Libro de Mate Cap1

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captulo

11

El arte de resolver problemas '

i as supercomputadoras modernas pueden realizar miles de millones de clculos en un solo segundo. Con todo este potencial de clculo disponible, por qu los cientficos necesitan computadoras an ms rpidas para resolver algunos problemas? Imagine que necesitamos evaluar qu posibilidades hay de que una viga de acero que soporta un puente se fracture bajo los efectos de una fuerte presin. Para abordar este problema, existe una nueva ciencia conocida como dinmica molecular, que sirve para modelar el movimiento de cada tomo en los distintos materiales, en este caso el metal. Modelar una plancha de metal de slo 1000 tomos de ancho por 2000 de largo y 19 de grosor requiere ms de 50 horas de clculos de una supercomputadora. A fin de simular el movimiento de 100 millones de tomos en una viga de acero, se deben almacenar 7600 millones de nmeros en la memoria de la computadora. Puesto que el movimiento de un tomo es tan rpido, los cientficos deben calcular su velocidad y posicin en cada milsima de una billonsima de segundo. Cada uno de estos movimientos en el tiempo requiere 90,000 millones de clculos aritmticos. Hasta ahora, los cientficos han logrado realizar el modelo de 600 millones de tomos en un momento determinado en el tiempo. Sin embargo, una sola partcula de polvo contiene ms de 1000 millones de tomos, de modo que en la actualidad apenas pueden modelarse piezas metlicas extremadamente pequeas. Hacer un modelo de las rupturas que puede sufrir una viga completa de acero a causa de la presin no est al alcance de las supercomputadoras actuales, simplemente porque son demasiado lentas para ello. Cada vez son ms importantes las aplicaciones reales que requieren clculos a alta velocidad. Desde modelar el comportamiento del corazn por largos periodos hasta pronosticar el clima con 24 horas de anticipacin, los problemas prcticos son en realidad muy complejos. Su comprensin requerir no slo de computadoras ms rpidas, capaces de realizar billones en lugar de miles de millones de clculos por segundo, sino tambin de nuevas estrategias para la resolucin de problemas. Fuente: SIAM News, vol. 28, nm. 5, 1995. 1.1 Resolucin de problemas mediante el razonamiento inductivo 1.2 Una aplicacin del razonamiento inductivo: patrones de nmeros 1.3 Estrategias para resolver problemas 1.4 Clculo, estimacin y lectura de grficas Extensin: El uso de la escritura para aprender matemticas Investigacin en grupo: Descubrir las matemticas en el tringulo de Pascal Examen del captulo 1

CAPITULO 1

El arte de resolver problemas

Resolucin de problemas mediante e! razonamiento inductivoEl desarrollo de las matemticas tiene sus races en las culturas egipcia y babilonia (3000 a.C.-260 d.C.), donde surgieron por la necesidad de resolver problemas. El enfoque de estas culturas era un poco el mtodo "haga primero A, luego B": a fin de resolver un problema o realizar una operacin, se daba una especie de receta de cocina, y se pona en prctica una vez y otra para resolver problemas similares. Durante el periodo griego clsico (600 a.C. -450 d.C.) surgi un tipo ms formal de matemticas en el que los conceptos generales se aplicaban a problemas especficos, lo cual dio como resultado un desarrollo lgico y estructurado de esta ciencia. Al observar que un mtodo especfico funcionaba para cierto tipo de problemas, los babilonios y los egipcios concluyeron que el mismo mtodo funcionara para cualquier tipo similar de problema. Tal conclusin recibe el nombre de conjetura. Una conjetura es una suposicin fundamentada en observaciones repetidas de un patrn o proceso particular. El mtodo de razonamiento que acabamos de describir se llama razonamiento inductivo.

El papiro de Mosc, el cual data de alrededor de 1850 a.Qt proporciona un ejemplo del razonamiento inductivo empleado por los antiguos matemticos egipcios. El problema 14 de este documento dice lo siguiente: Usted tiene una pirmide truncada de 6 de altura por 4 en la base y 2 en la parte superior. Si eleva al cuadrado ^ste 4, el resultado es 16. SI duplica el 4, el resultado es 8. Si eleva al cuadrado el 2, el resultado es 4. Si suma el 16, el 8 y el 4, el resultado es 28. SI toma un tercio de 6, el resultado es 2. Si toma dos veces 28, el resultado es 56. Observe, es 56. Encontrar que es correcto. Qu significa todo esto? El tronco es la parte de la pirmide que queda cuando su parte superior es cortada por un plano paralelo a la base de la pirmide. La frmula real para determinar el volumen del tronco de una pirmide de base cuadrada es 13

inductivoEl razonamiento inductivo se caracteriza por permitir llegar a una conclusin general (mediante una conjetura) a partir de observaciones repetidas de ejemplos especficos. La conjetura puede ser verdadera o falsa.

donde b es el rea de la base superior, B es el rea de la base inferior y h es la altura. Siguiendo el texto del problema, podemos ver que el escritor est dando un mtodo para determinar el volumen del tronco de una pirmide con bases cuadradas en la parte superior e inferior, cuyos lados en la base inferior tienen 4 de longitud, en la base superior tienen 2 de longitud y cuya altura es igual a 6.

Cuando se comprueba una conjetura obtenida por medio del razonamiento inductivo, basta con un solo ejemplo donde no funcione para demostrar que dicha conjetura es falsa. A esto se le llama contraejemplo. El razonamiento inductivo constituye un mtodo eficaz para sacar conclusiones, pero tambin es importante notar que no se tiene la certeza de que la conjetura observada siempre sea verdadera. Por esta razn, los matemticos no se inclinan a aceptar una conjetura como verdad absoluta, hasta que sea formalmente demostrada mediante mtodos de razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo caracteriz el desarrollo y enfoque de las matemticas griegas, como se puede observar en los trabajos de Euclides, Pitgoras, Arqumedes y otros.

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^^t^tJ A e&ft&f'Ot

El razonamiento deductivo se caracteriza por la aplicacin de principios generales a ejemplos especficos.

Veamos ahora ejemplos de estos dos tipos de razonamiento. Con frecuencia, en este captulo haremos referencia a los nmeros naturales:1 2,3

/KUna pirmide truncada, o tronco de una pirmide

Los tres puntos indican que los nmeros continan indefinidamente en el patrn que se haya establecido. La regla ms probable para continuar este patrn es "sumar uno al nmero anterior", y sta es en realidad la regla que seguimos. Ahora, considere la lista siguiente de nmeros naturales: 2,9,16,23,30. , !

$

1.1 Resolucin de problemas mediante el razonamiento inductivo

,

JunioL M Mi J

18 15 22 29

2 3 9 10 16 17 23 24 30

4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

7 14 21 28

Cul es el siguiente nmero de esta lista? La mayora de las personas dira que el siguiente nmero es 37. Por qu? Probablemente porque razonan algo como esto: qu tienen en comn el 2, el 9 y el 16? Cul es el patrn de estos nmeros? Despus de examinar los nmeros por un momento, podramos ver que 2 + 7 = 9 y 9 + 7 = 16. Ocurre algo semejante con los otros nmeros de la lista? Se suman 16 y 7 para obtener 23? Se suman 23 y 7 para obtener 30? S, cualquier nmero de la lista dada puede hallarse sumando 7 al que le precede. Por medio de este patrn, el siguiente nmero de la lista debe ser 30 + 7 = 37. Usted logr hallar el "nmero siguiente" haciendo un razonamiento a partir de su observacin de los nmeros de la lista. Quiz pas de estas observaciones (2 + 7 = 9,9 + 7 = 16, y as sucesivamente) al enunciado general de que cualquier nmero de la lista es 7 unidades mayor que el nmero que le precede. ste es un ejemplo de razonamiento inductivo. Utilizando el razonamiento inductivo, concluimos que 37 era el nmero siguiente de la lista. Pero esto es incorrecto. Le tendimos una trampa, es decir, lo inducimos a sacar una conclusin incorrecta. No es que su lgica fuera errnea, sino que la persona que cre la lista tena otra respuesta en mente. La lista de nmeros 2,9,16,23,30 en realidad corresponde a cada lunes del mes de junio, si el 1 de junio cae en domingo. El lunes que sigue al 30 de junio es 7 de julio. Siguiendo este patrn, la lista sera como sigue: 2,9,16,23,30,7,14,21,28,.... Vea el calendario de la figura 1. El proceso que usted ha utilizado para obtener la regla de "sumar 7" en la lista revela una falla importante en el razonamiento inductivo: nunca se puede estar seguro de que lo que es cierto en un caso especfico ser cierto en todos los casos. Incluso un nmero grande de casos puede no ser suficiente. El razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, sino que proporciona un medio para hacer una conjetura. En el razonamiento deductivo, por otro lado, tomamos enunciados generales para aplicarlos a situaciones especficas. Por ejemplo, una de las reglas mejor conocidas en matemticas es el teorema de Pitgoras: para cualquier tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos (los lados ms cortos) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado ms largo). Por tanto, si sabemos que las longitudes de los lados ms cortos son 3 y 4 pulgadas, respectivamente, podemos determinar la longitud del lado ms largo. La h representa este ltimo:32 + 42 = If 9 + 16 = h2 25 = h2 Teorema de Pitgoras. Se elevan al cuadrado los trminos. Se suman. La raz cuadrada positiva de 25 es 5.

JulioD L M Mi J V S

6 13 20 27

114 21 28

1 8 15 22 29

2 9 16 23 30

3 10 17 24 31

4 11 18 25

5 12 19 26

FIGURA 1

h = 5.

.

De modo que el lado ms largo (la hipotenusa) mide 5 pulgadas. Utilizamos la regla general (el teorema de Pitgoras) y la aplicamos a una situacin especfica. Para resolver un problema por lo regular se requieren ciertas premisas. Una premisa puede ser una suposicin, una ley, una regla, una idea ampliamente aceptada o la pura observacin. Luego, partiendo de las premisas se razona de manera inductiva o deductiva para llegar a una conclusin. Las premisas y la conclusin componen un argumento lgico.

CAPITULO 1


Identifique cada premisa y la conclusin de cada uno de los argumentos siguientes. Luego diga si el argumento es un ejemplo de razonamiento inductivo o deductivo. (a) Nuestra casa est hecha de madera tratada. Mis dos vecinos inmediatos tienen casas hechas de madera tratada. Por tanto, todas las casas de nuestro vecindario estn hechas de madera tratada. Las premisas son: "Nuestra casa est hecha de madera tratada" y "Mis dos vecinos inmediatos tienen casas hechas de madera tratada". La conclusin es: "Por tanto, todas las casas de nuestro vecindario estn hechas de madera tratada". Como el razonamiento va de ejemplos especficos a un enunciado general, el argumento es un ejemplo de razonamiento inductivo (aunque es muy probable que su conclusin sea falsa). (b) Todos los procesadores de palabras permiten imprimir el smbolo @. Yo tengo un procesador de palabras. Yo puedo imprimir el smbolo @. Aqu las premisas son: "Todos los procesadores de palabras permiten imprimir el smbolo @" y "Yo tengo un procesador de palabras". La conclusin es: "Yo puedo imprimir el smbolo @". Este razonamiento va de lo general a lo especfico, de modo que se utiliz un razonamiento deductivo. (c) Hoy es viernes. Maana ser sbado. En este caso slo hay una premisa: "Hoy es viernes". La conclusin es: "Maana ser sbado". Aqu se utiza el hecho de que el sbado sigue al viernes, aunque no se mencione de manera explcita. Puesto que la conclusin se deduce de hechos generales que se aplican a este caso en particular, se est utilizando el razonamiento deductivo. B El ejemplo que vimos antes en esta seccin, concerniente a las fechas, mostr cmo el razonamiento inductivo puede conducir a conclusiones falsas. Sin embargo, si lo que buscamos es la respuesta ms probable, en muchos casos el razonamiento inductivo proporciona resultados correctos. Utilice el razonamiento inductivo para determinar qu nmero es el ms probable que siga en cada lista.EJEMPLO

(a) 3,7,11,15,19,23 Cada nmero de lista se obtiene sumando 4 al nmero que le precede. El siguiente nmero probable es 23 + 4 = 27. (b) 1,1,2,3,5,8,13,21 Comenzando con el tercer nmero de la lista, cada nmero se obtiene sumando los dos nmeros que le preceden. Esto es, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, y as sucesivamente. El siguiente nmero probable en la lista es 13 + 21 = 34. (stos son los primeros trminos de la famosa sucesin de Fibonacci, que trataremos con ms detalle en un captulo posterior.) (c) 1,2,4,8,16 Aqu parece que, a fin de obtener cada nmero despus del primero, debemos duplicar el nmero anterior. Por lo tanto, el siguiente nmero probable es 16 X 2 = 32. A menudo el razonamiento inductivo puede utilizarse para predecir una respuesta en una lista de ejercicios de clculo construidos de manera similar, como se muestra en el ejemplo siguiente. g

'


37 37 37 37

x x x x

3 6 9 12

= 111 = 222 = 333 = 444

EJEMPLO I Observe la lista de igualdades en el margen. Utilice esa lista para predecir qu operacin sera la siguiente. En cada caso, el miembro izquierdo de la igualdad tiene dos factores, el primero es 37 y el segundo es un mltiplo de 3, empezando con 3. El producto (o respuesta) en cada caso consta de tres dgitos, todos iguales, empezando con 111 para 37 X 3. Para que este patrn contine, la siguiente multiplicacin sera 37 X 15 = 555, que es la respuesta correcta. (Nota: Tal vez le interese investigar qu sucede despus de que el segundo factor llega a 30, y haga conjeturas con base en esos productos.)

La siguiente ancdota, la cual tiene que ver con el razonamiento inductivo, aparece en el primer volumen de la serie In Mgthematical Circles de Howard Eves (PWS-KENT Publishing Companyj,

Un cientficp tena dos vasijas frente a l en la mesa de su laboratorio. La vasija de la izquierda contena 100 pulgas; la de la derecha estaba vaca. Con todo cuidado, el cientfico sac una pulga de la vasija de la izquierda, la coloc en la mesa entre ambos recipientes, retrocedi y con voz imperiosa le dijo: "Salta!". La pulga salt, por lo que fue colocada en la vasija de la derecha. El cientfico sac otra pulga de la vasija de la izquierda y la puso sobre la mesa entre los dos recipientes. Una vez ms el hombre retrocedi y con voz fuerte exclam: "Salta!". La pulga salt y fue colocada en la vasija de la derecha. El cientfico repiti este procedimiento con cada una de las 100 pulgas que estaban en la vasija de la

izquierda, y en cada caso las pulgas obedecieron la orden de saltar. Entonces las vasijas fueron cambiadas de lugar y el experimento se repiti, pero con una pequea variante. Esta vez el cientfico sac una pulga de la vasija izquierda, con mucho cuidado le desprendi las patas traseras y luego la coloc sobre la mesa entra las dos vasijas. Entonces se alej y le orden con voz imperiosa: "Salta!". La pulga no salt, de modo que fue colocada en la vasija de la derecha. El cientfico sac otra pulga del recipiente de la izquierda, le desprendi las patas traseras y la coloc sobre la mesa, entre las dos vasijas. De nueva cuenta se alej de la mesa y orden: "Salta!". La segunda pulga no salt, y fue colocada en la vasija de la derecha. El cientfico hizo lo mismo con cada una de las pulgas de la vasija de la izquierda, pero esta vez ninguna de ellas obedeci la orden de saltar. Una vez terminado el experimento, el cientfico registr en su cuaderno la siguiente conclusin: "Cuando a una pulga se le desprenden las patas traseras, se queda sorda".

Para anlisis en grupoDurante la clase, analice ejemplos de anuncios en televisin, peridicos, revistas, etc., que induzcan a los consumidores a extraer conclusiones errneas. ''-.".;""-l"fr!!5'T4;flf*"i r;fi, : ;'.:' ' , ' i ;B

Un ejemplo clsico de cmo el razonamiento inductivo puede fallar es el del nmero de regiones que se forman al construir cuerdas en un crculo. Cuando dos puntos sobre una circunferencia se unen mediante un segmento de recta, se forma una cuerda. Elija un solo punto sobre una circunferencia. Ya que no se forma ninguna cuerda entonces en el crculo slo hay una regin interior. Vea la figura 2(a). Col-

CAPTULO 1


'

que otro punto y dibuje una cuerda entre ambos. Se forman dos regiones interiores, como se muestra en la figura 2(b). Contine este patrn. Con tres puntos dibuje todas las cuerdas posibles. Se forman cuatro regiones interiores, lo que puede verse en la figura 2(c). Cuatro puntos producen ocho regiones y cinco puntos dan como resultado 16 regiones. Vea las figuras 2(d) y 2(e).

(a)

Nmero Nmero de puntos de regiones

1^

1"7

3 4

4

816

5

Los resultados de las observaciones anteriores se resumen en la tabla al margen. El patrn que aparece en la columna llamada "Nmeros de regiones" es el mismo que vimos en el ejemplo 2(c), donde pronosticamos que el siguiente nmero de la lista sera 32. Aqu parece ocurrir lo mismo: por cada punto adicional sobre la circunferencia, el nmero de regiones se duplica. Una conjetura inductiva razonable sera que para seis puntos se formaran 32 regiones. Pero como indica la figura 3, slo hay 3 1 regiones ! No, no es que "falte" una regin. Sucede que el patrn de duplicacin termina cuando se aade un sexto punto. Si agregramos un sptimo punto obtendramos 57 regiones. Los nmeros que corresponden aqu son 1,2,4,8,16,31,57. Para n puntos sobre una circunferencia, el nmero de regiones correspondiente se obtiene con la frmula - 63 + 232 24 24 Podemos utilizar una calculadora grfica para construir una tabla de valores que indique el nmero de regiones para diferente nmero de puntos. Usando X en lugar de n, podemos definir Y mediante la expresin anterior (vea la figura 4(a)). Luego, usando una tabla de valores como la de la figura 4(b), vemos cuntas regiones (indicadas por Y[) hay para cualquier nmero de puntos (X).

FIGURA 3

2-18X+24>/24

i zH E 7

X

m i H i ib 31 E?

ViBX^4-6X3+23X...(a) (b)

FIGURA 4.

*Para mayor informacin sobre ste y otros patrones similares, consulte "Counting Pizza Pieces and Other Combinatorial Problems", de Eugene Maier, en el nmero de enero de 1988 de Mathematical Teacher, pp. 22-26.


Como se indic antes, debido a que basta un solo contraejemplo para demostrar que una conjetura es falsa no se puede estar seguro de que una conjetura es correcta hasta que no se comprueba la existencia de una relacin general.

EJERCICIOSEn los ejercicios 1 al 12, diga si cada uno de los siguientes razonamientos es inductivo o deductivo. 1. Cuando un mecnico dice que tardar dos das en reparar un auto, en realidad tarda cuatro das. El mecnico le dice: "Creo que tardar un par de das en reparar su auto". Entonces puede esperar que est listo dentro de cuatro das. 2. Cuando uno toma su medicina, se siente mucho mejor. Usted toma su medicina. Por lo tanto, se sentir mejor. 3. Ha llovido durante los ltimos cinco das, y hoy tambin est lloviendo, as que maana volver a llover. 4. Los primeros tres hijos de Natalia fueron varones. Si tiene otro beb, ser varn. 5. Jos tiene 95 tarjetas de Pokmon. En su cumpleaos, Margarita le obsequi 20 ms. Por lo tanto, ahora l tiene 115 tarjetas. 6. Si el mismo nmero se resta de ambos miembros de una igualdad verdadera, la nueva igualdad tambin ser verdadera. Yo s que 9 + 18 = 27. Por lo tanto, (9 + 18) - 12 = 27 - 12. 7. S t lo construyes, ellos vendrn. T lo construyes, as que ellos vendrn.las 8. Todos los hombres son mortales. Scrates es m o r t a l . ' diferencias entre el razonamiento inductivo el Por lo tanto, Scrates es mortal. V deductivo. D un ejemplo de cada uno.

tad de medicina. Puesto que estudio en Brainchild, tambin puedo esperar ser aceptado en la facultad de medicina. 10. Durante los ltimos 25 aos, una rara planta que produce alternativamente flores amarillas y verdes cada verano ha florecido en Columbia. El verano pasado sus flores fueron verdes, por tanto, este verano su floracin ser amarilla. 11. En la sucesin 5,10,15,20,..., lo ms probable es que el siguiente nmero sea 25. 12. Los ltimos cuatro sencillos de Britney Spears han alcanzado la lista de los Diez Mejores (Top Ten), as que su actual sencillo tambin llegar a los Diez Mejores.

9. Es un hecho que todo estudiante que asisti a la ^14. D un ejemplo de un razonamiento inductivo incoUniversidad de Brainchild fue aceptado en la faculrrecto. Determine el siguiente trmino ms probable en cada lista de nmeros.

15. 6, 9, 12, 15, 18 18. 32, 16, 8, 4, 221. 1/2,3/4,5/6,7/8,9/10

16. 13,18,23,28,33

19. 3, 6, 9, 15, 24, 3922. 1,4,9, 16,25

17. 3, 12, 48, 192, 768 J^ 20. 1/3, 3/5,5/7,7/9, 9/11'

23. 1,8,27,64, 125

26. -1,2, -3,4, -5,6 25. 4, 7, 12, 19, 28, 39 24. 2, 6, 12, 20, 30, 42 27. 5, 3, 5, 5, 3, 5, 5, 5, 3, 5, 5, 5, 5, 3, 5, 5, 5, 5 28. 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 2, 2, 8, 2, 2, 2, 2, 8, 2, 2, 2, 229. Elabore una lista de nmeros semejante a la del ejercicio 15, de tal forma que el siguiente nmero ms probable sea 60. 30. Elabore una lista de nmeros semejante a la del ejercicio 26, de tal manera que el 9 sea el siguiente nmero ms probable.

CAPITULO 1


En cada ejercicio del 31 al 42 aparece una lista de igualdades. Utilice las listas y el razonamiento inductivo para predecir la igualdad que sigue en cada ejemplo y luego verifique su conjetura.31.

11

(9 (98 (987 (9876 (1 (12 (123 (1234

X 9) X 9) X 9) X 9) X 9) X 9) X 9) X 9)

+ + + +

7 6 5 4

= = = =

88 888 8888 88,888 11 111 1111 11,11142.'

T T 7 1 1+1+1+ = 1 ~16 2 4 81 1 2 1 2 3 1 1 2 i 1 1 2 2 3 1 1 2 - 3 ' 3 -4 1 1 3-4 ' 4 5 1 2 2 3 3 4 4 .

+

2 1+

H

1 T 4 1 = 1 ~~8~

=1

32.

+2= + 3= +4 = + 5=

33. 3367 3367 3367 3367

X X X X

3= 6= 9= 12 =

10,101 20,202 30,303 40,404 111,111 222,222 333,333 444,444

'

1 1-2

34. 15873 15873 15873 1587335.

X 7= X 14 = X 21 = X 28 =

34 X 34 = 1156 334 X 334=111,556 3334 X 3334= 11,115,556 11 X 11 = 121 111 X 111 = 12,321 1111 X 1111 = 1,234,3213 = 3(2)

36.

37.

, , 6 6(3) 3 + ,=

A menudo se narra la siguiente ancdota del gran matemtico Cari Friedrich Gauss (1777-1855). Cuando era muy joven, su profesor les pidi a los alumnos que encontraran la suma de los primeros 100 nmeros naturales. Mientras sus compaeros de clase se afanaban tratando de resolver el problema, l simplemente escribi un nmero y se lo entreg a su maestro. La respuesta era correcta. Al preguntrsele cmo lo haba hecho, el joven Cari explic que se haba dado cuenta de que haba 50 pares de nmeros cuya suma era 101 (vea a continuacin). De modo que la suma de todos los nmeros del 1 al 100 deba de ser 50 X 101 = 5050.

+ 6 + 9 + 12 =

12(5)

2 = 4-2 2+4=8-2 2 + 4 + 8=16-2 2 + 4 + 8 + 16 = 32 - 239.

50 sumas de 101 = 50 X 101 = 5050 Utilice el mtodo de Gauss para determinar cada una de las sumas siguientes.= = = = 6(6 - 1) 6(36 - 1) 6(216 - 1) 6(1296 - 1) 43. 1 + 2 + 3 + + 200 44. 1 + 2 + 3 + + 400 45. 1 + 2 + 3 + + 800 46. 1 + 2 + 3 + + 2000

5(6) 5(6) + 5(36) 5(6) + 5(36) + 5(216) 5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(1296)" "19Q I + O + 27 9 1 '"1 7

40.

3(3 - 1) 23(9

~ 2

!)

47. Modifique el procedimiento de Gauss para encontrar la suma 1 + 2 + 3 + + 175.%*48. Explique con sus propias palabras cmo puede modificarse el mtodo de Gauss para encontrar la suma 1 + 2 + 3 + + , donde n es un nmero natural impar. (Todo nmero natural impar, cuando se divide entre 2, deja un residuo de 1.)

2

j^ -f- y f Z, I \ + 81 i Q r 27 0 1

3(81

2

-


49. Modifique el procedimiento de Gauss para encontrar la suma 2 + 4 + 6 + + 100. 50. Utilice el resultado del ejercicio 49 para encontrar la suma 4 + 8 + 12 + + 200. 51. Encuentre un patrn en la siguiente lista de figuras y utilice el razonamiento inductivo para predecir qu figura sigue.

(c) Divida entre 2. (d) Reste el nmero con el que empez. (e) Registre su resultado. Repita el proceso, pero esta vez sume 8 en el paso (b). Registre este ltimo resultado. Repita el proceso una vez ms, pero ahora sume 10 en el paso (b). Registre su resultado final. (f) Observe lo que ha hecho. Utilice el razonamiento inductivo para explicar cmo predecir el resultado final. Quiz le gustara utilizar este ejercicio como un "truco numrico" para sorprender a sus amigos. 57. Complete lo siguiente. 142,857 X 1 = 142,857 X 2 = ~ 142,857 X 3 = 142,857 X 4 = 142,857 X 5 = 142,857 X 6 = Qu patrn existe en las respuestas sucesivas? Ahora multiplique 142,857 por 7, y obtendr un resultado interesante.

(d)

(e)

(i)

52. Observe 0 0 O O

la siguiente tabla. 2 2 2 0 0 0 0 2 4 6 4 2 0 0 2 6 12 14 12 6 2 2 8 20 32 38 32 20

0 0 0 8

58. Complete lo siguiente. 12,345,679 X 9 =12,345,679 X 18 = 12,345,679 X 27 = Qu nmero multiplicado por 12,345,679 dar como resultado 888,888,888?59. Observe otra vez las figuras 2(b)-(e) y 3. En lugar de contar las regiones interiores del crculo, cuente el nmero de cuerdas formadas. Utilice el razonamiento inductivo para predecir el nmero de cuerdas que se formaran si se usaran siete puntos. 60. Haga el siguiente truco numrico a alguno de sus amigos. Nos fue proporcionado por el doctor George De Rise, del Thomas Nelson Community College. (a) Pida a su amigo o amiga que escriba su edad (slo se permiten nmeros enteros). (b) Multiplique ese nmero por 4. (c) Sume 10. (d) Multiplique por 25. (e) Reste el nmero de das de un ao no bisiesto. (f) Sume la cantidad de menudo 1 que l o ella tenga en el bolsillo (menos de un dlar, en centavos). (g) Pida a su amigo la respuesta final.

53. 54.

55.

^

Determine un patrn y prediga la fila que sigue en la tabla. Cul es el siguiente nmero ms probable en esta lista? 12,1,1,1,2,1, 3. (Unapista: Piense en un reloj.) Cul es el trmino que sigue en la lista? U, D, T, C, C, S, S, O, N, D. (Una pista: Piense en palabras relacionadas con los nmeros.) (a) Elija un nmero cualquiera de tres dgitos que sean todos diferentes. Ahora invierta los dgitos y reste el menor del mayor. Registre su resultado. Elija otro nmero de tres dgitos y repita el proceso. Haga esto tantas veces como sea necesario para encontrar un patrn en los diferentes resultados que obtenga. (Una pista: Cul es el dgito del medio? Cul es la suma del primer dgito con el tercero?) (b) Escriba una explicacin de este patrn. Podra utilizar este ejercicio como un "truco numrico" para sorprender a sus amigos.

56. Elija cualquier nmero y siga estos pasos: (a) Multiplique por 2. (b) Sume 6.'N. del Ed.: change, tambin conocido como "cambio" en otros pases.

Si usted le suma 115 a la respuesta, los primeros dos dgitos s^n la edad de su amigo, y los ltimos dos proT porcidfiah la cantidad de menudo.

10

CAPITULO 1


Explique cmo un nio pequeo, de dos o tres aos, podra utilizar el razonamiento inductivo para determinar que algo podra ser benfico para l.

Analice un ejemplo de razonamiento inductivo que haya usado recientemente en su vida cotidiana. Ponga a prueba sus premisas y su conjetura. La conclusin a la que lleg entonces, result verdadera o falsa?

Una aplicacin del razonamiento inductivo: patrones numricosEn la seccin anterior vimos una introduccin al razonamiento inductivo y cmo puede aplicarse para predecir "lo que viene despus" en una lista de nmeros o ecuaciones. En esta seccin continuaremos con nuestro anlisis de los patrones numricos. A cualquier lista ordenada de nmeros, como 3,9,15,21,27,..., se le denomina una sucesin. Una sucesin numrica es una lista de nmeros que tiene un primer nmero, un segralo nmero, un tercer nmero, y as sucesivamente, a los que se llama trminos de la sucesin. Para indicar que los trminos de una sucesin continan despus del ltimo trmino escrito, utilizamos tres puntos (una elipsis). Las sucesiones en los ejemplos 2(a) y 2(c) de la seccin anterior se denominan sucesiones aritmtica y geomtrica, respectivamente. En una sucesin aritmtica existe una diferencia comn entre los trminos sucesivos, mientras que en una sucesin geomtrica (o progresin geomtrica) existe una razn comn entre los trminos sucesivos. La sucesin de Fibonacci del ejemplo 2(b) se estudia en un captulo posterior. SUCeSIVaS Las sucesiones que se vieron en la seccin precedente eran lo suficientemente simples como para permitirnos hacer una conjetura obvia acerca del trmino que deba seguir. Sin embargo, algunas sucesiones ofrecen mayor dificultad para hacer tal conjetura, por lo que a menudo hay que aplicar el mtodo de diferencias sucesivas para determinar el siguiente trmino si a primera vista ste no resulta evidente. Por ejemplo, considere la sucesin 2,6,22,56,114,.... Puesto que el trmino que sigue no es evidente, al segundo trmino le restamos el primero, al tercero le restamos el segundo, al cuarto le restamos el tercero, y as sucesivamente.

.

6-2=4

22-6=16

5 6 - 2 2 = 34

114-56 = 58

Ahora repetimos el proceso con la sucesin 4, 16, 34, 58, y seguimos repitiendo hasta que la diferencia sea un valor constante, como se muestra en la lnea (4):2.

6 16 12

2 234

5 6 58 24

1 1 4

(1) (2) (3)

18

1.2 Una aplicacin del razonamiento inductivo: patrones numricos

11

Una vez obtenida esta lnea de valores constantes, simplemente se trabaja "hacia atrs": se va sumando hasta obtener el trmino que se busca de la sucesin dada. As, para que este patrn contine, en la lnea (4) debe aparecer otro 6, lo cual significa que el trmino siguiente en la lnea (3) tendra que ser 24 + 6 = 30. El trmino siguiente en la lnea (2) sera 58 + 30 = 88. Por ltimo, el trmino siguiente en esta sucesin sera 114 + 88 = 202. El esquema final de los nmeros se muestra a continuacin:.

\ 4

22 16 12 1834

5658

114

,202

(1) (2) (3)

88 30

24

(4)

E J E M P L O lili Utilice el mtodo de las diferencias sucesivas para determinar el nmero siguiente de cada sucesin. (a) 14,22,32,44,... Utilizando el esquema descrito anteriormente, obtenemos lo siguiente:

' 8

10

12

14

Una vez que llegamos al rengln de los 2 y lo extendimos, pudimos obtener 12 + 2 = 14 y 44 + 14 = 58, como se muestra arriba. El nmero siguiente en la sucesin es 58. (b) 5, 15,37,77,141,... Procediendo como antes, obtenemos el diagrama siguiente:

5

15 10 126

37 22 18640

77 64 24

141

235

9430

El nmero siguiente en la sucesin es 235.

H

No vaya a pensar que el mtodo de las diferencias sucesivas siempre funciona. Por ejemplo, intntelo con la sucesin de Fibonacci del ejemplo 2(b) de la seccin 1.1 y vea qu sucede!

12

CAPITULO 1


Patrones numricos Uno de los aspectos ms sorprendentes de las matemticas es su variedad aparentemente infinita de patrones numricos. Observe los patrones siguientes:1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1+3 + 5 + 7= 42 1+3 + 5 + 7 + 9 = 52.

En cada caso, el lado izquierdo de la igualdad es la suma de los nmeros naturales impares consecutivos, empezando con 1, y el lado derecho es el cuadrado del nmero de trminos del lado izquierdo. Debe verificar esto en cada caso. El razonamiento inductivo sugiere que la siguiente lnea en este patrn es1+3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 = 62.

Si evaluamos cada miembro, veremos que cada uno es igual a 36. A partir de estas observaciones, se puede concluir que este patrn continuar indefinidamente? La respuesta es no, porque la observacin de un nmero finito de ejemplos no garantiza que un patrn ser infinito. Sin embargo, los matemticos han demostrado que en realidad este patrn s contina indefinidamente utilizando un mtodo de demostracin llamado induccin matemtica. (Vea cualquier libro de lgebra de nivel universitario.) Cualquier nmero par puede escribirse en la forma 2k, donde k es un nmero natural. Se deduce que el -simo nmero natural impar se puede escribir de la forma 2 1. Por ejemplo, el tercer nmero natural impar, 5, puede escribirse 2(3) 1. Siguiendo este razonamiento, podemos escribir el resultado del patrn anterior como sigue.

de los

n1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = n2.

Si n es cualquier nmero natural.

i

E J E M P L O |JEJj En cada uno de los ejemplos siguientes aparecen varias igualdades que muestran un supuesto patrn numrico. Determine cul es la igualdad que sigue, y verifique si se trata de un enunciado verdadero.esa^H --. . - _ _ j j_ C3 --j- _ __,

1 2 =1 3(1 + 2)2 = I3 + 23 (1 + 2 + 3)2 = I3 + 23 + 33 (1 + 2 + 3 + 4)2 = I3 + 23 + 33 + 43

El lado izquierdo de cada ecuacin es el cuadrado de la suma de los primeros nmeros naturales, mientras que el lado derecho es la suma de los cubos de cada uno. La siguiente igualdad en el patrn sera(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = I3 + 23 + 33 + 43 + 53.

Cada lado de la ecuacin anterior se simplifica a 225, de modo que el patrn es verdadero para esta ecuacin. Jjt *

1.2 Una aplicacin del razonamiento inductivo: patrones numricos1 4

13

(b)

1 = I3

-

3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 13 + 15 + 17 + 19 = 43

El lado izquierdo de las igualdades contiene la suma de los nmeros naturales impares, empezando con el primero (1) en la primera ecuacin, el segundo y tercero (3 y 5) en la segunda ecuacin, el cuarto, quinto y sexto (7, 9 y 11) en la tercera ecuacin, y as sucesivamente. En cada caso, el lado derecho contiene el cubo (la tercera potencia) del nmero de trminos que hay en el lado izquierdo. Siguiendo este patrn, la siguiente ecuacin sera21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53,

que puede verificarse como verdadera efectuando las operaciones indicadas.(c)i

2

1 + 7 =

. 1+ 2+ 3= 2 4 5 1 + 2 -r j -r -t = El lado izquierdo de cada ecuacin nos da la suma indicada de los primeros n nmeros naturales, y el lado derecho siempre tiene la forman(n + 1) 2

Para que el patrn contine, la siguiente ecuacin debera ser 1+2+3+4+5=5 6

Como el resultado en cada lado es 15, el patrn es verdadero para esta ecuacin. Los patrones establecidos en los ejemplos 2(a) y 2(c) pueden escribirse en general como sigue. Dos frmulas especiales de ta suma Para cualquier nmero natural n,

(1 + 2 + 3 + + n)2 = I3 + 23 + 33 + + n 1 + 2 + 3 + + n =

n(n + 1)

r

14

CAPITULO 1


La segunda frmula es una generalizacin del mtodo que se explic como introduccin al ejetckio 43> de \a seccin anterior, que relata la ancdota del joven Cari Gauss. Podemos proporcionar un argumento general deductivo para demostrar cmo se obtiene esta ecuacin. Suponga que S representa la suma 1+2 + 3 + - - - + K . Esta suma tambin puede escribirse como S = n + (n 1) + (n 2) + + 1. Ahora escribimos estas dos ecuaciones como sigue.S= 1 S=n

+2

+3 !) + ( + 1)

+ + n( + 1)Que es la suma de los lados correspondientes.

+ (n - 1) + (n - 2) + + 1

2S = (n + 1)

Pltgoras El matemtico griego Pitgoras vivi durante el siglo vi a.C. l y sus colegas matemticos formaron la fraternidad pitagrica, dedicada al estudio de las matemticas y la msica. Los pitagricos investigaban los nmeros figurados, que presentamos en esta seccin. Tambin descubrieron que los tonos musicales se relacionan con la longitud de las cuerdas tensadas en razones (cocientes) de nmeros naturales. Usted puede comprobar esto con un violonchelo. Oprima cualquier cuerda a la mitad de su longitud, de modo que la razn de la cuerda entera con la parte sea de 2/1. Si pulsa un extremo libre de la cuerda, obtendr la octava siguiente del tono fundamental de la cuerda entera. La razn 3/2 le da la quinta sobre la octava, y as sucesivamente. El descubrimiento de las razones en las cuerdas de un instrumento fue uno de los primeros conceptos de la fsica matemtica.

Ya que el lado derecho de la ecuacin contiene n trminos, y cada uno es ( + 1), podemos escribirlo como n veces (n + 1).2S = n(n + 1)_ n(n + 1) oDividirnos ambos lados entre 2.

Ahora que esta frmula ha sido verificada de una manera general, podemos aplicar el razonamiento deductivo para encontrar la suma de los primeros n nmeros naturales para cualquier valor dado de n. (Vea los ejercicios 21 a 24.) figurados El matemtico griego Pitgoras (hacia 540 a.C.) fue el fundador de la fraternidad pitagrica. Este grupo estudiaba, entre otras cosas, nmeros de disposiciones geomtricas de puntos, tales como nmeros triangulares, nmeros cuadrados y nmeros pentagonales. La figura 5 ilustra los primeros de cada uno de estos tipos de nmeros. Los nmeros figurados poseen numerosos patrones interesantes. Cada nmero cuadrado mayor que 1 es la suma de dos nmeros triangulares consecutivos. (Por ejemplo, 9 = 3 + 6 y 25 = 10 + 15.) Cada nmero pentagonal puede representarse como la suma de un nmero cuadrado y un nmero triangular. (Por ejemplo, 5 = 4 + 1 y 12 = 9 + 3.) En la expresin T,,, n se conoce como subndice. Ta se lee "te subndice ene", y representa el nmero triangular en la posicin n de la sucesin. Por ejemplo,T, = 1, T, = 3, T3 = 6 y T4 = 10.

SH y P;, representan los nmeros cuadrado y pentagonal en la posicin /?, respectivamente.'

yPara cualquier nmero natural n, el -simo nmero triangular est dado por Tn = -= ' - el -simo nmero cuadrado est dado por Sn = nlr y el n-simo nmero pentagonal est dado por Pn = ' -,

' '

1.2

Una aplicacin del razonamiento inductivo: patrones numricos

15

'

Nmeros triangulares

.. A

10

*Nmeros cuadrados

\ \>V

-. 31

y '

Y t>* f

1X1

15

1

'

25

x^s/^

Nmeros pentagonales

*^ \\

"^ /4

I

5

12FIGURA 5

EJEMPLO

Utilice las frmulas anteriores para encontrar los resultados en

cada caso: (a) El sptimo nmero triangular!

_ 7(7 + 1) _ 7(8) _ 56 - ~ " 2 2 ^ 2 S 12 = 122 = 144 Sia

(b) El duodcimo nmero cuadrado (c) El sexto nmero pentagonali=

6[3(6) - 1] = 6(18 - 1)... ,,

6(17)= '

3A

j E J E M P L O Mm Demuestre que el sexto nmero pentagonal es igual a 3 veces el quinto nmero triangular, ms 6. Del ejemplo 3(c), P6 = 51. El quinto nmero triangular es 15. De acuerdo con el problema, 51 =3(15) + 6 = 45+ 6 = 51. La relacin general mostrada en el ejempks'puede escribirse como: P,, = 3 - ! _ , + 1

(^2).

16

CAPTULO 1


En los ejercicios de esta seccin se examinan otras relaciones entre nmeros figurados. El mtodo de las diferencias sucesivas presentado al inicio de esta seccin puede usarse para predecir el siguiente nmero figurado en una sucesin de nmeros figurados, como se muestra en el siguiente ejemplo.EJEMPLO

Los primeros cinco nmeros pentagonales son 1,5, 12,22,35.

Utilice el mtodo de diferencias sucesivas para encontrar el sexto nmero pentagonal.12 10 22 1335

51

16

Despus de la segunda lnea de diferencias sucesivas, podemos ir de atrs hacia adelante para determinar que el sexto nmero pentagonal es 51, el cual ya habamos encontrado en el ejemplo 3(c). |i

Tome cualquier nmero de tres dgitos diferentes entre s. Acomdelos en orden decrecienje, y luego en orden creciente. Ahora reste el menor del mayor. Repita el proceso, utilizando un O si es necesario en caso de que la diferencia consista de slo dos dgitos. Por ejemplo, supongamos que escogi los dgitos 1, 4 y 8.841 -148 693 963 -369 594 954 -459 495

Para anlisis en grupo1. Pida a cada estudiante que aplique el proceso de Kaprekar a un nmero diferente de dos dgitos en el que ninguno se repita. {Si es necesario, interprete 9 como 09.) Comparen resultados. Qu es lo que parece ocurrir en este caso? 2. Repita el proceso, pero ahora con nmeros de cuatro dgitos. Que cada estudiante en el grupo compare los resultados despus de varios pasos. Qu conjetura puede hacer el grupo sobre esta situacin? 3. Repita el proceso para un nmero de cinco dgitos. Qu conjetura puede hacerse?

Observe que al final hemos obtenido el nmero 495, y el proceso conducir a 495 de nuevo. El nmero 495 se llama nmero de Kaprekar, y siempre se llegar a l si este proceso se sigue para tales nmeros de tres dgitos.

EJERCICIOSUtilice el mtodo de las diferencias sucesivas para determinar el nmero que sigue en cada una de las sucesiones. 1. 1,4, 11,22,37,56,... 2. 3, 14,31,54,83, 118,...

3. 6,20,50,102,182,296,... 5. O, 12,72,240,600, 1260,2352,... 7. 5,34,243, 1022,3121,7770, 16,799,...

4. 1,11,35,79,149,251,... 6. 2,57,220,575, 1230,2317,... 8. 3, 19, 165,771,2503,6483, 14,409,..


17

9. Remtase a las figuras 2 y 3 de la seccin anterior. El mtodo de las diferencias sucesivas puede aplicarse a la sucesin de regiones interiores, 1,2,4,8, 16,31, para encontrar el nmero de regiones que se generan con siete puntos sobre la circunferencia. Cul es el siguiente trmino en esta sucesin? Cuntas regiones se produciran con ocho puntos? Verifique este ejercicio mediante la frmula proporcionada al final de dicha seccin.

10. Suponga que la expresin 2 + 3 + 1 seala el n-simo trmino en una sucesin. Esto es, para hallar el primer trmino, se determina que n = 1; para hallar el segundo trmino, se determina que n = 2, y as sucesivamente. (a) Encuentre los primeros cuatro trminos de la sucesin. (b) Utilice el mtodo de las diferencias sucesivas para predecir el quinto trmino de la sucesin. (c) Encuentre el quinto trmino de la sucesin cuando n = 5 en la expresin n2 + 3/7+ 1. Su resultado coincide con el que obtuvo en el inciso (b)?

En cada uno de los ejercicios siguientes, se dan varas ecuaciones que ilustran un supuesto patrn numrico. Determine cul sera la siguiente ecuacin, y verifique que este resultado es verdadero.

11. (1 X 9) - 1 = 8 (21 X 9) - 1 = 188 (321 X 9) - 1 = 288813. 999,999 X 2 ==^ 1,999,998 999,999 X 3 = 2,999,997

12. (1 X 8) + 1 = 9 (12 X 8) + 2 = 98 (123 X 8) + 3 = 987 14. 101 X 101 = 10,201 10,101 X 10,101 = 102,030,201 16. 1 = I2 1 + 2 + 1 = 22 1+2 + 3 + 2 + 1 = 32 1+2 + 3+4 + 3 + 2+1 = 422 2 18. I + 1 = 2 - 2

15. 32 - I 2 = 23 6 2 - 3 2 = 33 102 - 62 = 43 152 - 102 = 53 17. 22 - I 2 = 2 + 1 32 - 2 2 = 3 + 2 4 2 - 32 = 4 + 3

2 2 + 2 = 32 - 3 3 2 + 3 = 42 - 4

19. 1 = 1 X 11+5=2X3 1+5+9=3X5

20. 1 + 2 = _

3"+Y7"6 = 7 + 8

15

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14

Utilice la frmula

S =

n(n + 1)

deducida en esta seccin, para encontrar cada una de las siguientes sumas.

21. 1 + 2 + 3 + + 300 23. 1 + 2 + 3 + + 675

22. 1 + 2 + 3 + + 500 24. 1 + 2 + 3 + + 825

Utilice la frmula S = n2, explicada en esta seccin, para hallar cada una de las siguientes sumas. (Una pista: Para hallar n, sume 1 al ltimo trmino y divida entre 2.)

25. 1 + 3 + 5 + + 101 27. 1 + 3 + 5 + + 999A

26. 1 + 3 + 5 + + 49 28. 1 + 3 + 5 + + 301i 30. Exprese con sus propias palabras la frmula siguiente, expuesta en esta seccin:

29. Utilice la frmula para hallar la suma

1 + 2 + 3 + + na fin de descubrir una frmula para obtener la suma

(1 + 2 + 3 + + )2 = I 3 + 23 + 33 + + 3.

2 + 4 + 6 + + 2n.

18

CAPITULO 1


1. Explique cmo el siguiente diagrama ilustra geomtricamente la frmula 1+3 + 5 + 7 + 9 = 52. ' _I fi ,__, ,__, __ . . . . . .

LJ ~LJ__|

jL

, . Explique cmo el siguiente diagrama ilustra geomtricamente la frmula 1+2 + 3+ 4 =4X5

-

33. Utilice patrones para completar la tabla siguiente., Nmero figurado Triangular ' Cuadrado Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octagonal

lo. 1 1 1 1 1 1

2o. 3 4 5 6 7

3o. 6 9 12 15

4o.

So.

6o.

7o.

8o.

10 16 22

15 25

21

34. Los primeros cinco nmeros triangulares, cuadrados y pentagonales pueden obtenerse utilizando sumas de trminos de sucesiones, como se muestra a continuacin. Triangular Cuadrado PentagonalK

^4 = 1 + 3 6=1+2+3 9=1+3+5 10 = 1 + 2 + 3 + 4 16 = 1 + 3 + 5 + 7 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 25 =1 + 3 + 5 + 7 + 9

5= 12 = 22 = 35 =

1 +4 1+ 4 +7 1 + 4 + 7 + 10 1 + 4 + 7 + 10 + 13

Observe las diferencias sucesivas-de los trminos sumados en el lado derecho de las ecuaciones. El siguiente tipo de nmero figurado es el nmero hexagonal (un hexgono tiene seis lados). Utilice los patrones anteriores para hallar los primeros cinco nmeros hexagonales. 35. Cualquier nmero triangular multiplicado por ocho, 37. Repita el ejercicio 36, pero con nmeros cuadrados y dividiendo entre 4. Qu patrn aparece? ms 1, es un nmero cuadrado. Demuestre que esto es cierto para los primeros cuatro nmero triangu- 38. Los ejercicios 36 y 37 son casos especficos de lo silares. guiente: en general, cuando los nmeros en una su36. Divida el primer nmero triangular entre 3 y anote el residuo. Divida el segundo nmero triangular entre 3 y anote el residuo. Repita este procedimiento varias veces. Observa algn patrn? cesin de nmeros /7-agonales se dividen entre n, la sucesin de residuos obtenida es una sucesin que se repite. Verifique esto para n = 5 y n = 6.


19

39. Cada nmero cuadrado puede escribirse como la suma de dos nmeros triangulares. Por ejemplo, 16 = 6 + 1 0 . Esto puede representarse geomtricamente dividiendo un conjunto cuadrado de puntos con una recta, como se ilustra a continuacin.

(b) Si eleva n al cuadrado y luego al resultado le resta /?, y luego divide entre 2, qu clase de nmero figurado obtiene? (Vea la fila E.) 42. Determine el menor entero TV mayor que 1 tal que existan dos nmeros figurados diferentes para TV. Cules

Adems de las frmulas para Tn, Sn y P,, mostradas en el texto, las frmulas siguientes corresponden a los nmeros hexagonales (H), nmeros heptagonales (Hp) y nmeros octagonales (O): El arreglo triangular que queda por encima de la recta representa el 6, el que queda debajo de representa el 10, y el arreglo completo representa el 16. Demuestre cmo los nmero cuadrados 25 y 36 pueden representarse geomtricamente de una manera similar como la suma de dos nmeros triangulares. 40. Una fraccin est reducida a su mnima expresin cuando el mximo comn divisor de su numerador y su denominador es 1. Por ejemplo, 3/8 est reducida a su mnima expresin, pero 4/12 no. (a) Para n = 2 a n = 8, forme las fracciones w-simo nmero cuadrado ( + l)-simo nmero cuadrado (b) Repita el inciso (a), pero ahora utilice nmeros triangulares. (c) Utilice el razonamiento inductivo para hacer una conjetura con base en sus resultados de las partes (a) y (b), y observe si las fracciones estn reducidas a su mnima expresin. 41. Complete la tabla siguiente.H

n(4n - 2) n(Sn - 3) P "= 2 " 2 _ H(6 - 4)'-'/I

_

Utilice las frmulas para encontrar lo siguiente. 43. El decimosexto nmero cuadrado. 44. El undcimo nmero triangular. 45. El noveno nmero pentagonal. 46. El sptimo nmero hexagonal. 47. El dcimo nmero heptagonal. 48. El duodcimo nmero octagonal. 49. Observe las frmulas dadas para Hn, Hp,, y On y use patrones y el razonamiento inductivo para predecir la frmula para Nn, un nmero nonagonal n (un nongono tiene 9 lados). Luego confirme su hiptesis tomando en cuenta el hecho de que el sexto nmero nonagonal es 111. 50. Utilice el resultado del ejercicio 49 para encontrar el dcimo nmero nonagonal. Utilice el razonamiento inductivo para responder cada pregunta de los ejercicios 51 a 54. 51. Si suma dos nmeros triangulares consecutivos, qu clase de nmero figurado obtiene? 52. Si suma los cuadrados de dos nmeros triangulares consecutivos, qu clase de nmero figurado obtiene? 53. Eleve al cuadrado un-nmero triangular. Eleve al cuadrado el siguiente nmero triangular. Reste el resultado menor del mayor. Qu clase de nmero obtiene? 54. Escoja un valor para n mayor o igual a 2. Encuentre T,,_j, multiplquelo por 3 y smele n. Qu clase de nmero figurado obtiene?

nA Cuadrado de n B (Cuadrado de n) + n C Un medio de los datos en la fila B D (Datos de lafilaA) - n E Un medio de los datos en la fila D

2 3 4 5 6 7 8

Utilice sus resultados para responder lo siguiente, usando el razonamiento inductivo. (a) Qu clase de nmero figurado obtiene al encontrar el promedio de n2 y n? (Vea la fila C.)

20

CAPTULO 1


Estrategias para resolver problemasEn las primeras dos secciones de este captulo enfatizamos la importancia de reconocer patrones y utilizar el razonamiento inductivo para resolver problemas. No obstante, existen otros enfoques tiles. Estas ideas sern usadas a lo largo del texto. (La resolucin de problemas no es un tema que se estudie un da para olvidarlo al siguiente!) Probablemente el estudio ms famoso en tcnicas para la resolucin de problemas fue desarrollado por George Polya (1888-1985), entre cuyas mltiples publicaciones cabe mencionar la obra clsica moderna How to Solve It. En este libro, Polya propuso un proceso de cuatro pasos para resolver problemas.George Polya, autor del clsico How to Salve //, muri a la edad de 97 aos, el 7 de septiembre de 1985. Originario de Budapest, Hungra, en cierta ocasin le preguntaron cul era la razn, segn l, por la que a finales del siglo surgieron en ese pas tantos buenos matemticos. Respondi que fue porque las matemticas son la ciencia ms barata: no requieren de equipo costoso, solamente papel y lpiz. Fue autor o coautor de ms de 250 artculos en muchos idiomas, adems de un gran nmero de libros; tambin fue un brillante conferencista y profesor. A pesar de su capacidad, es curioso que Polya nunca aprendiera a conducir un auto.

,

El1.

de

de

2.

3.

4.

Entienda el problema. Usted no puede resolver un problema si no entiende lo que se le est pidiendo. El problema debe ser ledo y analizado cuidadosamente. Quiz necesite leerlo varias veces. Una vez hecho esto, pregntese: "Qu debo encontrar?" Formule un plan. Hay muchas formas de abordar un problema y determinar qu plan es el ms apropiado. Revise la lista titulada "Estrategias para resolver problemas", para conocer varios enfoques posibles, Ponga en prctica el plan. Una vez decidido cmo enfocar el problema, ponga en prctica su plan. Quiz se meta en algn "callejn sin salida" o le salgan al paso obstculos imprevistos, pero sea persistente. Si un problema se puede resolver fcilmente, entonces en realidad no era tanto problema, o s? Revise y compruebe. Revise su respuesta para comprobar que sea razonable. Satisface las condiciones del problema? Ha resuelto todas las cuestiones implicadas en el problema? Puede abordar el problema de manera diferente y an as llegar a la misma respuesta?

El paso 2 del proceso de Polya para resolver problemas consiste en formular un plan. Aqu hay algunas estrategias que pueden resultarle tiles.

Elabore una tabla o un diagrama. Busque un patrn. Resuelva un problema similar, pero ms sencillo. Haga un bosquejo. Use el razonamiento inductivo. Redzcalo a una ecuacin y resulvala. Si una frmula es aplicable, sela.

Trabaje de atrs hacia delante. Aventure suposiciones y verifquelas. Utilice el mtodo de prueba y error. Use el sentido comn. Si una respuesta parece bastante obvia o imposible, vea si no hay alguna trampa.

La solucin para un problema en particular bien puede involucrar una o ms de las estrategias mostradas aqu, por lo que debe procurar ser creativo en sus tcnicas de resolucin de problemas. Los ejemplos siguientes ilustran algunas de estas estrategias. Conforme los lea, tenga presente que una cosa es leer la solucin de un problema u observar a un profesor resolverlo, y otra muy distinta es ser capaz de resolverlo uno mismo. Acaso no le ha ocurrido que cuando observa a su profesor resolver t problema

1.3 Estrategias para resolver problemas

21

piensa, "Parece fcil cuando lo hace, pero cuando lo hago yo solo las cosas se me dificultan mucho"? Esto es as porque su profesor ha pasado aos estudiando y poniendo en prctica tcnicas de resolucin de problemas. Como cualquier otra aptitud, la destreza para resolver problemas requiere perseverancia y trabajo duro.

Desde hace tiempo se conocen diversas versiones del siguiente problema. En su testamento, Jack, el granjero, leg la mitad de sus caballos a su hijo Johnny, la tercera parte a su hija Linda y la novena parte a su hijo Jeff. Jack tena 17 caballos, de modo que, cmo podran cumplirse los trminos del testamento? Por supuesto, los caballos no pueden dividirse en fracciones. Su abogado, Schwab, lleg al rescate y fue capaz de cumplir con las condiciones del testamento a satisfaccin de todos. Cmo lo logr?

Aqu est la solucin: Schwab agreg uno de sus caballos a los 17, dando un total de 18. Johnny recibi 1/2 de 18, o sea 9, Linda recibi 1/3 de 18, o sea 6 y Jeff recibi 1/9 de 18, o sea 2. Esto hizo un total de 9 + 6 + 2 = 17 caballos. Entonces Schwab tom de vuelta el caballo que haba agregado y todos quedaron contentos.

Para anlisis en grupoExamine si los trminos del testamento realmente se cumplieron al pe de la letra.

Fibonacci (1170-1250) descubri la sucesin que ms tarde llevara su nombre, en un problema relacionado con conejos. Fibonacci (hijo de Bonaccio) es slo uno de los diferentes nombres con que se conoca a Leonardo Pisano. Su padre administraba un almacn en la ciudad que en la actualidad se llama Bjaa (o Bougie), en Argelia. Por esa razn Leonardo Pisano estudi con un maestro rabe y aprendi la numeracin hind que los moros y otros musulmanes haban trado consigo en su paso por occidente. Fibonacci escribi libros sobre lgebra, geometra y trigonometra.

[ E J E M P L O mu Resolver un problema utilizando una tabla o un diagrama Un hombre puso una pareja de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los conejos no tuvieron descendencia, pero a partir del segundo mes empezaron a producir una pareja de conejos por mes. Si cada nueva pareja se reproduce de la misma manera, cuntas parejas de conejos habr al final de un ao? ste es un problema famoso en la historia de las matemticas, y apareci por vez primera en el libro Lber Abad, escrito por el matemtico italiano Leonardo Pisano (tambin conocido como Fibonacci) en el ao 1202. Apliquemos el proceso de Polya para resolverlo. 1. Entienda el problema. Despus de varias lecturas, podemos reformular el problema como sigue: cuntos pares de conejos tendr el hombre al final de un ao, si inicia con una pareja que se reproduce de esta forma: durante el primer mes de vida, ninguna pareja produce nuevos conejos, pero cada mes posterior cada pareja produce un nuevo par? 2. Formule un plan. Ya que hay un patrn definido de cmo se reproducirn los conejos, podemos elaborar una tabla como la siguiente. Una vez llenada la tabla, el registro final en la ltima columna es la respuesta al problema.Meslo. 2o. 3o.

Nmero de parejas al inicio

Nmero de nuevas parejas producidas

Nmero de parejas al final del mes

4o. 5o.

.

.

6o. 7o. 8o. 9o. 10o. lio. 12o.

'"' "!;:

22

CAPITULO 1


La solucin de problemas debe ser. el objetivo central del programa de matemticas. Como tal, es una meta principal de toda instruccin matemtica y parte integral de toda actividad matemtica. La solucin de problemas no es un tema individua/, sino que se trata de un proceso que Me permear a todo el programa y proporcionar el contexto en el que deben aprenderse los distintos conceptos y habilidades. Tomado de Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989 (National Council of Teachers of Mathematics).

3. Ponga en prctica el plan. Al inicio del primer mes hay solamente un par de conejos. Durante el primer mes no se produce ningn conejo, as que hay 1 + 0 = 1 par presente al final del primer mes. Este patrn contina a lo largo de toda la tabla. Hay que sumar el nmero de la primera columna con el nmero de la segunda para obtener el nmero de la tercera. Continuamos de esta forma hasta el duodcimo mes.Nmero de pares al inicio Nmero de + nuevos pares = producidos Nmero de pares al final del mes

MesJo.:2o.

3o.4o.

i 1 2 ^ 8 1321

5o. 6o. 7o. 8o. 9o. 10o. lio. 12o.

0 1 1 2 3 ; i-:"..---S": ": 8

1

23 5 8 13 21 34 55 89 144 233.

:

1+0 = 1 1+1=2 2 + 1=3

:;

':.

34 55 89 144

-13 21 34 55 89

''.'' \,

144 + 89 = 233

Al finalizar el ao habr 233 parejas de conejos. 4. Revise y compruebe. Este problema puede verificarse volviendo atrs para asegurarnos de que lo hemos interpretado correctamente, y as ha sido, en efecto. Verifique dos veces la aritmtica. Hemos contestado la pregunta planteada en el problema, as que el problema est resuelto. La sucesin mostrada en negritas en la tabla del ejemplo 1 es la sucesin de Fibonacci, muchas de cuyas interesantes propiedades sern investigadas en un captulo posterior. En los ejemplos restantes de esta seccin usaremos el proceso de Polya, pero no mencionaremos cada uno de los pasos, como lo hicimos en el ejemplo 1. Resolver un problema de atrs hacia delante Cada semana, Rob Zwettler acostumbra ir a las carreras con sus amigos. La primera semana triplic su dinero, pero luego perdi $12. A la semana siguiente llev el dinero que le sobraba, lo duplic, pero despus perdi $40. Habiendo guardado el dinero que le qued, la semana siguiente lo intent una vez ms y cuadruplic su dinero, con tanta suerte que no perdi nada y pudo regresar a casa con el total, que ascenda a $224. Con cunto dinero comenz en la primera semana? En este problema se nos pide encontrar la cantidad que Rob tena cuando empez a apostar, teniendo como antecedente la informacin sobre sus ganancias y sus prdidas. Tambin conocemos el monto que obtuvo al final. Aun cuando podramos escribir una ecuacin algebraica para solucionar este problema, el mtodo de ir hacia :

12 3 + 9= 12 5 7 - 2 =5 20 4 x 5 = 20

24/20 fins^Frac.

1.2 6/5

4

1.2 = |

5 - (8 - 7) = 4

72 5-"-34X81)Cualquier calculadora (en particular una moderna calculadora grfica) consta de dos componentes: la "caja" electrnica y el manual de instrucciones del usuario, que explica cmo usarla.

H;

49 72 = 49 125 53 = 125 3 V81 = 9

La pantalla A ilustra cmo se suman, restan o multiplican dos nmeros. La pantalla B muestra cmo pueden dividirse dos nmeros, cmo se convierte el cociente decimal (que est almacenado en la celda Ans) en una fraccin y cmo hay que usar los parntesis en un clculo. La pantalla C muestra cmo sacar el cuadrado de un nmero, cmo elevarlo al cubo y cmo hallar su raz cuadrada.

P;;V";.?| 4 "i 16 -v. : ' . -.:'2 .2

*JT

V27 = 3 Vl6 = 2 5-1 (o )

3.141592654120 66848851 258*909 5 6 7 6 3 U13 .2020=* significa que "es aproximadamente igual a"

TT= 3.1415926545! (o 1 x 2 x 3 X 4 x 5) = 120

6,265,804 x 8,980,591 = 5.627062301x 1013

La pantalla D muestra cmo hallar una raz de ndice superior (raz cbica y raz cuarta) y cmo puede obtenerse el recproco de un nmero utilizando -1 como exponente. La pantalla E muestra cmo se puede acceder al valor de 77 mediante su propia tecla especial, cmo encontrar un factorial (representado por !) y cmo puede mostrarse un resultado en notacin cientfica. (La expresin "El3" despus de 5.627062301

*Debido a que la calculadora TI-83 Plus de Texas Instruments es uno de los modelos ms populares, aqu incluimos pantallas generadas por el software TI-Graph Link de sta.

1.4 Clculo, estimacin y lectura de grficas

33

significa que este nmero es multiplicado por 1013. Esta respuesta slo es una aproximacin, ya que el producto de 6,265,804 X 8,980,591 contiene ms dgitos de los que la calculadora es capaz de mostrar.)

Estimacin Aunque las calculadoras pueden hacer la vida ms fcil cuando se usan para hacer clculos, no debemos perder de vista el hecho de que muchas veces slo necesitamos una estimacin de la respuesta de un problema, y en estos casos puede no ser necesaria o incluso apropiada una calculadora.

j E J E M P L O 811 i| Una pajarera para golondrinas puede albergar en total ocho ni| dos. Cuntas pajareras sern necesarias para albergar 58 nidos? Si dividimos 58 entre 8, ya sea a mano o con calculadora, la respuesta que obtenemos es 7.25. Es ste el nmero deseado? Por supuesto que no, ya que no podemos considerar fracciones de pajareras. Cuntas pajareras requerirnos, siete u ocho? Para dar cabida a los nidos que faltan en las siete pajareras (como se indica por la fraccin decimal), debemos pensar en utilizar 8 pajareras. Observe que, en este problema, la respuesta debe redondearse hacia el siguiente nmero natural.

EJEMPLO | En 2001, David Boston, de los Cardenales de Arizona, atrap 98 pases para un total de 1598 yardas. Cul es el nmero promedio aproximado de yardas por pase atrapado? Puesto que slo se nos pide determinar el promedio aproximado de David, podemos considerar que atrap 100 pases para un total de alrededor de 1600 yardas; as, su promedio fue de aproximadamente 1600/100 = 1 6 yardas por pase atrapado. (La calculadora nos permite calcular su promedio al dcimo ms cercano: 16.3 yardas. Verifquelo.) I

EJEMPLO En un ao reciente, aproximadamente 127,000 hombres entre 25 y 29 aos trabajaban en granjas. Esto representaba parte del total de los 238,000 trabajadores en ese grupo de edades. De los 331,000 granjeros entre 40 y 44 aos de edad, 160,000 eran hombres. Sin utilizar una calculadora, determine cul grupo de edades contiene una mayor proporcin de hombres. En este caso resulta mejor calcular en trminos de miles que tratar de manejar todos esos ceros. Primero analizamos el grupo de 25 a 29 aos. Como haba un total de 238,000 trabajadores, de los cuales 127,000 eran hombres, haba 238 - 127 = 111,000 trabajadoras. Es decir, ms de la mitad de los trabajadores eran hombres. En el grupo de 40 a 44 aos, de los 331,000 trabajadores que haba, 160,000 eran hombres; esto arroja un total de 331 160 = 171,000 mujeres, lo que significa que menos de la mitad eran hombres. Al final basta comparar ambos grupos para determinar que el grupo de 25 a 29 aos contena la mayor proporcin de hombres.

,

Lectura dC grficas El uso de grficas se ha convertido en un medio eficiente para transmitir informacin de manera concisa. Con hojear casi cualquier ejemplar de un peridico podemos verificar lo anterior. Hay muchas maneras de representar informacin utilizando grficas y diagramas. Las ms comunes son los diagramas de sectores, las grficas de barras y las de lneas.J

34

CAPTULO 1


EJEMPLO I Utilice las grficas de las figuras 9 a 11 para hacer interpretaciones. La grfica circular o de sectores de la figura 9 muestra cmo el precio de un galn de gasolina en California se divide entre los diferentes fabricantes y dependencias. Las porciones (que semejan una rebanada de pastel) tienen el tamao proporcional del monto que les corresponde, una vez dividido. Por ejemplo, la mayor parte del precio (32%) se va a la refinera, mientras que la porcin menor (8%) corresponde al impuesto estatal al ingreso. Como es de esperarse, el porcentaje total es 100%. Si por ejemplo, el precio de 1 galn de gasolina es $1.50, la ganancia para el distribuidor sera 12%, o $1.50 X 0.12 = $0.18. La grfica de barras de la figura 10 muestra la relacin entre el tamao de una habitacin, en pies cuadrados, y el tamao sugerido del aire acondicionado, en BTU (unidades trmicas britnicas). Por ejemplo, si queremos determinar la capacidad que debe tener un aparato de aire acondicionado para una habitacin de 850 pies cuadrados, hay que buscar 850 en la parte inferior de la grfica. La barra que corresponde a 850 pies cuadrados tiene una altura que equivale a 16,000 en la escala vertical de la izquierda. Esto significa que debemos utilizar un aire acondicionado de 16,000 BTU. La grfica de lneas de la figura 11 muestra las utilidades que obtuvo la CNBC de 1994 a 1999. Se interpreta de manera similar a la grfica de barras. Por ejemplo, en 1996 las utilidades fueron de 80 millones de dlares, mientras que en 1997 fueron de 130 millones de dlares. El hecho de que los segmentos de lnea siempre asciendan de izquierda a derecha indica que las utilidades aumentaron cada ao en ese periodo.A DNDE VA EL DINERO DE UN CALN DE GASOLINA? Impuestos estatales 8% Impuesto estatal al consumo 12% Impuesto federal al consumo 12/o Margen del distribuidor 12%

.

Fuente: Comisin de Energa de California, 1999.FIGURA 9

Utilidades 5i (en millones de dlares) P

ELECCIN DEL AIRE ACONDICIONADO ADECUADO24,000 20,000

DAD ES DE LA CNBC200 180 160 140 120 100 80 60ACli

/ /

16,000 12,000 8,000 4,000

,. 2

X

y^L ^ ,

OTamao de la habitacin (en pies )

,

, ,

1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ao

Fuente: Carey, Morris y James, Home Improvement for Dummies, IDG Books.FIGURA 10

Fuente: Fortune, 24 de mayo de 1999, p. 142. FIGURA 11

*


35

PARA REF1

La enseanza de ios nmerosLetra es a nmero como conocimiento de las letras es a conocimiento de los nmeros. En aos recientes se ha escrito mucho acerca de cuan importante es que la poblacin en general conoczca de nmeros. El ensayo titulado "Quantity", de James T. Fey, en On the Shoulders of Giants: New Approaches to Numeracy, contiene la descripcin siguiente de una aproximacin al conocimiento de los nmeros. Dado el papel fundamental del razonamiento cuantitativo en la aplicacin de las matemticas, as como la atraccin innata que sienten los humanos por los nmeros, no es sorprendente que los conceptos y las habilidades numricas constituyan el ncleo de las matemticas escolares. Desde los primeros grados, los nios comienzan a seguir una educacin matemtica diseada para desarrollar procedimientos destinados a realizar clculos aritmticos, junto con la consiguiente comprensin conceptual necesaria para resolver problemas cuantitativos y tomar decisiones bien informadas. Los nios aprenden muchas formas de describir datos y relaciones

cuantitativas mediante representaciones numricas, grficas y simblicas; de planear operaciones aritmticas y algebraicas y de ejecutar esos planes mediante procedimientos eficaces; y de interpretar la informacin cuantitativa, sacar inferencias y verificar si las conclusiones son razonables.

Para anlisis en grupoCon una calculadora, cada estudiante en la clase debe colocar en los cuadros los dgitos 3, 4, 5,6,7 u 8, pero cada dgito debe ser usado slo una vez. Luego, haga un sondeo para ver quin fue capaz de obtener el nmero ms cercano al resultado que se pide. Cada ronda debe hacerse en un minuto. Buena suerte! Ronda Ronda II Ronda III Ronda IV Ronda V

G x G G G G = 30,000U x

;

= 40,000

G x GG G G = 50,000GQx.

DdQ G = 30,000

G G x G G G G = 60,000

Los ejercicios del 1 al 18 estn diseados para que usted adquiera prctica en el manejo de algunas operaciones bsicas de su calculadora. Realice las operaciones indicadas y ofrezca en su respuesta tantos dgitos como aparezcan en la pantalla de su calculadora. (El nmero de dgitos en la pantalla vara dependiendo del modelo de calculadora que se utilice.)1. 39.7 + (8.2 - 4.1) 2. 2.8 X (3.2 - 1.1)

3. V5.56440921 7. 2.672

4. V37.38711025 8. 3.493 12.3 + 18.276 3 X 1.04

5. ^418.508992 9. 5.765

6. ^700.227072

10. 1.486

11.

14.32 - 8.1 2 X 3.11

12.

18.

12,345,679 X 72 V27

9

36

CAPTULO 1


19. Elija cualquier nmero de cinco dgitos. Multiplquelo por 9 en su calculadora. Ahora sume los dgitos de la respuesta. Si la suma es mayor que 9, sume los dgitos nuevamente y repita hasta que la suma sea menor que 10. Su respuesta siempre ser 9. Repita el ejercicio con un nmero de seis dgitos. El resultado sigue siendo el mismo? ^20. Utilice su calculadora para elevar al cuadrado los siguientes nmeros de dos dgitos que terminan en 5: 15, 25, 35,4*5, 55, 65,75, 85. Escriba sus resultados, y examine el patrn que stos siguen. Luego utilice el razonamiento inductivo para predecir el valor de 952. Escriba una explicacin de cmo puede elevar mentalmente al cuadrado cualquier nmero de dos dgitos que termine en 5. En matemticas, es posible sacar conjeturas acerca de ciertas reglas, leyes, propiedades y definiciones mediante el razonamiento inductivo luego de examinar varios problemas similares de clculo y sus respuestas en una calculadora. Realice los siguientes clculos y analice las respuestas. Luego ponga la respuesta que considere apropiada en los espacios en blanco. (La justificacin de estos resultados ser analizada posteriormente en este libro.) 21. (-3) X (-8); (-5) X (-4); (-2.7) X (-4.3) La multiplicacin de dos nmeros negativos nos da un producto (negativo/positivo) 22. 5 X (-4); -3 X 8; 2.7 X (-4.3)

27. 0/8; 0/2; 0/(-3); 0/77 Cero dividido entre un nmero diferente de cero nos da un cociente de __28. (-3) X (-4) X (-5); (-3) X (-4) X (-5) X (-6) X (-7); (-3) x (-4) x (-5) X (-6) x (-7) X (-8) X (-9)

La multiplicacin de un nmero impar de nmeros negativos da un producto __ (positivo/negativo)29. (-3) X (-4); (-3) X (-4) X (-5) X (-6); (-3) X (-4) X (-5) X (-6) X (-7) X (-8)

La multiplicacin de un nmero par de nmeros negativos da un producto __ (positivo/negativo)

Sacar la raz cuadrada de un nmero negativo en una calculadora da como resultado __ 31. En su calculadora, encuentre la fraccin decimal para 1/6. Despus del punto decimal aparece un 1 seguido de una cadena de 6. Si su calculadora da el resultado con un redondeo, el ltimo dgito ser un 7, pero si da el resultado sin redondear, el ltimo dgito ser un 6. Qu clase de calculadora tiene usted?

23.

24.

25.

26.

^32. Escoja cualquier nmero de tres dgitos e introdzcalo en una calculadora. Repita los tres dgitos para obtener un nmero de seis dgitos. Divida este nmero de seis dgitos entre 7. El resultado divdalo entre 13. El resultado divdalo entre 11. Cul es la respuesta? Explique por qu ocurre esto. La multiplicacin de un nmero negativo y un nmero positivo da un producto Escoja cualquier dgito, excepto 0. Multiplquelo por (negativo/positivo) 429. Ahora multiplique el resultado por 259. Cul es la respuesta? Explique por qu ocurre esto. 5.6; 77; 2; 120; 0.5 Al elevar un nmero diferente de cero a la potencia O, 34. Elija dos nmeros naturales. Sume 1 al segundo y divdalo entre el primero para obtener un tercer nel resultado es mero. Sume 1 al tercer nmero y divdalo entre el 3 2 3 13 I ; I ; I' ; 1; I segundo para obtener un cuarto nmero. Sume 1 al Cuando se eleva 1 a cualquier potencia, el resultado cuarto y divdalo entre el tercero para obtener un es quinto nmero. Contine este proceso hasta que descubra un patrn. Cul es ste? 1/7; l/(-9); 1/3; l/(-8) El signo del recproco de un nmero es Cuando una calculadora cientfica o de cuatro funcioel signo de dicho nes (no una calculadora grfica) se gira de modo que (igual que/diferente de) la pantalla quede invertida, los dgitos en la pantalla nmero. parecen letras del alfabeto espaol, como puede verse 5/0; 9/0; 7r/0; -3/0; O/O a continuacin: Dividir un nmero entre cero en una calculadora da como resultado . 3 oE 7OL 4 oh 8 B 5 S 9 ^G


37

En los siguientes ejercicios, realice el clculo que se indica en una calculadora de cuatro funciones o una calculadora cientfica. Luego gire la calculadora para leer la palabra que debe escribirse en el espacio que aparece en la oracin.

Chris tiene en su casa una coleccin de 204 pelculas de Disney, cuntos de tales cajones necesitar?43. Fertilizante para violetas africanas Un jardinero

35. [(100 X 19) + 19] X 2Leticia y Vctor estn muy contentos porque tienen un nuevo '2809 X 13) + 20 En su partido de despedida, el Rey Pel no pudo anotar un .

tiene 400 violetas africanas que necesitan fertilizante. Cada envase de fertilizante sirve para surtir hasta 30 plantas. Cuntos envases necesitar para realizar este trabajo?

348 37. 2252 - Por ser su cumpleaos, Carolina recibi muchos de chocolate. 38. 2252 + V33489 Usted y un amigo han estado en alguna situacin en que se sientan como ? 39. Idee un ejercicio semejante a los ejercicios 35 al 38. 40. Los dgitos que aparecen en las pantallas de la mayora de las calculadoras muestran algunos o todos los segmentos del smbolo que aparece en la figura. En los dgitos del O al 9: (a) Cul es el segmento que ms se utiliza? (b) Cul es el que menos se utiliza? (c) Cul dgito utiliza ms segmentos? (d) Cul dgito utiliza menos segmentos? 44. Necesidad de maestros para quinto grado La Escuela de Lake Harbor tiene 155 estudiantes de quinto grado. La directora, Cheryl Arabie, ha decidido que cada maestro de quinto grado no tenga ms de 24 estudiantes. Cuntos maestros de quinto grado necesitar? En los ejercicios 45 al 50, utilice la estimacin para determinar la opcin ms cercana a la respuesta correcta. 45. Precio de un acre de tierra Con el fin de construir el "reloj del milenio" en el Monte Washington, en Nevada, el cual har tic-tac cada ao, repicar cada siglo y durar al menos 10,000 aos, la fundacin sin fines de lucro Long Now compr 80 acres de tierra en $140,000. Cul de las opciones siguientes es la estimacin ms cercana al precio por acre? A. $1000 B. $2000 C. $4000 D. $11,200 46. Duracin de un viaje redondo La distancia de Seattle, Washington a Springfield, Missouri, es de 2009 millas. Alrededor de cuntas horas durar un viaje de ida y vuelta de Seattle a Springfield en un autobs que promedia 50 millas por hora durante todo el viaje? D. 90 A. 60 B. 70 C. 80 47. Habitantes por milla cuadrada El condado de Hale, en Texas, tiene una poblacin de 34,671 habitantes y posee una extensin de 1005 millas cuadradas. Aproximadamente cuntas personas por milla cuadrada hay en este condado? A. 35 B. 350 C. 3500 D. 35,000

En los ejercicios 41 al 44 exprese la respuesta en el nmero natural que ms se ajuste para cada pregunta. (Indique el menor nmero natural que funcionar.) 41. Pginas para conservar estampas Una pgina de plstico para guardar estampas puede contener 9 estampas. Cuntas pginas se necesitarn para guardar 431 estampas? 42. Cajones para videocasetes Un cajn diseado para contener videocasetes tiene 18 compartimentos; si

38

CAPITULO 1


48. Revoluciones de Mercurio El planeta Mercurio tarda 88.0 das terrestres en dar una vuelta alrededor del Sol. Plutn tarda 90,824.2 das en hacer lo mismo. Cuando Plutn ha dado una sola vuelta alrededor del Sol, aproximadamente cuntas veces habr dado Mercurio la vuelta al Sol? A. 100,000 B. 10,000 C. 1000 D. 100 49. Promedio de carrera En 1998, Terrell Davis, de los Broncos de Denver, corri 2008 yardas en 392 intentos de cafrera. El nmero de yardas aproximadas que gan por cada intento fue de . A. 1/5 B. 50 C. 4 D. 5 50. rea de la Capilla Sixtina La Capilla Sixtina, en el Vaticano, mide 40.5 por 13.5 metros.

En agosto de 1999, el nmero total de usuarios alcanz los 12 millones. Utilice esta informacin y la grfica circular para resolver los ejercicios 51 a 54. 51. Cul proveedor tena la participacin ms grande de este mercado en agosto de 1999? Qu porcentaje fue? 52. Determine el nmero de suscriptores de Primestar en agosto de 1999. 53. A C-Band se le asocia con las antenas grandes, mientras que los dems suscriptores tienen antenas pequeas. Cuntos suscriptores tenan antenas pequeas? 54. Cuntos suscriptores ms que C-Band tena Primestar?

Crecimiento del correo electrnico La segunda mitad de los aos noventa se caracteriz por el asombroso crecimiento de un nuevo mtodo de comunicacin: el correo electrnico (o "e-mail"). La grfica siguiente muestra el nmero de buzones de correo electrnico en Estados Unidos durante los aos 1995 a 2001. Utilice la grfica para responder las preguntas de los ejercicios 55 a 58.

Buzones de correo electrnic (en millones)

Cul de las siguientes respuestas es la mejor aproximacin a su rea? A. 110 metros B. 55 metros C. 110 metros cuadrados D. 600 metros cuadrados Participacin de mercado de la televisin por satlite En la grfica siguiente se muestra la participacin de mercado por suscriptores de la televisin por satlite en 1999.

CRECIMIENTO DE LOS BUZONES DE CORREO ELECTRNICO EN ESTADOS UNIDOS300 250 200 150 100 50 0

SUSCRIPTORES CASEROS DE TVPOR SATLITE

iEEEHnELAo

1 i 1i :

M :: :.

'95 '96 '97 '98 '99 '00 '01

Fuente: Investigacin de IDC.

Fuente: Skyreport.com; USA Today.

55. Cuntos buzones de correo electrnico haba en unt 1998? 56. En qu cantidad creci el nmero de buzones de correo electrnico de 1995 a 2001? 57. En qu ao el nmero de buzones de correo electrnico alcanz los 150 millones? 58. Suponga que en 2002 el nmero de buzones aumenta la misma cantidad que aument en 2001 con respecto al ao anterior. Cuntos buzones habr/a en 2002?


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Precios de computadoras personales La grfica de lneas que aparece aqu muestra los precios promedio de las computadoras personales (PC) durante los aos 1993 a 1999. Utilice esta informacin para responder las preguntas de los ejercicios 59 a 62. 59. Entre qu ao y qu ao aument el precio promedio de una PC? 60. Desde 1994, cul ha sido la tendencia en los pre* cios promedio de las PC? 61. Cules fueron los precios promedio de las PC en 1996 y 1999? 62. Cunto disminuy el precio promedio de las PC entre 1994 y 1999?

PRECIOS DE COMPUTADORAS PERSONALES 2500

'93 '94 '95 '96 '97 '98 '99 Ao

Fuente: CNW Mercadeo/Investigacin; USA Today.

Pronstico del clima El mapa muestra la informacin del pronstico del clima para un da de verano en julio. Utilice el mapa y las leyendas que lo acompaan para responder las preguntas de los ejercicios 63 a 68.

63. Qu intervalo de temperatura (es decir, 60, 70, 80 o 90 grados Fahrenheit) se esperara para Detroit? 64. Qu tipo de frente se est moviendo hacia Atlanta? 65. Suponiendo que para usted cualquier temperatura por arriba de 80 F equivale a un da caluroso, cmo describira el clima para Miami? Utilice al menos dos palabras descriptivas.

66. Augusta es la capital de un estado del noreste. En qu rango de temperatura estar dicha ciudad? 67. En qu estado se presenta una depresin? 68. Habr probabilidades de que se suspenda por lluvia un juego de bisbol entre los Yankees y los Indios, que se jugar en el campo Jacobs de Cleveland?

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EXTENSINLa escritura en matemticas adopta muchas formas. Uno de los ms famosos autores/matemticos fue Charles Dodgson (1832-1898), quien utilizaba el seudnimo de Lewis Carrol. , *,

El uso de la escritura para aprender matemticasRecientemente, el uso de la escritura en el programa de estudios de matemticas ha recibido una mayor atencin, debido en gran parte a las recomendaciones del National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M.). Las investigaciones indican que la capacidad para expresar observaciones matemticas por escrito puede servir como una fuerza positiva en el desarrollo ininterrumpido de los estudiantes de matemticas. Implementar la redaccin en la clase de matemticas puede aprovechar diversos enfoques. Diarios Una manera de utilizar la redaccin como ayuda para aprender matemticas consiste en llevar un diario en el que el alumno dedique unos cuantos minutos a explicar lo que sucedi en la clase del da. Las anotaciones del diario pueden ser generales o especficas dependiendo del tema de que se trate, de cunto entendi el alumno el tema, de su nivel de inters en ese momento, etc. Por lo general, las anotaciones del diario se escriben en un lenguaje informal, y suelen ser un medio eficaz de comunicacin tanto con uno mismo como con los compaeros de clase y el profesor, acerca de los sentimientos, opiniones y puntos de inters que se tengan en ese momento. Bitcoras de aprendizaje Mientras que las anotaciones de un diario son en su mayora textos no estructurados en los que las ideas del estudiante fluyen libremente, las anotaciones en las bitcoras de aprendizaje son, por lo regular, ms estructuradas. Un profesor puede proponer una pregunta especfica para que el estudiante la responda en su bitcora. En este libro, dentro de cada conjunto de ejercicios intercalamos algunos que pueden responderse en la bitcora. Por ejemplo, considere el ejercicio 13 en el conjunto de ejercicios de la primera seccin de este captulo: Analice las diferencias entre razonamiento inductivo y deductivo. D un ejemplo de cada uno. A continuacin se muestra una posible respuesta a este ejercicio.

Dodgson enseaba matemticas en la Universidad de Oxford, en Inglaterra. La reina Victoria le coment alguna vez que el cuento de Alicia en el Pas de las Maravillas le haba resultado muy divertido, y que le gustara mucho leer su siguiente obra. Se dice que Dodgson le envi a la reina el libro Symbolic Logic ("Lgica simblica"), su trabajo ms famoso sobre matemticas. Los libros de Alicia hicieron famoso a Carroll. Sin embargo, al final de su vida, Dodgson eluda todo comentario al respecto y negaba que l y Carroll fueran la misma persona, aunque reparti cientos de copias firmadas de esas obras a nios y hospitales infantiles.

/ razonamiento deductivo consiste en ir de ideas generales a ideas especficas. Por ejemplo, s que al multiplicar ambos lados de (1/2.) x * -

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(contina)*"Journal Writing" ("Cmo redactar un diario"), tomado de "No Time for^Writing in Your Class?", por MargaretE. Mclntosh, en Mathematics Teacher. septiembre de 1991, p. 431 ^Reimpreso con autorizacin.

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Actividad 2 Lleve una bitcora y responda al menos uno de los ejercicios de redaccin de cada conjunto de ejercicios contenidos en el programa de estudios de su clase. Pdale a su maestro que le sugiera otros tipos especficos de tareas de redaccin. Tambin podra elegir un ejemplo especfico de alguna seccin de este libro y escribir su propia solucin del problema, o comentar sobre el mtodo que los autores usaron para resolver dicho problema. No tema emitir juicios crticos acerca del mtodo utilizado en este texto. Actividad 3 El National Council of Teachers of Mathematics publica las revistas de enseanza de las matemticas; Teaching Chitaren Mathematics (anteriormente llamada Arithmetic Teacher) y Mathematics Teacher son dos de ellas. Estas revistas pueden encontrarse en la seccin de publicaciones peridicas de la mayora de las bibliotecas de colegios y universidades de Estados Unidos. Hemos seleccionado varios artculos recientes de cada una de estas revistas, pero hay miles de otros artculos de dnde elegir. Escriba un breve informe sobre alguno de ellos, siguiendo los lincamientos sealados por su profesor.De Mathematics Teacher

1

1998 Andreason, Corey, "Fibonacci and Pascal Together Again: Pattern Exploration in the Fibonacci Sequence", vol. 91, nm. 3, marzo de 1998, p. 250.Grassl, Richard M. y Tabitha T. Y. Mingus, "Keep Counting Those Boxes There's More", vol. 91, nm. 2, febrero de 1998, p. 122. lovanelli, Robert, "Using Spreadsheets to Analyze the Historical Perspectives of Apportionment", vol. 91, nm. 2, febrero de 1998, p. 176. Rothbart, Andrea, "Leaming to Reason from Lewis Carroll", vol. 91, nm. 1, enero de 1998, p. 6. Rulf, Benjamin, "A Geometric Puzzle That Leads to Fibonacci Sequences", vol. 91, nm. 1, enero de 1998, p. 21. 7999 Kahan, Jeremy, "Ten Lessons from the Proof of Fermat's Last Theorem", vol. 92, nm. 6, septiembre de 1999, p. 530. Silver, Jennifer Williams, "A Survey on the Use of Writing-to-Learn in Mathematics Classes", vol. 92, nm. 5, mayo de 1999, p. 388. Smith, John P. III, "Preparing Students for Modern Work: Lessons from Automobile Manufacturing", vol. 92, nm. 3, marzo de 1999, p. 254.2000

Kelley, Loretta, "A Mathematical History Tour", vol. 93, nm. 1, enero de 2000, p. 14. Lesser, Lawrence Mark, "Sum of Songs: Making Mathematics Less Monotone!", vol. 93, nm. 5, mayo de 2000, p. 372. Lightner, James E., "Mathematicians Are Human Too", vol. 93, nm. 8, noviembre de 2000, p. 696. Natsoulas, Anthula, "Group Symmetries Connect Art and History with Mathematics", vol. 93, nm. 5, mayo de 2000, p. 364. Simn, Marilyn K., "The Evolving Role of Women in Mathematics", vol. 93, nm. 9, diciembre de 2000, p. 782.'

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] !

2007 Johnson, Craig M., "Functions of Number Theory Ln Music", vol. 94, nm. 8, noviembre de 2001, p. 700. Lightner, James E., "Mathematics Didn't Just Happen", vol. 94, nm. 9, diciembre de 2001, p. 780. McNeill, Sheila A., "The Mayan Zeros", vol. 94, nm. 7, octubre de 2001, p. 590.*

Socha, Susan, "Less Is Sometimes More", vol. 94, nm. 6, septiembre de 2001, p. 450. 2002 Houser, Don, "Roots in Music", vol. 95, nm. 1, enero de 2002, p. 16. Howe, Roger, "Hermione Granger's Solution", vol. 95, nm. 2, febrero de 2002, p. 86. Kolpas, Sidney J., "Let Your Fingers Do the Multiplying", vol. 95, nm. 4, abril de 2002, p. 246. Van Dresar, Vickie J., "Opening Young Minds to Closure Properties", vol. 95, nm. 5, mayo de 2002, p. 326.De Teaching Chitaren Mathematics

1998 Boucher, Alfred C, "Critical Thinking Through Estimation", vol. 4, nm. 7, marzo de 1998, p. 452. Carey, Linda M., "Parents as Math Partners: A Successful Urban Story", vol. 4, nm. 6, febrero de 1998, p. 314.Fennell, Francis (Skip), "Mathematics at the Mal", vol. 4, nm. 5, enero de 1998, p. 268. Olson, Melfried, Lynae Sakshag y Judith Olson, "How Many Sandwiches?", vol. 4, nm. 7, marzo de 1998, p. 402. Zaslavsky, Claudia, "Ethnomathematics and Multicultural Mathematics Education", vol. 4, nm. 9, mayo de 1998. p. 502. ' 7999 Angerame, Shirlee S., "Math-o'-Lanterns", vol. 5, nm. 11, octubre de 1999, p.72. Basile, Carol G., "Collecting Data Outdoors: Making Connections to the Real World", vol. 5, nm. 10, septiembre de 1999. p. 8. r Brahier, Daniel J. y Melfried Olsen, "The World's Largest Math Event: Promoting Mathematical Thinking", vol. 5, nm. 7, marzo de 1999, p. 430. Sawada, Daiyo, "Mathematics as Problem Solving: A Japanese Way", vol. 5, nm. 7, septiembre de 1999, p. 54.2000

"

Glasgow, Robert et. al., "The Decimal Dilemma", vol. 7, nm. 2, octubre de 2000, p. 89. Hellwing, Stacey J., Eula Ewing Monroe y James S. Jacobs, "Making Informed Cholees: Selecting Children's Trade Books for Mathematics Instruction", vol. 7, nm. 3, noviembre de 2000, p. 138. f* (contina)

M

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Lemme, Barbara, "Integrating Measurement Projects: Sand Timers", vol. 7, nm. 3, noviembre de 2000, p. 132. Riddle, Margaret y Bette Rodzwell, "Fractions: What Happens Between Kindergarten and the Army?", vol. 7, nm. 4, diciembre de 2000, p. 202.

2001 Karp, Karen S. y E. Todd Brown, "Geo-Dolls: Traveling in a Mathematical World", vol. 8, nm. 3, noviembre de 2001, p. 132.* Randolph, Tamela D. y Helene J. Sherman, "Alternative Algorithms: Increasing Options, Reducing Errors", vol. 7, nm. 8, abril de 2001, p. 480. Sun, Wei y Joanne Y. Zhang, "Teaching Addition and Subtraction Facts: A Chnese Perspective", vol. 8, nm. 1, septiembre de 2001, p. 28....

Whitenack, Joy W. et. al., "Second Graders Circumvent Addition and Subtraction Difficulties", vol. 8, nm. 4, diciembre de 2001, p. 228.2002

Agosto, Melinda, "Cool Mathematics for Kids", vol. 8, nm. 7, marzo de 2002, p. 397. Huniker, DeAnn, "Calculators as Learning Tools for Young Children's Explorations of Number", vol. 8, nm. 6, febrero de 2002, p. 316. Strutchens, Marilyn E., "Multicultural Literature as a Context for Problem Solving: Children and Parents Learning Together", vol. 8, nm. 8, abril de 2002, p. 448. Whitin, David J., "The Potentials and Pitfalls of Integrating Literature into the Mathematics Program", vol. 8, nm. 9, mayo de 2002, p. 503.

Actividad 4 Una de las pelculas sobre matemticas ms famosas es Dnala en el Pas de las Matemticas (Dnala in Mathmagicland), producida por Disney en 1959. Despus de casi 40 aos, an conserva su belleza y es considerada un verdadero clsico. Est disponible en video, y puede rentarse en muchas tiendas especializadas o adquirirse en centros comerciales. Disfrute de la media hora de entretenimiento que ofrece esta pelcula, y escriba un informe sobre ella siguiendo las indicaciones de su profesor.

Actividad 5 Escriba un artculo, siguiendo los lineamientos que le indique su profesor, sobre uno de los siguientes matemticos, filsofos y cientficos. Abel, N. Agnesi, M. G. Agnesi, M. T. Al-Jwarizmi Apolonio Arqumedes Aristteles Babbage, C. Bernoulli, Jakob Bernoulli, Johann Cantor, G. Cardano, G. Coprnico, N. De Morgan, A. Descartes, R. Euler, L. Fermat, P. Fibonacci (

Libro de Mate Cap1

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