Publicaciones AFAMaC

Olimpiada Canguro Matemático 2008

Alan Rivera Figueroa Alexander Quintana Soto Alexis Rosario Sánchez Arcadia Vélez Flores Armando Soto Concepción Erick Seda Santana Héctor M. Vélez Mercado

Iván González CorderoJahzeel Silva Cordero

José A. Figueroa AgrónLaura La Llave Cuebas

Mark A. Huaman BermúdezRichard Mercado Rivera

Samuel Ruiz Muñiz

Editado por: Dr. Juan R. Romero

Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Primera Edición, 2008 Derechos © AFAMaC Director: Dr. Luis F. Cáceres Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato 2007-AF-0205 #OAF-081-07-0205 Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez Impreso y hecho en Puerto Rico

2

3

PROLOGO

La Olimpiada Canguro Matemático es una competencia que se realiza en varios países del mundo y por la cantidad de estudiantes que participan en ella es considerada la olimpiada de matemáticas más grande del mundo. Los problemas de esta olimpiada se caracterizan porque en su mayoría son problemas de ingenio y porque no son necesariamente problemas típicos de libro de texto. El banco de problemas del Canguro Matemático se forma con la contribución de profesores de varios países que envían sus problemas a los coordinadores de la olimpiada. Luego, delegados de todos los países participantes se reúnen para depurar el banco y seleccionar problemas apropiados para cada uno de los niveles de participación. Por último, cada delegado se lleva a su país respectivo el banco reducido de problemas y arma el examen de olimpiada para su respectivo país. Este proceso hace que la Olimpiada Canguro Matemático tenga un carácter muy particular y posea estándares internacionales. La selección final de la prueba para Puerto Rico 2008 fue realizada por un grupo de maestros de las escuelas participantes del proyecto AFAMaC (Alianza por el Fortalecimiento de las Matemáticas y las Ciencias) quienes se reunieron y analizaron los problemas del banco para llegar a la versión final que presentamos en este manual. Además, presentamos las soluciones de los problemas, desarrolladas también por el grupo de maestros, para beneficio de los lectores. El Dr. Juan R. Romero del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico estuvo a cargo de la edición de este trabajo. Esta olimpiada es una alternativa para los maestros de nivel intermedio de Puerto Rico que deseen realizar una actividad matemática en su salón de clase o en su escuela. Es una actividad extracurricular retante e interesante para estudiantes de ese nivel. Luis F. Cáceres Febrero 2008

4

AFAMaC Alianza Para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matemáticas Estos proyectos están subvencionados por el Departamento de Educación de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

CANGURO MATEMATICO

PUERTO RICO 2008 1) Carolina está haciendo figuras con los dos triángulos equiláteros mostrados. Determina cual de las siguientes figuras ella no puede formar sin cortar ninguno de ellos.

A) B) C) D) E) 2) ¿Cuántas estrellas hay en la figura?

5

* * * * * *****

* * * * * * * * *

* * * * * *****

* * * * * * * * *

* * * * * *****

* * * * * * * * *

* * * * * *****

*********

**********

*********

A) 100 B) 90 C) 95 D) 85 E) 105

3) María le regaló a su madre, abuela, tía y dos hermanas un ramo de flores a cada una. Determina cual de los ramos le regaló María a su madre sabiendo que: • las hermanas y la tía recibieron flores del mismo color, • la abuela no recibió rosas.

6

A)

B)

C)

D)

Rosas amarillas Tulipanes

amarillos

E)

Claveles amarillos Rosas

rojas

Claveles rojos

4) ¿Cuál de las siguientes figuras aparece menos veces? A) Sólo B) Sólo C) Sólo

D) y E) Todas se muestran igualmente.

5) En un hotel, ¿cuántos cuartos de dos camas deben ser añadidos a 5 cuartos de tres camas para hospedar 21 huéspedes sin que sobren camas?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 6

6) Esta es una pequeña parte de la tabla de multiplicar,

× 4 3 5 20 157 28 21

y ésta es otra, a la que desafortunadamente le faltan números.

× 35 63 30 ?

¿Cuál es el número que va en la casilla con el símbolo de interrogación?

A) 54 B) 56 C) 65

D) 36 E) 42

7) Ana hizo la figura mostrada con cinco cubos. ¿Cuál de las siguientes figuras (vista desde cualquier dirección) ella no puede formar si solamente es permitido mover un solo cubo?

A) B) C) D) E)

8) ¿Cuántos cuadrados pueden dibujarse uniendo los puntos con segmentos? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

9) Adriana lanza dos flechas a un tablero. En el dibujo vemos un ejemplo donde su puntuación total es 5. Si ambas flechas dan en el tablero, ¿cuántas puntuaciones diferentes puede obtener? 2

3 A) 11 B) 6 C) 8 6 D) 9 E) 3

10) El club de matemáticas prepara unas banderas negras y blancas. La condición es que la bandera esté cubierta por tres quintas partes de negro. ¿Cuántas de las siguientes banderas cumplen con esta condición?

8

A) Ninguna B) Una C) Dos

D) Tres E) Cuatro

11) Juan multiplica por 3, Pedro suma 2, y Noel resta 1. ¿En qué orden pueden hacer estas operaciones para convertir el 3 en 14?

A) Juan, Pedro, Noel B) Pedro, Juan, Noel C) Juan, Noel, Pedro

D) Noel, Juan, Pedro E) Pedro, Noel, Juan

12) ¿Cuántos números de dos dígitos existen tales que el dígito de la derecha sea mayor que el dígito de la izquierda?

A) 26 B) 18 C)9 D) 30 E) 36

13) En una juguetería hay una pirámide sin huecos construida con bloques blancos y negros (figura 1). Cada piso está formado con bloques de un solo color. En la figura 2, se muestra la pirámide vista desde la parte superior. ¿Cuántos bloques blancos se utilizaron para construir la pirámide? figura 1 figura 2

A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14 14) Un joven siempre dice la verdad los jueves y viernes, siempre miente los martes, y aleatoriamente miente o dice la verdad los otros días de la semana. Durante siete días consecutivos se le pregunta cual es su nombre y los primeros seis días sus respuestas son las siguientes (en orden): Juan, Roberto, Juan, Roberto, Pedro, Roberto. ¿Cuál fue su respuesta el séptimo día?

A) Juan B) Roberto

C) Pedro D) otro nombre

E) imposible determinar

9

15) La siguiente figura está formada por un cuadrado y un triángulo. El cuadrado y el triángulo tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura?

4cm

A) 20 cm B) 24 cm C) 28 cm

D) 32 cm E) No se puede determinar

16) Las letras a, b, c, d, x representan cinco dígitos diferentes. Dadas las siguientes ecuaciones, a + a + a = b c + c + c = d b + d = x encuentra el valor de x.

A) 0 B) 2 C) 6 D) 8 E) 9 17) Tres amigos viven en la misma calle: uno es médico, otro ingeniero y el último abogado. Sus apellidos son: Rodríguez, Acevedo y Mendoza. El doctor no tiene hermanas ni hermanos, y es el más joven de sus amigos. Mendoza es mayor que el ingeniero y está casado con la hermana de Rodríguez. Los apellidos del doctor, el ingeniero y el abogado, respectivamente, son los siguientes:

A) Rodríguez, Acevedo, Mendoza B) Mendoza, Rodríguez, Acevedo C) Acevedo, Rodríguez, Mendoza D) Acevedo, Mendoza, Rodríguez E) Rodríguez, Mendoza, Acevedo

18) Hay siete cartas. Los números del 1 al 7 están escritos en las cartas (sólo un número en cada carta). Una primera persona toma 3 cartas de la caja y una segunda persona toma dos cartas. Sobran 2 cartas. La primera persona le dice a la segunda: “Yo estoy seguro que la suma de los números en tus cartas es par”. La suma de los números en las cartas de la primera persona es:

A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15 19) Si 6 canguros se comen 6 sacos de alimento en 6 minutos, ¿cuántos canguros se comerán 100 sacos de alimento en 100 minutos?

A) 100 B) 60 C) 6 D) 10 E) 600

20) Tom y Jerry tienen cada uno un rectángulo idéntico. Tom corta el suyo y obtiene dos rectángulos con perímetro de 40 cm. cada uno. Jerry corta el suyo y obtiene dos rectángulos con perímetro de 50 cm. cada uno. ¿Cuál era el perímetro del rectángulo original de Tom?

A) 40cm B) 50cm C) 60cm D) 80cm E) 90cm 21) Cuatro círculos congruentes y tangentes con radio de 6 cm. están inscritos en un rectángulo. P es un vértice. Q y R son puntos de tangencia. ¿Cuál es el área del triángulo PQR? P

R

Q

A) 27 cm2

B) 45 cm2

C) 54 cm2

D) 108 cm2

E) 180 cm2

11

22) ¿Cuál es la cantidad máxima de dígitos que pueden ser eliminados del número de mil dígitos 200820082008…2008, tal que la suma de dígitos que sobran sea 2008?

A) 492 B) 508 C) 746 D) 996 E) 199 23) En un triángulo isósceles ABC con AB=AC, el bisector CD del ángulo C es igual al lado BC. La medida del ángulo CDA es:

(A) 90º (B) 100º (C) 108º

(D) 120º (E) imposible de determinar

24) Laura y Gabriel van a caminar al Yunque. Al comienzo de su caminata leen un rótulo que dice que su destino está a 2 horas y 55 minutos caminando. Ellos empiezan a caminar a las 12:00 del mediodía. A la 1:00 pm se sientan a descansar y leen otro rótulo que dice que su destino está a 1 hora y 15 minutos caminando. Después de su único descanso, de un cuarto de hora, continúan su caminata a la misma velocidad que antes. ¿A qué hora llegan a su destino?

A) 2:00 pm B) 2:30 pm C) 2:55 pm

D) 3:10 pm E) 3:20 pm

25) El máximo común divisor de dos enteros positivos m y n es 12, y el mínimo común múltiplo de ellos es un cuadrado perfecto. De entre los 5 números:

, , , ,3 3 4 4n m n m mn , ¿cuántos son cuadrados perfectos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) imposible de determinar

12

13

Soluciones 1) Claramente las figuras de las opciones A), B), C) y D) se pueden obtener de dos triángulos equiláteros. Sin embargo, al dividir un cuadrado se forman dos triángulos que no son equiláteros. La respuesta correcta es la letra E. 2) Hay 10 columnas. Cada una de las columnas impares tiene 10 estrellas, mientras que cada una de las pares tiene 9 estrellas. El numero total de estrellas entonces es (5 x 10) + (5 x 9) = 95. La respuesta correcta es la letra C. 3) Primero descartamos las flores amarillas que son las que recibieron las hermanas y la tía. Solo quedan los claveles rojos y las rosas rojas. La abuela no recibe rosas por lo que se deduce que recibió los claveles rojos. Sobran las rosas rojas que le corresponden a la madre. La respuesta correcta es la letra B. 4) Se establece el patrón de tres figuras (cruz, triángulo, cuadrado), y al final de la secuencia solo se ven dos de las figuras (cruz, triángulo); entonces el cuadrado es la que se repite menos. La respuesta correcta es la letra C. 5) 5 cuartos con tres camas hospedan 15 huéspedes. Para completar los 21 huéspedes faltan 6. Se necesitan 3 cuartos de 2 camas ya que 3 x 2 = 6; esto sumado a 15 es igual a 21. La respuesta correcta es la letra C. 6) El 35 y el 63 tienen como únicos factores comunes el 1 y el 7. ¿Que pasa si colocamos el 1 en la segunda entrada de la primera columna? Tenemos entonces que colocar el 35 en la segunda entrada de la primera fila. Pero 30 (el último número en la segunda columna) no se puede factorizar como el producto de dos enteros en donde uno de ellos es 35. Esto hace que el primer número en la primera columna sea 7 y que los números en la primera fila sean 5 y 9, respectivamente. Así hallamos que 6 es el último

número en la primera columna, y el 54 (el último número en la tercera columna) como el producto de 6 x 9. × 5 9

7 35 636 30 54

La respuesta correcta es la letra A. 7) La respuesta correcta es la letra D, pues se necesitan al menos dos movimientos para formar esta figura a partir de la figura dada. Nótese que las figuras A), B), C) y E) se pueden obtener partiendo de la figura de arriba con el movimiento de sólo un cubito. 8) Cuatro cuadrados trazados ☻ ☻ ☻

☻ ☻ ☻

☻ ☻

La respuesta correcta es la letra C. 9) Asumiendo que ambas flechas dan en el tablero, las posibles combinaciones de puntajes son: 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 6 + 6 = 12, 2 + 3 = 5, 2 + 6 = 8, y 3 + 6 = 9, es decir, hay seis diferentes puntuaciones. La respuesta correcta es la letra B. 10) La segunda figura (12 cuadrados negros sobre un total de 20 cuadrados) y la cuarta figura (15 cuadrados negros sobre un total de 25 cuadrados) cumplen con la condición.

14

15

Se puede ver fácilmente que las otras no cumplen con la condición. La respuesta correcta es la letra C. 11) Para convertir el 3 en 14 primero podemos llegar a 15 y luego restar 1. Para convertir el 3 en 15 se puede sumar 2 y luego multiplicar por tres. En resumen, el orden puede ser el siguiente: (3 + 2) x 3 – 1 = 14. Pedro primero suma 2, Juan multiplica por 3 y Noel resta 1 (Pedro, Juan, Noel). La respuesta correcta es la letra B. 12) Se comienza con los números del 90 al 99 y ninguno cumple con el requisito. Luego se toman del 80 al 89 y solo uno cumple con la condición (89). Del 70 al 79 dos cumplen (78, 79); se continúa de esta manera hasta llegar a los números 10 al 19 en donde ocho cumplen la condición (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19); el total es: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. La respuesta correcta es la letra E. 13) Sumamos los bloques externos (los que no tienen bloques arriba) desde el piso 4, que consiste de un solo bloque blanco, hasta el piso 2. Así obtenemos que el número de bloques blancos es 1 + 4 + 8 = 13. La respuesta correcta es la letra D. 14) La primera respuesta debe corresponder al viernes para que se cumplan las dos condiciones. Cualquier otro arreglo pondría los días jueves y viernes contiguos, excepto si empezamos viernes o sábado. Nótese que en las respuestas obtenidas no hay dos días consecutivos en los que el niño repitió su respuesta. Si empezamos sábado el no mentiría el martes (su nombre entonces sería Roberto), violando la segunda condición. Esto obliga a que la primera respuesta corresponda al viernes y que la última respuesta del niño, correspondiente al jueves, sea Juan. En este arreglo la respuesta el martes es Pedro, lo cual es mentira y es consistente con los datos del problema. La respuesta correcta es la letra A. 15) Estas dos figuras tienen un lado en común. El perímetro del cuadrado es 16 y como ambas tienen igual perímetro, el perímetro del triángulo es también 16. Al pegarlas de la

16

manera ilustrada, se forma una figura con perímetro (2 x 16) menos dos veces la medida del lado en común. Entonces el perímetro es (2 x 16) – 8 = 24. La respuesta correcta es la letra B. 16) Tanto b como d tienen que ser múltiplos de 3. Eso obliga a x ser también un múltiplo de 3. Los 4 múltiplos de 3 entre 0 y 9 son: 0, 3, 6 y 9. Como todos estos dígitos son diferentes, a no puede ser igual a 0 (de lo contrario, a = b = 0, lo cual contradice el hecho que todos estos dígitos son diferentes). Así que {b, d ,x} = {3, 6, 9}. Como x es el mayor (x = b +d), x = 9. La respuesta correcta es la letra E. 17) Mendoza es mayor que el ingeniero, y el médico es el menor de todos, lo cual implica que el apellido del abogado es Mendoza. Además, Mendoza está casado con la hermana de Rodríguez, pero el médico no tiene hermanas. Por lo tanto, el apellido del ingeniero es Rodríguez. El apellido del médico entonces es Acevedo. La respuesta correcta es la letra C. 18) En un grupo de siete cartas rotuladas del 1 al 7 sólo hay tres con números pares (2, 4, 6). Para que el primer jugador esté seguro de que luego de tomar tres cartas se tomen cualesquiera dos cartas que sumen par es por que el tomó las 3 cartas pares, ya que la suma de cualesquiera dos números impares es par. La suma del número de las cartas que tomo es: 2 + 4 + 6 = 12. La respuesta correcta es la letra B. 19) 6 canguros se comen 1 saco de alimento por minuto. Esos mismos 6 canguros se comen 100 sacos de alimento en 100 minutos. La respuesta es la letra C. 20) Dado un rectángulo con lados a y b sólo hay dos maneras de dividirlos en dos rectángulos iguales se puede suponer las siguientes configuraciones.

Tom Jerry ½ a ½ a a

17

½ b

b ½ b El perímetro de la mitad del rectángulo de El perímetro de la mitad del rectángulo de Tom es Jerry es

( )

402

4022

2

=+

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ba

ba ( )

502

502

22

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ba

ba

Sumando estas dos ecuaciones se obtiene:

+9033

502402

=+=+=+

bababa

Por lo tanto, a + b = 30 y el perímetro del rectángulo original es 2(a+b) = 2(30) = 60. La respuesta correcta es la C. 21) r + r + r

Q P r + r R

La base QP = 3 x (radio) = 18cm; la altura del triángulo es 2 x (radio) = 12cm, por lo tanto, el área del triángulo es (12 x 18) / 2 = 108 cm2. La respuesta correcta es la letra D. 22) La suma de los dígitos del número de mil dígitos 20082008…2008 es 2500. Esto se debe a que tenemos 500 dígitos 0, 250 dígitos 2 y 250 dígitos 8. Así que la suma es 250(2) + 250(8) = 500 + 2000 = 2500. Podemos eliminar todos los ceros y hay 500 de ellos. Eliminando 246 dígitos 2, de un total de 250, tendríamos un nuevo número cuyos dígitos suman 2008. Entonces hemos eliminado un total de 746 dígitos y este número es el máximo de dígitos que podemos eliminar. La respuesta correcta es la letra C. 23)

A

18

Sea < ACB = x°. Como AB = AC, < ABC = x°. Además, como BC = CD, < DBC = < BDC. Como CD es la bisectriz de < ACB, < BCD = x°/2. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, entonces en el triángulo DBC se tiene que x° + x° + x°/2 = 180°. De aquí que x° =72°. Ahora, como < BDC=72° y < CDA es suplementario a < BDC, < CDA = 180° - 72° = 108°. La respuesta correcta es la letra C. 24) El recorrido total era de 2 horas y 55 minutos (175 minutos). Al llegar a su descanso, aun faltaban 1 hora y 15 minutos (75 minutos) para llegar a su destino. Por lo tanto avanzaron un trayecto equivalente a 100 minutos entre 12:00pm y 1:00pm (60 minutos). Sea t el tiempo restante desde el descanso hasta su destino final, entonces utilizando la

B C

D

x°< ACB = x°

< BCD = x°/2

x°

siguiente proporción: 75100

60 t= , obtenemos que t = 45 minutos. Por lo tanto, añadiendo

el tiempo t a la 1:15pm concluimos que llegarán a las 2:00pm. Comienzo Descanso Destino Final Distancia (minutos) 175 75 0 Hora 12:00pm 1:00pm-1:15pm 2:00pm La respuesta correcta es la letra A. ________________________________________________________________________ 25) Como el máximo común divisor de m y n es 12, m = 12a y n = 12b donde a y b no tienen factores en común diferentes de 1. Sabemos por los datos del problema que el mínimo común múltiplo de m y n es r2 (un cuadrado perfecto), para algún r entero positivo, y también este es igual a 12ab = (4 x 3)ab. Esto implica que a = 3x2 y b = y2, ó viceversa; solamente uno entre los números n/3 y m/3 es un cuadrado perfecto, y solo uno de entre los números n/4 y m/4 es un cuadrado perfecto. Por último, mn no puede ser un

cuadrado perfecto. Por lo tanto, del listado , , , ,3 3 4 4n m n m mn , sólo dos son cuadrados

prefectos. La respuesta correcta es la letra B.

19