Lib Romer Ma
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ii
© Fisica I – Mecánica Marco A. Merma Jara Sobre el Autor Marco A. Merma Jara, es formado en Física, por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, UNMSM, en Lima, Perú. Actualmente es docente de la Facultad de Ciencias Físicas de la UNMSM, se dedica a la enseñanza universitaria de la física desde 1999, para estudiantes de ciencias e ingenierías. Esta versión digital es de libre uso, para estudiantes de ciencias e ingenierías. Lima Perú 2012
iii
Prefacio Los fenómenos de la naturaleza, desde siempre han causado el interés y la
necesidad de comprenderlos por el hombre, desde que esta presente en la tierra ha
buscado la forma de entenderlos y para ello ha creado técnicas y loas ha mejorado cada
vez más y más.
La observación del medio y la percepción a través de los sentidos ha llevado a
desarrollar posteriormente disciplinas como la astronomía y es a partir de allí, de la
percepción del movimiento, en la necesidad de interpretar como acontece , como se
desarrolla logra cuantificar esa realizada concreta que cada día observaba.
Así nace la mecánica como una disciplina para estudiar el movimiento de los
cuerpos, este estudio se lleva acabo desde varios puntos de vista, primero considerando
solamente el movimiento como tal, atendiendo a su trayectoria, luego se estudia el
movimiento atendiendo a la causa y los efectos que se producen y para ellos la
mecánica se ha clasificado convenientemente para abarcar lo necesario y suficiente para
entender el como y porque del movimiento mecánico.
Lima, Agosto del 2012
Marco A. Merma Jara [email protected]
iv
Contenido
Pág. Carátula .................................................................................. i
Prefacio ................................................................................... iii
Capitulo 1 Física y Mediciones ................................................................ 1-7
Capítulo 2 Vectores .................................................................................. 1-12
Capítulo 3 Cinemática .............................................................................. 1-22
Capítulo 4 Estática ................................................................................... 1-13
Capítulo 5 Dinámica ................................................................................. 1-21
Capítulo 6 Trabajo y Energía .................................................................. 1-12
Capítulo 7 Impulso y Momento Lineal ................................................... 1-10
Capítulo 8 Movimiento de Cuerpos Rígidos .......................................... 1-15
Capítulo 9 Gravitación ............................................................................. 1-9
Apéndices
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
Capítulo 1
Física y Mediciones 1. Introducción
La física es una ciencia exacta que trata sobre la naturaleza de las cosas, para ello la
física utiliza el método científico. La física así como la ciencias esta dentro del
paradigma del positivismo científico
El positivismo es una corriente o escuela filosófica que afirma que el único
conocimiento auténtico es el conocimiento científico, y que tal conocimiento solamente
puede surgir de la afirmación de las teorías a través del método científico.
2. El Objetivo de la Física
El objetivo de la física es la de explicar la naturaleza de las física hacienda uso del
método científico
3. Método Científico
El método científico fue enunciado por primera vez por Francis Bacon. Los pasos
sintetizados del método científico, para encontrar la solución a los objetivos que busca
ae pueden sintetizar en tres pasos
4. Física y Otras Disciplinas Científicas
La física con la biología da origen a la biofísica, física y geología resulta la disciplina
de la geofísica
Física y Sociedad
La física como disciplina científica tiene una gran responsabilidad frente a la sociedad,
desde que
Física y Tecnología
Los avances de la tecnología tiene que ver directamente con el desarrollo de la física.
Observación Experimentación Ley Física
Física y Mediciones FISICA I Marco A. Merma Jara
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Clasificación de la Física
La física a través de la historia de la ciencias se ha ido clasificando de acuerdo al
desarrollo de las disciplinas
• Mecánica • Ondas • Acústica • Termodinámica • Electricidad y Magnetismo • Óptica • Física Nuclear • Física Moderna: física relativista, física cuantica
5. Sistema de Unidades
Sistema Internacional de Unidades
En al década de los 60s la comunidad científica se reúnen y acuerdan uniformizar las
unidades de medida y conviene crear el sistema internacional de unidades.
Este sistema es arbitrario y lo adoptan las comunidades, países, regiones, naciones que
deseen hacer uso de ella.
Magnitudes Fundamentales en el Sistema Internacional de Unidades
Las magnitudes fundamentales del sistema internacional de unidades son siete y dos
magnitudes complementarias.
Tabla 1. Sistema Internacional de Unidades
Magnitud Unidad Símbolo
Longitud Metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo s
Cantidad de materia Mol mol
Temperatura absoluta Kelvin K Intensidad luminosa Candela cd
Intensidad de corriente eléctrica Ampere A
Magnitudes Complementarias en el sistema Internacional de Unidades
Para el sistema internacional de unidades las magnitudes complementarias se muestran
en la tabla 2
Tabla 2. magnitudes Complementarias SI
Magnitud Unidad Símbolo Angulo plano Radian rad Angulo sólido Estereorradián srad
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Sistema Ingles de Unidades
Tabla 3. Sistema Ingles de Unidades
Magnitud Unidad Símbolo Longitud Pies ft Fuerza Libra lb tiempo Segundo s
Nota
El símbolo de la unidad de longitud es en el sistema ingles, sin embargo en este texto
utilizaremos la versión traducida al español piesfeetft ==
Factor de Conversión
Para realizar las conversiones de unidades entre sistemas diferentes usamos el factor de
conversión, un método sencillo y fácil de utiliza, es necesario conocer las equivalencias
entre las magnitudes de los sistemas en los cuales se des hacer la conversión.
Longitud Masa 1 pie = 12 pulg 1Kg = 1000g 1 pulg = 2,54 cm 1 yarda = ¿??? Cm 1 milla = 1609 m
6. Mediciones
Medir es compara dos magnitudes, una desconocida y otra conocida y tomando como
referencia, como patrón.
Cifras Significativas
El valor numérico que se obtiene en las mediciones directas es leído muchas veces en
un instrumento analógico en el que aparecen una o varias escalas.
Al expresar la lectura solo se debe reportar aquellas cifras que pueden leerse
directamente en la escala respectiva del instrumento.
Cada uno de los dígitos que se obtiene de la medición se denominan cifras
significativas, estas están integradas por aquellas cifras de las que se esta seguro
Cifra estimada
Física y Mediciones FISICA I Marco A. Merma Jara
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Si es que un extremo de una longitud por ejemplo, de un objeto medido queda entre dos
divisiones y la distancia entre ambas es lo suficientemente amplia para que el operador
la pueda apreciar.
Mediciones y Errores
Error en la Medición
Cuando se realiza una medición en el laboratorio, las mediciones están afectadas por
fluctuaciones que llevan a obtener registros que pueden diferir uno del otro aun si se
realiza una misma medición para un mismo objeto por ejemplo longitud.
Nota.
El error se refiere en el sentido estadístico. Por otro lado algunos autores o comunidades
de científicos prefieren usar la denominación de incertidumbre en ves de error.
Mediciones directas
Son aquellas que se obtiene mediante el uso de instrumentos de medida creados para tal
fin
Ejemplo 1
En un experimento utilizando una regla graduada en mm se mide la longitud del
diámetro de una placa circular y se obtienen los datos mostrados en la tabla 4
Tabla 4 Medida (mm) Diámetro 2.34
Mediciones indirectas
Son aquellas que se obtiene a partir de mediciones directas haciendo usgo de formulas
matemáticas.
Ejemplo 2
De la tabla 4 el área de la placa circular a partir de la fórmula 2)4/( DA π=
Propagación de los errores en las mediciones
Si la magnitud z viene determinada por la medida de varias magnitudes ,,, rqp ... con
la que está ligada por una función ...),,( rqpfz = . Entonces el error de la magnitud z
viene dado por la siguiente expresión.
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...r
f
q
f
p
frqpz +��
���
� >∂∂<+��
�
����
�>
∂∂<+��
�
����
�>
∂∂<=
222
σσσσ
Los casos más frecuentes se presentan en la suma, resta, multiplicación y división.
Error en la Suma
22yxzyxz σσσ +=+=
Error en la Resta
22yxzyxz σσσ +=−=
Error en el Producto
22
���
����
�+�
�
���
�==yxz
xyz yxzσσσ
Error en la División
22
���
����
�+�
�
���
�==yxzy
xz yxz
σσσ
Error en la potencia
2
22
2
���
����
�+�
�
���
�==y
mx
nz
yxz yzzmn σσσ
7. Análisis Dimensional
Dimensiones de la longitud
Tabla 5 Magnitud Dimensión longitud L Masa M Tiempo T
Principio de homogeneidad
Este principio establece que las operaciones entre magnitudes se deben llevar a cabo
entre sus iguales, es decir si se suma longitudes lo que se adiciona debe ser de la misma
naturaleza
Suma
LLLLL =++++ ,,.....
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Producto
nTTTT =))....((
Donde n es el numero de veces que se esta presente la magnitud T
División
1−= LTT
L
Es aplicable la regla algebraica de las potencias.
Cantidades Adimensionales
Las constantes, números, funciones trascendentales, logaritmos, funciones
trigonométricas son adimensionales
Ejemplo
La funcion trigonométrica seno de un ángulo y el valor del logaritmo de un nuecero
real, ambos al aplicarse a magnitudes físicas son adimensionales
1)]30([ =osen
1][log =x
Ejemplo
La magnitud de la velocidad angular se expresa en rad/s, si la magnitud es
srad /20=ω esto es equivalente a escribir )/1(20 s=ω , ya que la dimensión del
radian es la unidad.
8. Ejercicios
1. Si el valor de la velocidad de un móvil es de 40 km/h expresar esta rapidez en el sistema inglés de unidades.
2. Si la medida del largo L y ancho D de una placa rectangular fueron realizados utilizando un instrumento de precisión, determinar el área de la placa correctamente expresada.
3. Las medida directa del largo de un cuaderno fue de 17.20 cm., entonces determine el error de la medición y diga entre que valores fluctúa el valor de la medición?
9. Problemas Propuestos
1. Si la medida para el diámetro de una moneda se obtuvo 2.8 cm. (a) Determine el error en la medición, (b) establecer entre que valores se encuentra el valor verdadero del diámetro de la moneda, (c) encuentre el valor del área de la cara de la moneda y expresarlo correctamente.
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2. Una regla graduada en milímetros es empleada para medir el largo de un lápiz. Si el valor obtenido es de 12.4 cm. a) ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta en la medición? b) ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa?
3. ¿Cuál es la distancia más pequeña que puede ser medida por una regla de 30 cm graduada en milímetros para que la incertidumbre porcentual sea igual al uno por ciento?
4. En un experimento para medir la aceleración de la gravedad se empleó un péndulo. Si el período se midió con una incertidumbre porcentual del 3% y la longitud del péndulo con un 4%. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual del valor medido de g?
10. Referencias
1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Pearson, México, 1999
2. Introducción a la Metodología Experimental, 2da edición, Gutierrez Aranceta, Limusa, México 1999
Marco A. Merma Jara - 1 - Notas de Aulas
CCaappííttuulloo 22
VVeeccttoorreess
1. Introducción
Un vector es un elemento de las matemáticas que se caracteriza porque tiene propieda-
des fundamentales, magnitud, dirección y sentido. Un vector se puede representar en
forma geométrica o analítica..
En física los vectores son asociados a magnitudes que requieren de sus propiedades, así
la velocidad, aceleración, fuerza, impulso, momento lineal, etc., son magnitudes físicas
que están asociados con vectores.
2. Representación de un vector
Un vector se puede representar mediante coordenadas en el espacio o también en forma
geométrica, los vectores son muy útiles en física porque tienen propiedades que repre-
sentan perfectamente una magnitud física.
2.1.Representación Analítica
Si tenemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen en O, y P es un punto de
coordenadas. Un vector esta representado por las coordenadas ( 0, 0, 0)x y z− − − donde
(0,0,0)son las coordenadas del origen..
También este vector se puede escribir por
Fig. 2.1 Representación analítica
( , , ) (0,0,0)OP P O x y z= − = −����
(2.1)
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Se representa por medio de una terna de puntos asociado a un sistema de coordenadas
cartesianas.
2.2.Representación Geométrica
Se representa por medio de un segmento de recta orientado y usualmente se le asocia
una letra para identificarlo, la letra asignada esta adornado con una flecha en la parte
superior, A�
y se lee vector A, como se ilustra en la figura 1.1
Fig. 2.2. Representación geométrica de un vector
El tamaño del segmento de recta esta asociado con la magnitud del vector, esta relacionado en
forma proporcional, es decir si el segmento es grande la magnitud lo es y si es pequeña también
la magnitud física lo es.
La magnitud del vector se representa por medio de la letra solamente, así A es la magnitud del
vector
3. Módulo de un vector
Si x y zA=(A ,A ,A )�
es un vector en el espacio, el módulo del vector se determina por la siguien-
te relación
2 2 2x y zA= A +A +A (2.2)
4. Vectores unitarios
Se denominan así a aquellos vectores cuya magnitud es siempre la unidad. Se acostum-
bra a representar letras acompañadas de un símbolo como cabeza (circunflejo) por
ejemplo wvu ˆ,ˆ,ˆ , etc.
Si x y zA=(A ,A ,A )�
es un vector, el vector unitario se define de la siguiente forma
A
ˆAAu =�
(2.3)
Aquí la magnitud es A Aˆu = u 1= , es siempre la unidad.
Vectores FISICA I Marco A. Merma Jara
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Observaciones
- EL vector unitario da la dirección del segmento de reta orientado.
- Siempre esta en la misma dirección del vector que lo contiene
- Un vector unitario sirve para dar dirección
Consecuencia
Todo vector se puede expresar en función de su vector unitario, y su magnitud así
AˆA = A u�
(2.4)
4.1.Vectores unitarios cartesianos
Si consideramos un sistema cartesiano como el que se ilustra en la figura 2.3, se asocian
en las direcciones de los ejes , ,x y z los vectores unitarios cartesiano ˆˆ ˆi,j,k respectiva-
mente.
Fig. 2.3 Vectores unitarios cartesiano i,j,k
5. Componente de un vector
Consideremos un vector en dos dimensiones, como se ilustra en la figura 2.3. Las com-
ponentes de un vector se obtienen haciendo una proyección del vector sobre los ejes x e
y así la componente de un vector siempre será un número y representa una longitud de
un segmento proyectado por el vector.
Fig. 2.4. Componentes de un vector
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xA es la componente del vector A en el eje x
yA es la componente del vector A en el eje y
xA A cos�= (2.5)
yA Asen�= (2.6)
6. Vectores Componentes
Para obtener los vectores componentes, es necesario orientar a las componentes del vec-
tor así, si las componentes del vector A son xA y yA los vectores componentes serán,
xA�
, yA�
, en la figura 1.4 se ilustran los vectores componentes.
xˆA Acos� i=
� (2.7)
yˆA Acos� j=
� (2.8)
Fig. 2.5. Vectores componentes
7. Dirección de un Vector
La dirección de un vector en dos dimensiones, esta dado por el ángulo de inclinación
respecto del eje x+ , así en la figura 2.5 la función trigonométrica tangente dada por la
razón de las componentes en la vertical y la componente en la horizontal, permite el
cálculo del ángulo que determina la dirección del vector. y
x
Atg� =
A
Fig. 2.6. Dirección de un vector
Vectores FISICA I Marco A. Merma Jara
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y
x
A� = arc tg
A
� �� �� �
(2.9)
8. Expresión Cartesiana de un Vector
Un vector se puede representar en términos de los vectores unitarios cartesianos y las
componentes, entonces
x yA = A A+� � �
ˆ ˆA=Acos� i + Asen� j�
(2.10)
En general en tres dimensiones la expresión cartesiana esta dado por
x y zA = A A A+ +� � � �
9. Cosenos Directores
En tres dimensiones para dar la dirección de un vector se hace con respecto a los tres
ejes coordenados, es decir hay tres direcciones, este conjunto de direcciones está dado
por los cosenos directores.
Si x y zA = (A , A , A )�
Fig.2.7. Cosenos directores
Las componentes del vector A sobre cada uno de los ejes es
y
z
x
A =Acos
A =Acos
A =Acos�
βγ (2.11)
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De aquí los cosemos directores so
cos xA
Aα = , cos yA
Aβ = , cos zA
Aγ = (2.12)
Calculando la magnitud del vector A se tiene
2 2 2xA= A y zA A+ +
El vector unitario es
yx zA
AA AA ˆ ˆ ˆu = i + j + kA A A A
=�
La magnitud del vector unitario siempre es la unidad
22 2y2 x z
A
AA Aˆ|u | + +
A A A
� �� � � �= � �� � � �� � � �� �
De las ecuaciones (2.12) se desprende una propiedad de los cosenos directores
2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = (2.13)
10. Operaciones con Vectores
Las operaciones permitidas para los vectores son la suma en el caso de la representación
geométrica, es decir se pueden operar con vectores de manera geométrica
10.1.Suma y Resta Geométrica de Vectores
Si A�
y B�
son dos vectores que están representados en la figura, entonces si se desea
sumar estos se procede de la siguiente manera:
Método del Paralelogramo
Se trazan paralelas a los vectores, las suma es el vector que sale del punto de unión de
los vectores y llega al punto de unión de las paralelas que se han trazado., en la figura 7
el vector resultante es R A B= +�� �
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Fig. 2.8 Suma de vectores por el método del paralelogramo
De la ley de cosenos, el módulo de la resultante está dado por
2 2 2 cosR A B AB θ= + + (2.14)
Método del Polígono
Si A�
, B�
y C�
son vectores de direcciones arbitrarias, el vector suma se obtiene de la
unión de los vectores, colocando uno a continuación del otro manteniendo su dirección.,
el vector resultante es el vector que une el punto de partida del primer vector con el pun-
to de llegada del ultimo vector que forma un polígono, el vector suma o resultante cierra
el polígono, en la figura 1.8 l, la resultante es R A B C= + +� �� �
Fig. 2.9. Suma de vectores por el método del polígono
Negativo de un Vector
Si A�
es un vector entonces existe un vector A−�
tal que la suma de los vectores es el
vector nulo, es decir ( ) 0A A+ − =� � �
. La resta de vectores, es la suma con el vector
opuesto.
Geométricamente el vector A−�
es opuesto al vector A�
, en la misma dirección.
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Fig. 2.10. Resta de vectores por el método del polígono
10.2.Suma y Resta Analítica de Vectores
Suma y Resta por Componentes
Si ˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +
� y ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k= + +�
, si S�
es el vector suma y D�
es el vector
resta, entonces
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zS A B i A B j A B k= + + + + +�
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zD A B i A B j A B k= − + − + −�
10.3.Producto de Vectores
El producto de vectores se da de dos formas, uno es conocido como producto escalar y
el resultado siempre es un número (escalar) y otro es el producto vectorial y el resultado
siempre es otro vector.
Producto Escalar o Interno
Dados dos vectores A, B su producto escalar o interno se define como el producto de
sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es
A B cosAB θ⋅ =� �
, con 0 θ π≤ ≤ (2.15)
Geométricamente, el producto escalar de dos vectores, da la contribución de un vector
sobre el otro.
Propiedades del Producto Escalar
Si A, B y C� ��
son vectores y m un escalar, entonces se cumplen
A B B A⋅ = ⋅� �� �
( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � �� �
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bm m m m⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅� � � �� � � �
m es escalar
Vectores FISICA I Marco A. Merma Jara
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1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii ; 0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji
22A A AA⋅ = =
� � �
A B 0⋅ =� �
, si son perpendiculares entre si
Producto Vectorial o Externo
Dados los vectores B,A��
, su producto vectorial o externo es otro vector BAC���
×= . El
módulo de A B×� �
es el producto de los módulos por el seno del ángulo θ que forman.
La dirección de C�
esta dado por el vector perpendicular al plano que forman A�
y B�
y
sus sentido es tal que ,A B y C� ��
forman un triedro, entonces
|A B| senAB θ× =� �
, con 0 θ π≤ ≤ (2.16)
Propiedades del Producto Vectorial
Si A, B y C� ��
son vectores y m un escalar, entonces se cumplen
ABBA����
×−=×
( )A B C A B A C× + = × + ×� � � � �� �
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bm m m m× = × = × = ×� � � �� � � �
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k 0× = × = × = ; jikikjkji ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ =×=×=×
ˆ ˆ ˆi j k
A B x y z
x y z
A A A
B B B
× =� �
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z x y x z z x x y y xi A B A B j A B A B k A B A B= − − − + −
Productos Triples
Por medio de los productos escalares y vectoriales de tres vectores , ,A B C� ��
se establecen
propiedades para mayor facilidad en las operaciones entre vectores, estas propiedades
Propiedades de los Productos Triples
( ) ( )A B C A B C⋅ ≠ ⋅� � � �� �
( ) ( ) ( )A B C B C A C A B⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×� � � � � �� � �
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( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = ⋅ − ⋅� � � � � �� � �
( ) ( ) ( )A B C A C B B C A× × = ⋅ − ⋅� � � � � �� � �
10.4.Sistemas de Vectores Recíprocos
Dados los sistemas de vectores a,b,c�� �
y a',b',c'�� �
estos se denominan recíprocos cuando se
cumples las siguientes condiciones
a a' b b ' c c ' 1⋅ = ⋅ = ⋅ =� �� � � �
a' b a' c b' a b' c c' a c' b 0⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =� � � �� � � � � � � �
Sin embargo la condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean recíprocos
es que:
b c
a'a b c
×=×
� ��
�� ��
(2.17)
c a
b'a b c
×=×
� ��
�� ��
(2.18)
a b
c'a b c
×=×
���
�� ��
(2.19)
Donde a b c 0⋅ × ≠�� �
10.5.Derivadas de Vectores
La derivada de un vector A�
respecto de un escalar, tal como el tiempo t, es el límite al
cual tiende el cociente entre el incremento de dA�
de A�
y el incremento correspondiente
dt de t, al tender a cero dt entonces se escribe
0lím t
dA A
dt t∆ →∆=∆
� �
(2.20)
Reglas de Derivadas para Vectores
Las reglas de la derivada apara los vectores son similares al de las reglas para los núme-
ros reales.
Si A�
y B�
son dos vectores, es decir funciones vectoriales que dependen del tiempo,
entonces
( )d A B dB dA
A Bdt dt dt
× = × + ×� �� �
� �
Si α es un escalar
Vectores FISICA I Marco A. Merma Jara
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( )d A dA
dt dt
α α=� �
11. Ejercicios
1. Demostrar que el producto escalar es conmutativo
12. Problemas
Problema 11.1 Demostrar que el producto de dos vectores en forma escalar es conmu-
tativa (a) Analíticamente, (b) En forma Geométrica.
Problema 11.2 Demostrar que el producto vectorial de dos vectores A�
y B�
no es con-
mutativa. (a) Analíticamente, (b) Geométricamente.
Problema 11.3 Demostrar que el vector resultante de dos vectores A�
y B�
tiene por
magnitud (módulo) R , dado por la expresión 2 2 2 cosR A B AB θ= + + , donde θ es el
ángulo que forman los vectores A�
y B�
Problema 11.4 Si A�
y B�
son dos vectores, entonces muestre que cuando son perpendi-
culares entones 0A B• =� �
Problema 11.5 Si A�
y B�
son dos vectores Mostrar que el producto vectorial se puede
escribir según ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z x y x z z x x y y xA B i A B A B j A B A B k A B A B× = − − − + −� �
, donde
( , , )x y zA A A y ( , , )x y zB B B son las coordenadas de los vectores A y B respectivamente.,
ˆˆ ˆ, ,i j k son los vectores unitarios cartesianos.
Problema 11.6 Un punto P(x,y) está en el plano xy , el vector ˆ ˆr xi yj= +� esta dirigido
radialmente o sea a partir del origen, describa su desplazamiento con respecto a dicho
punto. Halle un vector i de magnitud unitaria en la dirección del vector de desplaza-
miento r�
del punto P, como se ilustra en la figura.
Fig. 211
( , )P x y
i θ
Y
)θ
r�
ˆri
X
Marco A. Merma Jara FISICA I Vectores
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Problema 11.7 Demuestre que son paralelos los vectores ˆˆ ˆ3 2A i j k= − +�
y
ˆˆ ˆ4 12 8B i j k= − + −�
.Escribir la torsión en un punto t=0 de la cuerva
Problema 11.8 Un barco viaja 30 Km. hacia el norte, luego 40 Km. hacia el oeste, de-
termine el desplazamiento del barco durante este recorrido.
13. Referencias
[1] Análisis Vectorial, Teoría y 480 problemas resueltos, Murray R. Spiegel, McGraw-Hill, México 1970
[2] Análisis Vectorial, M. I. Krasnov, A. I. Kiseliov, G.I. Makarenko, Editorial MIR, Moscú 1981
[3] Estática, J. L. Meriam, Editorial Reverté S. A., Barcelona 1982 [4] Fundamentos de la Teoría Electromagnética, Reitz, Milford, Christy, Addison Wes-
ley Iberoamericana, Wilmington Delaware, E.U.A, 1986 [5] Física Para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1, Jhon P. McKelvey, Howard Grotch, Pri-
mera Edición, Harla, México, 1980.
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
CCaappííttuulloo 33
CCiinneemmááttiiccaa 1. Introducción
Es conveniente describir el movimiento en una dimensión en términos de espacio y
tiempo sin considerar las causas que lo originan, esta parte de la mecánica recibe el
nombre de cinemática.
A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa el
cambio continuo de la posición de un objeto. La física estudia tres tipos de movimien-
tos: traslacional, rotacional y vibratorio. En la mayoría de las situaciones los objetos se
pueden considerar como partículas, lo que matemáticamente se define como un punto
sin tamaño, desde luego no se aplica para todos los casos, pero es totalmente válido
asumir un objeto como partícula, esto es un sistema idealizado que representa muy bien
el fenómeno real para los fines de estudio del movimiento a nivel básico.
2. Movimiento en una Dimensión
Consideremos una partícula que esta confinada a moverse a lo largo el eje x, con rapi-
dez v hacia el lado derecho en la dirección x+ .
Fig. 3.1 Partícula confinada a moverse en una dimensión, a lo largo del eje x
3. Desplazamiento, Velocidad, Rapidez Promedio
El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se
conoce en todo momento.
Consideremos una partícula que se mueve a lo largo del eje x positivo desde el punto A
hasta el punto B . En el punto A la posición es 1x y el tiempo es 1t y en el punto B la
posición es 2x y el tiempo es 2t . Como se ilustra en la figura 3.2
Cuando la partícula se mueve desde el punto A hasta el punto B se define el despla-
zamiento como 12 xxx −≡∆ . Además sea 12 ttt −=∆
2 1x x x∆ ≡ − (3.1)
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2 1t t t∆ ≡ − (3.2)
Fig. 3.2 Movimiento en una dimensión
El desplazamiento 12 xxx −≡∆ , es positivo si 21 xx > , y es negativo si 21 xx <
3.1 Velocidad Media v< >�
La velocidad media se define como el cambio de la posición en un intervalo de tiempo,
es decir
2 1
2 1
ˆ ˆx xxv i i
t t t
−∆< >= =∆ −
�
(3.3)
Las dimensiones de la velocidad son [ ] 1v LT−= , en el sistema internacional 1−ms , en el
sistema británico spies/
Observaciones
• El desplazamiento no debe confundirse con la distancia recorrida ya que este es
diferente de cero para cualquier tipo de movimiento.
• La pendiente de la gráfica tx − físicamente representa la velocidad media
3.2 Velocidad Instantánea v�
Cuando el intervalo de tiempo transcurrido es muy pequeño, la razón de cambio del
espacio en el tiempo, se conoce con el nombre de velocidad instantánea
La expresión se escribe así
2 10 0 0
2 1
ˆ ˆ ˆt t t
x xx dxv lím v lím i lím i i
t t t dt∆ → ∆ → ∆ →−∆= < >= = =
∆ −� �
(3.4)
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4. Aceleración Media
Para saber si el cambio de la posición de un cuerpo en el tiempo fue rápido o lento se
define una cantidad física vectorial denominado aceleración media, que indica la razón
de cambio de la razón de cambio de posición en el tiempo.
2 1
2 1
ˆ ˆv vva i i
t t t
−∆< >= =∆ −
�
(3.5)
5. Aceleración Instantánea a�
Cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño, entonces estamos hablando de una
razón de cambio instantáneo, se define la aceleración instantánea.
2 10 0 0
2 1
ˆ ˆ ˆt t t
v vv dva lím a lím i lím i i
t t t dt∆ → ∆ → ∆ →−∆= < >= = =
∆ −� �
(3.6)
6. Ecuaciones del movimiento
Considerando que la partícula esta confinada a moverse a lo largo del eje +x. Conside-
rando el cálculo diferencial hallaremos las ecuaciones del movimiento, para cualquier
instante del tiempo.
6.1 Posición
De la ecuación (3.4) se tiene
ˆdxv i
dt=�
Considerando que la partícula inicia su movimiento e el instante 0ot = , con rapidez
inicial
0ov ≠ , entonces tenemos
dx vdt=� �
Del cálculo integral se tiene
0 0
f fx v
x v
d x v dt=� �� �
De aquí se halla la expresión de la posición de la partícula para cualquier instante del
tiempo t
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0
0
fv
f
v
x x v dt= + �� � �
(3.7)
6.2 Velocidad en términos del tiempo
De la ecuación (3.6) se tiene
ˆdva i
dt=�
De aquí podemos escribir
dv adt=� �
Del cálculo diferencial e integral se tiene
0 0
f fv t
v t
d v a dt=� �� �
Evaluando la expresión se obtiene finalmente
0
0
ft
f
t
v v a dt= + �� � �
(3.8)
6.3 Velocidad en términos de la posición
De la ecuación (3.6) por la regla de la cadena del cálculo diferencial se puede escribir
así
ˆdv dxa i
dt dx=�
De aquí la relación de dx
vdt
= , sustituyendo queda ˆvdva i
dt=� , preparando para el calcu-
lo integral
0 0
ˆf fv t
v t
vdv i a dt=� ��
Finalmente
0
2 20
ˆ ˆ 2fx
f
x
v i v i a dx= + ��
(3.9)
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7. Movimiento Unidimensional con velocidad constante
Un caso particular del movimiento unidimensional es aquel que se realiza con velocidad
constante, es decir la elucida siempre mantiene constante un valor y una dirección. En
ese caso a lo largo de l eje +x
Entonces considerando que la velocidad sea constante. En la ecuación (3.7), se tiene
0
0
ft
f
t
x x v dt= + �� � �
Evaluando la integral queda finalmente
0 0( )f fx x v t t= + −� � �
(3.10)
Esta es la única ecuación para este caso. Lo cual lleva conclusiones interesantes párale
movimiento.
La posición de la partícula es directamente proporcional con el tiempo. Entonces
• Para trayectorias recorridas de la misma longitud, los tiempos empleados son los
mismos
8. Movimiento Unidimensional con Aceleración constante
Otro caso del movimiento unidimensional, es cuando se da que la aceleración tiene un
valor constante durante el recorrido.
Las ecuaciones par este tipo de movimiento en esencia son las mismas ecuaciones gene-
rales halladas con la particularidad que el valor de la aceleración es constante
8.1 Velocidad en términos del tiempo
De la ecuación (3.8) entonces se puede escribir
0
0
ft
f
t
v v a dt= + �� � �
De aquí se tiene
0 0( )f fv v a t t= + −� � �
(3.11)
8.2 Velocidad en términos de la posición
De la ecuación (3.9) se tiene
0
2 20
ˆ ˆ 2fx
f
x
v i v i a dx= + ��
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De donde escribimos finalmente
2 2
0 0ˆ ˆ 2 ( )f fv i v i a x x= + −�
(3.12)
8.3 Posición para cualquier instante del tiempo
De la ecuación (3.7) y la ecuación (3.11) sustituyendo, da
0
0 0 0( )fv
f f
v
x x v a t t dt� �= + + −� ��� � � �
Evaluando se tiene
20 0 0 0
1( ) ( )
2f f fx x v t t a t t= + − + −� � � �
(3.13)
8.4 Velocidad media y velocidad promedio
De las razón de las ecuaciones (3.11) y (3.12) se tiene
2 20 0
0 0
( ) ( )ˆ 2( )
f f
f f
v v x xi a
v v a t t
− −=
− −��
Finalmente, ordenando
0 0
0
( ) ( )
( ) 2f f
f
x x v v
t t
− +=
− (3.14)
En este caso la velocidad media coincide con el promedio aritméticos de las velocidad
es, denominado velocidad promedio. Esto es valido solo si la aceleración es constate.
9. Carácter vectorial de la aceleración
La aceleración como razón del cambio de la velocidad en el tiempo puede cambiar de
signo o lo que es lo mismo decir de orientación. Consideremos la partícula confinada a
moverse en la dirección del eje x+
9.1 Movimiento Acelerado
En el instante inicial la velocidad es 0v�
y en el instante final la velocidad es fv�
, conside-
remos que 0fv v>
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Fig. 3.3
Analizando el cambio del vector velocidad
Fig. 3.4
El cambio de la velocidad esta dirigido hacia la derecha, por lo que la razón de cambio
va
t
∆=∆
��
esta dirigido hacia la dirección positiva del eje x
En este caso se dice que el sistema esta acelerado
9.2 Movimiento Desacelerado
En el instante inicial la velocidad es 0v�
y en el instante final la velocidad es fv�
, conside-
remos que 0fv v<
Fig. 3.5
Analizando el cambio de velocidad
Fig. 3.6
Se dice que el movimiento es desacelerado o retardado, también se usa la palabra “dece-
lerado”.
10. Movimiento de Caída libre
Un caso especial de movimiento unidimensional con aclaración constante, es cuando la
el valor de la aceleración es igual al valor de la aceleración de la gravedad, es decir
29.81 /a g m s= =
v∆�0v�
fv�
0v�
fv�
x+
0v�
fv�
x+
v∆�fv�
0v�
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La gravedad cambia con la altura respecto del nivel de referencia, pero en este caso se
considera el valor estándar así mismo se desprecia la resistencia del aire, para el movi-
miento de cuerpo en caída libre.
Consideremos un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura H, con
velocidad inicial de valor 0v , como se ilustra en la figura
Fig. 3.7
Si y es una posición cualquiera para la partícula que se lanza, entonces esta se puede
determinar por la ecuación (3.13)
20 0
1
2y y v t gt= + −
Cuando la partícula ha llegado al piso en el punto B el tiempo transcurrido es el tiempo
total que demoró la caída.
Entonces cuando y H= − , el tiempo es ABt t= que representa el tiempo que la partícula
estuvo en el aire.
Entonces
20
10
2AB ABH v t gt− = + −
De aquí
20
10
2 AB ABgt v t H− − =
La solución es 2
0 0 2AB
v v gHt
g
± +=
0v
(0 , 0 )
fv
B
ˆ( )g g j= −�
H
A
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Se considera solo el valor positivo para el tiempo, físicamente el tiempo con valor nega-
tivo no tiene sentido.
10.1 Altura Máxima
La partícula, cuando alianza siempre una posición vertical respecto del piso, donde se
detiene y luego retorna verticalmente.
Para determinar el valor del máximo valor de la posición y , usaremos el criterio de
máximos y mininos para funciones., puesto que ( )y y t=
Entonces
20 0
1
2y y v t gt= + −
Calculando la primera derivada e igualando a cero
0 0dy
v gtdt
= − =
Se halla el valor crítico, el cual puede hacer máximo a la función ( )y y t=
0vt
g=
Calculando la segunda derivada, para decidir si es máximo (o mínimo)
2
20
d yg
dt= − <
El hecho que la segunda derivada sea menor que cero, indica que el valor critico para t
hace máximo a la función ( )y y t=
Sustituyendo el valor critico pata t en la ecuación de la posición, con 0 0y = y
0CRITICO
vt t
g= =
. 2
0 00
1
2MAX
v vy v g
g g
� � � �= −� �
A B A B
Finalmente da
20
2MAX
vy
g=
11. Movimiento en Dos Dimensiones
El movimiento en dos dimensiones esta dado por la composición de los movimientos de
cada una de las dimensiones
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La curva en le espacio bidimensional si representa la trayectoria seguida por el cuerpo.
En la figura se considera dos instantes, uno en le punto A y otro en le punto B.
Fig.3.8
11.1 Vector posición y desplazamiento
ˆ ˆr xi yj= +�
(3.15)
El vector desplazamiento es
B Ar r r∆ = −� � �
11.2 Velocidad Media y Velocidad Instantánea en 2D
rv
t
∆< >=∆
��
(3.16)
ˆ ˆr x yv i j
t t t
∆ ∆ ∆< >= = +∆ ∆ ∆
��
Cuando 0t∆ → se tiene la velocidad instantánea
0 0t t
r drv lím v lím
t dt∆ → ∆ →∆= < >= =∆
� �� �
X
Y
0
r∆�
B
Ar�
Br�
A
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11.3 Aceleración Media e Instantánea en 2D
va
t
∆< >=∆
��
(3.17)
ˆ ˆyxvvv
a i jt t t
∆∆∆< >= = +∆ ∆ ∆
��
Cuando 0t∆ → se tiene la aceleración instantánea
0 0t t
v dva lím a lím
t dt∆ → ∆ →∆= < >= =∆
� �� �
11.4 Ecuación de la trayectoria
Para determinar la ecuación de la trayectoria en 2 dimensiones usualmente se debe co-
noce las funciones de la posición con el tiempo así, ( )x x t= y ( )y y t=
Ejemplo
Si 3 1x t= + y 2 3y t= + , entonces de ambas relaciones se puede escribir la ecuación de
la trayectoria quedando una relación ( )y y x=
1
2( ) 33
xy
−= +
Es la ecuación e la trayectoria de la partícula
12. Movimiento de Proyectiles
Consideremos un cuerpo que es lanzado desde e punto 0 con velocidad vo con un ángu-
lo θ respecto del eje X+ .
Fig. 3.9 movimiento de proyectiles
)θ
Y
X
ˆ( )g g j= −�
0v�
0xv�
0xv�
0xv�
0xv�
0xv�
0yv�
0yv�
0yv�
0yv�
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La velocidad de lanzamiento en términos de sus vectores componentes se puede escribir
0 0 0x yv v v= +� � �
0 0 0ˆ ˆcosv v i v sen jθ θ= +�
Movimiento horizontal
Se realiza con velocidad constate, tal que en todo instante del tiempo la posición esta
dada por
0( cos )x v tθ= (3.18)
Movimiento Vertical
En cualquier instante del tiempo la posición de la partícula esta dada por la ecuación
20
1( s )
2y v en t gtθ= −
(3.19)
De las ecuaciones (3.18) y (3.19)se halla la ecuación de la trayectoria y esta dada por
2
2 20
1
2 cos
xy xtg g
vθ
θ= −
(3.20)
13. Movimiento Curvilíneo
El movimiento más general es aquel que describe una trayectoria curvilínea arbitraria.
Fig. 3.10 Movimiento curvilíneo
Aquí ,N T son los ejes perpendiculares móviles, normal y tangencial respectivamente,
ρ es el radio de curvatura, C es el centro de curvatura, v�
es la velocidad lineal en un
ínstate del tiempo como se ilustra en la figura.
X
Y
C
ρ
ρ
v�
N
T
ds
dθ
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En cualquier instante del tiempo se puede escribir para la velocidad lineal
ˆTv vu=� (3.21)
Si ˆ ˆ,N Tu u son vectores unitarios en las direcciones de los ejes Normal y Tangencial, ˆ ˆ,i j
vectores unitarios cartesianos en los ejes x e y respectivamente.
La aceleración de la partícula para cualquier instante del tiempo estará dado por
ˆ( )Td vudv
adt dt
= =��
�
Aquí la velocidad lineal no es constante, así mismo el vector unitario Tu también no es
constante, ambos varían conforme el tiempo transcurre. Por lo tanto
ˆˆTT
du dva v u
dt dt= +
�� �
(3.22)
Si ds es la longitud del camino recorrido en el tiempo. Entonces el espacio ds se puede
expresar
ds dρ θ=
En el intervalo de tiempo ds, escribimos
ds d
dt dt
θρ=
v d
dt
θρ
= (3.23)
Por otro lado el vector unitario tangencial y normal se puede expresar en términos de los
vectores unitarios cartesianos ˆ ˆ,i j
Fig. 3.11 vectores unitarios tangencial y normal en términos de vectores unitarios cartesianos
ˆTu
j
i
)θ
j
i−
ˆNu
θ�
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ˆ ˆˆ cos
ˆ ˆˆ cos
T
N
u i jsen
u isen j
θ θθ θ
= +
= − + (3.24)
Calculo de ˆTdu
dt
De las ecuaciones (3.24)se escribe
ˆ ˆ ˆ ˆ( cos )T
N
du d disen j u
dt dt dt
θ θθ θ= − + =
Entonces en la ecuación (3.22) se tiene
ˆ ˆN T
d dva v u u
dt dt
θ= +�
� �
De la ecuación (3.23) finalmente hallamos la expresión de la aceleración en el movi-
miento curvilíneo
2
ˆ ˆN T
v dva u u
dtρ= +�
(3.25)
El primer término se denomina aceleración centrípeta o normal y esta relacionado con el
cambio e dirección de la velocidad e le movimiento curvilíneo.
El segundo termino es la aceleración tangencial y esta relacionado con el cambio de la
magnitud de la velocidad en le movimiento curvilíneo.
13.1 Consecuencias
• Cuando ρ → ∞ la componente normal de la aceleración se hace nula quedando
solo la componente tangencial, el cual significa que el movimiento es totalmente
rectilíneo.
• Cuando C es fijo entonces el radio de curvaturaρ permanece constante, y se
genera un movimiento en trayectoria de circunferencia, denominado movimiento
circular, por el barrido del radio de curvatura.
13.2 Magnitud y dirección de la aceleración en el movimiento curvilíneo
Considerando las componentes de la aceleración en el movimiento curvilíneo, la magni-
tud esta se determina así
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2 2
T Na a a= +� � �
(3.26)
Y la dirección esta dado por
N
T
aarc tg
aθ
� �= �
A B (3.27)
Calculo de la magnitud de aceleración tangencial
De las ecuaciones (3.21) y (3.25) si realizamos el producto escalar de v�
ya�
se tiene
ˆ ˆ ˆ( )T T T N N Tv a vu a u a u va• = • + =� �
T
v aa
v
•=� �
�
Cálculo de la aceleración normal
De las ecuaciones (3.21) y (3.25) si realizamos el producto vectorial de v�
y a�
, se tiene
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )T T T N N N T Tv a vu a u a u va u u× = × + = ×� �
La magnitud entonces es
N
v aa
v
×=
� �
�
(3.28)
Calculo del radio de curvatura
De la ecuación (3.28) y la expresión de la aceleración normal
4
2
v
v aρ =
� �
(3.29)
Calculo del radio de curvatura a partir de la ecuación de trayectoria
Cuando se conoce la ecuación de la trayectoria, ( )y y x= , el radio de curvatura en cual-
quier punto de la trayectoria se puede determinar por
32 2
2
2
1dy
dx
d y
dx
ρ
� �� �+� � � A BA B=
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14. Movimiento Circular
Consideremos una partícula que describe una trayectoria circular, un observador esta en
el origen de coordenadas como se ilustra en la figura
Fig. 3.12. Movimiento circular
14.1 Velocidad Media e Instantánea Angulares
t
θω ∆< >=∆
0 0t t
dlím lím
t dt
θ θω ω∆ → ∆ →∆= < >= =∆ (3.30)
14.2 Aceleración Media e Instantánea angulares
t
ωα ∆< >=∆
0 0t t
dlím lím
t dt
ω ωα α∆ → ∆ →∆= < >= =∆ (3.31)
14.3 Relación entre velocidad y aceleración angular
2
2
d d d d
dt dt dt dt
ω θ θα � �= = =� A B (3.32)
r�
r�
,s∆
)θθ∆
X
Y
O
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14.4 Ecuaciones del movimiento circular
Posición angular
De la ecuación (3.30) se puede escribir
d dtθ ω=
0
0
ft
f
t
dtθ θ ω= + � (3.33)
Velocidad angular en términos del tiempo
De la ecuación (3.31) escribimos
d dtω α=
De donde se obtiene
0
0
ft
f
t
dtω ω α= + � (3.34)
Velocidad angular en términos del tiempo
La ecuación (3.31) y considerando que d
dt
θω = escribimos de la forma siguiente
d d d
dt d d
ω θ ωα ωθ θ
� �= =� A B
De donde
d dω ω α θ=
Realizando la integral se tiene
0
2 20 2
f
f dθ
θ
ω ω α θ= + � (3.35)
14.5 Movimiento Circular con velocidad angular constante
Cuando la velocidad angular es constante, en la ecuación (3.33)se tiene
0 0( )f ft tθ θ ω= + −
Aquí el barrido angular es directamente proporcional al tiempo transcurrido, lo cual
significa que para tiempos iguales los espacios angulares barridos siempre son los mis-
mos.
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14.6 Movimiento Circular con aceleración angular constante
Para el caso, cuando la aceleración angular sea constante, en la ecuación (3.34) se tiene
0 0( )f ft tω ω α= + − (3.36)
De la misma forma para la ecuación (3.35), con la aceleración angular constante halla-
mos que
2 2
0 02 ( )f fω ω α θ θ= + − (3.37)
De las ecuaciones (3.36) y (3.37)
0 0
0 2f f
ft t
ω ω θ θ− +=
− (3.38)
Esta relación solo es válida cunado la aceleración angular es constante.
De las ecuaciones (3.33) y (3.36) para hallar la posición angular se tiene
0
0 0 0( )ft
f f
t
t t dtθ θ ω α� �= + + −� ��
De donde finalmente se obtiene
20 0 0 0
1( ) ( )
2f f ft t t tθ θ ω α= + − + − (3.39)
15. Expresiones vectoriales para la velocidad y Aceleración angular
Si el espacio recorrido en trayectoria circular es dsy el ángulo barrido es dθ , y el radio
de giro r constante entonces la relación entre estas es
ds rdθ= (3.40)
Fig. 3.13. Velocidad y aceleración angulares, representación vectorial
X
) dθr ds
ω�α�
X
Y
Y
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La aceleración en este movimiento esta dado por la suma de las componentes normal y
tangencial y la velocidad tangencial esta dado por
ˆTv vu=�
Cuando el intervalo de tiempo es pequeño, en el límite la magnitud del la razón de cam-
bio del vector desplazamiento y la razón de cambio del espacio recorrido dsdan
0 0t t
r slím lím
t t∆ → ∆ →∆ ∆=∆ ∆
�
dr ds
dt dt=
De aquí
ds
vdt
=
De la ecuación (3.40)
d
v rdt
θ=
La velocidad angular es /ds dtω =
v r rω ω= = (3.41)
La aceleración angular es
dv da r r
dt dt
ω α= = =
a r rα α= = (3.42)
Considerando un observador en el origen de coordenadas
Velocidad angular
De la figura R rsenθ= , sustituyendo en la ecuación (3.41)
v R r senω ω θ= =
Es la magnitud del producto vectorial
v rω= ×�� �
(3.43)
Esta relación es valida solo si r y θ son constantes.
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Aceleración angular
De la ecuación (3.43) con ω� constante, la aceleración angular se obtiene así
( )dv d r dr
adt dt dt
ω ω×= = = ×�� � �
��
Finalmente
a vω= ×�� � (3.44)
Alternativamente se puede escribir
( )a rω ω= × ×� �� �
Si la velocidad angular no es constante, la aceleración angular se determina por
( )dv d r dr d
a rdt dt dt dt
ω ωω×= = = × + ×� �� � �
�� �
De la expresión alternativa de la velocidad
( )a r rω ω α= × × + ×� � �� � �
(3.45)
Fig. 3.14 vectores velocidad angular y aceleración angular
16. Movimiento Relativo
Cuando se tienen dos sistemas móviles y se desea medir la posición de uno de ellos con
respecto l otro, es preciso establecer algunas reglas para obtener dichas posiciones. Esto
constituye un movimiento relativo.
Consideremos el siguiente sistema donde e 0 hay un observador fijo, en A un observa-
dor móvil, y un evento en B, el cual se pretende medir desde A o desde B.
θ�r�
R�
0 X
Y
Z
v rω= ×�� �
a vω= ×�� �
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Fig. 3.15 Movimiento relativo
/ 0Ar�
Es la posición de A medido por 0
/ 0Br�
Es la posición de b medido por 0
/B Ar�
Es la posición de B medido por A, es una posición relativa. De la figura se puede
escribir para el vector
/A B A Br r r+ =� � �
De donde tenemos
/B A B Ar r r= −� � �
La velocidad relativa es
/B A B Av v v= −� � �
(3.46)
La aceleración relativa es
/B A B Aa a a= −� � �
(3.47)
De la figura se puede obtener que
/ /B A A Br r= −� �
Y como consecuencia de las ecuaciones (3.46) y (3.47)
/ /B A A Bv v= −� �
/ /B A A Ba a= −� �
17. Problemas
P17.1 Una partícula describe una trayectoria rectilínea horizontal y su velocidad se ex-
presa como it)t(v ˆ106 2 −= , donde t se expresa en segundos. Si la partícula se mueve hacia la izquierda cuando st 2= calcular (a) la aceleración de la partícula cuando st 2= (b) el desplazamiento de la partícula cuando se encuentra en el intervalo comprendido
X
Y´X
0´
0
´Y
Evento
Ar�
Br�
A
B
/B Ar�
Marco A. Merma Jara FISICA I Cinemática
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entre styt 31 == (c) la distancia total recorrida durante el intervalo comprendido entre styt 31 ==
P17.2 La magnitud de la aceleración de una partícula que se mueve sobre una línea re-
cta varía de acuerdo con la ecuación sa 12= donde a se expresa en metros por se-gundo por segundo y s es la distancia en metros entre el origen y la partícula. Cuando el tiempo es st 2= la partícula se encuentra a 16 m a la derecha del origen, su velocidad es de sm /32 dirigido hacia la derecha y su aceleración es de 248 sm / hacia la dere-cha. Calcular (a) la velocidad y aceleración cuando la partícula es localizada en st 3=
P17.3 La aceleración de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se expresa median-te la ecuación kva −= donde a se expresa en metros por segundo por segundo y v es la magnitud de la velocidad en metros por segundo y K es una constante. Cuanto 0=ot
la velocidad y posición de la partícula son respectivamente oo xv , Calcular (a) las ex-
presiones para la posición, velocidad y aceleración de la partícula en términos de t (b) si mxo 20= hacia la derecha y 120 −= sk . encuentre el valor de t cuando 0=x y los
valores correspondientes a la velocidad y la aceleración.
P17.4 La posición de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se define mediante la
ecuación 2ˆ 4sen 0 2r i ( . t)=� donde r y t se expresan en metros y segundos respectiva-mente. La cantidad 0.2 se expresa en radianes por segundo. Si se consideran positivos los desplazamientos hacia la derecha Calcular (a) la velocidad cuando 2t s= (b) la aceleración cuando 2t s= (c) el desplazamiento durante el intervalo 0 3t y t s= =
P17.5 La aceleración de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se calcula median-
te la ecuación ia vk ˆ=
�, donde a se expresa en metros por segundo por segundo, v es la
magnitud de la velocidad en metros por segundo k es una constante. La partícula se
encuentra en el origen cuando 0=t y su velocidad es iov calcular (a) la ecuación para
la posición en función del tiempo (b) cuales son las dimensiones de la constante k
P17.6 La velocidad de una partícula cuyo movimiento rectilíneo se expresa por
ikt)t(v ˆ−= 23�
donde v y t se expresan en metros por segundo y segundos respectiva-
mente. El vector de posición de la partícula en el origen es mix 8−=�
cuando 0=t y
ix ˆ16−=�
cuando st 4= Calcular (a) la aceleración de la partícula cuando st 2= (b) la distancia total recorrida por la partícula cuando se mueve en el intervalo de tiempo entre
st 1= y st 5=
18. Referencias
[1] Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Addisson Longman Lati-noamericana, Vol I, 9na Edición, Santafe de Bogotá, 1999.
[2] Física Para Ciencias e Ingeniería, Tomo I, Primera Edición, Jhon P. McKelvey, Howard Grotch, Harla, México, 1980.
[3] Ingeniería Mecánica, Dinámica, 7ma Edición, R. C. Hibbeler, Prentice-Hall Hispa-noamericana S. A., México 1996.
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
CCaappííttuulloo 44
EEssttááttiiccaa 1. Introducción
Cuando un cuerpo está quieto se dice que esta en equilibrio o estático, para interpretar
esa realidad en la mecánica se establecen condiciones de equilibrio, las cuales no dan a
entender como es que un cuerpo o un sistema puede conseguir el equilibrio mecánico.
El equilibrio mecánica es muy importante sobre todo en la ingeniería, en la construcción
de estructuras estables, como puentes, edificios, etc.
2. Fuerza
Toda interacción entre sistemas constituye una fuerza, esta fuerza puede aparecer como
producto del contacto o también aparece por la interacción a distancia, en la figura 4.1
se ilustran estas fuerzas.
Fig. 4.1 Fuerzas, a distancia y en contacto directo
Las fuerzas se presentan por contacto directo o a distancia.
2.1. Unidades de Medida
En el sistema internacional de Unidades la fuerza se mide en Newton (N)
2
KgmN
s=
En el sistema Ingles de unidades la fuerza se mide en libras
3. Primera ley de Newton
Establece que todo sistema en reposo o movimiento tiende a mantener su estado a no ser
que alguna fuerza externa desequilibre su estado actual.
F�
F�
F�
F�
línea de colisión
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 2 - http://mjfisica.blogspot.com
Fig. 4.2 Fuerzas sobre un cuerpo de masa m
Donde n es un entero
1
0n
ii
F=
=��
4. Tercera Ley de Newton
Toda fuerza que actúa sobre un sistema le corresponde otra fuerza de la misma magni-
tud de la misma dirección pero de sentido contrario.
Fig. 4.3 Fuerzas de acción y reacción
Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan sobre cuerpos diferentes.
Ejemplo Conceptual
Un televisor de peso P�
esta sobre una mesa, como se ilustra en la figura 4.4, y el dia-
grama de fuerzas se indica para la mesa y el televisor.
Si el peso del televisor e considerado como la fuerza de acción, entonces, esta es la ac-
ción de la atracción de la tierra sobre este, por tanto la fuerza de reacción debe ser la
fuerza de atracción del televisor hacia la tierra.
1v�
1v�
1m 2m
2/1F�
1/2F�
1F�
2F�
3F�
�nF�
4F�
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
http://mjfisica.blogspot.com - 3 - Notas de aula
Fig. 4.4 Fuerzas de Acción y Reacción
5. Composición de fuerzas
Si localizamos un conjunto de fuerzas 1 2F ,F , n,... F� � �
en el espacio, desde un sistema de
coordenadas con origen en O, estos vectores siempre serán posibles de expresar en
términos de los vectores unitarios cartesianos, como una combinación lineal de estos y
las magnitudes de los vectores que se puedan involucrar, es decir es posible hacer una
composición de estos, prestaremos atención a las fuerzas que actúan sobre un punto y a
las fuerza que se encuentran distribuidas
5.1. Fuerzas concurrentes
Denominaremos así a las fuerzas que están aplicados en un mismo punto, como se ilus-
tra en la figura 4.2, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial, obtenida de
acuerdo a las reglas para suma de vectores.
Fig.4.5 Sistema de fuerzas sobre un cuerpo
La resultante de las fuerzas es
1 2 nR F F F= + + +� � � �
�
Esto es
1
n
ii
R F=
=�� �
(4.1)
2F�
3F�
4F�
5F�
6F�nF
�
1F�
�
TvP�
/Mesa TvN�
/Tv MesaN�
MesaP�
1 /Piso TvR�
2 /Piso TvR�
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 4 - http://mjfisica.blogspot.com
Con 1,2,i n= � donde n es entero
5.2. Equilibrio de una partícula
Una partícula esta en equilibrio, cuando la suma vectorial de todas las fuerza que actúan
sobre ella es nula, es decir la resultante es cero o nulo.
1
0n
ii
R F=
= =�� �
(4.2)
Esta relación usualmente es conocida como la primera condición de equilibrio mecáni-
co.
Entonces en cada una de las componentes, la resultante para cada una de ellas también
es nula
1
1
1
0
0
0
n
x ixi
n
y iyi
n
z izi
R F
R F
R F
=
=
=
= =
= =
= =
�
�
�
� �
� �
� �
(4.3)
Consideremos una partícula como se ilustra en la figura 4.3, la cual esta estático, anali-
zando las fuerza que actúan sobre la partícula, en el equilibrio se establece que
0N T W+ + =� � �
Asociando un sistema de coordenadas cartesianas en el punto donde están actuando las
fuerzas, para determinar las componentes
Fig. 4.6. Partícula en equilibrio
La ecuaciones para cada una de las direcciones son
ˆ( ) 0
ˆ( cos ) 0
x
y
F T Wsen i
F N W j
θ
θ
= − =
= − =��
�
� (4.4)
)θ )θ
W
NT
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
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Fig. 4.7 Diagrama de fuerzas, en composición
5.3. Fuerzas Paralelas
Dado un conjunto de fuerzas, ,...FF 21 ++��
que tienen la condición de ser paralelas entre
sí, se denominan fuerzas no concurrentes. Consideremos el siguiente sistema una barra
rígida homogénea como se ilustra en la figura 4.8
Fig. 4.8 Fuerzas paralelas
6. Cuerpo rígido
Si tenemos un cuerpo rígido se considera su tamaño y forma. Entonces este cuando es
afectado por fuerzas, entonces para garantizar el equilibrio mecánico es preciso estable-
cer que este no va realizar rotación alguna.
6.1. Torque de una fuerza o Momento de Torsión
Cuando se tienen fuerzas que están actuando sobre un cuerpo rígido, entonces la ten-
dencia a rotación de cuantifica mediante el torque. Esta es una magnitud vectorial, si F
es la fuerza sobre un punto del cuerpo rígido, como se ilustra en la figura.
cosW θ
N
Ts nW e θ
θ
1R�
2R�
W�
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 6 - http://mjfisica.blogspot.com
Fig. 4.9 Torque de una fuerza
Se define el torque ó momento de torsión τ
r Fτ = ×�� �
(4.5)
Según la tendencia de rotación del cuerpo debido a la fuerza que actúa, el momento de
torsión toma signos convencionales. Por ejemplo si rota en el sentido horario asignare-
mos signo positivo, por el contrario si rora en el sentido horario asignaremos signo ne-
gativo.
Fig. 4.10 Signos del Momento de Torsión
6.2. Magnitud del Momento de Torsión
De la ecuación (4.5), podemos establecer la magnitud del producto vectorial entre r�
y
F�
de tal forma que se puede escribir
r F rFsenτ θ= × =�� �
(4.6)
Y de la figura 4.9 las componentes de la fuerza F�
a los largo de la línea de acción del
radio vector r�
son
// cosF F
F Fsen
θθ⊥
==
r�
F�) θ
O
τ+ � τ− �
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
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En la siguiente figura se ilustran estas componentes de la fuerza que origina el momento
de torsión.
Fig. 4.11 Componentes de la fuerza que origina torque o momento de torsión
De la figura 4.11 se puede apreciar que la fuerza perpendicular al radio vector es final-
mente que contribuye a que un sistema pueda rotar, por lo que en términos de magnitu-
des se acostumbra llamar momento de una fuerza al producto del valor de la fuerza y la
distancia perpendicular a esta, desde el punto de rotación
Así el momento de la fuerza F�
esta dado por rFsen rFθ ⊥=
En general el momento de torsión se determina así
ˆˆ ˆ
x y z
i j k
r F x y z
F F F
τ = × =�� �
(4.7)
Y el resultado es otro vector perpendicular al plano formado por r�
y F�
7. Equilibrio de un Cuerpo rígido
Para garantizar que un cuerpo rígido alcance el estado de equilibrio mecánico, se debe
considerar además del equilibrio de fuerzas concurrentes. El equilibrio de rotación es
decir asegurar que el cuerpo no gire. Para ello se precisa que la suma de todos los mo-
mentos de torsión sobre el sistema sea nula. Es decir
0ii
τ =��
(4.8)
Entonces se alcanza el equilibrio mecánico total cuando
0
0
ii
i
F
τ
=
=
�
�
�
� (4.9)
r�
F�) θ
O
//F�
F⊥
�
X
Y
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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Ejemplo
Una barra rígida homogénea de longitud L y masa M esta sujeta a fuerzas que actúan
sobre ella. Analizar el sistema en equilibrio mecánico.
Fig. 4.12
Realizando el diagrama de fuerzas para cada parte del sistema
Fig. 4.13
Para garantizar el equilibrio de traslación
Las ecuaciones de equilibrio para cada una de las partes del sistema son
Para m1 0F =��
1 1T m g= (i)
Para m2 0F =��
2 2T m g= (ii)
Para m3 0F =��
3 3T m g= (iv)
Para la Barra 0F =��
1 3 2T T Mg T+ = + (v)
Para garantizar el equilibrio de rotación
En A 0τ =��
2 3 02
LMg T a T L
� �+ − =� �� �
(vi)
1m g� 2m g
�
1T�
Mg�
1T�
2T�
2T�
3T�
3m g�
3T�
L
a b
3m2m
1m
A B
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
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En B 0τ =��
2 1 02
LMg T b T L
� �− − − =� �� �
(vii)
De las ecuaciones (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi) y (vii). Se determina los valores de las ten-
siones en las cuerdas.
8. Centro de Masa
Se puede considerar un cuerpo, que esta constituido por muchas partículas, cada una de estas,
está afectado por la atracción de la gravedad terrestre, si im es la masa de cada una de estas
partículas, el valor de la fuerza de atracción gravitatoria es i iW m g= llamado peso, entonces la
masa total del sistema es
1
n
ii
M m=
=� (4.10)
Fig. 4.14 Partículas formando cuerpos
El peso resultante del sistema esta dado por
1
n
ii
W m g=
=��
(4.11)
La posición del centro de masa esta dado por
1
1
n
i ii
CM n
ii
rm gr
m g
=
=
=�
�
�
�
� (4.12)
De donde se puede expresar, cada coordenada del centrote masa en tres dimensiones, es
decir
( , , )CM CM CM CMr x y z=�
Donde
im g�
O x
y
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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1 1 1
1 1 1
, ,
n n n
i i i i i ii i i
CM CM CMn n n
i i ii i i
x m y m z mx y z
m m m
= = =
= = =
= = =� � �
� � � (4.13)
Cuando el número de partículas aumenta, el tamaño de cada una de ellas se hace infini-
tesimalmente pequeño, por lo que la suma finita es reemplazada por la suma infinitesi-
mal y cada partícula se considera un elemento diferencial de la masa. Entonces se tiene
para las coordenadas del centro de masa.
CM
rdmr
dm= ��
(4.14)
Considerando que las coordenadas del centro de masa en el espacio están dadas por
( , , )CM CM CM CMr x y z=�
Entonces las posiciones para cada una de ellas esta dado por
, ,CM CM CM
xdm ydm zdmx y z
dm dm dm= = =� � �� � �
(4.15)
Las masas pueden estar formando líneas, áreas y volúmenes, por lo que es adecuado
considerar la densidad de masa para cada caso.
8.1. Distribuciones de Masa Lineales λ
Si la masa M esta distribuida a lo largo de una línea de longitud L, es preciso definir la
densidad de masa lineal.
Fig. 4.15
Entonces la densidad de masa por unidad de longitud esta dado por
L
Mλ =
(4.16)
,dx dm L
0x
x
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
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Y para la muestra infinitesimal es dx
dmλ = . Si la distribución de masa es uniforme, en-
tonces se dice que es homogénea, y se cumple L dx
constanteM dm
λ = = = , caso contrario
la densidad es una función de la posición, es decir ( )xλ λ= .
8.2. Distribuciones de masa superficiales σ
Si la masa M distribuida esta formando una superficie A, se define la densidad superfi-
cial de masa
Fig. 4.16
La densidad superficial esta dado por
M
Aσ =
(4.17)
Y si para la muestra elemental infinitesimal esta dad o por dAdm/=σ , solo si la distri-
bución de masas es uniforme entonces también se cumple que .M dm
constA dA
σ = = =
Aquí también si la densidad no es uniforme, esta depende de la posición, es decir se
expresa por ( , )x yσ σ=
8.3. Distribuciones de masa volumétricas
Consideremos una distribución de masa M en un volumen V, entonces la distribución de
la masa en el volumen esta dado por la densidad volumétrica de masa y se calcula por
M
Vρ = (4.18)
Y para una muestra infinitesimal dentro de la distribución de volumen se expresa por la
ecuación dm
dVρ = , entonces aquí también solo si la distribución de asa es uniforme en
todo el volumen se puede establecer la igualdad .M dm
constV dV
ρ = = =
dAdm
A
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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Y en caso que la muestra no sea uniforme la densidad depende de la posición, es decir
( , , )x y zρ ρ=
Fig. 4.17
9. Problemas
Problema. 9.1 Calcular las componentes de la tensión del cable indicada que se ejerce
sobre la viga de masa despreciable, en el extremo derecho.
Fig. 4.18 Problema 9.1
Solución
Si consideramos un sistema coordenado en el pivote, el vector T para la tensión en la
cuerda se puede escribir en términos de los vectores unitarios cartesianos como
x yˆ ˆi jT T T= − +
�. El diagrama de fuerzas para la barra
,M V
,dm dV
T
T1T
R
WA B
(θ
1T
T
R
T
W
(θ
W�
1l 2l
L 1T
BA
Marco A. Merma Jara FISICA I Estática
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Para la barra 0F =��
esto implica 0xF =��
y 0yF =��
, entonces las ecuaciones de
equilibrio para este caso son
1
1
cos 0
0
R T
T sen T
θθ
− =− =
(a)
Para el bloque 0yF =��
, entonces
0T W− = (b)
También de la condición para la no rotación del sistema, la suma de los momentos de
torsión deben ser nulos. Es decir
En el punto A 0Aτ =��
, esto es
1 1( )( ) 0TW T sen lθ− = (c)
En el punto A 0Bτ =��
, esto es
1 1 2 1( ) ( ) 0T l l T l− + − = (d)
De las ecuaciones (a), (b), (c), (d), se determinan os valores de la tensión e sus compo-
nentes a lo lago de x e y.
10. Problemas Propuestos
Problema 10.1. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar la fuerza de
rozamiento máximo, tal que el bloque se desliza sin volcarse.
11. Referencias
[1] Física, Mecánica, Marcelo Alonso & Edward Finn, Fondo Educativo Interamericano
S.A., México 1970
[2] Física, Vol. I, Raymond A. Serway, McGraw-Hill Interamericana Editores, Santafé
de Bogota, 1997
[3] Física Universitraria, Vol. I, Francis W. Sears, Mark W, Zemansky, Hugh D.
Young, Roger A. Freedman, Addison Wesley Longman de Mexico S.A., 1999
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
CCaappííttuulloo 55
DDiinnáámmiiccaa
1. Introducción
El movimiento de los cuerpos, estudiado desde el punto de vista de las causas que lo
originan y efectos que se producen, son estudiados por la parte de la mecánica que se
denomina dinámica. Esta dinámica esta orientado a sistema idealizados, donde los cuer-
pos, objetos, sistemas son considerados como partículas.
Las leyes del movimiento fueron enunciadas por Isaac Newton. En le caso de la dinámi-
ca la relación de causa efecto esta en la segunda ley, que establece una relación entre la
fuerza, masa y a aceleración del sistema, también es preciso mencionar que las leyes de
Newton solo son válidas dentro de un limite para la velocidad, si esta es mucho menor
que la velocidad de luz. La dinámica Newtoniana es prácticamente una de las leyes fun-
damentales dentro de la mecánica para el estudio del movimiento de los cuerpos.
2. Fuerza
Se entiende por fuerza a la cantidad física que resulta de la interacción entre dos cuer-
pos, esta interacción puede ser por contacto directo o a distancia.
Las fuerzas pueden aparecer por interacción directa, es decir contacto o sin la presencia
de ello, en como se ilustra en la figura 5.1
(a) (b)
Fig. 5.1 (a) Fuerzas a distancia (b) Fuerzas por contacto directo
3. Leyes de Newton
Las leyes que gobiernan los fenómenos mecánicos, fueron enunciadas por Newton, es-
tas se resumen en tres leyes conocidas como las leyes de Newton.
F�
F� N
�
P�
r
m m
Marco A. Merma Jara FISICA I Estatica
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3.1.Primera Ley
Si un conjunto de fuerzas concurrentes nF,...,F,F���
21 actúan sobre un sistema de masa m
y tiene como resultante nF,...,FFR����
+++= 21 y esta resultante de fuerzas es cero. En-
tonces el sistema se encuentra en reposo (equilibrio) o se mueve con velocidad constan-
te.
Fig. 5.2 Fuerza sobre un sistema de masa m
Así si la resultante es cero, las fuerzas forman un polígono cerrado y el sistema esta en
reposo, es decir no hay fuerza que modifique ese estado mecánico.
O también si la suma de fuerzas es cero, entonces el sistema puede estar en movimiento
con velocidad constante, como se ilustra en la figura 5.3
Fig. 5.3. Movimiento con velocidad constante, en trayectoria rectilínea
Es importante establecer que equilibrio no implica reposo necesariamente, como se observa el
sistema de la figura 5.3 esta en movimiento, pero esta en equilibrio, ya que la suma de las fuer-
zas sobre este es cero.
Entonces se dice que un sistema permanece en reposo o movimiento con velocidad constante.
Mientras no haya alguna fuerza que modifique ese estado.
3.2.Segunda Ley
Si un sistema de masa m es afectada por fuerzas, y la suma vectorial de dichas fuerzas
es diferente de cero, entonces el sistema será afectado por una aceleración, que tiene la
misma dirección de la fuerza resultante.
En la figura 5.4 se ilustra el sistema y las fuerzas que están actuando.
m1F�
1F�
2F�
2F�
3F�
4F�
3F�
4F� 5F
�
5F�
6F�
7F�
7F�
6F�
xv�
m x
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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Fig. 5.4 Fuerza desequilibrante sobre un sistema de masa m
La fuerza desequilibrante 1 2 3 4RF F F F F= + + +� � � � �
del sistema se ilustra en la figura 5.5
Fig. 5.5 Fuerza desequilibrante
Como resultado la fuerza resultante tienen alguna dirección, como la que se muestra en
la figura 5.5 y esta fuerza genera una aceleración a�
que están relacionados entre si.
Entonces se establece que la magnitud de la aceleración del sistema es directamente
proporcional con la fuerza resultante
a dp F
La aceleración es directamente proporcional a la inversa de la masa
1
a dpm
Como consecuencia de estas razones se tiene
F
a dpm
De aquí se puede expresar la reilación
F
a cm
=
Donde c es una constante de proporcionalidad, en este caso 1c = , entonces
F
am
=
En forma vectorial sería
m
1F�
2F�
3F�
4F�
m
1F�
2F�
3F�
4F�
1F�
2F�
3F�
4F�
RF�
Marco A. Merma Jara FISICA I Estatica
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Fa
m=
��
Esto indica que la aceleración y la fuerza están e la misma dirección.
Usualmente la segunda ley de Newton es utilizado de la siguiente forma
RF ma=� �
(5.1)
En general la fuerza resultante RF�
tiene componentes, así para el sistema cartesiano se
deben escribir R Rx Ry RzF F F F= + +� � � �
, entonces las ecuaciones para la fuerza se escriben
ahora así
x x
y y
z z
F ma
F ma
F ma
=
=
=
���
� �
� �
� �
(5.2)
Otra forma de expresar a segunda ley de Newton es mediante la cantidad de movimien-
to, , considerando que dv
adt
= en la ecuación (5.1)( )dv d mv
F mdt dt
= =
3.2.1. Cantidad de movimiento o momento lineal p�
Se define a la cantidad de movimiento p�
como e producto de la masa por la velocidad
de esta es una cantidad vectorial.
p mv=� �
Finalmente se expresa
dp
Fdt
=�
� (5.2)
La fuerza es la razón de cambio del la cantidad de movimiento de un sistema.
3.2.2. Dirección de la fuerza resultante
Aunque esta claro que la fuerza resultante y la aceleración están en la misma dirección
es importante mencionar que para realizar el diagrama de fuerzas es necesario el reco-
nocimiento hacia donde esta orientada la aceleración e un sistema. Como se ilustra en la
figura 5.6 esta siempre tiene la misma dirección de la fuerza resultante.
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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Fig. 5.6 Dirección de la aceleración y la fuerza resultante
3.3.Tercera ley
Consideremos un sistema donde solo hay dos partículas de masas 1m y 2m , y estas solo
interactúan entre si, como se ilustra en la figura 5.7
Fig. 5.7. Interacción solo entre dos partículas
“A toda fuerza aplicada sobre un sistema, le corresponde otra fuerza que tiene la misma
dirección, igual magnitud pero de sentido contrario”
Las magnitudes de las fuerzas
1/ 2 2 /1F F=� �
(5.3)
La dirección de la fuerza
1/ 2 2/1F F= −� �
(5.4)
En la figura 5.7 se observa que las fuerzas sobre cada una de las masas se deben a la
acción de la otra, por eso las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre cuerpos
diferentes.
4. Masa Inercial
La masa inercial se define a partir de la segunda ley de Newton así maF = , entonces la
masa esta expresado como a
Fm =
1F�
2F�
3F�
4F�
5F� RF
�
ma�
m
2m
1m
1/2F�
2/1F�
Marco A. Merma Jara FISICA I Estatica
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Fig. 5.8
Se dice entonces que un sistema tiene una inercia grande cuando es mas difícil de cam-
biar su estado mecánico ya sea de reposo o movimiento, y caso contrario cuando es fácil
de cambiar su estado se dice que su inercia es poca y esta relacionado con la denomina-
da masa inercial.
5. Masa Gravitatoria
La igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria es un problema que llevo a
Einstein a la formulación de la teoría de la relatividad
De la ecuación (5.1), cuando la magnitud de la aceleración es igual la aceleración de la
gravedad, es decir a g= , entonces mgF = , de aquí gFm /= , este resultado se co-
noce como la masa gravitatoria y esta relacionada con la atracción que ejerce la tierra
sobre los cuerpos que se encuentran a su alrededor.
Fig. 5.9. Masa gravitatoria
6. Fuerzas de rozamiento
La fuerza de rozamiento es aquella que se opone al movimiento o posible movimiento
relativo de un cuerpo que se encuentra e contacto con otro. Para superficies secas esta
relación usualmente esta relacionado con la fuerza de reacción entre las superficies en
contacto en forma directamente proporcional
Fig. 5.10 Fuerza de Rozamiento
W mg=
mF�
F�
m
a�
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
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La fuerza externa es aplicada sobre el cuerpo de masa m, esta no remueve mientras que
la fuerza aplicada no sea la suficiente para vencer la inercia.
Las fuerzas de fricción o rozamiento son la que impiden que l cuerpo se mueva rápida-
mente ya que esta siempre iguala en valor a la fuerza externa .hasta que es vencida por
esta finalmente y se produce el movimiento.
Las fuerza de rozamiento son de origen atómico y esta relacionado con las interacciones
entre los electrones de las superficies que se encentran en contacto., e la figura 5.11 se
hace una ampliación de la superficie donde esta actuando las fuerzas de rozamiento.
Fig. 5.11 Rugosidades de las superficies
6.1.Fuerza de Rozamiento estático
Cuando una fuerza actúa sobre un sistema, esta no s mueve inmediatamente, debido a
ala acción de la fuerza de rozamiento. Cuando ocurre esto entonces se define la fuerza
de rozamiento estático. Esta fuerza alcanza su valor máximo cuando el movimiento ya
se va a dar, entonces se dice que el movimiento es inminente.
E figura 5.12 se muestra el diagrama de fuerzas, si aun no se mueve el sistema cuando
la fuerza ya esta actuando se tiene
Fig.5.12
F f
N P
==
La magnitud de la fuerza de rozamiento f siempre es proporcional a la reacción normal
de las superficies en contacto.
f�
m
Sf�
F�
P�
N�
Marco A. Merma Jara FISICA I Estatica
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f dp N
De aquí se tiene el coeficiente de rozamiento estático Sµ
S Sf Nµ= (5.5)
Cuando S Sf Nµ= se dice que la fuerza estática alcanza su valor máximo y el movi-
miento del sistema es inminente.
En general la fuerza estática siempre es menor o igual al valor máximo que pude alcan-
zar.
maxS Sf f≤ (5.6)
6.2.Fuerza de rozamiento cinético
Si un sistema de masa m esta en movimiento, las fuerzas de fricción continúan actuando
en las superficies en contacto.
Fig. 5.13
En este caso la fuerza de rozamiento también es proporcional a la fuerza de reacción normal
entre las superficies en contacto, es decir
f dp N
El coeficiente de rozamiento cinético es kµ
k kf Nµ= (5.7)
En general siempre el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficiente de
rozamiento cinético, entonces
S kµ µ> (5.8)
En consecuencia la fuerza de fricción estática siempre será mayor que la fuerza de fric-
ción cinética
S kf f> (5.9)
mF�
kf�
N�
P�
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La Máquina de Atwood
Cuando se tiene poleas móviles la relación de fuerzas, velocidades y aceleraciones de-
penden del tipo de conexión en la cual intervienen las poleas, George Atwwod, antes
que Newton hizo demostraciones sobre el movimiento con poleas.
Fig. Maquina de Atwood
Diagrama de fuerzas
Ecuaciones del Movimiento
Para 1m , � = amF 1
amgmT 11 =− ( i )
Para 2m , � = amF 2
amTgm 22 =− ( ii )
De las ecuaciones (i ) , (ii) la magnitud de la aceleración del sistema es
gmm
mma
12
12
+−
=
El Método de las Cuerdas
Cuando se tienen poleas móviles, la relación de las magnitudes de las velocidades, así
como las aceleraciones se establecen en términos de la relación de fuerzas. La máquina
de Atwood doble es un ejemplo ideal para ilustrar esta situación.
TT
gm1 gm2
a
a
1m 2m
1m2m
a
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Para aplicar el método de las cuerdas es necesario tomar como referencia un punto fijo
del sistema, luego a partir de allí realizar las mediciones de las posiciones, y finalmente
establecer la razón de cambio de las posiciones de los cuerpos en movimiento.
Considerando como referencia la línea fija en (1), se miden las posiciones de las masas
32113 sssyL +++=
La razón de cambio de esta relación es
21 3vv −=
21 3aa −=
La razón de cambio de 321 ,, sss , es cero, ya que permanecen constantes durante el mo-
vimiento.
El signo indica la dirección de las velocidades y aceleraciones en el sistema en movi-
miento. La relación de aceleraciones esta en la misma relación de fuerzas que actúan
sobre cada una de las masas
7. Marcos de Referencia
Un marcote referencia se define por un punto fijo e el espacio, al cual se le asocia un
sistema de coordenadas y una escala de tiempo, como se ilustra en la figura 5.14
En este marco de referencia se asocia un observador a partir del cual se miden los eventos que
se quieren estudiar. Estos marcos de referencia también se denominan sistemas de referencia.
Estos pueden ser de tipo inerciales y no inerciales, las leyes del movimiento respecto de estos
marcos de referencia, sobre todo los no inerciales requieren de algún ajuste para precisar la ex-
plicación física de la dinámica para una partícula.
1m
1a
2m
2a
1y 1y 1y
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Fig.5.14 Marco de referencia
7.1.Marcos de referencia inercial
Un sistema se dice que tienen un marco de referencia inercial cuando este esta fijo en u
punto es decir esta en reposo (en equilibrio), lo cual implica que también puede estar en
movimiento con velocidad constante.
7.2.Marcos de Referencia no inercial
Este marco de referencia se caracteriza porque el observador ubicado en le origen de
coordenadas tienen una aceleración. Entonces este marco de referencia es móvil, como
resultado de esto la ley del movimiento debe ser ajustada, corregida para satisfacer una
explicación física.
7.3.Movimiento de traslación rectilínea con marcos de no inerciales
Consideremos dos observadores localizados en dos marcos de referencia, uno inercial
0xyz, y otro no inercial localizado en 0´x´y´z´
Fig. 5.15
Una masa m esta colgando desde lo alto del interior de un vagón en movimiento con
aceleración a, hay dos observadores, describiremos desde el punto de vista de cada uno
de los observadores a la partícula de masa m que esta dentro del vagón.
� x
y
z
0
0 x
y
x
y
m
a
θ
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7.3.1. Según el observador en le sistema 0xyx
El diagrama de fuerzas para este observador se muestra en la siguiente figura 5.16
Fig. 5.16
Las ecuaciones segunda la segunda ley de Newton serán
En el eje x, x xF ma=�� �
s nxT T e maθ= =
En el eje y, 0yF =��
cosyT T mgθ= =
La aceleración entonces esta dado por
(tg )a g θ= (5.10)
7.3.2. Según el observador en le sistema 0xyx
El diagrama de fuerzas para el observador que esta situado en le sistema acelerado seria
como se ilustra en la figura 5.16. Entonces implicaría que le sistema esta acelerado. Por
el contrario cuado se esta observado el sistema desde el vagón en movimiento acelera-
do, el observador siempre halla que esta quieto la masa m. por tanto se introduce una
corrección para satisfacer esta condición. Esta es la fuerza ficticia
Fuerza ficticia F
Esta fuerza no existe, solo se introduce como una corrección para tener una interpreta-
ción correcta de las leyes de Newton. Esto se hará siempre que se tenga un sistema de
referencia acelerado o marco de referencia no inercial.
El valor de la fuerza ficticia F siempre esta dado por producto de la masa del sistema
que se analiza por la aceleración del marco de referencia no inercial
F ma=
Y su dirección siempre es opuesta a la dirección de la aceleración del marco de referen-
cia no inercial.
θ
mg�
ˆcosyT T jθ=�
ˆxT Tsen iθ=�
T�
θ =x
y
m
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ˆ( )F F i= −�
De tal forma que las una de todas las fuerzas en todas las direcciones siempre sea nulo,
asegurando así lo que el observador del vagón describe como realmente esta com-
portándose el sistema de masa m que cuelga del techo.
Las ecuaciones que describen el sistema son
En el eje x 0xF =��
, Con F ma=
F Tsenθ=
En el eje x 0yF =��
cosT mgθ =
De aquí se obtiene el valor de la aceleración del sistema, esto es
( )a g tgθ= (5.11)
Fig. 5.17
Se tiene entonces que en ambos caos el valor de la aceleración siempre es el mismo, lo
cual indica la invariabilidad de las leyes de la física para este caso.
7.4.Movimiento de rotación con marco de referencia no inercial
Consideremos ahora un sistema que se encentra en rotación con rapidez constante y de
nuevo están allí los observadores situados e dos marcos de referencia, uno inercial y
otro no inercial.
Fig. 5.18
θ
mg�
ˆcosyT T jθ=�
ˆxT Tsen iθ=�
T�
θ =x
y
mF�
x
y
0
y
x0 m
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Una cuerpo de masa m esta sobre una plataforma que gira con velocidad angular constante ω ,
la plataforma es rugosa y el coeficiente estático es kµ . Analizaremos el sistema desde el punto
de vista de los marcos e referencia 0xyz inercial, y el sistema 0´ ´ ´ ´x y z .
7.4.1. Según e observador localizado en 0xyz
El diagrama de fuerza para este observado se ilustra en la figura 5.19
Fig. 5.19
En el eje x, xF ma=��
kf ma=
Con k kf Nµ=
En el eje y, 0yF =��
, P mg=
N P=
De estas dos ecuaciones podemos hallar el valor e la aceleración, esta dado por
ka gµ= (5.12)
7.4.2. Según el observador localizado en 0´ ´ ´ ´x y z
El diagrama de fuerzas para el observador no inercial se muestra en la figura 5.20, pero como el
observador inicial aprecia al sistema de tal forma que no hay movimiento, para cada una da las
direcciones la resultan de as furas debe ser cero, y para garantizar este hecho se introduce la
fuerza ficticia F, cuyo valor ya conocemos, es el producto de la masa del sistema analizado por
la aceleración del marco de referencia no inercial.
Fig. 5.20
kf�
P�
N�
m
y
x
N�
P�
kf�
kf�
P�
N�
m
´y
x
N�
P�
kf�
F�
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Notas de Aula - 15 - http://mjfisica.blogspot.com
Las ecuaciones para el equilibrio serán
En el eje x´, ´ 0xF =��
, con k kf Nµ=
kF f=
En ele eje y´, ´ 0yF =��
, con P mg=
N P=
De donde se obtiene le valor de la aceleración
ka gµ= (5.13)
Nuevamente de las ecuaciones (5.12) y (5.13) los resultados siempre son los mismos. Las leyes
de la física no han cambiado.
Usualmente preferiremos resolver las situaciones dinámicas por considerando los marcos de
referencia inerciales, ya que ahí no precisa realizar ninguna corrección a la ecuación dinámica
para satisfacer un estado dinámico.
En el caso del movimiento de rotación con marcos de referencia no inerciales, a la fuerza ficti-
cia se denomina fuerza centrífuga, como ya mencionamos esta fuerza no existe.
8. Problemas Resueltos
Problema 8.1 Una esfera de masa m se encuentra colocada sobre una barra
rígida vertical de masa despreciable, si en el instante 0t = se inicia el mo-
vimiento, para qué ángulo con la vertical la esfera se desprende de la barra?
Fig. 5.21
Solución
Analizando el sistema en una posición intermedia, cuando el ángulo es θ , la fuerza en
la dirección de la aceleración tangencial es θsenmg , luego se puede escribir
mm
R
m
θ cosmg θ θ mg senθ
mg
N
x
y
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mR0
β
B
A
dt
dvmmg =θcos , si se multiplica y divide por θd en el segundo miembro de la igual-
dad se tiene θ
θd
dvmvmg =cos , lo que es lo mismo dv
R
vmgdvmdmg == ωθθcos
Sea α es el ángulo para el cual la masa se desprende de la barra.
Entonces dt
dθω = , integrando para θ entre 0 y α se encuentra la relación
( )2
00
cos2
vv
gRαθ � �
− = � �� �
, evaluando se encuentra el valor de la velocidad
)cos( α+= 122 Rgv (i)
La fuerza en la dirección de la aceleración radial o normal θcosmg , por lo que se es-
cribe la expresión del movimiento como R
vmmgN
2
=− αcos , en el instante que se
desprende la fuerza de reacción normal es nulo, la ecuación se reduce a
2 cosv mgR α= (ii)
De (i) y (ii) se obtiene ��
���
�=3
2cosarcα
Problema 8.2 Una esfera de masa m se suelta desde el punto A
como se muestra en la figura, la superficie semiesférica no ofre-
ce resistencia, la esfera no se desliza, (a) hallar la velocidad de la
esfera cuando se encuentre en el punto B. (b) determine el tiem-
po transcurrido cuando la esfera se encuentra en el punto B
Solución
Realizando el diagrama de fuerzas en una posición intermedia cuando el ángulo barrido
es δ se tiene.
Fig. 5.22
A lo largo del radio del semicírculo, F ma=�� �
N
mg
δ
cosmg δ
N
mg senδ δx
y
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2v
N mg sen mR
δ− = (i)
A lo largo de la tangente, F ma=�� �
cosdv
mg mdt
δ = (ii)
Con
dv dv ds dv
vdt dt ds ds
= = , ( )ds R dδ= (iii)
De la ecuaciones (ii) y (iii)
0
2 2cosBv Rg Rgsendβ
βδ δ= =�
De la ecuación (ii) y con δ β= cuando Bt t=
0
0
2 1
cos cos cos
B
B
v
t dv Rg sen sendt
Rg Rg Rg
β ββ β β
= = =��
1
cosB
sent
Rg
ββ
=
Problema 8.3 Una esfera atada de una cuerda lon-
gitud L, se suelta desde la posición que se indica en la
figura, calcular la fuerza de tensión en el punto más bajo de su recorrido
Solución
El diagrama de fuerzas para una posición intermedia del recorrido de la masa, cuando el
ángulo barrido sea θ
Cuando la masa alcanza el punto mas bajo de la trayectoria, el ángulo barrido ser 90º
Fig. 5.23
Las ecuaciones para el sistema son
A los largo de la tangente, F ma=�� �
mL
θ
Tθ
cosmg θmg senθ
x
y
mg
T
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dv
mg sen mdt
θ = (m)
A los largo de la aceleración normal, F ma=�� �
2
cosv
T mg mL
θ− = (n)
De las ecuaciones (m) la velocidad es
902 2
02 2
o
ov v Lg sen d Lgθ θ= + =�
De la ecuación (n) con 90oθ =
2 2
( cos90 ) 2o v LgT m g m mg
L L= + = =
Problema 8.4 Un motor sube una caja de masa 40 Kg. Si la fuerza
varía de acuerdo a la gráfica mostrada, hallar la velocidad cuando
24t s= , si el motor actúa desde 0t s=
Solución
El diagrama de fuerzas para cada una de las partes del sistema
Para el bloque de masa m, yF ma=�� �
2F mg ma− =
De aquí con dv
adt
=
12 24
0 0 12
1( (2 ) (2 ) )
vdv F mg dt F mg dt
m= − + −� � �
LA fuerza tiene un comportamiento diferente en cada tramo de tiempo, de 0 a 12 segun-
dos la fuerza es directamente proporcional al tiempo, de 12 a 24 segundos la fuerza es
constante. Entonces
0 12
12 24o
c
zt F tF
F t
+ ≤ ≤= A ≤ ≤B
En la ecuación (*), finalmente la velocidad es
F F
2F
2F
mg F
F
12 24
24
( )F N
( )t s
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12 24
0 12
1( (2( ) ) (2 ) )o cv zt F mg dt F mg dt
m= + − + −� � (*)
Problema 8.5 Una masa m esta localizada en la parte interior de un cono
que gira con velocidad angular constate ω , si el coeficiente de rozamiento
estático es Sµ , entre las superficies en contato del bloque y el interior del
cono. Hallar la velocidad angular para la cual el bloque permanece quieto
dento del cono, sin resbalar.
Solución
Realizando el diagrama de fuerzas del sistema se tiene
Fig.5.25
Las ecuaciones son
Para el eje x, xF ma=�� �
, con radio de giro r hsenθ=
2cos SN f sen m rθ θ ω− = (*)
Para el eje y, 0yF =��
cosSNsen f mgθ θ+ = (**)
De las ecuaciones (*) y (**), y con S Sf Nµ=
cos
cosS
S
seng
hsen sen
θ µ θωθ θ µ θ
−=−
Si la velocidad es mas grande, el bloque también puede deslizarse hacia arriba a lo largo
del interior del cono, por lo que queda hacer un análisis, cuando la fuerza de rozamiento
esta orientado en sentido contrario
Así se halla la velocidad máxima y mínima a la que pueda rotar el sistema, haciendo
que la masa siempre permanezca fijo e la posición indicada.
m
θ h
N
mg
Sf
Nsenθ
cosN θ
mg
cosSf θ
Sf senθr
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9. Problemas Propuestos
Prob.9.1 Sobre una mesa horizontal lisa se halla una barra metálica de longitud L y
masa M, la cual puede desplazarse por la mesa sin fricción, se ata de un extremo una
cuerda y otra barra igual en libertad, como se ilustra en la figura. El sistema se pone en
movimiento, (a) hallar la fricción en la polea.
Fig. Prob 9.1 Fig. Prob 9.2
Prob. 9.2 Una barreta con masa M se encuentra sobre una mesa horizontal lisa por la
cual puede moverse sin fricción. Sobre la barreta se halla un cubo con masa m que se
apoya en un pequeño saliente O como se ilustra en la figura. ¿Cuál será el máximo valor
de la fuerza F aplicada a la barreta que no causa el vuelco del cubo?
Prob. 9.3 Cada caja de la figura pesa 50 libras y se puede ignorar la fricción. Si las ca-
jas empiezan a moverse desde el reposo en 0t = , determinar la magnitud de las veloci-
dades de sus velocidades y la distancia que se han movido desde su posición inicial en
1t = s
Fig. Prob 9.3 Fig. Prob 9.4
Prob.9.4 La masa del bloque A y del bloque son 15 kg. y 30 kg. Respectivamente, y los
coeficientes de fricción entre todas las superficies son 0.4Sµ = y 0.35kµ = . ¿Cuál es la
fuerza máxima F que se puede aplicar sin que el bloque A se deslice respecto del blo-
que B? ¿Cuál es la aceleración resultante?
Fig. Prob 9.5
L
L
F
mM
F
A
B30 (o
)30o
F
Estática FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 21 - http://mjfisica.blogspot.com
Prob. 9.5 En la figura la caja de 100 libras esta inicialmente en reposo. Los coeficientes
de fricción entre la caja y las superficies en contacto son 0.2Sµ = y 0.16kµ = . Deter-
minar la distancia que recorre la caja desde la posición inicial en 2 segundos si la fuerza
horizontal es 90F = libras.
10. Referencias
[1] Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedmann, Pearson, Mexico, 1999.
[2] Dinámica, Ingeniería Mecánica, R. C. Hibeller, Prentice-Hall Hispanoamericana,
México 1997.
[3] Física, Vol. I, Mecánica, Marcelo Alonso, Edgard Finn, Fondo Educativo Interame-
ricano, S.A., México 1970.
[4] Olimpiadas de Física de la Unión Soviética, Slobodetski, V. A. Orlov, Vneshtorgiz-
dat, Moscú, 1982.
[5] Dinámica, Mecánica para Ingeniería, Bedford Fowler, Addisson Wesley Iberoame-
ricana, Wilmington Delaware, 1996.
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
CCaappííttuulloo 66
TTrraabbaajjoo yy EEnneerrggííaa 1. Introducción
Trabajo mecánico es una cantidad física de tipo vectorial, mide la acción de una fuerza
cuando traslada un cuerpo o sistema desde una posición inicial hacia otra final.
2. Trabajo Mecánico
El trabajo mecánica es una magnitud escalar y se define como la capacidad que tiene
una fuerza para trasladar un cuerpo desde una posición inicial hacia otra posición final.
El trabajo mecánico para el intervalo finito se determina por la ecuación
rFW��
∆•=∆
Cuando el desplazamiento es infinitesimalmente pequeño, entonces el trabajo se calcula
por
� •=f
irdFW��
3. Unidades de medida
El trabajo se mide en Joules, que se simboliza con la letra J, en honor a jemes Presscot
Joule, físico inglés.
En el sistema internacional de Unidades se mide en Joule
JNmrFW === ]][[][
En el sistema inglés de unidades se mide en lb pie
W∆
F�
r�
∆θ)
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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pielbrFW == ]][[][
En este sistema lb pie no tiene ningún nombre en particular
4. Signos del Trabajo
El trabajo mecánico puede tomar signo positivo o negativo, dependiendo del producto
escalar entre la fuerza y el desplazamiento.
Físicamente podemos determinar el signo del trabajo considerado las direcciones y
sentidos de la fuerza que realiza el trabajo y el vector desplazamiento.
Caso 1
Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección y en le mismo sentido
entonces el trabajo es positivo
0>W
Caso 2
Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección pero opuestas, entonces el
trabajo es negativo
0<W
Caso 3
Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, entonces el trabajo de la fuerza es
CERO o nulo
0=W
5. Interpretación Geométrica del Trabajo
Si graficamos la fuerza en función del desplazamiento obtenemos una curva, y si
calculamos el área bajo la curva F vs x, el valor calculado representa el valor del trabajo
mecánico para la fuerza.
Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 3 - http://mjfisica.blogspot.com
Fig.a Fig.b
Fig a. Si la fuerza es variable, en la figura mostrada, el área se determina por la integral
�=xf
xiFdxArea
Fig b. Si la fuerza es constante, el área se determina por
FxArea=
6. Energía Mecánica
Se defina la energía mecánica E a la suma de las energías cinética de traslación K , y la
energía potencial gravitatoria V.
VKE +=
K . Energía cinética de traslación
V: energía potencial gravitatoria
7. Trabajo y Energía Cinética
Para una fuerza que traslada un cuerpo desde una posición inicial hacia otra final, es
posible cuantificar el trabajo en términos de sus rapideces o valores de la velocidad en
las posiciones inicial y final.
22
2
1
2
1if mvmvW −=
Se define la energía cinética de traslación K
2
2
1mvK =
La energía cinética de traslación K depende únicamente del valor de la velocidad, es
decir es una función del valor de la velocidad )(vKK = , y la masa de una cantidad
constante, por tanto para las posiciones final e inicial la energía cinética
respectivamente son fK , iK
Area Area
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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El trabajo se puede escribir en términos de la energía cinética de traslación
KW ∆=
El trabajo es igual a la variación de la energía cinética de traslación, entre los puntos
inicial y final.
Este resultado se conoce como el teorema del trabajo y la energía cinética.
Importante
El teorema del trabajo y la energía cinética es válido para cualquier tipo de fuerzas, es
decir si la fuerzas es constante o si la fuerza es variable.
8. Trabajo y Energía Potencial Gravitatoria
Considerar una partícula que cae libremente, y tomando como nivel de referencia el
piso, como se ilustra en la figura, la única fuerza que realiza trabajo sobre la partícula de
masa m es el peso, la atracción gravitatoria de la tierra.
El trabajo del peso sobre la partícula de masa m es
ygmW��
ƥ=
La magnitud del desplazamiento es )( fi yyy −=∆ entonces el trabajo
fifi mgymgyyymgW −=−= )(
Se define la energía Potencial gravitatoria V, al producto mgy
mgyV =
La energía potencial gravitatoria depende únicamente de la posición vertical, por lo que
en las posiciones inicial i final la energía potencial gravitatoria respectivamente es iV
Y fV
iy
fy
..RN
Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara
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(θ
L
Entonces el trabajo en términos de la energía potencial gravitatoria es igual al valor
negativo de la variación de la energía potencial gravitatoria.
VW ∆−=
Este resultado es aplicable únicamente al peso, por eso también este resultado se conoce
como el trabajo del peso.
Ejemplo
Una partícula de masa m de 2 kg, rueda desde lo alto de un
plano indinado liso donde L = 5m, si parte del reposo,
determinar el trabajo realizado por el peso cuando la
partícula ha llegado al piso. La inclinación del plano es 30º
Solución:
El trabajo del peso se determina en cualquier caso por el negativo de la variación de la
energía potencial gravitatoria y considerando el nivel de referencia en la parte mas baja
que corresponde al piso.
θθ mgLsenmgLsenmgW =−−= ])0([
9. Trabajo en resortes
Consideremos un resorte de constante de fuerza k, inicialmente sin deformar cuya
longitud es ox
�=xf
xiFdxW
22
2
1
2
1if kxkxW −=
UW ∆=
10. Trabajo Neto
El trabajo neto es la suma algebraica de todos los trabajos realizados por cada una de las
fuerzas que intervienen en un sistema en movimiento.
kF
xix fx
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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Si un sistema de masa m es afectada por n fuerzas de magnitudes nFFF ,...,, 21 en
diversas direcciones durante su movimiento, entonces en trabajo neto se calcular por
FnFFNETO WWWW +++= ...21
Algunos de los trabajo pueden resultar con signo negativo, positivo y hasta pueden
presentarse trabajos nulos.
11. Potencia Mecánica
La potencia mecánica es la razón del trabajo realizado por unidad de tiempo.
Potencia media e instantánea
Patencia media
t
WP
∆∆>=<
Potencia instantánea
vFP��
•=
Unidades de medida
En el sistema internacional
Watts
J
s
mNvFP ==== ]][[][
En el sistema ingles
s
pielbvFP == ]][[][
Hps
pielb =550
Hp: es la unidad inglesa para la medida de la potencia, Hp. Horse Power (caballo
fuerza). La equivalencia entre el sistema internacional e ingles esta dada por
WHp 746= .
El kilowatt-hora (KWh)
Es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Un kilowatt-hora es el trabajo total
realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es 1 kilowatt, así
Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 7 - http://mjfisica.blogspot.com
MJJss
JsWKWh 6.3106.31036)3600)(10(1 653 =×=×==
Eficiencia e
La eficiencia es un coeficiente adimensional, se determina por la relación entre a
potencia entregada por un sistema y la potencia utilizada. El coeficiente de eficiencia
esta entre los cero y la unidad es decir
10 << e
ENTREGADA
UTIL
p
Pe =
Potencial Útil UTILP
Es la potencia que se utiliza para desarrollar trabajo durante el movimiento de un
sistema
Potencia entregada ENTREGADAP
Es la potencia que posee un sistema para entregar y ser capaz de desarrollar trabajo
durante el movimiento de un sistema.
12. Conservación de la Energía
La energía de un sistema es la suma de todas las energías conocidas, incluyendo la
energía mecánica, esta energía total no se crea ni se destruye solo se transforma, y esto
constituye el principio de conservación de la energía.
Fuerzas Conservativas
Para establecer el principio de conservación de la energía mecánica es necesario que las
fuerzas que actúan sobre un sistema sean conservativas, necesariamente..
Definición 1
Una fuerza se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por esta fuerza es
independiente del camino recorrido. Es decir solo depende las posiciones inicial y final
medidos respecto de un nivel de referencia arbitrario.
Definición 2
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza en un circuito
cerrado es nulo
Definición 3
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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Una campo de fuerzas F es conservativa cuando existe una función potencial escalar
V(r), tal que
dr
rdVF
)(−=
Donde )(rV es la función potencial (campo escalar) que depende de la posición
Ejemplo 1:
Partículas de masas iguales se lanzan desde lo alto de un edificio, con diferentes valores
para las velocidades de lanzamiento.. Determinar el trabajo sobre cada una de las masas,
si la altura del edificio es H.
Aquí figura
Para la masa m1 el trabajo
W=- ( m1g(0) - m1gH) = mgH Para la masa m2 el trabajo
W=- ( m2g(0) - m2gH) = mgH Para la masa m3 el trabajo
W=- ( m3g(0) - m3gH) = mgH
El trabajo sobre la masa m1=m2=m3=m siempre da el mismo resultado, porque no
depende del camino que recorren las masas, sino solamente las posiciones inicial y final
respecto del nivel de referencia.
Ejemplo 2:
0=→BAW
Ejemplo 3:
Si la energía potencial elástica de un resorte es 2
2
1)( kxxU = , donde k es la constante de
fuerza o de rigidez, x es la deformación. Entonces la magnitud de la fuerza asociada a
este campo escalar es
kxdx
xdUF −=−= )(
Lo que corresponde a la fuerza recuperadora en el resorte.
Las dos primeras definiciones son necesarias pero no suficientes, en tanto que la tercera
definición es necesaria y suficiente, es la mas fuerte.
Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara
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Principio de Conservación de la Energía Mecánica
La energía mecánica de un sistema permanece constante solo si en el sistema existen
fuerzas conservativas.
fi EE = 㻌
ffii VKVK +=+ 㻌
Trabajo de Fuerzas Conservativas, energía Disipada
La energía mecánica en una colisión solo permanece constante cuando el choque es
elástico, en todos lo demás casos la energía mecánica no permanece constante.
La energía faltante después de la colisión se transforma en otros tipos de energía
diferente a la energía mecánica, usualmente en energía luminosa, calorífica, térmica.
Esta energía que sale del sistema se denomina energía disipada.
EQ ∆−=
Donde Q es la energía disipada, el signo menos indica que sale del sistema, E , es la
energía mecánica del sistema.
13. Ejercicios
1. Demostrar que el teorema del trabajo y la energía cinética es también válido para
una fuerza constante.
2. Demostrar que el trabajo mecánico solo se debe a las fuerzas que están en la misma
dirección del desplazamiento.
3. Demostrar que el trabajo del peso se calcula en cualquier caso por el negativo de la
variación de la energía potencial gravitatoria respecto de un nivel de referencia
tomado arbitrariamente.
4. Demostrar que el trabajo de una fuerza deformadora sobre un resorte está
determinada por la variación de la energía potencial elástica
5. Demostrar que cuando un resorte es deformado por compresión, el trabajo sobre el
resorte está determinado por el negativo de la variación de la energía potencial
elástica.
6. Demostrar que sobre un resorte al ser deformado ya sea por estiramiento o por
compresión, el trabajo neto es cero
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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(θ
L
7. Demostrar que toda fuerza que es normal al desplazamiento no realiza trabajo
alguno, es decir hace trabajo nulo o cero.
8. Consideremos el caso de la figura mostrada, donde una partícula de masa m rueda
sobre el plano, partiendo del reposo en la parte mas alta, el coeficiente de
rozamiento cinético entre el plano inclinado y la masa es kµ . Determinar el trabajo
neto sobre la partícula durante el recorrido a lo largo del plano indinado.
Fig. Ejercicio 8 Fig. Ejercicio 10
9. Demostrar que la potencia mecánica instantánea para un sistema mecánico se
calcula por la ecuación FvP = , donde F es la magnitud de la fuerza y v es la
magnitud de la velocidad.
10. Un motor eléctrico instalado en lo alto de un soporte, entrega una potencia de 500
W, y cuando levanta un bloque de 80 Kg., verticalmente con rapidez constante de
0.5 m/s. entonces determinar la eficiencia del motor. Si la aceleración de la gravedad
tiene el valor de 9.81 m/s2
14. Problemas
1. Un viejo cubo de roble con masa de 6.75 kg cuelga en un pozo del extremo de una cuerda, que pasa sobre una polca sin fricción en la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda horizontalmente del extremo de la cuerda para levantar el cubo lentamente 4.00 m a) ¿Cuánto trabajo efectúa usted sobre el cubo al subirlo? b) ¿Cuánta fuerza gravitacional actúa sobre el cubo? c) ¿Qué trabajo total se realiza sobre el cubo
2. Distancia de paro. Un automóvil viaja por un camino horizontal con rapidez v0 en el instante en que los frenos se bloquean, de modo que las llantas se deslizan en vez de rodar. a) Use el teorema trabajo-energía para calcular la distancia mínima en que puede detenerse el auto en términos de v0, g y el coeficiente de fricción cinética Kµ entre los neumáticos y el camino. b) ¿En qué factor cambiaría la distancia mínima de frenado, si i) se duplicara el coeficiente de fricción cinética, ii) se duplicara la rapidez inicial, o iii) se duplicaran tanto el coeficiente de fricción cinética como la rapidez inicial?
3. En un día invernal, un bodeguero está empujando cajas hacia arriba, por una tabla áspera inclinada con un ángulo θ sobre la horizontal. La tabla está cubierta en parte con hielo, y hay más hielo cerca de la base de la tabla que cerca del tope, de modo que el coeficiente de fricción aumenta con la distancia x a lo largo de la tabla:
Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara
Notas de Aula - 11 - http://mjfisica.blogspot.com
AxK =µ donde A es una constante positiva y la base de la tabla está en x = 0. (Para
esta tabla, los coeficientes de fricción cinética y estática son iguales, µµµ == SK )
El bodeguero empuja una caja tabla arriba, de modo que sale de la base de la tabla con rapidez v = 0. Demuestre que cuando la caja se detiene, permanecerá en reposo
si θθ
cos
3 22
A
gsenvo ≥
4. Potencia del corazón humano. El corazón humano es una bomba potente y muy confiable; cada día admite y descarga unos 7500 L de sangre. Suponga que el trabajo que realiza el corazón es igual al requerido para levantar esa cantidad de sangre a la altura media de una mujer estadounidense (1.63 m). La densidad (masa por unidad de volumen) de la sangre es de 33 /1005.1 mKg× a) ¿Cuánto trabajo realiza el corazón en un día?, b) ¿Qué potencia desarrolla en watts?
5. Coeficientes de fricción variables. Una caja resbala con una rapidez de 4.50 m/s por una superficie horizontal cuando, en el punto P, se topa con una sección áspera. Aquí, el coeficiente de fricción no es constante: inicia en 0.100 en P y aumenta linealmente con la distancia después de P, alcanzando un valor de 0.600 en 12.5 m más allá de P. a) Use el teorema trabajo-energía para obtener la distancia que la caja se desliza antes de pararse. b) Determine el coeficiente de fricción en el punto donde se paró. c) ¿Qué distancia se habría deslizado la caja si el coeficiente de fricción, en vez de aumentar, se hubiera mantenido en 0.100?
6. Considere un resorte con un extremo fijo que no obedece fielmente la ley de Hooke. Para mantenerlo estirado o comprimido una distancia x, se debe aplicar al extremo libre una fuerza sobre el eje x con componente 32 cxbxkxFx +−= . Aquí k=100
N/m, b=100 N/m2 y c =12,000 N/m3. Observe que x > 0 cuando se estira el resorte y x < 0 cuando se comprime. a) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para estirar este resorte 0.050 m con respecto a su longitud no estirada? b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para comprimirlo 0.050 m con respecto a su longitud no estirada? c) ¿Es más fácil estirar o comprimir este resorte? Explique por qué en términos de la dependencia de Fx en x. (Muchos resortes reales tienen el mismo comportamiento cualitativo.)
7. Barra giratoria . Una barra delgada y uniforme de 12.0 kg y longitud de 2.00 m gira uniformemente alrededor de un pivote en un extremo, describiendo 5.00 revoluciones completas cada 3.00 segundos. ¿Qué energía cinética tiene esta barra? (Sugerencia: los diferentes puntos de la barra tienen diferente rapidez. Divida la barra en segmentos infinitesimales de masa dm e integre para obtener la energía cinética total de todos estos segmentos.)
8. Un camión de remolque tira de un automóvil 5.00 km por una carretera horizontal, usando un cable cuya tensión es de 850 N. a) ¿Cuánto trabajo ejerce el cable sobre el auto si tira de él horizontalmente? ¿Y si tira a 35.08 sobre la horizontal? b) ¿Cuánto trabajo realiza el cable sobre el camión de remolque en ambos casos del inciso a)? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la gravedad sobre el auto en el inciso a)?
9. Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30.0 kg una distancia de 4.5 m en un piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el piso y la caja es de 0.25. a) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) ¿Cuánto trabajo efectúa dicha fuerza sobre la caja? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la fricción sobre la caja? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ¿Y la gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?
10. Suponga que el obrero del ejercicio 6.3 empuja hacia abajo con un ángulo de 308 bajo la horizontal. a) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el obrero para mover la
Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía
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caja con velocidad constante? b) ¿Qué trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja 4.5 m? c) ¿Qué trabajo realiza la fricción sobre la caja en este desplazamiento? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ¿Y la gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?
11. Un pintor de 75.0 kg sube por una escalera de 2.75 m que está inclinada contra una pared vertical. La escalera forma un ángulo de 30.08 con la pared. a) ¿Cuánto trabajo realiza la gravedad sobre el pintor? b) ¿La respuesta al inciso a) depende de si el pintor sube a rapidez constante o de si acelera hacia arriba de la escalera?
12. Dos botes remolcadores tiran de un buque tanque averiado. Cada uno ejerce una fuerza constante de 1.80 3 106N, uno 148 al oeste del norte y el otro 148 al este del norte, tirando del buque tanque 0.75 km al norte. ¿Qué trabajo total efectúan sobre el buque tanque?
13. Dos bloques están conectados por un cordón muy ligero que pasa por una polea sin masa y sin fricción (figura 6.30). Al viajar a rapidez constante, el bloque de 20.0 N se mueve 75.0 cm a la derecha y el bloque de 12.0 N se mueve 75.0 cm hacia abajo. Durante este proceso,¿cuánto trabajo efectúa a) sobre el bloque de 12.0 N, i) la gravedad y ii) la tensión en el cordón? b) sobre el bloque de 20.0 N, i) la gravedad, ii) la tensión en el cordón, iii) la fricción y iv) la fuerza normal? c) Obtenga el trabajo total efectuado sobre cada bloque.
14. a) ¿Cuántos joules de energía cinética tiene un automóvil de 750 kg que viaja por una autopista común con rapidez de 65 mi/h? b) ¿En qué factor diminuiría su energía cinética si el auto viajara a la mitad de esa rapidez? c) ¿A qué rapidez (en mi/h) tendría que viajar el auto para tener la mitad de la energía cinética del inciso a)?
15. Cráter de meteorito Hace aproximadamente 50,000 años, un meteorito se estrelló contra la Tierra cerca de lo que actualmente es la ciudad de Flagstaff, en Arizona. Mediciones recientes (2005) estiman que dicho meteorito tenía una masa aproximada de Kg81043.1 × (unas 150,000 toneladas) y se impactó contra el suelo a 12 km/s. a) ¿Cuánta energía cinética pasó este meteorito al suelo? b) ¿Cómo se compara esta energía con la energía liberada por una bomba nuclear de 1.0 megatones? (Una bomba de un megatón libera la misma energía que un millón de toneladas de TNT, y 1.0 ton de TNT libera 4.184 3 109J de energía.)
15. Referencias
[1.] Física Universitaria, Vol. I, F. Sears, Zemansky,Young, Freedman, 12va edición, Pearson, Mexico 2009
[2.] Física I, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Universidad Nacional del Callao, 2005.
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
CCaappííttuulloo 77
II mmppuullssoo yy MMoommeennttoo LLiinneeaall 1. Introducción
El impulso es una cantidad física de tipo vectorial, que mide el cambio brusco del
estado mecánico de un sistema en un instante del tiempo. Este tiempo usualmente es
muy pequeño.
2. Impulso I�
El impulso es una cantidad física vectorial, que indica el cambio brusco del estado
mecánico de un sistema. La magnitud de la fuerza crece y decrece bruscamente en un
intervalo de tiempo pequeño
�=tf
tidtFI��
Donde F�
, es la fuerza variable, t es el tiempo.
3. Unidades de Medida
En el sistema internacional de unidades, la fuerza se mide en Newton
NstFI == ]][[][
En el sistema ingles de unidades, la fuerza se mide en Libras
slbtFI .]][[][ ==
Graficando las Fuerzas
Fig.a Fig.b
F F
tt
Área Área
Impulso y Momento Lineal FISICA I Marco A. Merma Jara
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4. Interpretación Geométrica del Impulso
El área bajo la curva F vs. t representa la magnitud del impulso
En la fig.a el área bajo la curva F vs. t representa el valor del impulso producido por la
fuerza variable que crece y decrece bruscamente en un instante del tiempo
�= FdtArea
En la fig b el área bajo la cueva >< F�
vs. t∆ Representa el impulso de la fuerza media
en el intervalo de tiempo. Este impulso así calculado es exactamente igual en valor ala
producida por la fuerza variable
tFArea ∆><=
Al ser iguales los impulsos en valor podemos escribir
tFFdtArea ∆><== �
5. Impulso y Momento lineal
Durante una interacción, el impulso se puede calcular mediante la variación del
momento lineal
pppI if
����∆=−=
fp�
Cantidad de movimiento final, un instante después de la colisión, ip�
Cantidad de
movimiento inicial, un instante antes de la colisión. Este resultado se conoce como el
teorema del impulso y momento lineal
Como consecuencia se puede calcular la velocidad después de la colisión por
�+=+=tf
tiiif Fdtm
vm
Ivv
1��
�� (*)
Ejemplo
Una bala de masa 10g sale de un revolver con una
velocidad i=v ˆ200�
m/s, si la fuerza en el
impacto varia en función del tiempo según la
grafica de la figura mostrada. Determinar (a) La
función )(tFF = a partir de la gráfica, (b) El 2.0 4.02.0
40
80
)(NF
210)( −×st
Marco A. Merma Jara FISICA I Impulso y Momento Lineal
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impulso durante el impacto, (c) La velocidad de rebote.
Solución
La función )(tFF = se determina hallando la ecuación de la recta que forman el
triangulo, uno con pendiente positiva y el otro con pendiente negativa.
���
<<<<
=4.02.0
2.00
t
tF
El impulso en el impacto será
NsidtdtI )ˆ(1016 24.0
2.0
2.0
0
−×=+= ���
La velocidad de rebote, de la ecuación (*) es
smiiv f /)ˆ1016(10
1)ˆ200( 2
2 ��
��
A ×+= −�
Otra forma de resolver el problemas es utilizando interpretación geométrica del
impulso, en la grafica F vs t, el área del la curva representa el valor del impulso
NssNI 22 1016)104.0)(80( −− ×=×=
Y el valor de la velocidad de la ecuación (*)
smiiv f /)ˆ1016(10
1)ˆ200( 2
2 ��
��
A ×+= −�
Se debe obtener el mismo resultado.
6. Fuerza media >< F�
Es posible encontrar una fuerza promedio, constante tal que produzca e el mismo
impulso que una fuerza variable, que actúa en el mismo intervalo de tiempo. De la fig.b
tFI ∆>=<
De donde se tiene
dtFt
It
Ftf
ti�∆=
∆>=<
��� 11
7. Principio de Conservación del momento lineal
En una colisión ya sea elástica o inelástica el momento lineal siempre permanece
Impulso y Momento Lineal FISICA I Marco A. Merma Jara
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constante, solo es necesario verificar que el sistema sea cerrado o aislado.
Sistema aislado
Se dice que un sistema es aislado o cerrado, cuando no se consideran las fuerzas
exteriores al sistema, solo las fuerzas internas.
Fig. 1 Sistema aislado, donde solo hay interacciones internas
8. Conservación del Momento lineal
La cantidad de movimiento permanece constan solo si el sistema es cerrado
Ctepp fi ==��
9. Colisiones o Choques
Durante una colisión o choque de dos partículas de masas 1m y 2m , con velocidades
iniciales iv1
�y iv2
� respectivamente. La energía mecánica del sistema puede permanecer
constante o no puede permanecer constante, dependiendo del tipo de colisión o choque.
Para cualquier situación, la cantidad de movimiento o momento lineal siempre
permanece constante. Solo es necesario verificar una condición, que el sistema sea
aislado o cerrado.
Coeficiente de restitución e
La medida de una colisión para poder clasificarlo se realiza por medio de un numero
adimensional, este numero se denomina el coeficiente de restitución e
1m1m
2m2m
1/2F�
2/1F�
1/2F�
2/1F�
iv1
�
iv2
�2m1m
Marco A. Merma Jara FISICA I Impulso y Momento Lineal
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( )( ) ii
ff
i1
f2
vv
vv
v
V=e
21
12
2/
1/��
��
�
�
−−
=
El valor de “e” esta entre cero y la unidad, es decir
10 << e
a) Colisiones elásticas ( e = 1 )
En una colisión elástica el coeficiente de rozamiento es igual a la unidad, la cantidad de
movimiento permanece constante así como la energía mecánica también permanece
constante.
• El momento lineal permanece constante
• La energia cinética permanece constante
b) Colisiones inelastic as ( 0 < e < 1 )
En una colisión inelástica la cantidad de movimiento permanece constante, mientras que
la energía mecánica no permanece constante. Hay transformación de energía mecánica
en otros tipos de energía (calor, sonido, luz)
Si e = 0 se dice que la colisión es completamente inelástica o plástico. En este tipo de
colisiones la energía mecánica no permanece constante y se caracteriza porque
inmediatamente después de la colisión los cuerpos que colisionan quedan unidos y se
mueven con una velocidad común
• El momento lineal permanence constante
• La energia cinética no permanece constante
10. Energía Disipada en colisiones
Cuando la colisiones inelástica, parte de la energía mecánica se transforma en otros
tipos de energía como energía calórico, sonora, luminosa, y se dice que la energía se ha
disipada hacia el medio exterior al sistema en cuestión
11. Colisiones en dos Dimensiones
Cuando dos partículas colisionan en dos dimensiones el momento lineal permanece
constante y hay que considerar las direcciones en cada dimensión
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Antes del choque
Durante el choque
Después del choque
El momento lineal permanece constante en los ejes x e y respectivamente y las ecuaciones correspondientes son
xfxi pp��
=
yfyi pp��
=
12. Sistema G y Sistema L
Cuando los observadores de un evento se encuentran en marcos de referencia inerciales
se denomina que el sistema es L, sistema Laboratorio.
Cuando el observador se encuentra en el centro de masa del sistema de partículas, se
dice que el sistema es G.
13. Velocidad y Aceleración del centro de masa
Cuando se tiene “n” partículas en movimiento o colisionando, la posición del centro de
masa esta dad por la relación
n
nnCM mmm
vmvmvmv
++++++
=...
...
21
2211
����
La aceleración del centro de masas será
n
nnCM mmm
amamama
++++++=
...
...
21
2211
����
X
Y
iv2
�iv1
�
1m 2m
fv1
�
fv2
�
2m
1m
2m
Marco A. Merma Jara FISICA I Impulso y Momento Lineal
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14. Momento angular para una partícula que rota alrededor de un eje
El momento angular para una partícula de masa m que rota al
rededor de un eje que pasa por el centro del circulo en O, está dado
por el producto del vector de posición y el momento lineal, el
producto es vectorial (producto cruz)
prL���
×=
15. Impulso Angular J�
El impulso angular es la cantidad física vectorial que indica el cambio brusco de estado
de una partícula en la rotación al rededor de algún eje.
ω��
IJ =
Donde I es el momento de inercia del sistema, ω�
es la velocidad angular.
16. Principio de Conservación del Impulso Angular
Cuando el sistema es aislado, entonces el impulse angular permanece constante
fi jj��
=
Teorema del Impulso angular y el momento angular
Lj��
∆=
17. Ejercicios
1. Demostrar que el trabajo de fuerzas no conservativas es igual al negativo de la
variación de la energía mecánica del sistema
2. Si un campo de fuerzas F es conservativo, entonces mostrar que existe un campo
escalar tal que la fuerzas del sistema es igual al gradiente de la energía.
3. Mostrar que el impulso de una fuerza, es posible encontrar una fuerza promedio
constante tal que produce el mismo impulso que la fuerza variable.
4. Mostrar que para un sistema cerrado el momento lineal del sistema permanece
constante, para cualquier instante del tiempo.
5. Dos masas m1 y m2 con velocidades v1i, v2i se acercan como se ilustra en la figura, si
el choque o colisión es inelástica donde e = 0.6, determinar las velocidades de las
masas m1 y m2 inmediatamente después de la colisión
r�
O
v�
m
Impulso y Momento Lineal FISICA I Marco A. Merma Jara
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6. Demostrar para un cuerpo rígido en rotación alrededor de un eje, que el impulso
angular es igual al cambio del momento angular
7. a) ¿Qué magnitud tiene el momento lineal de un camión de 10,000 kg que viaja con
rapidez de 12.0 m>s? b) ¿Con qué rapidez tendría que viajar una vagoneta de 2000
kg para tener i) el mismo momento lineal? ii) ¿la misma energía cinética?
8. En el ejemplo conceptual 8.1 (sección 8.1), demuestre que el ve lero de hielo con
masa 2m tiene veces más momento lineal en la meta que el de masa m.
9. a) Demuestre que la energía cinética K y la magnitud del momento lineal p de una
partícula de masa m están relacionadas por la expresión mpK 2/2= , b) Un
cardenal (Richmondena cardinalis) de 0.040 kg y una pelota de béisbol de 0.145 kg
tienen la misma energía cinética. ¿Cuál tiene mayor magnitud de momento lineal?
¿Cuál es la razón entre las magnitudes del momento lineal del cardenal y de la
pelota? c) Un hombre de 700 N y una mujer de 450 N tienen el mismo momento
lineal. ¿Quién tiene mayor energía cinética? ¿Cuál es la razón entre las energías
cinéticas del hombre y de la mujer?
10. En una competencia varonil de pista y campo, la bala tiene una masa de 7.30 kg y se
lanza con una rapidez de 15.0 m/s a 40.0° por encima de la horizontal ubicada sobre
la pierna izquierda extendida de un hombre. ¿Cuáles son las componentes iniciales
horizontal y vertical del momento lineal de esa bala?
18. Problemas Resueltos
1. Una masa m1 cae libremente desde una altura H hacia una
plataforma de masa m2, que se encuentra debajo, como se ilustra
en la figura. Determinar la velocidad de m1 y m2 inmediatamente
después de la colisión si el coeficiente de restitución entre las
placas es 0.5
Solución
De la conservación del momento lineal
fi pp��
=
ffii vmvmvmvm 22112211
����+=+ (1)
Del coeficiente de restitución e
ffi vvve 121
���−= (2)
De la ecuación (1) y (2) resolviendo
1m
1m
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La velocidad inicial de la masa m1 es )(21 jgHv i −=�
21
12
)1(
mm
vev i
f ++
=�
�㻌㻌 㼥㻌㻌
21
1212
(
mm
vemmv i
f +−
=�
�㻌
2. Un bloque de masa m1, inicialmente esta en reposo y parte desde el punto A, con
rapidez cero, otro bloque de masa m2, esta
en el punto B, en reposo, si el coeficiente
de restitución entre los dos bloques es 0.6.
determinar las velocidades de cada uno de
los bloques después de la colisión.
Solución
Antes de la colisión en AB la energía mecánica es constante, entonces.
)ˆ(21 ighv i =�
En la colisión la cantidad de movimiento o momento lineal permanece constante.
Entonces
fifii vmvmvmvm 2212211
����+=+ (3)
Del coeficiente de restitución
ffi vvve 121
���−= (4)
Resolviendo las ecuaciones (3) y (4)
Las velocidades de las masas inmediatamente después de la colisión son
21
12
)1(
mm
vev i
f ++
=�
�㻌㻌 㼥㻌㻌
21
1212
(
mm
vemmv i
f +−
=�
�㻌
19. Problemas Propuestos
3. Una bolsa de arena de masa 1m es soltada desde lo alto
como se ilustra en la figura, una caja de masa 2m está inicialmente en reposo en la superficie lisa. Si el coeficiente de restitución entre las bolas y la caja es 0.6. Determinar las velocidades de las masas después de la colisión.
4. Péndulo balístico. Una bala de rifle de 12.0 g se dispara a 380 m/s contra un péndulo balístico de 6.00 kg suspendido de un cordón de 70.0 cm de longitud. Calcule a) la distancia vertical que sube el péndulo, b) la
2m
1mL
1m
2m
B
A
mh 1=
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energía cinética inicial de la bala y c) la energía cinética de la bala y el péndulo inmediatamente después de que la bala se incrusta en el péndulo.
5. Una bala de 5.00 g se dispara horizontalmente a un bloque de madera de 1.20 kg que descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.20. La bala queda incrustada en el bloque, que se desliza 0.230 m por la superficie antes de detenerse. ¿Qué rapidez tenía inicialmente la bala?
6. Un pez de 15.0 kg, que nada a 1.10 m/s, de repente engulle un pez de 4.50 kg que estaba estacionario. Desprecie los efectos de arrastre del agua. a) Calcule la rapidez del pez grande inmediatamente después de haberse comido al pequeño. b) ¿Cuánta energía mecánica se disipó durante esta comida?
7. Masa cambiante. Un vagón abierto de 24,000 kg viaja sin fricción ni impulso sobre una vía horizontal. Está lloviendo muy fuerte, y la lluvia cae verticalmente. El vagón originalmente está vacío y tiene una rapidez de 4.00 m>s. ¿Qué rapidez tiene después de acumular 3000 kg de agua de lluvia?
8. Dos patinadores, Daniel (65.0 kg) y Rebeca (45.0 kg) están practicando. Daniel se detiene para atar su agujeta y es golpeado por Rebeca, quien se desplazaba a 13.0 m/s antes de chocar con él. Después del choque, Rebeca se mueve a 8.00 m>s con un ángulo de 53.1° respecto a su dirección original. La superficie de patinaje es horizontal y no tiene fricción. a) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de Daniel después del choque. b) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética total de los dos patinadores como resultado del choque?
9. Un astronauta en el espacio no puede utilizar una báscula o balanza para pesar los objetos porque no hay gravedad. Pero cuenta con dispositivos para medir la distancia y el tiempo de manera exacta. El astronauta sabe que su masa es de 78.4 kg, pero no está seguro de la masa de un enorme tanque de gas en el interior del cohete sin aire. Cuando el tanque se aproxima a él a 3.50 m/s, empuja su cuerpo contra éste, lo que disminuye la rapidez del tanque a 1.20 m/s (pero no invierte su dirección) y le da al astronauta una rapidez de 2.40 m/s. ¿Cuál es la masa del tanque?
20. Referencias
1. Física Universitaria, Vol. I, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, 12va edición, Pearson, México, 1999.
2. Fisica I, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Universidad Nacional del Callao, 2005.
Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara
Capítulo 8
Movimiento de Cuerpos Rígidos 1. Introducción
Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un sistema que posee tamaño y forma,
donde se asuma que este no sufre deformaciones por la acción de fuerzas externas. Así
por ejemplo si tomamos la distancia entre dos punto del cuerpo antes de someterlos a
fuerzas externas, después la distancia entre esos puntos permanece invariable.
Esto es una idealización, ya que en la realidad los cueros se deforman siempre en alguna
medida por acción de fuerzas externas.
2. Momento de Inercia
El momento de inercia I es una cantidad física de tipo escalar, e indica la facilidad o
dificultad que ofrece un cuerpo para cambiar su estado mecánico de rotación.
Cuando se calcula el momento de inercia de un sistema este siempre se mide respecto
de un eje de rotación.
Momento de Inercia para un sistema discreto de partículas
Cuando se tiene una distribución discreta de masas el momento de inercia respecto del
eje por donde pasa el eje de giro esta da por
�= 2ii rmI
Fig. Partículas que rotan alrededor de un eje fijo
Donde im es la masa de la i-ésima partícula y ir , es la distancia perpendicular desde la
i-ésima masa al eje de giro.
im
ir
Movimiento de Cuerpos Rígidos FISICA I Marco A. Merma Jara
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Ejemplo
Tres masas puntuales 321 ., mmm está localizadas en los vértice de un triangulo
equilátero de lado L , las varillas son de masa despreciable. Determinar le momento de
inercia. (a) Cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa, (b) cuando el eje de
rotación pasa una de las alturas del sistema.
Solución
a) Cuando el eje pasa por el centro de masa CM, perpendicular al plano de la hoja
233
222
211 rmrmrmI CM ++=
2321 )(
3
3KgmmmmLI CM ++=
Donde 3
3321
Lrrr ===
b) Cuando el eje pasa por una de las alturas del triangulo equilátero
233
222
211 rmrmrmI Q ++=
221 00)
2
3( KgmLmI p ��
�
����
�++=
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Momento de Inercia para una distribución Continua de Masa
Cuando la distribución de masas es continua se tiene un cuerpo rígido y el momento de
inercia se calcula por
�= dmrI O2
Fig. Rotación de un cuerpo rígido, distribución de masa continua
Donde r es la distancia del eje de rotación al elemento diferencial de masa dm
Ejemplo
Determinar el momento de inercia de una barra rígida homogénea de masa M y longitud
L, respecto de un eje que pasa por uno de sus extremos, como se ilustra en la figura.
Solución
Como la distribución de masa es homogénea la densidad lineal de masa λ es constante,
esta es una barra totalmente idealizada, entonces.
dx
dm
L
M ==λ
De donde el elemento diferencial de masa dmen términos de la densidad lineal de masa
es
dxdm λ=
Observación
Cuando la distribución de masa no es homogénea, se debe conocer la densidad lineal en
función de la posición
LM ,
x dxdm ,0
r
dm
Movimiento de Cuerpos Rígidos FISICA I Marco A. Merma Jara
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En la ecuación para el momento de inercia
333
23
3
0
22 MLL
L
M
L
L
dxxdmxIL
O ===== �� λλ
Teorema de los ejes Paralelos o de Steiner
Conociendo el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masa de
un sistema cualquiera, se puede conocer el momento de inercia respecto de cualquier
otro eje que pase por algún otro punto del sistema.
Fig. Teorema de los ejes paralelos.
El momento de inercia para un eje cualquiera por ejemplo que pasa por el punto O en
términos del centro de masa es
20 MdII CM +=
Donde M es la masa del cuerpo, d es la distancia de separación entre los ejes paralelos,
CMI es el valor del momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de
masa del sistema
Ejemplo
El momento de inercia de una placa circular de masa M y radio R, homogéneo, respecto
de un eje que pasa por su centro de masa es 2
2MRI CM = . Determinar el momento de
inercia cuando la misma placa rota alrededor de un eje que pasa por un punto de su
perímetro perpendicular ala placa
Solución
LM ,
d
CM0
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Fig. Placa circular en rotación al rededor de un eje fijo
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por uno de los puntos de su
perímetro.
222
0 2
3
2MRMR
MRI =+=
Importante .
Para utilizar este teorema es necesario conocer previamente el valor del momento de
inercia por un eje que pasa por el centro de masa del sistema.
3. Segunda Ley de Newton para Cuerpos Rígidos
ατ��
0I=�
Donde 0I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación, �τ�
es el momento
de inercia resultante, α�
, es la aceleración angular del sistema en rotación.
Ejemplo
Una barra homogénea se suelta desde la posición horizontal, rota respecto de un eje fijo
que pasa por el punto O desde el reposo determinar la velocidad de la barra cuando se
encuentra en posición vertical.
Solución
De la diagrama de fuerzas, la única fuerza que hace girar a la barra es su peso que actúa
en su centro de masa CM
LM ,
x dxdm,0
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De la segunda ley de Newton para cuerpos rígidos
� = ατ��
OI
θωω
θθωθ
d
dI
d
d
dt
dIrmg OO ==)cos(
�� = fwddmgr
0
2
0cos ωωθθ
π
Of I
mgr=ω
La velocidad y la velocidad angular son proporcionales rv ω=
vrI
mgrv
O
ˆ���
����
�=
�
Donde v , es el vector unitario que da dirección al vector velocidad.
4. Trabajo y Energía en Cuerpos Rígidos
�= θτ dW
Donde τ , es el momento de torsión, y θd , es el ángulo barrido durante la rotación.
Aquí se debe considerar la fuerza que contribuye al torque y consecuentemente se
relaciona con al fuerza que realiza trabajo mecánico.
Ejemplo
Una barra rígida homogénea de longitud L y masa M, rota la rededor del eje que pasa
por el punto O, se suelta desde el reposo como se ilustra en la figura, determinar el valor
del trabajo sobre la barra cuando se encuentra totalmente vertical.
Solución
Para calcular el trabajo de una fuerza es necesario determinar que se encuentre en la
dirección del desplazamiento. Haciendo el diagrama de fuerzas
La fuerza que hace trabajo es la componente θcosMg .
LM ,
x dxdm ,0
Marco A. Merma Jara FISICA I Movimiento de Cuerpos Rígidos
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El torque que hace posible la rotación se debe a la componente que hace trabajo.
Entonces
MgrdrMgW == � 2
0)cos(
π
θθ
5. Potencia en Cuerpos Rígidos
Consideremos que el trabajo mecánico para cuerpos rígido se realiza en un intervalo de
tiempo , la potencia mecánica será
θτ ∆=∆W
ωτθτ =∆∆=
tP
Donde ωes el valor de la velocidad angular. P es la potencia mecánica, τ , es el torque o momento de torsión.
6. Energía Cinética de Rotación
Consideremos un cuerpo rígido que rota la rededor de un eje fijo que pasa por un
extremo del cuerpo como se ilustra en la figura.
Fig. Cuerpo rígido en rotación, alrededor de un eje fijo
θcosMg
θMgsen
Mg
θ�
r θ)
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La energía cinética de rotación del sistema está dado por
202
1 ωIK R =
Donde
ω , es el valor de la velocidad angular
0I , es el momento de inercia del sistema respecto del eje fijo que pasa por O
Ejemplo
Una barra homogénea de masa M, longitud L, rota alrededor de un eje que pasa por O,
como se ilustra en la figuras, si inicialmente esta horizontal y se suelta, determinar la
velocidad angular de la barra cuando se encuentra totalmente vertical.
Solución
Solo existen fuerzas conservativas, entonces la energía mecánica del sistema permanece
constante.
fi EE =
22
1
2
1 22 LMgIMgLI fOiO +=+ ωω
La velocidad angular en el punto inicial es cero. Entonces la velocidad angular cuando
esta totalmente vertical es
L
g
I
MgL
O
3==ω
Donde 3
2MLI O =
Energía mecánica en cuerpos rígidos en rotación
CMR VKE +=
Donde RK es la energía cinética de rotación y CMV , es la emergía potencial gravitatoria
de su centro de masa, respecto de un nivel de referencia.
LM ,
x dxdm ,0
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7. Conservación de la Energía Mecánica en Cuerpos Rígidos que
Rotan Alrededor de un eje fijo
Si en el sistema están presentes solamente fuerzas conservativas, la energía mecánica
del sistema permanece constante para cualquier instante del tiempo.
CteEE == 21
fifTRASfRiiTRASLRi VKKVKK ++=++
En este caso la energía cinética es totalmente de rotación es decir 2
2
1 ωOR IK = , y la
energía potencial gravitatoria es con respecto al centro de masa del cuerpo rígido.
8. Momento Angular en Cuerpos Rígidos
Cuando un cuerpo rígido esta en movimiento de rotación, alrededor de un eje, el
momento angular está dado por
prL���
×=
Donde L�
, es el momento angular, r�
, es el vector posición del elemento de masa, p�
, es
el momento lineal del elemento de masa m
Fig. Momento angular de un cuerpo
r�
L�
v�
p�
R�
θ
x
y
z
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9. Momento de Torsión
Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje, la rotación es originada por el
momento de torsión τ� , en términos del momento angular L�
, se calcular por
dt
Ld�
�=τ
El momento de torsión puede tomar signos positivo y negativo.
Positivo cuando el sentido de la rotación es horario
Negativo cuando el sentido de la rotación es antihorario
10. Impulso Angular en Cuerpos Rígidos
ω��
OIJ =
Donde OI , es el momento de inercia respecto del eje de rotación que pasa por el punto
del cuerpo designado con O
11. Teorema del Impulso y Momento Angular en Cuerpos Rígidos
LJ��
∆=
Donde L�
, es el momento angular del cuerpo rígido
12. Ejercicios
1. Para una distribución de discreta de masas puntuales que rotan alrededor de un eje
fijo demostrar que le momento de inercia está dada por �= 2iiO rmI , donde im es
la masa de la i-esima partícula, ir , es la distancia perpendicular de la i-ésima
partícula al eje de giro.
2. Demostrar que la energía cinética de traslación para un cuerpo rígido que rota
alrededor de un eje fijo está dada por la ecuación 202
1 ωIK R = , donde ω , es el
valor de la velocidad angular, 0I es el momento de inercia respecto del eje que pasa
por el punto O.
3. Demostrar el teorema de los ejes paralelos para un cuerpo rígido donde M es la
masa, D la distancia entre los ejes paralelos.
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4. Demostrar que el impulso angular se puede expresar en términos de la variación del
momento angular, LJ��
∆=
5. Demostrar que el momento de torsión en términos del momento angular para un
cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo esta dado por dtLd /��
=τ
13. Problemas Resueltos
1. En el sistema mostrado, las masa del bloque es 1m y la masa de la polea es M y
rota alrededor de un eje que pasa por su centro
de masa, (a) Determinar la aceleración lineal
del bloque de masa 2m , si 12 mm > , y el
coeficiente de frcción entre la superficie y el
bloque de masa 1m es 5.0=Kµ , (b) Determinar
el valor de la tension en la cuerda.
Solución
Diagrama de fuerzas para para m1, la polea y m2
Las ecuaciones pada cada caso de acuerdo a las leyes de Newton, para partícula y
cuerpos rígidos.
Para m1
amfT K 1=−
gmn 1=
nf KK µ=
Para la polea
αITRTR =−− )(
MgN =
1m
2m
RM ,
g�↓
MgT
N T
gm2
T
n
Kf
gm1
T
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Para m2 amTgm 22 =−
Resolviendo de las ecuaciones (1), (2), (3)
La magnitud de la aceleracion lineal
gmm
mgma K
21
11
+−
=µ
La tensión en la cuerda es
gmm
mmT K
21
21 )1(
++
=µ
La magnitud de la acelracion angular de la polea es
I
TR2=α
14. Problemas Propuestos
1. Un cilindro uniforme sólido con masa de 8.25 kg y diámetro de15.0 cm gira a 220 rpm sobre un eje delgado sin fricción, que pasa a lo largo del eje del cilindro. Se diseña un freno de fricción sencillo para detener el cilindro empujando el freno contra el borde exterior con una fuerza normal. El coeficiente de fricción cinética entre el freno y el borde es de 0.333. ¿Qué fuerza normal debe aplicarse para detener el cilindro después de girar 5.25 revoluciones?
2. Una piedra cuelga del extremo libre de un cable enrollado en el borde exterior de una polea, como se muestra en la figura 10.10. La polea es un disco uniforme con masa de 10.0 kg y 50.0 cm de radio, que gira sobre cojinetes sin fricción. Se determina que la piedra recorre 12.6 m en los primeros 3.00 s partiendo del reposo. Calcule a) la masa de la piedra y b) la tensión en el cable.
3. Una piedra de afilar en forma de disco sólido con 0.520 m de diámetro y masa de 50.0 kg gira a 850 rev/min. Usted presiona una hacha contra el borde de la piedra con una fuerza normal de 160 N (figura 10.43), y la piedra se detiene en 7.50 s. Calcule el coeficiente de fricción entre el hacha y la piedra. Ignore la fricción de los cojinetes.
Fig. Prob. 3 Fig. Prob. 6.
4. Una cubeta con agua de 15.0 kg se suspende de una cuerda ligera, enrollada en un cilindro sólido de 0.300 m de diámetro y masa de 12.0 kg. El cilindro pivotea en un
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eje sin fricción que pasa por su centro. La cubeta se suelta del reposo en el borde de un pozo y cae 10.0 m al agua. a) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la cubeta cae? b) ¿Con qué rapidez golpea la cubeta el agua? c) ¿Cuánto tarda en caer? d) Mientras la cubeta cae, ¿qué fuerza ejerce el eje sobre el cilindro?
5. Un libro de 2.00 kg descansa en una superficie horizontal sin fricción. Un cordel atado al libro pasa por una polea de 0.150 m de diámetro, y está atado en su otro extremo a un libro colgante con masa de 3.00 kg. El sistema se suelta del reposo y se observa que los libros se mueven 1.20 m en 0.800 s. a) Calcule la tensión en cada sección del cordel. b) Calcule el momento de inercia de la polea con respecto a su eje de rotación.
6. Una caja de 12.0 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción está unida a un peso de 5.00 kg con un alambre delgado y ligero que pasa por una polea sin fricción La polea tiene la forma de un disco sólido uniforme con masa de 2.00 km y diámetro de 0.500 m. Después de que el sistema se libera, calcule a) la tensión en el alambre en ambos lados de la polea, b) la aceleración de la caja, y c) las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el eje ejerce sobre la polea.
7. Un poste delgado uniforme de 15.0 kg y 1.75 m de longitud se mantiene vertical mediante un cable y tiene unidos una masa de 5.00 kg como se ilustra en la figura, y un pivote en su extremo inferior. La cuerda unida a la masa de 5.0 kg pasa por una polea sin masa y sin fricción, y tira perpendicularmente del poste. De repente, el cable se rompe. a) Encuentre la aceleración angular del poste alrededor del pivote cuando el cable se rompe. b) La aceleración angular calculada en el inciso a) permanece constante conforme el poste cae (antes de que golpee la polea)? ¿Porqué? c) ¿Cuál es la aceleración de la masa de 5.00 kg después de que el cable se rompe? ¿Dicha aceleración permanece constante? Explique su respuesta.
8. Una varilla horizontal delgada de longitud l y masa M pivotea alrededor de un eje vertical en un extremo. Una fuerza de magnitud constante F se aplica al otro extremo, haciendo que la varilla gire en un plano horizontal. La fuerza se mantiene perpendicular a la varilla y al eje de rotación. Calcule la magnitud de la aceleración angular de la varilla.
Fig. Prob. 7 Fig. Prob. 10
9. Un aro de 2.20 kg y de 1.20 m de diámetro rueda hacia la derecha sin deslizarse sobre un piso horizontal a 3.00 rad/s constantes. a) ¿Qué tan rápido se mueve su centro? b) ¿Cuál es la energía cinética total del aro? c) Calcule el vector de velocidad de cada uno de los siguientes puntos, vistos por una persona en reposo en el suelo: i) el punto más alto del aro; ii) el punto más bajo del aro; iii) un punto al lado derecho del aro, a la mitad de la distancia entre la parte superior y la parte inferior. d) Calcule el vector de velocidad de cada uno de los puntos del inciso c), con excepción del visto por alguien que se mueve con la misma velocidad que el aro
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Notas de Aula - 14 - http://mjfisica.blogspot.com
10. Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8.00 cm de radio y masa de 0.180 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Después de que el aro ha descendido 75.0 cm, calcule: a) la rapidez angular del aro al girar y b) la rapidez de su centro.
11. ¿Qué fracción de la energía cinética total es rotacional para los siguientes objetos que ruedan sin resbalar por una superficie horizontal? a) Un cilindro sólido uniforme, b) Una esfera uniforme, c) Una esfera hueca de paredes delgadas, d) un cilindro hueco con radio exterior R y radio interior R/2.
12. Un casco esférico hueco con masa de 2.00 kg rueda sin resbalar bajando una pendiente de 38.0°. a) Calcule: la aceleración, la fuerza de fricción y el coeficiente de fricción mínimo para que no resbale. b) ¿Cómo cambiarían sus respuestas al inciso a) si la masa se aumentara al doble (4.00 kg)?
13. Una esfera sólida se suelta del reposo y baja por una ladera que forma un ángulo de 65.0° abajo de la horizontal. a) ¿Qué valor mínimo debe tener el coeficiente de fricción estática entre la ladera y la esfera para que no haya deslizamiento? b) ¿El coeficiente de fricción calculado en el inciso a) bastaría para evitar que una esfera hueca (como un balón de fútbol) resbale? Justifique su respuesta. c) En el inciso a), ¿por qué usamos el coeficiente de fricción estática y no el coeficiente de fricción cinética?
14. Una canica uniforme baja rodando por un tazón simétrico, partiendo del reposo en el borde izquierdo. El borde está una distancia h arriba del fondo del tazón. La mitad izquierda del tazón es lo bastante áspera como para que la canica ruede sin resbalar, pero la mitad derecha no tiene fricción porque está lubricada con aceite. a) ¿Qué altura alcanzará la canica en el lado resbaloso, medida verticalmente desde el fondo? b) ¿Qué altura alcanzaría la canica si el lado derecho fuera tan áspero como el izquierdo? c) ¿Cómo explica el hecho de que la canica alcance más altura en el lado derecho con fricción que sin fricción?
15. Una rueda de 392 N se desprende de un camión en movimiento, rueda sin resbalar por una carretera y, al llegar al pie de una colina, gira a 25.0 rad/s. El radio de la rueda es de 0.600 m y su momento de inercia alrededor de su eje de rotación es de 0.800 MR2. La fricción efectúa trabajo sobre la rueda mientras ésta sube la colina hasta que se detiene a una altura h sobre el pie de la colina; ese trabajo tiene valor absoluto de 3500 J. Calcule h.
16. Bola que rueda cuesta arriba. Una bola de bolos (boliche) sube rodando sin resbalar por una rampa que forma un ángulo b con la horizontal. Trate la bola como esfera sólida uniforme, sin tomar en cuenta los agujeros. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la bola. Explique por qué la fricción debe tener dirección cuesta arriba. b) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la bola? c) ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo se necesita para que la bola no resbale?
17. Un carrusel (tiovivo) con 2.40 m de radio tiene momento de inercia de alrededor de un eje vertical que pasa por su centro y gira con fricción despreciable. a) Un niño aplica una fuerza de 18.0 N tangencialmente al borde durante 15.0 s. Si el carrusel estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular tiene al final de los 15.0 s? b) ¿Cuánto trabajo efectuó el niño sobre el carrusel? c) ¿Qué potencia media le suministró el niño?
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18. El motor proporciona 175 hp a la hélice de un avión a 2400 rev/min. a) ¿Cuánta torca proporciona el motor del avión? b) ¿Cuánto trabajo realiza el motor en una revolución de la hélice?
19. Una rueda de afilar de 1.50 kg con forma de cilindro sólido tiene 0.100 m de radio. a) ¿Qué torca constante la llevará del reposo a una rapidez angular de 1200 rev/min en 2.5 s? b) ¿Qué ángulo habrá girado en ese tiempo? c) Calcular el trabajo efectuado por el torque. d) ¿Qué energía cinética tiene la rueda al girar a 1200 rev/min? Compare esto con el resultado del inciso c).
20. Un motor eléctrico consume 9.00 kJ de energía eléctrica en 1.00 min. Si un tercio de la energía se pierde en forma de calor y otras formas de energía interna del motor, y el resto se da como potencia al motor, ¿cuánta torca desarrollará este motor si usted lo pone a 2500 rpm?
21. Las puntas de carburo de los dientes de corte de una sierra circular están a 8.6 cm del eje de rotación. a) La rapidez sin carga de la sierra, cuando no está cortando, es de 4800 rev/min. ¿Por qué es despreciable la potencia desarrollada sin carga? b) Al cortar madera, la rapidez angular de la sierra baja a 2400 rev/min, y la potencia desarrollada es de 1.9 hp. ¿Qué fuerza tangencial ejerce la madera sobre las puntas de carburo?
22. a) Calcule la torca producida por un motor industrial que desarrolla 150 kW a una rapidez angular de 4000 rev/min. b) Un tambor de 0.400 m de diámetro y masa despreciable se conecta al eje del motor, y la potencia del motor se utiliza para levantar un peso que cuelga de una cuerda enrollada en el tambor. ¿Qué peso máximo puede levantar el motor, con rapidez constante? c) ¿Con qué rapidez subirá el peso?
15. Referencias 1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Pearson,
México, 1999 2. Dinámica, Ingeniería Mecánica, 7ma edición, R. C. Hibeller, Prentice-Hall,
México, 1997
Marco A. Merma Jara - 1 - Notas de Aula
CCaappííttuulloo 99
GGrraavvii ttaacciióónn UUnniivveerrssaall 1. Introducción
Las leyes básicas que gobiernan las interacciones gravitacionales, son necesarias para
responder a las interrogantes por ejemplo sobre el movimiento de los planetas alrededor
del sol o el movimiento de la luna alrededor de la tierra.
2. Ley de Gravitación De Newton
En1687 Newton publicó la ley de la gravitación, que puede enunciarse así: “Toda
partícula de materia en el Universo atrae a todas las demás partículas con una
fuerza directamente proporcional al producto de las masas de las partículas, e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.”
221
r
mmGF =
Donde 21,mm son las masas de los cuerpos celestes, r es la distancia de separación
entre los cuerpos, G es la constante de gravitación universal y su valor es
2
21110)10(6742.6
Kg
mNG −×=
Gravedad g (minúscula)
Es la aceleración debida a la gravedad, que relaciona el peso w de un cuerpo con su
masa m: mgw =
Constante de gravitación G (mayúscula)
Relaciona la fuerza gravitacional entre dos cuerpos con sus masas y la distancia entre
ellos. Decimos que G es una constante universal porque tiene el mismo valor para
cualesquiera dos cuerpos, sin importar dónde estén
Medida de la Constante de Gravitación G
F�
F�
r
2m1m
Gravitación FISICA I Marco A. Merma Jara
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Para determinar el valor de la constante G, se debe medir la fuerza gravitacional entre
dos cuerpos de masas conocidas separadas por una distancia
Para cuerpos pequeños en el laboratorio se puede medir usando un instrumento llamado
balanza de torsión usado por Henry Cavendish en 1798.
Fig. Balanza de torsión
El Peso
El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él.
Ahora vamos a ampliar nuestra definición:”El peso de un cuerpo es la fuerza
gravitacional total ejercida sobre él por todos los demás cuerpos del Universo”
Fig. Masa pequeña en la superficie de un cuerpo grande de masa M y radio R
Al medir el peso de un cuerpo pequeño de masa m que esta sobre la superficie de otro
cuerpo de masa M y radio R. Se considera que el cuerpo es completamente simétrico.
Entonces la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo pequeño es
2R
GMmFw g == (i)
También para un cuerpo de masa m en caída libre el peso esta dado por mgw = , de
donde
2R
GMg = (*)
M
m
R
M
Mm
m(φ
Espejo
Marco A. Merma Jara FISICA I Gravitación
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Ejemplo 1
Determinar la masa de la tierra, sabiendo que su radio medio es KmR 6380= y la
aceleración de la gravedad 2/80.9 smg =
Solución
De la ecuación (*) KgG
gRM 24
2
1098.5 ×==
El valor aceptado actualmente es Kg2410974.5 × y se observa que el valor calcular es
coherente con el valor aceptado actualmente.
Importante
Cuando un cuerpo se encuentra por encima del radio de la tierra, la fuerza de atracción
entre la tierra y el cuerpo es calculado por la ecuación (i)
La Masa Inercial y Gravitacional
De acuerdo a la segunda ley de Newton se define la inercia y la medida de esta se da a
través de la masa, en este caso es la masa inercial.
Las leyes del movimiento son de validez general por tanto para toda clase de materia, ya
sean electrones, protones, neutrones.
La gravitación es una propiedad universal para todo tipo de materia por lo tanto se
puede considerar que la masa gravitacional es directamente proporcional a la masa
inercial.
m
m
inercialmasa
nalgravitaciomasaK g==
Si la constante K = 1, con unidades adecuadas, entonces la masa gravitacional y la masa
inercial se pueden usar indistintamente.
Medida de la Masa
Una forma de comparar las masas de dos cuerpos es introduciendo un tercer cuerpo
como referencia.
Fig. Comparación de masas m y m’ pr interacción gravitacional
En cada caso la fuerza gravitacional esta dado por
m
'mM
Mr
r
F
'F
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2r
MmGF = y
2
''
r
MmGF =
La relación entre las fuerzas, da la relación entre las masas m y m’
'' m
m
F
F =
El principio de la balanza usa este método cuando el cuerpo de referencia es la tierra. La
balanza se encuentra en equilibrio cuando las dos fuerzas son iguales por tanto las
masas son iguales también. Esto constituye un método para medir masas.
GráficaDistancia vs Energia Potencial Gravitatoria
0
1E+12
2E+12
3E+12
4E+12
5E+12
6E+12
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
Distancia de separacion (Km)
Ene
rgía
Pot
enci
al G
ravi
taci
onal
V(J
)
Fig. El peso disminuye con la distancia
3. Energía Potencial Gravitacional
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Cuando la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es constante en magnitud y
dirección la energía potencial se determina por la expresión
mgyV =
Donde )(yVV = es la función escalar energía potencial gravitatoria, m es la masa del
cuerpo, “y” es la posición del cuerpo respecto de un nivel de referencia.
Cuando una masa esta mas allá del radio de la tierra la fuerza gravitatoria esta
determinada pro 2/ rGMmFg = , donde M es la masa de la tierra, m la masa del cuerpo
y r la distancia de separación entre las masas.
Fig. La fuerza gravitacional es conservativa
En general r es cambiante por lo que es necesario una expresión mas general para
determinar la energía potencial gravitatoria para llevar un cuerpo de masa m desde 1r r1
hasta 2r es
r
GMmV −=
4. Movimiento de Satélites
Si se lanzara un proyectil horizontalmente cada vez con una velocidad mayor el alcance
horizontal podría aumentar cada vez más, si la rapidez de lanzamiento es lo
suficientemente grande y se lanza desde un punto lo suficientemente alto el cuerpo
puede seguir dando vueltas a la tierra sin tocar le suelo. Y se convierte en un satélite
terrestre, y es así como se mueve los satélites artificiales. Alrededor de la tierra.
En al figura las trayectorias 3,4,5 son circulares la rededor de la tierra, las trayectorias
6,7 son orbitas abiertas, el cuerpo ya no regresa mas al punto de partida.
.
1r
2r
gF�
Mm
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Fig. Movimiento de satélites
Orbitas circulares de satélites
Fig., orbitas circulares de satélites
r
mv
r
GMm 2
2=
De donde se tiene
r
GMv =
Periodo
GM
r
GM
rr
v
rT
2/322
2 πππ ===
5. Leyes de Kepler
Los planteas cambian continuamente su posición en el cielo relativo al fondo estrellado,
todos los planetas están en orbitas alrededor del sol. Los primeros descubrimientos
sobre las órbitas de los planetas fueron descubiertas por Nicolás Copérnico en Polonia
en 1543, y la determinación de las orbitas planetarias fue realizado por le matemático
astrónomo Johannes Kepler entre 1601 y 1619.
Kepler descubrió tres leyes empíricas que describían con exactitud los movimientos de
los planetas:
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Primera ley
Cada planeta se mueve en una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse.
Fig. Planeta alrededor del sol
Donde s es el foco Segunda Ley
Una línea del Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales.
Fig. Áreas barridas al orbitar un planeta
Tercera Ley
Los periodos de un planeta son proporcionales a las longitudes del eje mayor de sus
órbita elevadas a la potencia .3/2
SGm
aT
2/32π=
Donde ms es la masa del sol.
6. Ejercicios
1. Demostrar que la energía potencial gravitacional para llevar un cuerpo desde un punto inicial fuera de la tierra hacia otro punto final esta dado por la
expresión r
GMmV −= , donde V es la energía potencial gravitatoria, G es la
constante de gravitación, M es la masa de la tierra, m es la mas del cuerpo que es llevado.
7. Ejercicios Propuestos
1. ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre la aceleración debida a la gravedad es de 0.980 m/s2, si en la superficie tiene una magnitud de 9.80 m/s2?
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2. La masa de Venus es el 81.5% de la masa de la Tierra, y su radio es el 94.9% del radio de la Tierra. a) Calcule la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Venus con estos datos. b) Si una roca pesa 75.0 N en la Tierra, ¿cuánto pesará en la superficie de Venus?
8. Problemas propuestos
1. La estrella Rho1Cancri está a 57 años luz de la Tierra y su masa es 0.85 veces la del Sol. Se ha detectado un planeta en órbita circular en torno a Rho1Cancri, con un radio orbital igual a 0.11 veces el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Calcule a) la rapidez orbital y b) el periodo orbital del planeta de Rho1Cancri.
2. En marzo de 2006, se descubrieron dos satélites pequeños en órbita alrededor de Plutón: uno a una distancia de 48,000 km y el otro a 64,000 km. Ya se sabe que Plutón tiene un satélite grande, Caronte, el cual orbita a 19,600 km con un periodo orbital de 6.39 días. Suponiendo que los satélites no se afectan mutuamente, encuentre los periodos orbitales de los dos satélites pequeños sin utilizar la masa de Plutón.
3. a) Demostrar que la distancia Sol-planeta en el perihelio es (1 2 e)a, que en el afelio es (1 1 e)a y que, por lo tanto, la suma de estas dos distancias es 2a. b) Cuando el planeta enano Plutón estaba en su perihelio en 1989, estaba casi 100 millones de km más cerca del Sol que Neptuno. Los ejes semimayores de las órbitas de Plutón y Neptuno son 5.92 3 1012m y 4.50 3 1012m, respectivamente, y sus excentricidades son 0.248 y 0.010. Calcule la distancia más corta de Plutón al Sol y la más grande de Neptuno al Sol. c) ¿Cuántos años, después de su perihelio en 1989, Plutón volverá a estar en su perihelio?
Fig. Prob. 3
4. En la figura mostrada, ¿qué magnitud y dirección tiene la fuerza gravitacional neta ejercida sobre la esfera uniforme de 0.100 kg por las otras dos esferas uniformes? Los centros de las tres esferas están en la misma línea. b) Según la tercera ley de Newton, ¿la esfera de 0.100 kg ejerce fuerzas de la misma magnitud que su respuesta al inciso a), pero con dirección opuesta, sobre cada una de las otras dos esferas?
5. Misión Aura . El 15 de julio de 2004, la NASA lanzó la nave espacial Aura para estudiar el clima y la atmósfera terrestres. Este satélite fue puesto en una órbita a 705 Km. sobre la superficie terrestre, y supondremos una órbita circular. a) ¿Cuántas horas le tomará a este satélite completar una órbita? b) ¿Qué tan rápido se mueve la nave espacial Aura? (Prob 12.28. Sears, Zemansky, vol 1, 12va edición)
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6. Dos bolas de hierro, cada una con una masa de 10 Kg está en contacto. Encontrar su atracción gravitatoria. (b) Comparar con la atracción gravitacional de la tierra sobre cada bola, si uno trata de separar las dos bolas, se sentirá la atracción que ejercen entre si?. Sugerencia: usa la densidad del hierro.
7. Para una persona de 80 kg. Determinar su masa u su peso a 8000m sobre el nivel del mar.
8. un satélite artificial se desplaza en una orbita circular a una altura de 300 Km sobre la superficie terrestre. Encontrar (a) Su velocidad, (b) Su periodo de revolución, (c) su aceleración centrípeta.
9. un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la tierra igual a seis veces el radio de la tierra. Calcular la velocidad que tendría al llegar a la superficie de la tierra.
10. Una persona adulta promedio tiene una masa aproximada de 70 kg. a) ¿Qué fuerza ejerce una Luna llena sobre ella, si está directamente arriba con su centro a 378,000 km? b) Compare esta fuerza con la fuerza que la Tierra ejerce sobre la persona.
11. Una masa puntual de 8.00 kg y una masa puntual de 15.00 kg están separadas 50.0 cm. Se suelta un partícula de masa m desde un punto entre las dos masas a 20.0 cm de la masa de 8.00 kg en la línea que conecta las dos masas fijas. Obtenga la magnitud y la dirección de la aceleración de la partícula.
12. Exploración de Europa. Hay evidencia contundente de que Europa, un satélite de Júpiter, tiene un océano líquido debajo de su superficie congelada. Muchos científicos creen que se debería enviar un vehículo explorador ahí para buscar señales de vida. Antes de lanzarlo, se debería probar tal vehículo bajo las condiciones de la gravedad en la superficie de Europa. Una forma de hacerlo consiste en colocar el vehículo explorador en el extremo de un brazo giratorio en un satélite en órbita terrestre. Si el brazo tiene 4.25 m de longitud y está fijo en uno de sus extremos, ¿con que rapidez angular (en rpm) debería girar para que la aceleración del vehículo fuera la misma, que la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Europa? La masa de Europa es de 4.8 x 1022 kg y tiene un diámetro de 3138 km.
13. Las estrellas de neutrones, como la que está en el centro de la nebulosa del Cangrejo, tienen aproximadamente la misma masa que el Sol, pero un diámetro mucho más pequeño. Si una persona pesa 675 N en la Tierra, ¿cuánto pesaría en la superficie de una estrella de neutrones que tuviera la misma masa que el Sol y un diámetro de 20 km?
14. Referencias 1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, 12va
edición, Pearson, México, 1999 2. Física, Marcelo Alonso, Edgard Finn, Fondo Educativo Interamericano,
México, 1971