NIVELACION RESTITUTIVA

MatemticaMAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO

LIBRO DE TRABAJO 8Expresiones algebraicas y ecuaciones

Ministerio de Educacin Programa Liceo Para Todos

NIVELACION RESTITUTIVA

MatemticaMAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO

LIBRO DE TRABAJO 8Expresiones algebraicas y ecuaciones> Material Elaborado Clara Balbontn Victoria Marshall Mara Isabel Raul Gloria Schwarze > Coordinacin Victoria Marshall Pontificia Universidad Catlica de Chile > Colaboracin edicin 2003 Daniel Contreras Daniela Eroles Matas Flores Carlos Ossa Andrea Palma Cecilia Richards Daniela Zenteno Pamela Berros Gonzlez Hctor Hernndez Nanjar Ivonne Strange Fuentes Aurora Valdebenito Gutirrez > Diseo > La Maestranza, Facultad de Arquitectura y Urbanismo, Universidad de Chile

GUIAS DE TRABAJOGUA 112: Expresiones Algebraicas

Problema resueltoSi x representa un nmero entero, escribe la suma de dicho nmero ms su cuarta parte. Solucin Al nmero entero x debemos sumarle la cuarta parte de dicho entero. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Tenemos que: la incgnita x representa un nmero entero. La cuarta parte del nmero entero x es: X 4 Operacin y resultado: X + X 4 Respuesta: La suma de x y su cuarta parte es: . X + X 4

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema.

Problema 1: Escribe tres nmeros enteros consecutivos usando slo una incgnita.

Problema 2: Escribe, usando slo una incgnita, un nmero entero menos la mitad de dicho nmero.

Problema 3: Escribe el doble de un nmero ms dicho nmero, usando slo una incgnita.

Problema 4: Escribe, con una sola incgnita, el doble de un nmero ms el cuadrado de dicho nmero, menos un tercio de la suma anterior.

En cada caso, simplifica las expresiones algebraicas, reduciendo los trminos semejantes:

Problema 5: Escribe un quinto de un nmero entero, ms la mitad de su cuadrado disminuido en 2, usando slo una incgnita.

1. 5 a + 3 c - 5 a (a - c) = 2.d +b+ 22 3

2

2 db - 7 d (3 + 2b) = 32 3 3

3. abc + 2 ab - 7 bc + a b - 2 a (bc + b ) = 4. 15 y + 3 y + (-24,324) - 15 y + y (y - 3) =14 12 xy + 6 x x (x + y) = 5 5 15 2 3 2 6. ( x ) +6( x )-3+12( x ) +9( x )+12(( x ) +1) 2 2 2 2 2

5.

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GUA 113: Frmulas Aritmticas

Problema resueltoEscribe una frmula que represente la propiedad conmutativa de la adicin de nmeros enteros: si a y b son nmeros enteros, entonces la suma de a ms b no vara si se cambia el orden de los sumandos. Solucin Debemos escribir la suma de a ms b y, luego, cambiar el orden de los sumandos. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Si a y b son nmeros enteros, entonces la suma de a ms b es igual a la suma de b ms a. Operacin y resultado: a+b = b +a Respuesta: Si a y b son dos nmeros enteros cualesquiera, entonces la propiedad conmutativa de la suma se representa por: a + b = b + a.

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema.

Problema 1: Escribe la suma de dos enteros pares consecutivos.

Problema 2: Escribe una frmula que represente que: el nmero entero x es un mltiplo de cinco.

Problema 3: Escribe una frmula que represente la siguiente propiedad: Si c es un nmero entero par, entonces, su cuadrado es un entero par.

Problema 4: Escribe una frmula que represente la suma de dos enteros impares consecutivos

En cada caso, escribe una frmula que represente la propiedad: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Propiedad conmutativa del producto. La suma de dos nmeros mltiplos de tres es un mltiplo de tres. El cero multiplicado con cualquier nmero da cero. El producto de un entero cualquiera por un entero par es par. La suma de dos nmeros impares es un nmero par. El producto de un mltiplo de 3 por un entero par es mltiplo de 6.

Problema 5: Si a, b y c representan nmeros enteros, escribe una frmula que represente la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin de enteros.

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GUA 114: Frmulas Geomtricas

Problema resueltoLa cancha de ftbol de un colegio tiene las siguientes dimensiones: a metros de largo y b metros de ancho. Calcula el rea de la cancha. Solucin La cancha es rectangular, por lo tanto su rea corresponde al rea del rectngulo. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Multiplicamos el largo de la cancha por su ancho, porque el rea de un rectngulo es producto de su largo, a, por su ancho, b. Operacin y resultado: rea = a b Respuesta: El rea de la cancha es cuadrados.

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema.

Problema 1: El rea de un tringulo es igual a la mitad del producto de la longitud de su base por la altura correspondiente. Si la escuadra de Jorge mide a centmetros en su cateto ms largo y b centmetros en su cateto ms corto, cul es el rea de la superficie encerrada por la escuadra de Jorge? Problema 2: El rea de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados. Un televisor tiene una pantalla plana que mide a cm. por lado. Cul es el rea de la pantalla? Problema 3: El rea de un crculo es igual a: por el cuadrado del radio del crculo. Si el radio de un CD es b centmetros, cul es el rea de una de sus caras? Problema 4: El volumen de un paraleleppedo es igual al producto del largo por el ancho de su base y por su altura. Pilar recibi de regalo una cajita de msica que mide a milmetros de alto, b milmetros de ancho y c milmetros de largo. Cul es el volumen de la caja de msica? Problema 5: El volumen de una esfera es igual al cubo del radio de dicha esfera por cuatro tercios de . Escriba una frmula que represente el volumen de una pelota cuyo radio es R cm .

a b

metros

Realiza las siguientes operaciones: 1. 2. 3. Volumen de un cubo de lado 2 cm. rea del crculo de radio 12 cm. rea de un tringulo de base 36 cm y altura h cm. 4. Permetro de un rectngulo de lados 5 cm y a cm. 5. rea de un rectngulo de lados a cm y 12 cm. 6. Volumen de un paraleleppedo de lados 2, b y 5 cm.

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GUA 115: Frmulas de la Fsica

Problema resueltoSi d es el nmero de kilmetros que recorre un vehculo en t horas, escribe una frmula que permita calcular la rapidez media del vehculo. Solucin La rapidez media de un vehculo es el cuociente entre la distancia recorrida por l y el tiempo que demora en recorrer dicha distancia. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Designamos la rapidez media por v; la distancia recorrida en kilmetros por d; y el tiempo que demora en recorrer dicha distancia por t.

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema. Problema 1: La aceleracin media es la razn entre la variacin de rapidez producida en un intervalo de tiempo y dicho intervalo de tiempo Si un mvil comienza un recorrido con rapidez inicial vi , termina el recorrido con rapidez final vf y el viaje le toma un tiempo t, escribe una frmula que nos permita calcular la aceleracin media del mvil. Problema 2: En todo proceso fsico se cumple que la masa final de un cuerpo es igual a la masa inicial, ms la masa que gana el cuerpo durante el proceso. Escribe una frmula que describa este principio. Problema 3: "La fuerza total que acta sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleracin. Si un cuerpo se mueve con aceleracin a y tiene masa m, escribe la frmula que permite calcular la fuerza total que acta sobre este cuerpo. Problema 4: La densidad de un cuerpo (o lquido) es el cuociente entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa. Si la masa de un cuerpo es m y su volumen es V, con qu frmula se calcula la densidad d del cuerpo? Problema 5: La energa potencial de un cuerpo es igual al producto de su masa m, por la aceleracin de gravedad g y por la altura h a la que se encuentra. Escribe la frmula que permita calcular la energa potencial Ep.

Y, como la Rapidez media es igual adistancia recorrida tiempo empleado

, entonces v es el

cuociente entre d y t.Operaciones y resultado d v= t Respuesta: d La rapidez media del vehculo es: v = . tRealiza las siguientes operaciones: 1. Si la masa de un cuerpo es m =10 y su aceleracin es 2a, entonces la fuerza que acta sobre l es : 2. Si una bola de masa m =15 se encuentra a una altura h = 22 y tiene aceleracin g, entonces su energa potencial es: 3. A una piscina vaca se le agrega una masa de agua,mg = 154120 , entonces la piscina contiene una masa final de agua mf = 4. Si un cuerpo est a una altura 5h y su masa es 3m, su energa potencial es Ep= 5. Si la masa de un cuerpo es 2m y ocupa un volumen 2V, la densidad del cuerpo es d = 6. Si la aceleracin de un cuerpo es a = 3,5 y su masa es m, la Fuerza Total que se ejerce sobre l es F =

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GUA 116: Aplicaciones de Frmulas

Problema resuelto

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso:d

Aplica la frmula de la rapidez media: v = t , donde d es la distancia recorrida por el mvil y t es el tiempo empleado para recorrer dicha distancia, en el siguiente caso: Si Andrs demora 45 minutos en llegar al colegio desde su casa que est a 3600 metros de distancia, a qu rapidez viaja en promedio?. Solucin Para calcular con qu rapidez viaja Andrs, debemos identificar las variables de la frmula con los datos del problema. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Como el colegio est a 3600 metros de distancia de la casa, Andrs recorre 3600 metros en 45 minutos. Por lo tanto, la distancia que recorre, d, es 3600 metros y el tiempo, t, que emplea en recorrerla es 45 minutos. Para calcular la rapidez promedio con que viaja Andrs reemplazamos los valores anteriores en la frmula: v = dt

(a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema. Problema 1: Resuelve el siguiente problema, utilizando la frmula para el rea de un crculo: a = . r 2 , donde r es el radio del crculo. Mi Pap colg una pelota de ftbol justo bajo la ampolleta de mi pieza. Cuando enciendo la luz, la sombra dibuja un crculo, de 40 centmetros de dimetro, en el suelo. Cul es el rea de la sombra de la pelota? Problema 2: La escuadra de Jorge mide 23 centmetros en su cateto ms largo y 15 centmetros en su cateto ms corto. Cul es el rea encerrada por la escuadra de Jorge? Para resolver este problema, aplica la frmula del . rea de un tringulo: a = ba h , donde b es una base y h es la altura del tringulo correspondiente a ese lado. Problema 3: Cul es la densidad de una naranjada si se sabe que un vaso de 200 cm3 pesa 0,35 kilogramos?. Recuerda que la densidad de un cuerpo (o un lquido) est dada por la frmula: d = m , donde v m es la masa del cuerpo y V es el volumen que ocupa. Problema 4: Resuelve el siguiente problema, aplicando la frmula del volumen de una esfera: v = 4 . . r 3 3 donde r es el radio de la esfera. La tierra no es una esfera perfecta, pero si la considerramos as, su dimetro sera de alrededor de 12740 kilmetros, que es su dimetro promedio, cul sera el volumen aproximado de la Tierra? Problema 5: Para responder la siguiente pregunta, aplica la frmula para el rea de un cuadrado de lado a: Area cuadrado = a2. Una cancha de voleibol est formada por dos cuadrados de 16 metros de lado cada uno. Cul es el rea de la cancha?

Operaciones y resultadov = 3600 metros = 80 m 45 minutos min

Respuesta: Andrs viaja con una rapidez media de 80 metros/minutos.

En cada frmula, reemplaza los datos para calcular lo pedido:

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GUA 117: Ecuaciones Elementales

Problema resueltoEscribe el siguiente problema utilizando una incgnita y resulvelo: Si la suma de un nmero y 25 es igual a 100, cul es el nmero? Solucin El nmero es aqul que sumado con 25 da como resultado 100. Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Si x es el nmero que buscamos, entonces x ms 25 debe ser 100. Enseguida, determinamos el valor de x. Operacin y resultado: x + 25 = 100 x + 25 25 = 100 25 x + 0 = 75 x = 75 Respuesta: El nmero es 75.

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema.

Problema 1: En una tienda de msica, la banda ms popular ha vendido 2500 copias de su ltimo CD. Cuntas copias ha vendido el grupo que se encuentra en segundo lugar, si slo le falta vender 231 CD para igualar al primero? Problema 2: Pedro tiene una cierta cantidad de caramelos. Si compra 21 ms, tendr 49 en total. Cuntos caramelos tiene Pedro? Problema 3: Francisca tena varias lminas repetidas en su lbum. Si al cambiar 5, qued con 23 repetidas, cuntas lminas repetidas tena antes de hacer el cambio? Problema 4: Cuntas manzanas haba en la frutera si com 1 de las que haba y quedaron 6 3 manzanas? Problema 5: Un librero vende 95 libros a dos precios distintos, unos a $1500 y los otros, a $2000. Si obtuvo $163000 por la venta de estos libros, cuntos libros de cada clase vendi?

Realiza las siguientes operaciones: 1 2 3 4 5 6 La suma de un nmero y 21 es 39, cul es el nmero? Si a 62 se le resta un nmero el resultado es 48, cul es el nmero? Si a 163 se le resta un nmero se obtiene 478, cul es el nmero? La suma de un nmero y 247 es 339, cul es el nmero? El producto de un nmero y 77 es 2079, cul es el nmero? El cuociente de un nmero y 17 es 1111, cul es el nmero?

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GUA 118: Ms Ecuaciones

Problema resueltoJos calcula la edad de sus compaeros dndoles las siguientes instrucciones: piensa en tu edad, multiplcala por 10, a ese nmero rstale 18 y dame el resultado. Con esta frmula Jos obtiene la edad del compaero. Por ejemplo, si el resultado es 112 la edad es 13 aos. Descubre el mtodo que utiliza Jos, designando por una x la edad que pens el compaero. Solucin Esto se puede resumir en el siguiente esquema: Procedimiento: Si x es la edad pensada y repetimos el procedimiento de Jos, obtenemos lo siguiente: - el nmero pensado multiplicado por 10 es: 10x - a este nmero hay que restarle 18, esto es: 10x - 18 - el resultado es 112, es decir, 10 x 18 = 112 Operacin y resultado: x 10 18 = 112 x 10 = 112 + 18 x 10 = 130 x = 130 : 10 x = 13 x = 13 Respuesta: El mtodo que utiliza Jos es: sumar 18 al resultado que le han entregado y luego dividir por 10. El nmero obtenido es la edad del compaero.

Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso: (a) El procedimiento. (b) La operacin con su resultado. (c) La respuesta del problema.

Problema 1: Si al doble de la edad de Josefina le agregamos 7 aos, el resultado es 41. Qu edad tiene Josefina? Problema 2: Si al cudruplo del nmero de estudiantes que hay en una sala le agregamos 21 personas, ocupamos la totalidad de las sillas del lugar. Cuntos alumnos hay en la sala, si la sala tiene 109 sillas? Problema 3: El triple del nmero de monedas que tiene Jorge, aumentado en 29, es igual al doble del nmero de monedas que tiene Jorge, ms el nmero de monedas de Carlos. Si Carlos tiene 101 monedas, cuntas tiene Jorge? Problema 4: En 16 aos ms, mi hermano mayor tendr el doble de la edad actual de mi hermana. Si ella tiene 33 aos, cuntos tiene mi hermano mayor? Problema 5: En un trabajo grupal de Matemticas, el profesor asignar 100 puntos por cada problema bien resuelto y quitar 50 puntos por cada problema mal resuelto. Si uno de los grupos entreg 60 problemas resueltos y obtuvo 3750 puntos, cuntos problemas tenan resueltos en forma correcta?

Realiza las siguientes operaciones: 1. El triple de un nmero, disminuido en 42 es 57. El nmero es: 2. La suma de 25 y el doble de un nmero es 57. El nmero es: 3. 10 veces un nmero es 15 unidades mayor que 155. El nmero es: 4. La mitad de un nmero aumentado en 261 es 760. El nmero es: 5. Si resto 19 al doble de un nmero el resultado es 23. El nmero es: 6. Si disminuyo en 17 el triple de un nmero, el resultado es 46. El nmero es:

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GUAS DE SNTESIS I, II, III, IV Trabajo de sntesis - Gua 1Velocidades, tiempos y distanciasLa Familia Paredes viaj de Concepcin a Pucn en camioneta, realizando el viaje en cuatro tramos. Para entretenerse los hijos llevan un registro de datos en relacin a las distancias recorridas, tiempos empleados y velocidades promedios para cada uno de los tramos:RECORRIDOS Concepcin Los ngeles Los ngeles Temuco Temuco Villarrica Villarrica - Pucn DISTANCIA 124 Km. 158 Km. 83 Km. 25 Km. TIEMPO 2 Hrs. 2,5 Hrs. 1,25 Hrs. 0,5 Hrs. VELOCIDAD (KM/HR).

Para trabajar en grupo:Problema 1: Completa los datos de la tabla calculando las velocidades promedio en cada uno de los tramos recorridos. Expresa en una frmula la velocidad en funcin de la distancia y el tiempo. Qu hubiera pasado con la velocidad si aumentaba el tiempo y la distancia se mantena? Qu hubiera pasado con la velocidad si aumentaba distancia y el tiempo se mantena? Problema 2: A la vuelta recorrieron el primer tramo ( Pucn-Villarrica) a una velocidad menor ( 10 Km./ hr. menos) Cunto se demoraron en ese tramo? ( Ocupa la frmula obtenida) Problema 3: En el segundo tramo (Villarrica- Temuco) redujeron el tiempo a 2 horas Qu pas con la velocidad? (Ocupa la frmula obtenida) Problema 4: En el tercer tramo (Temuco- Los ngeles ) aumentaron la velocidad en un 25 %. Qu pas con el tiempo empleado? (Ocupa la frmula obtenida) Problema 5: Si quieren llegar a Concepcin habiendo viajado la misma cantidad de tiempo. A qu velocidad tendrn que hacer el ltimo tramo? (Ocupa la frmula obtenida)

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Trabajo de sntesis - Gua 2Calculando notasEl Profesor de matemticas de Marcia ha decidido tomar tres pruebas simples durante este semestre. Todas las pruebas valen igual y al final sacar el promedio de ellas. Problema 1: Qu promedio obtuvo Marcia si se sac un 4,5 , un 6,2 y un 3,9 en las tres pruebas. Expresa en una frmula el promedio de un alumno en funcin de las tres notas parciales Problema 2: El profesor decide que los que tengan promedio bajo 5 tendrn que dar una prueba al final del semestre, la cul tendr coeficiente dos. Qu nota deber sacarse Carlos en la tercera prueba si tiene 4,5 y 5,1 en las dos primeras, para no tener que dar la prueba final? Podr Rosita saltarse la prueba final si lleva hasta ahora 3,9 y 3,1? Problema 3: El profesor decide que los que tengan promedio bajo 4 adems de dar la prueba final debern asistir a clases recuperativas. Que nota deber sacarse Sergio en la tercera prueba para no tener que ir a recuperacin si tiene 3,8 y 2,7 en las dos primeras pruebas? Puede Sergio eximirse de la prueba final? Problema 4: Francisca obtuvo notas 4,2 ; 3,9 y 4,7 en las tres pruebas parciales y 4,9 en la prueba final. Cul fue su promedio semestral? Expresa en una frmula el promedio final de un alumno en funcin de las tres pruebas parciales y de la prueba final. Rosario lleva 5,1 y 4,8 en las dos primeras pruebas. Que nota deber sacarse Rosario en la tercera prueba para tener que rendir la prueba final pero terminar con promedio 5,3?

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Trabajo de sntesis - Gua 3reasLa empresa Agita ha creado un nuevo tipo de piscinas, cuyas formas segn asegura la empresa revolucionarn el mercado. Las dos primeras muestras son de la siguiente forma:

Tipo A

Tipo B

Para trabajar en grupos: Discute acerca de cual es una frmula para poder calcular los metros cuadrados de superficie de cada uno de los tipos de piscinas, de acuerdo al largo el ancho y el radio de la semicircunferencia..Problema 1: La Sra. Georgina tiene un terreno rectangular, de 12 metros de largo por 18 me-tros de ancho, en el que desea instalar una piscina tipo A. La nica condicin que ella impone es que la piscina deje por lo menos 1 metro en cada borde. 1. Diga cules son las dimensiones de la piscina ms grande que se le puede construir . 2. Cules seran las dimensiones de la piscina si la semicircunferencia se ubica en el ancho de la piscina? 3. Analice cules de las dos piscina tiene una mayor rea. Problema 2: La Sra. Clara quiere que se le construya una piscina del tipo B, en un terreno cuadrado de 16 metros de largo. 1. Qu dimensiones tendr la piscina si se deja 1 metro en cada borde, y la parte rectangular tiene 8 metros de ancho?Cul es el rea? 2. Qu dimensiones tendr la piscina si se deja 2 metros en cada, y la parte rectangular tiene 8 metros de ancho?Cul es el rea?

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Trabajo de sntesis - Gua 4VolmenesEl volumen, Vol., de una caja cuya base es un rectngulo con largo L y ancho A y su altura es H est dado por Vol. = A L H Adems, su superficie lateral, S, est dada por S = 2 A L + 2 A H+2 L H

H

A1)

L

Encuentre el volumen y la superficie lateral de las cajas cuyas magnitudes estn dadas en el siguiente cuadro:CAJA1 Ancho Largo Alto 3 8 2 CAJA 2 CAJA 3 CAJA 4 CAJA 5 CAJA 6 6 2 4 5 1.2 3 1 0.5 4 3 12 5 2 8 3.8

2) i) ii) iii) iv)

Una envase de leche tiene a centmetros de ancho, l centmetros de largo y h centmetros de alto: Cul es la altura de una caja con la misma capacidad que el envase pero que tiene el doble de ancho y el doble de alto? Cul es la altura de otra caja con doble capacidad que el envase y que tiene la mitad del ancho y el triple de alto? Cunto mayor es la capacidad de otro envase que tiene el doble de ancho, doble de alto y doble de largo que el envase original? Encuentre el volumen y la superficie lateral de todos ellos.

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