PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 1PRESENTACIN LaPSUdeMATEMTICAesunadelaspruebasobligatoriasaplicadasenelprocesode seleccinalasUniversidades.Estapruebapermitedeterminarelnivelde habilidad en el razonamiento matemticoylosconocimientosqueposeecadapostulantealaEducacinSuperiorysistosson adecuados para que prosiga estudios universitarios. En particular, la PSU de MATEMTICA mide la capacidad del postulante a la Universidad para reconocer los conceptos, principios, reglas y propiedades de la matemtica. identificar y aplicar mtodos matemticos en la resolucin de problemas. analizar y evaluar informacin matemticaproveniente de otras ciencias y de la vida diaria. analizar y evaluar las soluciones de un problema para fundamentar su pertinencia. Para medir estos procesos, el equipo tcnico del DEMRE (Departamento de Evaluacin, Medicin y Registro Educacional de la Universidad de Chile) elabora una prueba de razonamiento que consta de 70 preguntasyqueincluyeloscontenidosdelamatemticaquepertenecenalProgramadeFormacin GeneraldeprimeroacuartoaodeEnseanzaMedia,talcomolomuestralasiguientetablade especificaciones, correspondiente a la prueba aplicada en el proceso 2004. TABLA DEESPECIFICACIONES PRUEBA DE MATEMTICA HABILIDADES INTELECTUALES EJES TEMTICOS Conocimiento de terminologa y procedimientos de la Matemtica Comprensin de conceptos, representaciones, reglas y generalizaciones Aplicacin de conceptos, representaciones, reglas y generalizaciones Anlisis, sntesis y evaluacin de conceptos, representaciones, demistraciones y generalizaciones TOTAL PREGUNTAS 1.Nmerosy proporcionalidad 11 2. lgebra y funciones29 3. Geometra21 4. Estadstica y probabilidad9 TOTAL PREGUNTAS1226201270 PROGRAMA DEL CURSO DE PREPARACIN PARA LA PRUEBA DE MATEMTICA El curso de preparacin para la prueba de Matemtica est dirigido a estudiantes y egresados de Enseanza Media. Se fundamenta en el desarrollo de las capacidades para responder adecuadamente las preguntasdedichapruebaeincluyeelrepasoylaejercitacindetodosloscontenidosincluidosenel temario, enmarcado en los programas de los cuatro aos de la Educacin Media. Las preguntas de la Prueba de Matemtica apuntan a la medicin de habilidades y conocimientos enestaramadelsaber,porlotanto,noessuficienteunapreparacinbasadaenlamemorizacinde frmulasyenlaresolucindeproblemasnumricos.Esporestoqueestecursoponesunfasisenel desarrollo de las habilidades por sobre el mero reconocimiento de contenidos. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 2OBJETIVOS Objetivo general:Elalumnodesarrollarsucapacidadparacomprender,razonar,relacionar, interpretar,analizar,evaluarysintetizar,todascapacidadesaplicadasenelmbitodeloscontenidos definidos para la prueba de matemtica. Objetivos especficos:Al trmino del curso, el estudiante podr: -operar cantidades aritmticas y algebraicas -reconocer y aplicar propiedades y relaciones -interpretar smbolos y enunciados matemticos -analizar datos, descubrir relaciones y resolver problemas -inferir o deducir conclusiones a partir de cierta informacin dada -aplicar los conocimientos a situaciones novedosas. -evaluar la sufiencia de datos para resolver un problema CONTENIDOS 1.Nmeros: Nmeros naturales, nmeros enteros y nmeros racionales. 2.Potencias de base positiva y exponente natural. 3.Proporcionalidad y porcentaje. 4.lgebra en los reales y ecuaciones de 1er grado. 5.Geometra plana: ngulos, reas y permetros. 6.Funciones: variables, grfico. 7.Funcin lineal: ecuacin de la recta, sistemas de ecuaciones. 8.Potencias, races y logaritmos. 9.Ecuacin y funcin de 2 grado. 10.Crecimiento aritmtico, crecimiento geomtrico e inters compuesto. 11.Geometra: congruencia de figuras planas, transformaciones. 12.Geometra:semejanzadefigurasplanas,teoremadeThales,proporcionalidad,seccin urea, ngulos en la circunferencia. 13.Geometra: teorema de Euclides, razones trigonomtricas. 14.Geometra:reayvolumendecuerposgeomtricosycuerposgeneradosporrotaciny traslacin. 15.Estadstica. 16.Probabilidad. METODOLOGA La metodologa consiste en desarrollar actividades individualmente previas a la clase con el fin de que el estudiante repase contenidos y desarrolle su capacidad de investigacin. Para tal efecto, el alumno contarconelpresentelibromsguasdeejercitacinquehansidoconfeccionadosdeacuerdoalos contenidos mnimos que deben dominar los postulantes. La clase consistir en una revisin de las actividades que estn contempladas en cada captulo y, en la medida que se realice esta revisin, el profesor entregar informacin complementaria para facilitar elaprendizajedelosalumnos.Serrequisito,entonces,queelalumnolea,estudieydesarrollelas actividades propuestas en los mdulos ANTES de tener su clase. La metodologa antes mencionada se fundamenta en uno de los pilares que tiene la actual reformaeducacionalenelmbitodelasprcticaspedaggicas,queesfomentarelaprendizajeatravsdel descubrimientoquevayarealizandoeljoven,yparalograrlosedebeestimularlainvestigacin. Finalmente, el xito en el logro del objetivo general depender directamente del inters, la motivacin, la dedicacin y la perseverancia con que cada educando enfrente su proceso de preparacin. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 3INTRODUCCIN BREVE HISTORIA DE LA NUMERACIN El Concepto de Base Cuandoloshombresempezarona contar usaron los dedos, piedras, marcas en bastones, nudos enunacuerdayalgunasotrasformasparairpasandodeunnmeroalsiguiente.Amedidaquela cantidad crece, se hace necesario un sistema de representacin ms prctico. Endiferentespartesdelmundoyendistintaspocassellegalamismasolucin.Cuandose alcanzaundeterminadonmerosehaceunamarcadistintaquelosrepresentaatodosellos.Este nmeroeslabase.Sesigueaadiendounidadeshastaquesevuelveaalcanzarporsegundavezel nmero anterior y se aade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un nmero determinado (quepuedeserdiferentedelanteriorconstituyendolabaseauxiliar)deestasunidadesdesegundo orden, las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10, segn todas las apariencias, por sereseelnmerodededosconlosquecontamos.Hayalgunaexcepcinnotablecomoson:la numeracin babilnica, que usaba 10 y 60 como bases, y la numeracin maya, que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5.000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc., es decir de la misma forma que seguimos hacindolo hoy. Sin embargo, la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance cientficopornodisponerdeunsistemaeficazquepermitieseelclculo.Casitodoslossistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmerosconotros,peromuchosdeellosnosoncapacesderepresentargrandescantidadesyotros requieren tal cantidad de smbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuaroperacionestansencillascomolamultiplicacin,requiriendoprocedimientosmuy complicadosquesloestabanalalcancedeunospocosiniciados.Dehecho,cuandoseempeza utilizarenEuropaelsistemadenumeracinactual,losabaquistas,losprofesionalesdelclculo,se opusieron con las ms peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo diablico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Leonardo de Pisa(Fibonacci)quefueunodelosintroductoresdelnuevosistemaenlaEuropade1.200.Elgran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que permite un sistema en el que slo diezsmbolospuedanrepresentarcualquiernmeroporgrandequeseaysimplificarlaformade efectuar las operaciones. Sistemas de Numeracin Aditivos Para ver cmo es la forma de representacin aditiva consideremos el sistema jeroglfico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un smbolo en forma de arco y por cada centena,unidaddemil,decenademil,centenademilymillnunjeroglficoespecfico.As,para escribir754usaban7jeroglficosdecentenas5dedecenasy4trazos.Dealgunaformatodaslas unidades estn fsicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los smbolos de todas las unidades como sean necesarios hasta completar el nmero. Una de sus caractersticas es que se pueden poner los smbolos encualquierorden,aunqueengeneralsehapreferidounadeterminadadisposicin.Hansidodeestetipolasnumeracionesegipcia,sumeria(debase60),hitita,cretense,azteca(debase 20), romana y las alfabticas de los griegos, armenios, judos y rabes. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 4El Sistema de Numeracin Egipcio Desde el tercer milenio a.C., los egipcios usaron un sistema de escribir los nmeros en base diez utilizando los jeroglficos para representar los distintos ordenes de unidades. Se usaban tantos de cada unocomofueranecesarioysepodanescribirindistintamentedeizquierdaaderecha,alrevsode arriba abajo, cambiando la orientacin de las figuras segn el caso. Al ser indiferente el orden, se escriban a veces segn criterios estticos y solan ir acompaados de los jeroglficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.), cuyo nmero indicaban.Estossignosfueron utilizados hasta la incorporacin de Egipto al imperio romano, pero su usoquedreservadoalasinscripcionesmonumentales;enelusodiario fue sustituido por la escritura hiertica y demtica, formas ms simples que permitan mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estossistemasdeescrituralosgruposdesignosadquirieronunaformapropiayasseintrodujeron smbolosparticularespara20,30....90....200,300.....900,2.000,3.000......conloquedisminuyeel nmero de signos necesarios para escribir una cifra. El Sistema de Numeracin Griego El primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 a.C. Era un sistema de base decimal que usaba smbolos para representar esas cantidades y se utilizaban tantas de ellas como fuera necesariosegnelprincipiodelasnumeracionesaditivas.Pararepresentarlaunidadylosnmeros hastael4seusabantrazosverticales.Parael5,10y100lasletrascorrespondientesalainicialdela palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofnico. Los smbolosde50,500y5.000seobtienenaadiendoelsignode10,100y1.000alde5,usandoun principiomultiplicativo.Progresivamenteestesistematicofuereemplazadoporeljnico,que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos. De esta forma, los nmeros parecen palabras, ya que estn compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numrico; basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componan. Esta circunstancia hizo aparecer unanuevasuertededisciplinamgicaqueestudiabalarelacinentrelosnmerosylaspalabras.En algunassociedadescomolajudaylarabe,queutilizabanunsistemasimilar,elestudiodeesta relacin ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticos y adivinatorios. Sistemas de numeracin hbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos utilizan la combinacin del 5yel100,perosiguenacumulandoestascombinacionesdesignosparalosnmerosmscomplejos. Porlotanto,siguesiendoinnecesariounsmboloparael0.Pararepresentarel703seusala combinacindel7yel100seguidadel3.Elordenenlaescrituradelascifrasesahorafundamental paraevitarconfusiones, se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100, etc., se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dndolos por supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est vaco y no se confundan el 307 con370,3.070...Ademsdelchinoclsicohansidosistemasdeestetipoelasirio,arameo,etopey algunos del subcontinente indio como el tamil, el malayalam y el cingals. Sistemas de numeracin posicionales Muchomsefectivosquelossistemasanterioressonlossistemasposicionales.Enellosla posicindeunacifranosdicesisondecenas,centenaso,engeneral,lapotenciadelabase correspondiente. Slotresculturas,adems de la india, lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, ChinosyMayasendistintaspocasllegaronalmismoprincipio.Laausenciadelceroimpidialos Chinosundesarrollocompletohastalaintroduccindelmismo.Lossistemasbabilnicoymayano eranprcticosparaoperarporquenodisponandesmbolosparticularesparalosdgitos,usandopara representarlos una acumulacin del signo de la unidad y la decena. El hecho de que sus bases fuesen 60 y20respectivamente,nohubieserepresentadoenprincipioningnobstculo.Losmayasporsu parte PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 5cometanunairregularidadapartirdelasunidadesdetercerorden,yaquedetrsdelasveintenasno usaban20 20=400sino2018 = 360 para adecuar los nmeros al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios, antes del siglo VII, los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin ms que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dgitos y el cero. Aunqueconfrecuencianosreferimosanuestrosistemadenumeracincmorabe,laspruebas arqueolgicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales enlaIndia.Losrabestransmitieronestaformaderepresentarlosnmerosysobretodoelclculo asociadoaellas,aunquetardaronsiglosenserusadasyaceptadas.Unavezmsseprodujounagran resistencia por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar clculos, difcilmente la ciencia hubiese podido avanzar. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 6PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 7CAPTULO I 1.LOS NMEROS LOS NMEROS NATURALES, LOS NMEROS ENTEROS Y LOS NMEROS RACIONALES. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. Losnmerossonentesabstractosqueindicancantidad.Segnsunaturaleza,estosobjetosse agrupan en conjuntos diversos, cada vez ms amplios, que con algunas operaciones definidas sobre ellos, cumplen ciertas propiedades.En este captulo revisaremos los conjuntos de nmeros ms importantes y la aritmtica definida sobre ellos. 1.1.Los Nmeros Naturales ( ). Los Nmeros Naturales son el primer conjunto que aparece en la naturaleza dado que corresponde a las primeras abstracciones que realiza el hombre al surgir los conceptos de "unidad" y de "cuenta", tanto en su historia como en la actualidad durante la infancia. Los Nmeros Naturales son un conjunto ordenado de infinitos elementos de los cuales el primero es launidado1.Cualquierotroelementopuedeserformadoapartirdelaadicinsucesivade unidades.As, 2 = 1 + 1,3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1,etc. En notacin de conjunto, los Nmeros Naturales se definen como: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .....} donde # = Todo nmero natural tiene un sucesor, es decir, otro nmero que le sigue.Por ejemplo, el sucesor de 1 es 2, el de 10 es 11, el de 113 es 114, y en general, el sucesor de n es (n + 1). Todo nmero natural tiene un antecesor, es decir, otro nmero que le precede, menos el 1. Por ejemplo, el antecesor de 2 es 1, el de 10 es 9, el de 113 es 112, y en general, el antecesor de n es (n 1). Sobre el conjunto se definen las operaciones adicin (+) y multiplicacin(), operaciones que t debesmanejaralaperfeccin.Sinembargo,lasoperacionessustraccin( )ydivisin(:)nosiempre estn definidas, pues hay casos en que dichas operaciones no dan como resultado un nmero natural. A continuacin definiremos algunos subconjuntos importantes de . 1.1.1. Los Nmeros Pares. LosNmerosParesesunconjuntoordenadodecardinalidadinfinita,cuyoselementospueden dividirse exactamente por 2.Por comprensin, este conjunto se define Los Nmeros Pares = { x / x = 2n, n } y por extensin sera Los Nmeros Pares = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, .... } Todo nmero par tiene un sucesor par.Por ejemplo, el sucesor par de 2 es 4, el de 16 es 18, el de 412 es 414, el de x es (x + 2) y en general, el de 2n es (2n + 2). Todo nmero par tiene un antecesor par, salvo el 2.Por ejemplo, el antecesor par de 4 es 2, el de 16 es 14, el de 412 es 410, el de x es (x 2) y en general, el de 2n es (2n 2). PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 8 1.1.2. Los Nmeros Impares. LosNmerosImparesesunconjuntoordenadodecardinalidadinfinita,cuyoselementosnoson pares, es decir, no se pueden dividir exactamente por 2.Por comprensin, este conjunto se define Los Nmeros Impares = { x / x = 2n 1, n } y por extensin sera Los Nmeros Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...... } Todo nmero impar tiene un sucesor impar.Por ejemplo, el sucesor impar de 1 es 3, el de 17 es 19, el de 911 es 913, el de x es (x + 2) yengeneral,elde (2n 1) es (2n + 1). Todo nmero impar tiene un antecesor impar, excepto el 1.Por ejemplo, el antecesor impar de 3 es 1, el de 17 es 15, el de 911 es 909, el de x es x 2, y en general, el de 2n 1 es2n 3. 1.1.3. Los Nmeros Primos. LosNmerosPrimosesunconjuntodeinfinitoselementosformadoporaquellosnaturales divisibles exactamente slo por 1 y por s mismos.As, el 3 es un nmero primo pero el 6 no lo es. A continuacin definimos este conjunto por extensin indicando los primeros 25 nmeros primos. Los Nmeros Primos ={ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97... } 1.1.4. Los Nmeros Compuestos Los Nmeros Compuestos es un conjunto de infinitos elementos formado por todos los naturales quenosonprimos,esdecir,poraquellosquetienenmsdedosfactoresodivisores.Porextensin, podemos escribir Los Nmeros Compuestos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,...} 1.1.5. Los Mltiplos de x (M(x)) Sixesun nmero natural cualquiera, el conjunto de los Mltiplos de x est formado por infinitos elementosqueseobtienenalmultiplicarxporcualquier nmero natural.En smbolos, este conjunto lo definimos como M(x) = { y / y = nx, n } As, por ejemplo, la extensin de los mltiplos de 5 es el conjunto M(5) = { y / y = 5n, n } = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, .... } ACTIVIDADES 1.Determinaporextensin,conalomenos15elementos,losconjuntosM(2),M(3),M(4),M(6)y M(12). 3.Determina el conjunto M(2) M(3). 4.Determina el conjunto M(2) M(3) M(4). 5.Determina el conjunto M(2) M(3) M(4) M(6). 6.Compara todos los resultados obtenidos. Enelnmero3delosejerciciosplanteados,hasdeterminadoloselementoscomunesaM(2)y M(3),esdecir,losmltiploscomunesde2yde3.Lomismohicisteenelnmero4,esdecir, determinaste los mltiplos comunes de 2, 3 y 4, y en 5, para 2, 3, 4 y 6.Ahora, en el caso de los mltiplos comunes, por ejemplo de 2 y 3, uno de ellos es el menor, el 6.A este elemento se le denomina Mnimo PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 9Comn Mltiplo (M.C.M.) entre 2 y 3.Y en el caso de 2, 3, 4 y 6, el 12 es su M.C.M. ACTIVIDADES Determina el M.C.M. para cada grupo de nmeros. i) 2 y 5iv)5 y 7 ii)3, 9 y 12v)4, 9 y 12 iii) 4, 6 y 8vi)3, 7 y 9 1.1.6. Los Divisores de x (D(x)) Si x es un nmero natural cualquiera, el conjunto de los Divisores de x est formado por un nmero finito de elementos cuya propiedad es dividir exactamente a x. En smbolos, este conjunto se puede definir como D(x) = { y / n tal que yn = x } As, por ejemplo, la extensin de los divisores de 18 es el conjunto D(18) = { y / n tal que yn = 18 } = {1, 2, 3, 6, 9, 18} ACTIVIDADES Determina la extensin de los siguientes conjuntos. 1. D(2) 6. D(9)11. D(20) 2. D(3) 7. D(10)12. D(24) 3. D(4) 8. D(11)13. D(8) D(12) 4. D(6) 9. D(12)14. D(12) D(20) 5. D(8)10. D(15)15. D(20) D(24)

Enlosnmeros13,14y15estsdeterminandoloselementoscomunesadosconjuntos,ycomo esoselementossonlosdivisoresdedosnmeros,entonceselconjuntointerseccincontienealos divisores comunes de ambos nmeros. En el ejercicio 13, el mayor divisor comn entre 8 y 12 es el 4. A este elemento se le denomina Mximo Comn Divisor (M.C.D.) entre 8 y 12. En el ejercicio 14, 4 es el M.C.D. entre 12 y 20 y en el ejercicio 15, 4 es el M.C.D. entre 20 y 24. ACTIVIDADES Determina el M.C.D. en los siguientes casos. i)entre 12 y 36 ii)entre 20 y 30 iii)entre 28 y 42 iv)entre 8y 15 v)entre 7y 9 vi)entre 16 y 21 1.1.7. Nmeros Primos entre s. Dos nmeros naturales son primos entre s cuando el mximo comn divisor entre ambos es 1.Por ejemplo, 8 y 15 son primos entre s, pues D(8) = {1, 2, 4, 8}, D(15) = {1, 3, 5, 15}yD(8) D(15) = { 1 }. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 10Sidosnmerossonprimosentres,elmnimocomnmltiploentreamboseselproductode ellos. Por ejemplo, el M.C.M. entre 8 y 15 es 8 15. 1.1.8. Los Nmeros Cardinales El conjunto nos sirve para determinar la cardinalidad de casi cualquier conjunto, sin embargo, no nos sirve para determinar la cardinalidad del conjunto . Para resolver este problema agregamos un nuevo nmero al conjunto formando as un nuevo conjunto: los Nmeros Cardinales. 0= { 0 } U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.......} Entonces, podemos escribir ahora # = 0. Adems, se tiene la relacin 0. 1.1.9. Los Dgitos Losdgitossonelconjuntodesmbolosconlosquepodemosescribircualquiernmero.La extensin de este conjunto es Dgitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y su cardinalidad es 10. En nuestro sistema de numeracin decimal (base 10) cada dgito posee dos tipos de valores: a)Valor absoluto: correspondealacantidaddeunidadesquecadadgitorepresenta.As4 corresponde a cuatro unidades. b)Valor relativo:correspondealacantidaddeunidadesquecadadgitorepresenta,perosegnla posicinqueocupaenunnmerodeterminado.Porejemplo,enelnmero440, amboscuatroscorrespondenalmismoconcepto,peroelprimer4serefierea4 centenas(cuatrocientasunidades)porocuparlaterceracolumnadederechaa izquierda,mientrasqueelsegundo4serefierea4decenas(cuarentaunidades) por ocupar la segunda columna.

De esta forma, todo nmero decimal se puede descomponer en una suma de mltiplos de 10. 1.324 = 1.000+300 + 20+ 4= 11.000 + 3100 + 210 + 4 237 = 200+30 + 7 = 2100 + 310 + 7 46.598= 40.000+6.000 +500 +90 + 8 = 410.000 + 61.000 + 5100 + 910 + 8 1.2.Los Nmeros Enteros ( ) Ya vimos que no todas las sustracciones se podan realizar en el conjunto . Por ejemplo, (5 7) .Pararesolveresteproblema,alconjuntooleagregamoslosnmerosnegativosformandoasel conjunto de los Nmeros Enteros. = { Nmeros Negativos } U o = {...5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Por razones prcticas, se suele separar el conjuntoen tres grupos: enteros negativos ( ), enteros positivos ( +) y el cero ({0}). Adems se cumple la relacin o PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 11Todo nmero entero posee dos caractersticas: un signo y un valor absoluto, excepto el cero, que no posee signo. signo: puede ser positivo (+) o negativo () x valor absoluto o mdulo ( | x | ): corresponde al nmero de unidades, sin considerar el signo. Ejemplos. signo: +signo: signo: + +51017 |+5| =5|10| = 10|17|= 17 signo: signo: no tiene 10 | 1 |=1| 0 | =0 Un nmero positivo puede escribirse de varias formas diferentes: +5;(+5);( 5 );5;+5 Un nmero negativo puede escribirse: 5 ( 5) 5 A continuacin revisaremos las operaciones definidas en . 1.2.1. Adicin en Laadicinenpresentadoscasos,yaseaqueloselementosquese sumen sean de igual signo o sean de signos diferentes. a)Si se suman elementos de igual signo, se calcula la suma de los valores absolutos y se conserva el signo de los sumandos. Ejemplos: 1.3+ 4 = + ( | 3 |+| 4 | ) =7 2.( 5) + ( 3)= ( | 5| + | 3| ) = 8 3. 10+ (+23) =33 4. 18+ ( 9)= 27 b)Sisesumanelementosdedistintosigno,secalculaladiferenciaentrelosvaloresabsolutosyse conserva el signo del elemento de mayor valor absoluto. Ejemplos: 1.(3) + (+7) = + (7 3) =4 2.5+ (9) = (9 5) = 4 3. 7+16= + (16 7) =9 4. 23+(10) = + (23 10) = 13 5.12+4 = (12 4)= 8 Sealemos a continuacin dos propiedades importantes. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 12Elemento neutro aditivo. Existe un nmero entero, el cero, que sumado con cualquier nmero entero no le altera su valor. Es decir, si x , x + 0 = 0 + x = x Elemento inverso aditivo u opuesto. Cada elemento entero posee un elemento opuesto de manera que,alsumarambosnmeros,danporresultadoelcerooneutroaditivo.Esdecir,six ,existeun elemento x tal quex + (x) = (x) + x = 0 Ejemplo: 4 + (4) = (4) + 4 = 0 Decimos entonces que x es el opuesto de x y viceversa. 1.2.2. Sustraccin en . Para realizar la sustraccin en aplicaremos la siguiente regla: toda resta se transforma en una suma entre el minuendo y el opuesto del sustraendo. a b = a + (b);a, b minuendo sustraendo De esta forma, se aplica uno de los dos casos de la suma de enteros y as resolvemos el problema. Ejemplos. 1.5 2= 5+ ( 2) = + (5 2) = 3 2. 7 4= 7 + ( 4) = (7 + 4) = 11 3.9 ( 2) = 9+ 2 = 11 4. 3 ( 8) =3 + 8 = + (8 3) =5 De la definicin de sustraccin se desprenden dos conclusiones importantes. a)Como toda resta se transforma en suma, entonces slo hablaremos de la adicin en , aunque en el papel aparezca un signo + o un signo . b)Regla del signo menos. Cada vez que aparezca un signo delante de una suma entre parntesis, stesecambiaa+,seeliminanlosparntesisysecambianlossignosdetodosloselementos ubicados dentro del parntesis. Ejemplo: ( 3 + 4 2) + (3 4 + 2) 3 4 + 2 Si queremos resolver la siguiente operacin (5 + (4 7) (5 1) 1) podemos elegir dos caminos: i) eliminemos los parntesis aplicando la regla del signo . + (5 (4 7) + (5 1) + 1) 5 + ( 4 + 7) + (5 1) + 1 5+3+4+1 = 13 PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 13ii) resolvamos el problema operando ahora desde adentro hacia afuera. ( 5 + (4 7) (5 1) 1) ( 5 + ( 3) ( 4 ) 1 ) ( 8 4 1) ( 13 )= 13 ACTIVIDADES Resuelve las siguientes adiciones en . 1.(5 + 4 2) (8 9 3) = 2.(2 4 9 (8 5)) = 3.(2 (5 (7 + 4) + 2) + 1) = 4.10 + 4 9 + 1 = 5.( 2 + 3 1 5) + 1 = 6.( ( 2 + 3 (1 5))) = 7. 4 ( 5) + ( 3) 2 = 1.2.3. Multiplicacin en . La Multiplicacin en , al igual que la adicin, tambin presenta dos casos: cuando los factores son de igual signo y cuando son de signos diferentes. a)Si se multiplican elementos de igual signo, el producto es positivo. Ejemplos: 1.3 4= 12 2. ( 5) ( 7) = 35 3. 2 9= 18 b)Si se multiplican elementos de signos diferentes, entonces el producto es negativo. Ejemplos: 1.(3) 4 = 12 2. 7 (2) = 14 3. 97 = 63 4. 8 6 = 48 Recordemos ahora la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin.Si a, b y c son nmeros enteros, se cumple quea (b + c) =a b + a c lo que significa que al resolver esta operacin, puede efectuarse la distribucin y luego la suma, o bien la suma y despus la multiplicacin. Por ejemplo, a)4 ( 5 + 7) = 4 5 + 4 7 = 20 + 28 = 48 b)4 (5 + 7) = 4 12= 48 Esta propiedad permite explicar ms claramente la regla del signo menos que se vio anteriormente. Si se tiene la operacin (3 + 4 2) PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 14sta es equivalente a escribir 1 (3 + 4 2) y por distributividad se obtiene 1 3 + (1) 4 (1) 2 y multiplicando, se llega a 3 + ( 4) ( 2)= 3 4 + 2 lo que equivale a la regla ya aludida: el se cambi a +, se eliminan los parntesis y se cambian los signos delasuma.Recuerdaqueestareglanoseaplicacuandoloquehaydentrodelparntesisesuna multiplicacin.En efecto, cuando la operacin es (5 ( 7)) lo que corresponde es cambiar el signo del producto de la multiplicacin, es decir ( 35 ) = + 35 Recuerdatambinque,silasoperacionesnoestnjerarquizadas mediante parntesis, se resuelven primero las multiplicaciones y despus las adiciones. Por ejemplo a)5 (4 + 3 9) = 5 (4 + 27) = 5 31 = 155 b)5 4+3 9 = 20 + 27 = 47 c) (9 + 5) (4 + 3 (5 2)) = 14 (4 + 3 3) = 14 (4 + 9) = 14 13= 182 d)9 + 5 4 + 3 5 2 = 9 + 20 + 15 2 = 42 ACTIVIDADES 1.5 (4 3 (2 + 3 1) 2 ) =8.(3) 4 2 (8) = 2. (7 4 (5)) =9.12 4 (3 5) (14) 4 = 3.9 2 (4 + 10) (5 4) 1 =10. (3 15) (2) 15 + 6 = 4. 5 (3 4) =11.7 + 3 (10) = 5. ( (3 + 2 (1 3) 2)) =12.9 + 3 14 + 14 4 2 = 6.2 (1) (12) =13.12 (12 2 (4 6) + 2) = 7.5 7 2 8 + 9 (3) =14. (5 7 + 4) (3 2 10) (2) = 15.3 ( 9) ( (9 2)) = 1.3.Los Nmeros Racionales ( ) 1.3.1. Concepto de Fraccin. Segn el diccionario, fraccionar significa partir o dividir, por lo tanto, una fraccin es una particin odivisindeunacosa.Enmatemticas,las"cosas"quesepartenofraccionansoncantidades. Supongamosqueelrectngulodelafigura1.1representaunacantidadcualquieraquehasido "fraccionada" o dividida en dos partes iguales. Cada parte de la divisin es una fraccin del total y como el total se dividi en dos, cada fraccin es una mitad del total, es decir, 21del todo. PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 15 Fig. 1.1 12121= +Si mayor es la particin que se hace de un total, ms pequea es la fraccin resultante (fig. 1.2). Fig. 1.2 Si de una cantidad dividida en cuatro partes queremos tomar 3 fracciones, eso lo indicamos como 3 veces 41, es decir 43 (fig. 1.3). Fig. 1.3 3 veces 41 = 41 3= 43 Por lo tanto, una fraccin "ba" podemos definirla como la cantidad que resulta de dividir un entero cualquieraen"b"partesiguales(denominador)ydeellastomar"a"partes(numerador).As, 32esla cantidad que resulta de dividir un entero en 3 partes iguales y de ellas tomar 2 (fig. 1.4). Fig. 1.4.4 Ejemplo 1. Cunto dinero es los 53 de $ 1.500? Para encontrar la solucin aplicamos el concepto de fraccin. $ 1.500 lo dividimos en 5 partes con lo que cada parte es de $ 300. Ahora tomamos 3 partes de $ 300 cada una y obtenemos un resultado de $ 900 (fig. 1.5).

21 21 31 41 81 101 41 41 41 32 numerador denominador PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 16 Fig. 1.5 53 de $ 1.500 = 3 51.500 = $ 900 Ejemplo 2. Cuntos cc de agua contiene una botella de 43 de litro llena hasta la mitad? Para llegar a la solucin debemos hacer dos clculos: cuntos cc son 43 de litro y cuntos cc son la mitad de 43 de litro.

a) 43 de litro = 43 de 1.000 cc =1.000 43 = 41.000 3= 3 250 = 750 cc. b) 21 de 43 de litro = 21 de 750 cc = 2750 1= 375 cc. ACTIVIDADES Calcula: a)Cuntos minutos son 43 de 1 hora? b)Cuntos das son los 52 de 1 ao? c)Cuntos gramos son 81 de kilogramo? d)Cunto dinero es los 74 de $ 2.800? e)Cuntas personas son los 65 de un grupo de 36 estudiantes? Veamos ahora qu sucede cuando nos encontramos con fracciones de la forma aa, por ejemplo, la fraccin 33.Segn vimos, esta fraccin indica que de una cantidad dividida en 3 partes iguales estamos tomando las tres partes (fig. 1.6). Fig. 1.6 3 31 = 33 osea,estamostomandoelenterocompleto,esdecir1entero.Porlotanto,altenerfraccionescon numerador y denominador iguales, stas son equivalentes a la unidad completa, lo que se escribe 22 = 1 ; 55 = 1 ; xx = 1 31 31 31 $ 300 $ 300 $ 300 $ 300 $ 300 $ 1.500 PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 17Ahora, si el numerador de la fraccin es mayor que el denominador, esto se interpreta de la siguiente manera.Supongamoslafraccin 35.Yasabemosqueestafraccinsignifica5veces 31loque conseguimostomandolas3partesdeunenterodivididoen3ytomando2partesdeotroentero equivalente al primero, tambin dividido en 3 (fig. 1.7). Fig. 1.7 33 +32= 35 Entonces, lo que obtuvimos fue ms de un entero; fue un entero y 32 ms, lo que se escribe 1+32 = 321 Este nmero se denomina nmero mixto y est formado por la suma de un entero y una fraccin. Ejemplos. 1. 412 =2+ 41= = 49 2. 511 =1+ 51= = 56 3. 213 =3+ 21= = 27 ACTIVIDADES 1.Transforma mediante esquemas los siguientes nmeros mixtos en fraccin. a) 831 b) 752 c) 973 2.Transforma, ayudndote con esquemas, las siguientes fracciones en nmeros mixtos. a) 38 b) 24 c) 610 31 31 31 31 31 31 PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 181.3.2. Fracciones equivalentes. Enlafigura1.8setieneelesquemadelasfracciones 21y 42.Observaquedichasfracciones aplicadassobreelmismoenterorepresentanlamismaparticin,porlotanto,decimosque 21y 42son fracciones equivalentes. Fig. 1.8 En smbolos, si ba y dc son dos fracciones, la relacin de equivalencia se escribe bc = addc ba Ejemplos. 1. 42 21 , porque1 4 = 2 2 2. 129 86 , porque 6 12 = 9 8 3. 1512 76 , porque 6 15 7 12 1.3.3. Orden de las Fracciones. Lasfracciones,comorepresentancantidadesnumricas,seordenandemenoramayor.Simblicamente, el criterio para ordenar las fracciones es el siguiente:si ba y dc son fracciones, entonces bc > addc>baEjemplos. 1. 43 > 12 , porque 3 2 > 4 1 2. 35 > 52 , porque 5 5 > 3 2 3. 85 < 34 , porque 5 3 < 8 4 1.3.4. Amplificacin y simplificacin de fracciones. Amplificar o simplificar una fraccin es multiplicar o dividir, respectivamente, el numerador y el denominadordeellaporun mismo nmero entero de manera que se obtenga una fraccin equivalente.Si ba es una fraccin, podemos amplificarla por el entero m haciendo m bm a 21 21 41 41 41 41 21 42 PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 19y podemos, en general, simplificarla por el entero n haciendo m bm a:: obteniendo, en ambos casos, una fraccin equivalente a ba.Ahora, si no encontramos ningn entero que divida exactamente al numerador y al denominador, entonces decimos que la fraccin es irreductible. Ejemplos. 1. 45 amplificada por 3 es 1215=3 43 5 2. 137 amplificada por 2 es 2614 3. 3224 simplificada por 4 es 86=4 : 324 : 24 4. 186 simplificada por 6 es 31 5. 119 es una fraccin irreductible. 1.3.5. Nmeros decimales. Yavimosquetodafraccinrepresentaunadivisin.Alefectuarladivisinentreelnumerador (dividendo)yeldenominador(divisor)seobtieneunnmero(cuociente)quepuedeserentero,decimal finito, decimal peridico o decimal semiperidico. Ejemplos: a) 6126 126 : 6 = 21(entero) b)53 37 : 5 = 7,4(decimal finito) c)988 : 9 = 0,888....(decimal peridico) d) 7590 75 : 90 = 0,8333....(decimal semiperidico) Porlotanto,podemosconcluirquetodafraccinpuedetransformarseenunnmerodecimal (entero, finito, peridico o semiperidico), pero, por el contrario, no todos los nmeros decimales pueden transformarse en fraccin. Veamos a continuacin algunas transformacionesimportantes. a)Entero a fraccin.- Puede hacerse dividiendo el entero por 1 20 = 120 ; 5 = 15 o bien dividiendo el entero por 1 y luego amplificando por cualquier otro entero. i)5 = 735=7 17 5=15 PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 20ii)3 = 39=3 13 3=13 iii)3 = 721=7 17 3=13

b) Decimal finito a fraccin.- Puede hacerse dividiendo el nmero, sin considerar la coma decimal, por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga la parte decimal del nmero. i)10,4= 552=2 : 102 : 104=10104 ii)0,236 = 2559=4 : 1.0004 : 236=1.000236 iii)3,5 = 27=5 : 105 : 35=1035 iv)0,75= 43=25 : 10025 : 75=10075 v)0,125 = 81=125 : 1.000125 : 125=1.000125 ACTIVIDADES 1.Calcula. a) los 125 de 9b) los 43 de 20c)los 10075 de 20 d) los 49 de 4e) la mitad de 0,7f) 101 de 0,1 g) la tercera parte de 24h) la cuarta parte de 500i) los 43 de 1,2 2.Transforma a decimal. a) 83b) 57c) 910 d) 525e) 616f) 211g) 431 h) 542 i) 972 3.Determina la relacin que existe ( =, >