Ecuaciones diferenciales para estudiantes deciencias e ingenierasAdrianaGomez, GracianoCalderon, JaimeArangoIIPrefacioComomuchos libros de textoeste empezoenformade borradores declase:losdelprofesorGracianoCalderon.Tambiencomomuchoslibros estenaciodeldeseodesusautoresdedeciryescribiralgunascosas,ysucon-vencimientodequevalalapenaembarcarseentalempresa.Nuestraaspiracionhasidosiempreladecontarconuntextodebuenacalidad,queresulteaccesibleparanuestrosestudiantes.Deberareemplazaras la poco afortunada costumbre de fotocopiar parcialmente trozos dispersosdelibrosmuchasvecestanlejanosdenuestraspropiasexperienciasoladeprescindirporcompletodeunlibrodetexto. Nuestrosesfuerzossehanconcentrado a traves del tiempo en que resulte un texto razonablemente bienescritoquepresenteunaintroduccionconcisaalasecuacionesdiferencialesordinarias. Debera ser util tanto para estudiantes de ciencias, matematica yfsica,posiblementeinteresadosenlosaspectosteoricosdelamateria,comoparalosestudiantesdeingenieras,lamayoradeellosmasinclinadoshacialas aplicaciones practicas. Con la experiencia de muchos a nos de los autores yla colaboracion desinteresada de estudiantes y colegas, la iniciativa original deGracianoCalderonfuetomandocuerpohastaconvertirseenloquetenemosahora. Seguramentenuestraspretensionesapenassehanlogradoenparte:seran los lectores quienes juzquen en que grado hemos logrado materializarlas.Lalistadetodosaquellosconquienesestetrabajoestaendeudaesporciertomuylargayconseguridadsiemprequedaraincompleta.Noqueremossin embargo dejar de mencionar a Aida Patricia Gonzales y a Luis Cobo, estu-diantes del programa de Matematicas de la Universidad del Valle cuando estelibro era apenas un bosquejo. Nuestro reconocimiento tambien va en memoriadeJ.Tischer,cuyoscomentarios,avecescausticos,seguimosextra nando.Anuestro colega Manuel Villegas este trabajo tambien debe mucho: ademas desugerencias y correcciones, su generosa disposicion a usarlo en versiones pre-liminares.QueremosnalmenteagradeceralDepartamentodeMatematicasiiiIVde la Universidad del Valle, y desde luego al ciudadano que paga sus impues-tos, y que con su contribucion hace posible que algunos podamos dedicarnosalasprivilegiadastareasdepensaryescribir.IndicegeneralPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii1. Modelosmatematicosyecuaciones 11.1. Sistemasdinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. ModelodeMalthus(crecimientoexponencial) . . . . . 21.1.2. Movimientorectilneoenunmedioresistivo . . . . . . 41.2. Elconceptodesolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Teoremafundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Camposdedirecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. Ecuacionesdeprimerorden 192.1. Variablesseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Ecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Ecuacionesexactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Cambiosdevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Aplicaciones 473.1. Procesosdecrecimientoydedeclinacion. . . . . . . . . . . . . 473.2. ElmodelodeVerhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. LeydeNewtondelenfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4. Elmodelodeltanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. CadadecuerposcercadelasuperciedelaTierra. . . . . . . 593.6. Cadaenunpotencialgravitatoriovariable . . . . . . . . . . . 623.7. Trayectoriasortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634. Metodoscualitativosynumericos 694.1. MetodosCualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.1.1. ElmodelodeVerhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70vVIINDICE GENERAL4.1.2. Ecuacionesdiferencialesautonomas . . . . . . . . . . . 724.1.3. Equilibriosyestabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.4. Unejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2. Metodosnumericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1. ElmetododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2. LosmetodostipoRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . 875. Ecuacionesdesegundoorden 915.1. Teorageneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2. Ecuacioneslinealeshomogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.1. Conjuntosfundamentalesdesoluciones . . . . . . . . . 955.2.2. Elmetododereducciondeorden . . . . . . . . . . . . 1005.2.3. Ecuacionesdiferencialesconsolucionescomplejas . . . 1025.2.4. Ecuacioneslinealeshomogeneasconcoecientescons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3. Ecuacioneslinealesnohomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.1. Principiosdesuperposicion . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.2. Elmetododelavariaci ondeparametros . . . . . . . . 1085.3.3. Elmetododeloscoecientesindeterminados . . . . . . 1115.4. Ejerciciosadicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146. Osciladoreslineales 1176.1. Osciladoresmecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2. Oscilacioneslibres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3. Oscilacionesforzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337. Ecuacionesdeordensuperior 1397.1. Teorageneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.1.1. Ecuacioneslinealeshomogeneas . . . . . . . . . . . . . 1407.1.2. Ecuacioneslinealesnohomogeneas . . . . . . . . . . . 1447.2. Ecuacionesconcoecientesconstantes . . . . . . . . . . . . . 1477.2.1. Ecuacioneshomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2.2. Ecuacionesnohomogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . 1508. Solucionesenseriesdepotencias 1558.1. Solucionescercaaunpuntoordinario. . . . . . . . . . . . . . 1588.2. ElmetododeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165INDICE GENERAL VII9. TransformadadeLaplace 1779.1. Conceptosbasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2. PropiedadesdelatransformadadeLaplace. . . . . . . . . . . 1839.3. LatransformadadeLaplaceinversa . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4. MetododeHeaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.5. ProductodetransformadasdeLaplace . . . . . . . . . . . . . 1969.6. Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19810.Sistemasdeecuaciones 20310.1. Conceptosbasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.2. Sistemashomogeneosconcoecientesconstantes. . . . . . . . 21310.2.1. Laexponencialdeunamatriz . . . . . . . . . . . . . . 22210.3. Sistemasnohomogeneosconcoecientesconstantes . . . . . . 23710.3.1. Elmetododeloscoecientesindeterminados . . . . . . 23710.3.2. Formuladevariaciondeparametros . . . . . . . . . . . 240VIIIINDICE GENERALCaptulo1ModelosmatematicosyecuacionesdiferencialesLasecuacionesdiferencialesconstituyenunadelasprincipalesherramien-tas empleadas por cientcos e ingenieros cuando se trata de representarmatematicamente alguno de los fenomenos que deben estudiar en sus distin-tasareasdetrabajo. Confrecuenciaunaecuaciondiferencial resultaserlamejormaneradedescribirunsistemadinamico. Pero, queesunsistemadinamico? Esta puede ser una pregunta difcil de contestar en terminos rigu-rosos, sin embargo podemos imaginar un sistema dinamico como la evoluci ondeunsistemafsico,cuyoestadovaraconeltiempo.Elestadodeunsiste-maeselconjuntodecaractersticasdelsistemaquepermitensudescripcioncompletaencadainstante. Unpenduloqueoscila, unmercadobursatil, elsistemasolar, unconjuntodepoblaciones animales queinteract uan, ouncircuitoelectrico,puedencitarsecomoejemplosqueilustranelconceptodesistemadinamico.Cuandolas reglas que gobiernanlaevoluci onde unsistemadinamicoestan expresadas en terminos de una ecuacion diferencial, el estudio de dichaecuacionydesussolucionespermiteentenderypredecirelcomportamientodel sistema. En esta gua empezamos por introducir un par de ejemplos con-cretosquemuestrancomolasecuacionesdiferencialessirvenparamodelarmatematicamenteunrangomuydiversodefenomenosnaturales. Tambiendiscutiremos el conceptoformal de ecuaciondiferencial ordinariayel desoluciondeunaecuaciondiferencial, as comoel teoremafundamental deexistenciadesolucionesparaecuacionesdeprimerorden.12 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES1.1. SistemasdinamicosEn esta seccion se consideraran sistemas cuyos estados se pueden describirmedianteunasolavariableescalar, queasuvezdependedeunavariableindependiente,laquemuyusualmentecorrespondealtiempo.1.1.1. ModelodeMalthus(crecimientoexponencial)Comoilustracionestudiaremosunmodelodecrecimientoparapoblacio-nes aisladas. Los organismos viven en grupos llamados poblaciones, caracteri-zadas por su tama no, que, para el caso del modelo que nos interesa, sera con-siderado el estado del sistema en cada instante. El tama no de la poblacion sepuededarenterminosdeln umerototaldeindividuosdelapoblacion,perobienpodradarse,porejemplo,enterminosdesudensidad.Paraefectosdeplantearunmodelointroducimoslavariablex=x(t),querepresentaeltama nodelapoblacioneneltiempot.Enesecasolatasarelativadecrecimientodelapoblacionenel tiempotesigual a1x(t)dxdt. Enunapoblacionaislada,lavariaci ondeltama noesdebidafundamentalmentealosprocesosdenacimientoymuerte. Enesecasolatasadecrecimientodelapoblaciones igual aladiferenciaentrelatasadenatalidadylademortalidad.A traves del tiempo ecologos y demografos han planteado varios modelos,enunintentopor predecir la forma enque evolucionael tama node laspoblaciones. Estos modelos se basan en supuestos, usualmente vericados demaneraexperimental,queestablecenrelacionesentrelatasadecrecimientodelapoblacionyeltama nodelapoblacionencadainstante.Vamosaestudiarahoraunodelosmodelosmasconocidos,elmodelodeMalthus, llamado as por el economista Thomas Robert Malthus (1766-1834),quien lo planteo por primera vez en su inuyente trabajo Primer ensayo sobrelapoblacion.Enestemodelolatasarelativadecrecimientodelapoblacionsesuponeconstante,esdecir1x(t)dxdt(t) = a, aconstante,oequivalentementedxdt(t) = a x(t). (1.1)1.1. SISTEMAS DINAMICOS 3EscritoenestaformaelmodelodeMalthusproporcionaunejemplodeunaecuaciondiferencial.Essencillocalcularexplcitamentelassolucionesde(1.1). Enefecto, six = x(t)essolucionde(1.1)yx(t) ,= 0paratodot,entonces1xdxdt= a.Integrandoaambosladosrespectodetresultaqueln [x(t)[=at + c1,paraalgunaconstantec1. Exponenciandoambosladosestaultimaidentidadseobtienex(t) = c ea t, < t < , (1.2)dondec= ec1. Recprocamentesevericaquecadaunadelasfuncionesdelaformax(t) = c eat,cconstante,satisfacelaecuacion(1.1).Finalmente,si sebuscaunasolucionx=x(t)quesatisfagaunacondiciondelaformax(t0) = x0paravaloresdet0yx0dados,entoncesx0= c ea t0yc = x0ea t0,demaneraquex(t) = x0ea (tt0), < t < .Lavalidezdel modelodeMalthusessoloaproximada, ysucapacidadpre-dictivaestaconnadaaperiodosrelativamentecortosdetiempo,puesenlapracticalastasaspromediodenatalidadydemortalidaddeunaespecienopermanecenconstantesatravesdeltiempo.Observacion.Cuandoa>0sediceque(1.1)modelauncrecimientoexpo-nencial.Analogamentesehabladedeclinacionexponencialcuandoa < 0.Ejemplo1.1.1. Digamosqueunapoblacionqueenel a no1990constabade1000individuos, siguelaleydeMalthus conunaunatasarelativadecrecimiento del 0,1 anual. Cuanto tardara en extinguirse? De acuerdo conladiscusiondel modelo, si x(t)denotael tama nodelapoblacionenel a not,entoncesx(t) = 1000 e(t1990)10.Lapoblacionpuede considerarse extintacuandocuente conmenos de unindividuo. Uncalculoelemental muestraquelaextincionsedarahaciaela no2060.Enlagura1.1puedeapreciarselafuncionx = x(t).4 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 208001002003004005006007008009001000tx(t)Figura1.1:N umero de individuos de una poblacion en proceso de extinguirse.1.1.2. MovimientorectilneoenunmedioresistivoAhora estudiaremos el problema de determinar la velocidad de un cuerpoque cae cerca de la supercie terrestre. Galileo Galilei (1546-1642) mostro ex-perimentalmente que la aceleracion de un cuerpo que cae en el vaco cerca dela supercie de La Tierra es constante. Teniendo en cuenta que la aceleraciones la razon de cambio de la velocidad con respecto del tiempo, y consideran-docomopositivaladireccionhaciaarriba, el descubrimientodeGalileoennotacionmodernapuedeescribirsecomodvdt= g, (leydeGalileodecadalibre), (1.3)dondevrepresentalavelocidaddel cuerpoygesunaconstante, queenelsistemaMKStomaelvaloraproximadodeg 9,8 m/s2.Sienelinstantet0lavelocidadesv0, entoncesmedianteintegraci onsellegaalaformulaparalavelocidadenelcasodelmovimientouniformementeaceleradov(t) = v0g (t t0) .Cuandouncuerpocaeenunmediodiferentedel vaco, porejemploaireoagua,esteejerceunafuerzaderesistenciaofriccionqueafectalavelocidadde la cada. Es conveniente plantear el problema empleando la segunda ley dedeNewton,deacuerdoconlacualelproductodelamasaporlaaceleraciondeuncuerpoesigual alasumadelasfuerzasqueact uansobreeste:m dvdt= f, (segundaleydeNewton). (1.4)Silas unicasfuerzasqueact uansobreuncuerpoquecaesonlafuerzadelagravedadfWylaresistenciafR, f =fW+ fR. Sabemosquecercadela1.1. SISTEMAS DINAMICOS 5supercieterrestrefW= mg,mientrasqueparalaresistenciaunmodelovalidadoexperimentalmentees-tablecequefResproporcionalalavelocidadyact uaendireccionopuestaaladelmovimiento:fR= v,donde es una constante positiva. De acuerdo con la segunda ley de Newtonm dvdt= fW+ fR= mg v,o,equivalentementedvdt= g m v. (1.5)Esta ultima relacion puede interpretarse como una correccion de la ecuacionde cada libre (1.3), teniendo en cuenta ahora la resistencia del medio. En unmedionoresistivo= 0ylarelacion(1.5)sereducealaecuaciondecadalibre(1.3).La ecuacion (1.5) relaciona a vcon su derivadadvdt. Este es un ejemplo deunaecuaciondiferencial deprimerorden. Lodeprimerordensereereaquesoloaparecelaprimeraderivadadelafuncionincognitav= v(t).Vamosadeterminarahoralassolucionesv=v(t)delaecuacion(1.5).Observesequelaecuacion(1.5)sepuedereescribirenlaforma1g +m vdvdt= 1.Integrandoambosladosconrespectodetsesigueque,lng +m v = m t + c1,dondec1esunaconstantecualquiera.Despejandovtenemosv= c emtmg, (1.6)dondec= mec1esunaconstantearbitraria. Si enel instanteinicial t0elcuerpo cae convelocidadv= v0podemos precisar elvalor de la constantec.Enefectoenesecasov0= c emt0mg,6 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONESasquedespejandocyreemplazandoen(1.6)seobtieneunaexpresionparaelvalordevencadainstantet:v=_v0 +mg_em(tt0)mg. (1.7)Ejemplo 1.1.2.Para jar ideas consideremos una masa de 0.2 kg que se dejacaerdesdeelreposoenunmedioresistivo,conunaconstante=1100 kg/s.De acuerdo con(1.7), la velocidaden metros por segundo encada instantetresultaserv(t) = 20 9,8_et201_.Lagracadeestafuncionvelocidadv=v(t)puedeapreciarseenlagura1.2, conjuntamenteconladelavelocidadquecorresponderaaunacadalibre.0 5 10 15 20 25 30 35 404003002001000tv(t)Figura1.2:Velocidad de un cuerpo que cae en un medio resistivo. La lnea punteada esla velocidad asintotica, la lnea a trozos representa la velocidad de no existir resistencia.1.2. ElconceptodesolucionLaleydeMalthusparalaevoluci ondel tama nodeunapoblacionylasleyesquegobiernanlavelocidaddeuncuerpoquecaeenunmedioresistivoson ejemplos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales ordinarias.Por una ecuacion diferencial ordinaria de orden m para una funcion incognitax = x(t),quedependedeunavariablerealt,seentiendeunacondicionquesepuedeexpresarenlaformaE_t, x, dxdt, . . . , dmxdtm_= 0, (1.8)1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION 7que relaciona los valores que tome la funcion x = x(t) con los que toman susderivadashastaladeordenm,yposiblementeconlosvaloresdelavariableindependientet.LaletraErepresentaaquunafunciondem + 2variables,esto es, una regla o procedimiento que a cada conjunto ordenado de m+2n umeros (u1, u2, . . . , um+2), perteneciente a un cierto subconjunto del espacioRm+2,leasociaunvalorquesedenotaporE(u1, u2, . . . , um+2).El ordendela ecuacion es el orden m de la derivada mas alta de x = x(t) que aparece enlaecuacion.Ejemplo1.2.1. Porejemplodxdt= 2xesunaecuaciondiferencial.Enefectoestacondicionsepuedeexpresar enlaforma(1.8), tomandopor ejemploE(u1, u2, u3) = u32 u2,demaneraqueE(t, x,dxdt) =dxdt 2x.Denicion1.2.1. Una soluciondelaecuaciondiferencial(1.8)enuninter-valoIesunafuncionx = x(t),denidaenIyconvaloresen Rtalque:x=x(t)escontinuayposeederivadasdxdt, . . . ,dmxdtmhastadeordenmenI.x = x(t) satisface (1.8) en I. Es decir, E_t, x(t),dxdt(t), . . . ,dmxdtm (t)_= 0,paratodot I.ElintervaloIeselintervalodedeniciondelasolucionx(t).En discusiones de caracter general, se hace necesario considerar ecuacionesenformanormaldmxdtm= f(t, x, dxdt, . . . , dm1xdtm1 ), (1.9)esdecir, resueltasparaladerivadadeordenmasaltodmxdtm. Acontinuacionvamosaestudiaralgunosejemplos.Ejemplo1.2.2. Las funciones delaformax(t) =c e2t, c constante, sonsoluciones de la ecuaciondxdt= 2 x en I= (, ). En efecto para cada unadeestasfuncionesx(t),dxdt(t) = 2 c e2t= 2 x(t).Ejemplo1.2.3. Dadaunaconstanteja,cadaunadelasfuncionesdelaforma y(t) = acos t +bsen t, a y b constantes, es solucion de la ecuaciond2ydt2+ 2y= 0, > 0 constante,8 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONESenelintervaloI=(, ).Ellopuedevericarsefacilmente,yaqueparaestasfuncionesy(t),d2ydt2 (t) +2y(t) = a 2cos t b 2sen t +2(acos t + bsen t) = 0.Ejemplo1.2.4. Lafuncionu(t)=1tessoluciondedudt= u2en(0, )ytambienen(, 0).Sedejanallectorlosdetallesdelavericaci on.Ejemplo1.2.5. Deacuerdoconladenicionquehemospresentadolassi-guientesecuacionesnosonecuacionesdiferencialesordinarias:laecuaciondelcalorut=2ux2,dondeuesfunciondelasvariablesxyt.la ecuacion de Laplace2ux2+2uy2= 0, donde u es funcion de x y de y.Lasanterioressonencambioejemplosdeecuacionesparciales.Observacion.Losmodelosquehemospresentadoenestaguacorrespondenasistemasquedependendel tiempo. Resultaenesecasonatural emplearlaletrat paradenotar alavariableindependiente(temporal), yconotraletra, por ejemplo x, a la variable dependiente. As, x(t) puede representar eltama nodeunapoblacionolaposiciondeuncuerpoenelinstantet.Ahorabien, nohaynadademaloendenotar conletras distintas alas variablesdependiente e independiente. De la misma manera es cierto que puede usarsecualquiera de las posibles notaciones para las derivadas. Por ejemplo, si no esimportanteprecisarelnombredelavariableindependiente,puedeescribirsex

, x

, . . .enlugardedxdt,d2xdt2, . . . .Solo elcontexto ylatradicionindicancualnotacionpuedeserlamasconvenienteenundeterminadocaso.Notesequedxdt+ x = cos t,dudt+ u = cos t ydydx+ y= cos x,ascomox

+ x = cos t, o y

+ y= cos x,sonformasequivalentesdeescribirlamismaecuaciondiferencial.1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION 9SeparaciondevariablesEn la seccion 1.1 presentamos un par de ecuaciones asociadas a problemasconcretos, al tiempoquemostramoscomosepodanobtenerlassolucionesdedichasecuaciones. Enlosejemplosdeestaseccionhemosvericadoqueciertasfuncionessonsolucionesdeecuacionesdadas,perononoshemosre-feridoa unalaformaenquetalessolucionesfueronobtenidas. Pordecirlodealg unmodo, las soluciones fueronsacadas delamanga. Enrealidadelmismometodoqueempleamosparalasecuacionesdelaprimeraseccion,puedeaplicarseenelejemplo1.2.2,queesuncasoparticulardelaecuaciondel crecimiento exponencial (1.1), y tambien en el ejemplo 1.2.4. La tecnica ala que nos referimos se conoce como separacion de variables y puede aplicarsesiemprequesetengaunaecuaciondeprimerordendelaformadxdt= f(t, x),enlaqueel terminof(t, x)sepuedaescribircomoel productodeunfac-torquedependaexclusivamentedetyunoquedependa unicamentedex.Ilustramosestasideasconelsiguienteejemplo.Ejemplo1.2.6. Considereselaecuaciondxdt=xt.Si enunprimerintentoporresolverlaecuacionintegramosaambosladosrespecto de t, estaramos en problemas, pues aunque a la izquierda la integralesx(t),aladerechatendramosqueintegrarlafuncionx(t)t,siendoquex(t)no se conoce a un. Una mejor idea es dividir a ambos lados por x, de maneraqueseobtengalaecuacion1xdxdt=1t.Ahoraquesehanseparadolasvariablessi podemosprocederaintegraraambos lados respecto de t, pues teniendo en cuenta el teorema de substitucionparaintegralesindenidas,sesigueque_1x dx =_1tdt.Despuesdecalcularlasintegralesanterioresydedespejarx, obtenemoslafamiliadesolucionesx = c t,cunaconstantearbitraria.10 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONESUnestudiomasdetalladodeesteyotrosmetodosdesoluciondeecua-cionesdeprimerordensepostergarahastael captulo2, mientrasquelasecuacionesdesegundoorden, comoladel ejemplo1.2.3, seconsideraranenel captulo 5. Sin embargo y como hemos anticipado, existen numerosos casosenlosquehallarlassolucionesenformacerradadeunaecuaciondiferencialresultaenlapracticaimposible.Esentoncesquepuedeserconvenientecon-tarconresultadosgenerales,queaunquenoproporcionenformulasparalassoluciones, si puedanaportarinformacion util acercadesunaturaleza. Tales el caso del teorema de la proxima seccion. Por simplicidad trataremos uni-camenteel casodelasecuacionesdeprimerorden, peroexistenresultadosanalogosparaecuacionesordenesmayores.1.3. TeoremafundamentalUna ecuacion diferencialordinaria determina una coleccion de funciones,lafamiliaformadaportodassusposiblessoluciones.Cadaunadeestasfun-cionessepuedeparticularizarmediantecondicionesadicionales.Elteoremade existencia y unicidad de soluciones que formularemos en esta seccion pre-cisaestaideaenelcasodeecuacionesdeprimerorden.Teorema1.3.1(Teoremafundamentaldeexistenciayunicidaddesolucio-nes). Seadxdt= f(t, x) (1.10)unaecuaciondiferencial tal quelafuncionf= f(t, x)satisfaceC1) f(t, x) escontinuaparat J yx , dondeJ ysonintervalosabiertosde R.C2) Laderivadaparcialfx(t, x)existeyesunafuncioncontinuade(t, x),paratodotenJyxen.Entonces para cada t0 Jy x0 existen un intervalo abierto Iincluido enJy que contiene a t0, y una funcion x = x(t) denida en I, tales que x = x(t)es la unica solucion de(1.10) denida en I y que satisface la condicion inicialx(t0) = x0(verlagura1.3).La demostracionde este teorema, por ejemplo la debida a E. Picard(1890), requieredemetodosdeAnalisisMatematico. Nosediscutiraaqu,1.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 11xtJIx0t0Figura1.3:La solucion al problema de valor inicialx

= f(t, x), x(t0) = x0.peroal lectorqueleinteresepuedeconsultarlaenporejemploel textodeG. Simmons, Ecuaciones diferenciales conaplicaciones ynotas historicas,McGraw-Hill,1993.Unaconsecuenciainteresantedel teorema1.3.1esquelaecuaciondife-rencial (1.10)tieneinnitassoluciones, puesdadot0enJjo, ycualquiervalor x0en , exactamente una de las soluciones satisface la condicion inicialx(t0) = x0.Otraconsecuenciaquevalelapenamencionaresquesix = x(t)y y= y(t) son dos soluciones de (1.10) denidas en el mismo intervalo I J,entonceslascurvas_(t, x(t)) R2: t I_,_(t, y(t)) R2: t I_onoseintersecanosonidenticas.Observacion.Al problemadeencontrarunasoluciondelaecuacion(1.10)quesatisfagaunacondiciondelaformax(t0)=x0, t0yx0valoresdados,se le conoce como problemadevalorinicial. Usando esta terminologa puededecirse que el teoremaFundamental garantizalaexistenciade una unicasolucionparacadaproblemadevalorinicial.12 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONESEjemplo1.3.1. Elteoremafundamentalesaplicablealaecuaciondxdt= x,conf(t, x)=x, J= Ry= R. Igualmenteesaplicableadxdt= x2, conf(t, x) = x2,J= Ry = R.As,cadaproblemadevalorinicialasociadoaunadeestasecuacionestieneuna unicasolucion.Ejemplo1.3.2. El teoremafundamental nopermiteencambiogarantizarlaexistenciadeuna( unica) soluciondelaecuaciontdxdt=xqueademassatisfagalacondicioninicial x(0) =0. Enefecto, laecuacionensuformanormalseescribedxdt=xt.Sinembargolafuncionaladerechaesf(t, x) =xtque no puede denirse en el punto (x, t) = (0, 0) de forma continua. Observeseque las funciones x1(t) = 0 y x2(t) = t son dos soluciones distintas, denidasen(, ),yambassatisfacenlacondicioninicialx(0) = 0.Ejemplo1.3.3. Enesteejemplovamosaconsiderarlaecuaciondxdt= 3 x2/3. (1.11)Lafuncionf(t, x) =3 x2/3estadenidayes continuaparatodo(t, x), ten(, )yxen(, ). Sinembargolafuncionfx=2 x1/3noescontinuaenlospuntosdelaforma(t, 0),nisiquieraestadenidaendichospuntos. As, la ecuacion diferencial (1.11) satisface las condiciones C1) y C2)delteoremafundamentalsitomamosJ= (, )y = (0, )otambienpor ejemplohaciendoJ =(, ) y=(, 0). Por supuestonosesatisfacentomandoJ= (, )y = (, ).Enestecasoelteoremafundamentalnopermitegarantizarlaexistenciani launicidaddeunasolucionde(1.11)quesatisfaga, porejemplo, lacon-dicionx(0)=0.Comoejercicioseproponequeellectorcompruebequelasfunciones x1(t) = 0 y x2(t) = t3son dos soluciones diferentes de (1.11), ambasestan denidas en (, ) y ambas satisfacen la condicion inicial x(0) = 0.Encambioel teoremafundamental si garantizalaexistenciadeuna unicasolucionde(1.11)quesatisfacelacondicioninicial x(0)=1, porque?Ellector puede vericar que la funcion x(t) = (t +1)3es la unica solucion a esteproblemadevalorinicial.Ejemplo1.3.4. Inclusive cuandoelteoremafundamentalgarantiza laexis-tenciadeuna unicasolucionquesatisfagalacondicioninicial x(t0) =x0,dichasolucionnotieneporqueestardenidaentodoelintervaloJalrede-dordet0dondesesatisfaganlascondicionesC1)yC2)delteorema.Tales1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES 13elcasoporejemplodelaecuaciondxdt= x2.Para esta ecuacion f(t, x) = x2yfx= 2 x, ambas son funciones continuasencadapunto(t, x), t enJ =Ryxen=R. Enestecasoel teoremafundamental 1.3.1se puede emplear paragarantizar laexistenciade una unica solucion que satisfaga, por ejemplo, la condicion x(1) = 1. Sin embargola unicasolucionquesatisfaceestacondicioninicial eslafuncionx(t)=1t,queestadenida unicamenteen(0, ).Para nalizar damos en la siguiente seccion una interpretacion geometricadel signicado de una ecuacion diferencial de primer orden, que de paso ayudaaaclararelcontenidodelteoremafundamental.1.4. CamposdedireccionesTeniendopresentelainterpretaci ondeladerivadadxdtdeunafunciondi-ferenciablex = x(t)comolapendientedelarectatangentealagracadexenelpunto(t, x(t)),esfacilentenderdeformageometricaquesignicaqueunafunciondadaseasoluciondelaecuaciondiferencialordinariadeprimerorden(1.10).La idea consiste en asignar a cada punto (t0, x0) del plano un segmento derecta de longitud ja que pase por ese punto y que tenga pendiente f(t0, x0),tal comose muestraenlagura1.4. Paracadapunto(t0, x0) lagracade unasolucionde (1.10) que satisfagalacondicionx(t0) =x0debe serunacurvaque pasapor dichopuntoyes tangente al segmentode rectaconstruidoall. Estasituacionseilustraenlagura1.5. Alaluzdeestainterpretaciongeometricanoes de extra nar que cuandolafuncionf seasucientemente bonita se pueda garantizar que por cada punto del dominiodefpaseexactamenteunasolucion. Trazandosegmentosderectaencadapuntodel plano(mas exactamente encadapuntodel dominiode f), talcomoacabamosdedescribir, seobtieneel llamadocampodedireccionesdelaecuaciondiferencial. Lagura1.6ilustrael campodedireccionesdelaecuaciondiferencialdxdt=x. Enestecontextolassolucionesx=x(t)delaecuaciondiferencial(1.10)soncurvasdiferenciablescongracosenelplanoy tangentes al campo de direcciones en cada punto. En aquellos casos en que14 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONEStan xtxt = f(t,x)Figura 1.4: Direccion tangente a la cur-vax = x(t) en el punto (t0, x0).xtxtFigura 1.5: La curva x = x(t) y su tan-gente en el punto (t0, x0).3 2 1 1 2 32112txFigura1.6:Una solucion y el campo de direcciones dedxdt= x.nosepuedeencontrarlasoluciongeneral enformacerrada, latecnicadelcampodedireccionesesunafuentevaliosadeinformacion.Ejercicios1. El n umerodecelulasenuncultivobacterianocrecesiguiendolaleydecrecimientoexponencial deMalthus. Si el n umerodebacteriasseincrementode10,000a10,000,000en4horas, determinea) latasadecrecimientorelativodeestecultivoyb)el tiempoquetardanlasbacteriasenduplicarsun umero.Los datos de los dos siguientes problemas son aproximaciones de los que1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES 15suministrael DepartamentoAdministrativoNacional de EstadsticaDANEensupaginawww.dane.gov.co.2. LapoblaciondeColombiaenenlosa nos1964y1973erade17.484y22.862milesdehabitantesrespectivamente. Cual deberahabersidolapoblacioncolombianaenel2005dehaberseguidoestapoblacionelmodelodeMalthus?3. La evoluci on de la poblacion del Valle del Cauca (en miles de habitan-tes)entre1973y2005sedaenlasiguientetablaA no 1973 1985 1993 2005Poblaci on 2.392 3.027 3.736 4.060siguiolapoblaciondel Valleel modelodeMalthusenel periodode1973a2005?justiquesurespuesta.4. Demuestrequesi v =v(t) es unasoluciondelaecuacion(1.5) quemodelalacadadeuncuerpoenunmedioresistivo,entoncesv(t)sa-tisfacelmtv(t) = mg.Comopuedeinterpretarseesteresultado?cual sera el lmite si v= v(t) fuera solucion de la ecuacion diferencialcorrespondientealmodelodecadalibredeGalileo?5. Encadacasodeterminesi lafunciondadaessoluciondelaecuacioncorrespondienteenelintervaloindicadoa) y(t) = c eatba, t R, (a, b, cconstantes);dydt= a y + b.b) x(t) =ln t, 0 0,determineellmitelmtx(t).Queocurresix0< 0?24 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN6. Determinetodaslassolucionesdelaecuaciondvdt=vcos t1 + 2 v2,yobtengaunasolucionquesatisfagalacondicionv(0) = 2.7. Dadalaecuacionx3z3zdzdx= 0,a) halle todas sus soluciones y b) determine una solucion que satisfagalacondicionz(1) = 2.Respuestas1. a)x(t)=1 + c et2/2,cconstanteb)x(t)= 2 cos t,t (, )c) y(x) = c [x21[1/2, c constante d) y(x) = tan (x2+4), x (2,2)2. t + xln x = c x3. x5y2(5x + 2y)3= c,cconstante;x5y2(5x + 2y)3= 734. x(t) = c etk, < t < ,cconstante;x(t) = (1 + k)e(t1)k5. x(t) =a x0b x0+(ab x0)ea t; I depende de x0: 0 ab= I =(1a ln_b x0ab x0_, ); x0 06. ln [v[ + v2= sen t + c;ln v + v2= 4 + ln 2 + sen t7. a)z(x)=0, x (, )esunasolucion; lasdemassolucionessondelaformaz(x) =4cx4,b)z(x) =43x4,x _,43_2.2. EcuacioneslinealesEnestaseccionestudiaremoslaecuaciondxdt+ a(t) x(t) = b(t), (2.3)2.2. ECUACIONES LINEALES 25dondea(t) yb(t) sonfunciones continuas enunintervaloJ. Estaes unaecuacionlineal de primer orden. Paraquienes estanfamiliarizados conlaterminologa del algebra lineal, el calicativo lineal tiene que ver con el hechodequelaexpresionalaizquierdaenlaecuacion(2.3)eslinealenx.Es utilnotar que dicha expresion hace recordar la regla para derivaci on de productos.Enrealidadpararesolver estaecuacionloquehacemos es determinar unfactor A(t), demaneraquedespues deser multiplicadopor esefactor, elterminoalaizquierdaen(2.3)correspondaefectivamentealaderivadadelproductoA(t) x(t).Enotraspalabrassebuscaqueddt (A(t) x(t)) = A(t) dxdt+ a(t) A(t) x(t), (2.4)quesetraduceenlacondiciondAdt=a(t)A(t). ConclumosentoncesqueelfactorA(t)buscado,conocidocomofactorintegrante, estadadoporA(t) = eRa(t) dt, (2.5)donde_a(t) dt representa una antiderivada arbitraria de a(t). Multiplicandoahora(2.3)porelfactorintegranteA(t)seobtienelaecuacionA(t) dxdt+ a(t) A(t) x(t) = A(t) b(t).ComoA(t)satisfacelarelacion(2.4),laecuacionanteriorpuedereescribirseenlaformaddt (A(t) x(t)) = A(t) b(t). (2.6)Integrando a ambos lados respecto de t y despejando x(t) se obtiene la solu-ciongeneralde(2.3):x(t) =c +_A(t) b(t)dtA(t), (2.7)dondecrepresentaunaconstantecualquiera. Laformula(2.7)esespecial-mente util en los casos en que tanto el factor integrante A(t) como la integral_A(t) b(t) dtsepuedancalcularexplcitamente.Ejemplo2.2.1. Vamosahallarlasoluciongeneraldet dxdt= x + t2.26 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDENParaellodividimosportyvemosquelaecuacionresultantedxdt 1tx = t (2.8)esdelaforma(2.3)cona(t) = 1tyb(t) = t.DadoqueA(t) =1t,alaplicarlaformula(2.7) setienequelas soluciones delaecuaciondadasondelaformax(t) = t (c + t) , cconstante. (2.9)Alternativamente y para no tener que memorizar la formula (2.3) podramosrepetir el procedimiento descrito para llegar a esa expresion, pero para el casoparticulardelaecuacionconsiderada.Estosignicamultiplicar(2.8)porelfactorA(t) =1t,obteniendoaslaecuacion1tdxdt 1t2 x = 1.Laexpresionalaizquierdasereconoceentonces comoladerivadadeunproducto,loquepermitereescribiresaecuacionenlaformaddt_1tx_= 1.Integrando ahora a ambos lados respecto de t obtenemos de nuevo la formulaparalassolucionesdadaen(2.9).Alresolverproblemasdevalorinicialdxdt+ a(t) x(t) = b(t), x(t0) = x0,puedesermasconvenienteemplearintegralesdenidasenlugardelasinte-gralesindenidasquehemosvenidousando. As porejemplopodemosem-plearcomofactorintegrantelafuncionA(t) = eRtt0a(s) ds,envezdelaexpresionalgoambiguadadapor(2.5).Integrandoahora(2.6)entret0ytsellegaalasolucionparticulardescritaenelsiguienteteorema.2.2. ECUACIONES LINEALES 27Teorema2.2.1. Paratodot0enJ ytodox0enR, el problemadevalorinicialdxdt+ a(t) x(t) = b(t), x(t0) = x0,tieneuna unicasolucionx = x(t),denidaparatodot J,ydadaporx(t) =x0 +_tt0A(s) b(s) dsA(t),dondeA(t) = eRtt0a(s) ds.Ejemplo2.2.2. Consideremoselproblemadevalorinicialdxdt+ 2 t x = 1, x(0) = 1.Si aplicamos la formula (2.7) se tiene que las soluciones de esta ecuacion sondelaformax(t) = et2_c +_et2dt_, cconstante.Sinembargocomolaintegral_et2dt nopuede escribirse enterminos defunciones elementales, la expresion anterior no resulta muy clara si lo que sedesea es determinar la solucion al problema de valor inicial dado. En cambio,aplicando el teorema 2.2.1, se obtiene una expresion algo mas precisa para lasoluciondelproblemadevalorinicialconsiderado:x(t) = et2_1 +_t0es2ds_.EcuacionesdeBernoulliAlgunasecuacionesnolinealespuedenreducirsealinealesmedianteunasustitucionocambiodevariablesadecuado.TaleselcasodelasecuacionesdeBernoullidxdt+ a(t) x = b(t) xn, n ,= 1 constante.Si z= x1nentoncesdzdt= (1n) xndxdty la ecuacion de Bernoulli se reduceaunaecuacionlinealenzdzdt+ (1 n) a(t) z= (1 n) b(t).28 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDENEjemplo2.2.3.t x2 dxdt x3+ t2x = 0.Primero,dividiendoport x2llevamoslaecuacionalaformadxdt xt= txqueesdetipoBernoulliconn= 1.Elcambiodevariablestomalaformaz= x2,dxdt=12 z1/2dzdt,queconducealaecuacionlinealdzdt 2 zt= 2 t,cuya solucion general esta dada por z(t) = c t22 t2ln [t[, donde c represen-taunaconstantearbitraria. Retomandolavariableoriginal xsetienenlassolucionesx(t) = _t2(c 2ln [t[).Enlagura2.2.3semuestranlasgracasdelasanterioresfuncionesparaunos cuantos valores de c. El dominio de denicion de las soluciones dependeengneral dec, ycadasolucioncorrespondeaunasoladelasramasdelarazcuadrada. Es decir, obienlasoluciones x=_t2(c 2 ln [t[), enelcasodequextomevalorespositivos, oesx= _t2(c 2 ln [t[)si tomavalores negativos. Si se pide por ejemplo la solucion que satisface la condicionx(1) = 1,setienequec = 1yx(t) =_t2(1 2 ln t), t (0,e).Ejercicios1. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial indicando el intervalodedeniciondelasolucion.a)dxdt= 2 x e2t, x(0) = 1b)dxdt+xt= 1, x(1) = 1c)dxdt +x sec2t = sec2t, x(0) = 2d)dxdt= cos t x cos t, x() = 0e) xdydx+ y= x4y3, y(1) = 1f )dudt+3tu = t2u2, u(1) = 22. Hallelasoluciondel siguienteproblemadevalorinicial indicandoenqueintervaloestadenidalasolucion.cos t dydt (2 sen t) y= cos tsen t, y(0) = 1.2.2. ECUACIONES LINEALES 294 2 2 422txFigura 2.3: Algunas soluciones de la ecuacion de Bernoulli t x2 dxdtx3+t2x =0.Aparecedestacadalasolucionquesatisfacex(1) = 1.3. Dadalaecuacionlinealconcoecientesconstantesdxdt+ a x = b,muestrequesusoluciongeneralestadadaporx(t) =ba+ c ea t, cconstante.Muestre tambien que para todo par de n umeros reales t0y x0, la unicasolucionquesatisfacelacondicioninicialx(t0) = x0estadadaporx(t) =ba+_x0ba_ea(tt0).Respuestas1. a) x(t) = e2t(1 t) , t R,b) x(t) =12 (1t+ t), t > 0,c) x(t) = 1 + etant, [t[ ab,lapoblaciondisminuiraconeltiempo, y la disminucion sera asint otica hacia el estado de equilibrioab. Si porel contrario, el tama noinicial nosuperael tama nomaximoab, lapoblacionaumentaraasint oticamenteconel tiempoacercandoseal estadodeequili-brioab.Desdeluego,untama noinicialx0< 0notienesentidodemograco.Noobstante, lasoluciondelaecuaciondiferencial (3.2)parael datoinicialx(t0) =x0existeytienesentidohacerconsideracionesmatematicassobredichasolucion.Procederemosahoraadeterminardeformaexplcitalassolucionesdelaecuacion(3.2).Enefecto,separandovariablessellegaalaecuacion_1x (a b x) dx =_dt,deformaquedescomponiendolafracciondelaizquierdaensusfraccionesparcialeseintegrandoobtenemos1alnxa b x= t + c,donde c representaunaconstantearbitraria. Despejandoxenlaanteriorexpresionseobtienenalmentelaformulax(t) =C a ea t1 + C b ea t,donde C=eac. Si imponemos lacondicionx(t0) =x0resultaque x0=a C ea t01+b C ea t0, de manera que espejando C y reemplazando su valor en la expresionparax(t)seobtienex(t) =a x0b x0 + (a b x0)ea(tt0). (3.3)Estaesla unicasolucionde(3.2)quesatisfacelacondicionx(t0)=x0. Elintervalo de denicion Ide x = x(t) depende de x0. Invitamos al lector a queloencuentreexplcitamente(verlosEjercicios).54 3. APLICACIONESEjercicios1. Si x = x(t) es la solucion de la ecuacion (3.2) que satisface la condicionx(t0) = x0a) determine el intervalo de denicion de la solucion i) cuando x0>abyii)cuando0 x0 ab.b) muestrequesi x0>0, entonceslmtx(t)=ab, tienesentidocalcularestelmitesix0< 0?2. Suponga que la tasa relativa de crecimiento de una poblacion que crecesiguiendoel modelode Verhulst es del 2 %cuandoel tama node lapoblacionesde0,5107individuos. Si lmtx(t) =107, hallelasconstantesaybdelaecuaciondeVerhulstydetermineeltama nodelapoblacion,x = x(t),teniendoencuentaquex(0) = 106.3. Supongase que una isla es colonizada por inmigracion desde el continen-teyqueenelcontinentehayunn umerodeespeciesSquepermanececonstantemientrasqueenlaislael n umerodeespeciesenel tiempotesN(t). Larapidezconlacual lasnuevasespeciesinmigranalais-laylacolonizanesproporcional al n umeroS N(t)deespeciesdelcontinentequenosehanestablecidoenlaisla, conconstantedepro-porcionalidadh.Porotroladoenlaislalasespeciesseextinguenconuna rapidez proporcional al n umero de especies presentes, con constan-tedeproporcionalidadk. Escribalaleydevariaci ondeNycalculelmtN(t).Respuestas1. a)i)I=_t01alnb x0b x0a, _ii)I= R2. a = 0,04yb = 0,04 1073.3. LeydeNewtondelenfriamientoSabemosporexperienciaquecuandounobjetotieneunatemperaturadiferentealadesuentorno, el objetotiendeaenfriarseoacalentarsedemanera que en ultimas su temperatura se acerca a la del medio que lo rodea.3.3. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO 55Cual seraentonces latemperaturaT(t) deuncuerpoquesedejaenunambiente cuyatemperaturadiere de lasuya, unavez hayatranscurridountiempot?Estefenomenopuedemodelarsedeacuerdoconlasleyesdetransferenciadecalordelatermodinamica. Bajociertascondiciones(comopor ejemploque ladistribucionde latemperaturadentrodel cuerposeauniforme), la ley de Newton del enfriamiento se simplica y puede enunciarseenlossiguientesterminosLarazondecambiodelatemperaturaT(t)deuncuerpoespro-porcional aladiferenciaentrelatemperaturaT(t)del cuerpoylatemperaturaTadel medioquelorodea.LaanteriorproposicionpuedeescribirsecomounaecuaciondiferencialparalavariableT= T(t):dTdt= r(T Ta),donder>0esunaconstantedeproporcionalidadqueespropiadel siste-ma. Laanteriorecuacioneslineal (ytambienseparable), porloquepuederesolversefacilmente.Losdetallessedejanallector.Ejercicios1. Unabarrademetalseextraedeunhornoa1000yseponeaenfriarenunlugarcuyatemperaturasemantieneaproximadamenteconstan-te a30. Despues de 10horas sutemperatura descendioa200.a)Cuantotardaralatempertauraenseriguala31?yb)seranenalg unmomentoigualeslatemperaturadelabarrayladel ambiente?Justiquesurespuesta.2. Un termometro que estaba inicialmente en el interior de una habitacionse lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constanteeigual a15. Despuesdeunminutoel termometromarcaba30ydespues de 10 minutos registraba una temperatura de 20. De acuerdoconlaleydeNewton,cualeralatemperaturadelahabitacion?Respuestas 1.a)t = 39,49horas2.Ta= 31,9556 3. APLICACIONES3.4. ElmodelodeltanqueCiertos procesos se pueden imaginar en terminos de un tanque al que estanentrandoysaliendosubstanciasdisueltasenunmediouido. El resultadonal del procesodependeradelos intercambios netos quesedenentreeltanque y el exterior. La version mas simple de este fenomeno puede describirsedelasiguientemanera:en el tiempo t una solucion entra a un tanque a una razon ve(t), llamadacaudal deentrada,yquesemideenunidadesdevolumenporunidadde tiempo. La solucion que entra al tanque contiene una concentraci once(t), de cierta substancia X. Esta concentraci on, que se suele medir enunidadesdemasaporunidadesdevolumen,sedenominaraconcentra-ciondeentrada. Es posible que en el tanque exista ya alguna cantidaddelasubstanciaX.la mezcla es agitada rapidamente en el tanque, de manera que la subs-tanciaXsemantienehomogeneamentedistribuidadentrodel tanque,con una concentracion c = c(t) en el tiempo t. Finalmente la mezcla sa-le del tanque a una razon vs(t), conocida como caudaldesalida. Comolamezclaesuniforme,laconcentraci oncs(t)deXeneluidoquesaledeltanqueesigualalaconcentraciondeXeneltanque,cs(t) = c(t).Si x = x(t) representa la cantidad total de la substancia X dentro del tanqueenel instantet, quisieramossabercomodeterminaraxcomofunciondeltiempo. El problemapuede formularse enlos siguientes terminos: bajoelsupuestodequelasubstanciaXnosecreani sedestruyeenel proceso, larazon neta de cambio de la variable x es igual a la diferencia entre las razonesdeentradaysalidadelasubstanciaX.Ahorabien,larazonalaqueentralasubstanciaal tanqueenel instantetesigual al productodel caudal deentradaporlaconcentraciondeentrada, ve(t) ce(t). Analogamentelarazona la que sale la substancia del tanque es el producto del caudal de salida porlaconcentraci ondesalida,vs(t) cs(t) = vs(t) c(t).Enconsecuenciadxdt= ve(t) ce(t) vs(t) c(t).Lasfuncionesve(t), ce(t)yvs(t)sondatosdel problema, sinembargoc(t)dependedex(t). Enefecto, si V (t)representael volumentotal desolucion3.4. EL MODELO DEL TANQUE 57eneltanque,entoncesc(t) =x(t)V (t).AsuvezV (t)puedecalcularseteniendoencuentaquedVdt= ve(t) vs(t),dedondeV (t) = V (t0) +_tt0(ve(s) vs(s)) ds.TeniendoencuentalaanteriorformulaparaV (t)tenemosnalmenteunaecuaciondiferencial(lineal)quepermitiradeterminarax:dxdt= ve(t) ce(t) vs(t)V (t) x.Ejercicios1. En una casa peque na con un volumen interior de 100 metros c ubicos yque se encuentra cerrada, se deja funcionando una estufa de gas que porcombustion incompleta produce altos niveles de monoxido de carbono,CO. En el momento en el que la concentracion de CO dentro de la casallegabaa1000partespormillon(ppm),quepuedeproducirlamuerteenpocashoras,sesuspendelacombusti ondelaestufaysepermitelacirculacion de aire proveniente del exterior, con un contenido de CO de6 ppm. El aire entra y sale de la casa a razon de 10 metros c ubicos porminuto.Suponiendounamezclahomogenea,determinecuantotiempodeberaesperarseparaquelaconcentraciondeCOdentrodelacasasea se reduzca a 9 ppm, que se considera segura para la salud humana.CualseralaconcentraciondeCOenlacasacuandot ?2. Auntanquequecontena400litrosdeaguapurasebombeaunaso-luciondeagua-sal quecontiene0.05kgdesal porlitro, aunarazonde8litrosporminuto. Lamezclahomogeneizadasaleconlamismarapidez.Elprocesoseinterrumpealcabode50minutosyacontinua-cionsebombeaaguapuraalamismarazonde8litros por minutomientras la mezcla continua saliendo a la misma velocidad. Determine:a)lacantidaddesaleneltanquealcabodelosprimeros50minutos,58 3. APLICACIONESb) la cantidad de sal despues de 100 minutos, c) esboce la graca de lasolucion.3. Considerese un tramo del Ro Cauca desde un punto antes de Cali (di-gamosel PasodelaBalsa)hastaunpuntodespuesdeCali (digamoslaLagunadeSonso)comountanqueconunvolumende60millonesdemetrosc ubicosenelcual hayunaconcentraciondecontaminantes(detergentes y toxicos de uso domestico, desechos industriales, etc.) del0,00001 %. Supongase que a partir de t = 0 entra agua con una concen-tracion de contaminantes del 0,001 % a razon de 1200 m3/seg y que saleigual cantidaddeaguabienmezclada. a)Cual seralaconcentraci onde contaminantes en el ro al cabo de t minutos? b) Cuanto tardara laconcentracionenelevarseal 0,0001 %?c)Si lascondicionespersisten,quepasaracuandot ?4. Unafabricaestasituadacercadeunroconcaudalconstantede1000m3/s que vierte sus aguas por la unicaentradade unlagoconunvolumende1000millonesdem3.Suponiendoquelafabricaempezoafuncionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por da,de 4 a 6 de la ma nana y de 4 a 6 de la tarde, se bombean contaminantesal ro a razon de 1 m3/seg y que el lago tiene una salida de 1000 m3/segdeaguabienmezclada, esbocelagracadelafuncionx=x(t)querepresentalacontaminacionenelroalcabodetdasyenparticularcalculeacuantoascenderaestacontaminacional cabode: a)unda,b)unmes(30das)yc)una no(365das).Respuestas1. t 58minutos;alargoplazoc 6ppm2. a)20(1 e1) 12,64kg,b)20 e1(1 e1) 4,65kg.3. a)c(t) = 107(100 99 e0,00002 t)b)0,0001 %c)c(t) 0,001 %.4. Suponiendounacontaminacionconstante(promediandolosdosbom-beosdiariosdecontaminacion):a)0,0014 %,b)0,012 %c)0,146 %3.5. CAIDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA. 593.5. Cadadecuerpos cercadelasuperciedelaTierra.Enel captulo1discutimosalgunasformasderepresentarlacadaver-tical deuncuerpocercadelasuperciedeLaTierra. Endichadiscusionadoptamosunejeverticaldecoordenadascondireccionpositivaapuntandohaciaarribayenel casodecadaenunmedioresistivoconsideramosquesobreelcuerpoactuabanlafuerzadelagravedadfW= mgylafuerzaderesistenciaofriccionfRqueseoponealmovimiento.Siv=v(t)eslavelo-cidaddelcuerpoeneltiempotlasegundaleydeNewtonconduceentoncesalaecuacionm dvdt= mg + fR. (3.4)Cuando un cuerpo se mueve en un medio udo como aire o agua, la direcciondelafuerzadefriccionqueejerceel medioeslaopuestadeladirecciondelavelocidadv, mientrasquelamagnituddelafriccionaumentaconlalarapidezdelcuerpo(vergura3.2).vfRFigura3.2:fRysulinealizacionLafuerzade friccionse suele aproximar por sulinealizacionfR(v) fR(0) +f

R(0) v.Escribiendo= f

R(0)ycomofR(0) = 0setienelaleydefriccionviscosafR(v)= v,que,alserreemplazadaenlaecuacion(3.4),dalugaralaecuaciondiferenciallinealdelcaptulo1dvdt+m v= g (3.5)60 3. APLICACIONESEjemplo3.5.1.Un hombre que salta en paracadas desde una gran altura ypartiendodelreposo,abresuparacadas10segundosdespuesdesaltar.Siveslavelocidaddelparacaidista,entonceslaresistenciadelaireseranumeri-camente igual a 15 v conel paracadas cerradoe igual a 240 v conelparacadas abierto. Considerando al hombre y su paracadas como una masapuntual de80 kgysuponiendoquelas unicas fuerzas queact uansobreelparacaidista son la de la gravedad y la de resistencia ejercida por el aire, de-terminar la velocidad v= v(t) del paracaidista en cualquier instante t previoasuaterrizaje.Enparticulardeterminarv(10)yv(20).Solucion. Tomamos el origen de coordenadas en la supercie de la Tierra.Para0 < t < 10tenemosdvdt+1580v= g.Comoademasv(0) = 0concluimosquev(t) = 16 g3_1 e3 t16_, 0 t 10.Tenemosentoncesv(10) = 16 g3_1 e158_ 44,25m/s.Consideremos ahora t 10. Para esos valores de t la funcion v= v(t) satisfacelaecuaciondvdt+24080v= g.Comoademasv(10) 44,25m/sconcluimosquev(t) = g3+_g3 44,25_e3(t10), 10 t.Entoncesv(20) 3,27m/seg. Lagura3.3esunbosquejodelasolucionv(t), t 0.Ejercicios1. Supongaquelavelocidadv=v(t)conlaquecaeuncuerpode1gde masasatisface laecuaciondiferencial (3.5). Halle laconstante suponiendoquelmtv(t) = 400 cm/s.3.5. CAIDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA. 6110 2044.253.27tvFigura3.3:v(t)duranteeldescensoenparacadas2. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una veloci-dad inicial de 20 m/s. Si la friccion ejercida por el medio es igual a 5 vdondev= v(t)eslavelocidaddelcuerpoenelinstantet,ysesuponequelas unicasfuerzasqueact uansonlagravedadylafriccion,deter-minedurantecuantotiempopermaneceascendiendoel cuerpo. Cualeslaalturamaximaalcanzada?3. Uncuerpode masamcae desde el reposoenunmedioque oponeuna fuerza de friccion proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir,[fR(v)[ = k v2paraalgunaconstantedeproporcionalidadk.Planteeyresuelvaelproblemadevalorinicialparalavelocidadv= v(t)yhalleademaslmtv(t).Respuestas1. =g400 2,45dinasseg/cm2. t = 5ln (4/g + 1) 1,71 seg;laalturaalcanzadaesde16,13metros.Fuerzaarquimedianadeboyancia Cuando uncuerpo caeenunmediorelativamentedensosehacenecesarioconsiderar, ademasdelagravedadylafriccion, el empujeofuerzadeboyancia. EstafuerzaestadescritaporelconocidocomoPrincipio de Arqumedes: Todo cuerpo sumergido en un uido experimen-taunempujeverticalyhaciaarribaigualalpesodeuidodesalojado.62 3. APLICACIONESEjercicio1. Unaesferademasa5000 kgyvolumen43m3yuncilindrode4000 kgy m3devolumensedejancaerdesdeelrepososobrelasuperciedeunlago.Lasfuerzasdefriccionejercidasporelaguasobrelaesferayelcilindrosonrespectivamenteigualesa vey vc,dondeveyvcsonlasvelocidadesrespectivasy>0esunaconstante. Suponiendoque las unicas fuerzas que obran son la fuerza de la gravedad, la fuerzadefriccionylafuerzaarquimedianadeboyanciaejercidaporelagua,determine las velocidades que adquieren la esfera ve= ve(t) y el cilindrovc= vc(t),tsegundosdespuesdeiniciadoeldescenso,cualdelosdosobjetosllegaraprimeroalfondo?Respuesta v(t) = A(1ekt), esfera: A = Ae=1000g3(154), k = ke=5000; cilindro: A=Ac=1000g(4 ), k=kc=4000. Como [ve(t)[< [vc(t)[paratodot > 0,elcilindrollegaprimeroalfondo.3.6. Cada en un potencial gravitatorio varia-bleLa fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo sobre otro no es constante sinoquedependedeladistanciaentreloscuerpos.Seg unlaleydelagravitacionuniversal la magnitud de esta fuerza es inversamente proporcional al cuadradode dicha distancia y su direccion es la de la lnea que une a los cuerpos. En elcaso de cuerpos que se lanzan desde La Tierra y a una gran altura, como porejemplounanaveespacial,sehacenecesariotenerencuentaladependenciadelafuerzadelagravedadrespectodelaalturaalcanzadaporelcuerpo.Consideremos unobjetoqueselanzaverticalmentedesdelasupercieterrestre, y un eje vertical de coordenadas z, con el origen sobre la superciedeLaTierra, ycuyadireccionpositivasealaqueapuntadel centrodeLaTierrahacialasupercie. Enesecasolafuerzaqueejerceel campogravi-tatorioterrestresobreelobjeto,cuandoesteseencuentreaunadistanciazsobrelasupercie,esigualaFg= mg R2(R + z)2,3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 63donde m es la masa del cuerpo, R es el radio de La Tierra y g es la aceleracionde la gravedad en la supercie. En ausencia de otras fuerzas, la altura z= z(t)delobjetosobrelasupercieobedeceraalaecuacionmd2zdt2= mg R2(R + z)2.Estaessinembargounaecuaciondesegundoorden. EnlosEjerciciosquesiguenseindicacomopuederesolverse.Ejercicios1. Sea v= v(z) = v(z(t)) la velocidad de un cuerpo que se lanzo desde LaTierra, cuando el cuerpo se encuentre a una altura z sobre la supercie.Determine unaecuaciondiferencial parav comofuncionde z, si la unicafuerzaqueact uasobreel cuerpoesladelagravedadterrestre(sugerencia: tenga en cuenta quedzdt= v,d2zdt2=dvdtydvdt=dvdzdzdt= vdvdz).2. Determinelavelocidadinicialmnimav0conlacualdebeserlanzadounobjetodesdeLaTierraparagarantizarsunoretorno(estevaloresconocidocomovelocidaddeescape).Respuestas 1.vdvdz= g R2(R+z)2 , 2.11,1 km/s.3.7. TrayectoriasortogonalesEn algunos problemas geometricos y fsicos se necesita conocer a las cur-vasqueseintersequenortogonalmenteencadapuntoconlascurvasdeunafamiliadadaporunaecuaciondeltipof (x, y, c) = 0, (3.6)dondecrepresentaunaconstantearbitraria.Si y= y(x) es una de las curvas de la familia descrita por (3.6), entoncesparaalgunaconstantejacdebetenersef (x, y(x), c) = 0, (3.7)64 3. APLICACIONESFigura3.4:Curvasqueseintersecanortogonalmenteparatodoxeneldomiodey.Enestecaso,derivando(3.7)conrespectodexobtenemosfx+fydydx= 0.Geometricamente la interpretaci on de la anterior identidad es que la pendien-tedelarectatangentealacurvay=y(x)enel punto(x, y(x)), estadadaporm =dydx= fx(x, y(x), c)fy(x, y(x), c). (3.8)Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (3.6), en terminosde x y y. En ese caso, reeplazando en (3.7), se obtiene una expresion para lapendientem,quedepende unicamentedelpunto(x, y)ynodelaconstantec.Ahorabien,siy=y(x)esunacurvaque,encadapunto(x, y)seinter-secaortogonalmenteconloscorrespondientesmiembrosdelafamilia(3.6),entonces la pendiente m de la recta tangente a y= y(x) en el punto (x, y(x))satifacemm = 1.Esdecir,dydx= m= 1m,dedondeconcluimosquelastrayectoriasortogonalessatisfacenlaecuaciondiferencialdydx=fy (x, y, c (x, y))fx (x, y, c (x, y)). (3.9)3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 65Ejemplo 3.7.1. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia deparabolasx cy2=0. Siguiendolospasosdescritos(diferenciar, despejar,reemplazar),obtenemos1 2 c ydydx= 0, c =xy2,dydx=y2x.Esta ultima es pues una ecuacion diferencial que satisfacen todas las parabo-las de la familia dada. Las trayectorias ortogonales deben entonces satisfacerlaecuaciondydx= 2xy,quetieneporsolucionesalaselipsesdelafamiliay2+ 2x2= k2, kconstante.Estassonentonceslastrayectoriasortogonalespedidas.Figura 3.5: Ejemplo de una familia de curvas ortogonales a una familia dadaEjemplo3.7.2. Enelectrostaticael campoelectrico2dimensional Equegenera una partcula de carga q y que se encuentra ubicada en el punto (h, k),estadadoporE= ,66 3. APLICACIONESdondeeselpotencialelectrostatico,(x, y) = kln_(x h)2+ (y k)2,siendokunaconstanteproporcional alacargadelapartcula. Enunsis-temacompuestopormpartculascargadas,ubicadasenlospuntos(xj, yj),j= 1, , m, el potencial electrostatico sera la suma de los potenciales elec-trostaticoscorrespondientesacadapartculaporseparado:(x, y) =m

j=0kjln_(x xj)2+ (y yj)2.Las curvas (x, y) = c, c constante, son las llamadas curvas equipotencia-les,mientrasquelastrayectoriasortogonalesasociadassonconocidascomolneas de corriente. Las lneas de corriente son tangentes al campo electrico yrepresentan la trayectoria que seguira una partcula cargada que se encuentresujetaalaacciondelcampoelectrico.Enel casodel campoelectricogeneradoporunasolapartcula, situadadigamos en el origen de coordenadas, es facil ver que las lneas equipotencialessoncrculosconcentricosconcentrosenelorigen,mientrasquelaslneasdecorrienteseranlaslneasrectasquepasanporelorigen.Consideremosahorael casodeunsistemadedospartculasconcargasidenticas,situadasenlospuntos(a, 0)y(a, 0).Elpotencialelectrostaticodelsistemaestadadopor(x, y) =k2ln_(x a)2+ y2_ _(x + a)2+ y2_.Deacuerdocon(3.9),laslneasdecorrienteenestecasocorrespondenalassolucionesdelaecuaciondiferencialdydx=y(x2+ y2+ a2)x(x2+ y2a2),que resulta ser difcil de resolver explcitamente. Podramos sin embargo tra-zar los gracos de las soluciones empleando metodos numericos. En la gura3.6se ilustranlas lneas equipotenciales (azules) ylas lneas de corriente(rojas).3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 672 1 1 211xyFigura3.6: LneasdecorrienteylneasequipotencialesparaunsistemadedospartculasEjercicios1. Encadacasohallelastrayectoriasortogonalesalafamiliadecurvasqueseda(cdenotaunaconstantecualquiera):a) y2x2= c b) x2+y2=c xc) y= c exd) excos y =c2. En cada uno de los siguientes casos determine las curvas que satisfacenlascondicionesrequeridasa) Cadaunadelasrectasnormalesalacurvapasaporelorigen.b) La curva pasa por el origen y longitud del arco desde el origen a unpuntocualquieradelacurvaesigualaldobledelarazcuadradadelaabscisadeesepunto.3. Muestre que las curvas equipotenciales asociadas al campoelectricoquegenerauna unicapartculasoncrculosconcentricosalrededordelapartcula,yquelaslneasdecorrientesonlneasrectas.68 3. APLICACIONESRespuestas1. a) x y= k b) x2+y2=k yc) y2=2x + kd) exsen y =c.2. a) x2+ y2= c. b) y= (arc senx +x x2)Captulo4MetodoscualitativosymetodosnumericosenecuacionesdiferencialesEs equivocado pensar que el estudio de las ecuaciones diferenciales se re-duceaencontrararticiosdecalculoparaobtenersolucionesexplcitas.Enel captulo2presentamos unaselecciondetecnicas quepermitenresolverciertasecuacionesdiferencialesdeprimerorden,aunqueporsupuestolalis-tanoesexhaustiva: existentratadosquecontienentablasdesolucionesdeecuaciones diferenciales, similares a las tablas de antiderivadas (ver por ejem-plo [5] en las referencias bibliogracas al nal de este captulo). Sin embargolapericiapararesolverecuacionesdiferenciales, entendidaenel sentidodeobtener formulas paralas soluciones, haidoperdiendoimportanciaame-didaqueloscomputadoressehanpopularizadoysimult aneamentefueronhaciendosuaparicionprogramasdesoftwareespecializadosencomputacionsimbolica.Latendenciaactualesdejaralcomputadorlastareasdecalculo.Programas como MuPad, Mathematica o Maple, permiten resolver casi todaslas ecuaciones diferenciales que uno pudiera resolver de manera explcita conlastecnicasconocidas.Sinrestarleimportanciaaestetipodeprogramasdebequedarclaroqueni el mas renado de los programas de software ni el mas ingenioso de los ma-tematicospuedenresolvertodaslasecuacionesdiferencialesosiquieralasmas importantes de ellas, en terminos de funciones elementales. El problemamasquedehabilidadesdeprincipio.Porejemplonoseconocensoluciones6970 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOSclasicasdeecuacionesenaparienciatansimplescomolaecuaciondxdt= 1x+ t(consultarporejemplo[4]). Lab usquedaderecetaspararesolvertodaslasecuaciones diferenciales en terminos de funciones elementales es una b usque-dasinesperanzas. Ante este hechose presentanalgunas alternativas: losmetodos cualitativos, los metodos numericos, y los metodos de aproximacion.Noes partedelos objetivos deestas notas unestudiodetalladodeestostemas,perosiquisieramosilustrarlosenalgunoscasosparticulares.4.1. MetodosCualitativosEnmuchos problemas mas quecalculos cuantitativos puntuales loqueinteresaesel comportamientocualitativodelassolucionesenterminosdelas condiciones iniciales odelos valores deciertos parametros. Saber queunasolucionescreciente,queesconcavaoquetieneunlmiteenelinnitopuedeserdeayudaenlacomprensiondeunmodelo.Ocurrequeenciertoscasosesposibleobtenerestetipodeinformacionsinnecesidadderesolverexplcitamentelaecuaciondiferencial.4.1.1. ElmodelodeVerhulstParaempezarvamosaresumirlosprincipalesresultadosobtenidosenelcaptulo3acercadelmodelodeVerhulst,dxdt= x (a b x). (4.1)Sabemos que la ecuacion (4.1) satisface las hipotesis del teorema fundamental1.3.1,tomandoJ= (, )y = (, ),quelasfuncionesconstantesxE(t) =aby xI(t) = 0 son soluciones (soluciones de equilibrio), cuyas gracassonrectashorizontalesquedividenalplanotxentresregiones,R1=_(t, x) [ab< x_, R2=_(t, x) [ 0 < x ab, sabemos que lagracade lasolucionx =x(t), t IestacontenidaenR1yqueesestrictamentedecreciente.Estosignicaqueab< x(t), y por ello a 2b x (t) < 0. Como ademasdxdt< 0 se sigue,reemplazandoenlaecuacion(4.2), qued2xdt2>0. Porlotantox(t)esconcavahaciaarriba.72 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOSSi0 0.4.1.2. EcuacionesdiferencialesautonomasLas ideas que se emplearon para analizar la ecuacion de Verhulst puedenusarse para tratar una clase relativamente amplia de ecuaciones diferenciales,lasllamadasecuacionesautonomas.Denicion4.1.1. Diremosqueunaecuaciondiferencialdeprimerordenesautonomasiesdelaformax

= f(x), (4.3)dondef: Resunafunciondevalorrealdenidaenunintervaloabierto.Por ejemplo la ecuacion de Verhulst (4.1) es autonoma, mientras la ecua-ciondiferencialx

=2 t xnoloes.Notesequeparaunaecuacionautonomalas condiciones del teorema fundamental de existencia y unicidad de solucio-nes se reducen a exigir que la funcion f(x) tenga derivada continua en , demodoqueenadelantesupondremosvalidoelsiguientesupuesto,Supuesto4.1.1. Lafuncionf(x)delaecuacion(4.3)tienederivadaconti-nuaenel intervaloabierto.4.1. METODOS CUALITATIVOS 73Comonotamos haceunmomento, dados t0 Ryx0 el anteriorsupuestogarantizalaexistenciadeuna unicasoluciondelaecuacion(4.3),denidasobre ciertointervaloIR, yque satisface lacondicioninicialx(t0) =x0. Este intervaloI puede siempre escogerse de maneraque seamaximal,enelsentidodequeseaelmayorintervalodondeestadenidalasoluciondelproblemadevalorinicial.Porejemplo,elintervalomaximaldedenicion del problema de valor inicial, x

= x2, x(1) = 1, es (0, ), aunquelasolucionx(t)= 1/ttambienestadenidaencualquiersubintervalode(0, ).Enadelantecuandonosreramosalintervalodondeestadenidalasoluciondeunproblemadevalorinicial siempreseconsiderarael intervalomaximal.Denicion4.1.2. Lassolucionesconstantesx(t) = c,t R,delaecuacion(4.3)sedenominansolucionesdeequilibrioosimplementeequilibriosdelaecuacion.Interpretando una ecuacion diferencial como la descripcion de un sistemadinamico, los equilibrios son aquellos estados en los que el sistema no cambiacon el tiempo. Supongamos ahora que x(t) = c es un equilibrio de la ecuacionautonoma (4.3). En ese caso x

(t) = 0 y como x

(t) = f(x(t)) = f(c), se siguequef(c)=0. Enotraspalabraslassolucionesdeequilibriocorrespondenalos valores de c para los cuales f(c) = 0. Por ejemplo en el modelo de Verhulst(4.1)lassolucionesdeequilibrioseobtienenresolviendolaecuacionf(x)=x (a b x) = 0,dedonderesultanlosequilibriosxE(t) =abyxI(t) = 0.Teorema4.1.1. Lassolucionesdelaecuacion(4.3)son,obiensolucionesdeequilibrio,ofuncionesestrictamentemonotonas.Demostracion. Comotodafunciondiferenciableynomonotonadebeteneral menosunpuntocrtico(estoes, puntosdondeladerivadaseanula), pa-raprobarel teoremabastaracondemostrarquesi unasolucionx(t)delaecuacion (4.3) tiene alg un punto crtico, entonces dicha solucion tiene que serconstante. Seapuesx=x(t)unasolucionde(4.3)denidaenunintervalomaximal I ysupongamosquex

(te)=0paraciertote I. Enesecasoycomoparatodot I, x

(t)=f(x(t)), sesigue, evaluandoent =te, quef(x(te)) =0. Enconsecuenciasi xe=x(te)tenemosquelafuncioncons-tantey(t)=xe, t R, esunasoluciondeequilibriodelaecuacion(4.3).Tendramos entonces quex(t) yy(t) sonambas soluciones delaecuacion(4.3)yqueambassatisfacenlacondicionx(te)=xe.Teniendoencuentael74 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOSbBb + xxFigura4.2:Las solucionesx(t) y x(t).teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones 1.3.1 se concluyequex(t) = y(t) = xe.Porsupuestoel anteriorteoremanoesvalidoenel casodeecuacionesnoautonomas. Por ejemplolafuncionx=et2, que, comoel lector puedefacilmente vericar, no es ni constante ni monotona, es sin embargo soluciondelaecuacionx

= 2 t xenelintervaloI= (, ).Serecordaracomoenel casodelaecuaciondeVerhulstquetratamoshace poco, fue necesario resolver de manera explcita la ecuacion para poderdeterminarlosintervalosmaximalesdondelassolucionesestabandenidas.El siguiente resultado arroja informacion que puede ser de utilidad para obte-ner el intervalo maximal de denicion de soluciones de ecuaciones autonomas,a unsincalcularexplcitamentetalessoluciones.Teorema4.1.2. Seanf(x)unafunciondenidaenelintervalo = (, ),x = x(t)unasoluciondelaecuacion(4.3),eI= (a, b)elintervalomaximaldedeniciondex(t).Entoncescadaunodeloslmiteslmta+x(t) y lmtbx(t)debe existir (aunque pueden ser iguales a ). Mas a un, si lmta+ x(t) entoncesa = ,mientrasquesilmtb x(t) debetenerseb = .Demostracion. Loslmitesmencionadosdebenexistir, puesdeacuerdoconelteorema4.1.1xesmonotona.Lagura4.2ilustraelcasoenquexeses-trictamente creciente. Para jar ideas consideremos en efecto el caso en el que4.1. METODOS CUALITATIVOS 75xescrecienteysupongamosqueB= lmtb .Elteoremafundamentalde existencia y unicidad establece la existencia de una solucion x = x(t) quesatisface x(b) = B. Ademas dicha solucion debe estar denida en un intervaloabierto que contiene a b, en particular x debe estar denida en un intervalo dela forma (b, b +) para cierto> 0. Puede entonces construirse una soluciony= y(t),denidaen(a, b + ),deacuerdoconlasiguienteformula:y(t) =___x(t) si a < t < b,B si t = b, x(t) sib < t < b + .En efecto, como y(t) coincide con x(t) en (a, b) y con x(t) en (b, b+), se tienequey= y(t)essolucionendichosintervalos.Deotrolado,yesderivableent = byy

(b) = f(y(b))puestoquelmtby

(t) =lmtbf(x(t)) = f(B) =lmtb+f( x(t)) =lmtb+y

(t).De donde y

(b) = f(B) = f(y(b)). Dado que el intervalo I= (a, b) es maximalse concluye que B= o B= . Analogamente se demuestra que si a ,= ,entonceslmta+ x(t) = olmta+ x(t) = .Ejemplo 4.1.1. Comoilustracionconsideremos de nuevolaecuaciondeVerhulst x

= x (ab x), a, b > 0. En este caso f(x) = x (ab x) esta denidaenel intervalo=(, ), demaneraque, enlanotaciondel teorema4.1.2, = y= .Para0 < x0 0. En ese caso deben existir n umeros>0y>0talesquef(x)>>0si [x c[ x(t0) + (t t0) ,siemprequet t0. Estoclaramenteimplicaralmtx(t)= , contradi-ciendo as nuestra hipotesis lmtx(t) = c. A una contradicci on analoga sellegasisuponemosf(c) < 0.Ejemplo4.1.2. Unavezmasconsideremoslaecuacion(4.1).Sabemosquesi x=x(t), t I, eslasolucionquesatisfacex(t0)=x0, con0 0existeunn umero> 0,= (),talque[x(t0) c[ < implica [x(t) c[ < , siemprequet > t0.4.1. METODOS CUALITATIVOS 77Si adicionalmentelmtx(t) =c, siemprequex(t0) estesucientementecercadecparaalg uninstanteinicial t0, sedicequeel equilibriox(t)=cesasintoticamenteestable.Alosequilibriosquenosonestablesselesllamaequilibriosinestables.Ejemplo 4.1.3. x(t) =0 es el unico equilibrio de la ecuacionx

=x.Facilmentevemos quelasoluciondeestaecuacionquesatisfacelacondi-cionx(t0) =x0es lafuncionx(t) =x0e(tt0). Independientementedelacercanadex0a0vemosquelmtx(t) =lmtx0ett0=_ six0> 0 six0< 0,demaneraquex(t) = 0esunequilibrioinestable.Ejemplo4.1.4. x(t)=0esunasoluciondeequilibriodelaecuacionx

=x. En este caso la solucion que satisface la condicion x(t0) = x0 es la funcionx(t) =x0e(tt0).Seobservaque [x(t)[t0yque,independiente-mente del valor de x0, lmtx(t) = 0. Podemos concluir que x(t) = 0 es unequilibrioasint oticamenteestable.Ejemplo4.1.5. Generalizandolosejemplosanterioresvemosquex(t)=0es el unico equilibrio de la ecuacion x

= a x y que dicho equilibrio es establesia < 0einestablesia > 0(verguras4.3y4.4).txFigura 4.3: El equilibrio inestablex(t) = 0 de la ecuacionx

= a x,a < 0.txFigura 4.4: El equilibrio estable x(t) =0 de la ecuacionx

= a x,a > 0.78 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOSEjemplo 4.1.6. Volviendoalaecuacionde Verhulst (4.1), sabemos quexE(t) =ab, t (, ), esunequilibrio. Si x=x(t)eslasolucionquesatisfacelacondicionx(t0)=x0, x0>0, sabemosquelmtx(t)=ab, dedondesesiguequexEesunequilibrioestable.La estabilidad puede en este caso interpretarse en terminos demogracosde la siguiente manera: si el tama no de la poblacion en alg un instante inicialfueraexactamenteigualaabentonceslapoblacionconservaraesetama noalo largo del tiempo. Por otro lado si el tama no de la poblacion en un instanteinicial t0resultaser inferior aab, entonces lapoblacioncreceraasintotica-mente hacia el valorab. Si la poblacion en cambio se viera afectada por alg unfenomeno extraordinario, por ejemplo la introduccion exogena de individuos,y el tama no lograra sobrepasara por esta razon el valor lmiteab, entonces, alvolveralanormalidad,lapoblaciondeclinarahaciasutama nolmiteab.Eln umeroabpuedeversecomolacapacidaddecarga, estoes, el n umerodeindividuosdeunaespeciequeunhabitatpuedesoportarindenidamente.LaecuaciondeVerhulsttieneotroequilibrioxI(t) = 0,t R,elcualesinestable(porque?).RetratosdefasesExiste un articio graco que permite visualizar muchos de los resultadosquehemosdiscutidohastaahoraytambiendeterminarsi unasoluciondeequilibrioes estable oinestable, ademas de facilitar lagracacionde lassoluciones.Enestesentidoes utilinterpretarunaecuacionautonomadxdt= f(x) (4.4)como la ecuacion que gobierna los desplazamientos de un cuerpo que se muevesobre un eje rectilneo. Si la funcion x = x(t) representa la posicion del cuerpoen el tiempo t, entoncesdxdt(t) es la velocidad en el instante t y la ecuacion (4.4)simplemente signica que si en un determinado instante t0 el cuerpo pasa porunaciertaposicionx0=x(t0), entoncessuvelocidadenesemomentodebecoincidirconelvalordelafuncionfenx0.Elejexpuedeimaginarsecomouncarril,similaralosdispuestosenunsistema de buses de transito rapido, del tipo que usan Transmilenio o el MIO,peroqueennuestrocasoserarectilneoeinnito. Esposiblesinembargoquesolountramodel ejeestehabilitadoparalacirculaciondebuses(esteseraeldominiodelafuncionf).Lafuncionfeslaencargadadeprescribir4.1. METODOS CUALITATIVOS 79lavelocidadquesedebellevarencadapuntodelava:algoascomosiencada punto existiera una se nal de traco que indicara a que velocidad se debecircular por ese sitio, y todos los vehculos le dieran riguroso cumplimiento aesaindicacion.Lospuntosdeequilibrioseranlasestacionesdelava:sitiosendondelavelocidadescero, yendondelosvehculosqueseencuentrenall deberanpermanecer, yhabranpermanecido, porsiempreestacionados.Deotroladoentredosestacionesconsecutivasel transitodebehacerseex-clusivamenteenunodelosdossentidosposibles, dependiendodel signodelafuncionfenesetramodeltrayecto.Aslosvehculossemoveransiemprealejandosedeunadelasestacionesyacercandosealaotra.Unbusquecir-culara en este sistema no terminara nunca de llegar a su estacion de destino,ni podrapor supuestosobrepasar estaciones. Es posiblesinembargoquealcancealgunodelosextremosdelavaenuntiemponito.Paratenerunaideageneral decomoprocedeel tracoenestavabas-tara trazar el eje, se nalar los puntos de equilibrio, e indicar en que sentido serecorrecadaunodelostramosentreequilibriosconsecutivos. Si xsetomacomounejehorizontal,elsentidoserahacialaderechasif(x)espositivayhacialaizquierdaencasocontrario.Lagracaasobtenidaseconocecomoel retratodefasesdel sistemaynoesotracosaquelagracadelastra-yectorias delsistema,enotras palabras lagraca delas curvas parametricasx=x(t), dondexes unasoluciondelaecuacionautonoma(4.4). Comosetratadecurvas enunadimension, entonces sonenrealidadsegmentosrectilneos,recorridosenunaciertadireccion.x0b/aFigura4.5:Retrato de fases para la ecuacion de Verhulst (4.1)El retrato de fases tambien puede trazarse sobre un eje x vertical, que seauno de los ejes coordenados enelplanotx.En ese caso los equilibrios,cuan-do son aislados, corresponden a asntotas horizontales de las soluciones de laecuacion,ydividenalplanoenfranjashorizontalesdondepermanecencon-nadas las soluciones. El retrato de fases tambien permite ver en que franjaslassolucionesdebensercrecientesyencualesdecrecientes, locual facilitael bosquejodedichassoluciones. El retratodefasestambienpermiteversiunequilibrioesestableoinestable, deacuerdoasi lastrayectoriasentran80 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOSosalendelequilibrio.Cuandoaunladolastrayectoriasentranperoalotrosalendel equilibrio, sehablaalgunasvecesdeequilibriossemiestables. Enrigorestossonclaroequilibriosinestables.Lagura4.1.3ilustraestasideasparaelcasodelaecuaciondeVerhulst(4.1).txFigura 4.6: Retrato de fases y gracas de las soluciones de la ecuacion de Verhulst (4.1)4.1.4. UnejemploEl teorema fundamental de existencia y unicidad garantiza que exista una unicasoluciondelproblemadevalorinicialdxdt= sen 1x, x(0) =12, (4.5)pero quien es esa solucion? Desde luego se puede aplicar la conocida rutinadeseparardevariablesparaobtener_x(t)121sen1udu = t.Sinembargoestaformulaesdeescasautilidadpuesesbiensabidoquelaintegralqueapareceaqunopuedeexpresarseenterminosdefuncionesele-mentales.Podemosversinembargoquelaecuacion(4.5)esautonomaconf(x) =sen1x, x (0, ). Estaecuaciontieneunn umeroinnitodesolucionesde4.1. METODOS CUALITATIVOS 81solucion de equilibrio 1/22/1/R0tc1xFigura4.7:La solucionx = x(t) de (4.5)equilibrio, correspondientes a los valores cn=1n, n = 1, 2, . . .. Vemos enton-cesquesi Rneslaregiondelimitadaporlasrectashorizontalescorrespon-dientesalasgracasdedossolucionesdeequilibrioconsecutivas, x=cnyx = cn+1,mientrasqueR0eslaregionR0:=_(t, x) R2: x > c1_,entonces cada una de las soluciones de la ecuacion(4.5), que no sea unequilibrio, debeserunafuncionmonotonacuyagracaestaraconnadaaalguna de estas franjas. Consideremos ahora la solucion x = x(t) que satisfacela condicion inicial x(0) =12. Seg un el teorema 4.1.1 x debe ser estrictamentecreciente, puestoquedxdt(0) =sen 2 >0. Si I =(a, b) es el dominiodedenicion de x vamos a probar que b = . Supongamos por el contrario queb< deformaque, teniendopresenteel teorema4.1.2, lmtb x(t) = .Ahorabien,comox

(t) = sen1x(t)< 1, 0 < t < b,se sigue, integrando esta ultima desigualdad, que x(t) 0yparosin < 0eimpar84 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS4.2. MetodosnumericosEnloquesiguedeestaguavamosasuponerquela unicasolucionx=x(t)delproblemadevalorinicialx

= f(t, x), x(t0) = x0, (4.6)estadenidaenel intervalo[t0, t0+ a] parauncierton umeropositivoa.Tambien supondremos que la funcion f: J R es dos veces diferenciableensudominioyque[t0, t0 + a] J.El propositoesbuscarunaaproximaci on xdelasolucionx=x(t)delproblemadevalorinicial(4.6)empleandometodosnumericos.Noslimitare-mosamostraralgunasideasgenerales,quenoobstanteilustranelpoderdelosmetodosdeaproximacionytambiensuslimitaciones.Procederemos primero con lo que se conoce como discretizacion del inter-valo[t0, t0 + a],queconsisteentomarn + 1puntosequidistantest0 0constante,5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS. 99denidas sobre el intervalo 0 < t < , y que satisfacen las condicionesx1(1)=1, x

1(1)=0, x2(1)=0, x

2(1)=1. Demuestrequex1(t)yx2(t)formanunconjuntofundamentaldesolucionesen(0, ).4. Considerelaecuacionlinealhomogeneax

+ a(t) x

+ b(t) x = 0,concoecientesa(t)yb(t)continuosenunintervaloabiertoJyseanx1= x1(t) y x2= x2(t) un par de soluciones de esta ecuacion, denidasenJ.a) Muestrequesiparaalg unt0 Jlasfuncionesx1yx2satisfacenx1(t0)=1, x

1(t0)=0, x2(t0)=0, x

2(t0)=1, entoncesx1, x2formanunconjuntofundamental desoluciones. Determineparaque constantes c1 y c2 la solucion dada por x(t) = c1x1(t)+c2x2(t)satisfacelascondicionesx(t0) = x0, x

(t0) = v0.b) Demuestrequesi x1(t)yx2(t)seanulanenunmismopuntodelintervalo J, entonces no forman un conjunto fundamental de solu-cionessobreJ.c) Demuestrequesi x1(t)yx2(t)alcanzanunmaximoounmni-morelativoenunmismopuntodel intervaloJ, entonces estasfunciones no forman un conjunto fundamental de soluciones en J.5. Laecuaciondiferenciald2xdt2 _dxdt_2= 0esnolineal. Halletodassussolucionesydeterminesi el principiodesuperposicion(teorema5.2.2)esonovalidoparaestaecuacion.Respuestas1. a) x1(t) =t1, x2(t) =t1/2. b)Noexistesolucionc) x(t) =0, t (, ); las condiciones del teorema no se satisfacen en ning un inter-valoquecontengaalpuntot0= 0d)x(t) =23_t 1t_,t (0, );elteoremaesaplicableenJ= (0, ).2. b)W= et2/2,c)x(t) = x2(t)100 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN3. W(x1, x2)(1) = 14. a)c1= x0,c2= v05.2.2. ElmetododereducciondeordenHemos visto como basta con conocer dos soluciones linealmente indepen-dientes deunaecuacionlineal homogeneadesegundoordenparagenerartodaslasposiblessolucionesdedichaecuacion. Sucedequeenciertasopor-tunidadesesfacil, poralgunarazon, determinarunasolucionnotrivial. Elmetodoquepresentamosenestaseccionmuestraqueenesoscasosessiem-preposiblecalcularexplcitamenteunasegundasolucion, quejuntoconlaprimeraformeunconjuntofundamentaldesoluciones.La idea es como sigue. Supongamos que se conoce una solucion x1= x1(t),notrivial,delaecuacionlinealhomogeneax

+ a(t) x

+ b(t) x = 0. (5.6)El propositoesdeterminarotrassolucionesx2=x2(t), escribiendolasenlaformax2(t) = x1(t) u(t), (5.7)donde u(t) representa una funcion dos veces diferenciable apropiada. Se tratade precisar ahora que condiciones debe satisfacer la funcion u(t), para que x2sea en efecto una solucion de (5.6). Derivando (5.7) se obtiene sucesivamentex

2= x

1u + x1u

,yx

2= x

1 u + 2x

1u

+ x1u

,demaneraquealreemplazaren(5.6)setienex1u

+ (2x

1 + a(t) x1) u

+ (x

1 + a(t) x

1 + b(t) x1) u = 0Envistadequex1esunasolucionde(5.6), conclumosquex2satisfacelaecuacion(5.6)siysolosiuessoluciondelaecuacionx1u

+ (2x

1 + a(t) x1) u

= 0.En consecuencia y suponiendo x1 ,= 0, conclumos que la funcion v= u

debesatisfacerlaecuacionlinealdeprimerordendvdt+_2x

1x1+ a(t)_v= 0.5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS. 101Resolviendolaanteriorecuaciontenemosu

(t) = v(t) = c1eR2 x

1x1+a(t)dt=c1eRa(t)dtx1(t)2,ynalmente,u(t) = c1_eRa(t) dtx1(t)2dt + c2,dondec1yc2representanconstantesarbitrarias. Ahorapodemosasignarlevaloresparticularesalasconstantesc1yc2,conla unicaexigenciadequelasolucion x2 asociada a esos valores no resulte ser un m ultiplo de x1. Tomandoporejemploc1= 1yc2= 0,obtenemosx2(t) = x1(t)_eRa(t)dtx1(t)2dt, (5.8)donde las integrales indenidas representan a una cualquiera de las antideri-vadasdelafuncionqueseestaintegrando.Teorema5.2.6(Reduccion de orden). Seax1= x1(t)unasolucionde(5.6)enunintervaloJ, tal queparatodot J, x1(t) ,=0, yseax2=x2(t)lafunciondenidapor (5.8).Entoncesx1yx2constituyenunconjuntofunda-mental desolucionesde(5.6).Demostracion. Calculando el determinante wronskiano de x1y x2se obtieneW(t) = W(x1, x2)(t) = u

(t) x21(t) = eRa(t) dt.ComoW(t) ,= 0elresultadosesigueahoradelTeorema5.2.3.Ejemplo 5.2.3.La funcion x1(t) = etsatisface la ecuacion x

+2x

+x = 0.Enestecasoa(t)=2yu(t)=_dt=t,porloqueel metododereducciondeordenconducealasolucionx2(t)=t et. El conjuntoformadoporlaslas funciones x1(t) =etyx2(t) =t etes enconsecuenciaunconjuntofundamental de soluciones para la ecuacion considerada. La solucion generalpuedeescribirseentoncescomoxH(t) = c1et+ c2t etdondec1yc2sonconstantesarbitrarias.102 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDENEjerciciosEncadaunodelossiguientescasoscompruebequex1=x1(t)satisfacelaecuaciondadayempleeel metododereducciondeordenparaobtenerunasegundasolucionx2. Finalmenteveriquequeel conjunto x1, x2seaunconjuntofundamentaldesoluciones.1. t2x

2 x = 0, x1(t) = t22. t x

(1 + 2t) x

+ (1 + t) x = 0, x1(t) = et3. t x

2 (t + 1) x

+ (t + 2) x = 0, x1(t) = et4. t2x

t (t + 2) x

+ (2 + t) x = 0, x1= tRespuestas 1.x2(t) =1t2.x2(t) = t2et3.x2(t) = t3et4.x2= t et.5.2.3. Ecuacionesdiferencialesconsolucionescomple-jasPor razones que se aclararan posteriormente es conveniente admitir comoposiblessolucionesdeunaecuacionlinealaciertasfuncionesquetomanva-lores complejos. Una funcion de variable real y valor complejo es una funcionquetransforman umerosrealesenn umeroscomplejos.Enotraspalabras,siz= z(t)esunadetalesfunciones,z(t) = u(t) + i v(t),dondei eslaunidadimaginaria, trepresentaunn umeroreal, yu=u(t),v= v(t) son funciones reales, que respectivamente se denominan la parte realylaparteimaginariadez(t).Unejemploparticularmenteinteresantedefuncionescomplejaseslalla-madaexponencial compleja.Siesunn umerorealsedeneeln umeroei mediantelallamadaformuladeEuler,ei = cos + isen .Si w= + i es unn umerocomplejocualquiera, el exponencial deesten umeroeseln umerocomplejodeterminadoporlaformulae(+i )= eei = e(cos + isen ) = ecos + i esen .5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS. 103Dado entonces un n umero +i podemos denir ahora la funcion exponen-cialcompleja,z(t) = e(+i )t= etcos t + i etsen t.Las nociones basicas del calculopuedenextenderse facilmente al casodefunciones convalores complejos. Por ejemplo, si z(t) =u(t) + i v(t) yu=u(t), v=v(t)sonfuncionesdiferenciables, sedeneladerivadadezcomolafuncionz

(t) =dzdt(t) = u

(t) + i v

(t).Analogamente,siuyvsonfuncionesintegrablessedene_baz(t) dt =_bau(t) dt + i_bav(t) dt.Esfacilahoraverqueformulascomoddt et= et,d2dt2 et= 2et, . . .siguensiendovalidas, independientementedequerepresenteunn umerorealounocomplejo.Diremos que unafuncioncomplejaz(t) =u(t)+i v(t) es soluciondeunaecuaciondiferencial, si al reemplazardichafuncionysusderivadasenlaecuacion,estasesatisfaceparatodoslosvaloresdeteneldominiodelafuncionz.Noesdifcilvericarporejemploquelafuncionz= ei tsatisfacelaecuacionx

+ x = 0.Otro concepto que nos conviene mencionar es el de funcion conjugada. Enefecto, si z(t) = u(t) +i v(t) es una funcion dada, su conjugada es la funcionz= z(t),denidamediantelaformula,z(t) = z(t) = u(t) + i v(t) = u(t) i v(t).Esfacilverqueenesecasod zdt=dzdtyd2zdt2=d2zdt2.Porotroladosiz= z(t)yw = w(t)sonfuncionescomplejassesigueque(z + w) (t) = z (t) + w(t) , y (z w) (t) = z (t)w(t) ,104 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDENenparticular,siaesunn umeroreal(a z) (t) = a z (t) .Consideremosahoraunasolucioncompleja, z(t)=u(t) + i v(t), deunaecuacionhomogeneaL[x] = x

+ a(t) x

+ b(t) x = 0,dondetantoa(t)comob(t)sonfuncionesreales.ComoL[z] = z

+ a(t) z

+ b(t) z= z

+ a(t) z

+ b(t) z= L[z] = 0,seobservaqueztambiensatisfacelaecuacionhomogeneaconsiderada.Porotroladotantolaparterealu(t),comolaparteimaginariav(t),deunafuncionz(t)dada,puedenexpresarsecomocombinaci onlinealdez(t)yz(t) :u(t) =z(t) + z(t)2y v(t) =z(t) z(t)2i.En ese caso, y teniendo en cuenta que las combinaciones lineales de solucionesde una ecuacion lineal homogenea son tambien soluciones de dicha ecuacion,pudeconcluirsequesi z satisfaceunatal ecuacion, tambienloharansuspartesrealeimaginaria,asaberlasfuncionesuyv.5.2.4. EcuacioneslinealeshomogeneasconcoecientesconstantesEnestaseccionestudiaremosunsencillometododebidoaL. Eulerme-dianteelcualpuedenobtenerseconjuntosfundamentalesdesolucionesparalasecuacioneslinealeshomogeneasdesegundoordenconcoecientescons-tantes,x

+ a x

+ b x = 0, (5.9)dondeaybsonconstantesreales.Observamosquetodasolucionx=x(t)de(5.9)estadenidaenel in-tervalo(, ), envistadequeloscoecientesa(t) =ayb(t) =bsonfuncionescontinuas.ElmetododeEulerconsisteenbuscarsolucionesexponencialesdeltipox(t) = et,5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS. 105dondees unaconstante, real ocompleja, quedebedeterminarse. Comodkdtk(et) = ketyet,= 0,sededucequex = etsatisface(5.9)siysolosisatisfacelaecuacioncaracterstica2+ a + b = 0.Habra que distinguir si la ecuacion caracterstica tiene races reales o comple-jas.Paraelloconsideraremoseldiscriminantedeesaecuacion, = a24b.Caso1( > 0). Setienendosracesrealesdiferentes:1, 2=12(a a24b).Entoncesx1(t)=e1tyx2(t)=e2 tsondossolucionesnonulasde(5.9)denidas en todo R. De acuerdo con el teorema 5.2.3 estas funciones formanunconjuntofundamentaldesolucionesenvistadequeW(x1, x2)(t) = det_e1 te2 t1e1 t2e2 t_= (21) e(1+2)t,= 0.Ejemplo 5.2.4.La ecuacion x

3x

+2x = 0 tiene la ecuacion caracterstica23 +2 = 0, cuyas races son 1= 1 y 2= 2. La solucion general puedeenconsecuenciaescribirseenlaformax(t) = c1et+ c2e2t,dondec1yc2representanconstantesarbitrarias.Caso2( = 0).La ecuacion caracterstica tiene en este caso una unica razrealrepetida,1= 2= a2.Soloexisteenconsecuenciaunasolucionexpo-nencial de la forma x1(t) = e1t. Empleando el metodo de reduccion de ordenencontramosunasegundasolucionx2(t)=t e1 tquejuntoconx1(t)formaunconjuntofundamental desoluciones. Lasoluciongeneral estaentoncesdadaporx(t) = c1e1 t+ c2t e1 t.Ejemplo 5.2.5.Buscamos la solucion general de la ecuacion x

2x

+x = 0.Laecuacioncaractersticaes2 2 + 1 = ( 1)2= 0quetieneuna uni-carazreal repetida1=2=1. Enconsecuenciasoloexisteunasolucionexponencial x1(t) = et. La funcion x2(t) = tetes una segunda solucion, lineal-menteindependientedelaprimera. Lasoluciongeneral estadadaentoncesporlaexpresionx(t) = c1et+ c2t et.106 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDENCaso3( 0,= 0, si x = 0,> 0, si x < 0,demaneraquefrsiempreapuntaendireccioncontrariaaladel desplaza-miento.Ademas de las fuerzas restauradoras es posible que sobre el sistema act uenfuerzas de friccion o amortiguamiento que disipan energa y llevan el sistemahaciael reposo. Enel casodeosciladoresmecanicosestasfuerzasnormal-mentesonproducidasporlainteracci ondel sistemaconel medioenel queoscila (agua o aire por ejemplo), o mediante un mecanismo amortiguador dis-puestoespeccamenteconesten(comopuedenserlosamortiguadoresdeuncarro).Generalmentepuedesuponersequelafuerzadeamortiguacionfadepende de la velocidad v=dxdty que a mayor rapidez mayor amortiguacion.Ademas faact ua en direccion opuesta a la del movimiento, esto signica, enelcasoenelqueelmovimientosedeenunasoladimension,quefa(v)es___< 0, si v> 0,= 0, si v= 0,> 0, si v< 0.6.1. OSCILADORES MECANICOS 119Tambienpuedenestar presentes fuerzas externas de excitacionfex(t),ocasionadas por mecanismosexternos (porejemplo elviento quegolpeaunaestructura, olafuerzaelectromotrizproducidaporungeneradoral queseencuentreconectadouncircuitoelectrico).Estasfuerzascorrespondenain-uencias independientes delos mecanismos internos del sistemaypuedenresultar utilescomofuentesdeenergaparasosteneroscilaciones,oindesea-blescomocausaderesonancia.La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un cuerpo de masamqueseencuentrasujetoalainuenciadelasfuerzasfr,fayfexconducealaecuacionm d2xdt2= fr(x) + fa(v) + fex(t). (6.1)La ecuacion (6.1)puede signicardicultades considerables,silanaturalezadeladependenciadelafuerzarestauradorarespectodel desplazamientoyladedelafriccionrespectodelavelocidadsoncomplicadas. Sinembargoestas fuerzas pueden, al menos en una primera aproximacion, substituirse porsusrespectivaslinealizaciones. Enefecto, si gesunafunciondiferenciabletenemosg(s) g(0) + sg

(0),para s cerca de 0. En otras palabras, cerca de 0 la funcion g puede aproximarseporsurectatangenteen(0, g(0)).Comofr(0) = 0yfa(0) = 0sesiguequefr(x) x f

r(0)yfa(v) v f

a(0). Si escribimosk= f

r(0)y= f

a(0)obtenemosrespectivamentelaleydeHookefr(x) = k xylaleydeamortiguacionviscosafa(v) = v.Laaproximaci onlinealdelmodelo(6.1)puedeenconsecuenciaescribirseenlaformam d2xdt2+ dxdt+ k x = fex(t).Laanteriorecuacionpuedetambienreescribirseenlaformad2xdt2+ 2 dxdt+ 2x = f(t), (6.2)120 6. OSCILADORES LINEALESdonde2=/m, =_k/myf(t)=1mfex(t). Unsistemaqueobedezcauna ecuacion de la forma (6.2) es un oscilador lineal amortiguado forzado. Si=0yfex=0sehabladeunosciladorarmonicosimple,mientrasqueenausenciadefuerzasexternas,sehabladeosciladoreslibres.Ejemplo 6.1.1.Un sistema masaresorteamortiguadorfuerza externa con-siste en un resorte de masa despreciable que cuelga suspendido de un soportergido, unamasapuntual mque se encuentrasujetaal extremolibre delresorteyunmecanismoamortiguador(verFigura6.1). Lamasasemuevealolargodeunejecoordenadovertical cuyadireccionpositivaes laqueapunta hacia abajo y cuyo origen coincide con la posicion de equilibrio de lamasa. La funcion x = x(t) que describe la posicion de la masa en el tiempo tcoincide entonces con su desplazamiento respecto a la posicion de equilibrio.Supondremosquelafuerzaelastica, ejercidaporel resorte, ylafuerzadeamortiguacion, ejercida por el medio, estan dadas por sus respectivas aproxi-maciones lineales. En ese caso cuando la masa se encuentre en la coordenadaxlasumadesupesomaslafuerzaelasticaseraigual a k x, dondekeslaconstanteelasticadel resorte. Lafuerzadeamortiguacionpor suparteesigual afa(v)= v, dondev=dxdtyeslaconstantedefriccion. LasegundaleydeNewtonproporcionalaecuaciondemovimientodelcuerpom d2xdt2+ dxdt+ k x = fex(t).Ejemplo6.1.2. Un pendulo consiste en una masa puntual m suspendida deuna cuerda o de una varilla de masa despreciable y longitud l, que pivota enunplanovertical alrededordeunodesusextremos. Si lamasaesdesviadade su posicion de equilibrio, tendera a moverse bajo la accion de la gravedaddeunladohaciaotro, sobreunacircunferenciaderadiol (vergura6.2).Sisedeprecianfuerzasdistintasaladelagravedad(comofriccionyfuerzasimpulsorasexternas),lafuerzanetaresultantesobreelpendulocorrespondealacomponentetangencial delagravedadftan= mgsen , queact uaendireccionopuestaaladeladesviacionangular respectodelavertical, = (t). Si v= v(t) denota la velocidad de la masa en el tiempo t, entonces,de acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que vsatisface la ecuacionm dvdt= mgsen .6.1. OSCILADORES MECANICOS 121m 0xx(t)Figura6.1:Sistemamasa-resorte-amortiguador.Teniendoencuentaquev=l

, donde

=ddteslavelocidadangular, sellegaalaecuaciondelpendulosimpled2dt2+glsen = 0,conocidatambiencomoecuaciondeMathiew. Si ademasdelagravedadseconsideran fuerzas de amortiguacion dependientes de la velocidad, fa= fa(v)yadicionalmente existenfuerzas externas fex=fex(t) actuandosobre elpendulo,laecuaciondelmovimientotomalaformaml d2dt2= mgsen + fa(v) + fex(t).Elpenduloesunosciladornolinealpueslafuerzarestauradorafr= mgsen ,no depende linealmente de la desviacion angular respecto del equilibrio . Sinembargo si las oscilaciones son peque nas de modo que (t) y

(t) permanecen122 6. OSCILADORES LINEALESmgfvlFigura6.2:Fuerzasqueact uansobreunpendulo.cercade0, es razonableusar laaproximaci onlineal sen ysuponerademas que la amortiguacion es proporcional a la velocidad angular

, fa

,unaconstantepositiva.Sellegaentoncesaunmodelolinealparaelpendulod2dt2+mlddt+gl =1ml fex(t),queesdenuevolaecuaciondel osciladorlineal amortiguadoforzado(6.2)con=_gl,2 =mlyf(t) =1ml fex(t).6.2. OscilacioneslibresCuandof(t) =0enlaecuacion(6.2), sedicequelas oscilaciones sonlibres. En ese caso la ecuacion de movimiento es una ecuacion homogenea desegundoorden,d2xdt2+ 2 dxdt+ 2x = 0, (6.3)cuyas soluciones se puedenobtener facilmente, determinandoprimerolasracesdelaecuacioncaracterstica. Estudiaremosinicialmenteel casoenelquenohayamortiguacion.6.2. OSCILACIONES LIBRES 123Figura6.3:Osciladorarmonicosimple,x(t) = Acos ( t )OscilacioneslibresnoamortiguadasEn ausencia de amortiguacion, esto es cuando = 0, la ecuacion (6.3) sereducealaecuaciondelosciladorarmonicosimpled2xdt2+ 2x = 0.Comolasracesdelaecuacioncaractersticaenestecasosonlosn umeros = i,lasoluciongeneraldelaecuacionpuedeescribirseenlaformax(t) = c1 cos t + c2 sen t,dondec1yc2sonconstantes. Noesdifcil verqueestassolucionespuedentambienescribirseenlaformax(t) = Acos( t ), (6.4)dondelasconstantesAyestandeterminadasporlascondicionescos =c1A, sen =c2Ay A =_c21 + c22. (6.5)Lasfuncionesdelaforma(6.4)sonperiodicas,conperodoT=2 ,asqueel periodo de las oscilaciones es independiente de las condiciones iniciales delmovimiento.PorelcontrarioAysidependendelascondicionesiniciales.Ademas124 6. OSCILADORES LINEALESLa constante A es la amplitud del movimiento y corresponde al despla-zamiento maximo delsistema respecto delequilibrio.Six(t) esta dadapor(6.4)entonces A x(t) A.esconocidocomoel angulodefaseyeslafrecuenciaangulardelmovimiento.Elperododelassoluciones,T=2 ,eseltiemponecesarioparacom-pletar una oscilacion, o sea el tiempo que se necesita para que el sistemapaseconsecutivamenteporelequilibrioenlamismadireccion.Lafrecuencianatural delaoscilacioneseln umerof=1T=2,yco-rresponde al n umero de oscilaciones que efect ua el oscilador por unidaddetiempo.Deacuerdoconel modelomatematicolas oscilaciones correspondientesalmovimientonoamortiguadopersisteneneltiempoconamplitudconstante.Enlarealidadtodaoscilacionnoforzadaseveatenuadaal transcurrir eltiempo. Unaexplicacionobviadeestainconsistenciaesqueel modelodeloscilador armonico es una idealizacion simplicada del oscilador real, que notomaencuentafactores queenlapracticaestansiemprepresentes, talescomolafriccion.Ejemplo 6.2.1.Se requiere una fuerza de 400 newtons para estirar un res