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CAPTULO

1Conceptos bsicos

OBJETIVOS PARTICULARES

Identificar el orden de una ecuacin diferencial (ED) ordinaria.

Describir el concepto de solucin de una ED ordinaria.

Decidir si una funcin es o no solucin de una ED.

Distinguir entre una solucin general y una solucin particular de una ED ordinaria.

Identificar un problema de valor inicial.

1.1 Introduccin

En este primer captulo se sientan las bases para la presentacin de la teora y aplicaciones de las ecua-ciones diferenciales (ED) ordinarias, que es la materia que nos ocupar principalmente en este libro. Lassecciones de este captulo se encargan de definir con claridad los conceptos ms importantes asociados conlas ecuaciones diferenciales y sus soluciones, junto con algunas de sus aplicaciones ms elementales. En loscaptulos siguientes se desarrollarn los mtodos necesarios para encontrar dichas solucionesy se ahondaren el tema de las aplicaciones con ejemplos concretos.Para el lector que se encuentra por primera vez en un curso de ED resulta un tanto confusa la idea de

esta clase de ecuaciones. Es muy probable que haya escuchado algunas cosas acerca de las ED, como porejemplo, que son muy importantes, que aparecen en muchas aplicaciones de ciencia e ingeniera, o que sonalgo tan difcil de resolver como la cuadratura del crculo. En fin, se dice mucho sobre las ED, pero slo laexperiencia de primera mano nos puede mostrar cules de las cosas que hemos odo son ciertas y culesson simplemente fama inmerecida.En la experiencia de los que escriben, las ED representan una herramienta muy valiosa e insustituible paraentender el mundo fsico, pues ellas llevan en s algo que no es fcil de manejar o incluso definir por ningnotro medio:el cambio. No hablamos aqu de algo intangible o imaginario que desearamos que ocurrieraen la vida de una persona o de la sociedad, sino de algo que es posible definir y manejar, y que nos servir

1. canek.azc.uam.mx: 21/ 9/ 2010

1

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2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

para determinar de qu manera una variable (la dependiente) est en funcin de otra (la independiente) encasos en que esta dependencia sea demasiado complicada.

Cambio de temperatura

Un ejemplo muy sencillo, que puede dar una idea de lo que significa el cambio y cmo modelarlo, se refiereal enfriamiento de un objeto, que puede ser agua hirviendo. Si en casa se hierve agua y luego se dejaenfriar, el tiempo que tarda en enfriarse depende de la temperatura del medio circundante. No es igualque el recipiente con agua caliente se deje sobre la hornilla donde se hirvi el agua a que el recipientese deposite en la tarja de la cocina, o bien, a que en la tarja el recipiente se rodee con pedazos de hielo.Notamos que, cuanto menor es la temperatura del medio circundante, ms rpido se enfra el agua. Esdecir, se puede observar experimentalmente que la rapidez de cambio de la temperatura del agua est enproporcin directa a la diferencia de las temperaturas del agua y del medio circundante.Concretando, si T0 D 100 C es la temperatura del agua hirviendo,Tces la temperatura constante del mediocircundante yT.t/es la temperatura del agua despus de t minutos, entonces la rapidez de cambio de la

temperatura del agua

d

dtT.t/

es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas T.t/ Tc

del agua y del medio circundante. Esto se puede simbolizar as:

d

dtT .t / T .t / Tc;

o mejor an se puede afirmar que:

d

dtT.t/ D kT.t/ Tc; (1.1)

dondekes una constante, que puede determinarse experimentalmente, denominada constante de propor-cionalidad, y que se puede calcular por una lectura de la temperatura del agua (digamosT1, ocurrida en elinstantet1), diferente a la temperatura inicialT0 D 100 C.Podemos decir entonces que la temperatura T .t/ del agua en el instantet 0debe ser una funcin quesatisfaga a (1.1) y adems el par de condiciones inicialesT .0/ D 100yT .t1/ D T1.La igualdad (1.1) es, precisamente, un ejemplo de una ecuacin diferencial, dondeT.t/es la incgnita.

Cada libre

De acuerdo a la ley de cada libre de los cuerpos, que Galileo investig y demostr experimentalmente,todos los cuerpos caen en el vaco (en ausencia de aire) sin importar su forma, peso o tamao, con la mismaaceleracin uniforme, y de la misma manera; ms an, la distancia recorrida en la cada es proporcional alcuadrado del tiempo transcurrido en ella.Este enunciado de la ley de cada libre no es, a pesar de su aparente precisin, tan claro como el razo-namiento mediante el cual se obtiene la frmula que lo caracteriza, usando argumentos de ED que describi-mos a continuacin, y que podran representar el modo de pensar de Newton sobre este problema: paradeducir el modelo, partamos de la suposicin de que todos los cuerpos cerca de la superficie de la Tierracaen hacia ella con la misma aceleracin y denotemos a esta aceleracin constante mediante g; se sabe ex-perimentalmente que, cerca del nivel del mar, g D 9:81m/s2, y usualmente se le da el signo negativopara indicar que nuestro sistema de referencia apunta hacia arriba mientras que la aceleracin apunta haciaabajo, hacia el centro de la Tierra.Supongamos que un cuerpo se encuentra inicialmente a una altura s0y que se le imprime una velocidadinicialv0que se toma como positiva si apunta hacia arriba o negativa si apunta hacia abajo. Si denotamospors.t/la altura a la que se encuentra el cuerpo al tiempo t , resultar que su velocidad esv.t/ D s 0.t/ y suaceleracin esa.t/ D v 0.t/ D s 00.t/. La ley de cada libre dice simplemente que

s 00.t/ D g:

La anterior es una ED que resume de manera muy concisa el enunciado de la ley de Galileo; mas an,expresa de forma admirable por su sencillez el hecho de que los cuerpos son atrados hacia el centro de la

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1.1 Introduccin 3

Tierra por una fuerza constante, segn la segunda ley del Movimiento de Newton. Dicha fuerza es propor-cional a la aceleracin, por lo que en esta frmula se sintetiza un gran conocimiento sobre el movimiento.Para recuperar la ley de Galileo, se puede integrar la frmula desde0hastatpara obtener:

t

0

s 00./d D s 0./ Dt

D0

D s 0.t/ s 0.0/:

Obsrvese que en esta integral, y las siguientes, dentro del integrando se ha sustituido la variable t porpara evitar que se confunda con el lmite superior de integracin.

t

0

s 00./d D

t

0

g d D g

Dt

D0

D gt:

Igualando los resultados anteriores:s 0.t/ s 0.0/ D gt:

Adems, tomando en cuenta que s 0.t/ D v.t/y tambin quev.0/ D v0, obtenemos:

v.t/ D s 0.t/ D s 0.0/ C gt D v0 C gt:

sta es otra ED tan simple como la primera y se puede integrar desde 0hastat para darnos

t

0

s 0./d D s./

t

0

D s.t/ s.0/;

por una parte, y por otro lado:

t

0

.v0 C g / d D

v0 C g

2

2

Dt

D0

D v0t C1

2gt2:

Nuevamente, igualando los resultados anteriores obtenemos:

s.t/ s.0/ D v0t C

1

2 gt2

:

Al considerar ques.0/ D s0, se obtiene la conocida frmula del movimiento uniformemente acelerado:

s.t/ D s0 C v0t C1

2gt2:

Obsrvese que, si ahora seguimos el razonamiento a la inversa, es decir, derivamos dos veces la frmulaanterior, regresaremos a la ED original:

s 0.t/ D v0 C gt

y tambins 00.t/ D g:

Por ese motivo decimos que la funcin encontradas.t/

resuelve la EDs 00.t/ D g

.De los ejemplos anteriores podemos obtener algunas ideas importantes:

1. Algunas leyes en la fsica y otras ciencias involucran cantidades como velocidad, aceleracin, rapidez,tiempo, por citar algunas, y pueden enunciarse en la forma de una ED.

2. Una ED que sirve para enunciar un resultado de la forma anterior decimos quemodelael proceso encuestin, y entre otras cosas, se caracteriza por ser una ecuacin que relaciona a la variable de interscon una o ms de sus derivadas.

3. Una vez construido un modelo como en el ejemplo anterior, podemos en algunos casos, obtener larelacin entre las variables involucradas en el fenmeno mediante un proceso desolucin.

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4. Una parte importante del proceso de solucin es tener presente ciertas condiciones, como la velocidadinicial y la altura inicial del cuerpo en el ejemplo anterior, que quedarn incorporadas en la expresinfinal de la funcin que resuelve la ED.

5. En el ejemplo anterior el proceso de solucin consisti simplemente en integrar la ED; de hecho enel proceso de solucin generalmente habr que hacer alguna integracin, pero en otros casos podran

requerirse otros procedimientos.

En las secciones siguientes definiremos con toda precisin lo que consideraremos una ecuacin diferencialordinaria, lo que se debe entender por sussoluciones y cmo, al aadir ciertas condiciones adicionales a unaED, es posible determinar una nica solucin. En los siguientes captulos nos ocuparemos de los diferentesmtodos de solucin para ellas.

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1Conceptos bsicos

1.2 Definicin de una ecuacin diferencial

Antes de iniciar, es importante recordar que una ecuacin es una proposicin matemticaque involucra unaigualdad entre dos expresiones de cualquier ndole, con la condicin de que estas expresiones contengantrminos indefinidos. Estos trminos son expresiones, comnmente llamadas incgnitas o indeterminadas,que representan algo (un nmero, vector, matriz, funcin, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, peroque puede ser sustituido, en teora al menos, por cualquier valor apropiado. Algunos valores conviertena la ecuacin en una proposicin falsa y otros en una proposicin verdadera; a estos ltimos valores se lesllamasolucionesde la ecuacin.

Unaecuacin diferencial (ED)es una ecuacin en la que se relaciona una variable independiente, unavariable dependiente y al menos una de sus derivadas.

Una manera de expresar estas ecuaciones diferenciales es

F.x;y 0; ; y.n// D 0:

Nos ocuparemos nicamente de estudiar las ED ordinariasque son las que tienen slo una variableindependiente y todas las derivadas se realizan con respecto a esa variable independiente.

Por otra parte, las derivadas que aparecen en una ecuacin diferencial pueden ser de varios rdenes:

primeras derivadas, segundas derivadas etc. Al mayor orden de la derivada que participa en laecuacin diferencial se le llama elordende la ED.

Ejemplo 1.2.1 Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias:

1. y 0 Dx2, de orden1.

2. y 00 2y D x2, de orden2.

3. x2y 000 2xy 0 D x3, de orden3.


1

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4.y .4/

5 2x

y .3/

2Dx2y3, de orden4.

5. dy

dxD ry

1

y

k

, de orden1.

Las ecuaciones diferencialesparciales, o ecuaciones en derivadas parciales, son aquellas que tienen

ms de una variable independiente y las derivadas (necesariamente parciales) se efectan con res-pecto a estas variables independientes.

Ejemplo 1.2.2 Las siguientes son ecuaciones diferenciales parciales:

1. @u

@tD 2

@u

@x 5

@u

@yC u, de orden 1.

2. @2u

@x2C

@2u

@y2 C

@2u

@z2 D 0, de orden 2.

3. @2u

@t2 Dk

@2u

@x2C

@2u

@y2

, de orden 2 .

4. @u@t

D k@2u@x2

C@2u@y2

, de orden 2.

5. @u

@x D

@v

@y; @u

@y D

@v

@x, sistema de dos ecuaciones parciales de orden 1.

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1Conceptos bsicos

1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales

1.3.1 Soluciones de una ecuacin

Ejemplo 1.3.1 Resolver la ecuacin: 2x 2D 0.

H Resolver esta ecuacin significa encontrar todos los valores que satisfacen la ecuacin. Cules son esosvalores? Depende en parte del conjunto en donde busquemos (es decir, el universo de trabajo), como se vea continuacin:

1. Si consideramos que x2 R (el universo de trabajo es la recta real), el conjunto solucin consta de unslo punto x D 1. Lo mismo sucede si consideramos como universo de trabajo slo a los nmerosenteros o bien slo a los racionales.

x D 1

Solucin de2x 2 D 0.

2. Si el universo es ahora el planoR2, el conjunto solucin de 2x 2 D0 consta de todos los puntos.x; y/que pertenecen a la recta xD 1, paralela al ejey, que pasa por el punto .1; 0/.


1

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x

y

.1;0/

.1;y/

x D 1

Solucin de2x 2 D 0.

3. Si el contexto del problema para resolver la ecuacin2x 2 D 0es el espacio R3, el conjunto solucin

consta de todos los puntos.x; y;z/que se encuentran en el planoxD 1, paralelo al planoyz que pasapor el punto.1; 0;0/.

xy

z

Solucin de2x 2 D 0.

Observe que la solucin de la ecuacin considerada cambia dependiendo del universo de trabajo.

Ejemplo 1.3.2 Resolver la ecuacin: x2 C y2 D 25.

H

1. Si el universo de trabajo es el plano R2, el conjunto solucin de x 2 Cy 2 D 25consta de todos lospuntos.x; y/que pertenecen a la circunferencia de radio5con centro en el origen. La figura siguientemarca algunas de las soluciones como pares de nmeros reales:

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1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 3

x

y

.5; 0/ .5; 0/

.0;5/

.0;5/

.4;3/

.4;3/

.3;4/

.3;4/

2. Si trabajamos en R3, el conjunto solucin de x2 Cy 2 D 25consta de todos los puntos .x; y;z/quepertenecen al cilindro recto circular de radio5, con eje de simetra el ejez.

x y

z

3. Cambiando el enfoque, supongamos que ahora nuestro universo esFD f fW R ! R g, el conjunto delas funciones reales de variable real, podemos obtener dos funciones continuas como soluciones de

la ecuacinx2

C y2

D 25, despejandoy en funcin dex (suponiendo que deseamos que la variableindependiente seax).

x2 C y2 D 25) y2 D 25 x2 )

y1Dp

25 x2y2D

p25 x2

I ambas con dominio 5;5:

Las grficas de estas funciones son las siguientes:

x

y

5 5

y1Dp

25

x2.

x

y

5 5

y2 D p

25 x2.

Tambin existen soluciones discontinuas como la siguiente:

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x

y

5 5

yD(p

25 x2; si 5 x < 0I

p25 x2; si0 x5:

En los ejercicios y problemas de este libro estaremos buscando por lo general solucionesf .x/ 2 Fquesean continuas.

Observe que una funcin comog.x/Dp

25 x2

, con 5 x 0, tambin es solucin continua de laecuacinx2 C y2 D 25; sin embargo, en el universo FD ff W R ! R g se tomarn las soluciones conel dominio ms amplio posible. As, es preferible la solucinh.x/D

p25 x2, con 5 x 5.

De los ejemplos anteriores podemos concluir que una ecuacin puede tener una, varias o una infinidad desoluciones y esto depende no slo de la ecuacin en s, sino tambin del conjunto en el que buscamos lassoluciones.

1.3.2 Solucin de una ecuacin diferencial

Unasolucin de una ecuacin diferencial de orden nen un intervalo Ies una funcin definida endicho intervalo que puede derivarse al menosn veces y que, al sustituirse junto con sus derivadas,

satisface a la ED. Esto es, resulta una identidad para los valores dexen el intervaloI.Ejemplo 1.3.3 Verificar que las funcionesyD 3x2 C 7x C Ce4x (C2 R, constante) son soluciones de la ecuacindiferencial

y 0 C 4yD 12x2 C 34x C 7:

H Derivamos:yD 3x2 C 7x C Ce4x ) y 0D 6x C 7 4Ce4x:

Utilizando los valores de y &y 0en la ecuacin diferencial, resulta:

y 0 C 4yD6x C 7 4Ce4x C 4.3x2 C 7x C Ce4x/ DD6x C 7 4Ce4x C 12x2 C 28x C 4Ce4x D

D12x2

C 34x C 7:La ED se satisface para todos los valores dex2 R.

Con mucha frecuencia una solucin de una ED puede estar definida de manera implcita como en el si-guiente ejemplo.

Ejemplo 1.3.4 Usando derivacin implcita, demostrar que las funciones definidas implcitamente por la ecuacin

2xy C 3x2y2 D 1;

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son soluciones de la ecuacin diferencial:

y 0D2y 6xy2

2x C 6x2y :

H Derivamos con respecto ax :

2xy C 3x2

y2

D 1) 2xy 0 C 2y C 3x2

2yy 0 C 6xy2

D0:Despejamosy 0:

y 0.2x C 6x2y/D 2y 6xy2 ) y 0D 2y 6xy2

2x C 6x2y :

Ejemplo 1.3.5 Encontrar los valores de rde tal manera que la funcin yDe r x sea solucin de la ecuacin diferencial:y 00 C 7y 0 C 12yD0:

H Derivamos dos veces:yD er x ) y 0D r er x ) y 0 0D r 2er x:

Sustituyendoy,y 0 &y 00en la ecuacin diferencial:

r 2er x C 7r er x C 12e r x D0 ) er x.r 2 C 7rC 12/ D 0) r 2 C 7rC 12 D 0:Observe que aqu hemos cancelado el factorer x, que es 0para todox2 R. Factorizando:

r 2 C 7rC 12 D .rC 4/.rC 3/ D0:Las soluciones de esta ltima ecuacin son: r1D 4 & r2D 3.Tenemos entonces dos soluciones de la ecuacin diferencial:

y1D e4x & y2De3x:

Ejemplo 1.3.6 Encontrar los valores de rde tal manera que la funciny

Dxr sea solucin de la ecuacin diferencial:

x2y 00 xy 0 3yD 0:H Derivamos dos veces con respecto ax:

yDx r ) y 0Dr xr1 ) y 0 0D r .r 1/xr2:Sustituyendoy,y 0 &y 00en la ecuacin diferencial, resulta:

x2r .r 1/xr2 xr xr1 3xr D r .r 1/xr r xr 3xr DD xr r.r 1/ r 3 D xr .r 2 r r 3/ DD xr .r2 2r 3/ D0:

Entonces, suponiendo quex

0, se obtiene:

r 2 2r 3 D0 ) .r 3/.rC 1/ D 0;y esta ltima tiene solucionesr1D 3 & r2D 1. Existen entonces dos soluciones:

y1D x3 & y2Dx1:Advierta en este caso que la segunda funcin no est definida enxD0, as que podemos decir quey1D x3resuelve la ecuacin diferencial en el intervalo .1; 1/, mientras que y2 D x1 resuelve la ecuacindiferencial en.1; 0/o bien en.0; C1/.

Es conveniente aclarar, para toda futura referencia lo que queremos decir por resolver.

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Resolver una ecuacin diferenciales encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjuntosolucin. Siempre que sea posible, al resolver una ecuacin diferencial hay que especificar en quintervalo est definida cada funcin del conjunto solucin.

Advierta que en el ejemplo anterior hicimos lo que se indica: especificar en qu intervalo est definida lafuncin del conjunto solucin.

En el estudio de ED es frecuente interpretary 0D dydx

como el cociente de diferenciales. De esta forma,

por ejemplo, si la ED esdy

dxD M.x;y/

N.x; y/;

sta puede ser escrita como:M.x;y/dx N.x;y/dyD0:

A esta expresin de la ED la denotaremos como suforma diferencial.

Ejemplo 1.3.7 Probar quex3

3C x C y

2

2 2yDCdefine implcitamente la solucin general de la ED:

.x2 C 1/dx C .y 2/dyD 0:H A fin de no recurrir al concepto de derivada, procedemos directamente por diferenciales. Debemosrecordar que la diferencial de una funcin yDf .x/se define mediante:

dyD f0 .x/dx;de lo cual se desprende que las reglas de derivacin son idnticas para diferenciales cambiando nicamentela palabra derivada por diferencial. As, tenemos:

d.xy/Dx dy C y dx:Para este ejemplo, calculamos la diferencial de ambos miembros de la solucin general. Hallamos

dx3

3 C x Cy2

2 2y D d.C/) 13 3x2 dx C dx C 12 2y dy 2dyD0 )

) x2 dx C dx C y dy 2 dyD0 ) .x2 C 1/dx C .y 2/dyD 0que es la ED propuesta.

1.3.3 Tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales

Al resolver una ecuacin diferencial se encuentran comnmente dos tipos de soluciones:

1. Unasolucin particulares la que representa una solucin especfica de la ecuacin diferencial.

a. En el ejemplo1:3:6hemos visto quey1D

x3 es una solucin particular de la ecuacin diferencial,

x2y 00 xy 0 3yD0;para todox2 R.

b. Anlogamente, en el ejemplo1:3:5vemos quey2D e3x es una solucin particular dey 00 C 7y 0 C 12yD 0:

2. Unasolucin generalrepresenta a una familia de funciones que satisfacen la ecuacin diferencial.Esta representacin de la familia necesariamente incluye una o varias constantes arbitrarias, como seve en los siguientes ejemplos:

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a. La familia de funcionesyD x3 C4x2 C2x CC .C2 R/es solucin general dey 0D 3x2 C 8x C 2,como se aprecia de inmediato al derivar.

b. Podemos decir, ampliando el anterior ejemplo, que si

f.x/dxDF.x/

CC;

entonces se tiene queyD F.x/ C C

es solucin general de la ecuacin diferencial y 0D f.x/. En cierta forma la infinidad de solu-ciones de las ecuaciones diferenciales proviene de este hecho.

c. Las funciones y1.x/ D A cos 3x&y2.x/ D Bsen 3x, para cualesquiera valores de A&B , sonambas soluciones de

y 00 C 9yD 0;como se comprueba de inmediato al derivar puesy 001D 9A cos 3x&y 002D 9Bsen 3x, de modoque al sustituir en la ecuacin diferencial resulta

y 001C

9y1D

9A cos 3xC

9A cos 3xD

0 y similarmentey 002C 9y2D 9Bsen 3x C 9Bsen 3xD 0I

y3D A cos 3x C Bsen 3xes solucin general de la misma ecuacin diferencial.

Adems de los tipos anteriores, algunas ecuaciones diferenciales que se encuentran en raras ocasiones enla prctica admiten un tercer tipo de soluciones llamadassingulares, adems de la solucin general y par-ticular. Tal es el caso por, ejemplo, de la ecuacin diferencial

y 0D 2.x

x2 y/:

Cuya solucin general esy

D2px

p2;

dondep es una constante arbitraria. Por otra parte, si consideramos la funcin yD x2, nos encontramoscon que es otra solucin de y 0D 2.x

x2 y/. Lo interesante de este ejemplo es queyD x 2 no es una

solucin particular obtenida de la solucin general yD 2p x p2; por tal motivo a yD x 2 se le llama unasolucin singular.

Ejercicios 1.3.1 Soluciones de ecuaciones diferenciales.En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta una ecuacin diferencial y una funcin. Verificar que la funcin essolucin de la ED. En cualquier caso, las C(con subndice o sin l) que aparecen son constantes.

1. xy 0 C yDcos xI yDsen xx

.

2. y 0

.tan x/y

D0

I y

D C

cos x.

3. Ld i

dtC R i D EI i D E

RC C e

RL

t; dondeL 0; R 0&E son constantes dadas y Ces una

constante arbitraria.

4. yy 0Dx 2x3I yD xp

1 x2.

5. y 0D3y2I yD 13x C C.

6. x sen xdy

dxC .sen x C x cos x/yDx exI yD e

x.x 1/ C Cx sen x

.

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7. y 0 C ycos xD 12

sen 2xI yD sen x 1 C Ce sen x.

8. xdy

dxC yp

1 x2D 1 C p1 x2exI yD

1 C

p1 x2

x

.ex C C /.

9. y

dydx

2 C 2x dydx

yD 0I y2 D 2Cx C C2.

10. y 0De .xy/I yD ln.CC ex/.

11. xy

1

dy

dx

2D .x2 y2 a2/ dy

dxI y2 DC x2 a

2C

1 C C.

12. .x2 C y2/dx 2xydyD 0I yDp

x2 Cx.13. .x y/dxC xdyD 0I yD x.C ln x/.14. xy 0D ytan.ln y/I yD earcsen.Cx/.

15. d3

ydx 3

C 3x

d2

ydx 2

D 0I yDC1x C C2x

C C3.

16. d2y

dx 2 2k dy

dxC k2yD exI yD.C1 C C2x/ekx C

ex

.k 1/2 , con kD constante.

17. .1 x2/ d2y

dx 2 x dy

dx A2yD 0I yDC1eA arcsen x C C2eA arcsen x, dondeAes una constante.

18. y 0 yD exCx2 I yD ex x

0

et2

dtC Cex .

19. dx

dyD 1 C x

2

1 C y2 I xD y C C1 Cy .

20. .xy2/ 0D xy3.x2 C 1/I yD 5x3 C 5x Cpx .

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1.4 Condiciones iniciales

De las definiciones y ejemplos de la seccin anterior se ve que en general las ecuaciones diferencialespueden tener una infinidad de soluciones. Entonces podemos preguntarnos: cmo escoger alguna delas soluciones en particular? Las ecuaciones diferenciales servirn para modelar diversas situaciones eningeniera y ciencias, de modo que la pregunta anterior tiene mucho sentido, pues si para resolver algnproblema aplicado se requiere de slo una respuesta del modelo y en lugar de esto encontramos una in-finidad de posibles respuestas, an faltar decidir cul de ellas resuelve el problema; as pues, se necesitamsinformacinpara decidir.Por ejemplo, en un problema de cada libre, si un objeto parte desde una altura de 100m sobre el suelo, enla seccin1:1hemos visto que su altura estar dada en cada momentotpor

s.t/ D 12

gt2 C v0tC s0;

donde la informacin dada nos permite ver ques0D 100m, pero no se conoce la velocidad inicial v0. Laexpresin parte desde una altura de 100 m nos da la idea de que puede haber un empuje o velocidadal iniciar el experimento, pero no nos da su valor. As que lo ms que podemos decir es que la altura delmvil al tiempo tser s.t/ D 4:9t2Cv0tC100, y para una respuesta a cualquier pregunta concreta sobre elmovimiento necesariamente depender del valorv0. Esta cantidad, que debera conocerse para determinaruna nica solucin, es lo que se conoce como unacondicin inicial.

Dada una soluciny.t/de una ecuacin diferencialF. t; y; y 0 / D 0, unacondicin inicialse especificacomoy.t0/ D y0. Es decir, la soluciny.t/toma el valory0, paratD t0.

Si una ecuacin diferencial puede resolverse para obtener una solucin general que contiene una constantearbitraria, bastar con una condicin inicial para determinar una solucin particular; en casos en que lasolucin general de una ecuacin diferencial contenga dos o ms constantes arbitrarias, es de esperarse quese necesiten dos o ms condiciones, aunque stas se pueden dar de varias formas, que revisaremos en suoportunidad.


1

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Ejemplo 1.4.1 Una solucin general de la ecuacin diferencial yy 0 4x D 0puede escribirse como4x 2 y2 D C.Determinar la solucin particular que satisface a la condicin y.2/ D

p7.

H Basta con sustituir los valoresx0D 2,y0Dp

7en la solucin general para definir un valor deC:

CD

4.2/2

.p

7/2

D16

7D

9:

Por tanto, la solucin particular buscada es 4 x2 y2 D 9o bien y2 D 4x2 9, de donde y Dp

4x2 9.Observe que al despejary hemos hecho una eleccin en el signo positivo del radical, para que se cumplaefectivamente la condicin inicial.

Un problema en el que se tiene una ED y se dan las condiciones iniciales necesarias para determinaruna solucin particular se denomina unproblema de valor inicial, que abreviaremos PVI.

Ejemplo 1.4.2 La ecuacin diferencialy 00 C 4yD 0admite ay D A cos.2t/ C Bsen.2t/como solucin general.Determine la solucin particular que cumple con y.0/ D 3 & y 0.0/ D 8.

H

y.t/ D A cos.2t/CBsen.2t/ & y.0/ D 3) 3 D A cos.0/C Bsen.0/) A D 3:Para usar la segunda condicin requerimos la derivada:

y 0.t/ D 2A sen.2t/C 2Bcos.2t/:

Asy 0.0/ D 8) 8 D 2A sen.0/C 2Bcos.0/) 8 D 2B ) BD 4:

Tenemos entonces la solucin particular:

y.t/

D3 cos.2t/

C4 sen.2t/:

Ejercicios 1.4.1 Condiciones iniciales.Soluciones en la pgina 4En cada uno de los siguientes ejercicios, verificar que la funcin dada es solucin de la ED; despus determinar lasolucin particular que satisfaga al PVI.

1. y 0 C 2y D 0; cony.0/ D 3I yD Ce2x .2. yy 0 C x D 0; con y.

p2/ D

p2I x2C y2 D C.

3. y 00 C 14

yD 0; con y./ D 1&y 0./ D 1I y D A cosx2C Bsenx

2.

4. yy 0

sen x

D0; cony./

D1I

y2

DC

2 cos x.

5. 2y.x C 1/C y 0 D 0; cony.2/ D 1I y D Ce.xC1/2 .

6. xdy

dxC yD e

x2

2 ;cony.2/ D 3; yD CxC 1

x

Z x2

et2

2 dt .

7. y 000 2y 00 y 0 C 2y D 0;cony.0/ D 1; y 0.0/ D 0&y 00.0/ D 1;y D C1ex C C2ex C C3e2x.

8. y 00 D 12y 0

;cony.1/ D 2y la tangente en este punto forma con la direccin positiva del eje xun ngulo

de45 ;y D 23

.x C C1/32C C2.

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1.4 Condiciones iniciales 3

9. y 00 4y D 0;cony.0/ D 1&y 0.0/ D 2; y D C1senh 2x C C2cosh 2x.10. 2xyy 0 D x2C y2; cony.1/ D 3I y2 D x2 Cx:

11. y C xy 0 D x4.y 0/2; cony.1/ D 0I yD C2C Cx

.

12. y 0 D y2

xy x2 ; cony.1/ D 1I y D Ceyx:

13. x

2cot y

dy

dxD 1; cony.1/ D

2I y D arcsen C

x2.

14. ey dx C .xey C 2y/dyD 0; cony.4/ D 0I xey C y2 D C:

15. dx D y1 x2y2 dx C

x

1 x2y2 dy; con y.0/ D 2I ln1 C xy1 xy 2x D C:

16. .1C y2 sen 2x/dx 2ycos2 x dy D 0; cony.2/ D pI x y2 cos2 xD C:

17. sen xsen y

xey dy

Dey

Ccos xcos ydx; con y

2 D

0

I xey

Csen xcos y

DC:

18. 3x2.1 C ln y/dx C

x3

y 2y

dy D 0; con y.2/ D 1I x3.1 C ln y/ y2 D C:

19. 4y2 2x2

4xy2 x3 d x C8y2 x2

4y3 x2ydy D 0; cony.2/ D 1I x2y24y2 x2 D C:

20. x2y 00 3xy 0 C 4y D 0; con y 0.1/ D 2 & y.1/ D 3I y D C1x2C C2x2 ln x:

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Ejercicios 1.4.1 Condiciones iniciales.Pgina 2

1. y D 3e2x .

2. x2 C y2 D 4.

3. y D 2 cosx

2C sen

x

2.

4. y2 D 1 2 cos x.

5. y D ex.xC2/.

6. y D 6

xC

1

x

Z x2

et2

2 dt .

7. y D3

2ex C

1

6ex

2

3e2x .

8. y D2

3x32 C

4

3.

9. y D senh2x C cosh 2x.

10. y2 D x2 C 8x.

11. y D 11

x; o bien y D 0.

12. y D eyx1:

13. y D arcsen 1

x2.

14. xey C y2 D 4.

15. ln

1C xy

1 xy

2x D 0:

16. x y2 cos 2x D :

17. xey C sen xcosy D 1C

2:

18. x3.1C ln y/ y2 D 7.

19. y Dx

2.

20. y D 3x2 4x2 ln x.

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CAPTULO

1Conceptos bsicos

1.5 Familias de curvas

Para continuar con el estudio de las soluciones de las ED, daremos en esta seccin una interpretacin grficadel conjunto de soluciones para una ED de primer orden dada. Es conveniente anotar que suponemos que

una ED de primer orden en algunos casos se puede escribir:

y 0 Ddy

dx D f.x;y/;

es decir, donde la derivada de la funcin incgnita ha sido despejada. A esta forma de escribir la ED sellamaforma normal.

1.5.1 Interpretacin grfica dey 0 D f.x;y/

En esta seccin haremos algunas consideraciones de tipo geomtrico con el objetivo de ayudar a compren-der mejor las ED y sus soluciones. Para lograr este propsito, es indispensable recordar que la derivada deuna funciny D '.x/al evaluarse enx0representa la pendiente de la recta tangente a la grfica de dichafuncin que pasa por el punto x0;'.x0/:


1

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x

y

x0

'.x0/ x0;'.x0/

y D '.x/

Recta tangente a la grfica en x0;'.x0/.Tiene pendientem D ' 0.x0/.

Esto ocurre siempre que la derivada exista en ese punto, es decir, que el lmite que la define se puedacalcular enx0. Ms an, conocida la pendiente y el punto por el que pasa la tangente, siempre se puedeescribir su ecuacin como:

y y0

x x0D m; es decir:

y '.x0/

x x0D ' 0.x0/;

o mejor:

y D '.x0/ C '0.x0/.x x0/:

Tendremos muchas oportunidades de referirnos a estos hechos en lo que sigue, pero de momento bastacon comentar que, si se conociera solamente la derivada ' 0.x/ de una funcin, esto no sera suficientepara recuperar la funcin y D '.x/, pues slo se tendra la inclinacin (pendiente) de las rectas tangentes,pero no la ubicacin de los puntos de la curva. Cuando resolvemos una ED nos encontramos en la mismasituacin, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5.1 Analizar las soluciones de la ecuacin diferencial y 0 D x.

H Cuando x D 1, tenemos quey 0 D 1, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.1;y/esm D 1.

Considere la curvay D x2

2, que es una solucin de la ecuacin diferencialy 0 D x,

x

y

1

1

2

y D x

2

2

Se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva y Dx2

2en el punto

1;

1

2

esm D 1.

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1.5 Familias de curvas 3

x

y

1

1

2

y Dx2

2

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Otras curvas soluciones de la ED y 0 D xson las siguientes:

x

y

y Dx2

2 C 3

y Dx2

2 C 1

y Dx2

2 2

y Dx2

2 4

1

Observe que en todos los puntos con abscisa x D 1sobre las curvas, las pendientes de las rectas tangentesson iguales, es decir, cuando x D 1 ) y 0 D 1 D m.

x

y

y Dx2

2 C 3

y Dx2

2 C 1

y Dx2

2 2

y Dx2

2 4

1

Una solucin de la ecuacin diferencial y 0 D xes una funcin y D g.x/que, cuando pasa por el punto.x;y/del plano, el valory 0 D f.x;y/ D xproporciona la pendiente de la recta tangente a la grfica de lasolucin en dicho punto.

Si tomamosel punto.1; 5/, por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la solucin que pasapor este punto esy 0 D f .1;5/D 1. Este punto se encuentra sobre la rectax D 1. En un punto arbitrariosobre esta recta, la solucin que pasa por este punto,.1; y/, tiene recta tangente con pendiente

y 0.1;y/ D f.1;y/ D 1 :

Sobre la recta verticalx D 1, todas las soluciones tiene la misma pendiente m D 1.

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x

y

x D 1

Se ha visto en el curso de Clculo Integral que la solucin general de la ecuacin diferencialy 0 D xes

y D x dx D x2

2

C C :

Si dibujamos la grfica de la nica solucin (solucin particular), que pasa por el punto .0; 1/, es decirpara la cualC D 1, tenemos:

x

y

En la interseccin con la recta x D 1, es

decir, en el punto

1;1

2

, la recta tan-

gente a la grfica de la solucin

y Dx2

2 1tiene pendiente1.

y Dx2

2 1

Los segmentos de lnea mostrados en las dos ltimas figuras pretenden dar una idea de cmo se veran lasrectas tangentesa cualquier curva solucin de la ED; denominamos a estasfigurascampo de direcciones, yaque muestran las inclinaciones que deben tener dichas rectas tangentes. Una idea que podra ser fructfera

para visualizar las soluciones de una ED es la de trazar de manera aproximada curvas que tengan lastangentes del campo de direcciones.

Dada la ecuacin diferencialy 0 D f.x;y/.

Se llamaisoclinaal conjunto de los puntos del plano en donde las rectas tangentes a las grficas delas soluciones de la ecuacin diferencial tienen la misma pendiente. Estos puntos son aquellos quesatisfaceny 0 D f.x;y/ D C.

En el ejemplo anterior, la recta verticalx D 1representa una isoclina.

Aplicaremos el concepto recin definido en el siguiente ejemplo:

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Ejemplo 1.5.2 Describir el campo de direcciones, las isoclinas y la solucin que pasa por el punto.0; 2/de la ecuacindiferencial: y 0 D y C x.

H Una solucin de esta ecuacin diferencial es una funcin y D g.x/tal que, si pasa por el punto.x; y/del plano, el valory 0 D f.x;y/ D y C xproporciona la pendiente de la recta tangente de la grfica de lasolucin en dicho punto.

As, si tomamos el punto del plano.0; 2/, en ese punto pasa una solucin cuya recta tangente tiene comopendientey 0.0; 2/ D f.0;2/ D 2 C 0 D 2.Los puntos del plano en donde la pendiente de la recta tangente de las soluciones es igual a 2son aquellosque satisfaceny 0.x; y/ D f.x;y/ D y C x D 2, es decir, se encuentran sobre la recta y D x C 2.

x

y

Sobre la recta y D xC2 lasrectastan-gentes a las grficasde las solucionestienen la misma pendiente m D2

Como se ha mencionado, ms adelante se expondrn los mtodos para encontrar la solucin general de laecuacin diferencialy 0 D y C x; por ahora vamos a aceptar que sta es y D .x 1/ C Cex . Si dibujamosla grfica de la nica solucin que pasa por el .0; 2/, es decirC D 3, tenemos:

x

y

En la interseccin con la recta y D xC2, esdecir, en el punto .0; 2/, la recta tangentede la solucin y D .x 1/ C 3ex tienependiente2.

En la figura se ve que la rectay D x 1es una asntota oblicua de la grfica de la solucin:

lmx!1

y D lmx!1

.x 1/ C 3ex D lmx!1

.x 1/:

en otras palabras, paraxsuficientemente grande,y x 1.

Ejemplo 1.5.3 Analizar las isoclinas de la ED y 0 D f.x;y/ D x C y; bosquejar algunas curvas solucin.

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H Las isoclinas son simplemente las lneas rectas

x C y D C o bien y D x C C;

todas con pendiente 1y el parmetroCnos da sus ordenadas al origen.

x

y

Escogiendo algunos puntos en cada isoclina, podemos marcar en esos puntos pequeos segmentos quesern tangentes a las curvas solucin:

x

y

Ahora podemos trazar algunas curvas solucin:

x

y

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Desde luego, una de las isoclinas, y D x 1es tambin una curva solucin, pues para ella se cumpley 0 D 1 D x C y. Esta situacin no es muy comn, pero llega a ocurrir.

Observaciones:

1. Como se mencion anteriormente, intentar resolver una ED de la manera descrita nos dar sola-mente una idea aproximada de cmo se ven las soluciones. En el captulo siguiente se describenmtodos analticos para resolver algunas ED de forma sistemtica.

2. En los ejemplos mostrados sobre isoclinas, stas tienen formas relativamente simples (rectas,crculos, parbolas, etc.) Sin embargo, si las isoclinas se describen mediante ecuaciones mscomplicadas, un anlisis grfico de las soluciones de una ED puede resultar muy difcil.

3. An en los casos sencillos en que se pueden usar las isoclinas con cierta facilidad, hay que prestarespecial atencin a los casos en que se tieney 0 D 0o bieny 0 queda indefinida, pues entonces lassoluciones pueden tener una conducta extraordinaria (como perder la continuidad).

Ejemplo 1.5.4 Analizar mediante isoclinas algunas soluciones de la ED y 0 D y

x.

H Las isoclinas son

y

x D C o bien y D Cx;esto es, simplemente lneas rectas que pasan por el origen.

x

y

Sin embargo, notemos que ninguna de ellas se puede definir, para x D 0, pues esto nos dara una indefini-

cin

y 0 D y

0

. Por tanto ninguna curva solucin debera cruzar el eje y. De forma anloga, cuando

C D 0, obtenemos como isoclina y D 0, el eje x . La siguiente figura muestra el campo de direcciones yalgunas curvas solucin. Ninguna de ellas cruza los ejes coordenados.

x

y

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Ejemplo 1.5.5 Analizar grficamente algunas soluciones de la ED: dy

dxD 5y

45 ; parax > 0.

H Como en este caso el valor dey 0 depende slo dey, las isoclinas son rectas horizontales

5y45 D C ) y D

C

5

54

; paraC 0;

y se ve que las isoclinas son simtricas con respecto al eje horizontal. La grfica a continuacin muestra lasisoclinas correspondientes aC D 0;2;5;10;15 y25.

x

y

Notemos que:

y D .x C /5 ) y 0 D 5.x C /4 D 5

5

.x C /54

D 5

.x C /545 D 5y

45 :

Es decir, y D .x C /5

es una familia de soluciones de la ED y0

D 5y

4

5 . La figura siguiente muestraalgunas curvas soluciny D .x C /5, paraC D 2;4;6;8;10 y el campo de direcciones:

x

y

Aqu hay que observar necesariamente que cuando una curva solucin entra al eje x puede continuar sutrayectoria indefinidamente en ese eje o bien salir de l en un punto posterior. La siguiente figura representaeste caso para la solucin:

by D

.x 2/5; six < 2I0; si2 x 4I.x 4/5; six > 4:

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Ejercicios 1.5.1 Interpretacin grfica de y 0 D f.x;y/.Pgina 10

1. a. Isoclinas:y D4

cx.

Campo de direcciones:

b. Verificar.

c. Ver la grfica.

d. Analizar.

2. a. Las isoclinas son entonces de la forma1

v

10D c ) v D 10.1 c/.

b. Campo de direcciones y soluciones, para

v.0/ D 0;5; 10;15.

t

v

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CAPTULO

1Conceptos bsicos

1.4.2 Curva solucin de un PVI

Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales y particulares de una ED, ocurre que las solu-ciones generales contienen una o ms constantes arbitrarias. Para encontrar valores determinados de esasconstantes se requiere de una o ms condiciones iniciales. Recordemos que llamamos problema de valorinicial (PVI)al formado por una ED y una condicin inicial, por ejemplo:

dy

dxDf.x;y/; con la condicin y.x0/

Dy0:

Discutiremos algunos aspectos relacionados con la existencia de soluciones de los PVI en la siguienteseccin. De hecho, todas las ED y PVI que se presentan en este libro tienen solucin, a menos que seindique expresamente lo contrario. Puede apreciarse algo con respecto a las soluciones de ED y PVI si con-sideramos las ED de primer orden ms simples que puede haber, aquellas en las que fdepende slo de lavariablex:

dy

dxD f.x/; con la condicin y.x0/ D y0:

La solucin de la ED esdy

dxD f.x/) yD

f.x/dx:

Es claro que la integral indefinida que est indicada debe contener una constante Caditiva arbitraria y, si lacondiciny.x0/ D y0puede cumplirse para una eleccin adecuada deC, ella nos dar la solucin al PVI.

Ejemplo 1.4.1 Encontrar la solucin del PVI: y 0 D 2x C 1 I con la condiciny.0/ D 1 :

H Esta ecuacin diferencial se puede resolver por integracin:

y 0 D 2x C 1) y D

.2x C 1/dx) y D x2 C x C C :


1

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Sin la condicin inicial, la solucin general de la ecuacin diferencial es la familia de parbolas que seobtienen al trasladar hacia arriba y hacia abajo a la parbolayD x2 C x:

x

y

Familia de curvasy D x2CxCC.

Tomando en cuenta la condicin inicial, la nica solucin que cumple y.0/ D 1es aquella que pasa por elpunto.0; 1/del plano cartesiano. Para obtener esta solucin sustituimos x D 0 &y D 1en la familia decurvas y D x2 C x C Cy obtenemos un valor deC:

y D x2 C x C C) 1 D 02 C 0 C C) CD 1)) y D x2 C x 1es la nica curva que pasa por el punto.0; 1/)) y D x2 C x 1es la nica solucin del problema: y 0 D 2x C 1; sujeta a la condicin y.0/ D 1:

x

y

.0;1/Solucin nica:y D x2 C x 1.

Pasa por el punto .0;1/.

Ejemplo 1.4.2 Encontrar la solucin del PVI y 0 D y C xcon la condiciny.1/ D 5:

H Como se mencion en el ejemplo??, hemos aceptado que la solucin general de la ecuacin diferencialy 0 D y C xes y D .x 1/ C Cex :

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 1 3

Familiade curvasy D .x1/CCex .

x

y

De todas estas curvas slo existe una que pasa por el punto .1; 5/: xD 1 &yD 5. Sustituyendox D 1 &yD 5en la ecuacin de la familia para obtener el valor deC tenemos:

y D .x 1/ C Ce x ) 5 D .1 1/ C Ce1 ) 5 D 2 C Ce 1 ) Ce1 D 3) CD 3e1 )) y D .x 1/ 3e1ex es la nica curva que pasa por el punto.1; 5/)) y D .x 1/ 3e.1x/ es la nica solucin del problemay 0 D y C xI y.1/ D 5:

x

y

1

5

La nica funcin de la familia quepasa por el punto.1;5/:y D .x 1/ 3ex1 .

Observaciones:

1. Si bien hemos escrito antes que la solucin de dy

dxD f.x/esyD

Z f.x/dx, debe quedar enten-

dido que la solucin la podemos obtener de forma explcita en el supuesto caso de que se pueda

realizar la integral. Algunas integrales, comoZ

ex2

dx o bienZ sen x

x dx no se pueden expresar

en trminos de funciones elementales, es decir, como sumas, productos, cocientes, potencias delas funciones: constantes,x, ex , ln x, sen x, cos x, etc. En casos como sos tenemos que recu-rrir como ltimo recurso a la evaluacin de dichas integrales mediante mtodos numricos. Elcaptulo siete de este libro presenta algunos mtodos utilizados para la solucin de PVI.

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2. La especificacin de una condicin inicial para una ED no puede ser completamente arbitraria.

Por ejemplo, si a la ED y 0 D 1x

le aadimos la condicin y.0/D 5, entonces como la solucingeneral es y D ln x C C, vemos que no se puede cumplir y.0/D 5D ln 0 C C, pues ln 0noest definido, como tampoco estara definida la derivada y 0.0/D 1

0. Se deben cumplir ciertos

requisitos, que describiremos en la siguiente seccin, para que una condicin inicial determineuna solucin particular de la ED.

De los ejemplos previos y lo discutido sobre soluciones generales de ED, podemos concluir que la solucingeneral de una ED es una familia de curvas.

En general, podemos definir unafamilia de curvascon un parmetro como el conjunto de solucionesde una ecuacin de la forma

F. x ; y; C / D 0;

dondex,yson coordenadas yCrepresenta unparmetro, que es un valor numrico que se mantieneconstante para cada curva.

Ejemplo 1.4.3 Presentamos varios ejemplos de familias de curvas.

H

1. La familia de todas las rectas que pasan por .0; 0/, excepto la vertical, se puede representar por laecuacin:

yD mx;

donde la pendiente mes un parmetro. La siguiente grfica muestra las curvas de la familia paraalgunos valores dem:

x

y

2. La familia de todos los crculos con centro.0; 0/se puede escribir como:

x2 C y2 D r2;

donde el valor de r 2 (el cuadrado del radio) se puede tomar como parmetro. La grfica siguientemuestra algunas curvas de esta familia para diferentes valores de r :

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x

y

3. La familia de todas las parbolas con vrtice en.0; 0/y el ejeycomo eje de simetra se expresa como:

y D cx2;

donde el parmetrocindica hacia dnde abren las parbolas (arriba o abajo).

x

y

4. La familia de las curvas que representa la ecuacin:

x2 y2 D c;

dondeces el parmetro, conc2 R, es la familia de hiprbolas cuyo centro es el origen y con asntotasoblicuas las rectas yD x, las cuales tambin forman parte de esa familia (para el valor cD 0). Lagrfica siguiente muestra varias curvas de esta familia. Las rectas yD x (no dibujadas) son lasasntotas. Las hiprbolas cuyas ramas cruzan el eje x son las que corresponden a c D 1;2;3;4; ,mientras que las que tienen ramas que cortan al ejeycorresponden ac D 1; 2; 3; .

x

y

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5. La familia de todos los crculos en el plano que se encuentran en el primer y tercer cuadrante,tangentes a los ejes coordenados x ,y.

x

y

Para cada crculo de la familia debe suceder que el centro se encuentre en un punto de la formaC

D.a; a/y toque a los ejes en.a; 0/y.0; a/, por lo que su radio ser r

D ja

jy la ecuacin ser

.x a/2 C .y a/2 D a2;

cona como parmetro. Otra forma de escribir esta ecuacin es desarrollando los binomios y cance-lando el trminoa2:

x2 2ax C a2 C y2 2ay C a2 D a2 ) x2 C y2 2a.x C y/ C a2 D 0:

En los ejemplos anteriores nos fue posible escribir una ecuacin (algebraica) con slo un parmetro y querepresenta a la totalidad de curvas de la familia. Una observacin muy interesante es que tambin existeuna ED que representa a las curvas de la familia, en el sentido de que las curvas solucin de la ED sonprecisamente las curvas de la familia con la cual iniciamos. Para obtener esa ED lo que se hace es derivar

(implcitamente por lo regular) la ecuacin original de la familia y, usando ambas ecuaciones, eliminar elparmetro arbitrario. Ilustramos este procedimiento con las ecuaciones del ejemplo anterior.

Ejemplo 1.4.4 Usar las familias del ejemplo anterior para obtener la ED asociada a cada familia.

H

1. Partiendo de la ecuacinyD mxobtenemos al derivar dydx

D m, de donde, al sustituir esto ltimo enla primera ecuacin:

y D

dy

dx

x o bien

dy

dxD y

x:

Cualquier funcin de la forma yD mxsatisface a esta ED, como se puede apreciar de inmediato por

sustitucin:y D mx ) dy

dxD m & y D mx ) y

xD m; parax 0:

2. Al derivar implcitamente la ecuacinx2 C y2 D r2, obtenemos2x C 2ydydx

D 0, de donde

dy

dxD x

y:

Es claro que la familia de crculos definida por x2 C y2 D r2 es solucin de dydx

D xy

.

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3. Si derivamos la ecuacinyD cx2, obtenemos dydx

D 2c x; de la ecuacin original podemos despejar c

para obtenerc D yx2

(suponiendox 0) y al sustituir este valor de cen dydx

resulta:

dy

dx D2

y

x2xD

2y

x

; suponiendox

0:

Las funcionesy D cx2 son soluciones de la EDy 0 D 2yx

, pues:

y D cx2 & y 0 D 2c x ) y 0 D 2cx D 2yx2

xD 2y

x :

4. De manera anloga a los ejercicios anteriores, al derivarx2 y2 D c, implcitamente obtenemos:

2x 2ydydx

D 0; o sea, dydx

D xy

.y 0/:

5. Al derivar implcitamente la ecuacin de la familia obtenemos:

2x C 2yy 0 2a 2ay 0 D 0) .y a/y 0 C .x a/ D 0) y 0 D a xy a :

La ED anterior an contiene al parmetroa que falta eliminar. Para ello podemos ayudarnos de laecuacin original de la familia:

x2 C y2 2a.x C y/ C a2 D 0) a2 2a.x C y/ C .x C y/2 D 2xy)) a C .x C y/2 D 2xy ) a D .x C y/

2xy:

Por tanto, la ED de la familia es

dy

dxD.x C y/

p2xy x

y C .x C y/ p2xy D 2x C y p2xyx C 2y p2xy :

Observaciones:

1. Podemos concluir que cualquier familia de curvas con un parmetro puede representarse poruna ED, siguiendo el procedimiento descrito anteriormente: derivar implcitamente y eliminarel parmetro.

2. Si la familia de curvas depende de dos o ms parmetros, es de esperarse que se tengan quecalcular derivadas de orden superior para eliminar los parmetros. Obtendramos as una ED deorden mayor que 1.

Ejemplo 1.4.5 Encontrar una ED cuyas soluciones sean todas las curvas de la familia de dos parmetrosAyB dada por

yD A cos x C Bsen x:H Derivando:

y 0 D A sen x C Bcos x y y 00 D A cos x Bsen x;de manera que la suma de ycony 00 nos da

y 00 C y D .A cos x Bsen x/ C .A cos x C Bsen x/ D 0;o simplemente

y 00 C y D 0:

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Note que en los dos ltimos ejemplos estamos partiendo de una familia de curvas o funciones dadas paraobtener una ED de la cual todas ellas son soluciones. Esto equivale a comenzar con la respuesta de unproblema para terminar con la pregunta del mismo, lo cual tiene un inters meramente terico. Lo que nosocupar en los captulos siguientes es cmo hacer para encontrar las soluciones de una ED dada.

Ejercicios 1.5.2 Curva solucin de un PVI.Soluciones en la pgina 9

1. Para las siguientes familias de curvas:

a. La familia de todas las elipses con centro en.0; 0/tales que el semieje horizontal sea el doble delsemieje vertical.

b. La familia de todas las rectas no verticales que pasan por el punto.1; 2/.

c. La familia de todas las parbolas que abren hacia arriba y que son tangentes al ejex.

d. La familia de todas las hiprbolas cuyas asntotas son los ejesx,y.

e. La familia de todos los crculos que pasan por los puntos.1;0/y.1; 0/.Determinar: (i)La expresin algebraica que las describe. (ii)La ecuacin diferencial de la cual son

soluciones.2. Dado el crculox2 C y2 D 1, considere la familia de todas las rectas que son tangentes a dicho crculo.

Determine la ecuacinF.x ; y; C / D 0que satisfacen todas esas rectas.

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Ejercicios 1.5.2 Curva solucin de un PVI.Pgina 8

1. a. i. x2

4b2C

y2

b2 D 1,

ii. y 0 Dx

4y;

b. i. y 2 D m.x 1/,ii.

dy

dx D

y 2

x 1;

c. i. y D c.x a/2,ii. 2y 00 y D xy 0 2 ;

d. i. x y D c,

ii. y 0 D y

x;

e. i. x2 C y2 2cy D 1,

ii. y 0 D2xy

x2 y2 1.

2. y2.1 x20/ D .1 x0x/2.

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CAPTULO

1Conceptos bsicos

1.6 Existencia y unicidad de soluciones *

Hasta el momento hemos hablado de las ED y sus soluciones sin preocuparnos sobre el problema de laexistencia de dichas soluciones. Es de esperarse que las ED que consideraremos en la mayora de los casostengan solucin, de otra forma el tiempo y esfuerzo que se inviertan en buscar una solucin estaran irre-mediablemente perdidos. Por otra parte, el hecho de que para una ED en particular una persona no puedaencontrar su solucin no significa que la ED no tenga solucin. De aqu resulta muy deseable conocer algncriterio que nos permita decidir si una ED o bien un PVI tienen solucin. En esta seccin vamos a enunciar,sin demostracin, un resultado de gran importancia, conocido como el teorema de Existencia y Unicidadde Picard-Lindelf, que proporciona algunas condiciones que garantizan que un PVI tenga solucin nica.Antes de enunciar un resultado importante de esta seccin, hagamos explcitas las siguientes afirmacionesque damos por sentadas:

1. Toda ED de primer orden se puede escribir en laforma normal:

dy

dx D f.x;y/;

dondefes una funcin de dos variables (aunque bien puede darse el caso que dependa solamentede una de ellas), definida en todo el planoxyo bien en una parte del plano llamadael dominio def.

2. Recordemos que al par formado por una ED y condiciones iniciales se le llama un problema de valor

inicial o PVI. Es decir, un PVI de primer orden es de la forma:dy

dx D f.x;y/; con y.x0/ D y0: (1.1)

Dicho lo anterior, si una funcin y D '.x/es solucin del PVI (1.1), entonces por la segunda parte delteorema Fundamental del Clculo: x

x0

' 0.t/dt D '.t/

xx0

D '.x/ '.x0/I


1

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despejando'.x/:

'.x/ D '.x0/ C

xx0

' 0.t/dt:

Ahora bien, porser y D '.x/ una solucindel PVI debe cumplir con '.x0/ D y0y con' 0.x/ D dydx

D f.x;y/,de donde' 0.t/ D f.t;y/ D f .t; '.t//. Resulta entonces que, siy D '.x/es una solucin del PVI, entoncesdebe satisfacer a la siguiente ecuacin integral:

'.x/ D y0 C

xx0

f.t;'.t//dt: (1.2)

Con el argumento anterior hemos mostrado que, si y D '.x/es solucin del PVI (1.1), entonces tambin essolucin de (1.2). Recprocamente, si y D '.x/satisface a la ecuacin integral (1.2) y se cumplen algunascondiciones de continuidad sobre la funcin f.x;y/del integrando (junto con su derivada parcial conrespecto a su segunda variable), que hacen posibleque la integral estbien definida, entonces obtendramosde (1.2) al derivar respecto a x , por la primera parte del teorema Fundamental del Clculo:

d

dx'.x/ D

d

dx

y0 C

xx0

f.t;'.t//dt

D

d

dxy0 C

d

dx

xx0

f.t;'.t//dt

D f .x; '.x// )

) ' 0.x/ D f .x;'.x// y adems '.x0/ D y0 C x0

x0

f.t;'.t//dt D y0:

Aunque puede resultar difcil de creer, la ecuacin integral (1.2) es en general ms accesible para el anlisisque el PVI (1.1) e incluso proporciona la base para un mtodo general de solucin, que consiste en obteneraproximaciones sucesivas'0.x/, '1.x/, '2.x/; a la solucin del PVI cada vez mejores, en el sentido deque se encuentran ms cerca de la solucin verdadera.El esquema de aproximacin es como sigue:

'0.x/es cualquier aproximacin a la solucin; a falta de informacin se escoge comnmente'0.x/ D y0, ya partir de ah se definen:

'1.x/ D y0 C

xx0

f. t ; '0.t//dt;

'2.x/ D y0 C

xx0

f. t ; '1.t//dt;

:::

'nC1.x/ D y0 C

xx0

f. t ; 'n.t//dt:

Cuando las condiciones que debe cumplir f.x;y/ se satisfacen,esteesquema converge con bastante rapideza la nica solucin del PVI.

Ejemplo 1.6.1 Encuentre la solucin al PVI:

dy

dxD y; con la condicin y.0/ D 1:

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1.6 Existencia y unicidad de soluciones * 3

H Definimos'0.x/ D y0 D 1; a partir de esta primera aproximacin:

'1.x/ D y0 C

xx0

f. t ; '0.t//dt D 1 C

x0

1 dt D 1 C t

x

0

D 1 C xI

'2.x/ D y0 C x

x0 f. t ; '1.t//dt D 1 C x

0 .1 C t / d t D 1 C

t C

t 2

2 x

0D 1 C x C

x2

2 I

'3.x/ D y0 C

xx0

f. t ; '2.t//dt D 1 C

x0

1 C t C

t 2

2

d t D 1 C

t C

t 2

2 C

t 3

2 3

x0

D

D 1 C x Cx2

2 C

x3

3I

:::

'nC1.x/ D y0 C

xx0

f. t ; 'n.t//dt D 1 C

x0

1 C t C

t 2

2C C

t n

n

dt D

D 1 C

t C

t 2

2 C

t 3

3 C C

t nC1

.n C 1/

x

0

D 1 C

x C

x2

2 C

x3

3 C C

xnC1

.n C 1/

:

Se puede apreciar entonces que las funciones '0.x/, '1.x/, '2.x/; ; 'n.x/ son las sumas parciales dela solucin nica del PVI, que est dada por la serie

'.x/ D

1kD0

xk

k D ex;

como se puede verificar fcilmente.

El ejemplo previo se pudo resolver fcilmente porque as fue escogido, de modo que el lector pudiera apre-ciar cmo funciona el mtodo de aproximaciones sucesivas. Hay que aclarar que este mtodo no se aplicaen todos los PVI (solamente en aquellos que satisfacen a las condiciones para tener solucin nica), y anen los casos en que se puede aplicar, la convergencia (a pesar de ser rpida) puede resultar difcil de apre-ciar, pues las integrales que dan las aproximaciones sucesivas se van tornando cada vez ms complicadas.Afortunadamente, rara vez hay que emplear este mtodo en la prctica; esta situacin es similar al clculode integrales directamente a partir de la definicin como lmite de sumas de Riemann.A continuacin enunciamos el teorema de Existencia y Unicidad con una ltima aclaracin: es costumbreen los textos de matemticas que cualquier afirmacin titulada teorema se suponga que es una proposicindemostrable y que debe demostrarse en el texto. Nosotros, cuando anunciamos un resultado con el ttuloteorema, significa que es algo importante para el desarrollo de los temas que siguen y muy posiblementepara todo el libro y para el material que se vea en otros cursos ms avanzados. Sin embargo, esto nosignifica que proporcionaremos una demostracin de ese resultado en este texto, pues dicha demostracinpuede encontrarse en alguna otra fuente.

Teorema 1.1 de Existencia y Unicidad (Picard-Lindelf)

Dado un PVI

dy

dx D f.x;y/; con y.x0/ D y0;

supongamos que hay un rectngulo R D

.x;y/ a < x < b; c < y < d que contiene al punto .x0; y0/ en su

interior y dentro del cual f.x;y/y @f

@y.x;y/son continuas. Entonces el PVI tiene una nica soluciny D '.x/

definida en algn intervalox0 h < x < x0 C h, para algnh > 0.

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x

y

x0a bx0 h x0 C h

y0

c

d

R

y D '.x/.

Observe que el contenido de este teorema es dar condiciones suficientes para que el PVI tenga solucinnica. El rectngulo Rdel que habla podra ser grande (incluso ocupar todo el plano) o bien pequeo,pero la curvay D '.x/cuya existencia y unicidad garantiza el teorema est confinada al mismo rectngulo,hasta el intervalox0 h < x < x0 C hdebe quedar contenido en el intervaloa < x < b. El teorema no dicetampoco qu tan pequeo ser el nmero h, slo afirma que es positivo. En el mejor de los casos (como enel ltimo ejemplo anterior al teorema) hpuede ser C1 y la solucin est definida para todo x ; en el peorde los casoshpuede ser un nmero positivo pequeo.

Ejemplo 1.6.2 Tiene solucin el PVI y 0 D x2y y5; con y.2/ D 3

H Tenemos quef.x;y/ D x2y y5 & @f

@y D x2 5y4 son las dos funciones continuas para todo valor de

x &y. En consecuencia, el teorema de Existencia y Unicidad garantiza que hay una solucin nica.

Ejemplo 1.6.3 Tiene solucin el PVI y 0 D ln.xy/; con y.0/ D 2

H En el presente caso f.x;y/ Dln.xy/ &@f

@y D

1

yson las dos funciones definidas y continuas en R D

.x;y/

x > 0;y > 0

. Dado que el punto .0; 2/ no se encuentra en el interior deR, el teorema de Existencia

y Unicidad no garantiza que haya solucin nica. Si se tuviera una condicin inicialy.x0/ D y0conx0 > 0,y0 > 0de modo que el punto.x0; y0/est dentro deR, entonces s podramos asegurar la existencia de unasolucin nica.

Ejemplo 1.6.4 Tiene solucin el PVI y 0 D 6xy23 ; con la condicin y.0/ D 0

H Tenemos ahora que la funcinf .x;y/ D 6xy23 est definida y es continua para todos los valores x ,y ,

mientras que @f

@y D 6x

2

3y

13 D 4 xy

13 est definida y es continua para todas lasx , y exceptoy D 0. La

condicin inicial dada est contenida en la recta y D 0, donde @f

@yno est definida, as que el teorema no

garantiza que haya solucin nica. Sin embargo en este ejemplo, a diferencia del anterior, s hay solucin

aunque sta no es nica.1. Para empezar, tenemos la solucin trivialy D '0.x/ D 0para toda x, que satisface desde luego el PVI,

pues

'0.0/ D 0 y dy

dx D 0 D 6x'.x/

23 D 6 0:

2. Otra solucin es la funciny D '1.x/ D x6, pues evidentemente:

'1.0/ D 0 y d'.x/

dxD 6x5 D 6 x x4 D 6x'1.x/

23 :

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1.6 Existencia y unicidad de soluciones * 5

3. Tambin se pueden hacer combinaciones de las soluciones anteriores, como:

'3.x/ D

0; six < 0Ix6; six 0:

o tambin'4.x/ D

x6; six < 0I0; six 0:

Tener tan gran variedad de soluciones podra ser tan malo como no tener solucin alguna, pues enlos problemas de inters lo que se busca es una sola respuesta bien definida.

Podra probarse que el hecho de que @f

@yes discontinua en el punto .x0; y0/de la condicin inicial es lo

que provoca tantas soluciones en vez de una sola. Sin embargo, investigar esta clase de temas, aun cuandopuede ser de gran inters, queda fuera de los objetivos de un curso introductorio de ED y de este libro.

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CAPTULO

2Mtodos de solucin de ED de primer orden

2.1 Introduccin

En este captulo presentamos los mtodos para resolver analticamente ED de primer orden y PVI de lostipos ms comunes que se usan en las aplicaciones prcticas. Los mtodos vienen acompaados por prue-

bas o criterios que nos permitirn identificar una ED como perteneciente a uno de esos tipos, junto con unprocedimiento de solucin. Encontraremos tambin procedimientos mediante los cuales es posible trans-formar una ED en uno de esos tipos.

Recordemos queuna ecuacin diferencial ordinaria de primer ordenes una relacin entre y 0, y &x(la variable independiente) de la forma:

F. x ; y; y 0/ D 0 ;

dondeFes una funcin de tres variables.

Ejemplo 2.1.1 Las siguientes expresiones matemticas son ejemplos de ED ordinarias de primer orden:

H

1. 5y.y 0/3 2xyy 0 4 sen x D 0.

2. .7x y2/y 0 D ex2

2.

3. y

dy

dx

C 6x2 D 3x

dy

dx

5

.

4. .y 0/2 D .2x C y/.y 0/.


1

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5. 6y 0 D y C 4

x .

6. .x C y/dx C .tan x2 xy/dy D 0.

En este libro encontraremos, en algunos casos, ED en las cuales es posible despejar y 0, es decir:

y 0 D f. x ; y/ :

Estas ecuaciones diferenciales se dice que estn enforma normal.

Ejemplo 2.1.2 Despejary 0 de la siguiente ecuacin diferencial: .3xy/y 0

x2 y2 D 5y 0.

H Realizando un poco de lgebra se obtiene

y 0 D

x2 y2

3xy 5 ; siempre y cuando3xy 5 0:

De aqu identificamos:

f.x;y/ D

x2 y2

3xy 5:

Recordemos que otra forma de presentacin para las ecuaciones diferenciales es la siguiente:

M.x;y/dx CN.x;y/dy D 0 : (2.1)

Si deseamos despejar una derivada de esta expresin, bien se puede considerar a x como la varia-

ble independiente y despejar dydx

; o bien se puede considerar a y como la variable independiente y

despejardx

dy.

1. Considerando axcomo la variable independiente:

M.x;y/dx C N.x;y/dy D 0 ) M.x;y/dx D N.x; y/dy )

) M.x; y/ D N.x;y/dy

dx)

dy

dxD

M.x; y/

N.x;y/)

) dy

dxD y 0 D f.x;y/ D

M.x;y/

N.x;y/, con la condicin N.x; y/ 0 :

2. Considerando aycomo la variable independiente:

M.x;y/dx CN.x;y/dy D 0 ) M.x;y/dx D N.x;y/dy )

) M.x; y/d x

dyD N.x; y/ )

dx

dyD

N.x;y/

M.x; y/ )

) dx

dyD x 0 D g.x; y/ D

N.x; y/

M.x;y/, con la condicin M.x; y/ 0 :

Se puede observar que y 0 x 0 D dy

dxdx

dyD

M.x; y/

N.x; y/

N.x;y/

M.x; y/

D 1.

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2.1 Introduccin 3

Ejemplo 2.1.3 Sea la ecuacin diferencial: .3x2y xy2/ dx C .2xy 3x2y2/ dy D 0.

1. Considerando ax como la variable independiente, despejar dy

dx

.

2. Considerando ay como la variable independiente, despejardx

dy.

H

1. Considerado axcomo la variable independiente:

y 0 Ddy

dxD

3x2y xy2

2xy 3x2y2D

.xy/.3x y/

.xy/.2 3xy/

D 3x y

2 3xy;

excepto los puntos que estn en la hiprbola2 3xy D 0y en los ejes x .y D 0/ &y .x D 0/.

2. Considerado aycomo la variable independiente:

x0

D

dx

dy D

2xy 3x2y2

3x2y xy2 D .xy/.2 3xy/

.xy/.3x y/ D

2 3xy

3x y ;

excepto los puntos que estn en la recta 3x y D 0y en los ejes x &y.

De nuevo, vemos que y 0 x 0 Ddy

dx

dx

dyD

3x y

2 3xy

2 3xy

3x y

D 1.

Ejemplo 2.1.4 Sea la ecuacin diferencial .2s4 9ts/ds C .s2 3ts/dt D 0.

1. Considerando as como la variable independiente, despejar dt

ds.

2. Considerando at como la variable independiente, despejar ds

dt.

H

1. Considerado ascomo la variable independiente:

t 0 D dt

dsD

2s4 9t s

s2 3t sD

.s/.2s3 9t /

.s/.s 3t/D

2s3 9t

s 3t;

excepto los puntos que estn en la recta s 3t D 0y en el ejet .s D 0/.

2. Considerado at como la variable independiente:

s 0 D ds

dtD

s2 3ts

2s4 9t sD

.s/.s 3t /

.s/.2s3 9t /

D s 3t

2s3 9t;

excepto los puntos que estn en la curva 2 s3 9t D 0y en el eje t .sD 0/.

Recordemos que la derivada s 0.t/ es la razn de cambio instantnea de la funcins.t/. Sis.t/es la posicinde un objeto con respecto al tiempo, entonces s 0.t/ representa la velocidad instantnea de dicho objeto. Astambins 0.t0/se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin s.t/enel puntot0;s.t0/. Este concepto, que se ha visto en el curso de Clculo Diferencial, nos permitir trabajaren el siguiente captulo sobre problemas de crecimiento de poblaciones, mezclas, cada libre, decaimientoradioactivo, aplicaciones geomtricas, entre otros, en los cuales se requiere encontrar las soluciones de unaED de primer orden.A continuacin se exponen las tcnicas ms conocidas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden, ecuaciones que se requieren para resolver las aplicaciones anteriormente mencionadas.

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CAPTULO


2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

El primer tipode ED que presentamos es el de variables separables,porque con frecuencia se intentasepararlas variables de las ecuaciones de dos variables. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuacin algebraica .x2 x/.y2 C 3/ D 2xy.H Por separar las variables de la ecuacin se entiende que, por medio de operaciones algebraicas vlidas,

se coloquen todas lasxde un lado de la igualdad y todas lasydel otro lado. En este caso,

.x2 x/.y2 C 3/ D 2xy) x2 x

x D 2y

y2 C 3:

Como explicamos, se han colocado lasxdel lado izquierdo de la ecuacin y lasydel lado derecho.

Ejemplo 2.2.2 Separar las variables de la siguiente ED dy

dxD 2xy

.x2 x/.y2 C 3/ .

H Para una ED como sta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas vlidas,se escriba la ED en la forma:

g.y/ dyD h.x/ dx :Entonces tenemos:

dydx

D 2xy.x2 x/.y2 C 3/ )

y2 C 3y

dyD 2xx2 xd x :

Y ahora:

g.y/D y2 C 3

y & h.x/ D 2x

x2 x ; con y 0yx2 x 0 :

Del resultado anterior, se concluye que la ecuacin diferencial dy

dxD 2xy

.x2 x/.y2 C 3/ es una ED de varia-bles separables.


1

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Una ecuacin diferencial y 0 D dydx

D f.x;y/esde variables separablessi podemos escribirla en laforma:

g.y/ dyD h.x/ dx :El mtodo para resolver una ecuacin diferencial de variables separables consiste en integrar estaltima igualdad, es decir:

g.y/ dyD

h.x/dx)

) .y/ C C1D .x/ C C2 ) .y/ .x/ D C2 C1 )) .x; y/ D C, que es la solucin general de la ED.

En general, la solucin queda definida de manera implcita.

Ilustramos este mtodo con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.2.3 Resolver la ecuacin diferencial y 0 D dydx

D sen x.

H Separando las variables tenemos:

dy

dxD sen x ) dyD sen x dx :

Integrando directamente: dyD

sen x dx) yD cos x C C;

que es la solucin general de la ED.

Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuacin diferencial y 0 D sen y.

H Separando las variables tenemos:

dy

dxD sen y ) dy

sen yD dx :

Integrando:

dy

sen yD dx )

csc y dy

Dx

CC

) ln

jcsc y

cot y

j Dx

CC :

Esta ltima expresin representa la solucin general de la ED en forma implcita.

Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuacin diferencial dy

dxD 2xy

.x2 2/.y2 C 3/ .

H Separando las variables:

dy

dxD 2xy

.x2 2/.y2 C 3/ ) y2 C 3

ydyD 2x

x2 2 dx :

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2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 3

Integrando: y2 C 3

y dyD

2x

x2 2d x)

y C 3y

dyD ln

x2 2 C C)

)

y2

2 C3 ln

jy

j Dln x

2

2 C

C :


Observaciones. En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral dy

y D ln j y j C C

es la forma correcta de aplicar esta frmula de integracin. Sin embargo, con cierta frecuencia en laspginas siguientes y en el resto del libro, el lector podr encontrar varias veces

du

uD ln u C C:

Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones yconseguir despejar a la variable dependiente en la solucin de la ED.Se supone tambin que el lector conoce, por sus cursos previos de Clculo, las convenciones usualesen la manipulacin de funciones elementales. As por ejemplo, al escribir

sen yD f.x/) yD arcsenf .x/;no hace falta insistir que, para queysea una funcin bien definida, se debe cumplir j f.x/ j 1.En lo sucesivo omitiremos mencionar explcitamente restricciones tales como que los denominadoresdeben ser 0, que los argumentos del logaritmo deben ser positivos, etc., a menos que se considerenecesario.

Tambin para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integracin quese aade en las integrales indefinidas, como por ejemplo, cuando

F 0

.x/ D f.x/ y cuando G0

.y/ D g.y/;anotamos,respectivamente:

F.x/dxD f.x/ C C y

G.y/dyD g.y/ C C;

dondeCrepresenta una constante arbitraria; sin embargo si tenemos, por ejemplo:

F.x/dxD G.y/dx;queremos concluir que

F.x/dxD

G.y/dy;

o sea,

f.x/ C C1D g.y/ C C2:No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que se puede escribir

f.x/ D g.y/ C C;dondeCsustituye aC1 C2.De forma similar, en lo que sigue, el lector podr ver expresiones como C1C C2D C, C1 C2D C,3C1D C,eC1 D C, cos C1D C , etc. en las que esencialmente se hace la convencin de que la suma, laresta, el producto, la exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra constante.

As por ejemplo, una frmula comoeC D Cno es necesariamente incorrecta al interpretarse como unejemplo de estas convenciones.

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Ejemplo 2.2.6 Resolver la ecuacin diferencial y 0 D 2xpy 1.H Separando las variables e integrando:

dy

dxD 2x.y 1/

12 ) .y 1/

12 dyD 2x dx)

.y 1/

12 dyD 2

x dx)

) 2.y 1/12C C1D x2 C C2) 2.y 1/

12D x2 C C:

Elevando al cuadrado

4.y 1/ D .x2 C C /2 ) yD 1 C 14

.x2 C C /2:Esta ltima expresin representa la solucin general de la ED en forma explcita.

Ejemplo 2.2.7 Resolver el PVI y 0 D xy C x 2y 2; con la condiciny.0/ D 2.H Para separar las variables, comenzamos factorizando y despus integramos:

dy

dxD x.y C 1/ 2.y C 1/ D .y C 1/.x 2/)

) dyy C 1 D .x 2/dx)

dy

y C 1 D

.x 2/dx)

) ln.y C 1/ C C1D 1

2.x 2/2 C C2 ) ln.yC 1/ D

1

2.x 2/2 C C:

Para determinarC, consideramos la condicin inicialy.0/ D 2; entonces:

ln 3 D 12

.2/2 C C) CD ln 3 2) ln.y C 1/ D 12

.x 2/2 C ln 3 2:

De dondey C 1 D e 12 .x2/2Cln32 D e 12 .x2/22eln3 ) yD 3e 12 .x2/22 1:

Esta ltima expresin representa la solucin del PVI.

Ejemplo 2.2.8 Resolver la ED .x2 C 1/y 0 tan yD x.H Separando las variables e integrando:

.x2 C 1/ dydx

tan yD x) tan y dyD x dxx2 C 1 )

sen y

cos ydyD

x dx

x2 C 1 )

) ln.cos y/ C C1D1

2ln.x2 C 1/ C C2 ) ln.cos y/ D

1

2ln.x2 C 1/ C C:

Podemos encontrar la forma explcita de la solucin usando propiedades del logaritmo

ln.cos y/1 D ln.x2 C 1/12 C C) .cos y/1 D eln.x2C1/12CC D eln.x2C1/

12

eC:

ConsiderandoeC D Cy observando quee ln.x2C1/12 D .x2 C 1/ 12 , tenemos:

1

cos yD C.x2 C 1/12 ) sec yD C

x2 C 1) yD arcsec.C

x2 C 1/:

Esta ltima expresin representa la solucin general de la ED en forma explcita.

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Ejemplo 2.2.9 Resolver la ED dy

dxD .y 1/.x 2/.yC 3/

.x 1/.y 2/.x C 3/ .

H Al separar las variables se obtiene:

y 2.y 1/.yC 3/

dyD

x 2.x 1/.x C 3/

d x)

y 2.y 1/.yC 3/

dyD

x 2.x 1/.x C 3/

dx :

Aplicando fracciones parciales, obtenemos:

14

dy

y 1 C5

4

dy

y C 3 D 1

4

dx

x 1 C5

4

dx

x C 3 :

Multiplicando por4, e integrando:

ln.y 1/ C 5 ln.y C 3/ C C1D ln.x 1/ C 5 ln.x C 3/ C C2))ln.yC 3/5 ln.y 1/ D ln.x C 3/5 ln.x 1/ C ln C)

)ln.yC 3/5

y

1 D lnC .x C 3/

5

x

1 ) .y C 3/

5

y

1 D C.x C 3/

5

x

1 )

) .y C 3/5.x 1/ D C.x C 3/5.y 1/:


Ejemplo 2.2.10 Resolver el PVI dy

dxD sen x C e

2y sen x3ey C ey cos 2x ; con la condiciny

2

D 0.

H Comenzamos factorizando para separar las variables e integrar para obtener

dy

dxD .sen x/.1 C e

2y/

ey.3 C cos 2x/ ) ey

1 C e2y dyD sen x

3 C cos 2xd x )

eydy

1 C e2yD

sen x3 C cos 2xd x:

Pero cos2 xD 12

.1 C cos 2x/, entonces:

eydy

1 C .ey/2D

sen x dx3 C 2 cos2 x 1D

sen x dx2 C 2 cos2 xD

1

2

sen x dx1 C .cos x/2 :

Ahora, integrando por sustitucin:

arctan ey C C1D 1

2arctan.cos x/ C C2) arctan ey D

1

2arctan.cos x/ C C:

Considerando la condicin inicialy

2

D 0:

arctan e0 D 12arctan

cos2C C ) arctan 1 D 12arctan 0 C C ) CD 4:

Por lo tanto, la solucin buscada es

arctan ey D 12

arctan.cos x/ C 4

) 4 arctan ey C 2 arctan.cos x/ D :

Cualquiera de las dos ltimas expresiones representa la solucin del PVI de forma implcita.

Ejemplo 2.2.11 Resolver la ecuacin diferencial x3e2x2C3y2 dx y3ex22y2 dyD 0.

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Ejercicios 2.2.1 Variables separables.Soluciones en la pgina 9Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:

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1. dy

dxD tan x C sec x.

2. dy

dxD tan y.

3. dx

dyD x2

y .

4. dx

dyD y

x2 .

5. ds

dtD .2tC 1/.2s 1/

2.t2 C t/ .

6. ds

dtD .s

3 s/.4t3 6t /.t4 3t2/.3s2 1/.

7. du

dtD .u C 1/.tC 1/

.u C 2/.t 1/ .

8. dt

duD tu C u C 3tC 3

tu C 2u t 2 .

9. x2y 0 D 1 x2 C y2 x2y2 .10. xy 0 yD 2x2y.

11. 4txdx

dtD x2 C 1.

12. .yln x/1dy

dxD

x

y C 1

2.

13. ddtD .cos t/.cos 2 cos2 /.

14. dy

dtD e2tC3y .

15. dy

dxC yD yx exC2 .

16. exy dy .ey C e2xy/ dxD 0.17. 2tx2 C 2t C .t4 C 1/x 0 D 0; con x.0/ D 1.

18. 2r 1

t d r C r 2r

2

t2

1

dtD 0; conr.2/ D 4.

19. 1

.y 1/2 d x C1p

x2 C 4 dyD 0.

20. d T

dt D k.T T1/, conT.0/D T0, dondek , T0,

T1son constantes .

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Ejercicios 2.2.1 Variables separables.Pgina 7

1. yD ln.cos x/ C ln.sec x C tanx/ C C.2. yD arcsenCex .

3. yD Cex1

.4. 2x3 3y2 D C.

5. sD 12

C.t 2 C t/ C 1

.

6. s3 sD C.t 4 3t2/.7. u C ln.u C 1/ D tC 2 ln.t 1/ C C.8. tC ln.tC 1/ D u C 4 ln.u 1/ C C.

9. yD tan

x2 C Cx 1x

!.

10. yD Cxex2 .

11. .1C x2/2 D Ct .

12. y2

2 C2y

Cln y

D

x3

3lnx

1

3C C.

13. D arccot.sen tC C/.14. 2e3y D 3e2t C C.15. lnyD exC2.x 1/ x C C.16. ey.y 1/ D ex C ex C C.17. arctanx C arctan t2 D

4.

18. 3r2 D 16.t2 1/.

19. .y 1/3

3C x

2

px2 C 4 C 2 ln.x C

px2 C 4/ D C.

20. T.t/ D T1 C .T0 T1/ekt .

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CAPTULO


2.3 Ecuaciones diferenciales lineales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta seccincentraremos la atencin en las ED lineales.

Unaecuacin diferencial linealde primer orden es de la forma

a0.x/dy

dxC a1.x/y Dg.x/; donde a0.x/ 0:

Unaecuacin diferencial lineal homogneade primer orden es de la forma

a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0; donde a0.x/ 0 :

Observacin. En este casog.x/D 0.

Ejemplo 2.3.1 Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:

1. xy 0 y D x2.

2. y2x 0 C 2yx D 3y.

3. .2y C 1/dx C .y2x y x/dy D 0.

H Ahora tenemos:

1. a0.x/ Dx ,a1.x/ D 1 &g.x/D x2.

xes la variable independiente y la variable dependiente es y .

2. a0.y/ D y2,a1.y/ D 2y &g.y/ D 3y.

yes la variable independiente y la variable dependiente es x.


1

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3. Realizando algunas operaciones:

.2y C 1/dx C .y2x y x/dy D 0 ) .2y C 1/dx

dy C y2x y x D 0 )

) .2y C 1/dx

dy

C y2x x D y ) .2y C 1/dx

dy

C .y2 1/x D y:

Vemos quea0.y/ D 2y C 1,a1.y/ D y2 1 &g.y/ D y.

yes la variable independiente y la variable dependiente es x.

Ejemplo 2.3.2 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogneas:

1. xy 0 y D 0.

2. y2x 0 C 2yx D 0.

3. .2x C 5/y 0 C .x2 5/yD 0.

H En estos casos tenemos:

1. a0.x/ Dx ,a1.x/ D 1.

2. a0.y/ D y2,a1.y/ D 2y .

3. a0.x/ D2x C 5,a1.x/ Dx2 5.

2.3.1 Resolucin de la ecuacin diferencial lineal homognea

Para resolver la ecuacin diferencial lineal homgenea de primer orden se presentan a continuacin dosprocedimientos.

Primer procedimiento. La ecuacin diferenciala0.x/dy

dx C a1.x/y D 0es separable. En efecto:

a0.x/dy

dx C a1.x/y D 0 ) a0.x/

dy

dx D a1.x/y )

) dy

dx D

a1.x/

a0.x/y )

dy

y D

a1.x/

a0.x/d x )

)dy

y D p.x/dxI dondep.x/ D

a1.x/

a0.x/y dondea0.x/ 0 :

Integrando se obtiene: dy

yD

p.x/dx ) ln y C C1 D

p.x/dx C C2 )

) ln y D

p.x/dx C C ) y D eRp.x/ dxCC ) y D e

R p.x/dxeC )

) y D CeRp.x/ dxI dondeCes arbitrario.

Ejemplo 2.3.3 Resolver la ED: xdy

dxC x3y D 0; conx 0 :

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2.3 Ecuaciones diferenciales lineales 3

H Separando las variables:

xdy

dxC x3y D 0 ) x

dy

dxD x3y )

dy

yD x2 dx :

Integrando:

dy

yD

x2 dx ) ln y C C1 D

x3

3C C2 )

) ln y D x3

3 C C ) y D e

x3

3 CC ) y D eCe

x3

3 )

) y D Cex3

3 :

Esta ltima expresin es la solucin general de la ED.

Segundo procedimiento. Lo primero que se hace esnormalizarla ecuacin diferencial, es decir, dividimosla ecuacin diferencial entre a0.x/ 0para obtener el coeficiente del trmino con mayor derivada

igual a uno:

a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0 )

dy

dxC

a1.x/

a0.x/y D 0 )

dy

dxC p.x/y D 0 )

) y 0 C py D 0 :

Como antes, denotamosp.x/ D a1.x/

a0.x/, con la restricina0.x/ 0.

A continuacin se hacen las siguientes consideraciones:

a. Se define.x/D e

Rp.x/ dx:

En este caso no usamos la constante de integracin de la integral eRp.x/ dx para obtener una

funcin.x/lo ms sencilla posible.Por el teorema Fundamental del Clculo, al derivar obtenemos:

d

dx D

d

dx

eRp.x/dx

D e

Rp.x/dx d

dx

p.x/dx

D e

Rp.x/dx p.x/ D p :

es decir: 0 D p :

b. Por otro ladod

dx.y/ D

dy

dxC y

d

dxD

dy

dxC yp D

dy

dxC py

:

Igualdad que se escribe como:

.y/ 0 D .y 0 C py/ : (2.1)

Para resolver la ecuacin diferencialy 0 C py D 0:

a. Se multiplica la ecuacin diferencial por la funcin.x/ D eRp.x/dx :

.y 0 C py/ D 0 :

b. Se aplica la igualdad anterior (2.1):.y/ 0 D 0 :

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c. Integrando se obtiene:

.y/ 0 dx D

0 dx ) yD C ) e

Rp.x/dxy D C:

d. Por ltimo se despeja la variabley :

y D C

eRp.x/dx

) y D CeRp.x/ dx :

En este procedimiento la funcin.x/se ha utilizado como factor para poder efectuar la inte-gracin y resolver la ecuacin diferencial. Por esta razn se dice que.x/es unfactor integrantede la ecuacin diferencial.

Ejemplo 2.3.4 Resolver la ED: xdy

dx C x3y D 0, conx 0.

H Se normaliza la ED dividiendo entrex :

dy

dx C x2y D 0 :

Vemos quep.x/ D x2.

Se calcula un factor integrante.x/:

D eRp.x/ dx ) D e

Rx2 dx D e

x3

3 :

Se multiplica porla ecuacin diferencial y se aplica la igualdad.y/ 0 D .y 0 C py/:

ex3

3

y 0 C x2y

D 0 )

ex3

3 y

0D 0 :

Al integrar se obtiene:

ex3

3 y D C ) y D Cex3

3 :

Observacin. Es el mismo resultado que obtuvimos en el ejemplo 2:3:3

2.3.2 Resolucin de una ecuacin diferencial lineal no homognea de primer orden

1. Se normaliza la ecuacin diferencial dividiendo entre a0.x/:

a0.x/dy

dx C a1.x/y D g.x/ )

dy

dx C

a1.x/

a0.x/y D

g.x/

a0.x/ )

)dy

dx C p.x/y Df.x/:

Se considera quep.x/ D a1.x/

a0.x/ & f.x/ D

g.x/

a0.x/; dondea0.x/ 0.

2. Se calcula un factor integrante.x/:.x/ De

Rp.x/ dx :

3. Se multiplica la ecuacin diferencial por la funcin.x/:

.y 0 C py/ D f :

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2.3 Ecuaciones diferenciales lineales 5

4. Considerando que.y/ 0 D .y 0 C py/[ver (2.1) en pgina (3/], se tiene:

.y/ 0 D f :

5. Integrando:

.y/ 0 dx D

f dx ) y C C1 D

f dx C C2:

6. Despejando la variabley :

y D 1

f dx C

C

:

Se ha obtenido as la expresin de la solucin general de la ecuacin diferencial lineal no homognea:

y D eRp.x/dx

e

Rp.x/dxf.x/dx C Ce

Rp.x/ dx :

Ejemplo 2.3.5 Resolver la ED y 0 y D 5.

H En este caso la ecuacin diferencial est normalizada. Se tiene quep.x/ D 1 &f .x/ D 5.Se calcula un factor integrante:

.x/D eR p.x/dx D e

R.1/dx D ex :

Se multiplica la ecuacin diferencial pory se aplica la igualdad conocida (2.1) de la pgina3:

.y 0 C py/ D f ) .y/ 0 D f ) .exy/ 0 D ex5 :

Integrando y despejando ayobtenemos:

.exy/ 0 dx D

ex5 dx ) exy C C1 D 5e

x C C2 ) exy D 5ex C C )

) y D 5 C Cex :

Esta ltima expresin es la solucin general de la ED.

Ejemplo 2.3.6 Resolver la ED y 0 xy D 5x.

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