Libro de matematicas 7mo grado

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SERIE EDUCATIVA: “EDUCACIÓN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGÜENSES” Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua. Se prohíbe su venta y reproducción parcial o total. Matemática Educación Secundaria Matemática 7 GRADO 7 Educación Secundaria GRADO h g r Programa de Apoyo al Sector de Educación en Nicaragua PROSEN REPÚBLICA DE NICARAGUA

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  1. 1. SERIE EDUCATIVA: EDUCACIN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGENSES Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin parcial o total. Matemtica Educacin Secundaria Matemtica 7GRADO 7Educacin Secundaria GRADO h g r Programa de Apoyo al Sector de Educacin en Nicaragua P R O S E N REPBLICA DE NICARAGUA
  2. 2. Coordinacin General, Revisin y Asesora Tcnica Profesora Mara Elsa Guilln Profesora Rosala Ros Rivas Autor Profesor Bernardo Enrique Baltodano Orozco Revisin Tcnica General Profesora Rosala Ros Rivas Revisin y Asesora Tcnica Cientfica Profesor Francisco Emilio Daz Vega Profesor Humberto Antonio Jarqun Lpez Sociedad Matemtica de Nicaragua Profesor Ivn Augusto Cisneros Daz Profesor Jorge Alberto Velsquez Benavidez Diseo y Diagramacin Ramn Nonnato Morales Rger Alberto Romero Miguel ngel Mendieta Rostrn con colaboracin de Andrea Rudez Iras Ilustracin Rger Alberto Romero Fuente de Financiamiento PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y de los docentes durante el proceso de validacin. Primera Edicin___________ Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED) , de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin total o parcial. La presente publicacin ha sido reproducida con el apoyo de la Unin Europea a travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad exclusiva del MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja los puntos de vista de la Unin Europea.
  3. 3. PRESENTACIN El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional, a travs del Ministerio de Educacin (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educacin Secundaria, el libro de texto de Matemtica en el cual se desarrollan los cinco pensamientos: aleatorio, numrico, variacional, mtrico y espacial. La Matemtica es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computacin, la arquitectura, la ingeniera y en la vida cotidiana. El propsito fundamental del texto es propiciar en los estudiantes un papel ms activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con los conocimientos planteados en el libro, permitindoles que complementen lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar y profundizar en aquellos aspectos que explic su docente y prepararse para la evaluacin. El libro de texto a travs de sus contenidos y actividades contribuye a la formacin en valores individuales, comunitarios y sociales; los que se reflejarn en el comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo. El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo con esmero, permitir que otros compaeros que estn en los grados que les anteceden tambin puedan hacer uso de l, en su proceso de aprendizaje. Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe cuidar porque no solo a usted le ser de ayuda, sino que dependiendo del cuido que le d, tambin le ser de provecho a otros, razn por la que le sugerimos lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa ser su contribucin desinteresada y solidaria, con los prximos estudiantes que utilizarn este libro. Ministerio de Educacin
  4. 4. Introduccin El presente texto corresponde a los contenidos del rea de matemtica de sptimo grado de educacin media. La estructura del libro de texto es la siguiente: CC Portada del libro. CC Introduccin. CC ndice. CC Contenido por unidad, temas y subtemas. CC Glosario CC Bibliografa y webgrafa. Los conceptos y definiciones se desarrollan partiendo de las competencias, indicadores de logros y contenidos del programa oficial de matemtica del Ministerio de Educacin (MINED). El texto en su interior est dividido en dos columnas, en la columna derecha se desarrolla el contenido de la asignatura iniciando con un ejemplo del entorno, luego el concepto, la definicin, el procedimiento y culminando con ejemplos y ejercicios. Enlacolumnaizquierda,sepresentainformacinalterna,biografas,curiosidadesmatemticas y actividades de reforzamiento, para complementar sus conocimientos en la asignatura. El texto contiene los siguientes conos (imgenes que orientan una serie de actividades e informacin) e i +1 = 0 Aprenda un poco ms. Ma tem tic a 7 Sabas qu? Tome nota.
  5. 5. Ma tem tic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Ma tem tic as 7 Ejemplo. RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno. Trabajo en equipo. Al final de cada unidad, se le presenta ACTIVIDADES FINALES, para la consolidacin del contenido y prepararse para la evaluacin de los indicadores de logros orientado en los programas. El estudiantado debe comprender que el estudio de LAMATEMTICAes parte de su formacin cultural y por tanto, debe estar claro que es necesario saber Matemtica y poder aplicarla en los problemas de su entorno y tener una base slida para el octavo grado. As tambin, los estudiantes deben tomar en cuenta que la consulta e investigacin, es una de las herramientas fundamentales para la consolidacin y profundizacin de los diferentes temas. Es por eso que en este libro le facilitamos una webgrafa para facilitarle la bsqueda, por Internet, de la informacin que necesita para reafirmar, ampliar, consolidar y profundizar los diferentes contenido de las clases y poder llevarlo a la prctica es su vida cotidiana.
  6. 6. ndice Primera Unidad: Estadstica Teora de conjuntos (I)2 Conjunto. Elemento. Pertenencia2 Conjunto universal. Conjunto vaco5 Estadstica8 Poblacin. Persona o individuo. Muestra9 Variable Cualitativa y Cuantitativa11 Tablas de Frecuencias y de Categoras14 Tipos de Frecuencias 16 Grficos Estadsticos18 Diagrama de sectores (circulares o de pastel)18 Histograma.20 El polgono de frecuencias22 Ojiva22 Pictogramas23 Medidas de tendencia central con datos no agrupados26 La media aritmtica.27 La mediana28 La moda30 Segunda Unidad: Conjunto de los nmeros enteros Teora de Conjuntos (II) 42 Tipos de conjuntos42 Conjunto finito y conjunto infinito44 Representacin grfica de conjuntos45 Nmero natural46 Propiedades del conjunto 48 Relaciones de orden en el conjunto de los nmeros naturales48 Operaciones en el conjunto 50 Adicin50 Sustraccin51 Multiplicacin52 Divisin54 Operaciones combinadas con nmeros naturales. Jerarqua de las operaciones55 Resolucin de problemas55 El conjunto de los nmeros enteros 56 Nmero entero 57 Estructura del conjunto 59 Nmeros opuestos59 Valor absoluto de un nmero entero60 Orden en el conjunto de los nmeros enteros (Propiedad de Tricotoma)61 Operaciones en el conjunto 62 Adicin de nmeros enteros.62 Sustraccin de nmeros enteros63 Multiplicacin de nmeros enteros64 Divisin de nmeros enteros64 Potenciacin con base entero y exponente entero. Propiedades65 Propiedades de la potenciacin69 Expresiones aritmticas. Jerarqua de las operaciones70
  7. 7. Actividades finales de la segunda unidad74 Tercera Unidad: Conjunto De Los Nmeros Racionales Teora de conjuntos (III). 76 Operaciones con conjuntos.76 Propiedades de las operaciones con conjuntos.80 Representacin grfica de las operaciones con conjuntos.80 Operaciones combinadas con conjuntos.81 El Conjunto de los Racionales 84 Introduccin84 Los dominios numricos , y .85 Comparacin de nmeros enteros86 Definicin. Fraccin.88 Grfica de una fraccin89 Fracciones equivalentes.91 Amplificacin de fracciones. 92 Simplificacin de fracciones. 93 Fraccin irreducible. 93 El conjunto de los nmeros Racionales . 94 Nmero racional .95 Clasificacin de los nmeros racionales96 Orden en el conjunto de los nmeros racionales.97 Operaciones con nmeros racionales. 99 Propiedades. 99 Adicin y sustraccin en .99 Propiedades de la adicin y la multiplicacin en . 103 Divisin en 104 Fracciones continuas105 Notacin decimal de un nmero racional.106 Operaciones con nmeros decimales.113 Adicin de nmeros decimales.113 Divisin de nmeros decimales. 121 Notacin cientfica.123 Regla para redondear un nmero racional.123 Potenciacin con base racional y exponente entero.127 Definiciones bsicas de la potenciacin en .128 Ley de los signos de la potenciacin.129 Propiedades de la potenciacin en el conjunto . 129 Radicacin en .132 Propiedades de la radicacin en 132 Actividades finales de la tercera unidad134 Cuarta Unidad: Proporciones Proporciones.136 Proporcionalidad.136 Proporcin138 Consecuencias de la propiedad fundamental de las proporciones.139 Clculo de un trmino de una proporcin.141 Variacin proporcional.146 Regla de tres.151 Regla de tres compuesta154 Reparto proporcional.158 Reparto directamente proporcional.158
  8. 8. Reparto proporcional inverso.160 Porcentaje. Tanto por ciento.162 Inters.166 Quinta Unidad: Relaciones Relaciones.172 Elementos de lgica.172 Tablas de verdad (I).178 La disyuncin. 181 Bicondicional.188 Tablas de verdad190 Relaciones196 Producto cartesiano198 El plano cartesiano200 Representacin grfica del producto cartesiano. 201 Relaciones203 Representacin grfica de : A B.205 Sexta Unidad: Construccin de Figuras Geomtricas Construcciones de figuras geomtricas.210 Breve resea histrica.210 Conceptos fundamentales de la geometra.211 Postulados de la recta, plano y espacio.213 Relaciones de posicin entre puntos, rectas y planos.215 Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Semirrectas. Semiplanos.216 Longitud de un segmento.218 Punto medio de un segmento.219 Rectas: paralelas, perpendiculares y oblicuas232 Construccin geomtrica233 ngulos formados por dos rectas intersecadas por una recta transversal234 Polgonos235 Clasificacin de los tringulos.237 Clasificacin de los Cuadrilteros.241 Sptima Unidad: rea y Permetro de Tringulos y Cuadrilteros Otras unidades de medidas de longitud 251 Permetro de tringulos y cuadrilteros.253 Distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional.253 Permetro de tringulos y cuadrilteros254 rea de tringulos y cuadrilteros.257 reas de rectngulos y de paralelogramos.259 rea del cuadrado.261 rea del romboide.264 rea del trapecio.266 rea del tringulo.268 rea de un tringulo cualquiera. 268 rea del tringulo rectngulo.270 rea del tringulo equiltero.270 rea de un tringulo cualquiera dada la medida de sus tres lados.272 rea del trapezoide.276
  9. 9. 9 Estadstica Unidad 1 ElHoyo:1050m Momotombo:1258m Mombacho:1345m Concepcin:1610m Masaya:632m Maderas:1394m Cosiguina:859m CerroNegro:728m Telica:1061m SanCristobal:1745m 1500 1000 500 0 2000 Altura de los Volcanes de Nicaragua El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque elico Comandante Camilo Ortega quien es considerado el Apstol de la Unidad Sandinista. La unidad de todos los nicaragenses, unidos por el Bien Comn de este pas, en reconciliacin y haciendo patria siempre para este pueblo. Este parque elico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se encuentra ubicado en el sureo departamento de Rivas. Con este se busca la transformacin de la matriz energtica y la generacin de energa renovable, lo cual conlleva a un impacto de menos costos de produccin y un mayor benecio para las familias. Fuente: 19 digital 12 de Marzo 2014
  10. 10. 2 Teora de conjuntos (I) Conjunto. Elemento. Pertenencia Conjunto. Cuando pensamos en un conjunto, nos imaginamos por ejemplo, un grupo de objetos, un rebao de animales, una asociacin de personas, nmeros con una caracterstica comn. No podemos definir lo que es un conjunto, porque es un concepto primitivo, pero s podemos expresar la idea intuitiva de un conjunto. Los conceptos de conjunto, pertenencia y elemento son considerados como primitivos y son la base de toda la teora de conjuntos. Intuitivamente, un conjunto es una coleccin, clase o lista de elementos bien definidos, o sea, con caractersticas comn que permitan decir, si el elemento est o no est en el conjunto. Notacin. Los conjuntos se simbolizan con letras maysculas: A, B, C etc. pero se pueden usar otros smbolos previamente establecidos. Por ejemplo; la letra denota el conjunto vaco o bien { }. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo A = {x x es un lago de Nicaragua} = {Cocibolca, Xolotln}. B = {x x es un nmero natural entre 10 y 25} = {11,12,13,14,15, 16,17,18,19,20,21,22,23,24}. C= {x x es un nmero primo menor que 29}={2,3,5,7,11,13,17,19,23} Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo En la matrcula del Instituto Nacional de Oriente, un conjunto est formado por los estudiantes matriculados del sexo masculino y femenino. Los elementos del conjunto son cada estudiante de dicha matrcula. Pertenencia. En el ejemplo anterior, la caracterstica de un elemento del conjunto es que est matriculado en el Instituto. Conjuntoescritopor comprensin: En l, se describe una caracterstica propiedad numrica, etc. Se utiliza la notacin {x x...} Ej: A = {x x es una vocal del alfabeto castellano} RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... Conjunto escrito por extensin: se escribe entre llaves separando cada elemento con una coma. Ej: A = {a,e,i,o,u} Historia de la Matemtica La teora de conjuntos surge por estudios que se hicieron acerca de los nmeros y sus propiedades. Las bases de estos estudios iniciales se atribuyen a George Cantor, aunque muchos de estos temas han sido identificados en la matemtica griega. Estos temas se incorporan organizadamente a la matemtica a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. La palabra Matemtica viene del griego mathemata que significa cosas que se aprenden.
  11. 11. 3 Un elemento x pertenece a un conjunto A, si x est en A. Se simboliza x A y se lee el elemento x pertenece al conjunto A. Si este elemento no est en el conjunto A, se simboliza x A y se lee el elemento x no pertenece al conjunto A. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos: a. A = {x x los nmeros naturales menores que 6} = {1,2,3,4,5} b.B={x xlosnmerosparesmenoresque16}={2,4,6,8,10,12,14} Entonces podemos decir que: 1 A, pero 1 B. 12 B, pero 12 A. Inclusin: Sean A y B dos conjuntos. Si sucede que todo elemento de A pertenece a B, se dice que A est incluido en B, o que es parte de B, o que es subconjunto de B. Subconjunto Dados dos conjuntos A y B. A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto B. Se simboliza A B y se lee el conjunto A es subconjunto del conjunto B. La expresin B A significa que el conjunto B contiene a todos los elementos del conjuntoA y significa que todos los elementos de A estn en el conjunto B. Es decir; A es un subconjunto de B y B es superconjunto de A. Matemtico francs, conocido por sus notables contribuciones a la teora de los nmeros y la geometra algebraica. Fue uno de los miembros fundadores del influyente grupo Nicols Bourbaki. Utiliz por primera vez, el smbolo (que representa el vaco) en 1 939. o es una letra vocal utilizada en las lenguas danesa, feroesa y noruega aunque tambin en el antiguo euskera, fonticamente suena casi como ir en bird o ur en hurt en ingls, En dans, feros y noruego modernos, la letra es una vocal nica (AFI []). En dans (y en la escritura conservadora bokml del noruego), es una palabra en s que significa isla. Andr Weil 1 906 - 1 998
  12. 12. 4 Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos : los nmeros naturales. : los nmeros primos. Entonces porque, cada nmero primo est en el conjunto de los nmeros naturales. Tambin se simboliza que significa que el conjunto contiene a todos los elementos del conjunto . Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos son iguales si son idnticos, es decir, si tienen los mismos elementos. Igualdad de conjuntos. Dados los conjuntos A y B. El conjunto A es igual al conjunto B si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece al conjunto A. Se simboliza A = B. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos: A = {x x es una vocal de la palabra Misael}. B = {x x es una vocal de la palabra encima}. Ambos conjuntos tienen los mismos elementos (las vocales), por tanto A = B = {a,i,e} Trabajo en equipo a. Escribir cinco conjuntos por extensin y comprensin. b. Escriba el conjunto de los factores de 15. Un elemento pertenece a un conjunto si est en el conjunto. Un conjunto est includo en otro conjunto si todos sus elementos estn en el conjunto. Pero el trmino est no se debe confundir. Pertenencia es una relacin entre elemento y conjunto. Inclusin es una relacin entre conjuntos. Por ejemplo: Dados los conjuntos: A: las vocales. B: las vocales a, i, u. Es aceptable a A pero no es aceptable B A, lo correcto es B A. Los nmeros primos, los nmeros pares y los impares son subconjuntos de los nmeros naturales. Sabas qu? Ma tem tic a 7
  13. 13. 5 c. Escriba los nmeros primos menores que 10. d. Escriba los factores de 30 menores que 6. e. Escriba dos conjuntos que sean iguales. f. Escriba un conjunto que est contenido en otro. Conjunto universal. Conjunto vaco En la teora de conjuntos, encontramos situaciones en las que, los conjuntos considerados son subconjuntos de algn conjunto conocido, que nos sirve de referencia. Conjunto universal. Se denomina conjunto universal o universo al conjunto de todos los elementos que intervienen en el tema o situacin de inters. Se simboliza U. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos: A: Las vocales. B: Las consonantes. C: El abecedario espaol. Sabemos que las vocales y las consonantes estn en el abecedario espaol, por tanto, C es el conjunto universo o sea C = U. Conjunto vaco y conjunto unitario. Extendemos la nocin intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de unicidad de elementos mediante la introduccin de los conjuntos vaco y unitario. Conjunto vaco. Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza . HH Hijo de un agricultor, pudo estudiar gracias a la ayuda de unos vecinos. HH A los 19 aos, DAlembert le consigue una plaza como profesor en la Real Academia Militar. HH En la dcada de los 70 presenta su primer trabajo sobre el sistema solar. HH En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencias de Pars. HH En 1789 es nombrado miembro de la Comisin de Pesos y Medidas, que despus estableci el Sistema Mtrico Decimal. HH En 1816 es elegido miembro de la Academia Francesa de la Lengua. En 1817, Luis XVIII le otorga el ttulo de Marqus. Pierre Simn Laplace 1 749 - 1 827
  14. 14. 6 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Son conjuntos vacos: A = {x x la letra W de la palabra Emilio} B = {x x los meses que tienen 27 das} Conjunto unitario. Un conjunto que tiene solamente un elemento se denomina conjunto unitario. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo A = la vocal de la palabra sol. B = los nmeros naturales entre 6 y 8. Trabajo en equipo 1. Dados los conjuntos siguientes: A = {1, 2, 3, 4,5} B = {6, 7, 8, 9,10} C = {1, 2,10} D = {2, 4, 6,} E = {1, 2, 3,} F = {2, 5, 1, 3,4} G = { } H = {0} Para qu sirve la estadstica? La estadstica es mucho ms que solo nmeros apilados y grficas bonitas. Es una ciencia con tanta antigedad como la escritura, y es por s misma, auxiliar de todas las dems ciencias. Los mercados, la medicina, la ingeniera, entre otros, se nombran entre los ms destacados clientes de la Estadstica. La ausencia de sta conllevara a un caos generalizado, dejando a los administradores y ejecutivos sin informacin vital a la hora de tomar decisiones en tiempo de incertidumbre. Tomado de: Manual de Estadstica de David Ruz. Sabas qu? Ma tem tic a 7
  15. 15. 7 a.Cuntos elementos estn en el conjunto C? Cuntos en G? b.Qu elementos son comunes al conjunto A y al conjunto B? c.Contienen los mismos elementos el conjunto F y el conjunto E? d.Determine un subconjunto del conjunto C entre los conjuntos dados e. En el espacio en blanco indicado escriba el smbolo correcto pertenece o no pertenece ; para ello tenga en cuenta los conjuntos dados en el ejercicio anterior. a) 4____ A b) 1 ____ D c) 0 _____E d) 0_____G e) 7 ____C f) 1979____D 2. Escriba los siguientes conjuntos por extensin o comprensin segn sea el caso a. A = {x| x es uno de mis docentes} b. B = {x| x es un departamento de Nicaragua cuyo nombre comienza con G} c. C = {x| x es nmero par entre 29 y 39} d. E = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) e. G = { 4 ,9, 16 ,25 , 36} f. H = {Masaya, Managua, Rivas, Carazo, Matagalpa,} g. I = { Ejecutivo , Legislativo , Electoral , Judicial} Reforzamiento: Escriba los siguientes conjuntos por extensin o comprensin segn sea el caso: A = {x| x es un hroe nacional de Nicaragua} B = {x| x es un nmero par positivo menor que 50} C = {x| x es un pas al sur de Nicaragua} D = {x| x es un dgito par} E = {x| x es un pas de centroamrica} F = {x| x es un nmero natural} G = {x| x es un nmero mltiplo de cuatro menor que 50}
  16. 16. 8 Estadstica Introduccin El manejo sistemtico de los datos con el fin de analizarlos, tiene su origen probablemente en los censos poblacionales realizados antes de Cristo. La historia menciona las tablas estadsticas usadas por los chinos 3000 aos a. de C. Tambin en la Biblia se mencionan algunos censos realizados por los romanos (Lucas 2:1). Los egipcios realizaban censos despus de las inundaciones del Nilo, para restituir propiedades ubicadas en la margen del ro. En la edad media se hicieron estudios estadsticos, tambin se realizaron estudios en 1773 por Abraham Moivre y por el francs Pierre Laplace. En la actualidad, la tecnologa moderna (computadoras) ha hecho posible la recoleccin y anlisis de un gran volumen de informacin, permitiendo un mayor desarrollo de la Estadstica. Qu es la Estadstica? Es la ciencia que se encarga de la recoleccin, organizacin, presentacin, anlisis e interpretacin de datos numricos, para una toma de decisiones ms efectivas. La Estadstica, es una ciencia que colabora eficientemente con el fsico, el matemtico, el bilogo, el meteorlogo, el tcnico industrial, el psiclogo, el socilogo, el economista, etc. Cul es el objetivo de la Estadstica? La estadstica moderna, independientemente del campo de aplicacin, se propone fundamentalmente: a.Predecir las condiciones futuras partiendo del conocimiento de las condiciones pasadas y presentes (teora de los seguros). Ramas de la Estadstica Estadstica Descriptiva Inferencial Recopilacin, Organizacin y anlisis de datos Obtencin de informacin de ciertos parmetros estadsticos RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... La palabra Estadstica significa censo de personas y bienes. Esta palabra viene del latn statiscum collegium, del latn antiguo status (posicin, forma de gobierno). Sabas qu? Ma tem tic a 7
  17. 17. 9 b.Lograr informacin sobre una gran masa de hechos, tomando para ello una muestra representativa (los llamados surveys o encuestas de opinin pblica). Poblacin. Persona o individuo. Muestra Poblacin. Es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera, de los cuales estamos interesados en estudiar al menos una caracterstica comn y observable de dichos elementos, en un lugar determinado y en un momento dado Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo La estatura de los estudiantes del Instituto Pblico Rafaela Herrera. La poblacin seran las y los estudiantes de este Centro. Si se quiere investigar las causas del bajo rendimiento acadmico de Matemtica de 7mo grado, en Bilwi, la poblacin sera las y los estudiantes de 7mo grado de esa ciudad. Persona o individuo. En la investigacin en Bilwi, la recoleccin de datos se hace censando a cada estudiante matriculado en cada colegio. Persona o individuo. La persona, individuo u objeto es cada uno de los elementos de la poblacin. Muestra. Es un subconjunto cualquiera de la poblacin, de la cual se va a obtener la informacin para el estudio estadstico. En el ejemplo del estudio de 7mo grado, una muestra puede ser, entrevistar a 50 estudiantes de cada colegio de secundaria de Bilwi. Y si la poblacin es muy grande? Qu hago? Sencillo, toma una parte de la poblacin, o sea una muestra. No es lo mismo poblacin demogrfica que poblacin estadstica. La poblacin demogrfica se refiere a un conjunto de individuos. Por ejemplo: Los habitantes del pueblo de Beln, Rivas. Los estudiantes de 7mo grado de Ciudad Sandino. La poblacin estadstica se refiere a un conjunto de datos referidos a las caractersticas o atributos de los individuos Recuerde... La estadstica utiliza el mtodo cientfico para recoger, organizar, resumir y analizar datos, as como para obtener conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables basadas en tal anlisis.
  18. 18. 10 Reforzamiento Determine la poblacin, el individuo y la muestra de un estudio socioeconmico de la poblacin que habita en el departamento de Estel. Un estudio estadstico es una investigacin que se hace de una o ms caractersticas de los elementos de la poblacin. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo El director de un colegio decide hacer una investigacin para determinar el cumplimiento de las tareas escolares en casa de parte del colegio. Para esto hace una revisin de los cuadernos de 5 estudiantes de cada grado. Determinemos la poblacin, la muestra y el individuo o persona. Solucin. Poblacin: todos los estudiantes del colegio. Muestra: los estudiantes seleccionados para la revisin (cinco por cada grado). Individuo: cada uno de los estudiantes. Trabajo en equipo Determine en cada una de las siguientes situaciones: la poblacin y la muestra. 1. La docente Meyling Martnez le orienta a sus estudiantes que investiguen acerca del salario (en Crdobas) del que poseen los docentes de educacin secundaria del rea urbana del municipio de Masaya. 2. Se desea realizar un estudio del gasto familiar en que incurren los padres de familia de un estudiante de secundaria al inicio del ao escolar en el municipio de Granada. 3. Un fabricante de medicamentos desea conocer la propocin de persona cuya hipertensin (presin alta) puede ser controlado por un nuevo producto fabricado por la compaa. Al realizar un estudio en 5 000 individuos hipertensos se obtuvo que un 80% de ellos pudo controlar su hipertensin utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que esas 5 000 personas son representativas del grupo de pacientes hipertensos. Sabas qu? Ma tem tic a 7
  19. 19. 11 Poblacin o Universo Muestra Persona o individuo RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... La poblacin, la muestra y la persona o individuo se puede representar con una grfica llamada diagrama de Venn. La persona o individuo tambin se llama unidad estadstica y es un ente observable, que no tiene porque ser una persona, puede ser un objeto, un ser vivo o incluso algo abstracto. e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... Variable Cualitativa y Cuantitativa Variables estadsticas. Elestudioestadsticoestbasadoenlaobservacindelapersona o individuo, donde se determinan una o ms caractersticas de estos elementos, por ejemplo, la edad, preferencias, gnero, nacionalidad. Variable estadstica. Una variable estadstica es cada una de las caractersticas, cualidades o modalidades (atributos) que poseen los individuos de una poblacin. Las variables se clasifican en: I. Cualitativas: si son atributos o cualidades de la persona o individuo: el color del pelo, el sexo, la nacionalidad, el gnero, la religin, entre otros. Las variables cualitativas pueden ser: a.Ordinales: si son cualidades no numricas del individuo, que pueden ordenarse de acuerdo a una escala establecida: el grado de satisfaccin por una msica (mucho, poco o nada). b.Nominales: cualidades que no pueden ordenarse. Por ejemplo el color del pelo, el color de la piel. II. Cuantitativas: son caractersticas numricas de la persona o individuo: la edad, el peso, la nota final en matemtica. Trabajo en equipo 1. Identifique la variable y clasifquela en cualitativa o cuantitativa. En el Colegio o en el barrio, recolecten y registren datos e informacin, donde se identifiquen diversos tipos de variables. Despus socializar los resultados del trabajo en un plenario.
  20. 20. 12 2. Elaboren una encuesta o una entrevista, con variables previamente definidas y aplique dicha encuesta a un grupo determinado, por ejemplo: amas de casa, pulperas, en el centro de estudio, trabajadores(as), etc. 3. Analicen el resultado de la encuesta y presenten un informe en plenario. Variables cuantitativas: discretas y continuas. En las variables cuantitativas es muy importante definir si es un nmero entero o un nmero decimal. Por ello se debe estar claro del conjunto referencial de dicha variable. Dominio de la variable. Las variables estadsticas se representan con un smbolo, tal como A, B o C, X,Y, Z, que puede tomar un valor perteneciente a un conjunto de valores, llamado dominio de la variable. Las variables cuantitativas pueden ser: d.Discretas. Toman un valor del dominio de la variable (los nmeros naturales) y no pueden tomar ningn valor entre dos consecutivos. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Nmero de hijos, goles metidos por un equipo de ftbol, es decir se pueden contar. e. Continuas. Es la que, tericamente, puede tomar cualquier valor en una escala de medidas, entero o fraccionario. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo La estatura de una estudiante, el peso, el tiempo en minutos que tarda en hacer una tarea diaria . Se elige una muestra de la poblacin cuando es difcil o econmicamente costosa la observacin de todos los individuos de la poblacin estadstica. RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... Las variables estadsticas, se pueden dividir en dos grupos: Discretas: Son aquellas que toman un nmero finito de valores (se asocia con nmeros enteros), ejemplo: el nmero de pginas de un libro, el nmero de miembros de una familia. Continuas: Son aquellas que toman todos los valores comprendidos en un intervalo (se asocian con nmeros reales) Por ejemplo: El instante que llega cada estudiante a su instituto, entre las 6:30 am y 7:00 am. Se realiza un censo cuando se observan todos los elementos de una poblacin estadstica. Sabas qu? Ma tem tic a 7
  21. 21. 13 HH Una encuesta es un instrumento estadstico para recoger cierta informacin de una muestra de una poblacin. HH Existen diversos mtodos para aplicar una encuesta. Entre ellos hacer unas cuantas preguntas o llenar un formulario aplicado a la persona o individuo del estudio estadstico. Sabas qu? Ma tem tic a 7 La o el docente pregunta a cada estudiante: 1.Cul es su estatura en metros? 2.Cul es el color de sus ojos y cabello? 3.Cul es su edad en aos cumplidos? 4.Cul fue su calificacin en matemtica obtenida en el ltimo perodo escolar? 5.Cul es la edad mnima de un nicaragense para obtener una cdula? 6.Cul es el color de su piel? 7. Cuntos hermanos tiene? 8.Cul cree que es la temperatura ambiental? Cada estudiante sealado pasa al pizarrn a completar la tabla 1, escribiendo la caracterstica y marcando con el smbolo la respuesta correcta. Caracterstica o atributo Variable cuantitativa Variable cualitativaDiscreta Continua Tabla 1 Despus se exponen las inquietudes y dificultades. Trabajo en equipo Organizados en equipos, nombren un(a) coordinador(a), visiten varias secciones y en una muestra de 10 estudiantes de cada seccin, investiguen tres variables: la edad en aos cumplida, la estatura en centmetros y la cancin preferida. Despus completen la tabla 1 y la exponen en plenario, anotando las conclusiones y elaborando un resumen del trabajo. Reforzamiento: Clasifiquelossiguientes enunciadosenvariables cuantitativas(discretasocontinuas) ovariablescualitativas: Alturadelasmontaasde Nicaragua. Enfermedadesquehansufridolos niosylasniasdelaciudadde Granada. Materialdelqueestnhechaslas paredesdelascasasdelaGran Sultana. Tiempo(ensemanas)enquelas madresdelmunicipiodeMasaya brindaron a sus hijos lactancia materna. El nmero de preguntas contestadas correctamente en un examen de matemtica por un grupo de estudiantes.
  22. 22. 14 e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... Qu es una encuesta de opinin? Es una valoracin estadstica que se hace a partir de una encuesta con el fin de conocer la opinin pblica. Trabajo en equipo Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas, segn corresponda. 1.Edad en aos cumplidos. 2.Materias aprobadas en el ltimo perodo evaluativo. 3.Color del cabello. 4.Produccin diaria de botellas para gaseosas. 5.rea del aula de clases de los colegios del municipio de Tipitapa, en m2 . 6.El Peso (en libras) de un conjunto de personas. 7.Nmero de profesores del centro escolar. 8.Religin que profesan los adultos del municipio de Mateare. 9. Salario mensual de los empleados en una zona franca. Tablas de Frecuencias y de Categoras Trabajo en equipo Hacer un estudio estadstico del rendimiento acadmico de Matemtica de la seccin de clase. Para esto aplique una encuesta con una sola pregunta: Qu nota obtuvo en el primer corte evaluativo de Matemtica, en el curso escolar 2013? Anoten cada respuesta y despus elaboren una tabla (tabla 2) y compltenla con sus datos Rendimiento acadmico Conteo Frecuencia (fi ) Menos de 60 IIIII 5 Entre 60 y 80 IIIII IIIII IIIII 15 Entre 81 y 90 IIIII IIIII II 12 Ms de 90 IIIII III 8 Total 40 Tabla 2 Escriba en su cuaderno. HH La entrevista es otro instrumento que se usa para conocer datos estadsticos. Para aplicarla primero debe ser elaborada por el grupo entrevistador. RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Para levantar una encuesta, primero se debe reunir el grupo de trabajo y deben elaborar el instrumento que se va a aplicar, La columna conteo, en la tabla 2, se agrega para facilitar el clculo de la frecuencia absoluta (fi ). Tome nota
  23. 23. 15 Este instrumento se denomina tabla de frecuencias y se utiliza para: Ordenar Agrupar Resumir El formato de estas tablas es el siguiente: Nombre de la variable Frecuencia Categora o recorrido de la variable (toma un valor del dominio de la variable). Nmero de observaciones Total n Tabla 3 Se registran en la pizarra las edades de los 30 estudiantes de la seccin de quinto grado del colegio Salomn Ibarra Mayorga del municipio de Managua. Los datos obtenidos son los siguientes: 9 11 10 11 12 10 12 9 10 11 12 10 11 10 11 10 11 12 9 12 9 10 12 11 10 11 11 12 11 11 Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias con estos datos siguiendo el modelo de la tabla 2. Solucin. Usando la misma tcnica de conteo resulta la siguiente tabla de distribucin de frecuencias Edad del o la estudiante (aos) Conteo Frecuencia 9 IIII 4 10 IIIII III 8 11 IIIII IIIII I 11 12 IIIII II 7 Total 30 Tabla 4 RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... Encuesta de opinin. Qu tipo de lectura prefiere? Marque con el smbolo su tipo preferido. Aventuras. Biografas. Ciencia ficcin. Cuentos y leyendas. Astronoma. Otros. Los elementos bsicos que deben distinguirse en un estudio estadstico son: HH La poblacin. HH La muestra. HH La variable. HH El tipo de variable. HH El mtodo para la recoleccin de datos. HH La tabla de frecuencias. El subndice i de fi , indica la posicin en que se ubica la frecuencia asociada al dato i en una tabla de frecuencias. Por ejemplo en la tabla 4 de la pgina anterior f1 = 4 , f2 = 8, f3 = 11 y f4 = 7. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
  24. 24. 16 Tipos de Frecuencias En las tablas de distribucin de frecuencias y categoras, se puede distinguir los siguientes tipos de frecuencias: Frecuencia Absoluta (fi ) Es el nmero de veces que aparece un atributo o un valor determinado de una variable. Se representa con fi . La suma de todas las frecuencias absolutas es la cantidad de datos (n: tamao de la muestra). Frecuencia Relativa (fr ): Es el cociente de la frecuencia absoluta y el nmero de datos. Se simboliza por fr y se expresa as f f n r i = . La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. La frecuencia relativa multiplicada por 100 nos permite obtener el porcentaje (% fr = 100 fr ) de cada dato de la variable estadstica. Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi ): Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o iguales a un determinado dato. Se representa con Fi . La frecuencia absoluta acumulada del ltimo valor es igual al nmero de datos (n: tamao de la muestra). Edad fi fr %fr Fi 9 4 4/30 = 0,13 0,13(100) = 13 4 10 8 8/26 = 0,27 27 4 + 8 = 12 11 11 11/30 = 0,37 37 4 + 8 + 11 = 23 12 7 7/30 = 0,27 27 30 Total 30 1 100 Nota: Se ha redondeado hasta dos cifras significativas Frecuencia Relativa Acumulada (Fr ): Es el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el nmero de datos. Se representa con el smbolo F F n r i = . La frecuencia relativa acumulada multiplicada por 100 permite obtener el porcentaje acumulado. Ma tem ti ca 7 Sabas qu? Es lo mismo? En las estadsticas del baseball, el promedio de bateo, llamado average, es el nmero de hits por turnos al bate. Por ejemplo, un jugador que ha bateado 84 hits en 250 veces al bate tiene un promedio de bateo de 84 250 0 336 336 1000 = =, Este valor indica que el jugador conecta, en promedio, 336 hits por cada 1000 turnos al bate. La simbologa usada en estadstica retoma el uso de estos smbolos: fi , fr , Fi , Fr , N, n, por los especialistas en estadsticas. Frecuencia absoluta que frecuencia relativa.
  25. 25. 17 Observacin: n : tamao de la muestra N: tamao de la poblacin (cuando es finita) Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Con los datos de la Tabla 4, completar la tabla 5. Edaddelestudiante fi fr % fr Fi Fr % Fr 9 4 10 8 11 11 12 7 Total (n) /////// /////// ////// Tabla 5 Trabajo en equipo En un estudio estadstico que se hizo en un barrio de Jinotega, se investig la edad de las nias y nios entre 1 y 3 aos cumplidos y se recolectaron los siguientes datos (Complete la tabla de distribucin de frecuencia). Edad fi fr %fr Fi = fr . 360 1 156 2 167 3 107 Total (n) 430 Tabla 6 Reforzamiento. En una investigacin sobre la preferencia que se tiene por cierta marca de vehculo, se utiliza el sistema de llamada telefnica a diferentes personas. Marca de Auto Cantidad de respuestas afirmativas Tipo A 10 Tipo B 13 Tipo C 7 Tipo D 6 Tipo E 21 Tipo F 12 Con la informacin indicada en la tabla adjunta, elabore una tabla de distribucin de frecuencias. 90 140 130 En el diagrama de sectores circulares. El color celeste significa nios de 3 aos. El color amarillo significa nios de 2 aos. El color rosado significa nios de 1 ao.
  26. 26. 18 Sabas qu? Ma tem ti ca 7 El grfico de barras es tambin conocido como grfico de columnas y son usados para comparar dos o ms valores. Grficos Estadsticos Una vez construida la tabla de frecuencias, se representa mediante un grfico. Entre los grficos ms utilizado se puede destacar: Variable Representacin Grfica Cualitativa CC Diagrama de sectores circulares. CC Diagrama de barras. Cuantitava Discreta CC Polgono de frecuencias CC Ojiva Cuantitativa Continua CC Histograma CC Polgono de frecuencia CC Ojiva El tipo de grfico o diagrama depende del tipo de dato, si es cualitativo o cuantitativo, pero se debe de usar el grfico que sea ms adecuado a los datos recolectados para presentar mejor la informacin. Diagrama de sectores circulares Los diagramas de sectores circulares se utilizan para comparar las distintas modalidades de una variable. Procedimiento para elaborar un grfico de sectores circulares: Para construirlo, se traza un circulo y se asigna cada modalidad un sector circular, cuyo ngulo es proporcional a su frecuencia relativa. La medida, en grados, de los ngulos centrales se calcula con la expresin: = fr 360 o bien = 360 fr Los diagramas de sectores circulares y los pictogramas que se estudian ms adelante son los grficos ms populares, por su fcil comprensin. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 Si el diagrama se dibuja de esta forma, se le denomina Diagrama de sectores circulares. Noticias Novelas Pelculas Documentales Si se le dibuja de esta otra forma, se le llama Diagrama de pastel. Noticias Novelas Pelculas Documentales Pero en ambos casos es el mismo.
  27. 27. 19 1. El nmero de sectores del grfico es igual al nmero de categoras de la variable en estudio. 2. Se calcula la medida del ngulo central de cada sector circular ( agregar una columna, en la tabla, para escribir la medida del ngulo ). Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Se aplic una encuesta a una muestra de 50 personas, acerca de la preferencia que tienen por el programa de TV que ven entre las 06:00 p.m. y las 08:00 p.m., los resultados fueron: Preferencia fi noticias 16 novelas 8 pelculas 16 documentales 10 Total 50 Tabla 7 La tabla del ejempo anterior quedara de la siguiente forma: Preferencia fi fr = fr . 360 noticias 16 0,32 115,2 novelas 8 0,16 57,6 pelculas 16 0,32 115,2 documentales 10 0,2 72 Total 50 1,00 360 Tabla 8 Despus se dibuja un crculo de radio 3 cm y se mide con un transportador, el ngulo central de cada sector. Noticias Novelas Pelculas Documentales 115,2 57,6 115,2 72 Diagrama de Sectores Circulares El diagrama de sectores circulares sera el de la figura adjunta. e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... Construya un diagrama de barra y sector circular para cada una de las siguientes tablas: Color de ojos de 150 estudiantes de sptimo grado. Color de ojos fi Claros 20 Negros 50 Caf 80 Resumen de hbito de lectura de 120 estudiantes de octavo grado del colegio Carmela Noguera. Cantidad que lee fi Mucho 70 Regular 40 Poco 10
  28. 28. 20 Diagrama de Barras Es un grfico de columnas. Esta representacin grfica consiste en construir tantos rectngulos como modalidades presenta el carcter en estudio, todos ellos de igual amplitud. La altura se toma igual a la frecuencia absoluta o relativa (segn la distribucin de frecuencias que estamos representando). De esta forma, todos los rectngulos tienen reas proporcionales a las frecuencias que se quieren representar. 16 10 8 16 Si usamos los mismos datos del ejemplo anterior, el grfico es igual al ubicado a la izquierda de esta explicacin. Histograma. Cuando la variable sea de tipo continuo y los datos estn agrupados en intervalos, para representar grficamente la informacin que tenemos, utilizaremos el histograma. Procedimiento para construir un histograma Se dibuja un sistema de cordenadas. Se coloca en el eje horizontal los valores de la variable. En el eje vertical se colocan las frecuencias absolutas o las frecuencias porcentuales. Se ordenan los datos de menor a mayor y se agrupan en intervalos o clases de igual amplitud, sin traslaparse. Se registra el nmero de datos (frecuencia absoluta fi ) en cada intervalo y se construyen rectngulos cuyo ancho coincide con la amplitud de cada intervalo. La altura de cada rectngulo es igual a la frecuencia absoluta o frecuencia porcentual de cada clase. Las barras deben de construirse juntas sin traslaparse, ya que se trata de variables cuantitativas continuas. La naturaleza grfica del histograma nos permite ver pautas que son difciles de observar en una simple tabla numrica. El smbolo es la letra griega sigma. En matemtica se denomina sumatoria porque indica la suma de varios trminos. e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... Noticias Novelas Pelculas Documentales 0 10 20 Los diagramas de barra tambin se pueden dibujar en forma horizontal. En un histograma las barras van juntas porque estn asociados al comportamiento de variables cuantitativas continuas. Los grficos de barras se utilizan para representar el comportamiento de variables cualitativas o cuantitativas discretas. Los rectngulos se dibujan de manera separada.
  29. 29. 21 La siguiente tabla indica las edades de una muestra de 46 personas que asistieron a una pelicula en un cine de la ciudad de Managua: Intervalos de Edades Lmites reales fi 8 - 13 (7,5 ; 13,5] 2 14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7 20 - 25 (19,5 ; 25,5] 13 26 - 31 (25,5 ; 31,5] 15 32 - 37 (31,5 ; 37,5] 9 46 Tabla 9 Lmites reales Los lmites reales se determinan restando 0,5 o 2 1 al lmite inferior y al superior le sumamos 2 1 o 0,5 La notacin de intervalos de clase [ LI, LS ] o bien [ Li , Ls ] expresa: Li : Lmite inferior de un intervalo. Ls : Lmite superior de un intervalo. Marca de clase (Xi ): Se calcula sumando el lmite inferior y el lmite superior , luego dividimos el resultado por 2. X = L +L 2 i i s e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 F r e c u e n c i a A b s o l u t a Histograma Intervalos reales 7,5 13,5 19,5 29,5 31,5 37,5 Si a la tabla 9 le agregamos una columna para las marcas de clases (Xi ), obtenemos: Intervalo de Edades Lmites reales fi Marca de Clase (Xi ) Fi 8 - 13 (7,5 ; 13,5] 2 8 13 10,5 2 + = 2 14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7 16,5 9 20 - 25 (19,5 ; 25,5] 13 22,5 22 26 - 31 (25,5 ; 31,5] 15 28,5 37 32 - 37 (31,5 ; 13,5] 9 34,5 46 Tabla 10
  30. 30. 22 El polgono de frecuencias Una vez construido el histograma, el polgono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de la base superior de cada rectngulo. A partir de la tabla 10 se construye a continuacin el polgono de frecuencias: Sabas qu? Ma tem ti ca 7 La mayora de las grficas estadsticas se representan en el plano cartesiano. Para la mayora de las grficas se acostumbra usar el criterio de los 3 4 ; es decir, que la altura mxima de la informacin que se representa en el eje vertical sea 3 4 de la informacin que se representa en el eje horizontal. Ojiva Tambin llamada polgono de frecuencia acumulada, es la grfica de una distribucin de frecuencias acumulada que se construye uniendo con una lnea recta el punto de coordenada formado por el lmite superior real y la frecuencia acumulada. Las caractersticas de una ojiva son: a.Muestra las frecuencias acumuladas. b.Se prefiere para el tratamiento de datos cuantitativos. Polgono de Frecuencias 10,5 16,5 22,5 28,5 34,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Intervalos reales FrecuenciaAbsoluta 15 10 20 30 40 50 13,5 25,5 31,5 37,5 Ojiva Lmites reales superiores 9 FrecuenciaAcumulada 2 9 22 37 46 . . . .. 19,5
  31. 31. 23 Pictogramas Los pictogramas, tambin llamados representaciones visuales figurativas, utilizan smbolos para representar un conjunto de datos. La mayor frecuencia se identifica por la mayor acumulacin de smbolos. Estas grficas de datos tienen como objetivo ofrecer una descripcin, lo ms explcita posible, de la distribucin de datos y se emplean para hacer ms entendibles los informes estadsticos. Para construirlos se dibujan figuras que aluden a la distribucin que se est estudiando y cuyos tamaos son proporcionales a la frecuencia absoluta. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Elaborar un pictograma a partir de la siguiente tabla: Ao Venta anual de bombillas en una fbrica 2007 250 000 2008 320 000 2009 400 000 2010 520 000 Tabla 11 Venta anual de bombillas en una fbrica 550 000 450 000 350 000 250 000 2007 2008 2009 2010 (Aos) FrecuenciaAbsoluta UnidadesVendidas Pictograma 0 El diagrama de Pareto, es una grfica de barras de frecuencia que se presenta en orden de mayor a menor ( de la barra ms alta a la barra ms baja). Los diagramas de Pareto son herramientas grficas muy utilizadas en control de procesos y de calidad. Pueden ayudar a los ingenieros a identificar defectos importantes y sus causas. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 En los siglos XVII y XVIII la estadstica tuvo un mayor desarrollo gracias a dos matemticos notables, Bernoulli y De Moivre quienes desarrollaron en 1930 la forma de distribucin normal. En el siglo XIX Laplace y Gauss desarrollaron el clculo de probabilidades aplicado a la Astronoma. Quetelet, estadstico belga, aplic la estadstica a problemas sociales y educativos y Francis Galton la aplic en la Ciencias Sociales y a los estudios de la herencia eugenesia, sociologa, antropometra, etc. En Estados Unidos James Mckeen Cattell y su discpulo E. L. Thomdike aplicaron mtodos estadsticos a problemas de la sociologa y ciencias de la educacin. En el siglo XX varios estadsticos principalmente Fischer introducen varios mtodos y tcnicas en el estudio de muestras pequeas en el campo agrcola y biolgico.
  32. 32. 24 Tambin se usan los cartogramas, que se basan, en mapas geogrficos que utilizan distintas tramas, colores o intensidades para remarcar las diferencias entre los datos. Trabajo en equipo Elaboren un pictograma con los siguientes datos. Tomen en cuenta las sugerencias que se les dan y aporte ideas propias para el grfico. La demanda anual de un tipo particular de vehculos en algunos pases de Suramrica se muestra a continuacin en la tabla siguiente: Pas Demanda Colombia 20 000 Venezuela 40 000 Argentina 120 000 Chile 150 000 Brasil 160 000 Tabla 12 Sugerencias: 1.El smbolo que emplearemos tendr forma de vehculo, haciendo referencia al tema de la tabla. Cada smbolo podra tener una equivalencia de 20 000 unidades demandadas. 2.En el eje cartesiano vertical colocamos los pases y las demandas en el horizontal. Los economistas y gerentes de empresas nicaragenses pueden predecir los volmenes de venta, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, tomar decisiones de cmo invertir el presupuesto en campaas publicitarias y determinar los mejores metodos para el control de las habilidades y aptitudes de sus trabajadores con el fin de promoverlos, hacer control de calidad de los productos elaborados, entre otros. Una herramienta valiosa es la estadstica, debido a que constituye la base para que los economistas analicen funciones bsicas tales como la demanda, el ingreso, la funcin produccin y la funcin costo, entre otros, esto se conoce como Econometra. Sabas qu? Ma tem ti ca 7
  33. 33. 25 Trabajo en equipo Estudie cada uno de los siguientes pictogramas y elabore una tabla de frecuencias para los incisos 1, 2 , 3, 4, y 5 . 1) Municipio San Jorge Diriomo Bluefields El Rama Malpaisillo rboles Nmero de rboles sembrados por municipio = 1 000 rboles 2) 1930 1950 1970 1990 Poblacin demogrfica por ao del municipio de Masaya equivale a 5 000 Ao 3) Aparatos telefnicos vendidos por ao 1998 1999 2000 equivale a 10 000 Las principales caractersticas de los pictogramas son: HH Su formato es libre. HH Emplean una secuencia de smbolos para representar frecuencias. HH Se emplean para el tratamiento de datos tanto cualitativos como cuantitativos. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 Herbert George Wells mejor conocido como H.G. Wells dijo: El pensamiento estadstico ser un da tan necesario para el ciudadano eficiente como la capacidad de leer y escribir. Herbert George Wells 1 866 - 1 946
  34. 34. 26 Tome nota Medidas de tendencia central: Son estadsticos alrededor de los cuales se concentran gran parte de los valores de la distribucin MEDIANA (Me ) o x Es una medida de centralizacion que se caracteriza por lo siguiente: deja tras de s el 50% de la distribucin. El smbolo de la mediana x se lee equis circunflejo. MODA (Mo ) Se define como el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta LA MEDIA ARITMTICA (x) Es un estadstico que nos da una idea de entorno a qu valor se encuentran concentrados los valores de una variable estadstica, aunque en ocasiones no resulte un valor demasiado representativo. El smbolo de la media es x y se lee como equis barra. x : media aritmtica para una muestra . : media aritmtica para una poblacin. 4) Hectreas sembradas de trigo cada ao 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Ao 5 500 ha 9 836 ha 12 162 ha 18 400 ha 21 645 ha 7 389 ha 5) Poblacin en los departamentos de la IV regin de Nicaragua Granada Masaya Carazo Rivas Nota: Para elaborar la tabla verifique los datos de la poblacin con su docente de Ciencias Sociales Medidasdetendenciacentralcondatosnoagrupados En estadstica, adems de recopilar, organizar y representar grficamente los datos, es necesario hacer resmenes de los mismos en un solo nmero. Para esto se usan las medidas de tendencia central. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo La edad promedio de las y los estudiantes de sptimo grado de tu saln de clases. El salario promedio de las y los decentes de secundaria. El promedio de las notas de matemtica del 1er semestre de 7 mo . grado en el municipio de Ciudad Sandino.
  35. 35. 27 Medidas de tendencia central Son valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos estadsticos. Estos valores permiten analizar los datos alrededor a un valor central. Entre estas medidas tenemos: a. La media aritmtica o promedio. b. La mediana. c. La moda. La media aritmtica. La media aritmtica es la medida que se obtiene al dividir la suma de todos los datos de una variable entre el total de datos. La media aritmtica se simboliza x. Procedimiento para calcular la media aritmtica: Dado un conjunto de datos x1, x2, x3, ..., xn, la media aritmtica se obtiene con la expresin: x= x1 + x2 +x3 +...+ xn n donde n es el total de datos de la muestra. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo En Matemtica, una estudiante tiene las siguientes notas 54, 78, 65 y 83. La media aritmtica para estos cuatro datos (n = 4) es: x = 54+78+65+83 4 = 4 280 = 70 Reforzamiento Es posible que en un grupo de datos existan cuatro modas? Es posible que un grupo de datos estadsticos no tenga moda? Es posible que en un conjunto de datos estadsticos, la media, la mediana y la moda sean iguales? Proponga un ejemplo. Es posible que un conjunto de datos no tenga media aritmtica? Es posible que la media aritmtica sea la medida ms representativa de las tres medidas de tendencia central estudiadas? Proponga un ejemplo.
  36. 36. 28 Explique. Por qu la media aritmtica solo es aplicable a datos cuantitativos? Reforzamiento Si las notas de un estudiante en Matemtica en sus cuatro cortes evaluativos del ao anterior fueron: 97, 30, 89 y 30 Determine las medidas de tendencia central de esas notas. La media aritmtica: La mediana: La moda: Por qu esta diferencia? Cul es la medida de tendencia central ms confiable? Disctanlo en equipo. Trabajo en equipo 1. Investiguen el rendimiento acadmico de Matemtica, Lengua y Literatura y Ciencias Naturales del curso escolar anterior, en su centro de estudios. 2. Realicen una encuesta entre los estudiantes de su seccin, acerca de la nota obtenida en estas tres disciplinas. 3. Calculen la media aritmtica en cada materia y por ltimo, en un plenario, den a conocer los resultados, utilizando una tabla de frecuencias con un grfico de sectores. 4. Como conclusin, anote las dificultades que afectaron este rendimiento acadmico y las alternativas para superarlo. La mediana Es el valor que divide a un grupo ordenado de nmeros en dos partes iguales, de tal forma que la mitad de los nmeros se encuentra por debajo de la mediana y la otra mitad se encuentra por encima. Procedimiento para calcular la mediana de datos no agrupados: Se ordenan los datos de menor a mayor. Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato que est en el centro de los datos ordenados: Me : queda en la posicin: n+1 2 Si el nmero de datos es par, la mediana es igual a la media aritmtica de los dos datos centrales esto es: La mediana es igual a la media aritmtica de los datos dados por las posiciones determinadas a partir de: n 2 y n+1 2
  37. 37. 29 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo a) Calculemos la mediana: 12,6,18,24,6,23,7,13 Solucin. Paso 1: Ordenamos los datos 6 7 12 13 18 23 24 Me Paso 2: El nmero de datos es impar (n = 7), por tanto la mediana es el valor del centro: n +1 2 = 7+1 2 = 4 dato ubicado en cuarta posicin: Me = 13. b) Calculemos la mediana 17, 15, 9, 13, 21, 32, 41, 7, 12. Solucin. Paso 1: Ordenamos los datos 7 9 12 13 15 17 21 32 41 Me Paso 2: El nmero de datos es impar (9), por tanto la mediana es el valor del centro: n+1 2 = 9+1 2 =5 dato ubicado en la quinta posicin en la lista anterior: Me = 15 c) Calculemos la mediana 150, 162, 135, 184, 177, 256. Solucin. Paso 1: Ordenamos los datos 135, 150, 162, 177, 184, 256. Reforzamiento Calcule las medidas de tendencia central de los siguientes datos: Datos x Me Mo 2,4,7,8,9 6,8,7,5,3,7 34,25,22,20,15, 25,17,16,15,17 Los siguientes datos indican el ndice de depresin de 13 personas que asistieron a consulta psiclogica en el centro de salud Sinforoso Bravo de la ciudad de Granada, 2,5,7,2,4,2,6,6,4,2,2,3,2. Cal es la medida de tendencia central ms apropiada para indicar el ndice de depresin ms frecuente en los pacientes? Los socilogos utilizan los conceptos y tcnicas de la estadstica para medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del ser humano. Al estudio de la psicologa por medio de la estadstica se denomina psicometra. Sabas qu? Ma tem ti ca 7
  38. 38. 30 Reforzamiento Los siguientes datos corresponden al nmero de accidentes laborales que se producen durante la temporada de cortes de caf en las fincas cafetaleras de la ciudad de Matagalpa: 8 7 9 10 3 15 4 7 8 9 3 10 4 2 0 14 7 9 3 7 11 12 14 1 3 9 8 6 3 4 Construya una tabla de distribucin de frecuencia que represente estos datos. Elabore una grfica apropiada para estos datos. Calcule la media aritmtica, la mediana y la moda Como el conjunto tiene un nmero par de elementos (6 nmeros), no hay un dato en el centro: Calculamos la posicin n 2 = 6 2 =3 dato en la tercera posicin = 162 n+1 2 = 6+1 2 = 3,5 4 dato en la cuarta posicin = 177 135 150 162 177 184 256 Me = x = 162 + 177 2 = 169,5 Mediana = Media Aritmtica (x) de datos centrales La moda Definicin La moda de un conjunto de datos estadsticos no agrupados es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Se simboliza M0. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo En cada uno de los siguientes ejercicios determine la moda: En una evaluacin sistemtica efectuada a 15 estudiantes del Instituto Salomn Ibarra Mayorga de Managua, el resultado fue: 79, 72, 80, 98, 90, 72, 83, 72, 70, 75, 72, 72, 100 Solucin. Podemos observar que la nota con ms frecuencia absoluta es 72, por tanto: M0 = 72.
  39. 39. 31 Encuentre la moda para la serie de nmeros dados: a) 8, 12, 13, 8, 11, 10, 9. Solucin. El nmero que tiene mayor frecuencia es el 8, por tanto: Mo = 8. b) 23, 31, 45, 23, 38, 27, 45. Solucin. Tanto el nmero 23 como el 45 tienen la misma frecuencia. Entonces el conjunto tiene dos modas o sea es bimodal: Mo 1 = 23 , Mo 2 = 45 c) 122, 135, 234, 167, 432, 328. Solucin. En este caso, ningn dato se repite, por tanto no tiene moda. Trabajo en equipo Formen equipos de trabajo, elijan un coordinador y resuelvan los siguientes ejercicios: I) Para cada grupo de datos, calculen la media aritmtica(x), la mediana (Me) y la moda (M0). 1. 3, 7, 12, 16, 23. 2. 21, 25, 32, 48, 53, 62. 3. 128, 230, 196, 224, 196, 233. 4. 26, 31, 46, 31, 26, 29, 31. 5. 3,1; 4,5; 6,2; 7,1; 4,5; 3,8; 6,2; 6,3. 6. 14 320, 16 950, 17 330, 14 470. Las medidas estadsticas resumen la informacin de la muestra, para un mejor conocimiento de la poblacin. Las medidas de tendencia central son valores que, generalmente, se ubican alrededor de un conjunto de datos. e i +1 = 0 Aprenda un poco ms...
  40. 40. 32 II) Se ha lanzado un dado 100 veces, obtenindose los siguientes resultados: 6 1 6 3 1 4 5 2 5 6 1 5 3 4 1 4 6 1 2 1 3 1 4 6 2 5 4 3 1 5 2 2 3 6 3 5 2 4 1 6 5 2 4 5 3 6 4 6 3 6 6 4 4 2 2 5 1 6 3 1 2 5 3 1 1 4 3 5 1 5 3 3 1 6 5 2 6 1 4 5 5 1 4 4 3 2 5 6 5 2 2 4 1 3 3 4 6 4 3 2 Determinen: 1.La media, la mediana y la moda. 2.Complete la siguiente tabla de distribucin de frecuencias: Resultado fi Fi fr = fr 360 1 2 3 4 5 6 Total Elaboren los siguientes grficos: a) Un grfico de barras b) Un diagrama de sectores circulares. c) Un diagrama de Pareto III) Los siguientes datos muestran las edades de 20 personas convocadas a formar el jurado en el Juzgado Primero de lo Penal: 48 58 33 42 57 32 52 25 46 60 61 49 38 53 30 47 52 63 41 34. Determine las medidas de tendencia central. Reforzamiento El nmero de accidentes de 60 operarios de mquina que fueron analizados en tres meses por el experto Elas Martnez, se muestran en la tabla siguiente: Nmero de Accidentes fi 0 27 1 12 2 6 3 6 4 3 5 3 6 2 7 1 Determinar: HH Media aritmtica HH Moda HH Mediana HH Interprete cada medida de tendencia central HH Elabore un diagrama de Pareto
  41. 41. 33 Actividades finales de la primera unidad 1. Seale en qu caso es ms conveniente estudiar la poblacin o la muestra. a. La longitud (en pulgadas) de las reglas que corta una mquina de aserrar ininterrumpidamente. b. La estatura de los y las estudiantes de 7mo . grado de Nicaragua. c. El peso en libras de los estudiantes de 7mo . grado A del Instituto Rubn Daro. d. El nmero de aprobados de 7mo . grado del departamento de Chontales en el curso acadmico 2014. 2. Seale las variables cualitativas y las cuantitativas de la siguiente lista. Si son cuantitativas, decir cules son discretas y cules continuas. a. Color de los ojos de un grupo de seis personas. b. Altura de los estudiantes de un grado de educacin secundaria. c. Nmero de hijos de una familia. d. Color de piel de un grupo de personas. e. Credo religioso de los estudiantes de un Instituto. f. Gnero de los estudiantes de un Colegio. g. Estado civil. 3. Escriba la letra correspondiente a la par de cada enunciado en el parntesis, identifique cul es la muestra (M) y cul es la poblacin (P). a. Se extrae cien tornillos de los que produce una fbrica en un da determinado ( ) b.Obtenemos las calificaciones de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Econmicas ( ) c.Obtenemos la informacin de las horas trabajadas en un da por los obreros de la Zona Franca. ( ) d.Extraemos dos galones de gasolina de un tanque de 500 galones para que sean examinados ( )
  42. 42. 34 4. Seale con una A las series constituidas por datos cualitativos (o atributos) y con una V los datos cuantitativos. a.Preferencia musicales (Rock, Pop, Bachata, Reggae, Bolero). ( ) b.Marcas de galletas ( ) c.El peso en libras ( ) d.Velocidad en km/h ( ) e.Nivel educativo (primario, secundario, universitario) ( ) f.Nmero de empleados de una empresa. ( ) g.Aos de antigedad laboral. ( ) h.La clase social (bajo, media o alta) ( ) 5. Seale cul de las siguientes variables son continuas ( C ) y cuales son discretas ( D ). a.Cantidad de quintales de caf cortados en un perodo determinado ( ) b.Cantidad de cajas de fsforos en un determinado conteo fsico( ) c.Galones de gasolina consumidos por un automvil en una semana ( ) d.Cantidad de camisas vendidas diariamente ( ) e.Tiempo de vida de los bombillos elctricos( ) 6. Se realiz una encuesta por parte de los estudiantes de sptimo grado del Instituto Nacional de Oriente a los vecinos del barrio El Arsenal, acerca de las preferencias en los programas de TV, obteniendo los siguientes datos: Preferencia fi Fi fr = fr . 360 Novelas 48 Pelculas 35 Series de accin 22 Programas infantiles 38 Programascientficos 27
  43. 43. 35 Complete la tabla de distribucin de frecuencias. Con los datos del problema 3 dibuje: un grafico de barra, un diagrama sector circular. 7. Elabore una tabla de distribucin de frecuencias y un diagrama de sector circular con la informacin brindada por el siguiente grfico. Deporte preferido. 8. Misael Martnez obtuvo las siguientes notas, durante el primer corte evaluativo: 98, 95, 93, 63, 89, 95, 91, 89. a. Calcular la media aritmtica, la mediana y la moda de estas notas. b. Cul de las medidas de tendencia central es el ms indicado para destacar las habilidades acadmicas de Misael Martnez? 9. Los siguientes datos son las notas de Matemtica de 7mo . grado A, obtenidas por los estudiantes del Instituto Gaspar Garca Laviana. 43, 44, 47, 57, 57, 58, 59, 59, 60, 60 61, 61, 62, 62, 62, 63, 70, 80, 92, 68. a. Calcular la media aritmtica, la mediana y la moda de estas notas. b. Qu medida en el clculo anterior es la ms representativa de los datos. c. Explique su respuesta. 10. Resolver cada uno de los siguientes problemas. En un estudio que se realiz en el asilo de ancianos La Providencia de Granada, se tom las edades en aos cumplidos de los que pueden caminar sin dificultad, recolectndose los siguientes datos: 69, 73, 65, 70, 71, 74, 65, 69, 60 y 62. Calcular la media aritmtica, la mediana y la moda .
  44. 44. 36 11.A continuacin, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra ms prxima) de los bebs nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital Bertha Caldern de la ciudad de Managua, capital de Nicaragua: 4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5 a.Construir una tabla de distribucin de frecuencias de estos pesos. b.Construir un grfico de barra. c.Construir un diagrama de sectores circulares. d. Calcular las medidas de tendencia central. 12.La siguiente tabla de distribucin muestra las edades en aos de 40 estudiantes que estudian el primer nivel de bachillerato en el Proyecto Educativo Sandino 2 del Colegio Pblico Dr. Salvador Mendienta Cascante de la ciudad de Managua. Intervalo de Edades Lmites reales fi Marca de Clase (Xi ) Fi fr = fr . 360 16 - 17 5 18 - 19 11 20 - 21 10 22 - 23 9 24 - 25 3 26 - 27 2 Total (n) Complete la tabla de distribucin de frecuencia anterior y elabore los siguientes grficos estadsticos: a.Diagrama de sectores circulares. b. Histograma. c. Polgono de frecuencias. d. Ojiva.
  45. 45. 37 13. Dada la siguiente tabla de distribucin de frecuencias sobre el peso en libras de los estudiantes de undcimo grado del Instituto Pblico Douglas Sequeira. Intervalo de peso (libras) Lmites reales fi Marca de Clase (Xi ) Fi fr = fr . 360 100 - 109 10 110 - 119 26 120 - 129 20 130 - 139 15 140 - 149 14 150 - 159 19 160 - 169 12 Total (n) Complete la tabla de distribucin de frecuencia anterior y elabore los siguientes grficos estadsticos: a. Diagrama de sectores circulares. b. Histograma. c. Polgono de frecuencias. d. Ojiva. 14. La siguiente tabla muestra la preferencia que 1 250 personas televidentes tienen en relacin a seis noticieros que se transmiten diariamente por la televisin nacional de Nicaragua. Noticiero Nmero de personas que lo prefieren A 200 B 300 C 300 D 100 E 250 F 100 Total
  46. 46. 38 Elabore un: a. Diagrama de sectores circulares. b. Diagrama de Pareto. 15.El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional otorg prstamos a 30 campesinos para la siembra y produccin de frijoles. El nmero de manzanas de tierra financiada a traves de ALBA-CARUNA fueron: 17 57 10 35 26 3 21 11 7 72 5 86 6 20 95 40 14 42 12 32 28 13 19 28 45 8 19 21 38 20 a.Construya una distribucin de frecuencias que contenga 5 clases. b.Elabore un histograma. c.Elabore un polgono de frecuencia. d.Elabore una ojiva. e.Calcule la media aritmtica. f.La mediana. g.La moda. h.Interprete los resultados. 16. A continuacin se presenta la cantidad de familia beneficiada en el plan techo que impulsa el Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional en 25 comarcas del departamento de Boaco. 15 17 7 15 20 5 3 19 10 3 11 10 4 8 13 9 15 6 2 8 12 1 2 13 4
  47. 47. 39 a.Construya una tabla de distribucin de frecuencias que contenga 4 clases. b. Elabore un grfico de barra y un diagrama de sectores circulares. 17. La revisin de 8 documentos revel el siguiente nmero de equivocaciones en cada uno: 2, 4, 2, 3, 2, 0, 1, 0 Determine: a) El nmero promedio de equivocaciones. b) El nmero mediano de equivocaciones. c) El nmero modal de equivocaciones. 18. Los datos siguientes son los pasatiempos favoritos de un grupo de estudiantes de un internado, que resultaron de una encuesta realizada. Msica TV Leer TV Leer Msica TV TV TV Descansar TV Msica Dibujar Leer Leer Baseball Leer Leer Leer Msica Leer Dialogar Dialogar Leer Baseball Leer Investigar Leer Pintar Noticias Leer Msica Noticias Leer Dialogar Msica Msica Noticias Dibujar Baseball TV Leer Dibujar Descansar Investigar Msica Leer Descansar Elabore: a.Una tabla de distribucin de frecuencias. b.Un grfico de barras. c.Un grfico de sectores circulares. 19. Construir un diagrama de barras para representar el resultado obtenido al tirar un dado 100 veces, que se resume en la siguiente tabla: Nmero que muestra el dado 1 2 3 4 5 6 Total Frecuencia 20 15 22 18 14 11 100
  48. 48. 40 20. Construir un diagrama de barras para un estudio de la procedencia de los estudiantes de una escuela, si se observ que: Procedencia Urbana Rural Suburbana Total No. de estudiantes 24 36 140 200 Construya un grfico de sectores circulares para los datos de este ejercicio. 21. Dado el siguiente cuadro: Ocupacin Obreros Tcnicos Administrativos Cantidad de Personas 80 10 10 Construya un grfico de sectores circulares para la distribucin ocupacional del personal de una fbrica. 22. Dado un conjunto de datos que representan informacin sobre el peso en gramos (g) de 48 muestras minerales. 25 43 12 38 23 45 17 19 23 24 31 38 15 32 35 17 34 41 40 27 19 31 41 44 24 28 12 36 38 33 42 35 31 26 29 26 37 40 18 19 27 28 47 23 21 17 19 29 Elabore: a.Una tabla de distribucin de frecuencias. b.Un histograma. c.Un polgono de frecuencia. d.Una ojiva.
  49. 49. Conjunto de los Nmeros Enteros Unidad 2 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto como es la construccin del puente Santa Fe y paralelo a la construccin del puente tambin se construy la carretera ubicada en la costa Sur del Ro San Juan de Nicaragua hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitar que las exportaciones de la zona central del pas puedan salir en esa direccin hacia Puerto Limn en Costa Rica, adems de la entrada y salida de nicaragenses hacia el pas vecino del Sur. Fuente: 19 digital. Abril 2014. 1 2 3 4 5 6 7 . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Enteros positivos Enteros positivos Enteros negativos Enteros negativos Ni positivo ni negativo
  50. 50. 42 Teora de Conjuntos (II) Tipos de conjuntos Repaso. a. Los conceptos: conjunto, elemento y pertenencia son conceptos primitivos de la Teora de Conjuntos b. Unconjuntoesunacoleccindeelementosconcaractersticas bien definidas, que permitan decir con claridad, si este objeto est o no est en el conjunto. c. Para indicar la pertenencia de un elemento en un conjunto se usa la letra griega epsiln (). La expresin a M se lee el elemento a pertenece o est en el conjunto M. La negacin de esta expresin es a M y se lee el elemento a no pertenece al conjunto M. d. El conjunto universo es un conjunto que contiene a otros conjuntos, dentro de un contexto definido. Determinacin de conjuntos Determinar un conjunto es definir sus elementos. Los conjuntos se pueden determinar de dos formas: 1.Por extensin, si se escriben los elementos del conjunto, agrupados en llaves y separados por una coma. Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}. 2.Por comprensin, si se determinan los elementos del conjunto con una definicin, una regla, o una propiedad que los caracterice. Por ejemplo: A = {xx es una vocal}. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Describir el conjunto formado por los elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. a) Por extensin: A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}. b) Por comprensin: A = {x x es un dgito}. Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor 1 845 - 1 918 HH Era un matemtico alemn de origen ruso conocido como el creador de la teora de conjuntos. HH Fue el primero en probar la no numerabilidad de los nmeros reales. HH Cantor recibi su doctorado en 1 867 y acept una posicin en la universidad de Halle, en 1 869 donde permaneci. HH Nunca dud de su absoluta confianza en su trabajo pero, despus del descubrimiento de las paradojas de la teora de conjuntos, dej la teora de los conjuntos transfinitos, a matemticos ms jvenes tales como David Hilbert, Bertrand Russell y Ernest Zermelo.
  51. 51. 43 Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Determinar, primero por extensin y despus por comprensin, los siguientes conjuntos. a) A: el conjunto de los nmeros primos menores que 15. Solucin. Por extensin: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Por compresin: A = {x|x es un nmero primo menor que 15}. b) B: el conjunto de los departamentos de la regin del pacfico de Nicaragua. Solucin. Por extensin: B = {Chinandega, Len, Managua, Granada, Masaya, Carazo, Rivas}. Por comprensin: B = {x|x es un departamento de la regin del pacfico de Nicaragua}. Trabajo en equipo Escriba por extensin y despus por comprensin diez conjuntos tomados de su entorno. Al referirnos a elementos de un conjunto, estamos hablando de personas, animales. cosas, conjuntos numricos, etc, que tienen caractersticas bien definidas. Tome nota Recuerde: Es ms cmodo escribir algunos conjuntos por extensin, que por comprensin, y viceversa. La expresin x|x que se lee x tal que x, significa que los elementos del conjunto cumplen la regla, definicin, propiedad o relacin que determinan los elementos del conjunto. Tome nota
  52. 52. 44 El conjunto vaco se representa con el smbolo o tambin { }. No se debe escribir {} para simbolizar el vaco porque estaramos escribiendo un conjunto con un elemento. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 Algunos autores de libros de matemtica, incorrectamente dicen que el smbolo para representar el vaco es la letra griega (fi), esto es falso, recuerde que es una vocal utilizada en las lenguas danesa, feroesa y noruega... Conjunto finito y conjunto infinito A veces nos encontramos con la situacin de contar los elementos de un conjunto, por ejemplo, contar las monedas que estn en una bolsa, las y los estudiantes de un instituto o los habitantes del barrio. Este proceso de contar puede tener un final o no. Con esta idea podemos clasificar los conjuntos en: a. Conjunto finito: intuitivamente un conjunto es finito si los diferentes elementos del conjunto se pueden contar y este proceso tiene un final. b. En caso contrario el conjunto es infinito. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Algunos conjuntos particulares: a. Conjunto vaco: F = {x|x es un mltiplo de 5 entre los nmeros 11 y 14}. b.Conjunto unitario: M = {x|x es un dgito par de la cifra 2 395. c.Conjunto finito: el abecedario espaol. d.Conjunto infinito: los nmeros naturales. El conjunto Universo Sean los conjuntos: A: Los nmeros pares. B: Los nmeros impares. C: Los nmeros mltiplos de tres. D: Los nmeros primos. : Los nmeros naturales. El conjunto de los naturales contiene a los dems conjuntos o sea, es un conjunto de referencia, por tanto, podemos definir a como el conjunto universo o universal y decir que = U. Reforzamiento: Escriba cada uno de los siguientes conjuntos, por extensin y despus por comprensin. a. El conjunto de los nmeros enteros b. Los meses que tienen treinta das. c. Los planetas de nuestro sistema solar. d. Los nmeros dgitos.
  53. 53. 45 Una forma de representar los conjuntos es con diagramas (figuras geomtricas). Las relaciones entre conjuntos puede ser: 1. B A A est incluido en B A B 2. B no est incluido en A B A 3. = A = B 4. A B A y B son disjuntos 5. A, B, C U fig.1 Tome nota Trabajo en equipo Con materiales del entorno y/o dibujos, represente el conjunto vaco y mencione, sus caractersticas. Representacin grfica de conjuntos Los conjuntos se pueden representar con figuras geomtricas llamadas diagramas de Venn. A 1 2 B (Ver informacin adjunta en la columna izquierda). Relaciones entre conjuntos Entre dos conjuntos A y B, se pueden establecer las siguientes relaciones: 1.Todo elemento de A pertenece a B, entonces A est incluido en B y se simboliza A B. 2.Parte de los elementos de A estn en B, entonces A no est incluido en B y se simboliza A B. 3.Todos los elementos de A estn en B y todos los elementos de B estn A, entonces A B y B A implica que A = B 4.Los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, entonces A y B son conjuntos disjuntos. 5.Si A, B, C...,Y, Z son conjuntos dentro de un mismo estudio, entonces existe un conjunto referencial o universal U tal que A, B,..., Z U. Trabajo en equipo Estudie los diagramas de la fig.1 y despus elabore con otras figuras, diagramas que expresen las relaciones entre conjuntos.
  54. 54. 46 El conjunto de los nmeros naturales () Breve resea histrica. Al iniciar el estudio de la Matemtica en la educacin Primaria, se comienza contando elementos de conjuntos por ejemplo, los dedos de las manos o algunos objetos del entorno, relacionando dos conjuntos, igual a como pudieron hacerlo nuestros ancestros, contar y haciendo marcas, ya sea en un pedazo de hueso (se descubri uno en China), en un trozo de madera o seales en la pared, etc. 9 19 21 11 1719 13 11 Marcas en un hueso Conelnacimientodelaescritura,haciaelsigloIVa.deC.enlabaja Mesotopotamia, se emplean los primeros signos matemticos para contar y medir. Se comprob, con el descubrimiento de las tablillas pictogrficas de Erech del 3500 a. de C. que son las ms antiguas que se conocen, que este inicio matemtico toma mayor consistencia. Nmero natural En la escuela primaria nos familiarizamos con el conjunto de los nmeros naturales: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} los que usamos para contar los elementos de un conjunto. Entonces se deduce que, un conjunto cualquiera tiene un nmero de elementos llamado la cardinalidad del conjunto y representado con un smbolo denominado numeral. El nombre de nmero natural se debe, segn los historiadores, a la afirmacin que hizo el matemtico alemn Leopoldo Kronecker en el siglo XIX: Dios hizo los nmeros naturales, lo dems lo hizo el hombre. Leopold Kronecker 1 823 - 1 891 HH Las actividades del hombre prehistrico: pensar, hablar y fabricar instrumentos, estn ligadas con los conceptos bsicos de la matemtica: nmero, medida y orden. HH Casi todos los sistemas antiguos de escritura, disponen de signos especiales para representar los nmeros. Historia de la Matemtica
  55. 55. 47 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo La figura adjunta, es una pintura donde estn varios cazadores y un conjunto de animales, cuntos animales?, el numeral para este conjunto (llamado tambin la cardinalidad) es el 10, porque son diez elementos (animales) que tiene dicho conjunto. En este libro no haremos distincin entre numeral y nmero. En los siguientes grados de Primaria, se comprende que este proceso de contar no tiene fin: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ..., 1000, 1001, ... Porque, despus de cada nmero existe el siguiente llamado el sucesor, por eso se escribe punto suspensivo indicando que, el proceso de contar contina indefinidamente, no tiene fin. El conjunto 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ... se denomina el conjunto de los nmeros naturales, es un conjunto infinito y se escribe por extensin: = {1, 2, 3, 4, 5,...} Los nmeros naturales y la recta numrica. Si establecemos una correspondencia entre el conjunto de los nmeros naturales y algunos puntos de una recta: 1 2 3 4 5 6.... Quedara la siguiente figura: 1 2 3 4 5 6... Que se denomina semirrecta numrica. Una teora matemtica est basada en los siguientes elementos: 1. Conceptos primitivos. No se pueden definir con otros conceptos ms fundamentales. 2. Axiomas: Verdades tan evidentes que no necesitan demostrarse. 3. Definiciones. 4. Teoremas: Afirmaciones que deben demostrarse. 5. Lenguaje lgico. Pintura rupestre (prehistrica) Sabas qu? Ma tem ti ca 7
  56. 56. 48 Propiedades del conjunto El conjunto de los nmeros naturales presenta las siguientes caractersticas: a.Todo elemento n tiene un sucesor n + 1, llamado tambin el consecutivo de n. b. es un conjunto discreto, esto quiere decir que entre dos nmeros naturales consecutivos, no existe otro nmero natural. c.El conjunto no tiene ltimo elemento. Relaciones de orden en el conjunto de los nmeros naturales Si a y b son dos nmeros naturales, una y solamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera: ab (se lee a es menor que b) ab (se lee a es mayor que b) a = b (se lee a es igual que b) Por ejemplo, si los naturales son 34 y 26, entonces es cierto que 3426 o tambin que 2634 pero, es falso que 34 = 26. Orden en el conjunto En la recta numrica, se puede afirmar que un nmero natural a es mayor que otro b, si el punto correspondiente al nmero a est a la derecha del punto que le corresponde al nmero b. Por ejemplo, sean tres nmeros naturales a, b y m, si la grfica de estos tres nmeros es: b a m entonces podemos decir que ma y tambin bm. Las expresiones ma y bm se denominan desigualdades. El orden en el conjunto queda especificado a travs del trmino preceder y decir que: x precede a y significa que xy. El conjunto de los naturales tiene el siguiente orden: 123456789... Los segmentos pueden medirse de 1 en 1, de 5 en 5, de 10 en 10, de la forma que le facilite el grfico de los diferentes puntos. Ejemplo: Grafiquemos los puntos 24, 76 y 105. Solucin. En este caso cada segmento mide 10. Los conjuntos de los nmeros primos, pares e impares son subconjuntos de . El siguiente diagrama de Venn representa esta relacin: Pares Primos Impares 2 P: nmeros naturales primos. P = {2, 3, 5, 7,11, 13, . . .} A: nmeros naturales pares. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .} B: nmeros naturales impares B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} e i +1 = 0 Aprenda un poco ms...