

elen --------LL;;U!¡;a;;r~d"o~_¡;;¡;¡O-------=¡;"~~-~--"_"7:'-~"""""~-~---:""7"~ ~ -,...--~'?'":.::,-"'" ~- ....-"...-~t.~ ..: .:-;,~- - --:: ~.-............. ....._",,- __~_;;7_: -~~LA cantidm:t de:

Aceplo(amos)

Firma(s) ,.- _

Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción. Este pagaré forma parte de una serie ~umerada del 1 al y todos estánsujetos a la condición de que, al no pagarse cualquiera de ellos a su vencimiento, serán exigibles todos los que fe sigan en número,adeTtUfs de les ya venddos, desde la fecha de vencimiento de este documento hasta el día de su liquidación, causará intereses moratoriosal tipo de %mensual, pagadero en esta ciudad juntamente con el pn'ncipal. nufs los gastos que por ello se originen.

[

_ Nombre y""'''' dol dou"'" ]

~ Td. _-EscrIba al reverso (os dacos personales y flrma(s) deltas) oval(es)

Firma del librador

o )\ U·T~~~/

firmo

\ ./

Nombre del beneficiarioo indicación si es el portador

Fl!cho

Número de cheque

CUENT~\1:RADICIONALEMILIAN,VALLEJO AGUILA

VAAE 690728 f07 •SUCo 0007 SUCo ZONA RqsA, MEXICO, DFCTA. 59400925741

5667:155100177:59400925741"00

"--~__I l' ~,l$! 1,''o-..... "'••"" ~ 1 \ 1 Mj"'O N~·~i .

BU BANCO UNIVERSALBANCO UNIVERSAl. SAINSTITUCiÓN DE BANCA MÚLTIPLEGRUPO FINANCIERO UNIVERSAL Coo~~.

ESQUEMA DE UN CHEQUE

Clave para clasificación Importe en palabras Importe en cifras

Nombre del librado I Lugar y fecha de expedición

Número de cuenta

Unidad 4 • Áreas de la curricula que tienen normatividad con repen:;usiones cuantitativas 249

El cheque sólo puede ser expedido a cargo de una institución de cré­dito, por lo que el documento que en forma de cheque se libre a cargo deotras personas no producirá efectos de título de crédito. De acuerdo conel artículo 176 de la LGTOC el cheque debe contener: 1. La mención deser cheque, inserta en el texto del documento; n. El lugar y la fecha enque se expide: III. La orden incondicional de pagar una suma determina­da de dinero; IV. El nombre del librado; V. El lugar de pago; y VI. La fir­ma del librador.

El interés pactado. Un aspecto importante es el interés pactado enlos títulos de crédito. En el caso de la letra de cambio, no es posible esti·pular intereses o cláusula penal, pero si se pueden cobrar intereses mora­torias al tipo legal, desde el día del vencimiento. Tratándose del pagaré,el importe que puede reclamar su beneficiario comprenderá los réditoscaídos; el descuento del pagaré no vencido se calcula al tipo de interéspactado, o en su defecto al tipo legal. En lo referente al cheque, la legisla­ción comercial establece el pago de una indemnización del 20% del valordel mismo. para los siguientes casos: o) Cuando el librado (banco) no pa­gue el cheque que si tiene fondos suficientes del librador, al tenedor obeneficiario; el librado debe indemnizar al librador; y. b) Cuando no sepaga el cheque presentado en tiempo por causa imputable al librador,éste deberá indemnizar al tenedor de los daños y perjuicios provocados.

Las obligaciones de sociedad anónima. Las obligaciones de una so­ciedad anónima deben emitirse en denominaciones de cien pesos o desus múltiplos. conteniendo el tipo de interés pactado, así como el térmi­no señalado para su pago y del capital. En lo que respecta a los certifica·dos de participación tienen cupones y deben emitirse por las institucio­nes de crédito autorizadas en denominaciones de cien pesos o de susmúltiplos. En los bonos de prenda o títulos accesorios a los certificadosde depósito, también debe estipularse el interés pactado. Cuando no seindique el tipo de interés. se presumirá que el bono ha sido descontado.

CONTRATOS MERCANTILES

El campo de los contratos mercantiles es sumamente amplio, tantode los llamados típicos (regulados en la ley), como los atípicos, que no seencuentran regulados en la legislación mercantil, aunque si los mencio­na; ya que en materia mercantil cada uno se obliga en la manera y térmi­nos que quiera obligarse.

En los contratos mercantiles no existen los llamados términos de gra­cia o cortesía, y en el cómputo de los términos se entiende el día de vein­ticuatro horas; los meses, según estan consignados en el calendario gre­goriano; y los años de trescientos sesenta y cinco días.

Se incurre en mora por el incumplimiento de una obligación mercan-

250 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

til, en los contratos que tuvieren día señalado para su cumplimiento, porvoluntad de las personas o por mínisterio de ley, al día siguiente de suvencimiento; y en los que no lo tengan, desde el día siguiente en que elacreedor reclame al deudor el cumplimiento, judicial o extrajudicialmen­te ante testigos.

En los contratos mercantiles en que se fije una pena de indemniza­ción contra el que incumpliere, la parte perjudicada puede exigir el cum­plimiento del contrato o el pago de la pena estipulada, pero sólo una deestas dos acciones, quedando extinguida la otra.

Tratándose de un contrato de compraventa mercantil, una vez perfec­cionado el contrato, la parte que si cumplió tiene derecho a exigir al otrocontratante la rescisión o el cumplimiento del contrato, y la indemniza­ción de los daños y perjuicios ocasionados.

En relación a los intereses en los contratos mercantiles, baste decirque la legislación mercantil determina un interés legal del 6% anual(0.5% mensual). Esta norma se utiliza en la práctica mercantil para el co­bro de intereses moratorias, cuando las partes no han fijado una tasa de­terminada. Sin embargo, en materia mercantil no se prohibe el llamadopacto de anatocismo, como ocurre en el derecho civil donde las partes nopueden, bajo pena de nulidad, convenir de antemano que los intereses secapitalicen y que produzcan nuevos intereses.51

SOCIEDADES MERCANTILES

La Ley General de Sociedades Mercantiles reconoce seis especies desociedades mercantiles: en nombre colectivo, en comandita simple, deresponsabilidad limitada, anónima, en comandita por acciones y coope­rativa; donde las cinco primeras pueden o no constituirse como socieda­des de capital variable. Existen otras sociedades, entre ellas las socieda­des de responsabilidad limitada de interés público, o las sociedadesmicroindustriales, cada una de ellas con su propia legislación.

Toda sociedad puede aumentar o disminuir su capital, cumpliendolos requisitos que establece la ley, según su naturaleza. En las sociedadesde capital variable, el capital social se puede aumentar con nuevas apor­taciones de los socios, o admitiendo más socios; o bien puede dísminuir­se, por el retiro parcial o total de las aportaciones, sin que baje del capi­tal mínimo legal.

El capital social en una sociedad anónima, se divide en acciones, queson títulos valor que representan una parte del capital social y que incor­pora los derechos y obligaciones de los socios, relacionados con su parti­cipación en la sociedad. La ley otorga a las acciones igual valor y estable-

51 Ver artículo 2397 del Código Civil,

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 251

ce que confieren iguales derechos, aunque en el contrato social puedeestipularse que el capital se divida en varias clases de acciones, con dere­chos especiales para cada clase.

Asimismo se prohibe a las sociedades anónimas emitir acciones poruna suma menor a su valor nominal. El valor nominal de una acción, esel importe de la parte alícuota del capital social que la acción representa,es decir, se trata de una cifra abstracta y permanente. En cambio, el valorreal o comercial de la acción es variable y depende de los resultados dela sociedad, de las reservas acumuladas y de la demanda de los titulos.En la práctica puede ocurrir que la cotización bursatil sea varias vecesmayor que el valor nominal de una acción.

Ejercicio:Calcular el valor nominal de cada tipo de aCClon de una sociedad

anónima, cuyo capital social es de $850,000: integrado de la manera si­guiente:

4,125 acciones serie "A" que representan $412,500

4,125 acciones serie "B" que representan $412,500

250 acciones serie "c" que representan $ 25,000

El valor nominal de una acción se puede obtener mediante la si­guiente expresión:

valor nominal = importe del capital social/número de acciones

para las acciones de las series "A" y "B", su valor nominal es:

valor nominal = (412,500) / (4,125) = 100

Y el valor nominal de cada acción de la serie "c" es:

valor nominal = (25,000) / (250) = 100

Es decir, todas las acciones tienen el mismo valor ($100.00), ya queasí lo dispone la ley general de sociedades mercantiles.

En cuanto a la distribución de las utilidades de una sociedad anóni­ma, ésta se hace en proporción al importe exhibido de las acciones, ysólo puede efectuarse después de que hayan sido aprobados por la asam­blea de accionistas, los estados financieros que las arrojen, y de haber ab­sorbido las pérdidas sufridas en ejercicios anteriores, o se haya reducidoel capital social.

Ejercicio:Una empresa obtuvo durante el ejercicio anterior, como resultado de

sus actividades, una utilidad a repartir de $300,000. Si existen cincoaccionistas, cuyo importe de sus acciones es el siguiente: 1) 750,000;

252 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

2) 200,000; 3) 500,000; 4) 300,000; 5)1'500,000. ¿Qué utilidad le corres­ponde cobrar a cada uno?

El reparto de utilidades es proporcional al importe exhibido de lasacciones, por lo tanto debemos obener un factor a multiplicarse por cadaimporte:

importe total = $3'250,000factor = (1 /3'250,000) (300,000) = 0.092307692

entonces a cada accionista corresponde la siguiente cantidad:

1) 750,000 (0.0923) = $ 69,230.762) 200,000 (0.0923) = $ 18,461.533) 500,000 (0.0923) = $ 46,153.854) 300,000 (0.0923) = $ 37,692.30

5]1'500,000 (0.0923] = $138,461.54

Puede establecerse en los estatutos de la sociedad, que las accionestengan derecho a intereses, cuya tasa no puede ser mayor al nueve porciento anual sobre el capital social aportado, ni por un período mayor atres años, con tados a partir de la fecha de su emisión.

Ejercicio:Calcular los intereses máximos que devengarán a un inversionista la

tenencia de acciones de una sociedad mercantil, cuyo capital aportado esde $50,000.

La tasa de interés máxima que la ley permite en este caso es del 9%anual, por un tiempo de tres años. Aplicando la fórmula del interese sim­ple se tiene que:

1 = (50,000) (0.9) (3) = 13,500.

Luego, la cantidad máxima que obtendrá el accionista por conceptode intereses es de $13,500.

Mientras se expiden los títulos representativos de las acciones, lassociedades pueden emitir certificados provisionales, que son nominadosy se canjean por los títulos en su oportunidad. Los títulos de las accionesy los certificados provisionales deben expresar, entre otros, el importedel capital social, el número total y el valor nominal de las acciones.Además llevan adheridos cupones, que se desprenden del título y que seentregan a la sociedad, contra el pago de dividendos o intereses.

A los fundadores de una sociedad, puede concederse una participa·ción en las utilidades anuales que no excederá del diez por ciento, nipuede abarcar un período mayor de diez años a partir de la constituciónde la sociedad. Para eUo se expiden los llamados bonos ·de fundador, que

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividnd con repercusiones cuantitalivas 253

confieren a su titular el derecho a percibir las utilidades que en el bonose expresan durante el tiempo que en el mismo se indique.

En la escritura constitutiva de una sociedad, es requisito que se espe­cifique el importe de un fondo de reserva. Para formar dicho fondo, debesepararse anualmente de las utilidades de la empresa un porcentaje delcinco por ciento, como mínimo, hasta que el importe del fondo alcancela quinta parte del capital social. En caso de que la reserva legal disminu­yera por alguna circunstancia, debe reconstituirse del mismo modo.

Ejercicio:Calcular el fondo de reserva a constituir por parte de una sociedad

mercantil, cuyo capital social es de $400,000, y que obtuvo utilidades eneste año por $250,000.

El importe de la reserva legal a constituir es de la quinta parte del ca­pital social, es decir:

(1/5) (400,000) = $80,000

para formar dicho fondo, debe separarse como mínimo este año la si­guiente cantidad:

(0.05) (250,000) = $12,500

Finalmente, es conveniente mencionar que los administradores delas sociedades anónimas deben presentar anualmente a la asamblea deaccionistas, un informe en el que se reporte sobre la marcha de la socie­dad durante el ejercicio, de las políticas y criterios seguidos para la pre­paración de la información financiera, presentando los estados quemuestren la situación y los resultados de la sociedad a la fecha de cierredel ejercicio, entre otros aspectos.

INVENTARIOS y BALANCE. ~ALANCE GENERAL (ACTIVO-PATRIMONIO)

A continuación se hablará de manera breve, sobre algunos conceptoscontables que tienen relación con el derecho mercantil, considerandoque en la unidad dos se ha tratado de manera más explícita. sobre los re­gistros contables y los estados financieros.

Las sociedades mercantiles que funcionan como empresas registran ycomparan los inventarios y los balances que anualmente se formulan.como resultado de sus actividades. Para tal efecto, los inventarios com­prenden no sólo la existencia de mercancias al inicio y al final del ejerci­cio, sino también el conjunto de bienes que forman su patrimonio, y quefiguran dentro del rubro del activo de la sociedad.

El Estado de Situación Financiera o Balance General muestra la situa­ción económica de una sociedad mercantil en un momento dado (una fe­cha), esto es, la situación de todos los valores económicos que se relacio-

254 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

nan con la empresa. La diferencia entre valores positivos y negativos, oentre el Activo [A) y el Pasivo [P), constituye el Capital o Patrimonio (C),es decir la inversión que el propietario del negocio tiene en la empresa.Esto puede expresarse mediante la ecuación del capital: A-P =C tambiénllamada ecuación del balance general: A = P + C

donde el activo es el conjunto de bienes y derechos a favor de la so­ciedad mercantil; mientras que el capital líquido o patrimonio representala aportación de los socios o accionistas, más los aumentos que se obtie­nen por ganancias o incrementos de capital, o menos las deducciones de­rivadas de las pérdidas o disminuciones de capital ocurridas durante elejercicio.

ANÁLISIS DE ESTADOS FINANCIEROS

El análisis de estados financieros consiste en estudiar las relacionesque existen entre los diferentes elementos financieros de una empresa osociedad mercantil, tal como lo muestra un conjunto de estados a unafecha determinada, así como las tendencias que siguen dichos elemen­tos financieros, observado su comportamiento en estados de fechas suce­sivas.

Para el análisis de estados financieros se siguen diversas técnicas ométodos: o) el vertical, que consiste en el estudio de las relaciones entrelos elementos financieros de una empresa, de acuerdo con un solo grupode estados; b) el horizontal, que estudia las relaciones entre esos elemen­tos de la empresa, con base a varios grupos de estados financieros de fe­chas sucesivas; c) el interno, cuando el análisis se realiza con datos obte­nidos exclusivamente de los estados de la empresa; d) el externo, cuandose analiza comparando datos propios de la empresa, con cifras estadísti­cas de otras empresas dedicadas al mismo giro o actividad.

Algunos autores hablan de otras técnicas corno la histórica y puntode equilibrio, aunque en realidad todas consisten en comparar cifras dela empresa, obteniendo proporciones de índices, razoneS y porcentajes,de un período o de periodos sucesivos, y comparándolos con datos deotras empresas. Posteriormente se trata de proyectar los resultados obte­nidos al futuro y tomar las decisiones o acciones más pertinentes en be­neficio de la empresa.

PRESUPUESTO

En general, el presupuesto puede entenderse corno una estimación delos posibles gastos e ingresos que para un período determinado considerauna sociedad mercantil.

El objeto del presupuesto es tener un programa lo más cercano a larealidad de las actividades mercantiles de la empresa, para optimizar sus

Unidad 4 • Áreas de la curr(cula que tienen normatividlld con repercusiones cuantitativas 255

recursos y hacer frente a sus obligaciones. De esta forma, la empresa pue­de realizar presupuestos por áreas, siendo los más usuales los de ventas,caja, costos. producción e inversiones.

JUICIOS MERCANTILES (EJECUTIVOS Y ORDINARIOS), QUIEBRA

En los juicios mercantiles (ordinarios y ejecutivos) y de quiebras, esconveniente que el licenciado en derecho, para su ejercicio profesional,maneje con claridad conceptos matemáticos corno son: porcentaje, inte­rés simples e interés compuesto, ya que en los documentos en que sefundamentan estos procedimientos, corno son los pagarés y otros titulasde crédito, así corno en los contratos mercantiles, es común que las par­tes se sujeten a determinada clase de interés o penas de indemnización,haciendo necesario efectuar cálculos aritméticos para su correcta cuanti­ficación.

El C6digo de Comercio admite y regula dos clases de juicios mercan­tiles: los ordinarios y los ejecutivos. Se tramitan en la vía mercantil to­dos los juicios que derivan de los actos mercantiles, cuya naturaleza seencuentra precisada en los artículo 54, 75 Y 76 del código antes mencio­nado.

Cuando para una de las partes que intervienen en un acto, éste tenganaturaleza comerciaÍ y para la otra tenga naturaleza civil, la controversiaque pudiera surgir se rige conforme a las leyes mercantiles. El derechoadjetivo común de cada entidad federativa, es supletorio a falta de dispo­sición expresa en el Código de Comercio. En los juicios mercantiles noexisten audiencia conciliatoria ni de desahogo de pruebas, pues éstas de­ben rendirse en el término ordinario o extraordinario que otorga la ley.Los términos judiciales en materia mercantil empiezan a correr desde eldía siguiente a aquél en que se hubiere hecho el emplazamiento o notifi­cación, y se cuenta en ellos el día de vencimiento.

En lo que respecta al juicio de quiebra, éste se encontraba reguladoen la Ley de Quiebras y Suspensi6n de Pagas, publicada en el Diario Ofi­cial de la Fedemci6n el día 20 de abril de 1943, que fue abrogada por lavigente Ley de Concursos Mercantiles, publicada en el Diario Oficial de laFederaci6n el 12 de mayo de 2000.

Ejercicio:En un juicio ejecutivo mercantil, la sentencia dictada por un juez

condenó a la parte demandada a hacer el pago de las siguientes presta­ciones: 1) Suerte principal, consistente en el valor de un pagaré expedidopor la cantidad de $20,000: 2) Intereses moratorias sobre saldos insolutosequivalentes al Costo Porcentual Promedio de Captación en Moneda Na­cional para la Banca (CPP) fijado por el Banco de México para el mes denoviembre de 1997, dividido entre 10 más 5 puntos mensuales sobre di-

256 Matem6licas aplicadas al Derecho • David Cionfuegos Salgado

cho CPP, durante un periodo de seis meses; 3) IVA sobre dichos intere­ses. Si el CPP es de 17.74% mensual, ¿cuál es la cantidad total que debe­rá liquidar el enjuiciado?

La tasa de interés aplicable es de:

tasa mensual = (17.74/10) + 5 = 6.774%

aplicando la fórmula para el cálculo del interés simple, se tiene que:

interés = (20,000) (0.06774) (6) = $8,128,80

El IVA sobre la cantidad anterior es:

IVA = (.15) (8,128.8) = $1,219.32

Y la cantidad total a cubrir es de:

Total = 20,000 + 8,128.80 + 1,219.32 = $29,348.12

Ejercicio:En un juicio ordinario mercantil, el domicilio del demandado se en­

cuentra localizado en el estado de Veracruz, por lo que el Juez del DistritoFederal ordena librar exhorto al juez competente en dicha entidad fede­rativa, a efecto de que sea emplazado a juicio. Estando la ciudad de Vera­cruz localizada a una distancia de 422 kilómetros de la ciudad de Méxi­co, ¿cuántos días deben concederse al demandado para que produzcacontestación a la demanda instaurada en su contra?

De conformidad con el artículo 134 del Código de Procedimientos Ci­viles, debe concederse un término adicional al ordinario de un dia porcada 200 kilómetro o fracción que exceda de la mitad, esto es:

422/200 = 2.11

Por lo tanto, se concederán dos días adicionales al término ordina­rio de nueve días, es decir once dias. para que dé contestación a la de­manda.

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Mario Rodríguez adquirió 250 acciones de tipo B y 200 acciones detipo e, de la empresa "Jardínes Eternos". Si sabemos que el capitalsocial, $100,500, está constituido de la forma siguiente: acciones tipoA = 42%; acciones tipo B = 25% Yacciones tipo C = 33%. Sabemostambién que la emisión de cada tipo de acciones es la siguiente: TipoA, 2,000 acciones; Tipo B, 500 acciones; Tipo C, 500 acciones. Deter­mine: ¿Qué porcentaje representan las acciones de Mario Rodríguez

Unidad 4 • Árcas de la cllITÍcula que tienen nomlatividod con repercusiones cuantitativas 257

respecto del capital social? ¿Cuál es el valor de las acciones de MarioRodríguez? Si las ganancias en el año anterior fueron de $45,800,¿cuánto le corresponde a Mario Rodríguez?

2. Calcular el valor nominal de cada tipo de acción de una sociedadmercantil, cuyo capital social es de $850,000, integrado de la manerasiguiente: 125 acciones serie "A" que representan el 40%; 250 accio­nes serie "B" que representan el 60%.

3. Manuel Sánchez suscribió una letra de cambio por $56,500.00 convencimiento el día 14 de enero de 1997. A su vencimíento le fue re­querido el pago y se efectuó el protesto el 14 de febrero de 1998; eltenedor de la letra de cambio reclama mediante acción cambiaria elimporte de letra, los intereses moratorias y el pago de gastos de pro­testo por $2,300.00. ¿Cuál es el monto que está obligado a cubrir Ma­nuel hasta la fecha indicada?

4. Una empresa obtuvo durante el ejercicio anterior, como resultado desus actividades, una utilidad a repartir de $300,000. Si existen cincoaccionistas, cuyo importe de sus acciones es el siguiente: 1) 250,000;2) 200,000; 3) 300,000; 4) 350,000; 5) 150,000. ¿Qué utilidad le co­rresponde cobrar a cada uno?

5. Calcular los intereses máximos que devengarán a un inversionista latenencia de acciones de una sociedad mercantil durante dos años,cuyo capital aportado es de $350,000.

6. Calcular el beneficio que ha recibido el iniciador de una sociedad, sien el bono de fundador respectivo se establece una participación del5%, y las utilidades de la empresa desde que inició sus operacioneshan sido: o) $480,000; b) $350,000; e) $220,000.

7. Determinar cuántos dias se deben conceder a una sociedad mercantilpara que conteste a la demanda instaurada en su contra, si la deman­da fue presentada en la Ciudad de México, y dicha negociación tienesu domicilio social en la ciudad de Nogales, estado de Sonora; siendola distancia entre dichas ciudaddes de 2,283 kilómetros.

8. Calcular la cantidad total que se reclama en un juicio ejecutivo merecantil, considerando las siguientes prestaciones: a) $7,000 por con­cepto de saldo de uso de una tarjeta de crédita; b) intereses mora­torias bancarios a razón de 6 Y<% mensual, desde el primero demarza hasta el quince de mayo; e) Gastos de cobranza equivalentesal 10%.

9. Explica la diferencia que existe entre el valor real y el valor nominalde las acciones, en una sociedad anónima.

258 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cíenfuegos Salgado

4.7. ÁREA DE DERECHO ADUAI\TERO

La función aduanera nace de la actividad del comercio. El Código deHammurabi ordenaba que el comercio que se realizaba a través del ríoEufrates pagaría un tributo. En Grecia la administración de aduanas co­braba un 2% del valor de las mercancías que entraban por puertos grie­gos, esta tasa podia variar basta un 10% dependiendo de las necesida­des del erario. En Roma a través del sistema TeJoniuIIl, que era la oficinapública donde se pagaban los tributos, organizó la recaudación del im­puesto aduanal, variando su tarifa según la región aduanera de que setratara.

La voz aduano significa oficina del gobierno donde se cobran im­puestos de importación y deriva de la voz árabe marroquí ad-diwana, elregistro, del persa diwan, libro de cuentas, oficina de contabilidad. Car­vajal Contreras señala que la aduana es el órgano de la administraciónpública establecido por el Ejecutivo Federal, autorizado para controlar elcomercio exterior con las limitaciones y probibiciones que las leyes fijana las mercancías percibiendo los impuestos que se generen y regulandola econonlÍa nacional.

El derecho aduanero como conjunto de normas jurídicas regula:

• las actividades y funciones estatales vinculadas con el comercio ex­terior de mercancías que entren al territorio aduanero (importa­ción);

• las actividades y funciones estatales vinculadas con el comercio ex­teríor de mercancías que salgan del territorio aduanero (exportación);

• los medios y tráficos en que se transporten o conduzcan las mercan­cías;

• las personas que intervíenen en cualquier fase del comercio exterioro que violen las disposiciones jurídicas; y,

• los hechos o actos que deriven del despacbo aduanero o de la entra­da o salida de mercancías.

Los ordenamientos básicos en el derecho aduanero son la Ley Adua­nera, la Ley de Comercio Exterior, ambas con sus respectivos reglamen­tos, las leyes de los Impuestos Generales de Importación y Exportación,así como otros ordenamientos aplicables que son periódicamente modifi­cados y publicados.52

El comercio exterior de mercancías determina diferentes impuestos,

52 Ejemplo de tales ordenamientos son: la Resolución por Jo que se dan Q conocer crite­rios de interprelación de disposiciones relacionadas con el valor en aduana de Jas mercan­das {DOF29-junio-1993) y la Resolución que establece paro 1994 Reglas Fiscales de caráctergeneral relacionadas con el comercio exterior (DOF 28-marzo-1994).

Unidad 4 ~ Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 259

aquí se revisan los siguientes: Ad valorem, específico, mixto, impuesto alvalor agregado (IVA). impuesto sobre producción y servicios, impuestosobre automóviles nuevos y los derechos,

CÁLCULO y DETERMINACIÓN

DE LOS IMPUESTOS DE COMERCIO EXTERIOR

Se debe entender por impuesto de comercio exterior las prestacionespecuniarias que deben pagar las personas físicas o morales que hacen pa­sar mercancias, a través de las fronteras, costas o límites de un país de­terminado, sean nacionales, nacionalizadas o extranjeras, destinadas aser consumidas, respectivamente, dentro del territorio nacional (impues­tos de importación) o fuera de dicho territorio (ímpuestos de exporta­ción).53

Los impuestos de comercio exterior pueden clasificarse atendiendo adiversos criterios. En relación a su gravamen han sido clasificados enimpuestos ad valorem, específicos y mixtos. El artículo 12 de la Ley decomercio exterior establece la determinación fiscal de cada uno de ellos.

El cálculo de estos impuestos de comercio exterior resultan de doselementos: la base de cálculo y la alícuota. La base de cálculo puede serdada en cantidades físicas o en forma de valor o precio. Las unidades serepresentan por unidad de medida (kilogramo, litro, metro cúbico, libra,pulgada, etc.). La alícuota se expresa con frecuencia en unidades moneta­rias, en cuyo casO se trata de una alícuota fija, o en porcentaje, y enton­ces es alícuota proporcional.

Antes de íniciar la exposición de cada uno de ellos, cabe destacarque de los tres tipos de impuesto de comercio exterior mencionados, elsistema aduanero mexicano utiliza casi exclusivamente el impuesto advalorem.

Impuesta ad valorem. (Según el valor, por el valor) De acuerdo con laLey de Comercio Exterior (LCE), la tarifa ad-valorem se expresa en térmi­nos porcentuales del valor en aduana de la mercancía (artículo 12). Esdecir se expresa la alícuota bajo la forma de un porcentaje, siendo la basede cálculo el valor o precio (en aduana) de la mercancía que se importa oexporta. El porcentaje está dado por las autoridades aduaneras y es confrecuencia modificado, sin embargo, en el régimen aduanero mexicano,menciona Maerker54 , se aprecia la existencia de una nomenclatura lineal,cuya composición y protección podemos resumir de acuerdo al siguientecuadro:

53 Polo Bernal, Efrain, Trotado sobre derecho aduanero, C6digo aduanero, México: Fon­do Editorial Coparmex, 1978, p. 391.

54 Maerker, Gunter, Ley aduancm 1992, refonnada y adicionado, México: Editorial Cuma,1992.

260 Matemáticas aplicadas al Derecha • David Cienfuugos Salgado

..

Objeto del gravamen Tarifa de Imposición- -

Materias primas básicas para el desarrollo industrial Exento-5% ad valoremdel país.

Materiales intermedios y la mayor parte de la maquina- 10% Ad valoremfia (refacciones)

Productos terminados 15%·20% Ad valor"m

Respecto de la base de cálculo que se emplea para determinar el im­puesto ad-valorem, sea de importación o exportación, las legislaciones dela materia establecen que la base gravable del impuesto general de impor­tación es el pago total que por las mercancías importadas haya efectuadoo vaya a efectuar el importador al vendedor o en beneficio de éste. Seña­la el articulo 64 de la Ley Aduanera que "la base gravable del impuestogeneral de importación es el valor en aduana de las mercancías, salvo loscasos en que la ley de la materia establezca otra base gravable. El valoren aduana de las mercancías será el valor de transacción de las mismas,salvo lo dispuesto en el artículo 71 de esta Ley. Se entiende por valor detransacción de las mercancías a importar, el precio pagado por las mis­mas, siempre que concurran todas las circunstancias a que se refiere elartículo 67 de esta Ley, y que éstas se vendan para ser exportadas a terri­torio nacional por compra efectuada por el importador, precio que seajustará, en su caso, en los términos de lo dispuesto en el articulo 65 deesta Ley. Se entiende por precío pagado el pago total que por las mercan­cías importadas haya efectuado o vaya a efectuar el importador de mane­ra directa o indirecta al vendedor o en beneficio de éste".

La base gravable del impuesto general de exportación es el valor co­mercial de las mercancías en el lugar de venta, y deberá consignarse enla factura comercial, sin inclusión de fletes y seguros. Se preve en la LeyAduanera que cuando las autoridades aduaneras cuenten con elementospara suponer que los valores consignados en dichas facturas o documen­tos no constituyen los valores comerciales de las mercancías, harán lacomprobación conducente para la imposición de las sanciones que pro­cedan. (art 79, LAd).

Ejercicio:La entrada al país de máquinas de escribir se grava con el 20% del

valor en aduana de las mercancías. A partir de esta consideración, calcu­lar el impuesto que habrá de cubrirse por la importación de 3,248 unida­des de la máquina de escribir modelo 3400, cuyo valor en aduanas hasido calculado en $1,229,994.88

= (3.250)(2.35)= 7,637.5= $7.637.50

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 261

Fórmula:Impuesto Ad valorem = [Valor en Aduana)[Tarifa Ad valorem)

Sustituyendo:

Impuesto Ad-valorem = (1.229,994.88) (20%)Impuesto Ad-valorem = 245,998.98Impuesto = $245.998.98

Ejercicio:Se precisa exportar 300.000 tejidos de lana. cuyo valor en aduana es

de $15,789,400.00. Si la tarifa ad-valorem es de 23.75%. ¿cuál es el im­puesto general de exportación a pagar?

Fórmula:

Impuesto Ad-valorem = [Valor en aduana)[Tarifa Ad-valorem)

Sustituyendo:

Impuesto Ad-valorem = (15.789,400.00)(23.75%)Impuesto Ad-valorem = 3,749,982.5Impuesto = $3.749.982.50

Impuestos específicos. La Ley de Comercio Exterior establece que latarifa específica de importación o exportación. se expresará en términosmonetarios por unidad de medida (artículo 12 f. n, LCE). Es decir. las ta­rifas específicas son los que gravan las mercancías de acuerdo a su peso,cuantía y medida y se expresan en una suma en moneda nacional. Ejem­plo de este tipo de impuestos es la Tarifa de Importación vigente en losEstados Unidos, que en materia de calzado (fracción 6402.19.70) estable­ce un impuesto específico de 0.90 dólares por par en aquellos calzadoscon precio mayor a 6.50 dólares pero menores a 12.00. La unidad físicaque se toma en cuenta es el par de zapatos.

Ejercicio:La entrada al país de bolsos de mano, cuyo valor no exceda de $35.00

esta sujeta a un impuesto específico de $2.35 por unidad. Con este crite­rio calcular el importe del impuesto de importación para 326 bolsos demano, sabiendo que su valor unitario es de $25.00

Fórmula:Impuesto específico = [Base gravable)[Tarifa específica)

Sustituyendo:Impuesto específicoImpuesto específicoImpuesto

262 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cíenfuegos Salgado

Ejercicio:Para exportar 7,000 cobertores de algodón, ¿Cuál es el impuesto ge­

neral de exportación que se paga? La tarifa específica señala un impuestode 4.75 por unidad,

Fórmula:

Impuesto específico = (Base gravable)(Tarifa específica)

Sustituyendo:

Impuesto específico = (7,000)(4.75)Impuesto específico = 33,250Impuesto = $33,250.00

Impuestos mixtos. Los impuestos al comercio exterior de caráctermixto operan cuando el impuesto se percibe por medio de combinacio­nes del específico y el ad valorem, o bien cuando un mismo productoestá sujeto simultáneamente a un impuesto específico y a otro ad valo­rem (artículo 12 f. lIl, LCE]. Ejemplo de este tipo de impuesto es la Tarifade Importación de los Estados Unidos, que en el rubro del calzado lafracción 6402.30.70 establece un ad valorem de 37.5% más un impuestoespecífico de 0.90 dólares por par, siempre que vayan del rango preciomayor a 3.00, pero menor a 6.50 el par.

De lo señalado se desprende que para calcular el impuesto mixto esnecesario calcular previamente los impuestos ad-valorem y específico.

Ejercicio:Para permitir la importación de pantalones de vestir, se tiene que cu­

brir una tarifa específica de $3.00 por unidad, y además una tarifa ad va­lorem del 32% del valor en aduanas. Calcular el impuesto mixto que gra­va la entrada al país de 3,500 pantalones de mezclilla, con un valorunitario en aduana de $45.00

Fórmulas:

Impuesto mixto = (impuesto ad valorem) + (impuesto específico)Impuesto Ad-valorem = (Valor en Aduana)(Tarifa Ad-valorem)Impuesto específico = (Valor en Aduana)(Tarifa específica)

Sustituyendo:

Impuesto Ad-valorem = (157,500) (32%)Impuesto Ad-valorem = $50,400.00Impuesto específico = (3.00) (3,500)Impuesto específico = $10,500.00Impuesto mixto = 50,400 + 10,500Impuesto mixto = 60,900Impuesto = $60,900.00

= (10,625) (38.12%)= $4,050.25

= (0.33) (8,500)= $2,805.00= 4,050.25 + 2,805.00= 6,855.25

= $6,855.25

Unidad 4 • Areas de la currfcula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 263

Ejercicio:Calcular el impuesto mixto que se paga por exportar 8,500 ceniceros

de porcelana, cuyo valor en aduana es de $10,625, si se tienen que cubriruna tarifa ad-valorem de 28.12% del valor en aduanas y una tarifa especí­fica de $0.33 por unidad que vaya a exportarse.

Fórmulas:

Impuesto mixto= (impuesto ad vaIorem) + (impuesto específico)

Impuesto Ad-valorem=(Valor en Aduana)(Tarifa Ad-valorem)

Impuesto específico= (Valor en Aduana)(Tarifa específica)

Sustituyendo:Impuesto Ad-valoremImpuesto Ad-valoremImpuesto específicoImpuesto específicoImpuesto mixtoImpuesto mixtoImpuesto

IMPUESTO AL VALOR AGREGADO

Están obligados al pago de este impuesto las personas, físicas o mora·les, que, en el territorio nacional realicen la importación de bienes o ser­vicios. 55 La exportación de bienes y servicios está exenta del pago de IVA,aplicándosele una tasa del 0%. También están exentas del pago de esteimpuesto las importaciones siguientes: las que no lleguen a consumarse;las temporales; el retorno de mercancias exportadas temporalmente; lasmercancias en tránsito o transbordo; los equipajes y menajes de casa; losbienes o servicios que en el pais no den lugar al pago del IVA, salvo lodel oro que no sean en lingotes; los bienes muebles usados; los bienesdonados a la Federación, Estados, Municipios o persona autorizada porla SHCP; las obras de arte de reconocida calidad y valor cultural, asícomo las que importe su mismo autor. La base gravable utilizada para

55 Esta actividad comprende: la introducción al país de bienes; la adquisición por perso­nas residentes en el país de bienes intangibles enajenados por personas no residentes en él;el uso o goce temporal de bienes tangibles cuya entrega material se hubiera efectuado en elextranjero; el uso o goce temporal de bienes intangibles proporcionados por personas na re­sidentes en el país; el aprovechamiento de servicios independientes cuando se prestan porno residentes en el país. con excepción al transporte internacional; el retorno de mercancíasque se hubieran exportado para un proceso industrial. por el valor adicional que se haya agre­gado. Carvajal Contreras, Máximo, Derecho aduanero, 4n erl., México: Porrúa, 1993, p. 337.

264 Malemó/icas aplicadas a/ Derecho • David Cienfuegos Salgado

el cálculo del ¡VA será el valor en aduana de las mercancías más el monoto de los impuestos a la importación y de cualquier otro impuesto que setuviera que pagar con motivo de la importación. El pago de este impuestose hará conjuntamente con el impuesto ad valorem. Se establece que nopodrá retirarse mercancía de la aduana o de recintos fiscales o fiscaliza­dos si no se ha pagado previamente este impuesto.

Algunas de las normas que regulan el pago de este impuesto son:

Artículo lO,-Están obligadas al pago del impuesto al valor agregado esta­blecido en esta Ley, las personas físicas y las morales que, en territorio na­cional, realicen los actos o actividades siguientes:

I. Enajenen bienes.11. Presten servicios independientes.III. Otorguen el uso o goce temporal de bienes.IV. Importen bienes o servicios.El impuesto se calculará aplicando a los valores que señala esta Ley, la

tasa del 15%. El impuesto al valor agregado en ningún caso se consideraráque forma parte de dichos valores.

... (UVA)Artículo 2°,-El impuesto se calculará aplicando la tasa del 10% a los va­

lores que señala esta Ley, cuando los actos o actividades por los que se debepagar el impuesto, se realicen por residentes en la región fronteriza, y siem­pre que la entrega material de los bienes o la prestación de servicios se llevea cabo en la citada región fronteriza.

Tratándose de importación, se aplicará la tasa del 10% siempre que losbienes y servicios sean enajenados o prestados en la mencionada regiónfronteriza.

Para efectos de esta Ley, se considera como región fronteriza, además dela franja fronteriza de 20 kilómetros paralela a las líneas divisorias interna­cionales del norte y sur del país, todo el territorio de los estados de Baja Ca­lifornia, Baja California Sur y Quintana Roo, el municipio de Cananea, Sono­ra, así como la región parcial del Estado de Sonora comprendida en lossiguientes límites: al norte, la línea divisoria internacional desde el caucedel Río Colorado hasta el punto situado en esa línea a 10 kilómetros al oestedel municipio Plutarco Elías Calles; de ese punto, una línea recta hasta lle­gar a la costa, a un punto situado a 10 kilómetros, al este de Puerto Peñasco,de ahí, siguiendo el cauce de ese Río, hacia el norte hasta encontrar la líneadivisoria internacional. (UVA)

Artículo 24.-Para los efectos de esta Ley, se considera importación debienes o de servicios:

I. La introducción al país de bienes.11. La adquisición por personas residentes en el país de bienes intangiles

enajenados por personas no residentes en él.lII. El uso o goce temporal, en territorio nacional, de bienes intangibles

proporcionados por personas no residentes en el país.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normlltividacl con repercusiones cuantitativas 265

IV. El uso O goce temporal, en territorio nacional, de bienes tangiblescuya entrega material se hubiera efectuado en el extranjero

V. El aprovechamiento en territorio nacional de los servicios a que se re­fiere el artículo 14, cuando se presten por no residentes en el país. Esta frac­ción no es aplicable al transporte internacional.

Cuando un bien exportado temporalmente retorne al país habiéndoseleagregado valor en el extranjero por reparación, aditamentos o por cualquierotro concepto que implique un valor adicional, se considerará importaciónde bienes o servicios y deberá pagarse el impuesto por dicho valor en los tér­minos del artículo 27 de esta Ley. (UVA)

Artículo 27.-Para calcular el impuesto al valor agregado tratándose deimportación de bienes tangibles, se considerará el valor que se utilice paralos fines del impuesto general de importación, adicionado con el monto deeste último gravamen y de los demás que se tengan que pagar con motivode la importación.

Tratándose de bienes exportados temporalmente y retornados al país conincremento de valor, éste será el que se utilice para los fines del impuestogeneral de importación, con las adiciones a que se refiere el primer párrafode este articulo. (UVAl

Ejercicio:Calcular la base gravable para el pago del Impuesto al Valor Agrega­

do, de un producto a importar cuyo valor en aduana es de $2,205,670.00,si el impuesto específico es de $123,765.98 y la tarifa ad-valorem de12.75%. Calcular el impuesto al valor agregado.

Fórmula:Base gravable fVA=(Valor en aduana)+(lmpAd-valorem)+(Imp. específico)

De la fórmula se desprende que es preciso calcular previamente elimpuesto ad-valorem, puesto que el específico es conocído:

Impuesto Ad-valorem = (2,205,670.00)(12.75%)Impuesto Ad-valorem = $281,222.92

Sustituyendo:

Base gravable IVA = (2,205,670.00) + (281,222.92) + (123,765.98)Base gravable IVA = $2,610.658.90

Como se advierte en la Ley del Impuesto al Valor Agregado la tasaque se aplica a la base gravable, para el cálculo del fVA, será en su genera­lidad de 15%. Existe, sin embargo, por disposición legal una tasa del 10%para los actos que se realicen en zona fronteriza y para la importación deproductos destinados a la alimentación, siempre y cuando sean distintosde la leche, jarabes, concentrados, polvos, esencias o extractos, caviar, sal-

266 Maiemóticos aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

món ahumado y angulas, asi como otros artículos mencionados en el ar­tículo 2-A de la UVA. Si consideramos que este caso involucra productosdestinados exclusivamente a la alimentación y que se realiza en la zonafronteriza, para obtener el impuesto al valor agregado, debemos:

!VA = (Base gravable) (.10)¡VA = $261,065.89

IMPUESTO SOBRE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS

De acuerdo con la Ley del Impuesto Especial sobre Producción y Servi­cios, están sujetas al pago de este impuesto las personas, sean fisicas o mo­rales, que realicen los actos o actividades siguientes: a) La enajenación enterritorio nacional o, en su caso, la importación de los bienes señaladosen este ordenamiento; b) La prestación de los servicios señalados en esa ley.

Artículo 2.-AI valor de los actos o actividades que a continuación se se-ñalan, se aplicarán las tasas siguientes:

1. En la enajenación o, en su caso, en la importación de los siguientes bienes:A) Bebidas con contenido alcohólico y cerveza:1. Con una graduación alcohólica de hasta 13.5°G.L. 25%2. Con una graduación alcohólica de más de 13.5° y hasta 20oG.L. 30%3. Con una graduación alcohólica de más de 20oG.L. 60%Bl Alcohol y alcohol desnaturalizado 60%C} Tabacos labrados:1. Cigarros 110%2. Puros y otros tabacos labrados 20.9D) Gasolinas: la tasa que resulte para el mes de que se trate en los térmi­

nos de los artículos 20.-A y 20.-B de esta Ley.E) Diesel: la tasa que resulte para el mes de que se trate en los términos

de los artículos 20.-A y 20.-6 de esta Ley.f] (Se deroga).Gl Aguas mineralizadas; refrescos; bebidas hidratantes o rehidratantes;

concentrados, polvos, jarabes, esencias o extractos de sabores, que al diluir­se permitan obtener refrescos, bebidas hidratantes o rehidratantes 20%

H) Jarabes o concentrados para preparar refrescos que se expendan en en-vases abiertos utilizando aparatos automáticos, eléctricos o mecánicos 20%

11. En la prestación de los siguientes servicios:... (LlESPS)Artículo 14.-Para calcular el impuesto tratándose de importación de bie­

nes, se considerará el valor que se utilice para los fines del impuesto generalde importación, adicionado con el monto de las contribuciones y aprovecha·mientas que se tengan que pagar con motivo de la importación, a excepcióndel impuesto al valor agregado.

Tratándose de bienes por cuya importación se pague el impuesto generalde importación a una tasa menor a la general vigente, el impuesto a que se

Unidad 4 • Áreas de la currícula que tienen normatividad con repercusiones cuantitativas 267

refiere esta Ley, será el que se determine conforme a lo previsto en el primerpárrafo de este artículo, considerando el impuesto general de importaciónque se hubiera tenido que pagar de haberse aplicado la tasa general referida.(LIESPS)

La exportación definitiva de productos está afectada por una tasa 0%,siempre que tal importación no se efectúe a jurisdicciones que sean con­sideradas por la Ley del Impuesto sobre la Renta, como de baja imposi­ción fisca!. Las importaciones exentas del pago de este impuesto son lassiguientes: las que no lleguen a consumarse; las que sean temporales; lasmercancias que retornen del extranjero después de haberse exportadotemporalmente; las que estén en tránsito o transbordo; aquellas que trai­gan en franquicia los pasajeros; las efectuadas por misiones diplomáticasacreditadas y el aguamiel y productos derivados de su fermentación.

En la LIESPS, se establece como base gravable para el pago de esteimpuesto el valor de transacción, más el impuesto ad valorem, y los de­más que se tenga que pagar con motivo de la importación, excepto elIVA. El impuesto se obtendrá multiplicando la base gravable obtenidapor la tasa establecida en el artículo 20. de la citada ley, realizándose supago conjuntamente con el de importación.

Ejercicio:A la entrada de productos alcohólicos se aplica una tasa del 60% so­

bre la base gravable, suponiendo la entrada de mercancia de este tipo,¿cuál es el Impuesto Especial sobre Producción y Servicios que habrá decubrirse?, si el valor de transacción (o en aduana) es de $35,000,000.00 yel único impuesto que se pagará será el gravamen ad valorem de 25%

Para obtener el Impuesto sobre producción y servicios se debe, pri­meramente, calcular la base gravable a que se aplicara el IESPS, teniendoque resulta de la fórmula:

Base gravable IESPS = (Valor de transacción) + (Imp. Ad. valorem)

Como desconocemos el Impuesto ad-valorem, se debe calcular:

Impuesto Ad-valorem = 35,000,000.00 (25%)Impuesto Ad-valorem = $8,750,000.00

Sustituyendo:

Base gravable IESPS = (35,000,000.00) + (8,750,000.00)Base gravable IESPS = $43,750,000.00

El IESPS se calcula:

IESPSIESPS

= 43,750,000.00 (60%)= $26,250,000.00

268 Matemáticas aplicadas 01 Derecho· David Cienfuegos Salg¡¡do

IMpUESTOS SOBRE AUTOMÓVILt;S NUEVOS

Están sujetos al pago de este impuesto, de acuerdo con el artículoprimero de la propia Ley Federol del Impuesto sobre Automóviles Nuevos(USAN),'· las personas físicas y las morales que realicen los actos si­guientes: o) enajenen automóviles nuevos de producción nacional. Se en­tiende por automóvil nuevo el que se enajena por primera vez al consu­midor por el fabricante, ensamblador o por el distribuidor autorizado: y,b) importen en definitiva al pais automóviles. Los automóviles a que serefiere esta fracción son los que corresponden al año modelo posterior alde aplicación de la Ley, al año modelo en que se efectúe la importación,o a los 10 años modelo inmediato anteriores.

Conforme al segundo numeral de la USAN, el impuesto para auto­móviles nuevos se calculará aplicando la tarifa o tasa establecida por laley, según corresponda, al precio de enajenación del automóvil al consu­midor por el fabricante, ensamblador o sus distribuidores autorizados,incluyendo el equipo opcional, común o de lujo, sin disminuir el montode descuentos, rebajas o bonificaciones. Se especifica que tratándose deautomóviles blindados, excepto camiones, la tarifa antes mencionada, seaplicará al precio de enajenación a que se refiere el párrafo anterior, sinincluir el valor del material utilizado para el blindaje. Cuando no existavehículo sin blindar que corresponda al mismo modelo, año y versióndel automóvil blindado, el impuesto para este ultimo, será la canlidadque resulte de aplicar al valor total del vehiculo, en los términos antesmencionados, la tarifa establecida en el precepto citado en el párrafo an­terior, multiplicando el resultado por el factor de 0.80. Asimismo, es pre­ciso mencionar que no formará parte del precio a que se refiere este ar­ticulo, el impuesto al valor agregado que se cause por tal enajenación.

Las tasas establecidas por la USAN son las siguientes: tratándose deautomóviles con capacidad hasta de quince pasajeros, al precio de enaje­nación del automóvil de que se trate, se le aplicará la siguiente tarifa:

Porcienlo para aplicarseLímite Inferior Límite Superior Cuota Fija sobr~ el excedente

del límite inferior

0.01 75,098.87 0.00 2

75,098.88 90,118.61 1,501.96 5

90,118.62 105,138.43 2,252.97 10

105,138.44 135,177.89 3,754.94 15

135,177.90 En adelante 8,260.86 17

56 Consultese el texto vigente de esta Ley, anexo al final de esta unidad.

Unidad 4 • Áreas de la currícula que licnen normaHvidad con repercusiones cuanlHativas 269

En el supuesto de que el precio del automóvil sea superior a$207,373.49, se reducirá del monto del impuesto determinado, la canti­dad que resulte de aplicar el 7% sobre la diferencia entre el precio de launidad y $207,373.49."

Tratándose de camiones con capacidad de carga hasta de 4,250 kilo­gramos, incluyendo los tipos panel con capacidad máxima de tres pasaje­ros y remolques y semiremolques tipo vivienda, al precio de enajenacióndel vehículo de que se trate se le aplicará la tasa del 5%.

Según el artículo octavo de la LISAN no se pagará el impuesto en lossiguientes casos: I. En la exportación de automóviles con carácter defini­tivo, en los términos de la legislación aduanera: n. En la enajenación alpúblico en general de automóviles compactos de consumo popular:5• y,1II. En la importación de vehículos en franquicia, de conformidad con elartículo 62. fracción 1, de la Ley Aduanera, o con los tratados o acuerdosinternacionales suscritos por México, siempre que se cumpla con los re­quisitos y condiciones que señale la Secretaría de Hacienda y Crédito PÚ-blico mediante reglas de carácter general. •

DERECHOS

La legislación federal y en especial la Ley Federal de Derechos esta-blece en materia aduanera, entre muchos otros, los siguientes derechos:

• Por tránsito internacional de mercancías extranjeras• Por tráfico fluvial de trozas• Por la autorización a particulares para el manejo, almacenaje y custo-

dia de mercancías sujetos a trámite aduanero• Por almacenaje en recintos oficiales• Por el trámite aduanero (DTA)• Por el examen para aspirante a Agente Aduanal

57 EstAs cantidades se actualizarán en los meses de enero, mayo y septiembre de cadaaño, con el factor de actualización correspondiente al período comprendido desde el quinto mesinmediato anterior hasta el último mes inmediato anterior a aquél por el cual se efectúa laactualización, tal y como lo indica la USAN. EN el mismo ordenamiento se señala que la Se­cretaría de Hacienda y Crédito Público publicará el factor de actualización en el Diario Oficialde la Federación dentro de los tres primeros días de enero, mayo y septiembre de cada año.

58 Se consideran automóviles compactos de consumo popular, aquellos cuyo preciode enajenación, incluyendo el impuesto al valor agregado, no exceda de la cantidad de$65.000.00, que su motor sea de fabricación nacional y que posea una capacidad para transoportar hasta 5 pasajeros. El precio a que se refiere el párrafo anterior, se actualizará en elmes de enero de cada año, aplicando el factor correspondiente al período comprendido des­de el mes de diciembre del penúltimo año hasta el mes de diciembre inmediato anterior.mismo que se obtendrá de conformidad con el artículo 17-A del Código Fiscal de la Federa­ción. La Secretaría de Hacienda y Crédito Público publicará el factor de actualización en elDiario Oficiol de la Federación dentro de los tres primeros días de enero de cada año.

270 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

Las cuotas establecidas para cada uno de los derechos, se actualizanpor los factores que establezca el Congreso de la Unión, además de la ac­tualización realizada en los meses de abril, julio y octuhre con el factor aque alude el articulo 17-A del Código Fiscal de la Federación. Las cuotasque tengan por base el valor de las mercancías no se incrementarán.59

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Calcular el impuesto mixto que se paga por importar 13,500 cenice­ros de porcelana, cuyo valor en aduana es de $12.50 cada uno, si seliene que cubrir una tarifa od va!orem de 5.10% y una tarifa específi­ca de $0.25 por unidad a importar.

2. La entrada al país de máquinas de escribir se grava con el 20% delvalor en aduana de las mercancías. A partir de esta consideración,calcular el impuesto que habrá de cubrirse por la importación de1,250 unidades de la máquina de escribir modelo 3405, cuyo valor enaduanas ha sido calculado en $825,900.00

3. La entrada al país de bolsos de mano, cuyo valor no exceda de $35.00está sujeta a un impuesto específico de $2.35 por unidad. Con estecriterio calcular el importe del impuesto de importación para 350bolsos de mano, sabiendo que su valor unitario es de $23.00

4. La importación de un vehículo se encuentra gravada con un impues­to sobre automóviles nuevos del 12.5% y con el pago de un empuestaespecífico de $23,000 y un gravamen ad valorem de 12.34% sobre elvalor del automóvil. Sí el valor del vehículo es de .1::3,000 y teniendoen cuenta las siguientes paridades con el dolar: 1 por 0.48 iibras, 1por 8.12 pesos, ¿cuál es el valor en pesos mexicanos de los impuestoscubiertos con molivo de la importación del vehículo?

5. A la entrada de productos alcohólicos se aplica una tasa [IESPS) del30% sobre la base gravable. Suponiendo la entrada de mercancía deeste lipa. ¿Cuál es el Impuesto Especial sobre Producción y Serviciosque deberá cubrirse? El valor de transacción (o en aduana) es de$300,000,000 y el único impuesto que se paga es el gravamen ad va­lorem de 25.9%.

6. Calcular la base gravable para el pago del Impuesto al Valor Agregado,de un producto a ímportar cuyo valor en aduana es de $1,205,000.00,si el impuesto específico es de $13,765.98 y la tarifa ad-valorem de15.75%. Calcular el impuesto al valor agregado.

59 Ibidem, pp. 340 Y 342.

Anexos

ANEXO 1

LEY FEDERAL DEL IMPUESTOSOBRE AUTOMÓVILES NUEVOS'

Ernesto Zedilla Ponce de León, Presidente Constitucional de los Estados UnidosMexicanos, a SUS habitantes sabed:

"Que el H. Congreso de la Unión, se ha servido dirigirme el siguiente DECRETO

El Congreso de los Estados Unidos Mexicanos, Decreta:

LEY FEDERALDEL IMPUESTO SOBRE AUTOMÓVILES NUEVOS

Artículo l.-Están obligados al pago del impuesto sobre automóviles nuevosestablecido en esta Ley, las personas físicas y las morales que realicen los actossiguientes:

1. Enajenen automóviles nuevos de producción nacional. Se entiende por au­tomóvil nuevo el que se enajena por primera vez al consumidor por el fabricante,ensamblador o por el distribuidor autorizado.

n. Importen en definitiva al país automóviles. Los automóviles a que se re­fiere esta fracción son los que corresponden al año modelo posterior al de aplica­ción de la Ley, al año modelo en que se efectúe la importación, o a los 10 añosmodelo inmediato anteriores.

Artículo 2.-El impuesto para automóviles nuevos se calculará aplicando latarifa O tasa establecida en el artículo 3° de esta Ley, según corresponda, al pre­cio de enajenación del automóvil al consumidor por el fabricante, ensamblador osus distribuidores autorizados, incluyendo el equipo opcional. común o de lujo,sin disminuir el monto de descuentos, rebajas o bonificaciones.

Tratándose de automóviles blindados, excepto camiones, la tarifa antes men­cionada, se aplicará al precio de enajenación a que se refiere el párrafo anterior.sin incluir el valor del material utilizado para el blindaje. En ningún caso el iro·

1 Publicada en el Diario Oficial de la Federación el 30 de diciembre de 1996. Los valo­res de las tarifas contenidas en el artículo 3° deben ser actualizadas conforme al Indice Na­cional de Pecios al Consumidor. Los valores presentados están vigentes a partir del 1° deenero de 1997. Texto tomado de la versión publicada en: http:/www.cddhcu.gob.mxI1eyin­fo/pdfJ123.pdf Consulta del 15 de diciembre de 2003.

271

272 Matemóticas aplicadas aJ Derecho • David Cienfucgos Salgado

puesto que se tenga que pagar por estos vehículos, será menor al que tendría quepagarse por la versión de mayor precio de enajenación de un automóvil sin blin·daje del mismo modelo y año. Cuando no exista vehículo sin blindar que corres­ponda al mismo modelo, año y versión del automóvil blindado, el impuesto paraeste ultimo. será la cantidad que resulte de aplicar al valor total del vehículo, enlos términos antes mencionados, la tarifa establecida en el precepto citado en elpárrafo anterior, multiplicando el resultado por el factor de 0.80.

No formará parte del precio a que se refiere este artículo, el impuesto al va·lar agregado que se cause por tal enajenación.

En el caso de automóv.iles de importación definitiva, incluyendo los destinadosa permanecer definitivamente en la franja fronteriza norte del país y en los Esta­dos de Baja California, Baja California Sur y la región parcial del Estado de Sono­ra, el impuesto se calculará aplicando la tarifa establecida en esta Ley, al preciode enajenación a que se refiere el párrafo anterior, adicionado con el impuestogeneral de importación y con el monlo de las contribuciones que se tengan quepagar con motivo de la importación, a excepción del impuesto al valor agregado.

El valor a que se refiere el párrafo anterior, se aplicará aun en el caso de quepor el automóvil de que se trate no se deba pagar el citado impuesto general deimportación.

Tratándose de automóviles por cuya importación se pague el impuesto el im·puesto general de importación a una tasa menor a la general vigente, el impuestoa que se refiere esta Ley será el que se determine conforme a lo previsto en el se­gundo párrafo de este artículo, considerando el impuesto general de importaciónque se hubiere tenido que pagar de haberse aplicado la tasa general referida.

En el caso de vehículos a que se refiere la fracción 11 del artículo 3°. de estaLey, el impuesto se calculará aplicando la tosa señalada en esa fracción al preciode enajenación al consumidor por el fabricante, ensamblador, distribuidos auto­rizado o imporLador.

Artículo 3.-Para los efectos del artículo 2° de esta Ley, se estará a lo si­guiente:

I. Trat.ándose de aut.omóviles con capacidad hasta de quince pasajeros, alprecio de enajenación del automóvil de que se trate, se le aplicará la siguiente:

--

Tarifa

Porciento para aplicarseLímite Inferior Límite Superior Cuola Fija sobre el excedente

del límite inferior

0.01 75,098.87 0.00 2

75,098.88 90,118.61 1,501.96 5

90,118.62 105,138.43 2,252.97 10

105,138.44 135,177.89 3,754.94 15

135,177.90 En adelanle 8,260:86 17

Anexos 273

Si el precio del automóvil es superior a $207,373.49, se reducirá del montodel impuesto determinado, la cantidad que resulte de aplicar el 7% sobre la dife­rencia entre el precio de la unidad y $207,373.49.

Las cantidades que correspondan a cada uno de los tramos de las tarifas con­tenidas en el párrafo que antecede, se actualizarán en los meses de enero, mayo yseptiembre de cada año. con el factor de actualización correspondiente al perío­do comprendido desde el quinto mes inmediato anterior hasta el último mes in­mediato anterior a aquél por el cual se efectúa la actualización, mismo que se ob­tendrá de conformidad con el artículo 17-A del Código Fiscal de la Federación.La Secretaría de Hacienda y Crédito Público publicará el factor de actualizaciónen el Diario Oficial de la Federación dentro de los tres primeros días de enero,mayo y septiembre de cada año.

11. Tratándose de camiones con capacidad de carga hasta de 4,250 kilogra­mos, incluyendo los tipos panel con capacidad máxima de tres pasajeros y re­molques y semiremolques tipo vivienda, al precio de enajenación del vehículode que se trate se le aplicará la tasa del 5%.

Artículo 4.-El impuesto· se calculará por ejercicios fiscales, excepto en elcaso de las importaciones a que se refiere el artículo 10 de esta Ley. Los contri­buyentes efectuarán pagos provisionales a más tardar el día 17 de cada una delos meses del ejercicio, mediante declaración que presentarán en las oficinas au­torizadas, respecto de las enajenaciones realizadas en el mes inmediato anterior.

El impuesto del ejercicio, deducidos los pagos provisionales se pagará me­diante declaración que se presentará ante las oficinas autorizadas, dentro de lostres meses siguientes al cierre del mismo ejercicio.

Si un contribuyente tuviera uno o varios establecimientos ubicados en enti­dades federativas diferente a la del domicilio fiscal del establecimiento matriz oprincipal, deberá presentar en cada una de las entidades federativas en la que seubiquen los referidos establecimientos, declaración mensual de pago provisionaly declaración del ejercicio, por las oper.aciones que correspondan a dichos esta­blecimientos, las cuales se deberán presentar en las oficinas autorizadas por laautoridad competente. Asimismo, la oficina matriz o principal deberá presentarsu declaración de pago provisional y declaración del ejercicio, por las operacio­nes que realice en la entidad en que se ubique.

Artículo 5.-Para efectos de esta Ley, se entiende por:a) Automóviles, los de transporte hasta de quince pasajeros, los camiones

con capacidad de carga hasta de 4250 kilogramos incluyendo los de tipo panel,así como los que remolques y semirremolques tipo vivienda.

b) Franja fronteriza norte del país, a la. comprendida entre la línea divisoriainternacional con los Estados Unidos de América y la línea paralela a una distan­cia de 20 kilómetros hacia el interior del país, en el tramo comprendido entre ellímite de la región parcial del Estado de Sonora y el Golfo de México, así coma elMunicipio fronterizo de Cananea, en el Estado de Sonora.

e) Región parcial del Estado de Sonora, a la comprendida en los siguientes lí­mites: al norte, la línea divisoria internacional desde el cauce del Río Coloradohasta el punto situado en esa línea a 10 kilómetros al oeste de Sonoita, de ese

274 Matemáticas aplicadas 01 Derecho· David Cienfuegos Salgado

punto. una línea recta hasta llegar al este de Puerto Peñasco; de ahí. siguiendo elcauce de ese Río. hacia el norte hasta encontrar la línea divisoria internacional.

Artículo 6.-Para los efectos de esta Ley, se entiende por enajenación, ade­más de lo señalado en el Código Fiscal de la Federación, la incorporación del au­tomóvil al activo fijo de las empresas fabricantes, ensambladoras o importadorasde automóviles e inclusive al de los distribuidores autorizados, o los que tenganpara su venta por más de un año, excepto cuando se trate de automóviles por losque ya se hubiera pagado el impuesto a que esta Ley se refiere. En estos casos, elimpuesto se calculará en los términos del artículo 2° de esta Ley, según proceda.

Se entiende que los automóviles se incorporan al activo fijo de las empresascuando se utilicen para el desarrollo de las actividades del contribuyente.

Articulo 7.-Para los efectos de esta Ley se considera importación la quetenga el carácter de definitiva en los términos de la legislación aduanera, salvoen el caso que ya se hubiera pagado el impuesto establecido en esta Ley.

Articulo 8.-No se pagará el impuesto establecido en esta Ley, en los si­guientes casos:

1. En la exportación de automóviles con carácter definitivo, en los términosde la legislación aduanera.

lI. En la enajenación al público en general de automóviles compactos deconsumo popular.

Se consideran automóviles compactos de consumo popular, aquellos cuyoprecio de enajenación, incluyendo el impuesto al valor agregado, no exceda de lacantidad de $65,000.00, que su motor sea de fabricación nacional y que poseauna capacidad para transportar hasta 5 pasajeros.

El precio a que se refiere el párrafo anterior, se actualizará en el mes de ene­ro de cada año, aplicando el factor correspondiente al período comprendido des­de el mes de diciembre del penúltimo año hasta el mes de diciembre inmediatoanterior, mismo que se obtendrá de conformidad con el artículo 17-A del CódigoFiscal de la Federación. La Secretaría de Hacienda y Crédito Público publicará elfactor de. actualización en el Diario Oficial de la Federación dentro de los tresprimeros días de enero de cada año.

111. En la importación de vehículos en franquicia, de conformidad con el ar­tículo 62, fracción 1, de la Ley Aduanera, o con los tratados o acuerdos interna­cionales suscritos por México, siempre que se cumpla con los requisitos y condi­ciones que señale la Secretaría de Hacienda y Crédito Público mediante reglas decarácter general.

Artículo 9.-Se considera que se enajena un automóvil en el momento enque se realice cualquiera de los supuestos siguientes:

1. Se envíe al adquirente. A falta de envío, al entregarse materialmente el au-tomóvil.

11. Se pague parcial o totalmente el precio.lI!. Se expida el comprobante de la enajenación.IV. Al incorporarse al activo fijo o al transcurrir el plazo de un año a que se

refiere el primer párrafo del artículo 6° de esta Ley.

Anexos 275

Artículo 10.-Tratándose de automóviles importados en definitiva por per­sonas distintas al fabricante, al ensamblador, a sus distribuidores autorizados o aimportadores de automóviles que cuenten con registro ante la Secretaría de Co­mercio y Fomento Industrial como empresa comercial para importar autos usa­dos, el impuesto a que se refiere esta Ley, deberá pagarse en la aduana mediantedeclaración, conjuntamente con el impuesto general de importación, inclusivecuando el pago del segundo se difiera en virtud de encontrarse los automóvilesen depósito fiscal en almacenes generales de depósito. No podrán retirarse losautomóviles de la aduana. recinto fiscal o fiscalizado, sin que previamente sehaya realizado el pago que corresponda conforme a esta Ley.

Artículo ll.-No procederá la devolución ni compensación del impuesto es­tablecido en esta Ley, aun cuando el automóvil se devuelva al enajenante.

Para los efectos de esta Ley, no se considerarán automóviles nuevos, aque­llos por los que ya se hubiera pagado el impuesto establecido en esta Ley y quese devuelvan al enajenante.

Los fabricantes, ensambladores o distribuidores autorizados de automóviles,no harán la separación expresa del monto de este impuesto en el documento queampare la enajenación.

Artículo 12.-Cuando los contribuyentes tengan establecimientos en dos omás Entidades Federativas, deberán llevar los registros contables necesarios parainformar a la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, en la declaración delejercicio, de las ventas realizadas en cada entidad federativa.

Artículo 13.-Los fabricantes, ensambladores o distribuidores autorizadosde automóviles nuevos, así como aquellos que importen automóviles para perma­necer en forma definitiva en la franja fronteriza norte del país y en los Estados deBaja California, Baja California Sur y la región parcial del Estado de Sonora, de­berán incluir en el documento que ampare la enajenación correspondiente. laclave vehicular que corresponda a la versión enajenada. La Secretaría de Hacien­da y Crédito Público establecerá la forma en que deberá integrarse la citada cla­ve, mediante reglas de carácter general.

El valor del vehículo enajenado deberá estar expresado en el comprobantecorrespondiente en moneda nacional.

TRANSITORIOS

Primero.-Esta Ley entrará en vigor a partir del 1° de enero de 1997

Segundo.-Los automóviles que se encuentren en trámite de importación ala fecha de entrada en vigor de esta Ley, deberán pagar el impuesto establecidoen la misma en los términos del artículo 10 de esta Ley.

Tercero.-Los automóviles nuevos de fabricación nacional de años modelo1996 y anteriores, así como los vehículos importados por empresas comercialesque cuenten con registro ante la Secretaría de Comercio y Fomento Industrialcomo empresa comercial para importar autos usados. que se enajenen por primeravez al consumidor a partir de la entrada en vigor de esta Ley, causarán el impuestoconforme a la tarifa o tasa que le corresponda de conformidad con la misma.

276 Matem61jeos aplicadas aJ Derecho • David Cienfuegos Salgado

Cuarto.-Las entidades federativas que celebren convenio de colaboraciónadministrativa con la Federación en materia del impuesto sobre automóvilesnuevos, podrán recibir de la Federación la recaudación que ésta obtenga en tér­minos del artículo 10 de esta Ley. siempre que la entidad federativa de que setrate acredite que en su entidad se autorizó el registro del automóvil importadoen definitiva a que se refiere el citado precepto y en ella se hayan expedido porprimera vez placas de circulación para dicho vehículo.

La recaudación a que se refiere el párrafo anterior, se asignará de conformi­dad con las reglas que para tal efecto establezcan la Secretaría de Hacienda yCrédito Público y las entidades federativas.

Quinto.-Para los efectos de lo dispuesto en esta Ley, durante el año de1997, los contribuyentes multiplicarán por el factor de 0.4 el monto del im­puesto sobre automóviles nuevos que resulte de conformidad con lo dispuestopor el artículo 3° de esta Ley. El resultado que se obtenga será el impuesto apagar.

Sexto.-Para los efectos de lo dispuesto en esta Ley, durante el año de 1998,los contribuyentes multiplicarán por el factor de 0.7 el monto del impuesto sobreautomóviles nuevos que resulte de conformidad con lo dispuesto por el artículo3° de esta ~ey. El resultado que se obtenga será el impuesto a pagar.

Séptimo.-A partir de que entre en vigor esta Ley quedan sin efectos las dis­posiciones que se opongan a la presente Ley.

ANEXO 2

SALARIOS MíNIMOS GENERALES DIARIOSVIGENTES EN MÉXICO DESDE 1985 Y ÁREAS GEOGRÁFICAS

EN QUE SE DIVIDE EL PAís PARA TALES EFECTOS

Año Vigencia2Importe diario

Zona A Zona B Zona e1° de enero $1,060.00 $975.00 $860.00

19854 de junio $1,250.00 $1,150.00 $1,015.00

1° de enero $1,650.00 $1,520.00 $1,340.00

1986 1° de junio $2,065.00 $1,900.00 $1,675.00

22 de octubre $2,480.00 $2,290.00 $2,060.00

2 La fecha representa el día en que comenzaron a regir los salarios. y se consideran vi­gentes hasta un día. antes de los señalados: Así. el salario de 1,060 para la zo.na A, entró envigor ello de enero de 1985 y estuvo vigente hasta el 3 de junio de 1985.

Anexos 277

Año VigenciaImporte diario

Zona A Zona B Zona e10 de enero $3,050.00 $2,820.00 $2,535.00

10 de abril $3,660.00 $3,385.00 $3,045.00

1987 10 de julio $4,500.00 $4,165.00 $3,750.00

10 de octubre $5,625.00 $5,210.00 $4,690.00

16 de diciembre $6,470.00 $5,990.00 $5,395.00

10 de enero $7,765.00 $7,190.00 $6,475.001988

10 de marzo $8,000.00 $7,405.00 $6,670.00

1° de enero $8,640.00 $7,995.00 $7,205.00

1989 10 de julio $9,160.00 $8,475.00 $7,640.00

4 de diciembre $10,080.00 $9,325.00 $8,405.00

1990 16 de noviembre $11,900.00 $11,000.00 $9,920.00

1991 11 de noviembre $13,330.00 $12,320.00 $11,115.00

1993 1° de enero N$14.27 $13.26 $12.05

1994 1° de enero N$15.27 $14.19 $12.89

1° de enero N$16.34 $15,18 $13.79

1995 10 de abril N$18.30 $17.00 $15,44

4 de diciembre N$20.15 $18.70 $17.00

10 de abril $22.60 $20.95 $19.051996

3 de diciembre $26.45 $24.50 $22.50

1° de enero $30.20 $28.00 $26.051998

3 de diciembre $34.45 $31.90 $29.70

1999 10 de enero $34.45 $31.90 $29.70

2000 1° de enero $37.90 $35.10 $32.70

2001 1° de enero $40.35 $37.95 $35.85

2002 10 de enero $42.15 $40.10 $38.30

2003 10 de enero $43.65 $41.85 $40.30

2004 1° de enero $45.24 $43.73 $42.11

278 Matemáticas aplicadas o/ Derecho • David Cienfuegos Salgado

ÁREAS GEOGRÁFICAS EN QUE PARA FINES SALARIALESSE HA DIVIDIDO A LA REPÚBLICA MEXICANA'

Las ,áreas geográficas en que para fines salariales se ha dividido a la Repúbli­ca Mexicana, son las que se señalan a continuación con un número progresivo,denominación y definición de su integración municipal:

l. Area geográfica "A" integrada por: todos los municipios de los Estados deBaja California y Baja California Sur; los municipios de Guadalupe, Juárez y Pra­xedis G. Guerrero, del Estado de Chihuahua; el Distrito Federal; el municipio deAcapuleo de Juárez. del Estado de Guerrero; los municipios de Atizapán de Zara­goza, Coacalco de Berriozábal, Cuautitlán, Cuautitlán Izcalli, Ecatepec. Naucal·pan de Juérez, Tlalnepanlla de Baz y Tultillén, del Estado de México; los munici­pios de Agua Prieta, Cananea. Naco, Nogales, General Plutarco Elías Calles,Puerlo Peñasco. San Luis Río Colorado y Santa Cruz, del Estado de Sonora; losmunicipios de Camargo, Guerrero, Gustavo Diaz Ordaz, Matamoros, Mier, Mi­guel Alemán, Nuevo Laredo, Reynosa, Río Bravo, an Fernando y Valle Hermoso,del Estado de Tamaulipas, y los municipios de Agua Dulce, Coatzacoalcos. Coso­leacaque, Las Choapas, Ixhuatlán del Sureste, Minatitlán, Moloacán y Nanchitalde Lázaro Cárdenas del Río, del Estado de Veracruz.

IJ. Área geográfica "B" integrada por: los muuicipios de Guadalajara, El Sal­lo, Tlajomulco de Zúñiga, Tlaquepaque, Tonalá y Zapopan, del Estado de Jalisco;los municipios de Apodaca, San Pedro Garza García, General Escobedo, Guada­lupe, Monterrey. San Nicolás de los Garza y Santa Catarina, del Estado de NuevoLeón; los municipios de Altar, Atil, Bácum, Benjamín Hill, Caborca, Cajeme, Car­bó, La Colorada, Cucurpe, Empalme, Etchojoa, Guaymas, Hermosillo,Huatabarn­po, ImUTis, Magdalena, Navojoa, Opodepe, Oquitoa, Pitiquito, San Miguel deHorcasitas, Santa Ana, Sáric, Suaqui Grande, Trincheras y Tubutama, del Estadode Sonora; los municipios de Aldama, Altamira, Antiguo Morelos, Ciudad Made­ro, Gómez [arías. González, El Mante, Nuevo Morelos, Ocampo, Tampico y Xico­téncatl del Estado de Tamaulipas, y los municipios de Coatzintla, Poza Rica deHidalgo y Tuxpan, del Estado de Veracruz.

llI. Area geográfica "c" integrada por: todos los municipios de los Estados deAguasclientes, Campeche, Coahuila, Colima, Chiapas, Durango. Guanajuato, Hi­dalgo, Michoacán, Morelos, Nayarit, Oaxaca. Puebla, Querétaro, Quintana Roo,San Luis Potosí, Sinaloa, Tabasco, Tlaxcala, Yucatán y Zacatecas; todos los mu­nicipios del Estado de Chihuahua excepto Guadalupe, Juérez y Praxedis G. Gue­rrero; todos los municipios del Estado de Guerrero excepto Acapulco de ]uárez;todos los municipios del Estado de Jalisco exceplo Guadalajara, El Salto, Tlajo­mulco de Zúñiga, Tlaquepaque, Tonalá y Zapopan; todos los municipios delEstado de México excepto Atizapán de Zaragoza. Coacalco de Berriozáhal, Cuau­titlén, Cuautitlán Izcalli, Ecatepec, Naucalpan de Juérez, Tlalnepanlla de Baz yTultitlán; todos los municipios del Estado de Nuevo León excepto Apodaca, SanPedro Garza García, General Escobedo, Guadalupe, Monterrey, San Nicolás delos Garza y Santa Catarina; los municipios de Aconchi, Alamas, Arivechi, Ariz-

3 Elle:ctor interesado puede consultar la página de la Comisión Nacional de los SalarioMínimos para obtener mayor información: http://www.conasami,gob,ffiX

Anexos 279

pe, Bacadéhuachi, Bacanora, Bacerac, Boc-oachi, Banámichi, Baviácora, Bavispe,Cumpas, Divisaderos, Fronteras, Granados, Huachinera, Huásabas, Huépac, Ma­zataán, Moctezuma, Nácori Chico, Nacozari de García, Onavas, Quiriego, Rayón,Rosario, Sahuaripa, San Felipe de Jesús, San Javier, San Pedro de la Cueva, Soya­pa, Tepache, Ures, Villa Hidalgo, Villa Pesqueira y Yécora, del Estado de Sonora;los municipios de Abasolo, Burgos,Bustamante, Casas, Cruillas, Güémez, Hidal­go, ]aumave, Jiménez, Llera, Mainero, Méndez, Miquihuana, Padilla, Palmillas,San Carlos, San Nicolás, Soto la Marina, Tula, Victoria y Villagrán del Estado deTamaulipas, y todos los municipios del Estado de Veracruz excepto Agua Dulce,Coatzacoalcos, Coatzintla, Cosoleacaque, Las Choapas, Ixhuatlán del Sureste, Mi·natitlán, Moloacán, Nanchital de Lázaro Cárdenas del Río, Poza Rica de Hidalgoy Tuxpan.

ANExo 3DERECHO ELECTORAL Y MATEMÁTICAS'

Otra de las áreas donde encontramos una íntima vinculación entre el dere­cho y las matemáticas, es el concerniente al derecho electoral; principalmente,tratándose de las elecciones de diputados y senadores. Toda vez que el programaoficial de la asignatura Matemáticas aplicadas al derecho omite considerar al de­recho electoral, hemos decidido incluir como anexo el procedimiento de asigna­ción de diputados y senadores por el principio de representación popular. Alefecto se han utilizado los datos correspondientes a las elecciones federales de1997, para que pueda advertirse cada uno de los procedimientos que permiten laintegración de las cámaras del Congreso de la Unión.

El derecho electoral suele ser definido como la rama del derecho constitucio­nal que, dotado de un alto grado de autonomía, regula los procesos a través delos que el pueblo, constituido en electorado, procede a la integración de los órga­nos del estado, a la periódica sustitución de sus titulares, así como aquellos pro­cesos en que el mismo electorado interviene en la función legislativa o en la defi­nición de una cuestión crítica de política nacional, por medio de la iniciativa, elreferéndum o el plebiscito, según sea el caso.s

A últimas fechas, el estudio del derecho electoral ha provocado un enormeinterés tanto entre los estudiosos del derecho como entre los ciudadanos intere­sados en conocer y revisar los procesos que se efectúan durante las elecciones,sean éstas locales o federales. Por otra parte, el derecho electoral en su aspectoprocedimental se vislumbra difícil, o quizás demasiado técnico, sin embargo,como se verá en este apartado, todos los procedimientos empleados tienen fun­damento en normas legales.

4 No puedo dejar de agradecer a mis amigos Carlos Faustino Natarén Nandayapa y San­tiago Nieto Castillo por la ayuda y sugerencias para que el desarrollo de esle tema se integra­ra al menos como anexo en este libro.

S Barquín Alvarez, Manuel, voz "Derecho electora!" en Diccionario jurídico mexicano,México. UNAM-PoITÚa, 1995, p. 986.

280 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

,

El sistema electoral mexicano se caracteriza por ser mixto, pues tratándosede las elecciones para integrar el poder legislativo federal, observamos que seatiende a dos principios: el de mayoría y el de representación proporcional. En elsistema de mayoría o mayoritario, el argumento principal es que debe ser electoel candidato que obtiene en una determinada demarcación electoral el mayor nú­mero de votos. En cambio, en el sistema de representación proporcionaL tene­mos que se atribuye a cada grupo político participante, el número de cargos deelección popular que resulte proporcional a los votos obtenidos en la contiendaelectoral. En este último sistema las curules o los escaños legislativos se repartenentre las listas de candidatos que participan en el proceso electoral en propor­ción al número de votos obtenidos por cada una de ellas. Es importante recalcarque tratándose del sistema mixto, los representantes electos, sea por mayoría opor representación proporcional, tienen el mismo carácter de diputados o sena­dores; es decir, se evita cualquier distingo entre unos y otros.

En México, desde 1977 se adoptó el sistema electoral mixto, que consiste,como hemos mencionado, en que el sistema de mayoría se complementa con elde representación proporcional. Para ello, los partidos políticos deben presentarcandidatos tanto en los distritos electorales ullinominales, como listas de candi­datos en las circunscripciones plurinominales.

Un distrito electoral uninomillal es la demarcación territorial donde se elige undiputado por el principio de mayoría relativa. Nuestro país se encuentra divididoen 300 distritos uninominales. En principio, nuestro país, Estados Unidos Mexi­canos, se divide en distritos electorales tomando como base la población nacional.Sin embargo, en la actualidad la demarcación territorial de cada distrito será laque resulte de dividir la población total del país entre los distritos electorales.6

Una circunscripción plurinominal.es la demarcación territorial en la que seeligen un nÍlmero determinado de diputados por el sistema de representaciónproporcional. En la actualidad tenemos en nuestro país cinco circunscripcionesplurinominales.

Para mostrar la utilización de las matemáticas en el derecho electoral, hemosutilizado los acuerdos publicados por el Instituto Federal Electoral relativo a laselecciones de diputados y senadores al Congreso de la Unión en 1997. Tal vezhubiera representado una mayor utilidad didáctica la inclusión de las normas aque se hace referencia en los mismos acuerdos, sin embargo, también representa­ría un aumento de las páginas que ocupa este anexo, por lo que hemos preferidodejar esta tarea a quienes deseen profundizar en el conocimiento del derechoelectoral o al profesor quien podrá dirigir y precisar las inquietudes de losalumnos.

Se ha tomado en su mayor parte, en forma íntegra la información de relevan­cia jurídica que muestra el procedimiento de asignación de diputados y senado­res por el principio de representación proporcional, y se ha modificado para inte­grar algunas fórmulas que muestren de manera esquemática Jos procesos deasignación:

6 Véase, Patiño Camarena. Javier, Derecho electoral mexicano, México, Editorial Consti·tucionalista. 1997.

,

Anexas 281

A) RESULTADO DE LAS ELECCIONES PARA DIPUTADOS FEDERALES 19977

Para los comicios federales de 1997, efectuados para renovar el Poder Legis­lativo federal, los resultados finales de los cómputos de los Consejos Locales ca­becera de circunscripción, fueron los siguientes:

Partido Político Votación Porcentaje

PAN 7'795,538 25.88%

PRI 11'438,719 37.98%

PRD 7'518,903 24.96%

pe 328,872 1.09%

PT 756,125 2.51%

PVEM 1'116,137 3.71%

PPS 99,109 0.33%

PDM 193,903 0.64%

Candidatos no registrados 15,81 50.05%

Votos nulos 856,732 2.84%

Votación total emitida 30'119,853 100.00%

En esa virtud, y considerando3. Que de conformidad con lo dispuesto por las fracciones 1, 11 Y III del ar­

tículo 54 de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, un parti­do político para obtener el registro de sus listas regionales, debe acreditar queparticipa con candidatos a diputados por el principio de mayoría relativa, en porlo menos 200 distritos electorales uninominales; que todo partido político que al­cance por lo menos el dos por ciento del total de la votación emitida para las lis­tas regionales de las circunscripciones plurinominales, tendrá derecho a que lesean atribuidos diputados según el prinCipio de representación proporcional; queal partido politico que cumpla con lo dispuesto en las dos bases anteriores, adi­cionalmente a las constancias de mayoría relativa que hubiesen obtenido suscandidatos, les serán asignados por el principio de representación proporcionaly de acuerdo con su votación nacional emitida, el número de diputados de su lis­ta regional que le corresponda en cada circunscripción plurinominal. En la asig-

7 Los datos que a continuación se presentan fueron tomados del "Acuerdo del ConsejoGeneral del InsLituto Federal Electoral por el que se efectúa el cómputo total, se declara lavalidez de la elección de diputados por el principio de representación proporcional y seasignan a los partidos políticos los diputados que por este principio les corresponden", pu­blicado en el Diario Oficial de la Federación el 29 de agosto de 1997, Los números que apa­recen en algunos párrafos corresponden a la numeración original en el acuerdo.

282 Matcmóticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

nación se seguirá el orden que tuviesen los candidatos en las listas correspon­dientes.

4. Que en términos de lo previsto en la fracción IV, del artículo 54 de laConstitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, ningún partido políticopodrá contar con más de 300 diputados por ambos principios.

5. Que la propia Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos esta­blece en el artículo 54. fracción V, que en ningún caso, un partido político podrácontar con un número de diputados por ambos principios. que represente unporcentaje total de la Cámara que exceda en ocho puntos a su porcentaje de vola­ción nacional emitida.

6. Que atento a lo señalado por la fracción VI del numeral 54 de la CartaMagna. las diputaciones de representación proporcional que resten después deasignar las que correspondan al partido político que se halle en los supuestos delas fracciones IV o V de dicho precepto constitucional, se adjudicarán a los de­más partidos políticos con derecho a ello. en cada una de las circunscripcionesplurinominales. en proporción directa con las respectivas votaciones nacionalesde estos últimos.

7. Que en términos de lo establecido por el artículo 12, del Código Federalde Instituciones y Procedimientos Electorales. para los efectos de la aplicaciónde la fracción JI del artículo 54 constitucional, se entiende por votación emitidael total de los votos depositados en las urnas; que en términos de lo dispuestopor la fracción III del propio artículo 54. para la asignación de diputados por elprincipio de representación proporcional, se entenderá como votación nacionalemitida. la que resulte de deducir la votación total emitida, los votos a favor delos partidos políticos que no hubiesen obtenido el 2% y los votos nulos; y queningún partido político podrá contar con más de 300 diputados por ambos prin­cipios. En Ilingún caso. un partido político podrá contar con un número de dipu­tados por ambos principios que representen un porcentaje del total de la Cámaraque exceda en ocho puntos a su porcentaje de votación nacional emitida.

8. Que de acuerdo a lo estipulado por el artículo 15 del Código electoral, enel caso de actualizarse el supuesto previsto por la fracción VI del artículo 54constitucional, las curules restantes serán adjudicadas a los demás partidos polí­ticos con derecho a ello, en cada una de las circunscripciones plurinominales, enproporción directa con las respectivas votaciones nacionales de éstos.

9. Que los 300 Consejos Distritales y los 5 Consejos Locales con residenciaen las capitales cabecera de circunscripción plurinominal. en tiempo y forma lle­varon a cabo todas y cada una de las actividades previstas en el Código Federalde Instituciones y Procedimientos Electorales. en relación con la elección de di­putados por el principio de representación proporcional. De igual forma, esteConsejo General cumplió de manera puntual con las obligaciones y atribucionesque le confiere el Código electoral.

10. Que este Consejo General es competente para realizar la asignación dediputados electos por el principio de representación proporcional y para expedira cada partido politico las respectivas constancias de asignación de diputadospor este principio.

11. Que el Consejo General del Instituto Federal Electoral, en sesión ordina­ria celebrada el 6 de julio de 1997, acordó el mecanismo para la aplicación de la

Anexos 283

fórmula de asignaclOn de las diputaciones por el prinCIpIO de representaciónproporcional, que correspondan a los partidos políticos con base en los resulta­dos de la jornada electoral del 6 de julio de 1997.

12. Que conforme a los cómputos distritales y locales cabecera de circuns­cripción, así como a las resoluciones emitidas por el Tribunal Electoral del PoderJudicial de la Federación a los medios de impugnación interpuestos por los parti­dos políticos en contra de la elección de diputados por el principio de represen­tación proporcional, la votación por cada partido político, quedó de la siguientemanera:

Vo'tacióntotal'emitida para la',elecciónd~,diputadospor elp~inc~piode ,,['epresentació~proporcional. ,

Partido político Votación Porcentaje

PAN 7'795,538 25.88%

PRI 11'438,719 37.98%

PRO 7'518,903 24.96%

PC 328,872 1.09%

PT 756,125 2.51%

PVEM 1'116,137 3.71%

PPS 99,109 0.33%

POM 193,903 0.64%

Candidatos no registrados 15,815 0.05%

Votos nulos 856,732 2.84%

Votación total Emitida 30'119,853 100.00%

13. Que conforme a la votación que ha quedado detallada en el punto ante­rior, los partidos políticos Cardenista; Popular Socialista y Demócrata Mexicano,no obtuvieron el 2% de la votación emitida para las listas regionales de las cincocircunscripciones plurinominales, por cuya razón estos partidos políticos no tie­nen derecho a que les sean atribuidos diputados por este principio, según lo es­tablecido por la fracción II del artículo 54 de la Constitución Política de los Esta­dos Unidos Mexicanos. Por lo que, en consecuencia los diputados por elprincipia de representación proporcional deberán asignarse sólo a los partidospolíticos Acción Nacional; Revolucionario Institucional; de la Revolución Demo­crática; del Trabajo; y Verde Ecologista de México.

14. Que los citados partidos políticos Acción Nacional; Revolucionario Insti­tucional; de la Revolución Democrática; del Trabajo; y Verde Ecologista de Méxi­co, cumplieron con los requisitos señalados en las fracciones I y 11 del artículo

284 Ma/em6ticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

30'119,853856,732621,88415,815

54 constitucional, por lo que procede la asignación de diputados por el principiode representación proporcional a los institutos políticos citados.

15. Que habiendo efectuado la revisión de los documentos aportados por lospartidos políticos Acción Nacional; Revolucionario Institucional; de la Revolu­ción Democrática; del Trabajo; y Verde Ecologista de México, se desprende quelos candidatos reúnen los requisitos de elegibilidad previstos en los artículos 55de la Constílución Política de los Estados Unidos Mexicanos y 7 del Código Fe­deral de Instituciones y Procedimientos Electorales.

16. Que la votación nacional emitida (VNE) es la que resulta de dedudrde la votación total emitida (VTEJ, los votos a favor de los partidos políticosque no hubiesen obtenido el 2% (VPN) y los votos nulos (VN), estos últimosincluyen los votos emitidos para los candidatos no registrados (VCN). En con­secuencia tenemos que la fórmula utilizada para obtener la votación nacionalefectiva es:

VNE = VTE - (VPN + VN + VeN)

Los valores que corresponden a cada factor son:

Votacion total emitida (VTE)Votos nulos (VN)Votación de los partidos que no obtuvieron el 2% (VPN)Votación de los candidatos no registrados (VeN)

Sustituyendo, tenemos que:

VNE 30'119,853 - (621,884 + 856,732 + 15,815)VNE 30'119,853 - 1'494,431VN~: 28'625,422

En consecuencia la votación nacional emitida es igual a 28'625,422votos.

17. Que en términos de lo dispuesto en los artículos 13 y 14 del Código Fe­deral de Instituciones y Procedimientos Electorales, para la asignación de diputa­dos por el principio de representación proporcional conforme a lo establecido enla fracción III del artículo 54 de la Constitución, se debe aplicar una fórmula deproporcionalidad pura, integrada por los siguientes elementos: cociente ,natural yresto mayor; que de acuerdo a lo señalado por los incisos a) y b) del párrafo 1,del citado artículo 13 del Código electoral, el cociente natural es el resultado dedividir la votación nacional emitida entre los 200 diputados de representaciónproporcional y el resto mayor de votos es el remanente más alto entre los restosde las votaciones de cada partido político, una vez realizada la distribución decurules mediante el cociente natural. El resto mayor se utilizará cuando aún hu­biese diputaciones por distribuir.

18.-Que atento a lo dispuesto por el articulo 14, párrafo 1, del Código elec­toral, para la aplicación de la fórmula de proporcionalidad pura se observará elprocedimiento siguiente:

a) Se determinarán los diputados que se le asignarían a cada partido poIí-

Anexos 285

tico, conforme al número de veces que contenga su votación el cociente natu­ral; y

b) Los que se distribuirán por resto mayor si después de aplicarse el cocientenatural quedaren diputaciones por repartir, siguiendo el orden decreciente de losvotos no utilizados para cada uno de los partidos políticos en la asignación decurules.

19. Que conforme a lo dispuesto por el artículo 54, fracción 111, de la Consti­tución, en relación con el numeral 14. párrafo 1, incisos a) y b}, del Código elec­toral, procede hacer la distribución de los diputados que se le asignarán a cadapartido político conforme a la votación nacional emitida a su favor.

En primer lugar, debe obtenerse el cociente natural (eN), para lo cualse divide el total de la votación nacional emitida (VNE) entre los 200 di­putados a asignar.

Tenemos así, que la fórmula para obtener el cociente natural puedeexpresarse de la siguiente manera:

CN = VNE / 200

La operación correspondiente da el siguiente resultado;

CN = 28'625,422 / 200CN = 143,127

El cociente natural es igual a 143, 127 votos y nos servirá para asig­nar los diputados por tal principio.

. .. -- 1Votación nacional emitida de cada partido político

Diputados DiputadosDiputados

PartidoVotación % VNE

de de R.P. por RemanenteR.P. por Total

Político Mayoría cociente de votosRelativa nalural

resto mayor

PAN 7'795,538 27.23% 64 54 66,680 O 54

PRI 11'438.719 39.96% 165 79 131,686 1 80

PRO 7'518,903 26.27% 70 52 76.299 1 53

PT 756,125 2.64% 1 5 40,490 O 5

PVEM 1'116.137 3.90% O 7 114.248 1 8

Total 28'625,422 100.00% 300 197 3 200

20. Que derivado de la asignación consignada en el punto anterior se des­prende que el Partido Revolucionario Institucional, excede por 6 diputados, ellí­mite establecido en la fracción V del artículo 54 de la Constitución, al haber ob·tenido un porcentaje de votación de 39.96% y su representación no debe de

286 Matem6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

exceder del 47,96% que representa 239 diputados por ambos principios y al ha­bérsele otorgado 165 constancias de mayoría relativa, sólo procede otorgarle 74diputaciones por el principio de representación proporcional.

21. Que de conformidad con lo establecido por los artículos 54 de la Leyfundamental; y 12 al 17 del Código Federal de Instituciones y ProcedinúenlosElectorales, las diputaciones por el principio de representación proporcional seadjudicarán a los partidos políticos con derecho a ello en cada una de las cir­cunscripciones plurinominales. en proporción directa con las respectivas vota­ciones nacionales emitidas a su favor.

22. Que de conformidad con lo dispuesto en el párrafo 3 del artículo 14,del Código de la materia, procede realizar la asignación por circunscripciónplurillominal al Partido Revolucionario Institucional, en los siguientes tér­minos:

o) Se obtendrá el cociente de distribución (CD), el cual resulta de dividir eltotal de votos del partido político (TVP) que se halle en este supuesto, entre lasdiputaciones a asignarse al propio partido;

b) Los votos obtenidos por el partido político en cada una de las circunscrip­ciones se dividirán entre el cociente de distribución asignando conforme a nú­meros enteros las curules para cada una de ellas; y,

e) Si aún quedaren diputados por asignar se utilizará el método del resto ma­yor, previsto en el artículo 13 anterior.

Para obtener el cociente de distribución, utilizaremos la fórmula siguiente:

CD = TVP / No, de diputaciones

sustituyendo:

CD 11'438,719/ 74CD 154,577

La asignación de las curules se da en los términos siguientes:

Cociente VotosReslo Total

Circunscripción Votación de Curules purturules

Distribución utilizar mayor

l., 2'379,7a5 154,577 15 61,130 O 15

2., 2'543.570 154,577 16 70,33a 1 17

3., 2'354,047 154,577 15 35,392 O 15

4., 2'098,581 154,577 13 89,080 1 14

5., 2'062,736 154,577 13 53,235 O 13

72 2 74

23. Que al asignar 74 diputados por el principio de representación propor­cional al Partido Revolucionario Institucional, quedan por distribuir 126 diputa­dos por el mismo principio a los partidos restantes con derecho a ello, para lo

,"

Anexos 287

cual se debe obtener, en términos de lo dispuesto por el artículo 15 del CódigoFederal de Instituciones y Procedimientos Electorales, la votación nacional efec­tiva (VNEf), la cual resulta de restar a la votación nacional emitida. los votos delPartido Revolucionario Institucional. A efecto de obtener el nuevo cociente natu­ral, se divide dicha votación nacional efectiva entre las diputaciones por asignar,resultando un nuevo cociente natural (NCN)

Esta asignación se calcula de la forma siguiente: primero, se obtiene la vota­ción nacional efectiva de conformidad con la siguiente fórmula:

VNEf ~ VNE - (Votos PRljVNEf = 28'625,422 - 11'438,719VNEf = 17'186,703

Teniendo este resultado lo dividimos entre las curules a repartir para obte­ner un nuevo cociente natural (NCN):

NCN = VNEf / No. de diputacionesNCN = 17'186,703 /126NCN = 136,402

En consecuencia, la asignación de diputados por el principio de representa­ción proporcional queda de la siguiente manera:

.. -Asignación conforme a la votación nacional emitida

PartidoDiputados

Remanente Diputados

políticoVotación Porcentaje NCN de R.P. de Votos resto Tolal

por NCN mayor

PAN 7'795,538 45.36% 136,402 57 20,624 O 57

PRD 7'518,903 43.75% 136,402 55 16,793 O 55

PT 756.125 4.40% 136,402 5 74,115 1 6

PVEM 1'116,137 6.49% 136,402 8 24,921 O 8

Total 17'186,703 100.00% 125 1 126

24. Que el artículo 15, párrafo 2, del Código de la materia establece que,para la asignación de los diputados restantes a los demás partidos políticos conderecho a ello, se procederá en los términos siguientes:

Se obtendrá la votación efectiva por circunscripción, que será la que resultede deducir la votación del Partido Revolucionario Institucional. por haberse ubi­cado en los supuestos previstos en la fracción V del artículo 54 constitucional,en cada una de las circunscripciones.

La votación efectiva por circunscripción se dividirá entre el número de curu­les pendientes de asignar en cada circunscripción plurinominal. para obtener elcociente de distribución en cada una de ellas.

288 Motem6ticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

La votación efectiva de cada partido político en cada una de las circunscrip­ciones plurinominales, se dividirá entre el cociente de distribución, siendo el re­sultado en números enteros el total de diputados a asignar en cada circunscrip­ción plurinominal.

Si después de aplicarse al cociente de distribución quedaren diputados pordistribuir a los partidos políticos, se utilizarán el reslo mayor de votos que cadapartido político tuviere en las circunscripciones, hasta agotar las que le COfres­pondan, en orden decreciente, a fin de que cada circunscripción plurinominalcuente con cuarenta diputaciones.

25. Que la distribución al resto de los partidos políticos por circunscripciónplurinominal. se hará dividiendo la votación efectiva de cada circunscripción en­tre las curules por asignarse en cada circunscripción, a fin de obtener el cocientede distribución.

Votación efectiva por disLribuir; _...

la. 3'840,077

2a. 3'242,241

3a. 2'504,034

4a. 4'171,106

5a. 3'429,245

entre

entre

entre

entre

entre

Curoles pordistribución

25 i

23 i

25 i

26 i

27 ¡

gual a

gual a

gual a

gual a

gual a

Cociente deCi~cunscripción.

153,603

140,967

100,161

160.427

127,009

26. La asignación de las curules por partido político se realizará conformea lo dispuesto en los incisos el y dl del párrafo 2, del artículo 15, del Códigode ]a materia, para ello, la votación efectiva de cada partido politico en cadauna de las circunscripciones plurinominales se divide entre el cociente de dis­tribución, el resultado en números enteros es el que corresponde en cada cir·cunscripción. Si quedaren diputados por distribuir, se utiliza el método de restomayor.

..

Primera circunscripción

Partido VotosCociente

CurulesVotos pendientes

de Distribución de aplicar

PAN 2'504,464 153,603 16 46,836

PRO 1'019,822 153,603 6 98,204

PT 118,673 153,603 O 118,673

PVEM 197,098 153,603 1 43,495

Total 3'840,077 23

Anexos 289

\\

Segunda circunscripción- -

Partido VotosCociente

CurulesVotos pendientes

de Distribución de aplicar

PAN 2'138,564 140,967 15 24,059

PRD 687,162 140,967 4 123,294

PT 303,794 140,967 2 21,860

PVEM 112,721 140,967 O 112,721

Total 3'242.241 21...-

Tercera circunscripción

Partido VotosCociente

CnrulBsVotos pendientes

de Distribución de aplicar

PAN 900,386 100,161 9 7,937

PRD 1'377,933 100,161 13 75,840

PT 126,342 100.161 1 26,181

PVEM 90,373 100,161 O 90,373

Total 2'504,034 23- - ,

Cuarta circunscripción i

Partido VotosCociente

CurulesVotos pendientes

de Distribución de aplicar

PAN 1'237,297 160,427 7 114,308

PRO 2'385,525 160,427 14 139,547

PT 123,612 160,427 O 123,612

PVEM 424,672 160,427 2 103,818

Total 4'171,106 23-- -- -

Quinta circunscripción-

Partido VotosCociente

enrulesVotos pendientes

de Distribución de aplicar

PAN 1'005,807 127,009 7 116,744

PRD 2'048,461 127,009 16 16,317

PT 83,704 127,000 O 83,704

PVEM 291,273 127,009 2 37,255

Total 3'429,245 25

290 Matemóticas aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado

27.-Que de acuerdo a los resultados anteriores. las eurnles por partido polí­tico por circunscripción plurinominal, quedarían de la forma siguiente:

Partido político la. 2a. 3a. 4a. 5a. Tolal

PAN 16 15 9 7 7 54

PRD 6 4 13 14 16 53

PT O 2 1 O O 3

PVEM 1 O O 2 2 5

Tolal 23 21 23 23 25 115

28. Que en virtud de los resultados consignados en el considerando anterior,aún quedan 11 diputaciones por asignar, en términos de lo consignado en el ar­tículo 15, párrafo 1, inciso dJ y el Acuerdo del Consejo General, por el que se de·termina el mecanismo para la aplicación de la fórmula de asignación de las dipu­taciones por el principio de representación proporcional, que correspondan a lospartidos políticos con base en los resultados obtenidos en la jornada electoral del6 de julio de 1997, aprobado en sesión de la misma fecha, procede la aplicacióndel método de resto mayor, conforme a lo siguiente:

Votos no aplicados corresponoientes a restos mayores- -

Parlidos políticos la. 2a. 3a. 4a. 5a.

PAN 46.636 24.059 7.937 114.308 116.744

PRD 98.204 123.294 75.840 139.547 16.317

PT 118.673 21.860 26.181 123.612 63.704

PVEM 43.495 112.721 90.373 103.818 37.255

29. Que la aplicación de los restos mayores será respetando las curules asig­nadas por partido y por circunscripción y tomando en cuenta a todos los parti­dos políticos, salvo el Partido Revolucionario Institucional al cual le fueron asig­'.1ados 74 curules de acuerdo a 10 establecido por la fracción V del artículo 54 dela Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y según la fase 1 delacuerdo citado en el punto anterior. Por lo que respecta a las fases 2 y 3, éstas se­ñalan lo siguiente: Fase 2: una vez determinado el partido con mayor votaciónnacional. que no caiga dentro de los supuestos previstos por las fracciones IV o Vdel artículo 54 de la Constitución, y en el caso de que le faltasen diputacionespor asignar, se le otorgarán de acuerdo con el mecanismo de resto mayor en las

Anexos 291

circunscripciones correspondientes. Fase 3: el procedimiento enunciado en lafase anterior se aplicará a los demás partidos políticos en orden sucesivo hastacompletar el número de curules que les corresponda, siempre y cuando en cadaejercicio no se sobrepase el límite de cuarenta diputaciones por circunscripción.En caso de que el resto mayor de un partido se encuentre en una circunscripciónen la que ya se hubieren distribuido las cuarenta diputaciones. se le asignará sudiputado de representación proporcional al siguiente resto mayor en la circuns­cripción donde todavía hubiese curules por distribuir. por lo que la distribuciónse realizará de la forma siguiente:

Partido político la. 2a. 3a. 4a. 5a. Tota\¡.:.

PAN 1 O O 1 1 3

PRD O 1 O 1 O 2

PT 1 O 1 O 1 3

PVEM O 1 1 1 O 3

Total 2 2 2 3 2 11

30. Que una vez efectuada la asignación de curules por resto mayor. respe­tando totales por partido y por circunscripciones. la distribución de las 200 curu­les por el principio de representación proporcional es:

Partido político la. 2a. 3a. 4a. 5a. Total ..

PAN 17 15 9 8 8 57

PRI 15 17 15 14 13 74

PRD 6 5 13 15 16 55

PT 1 2 2 O 1 6

PVEM 1 1 1 3 2 8

Total 40 40 40 40 40 200

31. [... ] Por lo anterior deben correrse las listas en las circunscripciones ypartidos que correspondan.

32. Que habiendo realizado los trabajos encomendados por Código electoral.relativos a la preparación de la elección; a la jornada electoral y al cómputo de laelección de diputados por el principio de representación proporcional y toda vezque han quedado satisfechos los extremos de ley. este Consejo General considera

292 Matem6ticos aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado

válida la elección de diputados por el principio de representación proporcionalen las cinco circunscripciones plurinominales en que está dividido el país.

En atención a los antecedentes y considerandos vertidos, con fundamento enlo dispuesto en los artículos 41, 54 Y 60 de la Constitución Política de los Est.a­dos Unidos Mexicanos; 7, 11,·12, 13, 14 Y 15 del Código Federal de Institucionesy Procedimientos Electorales y en ejercicio de la atribución conferida en los uu·merales 82, párrafo 1, inciso q); 262 Y 263 del ordenamiento legal invocado, esteConsejo General emite el siguiente:

ACUERDO

Primero.-El Consejo General del Instituto Federal Electoral declara válidala elección de diputados por el principio de representación proporcional.

Segundo.-En consecuencia, procede asignar a los partidos políticos AcciónNacional; Revolucionario Institucional; de la Revolución Democrática; del Traba­jo y Verde Ecologista de México, los diputados por el principio de representaciónproporcional que les corresponden, quedando como sigue:

-

Partido1', 2'. 3', 4', S',

políticoCircunscrip- Circunscrip- Circunscrip- Circunscrip. Circuoscrip- Total

dóo ción ción cióo ción

PAN 17 lS 9 8 B 57

PRI 15 17 15 14 13 74

PRO 6 5 13 15 16 SS

PT 1 2 2 O 1 6

PVEM 1 1 1 3 2 8

Total 40 40 40 40 40 200

Tercero.-Conforme al punlo de ACUERDO anterior, expídanse las constan­cias de asignación proporcional a los partidos políticos que a continuación se se­ñalan, a los que, de conformidad con los artículos 54 y 60 de la Constitución Po­lítica de los Estados Unidos Mexicanos y 7, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 82, párrafo 1,inciso q), 262 Y 263, del Código Federal de Instituciones y Procedimientos Elec­torales, se hicieron acreedores:

Quinto.- El presente ACUERDO deberá ser publicado en el Diario Oficialde Ja Federación.

El presente Acuerdo fue aprobado por el Consejo General del Instituto Fede­ral Electoral, en sesión ordinaria celebrada el 21 de agosto de 1997.-EI Conseje­ro Presidente del Consejo General, José Woldenberg Korakowsky.-Rúbrica.-EISecretario del Consejo General, Felipe Salís Acerc.-Rúbrica.

Anexos

b) RESULTADOS DE LAS ELECCIONES PARA SENADORES 1997'

293

Una vez que los Consejos Locales del Instituto Federal Electoral, en términosde sus atribuciones legales, han finalizado la labor correspondiente al cómputode entidad federativa mediante la suma de los resultados anotados en las actasde cómputo distrita!, respecto de la elección de senadores por el principio de re~

presentación proporcional. se tienen los siguientes resultados [... ]En consecuencia y con fundamento en lo dispuesto por los artículos 82, pá­

rrafo 1, inciso q) y 262, del Código Federal de Instituciones y ProcedimientosElectorales y una vez resueltos por el Tribunal Electoral del Poder Judicial de laFederación los juicios de inconformidad interpuestos en contra de la elección desenadores por el principio de representación proporcional, este Consejo Generalefectuó el cómputo total de la elección de senadores electos según este principio,dando los siguientes resultados:

-Circunsripción plurinominal nacional

•. . - --

PAN 7,881,121

PRI 11,266,155

PRD 7,564,656

PC 337,328

PT 745,881

PVEM 1,180,004

PPS 96,500

PDM 193,509

Votos nulos 872,421

Candidatos no registrados 16,137

Votación emitida 30,153,712

Efectuado lo anterior, procede que este Consejo General del Instituto FederalElectoral, con base en lo dispuesto por los artículos 56 y 60 de la ConstituciónPolítica de los Estados Unidos Mexicanos y 11, párrafos 2, 3 Y4; 18 Y82, párrafo1, inciso q); 262 Y 263 del Código Federal de Instituciones y ProcedimientosElectorales, emita la siguiente:

8 .Los datos que a continuación se presentan fueron tomados del Acuerdo del ConsejoGeneral del instituto Federal Electoral por el que se efectúa el c6mputo total, se declara la va­lidez de la elección de senadores por el principio de representación proporcional y se asignana los partidos políticos los senadores que por este principio les corresponden, publicado en elDiario Oficial de la Federaci6n el 29 de agosto de 1997. Los número que aparecon en algunospárrafos corresponden a la numeración original en el acuerdo.

294 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

DECLARATORIA DE VALIDEZ DE LA ELECCIÓN DE SENADORESPOR EL PRINCIPIO DE REPRESENTACIÓN PROPORCIONAL

9 de julio de 1997

El Consejo General del Instituto Federal Electoral, se instaló en sesión per­manente y en cumplimiento a los artículos 246 y 247, del Código Federal deInstituciones y Procedimientos Electorales los 300 Consejos Distritales Electora­les Federales, convocaron a lodos y cada uno de sus integrantes para el miércoles9 de julio del año en curso, a la sesión en que tendría verificativo el cómputodistrilal respectivo, emitiendo la declaración de validez de la elección de diputa­dos por el principio de mayoría relativa y otorgando la constancia de mayoría yvalidez a quienes obtuvieron el triunfo.

En la misma fecha, en el Distrito Federal, los 40 Consejos Distritales Locales,en términos de lo dispuesto en los artículos 361, 362 Y 363, del Código Federal deInstituciones y Procedimientos Electorales, en relación con el diverso DécimoQuinto, transitorio, Base C, párrafo tercero, del artículo PRIMERO del Decreto pu­blicado en el Diario Oficial de]a Federación el 22 de noviembre de 1996, sesiona­ron a fin de llevar a cabo el cómputo distrita!, emitir la declaratoria de validez dela elección de Diputados a la Asamblea Legislativa del Distrito Federal y otorgar laconstancia de mayoría a las fónnulas que resultaron ganadoras en dicha elección.

13 de julio de 1997

El Consejo General reanudó la sesión permanente, a fin de verificar el cum­plimiento a lo dispuesto por los artículos 105, párrafo 1, inciso i); 255, párrafo 1;256, 257, 260 Y 361, del Código Federal de Instituciones y Procedimientos Elec­torales, por parte de los 32 Consejos Locales, en relación a los cómputos de enti­dad federativa, para la elección de senadores por el principio de representaciónproporcional, as'Í como los realizados por los Consejos Locales cabecera de cir­cunscripción, respecto de la elección de diputados por el principio de represen­tación proporcional.

En contra de la elección de senadores por el principio de representación pro­porcional, se interpusiero:p 31 juiciOS de inconformidad, los que una vez tramita­dos por los respectivos Consejos Distritales de este Instituto y substanciados porel Tribunal Electoral del Poder Judicial de la Federación, treinta de el10s se dese­charon y uno fue sobreseído.

De otra parte, el Consejo Local del Instituto Federal Electoral en el DistritoFederal, en términos de lo dispuesto en los artículos 41, fracción III y 122, párra­fos segundo y cuarto de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexica­nos y Décimo Quinto Transitorio Base D, párrafo cuarto, del artículo primero delDecreto por el que se reformaron, adicionaron y derogaron diversas disposicio­nes del Código Federal de Instituciones y Procedimientos Electorales, entre otrosordenamientos legales, publicado en el Diario Oficial de lo Federación el 22 denoviembre de 1996, otorgó al candidato triunfador de la elección de Jefe de Go­bierno del Distrito Federal la constancia correspondiente.

Conforme a los resultados obtenidos en los Consejos Locales y a las senten­cias emitidas por el Tribunal Electoral del Poder Judicial de la Federación, res­pecto de la elección de senadores, el cómpu.to nacional de la elección de senado­res por el principio de representación proporcional, es el siguiente:

Anexos 295

'","" " "

" ,, Computo nacional de la elección,

""

Partido político Votación

PAN 7,881,121

PRI 11,266,155

PRD 7,564,656

PC 337,328

PT 745,881

PVEM 1,180,004

PPS 96,500

PDM 193,509

Votos nulos 872,421

Candidatos no registrados 16,137

Votación emitida 30,153,712

En esa virtud. y

CONSIDERANDO

1. Que se ha dado pleno cumplimiento a lo establecido por la ConstituciónPolítica de los Estados Unidos Mexicanos y el Código Federal de Instituciones yProcedimientos Electorales. en lo relativo a la elección federal de 1997 de sena­dores por el principio de representación proporcional.

2. Que una vez cumplidos en tiempo y forma los requisitos constitucionalesy de la ley electoral para la elección de senadores por el principio de representa­ción proporcional, corresponde a la autoridad electoral una vez realizado elcómputo nacional de esta elección, declarar la validez de la misma y expedir lasrespectivas constancias de asignación de senadores electos por este principio, alos partidos políticos.

3. Que este Consejo General del Instituto Federal Electoral en términos de lodispuesto por los artículos 41: 56 y 60 de la Constitución Política de los EstadosUnidos Mexicanos y 11, párrafos 2, 3 Y 4; 18 Y 82, párrafo 1, inciso q); 262, pá­rrafos 1 y 2 Y 263, del Código Federal de Instituciones y Procedimientos Electora­les, es competente para realizar la asignación de senadores electos por el princi­pio de representación proporcional y expedir a cada partido político lasrespectivas constancias de asignación de senadores electos por este principio.

4. Que los 32 Consejos Locales así como los 300 Consejos Distritales delInstituto Federal Electoral ubicados en el territorio nacional, en tiempo y formallevaron a cabo todas y cada una de las actividades previstas en el Código Fede­ral de Instituciones y Procedimientos Electorales en relación con la elección desenadores de representación proporcional.

5. Que de conformidad con lo dispuesto por el párrafo segundo del artículo56, de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, los senadores

296 Motem6ticas aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado

por el principio de representación proporcional, son elegidos mediante el siste­ma de listas votadas en una sola circunscripción plurinominal nacional. Estable­ciéndose en la ley las reglas y fórmulas para dichos efectos.

6. Que en términos de lo dispuesto por el artículo 18. del Código Federal deInstituciones y Procedimientos Electorales, en relación con el párrafo segundo delartículo 56, de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, se utili­zará la fórmula de proporcionalidad pura para la asignación de senadores por elprinCipio de representación proporcional, atendiendo a las reglas siguientes: seentiende por votación total emitida, para los efectos de la elección de senadorespor el principio de representación proporcional, la suma de todos Jos votos depo­sitados en las urnas para la lista de circunscripción plurinominal nacional; y quela asignación de senadores por el principio de representación proporcional sehará considerando como votación nacional emitida la que resulte de deducir dela total emitida, los votos a favor de los partidos políticos que no hayan obtenidoel 2% de la votación emitida para la lista correspondiente y los votos nulos.

7. Que la fórmula de proporcionalidad pura consta de cociente natural y res­to mayor.

8, Que con base a lo señalado en el considerando 7 se tiene que la votacióntotal emitida para la elección de senadores por el principio de representaciónproporcional, es la siguiente:

Votación total emitida para la elección de senadorespor el principio de representación proporcional

Partido político Votación Porcentaje

PAN 7,881,121 26.14%

PRI 11,266,155 37.36%

PRD 7,564,656 25.09%

pe 337,328 1.12%

PT 745,881 2.47%

PVEM 1,180,004 3.91%

PPS 96,500 0.32%

PDM 193,509 0.64%

Votos nulos 872,421 2.89%

Candidatos no registrados 16,137 0.05%

Totales 30,153,712 100.00%

9, Que conforme a ]a votación que ha quedado consignada en el cuadro ante­rior, de los ocho partidos políticos que contendieron en ]a elección de senadorespor el principio de representación proporcional, los partidos políticos: Cardenis­ta; Popular Socialista y Demócrata Mexicano, no obtuvieron el 2% de la votaciónemitida para la lista de circunscripción plurinominal nacional.

Anexos 297

10. Que la votación nacional emitida (VNE) es la que resulta de deducir dela votación total emitida (VTE), los votos a favor de los partidos políticos que noobtuvieron el 2% de la votación emitida para la lista correspondiente (VPPN), losvotos de los candidatos no registrados (VCNR) y los votos nulos (VN). En conse­euencia tenemos que la fórmula a utilizar es:

VNE = VTE - (VPPN + VCNR + VN)

Sustituyendo los datos considerados en el cuadro anterior tenemos:

VNE = 30'153,712 - (627,337 + 16,137 + 872,421)VNE = 30'153,712 - 1,515,895VNE = 28'637,817

Toda vez que la fórmula de proporcionalidad pura establecida en el artículo18, párrafo 2, del Código Federal de Instituciones y Procedimientos Electorales,consta de cociente natural y resto mayor, entendiéndose como cociente natural:el resultado de dividir la votación nacional emitida. entre el número de senado­res electos por el principio de representación proporcional. en razón de lo cual.tenemos que la fórmula para obtener el cociente natural (CN) es:

CN = VNE 132CN = 28'637,817 I 32CN 894,931.781CN = 894,932

Por resto mayor se entiende, el remanente más alto entre los restos de las vo­taciones de cada partido político, después de haber participado en la distribu­ción de senadores mediante el cociente natural.

Para llevar a cabo la asignación de senadores por el principio de representa­ción proporcional, se debe dividir el cociente natural entre el total de la votaciónnacional emitida para cada partido político (VPP) y si aún quedasen senadorespor distribuir, utilizar el método de resto mayor. Aplicada la fórmula resulta quela asignación de senadores por este principio, es la siguiente:

-- _.

Asignacion de senadores por el principio de representacion proporcional

PartidoVotación

CocienteAsignación por

Resto Asignaciónnacional Cociente Natural por Resto Tolalpolíticoemitida

natural(VPP entre eN)

mayormayor

PAN 7,881.121 894,932 8 721,665 1 9

PRI 11,266,155 894,932 12 526,971 1 13

PRD 7,504,656 894,932 8 405,200 O 8

Pl' 745,881 894,932 O 745,881 1 1

PVEM 1.180,004 894,932 1 285,072 O 1

Total 28,637,817 29 3 32

298 Matemóticas aplicadas al Derecho. David Cienfuegos Salgado

11. Que habiendo efectuado la revisión de los documentos aportados por lospartidos Acción Nacional; Revolucionario Institucional; de la Revolución Demo­crática; del Trabajo y Verde Ecologista de México, se desprende que los candida­tos reúnen los requisitos de elegibilidad previstos en el artículo 58 en relacióncon el 55, de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y 7, delCódigo Federal de Instituciones y Procedimientos Electorales.

12. Que efectuados los trabajos encomendados por el Código Federal deInstituciones y Procedimientos Electorales, relativos a la preparación de la elec­ción, a la jornada electoral y al cómputo de la elección de senadores por el prin­cipio de representación proporcional y toda vez que han quedado satisfechos losextremos de ley, este Consejo General, considera válida la elección de senadorespor el principio de representación proporcional en la única circunscripción plu­rinominal nacional. En consecuencia y de conformidad con lo establecido por losartículos 41; 55, párrafo segundo y 60 de la Constitución Política de los EstadosUnidos Mexicanos; 7; 11, párrafos 2, 3 Y 4; 18; Y 262, párrafos 1 y 2 Y 263, delCódigo electoral y en ejercicio de las atribuciones que le confiere el diverso 82,párrafo 1, incisos q), r} y z), del ordenamiento legal invocado, este Consejo Gene­ral, emite el siguiente:

ACUERDO

Primero.-Se declara la validez la elección de senadores por el principio derepresentación proporcional.

Segundo.-En consecuencia y en virtud de haber dado pleno cumplimientoa lo dispuesto por la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y elCódigo Federal de Instituciones y Procedimientos Electorales, en lo relativo a laelección de senadores por Al principio de representación proporcional, procedeasignar a los partidos políticos: Acción Nacional; Revolucionario Institucional;de la Revolución Democrática; del Trabajo y Verde Ecologista de México, los se­nadores a los que se hicieron acreedores, conforme se especifica en el siguientecuadro:

Senadores por el principio de representación proporcionalasignados a los partidos políticos

Partido político Total de senadores asignados

PAN 9

PRl 13

PRD 8

PT 1

PVEM 1

Total 32

Anexos 299

Tercero.-De conformidad con el punto de Acuerdo anterior, con fundamen­to ea los articulas 41; 56; 58 Y 60 de la Constitución Politica de los Estados Uni­dos Mexicanos; 7; 11, párrafo 2, 3 Y 4; 18; 82, párrafo 1, incisos q) y rj; 262, pá­rrafos 1 y 2 Y 263 del Código Federal de Instituciones y ProcedimientosElectorales, expídase a los partidos políticos que se hicieron acreedores a ello, laconstancia de asignación correspondiente. en los siguientes términos:

Cuarto.-Infórmese a la Oficialía Mayor de la Cámara de Senadores. respee·to de las asignaciones realizadas de las senadoras por el principio de representa·ción proporcional. aprobadas en este Acuerdo.

Quinto.-El presente Acuerdo deberá ser publicado en el Diario Oficial de laFederación.

El presente Acuerdo fue aprobado por el Consejo General del Instituto Fede­ral Electoral. en sesión ordinaria celebrada el21 de agosto de 1997.-EI Conseje·ro Presidente del Consejo General. José Woldenberg Karakowsky.-Rúbrica.-EISecretario del Consejo General, Felipe Solfs Acero.-Rúbrica.

,Indice

INTRODUCCiÓN

1. Matemática y Derecho. .11. La Matemática . . . . .

III. Historia de la MatemáticaIV. Lógica MatemáticaV. Razonamiento Inductivo.

VI. Razonamiento Deductivo.VII. Razonamiento Analógico.

VIII. Proposiciones Lógicas . .IX. Proposiciones Abiertas. .X. Expresiones indeterminadas

Aprendizaje y autoevaluación.

Pág.

144

67

81011121313

Anexo 1. Programa oficial de la asignatura Matemáticas aplicadasal Derecho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

UNIDAD 1

ARITMÉTICA

1.1. Sistemas matemáticos. Número y numerales. La interpretaciónpráctica y conceptual del Sistema Indoarábigo (Posicional, Expo-nencial y Decimal) 23Sistemas matemáticos , . . . 23Números y numerales . . . . 25Aprendizaje y autoevaluación. 32

1.2. Sistemas de unidades y su importancia. 33Sistema métrico. . . . . . . . . . 34El sistema métrico decimal en México 43Unidades agrarias. . . . . . 44Aprendizaje y autoevaluadón. 45

1.3. Conjuntos . . . . . . . . . 46Operaciones sobre Conjuntos. 49Aprendizaje y autoevaluación. 51

1.4. Proporcionalidad. . . . . . 51Proporcionalidades directas, inversas y compuestas 53Aprendizaje y autoevaluación. . . . . . . . . . 53

301

302 índice

1.5. Porcentaje 55Aprendizaje y autoevaluaci6n. 56

1.6. Interés simple 57Tablas de Tiempo. 62Aprendizaje y autoevaluación. 63

1.7. Interés compuesto. 64Aprendizaje y autoevaluación. 65

Anexo 1. Decreto por el que se adopta el Sistema Métrico Decimalen México. 67

Anexo 2. Selección de normas de la Ley Federal sobre Metrologíay Normalización 68

Anexo 3. Sistema Binario. 83Aprendizaje y autoevaluación. 86

Anexo 4. Glosario de términos matemáticos. 86

UNIDAD 2

LA INFORMACiÓN FINANCIERA

2.1. Aspectos generales de la contabilidad 89Evolución histórica 89Definiciones 92Importancia de la contabilidad 94

~"- ~~

Aspectos generales 95-.Clasificación del activo 97Clasificación del pasivo 98Principales cuentas del activo. 100Principales cuentas del pasivo 101

2.2. Estados financieros 102El contador. 106

2.3. Consecuencia jurídica de la Contabilidad. 107Derecho contable 107Obligación de llevar Contabilidad. 107La Contabilidad como medio de prueba 110

2.4. La Matemática y la Contabilidad 111Aprendizaje y autoevaluación . 112

UNIDAD 3

MÉTODOS Y FACTORES DE ACTUALIZACIÓN

3.1. Métodos para los cálculos inflacionarios 117Moneda y dinero 117Moneda mexicana. 122La inflación 122La actualización. 124

indice

3.2. Procedimientos para la actualización.3.3. Cálculos en las relaciones laborales3.4. Cálculos para operaciones jurídicas .

Aprendizaje y autoevaluación. . . .

Anexo. Ley Monetaria de los Estados Unidos Mexicanos

UNIDAD 4

ÁREAS DE LA CURRÍCULA QUE TIENEN EN SUS CONTENIDOSNORMATIVIDAD CON REPERCUSIONES CUANTITATIVAS

303

142144146148

151

Abreviaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 1594.1. Área de Derecho Fiscal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160

Determinación de adeudos y contribuciones a cargo del contribu-yente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Personas morales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Personas morales dedicadas a actividades agrícolas, ganaderas. 164Personas físicas. . . . . . . . . . . . . . . 167Impuesto sobre la renta por obtención de premios 172Pago de derechos . . . . . . 173Aprendizaje y autoevaluación. . . . . . . . . 177

4.2. Área de Derecho Penal. . . . . . . . . . . . 179Aplicación y ejecución de las penas y medidas d~ seguridad 180Determinación de fianzas y multas. . . . . . . . . . . . 182Aplicación de los beneficios de la libertad: condicional. bajo pa-labra y bajo caución. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 184Beneficios de la libertad anticipada. Tratamiento preliberacional. 186Libertad preparatoria . . . . 188Remisión parcial de la pena. , 190Aprendizaje yautoevaluación. 192

4.3. Área de Derecho Procesal Civil 194Gastos y costas conforme al arancel 194Juicio de contadores 443-VlIl del Código de Procedimientos Civi-les para el Distrito Federal 198Juicio sucesorio. . . . . 201Daños y perjuicios. . . , 204Administración de bienes 206Aprendizaje y autoevaluación, 209

4.4. Área de Derecho de la Seguridad Social 210Cálculo para la fijación de cuotas de financiamiento para cada se-

guro, determinación de los riesgos de trabajo. . , . . . . ., 212Cálculo para pago de pensiones o indemnización en riesgos de tra-

bajo profesional o no profesional . . . . , . . . , 217Cálculo para el otorgamiento de préstamos a corto plazo 224Aprendizaje y autoevaluación, . . , . . . , . . . , 226

304 índice

4.5. Área de Derecho del Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . .. 228Indemnizaciones por despido injusto. rescisión imputable al patrón 229Cálculos para el pago de: tiempo extraordinario. . . . . . _ .. 232Cálculos para el pago de: jubilaciones, indemnizaciones . . . .. 233Integración del salario: cálculo de prestaciones complementarias:

salario yespecie . . . . . . . . . 236Prestaciones Laborales. . . . , . . . . . . . . . . 237Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR). . . . . . . . 238Cálculo en la producción y su incidencia en la participación de

los trabajadores en las utilidades de la empresa. 239Aprendizaje y autoevaluación. 241

4.6. Área de Derecho Mercantil 243Títulos de crédito. . . 244Contratos mercantiles . . 249Sociedades mercantiles . 250Inventarios y balance. Balance general (activo-patrimonio) 253Análisis de estados financieros . . . . . . . . . . 254Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Juicios mercantiles (ejecutivos y ordinarios), quiebra. 255Aprendizaje y autoevaluación. . . . . . . . . . . 256

4.7. Área de Derecho Aduanero.. 258Cálculo y determinación de los impuestos de comercio exterior 259Impuesto al Valor Agregado. . . . . . 263Impuesto sobre producción y servicios. 266Impuestos sobre automóviles nuevos. 268Derechos. . . . . . . . . . 269Aprendizaje y autoevaluación. . . . 270

Anexo 1. Ley Federal del Impuesto sobre Automóviles Nuevos 271

Anexo 2. Salarios mínimos generales diarios vigentes en Méxicodesde 1985 y áreas geográficas en que se divide el país paratales efeclos . . . . . . . . . . . 276

Anexo 3. Derecho Electoral y Matemáticas . . . . . . . . . .. 279

Esta obra se terminó de componer, imprimir y encuadernarel 20 de ene;o de 20to en los talleres de

Castellanos Impresión, SA de ev,Ganaderos 149, col. Granjas Esmeralda,

09810, Iztapalapa, México, DF

La tipografía de este libro se realizó con fuenteZapfEllipt BT en cuerpo de 10/12 pts., caja de 28 x 45 picas