libro de Programación

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FACULTAD DE INGENIERIA

CARRERA DE INGENIERIA PETROLERA

Ing. Hermas Herrera Callejas

La Paz, Febrero de 2011

PROGRAMACION APLICADA

MATERIAL DE ESTUDIO

Ing. Hermas Herrera Callejas Página : 1 de 3

PROGRAMACION APLICADA CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

CAPITULO 1 - CONSIDERACIONES GENERALES Página

1.1 La Informática y sus Alcances en la Ingeniería de Petróleos 1 de 201.1.1 Uso General 1 de 201.1.2 Exploración 1 de 201.1.2.1 Autocad 1 de 201.1.2.2 Cpspc 1 de 201.1.2.3 Petcom 1 de 201.1.2.4 Daniel Geophysical 1 de 201.1.2.5 Landmark 1 de 201.1.2.6 Lopatin 1 de 201.1.3 Perforación 1 de 201.1.3.1 Des-II (Drilling Expert System II) 2 de 201.1.3.2 Caesar II 2 de 201.1.4 Producción 2 de 201.1.4.1 Production Analyst 2 de 201.1.4.2 Automate 2 de 201.1.4.3 Flow System y Pan System 2 de 201.1.5 Ingeniería de Reservorios 2 de 201.1.5.1 Saphir 2 de 201.1.5.2 Eclipse 2 de 201.1.5.3 Boast 2 de 201.1.5.4 Simbest II 2 de 201.1.5.5 Imex 2 de 201.1.5.6 Chemcad 2 de 201.1.6 Área Administrativa y Financiera 3 de 201.1.6.1 Org Plus 3 de 201.1.6.2 Foas 3 de 201.1.6.2.1 Activos Fijos 3 de 201.1.6.2.2 Presupuestos 3 de 201.1.6.2.3 Cuentas por Cobrar 3 de 201.1.6.2.4 Cuentas por Pagar 3 de 201.1.6.2.5 Flujo de Caja 3 de 201.1.6.3 Opics 3 de 201.1.6.4 Hrias (Human Resources Information Application System) 3 de 201.1.6.4.1 Personal 4 de 201.1.6.4.2 Compensación y Beneficios 4 de 201.1.6.4.3 Planillas de Pagos de Haberes 4 de 201.2 Algoritmos 4 de 201.3 Uso de Lenguajes de Programación 4 de 201.4 Técnicas Avanzadas de Programación 5 de 201.4.1 Programación Estructurada 5 de 201.4.2 Programación Orientada a Objetos 5 de 201.4.3 Seudo Código 5 de 201.4.4 Documentación de los Programas 5 de 201.5 Problemas y Prácticas 6 de 20

PET230 – Programación Aplicada Contenido de la Asignatura

Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 3

CAPITULO 2 – ECUACIONES NO LINEALES Página

2.1 Solución de Ecuaciones No-Lineales 1 de 132.1.1 Método de Punto Fijo 1 de 132.1.2 Método de Newton-Raphson 3 de 132.1.2.1 Descripción del Método 4 de 132.1.3 Método de la Secante 7 de 132.1.4 Método de la Bisección 9 de 13

CAPITULO 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES Página

3.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 de 333.2 Métodos Directos de Solución 1 de 333.2.1 Eliminación de Gauss 1 de 333.2.2 Eliminación de Gauss con Pivoteo 3 de 333.2.3 Eliminación de Gauss – Jordan 5 de 333.2.4 Métodos de Factorización de Doolitle y Crout. 6 de 333.3 Métodos Iterativos 9 de 333.3.1 Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel 10 de 333.3.1.1 Iteración de Jacobi (Desplazamientos Simultáneos) 11 de 333.3.1.2 Iteración de Gauss-Seidel (Desplazamientos Sucesivos) 12 de 333.3.2 Re-Arreglo de Ecuaciones. 16 de 333.4 Sistemas de Ecuaciones No-Lineales 18 de 333.4.1 Dificultad en Solución de Sistemas de Ecuaciones No-Lineales 18 de 333.4.1.1 Reducción de Ecuaciones 18 de 333.4.1.2 Partición de Ecuaciones 19 de 333.4.1.3 Tanteo de Ecuaciones 19 de 333.4.1.4 Valores Iniciales 20 de 333.4.2 Método de Punto Fijo Multivariable 21 de 333.4.3 Método de Newton-Raphson Multivariable 25 de 333.4.3.1 Generalización 28 de 333.4.4 Método de Newton-Raphson Modificado 30 de 33

CAPITULO 4 – APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACION Página

4.1 Introducción 1 de 214.2 Aproximación Polinomial Simple e Interpolación 2 de 214.3 Polinomios de Lagrange 5 de 214.4 Diferencias Divididas 9 de 214.5 Aproximación Polinomial de Newton 12 de 214.6 Aproximación Polinomial con Mínimos Cuadrados 15 de 214.7 Aproximación Multilineal con Mínimos Cuadrados 20 de 21

CAPITULO 5 - INTEGRACION Y DIFERENCIACION Página

5.1 Introducción 1 de 175.2 Métodos de Newton – Cotes 1 de 175.2.1 Método Trapezoidal 2 de 175.2.2 Método de Simpson 4 de 175.3 Caso General 6 de 175.4 Métodos Compuestos de Integración 7 de 17

PET230 – Programación Aplicada Contenido de la Asignatura


5.4.1 Método Trapezoidal Compuesto 7 de 175.4.2 Método de Simpson Compuesto 8 de 175.5 Cuadratura de Gauss 11 de 17

CAPITULO 6 – DIFERENCIACION NUMERICA Página

6.1 Introducción 1 de 86.2 Derivación con Polinomios de Lagrange 2 de 8

CAPITULO 7 - APLICACIONES A INGENIERIA DE RESERVORIOS

7.1 Cálculo de M, Tc, Pc, Vc y Tb (Método de Ahmed-Katz-Firozabadi o Riatzi-Daubert)7.2 Cálculo del Factor Acéntrico (Edminster)7.3 Determinación de la Permeabilidad (Varios métodos)7.4 Cálculo de Rs (Varios métodos)7.5 Cálculo de Pb (Varios métodos)7.6 Cálculo de Bo (Varios métodos)7.7 Cálculo de Co (Varios métodos)7.8 Cálculo de ρo (Varios métodos)7.9 Cálculo de μo (Varios métodos)7.10 Cálculo de σo (Varios métodos)7.11 Cálculo del Factor z de Compresibilidad de los Gases (Varios métodos)7.12 Cálculo de μg (Varios métodos)7.13 Cálculo de las Presiones de Fondo (Varios métodos)7.14 Cálculo de Intrusión de Agua

CAPITULO 8 - APLICACIONES A PRODUCCION

8.1 Cálculo de Pseudopresión8.2 Diseño de Separación en Tres Etapas8.3 Diseño de Sistemas de Separación por Etapas8.4 Determinación del Diámetro Optimo de Tuberías8.5 Diseño de Sistemas de Gas Lift

CAPITULO 9 - APLICACIONES VARIAS

9.1 Aplicaciones a Transportes9.2 Aplicaciones a Perforación9.3 Aplicaciones a Refinación9.4 Optimización por Programación Lineal9.5 Fundamentos de Modelaje y Simulación Matemática


CAPITULO 1 - CONSIDERACIONES GENERALES

1.1 La Informática y sus Alcances en la Ingeniería de Petróleos

Existe una gama de paquetes de software desarrollados para las distintas áreas de laindustria petrolera, se dará un vistazo a los más utilizados en las distintas funciones sobre labase del acuerdo mínimo de estandarización logrado entre un grupo importante de empresascon la finalidad de buscar un lenguaje común.

1.1.1 Uso General

Empecemos analizando el software de uso general disponible para diversasfunciones sin ser específica para cada área. En este caso tenemos los siguientes: Para procesamiento de la palabra y editor de texto el Microsoft Word, el WodrPerfect y

SPFPC Para manejo de hojas electrónicas el Microsoft EXCEL o el LOTUS 123 Para gráficos de presentaciones el LOTUS Freelance, el Hardvard Graphics, el Microsoft

Power Point, el Zenographics Pixie o el Zenographics Mirage. Manejadores de bases de datos el Microsoft ACCESS, el DBase, el Oracle o el Focus Como sistemas operativos el Windows, o el DOS Como herramienta de publicidad y propaganda el Microsoft Word, WordPerfect, Aldus

Pagemaker o el Ventura Publishing. Análisis y control de proyectos el Microsoft Project en PC’s y Projacs en equipos mayores

Si revisamos las distintas funciones específicas de la industria y el software disponiblepara cada área podemos nombrar los siguientes:

1.1.2 Exploración

Para las funciones de EXPLORACION se tienen las siguientes alternativas:

1.1.2.1 AUTOCAD.- Para gráficos y dibujos en computadora, incluyendo las opcionestridimensionales de curvas de nivel y mapas.

1.1.2.2 CPSPC.- Para mapas geográficos, permite la transferencia de mapas a lacomputadora ya sea mediante digitizadores o scanners y su correspondiente proceso.

1.1.2.3 PETCOM.- Aplicación que corre en una PC bajo el sistema operativo DOS oWindows. Permite la captura de información desde las cintas magnéticas de sísmica y seutiliza en el análisis petrofísico y de registros de pozos, generando los reportes y gráficosrelacionados a este campo.

1.1.2.4 DANIEL GEOPHYSICAL.- Software utilizado para la obtención de sismogramassintéticos

1.1.2.5 LANDMARK.- Software dirigido a la interpretación sísmica ya sea en dos o en tresdimensiones, provisto por la Halliburton. PETREL por Shlumberger

1.1.2.6 LOPATIN.- Paquete usado en el trabajo con modelos térmicos.

1.1.3 Perforación

Para las funciones de PERFORACION de pozos se tienen las siguientes alternativas:

Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales


1.1.3.1 DES-II (Drilling Expert System II).- Permite analizar y optimizar las tareasoperativas diarias de perforación de pozos. Corre en PC’s con Windows. Tiene siete módulosindependientes pero relacionados entre sí tales como el de perforación direccional, diseño deperforación, optimización de la perforación, sistema experto de perforación, hidráulica ycementación, ingeniería de lodos, control del pozo y detección de presiones anormales.

1.1.3.2 CAESAR II.- Dirigido a las tareas de análisis y diseño de tuberías.

1.1.4 Producción

Para las funciones de PRODUCCION DE PETROLEO podemos mencionar lassiguientes alternativas de programas:

1.1.4.1 PRODUCTION ANALYST.- Aplicación en línea que se procesa en una PC bajo elsistema operativo DOS o Windows. Brinda las facilidades para registrar la producción diariade agua, petróleo y gas en los campos productivos de una industria petrolera. Sobre la basede las pruebas de pozos efectuadas y parámetros de presión y otros, se puede asignar laproducción a cada estrato productor. Es un sistema de cómputo diseñado para almacenar,para manejar, para analizar e interpretar la mayor parte de los tipos de datos que seencuentran en una operación productora de petróleo. Programa que fue diseñado ydesarrollado para profesionales petroleros por profesionales petroleros.

1.1.4.2 AUTOMATE.- Programa que permite efectuar un análisis de los distintos tipos depresiones en los pozos productores y los reservorios petrolíferos.

1.1.4.3 FLOW SYSTEM Y PAN SYSTEM.- Orientado a las pruebas de producción

1.1.5 Ingeniería de Reservorios

Para las funciones de INGENIERIA DE RESERVORIOS tenemos una gama másamplia de programas, entre los que podemos indicar los siguientes:

1.1.5.1 SAPHIR.- Programa de modelaje y simulación producido por la Kappa SoftwareEngineering. Aplicación que corre en una PC ya sea bajo el sistema operativo DOS o bajoWINDOWS. Utilizado en el área de modelaje y simulación de reservorios petrolíferos.

1.1.5.2 ECLIPSE.- Otro programa de modelaje y simulación de reservorios.

1.1.5.3 BOAST.- Programa de simulación de reservorios petroleros generado por elDepartamento de Energía de los EEUU

1.1.5.4 SimBest II.- Para simulación de reservorios de la Scientific Software Inc, empleael paquete ESPIDO (Equation Solution Program based on an Incomplete Direct Methodacelerated via Orthomin), que usa la eliminacion de Gauss para problemas pequeños ySOR (successive over relaxation) para los grandes.

1.1.5.5 IMEX.- Software para simulación de reservorios de Computer Modelling Group,utiliza el método Fully Implicit que provee una discretización muy estable.

1.1.5.6 CHEMCAD.- Aplicación que corre en una PC bajo el sistema operativo DOS oWindows. Tiene como fin la preparación de reportes y gráficas relacionadas a la composiciónde hidrocarburos de gas y petróleo producido en campos petrolíferos.



1.1.6 Área Administrativa y Financiera

Para las funciones ADMINISTRATIVAS Y FINANCIERAS de una empresa petrolerapodemos mencionar los diferentes programas que cubren las distintas funcionesadministrativas y financieras de una compañía petrolera:

1.1.6.1 ORG PLUS.- Programa utilizado por el departamento de personal o recursoshumanos en la confección de organigramas de la empresa.

1.1.6.2 FOAS.- Sistema considerado como el cerebro central que se encarga del procesocontable de la compañía petrolera. Permite captar la información de los asientos contablesde todo el movimiento económico generado en la empresa y una vez procesada muestra losresultados de la operación, emite los estados financieros de la compañía y los libros legalescorrespondientes. Permite generar reportes financieros detallados por proyectos oreservorios así como consolidados de la compañía. Esta característica permite el procesocontable de multicompañías. Como funciones adicionales se tienen los siguientes módulosque complementan el FOAS

1.1.6.2.1 ACTIVOS FIJOS.- Ayuda en el control de los activos de la compañía, calculandola depreciación anual y manteniendo la depreciación acumulada para cada activo.

1.1.6.2.2 PRESUPUESTOS.- Aplicación utilizada en la preparación y el controlpresupuestario. Una vez preparado y aprobado el presupuesto anual de la compañía, lainformación de cada centro de costo y para cada elemento de gasto es introducida alsistema. De la información de contabilidad aplicada a cada centro de costo toma los valoresejecutados para imprimir reportes de control relacionados a la ejecución del presupuesto.

1.1.6.2.3 CUENTAS POR COBRAR.- Aplicación en línea que permite captar la informaciónde las facturas emitidas por la compañía por conceptos de venta de gas y petróleo. Tambiénpermite introducir las cobranzas o los pagos parciales y llevar un control de las deudas,calculando intereses por montos vencidos así como clasificar las facturas vencidas porperíodos de 30 días, 60 días, 90 días, 120 días, 180 días, o más de 180 días.

1.1.6.2.4 CUENTAS POR PAGAR.- Aplicación en línea que permite hacer un control yseguimiento a las facturas pendientes de pago y las canceladas. Ayuda en la planificación delos pagos y a controlar la no-duplicación de estos últimos, especialmente aquellos casos decontratos que implican el pago mensual por servicios.

1.1.6.2.5 FLUJO DE CAJA.- Una herramienta de control de los movimientos bancarios delas distintas cuentas en moneda nacional y extranjera de la compañía proporcionando saldosen las cuentas bancarias, calculando las perdidas o ganancias por las diferencias en el tipode cambio de la moneda.

1.1.6.3 OPICS.- Aplicación interactiva en línea para el control de inventarios. Permite llevarun control de los materiales de la compañía en los distintos almacenes, así como hacer unseguimiento a las ordenes de compra y generar los asientos contables en forma automáticapara cada transacción que debe ser contabilizada.

1.1.6.4 HRIAS (Human Resources Information Application System).- Permite contar coninformación de recursos humanos en línea. Incluye los siguientes módulos:



1.1.6.4.1 Personal.- Información de personal relacionada a su nivel de educación, su familia,idiomas extranjeros que habla, experiencia laboral, historia ocupacional, logros significativos,historia de las vacaciones tomadas, etc.

1.1.6.4.2 Compensación y beneficios.- Provee asistencia en la preparación del plan deincrementos salariales, mantiene una historia salarial por empleado.

1.1.6.4.3 Planillas de pagos de haberes.- Sistema que ayuda en el proceso de pago desueldos y salarios y la emisión de los reportes de planillas de la compañía para las distintasinstituciones, además de generar de manera automática los correspondientes asientoscontables.

1.2 Algoritmos

En matemáticas, método de resolución de problemas complicados mediante eluso repetido de otro método de cálculo más sencillo. Un ejemplo básico es el cálculo dela división larga en aritmética. En la actualidad, el término algoritmo se aplica a muchosde los métodos de resolver problemas que empleen una secuencia mecánica de pasos,como en el diseño de un programa de ordenador o computadora. Esta secuencia sepuede representar en la forma de un diagrama de flujo para que sea más fácil deentender.

Al igual que los algoritmos usados en aritmética, los algoritmos para ordenadorespueden ser desde muy sencillos hasta bastante complejos. En todos los casos, sinembargo, la tarea que el algoritmo ha de realizar debe ser definible. Esta definiciónpuede incluir términos matemáticos o lógicos o una compilación de datos o instruccionesescritas. En el lenguaje de la informática, quiere decir que un algoritmo debe serprogramable, incluso si al final se comprueba que el problema no tiene solución.

Diagrama de Flujo es una secuencia gráfica empleada en muchos campos paramostrar los procedimientos detallados que se deben seguir al realizar una tarea, comoun proceso de fabricación. También se utilizan en la resolución de problemas, como porejemplo en algoritmos. Los diagramas de flujo se usan normalmente para seguir lasecuencia lógica de las acciones en el diseño de programas de computadoras.

1.3 Uso de lenguajes de programación

Los lenguajes de programación o software para desarrollo e implementación deaplicaciones en computadoras personales se tienen el Visual Basic, el DBASE y el CLIPPER,aunque para aplicaciones técnicas es más usado aún el FORTRAN. Bajo ciertascircunstancias el “C” es usado aunque no es muy apropiado para desarrollo de aplicacionesadministrativas.

Tratándose de equipos medianos, el UNIX es el sistema operativo más usado comosistema operativo para estaciones de trabajo del área de Ingeniería.

Para aplicaciones del área administrativa/comercial estamos hablando decomputadoras mainframe o de tamaño mediano que continúa soportando aplicaciones deproducción que no tienen equivalente en plataformas de PC’s, varias tecnologías diferentesestán siendo usadas para desarrollo y mantenimiento de aplicaciones, entre las quepodemos mencionar: DB2 como manejador de bases de datos, COBOL como lenguaje deprogramación, CSP para proceso de transacciones en línea, QMF para consultas rápidas alas bases de datos DB2. Otras interfaces de alto nivel, tales como RAMIS y FOCUS sontambién usadas bajo condiciones especiales. Nuevamente para aplicaciones técnicas setiene el uso del FORTRAN.



1.4 Técnicas avanzadas de programación

En general, un programa consiste en una secuencia de instrucciones que ha deprocesar la computadora con el objetivo de obtener resultados o datos de salida a partir deunos datos iniciales o datos de entrada. Desde el punto de vista funcional, un programa seestructura en tres pasos: Entrada, Proceso y Salida

Con la finalidad de optimizar la programación de aplicaciones se han desarrolladotécnicas que permiten un desarrollo estructurado y óptimo tanto en tiempo de desarrollocomo de proceso de los mismos. Entre estas técnicas podemos mencionar:

1.4.1 Programación estructurada

Se refiere a un tipo de programación que produce código con un flujo limpio, undiseño claro y un cierto grado de modularidad o de estructura jerárquica. Entre losbeneficios de la programación estructurada se encuentran la facilidad de mantenimientoy la legibilidad por parte de otros programadores

1.4.2 Programación orientada a objetos

Un estilo de programación en el que un programa se contempla como un conjuntode objetos limitados que, a su vez, son colecciones independientes de estructuras dedatos y rutinas que interactúan con otros objetos. Una clase define las estructuras dedatos y rutinas de un objeto. Un objeto es una instancia de una clase, que se puede usarcomo una variable en un programa. En algunos lenguajes orientados a objetos, ésteresponde a mensajes, que son el principal medio de comunicación. En otros lenguajesorientados a objeto se conserva el mecanismo tradicional de llamadas a procedimientos.

1.4.3 Seudo Código

Término genérico para nombrar las instrucciones del programa, utilizadas en dossentidos generales derivados del diagrama de flujo.

1.4.4 Documentación de los programas

Constituida por todos los documentos que se elaboran en cada una de las etapasdel análisis, diseño y desarrollo de la aplicación, es muy importante para facilitar sumantenimiento y obtener un mayor rendimiento.

Denominamos documentación interna al contenido del propio programa fuente.Debe incluir los comentarios explicativos suficientes que posibiliten su comprensión yactualización.

Asimismo, se debe utilizar un código autodocumentado; es decir, debe ser escritode una forma clara y legible.

La documentación externa la forman el resto de documentos que se acompañancon el programa sin formar parte de él. Dentro de ellos están los manuales internos delsistema que incluyen detalles de técnicas y diseños de bases de datos, programas, etc,que constituyen la aplicación; los manuales del usuario que describen la manera en que elusuario puede obtener mejor provecho de la aplicación así como una explicación de losreportes y la información que proporciona. También forma parte de este tipo dedocumentación los manuales en línea de las aplicaciones así como los textos de ayuda alos que el usuario puede acudir



1.5 Problemas y prácticas

1.- Diagrama de Flujo para calcular el área de 2.- D.F. para hallar el cociente y el residuoun triángulo de A\B enteros

3.- D.F. para hallar la longitud de una circunferencia y el área del círculo4.- D.F. para convertir metros en Km y cm5.- D.F. para convertir Kb a Gb, Mb y bytes6.- Hallar el mayor de 3 números diferentes7.- Hallar el mayor y el menor de 3 números diferentes8.- Hallar el mayor y el menor de 3 números cualesquiera9.- Determinar si un número es par o impar10.- Desplegar los números enteros de N hasta M11.- Imprimir la tabla del 412.- Hallar la suma de los primeros 10 números pares13.- Hallar la suma de los primeros 10 números impares14.- Hallar los cuadrados de los primeros 10 números pares15.- Determinar si el número introducido es positivo o negativo16.- Hallar el factorial de un número entero positivo17.- Crear el vector I = 1, 2, 3, …10

Inicio

V(I) = I

Imprimir V

Fin

I = 1 … 10

Def I, V(I)

I

Inicio

Leer A, B

C = A Mod BD = A\B

Def A, B, C, D

Imprimir C, D

Fin

Inicio

Leer b, h

A = b*h

Def b, h

Imprimir A

Fin



18.- Generar e imprimir los primeros N números primos

Si

No

No Si

Si No

No No

SiSi

NoSi

Inicio

Def P(I), I, N, K, J, DIVE

Fin ?

Leer N

Ejecutar ?

N>0 ?

Fin

N debe ser > 0

A

A

A

J = 1, K = 0

DIVE = 0

I = 1, J

J Mod I = 0 ?

DIVE = DIVE + 1

I

B

B

K = K + 1P(K) = J

DIVE>2 ?

K=N ? J=J+1

I = 1, N

Imprimir P(I)

I

C

A

C



19.- Crear el vector de N elementos donde 20.- Inicializar un vector de N elementosc/elemento sea 2 elevado a ‘i’ donde cada elemento sea 0

21.- Inicializar un vector de N elementos 22.- Crear el vector de N elementos condonde c/ elemento sea N – I (I = 1, 2, …) c/ elemento igual al cuadrado de I

Inicio

V(I) = 2 ^ I

Imprimir V

Fin

I = 1 … N

Def I, V(I), N

I

Leer N

N > 0 ?

Inicio

V(I) = 0

Imprimir V

Fin

I = 1 … N

Def I, V(I), N

I

Leer N

Inicio

V(I) = I * I

Imprimir V

Fin

I = 1 … N

Def I, V(I), N

I

Leer N

Inicio

V(I) = N - I

Imprimir V

Fin

I = 1 … N

Def I, V(I), N

I

Leer N



23.- Crear el vector de N elementos donde 24.- Sea N un Nro entero. Hacer un D.F.c/elemento a partir del 3ro sea la suma para invertir sus dígitos (Ej, 3457 a 7543)de los dos anteriores y V(1)=1 V(2)=2

Inicio

Leer N

A = NN1 = 0

Def A, N, N1, Dig

Imprimir N, N1

Fin

A > 0 ?

Dig = A Mod 10N1 = N1 * 10 + Dig

A = A Div 10

Inicio

V(I) = V(I-1) + V(I-2)

Imprimir V

Fin

I = 3 … N

Def I, V(I), N

I

Leer N

N > 2 ?

V(1) = 1 V(2) = 2



25.- Generar la serie de Fibonacci para 26.- Crear un vector con N elementos,valores menores a N (0,1,1,2,3,5,8,13…) luego obtener el máximo y su posición

Inicio

Imprimir Max, K

Fin

Def V(I),N,X,K,I,Max

Leer N

N > 0 ?

V(I) = X

Max = V(I) K = I

I = 1 … N

Leer X

I

I = 1 … N

Max = V(I) K = I

I

V(I) > Max?

Inicio

Impr F(I)

Def F(I), N, I

Leer N

N>3 ?

F(I) = F(I-1) + F(I-2)

Fin ? Fin

Ejec? A

A

A

I = 3… N

I

I = 1… N

I

A

F(1) = 0 F(2) = 1



27.- Crear un vector de N elementosy ordenar sus elementos en formaascendente (método de la burbuja)

Inicio

Imprimir V(I)

Fin

Def V(I),N,I,J,X,Aux

Leer N

N > 0 ?

V(I) = X

I = 1 … N

Leer X

I

J = 1 … N-I

Aux = V(J)V(J) = V(J+1)V(J+1) = Aux

J

I = 1 … N-1

V(J) > V(J+1) ?

I

I

I = 1 … N



28.- Suma de Vectores. Si A = (a, b, c) 29.-Multiplicación de vectores. Si A = (a,b,c)y B = (d, e, f) A+B = (a+d, b+e, c+f) y B = (d, e, f) A*B = (a*d, b*e, c*f)

Inicio

Imprimir C(I)

Fin

Def A(I),B(I),C(I),N,I,X

Leer N

N > 0 ?

A(I) = X

I = 1 … N

Leer X

I

I

I = 1 … N

I

I

I = 1 … N

Leer X

B(I) = X

I = 1 … N

C(I) = A(I) * B(I)

Inicio

Imprimir C(I)

Fin

Def A(I),B(I),C(I),N,I,X

Leer N

N > 0 ?

A(I) = X

I = 1 … N

Leer X

I

I

I = 1 … N

I

I

I = 1 … N

Leer X

B(I) = X

I = 1 … N

C(I) = A(I) + B(I)



30.- Crear una matriz de N filas por N 31.- Crear una matriz de N filas por M co-columnas cuyos elementos sean ceros lumnas cuyas filas pares sean unos y las

impares sean ceros

Inicio

Imprimir A

Fin

Def A(I, J), N, M, I, J

Leer N, M

N>0 y M>0?

A(I, J) = 1

I = 1 … N

J

J = 1 … M

I

I Mod 2 = 0?

A(I, J) = 0

Inicio

Imprimir A

Fin

Def A(I, J), N, I, J

Leer N

N>0 ?

A(I, J) = 0

I = 1 … N

J

J = 1 … N

I



32.- Crear una matriz N por N con la 33.- Crear una matriz N por M condiagonal principal igual a 1 numeración correlativa ascendente

Inicio

Imprimir A

Fin

Def A(I, J), N, M, I, J, C

Leer N, M

N>0 y M>0?

C = C + 1

I = 1 … N

J

J = 1 … M

I

A(I, J) = C

C = 0

Inicio

Imprimir A

Fin


Leer N

N > 0 ?

A(I, J) = 1

I = 1 … N

J

J = 1 … N

I

I = J?

A(I, J) = 0



34.- Construir una matriz N por N con N 35.- Construir la matriz N por N 1 2 3 4N impar y mayor a 2. Calcular la suma 2 4 2 2 4 5 6de la siguiente manera (suma = 17) 1 2 3 3 5 6 7

2 7 9 4 6 7 8

Inicio

Imprimir A(I, J)

Fin


Leer N

N>1 ?

A(I, J) = I + J

I = 2 … N

J

J = 2 … N

I

I = 1 … N

A(1, I) = IA(I, 1) = I

I

I = 1 … N

J = 1 … N

J

I

Inicio

Imprimir S

Fin

Def A(I, J),N,I,J,C,S,K

Leer N

N>2 y N Mod 2=1

I = 1 … N

J

J = 1 … N

I

A(I, J) = C

Leer C

S = 0 K = N\2 + 1

I = 1 … N

S = S + A(I, K)S = S + A(K, I)

I

S = S – A(K, K)



36.- Formar la matriz caracol N por N para N > 2

A(J, F) = R

J=C-1…F+1, -1

J

R = R + 1

F = F + 1C = C - 1

A

R>NxN

Imprimir A(I, J)

Fin

B

Inicio

Def A(I, J),N,I,J,F,C,R

Leer N

N > 2 ?

A(F, J) = R

J = F…C

J

F = 1C = NR = 0

J

J=C-1…F, -1

J

R = R + 1

J = F+1…C

R = R + 1

A(J, C) = R

R = R + 1

A(C, J) = R

A

B



37.- Formar la matriz zigzag N por N 38.- Convertir un número decimal a binariopara N > 2

Inicio

Def A(I),N,M,I,J

Leer M

M > 0 ?

A(I) = N Mod 2

N = M

K

I = I + 1

J= I…1, -1

Imprimir A(J)

Fin

I = 0

N = N\2

N = 0 ?

Inicio

Def A(I, J),N,I,J,C,K

Leer N

N > 2 ?

A(I, J) = C

I = 1…N

C = 0

J

K

C = C + 1

L = I + 1

C = C + 1

A(L, K) = C

J = 1…N

K= N…1, -1

I

Imprimir A

Fin

L > N ?



39.- Sumar los elementos de cada fila y cada columna de una matriz N por M

J

A

Fin

J = 1…M

C(I) = 0

I = 1…N

C(J) = C(J)+A(I,J)

J

I

I = 1…N

Imprimir F(I)

I

J = 1…M

Imprimir C(J)

Inicio

Def A(I, J),C(I),F(I),N,I,J,M

Leer N,M

N>1 M>1?

A(I, J) = R

I = 1…N

J

J

I

F(I) = 0

F(I) = F(J)+A(I,J)

A

J= 1…M

Leer R

I

I = 1…N

J= 1…M



40.- Determinar la transpuesta de una 41.- Determinar la suma de dos matricesmatriz N x M

Inicio

Def A(I,J),B(I,J),C(I,J),N,M,I,J

Leer N,M

N>1 M>1?

A(I, J) = R

I = 1…N

J

J

I

B(I, J) = R

J= 1…M

Leer R

I

I= 1…N

J= 1…M

Leer R

A

Inicio

Def A(I,J),T(I,J),N,I,J,M

Leer N,M

N>1 M>1?

A(I, J) = R

I = 1…N

J

J

I

T(J, I) = A(I, J)

J= 1…M

Leer R

I

J= 1…M

I= 1…N

Imprimir T(I,J)

Fin

C(I, J) = A(I,J)+ B(I,J)

I = 1…N

J

J= 1…M

I

A

ImprimirC(I, J)

Fin



42.- Hacer un diagrama de flujo para la multiplicación de dos matrices

C(I, J) = 0

I= 1…M

J

J

I

J = 1…O

I

I= 1…M

J = 1…O

Fin

ImprimirC(I, J)

K= 1…N

C(I, J) = C(I,J)+A(I,K)*B(K,J)

K

A

Inicio

Def A(M,N), B(N,O), C(M,O),M, N, O, I, J, K, R

Leer M,N,O

M>1 N>1 O>1?

A(I, J) = R

I= 1…M

J

J

I

B(I, J) = R

J = 1…N

Leer R

I

I = 1…N

J = 1…O

Leer R

A


CAPITULO 2 – ECUACIONES NO LINEALES

2.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Uno de los problemas que se presenta con frecuencia en ingeniería esencontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es una función realde una variable x, como un polinomio en xf(x) = 4x5 + x3 – 8x + 2o una función trascendentef(x) = ex sen x + ln 3x + x3

Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, peroninguno es general; es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas lasecuaciones; por ejemplo, se puede tener un algoritmo que funciona perfectamentepara encontrar las raíces de f1(x ) = 0, pero al aplicarlo no se pueden encontrar losceros de una ecuación distinta f2(x) = 0

Sólo en muy pocos casos será posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0,como cuando f(x) es un polinomio factorizable, tal como

))...()(()( 21 nxxxxxxxf

donde ix , 1 ≤ i ≤ n denota la i-ésima raíz de f(x) = 0. Sin embargo, se pueden obtenersoluciones aproximadas al utilizar algunos de los métodos numéricos de estecapitulo. Se empezará con el método de punto fijo (también conocido como deaproximaciones sucesivas, de iteración funcional, etc.).

2.1.1 MÉTODO DE PUNTO FIJO

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma x = g(x)Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en

ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos:1) La ecuación: cos x – x = 0 se puede transformar en: cos x = x.2) La ecuación: tan x – e-x = 0 se puede transformar en: x + tan x – e-x = x.Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

)(1 ii xgx Supongamos que la raíz verdadera es xr, es decir,

)( rr xgx Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

)()(1 irir xgxgxx

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en

[a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe ξ Є (a, b) tal queab

agbgg

)()()(' .

En nuestro caso, existe ξ en el intervalo determinado por xi y xr y tal que:

ir

ir

xx

xgxgg

)()()('

De aquí tenemos que:))((')()( irir xxgxgxg

Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales


O bien,))(('1 irir xxgxx

Tomando valor absoluto en ambos lados,|||)('||| 1 irir xxgxx

Observe que el término |xr–xi+1| es precisamente el error absoluto en la(i+1)ésima iteración, mientras que el término |xr-xi| corresponde al error absoluto enla i-ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si |g’(ξ)| < 1, entonces se disminuirá el error en lasiguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)| <1 para x en un intervalo [a, b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua ydiferenciable, pero diverge si |g’(x)| > 1 en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores: En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que

|g’(x)| < 1. Por lo tanto el método sí converge a la raíz. En el ejemplo 2, g(x) = x+tan x– e-x, en este caso |g’(x)| = |1 + sec2x + e-x| > 1.

Por lo tanto, el método no converge a la raíz.Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cos x – x.comenzando con x0 = 0 y hasta que |Єa| < 1%.

SoluciónComo ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. Aplicando lafórmula iterativa tenemos,x1 = g(x0) = cos 0 = 1Con un error aproximado de 100%Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,x2 = g(x1) = cos 1 = 0.540302305Y un error aproximado de 85.08%.

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. Enefecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximadomenor al 1%. El resultado final que se obtiene es:x13 = 0.7414250866Con un error aproximado igual al 0.78%.

Ejemplo 2Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x – ex.comenzando con x0 = 0 y hasta que |Єa| < 1%.

SoluciónSi despejamos la x del término lineal vemos que la ecuación equivale a

xex x

5

2

de donde,



5)(

2 xexxg

En este caso, tenemos que5

2)('

xexxg

. Un vistazo a la gráfica, nos convence

que |g’(x)| < 1, para x Є [-1, 1], lo que es suficiente para deducir que el método síconverge a la raíz buscada.Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:x1 = g(x0) = -0.2Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:x2 = g(x1) = -0.1557461506Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el errormenor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

f(x) = x2 – 5x – ex

5)(

2 xexxgx

5

2)('

xexxg

5

2

1

ixi

i

exx

De donde vemos que la aproximación buscada es: x5 = -0.164410064Veremos a continuación un ejemplo del método de Punto Fijo con la siguienteecuación:X3 + X + 16 = 0Se ve que no converge

2.1.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, que es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. Elmétodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmulaen un proceso iterativo. En análisis numérico, el método de Newton-Raphson

i Xi % de Error0 0,00000000001 -0,2000000000 100,0000002 -0,1557461506 28,4140893 -0,1663039075 6,3484724 -0,1638263720 1,5122935 -0,1644100640 0,355022



(conocido también como el método de Newton o el método de Newton-Fourier) esun algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros raíces de unafunción real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de unafunción, encontrando los ceros de su primera derivada.

2.1.2.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valorrazonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces sereemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja(fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, unaaproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones comose deseen.

Supongamos que tenemos la aproximación xi a la raíz xr de f(x),

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi, f(xi)); ésta cruza al eje xen un punto xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz xr.

Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la rectatangente. Sabemos que tiene pendientem = f’(xi)Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:y – f(xi) = f’(xi)(x – xi)Hacemos y = 0:- f(xi) = f’(xi)(x - xi)Y despejamos x:

)('

)(

i

ii xf

xfxx

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguienteaproximación:

)('

)(1

i

iii xf

xfxx si 0)(' ixf



Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nosasegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de quenos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este métodono converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, enlos casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por locual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que f’(xi) = 0, el método no se puedeaplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangentees horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto, a menos quecoincida con éste, en cuyo caso xi misma es una raíz de f(x).

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de f(x) = e-x – ln x,comenzando con x0 = 1 y hasta que |Єa| < 1%.

SoluciónEn este caso, tenemos que

xexf x 1

)('

De aquí tenemos que:

1

))ln(1(

1

))ln((1

)ln(1

)ln(1

i

ii

i

i

i

i

i

i

xi

ixx

iix

i

ix

ii

i

x

ix

i

i

x

ix

iiex

xeexx

ex

xexx

xe

xex

xe

xexx

Comenzamos con x0 = 1 y obtenemos:

268941421.11

))ln(1(0

00

0

0001

x

xx

ex

xeexxx

En este caso, el error aproximado es,

%19.21%100268941421.1

1268941421.10

x

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde sepidió. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: x3 = 1.309799389

Ejemplo 2

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de f(x) = arctan x + x – 1,comenzando con x0 = 0 y hasta que |Єa| < 1%.

i Xi % de Error0 1,00000000001 1,2689414214 21,1941562 1,3091084033 3,0682703 1,3097993887 0,052755

1))ln(1(

1

i

ii

xi

ixx

iii ex

xeexxx



SOLUCIÓNEn este caso, tenemos que

11

1)('

2

xxf

La cual sustituimos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

11

11)arctan(

2

1

i

iiii

x

xxxx

Comenzamos sustituyendo x0 = 0 para obtener:

5.01

1

11)arctan(

20

0001

x

xxxx

En este caso tenemos un error aproximado de %100%1005.0

05.0

xa

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: x3 = 0.5202689918

Ejemplo 3

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de númerosreales positivos.

SoluciónSea R > 0.Queremos calcular x tal que Rx ; elevando al cuadrado x2 = R, o bien:x2 – R = 0

Esto nos sugiere definir la función f(x) = x2 – R de donde f’(x) = 2x. Al sustituirestos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:

i

iii x

Rxxx

2

2

1

La cual simplificada nos da:

iii x

Rxx

2

11

Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos R = 26 y apliquemos la fórmula

obtenida, comenzando con x0 = 5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

i Xi % de Error0 0,00000000001 0,5000000000 100,0000002 0,5201957728 3,8823413 0,5202689918 0,014073

11

11)arctan(

2

1

i

iiii

x

xxxx



De lo cual concluimos que 26 ≈ 5.0990195136, la cual es correcta en todossus dígitos.

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n -ésimas de números reales positivos.

Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lohace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximadodisminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestroobjetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de losmétodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas quemiden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.

Veremos a continuación un ejemplo del método de Newton Raphson, con lasiguiente ecuación: X3 + X + 16 = 0.

f(x) = X3 + X + 16

f’(x) = 3X2 + 1

13

162

3

1

i

iiii x

xxxx

Al analizar con el método de la Newton Rapshon, en este ejemplo con un errormenor a 0.0001 %; se encuentra la última raíz X(i): -2.3876865534 con 7 iteraciones.

2.1.3 MÉTODO DE LA SECANTE

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculode la derivada usando la siguiente aproximación:

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()('

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

ii

ii

ii

i

iii

xx

xfxfxf

xxf

xfxx

1

11 )()(

)(

)('

)(

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular elvalor de xi+1, necesitamos conocer los dos valores anteriores xi y xi-1.

Obsérvese también que el método de la secante es un proceso iterativo y porlo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de

i Xi % de Error0 5,00000000001 5,1000000000 1,96078432 5,0990196078 0,01922713 5,0990195136 0,0000018

I x(i) % de Error aprox1 1,00000000002 -3,5000000000 128,57142857143 -2,6953642384 29,85257985264 -2,4199896516 11,37916381555 -2,3880927130 1,33566584116 -2,3876866187 0,01700785847 -2,3876865534 0,0000027332

iii x

Rxx

2

11

iii x

xx26

2

11



Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a laraíz.

Ejemplo 1Usar el método de la secante para aproximar la raíz de xexf x 2

)( , comenzandocon x0 = 0, x1 = 1 y hasta que |Єa| < 1%

SoluciónTenemos que f(x0) = 1 y f(x1) = -0.632120558, que sustituimos en la fórmula de lasecante para calcular la aproximación x2:

612699837.0)()(

))((

10

10112

xfxf

xxxfxx

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Con un error aproximado de: %2.63%1002

12

xx

xxa

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:

)()(

))((22

1

2

1

11

ix

ix

iiix

iixexe

xxxexx

ii

i

Haciendo operaciones algebraicas se resume a:

1

11 22

1

221

iixx

xi

xi

ixxee

exexx

ii

ii

De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: x5 = 0.652918640Ejemplo 2Usar el método de la secante para aproximar la raíz de f(x) = arctan x - 2x + 1,comenzando con x0 = 0 y x1 = 1, y hasta que |Єa| < 1%.

SoluciónTenemos los valores f(x0) = 1 y f(x1) = -0.214601836, que sustituimos en la fórmulade la secante para obtener la aproximación x2

823315073.0)()(

))((

10

10112

xfxf

xxxfxx

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Con un error aproximado de: %46.21%1002

12

xx

xxa

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:

)12)(arctan(12)arctan(

))(12)(arctan(

11

11

iiii

iiiiii xxxx

xxxxxx

Haciendo operaciones algebraicas se llega a:

iiii

iiiiiii xxxx

xxxxxxx

22)arctan()arctan(

)arctan()arctan(

11

1111

i x(i) % Error Aprox0 0,0000000001 1,000000000 100,000002 0,612699837 63,212063 0,653442133 6,235034 0,652917265 0,080395 0,652918640 0,00021

i x(i) % Error Aprox0 0,0000000001 1,000000000 100,000002 0,823315073 21,460183 0,852330280 3,404224 0,853169121 0,098325 0,853164044 0,00060



De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: x5 = 0.853164044

Veremos a continuación un ejemplo del método de la secante, con la siguientefunción: f(x) = x3 + x + 16, comenzando con x0 = -3 y x1 = -2

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Reemplazando las funciones y variables:

)16(16

))(16(3

13

1

13

1

iiii

iiiiii xxxx

xxxxxx

Realizando operaciones algebraicas se tiene:

iiii

iiiiiii xxxx

xxxxxxx

133

1

13

13

11

1616

Terminando de analizar el método de la secante, en este ejemplo con un errormenor al 0.0001 %; se encuentra la última raiz (Xi): -2.3876865535 con 7 iteraciones.

2.1.4 MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: Teoremadel Valor Intermedio

Sea f(x) continua en un intervalo [a, b] y supongamos que f(a) < f(b). Entoncespara cada z tal que f(a) < z < f(b), existe un x0 Є (a, b) tal que f(x0) = z. La mismaconclusión se obtiene para el caso que f(a) > f(b).

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcióncontinua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en losextremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio esprecisamente z = 0, y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura quedebe existir x0 Є (a, b) tal que f(x0) = 0, es decir, debe haber por lo menos una raíz def(x) en el intervalo (a, b).

El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua,1) Encontrar valores iniciales xa, xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, esdecir, f(xa).f(xb) < 02) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre xa y xb,

2ba

r

xxx

:

3) Evaluar f(xr). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:a) f(xa).f(xr) < 0En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos y por tanto la raíz seencuentra en el intervalo [xa, xr].b) f(xa).f(xr) > 0En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr), tienen el mismo signo y de aquí que f(xr)y f(xb) tienen signos opuestos. Por tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [xr, xb].c) f(xa).f(xr) = 0En este caso se tiene que f(xr) = 0 y por tanto ya localizamos la raíz.

i xi % de Error0 -3,00000000001 -2,0000000000 50,0000002 -2,3000000000 13,0434783 -2,4029550034 4,2845164 -2,3871468897 0,6622185 -2,3876833053 0,0224666 -2,3876865541 0,0001367 -2,3876865535 0,000000



El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: |Єa| < Єr, es decir,

ractual

previaactual xx

xx

%100

Ejemplo 1Aproximar la raíz de f(x) = e-x – ln x hasta que |Єa| < 1%

SoluciónLa única raíz de f(x) se localiza en el intervalo [1, 1.5]. Así que este intervalo esnuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de biseccióndebemos controlar que f(1) y f(1.5) tengan signos opuestos.En efecto, tenemos quef(1) = e-1 – ln 1 = e-1 > 0(Sabemos que e = 2.71828182845905Mientras quef(1.5) = e-1.5 – ln (1.5) = -0.18233 < 0

Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1, 1.5]. Asípues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método debisección. Comenzamos:

1) Calculamos el punto medio (que es nuestra primera aproximación a la raíz):

25.12

5.111

rx

2) Evaluamos f(1.25) = e-1.25 – ln(1.25) = 0.0636 > 03) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos lasiguiente tabla:

Por tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25, 1.5].

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún erroraproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimosel proceso con el nuevo intervalo [1.25, 1.5]. Calculamos el punto medio (que esnuestra segunda aproximación a la raíz):

375.12

5.125.12

rx

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos yacon la aproximación actual y la aproximación previa:

%09.9%1002

12

xx

xx

r

rra

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos f(1.375) = e-1.375 – ln(1.375) = - 0.06561 < 0, y hacemos la tabla designos:



Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25, 1.375]. Calculamos el puntomedio,

3125.12

375.125.13

rx

Y calculamos el nuevo error aproximado:

%76.4%1003

23

xx

xx

r

rra

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultadosque se obtienen en la siguiente tabla:

i a R b f(a) f(r) f(b) % de Err0 1,000000 1,250000 1,500000 0,367879 0,063361 -0,1823351 1,250000 1,375000 1,500000 0,063361 -0,065614 -0,182335 9,0909092 1,250000 1,312500 1,375000 0,063361 -0,002787 -0,065614 4,7619053 1,250000 1,281250 1,312500 0,063361 0,029854 -0,002787 2,4390244 1,281250 1,296875 1,312500 0,029854 0,013427 -0,002787 1,2048195 1,296875 1,304688 1,312500 0,013427 0,005294 -0,002787 0,5988026 1,304688 1,308594 1,312500 0,005294 0,001247 -0,002787 0,298507

La aproximación buscada y con un rango de error menor al originalmente planteadose alcanza en la 6ta iteración y es igual a: xri = 1.308594

Ejemplo 2Aproximar la raíz de f(x) =arctan x + x - 1 hasta que |Єa| < 1%.

SoluciónComo vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de f(x) se localiza enel intervalo [0, 1]. Para poder aplicar el método de bisección, es importante controlarque se cumplen las hipótesis requeridas.Sabemos que f(x) es continua en el intervalo [0, 1], y controlamos que f(0) y f(1)tengan signos opuestos. En efecto,f(0) = arctan 0 + 0 – 1 = -1 < 0Mientras que,f(1) = arctan 1 + 1 – 1 = 0.7853 > 0Por tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.Calculamos el punto medio del intervalo [0, 1],

5.02

011

rx

Que es la primera aproximación a la raíz de f(x)

Evaluamos f(0.5) = arctan(0.5) + 0.5 – 1 = -0.0363 < 0 y hacemos nuestra tabla designos,



Puesto que f(0.5) y f(1) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en elintervalo [0.5, 1]En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber xr1 = 0.5, que es elprimer punto medio calculado.Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo [0.5, 1]

75.02

5.012

rx

Que es la nueva aproximación a la raíz de f(x). Aquí podemos calcular el primererror aproximado:

%33.33%10075.0

5.075.0

xa

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos f(0.75) = arctan(0.75) + 0.75 – 1 = 0.3935 > 0. y hacemos la tabla designos:

Puesto que f(0.5) y f(0.75) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en elintervalo [0.5, 0.75]. Calculamos el punto medio,

625.02

75.05.03

rx

Y el nuevo error aproximado:

%20%100625.0

75.0625.0

xa

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

i a R b f(a) f(r) f(b) % de Error0 0,000000 0,500000 1,000000 -1,000000 -0,036352 0,7853981 0,500000 0,750000 1,000000 -0,036352 0,393501 0,785398 33,3333332 0,500000 0,625000 0,750000 -0,036352 0,183599 0,393501 20,0000003 0,500000 0,562500 0,625000 -0,036352 0,074889 0,183599 11,1111114 0,500000 0,531250 0,562500 -0,036352 0,019584 0,074889 5,8823535 0,500000 0,515625 0,531250 -0,036352 -0,008306 0,019584 3,0303036 0,515625 0,523438 0,531250 -0,008306 0,005659 0,019584 1,4925377 0,515625 0,519531 0,523438 -0,008306 -0,001319 0,005659 0,7518808 0,519531 0,521484 0,523438 -0,001319 0,002171 0,005659 0,3745329 0,519531 0,520508 0,521484 -0,001319 0,000427 0,002171 0,187617

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es xr9 = 0.520508. El método debisección por lo general es lento y en casos como el de la siguiente gráfica, puedeser demasiado lento.



En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz deforma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz seencuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno delos extremos del intervalo.Veremos a continuación un ejemplo del método de la bisección. Aproximar lasiguiente función: f(x) = x3 + x + 16 hasta un rango de error menor a 0.01 %

i a r b f(a) F(r) f(b) % de Error0 -3,000000 -2,500000 -2,000000 -14,000000 -2,125000 6,0000001 -2,500000 -2,250000 -2,000000 -2,125000 2,359375 6,000000 11,1111112 -2,500000 -2,375000 -2,250000 -2,125000 0,228516 2,359375 5,2631583 -2,500000 -2,437500 -2,375000 -2,125000 -0,919678 0,228516 2,5641034 -2,437500 -2,406250 -2,375000 -0,919678 -0,338531 0,228516 1,2987015 -2,406250 -2,390625 -2,375000 -0,338531 -0,053257 0,228516 0,6535956 -2,390625 -2,382813 -2,375000 -0,053257 0,088066 0,228516 0,3278697 -2,390625 -2,386719 -2,382813 -0,053257 0,017514 0,088066 0,1636668 -2,390625 -2,388672 -2,386719 -0,053257 -0,017844 0,017514 0,0817669 -2,388672 -2,387695 -2,386719 -0,017844 -0,000159 0,017514 0,040900

10 -2,387695 -2,387207 -2,386719 -0,000159 0,008679 0,017514 0,02045411 -2,387695 -2,387451 -2,387207 -0,000159 0,004261 0,008679 0,01022612 -2,387695 -2,387573 -2,387451 -0,000159 0,002051 0,004261 0,00511313 -2,387695 -2,387634 -2,387573 -0,000159 0,000946 0,002051 0,002556

Se logró aproximar la raíz de la función f(x) = x3 + x + 16, además de analizar elmétodo de la bisección. En este ejemplo con un error de 0.002556; se encuentra laúltima raiz(Xi): -2.387634 en 13 iteraciones.


CAPITULO 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema deresolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, puede citarse la soluciónde sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial, la solución deecuaciones diferenciales parciales, entre otros.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene la forma general11212111 ... qpapapa nn

22222121 ... qpapapa nn 3.1... ... ... .

mnmnmm qpapapa ...2211

Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterior como

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

x

np

p

p

...2

1

=

mq

q

q

...2

1

Y concretamente como A p = q., donde A es la matriz coeficiente del sistema, pel vector incógnita y q el vector de términos independientes.

Dados A y q, se entiende por resolver el sistema (Ec. 3.1) encontrar los vectoresp que lo satisfagan. A continuación estudiaremos las técnicas que permitenencontrar p mediante los métodos directos y los métodos iterativos.

3.2 MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN

Son aplicables a sistemas de ecuaciones lineales de tamaño pequeño omediano. La particularidad es que obtienen las soluciones exactas medianteoperaciones algébricas y trabajando con todo el sistema a la vez. Los sistemasgrandes presentan la inconveniencia de requerir mucha memoria del computador, lacual a veces puede ser insuficiente. Han sido planteados diversos métodos desolución y la literatura sobre solución de sistemas lineales está enriquecida coninteresantes aportes.

A continuación se describirán algunos de los métodos mas aplicables a lasimulación matemática de reservorios con una relativamente pequeña cantidad debloques.

El prototipo de todos estos métodos se conoce como la eliminación de Gaussy se presenta a continuación.

3.2.1 ELIMINACIÓN DE GAUSS

Considérese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tresincógnitasa11p1 + a12p2 + a13p3 = q1a21p1 + a22p2 + a23p3 = q2 3.2a31p1 + a32p2 + a33p3 = q3

Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones


Que es representado de la siguiente manera:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3

2

1

p

p

p

=

3

2

1

q

q

q

A p = qBásicamente este método tiene el objetivo de convertir la matriz A en una

matriz triangular, cuyos elementos inferiores son ceros; para ello hay que multiplicarconvenientemente una fila por un elemento y sumarla a otra.

Como primer paso, se remplaza la segunda ecuación con lo que resulte desumarle la primera ecuación multiplicada por (-a21/a11), con lo que se obtiene un 0 enla posición de a21. Similarmente se sustituye la tercera ecuación con el resultado desumarle la primera ecuación multiplicada por (-a31/a11).

Esto da lugar al nuevo sistema:

1131133311311232

1121132311211222

131211

//0

//0

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaa

3

2

1

p

p

p

=

113113

112112

1

/

/

aaqq

aaqq

q

Simbólicamente los nuevos valores pueden representarse más simplificadamente así:

'33

'32

'23

'22

131211

0

0

aa

aa

aaa

3

2

1

p

p

p

=

'3

'2

1

q

q

q

3.3

Donde las a’ y las q’ son los nuevos elementos que se obtienen de lasoperaciones ya mencionadas, y donde p1 se ha eliminado en la segunda y terceraecuaciones. Ahora, multiplicando la segunda ecuación de 3.3 por (-a32‘/a22’) ysumando el resultado a la tercera ecuación de 3.3, se obtiene el sistema triangular:

'22

'32

'23

'33

'23

'22

131211

/00

0

aaaa

aa

aaa

3

2

1

p

p

p

=

'22

'32

'2

'3

'2

1

/ aaqq

q

q

Que simbólicamente puede representarse más simplificadamente así:

"33

'23

'22

131211

00

0

a

aa

aaa

3

2

1

p

p

p

=

"3

'2

1

q

q

q

3.4

Donde a33” y q3“, resultaron de las operaciones realizadas y P2 se ha eliminadode la tercera ecuación.

El proceso de llevar el sistema de ecuaciones 3.2 a la forma de la ecuación3.4 se conoce como triangularización.

El sistema en la forma de la ecuación 3.4 se resuelve despejando de su últimaecuación p3, sustituyendo p3 en la segunda ecuación y despejando P2 de ella, porúltimo, con p3 y p2 sustituidas en la primera ecuación de 3.4 se obtiene p1. Esta partedel proceso se llama sustitución regresiva.

Antes de ilustrar la eliminación de Gauss con un ejemplo particular, nóteseque no es necesario conservar p1, p2 y p3 en la triangularización y que ésta puedellevarse a cabo usando solamente la matriz coeficiente A y el vector q. Para mayorsimplicidad se empleará la matriz aumentada B.



B =

3333231

2232221

1131211

qaaa

qaaa

qaaa

= [A | q]

Con esto se incorporan la notación matricial y todas sus ventajas a la soluciónde sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo 3.1Resuelva por eliminación de Gauss el sistema:

4p1 - 9p2 + 2p3 = 5002p1 - 4p2 + 6p3 = 300

p1 - p2 + 3p3 = 400

SOLUCIÓNLa matriz aumentada del sistema es

400311

300642

500294

Triangularización.- Al sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a lasegunda, y la primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera, resulta:

2755.225.10

5055.00

500294

Obsérvese que en este paso la primera fila se conserva sin cambio.Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera se obtiene la matriz

1501000

5055.00

500294

Que en términos de sistemas de ecuaciones quedaría como4p1 - 9p2 + 2p3 = 500

0.5p2 + 5p3 = 50 3.5-10p3 = 150

Un proceso de sustitución regresiva produce el resultado buscado. La terceraecuación de 3.5 da el valor de p3 = -15. De la segunda ecuación se obtiene entonces0.5P2 = 50 - 5p3 = 125. Y por tanto P2 = 250

Finalmente al sustituir p2 y p3 en la primera ecuación de la forma 3.5 resulta4p1 = 500 + 9p2 – 2p3 = 2780. De modo que p1 = 695

Con la sustitución de estos valores en el sistema original se verifica laexactitud de los resultados.

3.2.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO

En la eliminación de p1 de la segunda y tercera ecuaciones de la forma 3.2 setomó como base la primera, por lo cual se denomina ecuación pivote o, en términosde la notación matricial, fila pivote. Para eliminar P2 de la tercera ecuación de la



forma 3.3, la fila pivote utilizada fue la segunda. El coeficiente de la incógnita que seva a eliminar en la fila pivote se llama pivote. En la eliminación que dio comoresultado el sistema de ecuaciones 3.4, los pivotes fueron a11 y a22’. Esta elecciónnatural de los pivotes a11, a22’, a33”, etc., es muy conveniente tanto para trabajar conuna calculadora como con una computadora, desafortunadamente falla cuandoalguno de esos elementos es cero, puesto que los multiplicadores quedaríanindeterminados (por ejemplo si a11 fuera cero, el multiplicador (a21/a11) no estádefinido). Una manera de evitar esta posibilidad es seleccionar como pivote elcoeficiente de máximo valor absoluto en la columna relevante de la matriz reducida.Como antes, se tomarán las columnas en orden natural de modo que se vayaneliminando las incógnitas también en orden natural p1, p2, p3, etc. Esta técnica,llamada pivoteo, se ilustra con la solución del siguiente sistema.

Ejemplo 3.2Resuelva el sistema

10p1 + p2 - 5p3 = 100-20p1 + 3p2 + 20p3 = 200 3.6

5p1 + 3p2 + 5p3 = 600SOLUCIÓN

La matriz aumentada es

600535

20020320

1005110

El primer pivote debe ser (-20), ya que es el elemento de máximo valor absoluto en laprimera columna. Vamos a la forma triangular en la eliminación. Para esto esnecesario, por ejemplo en la ecuación 3.6, intercambiar la segunda fila (donde seencuentra el elemento de máximo valor absoluto) con la primera, con lo que seobtiene

600535

1005110

20020320

Se elimina entonces P1 de la segunda y tercera filas de la ecuación 3.6. Paraello, se suma a la segunda fila la primera multiplicada por (-10/(-20)), y a la tercerafila la primera multiplicada por (-5/(-20)). Con esto se reduce en la primeraeliminación a

6501075.30

20055.20

20020320

El siguiente pivote debe seleccionarse entre la segunda y tercera filas (segundacolumna) y en este caso es (3.75). se intercambian la segunda y la tercera filas de lamatriz anterior para obtener

20055.20

6501075.30

20020320



Sumando a la tercera fila la segunda multiplicada por (-2.5/3.75), al eliminar p2resulta

3.233666.100

6501075.30

20020320

Que tiene ya la forma triangular y está lista para la sustitución regresiva queproporciona los siguientes valores:

140666.1

3.2333

p . De la tercera ecuación

20075.3

)140(106502

p . De la segunda ecuación. Y finalmente:

10020

)140(20)200(32001

p . De la primera ecuación

Para terminar el tema, comparemos las técnicas de eliminación de Gauss conpivoteo y sin éste. Por brevedad, la primera se denominará GP y la segunda G.1. La búsqueda del coeficiente de mayor valor absoluto que se usará como pivote yel intercambio de filas significa mayor programación en GP.2. Encontrar en GP un pivote igual a cero significaría que se trata de una matrizcoeficiente A singular y que el sistema A p = q no tiene solución única. Encontrar enG un pivote igual a cero detendría el proceso de triangularización.

A pesar de la programación adicional y el mayor tiempo de máquina que seemplea en el método de Gauss con pivoteo, sus otras ventajas borran totalmenteestas desventajas en la práctica.

3.2.3 ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN

Es posible extender los métodos vistos de modo que las ecuaciones sereduzcan a una forma en que la matriz coeficiente del sistema sea diagonal y ya nose requiera la sustitución regresiva. Los pivotes se eligen como en el método deGauss con pivoteo, y una vez intercambiadas las filas se eliminan los elementosarriba y debajo del pivote. El sistema del ejemplo 3.3 ilustra este método.

Ejemplo 3.3Por eliminación de Jordan, resuelva el sistema

4p1 - 9p2 + 2p3 = 5002p1 - 4p2 + 6p3 = 300

p1 - p2 + 3p3 = 400

SOLUCIONLa matriz aumentada del sistema es

400311

300642

500294

Como en la primera columna el elemento de máximo valor absoluto seencuentra en la primera fila, ningún intercambio es necesario y el primer paso deeliminación produce



2755.225.10

5055.00

500294

El elemento de máximo valor absoluto en la parte relevante de la segunda columna(filas 2 y 3) es 1.25; por tanto, la fila 3 debe intercambiarse con la 2.

5055.00

2755.225.10

500294

Sumando la segunda fila multiplicada por (-(-9)/1.25), a la primera fila y la segundamultiplicada por (-0.5/1.25) a la tercera, se obtiene el nuevo arreglo

60400

2755.225.10

24802004

Donde se han eliminado los elementos de arriba y abajo del pivote (nótese que eneste paso el primer pivote no se modifica porque sólo hay ceros debajo de él). Porúltimo, sumando la tercera fila multiplicada por (-20/4) a la primera fila y la terceramultiplicada por (-2.5/4) a la segunda

60400

5.312025.10

2780004

Que escrita de nuevo como sistema de ecuaciones da4p1 = 2780

1.25p2 = 312.54p3 = -60

De donde el resultado final se obtiene fácilmente6954/27801 p

25025.1/5.3122 p

154/603 p

3.2.4 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN DE DOOLITLE Y CROUT.

Consiste en descomponer la matriz A en dos matrices: una matriz triangularinferior L y una matriz triangular superior U para aplicarse al sistema A p = q sinintercambio de filas. El resultado anterior permite resolver el sistema A p = q, ya quesustituyendo A por LU se tieneLUp = q

Se hace U p = g, donde g es un vector desconocido Tngggg ...321 , quese puede obtener fácilmente resolviendo el sistemaLg = q

Con sustitución progresiva o hacia adelante, ya que L es triangular inferior.Una vez calculado g, se resuelve

Up = g



Con sustitución regresiva, ya que U es triangular superior y de esa manera seobtiene el vector solución p.

Para encontrar las matrices triangulares se analiza la factorización de A en lasmatrices generales L y U, dadas a continuación

3,32,31,3

2,21,2

1,1

0

00

lll

ll

l

3,3

3,22,2

3,12,11,1

00

0

u

uu

uuu

=

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

aaa

aaa

aaa

3.7

Se multiplicana)Primera fila de L por las tres columnas de U

1,11,11,1 aul

2,12,11,1 aul

3,13,11,1 aul

b)Segunda fila de L por las tres columnas de U1,21,11,2 aul

2,22,22,22,11,2 aulul

3,23,22,23,11,2 aulul

c) Tercera fila de L por las tres columnas de U1,31,11,3 aul

2,32,22,32,11,3 aulul

3,33,33,33,22,33,11,3 aululul

Se llega a un sistema de nueve ecuaciones con 12 incógnitas,,,,,, 3,32,31,32,21,21,1 llllll 3,33,22,23,12,11,1 ,,,,, uuuuuu , por lo que será necesario establecer

tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas para resolver dicho sistema. Laforma de seleccionar las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos; porejemplo, si se toman de modo que 13,32,21,1 lll , se obtiene el método deDoolitle; si en cambio se selecciona 13,32,21,1 uuu , el algoritmo resultante esllamado método de Crout.

Se continuará el desarrollo de la factorización. Tómese 13,32,21,1 lll

Con estos valores se resuelven las ecuaciones directamente en el orden en queestán dadasDe (a) u1,1 = a1,1 u1,2 = a1,2 u1,3 = a1,3 3.8De (b) y sustituyendo los resultados (Ec. 3.8)

1,1

1,2

1,1

1,21,2 a

a

u

al

2,11,1

1,22,22,11,22,22,2 a

a

aaulau 3.9

3,11,1

1,23,23,11,23,23,2 a

a

aaulau

De (c) y sustituyendo los resultados de las ecuaciones 3.8 y 3.9



1,1

1,3

1,1

1,31,3 a

a

u

al

2,11,1

1,22,2

2,11,1

1,32,3

2,2

2,11,32,32,3

aa

aa

aa

aa

u

ulal

3.10

3,11,1

1,23,2

2,11,1

1,22,2

2,11,1

1,32,3

3,11,1

1,33,33,22,33,11,33,33,3 a

a

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aaululau

Las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10, convenientemente generalizadas constituyen unmétodo directo para la obtención de L y U, con la ventaja sobre la triangularizaciónde que no se tiene que escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificadosde Ap = q. A continuación se resuelve un ejemplo.

Ejemplo 3.4Resuelva por el método de Doolitle el sistema

4p1 -9p2 + 2p3 = 52p1 -4p2 + 6p3 = 3

p1 -p2 + 3p3 = 4

SOLUCIÓNCon 13,32,21,1 lll , se procede al cálculo de la primera fila de U

u1,1 = 4 u1,2 = -9 u1,3 = 2Cálculo de la primera columna de L

l1,1 = 1 (dato) l2,1 = 2/4 = 0.5 l3,1 = ¼ = 0.25Cálculo de la segunda fila de U

u2,1 = 0 (recuérdese que U es triangular superior)u2,2 = -4 –(2/4)(-9) = 0.5u2,3 = 6 –(2/4)(2) = 5

Cálculo de la segunda columna de Ll1,2 = 0 (ya que L es triangular inferior)l2,2 = 1 (dato)l3,2 = (-1-(1/4)(-9))/(-4-(2/4)(-9)) = 2.5

Cálculo de la tercera fila de U, o más bien sus elementos faltantes, ya que porser triangular superioru31 = u32 = 0u3,3 = 3 -(1/4)(2) -[(-l-(1/4)(-9))/(-4-(2/4)(-9))](6-(2/4)(2)) = - 10

Con esto se finaliza la factorización.Las matrices L y U quedan como sigue

L =

15.225.0

015.0

001

U =

1000

55.00

294



Cuyo producto, como ya se comprobó, da A.Se resuelve el sistema Lg = q, donde q es el vector de términos independientes

del sistema original

15.225.0

015.0

001

3

2

1

g

g

g

=

4

3

5

g1 = 5g2 = 3 –0.5(5) = 0.5g3 = 4 –0.25(5) –2.5 (0.5) = 1.5

Y, finalmente, al resolver el sistema Up = g se tiene la solución del sistemaoriginal

1000

55.00

294

3

2

1

p

p

p

=

5.1

5.0

5

p3 = -0.15p2 = (0.5 –5(-0.15))/0.5 = 2.5p1 =(5 + 9(2.5) -2(-0.15))/4 = 6.95

p =

15.0

5.2

95.6

Las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10 se generalizan para factorizar la matriz coefi-ciente del sistema Ap = q, que puede resolverse por eliminación de Gauss sinintercambio de filas; se tiene entonces

1

1,,,,

i

kjkkijiji ulau j = i+1, … ,n

)(1 1

1,,,

,,

j

kkijkji

jiji lua

ul i = j+1, … ,n 3.11

1, iil i = i+1, … ,n

Con la convención en las sumatorias que

0

1

0k

Puede observarse al seguir las ecuaciones 3.8, 3.9, 3.10 o bien las ecuaciones3.11, que una vez empleada ai,j el cálculo de ui,j o li,j según sea el caso, estacomponente de A no vuelve a emplearse como tal, por lo que las componentes de Ly U generadas pueden guardarse en A y ahorrar memoria de esa manera.

3.3 MÉTODOS ITERATIVOS

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación, la memoria demáquina requerida es proporcional al cuadrado del orden de A, y el trabajo com-putacional es proporcional al cubo del orden de la matriz coeficiente A. Debido aesto, la solución de sistemas lineales grandes (n 50), con matrices coeficientedensas, se vuelve costoso y difícil en una computadora con los métodos deeliminación, ya que se requiere amplia memoria. Además, como el número deoperaciones que se debe ejecutar es muy grande, se pueden producir errores de



redondeo también muy grandes. Sin embargo, se han resuelto sistemas de orden1000, y aun mayor, con los métodos que se estudiarán en esta sección.

Estos sistemas de un número muy grande de ecuaciones se presentan en la so-lución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, en la solución de los modelosresultantes en la simulación de columnas de destilación, etc. En favor de estos sis-temas, puede decirse que tienen matrices con pocos elementos distintos de cero yque éstas poseen ciertas propiedades (simétricas, bandeadas, diagonal dominantes,etc.), que permiten garantizar éxito en la aplicación de los métodos de esta sección.La solución se obtiene mediante aproximaciones sucesivas; la ventaja que tienensobre los métodos directos es que pueden manejar sistemas grandes de ecuaciones,porque no es necesario que todas las ecuaciones estén en la memoria delcomputador. La desventaja relativa radica en el hecho de que los métodos puedencrear inestabilidad y perder la convergencia de las soluciones.Considérese el siguiente sistema:Ap = q

Asumiendo que se obtiene una solución aproximada p0, esta aproximacióntendrá un error ε0 respecto a la solución exacta, tal que:p = p0 + ε0 Por lo tanto:Ap = Ap0 + Aε0 O sea:Aε0 = q - Ap0Este vector se llama vector residual, y naturalmente es 0 para solución exacta.

3.3.1 MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL

Se puede aplicar esta técnica para elaborar métodos de solución de Ap = q, dela manera siguiente.

Se parte de Ap = q para obtener la ecuaciónAp - q = 0, 3.12

Ecuación vectorial correspondiente a f(p) = 0. Se busca ahora una matriz B yun vector c, de manera que la ecuación vectorialp = Bp + c, 3.13

Sea sólo un arreglo de la ecuación 3.12; es decir, de manera que la solución deuna sea también la solución de la otra. La ecuación 3.13 correspondería a p = g(p).A continuación se propone un vector inicial p(0) como primera aproximación al vectorsolución p. Luego, se calcula con la ecuación 3.14 la sucesión vectorial p(1), p(2),...,de la siguiente manerap(k+1) = Bp(k) +c, k = 0, 1, 2, ... Donde

Tkn

kkk pppp ...21)( p(k) 3.14

Para que la sucesión p(0), p(1), ..., p(n), ..., converja al vector solución p esnecesario que eventualmente pj

m, 1 j n (los componentes del vector p(m)), seaproximen tanto a pj, 1 j n (los componentes correspondientes a p) que todas lasdiferencias j

mj pp , 1 j n sean menores que un valor pequeño previamente

fijado, y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración;es decir

jmj

mpp

lim 1 j n 3.15

La forma como se llega a la ecuación 4.13 define el algoritmo y suconvergencia. Dado el sistema Ap = q, la manera más sencilla es despejar p1 de la



primera ecuación, p2 de la segunda, etc. Para ello, es necesario que todos loselementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero.Para ver esto en detalle considérese el sistema general de tres ecuaciones(naturalmente puede extenderse a cualquier número de ecuaciones).Sea entoncesa11p1 + a12p2 + a13p3 = q1a21p1 + a22p2 + a23p3 = q2a31p1 + a32p2 + a33p3 = q3

Con , a11, a22 y a33 distintos de cero.Se despeja p1 de la primera ecuación, p2 de la segunda y p3 de la tercera con lo quese obtiene

33

32

33

321

33

313

22

23

22

231

22

212

11

13

11

132

11

121

a

qp

a

ap

a

ap

a

qp

a

ap

a

ap

a

qp

a

ap

a

ap

3.16

Que en notación matricial queda

3

2

1

p

p

p

=

0

0

0

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

a

a

a

aa

a

a

aa

a

a

a

3

2

1

p

p

p

+

33

3

22

2

11

1

a

qa

qa

q

4.17

Y ésta es la ecuación 3.14 desarrollada, con

B =

0

0

0

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

a

a

a

aa

a

a

aa

a

a

a

y c =

33

3

22

2

11

1

a

qa

qa

q

Una vez que se tiene la forma 3.17, se propone un vector inicial p(0) que puedeser p(0) = 0, o algún otro que sea aproximado al vector solución p. Se presenta acontinuación un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con elmétodo iterativo, en sus dos versiones, desplazamientos simultáneos ydesplazamientos sucesivos

3.3.1.1 ITERACIÓN DE JACOBI (DESPLAZAMIENTOS SIMULTÁNEOS)

Si

k

k

k

k

p

p

p

p

3

2

1)( 3.18

Es el vector aproximación a la solución p después de k iteraciones, entonces setiene para la siguiente aproximación



)(1

)(1

)(1

232131333

323121222

313212111

13

12

11

)1(

kk

kk

kk

k

k

k

k

papaqa

papaqa

papaqa

p

p

p

p 3.19

O bien, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y usando notaciónmás compacta y de mayor utilidad en programación, se tiene

n

ij

j

kjiji

ii

ki paq

ap

1

1 1 , para 1 i n 3.20

3.3.1.2 ITERACIÓN DE GAUSS-SEIDEL (DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS)

En este método los valores que se van calculando en la (k+1)-ésima iteración seemplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteraciónes decir, con

)(kp se calcula )1( kp de acuerdo con

)(1

)(1

)(1

1232

11313

33

3231

121222

313212111

13

12

11

)1(

kk

kk

kk

k

k

k

k

papaqa

papaqa

papaqa

p

p

p

p 3.21

O bien, para un sistema de n ecuaciones

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki papaq

ap

1

1

1

11 1 , para 1 i n 3.22

Ejemplo 3.5Resuelva el siguiente sistema por los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel

154

34

94

54

43

432

321

21

pp

ppp

ppp

pp

3.23

SOLUCIÓNDespejando p1 de la primera ecuación, p2 de la segunda, etc., se obtiene



4

15

4

4

3

44

4

9

44

4

5

4

34

423

312

21

pp

ppp

ppp

pp

3.24

Vector inicial.- Cuando no se tiene una aproximación al vector solución, seemplea generalmente como vector inicial el vector cero, esto es Tp 0000)0(

a) Método de JacobiEl cálculo de )1(p en el método de Jacobi se obtiene remplazando )0(p en cada

una de las ecuaciones de 3.24

4

15

4

04

3

4

0

4

04

9

4

0

4

04

5

4

0

4

3

2

1

p

p

p

p

75.34

15

75.04

3

25.24

9

25.14

5

Y entoncesT

p

4

15,

4

3,

4

9,

4

5)1(

Para calcular )2(p se sustituye )1(p en cada una de las ecuaciones de 3.24. Parasimplificar la notación se han omitido los superíndices.

5625.3

75.0

375.2

8125.1

415

475.0

4

43

475.3

425.2

3

49

475.0

425.1

2

45

425.2

1

p

p

p

p

A continuación se presentan los resultados de subsecuentes iteraciones, en formatabular

K0 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000001 1,250000 2,250000 -0,750000 3,750000 1,2500 2,2500 -0,7500 3,75002 1,812500 2,375000 0,750000 3,562500 0,5625 0,1250 1,5000 -0,18753 1,843750 2,890625 0,734375 3,937500 0,0313 0,5156 -0,0156 0,37504 1,972656 2,894531 0,957031 3,933594 0,1289 0,0039 0,2227 -0,00395 1,973633 2,982422 0,957031 3,989258 0,0010 0,0879 0,0000 0,05576 1,995605 2,982666 0,992920 3,989258 0,0220 0,0002 0,0359 0,00007 1,995667 2,997131 0,992981 3,998230 0,0001 0,0145 0,0001 0,00908 1,999283 2,997162 0,998840 3,998245 0,0036 0,0000 0,0059 0,00009 1,999290 2,999531 0,998852 3,999710 0,0000 0,0024 0,0000 0,0015

10 1,999883 2,999536 0,999810 3,999713 0,0006 0,0000 0,0010 0,0000

kp1

kp2kp3

kp4k1 k

2k3 k

4



11 1,999884 2,999923 0,999812 3,99995312 1,999981 2,999924 0,999969 3,99995313 1,999981 2,999987 0,999969 3,99999214 1,999997 2,999988 0,999995 3,99999215 1,999997 2,999998 0,999995 3,99999916 1,999999 2,999998 0,999999 3,99999917 1,999999 3,000000 0,999999 4,00000018 2,000000 3,000000 1,000000 4,000000

Tabla 3.1 Solución del sistema 3.23 por el método de Jacobi.

b) Método de Gauss-SeidelPara el cálculo del primer elemento del vector )1(p , se sustituye )0(p en la primera

ecuación de 3.24, para simplificar la notación se han omitido los superíndices.

25.14

5

4

5

4

01 p

Para el cálculo de p2 de )1(p , se emplea el valor de p1 ya obtenido (1/4) y losvalores de p2, p3 y p4 de )0(p . Así

5625.24

9

4

0

4

25.12 p

Con los valores de p1 y p2 ya obtenidos y con p3 y p4 de p(0) se evalúa p3 de )1(p .

109375.04

3

4

0

4

5625.23 p

Finalmente, con los valores de p1, p2 y p3 calculados previamente y con p4 dep(0), se obtiene la última componente de )1(p

722656.34

15

4

109375.04 p

Entonces Tp ]722656.3109375.05625.225.1[)1(

Para la segunda iteración (cálculo de p2) se procede de igual manera.

890625.14

5

4

5625.21 p

6953125.24

9

4

109375.0

4

890625.12

p

854492.04

3

4

722656.3

4

6953125.23

p

963623.34

15

4

854492.04 p

Con lo que Tp ]963623.3854492.0695313.2890625.1[)2(

En la tabla 3.2 se presentan los resultados de las iteraciones subsecuentes.

K0 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000001 1,250000 2,562500 -0,109375 3,722656 1,2500 2,5625 -0,1094 3,72272 1,890625 2,695313 0,854492 3,963623 0,6406 0,1328 0,9639 0,24103 1,923828 2,944580 0,977051 3,994263 0,0332 0,2493 0,1226 0,03064 1,986145 2,990799 0,996265 3,999066 0,0623 0,0462 0,0192 0,0048

kp1

kp2kp3

kp4k1 k

2k3 k

4



5 1,997700 2,998491 0,999389 3,999847 0,0116 0,0077 0,0031 0,00086 1,999623 2,999753 0,999900 3,999975 0,0019 0,0013 0,0005 0,00017 1,999938 2,999960 0,999984 3,999996 0,0003 0,0002 0,0001 0,00008 1,999990 2,999993 0,999997 3,9999999 1,999998 2,999999 1,000000 4,000000

10 2,000000 3,000000 1,000000 4,000000Tabla 3.2 Solución del sistema 3.23 por el método de Gauss-Seidel.

En la aplicación de estas dos variantes son válidas las preguntas siguientes:1. ¿La sucesión de vectores )1(p , )2(p , )3(p , ... , converge o se aleja del vectorsolución T

npppp ]...[ 21 ?2. ¿Cuando se detendrá el proceso iterativo?

Las respuestas correspondientes, conocidas como criterio de convergencia, sedan a continuación:1. Si la sucesión converge a p, cabe esperar que los elementos de )(kp se vayanacercando a los elementos correspondientes de p, es decir, Kp1 , a 1p , Kp2 , a 2p , etc.,o que se alejen en caso contrario.2. Cuando:a) Los valores absolutos kk pp 1

11 , kk pp 2

12 , etc., sean todos menores de un

número pequeño ε cuyo valor será dado por el programador. O bienb) Si el número de iteraciones ha excedido un máximo predeterminado MAXIT.

Por otro lado, es natural pensar que si la sucesión )0(p , )1(p ,…, converge a p, ladistancia de )0(p a p, de )1(p a p, etc., se va reduciendo. También es cierto que ladistancia entre cada dos vectores consecutivos )0(p y )1(p , )1(p y )2(p , etc., sedecrementa conforme el proceso iterativo avanza; esto es, la sucesión de númerosreales:

)()1()1()2()0()1( ,...,, kk pppppp 3.25Convergirá a cero.Si, por el contrario, esta sucesión de números diverge, entonces puede

pensarse que el proceso diverge. Con esto, un criterio más es

c) Detener el proceso una vez que )()1( kk pp < εAl elaborar un programa de cómputo para resolver sistemas de ecuaciones

lineales, generalmente se utilizan los criterios (a), (b) y (c) o la combinación de (a) y(b), o la de (b) y (c).

Si se observan las columnas de las tablas 3.1 y 3.2, se advertirá que todas sonsucesiones de números convergentes, por lo que ambos métodos convergen a unvector, presumiblemente la solución del sistema 3.23.

Si se tomara el criterio (a) con ε = 210 y el método de Jacobi, ε se satisface enla sexta iteración de la tabla 3.1; en cambio si ε = 310 , se necesitan 10 iteraciones.

Si se toma ε = 310 el método de Gauss-Seidel y el criterio (a), se requeriríansólo seis iteraciones, como puede verse en la tabla 3.2.

Aunque hay ejemplos en los que Jacobi converge y Gauss-Seidel diverge yviceversa, en general puede esperarse convergencia más rápida por Gauss-Seidel, ouna manifestación más rápida de divergencia. Esto se debe al hecho de ir usando



los valores más recientes de 1kp que permitirán acercarse o alejarse másrápidamente de la solución.

3.3.2 RE-ARREGLO DE ECUACIONES.

Para motivar el re-arreglo de ecuaciones, se propone resolver el siguientesistema con el método de Gauss-Seidel y con ε = 210 aplicado a )()1( kk pp

32

2

15489

10253

4321

42

4321

4321

pppp

pp

pppp

pppp

3.26

Al resolver para 1p de la primera ecuación, para 2p de la segunda, 3p de lacuarta y 4p de la tercera se obtiene

2

329

15

9

4

9

8

9

10253

24

4213

431

2

4321

pp

pppp

ppp

p

pppp

Con el vector cero como vector inicial, se tiene la siguiente sucesión devectores. Nótese que el proceso diverge.

K DIFERENCIAS0 0,00000 0,00000 0,00000 0,000001 -10,00000 2,77778 14,22222 -0,77778 -10,00000 2,77778 14,22222 -0,777782 67,88889 -18,17284 -121,38272 20,17284 77,88889 -20,95062 -135,60494 20,950623 -631,08642 170,717421108,62826 -168,71742 -698,97531 188,890261230,01097 -188,89026

Tabla 3.3. Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.26.Si el proceso iterativo diverge, como es el caso, un re-arreglo de las

ecuaciones puede originar convergencia; por ejemplo, en lugar de despejar 1p de laprimera ecuación, 2p de la segunda, etc., cabe despejar las diferentes ip dediferentes ecuaciones, teniendo cuidado de que los coeficientes de las ip

despejadas sean distintos de cero.Esta sugerencia presenta, para un sistema de n ecuaciones, n! distintas

formas de re-arreglar dicho sistema. A fin de simplificar este procedimiento, seutilizará el siguiente teorema

Teorema 3.1 Los procesos de Jacobí y Gauss-Seidel convergirán si en la matrizcoeficiente cada elemento de la diagonal principal es mayor (en valor absoluto) quela suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la misma fila ocolumna (matriz diagonal dominante). Es decir, se asegura h convergencia si:

n

ijj

ijii aa1

ni1

kP1kP2

kP3kP4



y 3.27

n

ijj

jiii aa1

ni1

Este teorema no será de mucha utilidad si se toma al pie de la letra, ya quecontados sistemas de ecuaciones lineales poseen matrices coeficientediagonalmente dominantes; sin embargo, si se arreglan las ecuaciones para tener elsistema lo más cercano posible a las condiciones del teorema, algún beneficio sepuede obtener. Ésta es la pauta para reordenar las ecuaciones y obtener o mejorarla convergencia, en el mejor de los casos. A continuación se ilustra esto, re-arreglando el sistema 4.26, despejando 1p de la ecuación 4, 2p de la ecuación 2, 3p

de la ecuación 1 y 4p de la ecuación 3 para llegar a:

25

10

5

2

5

3

5

9

15

9

4

9

8

9

2

3

222

24

4213

4312

4321

pp

pppp

pppp

pppp

Los resultados para las primeras 18 iteraciones con el vector cero como vectorinicial se muestran en la tabla 3.4

Antes de continuar las iteraciones, puede observarse en la tabla 3.4 que losvalores de )18(p parecen converger al vector

Tp 2101

Con la sustitución de estos valores en el sistema 3.26, se comprueba que 1p =-1, 2p = 0.0, 3p = 1 y 4p = 2 es el vector solución y por razones obvias se detiene elproceso.

K DIFERENCIAS0 0,00000 0,00000 0,00000 0,000001 -1,50000 1,83333 0,60000 0,16667 -1,50000 1,83333 0,60000 0,166672 -2,63333 1,35185 0,59556 0,64815 -1,13333 -0,48148 -0,00444 0,481483 -2,14963 1,08807 0,65798 0,91193 0,48370 -0,26379 0,06242 0,263794 -1,91705 0,88950 0,71811 1,11050 0,23258 -0,19856 0,06014 0,198565 -1,74856 0,72907 0,76865 1,27093 0,16849 -0,16043 0,05053 0,160436 -1,61339 0,59784 0,81025 1,40216 0,13516 -0,13124 0,04160 0,131247 -1,50296 0,49026 0,84439 1,50974 0,11044 -0,10758 0,03414 0,107588 -1,41245 0,40204 0,87239 1,59796 0,09051 -0,08822 0,02800 0,088229 -1,33824 0,32970 0,89535 1,67030 0,07422 -0,07234 0,02296 0,07234

10 -1,27737 0,27038 0,91418 1,72962 0,06086 -0,05932 0,01883 0,0593211 -1,22747 0,22173 0,92962 1,77827 0,04991 -0,04865 0,01544 0,0486512 -1,18654 0,18183 0,94229 1,81817 0,04093 -0,03990 0,01266 0,0399013 -1,15297 0,14911 0,95267 1,85089 0,03356 -0,03272 0,01038 0,0327214 -1,12545 0,12228 0,96119 1,87772 0,02753 -0,02683 0,00852 0,0268315 -1,10287 0,10028 0,96817 1,89972 0,02257 -0,02200 0,00698 0,02200

Tabla 3.4. Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.26, re-arreglando las ecuaciones paraobtener una aproximación a un sistema diagonal dominante.

kP1

kP2kP3

kP4



3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Se vio cómo encontrar las raíces de una ecuación de la forma f(x) = 0.Además se vieron técnicas iterativas de solución de sistemas de ecuaciones linealesAx = b. Ahora veremos sistemas de ecuaciones no lineales donde se tiene unsistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, cuya representación es:f1(x1, x2, x3, …, xn) = 0f2(x1, x2, x3, …, xn) = 0.. 3.28fn(x1, x2, x3, …, xn) = 0donde fi(x1,x2,x3 …, xn) para 1 ≤ i ≤ n es una función (lineal o no) de las variablesindependientes x1, x2, x3, …, xn.

Si la ecuación 3.28 consiste sólo en una ecuación de una incógnita (n = 1), setiene la ecuación del tipo f(x) = 0. En cambio si n > 1 se tendrá un sistema deecuaciones lineales y f1, f2, … fn son todas funciones lineales de x1, x2, x3, …, xn.

Por todo esto, es fácil entender que los métodos iterativos de solución de laecuación 3.28 son extensiones de los métodos para ecuaciones no lineales en unaincógnita y emplean las ideas que se aplicaron al desarrollar los algoritmos iterativospara resolver A x = b.

A continuación se dan algunos ejemplos.a) 04),( 2

221211 xxxxf

0),( 212212 xxxxf

b) 0)(10),( 212211 xxxxf

01),( 1212 xxxf

c) 010),,( 2313213211 xxxxxxxxf

015)(2),,( 23213212 xsenxxxxxxf

0335),,( 3331

223213 xxxxxxxf

3.4.1 DIFICULTAD EN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Antes de desarrollar los métodos iterativos para resolver sistemas deecuaciones no lineales con varias Incógnitas, se destacarán algunas de lasdificultades que se presentan al aplicar estos métodos.Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las

ecuaciones de los sistemas para n > 2.No es fácil encontrar ‘buenos” valores iniciales.

Para atenuar estas dificultades se darán algunas sugerencias aplicables antesde un intento formal de solución de la ecuación 3.28.

3.4.1.1 REDUCCIÓN DE ECUACIONES

Resulta muy útil tratar de reducir analíticamente el número de ecuaciones y deincógnitas antes de intentar una solución numérica. En particular, trátese de resolveralguna de las ecuaciones para alguna de las incógnitas. Después, sustitúyase la



ecuación resultante para esa incógnita en todas las demás ecuaciones; con esto elsistema se reduce en una ecuación y una incógnita. Continúese de esta manerahasta donde sea posible.

Por ejemplo, en el sistema0)(10),( 2

12211 xxxxf

01),( 1212 xxxfse despeja x1 en la segunda ecuaciónx1 = 1y se sustituye en la primera10(x2 – 12) = 0cuya solución, x2 = 1, conjuntamente con x1 = 1 proporciona una solución del sistemadado, sin necesidad de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas.

3.4.1.2 PARTICIÓN DE ECUACIONES

A veces resulta más sencillo dividir las ecuaciones en subsistemas menores yresolverlos por separado. Considérese por ejemplo el siguiente sistema de cincoecuaciones con cinco incógnitas

0),,,,( 543211 xxxxxf

0),,,( 54212 xxxxf

0),,,( 54313 xxxxf

0),( 424 xxf

0),( 415 xxf

En vez de atacar las cinco ecuaciones al mismo tiempo, se resuelve elsubsistema formado por 542 ,, fff . Las soluciones de este subsistema se utilizandespués para resolver el subsistema compuesto por las ecuaciones f1 y f3

En general, una partición de ecuaciones es la división de un sistema deecuaciones en subsistemas llamados bloques. Cada bloque de la partición es elsistema de ecuaciones más pequeño que incluye todas las variables que es precisoresolver.

3.4.1.3 TANTEO DE ECUACIONES

Supóngase que se quiere resolver el siguiente sistema de cuatro ecuacionescon cuatro incógnitas

0),( 321 xxf

0),,( 4322 xxxf

0),,,( 43213 xxxxf

0),,( 3214 xxxf

No se pueden dividir en subsistemas, sino que es preciso resolverlassimultáneamente. Sin embargo, es posible abordar el problema por otro camino.Supóngase que se estima un valor de x3. Se podría obtener así x2 a partir de f1, x4 def2 y x1 de f3. Finalmente, se comprobaría con f4 la estimación hecha de x3 Sí f4 fuesecero o menor en magnitud que un valor predeterminado o criterio de exactitud Є, laestimación x3 y los valores de x2, x4 y x1 obtenidos con ella, serían una aproximación



a la solución del Sistema dado. En caso contrario, habría que proponer un nuevovalor de x3 y repetir el proceso.

Nótese la íntima relación que guarda este método con el método de punto fijo,ya que un problema multidimensional se reduce a unidimensional en x3:h(x3) = 0.

3.4.1.4 VALORES INICIALES

a)De consideraciones físicasSí el sistema de ecuaciones 3.28 tiene un significado físico, con frecuencia es

posible acotar los valores de las incógnitas a partir de consideraciones físicas. Porejemplo, si alguna de las variables xi, representa la velocidad de flujo de un fluido,ésta no podrá ser negativa. Por tanto xi ≥ 0 En el caso de que xi represente unaconcentración expresada como fracción peso o fracción molar de una corriente dealimentación, se tiene que 0 ≤ xi ≤ 1.

b) De consideraciones geométricasEn caso de tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

0),( 211 xxf

0),( 212 xxfCada una define, en general, una curva en el plano x1 – x2 y el problema de

resolver el sistema puede verse como el problema de encontrar el punto o los puntosde intersección de estas dos curvas. Graficando (puede usarse el software GC, elMath-CAD, o un programa que grafique) pueden obtenerse buenos valores iniciales.

Sea por ejemplo el sistema0),( 211 xxf

0),( 212 xxf

Al graficar f1 y f2 se obtiene la figura 3.1, en donde se podrán apreciar valoresiniciales muy cercanos a la solución.

Figura 3.1 Solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones

Por último, resulta muy conveniente conocer bien las características de cada métodode solución del sistema 3.28 para efectuar la elección más adecuada del mismo.



3.4.2 MÉTODO DE PUNTO FIJO MULTIVARIABLE

Los algoritmos discutidos aquí son, en principio, aplicables a sistemas decualquier número de ecuaciones. Sin embargo, para ser más concisos y evitarflotación complicada, se considerará sólo el caso de dos ecuaciones con dos incóg-nitas. Estas generalmente se escribirán como

f1(x, y) = 0f2(x, y) = 0 3.29

y se tratará de encontrar pares de valores (x, y) que satisfagan ambas ecuaciones.Como en el método de punto fijo, se resolverá la primera ecuación para alguna de lasvariables, x por ejemplo, y la segunda para y.

x = g1(x, y)y = g2(x, y) 3.30

Al igual que en los métodos mencionados, se tratará de obtener la estimación(k + 1)-ésima a partir de la estimación k-ésima con la expresión

),(11 kkk yxgx

),(21 kkk yxgy 3.31

Se comienza con valores iniciales x0, y0, se calculan nuevos valores x1, y1 y serepite el proceso, esperando que después de cada iteración los valores de xk, yk seaproximen a la raíz buscada yx, , la cual cumple con

),(1 yxgx

),(2 yxgy Por analogía con los casos discutidos, puede predecirse el comportamiento y

las características de este método de punto fijo multivariable.Como se sabe, en el caso de una variable la manera particular de pasar de

f(x) = 0 a x = g(x), afecta la convergencia del proceso iterativo. Entonces debeesperarse que la forma en que se resuelve para x = g1(x, y) y y = g2(x, y) afecte laconvergencia de las iteraciones 3.31.

Por otro lado, se sabe que el reordenamiento de las ecuaciones en el casolineal afecta la convergencia, por lo que puede esperarse que la convergencia delmétodo en estudio dependa de si se despeja x de f2 o de f1.

Finalmente, la convergencia - en caso de existir - es de primer orden, cabeesperar que el método iterativo multivariable tenga esta propiedad.

Ejemplo 3.6Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

f1(x, y) = x2 – 10x + y2 + 8 = 0f2(x, y) = xy2 + x – 10y + 8 = 0.

SOLUCIÓNCon el despeje de x del término (-10x) en la primera ecuación y de y del término (-10y) en la segunda ecuación, resulta

10

822

yxx

10

82

xxyy

o con la notación de la ecuación 3.31



10

8)()( 221

kkk yx

x

10

8)( 21

kkkk xyx

y

Con los valores iniciales x0 = 0, y0 = 0, se inicia el proceso iterativo

Primera iteración

8.010

800 221

x

8.010

80)0(0 21

y

Segunda iteración

928.010

8)8.0()8.0( 222

x

9312.010

88.0)8.0(8.0 22

y

Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de vectoresk xk yk

0 0.00000 0.000001 0.80000 0.800002 0.92800 0.931203 0.97283 0.973274 0.98937 0.989445 0.99578 0.995796 0.99832 0.998327 0.99933 0.999338 0.99973 0.999739 0.99989 0.99989

10 0.99996 0.9999611 0.99998 0.9999812 0.99999 0.9999913 1.00000 1.00000

Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar criterioscomo distancia entre dos vectores consecutivos o bien las distancias componente acomponente de dos vectores consecutivos. También existe un criterio deconvergencia equivalente que dice: Una condición suficiente aunque no necesaria,para asegurar la convergencia es que

121

M

x

g

x

g ; 121

M

y

g

y

g 3.32

para todos los puntos (x, y) de la región del plano que contiene todos los valores(xk, yk) y la raíz buscada ),( yx .

Por otro lado; si M es muy pequeña en una región de interés, la iteraciónconverge rápidamente; si M es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puedeconverger lentamente. Este comportamiento es similar al del caso de una funciónunivariable discutido anteriormente.



Por lo general es muy difícil encontrar el sistema 3.30 a partir de la ecuación3.29, de modo que satisfaga la condición 3.32.

De todas maneras, cualquiera que sea el sistema 3.29 a que se haya llegado yque se vaya a resolver con este método, puede aumentarse la velocidad deconvergencia usando desplazamientos sucesivos en lugar de los desplazamientossimultáneos del esquema 3.31. Es decir, se iteraría mediante

),(11 kkk yxgx

),( 12

1 kkk yxgy

Si la iteración por desplazamientos simultáneos diverge, generalmente elmétodo por desplazamientos sucesivos divergiría más rápido; es decir, se detectamás rápido la divergencia, por lo que se recomienda en general el uso dedesplazamientos sucesivos en lugar de desplazamientos simultáneos.

Ejemplo 3.7Resuelva el sistema del ejemplo 3.6 utilizando el método de punto fijo multivariablecon desplazamientos sucesivosf1(x, y) = x2 – 10x + y2 + 8 = 0f2(x, y) = xy2 + x – 10y + 8 = 0.Sugerencia: Se pueden seguir los cálculos con un pizarrón electrónico o seprograma una calculadora.

SOLUCIÓNAl despejar x del término (-10x) y y del término (-10y) de la primera y segundaecuaciones, respectivamente, resulta

10

8)()(),(

22

11

kk

kkk yxyxgx

10

8)(),(

121

21

kkk

kkk xyxyxgy

Al derivar parcialmente, se obtiene

10

21kx

x

g

10

21ky

y

g

10

1)( 22

ky

x

g

10

2 12

kk yx

y

g

y evaluadas en x0 = 0 y en y0 = 0

01

x

g

10

12

x

g para x0 y y0

01

y

g02

y

g para x0 y y0

con lo que se puede aplicar la condición 3.32

x

g

1 +x

g

2 = 0 + 1/10 = 1/10 < 1

y

g

1 +y

g

2 = 0 + 0 = 0 < 1

Que se satisface; si los valores sucesivos de la iteración: x1, y1; x2, y2; x3, y3; …la



satisfacen también, se llega entonces a ),( yx .

Primera iteración

8.010

800 221

x

88.010

88.0)0(8.0 21

y

Cálculo de la distancia entre el vector inicial y el vector [x1, y1]T

18929.1)0.088.0()0.08.0( 22)0()1( xx

Segunda iteración

94144.010

8)88.0()8.0( 222

x

96704.010

894144.0)88.0(94144.0 22

y

Cálculo de la distancia entre [x2, y2]T y [x1, y1]T

16608.0)88.096704.0()8.094144.0( 22)1()2( xx

A continuación se muestran los resultados de las iteracionesk xk yk |x(k+1)-xk|

0 0.00000 0.000001 0.80000 0.88000 1.189292 0.94144 0.96705 0.166083 0.98215 0.99006 0.046774 0.99448 0.99693 0.014115 0.99829 0.99905 0.004366 0.99947 0.99970 0,001357 0.99983 0.99991 0.000428 0.99995 0.99997 0.000139 0.99998 0.99999 0.00004

10 0.99999 1.00000 0.0000111 1.00000 1.00000 0.00001

Nótese que se requirieron once iteraciones para llegar al vector solución (1, 1)contra 13 del ejemplo 3.6, donde se usaron desplazamientos simultáneos.

A continuación se presenta un algoritmo para el método de punto fijomultivariable en sus versiones de desplazamientos simultáneos y desplazamientossucesivos.

ALGORITMO 3.1 Método de punto fijo multivariable

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesg(x) = x, proporcionar las funciones G(I, x), I = 1, 2, …, N y losDATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el

criterio de convergencia EPS, el número máximo de iteracionesMAXIT y M = 0 para desplazamientos sucesivos o M = 1 paradesplazamientos simultáneos.



RESULTADOS: Una solución aproximada x o mensaje ‘NO HUBOCONVERGENCIA’.

PASO 1. Hacer K = 1PASO 2. Mientras K ≤ MAXIT, repetir los pasos 3 a 14.

PASO 3. Si M = 0, hacer xaux = x. De otro modo continuarPASO 4. Hacer I = 1PASO 5. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 6 y 7.

PASO 6. Si M = 0, hacer X(I) = G(I, x). De otro modo hacerXAUX(I) = G(I, x)

PASO7. Hacer I = I + 1PASO 8. Hacer I = 1PASO 9. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 10 y 11.

PASO 10. Si ABS(XAUX(I) - X(I)) > EPS ir al paso 13. Deotro modo continuar.

PASO 11. Hacer I = I + 1PASO 12. IMPRIMIR x Y TERMINAR.PASO 13. Si M =1 hacer x = xaux. De otro modo continuarPASO 14. Hacer K = K + 1

PASO 15. IMPRIMIR mensaje ‘NO HUBO CONVERGENCIA’ y TERMINAR.Sugerencia: Desarrolle este algoritmo con Math-CAD o un software equivalente.

3.4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MULTIVARIABLE

El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Comoen el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadráticaes decir, el método de Newton-Raphson multivariable. A continuación se obtendráeste procedimiento para dos variables; la extensión a tres o más variables es viablegeneralizando los resultados.

Supóngase que se está resolviendo el sistemaf1(x, y) = 0f2(x, y) = 0donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedanexpandirse en serie de Taylor. Esto es

...)())((2)(!2

1)()(),(),( 2

222

2

by

yy

fbyax

yx

fax

xx

fby

y

fax

x

fbafyxf

donde f(x,y) se ha expandido alrededor del punto (a,b) y todas las derivadasparciales están evaluadas en (a ,b)Expandiendo f1 alrededor de (xk, yk)

)()(),(),( 1111

111

1kkkkkkkk yy

y

fxx

x

fyxfyxf

...)())((2)(!2

1 2112

1112

2112

kkkkkkkk yyyy

fyyxx

yx

fxx

xx

f 3.33

donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (xk,yk). De la misma formapuede expandirse f2 como sigue

)()(),(),( 1212

211

2kkkkkkkk yy

y

fxx

x

fyxfyxf



...)())((2)(!2

1 2122

1122

2122

kkkkkkkk yyyy

fyyxx

yx

fxx

xx

f 3.34

Al igual que en la ecuación 3.33, todas las derivadas parciales de 3.34 estánevaluadas en (xk, yk)

Ahora supóngase que xk+1 y yk+1 están tan cerca de la raíz buscada ),( yx quelos lados izquierdos de las dos últimas ecuaciones son casi cero; además, asúmaseque xk y yk están tan próximos de xk+1 y yk+1 que pueden omitirse los términos a partirde los que se encuentran agrupados en paréntesis rectangulares. Con esto las ecua-ciones 3.33 y 3.34 se simplifican a

)()(),(0 11111

kkkkkk yyy

fxx

x

fyxf

)()(),(0 12122

kkkkkk yyy

fxx

x

fyxf

3.35

Para simplificar aún más, se cambia la notación conxk+1 – xk = hyk+1 – yk = j 3.36y así queda la (k+1)-ésima iteración en términos de la k-ésimas, como se ve a con-tinuaciónxk+1 = xk + hyk+1 = yk + j 3.37La sustitución de la ecuación 3.36 en la 3.35 y el rearreglo dan como resultado

),(111 kk yxfjy

fh

x

f

),(222 kk yxfjy

fh

x

f

3.38

El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j (recuérdese quelas derivadas parciales de la ecuación 3.38, así como f1 y f2 están evaluadas en(xk,yk) y, por tanto, son números reales).

Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempreque el determinante de la matriz de coeficientes o matriz jacobiana J no sea cero; esdecir si

022

11

y

f

x

fy

f

x

f

J

Precisando: El método de Newton-Raphson consiste fundamentalmente enformar y resolver el sistema 3.38, esto último por alguno de los métodos vistos. Conla solución y la ecuación 3.37 se obtiene la siguiente aproximación.

Este procedimiento se repite hasta satisfacer algún criterio de convergenciaestablecido.

Es interesante notar que como en el caso unidimensional, este método puedeobtenerse encontrando un plano tangente a cada f de la ecuación 3.29 en (xk,yk) yluego encontrar el cero común de estos planos; es decir, hallar un plano tangente en(xk, yk) tanto a la superficie f1 como a la superficie f2, y luego la intersección de cada



plano tangente con el plano x-y, con lo cual se obtienen dos líneas rectas en el planox-y y, por último, la intersección de estas dos líneas rectas, que da el cero común delos planos tangentes.

Cuando converge este método, lo hace con orden dos, y requiere que elvector inicial (x0, y0) esté muy cerca de la raíz buscada ),( yx

Ejemplo 3.8Use el método de Ncwton-Raphson para encontrar una solución aproximada delsistemaf1(x, y) = x2 – 10x + y2 + 8 = 0f2(x, y) = xy2 + x – 10y +8 = 0con el vector inicial: [x0, y0]T = [0, 0]T

SOLUCIÓNPrimero se forma la matriz coeficiente del sistema 3.38, también conocida comomatriz de derivadas parciales

1021

2102

222

11

xyy

fy

x

f

yy

fx

x

f

que aumentada en el vector de funciones resulta en

810

810

1021

21022

22

2

yxxy

yxx

xyy

yx

Primera iteraciónAl evaluar la matriz en [x0, y0]T se obtiene

8

8

101

010

que al resolverse por eliminación de Gauss dah = 0.8, j = 0.88al sustituir en la ecuación 3.37 se obtienex1 = x0 + h = 0 + 0.8 = 0.8y1 = y0 + j = 0 + 0.88 = 0.88Cálculo de la distancia entre x(0) y x(1)

18929.1)088.0()08.0( 22)0()1( xx

Segunda iteraciónAl evaluar la matriz en [x1, y1]T resulta

61952.0

41440.1

592.87744.1

76.14.8

que por eliminación gaussiana da como nuevos resultados de h y jh = 0.36497, j = 0.1117de dondex2 = x1 + h = 0.8 + 0.36497 = 1.16497y2 = y1 + j = 0.88 + 0.1117 = 0.9917Cálculo de la distancia entre x(1) y x(2)



38168.0)88.09917.0()8.016497.1( 22)1()2( xx

Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientesk xk yk |xk+1-xk|0 0.00000 0.000001 0.80000 0.88000 1.189292 1.16497 0.99170 0.381683 1.31255 1.08099 0.172504 0.98255 0.98599 0.00020

Se requirieron cuatro iteraciones para llegar al vector solución (1,1) contra once delejemplo 3.7, donde se usó el método de punto fijo con desplazamientos sucesivos.Sin embargo, esta convergencia cuadrática implica mayor número de cálculos, yaque -como se puede observar- en cada iteración se requierea) La evaluación de 2 x 2 derivadas parcialesb) La evaluación de 2 funcionesc) La solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden 2.Sugerencia: Los cálculos, incluidas las derivadas parciales y la inversa de la matriz,se pueden ejecutar en Math-CAD o con otro software

3.4.3.1 GENERALIZACIÓN

Para un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas (véase Ec. 3.28)y retomando la flotación vectorial y matricial, las ecuaciones 3.38 quedan

nnn

nnn

nn

nn

fhx

fh

x

fh

x

f

fhx

fh

x

fh

x

f

fhx

fh

x

fh

x

f

...

...

...

...

...

...

22

11

22

22

21

1

2

11

22

11

1

1

3.39

o J h = -fdonde las funciones fi y las derivadas parciales ∂fi/∂xj, i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, nestán evaluadas en el vector x(k) y

ki

kii xxh 1 1 ≤ i ≤ n 3.40

De dondei

ki

ki hxx 1 1 ≤ i ≤ n 3.41

o )()()1( kkk hxx

y la matriz de derivadas parciales (matriz jacobiana), ampliada en el vector defunciones queda



n

n

nnn

n

n

f

f

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

fx

f

x

f

x

f

.

.

.

...

...

...

...

...

...

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

3.42

o bien[ J | f ]

Se presenta a continuación un algoritmo para este método.

ALGORITMO 3.2 Método de Newton-Raphson Multivariable

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesf(x) = 0, proporcionar la matriz jacobiana ampliada con el vector de funciones (véaseEc. 3.42) y losDATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número

máximo de iteraciones MAXIT y el criterio de convergencia FF5.RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje ‘NO CONVERGE”.PASO 1. Hacer K = 1PASO 2. Mientras K = MAXIT, repetir los pasos 3 a 9.

PASO 3. Evaluar la matriz jacobiana aumentada (3.42).PASO 4. Resolver el sistema lineal (3.39).PASO 5. Hacer xn = x + h (operación vectorial)PASO 6. Si |xn – x| > EPS ir al paso 8. De otro modo continuar.PASO 7. IMPRIMIR xn y TERMINAR.PASO 8. Hacer x = xnPASO9. Hacer K = K ± 1

PASO 10. IMPRIMIR “NO CONVERGE” Y TERMINAR.

Ejemplo 3.9Con el algoritmo 3.2, elabore un programa de propósito general para resolversistemas de ecuaciones no lineales. Luego úselo para resolver el Sistemaf1(x1, x2, x3) = 3x1 - cos(x2x3) - 0.5 = 0f2(x1, x2, x3) = x1

2 - 625x22 = 0

f3(x1, x2, x3) = e-x1x2 + 20x3 + (10π -3)/3 = 0

SOLUCIÓNLa matriz jacobiana ampliada para el sistema es

3

31020

625

5.0)cos(3

20

012502

)()(3

3

22

21

321

12

21

322323

212121

xe

xx

xxx

exex

xx

xxsenxxxsenx

xxxxxx



Al ejecutar el programa con el vector inicial [1 1 1]T debe producir los siguientesresultados

k x1 x2 x3 Distancia0 1.00000 1.00000 1.000001 0.90837 0.50065 -0.50286 1.58632 0.49927 0.25046 -0.51904 0.479823 0.49996 0.12603 -0.52045 0.124444 0.49998 0.06460 -0.52199 0.61446E-015 0.49998 0.03540 -0.52272 0.29214E-016 0.49998 0.02335 -0.52302 0.12052E-017 0.49998 0.02024 -0.52309 0.31095E-028 0.49998 0.02000 -0.52310 0.23879E-039 0.49998 0.02000 -0.52310 0.14280E-05

La solución del sistema esX1 = 0.49998176X2 = 0.19999269E-01X3 =.-0.52310085

Nótese que en cada iteración se requierea) La evaluación de n2 derivadas parcialesb) La evaluación de n funcionesc) La solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden n,lo que representa una inmensa cantidad de cálculo. Debido a esto, se han elaboradométodos donde los cálculos no son tan numerosos y cuya convergencia es engeneral, superior a la del método de punto fijo (superlineal). A continuación sepresenta el método de Newton-Raphson modificado.

3.4.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO

El método de Newton-Raphson modificado que se describe a continuación consisteen aplicar el método de Newton-Raphson univariable dos veces (para el caso de unsistema de n ecuaciones no lineales en n incógnitas, se aplicará n veces), una paracada variable. Cada que se hace esto, se consideran las otras variables fijas.Considérese de nuevo el sistemaf1(x, y) = 0f2(x, y) = 0Tomando los valores iniciales x0, y0. se calcula a partir del método de Newton-Raphson univariable un nuevo valor x1 así

xf

yxfxx

1

00101 ),(

∂f1/∂x evaluada en x0, y0

Nótese que se ha obtenido x1 a partir de f1 y los valores más recientes de x,y y: x0,y0

Ahora se usa f2 y los valores más recientes de x,y y (x1, y0) para calcular y1

yf

yxfyy

2

01201 ),(



donde ∂f2/∂y se evalúa en x1, y0. Se tiene ahora x1 y y1. Con estos valores se calculax2, después y2, y así sucesivamente.

Este método converge a menudo si x0, y0 está muy cerca de ),( yx , y requierela evaluación de sólo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuacionesque se está manejando).

Nótese que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero losdesplazamientos simultáneos también son aplicables.

Ejemplo 3.10Resuelva el sistemaf1(x, y) = x2 – 10x + y2 + 8 = 0f2(x, y) = xy2 + x – 10y +8 = 0con el método Newton-Raphson modificado, usando los valores iniciales x0=0, y0=0.

SOLUCIÓNPrimero se obtiene

1021

x

x

f y 1022

xy

y

f

Primera iteraciónSe evalúan f1 y ∂f1/∂x en [0,0]Tf1(0,0) = 8y

100

01

y

xx

f

se sustituye

8.010

801 x

Para el cálculo de y1 se necesita evaluar f2 y ∂f2/∂y en x1, y0

F2(0.8, 0) = 0.8(0)2 + 0.8 - 10(0) + 8 = 8.8

1010)0)(8.0(20

12

y

xy

f

se sustituye

88.010

8.801 y

Segunda iteración

f1(0.8, 0.88) = 1.4144 y 4.81

11

y

xx

f

96838.04.8

4144.18.02

x



Ahora se evalúan f2 y ∂f2/∂y en (x2, y1):

F2(0.96838, 0.88) = 0.91829 y 29565.81

22

y

xy

f

de donde

99070.029565.8

91829.088.02

y

Continuar las iteraciones y calcular las distancias entre cada dos vectoresconsecutivos. Continuar hasta que xk ≈ 1 y yk ≈ 1. Comparar además la velocidad deconvergencia de este método con la velocidad de convergencia del método deNewton-Raphson y el de punto fijo para este sistema particular.

En la aplicación de este método se pudo tomar f2 para evaluar x1 y f1 a fin deevaluar y1, asÍ

xf

yxfxx

2

00201 ),(

yf

yxfyy

1

01101 ),(

Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia enel otro. Es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergiránpara el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando n ≥ 3 las posibilidades sonvarias (n!) y es imposible conocer cuál de estos arreglos tiene viabilidad deconvergencia, por lo cual la elección se convierte en un proceso aleatorio. Estaaleatoriedad es la mayor desventaja de este método.

En general, para un sistema de n ecuaciones en n incógnitas: x1, x2, …, xn, elalgoritmo toma la forma:

),...,,,...,,(

),...,,,...,,(

11

12

11

11

12

111

kn

ki

ki

kk

i

i

kn

ki

ki

kkik

iki

xxxxxx

fxxxxxf

xx

1 ≤ i ≤ n 3.43

ALGORITMO 3.3 Método de Newton-Raphson modificado

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no linealesf(x) = 0, proporcionar las funciones F(I, x) y las derivadas parciales D(I, x) y los

DATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, elnúmero máximo de iteraciones MAXIT, el criterio de convergenciaEPS y M = 0 para desplazamientos sucesivos o M = 1 paradesplazamientos simultáneos.

RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje “NO CONVERGE”.PASO1. Hacer K= 1PASO2. Mientras K ≤ MAXIT, repetir los pasos 3 a 11.

PASO3. Si M = 0 hacer xaux = x (operaciones vectoriales)PASO4. Hacer I = 1PASO5. Mientras 1 ≤ N, repetir los pasos 6 y 7.

PASO6. Si M = 0 hacer X(I) = X(I)-F(I,x)/D(I, x), de otro mo-



do hacer XAUX(l) = X(I) - F(I, x)/D(I, x)PASO7. Hacer I = I + 1

PASO8. Si | xaux – x | > EPS ir al paso 10. De otro modo continuar.PASO9. IMPRIMIR x y TERMINAR.PASO10. Si M = 1 hacer x = xauxPASO11. Hacer K = K + 1

PASO12. IMPRIMIR “NO CONVERGE” Y TERMINAR


CAPITULO 4 – APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACION

4.1 INTRODUCCIÓN

La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones “complejas”,con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y ma-nipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería.

Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de ele-mentos de familias de funciones denominadas elementales. En general tendrán laformaa0g0(x) + a1g1(x) + …, + angn(x) 4.1

Donde ai, 0 ≤ i ≤ n, son constantes por determinar y gi(x), 0 ≤ i ≤ n, funcionesde una familia particular. Los monomios en x (x0, x, x2, ..) constituyen la familia ogrupo más empleado; sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomiala0 + a1x + a2x2 + … + anxn 4.2

El grupo conocido como funciones de Fourier1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x…

al combinarse linealmente, genera aproximaciones del tipo

n

i

n

i

iiixsenbixaa

1 1

0)()cos( 4.3

El grupo de las funciones exponenciales1, ex, e2x, …

También puede usarse del modo siguiente

n

i

ixiea

0

4.4

De estos tres tipos de aproximaciones funcionales, las más comunes por sufacilidad de manejo en evaluaciones, integraciones, derivaciones, etc., son lasaproximaciones polinomiales (4.2) y son las que se estudiarán a continuación.

Sea una función f(x) dada en forma tabularPuntos 0 1 2 … nx x0 x1 x2 … xnf(x) f(x0) f(x1) f(x2) … f(xn)

Para aproximar a f(x) por medio de un polinomio del tipo 4.2, se aplica algunode los criterios siguientes: el de ajuste exacto o el de mínimos cuadrados.

La técnica del ajuste exacto consiste en encontrar una función polinomial quepase por los puntos dados en la tabla (véase Fig. 4.1). El método de mínimos cua-drados consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga lacondición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevadas al cuadrado; esdecir, que se cumpla

mínimodn

ii

0

2)(

Cuando la información tabular de que se dispone es aproximada hasta ciertonúmero de cifras significativas, por ejemplo la de tablas de logaritmos o de funcionesde Bessel, se recomienda usar ajuste exacto. En cambio si la información tieneerrores considerables, como en el caso de datos experimentales, no tiene sentido

Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación


encontrar un polinomio que pase por esos puntos sino más bien que pase entre ellos;entonces, el método de mínimos cuadrados es aplicable.

Una vez que se obtiene el polinomio de aproximación, éste puede usarse paraobtener puntos adicionales a los existentes en la tabla, mediante su evaluación, loque se conoce como Interpolación. También puede derivarse o integrarse a fin deobtener información adicional de la función tabular.

A continuación se describen distintas formas de aproximar con polinomios ob-tenidos por ajuste exacto y su uso en la interpolación. Más adelante se describe laaproximación polinomial por mínimos cuadrados y en los siguientes capítulos laderivación y la integración.

Fig. 4.1 Aproximación polinomial con criterio de ajuste exacto (curva discontinua) ycon mínimos cuadrados (curva llena).

4.2 APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN

La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que alconsultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es frecuente noencontrar el valor buscado como un punto en la tabla. Por ejemplo las tablas 4.1 y4.2 presentan la temperatura de ebullición de la acetona (C3H6O) a diferentespresiones.

Puntos 0 1 2 3 4 5 6

T(oC) 56,5 78,6 113 144,5 181 205 214,5

P(atm) 1 2 5 10 20 30 40Tabla 4.1 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones

Puntos 0 1 2 3

T(oC) 56,5 113 181 214,5

P(atm) 1 5 20 40Tabla 4.2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones



Supóngase que sólo se dispusiera de la segunda y se desease calcular latemperatura de ebullición de la acetona a 2 atm de presión.

Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos (0) y(1) en la ecuación de la línea recta; f(p) = a0 + a1p, de tal modo que resultan dosecuaciones con dos incógnitas que son a0 y a1. Con la solución del sistema seconsigue una aproximación polinomial de primer grado, lo que permite efectuarinterpolaciones lineales; es decir, se sustituye el punto (0) en la ecuación de la línearecta y se obtiene56.5 = a0 + a1

y al sustituir el punto (1)113 = a0 + 5a1

sistema que al resolverse da a0 = 42.375 y a1 = 14.125Por lo tanto, estos valores generan la ecuación

T = f(p) = 42.375 + 14.125p 4.5La ecuación resultante puede emplearse para aproximar la temperatura

cuando la presión es conocida. Al sustituir la presión p = 2 atm se obtiene unatemperatura de 70.6 0C. A este proceso se le conoce como interpolación.

Gráficamente la tabla 4.2 puede verse como una serie de puntos (0), (1), (2) y(3) en un plano P vs T Fig. 4.2 en donde si se unen con una línea los puntos (0) y (1),por búsqueda gráfica se obtiene T = 70.6 0C, para P = 2 atm.

En realidad, esta interpolación solo ha consistido en aproximar una funciónanalítica desconocida [T = f(P)] dada en forma tabular por medio de una línea rectaque pasa por los puntos (0) y (1).

Para aproximar el valor de la temperatura correspondiente a P = 2 atm se pu-dieron tomar otros dos puntos distintos, por ejemplo (2) y (3), pero es de suponer queel resultado tendría un margen de error mayor, ya que el valor que se busca estáentre los puntos (0) y (1).

Si se quisiera una aproximación mejor al valor ‘verdadero’ de la temperaturabuscada, podrían unirse más puntos de la tabla con una curva suave (sin picos), porejemplo tres (0), (1) y (2) (véase Fig. 4.3) y gráficamente obtener T correspondiente aP = 2 atm.Analíticamente el problema se resuelve al aproximar la función desconocida [T = f(P)]con un polinomio que pase por los tres puntos (0), (1) y (2). Este polinomio es unaparábola y tiene la forma generalT = f2(p) = a0 + a1p + a2p2 4.6

Fig. 4.2 Interpolación gráfica de la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm.



Fig. 4.3 Interpolación gráfica con tres puntos

donde los parámetros a0, a1 y a2 se determinan sustituyendo cada uno de lostres puntos conocidos en la ecuación 4.6; es decir56.5 = a0 + a11 + a212

113 = a0 + a15 + a252

181 = a0 + a120 + a2202 4.7Al resolver el sistema se obtiene

a0 = 39.85, a1 = 17.15, a2 = -0.50482De tal modo que la ecuación polinomial queda

T = f2(p) = 39.85 + 17.15p - 0.50482p2 4.8y puede emplearse para aproximar algún valor de la temperatura

correspondiente a un valor de presión. Por ejemplo si p = 2 atm, entoncesT = f2(2) = 39.85 + 17.15(2) - 0.50482(2)2 = 72.1 oC

La aproximación a la temperatura “correcta” es obviamente mejor en estecaso. Obsérvese que ahora se ha aproximado la función desconocida [T = f(P)] conun polinomio de segundo grado (parábola) que pasa por los tres puntos más cer-canos al valor buscado. En general, si se desea aproximar una función con un po-linomio de grado n, se necesitan n + 1 puntos, que sustituidos en la ecuación poli-nomial de grado n:fn(p) = a0 + a1p + a2p2 + ... + anpn 4.9Generan un sistema de n + 1 ecuaciones lineales con las incógnitas ai, i=0, 1, 2, …, n

Una vez resuelto el Sistema se sustituyen los valores de ai en la ecuación 4.9,con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación. A este método se lo conocecomo aproximación polinomial simple.

Por otro lado, como se dijo al principio de este capitulo, puede tenerse unafunción conocida pero muy complicada, por ejemplo

0

1)ln()()(

m

mm xC

xxxkxf 4.10

o

)(2

)(2

1

xsenx

xf

4.11

la cual conviene, para propósitos prácticos, aproximar con otra función más



sencilla como un polinomio. El procedimiento es generar una tabla de valoresmediante la función original y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito arriba.

ALGORITMO 4.1 Aproximación polinomial simple

Para obtener los (n + 1) coeficientes del polinomio de grado n (n > 0) que pasapor (n +1) puntos, proporcionar losDATOS: El grado del polinomio N y las N + 1 parejas de valores (X(I),

FX(I), I = 0, 1, …,N).RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), …, A(N) polinomio de aproximación.PASO1. Hacer I = 0PASO2. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 3 a 9.

PASO3. Hacer B(I, 0) = 1PASO4. Hacer J = 1PASO5. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 6 y 7

PASO6. Hacer B(lJ, J) = B(I, J-1l) * X(I)PASO7. Hacer J = J ± 1

PASO8. Hacer B(I, N + 1) = FX(I)PASO9. Hacer I = I + 1

PASO10. Resolver el sistema de ecuaciones lineales Ba = fx de orden N + 1 conalguno de los algoritmos conocidos

PASO11. IMPRIMIR A(0), A(1), …, A(N) y TERMINAR.

4.3 POLINOMIOS DE LAGRANGE

El método de aproximación polinomial dado anteriormente, requiere lasolución de un Sistema de ecuaciones algebraicas lineales que, cuando el grado delpolinomio es alto, puede presentar inconvenientes. Existen otros métodos deaproximación polinomial en que no se requiere resolver un sistema de ecuacioneslineales y los cálculos se realizan directamente; entre éstos se encuentra el deaproximación polinomial de Lagrange.

Se parte nuevamente de una función desconocida f(x) dada en forma tabular yse asume que un polinomio de primer grado (ecuación de una línea recta) puedeescnibirse:f(x) = a0(x — x1) + a1(x —x0) 4.12

donde x1 y xo son los argumentos de los puntos conocidos [x0, f(x0)], [x1,f(x1)],y a0 y a1 son dos coeficientes por determinar. Para encontrar el valor de a0, se hace x= x0 en la ecuación 4.12, que al despejar da

10

0

0

)(

xx

xfa

4.13

y para hallar el valor de a1, se sustituye el valor de x con el de x1, con lo queresulta

01

1

1

)(

xx

xfa

4.14

de tal modo que al sustituir las ecuaciones 4.13 y 4.14 en la 4.12 queda



)()(

)()(

)(0

01

1

1

10

0 xxxx

xfxx

xx

xfxf

4.15

o en forma más compactaf(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) 4.16

donde

10

10 )(

xx

xxxL

y

01

01 )(

xx

xxxL

4.17

De igual manera, un polinomio de segundo grado (ecuación de una parábola)puede escribirsef2(x) = a0 (x - x1) (x - x2) + a1 (x - x0) (x - x2) + a2 (x - x0) (x – x1) 4.18

donde x0, x1 y x2 son los argumentos correspondientes a los tres puntosconocidos [x0, f(xo)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]; los valores de a0, a1 y a2 se encuentransustituyendo x = x0, x = x1 y x = x2, respectivamente, en la ecuación 4.18 paraobtener

))((

)(

2010

00 xxxx

xfa

,

))((

)(

2101

11 xxxx

xfa

y

))((

)(

1202

22 xxxx

xfa

4.19

cuyo reemplazo en dicha ecuación genera el siguiente polinomiof2(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) + L2(x) f(x2) 4.20

Donde

))((

))(()(

2010

210 xxxx

xxxxxL

,

))((

))(()(

2101

201 xxxx

xxxxxL

y

))((

))(()(

1202

102 xxxx

xxxxxL

4.21

Por inducción se puede obtener polinomios de tercer, cuarto o n-ésimo grado;éste último queda como se indica a continuaciónfn(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) + … + Ln(x) f(xn)

donde

))...()((

))...()(()(

02010

210

n

n

xxxxxx

xxxxxxxL

,

))...()((

))...()(()(

12101

201

n

n

xxxxxx

xxxxxxxL

, ….,

))...()((

))...()(()(

110

110

nnnn

nn xxxxxx

xxxxxxxL

que en forma más compacta y útil para programarse en un lenguaje decomputadora quedaría

n

i

iinxfxLxf

0

)()()(4.22

donde

n

ij

j ji

ji xx

xxxL

0 )(

)()( 4.23

(sabiendo que

n

ini xxxxxxxx

121 ))...()(()( )

Al combinarse linealmente con f(xi), los polinomios Li(x), denominados poli-nomios de Lagrange, generan la aproximación polinomial de Lagrange a la infor-mación dada en forma tabular.



Ejemplo 4.1Para la tabla que se presenta a continuación

a) Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntosb) Interpole el valor de la función f(x) para x = 1.8

I 0 1 2 3f(xi) -3 0 5 7Xi 0 1 3 6

SOLUCIÓNa) Obsérvese que hay cuatro puntos en la tabla, por lo que el polinomio será detercer grado. Al sustituir los cuatro puntos en las ecuaciones generales 4.22 y 4.23 seobtiene

)0(

)61)(31)(01(

)6)(3)(0()3(

)60)(30)(10(

)6)(3)(1()(3

xxxxxxxf

)7()36)(16)(06(

)3)(1)(0()5(

)63)(13)(03(

)6)(1)(0(

xxxxxx

al efectuar las operaciones queda

907

)34(18

5)67(

61

)182710()( 232323

3xxxxxxxxxxf

y finalmente resulta3

30

46

30

1

30

1)( 23

3 xxxxf

b) El valor de x = 1.8 se sustituye en la aproximación pollnomial de Lagrarige detercer grado obtenida arriba y se tiene f(1.8) ≈ 2.2176

Obsérvese que si se reemplaza x con cualquiera de los valores dados en latabla, en la aproximación polinomial, se obtiene el valor de la función dado por lamisma tabla.Ejemplo 4.2

Encuentre tanto la aproximación polinomial de Lagrange a la tabla 4.2 como elvalor de la temperatura para una presión de 2 atm utilizando esta aproximación.SOLUCIONa) Aproximación polinomial de Lagrange mediante dos puntos (n = 1)

)()()(1

01

0

0

10

1 pfpp

pppf

pp

pppfT

al sustituir los primeros dos puntos de la tabla resulta

ppp

pfT 125.14375.4211315

15.56

51

5)(

4.24

Observe que la ecuación 4.24 es equivalente a la 4.5 y, por lo tanto, al sustituirp = 2 se obtiene el mismo resultado T ≈ 70.6 oC, como era de esperar.b) Aproximación polinomial de Lagrange con tres puntos (n = 2)

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()(

2

1202

10

1

2101

20

0

2010

21

2pf

pppp

pppppf

pppp

pppppf

pppp

pppppfT

al sustituir los primeros tres puntos de la tabla, se obtiene



181)520)(120(

)5)(1(113

)205)(15()20)(1(

5.56)201)(51()20)(5(

)(2

pppppppfT

T = 39,850876 + 17,153948p – 0,504824p2 4.25polinomio que puede servir para interpolar la temperatura de ebullición de la

acetona a la presión de 2 atm; así el resultado queda T = 72.14. Observe que laecuación 4.25 equivale a la 4.8.c) La tabla 4.2 contiene cuatro puntos, por lo que la aproximación polinomial demayor grado posible es 3. Se desarrolla la ecuación 4.22 para n = 3

)(

))()((

))()(()(

))()((

))()(()( 1

312101

3200

302010

3213 pf

pppppp

pppppppf

pppppp

pppppppfT

)())()((

))()(()(

))()((

))()((3

231303

210

2

321202

310 pfpppppp

pppppppf

pppppp

pppppp

4.26

Al Sustituir los puntos de la tabla, se obtiene

113

)405)(205)(15()40)(20)(1(

5.56)401)(201)(51(

)40)(20)(5()(

3

pppppppfT

5.214)2040)(540)(140(

)20)(5)(1(181

)4020)(520)(120()40)(5)(1(

pppppp

y al simplificar quedaf3(p) = 0.01077p3 - 0.78323p2 + 18.4923p + 38.774

el cual puede emplearse para encontrar el valor de la temperatura correspon-diente a la presión de 2 atm. Con la sustitución de p = 2 y al evaluar f3(p) queda:T = f(2) ≈ f3(2) = 0.01077(2)3 - 0.78323(2)2 + 18.4923(2) + 38.774 = 72.71

ALGORITMO 4.2 Interpolación con polinomios de LagrangePara interpolar con polinomios de Lagrange de grado N, proporcionar los

DATOS: El grado del polinomio N, las N + 1 parejas de valores (X(I), FX(l),I = 0, 1, …, N) y el valor para el que se desea la interpolaclón XINT.

RESULTADOS: La aproximación FXINT, el valor de la función en XINT.PASO 1 Hacer FXINT = 0PASO 2 Hacer I = 0PASO 3 Mientras I ≤ N, repetir los PASOS 4 a 10

PASO 4 Hacer L = 1PASO 5 Hacer J = 0PASO 6 Mientras J ≤ N, repetir los pasos 7 y 8

PASO 7 Si I ≠ JHacer L = L*(XINT - .X(J))/(X(l)-X(J))

PASO 8 Hacer J = J + 1PASO 9 Hacer FXINT = FXINT + L*FX(I)PASO 10 Hacer I = I + 1

PASO 11 IMPRIMIR FXINT y TERMINAR

Ejemplo 4.3Elabore un programa para aproximar la función f(x) = cos x en el intervalo [0,

8π], con polinomios de Lagrange de grado 1, 2, 3,..., 10. Use los puntos que serequieran, distribuidos regularmente en el intervalo.



Determine en forma práctica el error máximo que se comete al aproximar conlos polinomios de los diferentes grados y compare los resultados.

SOLUCIÓNPara calcular el error máximo dividir el intervalo [0, 8π] en 20 subintervalos y

calcular el valor con el polinomio interpolante y el valor verdadero con la función cosx, determinando el error absoluto. Se obtienen los siguientes resultados

Grado Error máximo1 2.236272 2.236223 3.170254 2.236275 4.042776 4.18797 5.685608 33.741349 12.82475

10 35.95174Se observa que al aumentar el grado del polinomio, el error absoluto máximo

va aumentando.

4.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Por definición de derivada en el punto x0 de una función analítica f(x) se tiene

0

0

0

)()(lim)('

xx

xfxf

xxxf

Sin embargo, cuando la función está en forma tabular la derivada sólo puedeobtenerse aproximadamente; por ejemplo, si se desea la derivada en el punto x,donde (x0 < x < x1), puede estimarse como sigue

01

01 )()()('

xx

xfxfxf

, x0 < x < x1

Puntos 0 1 2 … nX x0 x1 x2 … xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) … f(xn)

El lado derecho de la expresión anterior se conoce como la primera diferenciadividida de f(x) (se llama también diferencia dividida de primer orden) respecto a losargumentos x0 y x1 y se denota generalmente como f[x0, x1]; así

01

0110

)()(,

xx

xfxfxxf

La relación entre la primera diferencia dividida y la primera derivada quedaestablecida por el teorema del valor medio



),(),(')()(

0101

01 xxfxx

xfxf

siempre y cuando f(x) satisfaga las condiciones de aplicabilidad de dicho teorema.Para obtener aproximaciones de derivadas de orden más alto, se extiende elconcepto de diferencias divididas a órdenes más altos como se ve en la tabla 4.3,donde para uniformar la notación se han escrito los valores funcionales en losargumentos xi, 0 ≤ i ≤ n, como f[xi] y se les llama diferencias divididas de orden cero.Información Diferencias Divididas

X f(x) Primeras Segundas Terceras

x0 f[x0]

01

01

10

][][],[

xx

xfxfxxf

x1 f[x1] 02

1021

210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

12

12

21

][][],[

xx

xfxfxxf

...

],,[],,[],,,[

03

210321

3210 xx

xxxfxxxfxxxxf

x2 f[x2] 13

2132

321

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

23

23

32

][][],[

xx

xfxfxxf

...

],,[],,[],,,[

14

321432

4321 xx

xxxfxxxfxxxxf

x3 f[x3] 24

3243

432

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

34

34

43

][][],[

xx

xfxfxxf

...

],,[],,[],,,[

25

432543

5432 xx

xxxfxxxfxxxxf

x4 f[x4] 35

4354

543

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

45

45

54

][][],[

xx

xfxfxxf

x5 f[x5]Tabla 4.3 Tabulación general de diferencias divididas

Por otro lado, de acuerdo con la tabla 4.3, la diferencia de orden í es

0

11021210

],...,,[],...,,[],...,,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

i

iii

En esta expresión puede observarse quea) Para formarla se requieren i + 1 puntos yb) El numerador es la resta de dos diferencias de orden i y de i–1, el denominador laresta de los argumentos no comunes en el numerador.

Ejemplo 4.4

La información de la tabla siguiente se obtuvo del polinomioy = x3 - 2x2 - 2



Puntos 0 1 2 3 4 5X -2 -1 0 2 3 6

f(x) -18 -5 -2 -2 7 142A partir de ella, elabore una tabla de diferencias divididas.

SOLUCIÓNLas primeras diferencias divididas mediante los puntos 0,1 y 1,2,

respectivamente, son

13)2(1

)18(5],[ 10

xxf ; 3

)1(0

)5(2],[ 21

xxf

La segunda diferencia dividida mediante los puntos (0), (1) y (2) es

5)2(0

133],,[ 210

xxxf

de igual manera se calculan las demás diferencias divididas, que se resumenen la siguiente tablaPuntos x f(x) 1er orden 2do orden 3er orden 4to orden

0 -2 -1813

1 -1 -5 -53 1

2 0 -2 -1 00 1

3 2 -2 3 09 1

4 3 7 945

5 6 142Debe notarse que todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el

mismo valor, independientemente de los argumentos que se usen para su cálculo.Obsérvese también que las diferencias divididas de cuarto orden son todas cero, locual concuerda con que la tercera y cuarta derivada de un polinomio de tercer gradoson – respectivamente - una constante y cero, sea cual sea el valor del argumento x.El razonamiento inverso también es válido: si al construir una tabla de diferenciasdivididas en alguna de las columnas el valor es constante (y en la siguiente columnaes cero), la información proviene de un polinomio de grado igual al orden de lasdiferencias que tengan valores constantes.

ALGORITMO 4.3 Tabla de diferencias divididas

Para obtener la tabla de diferencias divididas de una función dada en formatabular, proporcionar losDATOS: El número de parejas M de la función tabular y las parejas de

valores (X(l), FX(I), I = 0, 1, 2,…, M-l).RESULTADOS: La tabla de diferencias divididas T.PASO 1 Hacer N = M – 1PASO 2 Hacer I = 0



PASO 3 Mientras I ≤ N - 1, repetir los pasos 4 y 5.PASO 4 Hacer T(l,0) = (FX(I+1)-FX(l))/(X(l+1)-X(l))PASO 5 Hacer = 1+1

PASO 6 Hacer J = 1PASO 7 Mientras J ≤ N - l, repetir los pasos 8 a 12.

PASO 8 Hacer I = JPASO 9 Mientras I ≤ N - 1, repetir los pasos 10 y 11.

PASO 10 Hacer T(I,J) = (T(l,J-1)–T(I-1,J-1)/(X(I+1)-X(I-J))PASO 11 Hacer I = I + 1

PASO 12 Hacer J = J + 1PASO 13 IMPRIMIR T y TERMINAR.

4.5 APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

Supóngase que se tiene una función dada en forma tabular como se presentaa continuaciónPuntos 0 1 2 3 … n

X x0 x1 x2 x3 … xn

f(x) f[x0] f[x1] f[x2] f[x3] … f[xn]y que se desea aproximarla preliminarmente con un polinomio de primer grado quepasa por ejemplo por los puntos (0) y (1). Sea además dicho polinomio de la formaf(x) = a0 + a1(x - x0), 4.27donde x0 es la abscisa del punto (0) y a0, a1 son constantes por determinar. Paraencontrar el valor de a0 se hace x = x0 de donde a0 = f(xo) = f[x0] y a fin de encontrar elvalor de a1 se hace x = x1, de donde a1 = (f[x1] - f[x0])/(x1 – x0), o sea la primeradiferencia dividida f[x0, x1].

Al sustituir los valores de estas constantes en la ecuación 4.27 ésta quedaf(x) = f[x0] + (x – x0)f[x0, x1]o sea un polinomio de primer grado en términos de diferencias divididas. Y si ahorase desea aproximar la función tabular con un polinomio de segundo grado que pasepor los puntos (0), (1) y (2) y que tenga la formaf2(x) = a0 + a1 (x - x0) + a2(x - x0)(x –x1) 4.28donde x0 y x1 vuelven a ser las abscisas de los puntos (0) y (1) y a0, a1 y a2, sonconstantes por determinar, se procede como en la forma anterior para encontrarestas constantes; o sea

si x = x0, a0 = f2(x0) = f[x0]

si x = x1, a1 =

01

01

xx

xfxf

= f[x0, x1]

si x = x2, a2 =

))((

)(

1202

01

010202

xxxx

xx

xfxfxxxfxf

al desarrollar algebraicamente el numerador y el denominador de a2 se llega a:



)( 02

01

01

12

12

2 xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

= f[x0, x1, x2]

que es la segunda diferencia dividida respecto a x0, x1 y x2.Con la sustitución de estos coeficientes en la ecuación 4.28 se obtiene

f2(x) = f[x0] + (x – x0)f[x0, x1] + (x – x0)(x – x1)f[x0, x1, x2]que es un polinomio de segundo grado en términos de diferencias divididas.

Por inducción se puede establecer que, en general, para un polinomio de grado nescrito en la formafn(x) = a0 + a1(x–x0) + a2(x–x0)(x–x1) + … + an(x–x0)(x–x1)…(x–xn-1) 4.29y pasa por los puntos (0),(1),(2),…,(n); los coeficientes a0,a1,…,an están dados pora0 = f[x0]a1 = f[x0, x1]a2 = f[x0, x1, x2].an = f[x0, x1, x2, …, xn]

Esta aproximación polinomial se conoce como aproximación polinomial deNewton, la cual se puede expresar sintéticamente como

n

k

k

iikn xxaxp

0

1

0

)()( 4.30

Ejemplo 4.5Elabore una aproximación polinomial de Newton para la información tabular de

las presiones de vapor de la acetona (tabla 4.2) e interpole la temperatura para unapresión de 2 atm.

SOLUCIÓNPara el cálculo de los coeficientes del polinomio de Newton, se construye la

tabla de diferencias divididasDiferenciad divididas

Puntos P T=f(p) Primera Segunda Tercera0 1 56,5

14,125001 5 113 -0,50482

4,53333 0,010852 20 181 -0,08167

1,675003 40 214,5

a) Para n = 1T = f1(p) = a0 + a1(p-p0) = f[p0] + f[p0, p1](p-p0)

de la tabla se tiene f[p0] = 56.5 y f[p0, p1] = 14.125, de dondeT = f1(p) = 56.5 + 14.l25(p - 1) = 42.375 + 14.125p

ecuación que equivale a las obtenidas anteriormente (4.5 y 4.24).Si p = 2, f(2) ≈ f1(2) = 56.5 + 14.125(2 - 1) = 70.6 0Cb) Para n = 2T = f2(p) = a0 + a1(p-p0) + a2(p-p0)(p-p1) = f[p0] + f[p0, p1](p-p0) + f[p0, p1, p2](p-p0)(p-p1)



de la tabla se obtienen a0 = f[p0] = 56.5, a1 = f[p0, p1] = 14.125,a2 = f[p0, p1, p2] = -0.50482, que al sustituirse en la ecuación de arriba danT = f2(p) = 56.5 + 14.125(p - 1) - 0.50482(p - 1)(p - 5)T = f2(p) = 39.8509 + 17.15392p – 0.50482p2

ecuación que equivale a 4.8 y 4.25Si p = 2, f(2) ≈ f2(2) = 56.5 + 14.125(2 - 1) - 0.50482(2 - 1)(2 - 5) = 72.14 oCe) Para n = 3T = f3(p) = a0 + a1(p-p0) + a2(p-p0)(p-p1) + a3(p-p0)(p-p1)(p-p2)= f[p0] + f[p0, p1](p-p0) + f[p0, p1, p2](p-p0)(p-p1) + f[p0, p1, p2, p3)(p-p0)(p-p1)(p-p2)de la tabla se obtienen a0 = f[p0] = 56.5, a1 = f[p0, p1] = 14.125,a2 = f[p0, p1, p2] = -0.50842, a3 = f[p0, p1, p2, p3] = 0.01085que sustituidas generan el polinomio de aproximaciónf3(p) = 56.5 + 14.125(p - 1) - 0.50482(p - 1)(p - 5) + 0.01085(p - 1)(p - 5)(p - 20)f3(p) = 38.7659 + 18.51017p - 0.78692p2 + 0.01085p3

y que es esencialmente el polinomio obtenido con el método de Lagrange - (ec. 4.26)Si p = 2, f(2) ≈ f3(2) = 56.5 + 14.125(2 - 1) - 0.50482(2 - 1)(2 - 5) ++ 0.01085(2 - 1)(2 - 5)(2 - 20) = 72.73 oC

Ejemplo 4.6Aproxime la temperatura de ebullición de la acetona a una presión de 30 atm

usando aproximación polinomial de Newton de grado dos (véase Ej. 4.5).

SOLUCIÓNSe hace pasar el polinomio de Newton por los puntos (1), (2) y (3), con lo que

toma la formaT = f2(p) = a0 + a1(p – p1) + a2(p – p1)(p – p2)con los coeficientes dados ahora de la siguiente maneraa0 = f[p1] = 113a1 = f[p1, p2] = 4.53333a2 = f[p1, p2, p3] = -0.08167

Al sustituirT = f2(p) = f[p1] + f[p1, p2](p – p1) + f[p1, p2, p3](p – p1)(p – p2)

= 113 + 4.533(p - p1) – 0.08167(p – p1)(p – p2)T = f2(p) = 82.16635 + 6.57508p – 0.08167p2

y al evaluar dicho polinomio en p = 30, se obtiene la aproximación buscadaT = f2(30) = 113 + 4.53333(30 - 5) - 0.08167(30 - 5)(30 - 20) = 205.92

El valor reportado en la tabla 4.1 es 205, por lo que la aproximación es buena.

ALGORITMO 4.4 Interpolación polinomial de NewtonPara interpolar con polinomios de Newton en diferencias divididas de grado N,

proporcionar losDATOS: El grado del polinomio N, las N + 1 parejas de valores (X(I), FX(I),

I = 0, 1, 2, …, N) y el valor para el que se desea interpolar XINT.RESULTADOS: La aproximación FXINT al valor de la función en XINT.PASO 1 Realizar los pasos 2 a 12 del algoritmo 4.3.PASO 2 Hacer FXINT = FX(0)PASO 3 Hacer I = 0



PASO 4 Mientras I ≤ N - 1 repetir los pasos 5 a 11.PASO 5 Hacer P = 1PASO 6 Hacer J = 0PASO 7 Mientras J ≤ I, repetir los pasos 8 y 9.

PASO 8 Hacer P = P * (XINT – X(J))PASO 9 Hacer J = J + 1

PASO 10 Hacer FXINT = FXINT + T(I, I) * PPASO 11 Hacer I = I + 1

PASO 12 IMPRIMIR FXÍNT y TERMINAR

4.6 APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS

Hasta ahora el texto se ha enfocado en encontrar un polinomio de aproximaciónque pase por los puntos dados en forma tabular. Sin embargo, a veces la información(dada en la tabla) tiene errores significativos; por ejemplo cuando proviene demedidas físicas; en estas circunstancias no tiene sentido pasar un polinomio deaproximación por los puntos dados, sino sólo cerca de ellos (véase Fig. 4.4).

Fig. 4.4 Aproximación polinomial que pasa por entre los puntos

No obstante, esto crea un problema, ya que se puede pasar un número infinitode curvas entre los puntos. Para determinar la mejor curva se establece un criterioque la fije y una metodología que la determine. El criterio más común consiste enpedir que la suma de las distancias calculadas entre el valor de la función queaproxima f1(xi) y el valor de la función f(xi) dada en la tabla, sea mínima (véase Fig.4.5); es decir, que

mínimodxfxfm

ii

m

iii

111 )()(

Para evitar problemas de derivabilidad más adelante, se acostumbra utilizarlas distancias di elevadas al cuadrado:

mínimodxfxfm

ii

m

iii

1

2

1

21 )()(

En la figura 4.5 se observan los puntos tabulados, la aproximación polinomialf1(x) y las distancias di, entre los puntos correspondientes, cuya suma hay que mini-mizar.



Fig. 4.5 Ilustración de las distancias di a minimizar

Si se utilizaf1(x) = a0 + a1x 4.31

para aproximar la función dada por la tabla, el problema queda como el deminimizar

m

iii xfxaa

1

210 )( 4.32

Nótese que del número infinito de polinomios que pasan entre los puntos, seselecciona aquel cuyos coeficientes a0 y a1 minimicen 4.32.

En el cálculo de funciones de una variable, se ha visto que para encontrar elmínimo o máximo de una función, se deriva y se iguala con cero esa derivada.Después se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores de la variableque pudieran minimizar o maximizar la función. En el caso en estudio, donde se tieneuna función por minimizar de dos variables (a0 y a1), el procedimiento es derivarparcialmente con respecto a cada una de las variables e igualar a cero cadaderivada, con lo cual se obtiene un sistema de dos ecuaciones algebraicas en lasincógnitas a0 y a1 o sea,

0))((1

210

0

m

iii xfxaa

a4.33

0))((1

210

1

m

iii xfxaa

a

Se deriva dentro del signo de sumatoria

01)(2)(1

101

210

0

m

iii

m

iii xfxaaxfxaa

a

0)(2)(1

101

210

1

i

m

iii

m

iii xxfxaaxfxaa

a

al desarrollar las sumatorias se tiene[a0 + a1x1 – f(x1)] + [a0 + a1x2 – f(x2)] + …+ [a0 + a1xm – f(xm)] = 0[a0x1 + a1x1

2 – f(x1)x1] + [a0x2 + a1x22 – f(x2)x2] + … + [a0xm + a1xm

2 – f(xm)xm] = 0que simplificadas quedan



m

i

m

iii xfxama

1 110 )(

m

i

m

i

m

iiiii xxfxaxa

1 1 1

210 )(

El sistema se resuelve por la regla de Cramer y se tiene

m

i

m

iii

m

iii

m

ii

m

ii

m

ii

xxm

xxfxxxf

a

1

2

1

2

111

2

10

)()(

4.34

m

i

m

iii

m

ii

m

ii

m

iii

xxm

xxfxxfm

a

1

2

1

2

1111

)()(

que sustituidos en la ecuación 4.31 dan la aproximación polinornial de primer gradoque mejor ajusta la información tabulada. Este polinomio puede usarse a fin deaproximar valores de la función para argumentos no conocidos en la tabla.

Ejemplo 4.7En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte corres-

pondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deformanPuntos 1 2 3 4 5

Fuerza (kgf) x 0 2 3 6 7Longitud del resorte (m) y 0,120 0,153 0,170 0,225 0,260

Determine por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta)que represente la función dada.

SOLUCIONPara facilitar los cálculos y evitar errores en los mismos, primero se construye

la siguiente tablaPuntos Fuerza xi Longitud yi x1

2 xiyi

1 0 0,120 0 0,0002 2 0,153 4 0,3063 3 0,170 9 0,5104 6 0,225 36 1,3505 7 0,260 49 1,820

Σ xi = 18 Σ yi = 0.928 Σ xi2 = 98 Σ xiyi = 3.986

Los valores de las sumatorias de la última fila se sustituyen en el sistema deecuaciones 4.34 y se obtienea0 = 0.11564 y a1 = 0.019434, de dondef1(x) = 0.11564 + 0.019434x.

El grado del polinomio no tiene relación con el número de puntos usados ydebe seleccionarse de antemano con base en consideraciones teóricas que apoyanel fenómeno estudiado, el diagrama de dispersión (puntos graficados en el plano x-y)



o ambos.El hecho de tener la mejor recta que aproxima la información, no significa que

la información esté bien aproximada; quizá convenga aproximarla con una parábola ouna cúbica.

Para encontrar el polinomio de segundo grado f2(x) = a0 + a1x + a2x2 que mejoraproxime la tabla, se minimiza

m

iiii xfxaxaa

1

22210 )( 4.35

donde los parámetros a0, a1 y a2 se obtienen al resolver el sistema de ecua-ciones lineales que resulta de derivar parcialmente e igualar a cero la función porminimizar con respecto a cada uno. Dicho sistema queda

m

i

m

i

m

iiii xfxaxama

1 1 1

2210 )(

m

i

m

i

m

iiiii

m

ii xxfxaxaxa

1 1 1

32

21

10 )( 4.36

m

i

m

i

m

iiiii

m

ii xxfxaxaxa

1 1 1

242

31

1

20 )(

cuya solución puede obtenerse por alguno de los métodos vistos anteriormente

Ejemplo 4.8El calor específico Cp (cal/K gmol) del Mn304 varía con la temperatura de

acuerdo con la siguiente tablaPuntos 1 2 3 4 5 6T (oK) 280 650 1000 1200 1500 1700Cp (cal/K gmol) 32,70 45,40 52,15 53,70 52,90 50,30Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados.

SOLUCIÓNEl calor específico aumenta con la temperatura hasta el valor tabulado de

1200 oK, para disminuir posteriormente en valores más altos de temperatura. Estosugiere utilizar un polinomio con curvatura en vez de una recta, por ejemplo uno desegundo grado, que es el más simple.

Para facilitar el cálculo de los coeficientes del sistema de ecuaciones 4.36, seconstruye la siguiente tabla

Puntos i T xi Cp yi2ix 3

ix 4ix ii yx 2

ii xy

1 280 32,70 0,78x105 0,022x109 0,062x1011 9156 2,56x106

2 650 45,40 0,42x106 0,275x109 1,785x1011 29510 19,18x106

3 1000 52,15 1,00x106 1,000x109 1,000x1012 52150 52,15x106

4 1200 53,70 1,44x106 1,728x109 2,074x1012 64440 77,33x106

5 1500 52,90 2,25x106 3,375x109 5,063x1012 79350 119,03x106

6 1700 50,30 2,89x106 4,900x109 8,350x1012 85510 145,37x106

Σ Totales 6330 287,15 8,08x106 11,3x109 166,7x1011 320116 415,62x106

Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones 4.36 y se obtiene:6a0 + 6330a1 + 8.08x106a2 = 287.15



6330a0 + 8.08x106a1 + 11.30x109 a2 = 3201168.08x106a0 + 11.30x109a1 + 166.70x1011a2 = 415.62x106

Cuya solución por el método de eliminación Gaussiana da como resultadosa0 = 22.4066, a1 = 0.0458, a2 = -1.694x10-5

que forman la aproximación polinomial siguienteCp(T) ≈ f2(T) = 22.4066 + 0.0458T - 1.694x10-5T2

NOTAMuchas de las calculadoras de mano cuentan con un programa interno para

obtener esta aproximación; por otro lado, puede usarse un pizarrón electrónico paralos cálculos (sumatorias, solución de ecuaciones, etcétera).

Ejemplo 4.9Use la aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo

anterior para aproximar el calor especifico del Mn304 a una temperatura de 800 oK

SOLUCIÓNCon la sustitución de T = 800 oK en el polinomio de aproximación se tiene

Cp (800) ≈ f2(800) = 22.4066 + 0.0458(800) - 1.694x10-5(800)2 = 48.2 cal/K gmol

ALGORITMO 4.5 Aproximación con mínimos cuadrados

Para obtener los N + 1 coeficientes del polinomio óptimo de grado N que pasaentre M parejas de puntos, proporcionar losDATOS: El grado del polinomio de aproximación N, el número de parejas de

valores (X(I), FX(l), I = 1, 2, …, M)

RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), …, A(N) del polinomio de aproximación.

PASO 1 Hacer J = 0PASO 2 Mientras J ≤ (2*N - 1), repetir los pasos 3 a 5.

PASO 3 Si J ≤ N Hacer SS(J) = 0. De otro modo continuar.PASO 4 Hacer S(J) = 0PASO 5 Hacer J = J + 1

PASO 6 Hacer I = 1PASO 7 Mientras I ≤ M, repetir los pasos 8 a 15

PASO 8 Hacer XX = 1PASO 9 Hacer J = 0PASO 10 Mientras J ≤ (2*N - 1), repetir los pasos 11 a 14.

PASO 11 Si J ≤ N hacer SS(J) = SS(J) + XX*FX(l)De otro modo continuar.

PASO 12 Hacer XX = XX*X(l)PASO 13 Hacer S(J) = S(J) + XXPASO 14 Hacer J = J + 1

PASO 15 Hacer I = I + 1PASO 16 Hacer B(0, 0) = MPASO 17 Hacer I = 0



PASO 18 Mientras I ≤ N, repetir los pasos 19 a 24.PASO 19 Hacer J = 0PASO 20 Mientras J ≤ N, repetir los pasos 21 y 22.

PASO 21 Si I ≠ 0 y J ≠ 0.Hacer B(I, J) = S(J – 1 + I)

PASO 22 Hacer J = J + 1PASO 23 Hacer B(I, N + 1) = SS(I)PASO 24 Hacer I = I + 1

PASO 25 Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N + 1 conalguno de los algoritmos para sistemas lineales.

PASO 26 IMPRIMIR A(0), A(1), …, A(N) y TERMINAR.

4.7 APROXIMACIÓN MULTILINEAL CON MÍNIMOS CUADRADOS

Con frecuencia se tienen funciones de más de una variable; esto es, f(u, v, z).Si se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables; es decir, si sepiensa que la funcióny = a0 + a1u + a2v + a3z

puede ajustar los datos de la tabla siguientePuntos u v Z y

1 u1 v1 z1 F(u1, v1, z1)2 u2 v2 z2 F(u2, v2, z2)3 u3 v3 z3 F(u3, v3, z3). . . . .. . . . .. . . . .

M um vm zm f(um, vm, zm)se puede aplicar el método de los mínimos cuadrados para determinar los

coeficientes a0, a1, a2 y a3 que mejor aproximen la función de varias variablestabuladas. El procedimiento es análogo al descrito anteriormente y consiste enminimizar la función

m

iiiii yzavauaa

1

23210 )(

que derivada parcialmente con respecto de cada coeficiente por determinar:a0, a1, a2 y a3 e igualada a cero cada una, queda

01)(2)(1

32101

23210

0

m

iiiii

m

iiiii yzavauaayzavauaa

a

0)(2)(1

32101

23210

1

i

m

iiiii

m

iiiii uyzavauaayzavauaa

a

0)(2)(1

32101

23210

2

i

m

iiiii

m

iiiii vyzavauaayzavauaa

a

0)(2)(1

32101

23210

3

i

m

iiiii

m

iiiii zyzavauaayzavauaa

a

ecuaciones que rearregladas generan el sistema algebraico lineal siguientem a0 + a1Σu + a2Σv + a3Σz = Σy



a0Σu + a1Σu2 + a2Σuv + a3Σuz = Σuya0Σv + a1Σvu + a2Σv2 + a3Σvz = Σvy 4.37a0Σz + a1Σzu + a2Σzv + a3Σz2 = Σzy

en las incógnitas a0, a1, a2 y a3. Para simplificar la escritura se han omitido losíndices i de u, v, y z y los límites de las sumatorias, que van de 1 hasta m

Ejemplo 4.10A partir de un estudio experimental acerca de la estabilización de arcilla muy

plástica, se observó que el contenido de agua para moldeo con densidad óptimadependía linealmente de los porcentajes de cal y puzolana mezclados con la arcilla.Se tuvieron así los resultados que se dan abajo. Ajuste una ecuación de la forma:y = a0 + a1u + a2v a los datos de dicha tabla.

Agua(%) Cal(%) Puzolana(%)y U v

27.5 2.0 18.028.0 3.5 16.528.8 4.5 10.529.1 2.5 2.530.0 8.5 9.031.0 10.5 4.532.0 13.5 1.5

SOLUCIÓNEl sistema lineal por resolver es una modificación del sistema de ecuaciones

4.37 para una función y de dos variables u y vn a0 + a1Σu + a2Σv = Σya0Σu + a1Σu2 + a2Σuv = Σuya0Σv + a1Σvu + a2Σv2 = ΣvyCon objeto de facilitar el cálculo del sistema anterior se construye la siguiente tabla:

I ui vi yi ui2 uivi vi

2 uiyi viyi

1 2,0 18 27,5 4 36 324 55 4952 3,5 16,5 28,0 12,25 57,75 272,25 98,00 462,003 4,5 10,5 28,8 20,25 47,25 110,25 129,60 302,404 2,5 2,5 29,1 6,25 6,25 6,25 72,75 72,755 8,5 9,0 30,0 72,25 76,50 81,00 255,00 270,006 10,5 4,5 31,0 110,25 47,25 20,25 325,50 139,507 13,5 1,5 32,0 182,25 20,25 2,25 432,00 48,00

Σ Totales 45,0 62,5 206,4 407,50 291,25 816,25 1367,85 1789,65Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones y al aplicar alguno

de los métodos de solución para sistemas de lineales, se obtienea0 = 28.69, a1 = 0.2569, a2 = 0.09607

al sustituir estos valores se tieney = 28.69 + 0.2569u + 0.09607v


CAPITULO 5 - INTEGRACION NUMERICA

5.1 INTRODUCCION

En este capitulo se abordan los temas clásicos de integración con procesos finitos deaproximación.

Una vez que se ha determinado un polinomio pn(x)* de manera que aproximesatisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede espe-rarse que al integrar pn(x) en forma definida, también aproxime satisfactoriamente laintegral definida correspondiente a f(x).

Figura 5.1 Integración del polinomio de interpolación

En el proceso de integración (véase Fig. 5.1), el valor de nx

xdxxf

0

)( está

dado por el área bajo la curva de f(x), mientras que la aproximación

nx

x n dxxp0

)( está dada por el área bajo la curva de pn(x) y los errores que se

cometen en diferentes segmentos del intervalo tienden a cancelarse entre sí o areducirse. Por esto el error total al integrar pn(x) entre x0 y xn puede ser muy pequeño,aún cuando pn(x) no sea una buena aproximación de f(x)

En resumen: Si la aproximación polinomial pn(x) es buena, la

integralnx

x n dxxp0

)( puede dar una aproximación excelente de nx

xdxxf

0

)( .

Los métodos de integración comúnmente usados pueden clasificarse en dosgrupos: los que emplean valores dados de la función f(x) en abscisas equidistantes,que se conocen como fórmulas de Newton-Cotes y aquellos que utilizan valores def(x) en abscisas desigualmente espaciadas, determinadas por ciertas propiedades defamilias de polinomios ortogonales, conocidas como fórmulas de cuadraturagaussiana.

5.2 METODOS DE NEWTON - COTES

Para estimar b

adxxfI )( , los métodos de Newton-Cotes funcionan en

general en dos pasos

Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica


1. Se divide el intervalo [a, b] en n intervalos de igual amplitud cuyos valoresextremos son sucesivamente

)(0 n

abixxi

, i = 0, 1, 2, …, n 5.1

Para quedar en la nueva notación x0 = a y xn = b.2. Se aproxima f(x) por un polinomio de grado n, pn(x) y se integra para obtener la

aproximación de I.Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n,

como se muestra a continuación.

5.2.1 MÉTODO TRAPEZOIDAL

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y x0 = a, x1= b; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primergrado p1(x)) y la aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo esta línearecta, como se ve en la Figura 5.2. Este método de integración se llama reglatrapezoidal.

Figura 5.2 Integración numérica por medio de la regla trapezoidal

Para llevar a cabo la integración nx

xdxxp

0

)(1 , es preciso seleccionar una

de las formas de representación del polinomio P1(x), y como f(x) está dada paravalores equidistantes de x con distancia h, la elección lógica es una de las fórmulasen diferencias finitas (hacia delante, hacia atrás o centrales). Si se eligen lasdiferencias finitas hacia delante, se tendrá entonces que:f(x) ≈ p1(x)

Donde p1(x) es:p1(x) = p1(x0 + sh) = f(x0) + s Δ f(x0)

Se remplaza p1(x) en la integral y se tiene

b

a

x

xdxxfsxfdxxf

1

0

)()()( 00 5.2



Para realizar la integración del lado derecho de la ecuación 5.2 es necesariotener a toda la integral en términos de la nueva variable s que, como se sabe, estádada por la expresiónx = x0 + sh,

De ésta, la diferencial de x queda en términos de sdx = h ds,ya que x0 y h son constantes.Para que los limites de integración x0 y x1 queden a su vez en términos de s,

se sustituyen por x en x = x0 + sh y se despeja s, lo que da respectivamentex0 = x0 + sh de donde s = 0x1 = x0 + sh de donde s = 1,

Y resulta dsxfsxfhdxxfsxf

x

x)()()()( 00

1

000

1

0

Al integrar se tiene

2

)()()(

2)()()( 0

0

1

00

2

0

1

0 00

xfxfhxf

sxsfhdsxfsxfh

como Δf(x0) = f(x0 + h) – f(x0), Se llega finalmente a:

)()(2

)( 10 xfxfh

dxxfb

a 5.3

El algoritmo del método trapezoidalNótese que el lado derecho de la ecuación 5.3 es el área de un trapezoide de

altura h y lados paralelos de longitud f(x0) y f(x1) (véase Fig. 5.2).Antes de empezar a resolver ejercicios, es conveniente observar que los

métodos vistos y los siguientes sirven también cuando la función f(x) está dadaanalíticamente y las técnicas estudiadas en el cálculo integral no dan resultado, obien cuando esta función es imposible de integrar analíticamente. En esos casos, latabla de puntos se elabora evaluando la función del integrando en abscisasseleccionadas adecuadamente.

Ejemplo 5.1

Uso del algoritmo trapezoidala) Aproxime el área A1 bajo la curva de la función dada por la tabla 5.1, en elintervalo a = 500, b = 1800.

Tabla 5.1 Valores de FunciónPuntos 0 1 2 3 4 5

F(x) 9 13,4 18,7 23 25,1 27,2X 500 900 1400 1800 2000 2200

b) Aproxime dxxA )32(5

02 c) Aproxime dxxxA )321( 24

23



d) Aproxime 2/

04 )(

dxxsenA

SOLUCION

Con la ecuación 5.3 se tienea) h = 1800 - 500, x0 = 500, x1 = 1800

20800)239(2

13001 A

b) h = 5 - 0, x0 = 0, x1 = 5

5.47)))5(32())0(32((2

52 A

c) h = 4 - (-2), x0 = -2, x1 = 4

198))4(3)4(21))2(3)2(21((2

6 223 A

d) h = π/2 – 0, x0 = 0, x1 = π/2

4/))2/()0((2

2/4

sensenA

Comparar los resultados obtenidos analíticamente, [incisos (b), (c) y (d)].

5.2.2 MÉTODO DE SIMPSON

Si n = 2; esto es, el intervalo de integración [a, b] se divide en dos sub-intervalos, se tendrán tres abscisas dadas por la ecuación 5.1 como

x0 = a

)(21

222101 ab

aba

abxx

x2 = bSe aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado p2(x)], y la

aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendidaentre f(x0) y f(x2) como muestra la figura 5.3 Esto es

Figura 5.3 Integración numérica mediante la regla de Simpson

dxxpdxxfx

x

b

a 2

0

)()( 2



para realizar la integración dxxpx

x2

0

)(2 , se usa la formula de Newton en

diferencias finitas hacia adelante para expresar p2(x)

)(!2

)1()()()()( 0

200022 xf

ssxfsxfshxpxp

al sustituir p2(x) y expresar toda la integral en términos de la nueva variable s, queda

dsshxphdxxpdxxfx

x

b

a)()()(

2

0 022

2

0

dsxfss

xfsxfhdsshxph ))(!2

)1()()(()( 0

200

2

0

2

0 02

)(

3

1)(2)(2)(

4)(

!3)(

2)( 0

200

2

0

02

2

02

3

0

2

0 xfxfxfhxfs

xfs

xfs

xsfh

De la definición de la primera y segunda diferencia hacia adelante se tieneΔf(x0) = f(x0 + h) – f(x0) = f(x1) – f(x0) yΔ2f(x0) = f(x0 + 2h) – 2f(x0 + h) + f(x0) = f(x2) – 2f(x1) + f(x0)que sustituidas en la última ecuación dan lugar a

)()(4)(3

)( 210 xfxfxfh

dxxfb

a 5.4

que es el algoritmo de Simpson.

Ejemplo 5.2

Con el algoritmo de Simpson aproxime las integrales del ejemplo 5.1.

SOLUCION

Con la ecuación 5.4 se tiene

a) 6502

5001800

h , x0 = 500, x1 = x0+h = 500+650 = 1150, x2 = 1800

f(x0) = 9 f(x1) = 16.08 f(x2) = 23[ f(x1) se obtiene interpolando con un polinomio de segundo grado en diferenciasdivididas ]

33.20869)23)08.16(49(3

6501 A

b) 5.22

05

h x0 = 0 x1 = 0+2.5 = 2.5 x2 = 5

5.47))5(32))5.2(32(4)0(32(3

5.22 A

c) 32

)2(4

h x0 = -2 x1 = -2 + 3 = 1 x2 = 4

90))4(3)4(21))1(3)1(21(4)2(3)2(21(3

3 2223 A



d)42

02

h x0 = 0 x1 = 0+π/4 = π/4 x2 = π/2

0023.1))2/()4/(4)0((3

4/4

sensensenA

Se recomienda la comparación y discusión de los resultados obtenidos en formaanalítica [casos de los incisos (b), (c) y (d)] y con los obtenidos en el ejemplo 5.1.

5.3 CASO GENERAL

A continuación se vera el caso más general, donde el intervalo de integración [a,b] sedivide en n sub-intervalos y da lugar a n + 1 abscisas equidistantes x0, x1, ..., xn, conx0 = a y xn = b (véase Fig. 5.1). Esta vez el polinomio de interpolación es de n-ësimogrado pn(x).La aproximación a la integral dxxf

b

a )( esta dada por

dxshxphdxxpdxxfn

n

x

x n

b

a

n

)()()( 000

)(!3

)2)(1()(

!2

)1()()(( 0

300

200 xf

sssxf

ssxfsxfh

n

dsxfn

nssss n ))(!

))1()...(2)(1(... 0

Con la integración de los cinco primeros términos se tiene

)()6624

()()46

()(2

)(()( 03

234

02

23

00

2

00 xfsss

xfss

xfs

xsfhdsshxphn

n

n

xfssss

0

04

2345

)()872

11

16120( + terminos faltantes

Todos los términos son cero en el límite inferior, por lo que

)()6624

()()46

()(2

)(()( 03

234

02

23

0

2

0 xfnnn

xfnn

xfn

xnfhdxxfb

a

)tan_min)()872

11

16120( 0

42345

tesfalosterxfnnnn

5.5

A continuación se dan las formulas de Newton-Cotes para integrar cuando n =1, 2, 3, 4, 5 y 6. El lector puede verificarlas sustituyendo el valor seleccionado de n ylas diferencias correspondientes en términos de sus valores funcionales en laecuación 5.5.n = 1

))()((2

)( 10

1

0

xfxfh

dxxfx

x trapezoidal

n = 2

))()(4)((3

)( 210

2

0

xfxfxfh

dxxfx

x Simpson 1/3



n = 3

))()(3)(3)((8

3)( 3210

3

0

xfxfxfxfh

dxxfx

x Simpson 3/8

n = 4

))(7)(32)(12)(32)(7(45

2)( 43210

4

0

xfxfxfxfxfh

dxxfx

x 5.6

n = 5

))(19)(75)(50)(50)(75)(19(288

5)( 543210

5

0

xfxfxfxfxfxfh

dxxfx

x

n = 6

))(41)(216)(27)(272)(27)(216)(41(140

)( 6543210

6

0

xfxfxfxfxfxfxfh

dxxfx

x

5.4 MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN

Algunas veces el intervalo de integración es tan amplio, que resulta convenientedividirlo en sub-intervalos y aproximar cada uno por medio de un polinomio.

5.4.1 MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

Por ejemplo, en vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta(véase Fig. 5.4 a), conviene dividir [a, b] en n sub-intervalos y aproximar cada unopor un polinomio de primer grado (véase Fig. 5.4 b). Una vez hecho esto, se aplica laformula trapezoidal a cada sub-intervalo y se obtiene el área de cada trapezoide, detal modo que la suma de todas ellas da la aproximación al área bajo la curva f(x).Esto es

Figura 5.4 Integración por el método trapezoidal compuesto.

bx

x n

x

x

x

xa

b

a

n

n

dxxpdxxpdxxpdxxfI1

2

1

1

0

)(...)()()( 21

donde pi(x) es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xi-1, f(xi-1)), (xi, f(xi)).Con la ecuación 5.3 se tiene

))()((2

...))()((2

))()((2 1

121

1210

01nn

nn xfxfxx

xfxfxx

xfxfxx

I

5.7

Si todos los sub-intervalos son del mismo tamaño h, esto es, si xi+1 - xi = h, para i = 0,1, …, (n-1), entonces la ecuación 5.7 puede anotarse

))()(2...)(2)(2)((2 1210 nn xfxfxfxfxfh

I



Que puede escribirse con la notación de sumatoria

))()(2)((2

1

10 n

n

ii xfxfxf

hI

5.8

Ejemplo 5.3Mediante el algoritmo trapezoidal compuesto, aproxime el área bajo la curva

de la siguiente función dada en forma tabular, entre x = - 1 y x = 4.Puntos 0 1 2 3 4 5

X -1 0 1 2 3 4F(x) 8 10 10 20 76 238

SOLUCIONSi se toman todos los puntos de la tabla, se puede aplicar cinco veces el

método trapezoidal. Como todos los intervalos son del mismo tamaño (h = 1), se usala ecuación 5.8 directamente

239)238)76201010(28(2

1A

Compárese este resultado con la solución analítica (los datos de la tablacorresponden a la función f(x) = x4 – 2x2 + x + 10).

ALGORITMO 5.1 Método trapezoidal compuesto

Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en elintervalo [a, b], proporcionar la función por integrar F(x) y los

DATOS: El número de trapecios N, el limite inferior A y limite superior B.RESULTADOS: El área aproximada AREA.PASO 1 Hacer X = APASO 2 Hacer S = 0PASO 3 Hacer H = (B - A)/NPASO 4 SI N = 1, ir al paso 10. De otro modo continuar.PASO 5 Hacer l = 1PASO 6 Mientras I ≤ N – 1, repetir los pasos 7 a 9.

PASO 7 Hacer X = X + HPASO 8 Hacer S = S + F(X)PASO 9 Hacer l = I + 1

PASO10 Hacer AREA = H/2 * (F(A) + 2 * S + F(B))PASO11 IMPRIMIR AREA y TERMINAR.

5.4.2 MÉTODO DE SIMPSON COMPUESTO

Como para cada aplicación de la regla de Simpson se requieren dos sub-intervalos, a fin de aplicarla n número de veces, deberá dividirse el intervalo [a, b] enun número de sub-intervalos igual a 2n (véase Fig. 5.5).



Figura 5.5 integración por el método de Simpson compuesto

Cada par de sub-intervalos sucesivos se aproxima por un polinomio desegundo grado (parábola) y se integra usando la ecuación 5.4, de tal manera que lasuma de las áreas bajo cada segmento de parábola sea la aproximación a laintegración deseada. Esto es

bx

x n

x

x

x

xa

b

a

n

n

dxxpdxxpdxxpdxxfI2

4

2

2

0

)(...)()()( 21

donde pi(x), i = 1, 2,..., n, es el polinomio de segundo grado que pasa por tres puntosconsecutivos.Al sustituir la ecuación 5.4 en cada uno de los sumandos se tiene

...))()(4)((3

))()(4)((3 432

2210

1 xfxfxfh

xfxfxfh

I

))()(4)((3 12 nnnn xfxfxf

h 5.9

Dondeh1 = x1 - x0 = x2 - x1h2 = x3 – x2 = x4 – x3..hn = xn-1 – xn-2 = xn – xn-1Si h1 = h2 = … = hn, la ecuación 5.9 queda como sigue

...))()(4)((3

))()(4)((3 432210 xfxfxf

hxfxfxf

hI

))()(4)((3 12 nnn xfxfxfh

Que usando la notación de sumatoria queda de la siguiente manera

))()(2)(4)((3

2

2

2

1

2

10 n

n

i

ii

n

i

ii xfxfxfxf

hI

5.10

Donde Δi significa el incremento de i.



Ejemplo 5.4Mediante el algoritmo de Simpson de integración, aproxime el área bajo la

curva del ejemplo 5.3.

SOLUCIONCon los puntos dados de la tabla, se puede aplicar la regla de Simpson en dos

ocasiones; por ejemplo, una vez con los puntos (0), (1) y (2) y otra con los puntos (2),(3) y (4). Como la integración debe hacerse de x = - 1 a x = 4, se integra entre lospuntos (4) y (5) con el método trapezoidal y la suma será la aproximación buscada:a) Método de Simpson aplicado dos veces: h1 = h2 = h3 = h4 = 1, entonces puedeusarse la ecuación 5.10

666.74)76)10(2)2010(48(3

11 A

b) Método trapezoidal aplicado a los puntos (4) y (5)

157)23876(2

12 A

por lo tanto, la aproximación al área esA = 74.666 + 157 = 231.666

Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 5.3 y el resultado de lasolución analítica (la función tabulada es f(x) = x4 – 2x2 + x + 10).

ALGORITMO 5.2 Método de Simpson compuesto

Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en elintervalo [a, b], proporcionar la función por integrar F(x) y los

DATOS: El número (par) de sub-intervalos N, el límite inferior A y el límitesuperior B

RESULTADOS: El área aproximada AREA.PASO 1. Hacer S1 = 0PASO 2. Hacer S2 = 0PASO 3. Hacer X = APASO 4. Hacer H = (B - A)/NPASO 5. Si N = 2, ir al paso 13. De otro modo continuar.PASO 6. Hacer l = 1PASO 7. Mientras I ≤ N/2 - 1, repetir los pasos 8 a 12.

PASO 8. Hacer X = X + HPASO 9. Hacer S1 = S1 + F(x)PASO10. Hacer X = X + HPASO11. Hacer S2 = S2 + F(x)PASO12. Hacer I = I + 1

PASO13. Hacer X = X + HPASO14. Hacer S1 = S1 + F(x)PASO15. Hacer AREA = H/3 * (F(A) + 4*S1 + 2*S2 + F(B))PASO16. IMPRIMIR AREA y TERMINAR



5.5 CUADRATURA DE GAUSS

Gauss investigó y encontró que es factible disminuir el error en la integracióncambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). Elinvestigador desarrolló su propio método, conocido como Cuadratura de Gauss, elcual se describe a continuación.

a) Método trapezoidal b) Método de Gauss con dos puntosFigura 5.6 Desarrollo del método de integración de Gauss usando dos puntos a partir del método trapezoidal

En la figura 5.6 se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entrelos límites a y b. La parte (a) de la figura muestra cómo se integraría usando untrapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a, f(a)) con el punto B (b, f(b))mediante un segmento de recta p1(x). Esto forma un trapezoide de base h = (b-a),cuya área es:T = h/2[f(a) + f(b)]y que podría escribirse como:T = w1f(a) +w2f(b) 5.11Donde w1 = w2 = h/2(De hecho, cualquiera de las fórmulas de integración desarrolladas anteriormente

puede ponerse en la forma )()(1

i

n

ii

b

axfwdxxf

, donde, por ejemplo, la regla de

Simpson aplicada una vez tendría w1 = w3 = h/3 y w2 = 4h/3. Véase la Ec. 5.4)El área del trapezoide calculada T, aproxima el área bajo la curva f(x).Por otro lado, en la aplicación de la cuadratura de Gauss, en lugar de tomar

los dos puntos A y B en los extremos del intervalo, se escogen dos puntos interioresC y D (véase la parte b de la Fig. 5.6).

Se traza una línea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremosdel intervalo y se forma el trapezoide sombreado. Parte del trapezoide queda porencima de la curva y parte por abajo. Si se escogen adecuadamente los puntos C yD, cabe igualar las dos zonas de modo que el área del trapezoide sea igual al áreabajo la curva y el cálculo del área del trapezoide resultante dé la integral exacta. Elmétodo de Gauss consiste esencialmente en seleccionar los puntos C y Dadecuados. La técnica se deduce a continuación:

Considérese primero, sin que esto implique perder generalidad, que se deseaintegrar la función mostrada en la figura 5.7 entre los límites -1 y +1 (si los límites sondistintos, se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y +1). Los puntos C y Dse escogen sobre la curva y se forma el trapezoide con vértices E, F, G, y H.



Figura 5.7 Derivación del método de integración de Gauss.Sean las coordenadas del punto C (z1, F(z1)) y las del punto D (z2, F(z2)).

Motivado por la formula trapezoidal (Ec. 5.3), Gauss se propuso desarrollar unaformula del tipoA = w1F(z1) + w2F(z2) 5.12

Ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema,planteado de esta manera, consiste en encontrar los valares de z1, z2, w1 y w2.Entonces hay cuatro parámetros por determinar y, por tanto, cuatro condiciones quese pueden imponer. Estas se eligen de manera que el método dé resultados exactoscuando la función por integrar sea alguna de las cuatro siguientes o combinacioneslineales de ellas:F(z) = 1F(z) = zF(z) = z2

F(z) = z3

Los valores exactos de integrar estas cuatro funciones entre -1 y +1 son:2)1(11

1

1

1

11 zdzI

02

)1(

2

1

2

221

1

21

12

z

dzzI

3

2

3

)1(

3

1

3

331

1

31

1

23

zdzzI

04

)1(

4

1

4

441

1

41

1

34

zdzzI

Suponiendo que una ecuación de la forma 5.12 funciona exactamente, se tendría elsiguiente sistema de ecuaciones

2)1()1( 211 wwI

022112 zwzwI

3

2222

2113 zwzwI



0322

3114 zwzwI

De la primera ecuación se tiene que w1 + w2 = 2; nótese también que siw1 = w2yz1 = -z2Se satisfacen la segunda y la cuarta ecuaciones. Entonces se eligew1 = w2 = 1yz1 = -z2y al sustituir en la tercera ecuación se obtiene

3

2)( 2

121 zz

o bien

3

121 z

de donde

...57735.03

11 z

y queda entoncesz1 = - 0.57735...z2 = 0.57735...con lo que se tiene la formula:

...)57735.0(...)57735.0()()()( 2211

1

1FFzFwzFwdzzF 5.13

que, salvo porque se tiene que calcular el valor de la función en un valorirracional de z, es tan simple como la regla trapezoidal; además, trabajaperfectamente para funciones cúbicas, mientras que la regla trapezoidal la hace solopara líneas rectas.

Anteriormente se comentó que para integrar en un intervalo distinto de [-1, 1],se requiere un cambio de variable a fin de pasar del intervalo de integración general[a, b] a [-1, 1] y así aplicar la ecuación 5.13; por ejemplo, si se desea obtener

dxe x

5

0

se puede cambiar a 15

2 xz , de modo que si x = 0, z = -1 y si x = 5, z = 1. El resto

de la integral se pone en términos de la nueva variable z y se encuentra que2/)1(5 zx ee y

dzzddx2

5))1(

2

5(

entonces la integral queda

dzedxe zx

1

1

2/)1(55

0 2

5

de modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedansatisfechas. Al resolver se tiene:



...))57735.0(...)57735.0((2

5

2

521

1

1

2/)1(5 FwFwdze z

91752.0))1()1((2

5 2/)157735.0(52/)157735.0(5 ee

Esto es91752.0

5

0

dxe x

El valor exacto de esta integral es 0.99326.En general, si se desea calcular dxxf

b

a )( aplicando la ecuación 5.13, se

cambia el intervalo de integración con la siguiente fórmula

ab

baxz

)(2 de donde22

baz

abx

5.14

(Solo es aplicable cuando los límites de integración a y b son finitos)ya que si x = a, z = -1; y si x = b, z = 1El integrando f(x)dx en términos de la nueva variable queda

)22

()(ba

zab

Fxf

y

dzabba

zab

ddx2

)22

(

Por lo que la integral queda finalmente como

dzba

zab

Fab

dxxfb

a)

22(

2)(

1

1

))2

)57735.0(2

()2

)57735.0(2

((2

baabF

baabF

ab

5.15

Una cuestión importante es que el método de Gauss puede extenderse a treso más puntos; por ejemplo, si se escogen tres puntos no equidistantes en elsegmento de la curva F(z) comprendida entre -1 y 1, se podría pasar una parábolapor los tres como en la regla de Simpson, excepto en que dichos puntos seescogerían de modo que minimicen o anulen el error. Similarmente es factible elegircuatro puntos y una curva cúbica, cinco puntos y una curva cuártica, etc. En general,el algoritmo tiene la forma:

)(...)()()()( 332211

1

1 nn zFwzFwzFwzFwAdzzF 5.16

donde se han calculado los valores de wi y zi por usar y la tabla 5.2 da valoreshasta para seis puntos.

Con dos puntos, el método de Gauss está diseñado para obtener exactitud enpolinomios cúbicos; con tres, se tendrá exactitud en polinomios de cuarto grado y asísucesivamente.

Los coeficientes y abscisas dadas en la tabla 5.2 sirven para integrar sobretodo el intervalo de interés, o bien puede dividirse el intervalo en varios sub-intervalos(como en los métodos compuestos de integración) y aplicar el método de Gauss acada uno de ellos.



Númerode puntos Coeficientes wi Abscisas zi

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.5773502692

3 w2 = 0.888888…w1 = w3 = 0.555555…

-z1 = z3 = 0.7745966692z2 = 0.0

4 w1 = w4 = 0.3478548451w2 = w3 = 0.6521451549

-z1 = z4 = 0.8611363116-z2 = z3 = 0.3399810436

5 w1 = w5 = 0.2369268851w2 = w4 = 0.4786286705w3 = 0,56888…

-z1 = z5 = 0.9061798459-z2 = z4 = 0.5384693101z3 = 0.0

6 w1 = w6 = 0.1713244924w2 = w5 = 0.3607615730w3 = w4 = 0.4679139346

-z1 = z6 = 0.9324695142-z2 = z5 = 0.6612093865-z3 = z4 = 0.2386191861

Tabla 5.2 Coeficientes y abscisas en el método de la cuadratura de Gauss Legendre.

Ejemplo 5.5

Integre la función2

2

2

1 x

e

en el intervalo (-0.8, 1.5) por cuadratura de Gauss.

SOLUCIONa) Con dos puntos

Cambio de límites de la integral con la ecuación

3.2

7.02)(2

x

ab

baxz

Si x = -08, z = -1; si x = 1.5, z = 1Con el cambio de la función en términos de la nueva variable z queda:

dxeIx

5.1

8.0

2

2

2

1

dzedze zz

1

1

8/)7.03.2(2/)

2

5.18.0

2

)8.0(5.1(

1

1

22

22

3.2)

2

)8.0(5.1(

2

1

De la Tabla 5.2 w1 = w2 = 1.0; -z1 = z2 = 0.5773502692Al evaluar la función del integrando en z1, z2

5980684.0)5773502692.0( 8/)7.0)5773502692.0(3.2( 2

eF95191115.0)5773502692.0( 8/)7.0)5773502692.0(3.2( 2

eFSe aplica la ecuación 5.13

711105.0))9519115.0(1)5980684.0(1(22

3.2

I

b) Con tres puntosDe la Tabla 5.2

w1 = w3 = 0.55555..., w2 = 0.88888...-z1 = z3 = 0.7745966692, z2 = 0.0



Al evaluar la función del integrando en z1, z2 y z3 y emplear la ecuación 5.16 se tiene

721825.0...))8639.0...(55555.0...)9405.0...(88888.0...)4631.0...(55555.0(22

3.2

I

Ejemplo 5.6Halle dxxsen )(

2

0

, por el método de la cuadratura de Gauss utilizando tres puntos.

SOLUCIONSe cambian variable y límites de integración con la expresión

ab

baxz

)(2

como a = 0, b = 2π, entonces

xxxz 1

2

22

se despeja x: x = π z + π de donde dx = π dzSe sustituye en la integral

2

0

1

1

1

1)()()( dzzsendzzsendxxsen

Con el empleo de la ecuación 5.16 con n = 3 y los valores de la tabla 5.2 quedaA ≈ π{0.55555…[sen(π(-0.7745966692) + π)] + 0.88888…[sen(π(0) + π)]

+ 0.55555…[sen(π(0.7745966692) + π)]}Comparar este resultado con la solución analítica.

La expresión 5.15 puede ponerse en forma más general y adecuada paraprogramarla así:

2

)(

2)(

1

abzabFw

abdxxf i

n

ii

b

a5.17

La cual puede deducirse de los ejemplos resueltosA continuación se presenta un algoritmo para la cuadratura de Gauss-Legendre.

ALGORITMO 5.3 Cuadratura de Gauss-Legendre

Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en el intervalo [a, b],proporcionar la función a integrar F(X) y los

DATOS: El número de puntos (2, 3, 4, 5 o 6) por utilizar: N, el límiteinferior A y el límite superior B.

RESULTADOS: El área aproximada AREA.PASO 1. Hacer (NP(I), I = 1, 2,..., 5) = (2, 3, 4, 5, 6)PASO 2. Hacer (IAUX(I), I = 1, 2, …, 6) = (1, 2, 4, 6, 9, 12)PASO 3. Hacer (Z(I), I = 1, 2, …, 11) = (0.577350269, 0.0, 0.774596669,

0.339981044, 0.861136312, 0.0, 0.538469310,0.906179846, 0.238619186, 0.661209387, 0.932469514)



PASO 4. Hacer (W(I), I = 1, 2, …, 11) = (1.0, 0.888888888, 0.555555555,0.652145155, 0.347854845, 0.568888888, 0.478628671, 0.236926885,0.467913935, 0.360761573, 0.171324493)

PASO 5. Hacer I = 1PASO 6. Mientras I ≤ 5, repetir los pasos 7 y 8.

PASO 7. Si N = NP(I), ir al paso 10. De otro modo continuar.PASO 8. Hacer l = I + 1

PASO 9. IMPRIMIR “N NO ES 2, 3, 4, 5, a 6” y TERMINAR.PASO 10. Hacer S = 0

PASO 11. Hacer J = IAUX(I)PASO 12. Mientras J ≤ IAUX(l + 1) -1, repetir los pasos 13 a 17.PASO 13. Hacer ZAUX = (Z(J) * (B - A) + B + A) / 2PASO 14. Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J)PASO 15. Hacer ZAUX = (-Z(J) * (B - A) + B + A) / 2PASO 16. Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J)PASO 17. Hacer J = J + 1

PASO 18. Hacer AREA = (B - A) / 2 * SPASO 19. IMPRIMIR AREA y TERMTNAR.


CAPITULO 6 – DIFERENCIACION NUMERICA

6.1 INTRODUCCION

En este capitulo se abordan temas clásicos de derivación con procesos finitos deaproximación.

Figura 6.1 Diferenciación del polinomio de aproximación

Una vez que se ha determinado un polinomio pn(x), ya sea por el criterio deajuste exacto o el de mínimos cuadrados, de manera que aproximesatisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede espe-rarse que al diferenciar pn(x) en forma definida, también aproxime satisfactoriamentela derivada correspondiente a f(x). Sin embargo, si se observa la figura 6.1, dondeaparece la gráfica de un polinomio pn(X) que aproxima la curva que representa lafunción f(x), puede anticiparse que aunque la desviación de pn(x) y f(x) en el intervalo[x0, xn] es pequeña, las pendientes de las curvas que las representan pueden diferirconsiderablemente; esto es, la diferenciación numérica tiende a ampliar pequeñasdiscrepancias o errores del polinomio de aproximación.

En resumen: Aunque la aproximación polinomial pn(x) sea buena, la diferencial

)(xpdx

dn , que da la pendiente de la línea tangente a pn(x), puede variar en magnitud

respecto a )(xfdx

d significativamente, aunque pn(x) sea una buena aproximación a

f(x).Por tanto, la diferenciación numérica debe tomarse con el cuidado y reservas

que lo ameritan; particularmente cuando los datos obtenidos experimentalmentepuedan tener errores significativos.

Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino esaproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación en la funciónaproximante. Así se procedió en la integración numérica y así se procederá en la

Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica


diferenciación numérica; esto es, se aproximará la función tabulada f(x) y sediferenciará la aproximación pn(x).

6.2 DERIVACIÓN CON POLINOMIOS DE LAGRANGE

Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto (si laaproximación es por mínimos cuadrados, la diferenciación numérica consistirá endiferenciar el polinomio que mejor ajuste la información tabulada), la diferenciaciónnumérica consiste simplemente en diferenciar la formula del polinomio interpolanteque se utilizó. Sea en general f(x) = pn(x) + Rn(x) donde Rn(x) es el error que secomete al aproximar f(x) por pn(x) y la aproximación de la primera derivada quedaentonces

dx

xdp

dx

xdfn

)()(

O en general

n

n

n

n

n

dx

xpd

dx

xfd )()( 6.1

Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton dada anteriormente se tiene

n

n

n

n

n

n

n

n

dx

xRd

dx

xpd

dx

xfd )()()( 6.2

donden

nn

dx

xRd )( es el error que se comete al aproximarn

n

dx

xfd )( porn

nn

dx

xpd )(

Si las abscisas dadas x0, x1, …, xn están espaciadas regularmente porintervalos de longitud h, entonces pn(x) puede escribirse en términos de diferenciasfinitas. Al sustituir f[x0], f[x0, x1] etcétera en la ecuación de diferencias finitas entérminos de diferencias finitas, se obtiene

...!2

][))((

][)(][)(

20

2

100

00

h

xfxxxx

h

xfxxxfxpn

n

n

nhn

xfxxxxxx

!

][))...()(( 0

110

y se tendrá

dxh

xfxxxxd

dxh

xfxxd

dx

xdf

dx

xdp

dx

xdf n

]!2

][))([()

][)((][)()( 2

02

100

00

dxhn

xfxxxxxxd

n

n

n ]!

][))...()([(

...

0110

6.3

Se desarrollan algunos de los primeros términos y se tiene

20

2

100

!2

][)2(

][)()(

h

xfxxx

h

xf

dx

xdp

dx

xdf n

30

3

2120102102

!3

][))()(23(

h

xfxxxxxxxxxxx

6.4



Selecciónese ahora un valor particular para n; por ejemplo, tómese n = 1, esdecir que se aproxime la función tabulada f(x) por una linea recta. Entonces

h

xfxxxfxpxpn

][)(][)()( 0

001

y la primera derivada de f(x) queda aproximada por

01

0110

01 )()(),(

][)()(

xx

xfxfxxf

h

xf

dx

xdp

dx

xdf

h

xfxf

dx

xdf )()()( 01 6.5

y, como es de esperarse

0)()(

21

2

2

2

dx

xpd

dx

xfd

y así cualquier otra derivada superior de f(x) quedará aproximada por cero.Geométricamente esto equivale a tomar como primera derivada la pendiente de

la recta que une los dos puntos de la curva f(x) de abscisas x0 y x1 (véase Fig. 6.2).La primera derivada de f(x) en todo el intervalo [x0, x1] queda aproximada por el

valor constante (f(x1) – f(x0)) / h, el cual es muy diferente del valor verdadero df(x)/dxen general.

Figura 6.2 Aproximación lineal de la primera derivada

Si ahora n = 2, es decir, aproximando la función tabulada f(x) por un polinomiode segundo grado, se tiene

20

2

100

002 !2

][))((

][)(][)()(

h

xfxxxx

h

xfxxxfxpxpn

y la primera derivada de f(x) queda aproximada por

20

2

1002

!2

][)2(

][)()(

h

xfxxx

h

xf

dx

xdp

dx

xdf

Se desarrollan las diferencias hacia adelante y se tiene



)(2

2)(

2

2242)(

2

22)(22

1012

1002

10 xfh

xxxxf

h

hxxxxf

h

hxxx

dx

xdf

6.6

La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto ax, o sea

],,[2][)()(

21020

2

22

2

2

2

xxxfh

xf

dx

xpd

dx

xfd

)(1

)(2

)(1)(

2212022

2

xfh

xfh

xfhdx

xfd 6.7

De igual modo se obtienen las distintas derivadas para n > 2.Es importante recordar que hay una estrecha relación entre las diferencias

divididas y las derivadas.

Ejemplo 6.1

La ecuación de Van der Waals para un gmol de CO2 es

RTbvv

aP ))((

2

donde: a = 3.6 x 10-6 atm cm6 / gmol2b = 42.8 cm3 I gmolR = 82.1 atm cm3 I (gmol K)

Si T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valoresPuntos 0 1 2 3P (atm) 13,782 12,577 11,565 10,704v (cm3) 2000 2200 2400 2600

Calcule ∂P/∂v cuando v = 2300 cm3 y compárelo con el valor de la derivada analítica.

SOLUCION

Al usar la ecuación 6.6 con los puntos (0), (1) y (2) se obtiene

2210

1210

0210

2

2

2

2242

2

22P

h

vvvP

h

hvvvP

h

hvvv

v

P

; con h = 200

577.12200*2

200*22200*22300*42000*2782.13

200*2

200*2220020002300*222

00506.0565.11200*2

220020002300*22

La derivada analítica es

005048.02300

)106.3(2

)8.422300(

350*1.822

)( 3

6

232

x

v

a

bv

RT

v

P

Nótese que la aproximación es muy buena (error relativo = - 0.24%) a pesarde haber aplicado un polinomio de segundo grado para aproximar la ecuación deVan der Waals que, como se sabe, es un polinomio de tercer grado en v.



Ejemplo 6.2

Obtenga la primera derivada del polinomio general de Lagrange

SOLUCION

De la ecuación

n

ij

j ji

ji

n

in xx

xxxfxp

00

)()( se deriva con respecto a x

n

ij

j ji

ji

n

i

n

xx

xx

dx

dxf

x

xp

00

)()(

Se hace

n

ij

j ji

j

xx

xxy

0

y se toman logaritmos en ambos lados, con lo que se tiene

ln y = lnji

jn

ij

j

n

ij

j ji

j

xx

xx

xx

xx

00

ln

ya que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de losfactores.

Ambos miembros se derivan con respecto a x

n

ij

j jji

jn

ij

j xxxx

xx

dx

d

dx

dy

yy

dx

d

00

1ln

1)(ln

Se despeja dy / dx

n

ij

j jxxy

dx

dy

0

1

Se sustituye y en el lado derecho

n

ij

j j

n

ij

j ji

j

xxxx

xx

dx

dy

00

1

y finalmente

n

ij

j

n

ij

j jji

ji

n

i

n

xxxx

xxxf

dx

xdp

0 00

1)(

)(

Obsérvese que esta ecuación no sirve para evaluar la derivada en una de lasabscisas de la tabla, ya que significaría dividir entre cero en la sumatoria dentro delparéntesis. Sin embargo, manipulado algebraicamente el lado derecho puedeescribirse en la forma



n

i

n

ik

k

n

ikj

jjn

ij

jji

in xx

xx

xf

dx

xdp

0 0

,

0

0

)()(

)()(6.16

La cual ya no tiene la limitante mencionada.

Ejemplo 6.3

En una reacción química A + B k, Productos, la concentración del reactante Aes una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta laconcentración de A en gmol / l como función de estas dos variables

T(K)P (kg/cm2) (T0) 273 (T1) 300 (T2) 325 (T3) 360

1 0.99 0.97 0.96 0.932 0.88 0.82 0.79 0.778 0.62 0.51 0.48 0.45

15 0.56 0.49 0.46 0.4220 0.52 0.44 0.41 0.37

Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg/cm2

y T = 300 K, usando un polinomio de segundo grado

SOLUCION

Lo que se busca es en si8,300

PT

A

T

C , que se puede evaluar con la ecuación 6.16.

Al desarrollarla para n = 2 se tiene

2

0

2

0

2

,

02

0

2 )()(

)()(

iik

k

ikj

jj

ij

jji

i xxxx

xf

dx

xdp

))((

)())()((

))((

)())()((

))((

)())()(()(

1202

201

2101

102

2010

0122

xxxx

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

dx

xdp

))((

)()2(

))((

)()2(

))((

)()2()(

1202

210

2101

120

2010

0212

xxxx

xfxxx

xxxx

xfxxx

xxxx

xfxxx

dx

xdp

donde f(x) representa a CA y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntosenmarcados de la tabla queda

)325300)(273300(

51.0)325273300*2(

)325273)(300273(

62.0)325300300*2()(

8

300

2

P

T

A

T

C

dx

xdp



K

gmol

10026.0

)300325)(273325(

48.0)300273300*2(

Ejemplo 6.4

Obtenga la primera y segunda derivadas evaluadas en x = 1 para la siguientefunción tabuladaPuntos 0 1 2 3 4x -1 0 2 5 10f(x) 11 3 23 143 583

SOLUCION

Al construir la labia de diferencias divididas se tiene

Tabla 6.3 Diferencias divididas de la función

Puntos X f(x)Diferencias divididas

Primeras Segundas0 -1 11

-81 0 3 6

102 2 23 6

403 5 143 6

884 10 583

Obsérvese que un polinomio de segundo grado puede representar exacta-mente la función (ya que la segunda diferencia dividida es constante).

El polinomio de Newton de segundo grado en diferencias divididas esp2(x) = f[x0] + (x – x0)f[x0, x1] + (x – x0)(x – x1)f[x0, x1, x2]p2(x) = f[x0] + (x – x0)f[x0, x1] + (x2 – x1x - x0x + x0x1)f[x0, x1, x2]p2(x) = f[x0] + (x – x0)f[x0, x1] + (x2 – x0x - x1x + x0x1)f[x0, x1, x2]que al derivarse da

21010102 ,,)2(,

)(xxxfxxxxxf

dx

xdp

y al derivarlo nuevamente se obtiene

21022

2

,,2)(

xxxfdx

xpd

con la sustitución de valores finalmente resulta

106*)0)1(1*2(8)1(2

dx

dp

y

12)1(

22

2

dx

pd



ALGORITMO 6.1 Derivación con polinomios de Lagrange

Para obtener una aproximación a la primera derivada de una función tabularf(x) en un punto x, proporcionar los

DATOS: El grado N del polinomio de Lagrange por usar, las (N + 1)parejas de valores (X(I), FX(I), I = 0, 1, 2, …, N) y el punto XD enque se desea la evaluación.

RESULTADOS Aproximación a la primera derivada en XD: DP.

PASO 1. Hacer DP = 0PASO 2. Hacer I = 0PASO 3. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 4 a 21.

PASO 4. Hacer P = 1PASO 6. Hacer I = 0PASO 6. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 7 a 8.

PASO 7. Si I <> J Hacer P = P*(X(I) - X(J))PASO 8. Hacer J = J + 1

PASO 9. Hacer S = 0PASO 10. Hacer K = 0PASO 11. Mientras K ≤ N, repetir los pasos 12 a 19.

PASO 12. SI I < > K, realizar los pasos 13 a 18.PASO 13. Hacer P1 = 1PASO 14. Hacer J = 0PASO 16. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 16 a 17.

PASO 16. SI J<>I y J<>K Hacer P1 =P1*(XD - X(J))

PASO 17. Hacer J = J + 1PASO 18. Hacer S = S + P1PASO 19. Hacer K = K + 1

PASO 20. Hacer DP = DP + FX(I) / P * SPASO 21. Hacer l = I + 1

PASO 22. IMPRIMIR DP y TERMINAR.

CAPITULO 7 - APLICACIONES A INGENIERIA DE RESERVORIOS

7.1 VISCOSIDAD DEL GAS

La viscosidad del gas es la medida de la fricción interna del fluido oresistencia al flujo que afecta a la caída de presión por influjo del reservorio alagujero del pozo y a lo largo de las instalaciones. Si la fricción entre capas delfluido es pequeña, o sea, baja viscosidad, una fuerza distribuida aplicadaresultará en un gradiente de velocidad grande. Mientras la viscosidad aumenta,cada capa del fluido ejerce una mayor fricción de arrastre en las capasadyacentes y el gradiente de velocidad decrece.

La viscosidad de un fluido generalmente se define como la relación de lafuerza distribuida por unidad de área al gradiente de viscosidad local. Lasviscosidades se expresan en términos de poises, centipoises o micro-poises.Un poise es igual a la viscosidad de 1 dina-seg/cm2 y puede ser convertido aotras unidades de campo por las siguientes relaciones:

1 poise = 100 centipoises10= 1 x6 micropoises10= 6.72 x2 lb mass/ft-sec10= 2.09 x3 lb-sec/ft2La viscosidad del gas comúnmente no se mide en laboratorio porque

puede estimarse con precisión de correlaciones empíricas. Como todas laspropiedades intensivas, la viscosidad del gas natural es descritacompletamente por la siguiente función:μg = f(p,T,yi)donde μg = viscosidad de la fase gas.

La relación anterior simplemente establece que la viscosidad es unafunción de la presión, temperatura, y composición. Varias de las correlacionespara la viscosidad del gas ampliamente usadas pueden ser vistas comomodificaciones de la expresión anterior.

La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia al flujo. Loslíquidos presentan una viscosidad mucho más alta que un gas, pero de todasmaneras aunque la viscosidad del gas sea tan baja en algunos casos esnecesario evaluarla. La unidad de viscosidad más común es el centipoise (Cp),1 Cp, caso del agua, o tan alta como varios miles de Cp, caso de crudos muypesados; para el caso de gases la viscosidad es del orden de milésimas de Cp.

El método más preciso para determinar la viscosidad de un fluido esmidiéndola directamente a las condiciones dadas, pero esto normalmente no esposible y se debe recurrir a correlaciones.

Dos métodos son comúnmente usados en la industria petrolera, estos son: Método de Correlación de Carr – Kobayasi – Burrows, Metodo de Lee – Gonzalez – Eakin.

7.1.1 CALCULO DE LA VISCOSIDAD - METODO DE LEE GONZALEZ-EAKIN

Lee Gonzalez y Eakin (1966) presentaron una relación semi empírica paracalcular la viscosidad del gas natural. Los autores expresaron la viscosidad delgas en función a la temperatura del reservorio, densidad del gas, y el pesomolecular del gas. La expresión general de esta correlación esta dada por:

)exp(10 4 Ygg XK

..................................................................................... (1)

TM

TMK

w

w

26.192.209

)01607.0379.9( 5.1

............................................................................. (2)

wMT

X 01009.04.986

448.3

.........................................................................(3)

XY 2224.0447.2 ...........................................................................................(4)

Donde: µg = Viscosidad del gasΡg = Densidad del gas a presión y temperatura del reservorio (lb/ft3)T = Temperatura del reservorio (R)Mw = Peso molecular aparente de la mezcla de gas.

Esta correlación puede predecir valores de viscosidad con unadesviación estándar de 2.7% y una desviación máxima de 8.99%.

7.2 VISCOSIDAD DEL PETROLEOLa viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones

tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, enrealidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo elmodelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertasaplicaciones.

Imaginemos un bloque sólido (no fluido) sometido a una fuerzatangencial, por ejemplo, una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma dela mano que empuja en dirección paralela a la mesa; en este caso, el materialsólido opone una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tantomás cuanto menor sea su resistencia. Si imaginamos que la goma de borrarestá formada por delgadas capas unas sobre otras, el resultado de ladeformación es el desplazamiento relativo de unas capas respecto de lasadyacentes, tal como muestra la figura (c).

Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial.En los líquidos, el pequeño rozamiento existente entre capas adyacentes

se denomina viscosidad. Es su pequeña magnitud la que le confiere al fluidosus peculiares características; así, por ejemplo, si arrastramos la superficie deun líquido con la palma de la mano como hacíamos con la goma de borrar, lascapas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que lasuperficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistenciatangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Igualmente,si revolvemos con una cuchara un recipiente grande con agua en el que hemosdepositado pequeños trozos de corcho, observaremos que al revolver en elcentro también se mueve la periferia y al revolver en la periferia también danvueltas los trocitos de corcho del centro; de nuevo, las capas cilíndricas deagua se mueven por efecto de la viscosidad, disminuyendo su velocidad amedida que nos alejamos de la cuchara.

Ejemplo de la viscosidad de la leche y el agua. Líquidos con altasviscosidades no forman salpicaduras.

Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos enmovimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en laque no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Es por ello por loque llenado un recipiente con un líquido, la superficie del mismo permaneceplana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, lagravedad, sin existir por tanto componente tangencial alguna.

Si la viscosidad fuera muy grande, el rozamiento entre capas adyacenteslo sería también, lo que significa que éstas no podrían moverse unas respectode otras o lo harían muy poco, es decir, estaríamos ante un sólido. Si por elcontrario la viscosidad fuera cero, estaríamos ante un superfluido que presentapropiedades notables como escapar de los recipientes aunque no estén llenos(véase Helio-II).

La viscosidad es característica de todos los fluidos, tanto líquidos comogases, si bien, en este último caso su efecto suele ser despreciable, están máscerca de ser fluidos ideales.

7.2.1 Medidas de la viscosidad

La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetrodependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad osimplemente viscosidad:Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o μ. En unidades en elSI: [µ] = [Pa·s] = [kg·m-1·s-1] ; otras unidades: 1 Poise (P) = 10-1 Pa·s = [10-1

kg·s-1·m-1]Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como ν, y que resulta ser igualal cociente del coeficiente de viscosidad dinámica entre la densidad ν = μ/ρ.(En unidades en el SI: [ν] = [m2.s-1]. En el sistema cegesimal es el Stoke(St).

7.2.2 Variación de la viscosidad con la temperatura.

Existen varias formulas que nos permiten evaluar la variación de la viscosidaddel aceite al cambiar la temperatura. Las mas importantes son:Poiseuille (1840)

donde

es la viscosidad dinámica a 0 gC.es la temperatura en gC.

, son coeficientes constantes.Andrade (1930)

donde, son constanteses la temperatura absoluta.

En forma logarítmica, esta ecuación es

Barr

donde

es la viscosidad cinemática enEcuación de la viscosidad ASTMfue deducida por Walther:

donde es la temperatura absoluta y

Los coeficientes son, a su vez, funciones de

Si la viscosidad no es demasiado baja, algunos de los términos se puedendespreciar.Para calcular la viscosidad a una temperatura dada, se puede utilizar laexpresión más simple:

Los petróleos crudos que se extraen de los diferentes campos petrolíferos sonde naturalezamuy variada, incluso en su apariencia externa. Así por ejemploexisten petróleos de color amarillento, de gran volatilidad y fluidez, otros decolor negro de menor fluidez; otros de color negro-castaño oscuro, viscosos yde extrema dificultad para fluir, algunos otros que incluso solidifican atemperatura ambiente, dando lugar a una masa de consistencia semi-sólidaetc.A pesar de estas diferencias externas, en algunos casos muy pronunciadas,considerados químicamente se asemejan grandemente unos a otros ya queson fundamentalmente mezclas de hidrocarburos, es decir combinaciones delos elementos químicos Carbono (C) e Hidrógeno (H). De estas combinacionessurge una enorme variedad de posibilidades y de formación de compuestosanálogos, denominados “familias” de hidrocarburos, que se van formandosegún la cantidad de átomos de carbonos que formen la molécula.Las propiedades físicas, tales como punto de ebullición, peso específico, puntode escurrimiento, viscosidad, etc. varían siempre proporcionalmente a medidaque aumenta el número de átomos de carbono, por lo que en la medida que las“cadenas” de carbono se hacen más numerosas y complejas, esos valoresaumentan.La viscosidad es una propiedad física que se puede definir como la resistenciainterna que un fluido opone al desplazamiento de sus partículas, resistenciaque se debe al frotamiento de las moléculas cuando se deslizan unas contraotras. En forma práctica, la viscosidad es la resistencia que ofrece un líquidopara moverse.La viscosidad es una propiedad característica de un determinado fluido, es uncriterio particularmente importante para definir el diseño de los conductos. No

sólo se trata de resistencias internas del fluido sino que este efecto físicotambién interactúa con las paredes del caño, de tal manera que un fluido muyviscoso necesitará un mayor esfuerzo para moverse que uno de bajaviscosidad y por consiguiente el efecto de fricción con las paredes del tubo serámucho mayor en el de mayor viscosidad. La consecuencia final de estasituación es que frente a una mayor viscosidad es mayor la fricción y mayor elgradiente de presión necesario para movilizar dicho fluido dentro de esacañería.La viscosidad de un fluido depende fundamentalmente de la temperatura y dela cantidad de gas disuelto que contenga. Al contener mayor cantidad de gasdisuelto o al suministrarle calor a un fluido, el efecto que se obtiene esaumentar la energía interna de sus moléculas, por lo que aumenta la actividadmolecular y las mismas se alejan unas de otras dando por resultado una menorfricción y por lo tanto una menor resistencia interna al movimiento, o sea unamenor viscosidad.Por esta razón, en general y sobre todo en los líquidos, la viscosidad disminuyecuando aumenta la temperatura del fluido, y aumenta cuando su temperaturadisminuye.En el fondo del pozo el petróleo está a mayor temperatura y a mayor presiónque en superficie, por lo que es mayor también la cantidad de gas disuelto quecontiene y como consecuencia su viscosidad será menor que en superficie.Cuando sube a superficie, la temperatura del petróleo disminuye y la presión ala que está sometido también, por lo que el gas disuelto contenido es cada vezmenor, ya que éste se va liberando. Esta condición (menor temperatura ymenor gas disuelto), hace que aumente gradualmente su viscosidad a medidaque llega a superficie.Una vez en la cañería de conducción y cuando es necesario desplazar unpetróleo viscoso a baja temperatura, es cuando se requiere una mayordiferencia de presión.En lugares de baja temperatura ambiental será conveniente (y a vecesimprescindible) disminuir la viscosidad de alguna manera, lo que generalmentese logra calentando el fluido.Para obtener los valores de viscosidad se hace necesario realizar ensayos enlaboratorio utilizando viscosímetros de alta calidad. Para expresar estosresultados se utilizan diferentes unidades, según sea el sistema de que setrate. En el CGS, la unidad para expresar la viscosidad absoluta (que es la delpropio interior del líquido) es el POISE (o el centipoise), y para la viscosidadcinemática se utiliza el STOKES (o el centistokes) que se obtiene dividiendo laviscosidad dinámica por la densidad.Junto a esta medida absoluta de viscosidad existen en los diferentes paísesvarias escalas empíricas de la misma, como por ejemplo los sistemas Engler,Redwood y Saybolt. Los viscosímetros correspondientes determinan el tiempoque tarda en fluir una cantidad conocida de líquido a través de un orificiocalibrado. Así por ejemplo en la escala Saybolt existen dos tipos distintos deorificios calibrados. Uno estándar, en el que el tiempo se expresa en SegundosSaybolt Universales (0.176 cm) y otro de mayor diámetro, en el que el tiempose expresa en Segundos Saybolt Furol (0.315 cm), para los líquidos muyviscosos.Como la viscosidad es dependiente de la temperatura, es necesario siemprerelacionar ambos valores, la viscosidad y la temperatura a la que se tomó. Es

también conveniente contar con dos o tres lecturas a distintas temperaturaspara observar el comportamiento y la variación que se produce.

7.2.3 MÉTODOS PARA CALCULAR LA VISCOSIDAD DE PETROLEOMUERTO

Se proponen varios métodos empíricos para estimar la viscosidad del petróleomuerto, incluyendo:La correlación de o Beal o La correlación de Beggs-Robinson la correlación deo GlasoEstos tres métodos se presentan debajo.

7.2.3.1 La Correlación de Beal

De un total de 753 valores para la viscosidad de petróleo muerto yanteriormente 100°F, Beal (1946) desarrolló una correlación gráfica pordeterminar la viscosidad del petróleo muerto como una función de temperaturay la gravedad del API del crudo. Standing (1981) expresó la correlacióngráfica propuesta en un la relación matemática como sigue:

7.2.3.2 La Correlación de Beggs-Robinson

Beggs y Robinson (1975) desarrolló una correlación empírica paradeterminando la viscosidad del petróleo muerto. La correlación originó deanalizar 460 dimensiones de viscosidad de petróleo muerto.La relación propuesta se expresa matemáticamente como sigue:

Un error medio de 0.64% con una desviación normal de 13.53% era informadopara la correlación cuando probó contra los datos usados para su el desarrollo.Sutton y Farshad (1980) informó un error de 114.3% cuando la correlación seprobó contra 93 casos de la literatura.7.2.3.3 La Correlación de Glasso

Glaso (1980) propuso una relación matemática generalizada para computandola viscosidad de petróleo muerto. La relación se desarrolló de las dimensionesexperimentales en 26 muestras de petróleo crudo. La correlación tiene laforma siguiente:

La expresión anterior puede usarse dentro del rango de 50-300°F para latemperatura del sistema y 20-48° para la gravedad del API del crudo. Sutton yFarsead (1986) concluyó la correlación de Glaso mostró la exactitud mejor delas tres correlaciones anteriores.La evaluación de viscosidad de petróleo muerto es un paso importante en elplan de varios funcionamientos en el yacimiento petrolífero y refinerías. Porconsiguiente, debe evaluarse viscosidad de petróleo crudo que es función de lapresión y la temperatura puede ser evaluada en ambos casos como ingenieríade reservorios y diseños de operación. La variación en la viscosidad con latemperatura y el cambio de presión normalmente se predice empíricamente.A pesar de la importancia de viscosidad diseñando el plan, nuestracomprensión de tal propiedad está inferior al de propiedades de equilibrio. Haydificultades obteniendo las dimensiones de viscosidad fiables, sobre todo parapetróleo vivo que es una propiedad muy importante que precisamente debeevaluarse para la simulación del depósito. Sin embargo, esta propiedad queusar la viscosidad de petróleo muerto fácilmente puede evaluarse.La viscosidad de petróleo crudo varía, dependiendo de su origen, mientras eltipo y la naturaleza de su composición química, particularmente loscomponentes polares para que las interacciones del intermolecular puedenocurrir.Hay varias correlaciones por predecir la viscosidad de petróleo crudo. Estascorrelaciones pueden ser categorizado en tres grupos principales: la viscosidadde petróleo muerto (μod), viscosidad de punto de burbuja (μob) y la viscosidadde petroleo de baja saturación (μb). En general, las correlaciones utilizandensidad y temperatura de petróleo para determinar μod. La correlación deBeal• fs se desarrolló en 1946 datos usando obtenidos de California el aceitecrudo . Todavía se usa ampliamente a lo largo de la industria del petróleo y seconsidera que es bastante exacto. Beggs y Robinson en 1975.En 1980 de Glaso; Labedi en 1992; Kartoamodjo & Schmidt en 1994; yPetrosky & Farshad en 1995 [6] desarrolló sus correlaciones para los tiposdiferentes de aceites crudos. Elsharkawy y Alikhan en 1999 también hapresentado otras correlaciones empíricas por estimar viscosidad de petróleomuerto de Este del Medio crudo.Recientemente, Naseri et al. En 2005 ha desarrollado una correlación para lapredicción de la viscosidad de petróleo muerto Iraní.La información breve para algunas de las correlaciones antedichas, sepresenta en la mesa (1). La mayoría de ellos han expresado la viscosidad de

petróleo muerto μod como una función de los dos el aceite la gravedad de• ‹API y temperatura. Sin embargo, en 1990 Egbogah y Ng mejoró Beggs ycorrelación de Robinson• fs agregando la temperatura de punto de lluvia comoun nuevo parámetro, pero ni no se informa en cualquier PVT usual informe nimoderado en el campo. Mehrotra y Svrcek en 1988 [10] presentó unaone.parameter viscosidad ecuación para el betún. Esta ecuación estabadespués extendida por Mehrotra en 1991 [11] para predecir la viscosidad de luzy los hidrocarburos elemento. Este parámetro se evalúa de la masa del molar,el punto de ebullición normal, temperatura crítica, y el factor acéntrico decomponentes que no están disponibles para más crudo.Varias otras correlaciones empíricas y semi-empíricas también se handesarrollado de la ecuación estatal correspondiente, por ejemplo Johnson yMehrotra en 1987 [12]. Aunque, estas correlaciones estatales correspondientesinvolucran los numerosos cómputos y utilizan la composición fluida como lasvariables de la entrada, su habilidad de la predicción de viscosidad de aceitemuerta es relativamente pobre.La aplicación de correlaciones de viscosidad de petróleo muerto a los aceitescrudos de los resultados de las fuentes diferentes en los errores grandes.Estas desviaciones se atribuyen a la diferencia en el asphaltenic, la naturalezaparafínica y/o mixta de los aceites.El objetivo de este trabajo es desarrollar las correlaciones de viscosidad depetróleos muertos comprensivas para offshore y onshore los petróleos crudosIraníes con respecto a su naturaleza que puede emplearse fiablemente por eldepósito ingenieros por evaluar la viscosidad de aceite viva así como poringenieros del químico para el plan de yacimiento petrolífero y los procesos dela refinería.Los materiales y MétodosUn juego fiable grande de 438 Iraní fuera de y en-orilla las viscosidades depetróleo muerto eran reunido en Crudo Engrase la sección de la Evaluación aRIPI los ocho años encima de pasados. Estos datos se seleccionanmeticulosamente de un juego de los datos de 473 puntos. El método de laprueba normal de ASTM D-445 se usó para los dimensiones de viscosidad decinemática.Las viscosidades de petróleo todo crudas estaban moderadas en temperaturas10, 20, y 40 °C. ASTM el método de D-5002 fue utilizado para medir ladensidad y densidad del pariente de aceites crudos.Con respecto a la gravedad de °API, los datos eran divididos en dos grupos delcomandante. El primer grupo incluyó 85El aceite fuertemente crudo Iraní (°API=17 a 28) los datos-puntos y el segundouno contuvo 353 luz Iraní el aceite crudo (°API=28 a 45) los datos-puntos.Cada juego de los datos también es dividido en entrenar y prueba lossubconjuntos. Al azar, se seleccionan 17 y 43 puntos de los datos para lossubconjuntos de la prueba de pesado y luz que los datos de aceite crudo pone,respectivamente.Se presenta información veraniega de los juegos de los datos en Mesa 2. Losdatos proporcionados contienen más de puesto de datos de viscosidad paracada aceite crudo, mientras manteniendo la información el efecto detemperatura.

La media desviación absoluta (AAD) y raíz el error cuadrado (RMSE) se usapara comparar y evalúe la habilidad de la predicción de correlaciones debajode que se definen como:

Donde n es el número de puntos de los datos, el yiexp es la viscosidad obtenidaexperimentalmente y yipred se predice la viscosidad.Ejemplo 2-34Además de los datos de PVT experimentales cedidos Ejemplo 2-29, el losdatos de viscosidad siguientes están disponibles:

Usando todas las correlaciones de viscosidad de aceite discutidas en estecapítulo, calcule la viscosidad μod,

FACTOR Z

Definimos el factor de compresibilidad Z como: . Para un gas idealZ=1 para todo rango de temperaturas y presiones. La discrepancia de Z conrespecto a la unidad nos indica la desviación del gas con respecto alcomportamiento ideal.Cuando Z < 1, el gas ejerce una presión menor que la que ejercería un gasideal. Con Z > 1 la presión del gas es superior a la del gas ideal.

A presiones bajas y temperaturas elevadas los gases se comportanidealmente y el factor de compresibilidad toma valor 1. Por tanto, un gas realcumple la ecuación de estado . El problema de esta ecuaciónradica en que Z depende de la temperatura, presión y del tipo de gas.

Es necesario disponer de tablas con valores de Z para cada gas adiferentes presiones y temperaturas para que la ecuación anterior sea útil.

El Factor de compresibilidad (Z) se define como la razón entre elvolumen molar de un gas real (Vreal) y el correspondiente volumen de un gasideal (Videal),

ideal

real

V

VZ (16)

Y se utiliza para comparar el comportamiento de un gas real respecto alestablecido por la ecuación de los Gases Ideales. Es decir Z representa unfactor de corrección para la ecuación de los gases ideales. Con base en estose encuentra tres tipos de comportamiento distintos:

Z = 1: comportamiento de Gas Ideal. (altas temperaturas y bajaspresiones).

Z > 1: gases como el Hidrógeno y Neón, difícilmente compresibles (altastemperaturas y presiones).

Z < 1: gases como el O2, Argón y CH4, fácilmente compresibles (bajastemperaturas y altas presiones).

Es importante resaltar que a bajas presiones las desviaciones de laidealidad son despreciables sobretodo en el caso del nitrógeno, Lo cualresalta la importancia de la ecuación de los gases ideales en cálculos en losque no se precisa de una gran exactitud, ya que aun a presiones de 100 bar ladesviación respecto al comportamiento ideal no pasa de un 5%.

Los tres tipos de comportamiento que se mencionan en realidad sondependientes de la temperatura a la que se realice la medición. El hidrógenopuede presentar valores de Z tanto mayores como menores a la unidad, de locual se desprende que a las condiciones adecuadas todos los gasespresentaran comportamientos equivalentes.

4.1 DETERMINACIÓN DEL FACTOR Z

Para poder aplicar la ecuación (1) se requiere conocer el factor Z, elcual, como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura ydel tipo de gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones.

4.1.1 CÁLCULO DE Z PARA GASES PUROS

En este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica delcompuesto. Las condiciones críticas son características de cada componentey se pueden obtener de tablas de propiedades físicas.

a) Presión crítica.- Valor límite de la presión de saturación cuando latemperatura de saturación se aproxima a la temperatura crítica.

b) Temperatura crítica.- Máxima temperatura a la que los estados biendefinidos de líquido y vapor pueden existir. Puede definirse como lamáxima temperatura a la que es posible hacer que un gas cambie alestado líquido (se licue) solamente mediante la presión.

4.1.1.1LOS PARÁMETROS REDUCIDOS

Son condiciones de temperatura, presión y volumen corregidas onormalizadas, mediante la división entre sus condiciones reducidas.

La idea, tal como fue sugerida por van der Waals, es de que todas lassustancias se comporten en forma similar en su estado reducido, es decir,"corregido". En particular, cualquier sustancia tiene el mismo volumen reducidoa la misma temperatura y presión reducida. En términos matemáticos se puedeindicar que:

(17)En donde "r" es cierta constante. Y se puede aplicar a muchas

sustancias pues no dependen de constantes específicas se les llamaecuaciones de estado generalizadas.

Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condicionesreducidas, que se definen como:Pr = P/Pc (18)Tr = T/Tc (19)donde: Pr: presión reducida.

Tr: temperatura reducida.como se ve son adimensionales.

4.1.2 CÁLCULO DE Z PARA MEZCLAS

También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso lascondiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas noson compuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla decondiciones críticas o reducidas sino de condiciones seudocríticas yseudoreducidas.

Para obtener las condiciones seudocríticas se debe conocer lacomposición de la mezcla o la gravedad específica.

Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento deKay para obtener las condiciones seudocríticas.

El procedimiento de Kay es el siguiente:sP c = Σxi.P ci (20)sT c = Σxi.T ci (21)donde: sP c: presión seudocríticas de la mezcla.

sT c: temperatura seudocríticas de la mezcla.xi: fracción molar de cada componente en la mezcla.

P ci: presión crítica de cada componente en la mezcla.T ci: temperatura crítica de cada componente en la mezcla.Una vez calculados los valores de sT c y sP c, se calculan las

condiciones seudoreducidas:sP r = P/sP c (22)sT r = T/sT c (23)donde:sP r: presión seudoreducida de la mezcla.sT r: temperatura seudoreducida de la mezcla.

5. DESARROLLOEl desarrollo del presente trabajo se basa en el cálculo del factor de

desviación de los gases reales del factor Z por el método de Beggs y Brill.El cálculo del factor Z se los realiza con la siguiente ecuación:

DprB

PCe

AAz *

1

(24)

El cálculo de los parámetros de la anterior ecuación se lo realiza con lassiguientes ecuaciones:

101,0*36,0)92,0(*39,1 5,0 prpr TTA (25)

6)1(9

2 *10

32,0*)037,0

86,0

066,0(*)*23,062,0( prTpr

prprpr PP

TPTB

pr

(26)

prTC log*32,0132,0 (27))1824,049,03016,0( 2

10 prpr TTD (28)

Los datos de Tpr y Ppr pueden ser introducidos directamente o sercalculados en el mismo programa por medio de una base de datos:

Para el uso de esta base de datos necesitamos introducir: Valor de Presión y Temperatura del sistema. Número de componentes del sistema. Elección de los componentes del sistema.

Porcentaje molar de cada uno de los componentes del sistema, la sumade los porcentajes molares siempre debe resultar 1.

Se obtendrán como resultados: Presión pseudocrítica del sistema. Temperatura pseudocrítica del sistema. Factor de desviación Z.

FACTOR DE COMPRESIBILIDAD.- Si en la ecuación de estado para un gasperfecto, se introduce un cierto coeficiente corrector Z, se puede extender suaplicación a un gran número de gases reales.El factor corrector es de la forma:

La ecuación, p v = Z R T, recibe el nombre de Ecuación Técnica de Estado;para un número n de moles toma la forma: p V = Z n R T.

En la Fig II.7 se ha representado el diagrama del factor de compresibilidadgeneralizado de Nelson- Obert para altas presiones, y en la Fig II.8 parapresiones medias.Para presiones bajas existe para Z un límite general, para cualquier sustancia ytemperatura, de la forma:

Si se acepta como válido el postulado de la Ley de estados correspondientes,es lógico pensar en la existencia de una correlación general para el factor decompresibilidad Z en términos de Tr y pr, es decir:

Los gráficos de Obert dan errores menores del 6% salvo en el punto crítico.

La temperatura de Boyle es aquella para la cual:

es decir, es el límite de las T de las curvas de Boyle a temperaturasmuy bajas.A la temperatura de Boyle se anula el primer coeficiente del virial:

El interés de la curva de Boyle radica en que expresa la máxima discrepanciadel comportamiento del gas perfecto, mientras que en las proximidades de latemperatura de Boyle el comportamiento del gas es similar al de un gasperfecto.

Cálculo de Z para gases puros:En este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica delcompuesto. Las condiciones críticas son características de cada componente yse pueden obtener de tablas o de graficas de propiedades físicas.Presión crítica:Valor límite de la presión de saturación cuando la temperatura de saturación seaproxima a la temperatura crítica.Temperatura crítica:Máxima temperatura a la que los estados bien definidos de líquido y vaporpueden existir. Puede definirse como la máxima temperatura a la que esposible hacer que un gas cambie al estado líquido (se licue) solamentemediante la presión.Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condicionesreducidas, que se definen como:Pr = P/Pc (5)Tr = T/Tc (6)donde,Pr: presión reducida.Tr: temperatura reducida.como se ve son adimensionales.

Obtención de Z para mezclas:También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las condicionesreducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no soncompuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla decondiciones críticas o reducidas sino de condiciones seudocríticas yseudoreducidas.Para obtener las condiciones seudocríticas se debe conocer la composición dela mezcla o la gravedad específica.Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kay paraobtener las condiciones seudocríticas.El procedimiento de Kay es el siguiente:sP c = Σxi.P ci (7)sT c = Σxi.T ci (8)donde,sP c: presión seudocríticas de la mezcla.sT c: temperatura seudocríticas de la mezcla.xi: fracción molar de cada componente en la mezcla.P ci: presión crítica de cada componente en la mezcla.T ci: temperatura crítica de cada componente en la mezcla.Una vez calculados los valores de sT c y sP c, se calculan las condicionesseudoreducidas:sP r = P/sP c (9)sT r = T/sT c (10)donde,sP r: presión seudoreducida de la mezcla.sT r: temperatura seudoreducida de la mezcla.Aunque existen más correlaciones para obtener el factor de compresibilidad,para los objetivos del presente trabajo se considera suficiente la presentada deStanding - katz.

La ecuación de estado de Starling presenta la siguiente formadonde,s ρ r: se conoce como densidad seudoreducida y está dada por:sρr = 0,27.sP r/Z.sT r (12)las constantes Ai tienen los siguientes valores:A1 = 0,3265A2 = -1,0700A3 = -0,5339A4 = 0,01569A5 = -0,05165A6 = 0,5475A7 = -0,7361A8 = 0,1844A9 = 0,1056A10 = 0,6134A11 = 0,7210Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene:

(13)donde,

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)F = A11.(0,27.sP r/sT r) ² (19)Para encontrar el valor de Z que sea solución de la ecuación (13) se aplica elmétodo de Newton - Raphson que involucra los siguientes pasos:Se calcula sT r y sP rSe calculan las constantes A - F.Se escribe la ecuación (13) como:

(20)Se supone un valor de Z(Z0), se recomienda mayor que 1, y se chequea sihace F(Z0) = 0 dentro de la tolerancia requerida.Si F(Z0) = 0, el valor supuesto es el correcto y es el valor que se estábuscando.si F(Z0) ≠ 0 se busca un nuevo valor de Z(Z1) de la siguiente manera:Z1 = Z0 - F(Z0)/F'(Z0) (21)Donde F'(Z0) es la derivada de F(Z), dada por:

(22)y calculada en Z0.Con Z1 se chequea si F(Z1) = 0 y sino lo es se calcula un valor Z2usando la ecuación (22) cambiandoZ1 por Z2 y Z0 por Z1.El procedimiento continua hastaencontrar un valor Zn que haga F(Z)= cero; después del primer valorsupuesto para Z(Z0) los demásvalores usados se obtienen a partirde la ecuación (21) usando Zn enlugar de Z1 y Zn-1 en lugar de Z0.

COMPORTAMIENTO REALSe presenta a altas P donde la ec de estado antes presentada ya no es aceptada por los erroresque presenta. Esta desviación del comportamiento ideal aumenta con la T y la complejidad dela mezcla de gases, esta desviación se da por las consideraciones planteadas en la teoríacinética de los gases.Para describir este comportamiento real, distintas ecuaciones de estado fueron desarrolladas,sin embargo el caso que se aplica en mayor proporción en la industria petrolera es el de laecuación de estado corregida con la inserción del factor de desviación z, esto es:PV = znRT

FACTOR “Z”Este factor es adimensional y generalmente varía entre 0,7 y 1,2, donde para el caso en que z=1, representa el comportamiento ideal, matemáticamente se define por:

Para el caso del gas natural considerando distintas composiciones, se observo que este factorpuede ser generalizado con suficiente exactitud para propósitos de ingeniería cuando esexpresado en función de términos pseudo reducidos de P y T, los cuales a su vez se calculan conayuda de las propiedades críticas de los compuestos y las pseudo-crítas de la mezcla.PROPIEDADES CRÍTICASEs el conjunto de condiciones físicas de presión, temperatura y volumen, a las cuales ladensidad y otras propiedades del líquido y gas se vuelven idénticas, es decir, es un punto a unapresión y temperatura dada donde físicamente no puede diferenciarse si se trata de gas olíquido. Estas propiedades críticas son únicas (una sola presión, una sola temperatura) para

una sustancia dada o mezcla, en cuyo caso son propiedades pseudo-criticas. Estas se requierenpara la determinación de otras propiedades del sistema en análisis ya sea sustancia pura omezcla gaseosa. Como en la determinación de los términos reducidosLa presión crítica, Pcr, y la temperatura crítica, Tcr, son medidas en el laboratorio y usualmenteson desconocidas por lo que se requiere para su determinación el empleo de correlaciones,como: Brown et al que las determina en función de la gravedad especifica de la mezcla, yconsidera dos casos:

o Para sistemas de Gas Seco:

o Para sistemas de gas y condensado:

TPR Y PPRLa presión y temperaturas reducidas son términos adimensionales que en el caso de mezclasgaseosas, están definidos por:Donde:Estas propiedades pseudo críticas no son exactamente las propiedades de la mezcla, sinembargo para efectos de estimación de otras propiedades se las emplea como propiedadesgeneradoras aceptables.Con estos datos es posible determinar el valor de z, ya sea mediante La grafica presentada por Standing-katz Métodos directos de cálculo de Z, como:

o Hall-Yarborougho Dranchuk-Abu-Kassemo Dranchuk-Purvis-Robinson

Hall-YarboroughSe caracteriza por: Método basado en la ecuación de estado de Starling-Carnahan. Coeficientes obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica de Standing-Katz. No recomendado para rangos de Tpr < 1 La expresión matemática presentada es:

Donde:Ppr Presión pseudo-reducidat Tpc/TY densidad reducida, obtenida de:Donde:

Dranchuk-Abu-KassemSe caracteriza por: Método basado en la densidad critica, definida por:

Donde la densidad reducida se calcula con:Y los coeficientes R1 a R5 están definidos por:

Coeficientes A1 a A11 fueron obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica deStanding-Katz:

Aplicable con un error de 0.585 % en rangos de:0.2 < Ppr < 301.0 < Tpr < 3,0

Dranchuk- Purvis-RobinsonSe caracteriza por: Método basado en la ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin:

Donde la densidad reducida se define por:Y los coeficientes T1 a T5 están definidos por:

Coeficientes A1 a A8 fueron obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica deStanding-Katz:

Aplicable con un error de 0.585 % en rangos de:0.2 < Ppr < 3.01.05 < Tpr < 3,0

4.2 CORRECCIÓN POR SUTTONComo la grafica de Standing-Katz, fue preparada con datos provenientes de mesclas binariasC1+C2, C1+C3, C1+C4, etc considerando un amplio rango de composiciones para el metano, sinembargo no es tan exacta para mezclas con contaminantes como H2S, CO, N2 ni para mezclasde hidrocarburos más pesados, es decir con un porcentaje considerable de C7+, y por lo tantocon un peso molecular no mayor a 40.De esta manera Sutton analizando la eficacia del grafico de Standing-Katz, denoto lo siguiente: Los métodos de cálculos de Ppc y Tpc clásicos de Kay, para mezclas debían sercorregidos debido a la presencia de C7+ Estos no deben ser utilizados si la GEg > 0.75 Sin esta corrección los valores de z calculados en función de estos parámetros, paramezclas de gases de M elevado, son erróneos. Esta desviación puede ser minimizada empleando la técnica de Stewart et al y tresfactores de corrección adicionales (FJ, EJ, EK), los cuales se refieren al ajuste debido a lapresencia de C7+. El procedimiento planteado por Sutton es el siguiente:

(1) Calcular los parámetros J y K:

Donde:J Parámetro de Correlación de Stewart-Burkhardt-Voo [ºr/psi]K Parámetro de Correlación de Stewart-Burkhardt-Voo [ºr/psi]yi Fracción molar del componente i en la mezcla(2) Calcular los parámetros de corrección:

Donde:(Tc)C7+ : Temperatura critica del C7+(Pc)C7+: Presión critica del C7+yC7+ : Fracción molar del C7+(3) Ajustar los parámetros J y K con EJ y EK.(4) Calcular las propiedades pseudo criticas ajustadas a partir de lassiguientes expresiones

(5) Con estas propiedades corregidas calculadas, se procede a calcular laspropiedades pseudo-reducidas'Ppc

PPpr

'Tpc

TTpr

(6) Y con estos datos es posible calcular el factor z, ya sea de manera grafica ocon los métodos analíticos presentados anteriormente:4.3 MÉTODOS DE PROGRAMACIÓNEn el desarrollo del presenta trabajo, se emplean herramientas de programación como: Programación orientada a objetos, Visual Basic 6.0 Componentes especiales del entorno:

o Microsoft ADO Data Controlo Microsoft Chart Controlo Microsoft Flexgrid controlo Microsoft Tabbed Dialog Control

Procedimientos iterados con Bucles For…Next

Procedimientos compuestos de resolución de ecuaciones no lineales por el métodoNewton RapsonDESARROLLO

5.1 RECOLECCIÓN DE DATOSSe la Realiza con la ayuda del control Microsoft ADO Data Control, el cual permite enlazar losdatos almacenados en una base de datos de Microsoft Access, los datos que empela el programason:COMP SIMBOLO M PC TC

METANO C1 16,042 673,1 343,2ETANO C2 30,068 708,3 549,9PROPANO C3 44,094 617,0 666,0BUTANO C4 58,120 529,0 734,5ISO-BUTANO i-C4 58,120 550,0 765,7PENTANO C5 72,146 483,5 829,6ISO-PENTANO i-C5 72,146 489,8 846,2HEXANO C6 86,720 440,1 914,2HEPTANO+ C7+

5.2 TRATAMIENTO INICIALPara el caso del C7+, debido a que sus propiedades críticas son función de su GE y su M secalculan en el programa, con las ecuaciones planteadas en el marco teórico, el programapresenta la interfaz necesaria para la introducción de estos datos mediante cuadros de texto.5.3 CÁLCULOS INTERMEDIOSPosteriormente se calculan los parámetros: J, K FJ, EJ, EK J’ y K’Con las expresiones correspondientes ya detalladas.

5.4 CÁLCULO PPC Y TPC CORREGIDOSFinalmente se calculan los parámetros pseudo críticos corregidos de P y T, los cuales sepresenta en el entorno del programa como:

5.5 CÁLCULO DIRECTO DE “Z”En la pestaña 2 del programa, se calcula z para condiciones determinadas de P y T del sistema,presentándose dos casos: Factor z corregido con Ppc’ y Tpc’, para esto se calculan las propiedades pseudoreducidas:

'Ppc

PPpr

'Tpc

TTpr

Factor z no corregido con Ppc y Tpc, de la misma forma:Luego se calcula z de forma directa con la ayuda de los métodos analíticos presentados en elmarco teórico, considerando sus rangos de aplicación para Ppr y Tpr, lo cual determina elmétodo a utilizar en el programa.El cálculo de z se lo realiza por sub rutinas incrustadas en un modulo que contiene el códigocorrespondiente para cada método.Los resultados finales se presentan tanto para z corregida como para z sin corrección por C7+,en cuadros que resaltan esta diferencia.Finalmente en la tercera pestaña, se muestra la grafica de z corregida y no corregida, para quede forma más didáctica se resalte su desviación y comportamiento una respecto de la otra. Paraesta grafica se toma como referencia: La temperatura del sistema ingresada en la pestaña 2. Un rango de P que varían entre 300 y 10000 psi, para que de esta forma se observe elcomportamiento de z entre estos valores. La grafica se genera a partir de incrementos de 20 psi.

Usos del factor de compresibilidad

El factor de compresibilidad se usa para dossistemas diferentes:

Sistemas gaseosos(puros) con un solocomponente Ej, metano, etano, etc.

Sistemas de gaseosos de dos o máscomponentes. Ej. Gas natural

Para sistemas gaseosos e solo componente se tomanen cuenta, en general los siguientes datos:

1.presión2.volumen3.Temperatura absoluta4. número de moles lb-mol5.constante universal de los gases

Sistemas de gaseosos de dos o más componentes.1.Presión (sistema)2.volumen(sistema)3.Temperatura absoluta (sistema)4. composición de cada gas en el sistema

5.Propiedades de cada componente del sistema(M,Pc, Tc).

6.constante universal de los gases

OBTENCIÓN DE Z PARA SISTEMAS GASEOSOS

Estudios de los factores de compresibilidad parasistemas de gas natural de diferentes composicióndemostraron que el factor Z puede se generalizadocon suficiente precisión para usos en ingenieríaen base a dos términos.

– Presión seudoreducida– Temperatura seudoreducida

No representan las condiciones críticas verdaderasdel sistema, demás Estos valores son usados comoparámetros correlativos para generar laspropiedades del sistema. Estos valores sonadimensionales.

PRESIÓN PESUDO REDUCIDA

Donde la presión pseudo-crítica:

ii

iPC PcyP *1

Donde:Pci = Presiones críticas de cada componente [psia]Yi = Composición de cada componente

TEMPERATURA PESUDO REDUCIDA

Ricapseudocrítatemperatur

RsistemadelatemperaturT Pr

Donde la temperatura pseudo-crítica:

ii

iPC TcyT *1

Donde:Tci = temperaturas críticas de cada componente [R]Yi = Composición de cada componente

psiaicapseudocrítpresión

psiasistemadelpresiónP Pr

En base a los valores de la presión y temperaturapesudo reducida, Standing y Katz (1942)desarrollaron un cuadro en el cual se representael factor z para sistemas de gas natural dulce(sin contaminantes) como función de PPC y TPC.

DESVENTAJAS DE LA GRÁFICA DE Z

• EL gas natural frecuentemente contienemateriales diferentes o extraños a loscomponentes hidrocarburíferos, como porejemplo nitrógeno, dioxido de carbono y ácidosulfhídrico.

• El gas de un yacimiento es clasificado comodulce o amargo según el contenido de H2S yotros gases ácidos.

• En estos casos la gráfica de Standing y Katzsólo se limita a sistemas de gas con muy bajasconcentración de gases ácidos y contaminantes,generando resultados no cercanos a los reales.

• Para la corrección de los datos se tienen 2métodos:

• Método de corrección de Wichert-Aziz

• Método de corrección de Carr-Kobayashi-Burrows

Método de corrección de Wichert-Aziz

El Gas natural que contiene H2S y/o CO2frecuentemente tiene un comportamiento diferentedel factor de compresibilidad .Wichert y Aziz(1972) desarrollaron un sistema sencillo para elcálculo de estas diferenciasEste método permite el uso del gráfico deStanding-Katz con el uso de un factor de ajuste ala temperatura pseudo-critica.Este factor está en función a la concentración deH2S y CO2 en el gas amargo:Con la temperatura pseudo-crítica corregida esposible hallar una presión pseudo-críticacorregida y con estos valore hallamos z con lagráfica de Standing-Katz.

PASOS A SEGUIR:

P-1: Calcular las propiedades pseudo críticas detodo el sistema gaseoso en base a datos obtenidosde la composición o mediante el uso de la gravedadespecífica:Con datos de campo:

ii

iPC PcyP *1

ii

iPC TcyT *1

En base a gravedad específica:Sistemas de gas natural:

25.370.15677 ggPCP 25.12325168 ggPCT

Sistemas de gas y condensado:21.117.51706 ggPCP 25.71330187 ggPCT

P-2: Cálculo del factor de ajuste :

)(15120 0.45.06.19.0 BBAA Donde:

A= Suma de las fracciones molares de H2S y CO2:

B= fracción molar de H2S en la mezcla de gas:P-3: Ajuste de las propiedades pseudocríticas:

)1(

* ''

'

BBT

TPP

TT

PC

PCPCPC

PCPC

Donde:Tpc = temperatura pseudocrítica [R]Ppc = Presión pseudos crítica, [psia]T’pc= temperatura pseudocrítica corregida [R]P’pc= presión pseudocrítica corregida [psia]P-4: Cálculo de las propiedades pseudo-reducidas:

psiaicapseudocrítpresión

psiasistemadelpresiónP Pr

Ricapseudocrítatemperatur

RsistemadelatemperaturT Pr

P-5: Leer el valor del factor z en gráficaStanding-Katz.

MÉTODOS DIRECTOS PARA EL CÁLCULO DE ZDespués de varios años de existencia, el gráficode z realizado por Standing-katz continúa siendoutilizado. Como resultado exitió una necesidadaparente para una descripción matemática sencillade este gráfico. Estas tres correlaciónes fuerondesarrollaas para este fin: HALL-YARBOROUGH DRANCHUK-ABU-KASSEM DRANCHUK-PURVIS-ROBINSON

HALL-YARBOROUGHEsta ecuación de estado presentada por en 1973,representa la gráfica de z. Esta ecuación estábasada en la ecuación de estado de Starling-Carnahan. Los coeficientes de la correlaciónfueron determinados haciendo coincidir estos condatos tomados de la gráfica de z.

…………..(1)Donde:Ppr = presión pseudo reducidat =recíproco de la temperatura pseudo-reducida,Tpc/TY =densidad reducida que puede ser obtenidapor:

…………(2)Donde:

La ecuación (2) es una ecuación no lineal y puedeser resuelta con la densidad reducida Y usando elmétodo Newton Raspón.PASOS A SEGUIR:P-1: Realiza una suposición inicial para elparámetro desconocido YK, donde K es el contadorde la iteración. Para tener un valor inicial setiene la siguiente ecuación:

P-2: sustituir el valor inicial en la ecuación (2)y evaluar la función no lineal. Si el valorcorrecto fue encontrado entonces F(Y)=0 sinoF(Y)diferente de 0 :P-3: Una mejor estimación para Y por ejemplo YK+1 ,es calculada a partir de la siguiente expresión:

Donde f’(YK) es obtenida evaluando la derivada dela ecuación (2) en YK :

P-4: pasos 2-3 son repetidos n veces, hasta unerror dado, ej. ABS(YK -YK+1) sea más pequeño queuna tolerancia por ejemplo: 10 E-12.P-5: El valor correcto de Y es usado en laecuación (1) para el factor de compresibilidad:Éste método no es recomendable cuando el valorde la temperatura pseudo-reducida el menor a uno.

DRANCHUK-ABU-KASSEM:Derivó una expresión analítica para el cálculo dela densidad reducida del gas de tal forma quepuede ser utilizada para estimar el factor decompresibilidad. La densidad reducida del gas ρres definida como la relación entre la densidad delgas a una presión y temperatura específicas y ladensidad del gas en su presión crítica otemperatura crítica.

El factor de compresibilidad crítico Zc esaproximadamente 0.27 lo cual nos da la siguienteexpresión para la densidad reducida del gas:

Los autores propusieron una ecuación de estado de once constantes para calcular la densidad reducida delgas

Con coeficientes R1 a R5 los cuales son definidospor:

Las constantes A1 hasta A2 fueron determinadas coincidiendo la ecuación usando modelos no lineales deregresión de 1500 puntos de datos de la gráfica de Standing-Katz. Los coeficientes tienen los siguientesvalores:

La ecuación (4) puede ser resuelta para ladensidad reducida del gas aplicando Newton Raphsonsiguiendo los siguientes pasos:

P-1: Realizar una suposición inicial para elparámetro desconocido ρrK , donde K es el contadorde la iteración. Para tener un valor inicial deρrK se tiene la siguiente ecuación:

P-2: sustituir el valor inicial en la ecuación (4)y evaluar la función no lineal. Si el valorcorrecto fue encontrado entonces F(ρrK)=0 sinoF(ρrK)diferente de 0 :

P-3: Una mejor estimación para ρrK por ejemploρrK+1,es calculada a partir de la siguienteexpresión:

Donde:

P-4: pasos 2-3 son repetidos n veces, hasta unerror dado, ej. ABS(ρrK-ρrK+1)sea más pequeño queuna tolerancia por ejemplo 10 E-12.P-5: El valor correcto de es usado ρrK en laecuación (3) para el factor de compresibilidad:

Éste método produce valores de z con un errorabsoluto medio con relación al gráfico deStanding-Katz de 0.585 % y es aplicable sobre losrangos de:

DRANCHUK-PURVIS-ROBINSON:Desarrollaron un correlación basada en un tipo deecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin.Haciendo coincidir la ecuación con 1500 puntos dela gráfica de z se optimizaron 8 coeficientes dela ecuación propuesta:

……………………(5)

Donde ρrK está definida por la ecuación (4) y loscoeficientes desde A1 hasta A8 tienen lossiguientes valores:

El procedimiento de la solución de la ecuación (5)es similar a la de Abu-Kassem.

Éste método es aplicable entre los rangos de :

INTRUCION DE AGUAACUIFERO RESECTOR

Aplicación del proceso de intrusión de agua.-

En todo proyecto de intrusión, es condición previa hacer una evaluación de losfactores determinantes – tanto físicos como geológicos – para ver si lasposibilidades de aplicación se muestran favorables.

Factores geológicos.-

Los factores geológicos que deben ser analizados son:Fallamiento.- El área donde se propone efectuar la intrusión piloto, no se

halla atravesada por ninguna de las fallas existentes en el campo, es decir, nohay ningún tipo de fallamiento que pueda frustrar el proyecto de intrusión.

Textura.- Se ha evidenciado que las arenas de grano grueso semuestran mas favorables a la intrusión de agua, mientras que las arenas degrano fino son mejores en cuanto a uniformidad de permeabilidad se refiere.Sin embargo, el aspecto determinante parece ser la presencia o ausencia deprotuberancias, que juegan rol fundamental en lo concerniente a eficiencia debarrido.

Profundidad.- Los proyectos de intrusión de agua abarcan enprofundidad desde unos pocos cientos de pies hasta algunos miles de pies,siendo lo ideal contar con una profundidad media.

Porosidad.- Este factor solo tiene trascendencia desde el punto de vistadel contenido de hidrocarburos en la estructura, razón por la que, su influenciaen el presente análisis no es determinante.

Permeabilidad.- La permeabilidad esta ligada íntimamente con laprofundidad, requiriéndose alta permeabilidad solo en el caso de campos pocoprofundos o muy profundos

Factores físicos.-

Los factores físicos que influyen en el resultado final de un proyecto deintrusión son:

Control.- Las acumulaciones que poseen un mecanismo de impulsión detipo volumétrico son las más favorables en la intrusión de agua por el elevado

porcentaje de petróleo residual existente después de la producción primaria, Elmismo que puede ser eficientemente barrido por el agua de intrusión.

Los yacimientos de empuje hidráulico se muestran exitosos a laintrusión, siempre que las zonas bajo consideración no hayan sidocompletamente invadidas por el agua marginal y de fondo. En caso de que estoultimo haya sucedido, y cuando el proceso conduce a la producción de grandescantidades de agua pozo petróleo, una RAP que fluctúe entre 20 : 1 a 40 : 1, essumamente aceptable.

Saturación de petróleo.- Cuando se dispone de una saturación inicial depetróleo de 0.40, la aplicación del proyecto debe hacerse con muchas reservasy después de un cuidadoso estudio. Una saturación de petróleo de 0.35representa el valor límite debajo del cual la intrusión nunca debe intentarse.

Saturación de agua.- La importancia de la saturación de agua reside enal relación que guarda con al permeabilidad relativa, pues a variaciones en lasaturación corresponden variaciones en la permeabilidad relativa. La condiciónnecesaria en todo proyecto, es que la saturación de agua sea superior a la delpetróleo para que sea posible que la formación de un frente de invasión.

Lo ideal es contar con saturaciones que fluctúen entre 20 y 30 %.Viscosidad.- Lo óptimo es contar con viscosidades de petróleo tan bajas

como sea posible. Sin embargo, es la relación de viscosidades petróleo agua, acondiciones del yacimiento, lo que realmente tiene importancia.Experimentalmente se sabe que cuando la relación de viscosidad del petróleoal agua es menor a 30, se espera que el agua barra al petróleo hasta un valormuy aceptable se saturación residual.

Permeabilidad relativa.- Se define como la facilidad con que un fluidocualquiera puede desplazarse bajo ciertas condiciones de saturación. Como semenciono líneas arriba, la permeabilidad relativa esta relacionada con alsaturación, y variaciones e estas corresponden cambios en la permeabilidad.

En todo proyecto de intrusión de agua es necesario contar, desde elinicio del proceso y hasta una etapa más o menos avanzada con unapermeabilidad relativa de petróleo que exceda a la del agua, pues de sucederlo contrario, se produciría una conificaciòn prematura en lugar de un verdaderoavance frontal.

Movilidad.- La movilidad de un fluido se define como la relación existenteentre la permeabilidad efectiva al fluido sobre la viscosidad del mismo. Larelación de movilidad de petróleo agua tiene singular influencia en cuanto serefiere a la recuperación final de petróleo. Una relación de movilidad alta haceposible recuperar una cierta cantidad de petróleo con un volumen inferior deagua que el que emplearía cuando se posee una relación de movilidad baja.

Se dice que la relación de movilidad es alta cuando la relación depermeabilidad relativa petróleo agua es mayor que la relación de viscosidades.La Intrusión ocurre debido a:

(a) Apreciable expansión del agua del acuífero. A medida que se reducela presión, el agua se expande y reemplaza parcialmente los fluidosextraídos del reservorio.(b) El acuífero es parte de un sistema artesiano. El agua que rodea alreservorio de petróleo esta en contacto con agua proveniente de lasuperficie.

Dependiendo de la forma como ingresa el agua al reservorio de petróleo, losreservorios por empuje de agua se denominan:

(a) Reservorios por empuje de fondo, en la cual la formación esusualmente de gran espesor con suficiente permeabilidad vertical, talque el agua puede moverse verticalmente. En este tipo de reservorios laconificación puede convertirse en un gran problema.(b) Reservorios por empuje lateral, en la cual el agua se mueve hacia el

reservorio desde los lados.Algunos indicadores para determinar la presencia de un empuje de agua son:

(a) El hidrocarburo (petróleo o gas) esta rodeado por agua.(b) Debe existir suficiente permeabilidad para permitir el movimiento delagua (por lo menos 50 md).(c) A medida que el tiempo transcurre, la producción de agua

incrementa.(d) El método de balance de materiales es el mejor indicador.Entre los métodos para estimar la recuperación se tiene: Buckley-

Leverett, la técnica de Dykstra-Parsons, el método de Stiles, Balance deMateriales, Correlaciones y Simulación Numérica. Para estimar el influjotenemos las teorías de Van-Everdingen y Fetkovich.

RESERVORIOS DE IMPULSION POR AGUA

CARACTERÍSTICAS TENDENCIA

Presión delReservorio

Permanece alta

GOR de superficie Permanece bajo.

Producción de agua Inicia muy temprano e incrementaa cantidades apreciables.

Comportamiento delpozo

Fluye hasta que la producción deagua es excesiva.

Recuperaciónesperada

10 al 70 % del OOIP

Comportamiento de flujo.-

Se ha considerado que la presión existente en el yacimiento es inferior ala de saturación, y por lo tanto, se tendrá las tres fases presente: agua, petróleoy gas.

El papel principal de la fase de gas libre consiste en proporcionaradecuado espacio para hacer llenado pro agua de intrusión. Durante las etapasiníciales de la invasión, el petróleo moviéndose delante del agua, desplaza algas hasta alcanzar una saturación de gas inmóvil que constituye el gasresidual. Con forme el agua es inyectada continuamente, el frente de petróleose acumula y avanza hacia los pozos productores. Como el gas es el más aptopara fluis de los tres fluidos presentes, será el primero en alcanzar a los pozos

productores, pudiendo acarrear consigo algo de petróleo que muestra losprimeros incrementos en la producción como consecuencia de la inyección deagua. Cuando el frente de petróleo llega a los pozos la recuperación entra a unperiodo de alto nivel y cuando finalmente el agua alcanza los pozosproductores, comienza una etapa de declinación en al producción de petróleoque dura hasta que los pozos producen completamente agua. En resumen, elproceso de desplazamiento se divide en: Desplazamiento de petróleo por aguay de gas por petróleo.

El proceso de intrusión en el área experimental presenta tres zonas oregiones bien definidas: la primera o región de flujo radial, se extiende hastadonde el radio de invasión alcanza su máximo valor y es cuando empieza elproceso de restauración; la segunda o zona intermedia que abarca el procesocompleto de restauración del petróleo y donde se hace difícil predecir elcomportamiento de flujo; y finalmente la tercera llamada también zonaestabilizada, que comprende desde que el frente de petróleo y avanza lospozos productores hasta que se produce la llegada del frente de invasión(Water breakthrough).

Zona de flujo radial.-

El régimen inicial de agua de intrusión depende de: La permeabilidadefectiva a l agua, del espesor neto de la formación, de la viscosidad del agua,del radio efectivo del pozo, de la presión del yacimiento y de la presión deinyección. La ecuación fundamental para calcular el régimen diario de intrusiónesta basada en la relación propuesta por Darcy para flujo radial:

Volumen acumulativo.- El volumen acumulativo de agua durante la etapade flujo radial es posible calcularlo de la siguiente relación:

Tiempo empleado.- El tiempo es posible calcularlo de la ecuación querelaciona el cambio en el régimen de influjo que se produce en un ciertoperiodo de tiempo, para en barrido de tipo radial, y que tiene la siguienteexpresión.

Relación que puede ser resuelta par los diferentes valores de Qi en [bbl/Dìa].

Zona intermedia.-

En esta región denominada también de transición, que empieza cuandoel radio de invasión considerado sea acerca a su valor máximo, se produce uncambio brusco en la disminución del régimen de intrusión, a causa de que elflujo pasa de radial a régimen estable.

Volumen acumulado.- El volumen acumulado de agua desde el principiode la inyección hasta la finalización de la segunda etapa, podemos calcularlomediante la siguiente relación:

Zona estabilizada.-

Una vez que ha finalizado el proceso de restauración, se entra a laregión estabilizada donde el caudal diario de intrusión será constante

La mayoría de los yacimientos se encuentran limitados de maneraparcial o total por rocas saturadas con agua que se denominan acuíferos, éstospueden ser muy grandes, caso en el cual se consideran de extensión infinita otambién pueden ser tan pequeños que su efecto sobre el comportamiento delyacimiento se puede considerar insignificante. El acuífero puede estar limitadototalmente por una roca impermeable y forma junto con el yacimiento unaunidad volumétrica o cerrada, por otro lado también pueden existir acuíferosprácticamente horizontales con el yacimiento adyacente o también puedehallarse por encima del yacimiento.

Al producir el yacimiento puede existir una caída de presión que haceque el acuífero reaccione retardando la declinación de dicha presión por mediode una invasión o intrusión de agua. Dicha intrusión puede ocurrir debido a laexpansión de agua, expansiones de otras acumulaciones de hidrocarburosconocidas, la compresibilidad de la roca del acuífero y el flujo artesiano dondeel acuífero se puede elevar por encima del yacimiento.

Analíticamente el acuífero se puede considerar como una unidadindependiente que es capaz de suministrar agua al yacimiento debido a lasvariaciones con tiempo de la presión en el límite, es decir, la presión promedioen el contacto agua-petróleo o gas-agua.

Figura 01. Conos de intrusión de agua salada de fondo como resultado dela disminución de sobrecarga

El tipo más simple de intrusión de agua ocurre en un acuífero encondiciones de flujo continuo donde la rata de intrusión de agua esdirectamente proporcional a la presión en el yacimiento (pi-p), tomando encuenta que la presión inicial permanece constante en alguna parte del acuíferoy que el flujo del yacimiento es proporcional a la presión diferencial según laLey de Darcy, además se supone que la viscosidad el agua, permeabilidadpromedia y geometría del acuífero permanecen constantes

Donde k es la constante de intrusión de agua expresada en pies cúbicoso barriles por día por lpc. Al determinarse el valor de k se puede encontrar elvalor de la intrusión cumulativa de agua W conociendo siempre la historia depresión del yacimiento. Por otro lado si la rata de producción y la presión delyacimiento permanecen prácticamente constantes, la rata volumétrica deproducción o rata de vaciamiento del yacimiento es igual a la rata de intrusiónde agua entonces

+De manera analítica la ecuación anterior puede expresarse como

Donde dNp/dt es la rata diaria de producción de petróleo en BF/día y (R-Rs)dNp/dt es la rata diaria de gas libre en PCS/día. La razón de gas disuelto-petróleo, Ro, se obtiene de la razón de gas-petróleo neta diaria o actual, ya queincluye el factor volumétrico del petróleo en término de rata de vaciamiento depetróleo. La ecuación anterior puede convertirse en una equivalente si seemplea el factor volumétrico total agregando y sustrayendo el término

es el factor volumétrico total βt

Cuando se obtenga dW/dt en función de las ratas de vaciamiento sepuede encontrar entonces la constante de intrusión k. A pesar de que la únicaforma de calcular la intrusión de agua es de ésta manera, es decir, cuando lapresión del yacimiento se ha estilizado también puede aplicarse a yacimientosdonde varían las mismas.

Determinación de la Intrusión de Agua por medio de la Ecuación deDifusividad

Se considera un yacimiento circular de radio rw, en un acuíferohorizontal de radio re, donde el espesor, porosidad, permeabilidad ycompresibilidades de la roca y agua son uniformes. Considerando también elacuífero formado por una serie de elementos concéntricos y cilíndricos,entonces los volúmenes de los tanques son proporcionales a los volúmenescilíndricos de los elementos y representan el volumen de agua que cadaelemento puede suministrar por dilatación de agua y compresibilidad de la rocadebido a la caída de presión de pi a cero.

Aunque los modelos hidráulicos y eléctricos son prácticos en el estudiodel comportamiento de los acuíferos es importante calcular el comportamientoen base a las variaciones con tiempote la presión promedia en el límite. Laecuación de difusividad en forma radial expresa la relación entre la presión,radio y tiempo para un sistema radial donde el potencial desplazante delsistemas la expansión del agua y compresibilidad de la roca

Donde p,r y t son presión, radio y tiempo y r es la constante de difusividadDonde k es la permeabilidad µ es la viscosidad ø es la porosidad y c es lacompresibilidad efectiva desagua que para un acuífero es la suma de lascompresibilidades de la formación y del agua cf+cw. La solución La Ecuaciónde difusividad expresa la presión en cualquier elemento como función de lasvariaciones de tiempo en la presión del límite de yacimiento. Al conocer lapresión en cada elemento se puede calcular el agua suministrada por dichoselementos cuando se reduce la presión de su valor inicial pi a una presióncualquiera. La dilatación del Agua del enésimo elemento cilíndrico se calcula

Por último, la intrusión cumulativa o total de agua W proveniente detodos los elementos es igual a la suma del agua dilatada de cada uno de ellos.

Figura 02. Elementos Cilíndricos de un acuífero que rodea un yacimientocircular

Reconocer un empuje de aguaPara reconocer el empuje de agua se puede saber a través de la

disminución de la tasa de declinación de presión con incremento delvaciamiento acumulado, con un incremento gradual de la relación gas-petróleo(RGP) en yacimientos inicialmente saturados, balance de materiales a travésdel método de Campbell, entre otras.

Clasificación de los acuíferosEstos se pueden clasificar según:

Grado de mantenimiento de presión Condición de borde externo Regímenes de flujo Geometrías de flujo

Grado de mantenimiento de presión

Los tipos de empuje por agua son:

Activo el influjo de agua es igual al yacimiento total

La presión permanece constante

Parcial Limitado

Condición de borde externoInfinito El efecto de la declinación de presión no se siente en el borde externo.La presión en el borde externo es igual a pi

Finito El efecto de la declinación de presión se siente en el bordeexterno. La presión en el borde externo cambia en función del tiempo

Regímenes de flujo

Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua haciael yacimiento:

Estado estable La caída de presión se transmite en todo el yacimiento yel acuífero reacciona en forma instantánea

Estado inestable La caída de presión se transmite en todo el yacimientoy el acuífero reacciona en forma gradual

Geometrías de flujo

Los sistemas yacimiento-acuífero se pueden clasificar con base a lasgeometrías de flujo como:

Empuje lateral Empuje lineal Empuje de fondo

FACTOR “ Z ” ECUACIÓN DE REDLICH Y KWONG

Gases Reales

El modelo de “gas ideal” permite definir un marco de referencia para estudiar elcomportamiento de los gases. En algunas ocasiones, podremos modelar los gases geológicosutilizando Leyes Ideales; sin embargo, es de gran importancia tener una noción de lasdesviaciones que sufren éstos bajo determinadas condiciones de temperatura, presión yvolumen. Los gases naturales o reales presentan las siguientes desviaciones del comportamientoideal:

- para altas presiones: Vreal > Videal- para moderadas presiones: Vreal < Videal- para moderadas temperaturas: Vreal > Videal

Factor de compresibilidad (Z).- Como se ve en las figuras anteriores, estas desviacionesaparecen producto de la diferencia de volumen, por lo que definiremos el factor de

compresibilidad (Z), que corresponde a una medida de la “no-idealidad” en el comportamientode un gas:

Para un Gas Ideal, el factor de compresibilidad es unitario, mientras que para Gases Reales esmayor o menor que 1.Ejemplos para el H2O, CO2 y O2 gaseosos:

Ecuación de Van der Waals; Es la ecuación de estado “por excelencia” de los Gases Reales.Van der Waals atribuyó las desviaciones de los gases de la idealidad debido a:- El volumen de las moléculas sí importa, no es despreciable- Las fuerzas de interacción entre moléculas de los gases influye Efecto del Volumen de las Partículas

b = covolumen (volumen efectivo ocupado por 1 mol de gas)V = volumen total (ocupado por el gas)Vdisponible = (Vreal – nb) nb = volumen ocupado por “n” moles de gasReemplazando en la Ley Ideal:P = nRT/(V – nb)

Efecto de las Fuerzas de InteracciónCuando las moléculas interactúan, la presión total disminuye en un factor proporcional a ladensidad de moléculas.a = parámetro de interacción, que indica cuan fuertes son las atraccionesP = nRT/(V – nb) – an2 /V2Con lo que se llega a la Ecuación de Van der Waals, para Gases Reales con desviacionesmoderadas de la Idealidad:

Donde a y b son las “constantes de Van der Waals”, conocidas para los distintos gases.Unidades de los parámetros de Van der Waals: a [atm l2 /mol2]; b [l/mol]

Ejemplo

Nota: los valores grandes de “a” indican gran interacción entre las moléculasA parte de la ec. de Van der Waals, existen una serie de ecuaciones de estado que definen elcomportamiento de los Gases Reales para determinadas condiciones:

ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG

Difiere de la ec. de Van de Waals al expresar el potencial de atracción (o de interacción) comouna función más complicada de la temperatura y el volumen molar:[P + an2 / (T1/2V(V+b))] (V – nb) = nRT

Si llenamos una olla a presión con agua pura y calentamos lentamente, pasaremos de agualíquida (1 fase) a la “campana de ebullición”, donde coexistirán agua líquida y vapor de agua enequilibrio (2 fases). Si la temperatura y presión siguen aumentando, llegaremos a un puntosuperior de la campana denominado punto crítico, sobre el cual el líquido y el gas pierden suslímites de fase y se transforman en una sola fase, denominada fluido supercrítico. Este estadode la materia es muy importante en Geología. En espacio PVT, diagrama de fases tiene elsiguiente aspecto:

El diagrama PVT en 3 dimensiones nos permite observar el estado crítico en los espacios PV yPT:

Por fortuna, las ecuaciones termodinámicas de estado para gases reales también puedenutilizarse para los fluidos supercríticos. Cada especie de gas puro (agua, dióxido de carbono,oxígeno, etc.) tiene un único punto crítico, sobre el cual desaparecen los límites entre el líquidoy el vapor. Para el punto crítico se tiene que:(∂p/∂V)Tc = 0 y (∂2p/∂V2)Tc = 0Si aplicamos estas condiciones a la Ecuación de Van der Waals, podremos expresar lasconstantes a y b en función de la presión y temperatura críticas (variables conocidas y tabuladaspara cada especie):

aVdW = 0.4219 (R2T2c)/Pc bVdW = 0.1250 (RTc)/PcY para el caso de la ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG, también es válido expresar losparámetros a y b en función de las propiedades críticas:

aR-K = 0.4275 (R2T2.5c)/Pc bR-K = 0.0866 (RTc)/Pc

Factor de compresibilidad “Z”

El factor de compresibilidad es uno de los parámetros que, con mayor precisióndiferencia el comportamiento de los fluidos en estado líquido del estado gaseoso.Define el comportamiento de los gases a determinadas condiciones de presión ytemperatura y se vuelve elemento fundamental para todos los diseños e instalacionesque trabajan con fluidos compresibles.

A los efectos de este tema se hará especial referencia al gas natural con laadvertencia previa de que todos los otros fluidos en estado gaseoso obedecen almismo comportamiento, sin obviar la naturaleza físico-química del compuesto.Existen diferentes definiciones que se dan a este factor tales como:

factor Z: factor de compresibilidad, parámetro con el cual se corrige elcomportamiento de los gases para ajustarlo a las condiciones reales o actuales. Queexpresa la manera como realmente se comportan los fluidos compresibles.La primera definición nos lleva al análisis de los fluidos compresibles, de cuyaconsideración aparecen algunas interrogantes que pudieran servirnos para analizar eltema.Cuando uno dice que un gasoducto transporta, por ejemplo, 100 millones de piescúbicos normales por día, ¿pudiéramos garantizar que, en efecto, así es, y que elcaudal que estamos considerando es el que en la realidad está transportando latubería?La primera interrogante nos lleva a una respuesta polémica: ¡No! Eso solamenteaplica con alguna aproximación cuando nos referimos a conductos que trabajan apresión atmosférica; por ejemplo los que se utilizan para el aire acondicionado en lasedificaciones. En los casos prácticos, de uso común en la industria del gas natural,esa apreciación no es cierta y con frecuencia nos conduce a errores notables.Para conocer el volumen actual o real que transportan las tuberías es necesarioexpresar dicho volumen en sus condiciones verdaderas que se corresponden con losvalores de presión y temperatura a la cual estamos trabajando. Allí aparece lanecesidad de calcular el valor de Z.Los métodos de cálculo más antiguos nos llevan al empleo de las gráficas,tradicionalmente empleadas en la industria del gas. Tales como.- Factor de compresibilidad del gas natural. Método de Katz..- Esta representa unacurva y que es la más antigua y conocida se apoya en las presiones y temperaturasseudo reducidas para determinar el valor de “Z”. De la cual se han producido dosampliaciones para bajas presiones.- Para hacer los cálculos respectivos se aplicó la conocida Ley Combinada de los gases.

4.4.2.- factor Z: factor de compresibilidad, el cual corrige el comportamiento de losgases para ajustarlo a las condiciones reales o actuales. Que expresa la maneracomo realmente se comportan los fluidos compresibles.

4.4.3.- factor de compresibilidad (Z): factor de desviación entre el comportamientoideal de los gases y el comportamiento real. Parámetro con el cual se mide el efectode comprimir un gas para llevarlo a sus condiciones reales, actuales o de operación.Se trabaja con las relaciones de presión, volumen y temperatura (P.V.T.). Por logeneral, se identifica con "Z", que contribuye a expresar la relación entre un volumenreal de un gas a una determinada presión y temperatura con respecto al volumen delmismo gas en condiciones idealesOtras aplicaciones contribuirán a entender mejor la contribución de este parámetro yel comportamiento real de los gases.Para estudiar el efecto que se produce sobre la velocidad del fluido imaginemos quelos 100 MM pcdn son conducidos por una tubería de 4” (DI: 4,026”), Al dividir elcaudal del gas entre el área de la tubería nos resultaría una velocidad de 172,79pies/seg.Ello nos obligaría a tomar otro tipo de decisiones, porque a esas condiciones lavelocidad de erosión sería igual a 49,70 pies/seg, lo cual equivaldría destruir elgasoducto debido a la erosión excesiva que le estamos produciendo. El incrementosucesivo del diámetro permisible nos llevaría a utilizar, como mínimo, uno de 8” Std.(DI = 7,981), con el cual la velocidad de la tubería bajaría a 43,97 pies/seg, con unavelocidad de erosión de 49,70 pies/seg. Siempre que la velocidad del gas esté por

debajo del límite de velocidad que produce erosión, estaremos dentro de los límitespermitidos, no obstante, es preferible ubicarla un 20% por debajo del máximopermisible.Se hace evidente que no se debe calcular un gasoducto sin tomar en cuenta lasvelocidades que se producen dentro del tubo y su posible impacto sobre losmateriales. Adicionalmente, es necesario considerar el impacto que se produciría enla misma tubería al bajar la presión, caso en el cual se incrementaría el caudal real y-por lo tanto- la velocidad del gas, con el impacto correspondiente.El valor de Z también nos establece una diferencia fundamental entre elcomportamiento del gas natural vs. el de los líquidos. Los ingenieros adquieren lacostumbre de pensar en función de lo que para ellos resulta el trabajo diario o derutina. Desde este punto de vista, es más común el transporte de líquidos antes quede gas natural, por lo tanto se tiene la tendencia a pensar que la velocidad del gas enlas tuberías es constante, tal como ocurre en el caso del agua.En el caso del gas natural se suele reportar un volumen de gas constante referido alas condiciones normales, estándar o de referencia, no obstante, los parámetros deoperación (presión y temperatura) cambian en cada tramo de la tubería, por lo cualtambién cambiará el volumen real del fluido. Dado que el diámetro de la tubería y elárea seccional son constantes, a medida que cae la presión aumenta el volumen realdel gas y también la velocidad. Así el sitio de más alta velocidad en un gasoductoserá siempre el punto de descarga o de más baja presión.Otra consideración adicional que permite considerar la diferencia entre un fluido nocompresible y el gas natural es la cantidad de dicho fluido que puede almacenar latubería.Para saber la cantidad de agua que almacena una tubería es suficiente calcular elvolumen interno del tubo y tendremos la respuesta; en el caso del gas el volumenaumenta proporcionalmente a la presión promedio de la tubería (en lpca). Porejemplo, un tubo cuya presión promedio sea de 300 lpca almacenará cinco vecesmás caudal que uno cuya presión promedio sea de 60 lpca.

ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG

R = constante de los gases (8.31451 J/mol·K)Introducida en 1949, la ecuación de Redlich-Kwong fue una mejora considerablesobre las otras ecuaciones de la época. Aún goza de bastante interés debido a suexpresión relativamente simple. Aunque es mejor que la ecuación de Van der Waals,no da buenos resultados sobre la fase líquida y por ello no puede usarse paracalcular precisamente los equilibrios líquido-vapor. Sin embargo, puede usarseconjuntamente con expresiones concretas para la fase líquida en tal caso.La ecuación de Redlich-Kwong es adecuada para calcular las propiedades de la fase gaseosa cuando elcociente entre la presión y la presión crítica es menor que la mitad del cociente entre la temperatura y latemperatura crítica.

4.8.- Representación del punto críticoDesde el punto de vista de la temperatura, el punto crítico representa la temperaturamáxima a la cual un elemento permanece en estado líquido, y la presión crítica, es lapresión medida a esta temperatura.

4.9.- Factor Acéntrico.-El factor acéntrico de un componente químico puro se define con referencia a su presión desaturación reducida: w = f(prsat).

Como el logaritmo de la presión de vapor de un fluido puro es aproximadamente lineal respectoal inverso de la temperatura absoluta, se puede poner:

Siendo x la pendiente de log prsat en función de .Si el teorema de estados correspondientes con dos parámetros tuviera validez general, lapendiente x sería la misma para todos los fluidos puros; se ha observado que ésto no es verdad,por cuando cada fluido tiene su propio valor característico de x, el cual, en principio, puedeservir como un tercer parámetro de la ley de estados correspondientes. Pitzer comprobó quetodos los datos de presión de vapor de fluidos simples, Ar, Kr, Xe, estaban contenidos sobre lamisma línea en el diagrama y que dicha línea pasaba por el punto P definido por:

Como se indica en la siguiente figura:Los datos correspondientes a otros fluidos definen otras líneas cuya localización se fija enrelación con la de los fluidos simples (FS) mediante la diferencia:

Por tanto el factor acéntrico se define como la diferencia logarítmica evaluada a la temperatura,Tr = 0,7.Por definición, el valor del factor acéntrico w es cero para el argón, criptón y xenón; los datosexperimentales que permiten calcular el factor de compresibilidad Z para estos tres fluidos secorrelacionan por la misma curva cuando Z se representa como función de Tr y pr. Por ésto, elteorema de estados correspondientes con tres parámetros indica que todos los fluidos que tienenel mismo valor de w, poseenel mismo valor de Z cuando se comparan a las mismas Tr y pr.

Fig .- Dependencia de la presión de saturación reducida respecto a la temperatura reducida

DESARROLLO Y PLANTEAMIENTO

Para poder estudiar el comportamiento (P,V,T) de determinados fluidos en un amplio intervalode temperaturas y presiones, se requiere de una ecuación que nos permita determinar el factor Z,para diferentes tipos de fluidos específicamente de gases. Esta ecuación debe ser losuficientemente general como para poder aplicarse a diferentes tipos de gases, y no ser tancompleja a la hora de su utilización.Las ecuaciones polinomiales, que son cúbicas respecto al volumen molar, son las más simples ylas que mejor representan el comportamiento tanto de gases como de vapores:

5.1.- El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado se inició con la publicaciónde la ecuación de REDLICH-KWONG de la forma:

Que tiene tres raíces para el volumen, de las que dos pueden ser complejas; físicamente, losvalores significativos de v siempre son reales, positivos y mayores que la constante b.En la siguiente figura se observa que:- Cuando, T > Tc, cualquier valor positivo de p conduce a una solución con una sola raíz realpositiva.- Cuando, T = Tc, lo antes dicho sigue siendo verdad, excepto a la presión crítica donde existeuna raíz triple,vc.- Para, T < Tc, a presiones elevadas solo existe una raíz real positiva, pero en el intervalo depresiones bajas se tienen tres raíces reales positivas (puntos A, D, B; en este caso, la raízintermedia no tiene significado físico, la raíz menor es un volumen líquido o casi-líquido y laraíz mayor es un volumen de vapor o casi-vapor.

Los volúmenes de líquidos y vapores saturados están dados por la raíz menor y mayor,respectivamente, cuando p es la presión de saturación o presión de vapor. Aunque las raíces deuna ecuación cúbica de estado se pueden encontrar explícitamente, es más frecuente que seempleen técnicas iterativas, que resultan prácticas solamente si convergen en la raíz deseada.

No se puede dar una seguridad absoluta a este respecto, pero con frecuencia, las consideracionesque presentamos a continuación resultan efectivas en la ecuación de Redlich/Kwong.

5.1.- Técnicas de Iteración

Para la determinación del factor de compresibilidad Z, por técnicas de iteración, se puedeutilizar una forma alternativa de la ecuación de Redlich/Kwong:

Que consiste en multiplicarla por lo que permite obtener:

En la que:

Y Tr y pr son la temperatura y presión reducidas, respectivamente.Estas ecuaciones facilitan la determinación de la solución del factor de compresibilidad Zmediante iteración para cualquier gas y para cualquier valor de Tr y pr.Para un valor inicial de, Z = 1:

y con el valor de h así obtenido, la ecuación:

Proporciona un nuevo valor de Z que se sustituye en la ecuación:

y así sucesivamente se continúa hasta que se llega a un valor Z con un error menor que un ciertovalor preestablecido.

5.2.- Planteamiento del Problema

Leemos N (donde N es el número de componentes de la mezcla) Seleccionamos los componentes que integrarán nuestro gas. Establecemos el porcentaje molar que cada uno de ellos representará en el gas. Se copia todos los parámetros de los componentes a una tabla de datos (Ej MSFlexGrid). Leemos los valores de Presión y Temperatura respectivamente Se calcula Se halla un valor h, con Z = 1 y la ecuación:

Se determina un nuevo valor de Z con la ecuación:

Este nuevo valor Z, se sustituye en h y luego h en Z y sí sucesivamente La iteración termina cuando el error entre Z final y Z anterior es la preestablecida antes del

programa. Se imprime Z

Cálculo del factor Z de los gases con corrección por H2S,CO2 y N2 método de Carr-Kobayashi-Burrows

1. Introducción

Para entender y predecir el comportamiento volumétrico que van a presentar los reservoriosde gas y petróleo en función a la presión, debemos conocer el comportamiento de suspropiedades, las mismas que pueden ser determinadas gracias a experimentos de laboratorioefectuados a las muestras de fluido de reservorio, en algunos otros casos, estas propiedadesno pueden ser medidas directamente, sino que requieren el uso de correlaciones empíricaspara su cálculo.

COMPORTAMIENTO DE LOS GASES REALES

Las condiciones o postulados en que se basa la teoría cinética de los gases nose pueden cumplir y la situación en que más se aproximan a ellas es cuando lapresión y la temperatura son bajas; cuando éstas son altas el comportamientodel gas se aleja de tales postulados, especialmente en lo relacionado a que nohay interacción entre las moléculas de tipo gravitacional, eléctrica oelectromagnética y a que el volumen ocupado por las moléculas esdespreciable comparado con el volumen total ocupado por el gas; en este casono se habla de gases ideales sino de gases reales.Como el gas real no se ajusta a la teoría cinética de los gases tampoco seajusta a la ecuación de estado y se hace necesario establecer una ecuaciónde estado para gases reales.La ecuación más sencilla y la más conocida para analizar el comportamientode los gases reales presenta la siguiente forma:

P.V = Z.R.TP: presión absoluta.v: volumen.R: constante universal de los gases.T: temperatura absoluta.Z se puede considerar como un factor de corrección para que la ecuación deestado se pueda seguir aplicando a los gases reales. En realidad Z corrige losvalores de presión y volumen leídos para llevarlos a los verdaderos valores depresión y volumen que se tendrían si el mol de gas se comportara a latemperatura T como ideal. Z se conoce como factor de supercompresibilidad,y depende del tipo de gas y las condiciones de presión y temperatura a que seencuentra; cuando éstas son bajas, próximas a las condiciones normales, Zse considera igual a uno.Cuando se trata de gases reales, la presión indicada por el registrador depresión es menor que la presión a la que se encontraría el gas si fuera idealpues hay que descontar las interacciones entre las moléculas y por otra parteel volumen disponible para el movimiento de las moléculas es menor que elvolumen del recipiente pues no se puede despreciar el volumen ocupado porlas moléculas.

Mezclas de Gases Reales

Cuando se trata de mezclas no se habla de peso molecular sino de pesomolecular aparente y se calcula de acuerdo con la composición aplicando laecuación:

Ma = Σxi.Mi

donde:xi: fracción molar del componente i respectivamente.Mi: peso molecular del componente i respectivamente.Ma: peso molecular aparente.De igual manera si se quiere expresar la composición en porcentaje por pesose aplica la ecuación:

Para calcular la densidad (ρ) se aplica la ecuación:

ρ = P.M/Z.RT. = m/V

Determinación del factor Z

Para poder aplicar la primera ecuación se requiere conocer el factor Z, el cual,como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura y deltipo de gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones y se haráénfasis fundamentalmente en la correlación de Standing - Katz por ser la másconocida.Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condicionesreducidas, que se definen como:Pr = P/Pc

Tr = T/Tc

donde,Pr: presión reducida.Tr: temperatura reducida.como se ve son adimensionales.- Obtención de Z para mezclas: También se utiliza la correlación deStanding pero en este caso las condiciones reducidas no se pueden obtenerde tablas porque las mezclas no son compuestos puros, además cuando setrata de mezclas no se habla de condiciones críticas o reducidas sino decondiciones pseudocríticas y pseudoreducidas.Para obtener las condiciones pseudocríticas se debe conocer la composiciónde la mezcla o la gravedad específica.Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kaypara obtener las condiciones pseudocríticas.El procedimiento de Kay es el siguiente:P pc = Σxi.P ci

T pc = Σxi.T ci

donde,P pc: presión seudocríticas de la mezcla.T pc: temperatura seudocríticas de la mezcla.xi: fracción molar de cada componente en la mezcla.

P ci: presión crítica de cada componente en la mezcla.T ci: temperatura crítica de cada componente en la mezcla.

Una vez calculados los valores de T pc y P pc, se calculan las condicionespseudoreducidas:P pr = P/P pc

T pr = T/T pc

donde,P pr: presión pseudoreducida de la mezcla.T pr: temperatura pseudoreducida de la mezcla.

Debe puntualizarse que estas propiedades pseudocríticas no representan las propiedadesactuales de la mezcla de gas, sino que estas son empleadas como parámetros de correlaciónpara generar otras propiedades del gas.

Basados en el concepto de las propiedades pseudocríticas, Standing and Katz (1942)presentaron un cuadro generalizado que se muestra en la siguiente figura, que representa elfactor de compresibilidad del gas natural dulce como una función de los parámetrospseudoreducidos.

En el caso de que no se tenga a disposición los datos de composición del gas natural, losparámetros psudoreducidos pueden ser predecidos a través del valor de la gravedad específicay las ecuaciones de Brown (1948), presentados en forma gráfica con una aproximaciónconveniente de las propiedades pseudocríticas de los gases cuando solo tenemos este datodisponible. Las expresiones matemáticas que pueden emplearse para efectuar el cálculo sonlas siguientes:

Caso 1: Sistemas de Gas Natural

Tpc =168 +325g -12.5g2

Ppc =677 +15.0g -37.5g2

Caso 2: Sistemas de Gas Condensado

Tpc187 330g71.5g2

ppc706 51.7g11.1g2

Donde:Tpc =Temperatura pseudo crítica, °RPpc = Presión Pseudo crítica, Psiag = Gravedad específica de mezcla de gas

Limitaciones:Máximo.5% N22% CO22% H2S

EFECTO DE LOS COMPONENTES NO HIDROCARBURÍFEROS ENEL FACTOR Z

Los gases naturales frecuentemente contienen componentes no hidrocarburíferos como elnitrógeno, dióxido de carbono y sulfuro de hidrógeno. Podemos clasificar al gas natural en

amargo (si contiene elevadas cantidades de ácido sulfhídrico) o dulce (si el contenido de ácidosulfhídrico es bajo). Ambos tipos de gas natural pueden o no contener nitrógeno, dióxido decarbono o ambos.

La común ocurrencia de pequeños porcentajes de nitrógeno y dióxido de carbono, que en partees considerado en las ecuaciones anteriormente presentadas, llegando a considerar comoadmisible una concentración inferior al 10% de estos componentes, una vez que esta rebasaestos límites se presentan errores y consideramos esta presencia como elevada, por lo que sehicieron modificaciones para efectuar el cálculo correspondiente.

Métodos de Ajuste para Mezclas con elevado contenido decompuestos No Hidrocarburíferos

Existen dos métodos que han sido desarrollados para ajustar las propiedades pseudocríticasdel gas considerando la presencia de los components no hidrocarburíferos, estos dos métodosson:• Método de corrección de Wichert-Aziz• Método de corrección de Carr-Kobayashi-Burrows

El Método de Corrección de Wichert-Aziz

Cuando el gas natural presenta un contenido considerable de H2S y/o CO2 suele presentar uncomportamiento muy distinto respecto de los gases dulces en cuanto a su factor decompresibilidad. Wichert-Aziz (1972) desarrollaron un procedimiento de cálculo simple paradeterminar esas diferencias, que nos ayuda a emplear el gráfico de Standing-Katz, empleandoun factor de ajuste a la temperatura pseudocrítica, y luego ajustar la presión pseudocrítica deacuerdo a las siguientes expresiones:

Donde:Tpc = temperatura pseudocritica, °Rppc = presión pseudocritica, psiaT’pc = Temperatura pseudocritica corregida, °RP’pc = Presión pseudocritica corregida, psiaB = fracción molar del H2S en la mezcla de gasε = Factor de temperature pseudocrítica, definido como:

Donde a es el coeficiente es la suma de las fracciones molares de H2S y CO2 en la mezcla degas:

A = yH2S + yCO2

El Método de Corrección de Carr-Kobayashi-Burrows

Carr, Kobayashi, y Burrows (1954) propusieron un procedimiento simplificado para ajustar laspropiedades pseudocríticas del gas natural cuando se tiene la presencia de compuestos nohidrocarburíferos. Este método puede ser usado tambíen cuando la composición del gas noestá disponible. El procedimiento propuesto se resumen en los siguientes pasos:Paso 1. Conociendo la gravedad específica del gas natural, calcular la presión y temperaturapseudocritica, aplicando las ecuaciones de Brown.Paso 2. Ajustar los valores estimados de las propiedades pseudocriticas, empleando lassiguientes expresiones:

DondeT’pc = temperatura pseudocritica, °RTpc = temperatura pseudocritica no ajustada, °RyCO2 = fracción molar de CO2yH2S = fracción molar de H2SyN2 = fracción molar de N2p’pc = presión pseudocritica ajustada, psiappc = presión pseudocritica no ajustada, psiaPaso 3. Usando los valores pseudocríticos ajustados calcular las propiedadespseudoreducidos.Paso 4. Calcular el factor Z de la gráfica de Standing Katz o por correlaciones.

CÁLCULOS DIRECTOS PARA OBTENER EL FACTOR DECOMPRESIBILIDAD

Luego de cuatro décadas de existencia, el gráfico de Standing Katz aún es empleado comouna fuente para la obtención de los factores de compresibilidad. Como resultado, existe unaaparente necesidad para una descripción matemática simple de este gráfico. Variascorrelaciones empíricas para el cálculo del factor Z han sido desarrolladas, a continuación, sedescriben tres ecuaciones empíricas:• Hall-Yarborough• Dranchuk-Abu-Kassem• Dranchuk-Purvis-Robinson

El Método de Hall-Yarborough

Hall y Yarborough (1973) presentaron una ecuación de estado que representa en formacercana al gráfico de Z de Standing y Katz. La expression propuesta se basa en la ecuación deestado de Starling-Carnahan. Los coeficientes de la correlación han sido determinados de unajuste de los mismos con los datos del gráfico de Standing Katz.La ecuación de estado de Starling presenta la siguiente forma

(11)donde, las constantes Ai tienen los siguientes valores:A1 = 0,3265A2 = -1,0700A3 = -0,5339A4 = 0,01569A5 = -0,05165

A6 = 0,5475A7 = -0,7361A8 = 0,1844A9 = 0,1056A10 = 0,6134A11 = 0,7210Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene:

(13)donde,

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)F = A11.(0,27.sP r/sT r) ² (19)

La ecuación reajustada de Yarborough y Hall es la siguiente:

Donde:ppr = presión pseudoreducidat = recíproco de la temperature pseudoreducida, Tpc/TY = densidad reducida que puede obtenerse de la siguiente expresión:

Donde:

Esta ecuación no lineal puede ser convenientemente resuelta gracias al método iterativo deNewton-RaphsonEl procedimiento computarizado para resolver la ecuación a condiciones específicas de ppr yTpr de acuerdo a los siguientes pasos:Paso 1. Asumir un valor inicial del parámetro Yk, donde k es el contador de la iteración, deacuerdo a la siguiente relación:

Paso 2. Sustituya el valor inicial en la ecuación y evaluar la función no lineal, hasta que el valorcorrecto de Y haya sido seleccionado, la ecuación correspondiente tendrá un valor determinadode F(Y)Paso 3. Un Nuevo valor estimado de Y, como Yk1 es cálculado con la siguiente expresión:

Donde f’(Yk) se obtiene por evaluación de la derivada de la ecuación correspondiente en Yk:

Paso 4. Los pasos 2 y 3 son repetidos n veces hasta tener un valor de error menor alpredeterminado o también denominado tolerancia.Paso 5. El valor corregido de y es usado para evaluar la ecuación de z.Hall y Yarborough puntualizaron que este método no es susceptible de ser aplicado cuando latemperatura pseudoreducida es menor a uno.

El Método de Dranchuk-Abu-Kassem

Dranchuk y Abu-Kassem (1975) derivaron una expresión analítica para calcular la densidadpseudoreducida que puede ser usada para estimar el factor de compresibilidad del gas. Ladensidad reducida del gas es definida como la razón de la densidad de gas a una presión ytemperatura específica:

Dranchuk-Abou-Kassem, Nishiumi-Saito, Nishiumi, y Brill-Beggs proveen corelaciones delfactor de gas real, donde para el método de Dranchuk-Abou-Kassem la expresión se basa en laecuación de estado de Han-Starling adaptada de la ecuación de Benedict-Webb-Rubin y esconsiderada como la forma más común para predecir la densidad de gas.La ecuación de Drachuk – Abou – Kassem está dada por:

2

2

8765

5

4

4

3

321

1 r

rr

r

rrrr T

A

T

AA

T

A

T

A

T

A

T

AAz

)exp()1(2

113

22

11105

2

879 r

r

rrr

rr

AT

AAT

A

T

AA

Donde los valores numéricos de sus constantes están dados por:A1 =0.3265 A5 =-0.05165 A9 =0.1056A2 =-1.0700 A6 =0.5475 A10 =0.6134A3 =-0.5339 A7 =-0.7361 A11 =0.7210A4 =0.01569 A8 =0.1844

El factor de compresibilidad crítico zc es aproximadamente 0.27 que conduce a la siguienteecuación simplificada:

Que por motives de cálculo puede asimilarse a:

Donde los coeficientes están definidos según:

Y los valores de las constantes están dados por:

La ecuación de la presión puede resolverse mediante el método iterativo de Newton – Raspónde acuerdo a los siguientes pasos:Paso 1. Determinar un valor adecuado de ρrk, donde k es el contador de la iteración, podemoslograr un valor adecuado de ρrk mediante la expresión:

Paso 2. Sustituya este valor inicial en la ecuación correspondiente para evaluar la función nolineal, hasta que se determine el valor correcto de densidad pseudoreducida.Paso 3. Un Nuevo valor estimado de densidad pseudoreducida, como ρrk 1, es calculado de lasiguiente expresión:

Paso 4. Los pasos 2 y 3 se repiten n veces hasta que el error sea menor a la toleranciaPaso 5. El valor corregido de la densidad es empleado en la ecuación del factor decompresibilidad:

Un error absoluto promedio de 0.585% es aplicado en los siguientes rangos:

El Método de Dranchuk-Purvis-Robinson

Dranchuk, Purvis, y Robinson (1974) desarrollaron una correlación basada en la ecuación deestado de Benedict-Webb-Rubin. Con una aproximación efectuada en base a 1500 datos delgráfico de Standing and Katz, optimizando ocho de los coeficientes de la ecuación propuesta:

Donde se tiene:

Donde el valor de la densidad reducida se define en base a la ecuación:

Y los coeficientes A1 a A8 tienen los siguientes valores:

El método de resolución es similar al de Dranchuk y Abu-Kassem.Este método es válido en los siguientes rangos de presión y temperatura pseudoreducida:1.05 ≤ Tpr < 3.00.2 ≤ ppr ≤ 3.0


CAPITULO 8 - APLICACIONES A PRODUCCION

JUSTIFICACION

Se describe y aplica un algoritmo basado en el concepto de regiones de confianza en laoptimización de sistemas de producción de gas conociendo propiedades pseudo-criticasnecesarios, Sin embargo estas propiedades pseudo-criticas, ppc y Tpc, no representan laspropiedades críticas actuales de la mezcla de gas.Estas propiedades son usadas como parámetros de correlación dentro de la generación depropiedades de gas En orden de expresar una relación mas exacta entre las variables p,V, yT, un factor de corrección llamado factor de compresibilidad del gas. Básicamente,representan la magnitud de desviación de los gases reales que aumentan con el incrementode la presión y temperatura a diferencia de los gases ideales además varían ampliamente conla composición de los gases, es así que los gases reales tienen diferente comportamiento quelos gases ideales.. El problema de optimización se establece considerando que un sistema deproducción de gas dado debe producir de manera óptima la cantidad suficiente parasatisfacer una demandaEl sistema de producción de gas se describe utilizando dos unidades conceptuales: pozo y

factor de compresibilidad. Así, el algoritmo propuesto realiza la simulación del proceso paradeterminar las propiedades pseudo-criticas, peso molecular total o aparente, densidad totaldel reservorio, gravedad especifica así como el factor de compresibilidad del gas para unatopología previamente fijada de pozo. Los pozos se modelan rigurosamente a ciertosmétodos haciendo varias consideraciones del mismo lo que resulta en un sistema deecuaciones. Las propiedades termodinámicas son calculadas con métodos de aproximacionesde temperatura y presión pseudo-criticas de Standing –Katz y Brown. La evidencia de losresultados obtenidos muestra la bondad del algoritmo propuesto.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El caso de formulación incluye el modelado del método de Standing-Katz y Brown paradeterminar Tscr, y Pscr de la mezcla gaseosa. Sin embargo, la simulación del yacimiento ensí y los pozos inyectores no es considerada en este trabajo. Así, el problema se reduce a loscálculos de parámetros básicos necesarios en el pozo.Las propiedades pseudo-criticas en particular juegan un papel muy importante lo querequiere una explicación adicional. El flujo a través de un reservorio puede ser crítico osupercrítico. El flujo supercrítico ocurre cuando la mezcla fluyente a través de la garganta dela roca reservorio y es menor que la velocidad del fluido en superficie. El flujo crítico ocurrecuando la mezcla fluye en el fondo del pozo , si analizamos este aspecto , es necesario elcalculo de la Tscr, y Pscr para determinar la magnitud de desviación que influye en elcaudal de producción de gas. La implicación práctica es que el flujo depende de la presióncorriente abajo sólo cuando es supercrítico, y esta dependencia se elimina radicalmentecuando el flujo es crítico . Después de alcanzar el flujo crítico, la presión corriente abajopuede disminuirse aún más sin afectar el flujo. La mayoría de los simuladores noreproducen este efecto, lo que provoca un aborto en la ejecución o, en el mejor de loscasos, la obtención de un flujo inferior al crítico.Cuando la topología del proceso ha sido establecida, los petroleros con gas en soluciontienen el problema de determinar si la red satisface la demanda dada ó, eventualmente,realizar las operaciones para que la satisfaga. Asumiendo coeficientes de costo asociados a

PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios

Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2

la producción de los pozos, entonces el problema se formula como la minimización del costode la producción sujeto a las restricciones técnicas debidas a la topología y a la demanda ensí. Para evitar problemas de almacenamiento, el sistema no produce mas que lodemandado.En nuestro caso nos limitamos solamente a determinar el algoritmo y el programa para elcalculo de estos parámetros pseudo-critico, factor z, peso molecular aparente, gravedadespecifica y densidad con el objetivo de determinar la magnitud de desviación de los gasesreales en función a su temperatura y presión.

OBJETIVOS

Determinar los parámetros pseudo-críticos y factor de desviación Comparar por ambos métodos Standing-Katz y Brown los resultados obtenidos Consideraciones que se debe tomar en cuenta para elegir el método apropiado Diseñar el algoritmo aplicando ambos métodos Diseñar el programa aplicando ambos métodos Poner en ejecución el programa con un problema practico de pozo gasifero

MARCO TEORICO

Estudios del factor de compresibilidad de los gases para gases naturales de variascomposiciones han demostrado que el factor de compresibilidad puede ser generalizado consuficiente precisión para estudios de ingeniería cuando estos son expresados en términos delas siguientes propiedades adimensionales: presión- pseudo reducida Temperatura-pseudo reducida

Estos términos adimensionales son definidos por las siguientes expresiones:

DondeP = presión del sistema, psia

ppr = presión-pseudo reducida, adimensionalT = temperatur del sistema, °RTpr = temperatura-pseudo reducida, adimensionalppc, Tpc = presión y temperatura-pseudo critica, respectivamente, y

definido por la siguiente relación:



Sin embargo estas propiedades pseudo-criticas, i.e., ppc y Tpc, no representan laspropiedades críticas actuales de la mezcla de gas.Estas propiedades son usadas como parámetros de correlación dentro de la generación depropiedades de gas.En casos donde la composición del gas natural no es disponible, las propiedades pseudo-criticas i.e., ppc y Tpc, pueden ser predecidas únicamente de la gravedad especifica de losgases. Brown et al. (1948) presento un método grafico para una aproximación convenientede la presión y temperatura pseudo-critica, respectivamente, de gases cuando se cuentasolamente con la gravedad especifica de los gases. La correlación se dada en la figura 2-2.Standing (1977) expreso esta correlación grafica en las siguientes formas matemáticas:

DondeTpc = temperatura pseudo-critica, °Rppc = presión pseudo critica, psiagg = gravedad especifica de la mezcla de gas



DISEÑO DE SEPARADOR TRIFASICO

1. Objetivo de La Aplicación:

Realizar el diseño para dimensionar separadores de tres fases (horizontales y verticales), en función aparámetros conocidos de análisis previos de laboratorio, datos de producción estimaciones.

2. Conceptos Fundamentales:

2.1 Objetivos básicos del proceso de separación:

a) Incrementar volúmenes de recuperación (gas y petróleo) por separado con objeto deindustrializarlos para La obtención de derivados.

b) Mayor recuperación de hidrocarburos líquidosc) Efectuar una buena separación de gas, con objeto de reciclaje de gas para incrementar

la recuperación de hidrocarburos líquidos.

2.2. Fuerzas que intervienen en un proceso de separación:

a) Fuerza centrífugab) Fuerza de gravedadc) Fuerza de choque

2.3. Requisitos para el uso de separadores de tres fases:



a) El líquido puede provenir directamente de la producción del pozo o de un proceso deseparación de dos fases a alta presión.

b) La velocidad del gas debe ser lo más baja posible para permitir la separación de loslíquidos.

c) El agua y el petróleo deben ser derivados a sus compartimientos respectivos.d) Los líquidos deben ser retenidos el tiempo suficiente para obtener una buena

separación. Dependiendo de los análisis de laboratorio se puede usar un tiempo deretención entre 3 a 10 minutos. Si no se dispone de esta información, se puede estimaren 10 minutos los tiempos de retención del petróleo y agua.

e) La interfase agua-petróleo debe ser mantenida.f) El agua y el petróleo son drenados mediante sus respectivas válvulas controladas por

sus flotadores.

3. Diseño:

3.1. Datos necesarios:

Gravedad Especifica del gas (Yg)Presión de Operación (P), psiaTemperatura de Operación (T), 0RFlujo de gas (Qg), MM scf / dFlujo de agua (Qw), bbl / dFlujo de petróleo (Qo), bbl / dGravedad del petróleo (API), 0APIGravedad especifica del agua (SGw)Diámetro de la gota de liquido (agua+pet) a ser separada del gas (Dml), micrasDiámetro de la gota de agua a ser separada del petróleo (Dm), micrasTiempo de retención del agua (trw), minutosTiempo de retención del petróleo (tro), minutosViscosidad del petróleo (Lvis), cp

3.2. Cálculos generales:

a) Peso molecular del gas:M = 28.97 *Yg

b) Gravedad específica del petróleo:Yo = 141.5/(API + 131.5)

c) Densidad promedio de líquido (petróleo y agua), gr / cm3

ρl = (Yo * Qo + Yw * Qw / (Qo + Qw)ρl = Yl * 62.4 (lb/pie3)

d) Diferencia de gravedad específica petróleo - agua:Δγow = Yo – Yw

e) Factor de compresibilidad Z:(ver subrutinas, 3.5)

f) Densidad del gas:ρg = (2.7 * P * yg) / (Z * T) (gr / cm3)ρgl = ρg / 62.4 (lb / pie3)

g) Viscosidad del gas:(ver subrutinas, 3.5)

h) Constante de separación:



(ver subrutinas, 3.5)

3.3. Diseño de Separador Horizontal:a) Capacidad de Gas:

a1) Longitud efectiva:

Para un diámetro interno D en plg, la longitud efectiva donde ocurrirá la separaciónserá:Leff = (420 * Z * T * Qg * K) / (P * D) (pies)

b) Capacidad de líquido:

b1) Máximo espesor de interfase agua - pet (plg):

(Ho)max = (0.00128 * trw * ΔYow * dm2) / Lvis

b2) Diámetro máximo del separador con un máximo espesor de interfase:

Dmax = (Ho)max / AZ (plg)

Donde AZ es un coeficiente para calcular el máximo diámetro del separador quepuede permitir una gota de agua a ser separada del petróleo, y es calculado porprueba y error utilizando la siguiente ecuación empírica:

2

4

1)*2cos(_

**

*5.0 AZ

AZAZArc

QtQt

tQ

wrworo

rww

Es recomendable una tolerancia menor o igual a 0.005

b3) Para un diámetro interno D en plg, la longitud efectiva donde ocurrirá laseparación será:

Leff = (1.42 (tro * Qo + trw * Qw)) / D2 (pies)

b4) Longitud costura a costura total:

Lcc = 4 * Leff / 3 (pies)

b5) Relación longitud / diámetro:

R = (Lcc * 12) / D

3.4. Diseño de Separador Vertical:

La capacidad de gas está basada en la velocidad de gas, v, que debe ser menor a lavelocidad final de la partícula, Vt.

a) Capacidad de gas:

a1) Diámetro mínimo:

El diámetro mínimo que satisface la capacidad de gas está expresado por la ecuación:

Dmin = (5040 * T * Z * Qg * K / P)0.5 (plg)

a2) Longitud del separador:



L = (Qo * tro + Qw * trw) / (0.1399 * D2) (pies)

D = Diámetro interno en piesb) Capacidad de líquido:

b1) Diámetro mínimo:

El diámetro mínimo que satisface el asentamiento de las gotas de líquido esta dadapor la ecuación:

Dmin = ((6690 * Qo * Lvis) / (ΔYow * dm2))0.5 (plg)

b2) Altura del líquido:

La altura del líquido (agua + petróleo) para los tiempos de retención se puededeterminar mediante la ecuación: para un diámetro interno dado D:

H = h0 + hw = (Q0 * tro + Qw * trw) / (0.12 * D2) (plg)

b3) Altura total del separador:

Lcc = (H + 76) / 12 (pies)

b4) Relación Longitud / Diámetro:

R = (Lcc / D)*12

3.5. Subrutinas:

a) Factor de Compresibilidad Z:

El factor de compresibilidad Z, se puede calcular en base a tres métodos:

a1) Método de Yarborough & Hall (1974):

Usa la ecuación de Starling-Carnaham y es recomendable cuando Tpr = 1 y Ppr >= 1.Utiliza la siguiente ecuación:

2)1(2.106125.0

tpr etp

z

donde: Ppr = Presión pseudo-reducidTpr = Temperatura pseudo _ reducidaρr = densidad reducida

La densidad reducida, ρr, se calcula por prueba y error de la siguiente ecuación:

0)3()2()1(

1)( 423

432

XXXXF

2)1(2.106125.01 tpr tepX

32 58.476.976.142 tttX 32 4.422.2427.903 tttX

tX 82.218.24



Esta es una ecuación no lineal y puede ser resuelta por el método de NewtonRaphson (técnica interactiva):

)('

)(1 xf

xfYY xx

a2) Método de Dranchuk (1974):

Se basa en la ecuación de estado de Benedict – Webb - Rubin. Es un método porprueba y error en base a 8 factores y es recomendable cuando Tr = 1 y Pr < 1. Utilizaia siguiente ecuación:

0)1(1 5)(28

24

53

221

28

r

Arrrrr

TeATTTT r

con

332

11prpr T

A

T

AAT

prT

AAT 5

42

prT

AAT 65

3

37

4prT

AT

pr

pr

T

pT

27.05

donde ρr se define por la Ecuación 5.42 y los coeficientes A1 al A8 tienen lossiguientes valores:A1 = 0.31506237 A3 = -0.57832720 A5 = -0.61232032 A7 = 0.68157001A2 = -1.0467099 A4 = 0.53530771 A6 = -0.10488813 A8 = 0.68446549El procedimiento de solución de la Ecuación es similar a la de Dranchuk yAbu-Kassem.El método es válido dentro de los siguientes rangos de temperatura y presiónseudo reducida:1.05 ≤ Tpr < 3.00.2 ≤ ppr ≤ 3.0Para resolver este método se debe emplear dos tipos de iteración usando el métodode Newton - Raphson.

a3) Método de Dranchuk y Abou-Kassem (1975):

Se basa en la ecuación de estado de Standing. Es un método por prueba y error enbase a 11 factores y es recomendable cuando 1 < Tr < 1.:Dranchuk y Abu-Kassem (1975) derivaron una expresión analítica paracalcular la densidad reducida del gas que puede usarse para estimar el factorde compresibilidad del gas. La densidad reducida del gas, ρr se define como la



relación de la densidad del gas a una presión y temperatura especificadas a ladel gas a su presión y temperatura críticas, o

cc

c

cc

ac

a

cr

Tz

pzT

p

RTz

MpzRT

pM

El factor de compresibilidad crítico del gas zc es aproximadamente 0.27 queconduce a la siguiente expresión simplificada para la densidad reducida delgas:

pr

prr zT

p27.0

Los autores propusieron la siguiente ecuación de estado de once constantespara calcular la densidad reducida del gas:

01)1)(()()()()(2

1122114

53

221 rA

rrrrrr eARRRRf

Con los coeficientes R1 a R4 definidos por las siguientes relaciones:

55

44

332

11prprprpr T

A

T

A

T

A

T

AAR

287

62prpr T

A

T

AAR

287

93prpr T

A

T

AAR

310

4prT

AR

Las constantes A1 a la A11 fueron determinadas ajustando la ecuación, usandomodelos de regresión no lineal, a 1,500 puntos de datos de la gráfica delfactor z de Standing y Katz. Los coeficientes tienen los siguientes valores:A1 = 0.3265 A2 = -1.0700 A3 = -0.5339 A4 = 0.01569A5 = -0.05165 A6 = 0.5475 A7 = -0.7361 A8 = 0.1844A9 = 0.1056 A10 = 0.6134 A11 = 0.7210La Ecuación puede resolverse para la densidad reducida del gas ρr aplicandola técnica de iteración de Newton-Raphson como se resume en los siguientespasos:Paso 1. Hacer una estimación inicial del parámetro desconocido, ρr

k, donde kes un contador de iteraciones. Una estimación inicial apropiada de ρr

k se dapor la siguiente relación:

pr

prr T

p27.0

Paso 2. Sustituir este valor inicial en la Ecuación 5.42 y evaluar la función nolineal. A menos que el valor correcto de ρr

k haya sido seleccionadoinicialmente, la Ecuación 5.42 tendrá un valor distinto de cero para la funciónf(ρr

k).Paso 3. Se calcula un nuevo valor estimado mejorado de ρr, o sea, ρr

k+1, de lasiguiente expresión:



)('

)(1kr

krk

rkr f

f

donde 2

112

1144

321 1(21)(2)(5)(2)()('2

11rr

Arrrr AAeRRRRf r

Paso 4. Los pasos 2 y 3 se repiten n veces, hasta que el error, o sea, |ρrk-

ρrk+1|, llegue a ser más pequeño que una tolerancia pre-establecida, por

ejemplo de 10-12.Paso 5. El valor correcto de ρr es entonces usado para evaluar la Ecuaciónpara el factor de compresibilidad, esto es:

prr

pr

T

pz

27.0

La correlación propuesta se reportó que duplicó los factores decompresibilidad de la gráfica de Standing y Katz con un error promedioabsoluto de 0.585 % y es aplicable a los rangos:0.2 ≤ ppr < 301.0 < Tpr ≤ 3.0

b) Viscosidad del Gas:

Lee, Gonzalez y Eakin (1966) presentaron una relación semi-empírica paracalcular la viscosidad de los gases naturales. Los autores expresaron laviscosidad del gas en términos de la temperatura del reservorio, densidad delgas y el peso molecular del gas. Su ecuación propuesta está dada por:

Yg

X

g Ke4.62410

donde

TM

TMK

a

a

19209

)02.04.9( 5.1

aMT

X 01.0986

5.3

XY 2.04.2 ρg = densidad del gas a presión y temperatura del reservorio, lb/ft3T = temperatura del reservorio, °RMa = peso molecular aparente de la mezcla del gas

La correlación propuesta puede predecir valores de viscosidad con unadesviación estándar de 2.7% y una desviación máxima de 8.99%. Lacorrelación es menos exacta para gases con gravedades específicas muyaltas. Los autores resaltaron que el método no puede usarse para gasesagrios (sour).

c) Constante de separación:

- Densidad iiquido - gas:

ρ = ρl - ρg



- Velocidad del gas:

v = 0.0204 (ρ * dml / ρg)0.5

- Número de Reynols:

Nre = (0.0049 * ρg * v) / μg

- Factor de fricción:

f = 24 / Nre + 3 / (Nre^0.5) + 0.34

- Velocidad final de la partícula de gas.

Vt = 0.0119 (ρ * dml / ρg * f)^0.5

Si |V - Vt| > 10-6

v = Vt; retornar a calcular el Nre

case contrario:

Nre = (0.0049 * ρg * vt) / μg

f = 24 / Nre + 3 / (Nre^0.5) + 0.34

- Constante de separación:

K = ((ρg * f) / (dml * ρ))^0.5

4. Aplicación Computarizada:

En función a los conceptos teóricos descritos anteriormente, se elabora un programa enlenguaje VS BASIC,

El programa estará compuesto por cinco módulos:

a) Lectura y validación de datesb) Cálculos generalesc) Diseño de Separador Horizontald) Diseño de Separador Verticale) Subrutinas comunes:

- Cálculo del Factor de Compresibilidad Z- Cálculo de la Viscosidad del Gas- Cálculo de la constante del Separador

5. Análisis de Resultados:

De acuerdo a los resultados adjuntos obtenidos para datos de prueba, se debe tomar encuenta que para separadores verticales, según Lockhart (1986) establece dentro de otrosfactores que la relación Longitud / Diámetro debe estar en el rango de 1.5 a 3. En tai sentidose puede escoger razonablemente un separador vertical entre 84” y 96”, dependiendo de lasdisponibilidades en la industria.



En forma similar, para separadores horizontales, se debe tomar en cuenta la relación Longitud/ Diámetro en el rango de 3 a 5, por lo que se puede utilizar separadores entre 72” y 84” dediámetro, dependiendo de las disponibilidades de la industria, sin embargo el diámetro delseparador debe ser menor que el diámetro máximo calculado.

6. Bibliografía:- Bizanti and Yu Hancheng, “Program Acelerates Three-phase Oil-Gas Separator Desing”,

Petroleum Engineer,May/1988- Sanjay Kumar, “Gas Production Engineering”, Gulf Publishing Co., 1987.- Tarek Ahmed, “Hydrocarbon Phase Behavior”, Gulf Publishing Co., 1989.

Simbología

API Gravedad del petroleo, 0APIAZ Coeficiente en función del diámetro de la gota de liquidoD Diámetro interne, piesDmáx Diámetro máximo del separador, plgDmin Diámetro mínimo, plgDm Diámetro de la gota de agua a ser separada del petróleo, micrasDml Diámetro de la geta de liquido (agua + pet) a ser separada del gas, micrasF Factor de fricciónH Altura del liquido, plgho Altura de petróleo, plghw Altura de agua, plg(Ho)max Máximo espesor de interfase agua-pet, plgK Constante de separaciónLcc Longitud costura a costura total, piesLeff Longitud efectiva, piesLvis Viscosidad del petroleo, cpM Peso molecular del gasNre Número de ReynolsP Presión de Operación, psiaPpr Presión pseudo reducidaQg Flujo de gas, MM scf/dQo Flujo de petróleo, bbl/dQw Flujo de agua, bbi/dR Relación longitud /diámetroSGw Gravedad especifica del aguaT Temperatura de Operación, 0RTpr Temperatura pseudo reducidaTro Tiempo de retención del petroleo, minutesTrw Tiempo de retención del agua, minutesV Velocidad del gas, pies/segVt Velocidad final de la partícula de gas, pies/segZ Factor de compresibilidad de gasZc Factor de Compresibilidad critico, (= 1)γg Gravedad Especifica del gasγo Gravedad especifica del petroleoρl Densidad promedie de liquido (petróleo y agua), gr/cm3:

Δγow Diferencia de gravedad especifica petroleo - aguaρg Densidad del gas, gr/cmρgl Densidad del gas, lb/pie3

ρr Densidad reducidaμg Viscosidad del gas, cp



ρ Densidad liquido - gas, gr/cm3

RESULTADOS

DISEÑO DE SEPARADOR DE TRES FASES GAS-PETROLEOINGRESO DE DATOS GENERALES PARA EL DISEÑO

Gravedad específica del Gas 0.6Presión (psia) 100Temperatura [oR] 550Flujo de Gas [MM scf/d] 5Flujo de Agua (Bbl/d] 3000Flujo de Petróleo [Bbl/dia] 5000Gravedad API del Petróleo [API] 30Gravedad especifica del Agua 1.07Diámetro de la gota de liquido (micras) 100Diámetro de la gota de agua (micras) 500Tiempo de retención del agua (minutos) 10Tiempo de retención del petróleo (minutos) 10Viscosidad del petróleo [cpl 10

DATOS ADICIONALES CALCULADOS

Factor de Compresibilidad Z 0.9869Viscosidad del Gas (cp) 0.0160Constante de Separación K 0.0159Presión reducida Pr 0.1483Temperatura reducida Tr 1.5497Peso Molecular M 17.3820Densidad del gas Gden 0.2985Densidad del Liquido Lden 59.2083

DIMENSIONAMIENTO SEPARADOR HORIZONTAL

CAPACIDAD DEGAS D (plg) Leff (pies)60 3.02872 2.52484 2.16396 1.893

CAPACIDAD DE LJGUIDO Dmax 237.65 (PIg)D (pig) Leff (pies) Lss (pies) 12Lss/D60 31.556 42.074 8.41572 21.914 29.218 4.87084 16.100 21.466 3,06796 12.326 16.435 2.054

108 9.739 12.986 1.443

DIMENSIONAMIENTO SEPARADOR VERTICALCAPACIDAD DEGAS

Diámetro Minino 46.70 (pIg)

CAPACIDAD DE LIQUIDO



Diámetro Mínimo 83.08 (pIg)

D )plg) H (plg) Lss (pies) 12Lss/D84 94.48 14.207 2.03090 82.30 13.192 1.75996 72.34 12.361 1.545

102 64.08 11.673 1.373108 57.16 11.096 1.233


CAPITULO 9 - APLICACIONES VARIAS“CÁLCULO DE CAUDAL PARA FLUJO DE GAS HORIZONTAL EN

GASODUCTOS” Panhandle A Panhandle B Weymouth

INTRODUCCIONEl gas natural fluye debido a la diferencial de presiones entre los extremos de

un ducto. Asimismo, el flujo se ve afectado por la composición del gas, la diferenciade alturas sobre el nivel del mar, temperatura y por las características físicas delducto: diámetro, rugosidad de las paredes internas y la longitud.

El transporte directo por gasoducto parece ser una solución sostenible, sinpasar por la fase de Gas Natural Licuado, parece más eficiente y sustituye poco apoco a la flota de buques metaneros. No obstante, la construcción de gasoductostiene un impacto considerable sobre el paisaje que debe ser reducido.

TRANSPORTE POR GASODUCTOHace millones de años, capas de materia orgánica se fueron depositando

entre los sedimentos del fondo de estuarios y pantanos, en un ambiente muy pobreen oxígeno. Al mezclarse estos sedimentos con partículas arenosas y arcillosas yrestos de organismos vegetales, aumenta la presión y la temperatura y se forma elgas natural.

El gas natural que se formó, cuyas proporciones dependen de la temperaturay presión a que estuvieran sometidas, pugnaba entonces por ascender entre lascapas de terreno permeable hasta que quedaba acumulado en lo que hoy



llamamos yacimientos o reservas y que se van descubriendo hoy en día. Losyacimientos de gas natural son así una acumulación de hidrocarburos, que puedenencontrarse saturando los poros o las fisuras de las rocas en las que se encuentra.

Al igual que las emanaciones de petróleo, las de gas han servido a losexploradores, desde el comienzo de la industria, para rastrear posibilidades dehallazgos de yacimientos gasíferos o petrolíferos. El proceso de extracción del gasnatural es muy parecido al del petróleo y su transporte se realiza mediantegasoductos hasta los centros de consumo.

Las emanaciones de gas difieren de las de petróleo en que se disipan en laatmósfera y no dejan huellas visibles sobre el suelo. Sin embargo, si por causasnaturales se incendian, su presencia se hace más notoria y las características de lallama pueden servir para apreciar mejor los aspectos e intensidad del flujo,contenido de agua y matices de la combustión.

Sin embargo, la utilización del gas que fluye de los pozos como gas asociadoo como gas solo, presenta una variedad de consideraciones que al traducirse eninversiones y costos de operaciones conducen a la realidad económica de lasalternativas comerciales. Entre esas consideraciones cabe mencionarse: Ubicación geográfica de los yacimientos con referencia a centros seguros de

consumo. Magnitud de las reservas y calidad del gas: seco, húmedo, condensado,

dulce o agrio. Características de los yacimientos y volúmenes sostenidos de producción a

largo plazo. Productividad de los pozos. Presión inicial y presión de abandono. Perforación y desarrollo de los yacimientos, en tierra y/o costafuera. Instalaciones para recolección, compresión, separación, tratamiento,

acondicionamiento, medición, recibo y despacho del gas. Plantas yterminales.

Transmisión del gas: gasoducto madre, troncales y derivaciones con susinstalaciones auxiliares requeridas.

Comportamiento del mercado. Demanda máxima, media y baja. Precio del gas. Inversiones, costos y gastos de operaciones. Rentabilidad.

El gas natural es una de las fuentes de energía más limpias y respetuosas conel medio ambiente ya que es la que tiene menos contenido de dióxido de carbonoy la que menos emisiones produce a la atmósfera. Es además, una energíaeconómica y eficaz. Una alternativa energética segura y versátil capaz de satisfacerla demanda energética en los sectores domésticos, comercial e industrial.

Los hallazgos de yacimientos de gas seco, gas húmedo y gas condensado yla separación del gas natural asociado con el petróleo en los yacimientospetrolíferos apuntaron la necesidad de aplicaciones tecnológicas específicas a laexploración, perforación y producción de los yacimientos. Por otra parte, el manejo,tratamiento, acondicionamiento, transporte, distribución, comercialización ymercadeo del gas y sus líquidos son operaciones que han experimentado avancestecnológicos significativos en las últimas cuatro décadas. La liquefacción del gas esimportantísima.

Las propias características del gas, como son su composición molecular,comportamiento, movilidad, compresibilidad, reacción a la temperatura,convertibilidad a líquido, poder calorífico, etc., ameritan estudios e investigacionespara el mejor aprovechamiento de esta valiosa fuente de energía.



El mercado del gas y sus derivados, en forma directa como gas al usuario oen forma de líquido embotellado que sale como gas, tiene sus característicaspropias, modalidades y normas para su utilización.

En resumen, las operaciones de exploración, perforación, producción,transporte y procesamiento del gas se han convertido en una importantísimaindustria dentro de la industria petrolera global.

Las conducciones de transporte llegan a tener diámetros entre 42 y 48pulgadas (unidad aceptada internacionalmente para esta industria), equivalentes a1 y 1,20 m, mientras que las de distribución oscilan entre 18 y 22 pulgadas (40 y 70cm) para los cuales se hace importante el calculo de los caudales de gas que sevan a transportar por el gasoducto ya sea que tenga ramales o no, lo importante essaber cuando flujo de gas va poder ser atravesado hasta llevarlo al final de entregadel gasoducto y para esto se ha hecho necesario encontrar ecuaciones de flujohorizontal a través de tuberías que se mencionan en el presente trabajo, las cualesson las ecuaciones de Panhandle A, Panhandle B y de Weymouth, mismas que hansido y son necesitadas para el calculo del flujo de gas en gasoductos queactualmente están llevando el gas.MARCO TEORICO

¿A qué se conoce como gas natural?

A la mezcla de hidrocarburos que comúnmente se emplea para propósitosenergéticos y que, por lo general, se utiliza para fines domésticos e industriales.

Es conveniente aclarar que - en su composición - no aparecen únicamentelos hidrocarburos, sino también las impurezas (ver Figura1), como el agua, el dióxidode carbono y el sulfuro de hidrógeno, citados a título de ejemplo. Adicionalmente,el personal que trabaja en este tipo de operaciones debe vigilar la presencia dearena, que produce la erosión. Las parafinas y los asfaltenos se depositan y creanproblemas. Cuando el agua está en forma líquida y en presencia de sulfuro dehidrógeno (H2S), forma ácidos que corroen las instalaciones. El ingeniero encuentrasu razón de ser en la solución de estos problemas.

Figura 1. Contaminantes del Gas Natural

Desde el punto de vista de su composición, el gas natural es una mezcla dehidrocarburos formado principalmente por metano, aunque también suele conteneruna proporción variable de nitrógeno, etano, CO2, H2O, butano, propano,



mercaptanos y trazas de hidrocarburos más pesados. Esta proporción varía enfunción de los yacimientos en los que se encuentre y también depende de si enéstos, el gas natural se encuentra solo o acompañado. El metano consiste en unátomo de carbono unido a cuatro de hidrógeno (CH4) y puede constituir hasta el97% del gas natural.

Contaminantes del Gas Natural

El principal componente de la mezcla que conforma el gas natural es unhidrocarburo llamado metano. Los demás componentes, en pequeñas cantidades,son otros gases como el etano, dióxido de carbono (CO2) y vapor de agua,principalmente.

Los otros hidrocarburos, unos en forma de gas y otros como líquidos, son partedel gas en menores porcentajes. Sin embargo, por medio del porcentaje real queenseñe el análisis de muestras de gas de un yacimiento se podrá calcular lacantidad de líquidos susceptibles de extracción y las posibilidades decomercialización.

Además, se notará también que el gas natural puede contener otros gasesfuera de la serie parafínica de hidrocarburos. El sulfuro de hidrógeno aparece en elgas de muchos yacimientos petrolíferos y gasíferos, generalmente desde trazashasta 10 %, pero también en cantidades excepcionalmente mayores. Este gas esmuy tóxico y en pequeñísimas cantidades, 0,01 a 0,10 % en la atmósfera, puedecausar severa y dolorosa irritación de la vista y hasta la muerte rápida. De allí que sien las operaciones hay que manejar gas y/o crudos que contengan sulfuro dehidrógeno se deben tomar todas las precauciones y medidas de seguridadcorrespondientes.

TABLA 1. Componentes y caracteristicas del Gas NaturalNombre común Formula química Estado Variación de porcentaje molar %

Metano CH4 gas 55-98

Etano C2H6 gas 0.10-20

Propano C3H8 gas 0.05-12n-butano C4H10 gas 0.05-3

Iso-butano C4H10 gas 0.02-2

n-Pentano C5H12 liquido 0.01-0.80

Iso-pentano C5H12 liquido 0.01-0.80

Hexano C6H14 liquido 0.01-0.50

Heptano + C7H16 liquido 0.01-0.40

Nitrógeno N2 gas 0.01-0.50



Dióxido de carbono CO2 gas 0.20-30.00

Oxigeno O2 gas 0.09-0.30

Sulfuro dehidrogeno

H2S gas Trazas-28.00

Helio He gas Trazas-4.00

Fuente: El Pozo Ilustrado http://www.insituh.com/bajadas/pozo_Ilustrado.pdfPara el profesional de la ingeniería, el gas natural no es únicamente la mezcla

de componentes parafínicos y de sus respectivas impurezas, sino también lascondiciones que aparecen en virtud de cada uno de esos elementos contenidos enel fluido.

La presión y la temperatura a la cual se debe conducir el gas nos habla de lacantidad de líquido que se puede depositar en el sistema, del espesor de la paredmetálica de los equipos, del diámetro de la tubería que se utiliza para conducir elfluido y de muchos otros aspectos que configuran el diseño. Del conocimiento quese tenga de estas variables y del dominio en su utilización dependerá el éxito delprofesional que se dedica a profundizar en el manejo de esta información.

¿Cómo se sabe lo que hay en el gas natural?

La técnica más comúnmente utilizada para saber lo que contiene el gasnatural es el análisis cromatográfico(Ver Figura 2). Los cromatógrafos son equiposprovistos de columnas construidas con acero inoxidable o de plástico, rellenas desubstancias que atraen individualmente a cada uno de los componentes en funciónde su composición. Así, a medida que el gas avanza dentro del tubito, cadacomponente se adhiere a la superficie de la sustancia utilizada como relleno y sequeda retenida por un determinado lapso. Eso permite que se vayan separando losdiferentes componentes que integran la muestra. A la salida del tubito existe undetector encargado de registrar el momento en el cual pasó un componente puro(Ver Figura 3).

FIGURA 2. CROMATOGRAMA TIPICO DE UNA MUESTRA DE GAS NATURALEl área del pico es proporcional a la concentración



El analista (persona encargada de operar los equipos) se encargará de queel usuario del conocimiento reciba el informe de manera apropiada. De suinterpretación posterior vendrá el buen uso de los diseños existentes o la prevenciónnecesaria para que las instalaciones sean capaces de manejar los fluidos tal comolo previó el diseñador.

Con los análisis que se hacen en el laboratorio se van identificando losdiversos integrantes de la muestra. Cuando ya se ha ensayado el uso de laherramienta, el proceso se vuelve rutinario y el analista identifica con seguridad lacomposición de cada una de las muestras que le llegan al laboratorio.

FIGURA 3. Cromatógrafo de gases

Por ello se requieren estos equipos en las plantas de procesamiento de gasnatural. Los profesionales de experiencia trabajan con la seguridad requeridacuando las circunstancias obligan. Así no solamente se garantiza la operabilidadeficiente de la instalación sino que, además, el operador se puede anticipar con loscorrectivos que sean necesarios antes que el problema se haga evidente.

Cuando las plantas de gasolina natural no disponían de los cromatógrafos enlínea, el operador se daba cuenta del cambio de la composición cuando yahabían pasados doce horas y se requería de otro medio día para estabilizar la torre.De hecho, la producción se salía de especificaciones. Ahora, cada veinte minutosse puede tener el análisis de la composición que está llegando y, en caso de que elproducto cambie, se producirán las acciones inmediatas que sean necesarias paracorregir las desviaciones.

PROPIEDADES DEL GAS NATURALDensidad y Gravedad EspecíficaCuando se habla de la densidad (relación masa/volumen) de los líquidos o

de los sólidos, el punto de referencia es el agua, y se dice que la densidad del aguaes 1, o sea que un gramo de agua ocupa un centímetro cúbico, o 1.000 gramos deagua ocupan un litro, o 1.000 kilos de agua ocupan un metro cúbico. Así que



cualquier sólido o líquido en su relación masa/agua, con referencia al agua, puedenser igual o más denso o menos denso que el agua si su valor de relación es igual,mayor o menor que uno.

Para los crudos se introdujo la fórmula °API o gravedad específica, paradeterminar si los crudos son más, igual o menos pesados que el agua.

Para los gases, debido a que son afectados por la temperatura y por lapresión, se usa como referencia la relación de igual, mayor o menor peso que ungas pueda tener con respecto al peso molecular del aire, cuyo valor se hadeterminado en 28,96.

La relación molecular tiene la ventaja de que el peso molecular de loselementos no es afectado por la presión o por la temperatura.

Por ejemplo, si se desea conocer la gravedad específica de un gas se dividesu peso molecular entre el peso molecular del aire. En el caso del gas butano C4H10,su peso molecular (C=12,01; H=1,008) se obtiene así:

Peso molecular del gas butano = (4 x 12,01) + (10 x 1.008) = 58,12Gravedad específica = 58,12 = 2,007

28,96El peso del aire se ha estimado en 1,308 gramos por litro, a presión de una

atmósfera, o sea 1.308 gramos (1,308 kilos) por metro cúbico. Su equivalente en elsistema angloamericano es de 1,3 onzas o 0,0812 libras por pie cúbico. Así que el gasdel ejemplo anterior, cuya gravedad específica es de 0,941 pesa 0,941 x 1,308 = 1,23kilogramos por metro cúbico.

Para determinar directamente la gravedad específica en el laboratorio o enoperaciones de campo, se recurre al método rápido utilizando uno de los variosaparatos o balanzas, como la botella de Schillling, la balanza de Edward o la de AC-ME, o similares.

Figura 5. Esquema de la balanza de Edward, utilizada para medir la gravedad específica de los gasesFactor de Compresibilidad “z”

Una de las características de los gases es que al aplicarles presión pueden sercomprimidos y, por ende, pueden ser almacenados o confinados en recipientes dedeterminados volúmenes.

Las condiciones o postulados en que se basa la teoría cinética de los gasesno se pueden cumplir y la situación en que más se aproximan a ellas es cuando lapresión y la temperatura son bajas; cuando éstas son altas el comportamiento delgas se aleja de tales postulados, especialmente en lo relacionado a que no hayinteracción entre las moléculas de tipo gravitacional, eléctrica o electromagnéticay a que el volumen ocupado por las moléculas es despreciable comparado con el



volumen total ocupado por el gas; en este caso no se habla de gases ideales sinode gases reales.

Como el gas real no se ajusta a la teoría cinética de los gases tampoco seajusta a la ecuación de estado y se hace necesario establecer una ecuación deestado para gases reales.

Las relaciones de composición, presión, volumen y temperatura detalladasantes e incluidas en la fórmula que define la ley sobre gases perfectos, todavía noestá completa porque falta tomar en cuenta el factor de compresibilidad (Z).

El físico Juan Van Der Waals (1837- 1923), estudió la atracción molecular y eltamaño de las moléculas de los gases e introdujo en la fórmula el factor decorrección, para que en su forma final la ecuación más sencilla y la más conocidapara analizar el comportamiento de los gases reales presenta la siguiente forma:

PV = znRT (1)P: presión absoluta.V: volumen.R: constante universal de los gases.T: temperatura absoluta.

De manera que para un determinado gas y n = 1:z = PV

RTZ se puede considerar como un factor de corrección para que la ecuación

de estado se pueda seguir aplicando a los gases reales. En realidad Z corrige losvalores de presión y volumen leídos para llevarlos a los verdaderos valores de presióny volumen que se tendrían si el mol de gas se comportara a la temperatura T comoideal. Z se conoce como factor de supercompresibilidad, y depende del tipo de gasy las condiciones de presión y temperatura a que se encuentra; cuando éstas sonbajas, próximas a las condiciones normales, Z se considera igual a uno.

Cuando se trata de gases reales, la presión indicada por el registrador depresión es menor que la presión a la que se encontraría el gas si fuera ideal pues hayque descontar las interacciones entre las moléculas y por otra parte el volumendisponible para el movimiento de las moléculas es menor que el volumen delrecipiente pues no se puede despreciar el volumen ocupado por las moléculas.

Z es adimensional y depende de las presiones y temperaturas a las que seasometido el gas. Por tanto, valores de Z pueden determinarse por experimentación.De allí que en la industria existen catálogos, tablas y manuales de consultas sobreinfinidad de muestras y análisis del gas natural.

Sin embargo, a través del conocimiento de la temperatura y presionescríticas, determinadas por experimentos, correspondientes a cada uno de loscomponentes que forman el gas natural se pueden calcular presiones ytemperaturas “reducidas” que facilitan la obtención de supuestas “seudo presióncrítica” y “seudo temperatura crítica” para tomar en consideración la contribuciónporcentual de cada componente, de acuerdo a la composición del gas.

El siguiente ejemplo hipotético servirá para calcular el factor decompresibilidad.

Mezclas de Gases Reales



Cuando se trata de mezclas no se habla de peso molecular sino de pesomolecular aparente y se calcula de acuerdo con la composición aplicando laecuación:

Ma = Σxi.Mi (2)Donde:xi: fracción molar del componente i respectivamente.Mi: peso molecular del componente i respectivamente.Ma: peso molecular aparente.

De igual manera si se quiere expresar la composición en porcentaje por pesose aplica la ecuación:

(3)Para calcular la densidad (ρ) se aplica la ecuación:

ρ = P*M/z*R*T = m/V (4)

Figura 6. Comportamiento del volumen y estado de un gas con la presión

Determinación del “factor z”Para poder aplicar la ecuación (1) se requiere conocer el factor z, el cual,

como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura y del tipode gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones y se hará énfasisfundamentalmente en la correlación de Standing - Katz por ser la más conocida.

a) Cálculo de Z para gases purosEn este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica del

compuesto. Las condiciones críticas son características de cada componente y sepueden obtener de tablas de propiedades físicas.

Presión crítica: Valor límite de la presión de saturación cuando la temperaturade saturación se aproxima a la temperatura crítica.

Temperatura crítica: Máxima temperatura a la que los estados bien definidosde líquido y vapor pueden existir. Puede definirse como la máxima temperatura a laque es posible hacer que un gas cambie al estado líquido (se licue) solamentemediante la presión.

En otras palabras la temperatura máxima a la cual puede licuarse un gas, osea la temperatura por encima de la cual no puede existir el líquido se denominatemperatura crítica y la presión requerida para efectuar la licuefacción a esa



temperatura se le llama presión crítica, que a la vez representa la presión más altaque los valores del líquido pueden ejercer.

Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condicionesreducidas, que se definen como:

Pr = P/Pc (5)Tr = T/Tc (6)

Donde:Pr: presión reducida.Tr: temperatura reducida.Como se ve son adimensionales.

Los cálculos para el ejemplo dado muestran que la pseudo temperaturacrítica dio 198 °K (columna E) y la pseudo presión crítica resultó ser 45,78 atms. abs.

Si se desea obtener el factor de compresibilidad del gas en cuestión, adeterminada presión y temperatura, entonces se procede a calcular los valores depresión y temperatura reducidas, Pr y Tr. Sea el caso que se desee conocer el valorde Z a temperatura de 44 °C y a presión de 50 atms. abs.

90,178.45

50rP 60,1

198

317rT

Con estos dos valores se recurre a un gráfico de pseudo temperaturareducida y pseudo presión reducida para determinar el valor de z = 0,90. Para estover el Anexo 1 que muestra el grafico para obtener el factor de corrección zutilizando valores de seudo presión y seudo temperatura reducidos, calculadospreviamente.

b) Obtención de Z para mezclasTambién se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las

condiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no soncompuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla decondiciones críticas o reducidas sino de condiciones pseudocríticas ypseudoreducidas.

Para obtener las condiciones pseudocríticas se debe conocer la composiciónde la mezcla o la gravedad específica.

Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kaypara obtener las condiciones pseudocríticas.

1. Procedimiento de KaySe aplica la siguiente ecuación:

sP c = Σxi.P ci (7)sT c = Σxi.T ci (8)

Donde:sP c: presión pseudocríticas de la mezcla.sT c: temperatura pseudocríticas de la mezcla.xi: fracción molar de cada componente en la mezcla.P ci: presión crítica de cada componente en la mezcla.T ci: temperatura crítica de cada componente en la mezcla.Una vez calculados los valores de sT c y sP c, se calculan las condicionespseudoreducidas:



sP r = P/sP c (9)sT r = T/sT c (10)

Donde:sP r: presión pseudoreducida de la mezcla.sT r: temperatura pseudoreducida de la mezcla.

Ecuación de StarlingLa ecuación de estado de Starling presenta la siguiente forma:

(11)Donde:s ρ r: se conoce como densidad pseudoreducida y está dada por:

sρr = 0,27.sP r/Z.sT r (12)Las constantes Ai tienen los siguientes valores:

A1 = 0,3265 A2 = -1,0700 A3 = -0,5339 A4 = 0,01569A5 = -0,05165 A6 = 0,5475 A7 = -0,7361 A8 = 0,1844A9 = 0,1056 A10 = 0,6134 A11 = 0,7210

Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene:

(13)Donde:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)



F = A11.(0,27.sP r/sT r) ² (19)Para encontrar el valor de z que sea solución de la ecuación (13) se aplica el

método de Newton - Raphson que involucra los siguientes pasos:- Se calcula sT r y sP r

- Se calculan las constantes A - F.- Se escribe la ecuación (13) como:

(20)- Se supone un valor de Z(Z0), se recomienda mayor que 1, y se chequea si

hace F(Z0) = 0 dentro de la tolerancia requerida.- Si F(Z0) = 0, el valor supuesto es el correcto y es el valor que se está

buscando; si F(Z0) ≠ 0 se busca un nuevo valor de Z(Z1) de la siguiente manera:Z1 = Z0 - F(Z0)/F'(Z0) (21)

Donde F'(Z0) es la derivada de F(Z), dada por:

(22)y calculada en Z0.

- Con Z1 se chequea si F(Z1) = 0 y si no lo es se calcula un valor Z2 usando laecuación (22) cambiando Z1 por Z2 y Z0 por Z1.

- El procedimiento continua hasta encontrar un valor Zn que haga F(Z) = cero;después del primer valor supuesto para Z(Z0) los demás valores usados se obtienen apartir de la ecuación (21) usando Zn en lugar de Z1 y Zn-1 en lugar de Z0.

Poder calorífico del gas naturalUna de las características del gas natural es su poder calorífico, el cual se

determina por análisis de laboratorio, utilizando uno de los varios tipos decalorímetros disponibles. Además, el poder calorífico del gas se considera paradeterminar su calidad como combustible y, por ende, su precio.

En el sistema angloamericano a la unida de caloría se le llama UnidadTérmica Británica (BTU) y se define como la cantidad de calor requerida paraaumentar la temperatura de 1 libra (453,592 gramos) de agua a un grado Fahrenheithasta la temperatura de su máxima densidad que es 39,2 °F. Una BTU es,aproximadamente, igual a 0,252 kilocalorías. El gas natural puede tener de 8.000 a 11.115 kilocalorías/metro cúbico, lo que

equivale a 900 y 1.250 BTU/pie cúbico, respectivamente. El petróleo crudo tiene poder calorífico que va de 8.500 a 11.350 calorías por

gramos o 15.350 a 22.000 BTU por libra.Así que, por medio del poder calorífico del gas natural en general o de

sus componentes en particular, y el poder calorífico de los crudos, es posible hacercálculos que permiten determinar que tantos metros cúbicos o pies cúbicos de gasequivalen a un metro cúbico o barriles de petróleo. Este tipo de equivalencia es dereferencia común en la industria.

Específicamente, el precio que se le asigna a determinado gas se basa enuna unidad de volumen: metro cúbico o pie cúbico. Sin embargo, como los



volúmenes de entrega por lo general son muy grandes se opta por el millar demetros o pies cúbicos. También se emplea el poder calorífico, expresado en millonesde calorías o de BTU. En el caso de gases licuados, en vez del volumen o del podercalorífico, se hace referencia al peso en kilos o libras.

Viscosidad del gas naturalAsí como la viscosidad es una característica física importante de los líquidos,

también lo es para los gases. La unidad de medida en ambos casos es el poise, enhonor al médico y físico francés J.L.M. Poiseuille († 1869).

La definición de poise se deriva de la determinación de la fuerza requeridapor centímetro cuadrado para mover a velocidad de un centímetro por segundoun plano móvil y paralelo a otro plano fijo distantes un centímetro entre sí y cuyoespacio está lleno del líquido o fluido objeto de la medición de viscosidad.

La viscosidad del gas natural es expresión de su resistencia al flujo y tieneaplicaciones importantes en la producción, procesos de acondicionamiento ymercadeo.

Figura 7. Grafico explicativo acerca de la viscosidadDebido a los incrementos de temperatura a que puede ser sometido el gas

natural, su viscosidad tiende a aumentar como resultado del incremento de laactividad molecular, si se mantiene a bajas presiones. En el caso de los líquidos,aumentos de temperaturas reducen su viscosidad. (Ver Figura 8).

Tomando en consideración las relaciones entre las propiedades físicas de loscomponentes del gas natural (peso molecular, presión, temperatura, gravedadespecífica, etc.) los investigadores, por estudios, experimentos y observaciones, hanenriquecido el acervo de información y correlaciones sobre la viscosidad y otraspropiedades del gas natural.

FIGURA 8. Comportamiento de la viscosidad con la presión en un gas



Por ejemplo, el gas metano, que porcentualmente es en casi todo caso elmayor componente del gas natural, a presión de una atmósfera y a temperaturade 10 °C y 204 °C muestra viscosidad de 0,0107 y 0,0163 centipoises,respectivamente. Esto significa un incremento de viscosidad de 0,00003 centipoisespor °C, debido al aumento de temperatura de 194 °C.

Presión de punto de burbuja y Presión de Punto de RocíoEn el caso de un gran volumen de líquido (petróleo) que contiene un cierto

volumen de gas disuelto y que se encuentran en equilibrio en el yacimiento, seobservará que a medida que se reduce la presión se registrará una presión quepermitirá el inicio del desprendimiento de una burbuja de gas. A esta presión se ledenominará presión de burbujeo. A medida que continúe disminuyendo la presión,más gas seguirá desprendiéndose de la fase líquida.

Un ejemplo común y corriente de este mecanismo se observa cuando muycuidadosa y muy lentamente se destapa una botella de gaseosa.

Es muy importante conocer la presión de burbujeo en el caso de yacimientospetrolíferos para obtener el mayor provecho del gas en solución como mecanismode producción del petróleo.

La presión de rocío y su mecanismo se observa cuando un volumen de gasque contiene pequeñísimas cantidades de líquidos en equilibrio se somete acompresión. La presión a la cual aparece la primera gota de líquido es la presión derocío.

Figura 9. El conocimiento de la presión y temperatura crítica de un gases importante para apreciar la relación de fase gaseosa-líquida.

. VENTAJAS DEL GAS NATURAL Disponibilidad

- Llega a la industria, comercio o al hogar a través de tuberías subterráneas.- El suministro de gas se disfruta de manera continua.- No hay que solicitar su abastecimiento.- No es necesario que ninguna persona ajena se introduzca al centro de consumo. Confiable

- Es 40% más ligero que el aire, no se acumula y se dispersa en forma natural en laatmósfera.- Como está odorizado es sencillo detectar su presencia.



- No se requiere el almacenamiento.- Se distribuye por ductos subterráneos de polietileno y acero, materiales probadosen zonas sísmicas: México, Tokio, San Francisco, etc.- Todas las instalaciones cumplen las Normas Oficiales Mexicanas.- Las distribuidoras de gas natural supervisan y monitorean constantemente las redesde distribución y cuentan con equipos técnicos disponibles las 24 horas, los 365 díasdel año. Ecológico

- Comparado con otros hidrocarburos, poseé la menor relación de hidrógeno-carbón en su composición química, por ello su combustión es más limpia y la quemenos emisiones contaminantes libera al ambiente.- La combustión de gas natural no produce residuos contaminantes.- No genera partículas sólidas ni emite residuos tóxicos.- El protocolo de Kyoto reconoce al gas natural como el combustible fósil másamigable con el medio ambiente.- Son innecesarias instalaciones de almacenamiento masivo, ni vehículostransportadores y/o repartidores. Económico

- Es el combustible más económico del mercado, no importa el destino delconsumo, con gas natural solo paga lo que consume. Comodidad

- El gas natural llega por tubería directamente a los hogares, al comercio y a laindustria. Tranquilidad

- No tiene que cargarse ni recarga incómodos ni pesados cilindros.USOSEl gas natural tiene diversas aplicaciones en la industria, el comercio, la

generación eléctrica, el sector residencial y el transporte de pasajeros. Ofrecegrandes ventajas en procesos industriales donde se requiere de ambientes limpios,procesos controlados y combustibles de alta confiabilidad y eficiencia.

En el siguiente cuadro se presentan algunas de las aplicaciones más comunesde gas natural:

Sector Aplicaciones/ProcesosIndustrial Generación de vapor

Industria de alimentosSecadoCocción de productoscerámicosFundición de metalesTratamientos térmicosTemple y recocido demetalesGeneración eléctricaProducción depetroquímicosSistema de calefacciónHornos de fusión

Comercio y Servicios Calefacción central



Aire acondicionadoCocción/preparación dealimentosAgua caliente

Energía Cogeneración eléctricaCentrales térmicas

Residencial CocinaCalefacciónAgua calienteAire acondicionado

Transporte de pasajeros TaxisBuses

TABLA Combustibles que el Gas Natural puede sustituirAdicionalmente, el gas natural es utilizado como materia prima en diversos

procesos químicos e industriales. De manera relativamente fácil y económica puedeser convertido a hidrógeno, etileno, o metanol; los materiales básicos para diversostipos de plásticos y fertilizantes.

Uno de los usos del gas natural que ha tomado mayor importancia en elúltimo tiempo en nuestro país, dada la disminución en el recurso hídrico, es lageneración eléctrica.

Debido a que el gas natural puede ser utilizado con grandes beneficios en unamplio número de aplicaciones, puede sustituir a los energéticos alternativos que seseñalan a continuación:

TABLA Combustibles que el Gas Natural puede sustituirSector Energía y/o combustible que puede sustituirIndustrial Carbón

ElectricidadDieselFuel OilGas licuadoGasolinaKeroseneLeña

Generación eléctrica CarbónFuel Oil

Comercio CarbónElectricidadFuel OilGas naturalGas licuadoKerosene

Residencial ElectricidadGas naturalGas licuadoKeroseneLeña

Transporte de pasajeros GasolinaPetróleo Diesel

RESERVAS MUNDIALES DE GAS NATURAL



Antes de hablar de las reservas actualmente existentes en el mundo, esindispensable aclarar como se efectúa el proceso de búsqueda de gas naturalademás de algunos conceptos relacionados con este tema. La búsqueda de gasnatural se inicia con exploraciones, que consisten básicamente en realizarperforaciones en zonas donde existen indicios de la existencia de gas. Una vez quealgún yacimiento de gas natural es encontrado, el próximo paso es analizarlo demanera de determinar tanto la cantidad como la calidad del gas natural contenidoen ese yacimiento, calculándose así la duración de ese yacimiento de acuerdo a lacantidad de gas que tenga y a una estimación del consumo. Una vez que estosanálisis son efectuados, el gas natural de ese yacimiento pasa a ser una "reservaprobada" de gas natural.

Pero, dado el alto costo que este proceso implica, no todos los yacimientosson analizados. Lo que si se realiza constantemente son perforaciones para localizaryacimientos, de manera de que en el momento que se necesiten probar lasreservas, se tengan ubicadas y lo único necesario por realizar sea un análisis demanera de determinar la calidad y la duración del gas natural.

Como norma, las empresas productoras de gas natural deben mantenerreservas probadas por lo menos como para cumplir con los contratos de extraccióno de suministro que mantenga vigentes.

Respecto a las reservas mundiales de gas natural, éstas sonaproximadamente 145 trillones de metros cúbicos estándar, las que estánprincipalmente concentradas en la ex Unión Soviética y en el Medio Oriente. Ydentro de la ex Unión Soviética, Rusia tiene el 85% de esas reservas. En el caso delMedio Oriente, es Irán el país que tiene la mayor cantidad de reservas de esa zona,con un 47%.

En el esquema que se presenta a continuación se muestra la distribución porzonas de estas reservas.

Figura 10. Distribución del gas natural por reservasEn el siguiente gráfico se esquematiza la distribución mundial de las reservas

de gas natural



A continuación se esquematiza la distribución de las reservas de gas naturaldentro de Latinoamérica y posteriormente su evolución.

Distribución de Reservas de Gas Natural en Latinoamérica (1998)Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999

Las reservas probadas de gas natural en el mundo a principios de 2006 erande más de 182 billones de m3. Las principales reservas están localizadas en OrienteMedio (41%) y en los países de la antigua URSS (31,7%), mientras que EuropaOccidental sólo posee el 3,6% de las reservas mundiales.

Evolución de las reservas mundiales probadas de gas natural por zonas (Billones de m3)Fuente: SEDIGAS



Con los datos disponibles hoy en día las reservas evaluadas de gas natural sonsuficientes para abastecer al mundo, con un consumo como el de 2005, durantemás de 65 años.

Reservas mundiales probadas de gas natural (Billones de m3)Fuente: SEDIGAS

2004 2005 2006América del Norte 7 7 7América Central y Sur 7,4 7,3 7,3Europa-OCDE 6,3 6,2 6,5Europa Oriental 57,8 57,8 57,8África 13,9 14,1 14,4Oriente Medio 71,5 73,3 74,6Asia-Oceanía 13,7 14,3 14,5TOTAL MUNDIAL 177,6 180 182,1

CONSUMO DE GAS NATURAL

Distribución Consumo Latinoamericano deGas Natural durante 1998

Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999

Evolución del Consumo Latinoamericano deGas Natural durante el período 1988-1998

Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999

TRANSPORTE Y ENTREGA DE GAS A LOS MERCADOS



La parte final del manejo del gas la constituye el transporte desde lasinstalaciones de los campos y las entregas de volúmenes determinados a losmercados en ruta.

Estas dos fases representan en la práctica el mercadeo y la comercializacióndel gas. De acuerdo con las modalidades mundiales para este tipo de operacionescabe mencionar aspectos interesantes:

• Se da el caso de que existen empresas integradas cuyas operaciones(exploración, perforación, producción, transporte y mercadeo) están dedicadasexclusivamente al gas y no producen petróleo. Son empresas especializadas en elnegocio del gas.

• Existen otras empresas integradas que se dedican mayoritariamente alpetróleo y que pueden disponer de grandes volúmenes de gas asociado y de gaslibre que las pueden inducir a comercializar el gas parcialmente o totalmente. Estoes que venden su gas a otras empresas y no se ocupan del mercadeo o podríaoptar por transportar, distribuir y vender gas directamente.

• Hay casos en que el gas lo manejan varias empresas. Primero, la que loproduce y acondiciona. Segundo, la que lo transporta y es dueña del sistema degasoductos, y tercero, la que se encarga de la distribución y venta del gas endeterminados mercados de su competencia.

GASODUCTODefinicionUn gasoducto es un conducto que transporta o transmite gas natural, en

general a largas distancias y grandes volúmenes y cuya presión de diseño es igual omayor a 40 bares

Un gasoducto es una conducción que sirve para transportar gasescombustibles a gran escala. Es muy importante su función en la actividadeconómica actual.

Impropiamente, y puede que por analogía con el oleoducto, se le llama confrecuencia gaseoducto.

ConstrucciónConsiste en una conducción de tuberías de acero, por las que el gas circula a

alta presión, desde el lugar de origen. Se construyen enterrados en zanjas y seentierran a una profundidad típica de 1 metro. Excepcionalmente, se construyensobre la superficie. Si la distancia es larga, puede haber estaciones de compresión aintervalos.

Por razones de seguridad, las regulaciones de todos los países establecen quea intervalos determinados se sitúen válvulas en los gasoductos mediante las que sepueda cortar el flujo en caso de incidente. Además, si la longitud del gasoducto esimportante, pueden ser necesarias estaciones de compresión a intervalos.

El inicio de un gasoducto puede ser un yacimiento o una planta deregasificación, generalmente situada en las proximidades de un puerto de mar alque llegan buques (para el gas natural, se llaman metaneros) que transportan gasnatural licuado en condiciones criogénicas a muy baja temperatura (-161 ºC).

Para cruzar un río en el trazado de un gasoducto se utilizan principalmentedos técnicas, la perforación horizontal y la perforación dirigida. Con ellas se consigueque tanto la flora como la fauna del río y de la ribera no se vean afectadas. Estastécnicas también se utilizan para cruzar otras infraestructuras importantes comocarreteras, autopistas o ferrocarriles.



El tendido por mar se hace desde barcos especialmente diseñados, los cualesvan depositando sobre el lecho marino la tubería una vez soldada en el barco.

Regulaciones estatales en muchos países requieren que los gasoductosenterrados estén protegidos de la corrosión. A menudo, el método más económicoes revestir el gasoducto con algún tipo de polímero de modo que la tubería quedaeléctricamente aislada del terreno que la rodea. Generalmente se reviste conpintura y polietileno hasta un espesor de 2-3 mm. Para prevenir el efecto de posiblesfallos en este revestimiento, los gasoductos suelen estar dotados de un sistema deprotección catódica, utilizando ánodos de sacrificio que establecen la tensióngalvánica suficiente para que no se produzca corrosión.

El impacto ambiental que producen los gasoductos, se centra en la fase deconstrucción. Una vez terminada dicha fase, pueden minimizarse todos los impactosasociados a la modificación del terreno, al movimiento de maquinaria, etc. Queda,únicamente, comprobar la efectividad de las medidas correctivas que haya habidoque tomar en función de los impactos, repoblaciones, reforestaciones, protecciónde márgenes, etc.

Unidades Constructivas que componen la construccion de un gasoducto- Replanteo- Apertura de pista de trabajo (desbroce y movimiento de tierras).- Excavación de la zanja.- Distribución y manipulación de la tubería.- Soldadura y radiografiado.- Revestimiento de juntas de soldadura.- Puesta en zanja.- Pretapado, tapado y restitución de los terrenos.- Cruces especiales.- Pruebas hidráulicas.- Restitución de los terrenosCirculación del gasLa presión a la que circula en gas por el gasoducto es normalmente de 72 bar

para los de la redes básicas de transporte y 16 bar en las redes de distribución.Para llevar el gas hasta los hogares y comercios, es preciso bajar la presión de

transporte hasta límites razonablemente seguros. Esto se consigue instalandoestaciones de regulación a lo largo del gasoducto en las que se baja la presiónhasta la presión habitual de distribución.

El cambio de presiones se hace de forma análoga a las redes eléctricas (altatensión/baja tensión), en este caso se utilizan estaciones de regulación y medida,por medio de reguladores de presión de membrana se regula la presión de salidaque se necesite.

Obstáculos en el gasoductoLos grandes exportadores no pueden acaparar el mercado global de gas

porque, para su mala suerte, éste no existe."A largo plazo vamos hacia una OPEP del gas", dijo Chakib Khelil, ministro de

energía de Argelia en una reciente reunión de grandes productores en Qatar. Es unaidea espeluznante, pues el suministro mundial de gas está concentrado en aúnmenos países que el de petróleo. Qatar, Rusia e Irán controlan casi 60% y, conexcepción de Qatar, no están entre los aliados más confiables de Occidente (vergráfica).



Sin embargo, una crisis del gas similar a la del petróleo ocurrida en los años 70es un escenario improbable por una razón: crear el citado cártel llevaría muchotiempo. Hasta ahora sus eventuales miembros se han conformado con elaborar unvago aunque ligeramente inquietante "estudio de precios". Aun si se creara unaorganización de países exportadores de gas (OPEG), existen varias formas degenerar electricidad y calefacción para los hogares; así, si el gas se vuelvedemasiado caro, los consumidores pueden recurrir a alternativas. En contraste, lagasolina es el único combustible con el cual funciona la mayoría de los autos, por locual la demanda de petróleo seguirá siendo relativamente inelástica a largo plazo.

Afección Medioambiental de un GasoductoCualquier canalización de gas, al ser una infraestructura enterrada, no tiene

incidencia apreciable sobre el medio ambiente, limitándose su afección casiexclusivamente al período de construcción, y siendo extremadamente reducido si secompara con el de otras obras lineales, tales como carreteras, vías férreas o tendidode líneas eléctricas.

Las principales afecciones que puede producir el trazado del gasoductosobre el medio natural durante la fase de obras son:- Impactos sobre la vegetación- Impactos sobre la fauna- Impactos sobre los cursos de agua- Impacto sobre zonas húmedas- Impactos sobre el Patrimonio Cultural- Impactos sobre el paisaje

a) Impactos sobre la vegetaciónLa vegetación se verá afectada principalmente por el despeje y desbroce en

la apertura de la pista de trabajo. La afección sobre la flora, depende de lafacultad, por la cobertera vegetal, de reconstruirse después de finalizados lostrabajos. Esto, salvo en el caso de árboles de tallo o tronco alto, es siempre posible.Cuando esto no fuera posible, se minimiza la afección replantando especiesadecuadas preservando únicamente el pasillo inmediato a la conducción (4 metrosaproximadamente).

b) Impactos sobre la faunaLa afección sobre la fauna se limita a las molestias producidas durante el

período de construcción, es decir a una temporada o estación, por la presencia depersonal y funcionamiento de maquinarias en lugares donde la fauna no estaacostumbrada a encontrarlos.

Mediante la aplicación de medidas preventivas como la reducción al mínimode presencia de personal, elección de fechas de intervención en función de lascostumbres de vida de la especie, etc, se reduce al máximo y en medida de loposible la duración de la obra, por lo que la afección a la fauna se verá disminuida.

c) Impactos sobre los cursos de agua- Afección sobre la fauna piscícola durante los trabajos: Generalmente suelen

tomarse medidas adecuadas de acuerdo con la Administración, OrganismosOficiales o Asociaciones de pesca para reducir o incluso suprimir la posible afección.Cada travesía de río o curso de agua presenta normalmente circunstanciasparticulares que hay que analizar específicamente.

- Incremento de los sólidos en suspensión en las aguas superficiales comoconsecuencia de las obras: Durante la fase de construcción podría producirse unaumento de los sólidos en suspensión en los cursos de agua superficial cercanos



debido al arrastre de finos desde las superficies desnudas (desmontes, terraplenes, yotras superficies de actuación) que puedan sufrir un lavado y arrastre de tierrasimportantes por las aguas de escorrentía procedentes de las lluvias. El arrastre definos y materiales particulados daría lugar a un aumento de la turbidez, del residuoseco y de la conductividad de las aguas superficiales.

d) Impactos sobre zonas húmedasEstos entornos son especialmente sensibles a cualquier tipo de impacto

debido fundamentalmente a delicado equilibrio existente entre los aportes de agua,la fauna existente (en muchos casos migratoria), etc. De tal manera, la minimizaciónde cualquier tipo de impacto es de especial importancia.

e) Impactos sobre el Patrimonio CulturalDurante las obras de despeje y desbroce, apertura de zanja, excavaciones,

etc. pueden darse potenciales afecciones al patrimonio arqueológico. Dada laimportancia de este factor, se suspenderán las actividades en caso de encontrarvestigios de valor histórico y se dará aviso al Centro Regional del Instituto Nacionalde Antropología e Historia.

Instalaciones que constituyen el sistema gasistaEl sistema gasista comprende las instalaciones incluidas en la Red Básica de

Transporte, la Red de Transporte Secundario, la Red de Distribución y demásinstalaciones complementarias.

Red Básica de Transporte. Forman parte de la red básica de transporte:Las plantas de Licuefacción: transforman el gas natural al estado líquido para

facilitar su almacenamiento y transporte en buques metaneros.Las Plantas de Regasificación: transforman el gas natural líquido de los buques

metaneros al estado gaseoso mediante la aportación de calor para introducirlo enla red de gasoductos.

Los Gasoductos de Transporte Primario: son aquellos cuya presión máxima dediseño es igual o superior a 60 bares.

Los Almacenamientos Subterráneos: almacenan gas en el subsuelo paraasegurar la continuidad y suministro de gas en caso de fallo de losaprovisionamientos y modular la demanda. Generalmente son antiguos yacimientos.

Las Conexiones Internacionales: gasoductos que conectan el sistema gasistaespañol con otros sistemas o con yacimientos en el exterior.

Red de Transporte Secundario: Forman parte de la red de transportesecundario aquellos cuya presión máxima de diseño está comprendida entre 60 y 16bares.

Red de Distribución: Forman parte de la red de distribución los gasoductoscuya presión máxima de diseño sea igual o inferior a 16 bares, y aquello otros que,con independencia de su presión máxima de diseño, tengan por objeto conducir elgas a un único consumidor partiendo de un gasoducto de la red básica o detransporte secundario.

Ecuaciones de Flujo para tuberías con flujo monofásicoEcuacion de Panhandle BEl gas natural fluye debido a la diferencial de presiones entre los extremos de

un ducto. Asimismo, el flujo se ve afectado por la composición del gas, la diferenciade alturas sobre el nivel del mar, temperatura y por las características físicas delducto: Diámetro Rugosidad de las paredes internas



LongitudPara ductos de grandes diámetros y longitudes y elevadas presiones una de

las ecuaciones que mejor se aproxima al comportamiento del gas es la ecuaciónPanhandle- B, en unidades inglesas:

51.0

961.0

2212

22

153.2

02.1)(0375.0

737

LTzGE

Tz

PhhGEPP

DP

TEffQ

avav

avav

av

io

o

La presión promedio es:

21

2121

*

3

2

PP

PPPPPav

Ecuacion de Panhandle A

Eff

LTzGE

zT

PhhGEPP

DP

TQ

avav

avav

av

ib

b

5394.0

8538.0

21222

22

16182.2

0778.1

***

)(**0375.0

87.435

Donde:Q= Flujo transportado en Pies cubicos estandar por dia [STBD]Di= Diametro interno del ducto en pulgadas [inch]L= Longitud en millaszav= Factor de compresibilidad del gas natural que es adimennsional calculado a lascondiciones de Presion promedio y Temperatura promedioTO y Po= Temperatura y Presion a las condiciones base de medicion en [oR] gradosRankine y [psia]P1 y P2= Presiones al inicio y al final del tramo del ducto en [psia]Pav = Presion promedio en el tramo, es la presion utilizada en el calculo del factor decompresibilidadGE= gravedad especifica del gas , es decir, la densidad relativa a la del aireh1 y h2=alturas sobre el nivel del mar a los extremos del ducto: inicio y finalTav = Temperatura promedio en el tramo, es la temperatura utilizada en el calculo delfactor de compresibilidad que normalmente es constante en los ductos subterraneosEff= Eficiencia de flujo adimensional depende principalmente de la rugosidad yedad del ducto, generalmente en el sistema de ductos PGPB se tienen unaeficiencia del 85% pues resulta coherente con los datos de campo

Ecuacion de WeymouthLa ecuación de Weymouth se ha utilizado desde hace muchos años como

ecuación de análisis de ductos, y por lo general proporciona resultados muyconservadores. Los volúmenes mostrados en los diagramas de flujo se expresan enmillones de pies cúbicos medidos a 14.73 psia. y a 60° F.



Eff

LTzGE

PPD

P

TQ

avavi

b

b

5.0222

21667.2

***433

Donde:Q= Flujo transportado en Pies cubicos estandar por dia [STBD]Tb y Pb= Temperatura y Presion a las condiciones base de medicion en [oR] gradosRankine y [psia]GE= gravedad especifica del gas , es decir, la densidad relativa a la del airezav= Factor de compresibilidad promedio del gas naturalL= Longitud del gasoducto en millasDi= Diametro interno del ducto en pulgadas [inch]P1 y P2= Presiones de entrada y salida del tramo del ducto en [psia]Eff= Eficiencia de flujo adimensional depende principalmente de la rugosidad yedad del ducto

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